Consideraciones sobre el criterio de hashin

1 : MATERIALES COMPUESTOS 99 CONSIDERACIONES SOBRE EL CRITERIO DE HASHIN París F.; Cañas J. y Marín J.C. Dpto. Mecánica de Medios Continuos. E.S. Ingenieros Universidad de SevilJa Camino de los Descubrimientos s/n. 41092 Sevilla, España e-mail: [email protected] 429 Palabras Clave: Materiales compuestos fibrosos, criterios de rotura, mecánica de la fractura, micromecánica. Resumen: Se analizan las hipótesis en que se basa el criterio de Hashin para predecir el fallo de una lámina de materiales compuestos fibrosos. En particular, se estudia la influencia que el valor de la resistencia a cortadura transversal tiene en la predicción de resistencia de la lámina por fallo a compresión de la matriz. Finalmente se analiza la razonabilidad de las dos hipótesis sobre las que descansa el criterio. 1.· INTRODUCCION Un número elevado de criterios ha sido históricamente propuesto para predecir el fallo de materiales compuestos fibrosos•. Los primeros surgen de la aplicación de los criterios de rotura existentes para materiales frágiles, criterios de la máxima tensión y deformación, o de la adopción del criterio de plastificación para materiales metálicos anisótropos como criterio de rotura de materiales compuestos fibrosos2• El primer criterio que surge con la idea de que es preciso adecuar las ecuaciones que predicen el fallo del material compuesto a Jos mecanismos de fallo del mismo es el criterio de Hashin-Rotem' que se propone para el caso de una lámina y en el contexto de un estudio a fatiga. Algunos años después el propio Has hin 4 propone un criterio general con carácter tridimensional que particulariza para el caso de una lámina y que conlleva algunas modificaciones con respecto a la propuesta anterior. Las dos propuesta de Hashin se recogen y comentan en el siguiente apartado. Aunque durante mucho tiempo en los textos básicos de materiales compuestos se ha asignado una gran representatividad a los criterios de Tsai-Hill, Tsai-Wu y sus derivados, ha habido oposición' a la aceptación de su capacidad para predecir el fallo en situaciones complejas al no estar estos criterios basados en los mecanismos de fallo de los materiales compuestos. Ello ha hecho retomar el criterio de Hashin que surgió originalmente con esta idea, habiéndose propuesto muy recientemente algunas modificaciones sobre el caso particular de fallo a compresión de la matril·7• El objetivo de este trabajo es en primer lugar evaluar la influencia del valor de la resistencia a cortadura transversal en las predicciones de fallo, dado que el criterio de Hashin involucra a este parámetro, de difícil estimación. En segundo lugar se revisan las hipótesis sobre las que descansa el criterio de Hashin analizando su 430 MATERIALES COMPUESTOS 99 razonabilidad, sólo ligeramente cuestionada en las modificaciones mencionadas6'7• 2.- CRITERIOS DE HASHIN Criterio de Hashin-Rotem ( 1973) Fallo de la fibra en tracción: Fallo de la fibra en compresión: Fallo de la matriz en tracción: Fallo de la matriz en compresión: donde: cr 11 es la tensión nominal en la lámina en la dirección de las fibras, 0' 22 es la tensión nominal en la lámina en la dirección transversal a las fibras, <J 12 es la tensión tangencial nominal en la lámina, Xr es la resistencia en la dirección de las fibras, Xc idem en compresión, Y T es la resistencia a tracción en la dirección transversal a las fibras. Y idem en compresión, S es la resistencia a cortadura. La im~ortancia histórica de esta propuesta es que inicia una forma diferente de enfocar la generación de los criterios de fallo para materiales compuestos, reconociendo los mecanismos de fallo, estimando las variables macromecánicas asociadas a ese mecanismo y proponiendo finalmente una interacción entre ellas. Criterio de Hashin 3D (1980) ( .!!u.)' +J, (oi, + oi,)~ l Xr S o Fallo de la fibra en tracción: Fallo de la fibra en compresión: lo~~l ~ Xc Fallo de la matriz en tracción, (o 22 + 0 33 ) ~o> 0: 1, Ir, ) Ir, ') 1 -2 o +2 \cr23- cr22 °33 +-s2 ,a,2 + cr13 = Yr Sr Fallo de la matriz en compresión, ( 0 22 + 0 33 ) ~ o< 0: ...!...l(..&J' -!jo+ _!,o' + J, (o:,-o,o 33 ) + sl' ( oi, +o:,) ~ l Y, 2Sr 4~ Sr donde ST representa la resistencia transversal a cizalladura. Criterio de Has hin 2D ( 1980) Fallo de la fibra en tracción, 0 11 > 0: (~)\(~ )' ~1 Fallo de la fibra en compresión, 0 11 < 0: !o11! ~ Xc MATERIALES COMPUESTOS 99 Fallo de la matriz en tracción, o 22 > 0: (~r+(~r~~ Fallo de la matriz en c(;;;T:nl (:r l-I ]t + ( 7 )' ~ 1 431 La evolución de los dos criterios de Hashin, aunque no haya muchos cambios entre ellos, requiere algunos comentarios. Conceptualmente ambas propuestas estiman dos mecanismos de fallo de una lámina de un material compuesto de fibras. Con referencia al fallo de la fibra, la única diferencia afecta a la contribución de o, al fallo en tracción, una modificación de no muy claros fundamentos. De hecho la modificación proviene de la interacción cuadrática que Hashin supone entre las componentes del vector tensión asociado al plano de fallo. Es importante remarcar el énfasis que Hashin pone en evitar cualquier conexión en su propuesta con conceptos energéticos. Su propuesta, como él mismo indica, es la forma más simple de aproximar una supuesta interacción entre diferentes efectos, una vez que la interacción lineal es descartada. Es destacable en cualquier caso, que Hashin estime en su artículo la posibilidad de no considerar la contribución de 0 12 al fallo en tensión de la fibra. No se ha encontrado en la literatura consultada una explicación de los fundamentos físicos de la contribución de 0 11 a este fallo. Esta cuestión podría ser aclarada con un adecuado análi~s micromecánico y la ejecución de ensayos apropiados. Con referencia al fallo de la matriz, la única diferencia con respecto a la primera propuesta proviene de la consideración adicional en el caso tridimensional de que si el material falla en presencia de una presión transversalmente isótropa (0 22 ;<J 33 ;-p), esta presión puede alcanzar valores mucho más grandes que los de la resistencia a compresión uniaxial Y e· Las implicaciones que la inclusión de este hecho experimentalmente comprobado tiene en la capacidad de predecir otros fallos no está clara. De hecho, es al menos chocante encontrar el valor de una resistencia, ST, que no está en el plano bajo consideración, en una expresión de un estado de tensiones de ese plano que aparentemente no activa el mecanismo de fallo al cual ST está asociada. Un estudio paramétrico de la influencia que el valor de ST tiene en las predicciones para diferentes casos bidimensionales debe al menos ser realizado. 3.- EVALUACION DE LAS IMPLICACIONES DE IDENTIFICAR ST CON S La dificultad de medir ST y la escasa información existente en la literatura sobre el valor de esta propiedad de las láminas de materiales compuestos ha llevado en muchos casos a tomar ST como S. la resistencia a cortadura en el plano. Es obvio que el error introducido por ello depende de los factores involucrados en la expresión original. Los dos aspectos de maximo interés son el propio estado tensional (valores relativos de 0' 12 y 0' 22 ) y la relación entre los valores reales de ST y S. El primero de estos dos aspectos va a ser contemplado por medio de un estudio paramétrico considerando la relación 0' 1z = n 0' 22 y variando el valor de n. En relación al segundo aspecto se ha considerado como la opción más razonable desarrollar también un estudio paramétrico en términos de valores relativos de ST en 432 MATERIALES COMPUESTOS 99 relación a S, tomando S como el valor correspondiente a un material particular, AS/3501'. Los gráficos que se van a presentar consideran diferentes valores de k (k> 1 y k<l) en la relación ST =k S, con el propósito de cubrir todas las situaciones posibles. Es necesario al representar los resultados tomar algunas decisiones. El parámetro más informativo sería el error relativo encontrado cuando el valor de S es tomado en lugar de ST en la expresión del criterio para el caso en el cual el estado tensional conduce a predecir el fallo del material. Así, se procede como sigue: *Para un cierto valor de n y k el valor de cr, que produce el fallo (F(ST)=l) es encontrado (F representa el valor del criterio para fallo de la matriz a compresión). *Con este valor de 0' 22 (y el correspondiente valor de 0' 12 de acuerdo con el valor de n considerado) el valor del criterio es calculado (F(ST =S)=F(S)). *El valor del error relativo es calculado de acuerdo a las siguientes expresiones: Caso de ST <S: error= (F(ST)-F(S))/F(S) Caso de ST >S: error= (F(ST)-F(S))/F(ST) La explicación para seleccionar dos diferentes parámetros para medir el error es la siguiente. Cuando ST<S (k<l), el número más representativo del error para un usuario de un programa de cálculo en el que el criterio de Hashin está siendo usado con Sr =S es saber el % de error que el programa introduce con respecto al número sugerido por el programa. Por esta razón el denominador seleccionado es F(S). Nótese que en el segundo caso, si S,>S (k> 1 ), la aplicación de la misma expresión conduciría a valores sin representatividad cuando Sr empieza a ser significativamente grande en comparación a S. tendiendo el error siempre al 100%. Por tanto, el criterio ha sido cambiado dividiendo por F(ST), dando entonces el error con respecto a la predicción correcta del criterio. La figura 1 representa los errores para el caso de k<l. Los errores han sido calculados incrementando n en 0.1, teniendo los símbolos sólo carácter indicativo. .... 1 1 ... ... f\ ....,._1;=0.5 f-- ~k=0.6 -+-k=0.7 - "'"""*"'""k = 0.8 700.0 ......... k 0.9 - ... ~ j .... ..... .... "'·' ,,. k= S/S f\ n:a 11 /cr 11 - 1 --, \ Aslot 1_ "' 1\ Y,= 206 MPa \. t-..' S=9¡MPo 1 - -' ... 1 1 •.. " Figura 1.- Valor de los errores relativos para diferentes ST=kS (k<O). La inspección de la evolución de los errores conduce a las siguientes conclusiones: MA TER JALES COMPUESTOS 99 433 *Cuando ST <S (k<l), F(S)<F(ST), lo que implica que como era esperable identificar Sr con S conduce a predicciones no seguras. *Para un determinado valor de k los errores son una función que depende muy fuertemente del estado tensional. El error es mayor cuando 0' 22 es dominante frente a cr 12 y empieza a decrecer rápidamente cuando a 11 empieza a ser dominante. Como un ejemplo, para el caso k=O.S, el error es de 929.4% cuando cr,=O, cae a 329.9% cuando 0' 12 =1 Ow es de 54.97% cuando 0 12 =4 012 y es de 18.72% cuando 0 12 ;::10 0 22 • *Si S1 es significativamente menor que S los errores pueden alcanzar valores muy elevados. Cuando el valor de S1 está cercano a S el error tiende a ser más pequeño como puede apreciarse en la figura. Pero incluso en este caso el error puede alcanzar valores significativos. Así por ejemplo, cuando S1 ;::{}.9S el error puede ser de un 50% si 0 12 ;::0, ... v 1 ·SO.O ·100.0 /V ....,._~:; .. 1.1 ~k=l.5 1-- ·150.0 -+-k=2 1-- ......_k=S .-A.- k= 10 ~ .2(10.0 ~ ..... k= S~JS 1-- ~ -300.0 n = 0u 10 u 1-- .,.. 1 ·- ASI3501 Y,= 206 MPa ..... '""i' 1- ..... 1 1 .... " Figura 2.- Valor de los errores relativos para diferentes ST=kS (k>O). La figura 2 representa un sumario de los errores para el caso k> l. La inspección de las curvas conduce a conclusiones similares a las de la figura anterior. *Cuando S,>S (k> 1), F(S)>F(ST), lo que implica que como era esperable identificar S1 con S conduce a predicciones conservativas. *Para un valor determinado de k la influencia del estado tensional en el error es similar al descrito previamente para el caso k<l. *La dependencia del error con el valor de k es también similar al caso anterior cuando k empieza a ser diferente de 1, como puede apreciarse en la figura 2. 434 MATERIALES COMPUESTOS 99 u 1 1 -·,·2~- a • n •" -- Malerial: AS/1501 \\ 12 :r:l Yc=l06MPa S•9)MPo -+-•=-1~ '"' _ lrS=70MPa -e-e=-10 ,\ -•·-S ~'-&_ v~or del Criterio r\' ~ \\ 1\ \\ " l • L < t t ~ ~ ~ 80 ~ " ~ 1 .• ! 1.8 \ \'\_ ~~ :;:..,.._ ' ~en el Valor del Cri~rio (%) u ~ ... " Figura 3.- Errores en las predicciones for infraestimación de los valores de Sr 4.- SENSffiiLIDAD DEL CRITERIO DE HASHIN A ERRORES EN LOS VALORES DE ST. La enorme influencia que la identificación de ST con S puede tener en las predicciones del fallo de la matriz a compresión, sugiere estudiar la influencia que los errores en la identificación de los valores de ST' por medida directa o indirecta en el laboratorio, puede tener en las predicciones del criterio de Hashin. En este sentido hay que mencionar que en vista de las dificultades de medir directamente ST' es común tomar el valor de ST como el correspondiente al valor aparente de la resistencia a cortadura interlaminar (ILSS, ASTM 02344). Se va a usar el mismo procedimiento que antes y sobre el mismo material AS/3501. La figura 3 representa el caso de infraestimación de los valores de ST, con errores de 5, 10, 15 y 20%. Con estos errores (negativos en la figura) la estimación del criterio, con los valores de las tensiones que con el valor correcto de ST conducían al valor unidad, deben obviamente ser mayores que uno (como puede observarse en la figura), conduciendo por tanto a predicciones inseguras. Los mayores errores en las predicciones aparecen en el caso en que 0" 22 sea dominante frente a cr, (rango den entre O y 1). Así, para n=Ü los errores son de 16.33% (5% de error en ST), 36.83% (10%), 62.96% (15%) y 96.84% (20%). La figura 4 representa, para los mismos errores, el caso en que haya sobrestimación en el valor de ST. También de nuevo los mayores errores se dan para el caso en que 0" 22 sea dominante frente a cr,. Así, para el caso n=O, -13.19% (5%), -23.98% (10%), -32.901% (15%) y -40.36% (20% ). • MATERIALES COMPUESTOS 99 435 " u ... / v_........ ------ V / V/ Error en el Valorde!Criterio(%) " " r i u ~u u u u 1/ V V 11 § ~ VJ.Ior¡l Criterio L,,.~•o, Material: ASJJSJ -em+20 Yc•206MPa --a--e=+l5 S=93MPa --·=+10 llSS m 70 MPa l -M--e=+5 u Figura 4.- Errores en las predicciones por sobrestimación de los valores de ST. 5.- DISCUSION DE LAS HIPOTESIS DEL CRITERIO DE HASHIN Varias de las hipótesis sobre las que descansa el criterio de Hashin pueden ser consideradas cuestionables. Con referencia al fallo de la matriz en compresión, que es La parte que en la actualidad esta más en revisión6'7, la primera cuestión sería dilucidar si es razonable aceptar la propuesta de interacción cuadrática de las componentes del vector tensión asociado al plano, para predecir el fallo en ese plano. Consideremos como la forma más realista de tomar en consideración el fallo, la presencia de una grieta entre la fibra y la matriz. Esta grieta podría crecer longitudinal o circunferencialmente. La primera situación, pensando en un análisis simplificado plano, se podría abordar por medio de la configuración que aparece en la figura S a y la segunda con la que aparece en la figura Sb. Parece, con referencia al primer caso, crecimiento longitudinal de la grieta, que la tensión a gobierna el • • 22 crectmtento, lo que resulta aún más obvio en el segundo, crecimiento circunferencial, donde el papel de 0' 12 parece irrelevante. Parece pues que la combinación cuadrática de las tensiones no representa el mecanismo de fallo a nivel micromecánico. • O"t2 e ~ ~eta grieta a) b) 436 MATERIALES COMPUESTOS 99 Figura 5. Grieta creciendo: a) longitudinalmente, b) circunferencialmente. t a33 ---'-+ CJ23 •••• ~~ • -~~·- ® ¡::. cr23 ~~ i--: 1 ® ® 111 ® ® ® cr22 "23 1 "23 ® ® ®1 ® • grieta -- a) 0'23 + CJ33 b) Figura 6. 0 Implicaciones de asociar el fallo en un plano al vector tensión del plano. La discusión previa permite cuestionarse si es razonable que el fallo en un plano esté gobernado por el vector tensión asociado a ese plano, suposición clave en el criterio de Hashin.Una primera aproximación al problema podría realizarse a través de la configuración que se indica en la Figura 6a. Si consideramos el plano de fallo que aparece en la figura, la hipótesis de Hashin conduciría a asociar el fallo a las tensiones alz y 0 13 , mientras que 0' 33 no jugarla ningún papel en el fallo. Una vista micromecánica del problema conduciría a la configuración presentada en la figura 6b, preguntandonos si tiene o no 0' 11 influencia en el crecimiento de la grieta supuesta. La respuesta9, parece evidente: 0' 13 puede incrementar K1 y/o K0 y acelerar o retrasar el crecimiento de la grieta, poniendo asf en cuestión la principal hipótesis sobre la que descansa el criterio de fallo bajo consideración. 6.° CONCLUSIONES Se ha puesto de manifiesto que el valor de la resistencia a cortadura transversal juega un papel importante en las predicciones de fallo de la matriz en los materiales compuestos fibrosos. Su identificación con el valor de S, la resistencia a cortadura intralaminar, puede llevar a errores de bulto en las predicciones de fallo cuando la tensión tangencial no es dominante, una situación típica en los problemas de impacto. En cualquier caso, aunque no se identifique con S, se ha puesto de manifiesto que pequeños errores en su evaluación (lo que con toda seguridad se produce dado que habitualmente se estima su valor a través del valor de ILSS), tienen una significativa influencia en la predicción del fallo según el criterio. Finalmente se ha estudiado la razonabilidad de las hipótesis sobre las que descansa el criterio de Hashin, resultando aconsejable un estudio micromecánico 10 que clarifique las variables macromecánicas involucradas en el fallo del material compuesto y en su caso ayude a predecir el tipo de interacción entre ellas. AGRADECIMIENTOS MATERIALES COMPUESTOS 99 437 Se agradece la invitación de K. Jackson y S. Kellas a F. París para una estancia en NASA-LARC, estancia durante la cuál las ideas expuestas fueron concebidas. 7.0 REFERENCIAS [1] o M. N. Nabas, "Survey offailure and postjailure theories of laminatedfiberreinforced composites", J. of Comp. Tech. and Res., 8, pp.l38°53, 1994. [2] - V. D. Azzi and S. W. Tsai, "Anisotropic Strength of Composites", Experimental Mechanics, Vol. 5, pp.283°288, 1965. [3] o Z. Hashin and A. Rotem, "A fatigue failure criterion for fiber reinforced materials ", J. of Composite Materials, Vol. 7, October, pp. 448°464, 1973 . [4] 0 Z. 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