Conjuntos críticos asociados a autotopismos no triviales de cuadrados latinos de orden seis

FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS Trabajo fin de M´ aster M´ aster Universitario en Matem´ aticas CONJUNTOS CR´ ITICOS ASOCIADOS A AUTOTOPISMOS NO TRIVIALES DE CUADRADOS LATINOS DE ORDEN SEIS Realizado por Manuel Gonz´ alez Regadera Dirigido por Ra´ul Manuel Falc´ on Ganfornina Mar´ıa Dolores Frau Garc´ıa Departamento Matem´ atica Aplicada I Sevilla, julio de 2023 Resumen Fijado un isotopismo Θasociado al grupo sim´ etrico Sn, se dice que un cuadrado latino parcial Pde orden nes Θ-completable a un cuadrado latino Ldel mismo orden, si: (a) todas las entradas en Pson entradas en L; y (b) Θes un autotopismo de L. Si Pno contiene un cuadrado latino parcial que satisfaga ambas condiciones, entonces se dice que Pes un Θ-conjunto cr´ ıtico de L. Si bien la clasificaci´ on de Θ-conjuntos cr´ ıticos es conocida para cuadrados latinos de orden n≤5, el caso n= 6 s´ olo se ha tratado parcialmente en la literatura. M´ as concretamente, s´ olo se dispone de la clasificaci´ on completa de conjuntos cr´ ıticos asociados al autotopismo trivial en S6, as´ ı como de ciertas cotas para el menor y mayor tama˜ no posible de conjuntos cr´ ıticos asociados a autotopismos no triviales. En este Trabajo Fin de M´ aster se va a realizar un estudio pormenorizado que permita demostrar la optimalidad de dichas cotas. I Abstract Given an isotopism Θassociated to the symmetric group Sn, a partial Latin square Pof order nis said to be Θ-completable to a Latin square Lof the same order if: (a) all the entries in P are entries in L; and (b) Θis an autotopism of L. If Pdoes not contain a partial Latin square satisfying both conditions, then Pis said to be a Θ-critical set of L. Even if the classification of Θ-critical sets is known for Latin squares of order n≤5, the case n= 6 has only partially been dealt with in the literature. More specifically, it is only known the complete classification of critical sets associated to the trivial autotopism in S6, and certain bounds for the lower and higher size of critical sets associated to non-trivial autotopisms. In this work, a comprehensive study enables one to ensure the tightness of the previous bounds. II Agradecimientos A lo largo de este intenso curso, he experimentado momentos de alegr´ ıa, tristeza, desaf´ ıos y aprendizaje profundo, no s´ olo a nivel acad´ emico sino tambi´ en personal. Estoy seguro que no podr´ ıa haber llegado hasta aqu´ ı sin el apoyo incondicional de tantas personas especiales en mi vida. En primer lugar, quisiera dar las gracias a mis padres, Manuel y Eva, y a mis hermanos, Dar´ ıo y Lucas. Vuestra confianza y amor me han dado la fuerza para enfrentar los retos y superar los obst´ aculos que encontr´ e en el camino. Cada paso que di fue respaldado por vuestro cari˜ no, y s´ e que este logro es tambi´ en vuestro. Tambi´ en me gustar´ ıa agradecer a mis tutores, Ra´ ul y Loli, su dedicaci´ on y paciencia, pues han sido pilares fundametales en mi proceso de aprendizaje. Aunque el camino no siempre fue f´ acil, vuestro apoyo y pasi´ on por la ense˜ nanza me inspiraron para continuar y seguir creciendo como estudiante. A mis compa˜ neros y amigos, ´ Alvaro y Mar´ ıa, gracias por compartir este emocionante trayecto conmigo y ser mis segundos profesores cuando no entend´ ıa algo. Y, por ´ ultimo, quiero aprovechar esta oportunidad para agradecer a todos aquellos profesores que infravaloraron mi formaci´ on en Ingenier´ ıa Inform´ atica y dudaron de mis capacidades a lo largo del m´ aster. Gracias por haberme motivado a demostrar que la pasi´ on y la dedicaci´ on pueden trascender los l´ ımites acad´ emicos. En definitiva, a todos aquellos que me ense˜ naron, a los que me dieron ´ animos, a los que ya no est´ an. A todos ellos, gracias. III ´ Indice general ´ Indice general IV Objetivos VI 1 PRELIMINARES 1 1.1 Origen hist´ orico de los cuadrados latinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Conjuntos cr´ ıticos ................................... 3 1.3 Autotopismos...................................... 4 1.4 Conjuntos cr´ ıticos basados en autotopismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Metodolog´ ıa 12 3 Autotopismos de ciclo largo 14 3.1 La estructura c´ ıclica (6,6,32)............................. 14 3.2 La estructura c´ ıclica (6,6,321) ............................ 18 3.3 La estructura c´ ıclica (6,6,313)............................. 20 3.4 La estructura c´ ıclica (6,6,2212)............................ 21 3.5 La estructura c´ ıclica (6,6,214)............................. 22 3.6 La estructura c´ ıclica (32,23,6) ............................. 23 3.7 La estructura c´ ıclica (51,51,51) ............................ 24 4 Autotopismos con ciclos de longitud media 26 4.1 La estructura c´ ıclica (412,412,412).......................... 26 4.2 La estructura c´ ıclica (32,32,32)............................ 28 4.3 La estructura c´ ıclica (32,32,313)........................... 32 4.4 La estructura c´ ıclica (32,32,16)............................ 37 4.5 La estructura c´ ıclica (313,313,313).......................... 39 5 Autotopismos de ciclo corto 40 5.1 La estructura c´ ıclica (23,23,16)............................ 40 5.2 La estructura c´ ıclica (2212,2212,2212)........................ 45 6 Conclusiones y desarrollos futuros 52 Conclusiones y desarrollos futuros 52 Glosario de s´ ımbolos 54 ´ Indice de cuadros 55 ´ Indice de figuras 56 IV ´ Indice general V Referencias 57 Objetivos Durante el desarrollo del Trabajo Fin de Grado (Gonz´ alez-Regadera, 2022), realizado por el autor del presente manuscrito, se llev´ o a cabo un estudio computacional estad´ ıstico que permiti´ o construir conjuntos cr´ ıticos asociados a autotopismos no triviales de cuadrados latinos de orden seis. Como consecuencia, se establecieron, por primera vez, ciertas cotas para el menor y mayor tama˜ no posible de estos conjuntos cr´ ıticos. El principal objetivo del presente Trabajo Fin de M´ aster es proporcionar una demostraci´ on matem´ atica completa y s´ olida que permita asegurar la optimalidad de dichas cotas, lo que permitir´ a a su vez una comprensi´ on m´ as profunda de las propiedades de los autotopismos bajo consideraci´ on. VI CAP´ ITULO 1 PRELIMINARES En este cap´ ıtulo, se recuerdan una serie de conceptos y resultados b´ asicos conocidos que resultan esenciales para la correcta comprensi´ on del presente manuscrito. 1.1– Origen hist´ orico de los cuadrados latinos Un cuadrado latino parcial de orden nes toda matriz cuadrada Pde orden nverificando que cada una de sus celdas, o bien est´ a vac´ ıa, o bien contiene un elemento de un conjunto de n s´ ımbolos distintos, de tal forma que cada s´ ımbolo s´ olo aparece, a lo m´ as, una vez en cada fila y, a lo m´ as, una vez en cada columna de la matriz. El n´ umero total de celdas no vac´ ıas en Pconstituye su tama˜ no, que denotamos de ahora en adelante como |P|. As´ ı, por ejemplo, la siguiente matriz es un cuadrado latino parcial de orden y tama˜ no cuatro. 1 3 2 3 Si Ptiene tama˜ no cero se dice trivial. Si tiene tama˜ no n2(es decir, si no tiene celdas vac´ ıas), entonces se denomina cuadrado latino de orden n. En este caso, todos los s´ ımbolos aparecen exactamente una vez en cada fila y una vez en cada columna, no existiendo por tanto repetici´ on de s´ ımbolos por filas, ni por columnas. Denotaremos como PL(n)al conjunto de cuadrados latinos parciales de orden ncon entradas en el conjunto [n] := {1, . . . , n}, y como L(n)a su subconjunto de cuadrados latinos del mismo orden. Desde un punto de vista hist´ orico, la primera aparici´ on de los cuadrados latinos (Ib´ a˜ nez, 2015) se remonta al comienzo del primer milenio, cuando las comunidades indias y ´ arabes utilizaban esta distribuci´ on tan especial de s´ ımbolos a modo de amuletos o talismanes. A d´ ıa de hoy, la obra m´ as antigua conocida en la que aparece un cuadrado latino es el libro Shams al-Ma´ arif al-Kubra de Ahmad al-Buni, escritor y matem´ atico ´ arabe que, durante el siglo XIII, construy´ o cuadrados latinos a partir de los caracteres de uno de los noventa y nueve nombres de Al´ a (Figura 1.1 (a)). Posteriormente, en un intento de explicar el mundo a trav´ es de representaciones simples, el fil´ osofo castellano Ram´ on Llull construy´ o cuadrado latinos de orden cuatro en su obra Ars Demostrativa, usando como s´ ımbolos los elementos fundamentales: Fuego, Aire, Agua y Tierra (Figura 1.1 (b)). 1 1. PRELIMINARES 2 Figura 1.1: (a) Cuadrado latino de Ahmad al-Buni (Fuente: (al Buni, 1980)). (b) Cuadrado latino de por Ram´ on Llull (Fuente: Ars Demostrativa de la edici´ on latina de Maguncia, 1722, vol.III). Figura 1.2: Cuadrado greco-latino (Fuente: Wikipedia) Sin embargo, fue el matem´ atico suizo Leonhard Euler quien, en 1779, introdujo de manera formal el concepto de cuadrado latino mientras trataba de dar soluci´ on al conocido hoy d´ ıa como problema de los 36 oficiales. Dicho problema consiste en colocar en una matriz cuadrada de orden seis a 36 militares de seis regimientos distintos y seis rangos distintos, de tal manera que ni regimiento ni rango se repitan por filas o columnas. Euler represent´ o ambas categor´ ıas por letras del alfabeto griego y latino, dando lugar al concepto de cuadrado greco-latino, equivalente a dos cuadrados latinos ortogonales (Figura 1.2). Euler demostr´ o que estas estructuras pueden ser construidas siempre que su orden sea impar o m´ ultiplo de cuatro. De manera err´ onea, determin´ o que era imposible construirlas cuando n= 2 (mod 4). Fueron Satyendra Nath Bose, Sharadchandra Shankar Shrikhande y Ernest Tilden Parker quienes demostraron en (Bose, Parker, y Shrikhande, 1960) que la conjetura de Euler es falsa para todo cuadrado de orden igual o superior a diez. Como consecuencia, se prob´ o la existencia de cuadrados greco-latinos de orden npara todo n > 2, excepto para n= 6. Desde los trabajos de Euler, la teor´ ıa de cuadrados latinos ha sido tratada ampliamente en la literatura. Cabe destacar el hecho de que el n´ umero de cuadrados latinos experimenta un crecimiento desmesurado a medida que incrementa el orden. Hasta el momento, s´ olo se conoce el n´ umero exacto de cuadrados latinos hasta orden 11 (Hulpke, Kaski, y ¨ Osterg˚ ard, 2011; Kolesova, Lam, y Thiel, 1990; McKay, Meynert, y Myrvold, 2007) (ver Cuadro 1.1). 1. PRELIMINARES 9 Cuadro 1.2: Menor y mayor tama˜ no de Θ-conjuntos cr´ ıticos de cuadrados latinos de orden n∈ {2,3,4,5}. (Falc´ on y cols., 2021)) LΘ∈Atop(L)zΘ|CSΘ(L)|scsΘ(L) lcsΘ(L) L2(Id2,Id2,Id2) (12,12,12)4 1 1 ((12),(12),Id2) (2,2,12)4 1 1 L3(Id3,Id3,Id3) (13,13,13)27 2 3 ((12),(12),(13)) (21,21,21) 14 1 2 ((123),(132),Id3)) (3,3,13)27 2 2 ((123),(123),(132)) (3,3,3) 9 1 1 L4,1(Id4,Id4,Id4) (14,14,14)576 5 7 ((12)(34),(12)(34),Id4) (22,22,14)192 4 4 ((23),(14),(14)) (212,212,212)256 4 4 ((12)(34),(13)(24),(14)(23)) (22,22,22)256 3 3 ((243),(134),(134)) (31,31,31) 90 2 2 ((1234),(1234),(24)) (4,4,212)64 2 2 L4,2(Id4,Id4,Id4) (14,14,14)736 4 6 ((12)(34),(12)(34),Id4) (22,22,14)192 4 4 ((13)(24),(14)(23),(34)) (22,22,212)224 3 3 ((12),(12),(34)) (212,212,212)256 4 4 ((1324),(1324),(12)(34)) (4,4,22)64 2 2 ((1423),(1324),Id4) (4,4,14)256 3 3 L5,1(Id5,Id5,Id5) (15,15,15)53250 6 10 ((12)(35),(13)(45),(14)(23)) (221,221,221) 3088 3 5 ((2354),(1243),(1243)) (41,41,41) 832 3 3 ((12345),(15432),Id5) (5,5,15)3125 4 4 ((12345),(12345),(13524)) (5,5,5) 250 2 2 L5,2(Id5,Id5,Id5) (15,15,15)48462 7 11 ((13)(45),(25)(34),(13)(45)) (221,221,221) 2896 3 5 ((345),(345),(345)) (312,312,312)8424 5 6 Los representantes de clases principales a los que hace referencia el Cuadro 1.3 son los siguientes. 123456 214365 356142 465231 531624 642513 123456 231564 312645 465132 546213 654321 123456 231564 312645 465321 546132 654213 L6,1L6,2L6,3 123456 231645 312564 465213 546132 654321 123456 231645 345261 416523 562314 654132 123456 245163 312645 436512 561234 654321 L6,4L6,5L6,6 1. PRELIMINARES 10 123456 245163 312645 456231 564312 631524 123456 245163 356241 461325 514632 632514 123456 245163 364215 436521 512634 651342 L6,7L6,8L6,9 123456 256314 362145 435261 541632 614523 123456 264315 356124 435261 541632 612543 123456 264531 342615 451263 536124 615342 L6,10 L6,11 L6,12 1. PRELIMINARES 11 Cuadro 1.3: Cotas del menor y mayor tama˜ no de Θ-conjuntos cr´ ıticos en L(6). (Gonz´ alez-Regadera, 2022) nΘ∈Atop(L6.n )zΘ Cota superior scsΘ(L6.n ) Cota inferior lcsΘ(L6.n )Referencia 1 (Id6,Id6,Id6) (16,16,16)11 17 (Adams y cols., 2003) ((36)(45),(36)(45),(36)(45)) (2212,22,12,2212)7 9 ((12)(35)(46),(12)(34)(56),Id6) (23,23,16)9 10 ((12)(34)(56),(12)(35)(46),(36)(45)) (23,23,2212)7 8 2 (Id6,Id6,Id6) (16,16,16)12 18 (Adams y cols., 2003) ((23)(45),(23)(45),(23)(45)) (2212,2212,2212)7 9 ((14)(25)(36),(14)(26)(35),Id6) (23,23,16)9 10 ((14)(26)(35),(14)(25)(36),(23)(56)) (23,23,2212)7 8 ((456),(456),(456)) (313,313,313)8 9 ((123)(456),(15)(26)(34),(163524)) (32,23,6) 4 4 ((132)(465),(123)(456),Id6) (32,32,16)8 8 ((123)(456),(132)(456),(465)) (32,32,313)6 7 ((142635),(153426),(13)(46)) (6,6,2212)4 4 ((142536),(143526),(456)) (6,6,313)3 3 3 (Id6,Id6,Id6) (16,16,16)11 16 (Adams y cols., 2003) ((456),(123),(123)) (313,313,313)8 9 ((14)(26)(35),(15)(26)(34),(12)(45)) (23,23,2212)6 8 ((123)(465),(132)(465),Id6) (32,32,16)8 8 ((123)(456),(123)(465),(132)) (32,32,313)6 6 ((153624),(152634),(13)(45)) (6,6,2212)4 4 4 (Id6,Id6,Id6) (16,16,16)9 17 (Adams y cols., 2003) ((23)(45),(23)(45),(23)(45)) (2212,2212,2212)7 9 ((16)(25)(34),(16)(25)(34),Id6) (23,23,16)9 10 ((14)(25)(36),(15)(26)(34),(23)(45)) (23,23,2212)6 8 ((123)(465),(16)(25)(34),(153624)) (32,23,6) 4 4 ((123)(465),(132)(456),Id6) (32,32,16)8 8 ((123)(465),(123)(465),(132)(456)) (32,32,32)4 5 ((142635),(153624),Id6) (6,6,16)5 5 Teorema 1.7 ((142635),(142635),(123)(465)) (6,6,32)3 3 5 (Id6,Id6,Id6) (16,16,16)10 17 (Adams y cols., 2003) (Id6,(15)(24)(36),(15)(24)(63)) (16,23,23)9 10 ((12)(45),(23)(46),(12)(45)) (2212,2212,2212)8 9 ((345),(123)(465),(123)(465)) (313,32,32)4 6 ((345),(143526),(143526)) (313,6,6) 3 3 ((12)(45),(15)(26)(34),(14)(25)(36)) (2212,32,32)6 8 6 (Id6,Id6,Id6) (16,16,16)11 17 (Adams y cols., 2003) ((23),(12)(34)(56),(12)(34)(56)) (214,23,23)7 9 ((25)(34),(25)(34)(25)(34)) (2212,2212,2212)7 9 ((354),(124)(365),(124)(365)) (313,32,32)4 6 ((2453),(2453),(2453)) (412,412,412)5 6 ((354)(12),(164325),(134526)) (321,6,6) 2 3 ((12345),(26543),(12345)) (51,51,51) 3 4 7 (Id6,Id6,Id6) (16,16,16)11 17 (Adams y cols., 2003) ((12)(56),(14)(35),(24)(36)) (2212,2212,2212)7 9 ((15)(26)(34),(15)(26)(34),Id6) (23,23,16)9 10 ((14)(26)(35),(15)(24)(36),(13)(45)) (23,23,2212)6 8 ((123)(456),(164)(235),(136)(254)) (32,32,32)4 5 ((142536),(136542),(163)(245)) (6,6,32)3 3 8 (Id6,Id6,Id6) (16,16,16)10 17 (Adams y cols., 2003) ((12)(34),(14)(36),(24)(56)) (2212,2212,2212)8 9 ((1234),(2653),(1234)) (412,412,412)5 6 ((24),(14)(23)(56),(14)(23)(56)) (214,23,23)7 9 9 (Id6,Id6,Id6) (16,16,16)10 17 (Adams y cols., 2003) ((13)(24)(56),(12)(34)(56),(16)(23)) (23,23,2212)6 8 10 (Id6,Id6,Id6) (16,16,16)10 17 (Adams y cols., 2003) ((34),(14)(23)(56),(14)(23)(56)) (214,23,23)7 9 ((12)(34),(25)(36),(12)(34)) (2212,2212,2212)7 9 11 (Id6,Id6,Id6) (16,16,16)10 17 (Adams y cols., 2003) ((12)(35),(12)(56),(16)(34)) (2212,2212,2212)8 9 12 (Id6,Id6,Id6) (16,16,16)11 17 (Adams y cols., 2003) (Id6,(126)(345),(126)(345)) (16,32,32)8 8 ((34),(13)(24)(56),(13)(24)(56)) (214,23,23)7 9 ((45),(132465),(132465)) (214,6,6) 4 5 ((345),(345),(345)) (313,313,313)8 9 ((345),(126)(354),(126)(354)) (313,32,32)6 7 ((12)(35),(26)(34),(12)(35)) (2212,2212,2212)8 9 ((354)(12),(132564),(142365)) (321,6,6) 3 3 CAP´ ITULO 2 Metodolog´ıa En el presente manuscrito se pretende avanzar en el estudio de las cotas descritas en el Cuadro 1.3, que a´ un est´ an por probar que sean ´ optimas. Para ello realizaremos un estudio de casos, que vendr´ a un´ ıvocamente determinado por la estructura c´ ıclica del correspondiente autotopismo a analizar. En todos los casos descritos se proceder´ a siguiendo los pasos que se muestran a continuaci´ on. 1. Se fija la estructura c´ ıclica a estudiar. 2. Se define Θcomo el isotopismo can´ onico que tiene la anterior estructura c´ ıclica. 3. Se describe una Θ-coloraci´ on del cuadrado latino parcial trivial de orden seis. 4. De forma secuencial, se van introduciendo entradas en dicho cuadrado latino parcial, que sean candidatas a formar parte de nuestro Θ-conjunto cr´ ıtico, al que denotaremos a partir de ahora como CΘ. Atendiendo a la Proposici´ on 1.5, se toma a lo m´ as una entrada de cada Θ-´ orbita. Dicha entrada se toma en la celda (i, j)situada lo m´ as arriba y a la izquierda posible, dentro de la Θ-´ orbita en cuesti´ on. Abusando del lenguaje, denotaremos este hecho como (i, j)∈ CΘ. De igual forma, denotaremos como (i, j)∈ CΘel hecho de que ninguna de las celdas de la Θ-´ orbita vinculada a la celda (i, j)aparecer´ a rellena en CΘ. Adem´ as, la selecci´ on de dichas entradas se har´ a sin p´ erdida de generalidad, atendiendo para ello a las relaciones de equivalencia descritas por isotopismos, conjugaci´ on y paratopismos. 5. En dicha Θ-coloraci´ on, se presentan en blanco los s´ ımbolos de aquellas entradas que se tomen para conformar CΘ. Al mismo tiempo, se presentan en negro aquellas entradas que est´ an forzadas o Θ-forzadas por la elecci´ on de las anteriores. 6. En el momento en el que las entradas marcadas en blanco determinen un cuadrado latino parcial ´ unicamente Θ-completable, se comprueba si ´ este es un Θ-conjunto cr´ ıtico. En caso negativo, se analizan qu´ e entradas marcadas en blanco pueden eliminarse para conseguir el deseado Θ-conjunto cr´ ıtico CΘ. El procedimiento de comprobaci´ on se realiza mediante la funci´ on existenDeMenorTamano desarrollada en Python y que hace uso del c´ odigo relativo al Trabajo Fin de Grado (Gonz´ alez- Regadera, 2022). Todo el c´ odigo necesario, as´ ı como la documentaci´ on, puede obtenerse en: https://github.com/mangonreg/TFG y https://github.com/mangonreg/TFM. 12 2. Metodolog´ ıa 13 Adem´ as, con vistas a simplificar el estudio de casos, haremos uso del siguiente resultado, donde se plantea una nueva cota inferior para el tama˜ no m´ ınimo de todo Θ-conjunto cr´ ıtico, que complementa la indicada en la Proposici´ on 1.6. Atendemos para ello al n´ umero de ciclos no triviales (de longitud ℓ≥2) de los que consta la descomposici´ on en ciclos disjuntos de cada una de las tres componentes del autotopismo Θ. Proposici´ on 2.1. Sean L∈ L(n)yΘ = (α, β, γ)∈Atop(L). Si α0(respectivamente, β0o γ0) es un ciclo no trivial en la descomposici´ on en ciclos disjuntos de α(respectivamente, βoγ), entonces todo Θ-conjunto cr´ ıtico de Lcontiene al menos una entrada en las filas (respectivamente, una entrada en las columnas, o una entrada conteniendo un s´ ımbolo) que intervienen en el ciclo α0(respectivamente, β0oγ0). Como consecuencia, m´ax (n X i=2 dα i, n X i=2 dβ i, n X i=2 dγ i)≤scsΘ(L). Demostraci´ on. Probamos la primera parte del resultado en el caso de disponer de un ciclo no trivial α0de la descomposici´ on en ciclos disjuntos de la permutaci´ on de filas α. (Los otros dos casos referentes a la permutaci´ on βde columnas y la permutaci´ on γde s´ ımbolos, se demuestran an´ alogamente por conjugaci´ on). Para ello, sea α∈Sntal que α(i) = (α0(i),si iinterviene en el ciclo α0, i, en otro caso. Consideremos entonces el isotopismo Θ′:= (α, Idn,Idn)∈Sn×Sn×Sn, el cual consiste simplemente en una permutaci´ on de las filas que intervienen en el ciclo α0. Como dicho ciclo es no trivial, resulta que Θ′∈ Atop(L). Adem´ as, se comprueba f´ acilmente que Θ∈Atop(LΘ′). El resultado viene entonces asegurado por el Lema 1.10. Por su parte, la consecuencia a la que hace referencia el enunciado resulta inmediata a partir de lo anterior y del hecho de que la descomposici´ on en ciclos de cada una de las permutaciones α, βyγ, a la que hace referencia el enunciado, es disjunta. CAP´ ITULO 3 Autotopismos de ciclo largo Comenzaremos nuestro estudio centr´ andonos en aquellas estructuras c´ ıclicas vinculadas a ciclos de longitud cinco o seis. 3.1– La estructura c´ ıclica (6,6,32) Esta estructura c´ ıclica est´ a vinculada a un autotopismo Θde las clases principales descritas por L6,4yL6,7. Atendiendo al Cuadro 1.3, se tiene que scsΘ(L6,n)≤3≤lcsΘ(L6,n), para n∈ {4,7}. Con vistas a probar que dichas cotas son ´ optimas, consideramos el isotopismo can´ onico Θ := ((123456),(123456),(123)(456)), dando lugar a la siguiente Θ-coloraci´ on. 222222 Atendiendo a la estructura c´ ıclica bajo consideraci´ on, se presentan seis ´ orbitas secundarias no mon´ otonas. Por su parte, se deduce de la anterior Θ-coloraci´ on que, a la hora de seleccionar entradas para que conformen nuestro Θ-conjunto cr´ ıtico CΘ, podemos reducir nuestra b´ usqueda a entradas de la primera fila. En particular, la Proposici´ on 2.1 nos asegura que CΘdebe contener al menos un par de entradas. Una de ellas debe contener un s´ ımbolo en el conjunto {1,2,3}y la otra en el conjunto {4,5,6}. Salvo isotopismo (m´ as concretamente, salvo permutaci´ on de s´ ımbolos), podemos tomar, sin p´ erdida de generalidad, la entrada (1,1,1) como inicial en nuestro candidato a Θ-conjunto cr´ ıtico. Completando con las entradas Θ-forzadas obtenemos el siguiente cuadrado latino parcial. 122222 2 3 1 2 3 14 3. Autotopismos de ciclo largo 15 A la hora de seleccionar nuestra segunda entrada, existen dos tipos de celdas vac´ ıas en la primera fila de nuestra matriz. •La celda (1,4), en la que es factible introducir hasta cinco s´ ımbolos distintos (del 2al 6). Esto es debido a que el ´ unico s´ ımbolo presente en su fila y columna es el 1. •Celdas en las que es factible introducir hasta cuatro s´ ımbolos distintos. Esto es debido a que ya existen dos entradas (una de ellas forzada) con s´ ımbolos distintos en su correspondiente fila y columna. Estudiamos ambos casos por separado. Caso 1) (1,4) ∈ CΘ. A la hora de introducir un s´ ımbolo en dicha celda, nos encontramos de nuevo con dos opciones, dependiendo de si tomamos o no un s´ ımbolo de la Θ-´ orbita inicial. Estudiamos ambos casos por separado. •Tomar un s´ ımbolo de la Θ-´ orbita inicial. Salvo isotopismo, podemos seleccionar el s´ ımbolo 2, obteniendo as´ ı el siguiente cuadrado latino parcial, donde hemos introducido tambi´ en las entradas Θ-forzadas. 122222 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3 Se puede observar que es imposible introducir el s´ ımbolo 3en la primera fila, pues habr´ ıa repetici´ on de s´ ımbolos por columna, y tendr´ ıamos conflicto con la definici´ on de cuadrado latino. As´ ı pues, este caso no es posible. •Tomar un s´ ımbolo que no aparece en la Θ-´ orbita inicial. Salvo isotopismo, podemos seleccionar el s´ ımbolo 4, obteniendo as´ ı el siguiente cuadrado latino parcial, donde, de nuevo, hemos introducido tambi´ en las entradas Θ- forzadas. 122422 2 5 3 6 4 1 5 2 6 3 Es f´ acil comprobar que en cualquier celda a´ un vac´ ıa pueden colocarse dos s´ ımbolos distintos, jugando ambos un papel an´ alogo en todos los casos. As´ ı, salvo isotopismo, podemos tomar la entrada (1,2,6), que fuerza el siguiente cuadrado latino parcial. 1 6 2432 2 4 5 1 2 3 5 6 4 3 1 6 5 1 2 4 5 6 2 3 3. Autotopismos de ciclo largo 16 Nuevamente, en cualquier celda a´ un vac´ ıa se pueden introducir dos s´ ımbolos distintos, dando lugar al hecho de que las Θ-´ orbitas que est´ an a´ un por rellenar sean intercambiables. Necesitamos, por tanto, seleccionar una cuarta entrada en la primera fila para que el cuadrado obtenido sea ´ unicamente Θ-completable. Salvo isotopismo, podemos seleccionar la entrada (1,3,2), dando lugar ya a un cuadrado latino parcial ´ unicamente Θ-completable, cuyo conjunto de entradas ser´ ıa {(1,1,1),(1,2,6),(1,3,2),(1,4,4)}. En este punto debemos comprobar si dicho cuadrado latino parcial es un Θ-conjunto cr´ ıtico, o si bien incluye informaci´ on redundante. En este sentido, se puede observar que el subconjunto de entradas {(1,2,6),(1,3,2),(1,4,4)}, determina tambi´ en un cuadrado latino parcial ´ unicamente Θ-completable, siendo de hecho un Θ-conjunto cr´ ıtico. 16243 5 6 2 4 3 5 1 2 4 3 5 1 6 4 3 5 1 6 2 3 5 1 6 2 4 5 1 6 2 4 3 As´ ı pues, este caso da lugar a un Θ-conjunto cr´ ıtico de tama˜ no tres. Caso 2) (1,4) ∈ CΘ. N´ otese que si {(1,2),(1,5)} ⊂ CΘ, o {(1,3),(1,6)}⊂CΘ, nos encontramos en una situaci´ on an´ aloga al Caso 1, que da lugar a la existencia, a lo m´ as, de un Θ-conjunto cr´ ıtico de tama˜ no tres. As´ ı pues, este segundo caso debe centrarse en seleccionar a lo m´ as una entrada en el par de celdas {(1,2),(1,5)}yalom´ as una entrada en el par de celdas {(1,3),(1,6)}. M´ as a´ un, por el apartado anterior, conocemos que la celda (1,4) debe contener un s´ ımbolo que no se encuentre en la Θ-´ orbita de la entrada (1,1,1). Esto hace que la Θ-´ orbita vinculada a la celda (1,4) juegue el mismo papel que OrbΘ((1,1,1)) en la construcci´ on de CΘ. Como consecuencia, como las cuatro celdas a´ un vac´ ıas (1,2),(1,3),(1,5) y(1,6) son adyacentes a una de estas dos Θ-´ orbitas, todas estas celdas tambi´ en juegan el mismo papel en la construcci´ on de CΘ. Por ello, podemos suponer, sin p´ erdida de generalidad, que (1,2) ∈ CΘ. De nuevo encontramos dos opciones a la hora de colocar un s´ ımbolo en ella, dependiendo de si tomamos o no un s´ ımbolo de la Θ-´ orbita inicial. Salvo isotopismo, nos encontraremos en una de estas dos situaciones. 1 3 22 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 1 4 22 2 5 3 6 1 4 2 5 2 6 Ninguno de los dos cuadrados latinos parciales es ´ unicamente Θ-completable, siendo necesario, por tanto, incluir una nueva entrada en una de las celdas (1,3) o(1,6). En caso de que esta nueva entrada no diera lugar a un cuadrado latino parcial ´ unicamente Θ-completable, ser´ ıa necesaria una cuarta entrada que nos llevar´ ıa obligatoriamente al Caso 1. As´ ı pues, este caso da lugar a lo m´ as a un Θ-conjunto cr´ ıtico de tama˜ no tres. 3. Autotopismos de ciclo largo 17 Atendiendo al razonamiento anterior, alcanzamos el siguiente resultado. Proposici´ on 3.1. Sea L∈ L(6) con un autotopismo Θ∈Atop(L)tal que zΘ= (6,6,32). Entonces, scsΘ(L) = lcsΘ(L)=3. 3. Autotopismos de ciclo largo 18 3.2– La estructura c´ ıclica (6,6,321) Esta estructura c´ ıclica est´ a vinculada a un autotopismo Θde las clases principales descritas por L6,6yL6,12. Atendiendo al Cuadro 1.3, todo cuadrado latino L∈ L(6) parat´ opico L6,6, con un autotopismo Θ∈Atop(L)tal que zΘ= (6,6,321), verifica que scsΘ(L)≤2≤3≤lcsΘ(L).(3.1) Por su parte, todo cuadrado latino L∈ L(6) parat´ opico a L6,12, con un autotopismo Θ∈Atop(L) tal que zΘ= (6,6,321), verifica que scsΘ(L)≤3≤lcsΘ(L).(3.2) Con vistas a probar que todas estas cotas son ´ optimas, consideramos el isotopismo can´ onico Θ := ((123456),(123456),(123)(45)), dando lugar a la siguiente Θ-coloraci´ on. 222222 Atendiendo a la estructura c´ ıclica bajo consideraci´ on, se presentan cinco ´ orbitas secundarias no mon´ otonas y una ´ orbita secundaria mon´ otona en s´ ımbolos. Por la Proposici´ on 2.1, sabemos que nuestro Θ-conjunto cr´ ıtico CΘdebe contener dos entradas conteniendo un s´ ımbolo del conjun- to {1,2,3}y un s´ ımbolo del conjunto {4,5}. Haciendo uso de nuestra metodolog´ ıa, las ´ unicas situaciones factibles, salvo isotopismo y/o transposici´ on, son las siguientes. 142232 2 5 1 2 3 4 3 1 5 1 2 4 5 2 3 134652 321564 513246 642135 465321 256413 122422 2 5 3 4 5 1 4 2 5 3 S´ olo la segunda situaci´ on da lugar a un Θ-conjunto cr´ ıtico de tama˜ no dos, vinculado a un cuadrado latino parat´ opico a L6,6. Las otras dos situaciones indicadas dan lugar a cuadrados latinos parciales que no son ´ unicamente Θ-completables, requiriendo por ello a˜ nadir una tercera entrada. Es as´ ı que las cotas inferiores indicadas en (3.1) y (3.2) son ´ optimas. Salvo isotopismo y/o transposici´ on, las ´ unicas situaciones factibles derivadas de la elecci´ on de una tercera entrada es una de las siguientes. 142232 2 5 3 1 2 3 4 1 3 1 5 2 3 1 2 4 5 1 2 3 146532 325641 213465 432156 651324 564213 142532 2 5 4 1 2 3 4 5 4 3 1 5 5 1 2 4 5 4 2 3 14263 5 425361 253416 634152 361524 516243 146532 325641 213465 432156 651324 564213 142635 425361 253416 634152 361524 516243 3. Autotopismos de ciclo largo 25 S´ olamente la ´ ultima situaci´ on da lugar a un Θ-conjunto cr´ ıtico, que tiene tama˜ no tres. Ninguna de las de tama˜ no dos da lugar a un Θ-conjunto cr´ ıtico, lo que asegura la cota inferior indicada en (3.5). En todas ellas necesitamos una tercera entrada, dando lugar, salvo paratopismo, o bien a uno de los Θ-conjuntos cr´ ıticos que ya han aparecido, o bien a una de las dos siguientes situaciones factibles. 135444 241 352 3 4 1 2 4 5 6 1 3 5642 5 2 4 1 6 3 6 1 3 5 2 4 3 6 2 4 1 5 2 4 6 3 5 1 4 5 1 2 3 6 La segunda situaci´ on da lugar a un Θ-conjunto cr´ ıtico de tama˜ no tres, mientras que la primera requiere de una nueva entrada. Cualquier entrada factible que se tome en una de las celdas vac´ ıas da lugar de hecho a un cuadrado latino parcial ´ unicamente Θ-completable. Ahora bien, si dicha entrada extra da lugar a una ´ orbita secundaria mon´ otona, entonces el cuadrado latino parcial no es un conjunto Θ-cr´ ıtico, pudi´ endose eliminar una de las entradas de las ´ orbitas secundarias no mon´ otonas. En otro caso, si la entrada extra da lugar a una ´ orbita secundaria no mon´ otona, el cuadrado latino obtenido es un Θ-conjunto cr´ ıtico, alcanzando as´ ı la cota superior indicada en (3.5), que resulta ´ optima. Atendiendo a todo nuestro razonamiento, queda probado el siguiente resultado. Proposici´ on 3.7. Sea L∈ L(6) con un autotopismo Θ∈Atop(L)tal que zΘ= (51,51,51). Entonces, scsΘ(L) = 3 ≤4 = lcsΘ(L). CAP´ ITULO 4 Autotopismos con ciclos de longitud media El presente cap´ ıtulo se centra en el estudio de aquellas estructuras c´ ıclicas que presentan ciclos de longitud tres o cuatro. 4.1– La estructura c´ ıclica (412 ,412 ,412) Esta estructura c´ ıclica est´ a vinculada a un autotopismo Θde las clases principales descritas por L6,6yL6,8. Atendiendo al Cuadro 1.3, se tiene que scsΘ(L6.n)≤5≤6≤lcsΘ(L6.n). para n∈ {6,8}. Con vistas a probar que dichas cotas son ´ optimas, consideramos el isotopismo can´ onico Θ := ((1234),(1234),(1234)), dando lugar a la siguiente Θ-coloraci´ on. 444444 Atendiendo a la estructura c´ ıclica bajo consideraci´ on, se presentan dos ´ orbitas secundarias paralelas mon´ otonas en s´ ımbolos, dos ´ orbitas secundarias paralelas mon´ otonas en filas, dos ´ orbitas secundarias paralelas mon´ otonas en columnas, dos ´ orbitas principales y cuatro ´ orbitas triviales. Por la Proposici´ on 1.6 sabemos que el tama˜ no de conjunto cr´ ıtico m´ ınimo ser´ a mayor o igual a 3, siendo estas entradas relativas a una de las ´ orbitas secundarias mon´ otonas por s´ ımbolos, a una de las ´ orbitas secundarias mon´ otonas por filas y a una de las ´ orbitas secundarias mon´ otonas por columnas. Adem´ as, es obligatorio tomar una orbita trivial en nuestro conjunto cr´ ıtico. Salvo isotopismo, podemos considerar una de las siguientes dos situaciones. 644414 6 2 6 3 6 4 123456 6 5 644414 6 2 6 3 6 4 234156 6 5 26 4. Autotopismos con ciclos de longitud media 27 En este punto, existe la posibilidad de incluir una entrada relativa a alguna de las ´ orbitas secundarias mon´ otonas o bien relativa a alguna de las ´ orbitas principales. Estudiamos entonces ambos casos: •Colocar una entrada relativa a una ´ orbita secundaria mon´ otona. Salvo paratopismo, alcanzamos una de las siguientes situaciones. 64431 2 4 6 2 3 1 6 3 4 2 6 4 1 123456 6 5 64441 2 6 1 2 3 6 2 3 4 3 6 4 1 234156 6 5 64241 3 6 3 2 4 4 6 3 1 642 234156 6 5 La asignaci´ on de un valor factible en una cualquiera de las celdas a´ un vac´ ıas dar´ ıa lugar a un cuadrado latino parcial ´ unicamente Θ-completable, de tal forma que cualquier subconjunto de tama˜ no menor incluido en el conjunto de entradas anterior, no constituye por s´ ı mismo un Θ-conjunto cr´ ıtico. Es decir, este caso da lugar a un conjunto cr´ ıtico de tama˜ no seis. •Colocar una entrada relativa a una ´ orbita principal. Salvo paratopismo, alcanzamos una de las siguientes situaciones. 6 3 4414 6 4 2 613 2 6 4 123456 6 5 6 4 4414 6 1 2 6 2 3 3 6 4 123456 2 3 4 1 6 5 642514 5 6 3 2 4 5 6 3 1 5 6 4 123456 6 5 644414 6 1 2 2 6 3 3 6 4 123456 6 5 6 2 5 3 14 4 6 3 5 2 1 5 1 6 4 3 2 1 5 2 6 4 3 234156 3 4 1 2 6 5 642413 6 3 2 4 4 6 3 1 1 6 4 2 234156 6 5 643414 6 4 2 163 2 6 4 234156 6 5 En particular, obtenemos un Θ-conjunto cr´ ıtico de tama˜ no cinco. El resto de casos requiere de una sexta entrada. Cualquiera factible que se tome da lugar a un Θ-conjunto cr´ ıtico de tama˜ no seis. Proposici´ on 4.1. Sea L∈ L(6) con un autotopismo Θ∈Atop(L)tal que zΘ= (412,412,412). Entonces, scsΘ(L)=5≤6 = lcsΘ(L). 4. Autotopismos con ciclos de longitud media 28 4.2– La estructura c´ ıclica (32 ,32 ,32) Esta estructura c´ ıclica est´ a vinculada a un autotopismo Θde las clases principales descritas por L6,4yL6,7. Atendiendo al Cuadro 1.3, se tiene que scsΘ(L6,n)≤4≤5≤lcsΘ(L6,n),(4.1) para n∈ {4,7}. Con vistas a probar que dichas cotas son ´ optimas, consideramos el isotopismo can´ onico Θ := ((123)(456),(123)(456),(123)(456)), dando lugar a la siguiente Θ-coloraci´ on. 444 444 Se presentan doce ´ orbitas principales. Si observamos con detenimiento la Θ-coloraci´ on, parece estar conformado por cuatro subcuadrados que contienen tres ´ orbitas principales cada uno. 4444 4 4 4 4 4 444 4444 4 4 4 4 4 4 4 44 Pueden presentarse los siguientes dos casos 1. Cada subcuadrado corresponde a un cuadrado latino de orden 3 con tres ´ orbitas principales. Si tuvi´ eramos la seguridad de encontrarnos en este caso y adem´ as supi´ eramos los s´ ımbolos asignados a cada subcuadrado, los resultados mostrados en el Cuadro 1.2 implican que cada subcuadrado requerir´ ıa exactamente una entrada para ser Θ-completado. Por tanto, nuestro Θ-conjunto cr´ ıtico CΘrequerir´ ıa al menos cuatro entradas, una por cada subcuadrado formado. Si elimin´ asemos alguna entrada, el cuadrado no ser´ ıa ´ unicamente Θ-completable. Si a˜ nadi´ eramos alguna m´ as, ser´ ıa redundante. 2. Cada subcuadrado contiene todos los s´ ımbolos, estando formado por dos ´ orbitas principales de uno de los ciclos de s´ ımbolos y otra del restante. En este caso, si dos subcuadrados en una diagonal est´ an completos (es decir, se usan seis entradas), entonces los dos subcuadrados restantes pueden rellenarse de manera forzada. V´ ease en este sentido el siguiente ejemplo, donde se ha hecho uso de s´ ımbolos gen´ ericos en el conjunto {a, b, c, d, e, f}. 4. Autotopismos con ciclos de longitud media 29 a c d e b a b f c 44f c b 4c d a b a e M´ as a´ un, si tuvi´ eramos la seguridad de encontrarnos en este caso, no ser´ ıan necesarias las seis entradas. V´ ease, por ejemplo, el siguiente caso. ac d e a b f 44f c b 4c d a b a e A partir de este punto, podemos completar forzosamente el cuadrado parcial anterior. ac d f e a d b f e 44f c b 4c d a b a e Una vez incluimos dicho s´ ımbolo, podemos a˜ nadir de manera forzada la Θ-´ orbita que hab´ ıamos eliminado. Por tanto, el cuadrado ser´ ıa ´ unicamente completable con cinco entradas, no pudi´ endose eliminar ninguna otra entrada para lograr un cuadrado latino parcial ´ unicamente Θ-completable. Tal y como se ha indicado, los comentarios anteriores son de utilidad si sabemos con seguridad en qu´ e caso nos encontramos. Sin embargo, un razonamiento gen´ erico es necesario para asegurarnos la optimalidad de las cotas presentadas en (4.1). Por la Proposici´ on 2.1, sabemos que CΘrequire al menos dos entradas, que deben cubrir los dos conjuntos de filas, columnas y s´ ımbolos {1,2,3} y{4,5,6}. Salvo paratopismo, la situaci´ on ser´ a una de las siguientes. 1 2 3 4444 4454 6 1 4 2 5 3 6 4414 4424 3 1 4 2 5 6 3 4414 4424 3 Ninguno de estos cuadrados latinos parciales es ´ unicamente Θ-completable, por lo que necesitamos una nueva entrada en cada uno de ellos. Para equiparar el n´ umero de entradas en los cuadrados latinos parciales que resulten en nuestro razonamiento, indicamos a continuaci´ on las dos situaciones que resultan, salvo paratopismo, del primero de los tres cuadrados latinos parciales anteriores. 4. Autotopismos con ciclos de longitud media 30 1 3 2 1 2 3 4444 4454 6 142 2 3 3 1 4444 4454 6 Se observa que ninguno de estos cuadrados latinos parciales es ´ unicamente Θ-completable, requiriendo una cuarta entrada. Analizando estos casos, juntos a los dos casos de tres entradas seleccionadas que vimos con anterioridad, resulta que nuestro Θ-conjunto cr´ ıtico debe contemplar, salvo paratopismo, alguna de las siguientes situaciones. 1342 6 5 5 2 1 6 3 4 2 6 3 5 4 1 65241 3 3 4 6 1 5 2 4 1 5 3 2 6 13426 5 521634 263541 65241 3 346152 415326 1 3 654 2 4 2 1 3 6 5 2 5 3 6 1 4 36542 1 6 1 4 2 5 3 5 4 2 1 3 6 1 3 4 2 6 5 5 2 1 6 3 4 2 6 3 5 4 1 6524 1 3 3 4 6 1 5 2 4 1 5 3 2 6 13 46 2 1 5 4 2 3 5 6 4413 442 1 2 3 16 43 2 4 5 1 5 3 2 6 4 3 416 5 1 42 4 2 6 5 3 164 3 2 4 5 1 5 3 2 6 4 3 416 5142 4 2 6 5 3 1 4 2 5 3 6 4414 5424 6 3 13 2 46 5 3 2 1 6 5 4 2 1 3 5 4 6 54 6 13 2 4 6 5 3 2 1 6 5 4 2 1 3 1643 2 4 5 1 5 3 2 6 43416 5142 4 2 6 5 3 13 2 46 5 321655 213546 54613 2 465321 654213 13 2 46 5 3 2 1 6 5 4 2 1 3 5 4 6 65413 2 5 4 6 3 2 1 4 6 5 2 1 3 1346 2 1 5 4 2 3 5 6 6 1 4 2 5 3 142 325 613 4414 4424 3 1465 3 2 4 2 5 3 6 1 6 5 3 2 1 4 53214 6 3 6 1 4 2 5 2 1 4 6 5 3 1 4 236 5 3 2 5 6 1 4 6 1 3 5 4 2 25413 6 5 3 6 4 2 1 4 6 1 2 5 3 14 53 2 5 6 1 6 3 2 4 53414 6 1 42 5 2 4 6 3 1 4 2 3 6 5 3 2 5 6 1 4 6 1 3 5 4 2 2541 3 6 5 3 6 4 2 1 4 6 1 2 5 3 4. Autotopismos con ciclos de longitud media 31 1 4 5 3 2 5 6 1 6 3 2 4 5341 4 6 1 42 5 2 4 6 3 Diez de las situaciones planteadas dan lugar a Θ-conjuntos cr´ ıticos de tama˜ no cuatro. En particular, el primero y el quinto de estos diez no son parat´ opicos, perteneciendo de hecho a las dos clases principales bajo consideraci´ on. El resto de los casos requieren al menos una nueva entrada. Salvo paratopismo, dichos casos contienen uno de los Θ-conjuntos cr´ ıticos de tama˜ no cuatro indicados anteriormente, o bien contienen uno de los siguientes Θ-conjuntos cr´ ıticos de tama˜ no cinco, correspondientes a las dos clases principales bajo consideraci´ on. 1654 3 2 6 2 4 3 5 1 5 4 3 2 1 6 43216 5 3 5 1 6 2 4 2 1 6 5 4 3 13 2 46 5 321654 213546 46513 2 654321 546213 Atendiendo al razonamiento anterior, hemos probado el siguiente resultado. Proposici´ on 4.2. Sea L∈ L(6) con un autotopismo Θ∈Atop(L)tal que zΘ= (32,32,32). Entonces scsΘ(L)=4≤5 = lcsΘ(L). 4. Autotopismos con ciclos de longitud media 32 4.3– La estructura c´ ıclica (32 ,32 ,313) Esta estructura c´ ıclica est´ a vinculada a un autotopismo Θde las clases principales descritas por L6.n, para n∈ {2,3,5,6,12}. Atendiendo al Cuadro 1.3, se tiene que scsΘ(L6,3)≤6≤lcsΘ(L6,3),(4.2) scsΘ(L6,n)≤6≤7≤lcsΘ(L6,n),(4.3) para n∈ {2,12}, y scsΘ(L6,n)≤4≤6≤lcsΘ(L6,n),(4.4) para n∈ {5,6}. Con vistas a estudiar la optimalidad de dichas cotas, consideramos el isotopismo can´ onico Θ := ((123)(456),(123)(456),(123)), dando lugar a la siguiente Θ-coloraci´ on. 444 444 Atendiendo a la estructura c´ ıclica bajo consideraci´ on, se presentan seis ´ orbitas principales y seis ´ orbitas secundarias mon´ otonas por s´ ımbolos. Al igual que en la secci´ on anterior, estos cuadrados latinos pueden dividirse en cuatro subcuadrados. 4444 4 4 4 4 4 444 4444 4 4 4 4 4 4 4 44 Nos encontramos, entonces, ante dos posibles situaciones: 1. Los cuatro subcuadrados anteriores son cuadrados latinos de orden tres de tal manera que dos de ellos est´ an conformados por tres ´ orbitas principales y los dos restantes contienen tres ´ orbitas mon´ otonas por s´ ımbolos. Como ejemplo ilustrativo tenemos el siguiente cuadrado latino. 1 3 2 4 5 6 3 2 1 6 4 5 2 1 3 5 6 4 4 5 6 1 3 2 6 4 5 3 2 1 5 6 4 2 1 3 4. Autotopismos con ciclos de longitud media 33 Si tuvi´ eramos la seguridad de encontrarnos en este caso, los resultados mostrados en el Cuadro 1.2 implican que los dos subcuadrados que son cuadrados latinos de orden tres con tres ´ orbitas principales requieren una ´ unica entrada para ser reconstruidos. Adem´ as, la Proposici´ on 1.6 implicar´ ıa que cada uno de los otros dos subcuadrados requerir´ ıan dos entradas relativas a dos ´ orbitas mon´ otonas por s´ ımbolos de cada uno para poder ser completados. De esta formas, se necesitar´ ıan seis entradas como m´ ınimo para completar ´ unicamente el cuadrado, siendo ´ estas: cuatro entradas relativas a ´ orbitas mon´ otonas por s´ ımbolos y dos a ´ orbitas principales. Esta elecci´ on de seis entradas resulta ´ optima en el caso de encontrarnos en la clase principal L6,3. Mediante un simple estudio de casos se observa que en las clases principales L6,2yL6,12 existen conjuntos de entradas en los que, si se toman s´ olo dos s´ ımbolos distintos en las cuatro entradas de ´ orbitas no mon´ otonas, el cuadrado no ser´ ıa ´ unicamente completable, pues una ´ orbita principal podr´ ıa intercambiarse por una secundaria. Si a˜ nadi´ esemos una ´ orbita secundaria nos encontrar´ ıamos en el caso anterior, pudi´ endo completar el cuadrado con s´ olo seis entradas, sin embargo, si a˜ nadimos una entrada relativa a una ´ orbita principal, tendr´ ıamos un total de siete entradas que har´ ıan posible la completaci´ on de manera ´ unica del cuadrado y conformar´ ıan un conjunto cr´ ıtico. En ning´ un caso ser´ ıan necesarias m´ as de siete entradas para formar un Θ-conjunto cr´ ıtico. Vease el siguiente ejemplo: 1 2 4 6 3 2 6 4 1 3 6 4 463 6 4 1 642 2. Cada subcuadrado contiene una ´ orbita principal y dos mon´ otonas por s´ ımbolos o viceversa. Esta situaci´ on requiere un estudio de casos. Por la Proposici´ on 2.1, sabemos que nuestro Θ-conjunto cr´ ıtico CΘrequiere al menos dos entradas, que deben cubrir los dos conjuntos de filas y columnas {1,2,3}y{4,5,6}, y al menos un s´ ımbolo en el conjunto {1,2,3}. Adem´ as, la Proposici´ on 1.6 implica que CΘrequiere al menos dos entradas con s´ ımbolos en el conjunto {4,5,6}. Salvo paratopismo, la situaci´ on, con exactamente tres entradas, ser´ a una de las siguientes. 1 2 3 444 5 444 5 5 4 1 5 2 5 3 5 4444 4444 4 1 5 4 4 2 5 5 4 3 4444 4444 4 1 5 2 5 3 5 444 444 4 Ninguno de los cuadrados latinos parciales anteriores es ´ unicamente Θ-completable, siendo necesario una cuarta entrada en cada uno de ellos. En particular, todo cuadrado latino 4. Autotopismos con ciclos de longitud media 34 parcial ´ unicamente Θ-completable conteniendo al primero de los cuadrados debe incluir en el subcuadrado superior izquierdo un ´ orbita mon´ otona en uno de los s´ ımbolos del conjunto {4,5}. Adem´ as, sin en la cuarta situaci´ on se encontrara el s´ ımbolo fijo 6en el subcuadrado inferior derecho, podr´ ıamos reducirnos a la segunda situaci´ on, por lo que, en este caso, podemos suponer que el s´ ımbolo 6no est´ a contenido en dicho subcuadrado. Pero entonces nos encontrar´ ıamos obligatoriamente en el Caso 1. As´ ı, salvo paratopismo, tendremos las siguientes situaciones. 1 4 5 5 2 4 4 5 3 444 5 444 5 5 4 1 3 45 4 2 1 5 2 4 3 5 4444 4444 4 1 4 5 2 4 5 4 3 5 4444 4444 4 1 6 453 2 4 2 6 3 5 1 6 4 3 2 1 5 4444 4444 4 1345 2 6 4 2 1 6 5 3 2 4 3 1 6 5 41443 2 42 3 4 1 3 2 1 4 1 5 6 2 5 6 3 6 5 4444 4444 4 1 5 3 2 5 1 3 2 5 24443 3 1 4 4 1 2 4 1 5 2 5 3 5 5443 2 5 3 4 1 5 2 1 4 1 5 2 5 3 5 6443 2 6 3 4 1 6214 1 5 2 5 3 5 4144 24444 3 4 1 5 2 5 3 5 45 4 4 54444 5 4 1 5 2 5 3 5 4644 64444 6 4 14 2 53 6 3 2 4 6 5 1 4 1 3 2 6 5 244 1 3 3 1 4 2 1 3 2 4 1 5 2 2 3 5 3 1 5 344 2 144 3 2 1 4 1 5 426 3 425136 543621 4444 4444 4 1 5 463 2 4 2 5 3 6 1 5 4 3 2 1 6 4444 4444 4 1 5 4 6 3 2 4 2 5 3 6 1 5 4 3 2 1 6 3614 2 5 2 1 6 5 4 3 6 3 2 1 5 4 1 5 4263 425136 543621 361452 216345 632514 La situaci´ on pen´ ultima y ´ ultima son los ´ unicos dos Θ-conjuntos cr´ ıticos de tama˜ no cuatro obtenidos. Corresponden, respectivamente, a las clases principales de L6,5yL6,6. A˜ nadiendo una entrada a cada una de las dos situaciones inmediatamente anteriores a ellas, se obtienen Θ-conjuntos cr´ ıticos de tama˜ no cinco de ambas clases principales. 5. Autotopismos de ciclo corto 41 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 Es f´ acil ver que, independientemente de las entradas que tomemos, se cubren todos los ciclos de filas y columnas. Por tanto, la diferencia vendr´ a marcada por el n´ umero de s´ ımbolos distintos que se tomen en estas entradas. Puesto que s´ olo se tienen ´ orbitas mon´ otonas por s´ ımbolos es necesario que, como m´ ınimo, se usen cinco distintos (pues si tomamos un n´ umero menor, las ´ orbitas de los s´ ımbolos no usados podr´ ıan intercambiarse entre s´ ı). Comprobamos si cinco s´ ımbolos son suficientes para completar ´ unicamente el cuadrado. Se usar´ an, de manera gen´ erica, el conjunto de s´ ımbolos {a, b, c, d, e}. Podemos reducirlo a tres casos casos: •Caso 1: {a, a, a, b, b, b, c, d, e} En este caso se tienen dos tripletas de s´ ımbolos iguales. Salvo paratopismos, isotopismos y/o transposiciones, suponemos la siguiente disposici´ on en el cuadrado: a b c a b c d a b 4d4a4b b4e4a4 b e a Es f´ acil comprobar que en cada entrada existe la posibilidad de colocar, al menos, dos s´ ımbolos, luego no es ´ unicamente Θ-completable. Esto es debido a que las tripletas nos est´ an dando informaci´ on redundante. •Caso 2: {a, a, a, b, b, c, c, d, e} En este caso se tienen una tripleta y dos parejas de s´ ımbolos iguales.Salvo paratopismos, isotopismos y/o transposiciones, suponemos la siguiente disposici´ on en el cuadrado: 5. Autotopismos de ciclo corto 42 a b c a b c d a b 4d4a4b c4e4a4 c e a Podemos ver que cada pareja de s´ ımbolos tendr´ a informaci´ on suficiente como para colocar la tercera ´ orbita con el mismo s´ ımbolo. Si completamos de manera forzada: a b c a b c d a cb 4d c a4b cbe4a4 b c e a Sin embargo, siguen existiendo entradas que tienen la posibilidad de colocar dos s´ ımbolos en ellas, luego el cuadrado no ser´ ıa ´ unicamente Θ-completable. •Caso 2: {a, a, b, b, c, c, d, d, e} En este caso se tienen cuatro parejas de s´ ımbolos iguales. Salvo paratopismos, isotopismos y/o transposiciones, suponemos la siguiente disposici´ on en el cuadrado: a b c a b c d a b 4d4a4b c4e4d4 c e d Si completamos de manera forzada: a b dc a d b c d a cb 4d c a4b cbefda b c f e a d Sin embargo, las ´ orbitas restantes pueden intercambiarse entre s´ ı, luego no es ´ unicamente Θ-completable. Podemos afirmar, entonces, que si se usan ´ unicamente nueve entradas y cinco s´ ımbolos distintos, el cuadrado no es ´ unicamente Θ-completable, luego necesitaremos usar seis s´ ımbolos distintos. Puesto que con los casos anteriores hemos comprobado que una tripleta de s´ ımbolos iguales no aporta informaci´ on adicional, estudiaremos el caso en el que existen seis entradas relativas a s´ ımbolos distintos y tres a s´ ımbolos repetidos, por ejemplo {a, a, b, b, c, c, d, e, f }. Suponemos la siguiente disposici´ on: 5. Autotopismos de ciclo corto 43 a b c a b c f a b f4a4b d c 4e d c e Si completamos de manera forzada: aebdcf e a d b f c cf a ebd f c e ad b bd c f a e d b f c e a Es f´ acil ver mediante un simple estudio de casos que, sea cual fuere la disposici´ on de entradas usadas, siempre se vuelve al caso anterior. Luego, si se usan 9 entradas relativas a cada uno de los intercalados y aparecen los seis s´ ımbolos distintos, entonces el cuadrado es ´ unicamente Θ- completable. Una vez hemos demostrado la cota inferior de tama˜ no de conjunto cr´ ıtico, ser´ ıa conveniente estudiar la cota superior. Resulta evidente que, al usar diez entradas (donde nueve de ellas pertenecen a cada uno de los nueve intercalados presentes), el n´ umero de s´ ımbolos empleados debe ser cinco, ya que al usar seis volver´ ıamos al caso anterior. Existen varias posibilidades a la hora de tomar las diez entradas en funci´ on de los s´ ımbolos seleccionados: •Caso 1: {a, a, a, b, b, b, c, c, e, f} En este caso se tienen dos tripletas y una pareja de s´ ımbolos iguales. Salvo paratopismos, isotopismos y/o transposiciones, suponemos la siguiente disposici´ on en el cuadrado: a b c a b c f a eb f e ab b c a b c a Si completamos de manera forzada: a b c a b c cf a ebd f c e ad b b c a b c a Puede verse que el cuadrado no es ´ unicamente Θ-completable, pues las ´ orbitas restantes pueden intercambiarse entre s´ ı. •Caso 2: {a, a, a, b, b, c, c, d, d, f} En este caso se tienen una tripleta y tres parejas de s´ ımbolos iguales. Salvo paratopismos, isotopismos y/o transposiciones, suponemos la siguiente disposici´ on en el cuadrado: 5. Autotopismos de ciclo corto 44 a b c a b c f a b d fad b d c a d c a Si completamos de manera forzada: aebdcf e a d b f c cf a eb d f c e ad b bd c fae d b f c e a Puede verse, entonces, que el cuadrado es ´ unicamente Θ-completable usando diez entradas y cinco s´ ımbolos distintos. •Caso 3: {a, a, b, b, c, c, d, d, f, f} Este opci´ on no ser´ ıa necesaria estudiarla pues, si fuese ´ unicamente Θ-completable, la cota superior para el tama˜ no de conjunto cr´ ıtico se mantendr´ ıa en diez entradas y, de no serlo, existir´ ıan dos opciones: o bien se a˜ nade una entrada que incluye un s´ ımbolo ya presente en el cuadrado (con lo que volver´ ıamos al caso 2) o bien se a˜ nade un nuevo s´ ımbolo (con lo que se volver´ ıa al caso de nueve entradas y seis s´ ımbolos distintos). Atendiendo al razonamiento anterior, alcanzamos el siguiente resultado. Proposici´ on 5.1. Sea L∈ L(6) con un autotopismo Θ∈Atop(L)tal que zΘ= (23,23,16) entonces scsΘ= 9 ≤10 = lcsΘ. 5. Autotopismos de ciclo corto 45 5.2– La estructura c´ ıclica (2212 ,2212 ,2212) Esta estructura c´ ıclica est´ a vinculada a un autotopismo Θde las clases principales descritas por L6,1,L6,2,L6,4,L6,5,L6,6,L6,7,L6,8,L6,10,L6,11 yL6,12. Atendiendo al Cuadro 1.3, todo cuadrado latino L∈ L(6) parat´ opico a L6,1,L6,2,L6,4,L6,6,L6,7o a L6,10, con un autotopismo Θ∈Atop(L)tal que zΘ= (2212,2212,2212), verifica que scsΘ(L)≤7≤9≤lcsΘ(L). Por su parte, todo cuadrado latino L∈ L(6) parat´ opico a L6,5,L6,8,L6,11 o a L6,12, con un autotopismo Θ∈Atop(L)tal que zΘ= (2212,2212,2212), verifica que scsΘ(L)≤8≤9≤lcsΘ(L). Con vistas a probar que todas estas cotas son ´ optimas, consideramos el isotopismo can´ onico Θ := ((12)(34),(12)(34),(12)(34))), dando lugar a la siguiente Θ-coloraci´ on. 222222 22 Apesar de los esfuerzos dedicados a este caso en particular, no ha sido factible abordarlo en su totalidad en este Trabajo de Fin de M´ aster debido a la naturaleza intrincada de sus propiedades y relaciones. Si bien se han obtenido avances preliminares y se ha establecido una base para su estudio, la exploraci´ on completa de este caso requerir´ ıa una dedicaci´ on adicional y un an´ alisis m´ as profundo. Por esta raz´ on, se destaca este caso como un ´ area prometedora para futuras investigaciones y trabajo en desarrollo. Se considera que un estudio minucioso de este caso podr´ ıa arrojar nueva luz sobre aspectos cruciales del mismo, contribuyendo as´ ı al enriquecimiento de esta ´ area de estudio. Exponemos, entonces, los avances obtenidos hasta el momento: Se presentan cuatro ´ orbitas secundarias mon´ otonas por filas, cuatro ´ orbitas secundarias mon´ otonas por columnas, cuatro ´ orbitas secundarias mon´ otonas por s´ ımbolos, cuatro ´ orbitas triviales y cuatro ´ orbitas principales. La Proposici´ on 2.1 establece que cada ciclo de tama˜ no mayor o igual a dos del autotopismo fijado debe ser alcanzado por alguna ´ orbita. Sabemos que el cuadrado latino contiene cuatro intercalados. Si atendemos a la estructura c´ ıclica propuesta para estudio, llegamos a la conclusi´ on de que estos intercalados estar´ an conformados bien por una ´ orbita secundaria mon´ otona por s´ ımbolos y una ´ orbita principal cada uno, o bien dos estar´ an formados por dos ´ orbitas mon´ otonas por s´ ımbolos y los otros dos por ´ orbitas principales. Los intercalados presentes en el cuadrado son: 111 1 1 1 1 1 111 1 5. Autotopismos de ciclo corto 46 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 En cuanto a las ´ orbitas secundarias mon´ otonas, podemos afirmar que, tras un sencillo estudio de casos, existen dos posibilidades: que las ´ orbitas mon´ otonas, bien por filas o por columnas, sean paralelas dos a dos, pero nunca de manera simult´ anea, o bien, que ninguna ´ orbita secundaria mon´ otona sea paralela. Luego, en funci´ on del caso en el que nos encontremos, se requierir´ an (o no) dos entradas adicionales relativas a ´ orbitas secundarias mon´ otonas por filas o columnas. Por ´ ultimo, es f´ acil ver que las entradas triviales conforman un cuadrado latino de orden dos. Por (Falc´ on y cols., 2021) sabemos que para que ese caso sea ´ unicamente Θ-completable se precisa de una ´ unica entrada relativa a una de las ´ orbitas triviales. Estudiamos los distintos casos posibles, en funci´ on de las ´ orbitas tomadas y teniendo en cuenta los requisitos anteriores. Comenzaremos estudiando los casos en los que cada intercalado contiene una ´ orbita principal y una mon´ otona por s´ ımbolos. Puesto cada intercalado est´ a conformado por una una ´ orbita principal y una secundaria mon´ otona por s´ ımbolos, estas ´ orbitas podr´ ıan intercambiarse entre si, luego tomaremos inicialmente una entrada de cada intercalado: •Tomar tres entradas relativas a ´ orbitas principales y una de una ´ orbita secundaria mon´ otona por s´ ımbolos Salvo isotopismo, paratopismo y/o transposici´ on, las ´ unicas soluci´ ones factibles son: 1 2 222 2 1 22 3 5 4 5 1 3 222 2 4 22 3 5 4 5 Estas entradas fuerzan las siguientes: 152622 526122 3654 6 4 3 5 153622 526422 365 6 4 5 Continuamos, entonces, a˜ nadiendo las entradas relativas a ´ orbitas mon´ otonas paralelas por columnas (de manera an´ aloga, por filas) y la entrada de la ´ orbita trivial. Salvo isotopismo, paratopismo y/o transposici´ on, las ´ unicas soluciones factibles son: 152632 526142 36541 64352 5 152632 526142 36541 6 4 3 5 2 5 5. Autotopismos de ciclo corto 47 153622 526412 365 1 6 4 5 2 5 153622 526412 365 4 6 4 5 3 5 Estas entradas fuerzan otras, dando lugar a un mismo resultado: 152634 526143 365412 643521 56 6 5 152634 526143 365412 643521 56 6 5 153624 526413 365241 641532 56 6 5 153624 526413 365 4 6 4 5 3 56 6 5 Es f´ acil ver que las entradas mon´ otonas por filas restantes podr´ ıan intercambiarse entre s´ ı, por tanto, debemos incluir, al menos, una entrada relativa a estas: 152634 526143 365412 643521 4356 6 5 152634 526143 365412 643521 4356 6 5 153624 526413 365241 641532 4356 6 5 153624 526413 365 4 6 4 5 3 4356 6 5 Es f´ acil ver que, a excepci´ on del cuadrado parcial situado en la esquina inferior derecha, el resto son ´ unicamente Θ−completables y puede comprobarse que, en el caso superior izquierdo, no existe ningun subconjunto de entradas de menor tama˜ no incluido en ´ el que haga que el cuadrado siga siendo ´ unicamente Θ−completable, luego precisa de ocho entradas. Sin embargo, en el caso superior derecho e inferior izquierdo, se podr´ ıan eliminar una entrada de cada uno, a saber (1,3,2) para el superior derecho y la (1,5,2) para el inferior izquierdo, de maera que el cuadrado seguir´ ıa siendo ´ unicamente Θ-completable, precisando, por tanto, s´ olo siete entradas. Si atendemos al caso inferior derecho, se necesitar´ ıa una entrada m´ as para que fuese ´ unicamente Θ-completable. Mediante un estudio de casos, podemos ver que independientemente de la ´ orbita tomada, nos encontraremos ante conjuntos cr´ ıticos de tama˜ no siete y ocho. 5. Autotopismos de ciclo corto 48 •Tomar dos entradas relativas a ´ orbitas principales y dos a ´ orbitas secundarias mon´ otonas por s´ ımbolos Salvo isotopismo y/o transposici´ on, las ´ unicas soluci´ ones factibles son: 122222 2 1 22 5 6 5 6 125222 2 5 22 3 6 4 6 125222 2 5 22 5 4 5 3 125222 2 5 22 5 1 5 2 Se puede comprobar que al a˜ nadir las entradas relativas a las ´ orbitas mon´ otonas por columnas (an´ alogamente filas) y la entrada de la ´ orbita trivial, nos encontraremos en alguno de los casos anteriores. Luego se precisan siete u ocho entradas para que el cuadrado sea ´ unicamente Θ−completable. •Tomar tres entradas relativas ´ orbitas secundarias mon´ otonas por s´ ımbolos y una de una ´ orbita principal Este caso es an´ alogo al estudiado en el primer punto, luego volver´ ıamos a encontrarnos con conjuntos cr´ ıticos de tama˜ no siete y ocho. •Tomar cuatro entradas relativas a ´ orbitas principales o cuatro secundarias mon´ otonas por s´ ımbolos. Este caso dar´ ıa lugar a un cuadrado latino parcial que no ser´ ıa ´ unicamente Θ-completable pues las ´ orbitas mon´ otonas por s´ ımbolos (an´ alogamente, las ´ orbitas principales) podr´ ıan intercambiarse entre s´ ı. El estudio de este caso nos conduce a uno de los anteriores. Hasta el momento hemos logrado demostrar que el tama˜ no m´ ınimo de conjunto cr´ ıtico oscilar´ a entre siete y ocho entradas si se respetan los requisitos expuestos al comienzo de este estudio. Si bien es cierto que en el caso de siete entradas exist´ ıa un intercalado completamente vac´ ıo, ser´ ıa conveniente estudiar qu´ e suceder´ ıa al dejar dos o m´ as intercalados vac´ ıos. •Dejamos dos intercalados vac´ ıos Salvo isotopismos, paratopismos y/o transposiciones, encontramos las siguientes soluciones factibles: 152622 526122 153622 526422 5. Autotopismos de ciclo corto 49 152222 5 2 22 1 5 5 2 152222 5 2 22 3 5 5 4 A˜ nadimos la entrada relativa a la ´ orbita trivial e incluimos aquellas entradas que puedan ser forzadas: 152622 526122 56 6 5 153622 526422 56 6 5 152222 5 2 22 1 5 5 2 56 6 5 152222 5 2 22 3 5 5 4 56 6 5 Puesto que los cuadrados parciales anteriores no son ´ unicamente Θ-completables, a˜ nadiremos entradas relativas a ´ orbitas mon´ otonas por filas o columnas seg´ un corresponda. Salvo isotopismos, paratopismos y/o transposiciones, las soluciones factibles son las siguientes: 152632 526142 56 6 5 153622 526412 56 6 5 1 5 2222 52 12 1 5 5 2 56 6 5 1 5 2232 5 2 4 2 1 5 5 2 56 6 5 1 5 2222 5 2 1 2 3 5 5 4 56 6 5 1 5 2232 52 42 3 5 5 4 56 6 5 Completamos con entradas forzadas en aquellos casos que lo permitan: 152634 5 2 6 1 4 3 56 6 5 153624 5 2 6 4 1 3 56 6 5 1 5 2222 52 12 1 5 5 2 56 6 5 5. Autotopismos de ciclo corto 50 1 5 2232 5 2 4 2 1 5 2 5 2 1 56 6 5 1 5 2222 5 2 1 2 3 5 4 5 4 3 56 6 5 1 5 2232 52 42 3 5 5 4 56 6 5 Debido a que los cuadrados parciales anteriores siguen sin ser ´ unicamente Θ-completables, a˜ nadiremos una nueva entrada relativa a una ´ orbita secundaria mon´ otona por filas o columnas, as´ ı como las entradas forzadas que surjan. Salvo isotopismos, paratopismos y/o transposiciones, las soluciones factibles son las siguientes: 152634 5 2 6 1 4 3 12 2 1 56 6 5 152634 5 2 6 1 4 3 2156 6 5 152634 5 2 6 1 4 3 341256 6 5 153624 5 2 6 4 1 3 31 4 2 56 6 5 153624 5 2 6 4 1 3 214356 6 5 153624 5 2 6 4 1 3 3456 6 5 1 5 222 3 5 2 1 4 1 5 4 2 5 2 3 1 56 6 5 1 5 2222 5 2 1 2 1532 5 2 4 1 56 6 5 1 5 2222 52 12 1 5 2 5 2 1 2156 6 5 1 5 2222 5 2 1 2 1 5 2 5 2 1 342156 2 1 6 5 1 5 2222 5 2 1 2 1 5 2 5 2 1 2156 6 5 1 5 2222 52 12 1 5 2 5 2 1 2 1 3456 2 1 6 5 1 5 223 2 5 2 4 1 1 5 2 5 2 1 56 6 5 1 5 2232 5 2 4 1 1 5 2 5 2 1 2156 6 5 1 5 2232 5 2 4 1 152 521 342156 2 1 6 5 Referencias Adams, P., Bean, R., y Khodkar, A. (2003, 08). A census of critical sets in the latin squares of order at most six. Ars Combinatoria,68. al Buni, A. (1980). Shams al-ma‘arif al-kubra wa-lata´ ıf al-‘awarif. al-Maktabat al-Sha‘biyah. Descargado de https://books.google.es/books?id=eSclwAEACAAJ Bose, R., Parker, E., y Shrikhande, S. (1960). Further results on the construction of mutually orthogonal latin squares and the falsity of euler’s conjecture. Canadian Journal of Mathematics, 12, 189–203. Colbourn, C. J. (1984). The complexity of completing partial Latin squares. Discrete Appl. Math., 8(1), 25–30. Descargado de https://doi.org/10.1016/0166-218X(84)90075 -1 doi: 10.1016/0166-218X(84)90075-1 Colbourn, C. J., Colbourn, M. J., y Stinson, D. R. (1984). The computational complexity of recognizing critical sets. En Graph theory, Singapore 1983 (Vol. 1073, pp. 248–253). Springer, Berlin. Descargado de https://doi.org/10.1007/BFb0073124 doi: 10.1007/BFb0073124 Curran, D., y Van Rees, G. H. J. (1979). Critical sets in Latin squares. En Proceedings of the Eighth Manitoba Conference on Numerical Mathematics and Computing (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1978) (pp. 165–168). Utilitas Math., Winnipeg, Man. Donovan, D., y Howse, A. (1998). Critical sets for Latin squares of order 7. En (Vol. 28, pp. 113–123). (Papers in honour of Anne Penfold Street) Falc´ on, R. M. (2006). Latin squares associated to principal autotopisms of long cycles. application in cryptography. Proceedings of Transgressive Computing 2006: a conference in honor of Jean Della Dora., 213–230. Falc´ on, R. M. (2011). The set of autotopisms of partial latin squares. Discrete Math.,313, 1150–1161. Falc´ on, R. M., Johnson, L., y Perkins, S. (2021). A census of critical sets based on non-trivial autotopisms of latin squares of order up to five. AIMS Math.,6, 261–295. Gonz´ alez-Regadera, M. (2022). Estudio de cuadrados latinos para su aplicaci´ on en un protocolo criptogr´ afico de compartici´ on de secretos. Trabajo Fin de Grado de Ingenier´ ıa Inform´ atica - Tecnolog´ ıas Inform´ aticas. Universidad de Sevilla. Hulpke, A., Kaski, P., y ¨ Osterg˚ ard, P. (2011). The number of Latin squares of order 11.J. Math. Comp.,80, 1197–1219. Ib´ a˜ nez, P. (2015). Cuadrados latinos, matem´ aticas y arte abstracto. Cuaderno de Cultura Cient´ ıfica. Descargado de https://culturacientifica.com/2015/01/14/ cuadrados-latinos-matematicas-y-arte-abstracto/ Kolesova, G., Lam, C. W. H., y Thiel, L. (1990). On the number of 8×8Latin squares. J. Combin. Theory Ser. A,54(1), 143–148. McKay, B. D., Meynert, A., y Myrvold, W. (2007). Small Latin squares, quasigroups, and loops. J. Combin. Des.,15(2), 98–119. Nelder, J. (1977). Critical sets in latin squares. J. Combin. Des.. Smetaniuk, B. (1979). On the minimal critical set of a Latin square. Utilitas Math.,16, 97–100. 57