Propagación de pseudo-plasmones en líneas de transmisión impresas periódicas

Propagaci´on de pseudo-plasmones en l´ıneas de transmisi´on impresas peri´odicas David Lobato G´omez Tutores Armando Fern´andez Prieto Francisco Medina Mena Trabajo Fin de Grado Grado en F´ısica 21/06/2019 Agradecimientos No quisiera comenzar este trabajo sin dar las gracias primeramente a todas las personas que me han ayudado de una forma u otra a la realizaci´on del mismo. Sin ning´un orden especial, gracias a D. Francisco Mesa Ledesma por su ayuda desinteresada cuando m´as lo necesitaba; a D˜na. Aintzane Lujambio Genua por sus consejos, su altruismo y su ayuda incondicional; y a mi tutor D. Francisco Medina Mena por sus revisiones impecables y por ser art´ıfice del nacimiento de este proyecto. Tambi´en me gustar´ıa agradecer a Elisabet su apoyo e inter´es, sin olvidarme de mi familia y amigos. Finalmente, y de forma especial, quisiera terminar destacando la inestimable labor de D. Armando Fern´andez Prieto. Su trato cercano y predisposici´on a ayudar crean un clima ´optimo de trabajo. Adem´as, han sido incontables las horas que le ha dedicado a este trabajo entre ense˜nanzas, correcciones, asesoramiento y alg´un que otro reproche instructivo, y soy consciente de que este trabajo no ser´ıa lo que es sin su dedicaci´on. As´ı que por todo esto y m´as, gracias. 1 ´ Indice general 1. Introducci´on 3 2. Estructuras Peri´odicas de Guiado 9 2.1. Introducci´on.................................... 9 2.2. An´alisis de estructuras peri´odicas infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3. Diagramas k−β................................. 15 2.4. L´ıneas microstrip ................................. 16 3. Estructuras bajo estudio 20 3.1. Microtira slow-wave con plano de masa modificado para la propagaci´on de pseudo-plasmones de superficie (SPPs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.1. Celda unidad (estructura no-glide) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.2. Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.3. Diagrama de dispersi´on para la estructura convencional . . . . . . . . 28 3.2. Estructura con simetr´ıa glide .......................... 32 3.3. Comparativa entre estructuras convencional y glide . . . . . . . . . . . . . . 36 4. Conclusiones 40 2 Resumen En los ´ultimos a˜nos el estudio de la transmisi´on de se˜nales a frecuencias de microondas soportadas por l´ıneas de transmisi´on con un patr´on peri´odico se ha convertido en un campo muy activo, a semejanza de lo que ha venido ocurriendo a frecuencias mucho m´as elevadas (´opticas, infrarrojo y terahercios). Con este trabajo pretendemos adquirir alg´un conocimiento sobre el estado de la investigaci´on en este terreno y, si es posible, realizar alguna peque˜na contribuci´on. En el presente trabajo se desarrolla el estudio de un cierto tipo de ondas electromagn´eticas superficiales denominadas pseudo-plasmones (spoof-plasmons o, menos com´unmente, designer plasmons en la literatura cient´ıfica en ingl´es). En particular, se estudiar´a, mediante el uso de un simulador electromagn´etico comercial, la propagaci´on de ondas de este tipo en estructuras que se puedan implementar mediante t´ecnicas convencionales de fabricaci´on de circuitos impresos (PCB). Para ello estudiaremos dos estructuras peri´odicas basadas en la modificaci´on de la geometr´ıa de una l´ınea microtira (o l´ınea microstrip) en la que se eliminar´a el plano de masa, de manera que no pueda soportar los modos cuasi-TEM habituales. La estructura de partida est´a basada en la propuesta de un trabajo recientemente publicado en la que se analiza con detalle la propagaci´on de pseudo-plasmones superficiales en una estructura de esta naturaleza. Sobre dicha estructura se propone una modificaci´on geom´etrica (se fuerza en la celda unidad de la estructura peri´odica una simetr´ıa de deslizamiento, o glide-symmetry) con el objetivo de estudiar sus consecuencias. Finalmente, se comparan y analizan los resultados de simulaci´on para ambas estructuras. Cap´ıtulo 1 Introducci´on Los plasmones de superficie (SPs, por las siglas en ingl´es de Surface Plasmon, o SPPs, del ingl´es Surface Plasmon Polariton) son ondas electromagn´eticas superficiales confinadas en el entorno de la interfaz entre dos materiales cuyas permitividades tienen parte real de signo opuesto. Esta circunstancia puede darse, por ejemplo, a frecuencias ´opticas, en la frontera entre un metal (como la plata o el oro) y un diel´ectrico, como el aire. Aunque a frecuencias m´as bajas es bien sabido que los metales se caracterizan por una conductividad real elevada, a frecuencias ´opticas (cuando el periodo de la se˜nal es del orden de magnitud del tiempo medio entre colisiones de los portadores de carga y el metal se comporta como un plasma disipativo) se caracterizan mejor mediante una permitividad compleja dispersiva con parte real negativa (como predice el modelo cl´asico de Drude-Lorentz [1, cap. 19] ). A estas frecuencias los diel´ectricos transparentes (poco disipativos) vienen descritos por una permitividad casi real y positiva (o, equivalentemente, por un ´ındice de refracci´on casi real). Esta situaci´on, al contrario de lo que ocurre en una frontera entre diel´ectricos transparentes con distintos ´ındices de refracci´on, permite la existencia de plasmones de superficie en la interfaz entre ambos materiales y su propagaci´on a lo largo de la superficie del conductor a lo largo de muchas longitudes de onda si las p´erdidas no son excesivas. Una revisi´on detallada de este tipo de sistemas de guiado de ondas electromagn´eticas puede encontrarse, por ejemplo, en [2]. Una de las caracter´ısticas m´as importantes de los SPs es que los campos electromagn´eticos asociados decaen exponencialmente en la direcci´on transversal a la direcci´on de propagaci´on y 3 a la interfaz. La excitaci´on de estos modos sucede cuando interaccionan fotones de frecuencias apropiadas con los electrones libres del metal, lo que provoca una oscilaci´on colectiva de estos ´ultimos. Debido a que la longitud de onda de los SPs es bastante menor que la del fot´on incidente (en espacio libre), se produce un alto grado de confinamiento espacial de la energ´ıa electromagn´etica, lo que permite miniaturizar componentes ´opticos en la escala de las decenas de nan´ometros. En la Fig. 1.1 se muestra esquem´aticamente la distribuci´on de campo y de densidad de carga superficial de un plasm´on de superficie t´ıpico, as´ı como el decaimiento exponencial de la componente del campo el´ectrico perpendicular a la interfaz dentro y fuera del metal y el aspecto del diagrama de dispersi´on (constante de propagaci´on frente a frecuencia). Figura 1.1: (a) L´ıneas de campo el´ectrico de un SP; puede verse que se trata de una onda transverso-magn´etica (TM). (b) Confinamiento exponencial del campo tanto dentro como fuera del metal (modo ligado, bound mode). (c) Forma de la curva de dispersi´on del SP. Esta figura ha sido extra´ıda de [2]. Como se deduce de lo anterior, dada su naturaleza f´ısica, la excitaci´on de los plasmones de superficie genuinos s´olo es posible a frecuencias ´opticas o pr´oximas a estas, pues en ese rango de frecuencias el metal se comporta como un plasma con pocas p´erdidas seg´un el modelo de Drude. Es precisamente este comportamiento de tipo plasma (en lo que respecta a la relaci´on constitutiva relevante) lo que justifica el nombre de este tipo de ondas de superficie. Para frecuencias mucho menores que las consideradas el metal se comporta como un buen conductor, esto es, est´a caracterizado por la parte imaginaria dominante de la permitividad compleja, lo que es equivalente a decir que est´a caracterizado por una conductividad real (y elevada en comparaci´on con la de los diel´ectricos habituales). Las colisiones de los 4 electrones dominan el proceso y, a efectos de la interacci´on con el campo electromagn´etico, la superficie met´alica puede considerarse como la superficie de un conductor perfecto o, de forma m´as precisa, como una impedancia superficial (condici´on de contorno de Leontovich). Este tipo de superficies no permiten la excitaci´on de plasmones. Sin embargo, para tener un mayor control de los plasmones superficiales a frecuencias ´opticas, es habitual prescindir de interfases metal-diel´ectrico planas para utilizar superficies corrugadas peri´odicas, las cuales permiten tener un mayor control sobre las propiedades de las ondas de superficie de las que estamos hablando [2]. Sin embargo, la capacidad de soportar ondas superficiales de las estructuras peri´odicas no est´a vinculada al comportamiento electromagn´etico de tipo plasma de los metales en el rango de frecuencias ´optico, sino que es una propiedad que emana de la periodicidad de la estructura. La relaci´on constitutiva de los materiales involucrados es relevante, pero no esencial para que aparezcan modos ligados. Esto quiere decir que se pueden excitar ondas de superficie con propiedades similares a las de los plasmones genuinos en estructuras peri´odicas con las dimensiones adecuadas incluso a frecuencias de microondas (longitudes de onda centim´etricas o milim´etricas), frecuencias a las cuales el modelo de conductor perfecto para los metales da muy buenos resultados. El hecho de que superficies met´alicas peri´odicamente estructuradas puedan soportar ondas de superficie con un alto grado de confinamiento espacial es conocido desde hace d´ecadas en el campo de la ingenier´ıa de microondas [3, 4, 5]. Sin embargo, m´as recientemente, estimulados por los avances en este campo en el dominio de la ´optica, muchos autores han centrado de nuevo la atenci´on en este tipo de estructuras cuando operan en cualquier rango de longitudes de onda (en particular en el rango de las microondas, las milim´etricas y terahercios). As´ı, por ejemplo, J. B. Pendry et al. [6] proponen y estudian el comportamiento electromagn´etico de una estructura peri´odica muy sencilla, consistente en una distribuci´on bidimensional peri´odica de orificios rectangulares practicados en un bloque de material conductor perfecto. Esta estructura soporta unos modos de superficie cuya relaci´on de dispersi´on se asemeja a la de los SPs, pero en un rango de frecuencias determinado por el valor del periodo espacial, no por la frecuencia de plasma del metal. Los autores explican semi-cuantitativamente la analog´ıa diciendo que el bloque conductor perfecto con la distribuci´on peri´odica de agujeros equivale a un medio continuo con permitividad negativa con la misma relaci´on de dispersi´on predicha por el modelo de Drude, 5 pero con una “frecuencia de plasma” equivalente controlada por la periodicidad de la estructura. Aunque los aspectos cuantitativos del trabajo de Pendry et al. requirieron correcciones importantes [7], la verificaci´on experimental de los aspectos cualitativos de dicho trabajo fue publicada en [8] y la idea qued´o bien establecida: superficies met´alicas peri´odicamente estructuradas soportan modos de superficie an´alogos a los SPs ya conocidos en el campo de la ´optica. Estos modos, que aqu´ı denominaremos en espa˜nol pseudoplasmones, se conocen en la literatura anglosajona como spoof surface plasmons, SPP o, menos habitualmente, como designer plasmons. Desde la publicaci´on de los art´ıculos mencionados al final del p´arrafo anterior, han sido numerosas las aportaciones sobre este tema. Un tipo de estructura para la transmisi´on y guiado de ondas electromagn´eticas basada en estos conceptos son las que podemos denominar “l´ıneas plasm´onicas”. Entenderemos por tales los sistemas de guiado de ondas electromagn´eticas basados en la propagaci´on de pseudo-plasmones. As´ı, el trabajo publicado por E. Brock et al. [9] introduce una estructura peri´odica formada por una sucesi´on de bloques met´alicos con la forma de fichas de domin´o dispuestos sobre una superficie tambi´en met´alica. Los autores prueban que esta estructura gu´ıa modos superficiales con confinamiento lateral en las dos direcciones transversales a la de propagaci´on (los autores llamaron a estos modos “domino plasmons”, por el aspecto de la estructura). Un trabajo similar puede encontrarse en [10], donde las “fichas de domin´o” son sustituidas por elementos en forma de L. Algunos autores han aprovechado el desarrollo de los m´etodos de impresi´on en 3D (additive manufacturing) para construir l´ıneas plasm´onicas que funcionan en el r´egimen de los terahercios [11]. En la literatura especializada pueden encontrarse muchas estructuras que hacen uso de la propagaci´on de pseudoplasmones, especialmente basadas en cargar peri´odicamente una gu´ıa de ondas preexistente. Si cargamos una gu´ıa de onda con obst´aculos peri´odicamente distribuidos la transmisi´on de pseudoplasmones a trav´es de la misma resulta posible. Esto permite implementar ciertas respuestas de filtrado y transmisi´on que pueden ser muy ´utiles para aplicaciones de telecomunicaciones. Como ejemplos de esto pueden servir el splitter basado en SPPs dise˜nado por Navarro-C´ıa et al. [12] o la gu´ıa superficial de doble banda y el frequency splitter a frecuencias de microondas construido con ella propuestos por Gao et al. [13]. Este ´ultimo trabajo es especialmente relevante para este trabajo de fin de grado (TFG). 6   A−eγd B C D −eγd    Vn+1 In+1  = 0.(2.3) Para obtener una soluci´on distinta de la trivial, debe ocurrir que el determinante de la matriz sea nulo. Si adem´as separamos la constante de propagaci´on en sus partes real e imaginaria, γ=α+iβ, y usamos la condici´on de reciprocidad, AD −BC = 1, nos queda que se debe cumplir la ecuaci´on: cosh γd = cosh αd cos βd +jsinh αd sin βd = cos θ−b 2sin θ, (2.4) y dado que el segundo miembro de (2.4) es real, para que la parte imaginaria se anule o bien se cumple que α= 0 o β= 0. El primero de los casos se corresponde a una onda no atenuada que se propaga por la estructura peri´odica. A partir de ´el se define la banda de paso de la estructura. En este caso la ecuaci´on anterior se reduce a: cos βd = cos θ−b 2sin θ, (2.5) ecuaci´on que puede ser resuelta para βsi el segundo t´ermino es menor o igual que la unidad en valor absoluto. Existe un n´umero infinito numerable de valores de βque satisfacen la condici´on. En el caso en el que β= 0, la onda es atenuada a lo largo de la l´ınea, sin cambio de fase, por lo que no hay propagaci´on. Esta situaci´on corresponde a una banda prohibida de la estructura. Dado que la l´ınea no tiene p´erdidas, la potencia no se disipa, sino que es reflejada a la entrada de la l´ınea. La ecuaci´on se reduce a: cosh αd = cos θ−b 2sin θ≥1 , ecuaci´on que s´olo tiene una soluci´on para ondas que se propagan en el sentido positivo 13 (α > 0) del eje de propagaci´on z. El caso α < 0 se aplica para ondas que viajan en el sentido negativo del eje z. De todo el an´alisis que hemos llevado a cabo podemos concluir claramente que las estructuras peri´odicas de microondas poseen bandas permitidas (o bandas de paso) para la transmisi´on de la energ´ıa y bandas prohibidas (bandas de rechazo) en las cuales no hay propagaci´on energ´etica. Las bandas de paso poseen frecuencia de corte, al igual que ocurre con los filtros de banda pasante. Es interesante observar que las ondas electromagn´eticas que se propagan a trav´es de una estructura peri´odica de microondas son similares a las ondas de Bloch que se propagan a trav´es de las estructuras peri´odicas de las redes cristalinas. Otro par´ametro interesante y ´util en el estudio de las estructuras peri´odicas es la denominada impedancia de Bloch, la cual se relaciona con la impedancia caracter´ıstica de la celda unidad a trav´es de la expresi´on ZB=Z0 Vn+1 In+1 , (2.6) donde Vn+1 eIn+1 son magnitudes normalizadas, como ya hemos explicado. De la ecuaci´on (2.3) tenemos: (A−eγd)Vn+1 +BIn+1 = 0 de modo que la ecuaci´on (2.6) queda: ZB=−BZ0 A−eγd . Si resolvemos eγd en t´erminos de AyDobtenemos la expresi´on eγd =(A+D)±p(A+D)2−4 2. que nos indica claramente que la impedancia de Bloch tiene dos soluciones dadas por la siguiente ecuaci´on: Z± B=−2BZ0 A−D∓p(A+D)2−4 14 Podemos particularizar la expresi´on anterior para celdas sim´etricas, en cuyo caso se cumple que A=D. En este caso la expresi´on que proporciona las soluciones a la impedancia de Bloch se reduce a: Z± B=±BZ0 √A2−1.(2.7) El hecho de que existan dos soluciones para la impedancia de Bloch, una positiva y otra negativa, se corresponde con el hecho de que las ondas que se propagan a trav´es de la celda unidad pueden hacerlo en dos direcciones, la positiva y negativa del eje z respectivamente. Para redes sim´etricas estos valores son iguales a excepci´on del signo (debido a que la corriente circula en sentido opuesto). De la ecuaci´on (2.2) podemos ver que Bes siempre puramente imaginaria. Si α= 0, β6= 0 (banda de paso), entonces (2.4) muestra que cosh γd =A≤1 (para redes sim´etricas), y (2.7) muestra que ZBser´a real. Si α6= 0, β= 0, entonces (2.4) muestra que cosh γd =A≥1, y de (2.7) la impedancia ZBes imaginaria. Esta situaci´on es similar para la impedancia de una gu´ıa de ondas, que es real para modos propagativos e imaginaria para modos en corte o evanescentes. 2.3. Diagramas k−β Los diagramas k−βson una representaci´on de la constante de propagaci´on, β, frente a la constante de propagaci´on de la l´ınea sin carga, k, que es proporcional a la frecuencia angular ω. Estos diagramas tambi´en se denominan diagramas de Brillouin y son muy ´utiles a la hora de estudiar las bandas de paso caracter´ısticas de una estructura peri´odica. El diagrama k−β puede ser dibujado a partir de la ecuaci´on (2.5) que es la relaci´on de dispersi´on para una estructura peri´odica general. De hecho, un diagrama k−βpuede ser usado para estudiar la dispersi´on caracter´ıstica de muchos tipos de componentes y l´ıneas de transmisi´on. Por ejemplo, consideremos una estructura peri´odica cargada peri´odicamente con una inducci´on L0como la que se muestra en la figura 2.3. Resolvamos este ejemplo con unos valores concretos y representemos el diagrama kβ. Supongamos que Z0= 100 Ω, d= 1 cm, k=k0yL0= 3 nH. En este caso, teniendo en Figura 2.3: L´ınea cargada peri´odicamente con una inductancia. cuenta que la susceptancia se calcula como: b=−Z0 ωL0 =−Z0 ck0L0 , podemos reescribir la relaci´on de dispersi´on de la siguiente manera: cos βd = cos k0d−−Z0d 2cL0 1 k0dsin k0d. Esta es la ecuaci´on que nos da el diagrama de dispersi´on buscado. La forma m´as sencilla de representar esta ecuaci´on es evaluar num´ericamente la parte derecha de la ecuaci´on para un conjunto de valores de k0dempezando en 0. Esta ecuaci´on tendr´a soluci´on real cuando la magnitud de este segundo miembro es menor que 1 (para k0d=±1, cos(βd) = ±π), lo que nos definir´a una banda de paso. En las zonas en las que el valor absoluto es mayor que 1, el cos(βd) no tiene soluci´on real y nos define una banda prohibida. Siguiendo el procedimiento descrito vamos a representar las dos primeras bandas de paso. Para valores mayores de k0d aparecen otras bandas de paso pero estas se hacen cada vez m´as estrechas. El resultado se muestra en la figura 2.4. 2.4. L´ıneas microstrip Dado que las estructuras peri´odicas que se van a estudiar en este trabajo est´an basadas en la tecnolog´ıa microstrip, vamos a dedicar unas l´ıneas a hablar de este tipo de sistema de transmisi´on. Las l´ıneas microstrip son l´ıneas de transmisi´on consistentes en una tira plana met´alica de anchura uniforme impresa sobre un sustrato diel´ectrico de peque˜no espesor (en comparaci´on con la longitud de onda de las se˜nales transmitidas) con un plano de masa met´alico continuo en su otra cara. En la Fig. 2.5 se representa una l´ınea de este tipo formada por una tira conductora de anchura W, una l´amina diel´ectrica de espesor dy permitividad 16 Figura 2.4: Diagrama k−βde una estructura cargada peri´odicamente con inductancias. relativa ry un plano de masa met´alico. Dado que en la estructura los campos el´ectricos y magn´eticos existen tanto en el aire como en el diel´ectrico, puede decirse que este tipo de l´ıneas no soporta un modo TEM puro. Sin embargo, si el espesor del diel´ectrico es mucho menor que la longitud de onda de la se˜nal de trabajo, podemos considerar que los modos son cuasi-TEM, y podemos definir tanto una velocidad de fase como una impedancia caracter´ıstica que no dependen significativamente de la frecuencia, como ocurre con los verdaderos modos TEM soportados por l´ıneas de transmisi´on estrictamente homog´eneas. Para este fin se considera un diel´ectrico homog´eneo con una permitividad el´ectrica efectiva mezcla de las del aire y del diel´ectrico. Una forma Figura 2.5: L´ınea microstrip 17 aproximada de calcularla es la siguiente: e=r+ 1 2+r−1 2 1 q1 + 12 d W , aunque hay f´ormulas m´as precisas en la literatura y procedimientos semi-num´ericos virtualmente exactos si fuera necesario acudir a ellos. Este tipo de l´ınea de transmisi´on ha sido ampliamente estudiada por su gran versatilidad y por su facilidad de producci´on y bajo coste. No obstante, en el desarrollo de este trabajo usaremos una variante de esta estructura en la que se prescinde del plano met´alico que hace las veces de tierra. En esta variante ya no se propagaran modos cuasi-TEM, sino que los modos de operaci´on son TM (transversomagn´eticos, esto es, modos que no tienen componente axial del campo magn´etico). Al no existir dos conductores entre los que propagarse, la ´unica se˜nal que puede transmitirse por esta nueva estructura debe de estar confinada en la interfase entre el metal y el diel´ectrico, es decir, deben de ser alg´un tipo de onda de superficie. Cabe mencionar tambi´en la existencia de otro tipo muy popular de l´ınea de transmi- si´on susceptible de ser fabricada con t´ecnicas de fabricaci´on de circuitos impresos, las l´ıneas coplanares. En este tipo de l´ıneas, la tira met´alica que porta la se˜nal est´a impresa en el mismo plano en el que se encuentra la masa del sistema (de ah´ı su nombre). En este tipo de l´ınea la intensidad del campo el´ectrico por encima y por debajo de la frontera entre aire y diel´ectrico es similar. En los circuitos fabricados con este tipo de sistema de transmisi´on es f´acil realziar conexiones tanto en paralelo como en serie, sin necesidad de hacer agujeros metalizados (vias), como ocurre en el caso de la l´ınea microstrip. No obstante, el hecho de que el plano de masa est´e segmentado da lugar a problemas que requieren de la introducci´on Figura 2.6: L´ınea de transmisi´on de tipo gu´ıa coplanar. 18 de elementos que aseguren la buena conexi´on el´ectrica entre distintas regiones del plano de masa. No obstante, dado que el tema principal de este TFG es el estudio de pseudoplasmones soportados por estructuras de transmisi´on planas, consideramos que el uso de gu´ıas coplanares para implementar gu´ıas plasm´onicas a frecuencias de microondas podr´ıa ser una interesante prolongaci´on de este trabajo. Esto es as´ı porque la configuraci´on del campo electromagn´etico del modo fundamental cuasi-TEM soportado por este tipo de gu´ıas es m´as parecida a la del pseudoplasm´on que a la de la l´ınea microstrip, lo cual podr´ıa facilitar la resoluci´on del problema de adaptaci´on entre los dos tipos de sistemas de guiado. 19 Cap´ıtulo 3 Estructuras bajo estudio Una vez introducidos los conceptos b´asicos que sustentan este TFG, pasamos ahora al estudio de las dos estructuras consideradas aqu´ı de forma espec´ıfica. En primer lugar, describiremos la estructura que llamaremos “convencional” en el sentido de que es, b´asicamente, la estructura descrita en [15] y que ha servido de piedra angular para realizar todo este trabajo. A continuaci´on, realizaremos una peque˜na modificaci´on de la estructura convencional para transformarla en una estructura tipo “glide” y ver as´ı como se modifica su respuesta electromagn´etica. 3.1. Microtira slow-wave con plano de masa modificado para la propagaci´on de pseudo-plasmones de superficie (SPPs) En esta secci´on describimos en detalle la estructura que ha inspirado este TFG. Como acabamos de mencionar arriba, esta estructura fue publicada por primera vez en [15] y nos referiremos a ella como estructura convencional. El layout de la estructura convencional completa se muestra en la Fig. 3.1. Podemos observar que lo que tenemos es, b´asicamente, una estructura microstrip cargada con stubs (un stub es un tramo de l´ınea de transmisi´on terminado en abierto o cortocircuito conectado en serie o paralelo con la l´ınea de transmisi´on principal) en la que se ha introducido una ranura amplia en el plano de masa. En el esquema 20 Figura 3.1: Estructura peri´odica “convencional” consistente en una tira conductora de anchura constante cargada peri´odicamente por tramos de tiras conductoras colocados perpendicularmente (stubs). mostrado las l´ıneas de alimentaci´on no han sido modificadas para poder excitar la estructura apropiadamente. El modo cuasi-TEM que se propaga al alimentar el circuito necesita de dos niveles de metalizaci´on (hay que establecer una diferencia de tensi´on) para propagarse, y es por ello que el plano de masa no puede desaparecer. Seg´un se propaga este modo, se va encontrando con una zona en la que el plano de masa va desapareciendo gradualmente y el modo cuasi-TEM se convierte, tambi´en de manera gradual, en el pseudo-plasm´on que se transmitir´a por la estructura en cierto rango de frecuencias. De esta forma transformamos un modo cuasi-TEM en un pseudo-plasm´on, el cu´al no requiere del plano de masa para propagarse. Para profundizar y entender mejor las caracter´ısticas de la propagaci´on de dicho pseudoplasm´on, tenemos que observar que la estructura mostrada en la figura 3.1 puede ser tratada como una estructura peri´odica (finita, evidentemente). Esto significa que podemos servirnos del aparato matem´atico presentado en las secciones anteriores y estudiar as´ı cuales son la bandas de frecuencia en las que la estructura presenta propagaci´on entre los puertos 1 y 2. Esto puede llevarse a cabo de dos formas: (i) podemos obtener el circuito equivalente de la celdad unidad de la estructura y a partir de ´el sacar el diagrama de dispersi´on, o (ii) podemos servirnos de herramientas de simulaci´on electromagn´etica las cuales permiten la obtenci´on de dichos diagramas directamente. Nosotros lo haremos de las dos formas. Es preciso indicar que el circuito equivalente que vamos a obtener no es ´util a fines de dise˜no, debido a que no proporciona resultados cuantitativamente v´alidos, pero s´ı sirve para proporcionar una visi´on f´ısica m´as clara del por qu´e la estructura es capaz de transmitir una se˜nal en ciertas bandas de frecuencia. Pasamos pues a describir la celda unidad y a obtener el diagrama de dispersi´on del modo de propagaci´on que nos interesa. 21 12 (a) (b) Figura 3.2: Celda unidad de la estructura convencional: (a) circuito equivalente y (b) dimensiones f´ısicas (imagen extra´ıda de [15]). 3.1.1. Celda unidad (estructura no-glide) La celda unidad de la estructura bajo estudio se muestra en la Fig. 3.2. A partir de dicha celda unidad, la estructura f´ısica completa se construye sin m´as que concatenar celdas consecutivamente. No obstante, para la obtenci´on del diagrama de dispersi´on (a nivel circuital) el comportamiento en frecuencia de la celda unidad es m´as que suficiente, como ya veremos (obviamente la estructura peri´odica presentar´ıa un n´umero infinito de celdas, pero eso es algo imposible de implementar desde un punto de vista f´ısico). En la Fig. 3.2(a) observamos unos accesos etiquetados con los n´umeros 1 y 2. Dichos accesos se implementan f´ısicamente usando tiras microstrip de 50 Ω de impedancia caracter´ıstica. Podr´ıa elegirse cualquier otro valor de impedancia, pero en general se elige este porque los equipos de medida poseen cables de alimentaci´on cuya impedancia se corresponde precisamente con ese valor. La impedancia de una tira microstrip, como ya se ha dicho en secciones anteriores, depende b´asicamente del sustrato en el que ´esta se implementa (constante diel´ectrica y espesor) y de la anchura de la tira. En nuestro caso, el sustrato usado para implementar el circuito consta de un diel´ectrico de 1,016 mm de espesor, una permitividad relativa (r) de valor 3 y una tangente de p´erdidas de 0,0022. Para la obtenci´on de la anchura de la tira, nos servimos de la herramienta linecalc incorporada en uno de los simuladores electromagn´eticos que hemos usado en este trabajo. En concreto, nos referimos al simulador Keysight ADS Momentum [27]. Aunque no la hayamos incluido en la Fig. 3.2, puesto que no es importante para obtener el diagrama de dispersi´on, resulta pertinente indicarlo aqu´ı. En 22 Figura 3.7: Diagramas de dispersi´on obtenidos mediante el circuito equivalente (trazo continuo negro) y mediante la resoluci´on del correspondiente problema de autovalores por simulaci´on electromagn´etica (estructura f´ısica) usando CST. par´ametros ABCD pueden encontrarse, por ejemplo, en [25, 29]). El diagrama de dispersi´on nos permite distinguir los rangos de frecuencia en los que hay transmisi´on de aquellas bandas de frecuencia en las que la transmisi´on no es posible. En la figura 3.7 se representan los diagramas de dispersi´on para el circuito equivalente y la estructura f´ısica real (pes el periodo de la estructura). El diagrama que se representa corresponde a un modo TM, y puede verse que su aspecto es similar al de los plasmones de superficie genuinos sobre los que se habl´o en la introducci´on de este TFG. A pesar de las diferencias cuantitativas que existen entre ambos (sobre todo a altas frecuencias), observamos que, cualitativamente, ambos se comportan de la misma forma. De hecho, el diagrama de dispersi´on del modelo de circuito predice transmisi´on hasta 12 GHz, aproximadamente, mientras que el diagrama de dispersi´on obtenido con CST predice que la estructura transmite potencia s´olo hasta unos 10 GHz. Hay que notar que los valores de los elementos del circuito equivalente han sido calculados de manera muy aproximada, por lo que estas diferencias son perfectamente explicables. Un modelo de circuito m´as sofisticado, que tuviera en cuenta el hecho de que los diferentes tramos de l´ınea impresa en realidad habr´ıa que tratarlos como elementos distribuidos, probablemente resultar´ıa en un mejor acuerdo entre los dos diagramas. 29 En cierto sentido, parece l´ogico pensar que el circuito equivalente sobrestima el ancho de banda en el que el circuito va a transmitir la se˜nal. Para estar seguros de que esto es as´ı, basta con representar los par´ametros Sde la estructura real formada por un n´umero elevado, pero finito, de celdas unidad. Si hacemos esto, el resultado obtenido nos dice que, efectivamente, el diagrama de dispersi´on obtenido a partir de CST es m´as exacto que el proporcionado por el circuito equivalente, como es de esperar. Observamos esto claramente en la Fig. 3.8. En esa figura se observa claramente que, a partir de unos 10 GHz, el nivel de transmisi´on (dado por el m´odulo del par´ametro S21, aqu´ı expresado en dB) cae significativamente. La mayor parte de la potencia incidente es reflejada porque en esa regi´on de frecuencias (por encima de 10 GHz) el SP est´a en su regi´on evanescente. S11 S21 Simetría convencional Figura 3.8: Par´ametros S (S11 yS21) simulados para la estructura convencional finita. Llegados a este punto resulta necesario comentar algo importante relacionado con la figura 3.8. Argumentan los autores de [15] que uno de los puntos fundamentales para el desarrollo de esta nueva tecnolog´ıa es conseguir adaptar las l´ıneas peri´odicas que soportan el pseudoplasm´on a las l´ıneas convencionales (es decir, con plano de masa, y que soportan un modo cuasi-TEM). En la Fig. 3.8 puede observarse que en la banda de transmisi´on (por debajo de unos 10 GHz) la adaptaci´on es muy pobre para prop´ositos pr´acticos. S´olo es medianamente aceptable en el intervalo que va de 6 a 9 GHz, en el cual el par´ametro S11 es mejor que - 8 dB. Seg´un explican los autores del art´ıculo en que se basa este TFG, en 30 Figura 3.9: Transici´on microstrip-estructura ranurada para conseguir el mayor nivel de adaptaci´on posible (imagen extra´ıda de [15]). el momento de publicaci´on del mismo no se conoc´ıa una forma eficiente de conectar ambas l´ıneas de transmisi´on. Para conseguirlo, los autores desarrollan un procedimiento que acopla los modos cuasi-TEM de las l´ıneas microstrip con los modos TM de las l´ıneas de SPPs. Este acoplamiento se hace de forma gradual y consta de dos pasos. El primer paso consiste en alterar ligeramente las dimensiones de las primeras celdas unidad, de tal modo que variamos las cargas de la l´ınea a fin de: (i) ayudar a la transformaci´on de la polarizaci´on de la onda electromagn´etica; (ii) este cambio compensa el efecto de quitar la tierra, proceso que se lleva a cabo en el segundo paso. Lo siguiente ser´a quitar de forma gradual el plano de tierra. En su art´ıculo, la forma en que se va eliminado se ajusta a una funci´on del tipo: y=A(exp(r|x|)−1) donde ryAson dos par´ametros ajustables (Ano tiene nada que ver con el par´ametro que hemos usado antes para calcular el diagrama de dispersi´on del circuito equivalente y que estaba relacionado con la matriz ABCD). El ´ultimo paso consiste en ir cambiando todos estos par´ametros de modo que los modos cuasi-TEM se acoplen con los modos TM tanto en momento como en polarizaci´on, todo sin alterar los 50 Ω de impedancia y bajas p´erdidas de retorno (ver figura 3.9). 31 Este paso de adaptaci´on escapa a los objetivos de este trabajo, pues no es algo sencillo. Hay que tener en cuenta que el modo que origina la propagaci´on del SPP es fuertemente dispersivo, cambiando no s´olo el n´umero de ondas de forma no lineal, sino tambi´en la impedancia caracter´ıstica asociada. Esto hace que el proceso de adaptaci´on sea complicado y queda fuera de los objetivos del trabajo. Pensamos que este problema se puede aliviar usando como l´ınea cuasi-TEM una gu´ıa coplanar (Fig. 2.6), en lugar de una l´ınea microstrip, pero la investigaci´on de esta posibilidad requiere de un tiempo adicional de trabajo que puede dar lugar a un nuevo TFG. En una gu´ıa de onda coplanar, los campos est´an siempre confinados en el plano superior de la estructura por lo que quiz´as sea posible encontrar una transici´on apropiada para poder adaptar el cambio progresivo entre los campos de un modo cuasi-TEM a un modo TM. A´un as´ı, la adaptaci´on a bajas frecuencias de la se˜nal puede resultar en un problema irresoluble. Debe hacerse notar, en relaci´on con este comentario, que en el trabajo original los autores, a pesar de sus esfuerzos, consiguen adaptar la estructura en un rango de frecuencias muy limitado (5-8 GHz). 3.2. Estructura con simetr´ıa glide Nos proponemos ahora realizar una modificaci´on sobre la estructura convencional para estudiar qu´e efecto tiene sobre la respuesta electromagn´etica. En concreto, vamos a aplicarle una operaci´on de simetr´ıa conocida como simetr´ıa de deslizamiento oglide symmetry (ya hablamos de ella en la introducci´on). Esta operaci´on de simetr´ıa [16, 17] consiste en la actuaci´on combinada de dos movimientos, un desplazamiento axial igual a un semiperiodo (p/2) seguido de una reflexi´on con respecto a un plano de simetr´ıa longitudinal. Algunos ejemplos de simetr´ıa de este tipo (incluyendo uno que aparece en la naturaleza) se muestran en la Fig. 3.10. Desde la publicaci´on de [16, 17], multitud de investigadores han probado a usar la simetr´ıa glide con la idea de explorar nuevas t´ecnicas para controlar la respuesta electromagn´etica de diversos dispositivos de microondas y antenas. No obstante, no ha sido hasta esta ´ultima d´ecada cuando ha sido posible dise˜nar e implementar (gracias, en parte, a la proliferaci´on de herramientas de simulaci´on electromagn´etica) circuitos de microondas cuya respuesta 32 Figura 3.10: Ejemplos de secuencias peri´odicas con simetr´ıa de deslizamiento. (a) Huellas al caminar. (b) Simetr´ıa glide en hojas sobre una rama. viene controlada por la naturaleza “glide” de las estructuras. En concreto, se ha descubierto que poseen algunas propiedades ´utiles para el desarrollo de tecnolog´ıas como las gu´ıas de ondas con aberturas (gap-waveguides en ingl´es) y antenas con un gran ancho de banda (ultra wideband antennas). Adem´as, han demostrado un gran potencial a la hora de miniaturizar circuitos y han abierto las puertas al estudio y aplicaci´on de otro tipo de simetr´ıas, como la simetr´ıa twist, al campo de las microondas. Para ilustrar la forma en la que aplicamos la simetr´ıa glide a nuestra estructura, fij´emonos en la Fig. 3.11. Si comparamos la estructura en la Fig. 3.11 con la estructura convencional, se notar´a inmediatamente como en la estructura nueva hay stubs invertidos y deslizados medio periodo. En esencia, el tama˜no f´ısico del circuito es el mismo (su longitud f´ısica no ha variado), pero como veremos su respuesta electromagn´etica s´ı que ser´a diferente. Debemos notar que con este cambio hemos cambiado la longitud del periodo de la estructura peri´odica adem´as de la celda unidad. Las dimensiones recogidas en la figura 3.2 ser´an las mismas que en este caso, sin embargo, aunque este cambio mantiene las dimensiones s´ı altera la estructura de la celda unidad, de modo que ahora la longitud del periodo d0, ser´a mayor que la que ten´ıamos en la estructura base. La nueva celda unidad se representa en la figura 3.12, y notamos adem´as, que Figura 3.11: Estructura con simetr´ıa glide. 33 Figura 3.12: Celda unidad de la estructura con simetr´ıa glide. d0= 2d= 10 mm Antes de realizar las correspondientes simulaciones para obtener resultados, podemos anticipar que habr´a un cambio en la frecuencia de corte dado que como ya hemos mencionado, ´esta depend´ıa de la longitud del periodo (aunque no solo de este par´ametro). De hecho, lo que estamos haciendo es cambiar las cargas capacitivas e inductivas de la l´ınea principal. De nuevo podemos obtener un circuito equivalente para calcular y dibujar su diagrama de dispersi´on y que nos permita predecir, grosso modo, la frecuencia m´axima de operaci´on del circuito. Evidentemente, al igual que hicimos con la estructura convencional, el diagrama de dispersi´on obtenido con el modelo de circuito lo compararemos con el electromagn´etico. Dado que ´unicamente hemos cambiado la posici´on de uno de los stubs, pero el resto de dimensiones se han respetado, los valores de los par´ametros concentrados ser´an los mismos que los calculados para el circuito convencional salvo por un peque˜no detalle: la capacidad C1en este caso ser´a nula, puesto que ya los stubs, al no estar directamente enfrentados, no se acoplan significativamente. Esa ser´a la ´unica modificaci´on que habr´a que realizar al circuito de la Fig. 3.3. Dado que ya hemos comprobado que el diagrama de dispersi´on obtenido de la simulaci´on electromagn´etica es m´as exacto que el circuital, hemos obviado este ´ultimo y en la figura 3.13 representamos el diagrama de dispersi´on electromagn´etico para la estructura glide (el diagrama de dispersi´on circuital lo usamos simplemente para ilustrar que el modelado de la 34 estructura como un circuito de par´ametros concentrados tiene sentido f´ısico). Se comprueba claramente que dicho diagrama es similar al que se observa en la figura 1.1 (c), por lo que para la estructura glide la propagaci´on de energ´ıa ha de asociarse de nuevo a la excitaci´on y propagaci´on de SPPs. Podemos observar una diferencia crucial entre los diagramas de dispersi´on electromagn´etico para la estructura convencional y la glide: la frecuencia de corte (en nuestro caso, la frecuencia a partir de la cual no se transmite potencia) es considerablemente m´as baja para la estructura tipo glide. Dado que, como ya hab´ıamos comentado anteriormente, la estructura microstrip ranurada se comporta como un filtro paso bajo, el hecho de introducir distintas simetr´ıas permite modificar la frecuencia de corte del filtro sin necesidad de a˜nadir elementos adicionales al mismo. De nuevo, resulta interesante mostrar la respuesta de los par´ametros Sde la estructura glide para ver si la frecuencia de corte efectivamente se ajusta a la que predice el diagrama de dispersi´on. Dicha respuesta se muestra en la Fig. 3.14. Se observa claramente como la frecuencia de corte se ajusta efectivamente a la predicha por el diagrama de dispersi´on obtenido con CST, y no se queda muy lejos de la predicha por el diagrama de dispersi´on obtenido a partir del circuito. Este efecto de la reducci´on de la frecuencia de corte al introducir una simetr´ıa resulta bastante interesante, tanto desde un punto de vista f´ısico como de aplicaci´on en ingenier´ıa, en t´erminos de flexibilidad de dise˜no (permite cambiar la frecuencia de corte muy f´acilmente sin necesidad de rehacer ning´un c´alculo). Figura 3.13: Diagramas de dispersi´on para el circuito equivalente y la estructura f´ısica real. 35 S11 S21 fc Figura 3.14: Par´ametros Sde la estructura con simetr´ıa glide y n´umero de celdas finito. Para entender mejor las diferencias entre las dos estructuras estudiadas en este trabajo fin de grado, en la siguiente secci´on ofrecemos una comparativa m´as detallada de ambas. 3.3. Comparativa entre estructuras convencional y glide En esta secci´on presentamos una comparativa de las dos estructuras dise˜nadas en este trabajo. En primer lugar, en la 3.15 mostramos los par´ametros Sen transmisi´on de ambas topolog´ıas. Atendiendo a esta figura, podemos destacar los siguientes puntos: En t´erminos de selectividad, la estructura glide presenta una respuesta mucho m´as selectiva que la estructura convencional. No hay m´as que fijarse en la abrupta pendiente que hay en torno a la frecuencia de corte. Esto significa que la estructura tipo glide permite, si se desea, dise˜nar respuestas tipo filtro paso bajo donde la zonas de transmisi´on y rechazo est´an muy bien diferenciadas. En t´erminos de nivel de transmisi´on, vemos que ambas estructuras presentan niveles similares por debajo de sus respectivas frecuencias de corte. En ese sentido, como ya se mencion´o anteriormente, habr´ıa que buscar estrategias para reducir el nivel de rizado en la banda de inter´es y poder transmitir de manera efectiva m´as potencia (mejorar 36 Figura 3.15: Comparativa de los par´ametros Sen transmisi´on de las estructuras estudiadas en este trabajo fin de grado. la adaptaci´on). Esto es un problema complicado que escapa a los objetivos de este trabajo fin de grado. En lo que respecta a la zona de rechazo, es decir, la regi´on de altas frecuencias, se observa claramente como la estructura glide presenta un nivel de rechazo mucho mayor que la estructura convencional. De hecho, en la respuesta de la estructura glide aparecen varios ceros de transmisi´on que no se observan en la estructura convencional. En toda la banda considerada, el rechazo mostrado por la estructura glide es siempre mucho mayor que el de la estructura convencional. Esto, en t´erminos de dise˜no de filtros paso bajo, implica que la estructura glide permite el dise˜no de filtros paso bajo de mejores prestaciones que la estructura convencional en t´erminos de rechazo fuera de banda. Para explicar el motivo de las diferencias existentes entre ambas estructuras, debemos acudir a dos argumentos principales: (i) como ya se ha visto, el circuito equivalente es distinto para las dos estructuras, lo que implica que su respuesta en frecuencia tambi´en lo es y (ii), la configuraci´on de los campos electromagn´eticos (su confinamiento en el metal de la cara superior de la estructura) es distinta en ambos casos. Para ilustrar esto, en la Fig. 3.16 mostramos la configuraci´on de corrientes el´ectricas para las configuraciones convencional y 37 Figura 3.16: Configuraci´on de corrientes para (a) la estructura original y (c) estructura tipo glide. En (b) se muestra un zoom de la regi´on sombreada en (a) mientras que en (d) se muestra un zoom de la regi´on sombreada en (b). glide (se han obtenido mediante [27]). La escala que aparece en la figura se corresponde con el nivel del campo magn´etico asociado a dichas corrientes (a mayor nivel de corrientes, mayor nivel de campo magn´etico, como es l´ogico) y la proporciona el simulador de manera autom´atica, aunque podemos variarla a nuestro antojo para visualizar mejor las regiones de mayor intensidad de corriente (o campo magn´etico). Si observamos atentamente dicho patr´on de corrientes observaremos que en un caso y en otro son muy distintos: para el caso convencional la estructura presenta m´aximos concentrados en los stubs (hay acoplo entre ellos), mientras que la estructura tipo glide apenas presenta m´aximos de corriente en los stubs, lo que indica que al no estar en la misma direcci´on vertical el acoplo entre ellos es d´ebil. No obstante, se observa algo de corriente en la zona sombreada para la estructura tipo glide (3.16(d)), lo que indica que quiz´as se podr´ıa refinar el circuito equivalente para esta estructura introduciendo un poco de acoplo, probablemente de car´acter inductivo. El modelado de los acoplos no es nada sencillo y en general implica una gran cantidad de dificultades que escapan a los objetivos de este trabajo. Nos quedamos, por tanto, con el hecho de que el comportamiento de las corrientes y, por consiguiente, de los campos electromagn´eticos, es distinto para ambos casos y eso es lo que 38 [19] M. Ebrahimpouri, O. Quevedo-Teruel, E. Rajo-Iglesias, “Design guidelines for gap waveguide technology based on glide-symmetric holey structures,” IEEE Microw. Wireless Comp. Lett., vol. 27, no. 6, pp. 542-544, Jun. 2017. [20] M. Camacho, R. C. Mitchell-Thomas, A. P. Hibbins, J. R. Sambles, O. 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