Grupos hiperbólicos

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE ´ ALGEBRA Grupos hiperb´olicos UNIVERSIDAD DE SEVILLA Pablo Regalado Garc´ıa Curso 2022-2023 Doble Grado en F´ısica y Matem´aticas Tutorizado por Juan Gonz´alez-Meneses L´opez Resumen. Los grupos hiperb´olicos son una clase de grupos que poseen propiedades similares a las de los espacios hiperb´olicos habituales de la geometr´ıa. De esta caracter´ıstica geom´etrica se pueden derivar varios resultados relevantes para el tratamiento computacional de los grupos. En concreto, este trabajo se centrar´a en el problema de la palabra, que consiste en saber si un elemento de un grupo, expresado como producto de sus generadores e inversos, es equivalente al elemento neutro o no. Abstract. Hyperbolic groups are groups that have characteristics that resemble classical hyperbolic spaces. From this geometric attributes some relevant results can be derived, regarding computation with groups. Specifically, this study will present the word problem, which consists of deducing when an element in a group, expressed as a product of its generators and inverses, is equivalent to the identity. 1 ´ Indice general 1. Presentaci´on de un grupo. Grafo de Cayley. 5 1.1. Generadores de un grupo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Grupo libre. Presentaci´on de un grupo. . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. GrafosdeCayley.......................... 11 1.4. El problema de la palabra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Grupos y espacios m´etricos. Cuasi-isometr´ıas. 16 2.1. M´etrica de la palabra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Distancia en un grafo de Cayley. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Cuasi-isometr´ıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Espacios hiperb´olicos. Grupos hiperb´olicos. 23 3.1. Espacios hiperb´olicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Grupos hiperb´olicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4. El problema de la palabra en grupos hiperb´olicos. 33 4.1. Desigualdad isoperim´etrica. ´ Area de una palabra. . . . . . . . 33 4.2. El problema de la palabra en grupos hiperb´olicos. . . . . . . . 40 2 Introducci´on. La teor´ıa geom´etrica de grupos tiene su origen a principios del siglo XX y tiene por objetivo lograr un mayor entendimiento de estas estructuras, mediante el estudio de las propiedades geom´etricas y topol´ogicas de ciertos espacios sobre los que act´uan. Un primer ejemplo de esto aparece en el grafo de Cayley de un grupo para un determinado conjunto generador: las propiedades algebraicas del grupo se trasladan a propiedades geom´etricas del grafo y viceversa. Con este fin, muchas veces el estudio se restringe a grupos finitamente generados, que dan lugar a grafos localmente finitos. M´as a´un, en muchas ocasiones se trabaja con grupos finitamente presentados. Estos grupos aparecen en numerosos ´ambitos, como en los grupos fundamentales de las superficies compactas. Una de las principales ventajas que surgen de utilizar grupos finitamente generados es que la elecci´on de unos generadores concretos del grupo no repercute en sus propiedades geom´etricas siempre que estas propiedades sean invariantes por cuasi-isometr´ıas, un tipo particular de aplicaciones entre espacios m´etricos. Algunos ejemplos de dichos invariantes son la tasa de crecimiento de un grupo o la hiperbolicidad, que son invariantes por cuasi-isometr´ıa (y por tanto no dependen de los generadores escogidos). A finales del siglo XX la teor´ıa geom´etrica de grupos comienza a desarrollarse notablemente. Este crecimiento est´a ampliamente influenciado por los trabajos de Gromov, quien en 1987 introdujo la noci´on de grupo hiperb´olico. Los grupos hiperb´olicos son aquellos en los que en el grafo de Cayley asociado se encuentran propiedades similares a los espacios hiperb´olicos habituales de la geometr´ıa, como es la propiedad de los tri´angulos finos: todo tri´angulo geod´esico tiene un centro, que est´a a distancia uniformemente acotada de todos sus lados. Este trabajo est´a enfocado en el estudio de los grupos hiperb´olicos como primer contacto con la teor´ıa geom´etrica de grupos, pues es uno de sus 3 principales objetos de estudio. Comenzamos definiendo los conceptos ya mencionados, b´asicos en esta rama de conocimiento, como son los grupos libres y los grupos finitamente presentados, as´ı como los grafos de Cayley. Para estudiar la hiperbolicidad de un grupo debemos partir de una m´etrica en su grafo de Cayley, donde buscar la hiperbolicidad introduciendo el concepto de geod´esica. Una vez establecido el puente entre el ´algebra y la geometr´ıa, se pone de manifiesto la relevancia de la teor´ıa geom´etrica de grupos. El problema que se pretende abordar con este enfoque es el llamado problema de la palabra: dado un grupo y un conjunto generador, no es f´acil saber cu´ando un elemento expresado como producto de generadores y sus inversos (una palabra) es el elemento neutro del grupo. En general, este es un problema indecidible, que puede ser irresoluble incluso para grupos finitamente presentados, los cuales, a priori, parecen los m´as “sencillos”. En el primer y segundo cap´ıtulo de este trabajo se presentaran los conceptos b´asicos de la teor´ıa geom´etrica de grupos, para definir en el tercer cap´ıtulo qu´e son los grupos hiperb´olicos y estudiar algunas de sus propiedades. En el ´ultimo cap´ıtulo se concluye el trabajo resolviendo el problema de la palabra. A lo largo del trabajo se ver´a c´omo el car´acter hiperb´olico de los grupos es ´util para demostrar presentabilidad finita y una desigualdad isoperim´etrica lineal, relacionando la interpretaci´on geom´etrica con la combinatoria. Estos resultados, entre otros, permitir´an dar una respuesta a la resolubilidad del problema de la palabra en estos grupos. 4 Cap´ıtulo 1 Presentaci´on de un grupo. Grafo de Cayley. Este primer cap´ıtulo tiene por objetivo introducir los principales elementos de la teor´ıa geom´etrica de grupos, siguiendo una estructura para presentar el tema basada en [2], de donde se extraen varios contenidos, complementados con definiciones y ejemplos a˜nadidos, as´ı como algunos comentarios al final sobre el problema de la palabra. 1.1. Generadores de un grupo. Comenzamos el trabajo presentando varios conceptos fundamentales en teor´ıa de grupos. Definici´on 1.1 Un grupo es un par (G,·), donde Ges un conjunto, y ·:G×G−→ Guna operaci´on binaria en G, denominada producto, con las siguientes propiedades: Existencia de elemento neutro: ∃1∈Gtal que ∀g∈G, 1·g=g·1 = g. Asociatividad: ∀f, g, h ∈G, (f·g)·h=f·(g·h). Existencia de elemento inverso: ∀g∈G, ∃g−1∈Gtal que g·g−1= g−1·g= 1. 5 En adelante, se suprimir´a el s´ımbolo del producto en el grupo, indicando el mismo mediante yuxtaposici´on de elementos. Con esta noci´on de grupo, podemos hablar de sus subestructuras: los subgrupos. Se dice que H⊂Ges un subgrupo de Gsi es un grupo con el producto definido en G. Tambi´en se pueden definir homomorfismos de grupos, que son aplicaciones que respetan el producto. En particular, si un homomorfismo es biyectivo se dice isomorfismo, y dos grupos isomorfos son esencialmente id´enticos. Para cualquier subconjunto S⊂G, se define ⟨S⟩como el menor subgrupo que contiene a S; es el conjunto formado por todos los productos posibles en Gde los elementos de Sy sus inversos: ⟨S⟩={sε1 1· · · sεn n|n∈N, s1, . . . , sn∈S, ε1, . . . , εn∈ {−1,+1}} Este subgrupo es el que permite introducir el concepto de generadores de un grupo. Definici´on 1.2 Un subconjunto S⊂Gse dice que es un conjunto generador de Gsi ⟨S⟩=G. Un grupo se dice que est´a finitamente generado si admite un conjunto generador finito. Ejemplos: 1. Zes un grupo con la suma. Adem´as, es finitamente generado, pues Z=⟨1⟩. 2. El conjunto de permutaciones de nelementos, Sn, es un grupo con la composici´on. El conjunto {(1k)|1≤k≤n}genera el grupo, ya que toda permutaci´on puede descomponerse en producto de trasposiciones, y cada trasposici´on (ij) puede expresarse como (1i)(1j)(1i). No obstante, estos generadores no son ´unicos: tambi´en genera Snel conjunto {(12),(12 . . . n)}. 3. Rtambi´en forma un grupo con la suma. Sin embargo, no es finitamente generado. Sea S⊂Run subconjunto finito, y sea An= {±s1± · · · ± sn|s1, . . . , sn∈S}. Entonces ⟨S⟩= ∞ [ n=0 An=R, ya que ⟨S⟩es un conjunto numerable y Rno. 6 La idea de trabajar con un conjunto de generadores es ´util para expresar cualquier grupo mediante una presentaci´on (generadores y relaciones entre ellos), con el objetivo de dotar a estas estructuras de una m´etrica, como se ver´a m´as adelante. Para ello, en primer lugar, debemos ver qu´e es una presentaci´on de un grupo. 1.2. Grupo libre. Presentaci´on de un grupo. En esta secci´on se definir´a el concepto de presentaci´on, que est´a ´ıntimamente relacionado con el de grupo libre. Estos grupos se entienden intuitivamente como aquellos en los que las ´unicas relaciones entre un determinado conjunto de generadores que dan lugar al elemento neutro son las que provienen del producto por inverso. Vamos, en primer lugar, a introducir estos grupos, a partir de la siguiente propiedad universal. Definici´on 1.3 Sean Fun grupo y X⊂Fun conjunto de generadores. Se dice que Fest´a libremente generado por Xsi para cualquier grupo Gy cualquier aplicaci´on ϕ:X−→ Gexiste un ´unico homomorfismo de grupos ϕ:F−→ Gque extiende ϕ. Proposici´on 1.2.1 Sea X⊂FyX′⊂F′dos conjuntos de generadores de dos grupos, que adem´as los generan libremente. Si el cardinal de XyX′es el mismo (es decir, existe θaplicaci´on biyectiva de XaX′), entonces F∼ =F′ Demostraci´on: Sean iX:X−→ FeiX′:X′−→ F′las inclusiones. Sea ahora ϕ=iX′◦θ:X−→ F′. Como Xgenera libremente a F, existe un ´unico homomorfismo ϕ:F−→ F′que extiende ϕ, es decir, tal que ϕ◦iX=iX′◦θ. An´alogamente, podemos considerar φ=iX◦θ−1:X′−→ F, que se extiende de manera ´unica a una aplicaci´on φ:F′−→ F, con φ◦iX′=iX◦θ−1. Entonces, φ◦ϕ◦iX=φ◦iX′◦θ=iX◦θ−1◦θ=iX, de modo que φ◦ϕy la identidad idFson dos homomorfismos de Fen Fque extienden iX, as´ı que son iguales por unicidad. Aplicando un razonamiento similar se obtiene que ϕ◦φes igual a idF′. Por consiguiente, ϕyφson isomorfismos. XiX// θ  F ϕ  X′iX′// θ−1 OO F′ φ OOX′iX′//F′ X θ OO ϕ◦iX == 7 □ Ya podemos definir el concepto de grupo libre: Definici´on 1.4 Un grupo libre es un grupo libremente generado. En particular, el grupo libre de rango n, denotado por Fn, es el grupo libremente generado por un conjunto de nelementos (salvo isomorfismo). La proposici´on 1.2.1 es de hecho una equivalencia para estos grupos: Fn∼ = Fmsi y solo si n=m[2]. De la definici´on de grupo libre surge un problema: podr´ıamos estar definiendo algo que en principio no exista. Dado un conjunto X, ¿existe siempre un grupo libremente generado por ´el? La respuesta es que s´ı. Vamos a describir c´omo es este grupo, sin demostraci´on (la comprobaci´on de que es un grupo libre puede encontrarse en [7]). Consideremos el conjunto Xy consideremos un conjunto X={x|x∈X}, disjunto con X. Sea A=X⊔X, al que llamaremos alfabeto. Definici´on 1.5 Una palabra en el alfabeto Aes una aplicaci´on w:{1, . . . , n} −→ A, con n∈N, donde se denota por ai∈Aa la imagen w(i), 1 ≤i≤n. En este caso decimos que la palabra tiene longitud n. La palabra vac´ıa es una palabra de longitud cero (dada por la aplicaci´on vac´ıa). El conjunto de palabras en Ase denota por W(A). Una palabra wen Apuede verse como una cadena (posiblemente vac´ıa) de “letras” (elementos) del alfabeto yuxtapuestas, w=a1a2· · · an. Adem´as, dos palabras pueden componerse tambi´en mediante la concatenaci´on de las letras de ambas (w,w′∈W(A)⇒ww′∈W(A)). Esto dota a W(A) de estructura de monoide. Definici´on 1.6 1. Se dice que una palabra w∈W(A) es reducible si existen w1, w2∈W(A),y existe x∈Xtal que w=w1xxw2o bien w=w1xxw2. Se dice que una palabra es reducida si no es reducible. 2. Dada una palabra reducible w∈W(A), se dice que w′es una reducci´on de wsi se obtiene eliminando una subpalabra de la forma xx o bien xx, para alg´un x∈X 8 El grafo de Cayley de un grupo es el primer concepto necesario para describir los grupos hiperb´olicos: ya tenemos una forma de representar geom´etricamente los grupos. A partir de aqu´ı, podemos definir una m´etrica sobre el grafo y conseguir un espacio geod´esico en el cual buscar la propiedad de hiperbolicidad, como se ver´a m´as adelante. 1.4. El problema de la palabra. Para concluir el cap´ıtulo, vamos a presentar el problema de la palabra en un grupo G, con un conjunto fijado de generadores X(en particular, en el caso de grupos finitamente generados). Decimos que Gcon el conjunto generador Xtiene problema de la palabra resoluble si existe un algoritmo que determine, dada una palabra en los generadores y sus inversos, si esta representa o no al elemento neutro. La necesidad de encontrar una respuesta al problema es clave para trabajar computacionalmente con grupos. Dehn demostr´o en torno a 1920 que se puede resolver este problema para los grupos fundamentales de superficies. La pregunta, adem´as, no depende de los generadores elegidos, ya que si podemos escribir unos generadores en funci´on de otros, resolver el problema de la palabra para un conjunto generador es equivalente a resolverlo para todos. Un algoritmo que resuelva el problema de la palabra puede ser m´as o menos dif´ıcil de encontrar en funci´on del grupo con el que trabajemos. Por ejemplo, para un grupo libre de rango ncon generadores {x1, ..., xn}la respuesta es muy sencilla: solo hay que comprobar si la palabra puede reducirse a la palabra vac´ıa mediante eliminaci´on del producto de generadores por sus inversos. Sin embargo, se sabe que existen grupos con problema de la palabra irresoluble, incluso grupos finitamente presentados. Novikov encontr´o un ejemplo de grupo finitamente presentado con problema de la palabra irresoluble [8]. Podemos preguntarnos entonces qu´e grupos s´ı tienen problema de la palabra resoluble y cu´ales no. Una primera respuesta surge a ra´ız del grafo de Cayley: si conocemos el grafo de Cayley de un grupo, podemos saber cu´ando una palabra (un camino) representa el elemento neutro (el camino es cerrado). De hecho, el problema de la palabra puede verse como un problema geom´etrico: poder resolverlo equivale a poder construir localmente el grafo de Cayley para un grupo (puede consultarse en [9] o en [10]). 15 Cap´ıtulo 2 Grupos y espacios m´etricos. Cuasi-isometr´ıas. En el cap´ıtulo anterior se han presentado los grafos de Cayley con el objetivo de encontrar una m´etrica en ciertos grupos. En este cap´ıtulo se construiran los espacios m´etricos asociados a cada grupo y se expondr´an los conceptos necesarios (fundamentalmente geom´etricos) para establecer un puente entre el ´ Algebra y la Geometr´ıa. La fuente principal de donde se extraen los contenidos de este cap´ıtulo es [6], junto con algunas definiciones de [2]. 2.1. M´etrica de la palabra. Dado un grupo finitamente presentado G∼ =⟨X|R⟩, podemos definir una m´etrica en G. Se define la longitud de un elemento g∈Gcomo la menor de las longitudes de todas las palabras que lo representan. Podemos entonces definir una distancia en G,dX, tal que dX(g, h) sea la longitud de g−1h. Esta funci´on dX:G−→ Rse denomina m´etrica de la palabra. Efectivamente, dXes una m´etrica: 1. dX(g, g) = 0, ya que es la longitud del elemento neutro, representado por la palabra vac´ıa, ∀g∈G. 2. dX(g, h) = dX(h, g), puesto que un elemento y su inverso vienen repre- 16 sentados por palabras de la misma longitud, ∀g, h ∈G. 3. Dados g, h, k ∈G, vamos a ver que dX(g, k)≤dX(g, h) + dX(h, k). Sea g−1h= [x1· · · xn] y h−1k= [y1· · · ym], donde dX(g, h) = ny dX(h, k) = m. Entonces g−1k=g−1hh−1k= [x1· · · xny1· · · ym]. Como la distancia es el m´ınimo de las longitudes de las palabras que representan al elemento, se tiene la desigualdad. Esta distancia, en principio, presenta algunos inconvenientes. El primer problema que presenta es que es una distancia discreta, toma valores en N. Esto impide trabajar con tri´angulos geod´esicos, pues una m´etrica que solo toma valores en los n´umeros naturales no puede dar lugar a un espacio geod´esico. Otro problema es la elecci´on del sistema generador. Si tomamos dos sistemas generadores distintos, la m´etrica var´ıa. Por ejemplo podemos aumentar o disminuir el n´umero de generadores (y por tanto disminuir la distancia entre algunos pares de elementos). Es m´as, incluso con subconjuntos generadores del mismo cardinal, tener unos generadores u otros puede hacer variar la distancia (por ejemplo, considerando dX(1, x), que es igual a la unidad cuando xes un generador o su inverso). Para buscar una analog´ıa con un espacio m´etrico hiperb´olico necesitamos solventar ambos contratiempos. Este ser´a el objetivo del cap´ıtulo. 2.2. Distancia en un grafo de Cayley. Gracias a la distancia definida para un grupo finitamente presentado, ahora tenemos dos maneras de ver estos grupos geom´etricamente: como espacio m´etrico y como grafo. Podemos preguntarnos entonces si hay alguna relaci´on entre ambos. La respuesta es que s´ı: es posible tratar el grafo como un espacio m´etrico, con una m´etrica lo suficientemente “parecida” (en un sentido que se definir´a en la pr´oxima secci´on). Para comenzar, observamos que dos elementos distintos g, h ∈Gson v´ertices adyacentes en K(G, X) si el producto g−1hes un generador (o su inverso). Equivalentemente, esto es decir que dX(g, h) = 1: dos v´ertices adyacentes en el grafo de Cayley de un grupo se encuentran a distancia uno. ¿C´omo podemos definir entonces la distancia entre puntos interiores de las 17 aristas? La respuesta consiste en identificar isom´etricamente cada arista con el intervalo unidad. De este modo, la distancia dXse extiende a una distancia den el grafo de Cayley correspondiente, que ahora toma valores en R≥0. Otra ventaja de extender la m´etrica al grafo de Cayley es la posibilidad de trabajar con espacios geod´esicos, como se ver´a a continuaci´on. Definici´on 2.1 Sea (X, d) un espacio m´etrico y sea [a, b]⊂Run intervalo. Dado un camino γ: [a, b]−→ X, se define su longitud como: l(γ) = sup{ n X i=0 d(γ(ti), γ(ti−1)) |a=t0< t1<· · · < tn=b} Definici´on 2.2 Una geod´esica es un camino γ:I−→ Xtal que para cualquier par de valores s, t ∈I, d(γ(s), γ(t)) = |t−s|. Definici´on 2.3 Un espacio m´etrico (X, d) se dice geod´esico si dos puntos cualesquiera est´an conectados por una geod´esica. Una propiedad de especial inter´es en espacios geod´esicos es que dados dos puntos x, y ∈X, un camino de longitud m´ınima que los una (identificando el camino con su imagen) coincide con la imagen de una geod´esica, como se puede deducir f´acilmente de las definiciones anteriores, ya que su longitud es siempre d(x, y). El espacio (K(G, X), d) es siempre un espacio geod´esico, independientemente del grupo y del sistema generador elegido, ya que todo par de puntos se pueden conectar por un camino de longitud m´ınima y es f´acil comprobar que este es una geod´esica. Sin embargo, el espacio (G, X) no es en ning´un caso geod´esico (no existen geod´esicas por la naturaleza de su distancia). Otro ejemplo de espacio no geod´esico es R2\ {(0,0)}, con la m´etrica heredada de R2. Se puede comprobar que no existen geod´esicas que conecten los puntos (−1,0) y (1,0). As´ı queda resuelto el primer contratiempo planteado. Pero el problema de elecci´on de un sistema generador sigue estando presente, ahora con m´as raz´on, ya que los grafos de Cayley est´an definidos en funci´on del conjunto generador. 18 2.3. Cuasi-isometr´ıas. Falta por ver que las distintas distancias definidas en Gy en K(G, X) son razonablemente parecidas. Evidentemente todas dan lugar a espacios m´etricos con distintas propiedades, pero si nos “alejamos” lo suficiente de nuestro espacio, estos acaban “pareciendo” iguales: nos olvidamos de los detalles del espacio para quedarnos ´unicamente con una visi´on global de los mismos. Este es el concepto de cuasi-isometr´ıa. Definici´on 2.4 Sean (X, d) y (X′, d′) dos espacios m´etricos. Una aplicaci´on entre ellos f:X−→ X′se dice que es una (λ, k)-cuasi-isometr´ıa, con λ, k ∈ R≥0yλ > 0, si ∀x, y ∈Xse verifica que: 1 λd(x, y)−k≤d(f(x), f(y)) ≤λd(x, y) + k Con esta definici´on, una cuasi-isometr´ıa es una aplicaci´on que respeta las distancias de manera acotada: si tomamos dos puntos “pr´oximos” en el espacio de partida, sus im´agenes estar´an separadas una distancia relativamente “pr´oxima” (acotada af´ınmente), mientras que puntos “lejanos” van a parar a puntos “lejanos” en el espacio de llegada. En particular, las isometr´ıas son (1,0)-cuasi-isometr´ıas. En general, una cuasi-isometr´ıa no tiene por qu´e ser inyectiva, ni sobreyectiva, ni continua. Definici´on 2.5 Un espacio m´etrico (X, d) se dice que es cuasi-isom´etrico a otro espacio (X′, d′) si existen λ, k y una aplicaci´on f:X−→ X′tales que fes una (λ, k)-cuasi-isometr´ıa y todo punto de X′est´a a una distancia uniformemente acotada de la imagen de f. En ese caso, se denota (X, d)∼ (X′, d′), o simplemente X∼X′si no es necesario especificar la distancia en cada espacio. En realidad, podemos hablar de dos espacios cuasi-isom´etricos, sin hacer referencia a cu´al constituye el dominio de la cuasi-isometr´ıa gracias a la siguiente porposici´on: Proposici´on 2.3.1 Ser cuasi-isom´etrico es una relaci´on de equivalencia. Demostraci´on: La relaci´on es reflexiva porque la identidad es una isometr´ıa (y por tanto una (1,0)-cuasi-isometr´ıa). Si X∼YeY∼Z, con cuasi-isometr´ıas respectivas fyg, entonces g◦f es otra cuasi-isometr´ıa para ciertas constantes. Adem´as, existen constantes 19 c1, c2≥0 tales que, para todo z∈Z, existe un y∈Ycon dZ(g(y), z)≤c1, y existe un x∈Xcon dY(f(x), y)≤c2. Por tanto: dZ(g(f(x)), z)≤dZ(g(f(x)), g(y)) + dZ(g(y), z)≤ ≤λdY(f(x), y) + k+c1≤λc2+k+c1 Donde (λ, k) son las constantes de la cuasi-isometr´ıa g. La propiedad sim´etrica requiere de una demostraci´on m´as extensa, por lo que solo ser´a comentada. Si X∼Y, la idea para ver que Y∼Xconsiste en construir una aplicaci´on utilizando el axioma de elecci´on. Como existe c∈R≥0tal que para cualquier y∈Yse tiene d(f(xy), y)≤cpara alg´un xy∈X, podemos verificar que la aplicaci´on g:y7−→ xycumple los requisitos que buscamos. □ Se puede demostrar adem´as que dos espacios son cuasi-isom´etricos si y solo si existen cuasi-isometr´ıas f:X−→ X′yg:X′−→ Xcuyas composiciones est´an a distancia acotada de la identidad. Esta equivalencia se puede demostrar de manera similar a la propiedad sim´etrica, definiendo la inversa cuasi-isom´etrica y verificando que cumple los requisitos deseados, y da una visi´on m´as intuitiva de la relaci´on de equivalencia, a la que estamos m´as acostumbrados: ser cuasi-isom´etrico es equivalente a encontrar cuasi-isometr´ıas entre ambos espacios, en ambos sentidos, y no muy alejadas de ser aplicaciones inversas. Los detalles pueden encontrarse en [7], junto con la propiedad sim´etrica de la relaci´on, que hace uso de este hecho. Como ya se ha comentado, detr´as de las cuasi-isometr´ıas se encuentra la percepci´on poco detallada de los espacios. Por ejemplo, es f´acil comprobar que un espacio acotado y un punto son cuasi-isom´etricos, mientras que se puede demostrar que R∼ [0,∞). Intuitivamente, si nos alejamos de un espacio acotado vemos su tama˜no reducirse hasta convertirse en un punto; sin embargo, el intervalo [0,∞) est´a parcialmente acotado, mientras que los n´umeros reales no, as´ı que nunca podemos verlos similares. Un ejemplo importante de espacios cuasi-isom´etricos es el siguiente: Z∼R. La inclusi´on i:Z−→ Res una (1,0)-cuasi-isometr´ıa y para cualquier n´umero real existe un entero a distancia menor o igual que 1 2. ¿Por qu´e es relevante este ejemplo? Tal y como han sido construidos, la m´etrica de la palabra en Zes su distancia habitual, mientras que el grafo 20 de Cayley de Zes precisamente R: hemos identificado mediante una cuasiisometr´ıa Zcon su grafo de Cayley. Podemos hacer esto en general. Proposici´on 2.3.2 Dado un grupo Gy un conjunto generador suyo X, se tiene que (G, dX)∼(K(G, X), d) La demostraci´on se basa en la misma idea utilizada para ver que los n´umeros enteros y la recta real son cuasi-isom´etricos: la inclusi´on es una cuasi-isometr´ıa y todo punto se encuentra a una distancia m´axima de 1 2de la imagen. Finalmente, podemos comprobar que la elecci´on de un conjunto generador concreto es irrelevante al trabajar con invariantes cuasi-isom´etricos. Proposici´on 2.3.3 Sea Gun grupo finitamente generado y sean XyX′ dos conjuntos generadores finitos. Los espacios (G, dX)y(G, dX′)son cuasiisom´etricos. Demostraci´on: Como XyX′son conjuntos generadores, podemos escribir todos los elementos de Xcomo productos de elementos de X′y viceversa. Sean n1= m´ax{dX′(1, x)|x∈X}yn2= m´ax{dX(1, x′)|x′∈X′}los m´aximos de las respectivas longitudes. Tomemos nel m´aximo de n1yn2. Vamos a ver que la identidad es una (n, 0)-cuasi-isometr´ıa entre (G, dX′) y (G, dX). Sean g, h ∈G. La distancia m=dX′(g, h) es la m´ınima longitud de una palabra que representa a g−1hen los generadores de X′y sus inversos. Esto es, g−1h=x′ 1· · · x′ m. Como a su vez cada generador (o inverso) de X′se puede escribir como producto de, a lo sumo, n2generadores de X, podemos escribir g−1h= (x1,1· · · x1,k1)· · · (xm,1· · · xm,km), con ki≤n2∀i, de modo que: dX(g, h)≤n2m≤n2dX′(g, h)≤ndX′(g, h) . An´alogamente, dX′(g, h)≤ndX(g, h), de donde se obtienen las desigualdades: 1 ndX′(g, h)≤dX(g, h)≤ndX′(g, h) Como la aplicaci´on es sobreyectiva, la distancia de cualquier elemento a la imagen es siempre nula, por lo que queda demostrado que los dos espacios son cuasi-isom´etricos. □ 21 Este resultado es el que da coherencia a todo el trabajo: distintos conjuntos generadores finitos dan lugar a espacios m´etricos distintos, pero cuasiisom´etricos, de manera que toda propiedad que se d´e en funci´on de un conjun- to generador estar´a bien definida independientemente del conjunto generador si es invariante por cuasi-isometr´ıas. La primera observaci´on importante que podemos hacer a partir de las dos proposiciones anteriores es la siguiente: Corolario 2.3.4 Para cualquier grupo Gfinitamente generado y cualesquiera dos conjuntos generadores finitos XyX′, sus grafos de Cayley asociados son cuasi-isom´etricos: (K(G, X), d)∼(K(G, X′), d′). Gracias a esto podemos sortear el segundo problema presentado al principio del cap´ıtulo: ahora sabemos que todos los grafos de Cayley asociados a conjuntos generadores finitos son cuasi-isom´etricos, y por tanto, al igual que los grupos, dar´an lugar a propiedades bien definidas si estas son invariantes por cuasi-isometr´ıas. Esto es clave para definir la hiperbolicidad de un grupo puesto que, como se ver´a m´as adelante, la hiperbolicidad es invariante por cuasi-isometr´ıas. 22 Cap´ıtulo 3 Espacios hiperb´olicos. Grupos hiperb´olicos. 3.1. Espacios hiperb´olicos. En este cap´ıtulo se introducir´a el concepto de hiperbolicidad, en principio desde un punto de vista puramente geom´etrico. Esta propiedad presenta diversas definiciones, todas ellas equivalentes, aunque se utilizar´a el concep- to de hiperbolicidad en el sentido de Rips, debido a que es m´as intuitiva geom´etricamente. Sobre esta propiedad, se definir´an los grupos hiperb´olicos y se demostrar´an algunas propiedades importantes de los mismos, con vistas a los resultados que se presentar´an en el pr´oximo cap´ıtulo. A partir de este punto, se omitir´a la distancia considerada en cada espacio si esta no lleva a confusi´on. Este cap´ıtulo toma como referencia principal [2] para su desarrollo, tomando de ah´ı definiciones y proposiciones relevantes para el trabajo. Definici´on 3.1 Sea Xun espacio geod´esico. Consideremos un tri´angulo geod´esico de lados α, β, γ. Se dice que un punto p∈Xes un δ-centro si se verifica la siguiente desigualdad: m´ax{d(p, α), d(p, β), d(p, γ)} ≤ δ. En este sentido, se dice que un trig´angulo es δ-fino si posee un δ-centro. Definici´on 3.2 (Hiperbolicidad de Rips) Un espacio geod´esico Xse dice hiperb´olico en el sentido de Rips si existe una constante δ, llamada cons- 23 tante de hiperbolicidad, tal que todo tri´angulo geod´esico en Xes δ-fino. Esta definici´on requiere de geod´esicas para trabajar con espacios hiperb´olicos. El problema de encontrar espacios geod´esicos asociados a un grupo se ha resuelto en el cap´ıtulo anterior, gracias a los grafos de Cayley, que extienden la m´etrica del grupo. No obstante, es posible trabajar de otras formas: en el art´ıculo original de Gromov, matem´atico que introdujo los grupos hiperb´olicos, se hac´ıa uso de otra definici´on alternativa (“ser hiperb´olico” en el sentido de Gromov), que no necesita de estos espacios, sino ´unicamente de ciertas desigualdades entre puntos [5]. Definici´on 3.3 Sea Xun espacio m´etrico. Se define el producto de Gromov de xcon yrespecto de zcomo: ⟨x, y⟩z=1 2(d(x, z) + d(y, z)−d(x, y)) Definici´on 3.4 (Hiperbolicidad de Gromov) Un espacio m´etrico Xse dice hiperb´olico en el sentido de Gromov si se verifica la siguiente condici´on de cuatro puntos: ∀x, y, z, w ∈X;⟨x, y⟩w≥m´ın{⟨x, z⟩w,⟨y, z⟩w} − δ Donde δes una constante independiente de los puntos elegidos. La equivalencia entre la hiperbolicidad de Rips y de Gromov se demuestra en [2], en la secci´on 6.5. En lo sucesivo se utilizar´a ´unicamente la definici´on de Rips. A continuaci´on vamos a demostrar una caracterizaci´on muy ´util sobre tri´angulos finos en espacios hiperb´olicos. Proposici´on 3.1.1 Sea Xun espacio δ-hiperb´olico y consideremos un tri´angulo geod´esico, de lados α, β, γ y v´ertices x, y, z. Entonces α⊂N(β∪γ, 6δ); esto es, todo lado est´a contenido en un entorno uniformemente acotado de la uni´on del resto de lados. Esta propiedad es muy ´util, ya que permite trabajar con tri´angulos geod´esicos sin hacer referencia expresa al δ-centro del mismo. Para demostrarla es necesario primero hablar de caminos t-tensos. Un camino αcon extremos x, y se dice que es t-tenso si l(α)≤d(x, y) + t. 24 implica [w]N= 1, donde w∈F(XN). Si conseguimos demostrar que toda relaci´on en RN+1 se puede descomponer en relaciones en ⟨⟨RN⟩⟩, entonces se tiene la inyectividad. Sea pues x, y, z ∈XN+1 con xyz ∈RN+1. Si los tres elementos pertenecen aXN, entonces xyz ∈RNpor definici´on. Supongamos que no es as´ı. En ese caso, para cada elemento wen XN+1 \XNpodemos escoger una partici´on en dos palabras de longitud mayor que δ′:w=w1w2, con dX(1, w1)> δ′y dX(1, w2)> δ′, y con dX(1, w) = dX(1, w1) + dX(1, w2). En particular, cada palabra de la descomposici´on tiene longitud estrictamente menor que N+ 1. Distingamos casos: Caso 1: #({x, y, z} ∩ XN) = 2. Podemos considerar, de hecho, que siempre es el ´ultimo elemento el que no est´a en XN,z /∈XN, ya que los otros casos se derivan de conjugar la relaci´on (si xyz ∈ ⟨⟨RN⟩⟩, entonces yzx = x−1(xyz)x∈ ⟨⟨RN⟩⟩, y zxy =y−1x−1(xyz)xy ∈ ⟨⟨RN⟩⟩). En este caso, elegimos un tri´angulo geod´esico con v´ertices 1, x, xy (ver figura 6). El lado que une xy con 1 es una geod´esica que representa al elemento z, y podemos descomponerlo, como se ha explicado en el p´arrafo anterior, en dos segmentos z1yz2de longitud mayor o igual que δ′(cuya suma adem´as es la longitud de z). Sea Pel punto en que se divide la geod´esica en estos dos segmentos. Por la hip´otesis de hiperbolicidad, existe un punto Qsobre uno de los otros lados (digamos sobre la geod´esica entre 1 y x) tal que la distancia de QaPes menor que δ′. En particular, por la partici´on elegida, Q= 1, xy. Es m´as, aplicando la desigualdad triangular, se comprueba que d(Q, xy)≤d(Q, P) + d(P, xy)< δ′+ (N+ 1 −δ′) = N+ 1. Podemos ahora descomponer el tri´angulo en otros tres (o dos si Qcoincide con x), uniendo mediante una geod´esica Qcon el v´ertice opuesto en el tri´angulo principal: 1, Q, P;Q, xy, P yx, xy, Q. Ver figura 6. Estos tres tri´angulos ahora tienen lados con longitud menor o igual que N, de modo que hemos descompuesto la relaci´on xyz1z2en otras tres relaciones con elementos de longitud menor o igual que N(cada tri´angulo es un conjugado de relaciones de RN). As´ı que podemos expresar la relaci´on de RN+1 como producto de conjugados de relaciones de RN. 31 x 1 P xy Q x1 x2 uv z1 z2 y Figura 6: Representaci´on de la relaci´on xyz como producto de conjugados de las relaciones y sus inversos r1=x1uz2,r2=x2yv yr3=z−1 1vu: xyz = (x1uz2)(z−1 2u−1x2yvuz2)(z−1 2u−1v−1z1z2). Caso 2: #({x, y, z} ∩ XN)≤1. Podemos proceder como antes, suponiendo que y, z /∈XN, definiendo el punto Py encontrando un punto Qa distancia menor o igual que δ′de Pen alguno de los lados. Si Qno coincide con x, entonces Qdivide al lado en que cae en dos segmentos de longitud estrictamente menor que N+ 1, puesto que cada lado tiene longitud N+ 1 como mucho. Podemos volver a considerar los tres tri´angulos resultantes de unir Qcon el v´ertice opuesto, por ejemplo 1, Q, P;Q, xy, P yx, xy, Q. La ´unica salvedad es que ahora uno de los tri´angulos puede contener un lado con longitud N+ 1, en este caso el tri´angulo x, xy, Q. Pero este se puede descomponer en otros tres aplicando el caso anterior, de modo que obtenemos una descomposici´on de la relaci´on de RN+1 en varios conjugados de relaciones de RN. Si Qcoincide con x, basta aplicar el caso 1 a los dos tri´angulos 1, x, P y x, xy, P para descomponerlos de nuevo. □ 32 Cap´ıtulo 4 El problema de la palabra en grupos hiperb´olicos. Como ya se coment´o en el cap´ıtulo primero, el problema de la palabra es indecidible en general, ya que existen grupos para los que no hay un algoritmo que nos determine cu´ando una palabra en los generadores del grupo (y sus inversos) representa el elemento neutro. El objetivo de este cap´ıtulo es utilizar las herramientas desarrolladas previamente para obtener una respuesta para los grupos hiperb´olicos: ¿tienen estos grupos problema de la palabra resoluble, irresoluble o depende del grupo considerado? 4.1. Desigualdad isoperim´etrica. ´ Area de una palabra. Para comenzar a abordar la pregunta planteada es necesario hablar de la desigualdad isoperim´etrica, tomando como referencias [6] y [3]. Supongamos un espacio m´etrico y una curva cerrada Cde longitud l(C). La desigualdad isoperim´etrica nos da una relaci´on entre la longitud de la curva y el ´area que encierra en su interior. En el plano eucl´ıdeo, por ejemplo, es conocido que la curva Cde longitud fija l(C) = lque encierra ´area m´axima es la circunferencia. Por tanto, para cualquier otra curva C′de la misma longitud, se comprueba que: A(C′)≤A(C) = l2 4π 33 . Esto quiere decir que el ´area de una regi´on compacta y conexa est´a acotada superiormente en funci´on de la longitud de su borde: no podemos obtener regiones ´arbitrariamente grandes con bordes cualesquiera. En este caso, la dependencia es cuadr´atica, pero en distintos espacios puede variar. Un ejemplo relevante para esta discusi´on es el plano hiperb´olico, H2. La curva Cque encierra mayor ´area para una longitud lfija vuelve a ser la circunferencia, que en este caso tiene una longitud, en funci´on del radio r, de 2πsinh r. Basta calcular el ´area de un disco en el plano hiperb´olico para comprobar c´omo es su desigualdad isoperim´etrica. Para cualquier otra curva C′de longitud l: A(C′)≤A(C) = Zr 0 2πsinh t dt = 2π(cosh r−1) ≤2πsenh r=l Es decir, la desigualdad isoperim´etrica es lineal. Al definir el concepto de grupo hiperb´olico, hacemos una asociaci´on entre un grupo y un espacio m´etrico geod´esico, su grafo de Cayley, y buscamos en este la propiedad de hiperbolicidad. Por esta raz´on, podemos preguntarnos si, por analog´ıa con el plano hiperb´olico, los grafos de Cayley y los grupos asociados presentan tambi´en una desigualdad isoperim´etrica lineal. La respuesta es que s´ı, pero antes de entrar en detalles sobre la demostraci´on, debemos preguntarnos qu´e entendemos por “´area” en un grupo (que asumiremos finitamente presentado) o un grafo. La desigualdad isoperim´etrica tiene sentido cuando hablamos de curvas cerradas en un espacio m´etrico, y el ´area se relaciona con aquello que encierra la curva. Comenzaremos hablando del concepto de ´area en un grupo, partiendo de una palabra representando el elemento neutro (el equivalente a un camino cerrado). Sea G∼ =⟨X|R⟩un grupo finitamente presentado y sea wuna palabra en los generadores Xque representa el elemento neutro en G. Sabemos que se tiene la siguiente igualdad en F(X): w= n Y i=1 v−1 irεi ivi(4.1) Donde vies una palabra en los generadores, ri∈Ryεi∈ {−1,1}, para todo 1≤i≤n. Esta descomposici´on no tiene por qu´e ser ´unica, en principio. Definici´on 4.1 Dado un grupo G∼ =⟨X|R⟩finitamente presentado y dada una palabra wrepresentando al elemento neutro, se define su ´area,A(w), como el menor ntal que wadmite una expresi´on como en (4.1). 34 Esta definici´on de ´area de una palabra, junto con la longitud de la misma, nos permite trabajar con desigualdades isoperim´etricas. Ahora bien, ¿c´omo se traduce esto en el grafo de Cayley correspondiente? Una palabra que represente al elemento neutro se asocia a un camino cerrado en el grafo de Cayley, fijado un punto base (generalmente el elemento neutro). Un diagrama de Van Kampen para esa palabra se construye a partir de un subgrafo del grafo de Cayley delimitado por dicho camino cerrado: Definici´on 4.2 Sea G∼ =⟨X|R⟩un grupo finitamente presentado. Un diagrama de van Kampen es un complejo 2-dimensional conexo con las siguientes propiedades: 1. Toda 1-celda (arista) est´a orientada y etiquetada con un elemento de X. 2. Para toda 2-celda, si leemos las etiquetas de su borde en una direcci´on concreta, empezando desde un punto concreto, obtenemos una relaci´on de R(donde leer una arista en la direcci´on opuesta a su orientaci´on equivale a leer el inverso del generador). Es f´acil comprobar que el 1-esqueleto de un diagrama de van Kampen es un subgrafo del grafo de Cayley. Leyendo el contorno de un diagrama de van Kampen en un sentido determinado obtenemos una palabra en los generadores de G, que adem´as representa al elemento neutro por ser un camino cerrado. Aqu´ı se ve la equivalencia entre la combinatoria del grupo y la geometr´ıa del grafo: una palabra representando al elemento neutro es un camino cerrado, y la cantidad de relaciones necesarias para construirla son la cantidad de 2-celdas utilizadas en un diagrama de van Kampen asociado, donde la conjugaci´on en la expresi´on (4.1) es necesaria para trasladar las relaciones al punto del diagrama donde se encuentran. Podemos definir, por tanto, el ´area de un camino cerrado en el grafo de Cayley como el minimo n´umero de 2-celdas que encierra, visto como complejo. El siguiente ejemplo permite visualizar mejor estos conceptos. Ejemplo: Sea G=⟨a, b, c |r1=aba−1b−1, r2=c2b−1⟩y sea w=ac2a−2c−2bab−1. La palabra wrepresenta al elemento neutro, ya que se puede escribir como: w= (ar2a−1)(r1)(ba−1r−1 2ab−1) 35 Un diagrama de van Kampen asociado a esta palabra puede ser el siguiente: • • a oo• a oo • c?? • c __ • c __b OO ◦ a oo b OO • b OO c ?? Figura 7: Diagrama de van Kampen asociado a la palabra ac2a−2c−2bab−1. Empezando en el punto blanco, leyendo las etiquetas en sentido horario obtenemos w. Cada 2-celda representa una relaci´on, leyendo su contorno. La expresi´on de la palabra como producto de conjugados de relaciones se traduce en el diagrama como desplazarse hacia una 2-celda, recorrerla en un cierto sentido y luego regresar por el mismo camino. El ´area est´a relacionada, pues, con la cantidad de 2-celdas que hay en el diagrama de van Kampen. Podemos ver que en este caso A(w)≤3 (habr´ıa que comprobar si este es el m´ınimo de hecho de todas las relaciones). La equivalencia combinatoria y geom´etrica de ambas definiciones de ´area se puede demostrar, como se ve en el siguiente teorema, extra´ıdo de [9]. Teorema 4.1.1 Todo diagrama de van Kampen con n2-celdas para una palabra wda lugar a una manera de expresar wcomo un producto Qn i=1 v−1 irεi ivi, con εi∈ {−1,1}. Todo producto Qn i=1 v−1 irεi ivicon εi∈ {−1,1}da lugar a un diagrama de van Kampen para wcon como mucho n2-celdas. En particular, wadmite un diagrama de van Kampen si y solo si representa al elemento neutro. Si tenemos una expresi´on para una palabra wcomo en (4.1), es sencillo obtener su diagrama de van Kampen asociado: basta tomar un punto de inicio e ir recorriendo el camino en el grafo de Cayley: por cada producto, representamos un camino “de ida” v−1 ihacia la relaci´on, luego el camino cerrado asociado a la relaci´on, y por ´ultimo el camino “de vuelta”, vi. Esta construcci´on, adem´as, da lugar a un diagrama dual al diagrama de van Kampen, presentado en [4], en las p´aginas 40 y 41. El resultado de esta construcci´on es un disco agujereado, donde cada agujero es una de las 2- celdas asociadas a la expresi´on de la palabra w. El ´area tambi´en se visualiza 36 as´ı como el n´umero de agujeros del disco, y el ´area de una palabra como el ´area combinatoria m´ınima de un disco asociado a la palabra. Con estas nociones de ´area, podemos volver a la desigualdad isoperim´etrica y comprobar que los grupos hiperb´olicos tienen desigualdad isoperim´etrica lineal, al igual que el plano hiperb´olico. Teorema 4.1.2 Todo grupo δ-hiperb´olico tiene desigualdad isoperim´etrica lineal. La demostraci´on de este teorema se realiza por inducci´on en la longitud de un camino cerrado en el grafo de Cayley respecto de unos generadores fijos, donde la constante δde hiperbolicidad har´a referencia a la que se obtiene en la proposici´on 3.1.1 de ahora en adelante. Para realizar la prueba, es necesario primero demostrar un lema que nos permite descomponer caminos cerrados en otros dos: uno de longitud acotada por 12δy otro de longitud estrictamente menor que el inicial. Lema 4.1.3 Sea Gun grupo δ-hiperb´olico con un conjunto de generadores X. Para toda palabra wrepresentando al elemento neutro, asociada a un camino cerrado γen K(G, X), existen dos subpalabras w1yw2de modo que wpuede escribirse como βw1α−1β−1βαw2β−1para algunas palabras αyβ, verificando que βw1α−1β−1yβαw2β−1tambi´en son palabras que representan al elemento neutro y que si denotamos por γ1yγ2los caminos cerrados asociados, estos encierran la misma ´area que un par de caminos γ′ 1yγ′ 2de longitud l(γ′ 1)≤12δyl(γ′ 2)< l(γ). Demostraci´on: Sea γun camino cerrado de longitud nque parametrizamos mediante su longitud de arco, fijando un punto base. Vamos a distinguir dos casos: Caso 1: supongamos que existe un v´ertice u=γ(t) tal que el v´ertice v=γ(t+ 6δ) se encuentra a distancia d(u, v)<6δ. Podemos suponer que ues el punto base reparametrizando el camino, de modo que u=γ(0). Al reparametrizar el camino, lo que estamos haciendo es conjugar la palabra inicial wpor un elemento βpara desplazar el punto base. Esto implica que los caminos cerrados que vamos a obtener, partiendo del punto base original, tienen una longitud que depende del punto u. Sea αuna geod´esica que conecta ucon v, y denotemos por −αla misma geod´esica recorrida en sentido 37 contrario. Podemos definir los siguientes caminos cerrados: γ′ 1=γ([0,6δ]) ∪(−α) γ′ 2=α∪γ([6δ, n]) donde los caminos γ([0,6δ]) y γ([6δ, n]) est´an asociados a las palabras w1 yw2. Basta comprobar ahora que l(α) = d(u, v)<6δ=l(γ([0,6δ])). De este modo, es inmediato que l(γ′ 1)≤12δyl(γ′ 2)< l(γ). Adem´as, estos dos caminos asociados a las palabras w1α−1yαw2tienen la misma ´area que los caminos de longitud arbitraria que parten del punto base fijado (asociados a las palabras βw1α−1β−1yβαw2β−1), ya que la conjugaci´on de una palabra no altera su ´area. Caso 2: supongamos que para todo v´ertice u=γ(t) se verifica que d(u, v) = 6δ, donde v=γ(t+6δ), con t+6δm´odulo n. Notemos que d(u, v)≤l(γ[t, t+ 6δ]) = 6δ, as´ı que estos son todos los casos posibles. Esta hip´otesis implica que todo segmento en γde longitud 6δes una geod´esica. Si no fuera geod´esica, existir´ıan 0 < k1< k2<6δtal que d(γ(s+k1, s + k2)) < k2−k1. Pero entonces, aplicando la desigualdad triangular: k1+ 6δ−k2≥d(γ(s), γ(s+k1)) + d(γ(s+k2), γ(s+ 6δ)) > > d(γ(s), γ(s+ 6δ)) −(k2−k1) Que entra en contradicci´on con d(γ(s), γ(s+ 6δ)) = 6δ. Sea v0=γ(0) el punto base del camino y sea v=γ(t) el punto a mayor distancia de v0sobre el camino. Definimos v+=γ(t+ 3δ) y v−=γ(t−3δ). Sean ahora αyβgeod´esicas que conectan v0con v−yv+respectivamente. El tri´angulo formado por los v´ertices v0, v−yv+y lados α, γ([t−3δ, t + 3δ]), β es geod´esico. Por hiperbolicidad, el punto v∈γ([t−3δ, t + 3δ]) se encuentra a distancia menor o igual que δde alg´un punto uen alguno de los lados (supongamos sin p´erdida de generalidad que es α). Definimos r=d(v0, u) y s=d(u, v−) (ver figura 8). Aplicando la desigualdad triangular de nuevo, obtenemos: d(v0, v)≤r+δ s≥3δ−δ= 2δ 38 v0 v v−v+ u s r δ γ([t−3δ, t + 3δ]) Figura 8: Se ha dibujado en azul el segmento perteneciente al camino cerrado inicial y los v´ertices que se encuentran sobre el camino. Utilizando ahora que vmaximiza la distancia a v0: d(v0, v)≥d(v0, v−) = r+s≥r+ 2δ > r +δ≥d(v0, v) Y esto es una contradicci´on con la hip´otesis inicial. Por tanto el caso segundo no es posible y concluimos la demostraci´on. □ Gracias a este lema, podemos probar el teorema 4.1.2. Demostraci´on (del teorema 4.1.2): Sea Gun grupo δ-hiperb´olico con un conjunto de generadores finito X. Como el grupo es finitamente generado por hip´otesis, existen un n´umero finito de caminos cerrados (fijado un punto base) de longitud menor o igual que 12δ, as´ı que podemos escoger K= m´ax{A(γ)|γcamino cerrado, l(γ)≤12δ}. Sea γun camino cerrado en su grafo de Cayley. Si la longitud del camino es menor o igual que 12δ, entonces A(γ)≤K≤Kl(γ). En caso contrario, supongamos el resultado probado para caminos de longitud l(γ)≤ny veamos qu´e ocurre para un camino con longitud l(γ) = n+ 1. Por el lema 4.1.3, podemos reescribir la palabra asociada a γcomo producto de dos palabras asociadas a caminos cerrados γ1yγ2, cumpliendo que A(γ1) = A(γ′ 1) yA(γ2) = A(γ′ 2) para ciertos caminos γ′ 1yγ′ 2que verifican las desigualdades l(γ′ 1)≤12δyl(γ′ 2)< l(γ). Podemos aplicar el caso anterior y la hip´otesis de inducci´on a los dos nuevos caminos cerrados, respectivamente, y obtenemos: A(γ)≤A(γ1)+A(γ2) = A(γ′ 1)+A(γ′ 2)≤K+Kl(γ′ 2) = K(l(γ′ 2)+1) ≤Kl(γ) 39 □ Este teorema es de hecho una equivalencia: un grupo con desigualdad isoperim´etrica lineal es hiperb´olico. Sin embargo, la equivalencia no es necesaria para el resultado final del trabajo, as´ı que no se incluir´a. Puede consultarse una demostraci´on en [3] (de donde se ha extra´ıdo adem´as la demostraci´on del teorema 4.1.2). 4.2. El problema de la palabra en grupos hiperb´olicos. En esta ´ultima secci´on se demostrar´a finalmente que el problema de la palabra es resoluble para grupos hiperb´olicos, haciendo uso de la desigualdad isoperim´etrica lineal demostrada previamente. Para concluir el resultado se utilizar´an varias demostraciones de [4], junto con algunas definciones de [6]. Definici´on 4.3 Dada una presentaci´on de un grupo, G∼ =⟨X|R⟩, se define su funci´on de Dehn ofunci´on isoperim´etrica como la siguiente funci´on entre n´umeros naturales: f(n) = m´ax{A(w)|w∈F(X), w = 1 en G, l(w)≤n} La funci´on de Dehn de un grupo para un conjunto generador suyo relaciona el ´area de las palabras que representan al elemento neutro con su longitud. Esta funci´on est´a ´ıntimamente relacionada con la desigualdad isoperim´etrica. En un grupo hiperb´olico es f´acil comprobar que escogiendo K como en el teorema 4.1.2, se verifica la desigualdad f(n)≤Kn. Y esto es el punto clave para resolver el problema de la palabra en grupos hiperb´olicos, junto con el siguiente lema: Lema 4.2.1 Sea wuna palabra reducida que podemos expresar como producto de nconjugados de relaciones como en (4.1) y sea kel m´aximo de las longitudes de las relaciones. Entonces podemos reescribir wcomo producto de conjugados de relaciones de manera que los vitengan longitud menor o igual que (l(w)+2k)2n, para todo 1≤i≤n. La demostraci´on de este lema puede consultarse en [4] y hace uso del diagrama de van Kampen dual. La idea principal consiste en “recortar” el 40