Neutoni genesis curvarum per umbras. : Seu perspectivae universalis elementa; exemplis coni sectionum et linearum tertii ordinis illustrata

>juUUA>< —r(5, Ex BlBL10TECl<,i| D,A.^gYLLOA (I ii t W-r- V ’"•' '' •NI '3 M ?VJqM^ •" ^ T^ AT/>.,M: T^"'! , '•• 's'.i.--- •.>/ .‘M ;: •.V- '" , ' :V'*^v^r .,-' i"'X\- 5< •t ',:; '.'-'i- i;-i. '..' .;:;: ;.s- ; NEUTONI Genejis Curvarum per Umbras, SEU PERSPECTIVAE UNIVERSALIS ELEMENTA; EXEMPLIS Coni SeSiionum ET Linearum Tertii Ordinis ILLUSTRATA. LONDINI: Apud A. Millar. M.DCC.XLVI. ;^ 'j r^''V\. \ii Wv ‘0 A?Lj AQ-i J. )i^i a -V ;> .T V. c. MARTINO FOLKES, REGIAE SOCIETATIS PRAESIDI, rRACTATUMHUNC, HONORIS ET OFFICII CAUSA, D. D. Patricius Murdoch. A2 (5^) dU$ crefcentl^ nojlrd etiam eulpdy quidquam acceder^et. Tu^ Candide LeSipr, fiQubi in his erratum fuerit ignojcas^ quaefo^ et corrigas. iX} xr* .•, ERRATA Typogi-aphica (praeter leviora quaedam) fic corrigenda. Pag. 32, 1.penult. pro habetur lege habeatur. Pag. 49, 1.an,tepenult. et pag. 50. 1.4. pro A, B, C, &c.' lege A, fe, C, &c. Pag. 50. I. 10. pro A, lege A. Pag. 52. 1.7. lege funplicibri.s. Pag. 70. 1.I. pro poffct lege poflit. ibii. 1.6.lege Figurarum. r^V. 1.IO. lege augarati. Pag. 108. 1.penult. pro lege -tTfae. :g -r : .'.f,T,.; r- -y -i.:, .'i .t'' j' o- i-T n '3. ’3'ir ; f 'j -.•v I- i-i ’:W-« .^v|. ‘ 'J GENESIS CURVARUM PER UMBRAS. SECTIO 1. PerfpeBwae Linearis Principia* DEFINITIONES. I. Fig. i. SIreda infinita XYper pundum immotum Z, ceu Polum, duda, fecundum lineam quamcunquc datam moveatur, atque interea Plano Balicui 2Genefis Curvarum alicui infinito MNpofitione dato occurrat ;occurfus ille, Lineae Expolitae Proje^io^ Planum vero MN, Planum ProjeBionn^ dicetur. COROL. I. Si Linea expejita, ut PL, reSla fuerity reBa erit et ipjius ProjeBio pL. Superficies nimirum, motu rectae infinitae genita, omnis in eodem Plano exiftet (2. el. 11.) ;cujus itaque Occurlus cum Plano dato erit reda (3. ejufd.) Et fi fecundum Figurae alicujus redilineae, parallclogrammae Icilicet aut polygonae, reda illa infinita circumagatur, Superficies genita erit binarum Pyramidum fimilium, communi vertice Z;quarum proinde Interfediones cum Plano quolibet erunt redilineae. •CoROL. 2, Sin motusille fecundum Cur"cam.y POL, temperetur, Superficies defcripta per Umbras, 3 fcripta erit conici generis ^ Vertice Z; et cujus interfec^tio poL, cum Plano quovis MNreda efle nequit. Alias redla poL, cum pL, quae et ipla re<Ela eft, Spatium includere poffet. Pundlum Zhic et in fequentibus extra Planum MNlocari fupponitur, ad diftantiam finitam. DEF. II. Figuram aut Lineam expofitam in eodem Plano conftitui ponimus ; Planumque illud Bajin appellamus.’ Ejufmodi eft Planum EFcui inferi-* bitur Curva POL, et reda PL. DEF. III. Reda LSin qua Planum Projectionis Balin fecat, Linea Bafeos dicetur. DEF. IV. Si per Polum Zdudum fuerit Planum ZCI, Bafi EFparallelum, Plano Projedionis occurrens in reda B2 CI; 4Genefis Curvarum CI;Planum illud Horizontale dicetur, atque Interfedio CI, Linea Horizontalis. COROL. Linea Horizontalis eft Lineae Bayioj- parallela ;i6, el. ii. DEF. V. Per Polum ZPlanum ZCG, Planis modo defcriptis perpendiculariter irulilens, Herticale dicetur. Hujus cum Plano Horizontali Interfedio ZCeft Axis Projedlionis. Pundlum Cin quo hic Lineae Horizontali occurrit, Projedlionis Ce^urum : Redla autem CG, in qua Planum Projedionis fecat, Bali et Plano Horizontali intercepta. Radius appellatur. Et fiquando ufui luerit pro Plano Verticali ZCG, aliud, ut Zcpgpn, ufurpare, quod Iit Bali aut Plano Proje6lionis, aut forte utrique. Obliquum-, Planum Projectionis atque Horizontale, in redis cg, Zc, fecans. Redas per Umbras, 5 Redas illas, et Piindum c, iifdem vocabulis defignabis, addito Secundariorum epitheto. DEF. VI. Si denique per Polum Zduci intelligatur Planum ZRV, Plano Projedionis parallelum, quod Bahn fecet in RV ;erit RV Lima Lxtremorum^ quia fc. Lineae huic contigua in extrema Projedionis abeunt. CoRoL. Lima Lxtremorum eft LimaeBafeos parallela. PROBLEMA. Datis Polo Plano ProjeSiionis MN^ et punSlo P, hujus ProjeSlionem (p) invenire, Caf, I. Fig. I. 1°. Sit primo pundum Pad alteras partes Plani Projedionis quam Polus Zjet politis quae in Defini- B3tionibuB 6Genefis Curvarum tionibus explicata et conftru^la funt^ fi per Axem ZCet pundlum Pducatur Planum ZCPL, Bafim fecans in PL, Planum Projectionis in CL ; patet Projectionem quaefitam repertum iri in hoc Plano, et quidem in reCta ZP. At eadem in reda CL reperietur, adeoque in pundo p, ubi ZP, CLfe mutuo fecant. Porro quum fint redae ZC, PL, parallelae {Def. 4; et 16 ^/. ii.) fimilia eruntTriangula PLp, ZCp,ad verticem pconftituta ;et PL:ZC: : Lp:Cp;five (compon.) PL-f- ZC :PL::CL:Lp. .Eft etiam Angulus ZC Iredus [Def. 5.) et huic aequalis PLS(19. el. 11.) Si itaque aPundo Pdato, lineae Bahs LSfiat normalis PL, ipfi occurrens in L, et jungatur CL;difiantia PLAxi ZCaddita, erit ad eandem PLut eft CLad Lpquaefitam. At datis pundis Z, P, cum Plano Projedionis, et affumto Plano quovis per Ptranfeunte, quod Planum per Umbras, 7 num Projectionis fecans efficiat Lineam Bafis LS, dantur PL, ZC, CL;adeoque et Lp. PraCticam vero Problematis in PlanoConftruCtionem lic expedias, 2. DuCla, in plano aliquo, Balis linea LS, atque huic normali LQ^, in, bac fiat LPdiftantiae punCli dati a linea Bafis aequalis ;atque in LS capiatur LGdiftantia puncti Pa plano Verticali ;ut GMreCtae LS normalis, interfedionem Plani Verticalis cum Bafi exhibeat. In reCta GM produCta capiantur, ad, partes punCto Pcontrarias, GH aequalis Axi Projectionis, GCaequalis Radio, et per punCta H, P, duCtis HN, PM, ipfi LS parallelis, quarum haec Verticali occurrat in M, junCta etiam CL;huic in reCta HNcapiatur HKaequalis, et duCta KM, quae ipfam LGfecet in D, li in LCfiat Lp=DG, erit pProjeCtio quaelita. B4Eft 14 Genejis Curvarrnti COROL, 8, Si de Angulis quaeratur :Quoties Linea expofita eft redae LSnormalis^ ut PL;propter datas CG, GL et Angulum CGLredum, dantur Anguli GCL, GLC. In ftilo A- rithmetico, ut QQ ad ita Radius ad T^angentem Anguli GCL. Sin ad LSObliqua fuerit ut PIT ; data politione PII dabitur iplius interledio cum LS, {quae lit g,) live intercepta Gg;datur etiam Cc, centrorum diftantia. Et li lit interfedio Projedionis pvr et radii CG (li opus produdi), propter datas Gg, Ccdabitur ratio Gg+Cc ad Cc;id eft ratio CGad Cx. Datur itaque Cet Species Trianguli CTT C, live Angulus Ctt c. Obiter etiam notari poteft, quod, datis, in priore Cafu, Radio CGet diftantia GL, detur Projedionis Lp inclinatio, quaecunque fuerit Axis ZCmagnitudo. At fecus rem fe habere per Umbras.^ 15 habere in Cafu fecundo ;auda enim ZCaugebitur Cc, et contra. CoRoL. 9. ReBarum Baji infijienttu7nquae fu?tt Plano ProjeBionis parallelae^ projiciuntur in parallelas. Sin^ Jihi invicem parallelae^ Plano ProjeBionis utcunque inclinentur ;projeBiones ad idefn punBum convergent ;illud nempe in quo redta, lineis expolitis parallela, per polum dudia, Plano Projedtionis occurrit. CoRoL. IO. Si, quod plerumque fit. Planum Projedlionis Bafi ponatur redtum, et ad hanc pundla omnia extra ipfain Jita.^ demilfis fc. perpendiculis, referantur, horwn projedliones fic invenies. Fig. 2. Sit puncli (fj) Altitudo lupra vel infra Bafin, a:Perpendiculum vero ab ipfo demilTum Bafi occurrat in P; cujus Projedlio per regulas jam traditas i6 Genejis Curvarum ditas inventa fit p. Et in PL, fi opus produda fiat L1(five La) =a, prout nfupra vel infra Bafin locatur, duda etiam C1(five Ca.) Tum vero fi ptt ipfi PLparallela redae C1(aut Ca) occurrat in tt, erit TT Projedio quaefita. Nam dato Polo Zac Plano Projedionis datur Axis normalis ZC. Neque aliud efficit ipfius nelevatio aut depreffio quoad Bafin, nifi ut Radius qui erat CG, nunc fadus fit CGTjT a, i. e. Cgvel Cmanentibus ceteris datis. Adeoque ex Analogiis per quas inveniuntur p, jr, erit CL:Lp::Cl: l7r::CA:A 7r* et pTT ipfi PLparallela. CoRoL. Ir. Si pundi nAltitudo Poli ZAltitudinem fuperet, Projedio erit fupra Horizontalem: quod cura Cafu 3® Problematis coincidit. 3-CoRoL. -TT »! O' f. -e. isCiOai i^s' vi i:i-)b.bi;? T3q ,mRifii; :LV::n^ •«IQtnvKii alHv ••• r;'iXiiJp mcj jriLrjci :;rt£j!'T.Rq :kv;nh?j'-; k. 17 per Umbras. COROL. 12. ReSiilinei cujufvis ProjeSiio eProjeStionibus reBarum terminantium conjicitur. CoRoL. 13. Polo Zin infinitum remoto, ut fit ZPredae cuidam datae femper parallela, fiet Projedio, quae dicitur Orthographica ;quam, per eafdem Regulas huic Cafui accommodatas, facile defcribes. Atque haec de Redilineorum Projedione fufficiant. Exempla enim, Regulafque illas multiplices de Objedorum particularium defcriptione lubens omitto ;tum quod ad praefens inllitutum parum faciant, praefertim vero quod ejufmodi regulas maximam partem inutiles exiftimem : Qui Perfpedtivae operam dat, Artem pradicam perPraxin edifcat. Principia modo Jam poiita rite intelligat, cetera proprio marte, afliimtis plurimis ex- Ccmplis, 1 8 Genefis Curvarum emplis, felicius exequetur. Operationum compendia inter operandum fe prodent ;cuique fua, adeoqueoptima, quae memoria vix excident, aut fi lorte exciderint, facilius revocanda. Notandum denique figuram, ut in praecedentibus, delineatam, Objedli propofiti imaginem, oculo in Polo Projedionis polito, tum demum exhibere, fi in altera Schematis facie eaedem lineae infcribantur. Verus enim imaginis litus is eft qui ex averfi Schematis facie, tanquam pellucidi, conlpicitur, ut ex demonltratione liquet. Is autem limul ac femel obtinetur, li capiantur puncta P, Cad alteras partes redae LS. Nos ea utimur Conlfrudione quae demonfirationi propior videatur, neque a propolito nollro aliena. SECTIO per Umbras. 19 SECTIO II. I.L)e generalibusProjeclionum Symptomatis Geometricis. I. TNPlano Bafis fit reda quaevis lineae ^Bafis occurrens, et in ea pundum P;quo major j aut mmor eft pundi hujus diftantia alinea Extremorum, eo minus aut magis diftabit ipfius Projedio aLinea Horizontali. Unde facile colligitur Curvae cujufvis Crura infinita in Horizontalem projici. An autem Horizontalis Curvae Genitae evadat Afiymptotos \an ipfamfiecet aut conti?7 gaty et in quibus piindis, ex Projedione 'Ta?2gentis ad diftantiam infinitam femper dignofces. II. Pundi illius P, pofi lineam Extremorum politi, ut inCafi. 3° Proble- C2'matis, 2,6 Genefis Curvarum SCHOLIUM I. Haec omnia ex iis quae in SeSi. I. tradita funt ita facile elicias ut prolixiore Demonftrationum apparatu non opus Iit. Neque aliud fere ad Projeftiones quafvis rite intelligendas requiras :Exinde enim Arcus cujufvas plaga et convexitas innotefcent, qua item ratione Crura infinita Figurae Genitricis ad Horizontalem redeant, dudtu continuo ipfam fecantes aut cofttingentes, forte etiam fecundum eandem tanquam Afymptoton protenfae. Quorum in fequentibus plura Exempla videre eft. Proderit tamen ut qui hujufmodi Enumerationes fufcipere velit, aProjeSlionibus reSlilineis initium ducat, in iifque fe aliquamdiu exerceat. Rectae enim Curvis adfcriptae, Contingentes, Afyjnptoti^ Tdriangula aut Farallelogramma, ipfarum Syinptomata in Projectionibus determinant atque optime produnt. Quo fpeCtant Exempla per Umbras. 27 Exempla quae in Fig. 6&7exhi- bentur. In quibus eft CzxyLinea Ho~ rizontalisi Ccentrum Projedtionis, HNLinea Extremorum^ LSLinea Bafeos ;et Triangulum PRTprojicitur in prt. Latera quoque Triangulorum in infinitum produda in^ telliguntur. In Exemplo priore ubi Linea Extremorum extra Triangulum ponitur. 1°. Latera finita PR, PT, RT, dant latera finita pr, rt, pt. 2^. Lateris alicujus PTprodudi Segmentum PAquod termino Pet lineae Extremorum interjacet, projicitur in infinitam pa. Reda infinita AXprojicitur in infinitam ax, termino Aabeunte in infinite diftantem a, et termino infinite diftante X redeunte in xad Lineam Horizontalem. Infinita autem TXdat finitam tX, quoniamT non eft ad Lineam Extremorum, etX redit ad Horizontem zS Genefis Curvarum tem in x. Nfec diverfa in reliquis ratio. Tres nempe redae infinitae intra quas continetur triangulum, projiciuntur in totidem infinitas alternata tamen pundorum A, E, I;et Fundorum X, Y, Zdenominatione. 3°. Proinde fi pundum aliquod fuerat intra Triangulum PRT, aut in Angulo YRZVerticali, aut forte in Spatio ZRTXfub Bafe RT, ejufdem projedio intra locorum iftorum projediones reperietur, in triangulo rpt, in triangulo zry, aut in Spatio zrtxrefpedive. Quod et de Curvae alicujus Arcu in locis praedidis conftituto dicendum. 4°. In Fig. 7,, ubi linea extremorum HNLatera Trianguli fecat in Pundis E, I, res paullo aliter fe habet. Latus quidem PT, quod non, nifi produdum, lineae Extremorum occurrit, dat Projedionem ptfinitam. At Latera ad punda E, I, interrupta, abeunt in infinitum, et quae Latera rt, rpconftituunt, funt ry, per Umbras^ 29 ty;rz, pz, projectiones infinita-' rumRY, TY ;RZ, PZ. 5Quocirca punCtum quod intra' Triangulum PRTfuerat, projicietur extra triangulum prt;fi nempe fuerat in Triangulo IRE quod abfcindit HN, ProjeClio erit in Spatio Verticali interminato ire\ fin fuerat intra Trapezium PIET, projicietur in Spatium ipte. Et viciflim, quae in Angulo Verticali YRZpofita erant, invenientur intra Triangulum yrfub Linea Horizontali. At quae fuerant fub Bafe PTin Spatio ZPTYredibunt inTrapezium tpy. Si, in utravis figura, de Spatio quaeritur in quod ingreditur linea Extremorum HN, quale eft Spatium ZR TXfub Bafe RT;diftinguatur illud in binas partes ad reCtam HN terminatas v. g. in ZREAX et ETA; quarum illa projicitur in erzxa^ haec autem 'meta interminatum fupra Horizontalem. ScHo- 3oGenefs Curvarum SCHOLIUM 2. Obiter notari poteft, quod cum, ex natura Projedlionum, conftet reftam quamlibet atque ejufdem Projeftionem Lineae Bafis occurrere in eodem Pun£lo; Si (Fig. 6&7) dentur Punftorum P,T, projediones p, t, et Linea Balis LS, dabitur et rProjectio cujufvis alterius Pundli R. Ductis fc. PR, TRquae lineam Bafis lecent in tt, t, rectae ptt, tt, fi opus produdae concurrent in r. Adeoque fi fuerit pundum Rad Curvam in cujus Plano fit reda PT, et fit ptreda aliqua alTumta cujus interfedio cum PTfit o-, et perodu- catur reda quaevis L^Sjad quam fint redarum PR, pr; TR, tr, interfediones tt, t, erit pundi rLocus Curva ejufdem ordinis cum illa quam percurrit R. 2. per Umbras. 3 1 2.T)e Aequatione Algebraica ProjeBionem Curvilineam dejignante. Ubi Plani V?rticalis et Bajis htterfeSiio ejt Uinea Abfcijfaru?7z Figurae Genetricis^ aut huicParallela. In Fig. 8, fit ZHMC Planum Verticale Bafin fecans in HM, Planum Projectionis in Radio CG{==r)y Horizontale autem in Axe ZC{~a) ; duCla ZHipfi CGparallela Bafi occurrat in H. Tum vero, fi fuerit HMvariabilis cujus terminus eft H, termini Mprojectio m, in quo fc. ZM, CGfe mutuo fecant ;erit, ob triangula ZHM, ZCmfimilia, HM: HZ(C G) ::ZC:Cm. Sive fcriptis pro Abfciflis FI M, Cm(quarum illa aLinea Extremorum, baec a Centro 32 Genefis Curvarum Centro Projectionis initium ducit) literis a;,», eft x=—. EademAbfciflae Expreffio ex ConftruCtione Problematis deducitur. {Fig. 2, 3, 4)In quibus eft HM: HK(C L) : : G M :GD(Lp). AdeoqueHMrHM^GM (HG)::CL :CL^Lp(C p). Et diftantia PM deminuta ut Pad Maccedat, erit tandem CL=CG, Cp=Cm; et ad Analogiam HM :HG ::CG:Cm deventum erit. Et ft fuerit PM(==jv), Ordinata ejufdem Curvae cujus Abfcifta eft x, lineae Balis parallela, hujus Projectio pm(=v) ;erit CG:Cm::GL (P Mj :p miftve ^^::-h yiv; et ^=±= Atque his Variabilium Xy yValoribus in Aquatione Curvae expolitae ftibftitutis, orietur iEquatio in terminis Zy Vy ad Curvam ge?2itam. Habetur v.g. y'' =p x' -\-q X+s Aquatio ad Coni Sedliones ;erit v' I % I* .} 38 Genefis Curvarum Quum itaque in omnimoda Circuli Projedione, Planum Projectionis Conum fecet, cujus Vertex eft Polus Projectionis, ProjeCtiones erunt ipfae illae Figurae modo memoratae. Nec minus conftat, Conum ex Bafi. quacunque Elliptica^ Parabolicd2i\it HyperboUcd (Sedtionnm oppolitarum) oriundum, eafdem praebere SeCtiones; idque ob reciprocas Planorum Bafis et Projectionis vices. Circuli itaqueProjeCtio, latius fumpta, totam doCtrinam Conicam in fe complectitur ;proprietatefque omnes SeSlionu7nConicarum exinde deduci pofTunt et Demonftrationibus Geometricis firmari. Nobis Exempla quaedam, Speciminis loco, propofuifle fatis erit, quibus methodi hujus Indoles atque Ufus aliqua ex parte illu Urentur. ExempL I. Fig. 9. I.Sit reCta LSLinea Bafeos^ HN Linea Extremortm-i CIHorizontalisi per Umbras, 39 //V, APTBCirculus per cujus centrum ducitur Planu77zVzrtkale fecundum Diametrum AB;fitque reda HNextra Circulum polita. Inveniatur Diametri ABProjedlio ab; duftifque apundo H, in quo Linea Extremorum Plano Verticali occurrit, redis HT, HTCirculum contingentibus in T, T, redaque TT in ttprojeda, Ellipjis aptb, Axibus ab, 11defcripta erit Projedio Circuli dati APTB. Qiium enim redae AH, TH, THconcurrant ad Lineam Extremorum, quae Elliplin contingunt in t, t, erunt Axi abParallelae, idelf, erit tt Axis ipli abconjugatus. 2. Politis P MOrdinatae Circuli, X~Abfciffae HM, </ == Diametro AB, /=HBdiftantiae Circuli aLinea Extremorum, eritjv* — —x'' -h d2ly- XdlX Scriptifque, ut fupra, -y =pmOrdinatae Projedae, z=Abfcilfae Cm, HG=CG=r. Aequatio Pro- D4jedionis 40 Genefis Curvarum je£iioriis erit v* == —x+ Xz'—a* Iad Ellipjtn Specie datam^ modo detur Coefficiens termini —Axes enim ab, 1 1 erunt ad indicem ut funt ret x/ d+ l1, iive ut CGet tangens HT. Unde plura de hac Secdione proponi folita refoivas. 3.Ut fi Conus [Fig.io.) BTAZ^ Circulo BT A infiftens, quem Planum Bafi normale, fecundum Diametrum, fecat, Triangulum efficiens BAZ, Plano altero fecandus fit, ut fiat ScS:\o Ellipfis Speciei datae ;producda (fi opus utrinque) Diametro ABad hanc infledlatur aVertice Z redla ZHut fit redlanguliim AHx HBad HZq, in ratione (F ad G) data, duplicata fc, illius quam habiturus eft Axis Plano Verticali perpendicLiraris ad Axem alterum ;dudta-r que redta CGipfi HZParallela, fi fecundum hanc fecetur Conus Plano 'per Umbras, 41 quod fit ad PlanumVerticale redlum, erit Sedfio Speciei imperatae. Demiffo autem Perpendiculo ZI, reda ZHinfleditur per Conftrudionem Aequationis quadraticae G”F>^a!'‘ -i-GxAB-i- 2Blx-F xAf =FxZBq, In qua fi prodierint Radices a*, feu BH, ejufdem Signi, erunt Punda Hutraque ad partes B;fi fuerint Aequales, unica ZHad maximam rationis ^quantitatem pertinebit. Sin impofiibiles evaferiht, ratio imperata fuit nimia. Hujus vero maxima quantitas ftatim determinabitur, fi, in Triangulo ZB Aduda quavis psdiametro BA Parallela, quam bifecet tuinr, Triangulum abfcindens Ifofceles Ztu; fiat ut redfangulum urxrtadrs^: ita tu^(Gj ad quartam (F) ;erit enim ratio ~maxima quam ufurpare liceat. Vel etiam dudla Zhipfi tu Parallela erat ^maxima ~; Ur 'Z/ nq Iri Cono re(5l:o maxima haec ratio efi; aequa- 42 Genefis Curvarum aequalitatis, quando fc. Planum fecans fit Bafi Parallelum. 4. Si fuerit CGvel ZHContingenti HTaequalis, erit Projedtio Circulus \eft enim =1. Et quum fint AH, HZ, HBcontinue Proportionales, eft Angulus HAZ =Zb a(6. el. 6.) id eft, Setftio fecundum abfit Bajfi ABfuhcontraria. 5. Hadenus pofuimus Lineam Extremorum HN Circulum ABT non attingere. Nunc vero contingat in B, et propter /=o, Aequatio Projedionis erit v' '= fz—<2*, ad Parabolam vertice <2, Parametro —defcriptam :quae itaque datis r, five, in Fig. IO. redis AB, ZBvel ZA, Axi Projedionis aerit Proportionalis, ‘et Magnitudinis cujufvis datae accipi poteft. 6. Secet deinde Circulum ut in TkT, Fig. 9. ifque projicietur in Sediones oppofitas, Verticibus a, b. Centro per Umbras. 43 Centro h, in quod Tangentium TH, concurfus projicitur, ipfe autem tangentes abeunt in Afymptotos. [Supple Figuram.) Et quum fa£la iit / Negativa, Aequatio Projedionem def* •• td—/x/ %.d-^zly^a lignans erit v———^H— —Ex qua, non fecus ac in EI- lipfi fadlum eft, Hyperbolam Speciei imperatae obtinebis. 7.Sit denique Curva expolita Sectio quaevis Conica quam in Circulum aut aliam Sedionem Speciei alTignatae projicere velis. Sit v. g. inEz^.q, Io, ABTEllipjis cujus Axis AB=if, huic conjugatus =c, manentibus reliquis Symbolis, eritque Projedlionis Aequatio — ^ ^“E et Regula de inflexione redlae ZHhic etiam valebit. Invenietur Ic. inclinatio Plani CG, in quo Projedio futura eft Ellipjis aut Hyperbola Speciei datae, 11 capiatur ^4Genefts Curvarum five ; AHB i+_/ X/ -=*;T- >ZH^ ^~^G» quaeratur Circulus^ aut (i SGHOLIUxM r. Hinc obiter ProjeBmjis illius SU' reographicae ratio reddetur. 1. Sit enim Zpundum in Superficie Sphaerae^ CGinterfedio Plani Paralleli Circulo cujus Polus Z, cum Plano Verticali ;BTACirculus projiciendus, diametro BA, cujus Plano occurrat HZ ipfi CQ Parallela in Pundo H, aquo duci intelligatur HTCirculum BTAcontingens in T. Quoniam igitur funt Punda Z, Tad Sphaerae Superficiem, erunt contingentes ZH, THAequales, et P7~oje6iio in Plano CG, aut alio quovis huic Parallelo, Circulus. Per Art. 4. hujus Exempli. 2. Angulum BZA bifecet reda ZV, diametro BAoccurrens in V, ipfi autem ba in v. Ea produdain PolumCirculi BTAincidet (26. ^/.3.) cujus per Umbras. 45 cujus itaque Projectio erit v. Ad Pun6luni Verigatur Planum Plano Projedionis Parallelum, liveBali BTA Subcontrarium^^^oA Planum verticale fecet inV Et Ii circa ZVtanquam Axem revolvi intelligatur Planum, planum atque illud per Vducitur perpetuo fecans, liquet Angulos quos efficiunt interfedliones cum redlis VA, Vfore ubique aequales, planis nimirum ad Axem revolutionis eodem prorliis modo fe habentibus. Anguli autem in Plano VQ^Angulis in vaaequantur (16 &IO. ^/. II.): Hi itaque aequales erunt Angulis in Plano BTA, aut in quovis huic Parallelo; in illo fpeciatim quod Sphaeram tangit in Polo Circuli BTA. Ex quo deducitur. Angulos quofvis in Superficie Sphaerica eofdem manere in Proje&ione : quod idem ex projedlione redlarum quae Sphaeram in pundo quovis contingunt, facile elicias. 3- 46 Genefs Curvarum 3.Pundla V, v, diametros AB, baiimiliter dividunt ;adeoque reSia quae per Polum projeSium vducitur Arcus 'abfcmdit Arcubus expojitis jimiles^ ad alternas tamen pundorum V, V, plagas: Ut fi, Pig. 1 1 ,fit ab Projedio Diametri AB, et in ea Polus projedus v, et quaeratur Arcus cujufvis ACProjedio ac. Seda ABin Vut fit AV :BV::bv:av, dudaque CVquae Arcum abfcindat BK, huic fimilis a c erit Arcus quaefitys. SCHOLIUM 2. Nec difficilius Projedionem Gno- 7nonicam five Horologtca?n explicabis. AfTumto fcilicet pro Polo Projectionum ipfo Sphaerae Centro^ Circuli omnes majores projicientur in ReEias. Quarum quae Meridianos^ five Circulos Horarios-) exhibent, ad Polmn 'IsAundii projeBufn convergent. Meridia72us autem, qui efl; Plano Horologii per Umbras, 47 logii normalis, ipfum fecabit in Linea Subjiilari. Et li in ejufdem Meridiani Plano, erigatur aCentro (C) refta (C quae iit Axi perpendicularis, Horologii Plano occurrens in E, et ab hoc pundto ducatur Subftilari normalis Eutrinque infinite produ(!!l:a, erit haec Projedio Aequinoctialis Circuli. Polita itaque CERadio, redla EQ^ejuidem Tangentem repraefentabit. Unde, in eadem EQ^, Segmentum quod Arcui cuilibet AequinoSiialis, Magnitudine et Politione dato, debetur, femper abfcindi poterit, adeoque Lineae Horarum Indices defcribi. Circuli minores dati projicientur in Coni SeEiiones datas, modo detur Politione Horologium. Ti^opicorum praecipue utilis elt Projectio in delineandis Horologiis Babyloiticis et Italicis^ (verticaliter plerumque ere6lis) in quibus dies non aMeridiano inchoatur, ficut ubique alias Iere gentium, fed ab Hotlzotite^ id elt ab Ortu 5,2 Genefis Curvarum fit rcdus ;et Redlangulum fiib HB et Pnrametro diametri HBfit in ratione data ad HZq ;in ratione quidem Aequalitatis fi Sedlio imperata efl Circulus. A 3. Cafus Pofieilhris Solutionem adjieiam ;fimpliciores nempe, reliquolque in le co.mpledlentis ;quum Bafis quaelibet in Parabolam facile convertatur, Circulus autem in Seetionem fjiecie datam, per Exef?7pl.X Fig. 12. APundio datoZ in Parabolae planum demittatur Perpendiculum ZI, ipfi occurrens in Pundto I, aquo ad Axem fiat normalis IR: Et per H Pundlum quaefitum, fi fit Parabolae diameter HB, quae redlae IRoccunat in M, Curvae autem in B, ad Bduci intelligatur contingens BX, et Ordinata ad Axem BL ;e;tperH redla PI Nipfi BXParallela Axem fecet in N. Jundtis denique ZH, ZN, ZR, fit NKipfi HMnormalis. Tum per Umbras. 53 Tura vero fi fuerit pParameter ad Axem, erit p+2LXfive p4- 2HKParameter ad Diametrum quaefitam PI B, et BXq hve FI Nq =THKXp4-^HK;addidique (ex conditione Problematis) aequalibusZHq et redlangulo fub HB, vel NX, et Parametro p-i- 2HK, erit reTanguIum NX4- ^HKx p+2HK, id eft reftangulum RV—x'^'-^ 2HK== ZKq 4HNq—(propter Angulos ZHN, ZRNredlos) =ZNq =ZRq 4- KMq. Efl: autem MRq (—Id Nq— HKq)=tHKxp, ctIM=:lR —tHKXPj atque FI K;MP. : : JM;HM. Unde erit KM(=HM pj- __ IRXy/ <. HTr~xp—iH_K Xp )HK —HK. Aequetur Iiic rebtae KM valor illi qui prodit ex Aequatione quadratica ZRq. 4-KMq= RV—KMXp-1- 2Fi K, et fcriptis pro incognita HK, x, pro datis ii 3pX 54Genejis Curvarum pxRV-f-tp' —ZRq, quadrato Q^Q^, liet X* -f-p-i-2RV xx*4- X—7pxlRq==o. quae cum Aequatione D. Hofpitalii paullo aliter inventa plane congruit. Data autem, per Conftrudionem Aequationis Cubicae, red;a HK. (=? 2LV) datur politione Diameter BH. Datur etiam per Aequationem Quadraticam KM, live NR, et pundum N, aquo, NH, contingenti BX parallela et Diametro BHoccurrens in H, erit Linea Extremorum, et ZH radius Projedionis quaelitus. Rectae autem KMvalor negativus ad alteras partes Pundi Rpolitus, alteram dabit Lineam Extremorum (h n) quae Propolito latisfaciet. Rxempl. II LFig. 13. ConifeSfiomm per data quinque PunEia projicere^ quorum tria non funt in eadem reSid. Sint 5^ per Umbras. Sint Pundia data A, B, C, D, ' per quorum bis duo A, B;C, ^ quae ducuntur redae concurrani i.. M;at BC, ADin N;et fiat rcd: NMLhtea Krtreinorum :ain r. fuerint AB, CE Parallelae, accipiatur Linea Extremorum his Parallela quae per Nducitur. Afliimtis deinde quibiifvis LS, CI, pro lAnedBa!eos et liorizontaliy quoniam funt M, N Punda ad Lineam Extremoruin, erunt ipfarum AB, CEProjediones ab, ce, Parallelae, ut et bc, ad; et quae has bifecant Diametri concurrent in Centro Projedae Cur\>ae k. Dato autem Centro k, et ordinatim applicatis ab, ce; vel cb, ad, datur Conifedio. Vices alternent rectae MN, CI, et Conifedio abcde projicietur in ABCDEquaefitam. \E. R 56Genejis Curvarum SCHOL1UM. Qiiod fi coilTe ccnfcantiir duo Pundia B, C, Pioblema in hoc aliud convertetur. “Co72iJeBionetn per t?ia pU77Eia data dejcrihere^ quae hi dato puttdlo ta77gat re&attt pejitione datam Caut, coeuntibus et binis aliis A, D, in iftud, ConJ^Siio7^e77^defcriherequae per datum pu7iEium traTtJ- eat et bitias pojitiotte datas in datis puriciis contingatB Sic etiam Problemata hujufmodi aliqua relolvi poterunt, quae vix aliter tradare liceret :qualia funt illa Neu- Prc^.XXV.XXVI. Lib.l.Prmcip. ipfa hac Methodo foluta. Jam enim animadverterit Ledor, ‘TranftnutationemCurvaruitt in Lemtttate XXII. Prittcip. traditam ipfam effe Curva- 7'um Pt-ojeBionetn de qua nunc agitur, generaliter admodum, etfub-oblcure, defcriptam. Haec ita fe habere ex Locis modo citatis abunde liquet ; ipfum per Umbras. 57 ipfum vero Le77tma hiic transferre non pigebit ;quo etiam pateat quanti methodum hanc fecerit fummus ille Vir, qui omnia ad Geo7nef7'ia7n pertinentia animo percepiffe et lecum ante peregiffe videtur. Philof. Nat. PriTicip. Matb. Lib. I. Le77777ia XXII. “Tranfmutanda lit ligura quaevis HGI, Fig. 14. ducantur pro Ki- “bitu redae duae Parallelae AO, “BL, tertiam quamvis politione datam ABfecantes in A&B, eta fi- “gurae pundo quovis Gad redam “ABducatur quaevis GD, ipli OA “parallela. Deinde aPundo aliquo “O, in Linea OAdato, ad pundum “Dducatur reda OD, ipfi BL oc- “currens in d, et aPundo occurfus “erigatur reda dgdatum quemvis “Angulum cum reda BLcontinens, “atque eam habens rationem ad Od “quam habet DGad OD;et erit “g Pundum in Figura nova hg i “Pundo 58Genejis Curvarum “PuncSo Grefpondens. Eadem ra- “tione pundla Engula Figurae pri- “mae dabunt pundla totidem Figu- “rae novae. Concipe igitur Punc- “tum Gmotu continuo percurrere “pundla omnia Figurae primae, et “Pundum gmotu itidem continuo “percurret punda omnia figurae no- “vae et eandem defcribet. Diftinctionis gratia nominemus DGordi- “natam primam, dg ordinatam no- “vam ;A D abfcifiam primam, ad “abfcifiam novam ;OPolum, OD “Radium ablcindentem, OARa- “dium ordinatum primum, et Oa “'quo Parallelogrammum OABa “completurj Radium ordinatum no- “vum. “Dico jam quod, fi Pundum G tangit redam lineam politione datam, Pundum gtanget etiam li- ‘‘ neam redam politione datam. Si “Pundum Gtangit Conicam Sec- ‘‘ tionem, Pundum gtanget etiam Conicam Sedionem. Conicis Se.c- “tionibus per Umbras. 59 tionibus hic Circulum annumero. «Porro fiPundum Gtangit Lineafrt “tertii ordinis analytici, Pundiim g “tanget Lineam tertii itidem ordi- “nis ;et fic de curvis lineis fuperio- ‘‘ rum ordinum. Lineae duae erunt “ejufdem feniper ordinis analytici “quas Punda G, gtangunt. Ete- “nim ut eft adad OAita funt Od ad OD, dgad DG, et ABad AD ; ideoque ADaequalis eft , ‘‘ et DGaequalis eft °^.Jam “Ii Pundlum Gtangit redam lineam, “atque ideo in Aequatione quavis, “qua relatio inter abfciftam ADet “ordinatam BGhabetur, indetermi- ‘‘ natae illae ADet DGad unicam “tantum dimenftonem alcendunt, “feribendo in hac Aequatione — “pro AD, et ^pro DG, produ- “cetur Aequatio nova, in qua Ab- “fcifla nova adet Ordinata nova dg “ad unicam tantum dimenftonem “afeendent, atque ideo quae deftg- “nat 6o Genefis Curvarum nat Lineam reftam. Sin ADet “DG, vel earum alterutra, afcende- “bantad duas dimenfionesin Aequa- “tione prima, afcendent itidem ad “et dgad duas in Aequatione fe- “eunda. Et lic de tribus vel pluri- “bus dimenlionibus. Indetermina- ‘‘ taea d, dgin Aequatione fecunda, “et AD, DGin prima afcendent “femper ad eundem dimenlionum ‘‘ numerum, et propterea Lineae, “quas Pundta G, gtangunt, funt “ejufdem ordinis analytici. ‘‘ Dico praeterea, quod fi recola ali- “qua tangat Lineam Curvam in Fi- “gura prima ;haec redta eodem “modo cum Curva in Figuram no- “vam tranflata tanget lineam illam “curvam in figura nova ;et contra. “Nam fi curvae pundla quaevis duo “accedunt ad invicem et coeunt in “figura prima, Punda eadem tranf- “lata accedent ad invicem et coibunt “in figura nova ;atque ideo redlae, “quibus haec Pundta junguntur, li- “mul per Umbras. 6 1 mul evadent curvarum tangentes in “figura utraque. “Componi poffent harum affer- “tionum demonftrationes more iha- “gis geometrico. Sed brevitati con- “fulo. “Igitur fi figura redlilinea in ali- “am tranfmutanda eft, fufficit rec- “tarum, aquibus conflatur, interfec- “tiones transferre, et per eafdem in “figura nova lineas redlas ducere. “Sin curvilineam tranfmutare opor- “tet, transferenda funt pundfa, tan- “gentes, et aliae redlae, quarum ope “curva linea definitur. Infervit au- “tem hoc Lemma foliitioni diflici- “liorum Problematum, tranlmutan- “do figuras propofitas in fimpliciores. “Nam reclae quaevis convergentes “tranrmutanturinparalleks,adhiben- “do pro radio ordinato primo lineam “quamvis redam, quae per concur- “fum convergentium tranfit; idque “quia concurfus ille hoc pado abit “in infinitum ;lineae autem Paral- “lelae 68 Genefts Curvarum TtSemicirculi, et Proje(iitio Figurae Genetrici fimilis et aequalis. Fieri etiam poteft ut Fundum Q^non cadat extra Circulum Ttv, unde erit Fundorum T, t, determinatio impoffibilis.' Id eft Circuli peripheria vel tota confpicietur vel tota occultabitur. Occurrit et alia partium Interpofitio non-contt^iiarum^ quoties Figura Genetrix varie ad Axem infleditur, vel curvaturas forte habet difcontinuas. Uc in Columnarum Balibus 7o- rum videmus non tantum fui ipfius fed et reliquae Bafeos partem aliquam obumbrare. Atqui hujufmodi Cafus fpeciatim tradari non poflulant. Inventis enim ubique, ut fupra praefcribitur, pundis pluribus T, t, iifdemque in Planum datum projedis, Curvae per Projediones iftas defcriptae partes vifibiles diflerminabunt. Atque haec de Solidorum Projectione dida funto :Neque enim Doctrinam illam de Curvis dupliciter curvatis^ per Umbras. 69 curvatis-^ parum certe proficuam, hic “ in Subfidium vocabimus ;quum, ex defecflu defcriptionis Organicae, res ad > pun£lorum inventionen tandem reditura effet. De folidis autem minus, regularibus, vix quidquam utilius tra-- di poteft :ejufmodi faltem figurae quae apud Sculptores, Architcdlos, aliofque in pretio funt et praecipue, laudantur, mathematicas rationes prope faftidiunt ;certos modo limites, extra quos evagari vix liceat rite fig^ naverit Geometra, cetera Artificum ingenio et folertiae prudens relin-, quet. SCHOLIUM. Projedtionem Methodus Problematis refolvendis non apta magis invenietur quam Theorematum ac Demonftrationum ferax. enim. Curvae alicujus Proprietates notae, ad Curvae cognatae proprietates ita facile transferuntur, ut ea demonftrandi Ratio, rite adhibita, maxime genu- F2, ina 7oGenefs Curvarum ina cenferi poffet ;quae fcilicet menti, tanquam invitae, aflenfum non extorqueat, fed, ipfam rei naturam explicando, alliciat. Nec dubitandum quin, Dodlrina hac ulterius promota, plures Figuram Affediones adhuc latentes detegi queant, ipfaqiie Geometria Elementaris incrementum acceptura fit haud contemnendum. Sic angurari liceat vel ex iis quae, de Sedlionibus Coni, inventis Hofpitalianis obiter adjecit Celeberrimus D, Mac-Laurin. Fluxion. Art. 609, et feq. Mihi etiam, haee verfanti, plura fefe offerebant ;quorum, quia lingula perfequi non vacat, Spicile^ gium quoddam, in Figuram 16. congeftum, exhibetur, I. Si eCirculi dati Centro K, in red:am politione datam PQj demite tatur normalis KG, et arecftae PQ^ Puncto quovis PCirculum contingant rectae PA, PB, junBa ABipfam KGfecafit in dato punSiq C. Pu£tis per Umbras.^ 71 Duftis enim PK, KB, quarum_ illa fubtenfae ABoccurrat in F,^erif Semidiametri datae quadratum KBq Redangulo PKFaequale ;cui etiam, propterTriangula KPG, KCF, fimilia, aequatur Redlangulum GKC; datur autem {Hyp.) et KG, adeoque KCet Pundtum C. Haec aD. Mac-Lauriny ubiJupra^ demonftrantur. 2. Junda PCquae Circulo occurrat in Dj E, produ^laque fubtenfa ABut redtam PQ^fecet in Qj ad idem PmtSiufn convergent D ECirculum contingentes pi D, E. 3. Duda KQj, ejd Angulus KQC Angulo KPCaequalis. 4. Inf criptae ADBELatera oppojita AD, BE, vel AE, DB, produSia^ adPunBum R, vel r, in data vqjito, convergent. 5. Contingentes fic dudtae Quadrilaterum conftituant HILM ;et F4erunt 72 Genefis Curvarum erunt PunBa H, C, L, R, in eadem reBd^ ut et PunSia M, C, I, r. 6. ReSiangida fub Lateribus op~ pojitis Prapezii infcripti Jibi mutuo aequantur ;ADxEB ==AExDB. (Adeoque Redlangulum ABxDE efl; utriufvis duplum.) Nam eft AD: AE ;:DP;(PA=) PB: : DB:BE. 7. PropterTriangula PGC, KG Similia eji RePtangulum PGQ^dato ReSiangulo KG^ Caequale^ vel etiam redtae GnCirculum aPundo Gcontingentis Quadrato. 8. Produdla utrinque Cnut Circulo iurlus occurrat in m, Lateribus Figurae circumfcriptae in a, b, d, e; infcriptae autem in a, /8, g, Pundtis: Lrit Ca =Cb, Cd=Ce; C*- =C^, G«f' =Cei Aa==Bb, Ee=Dd. 9. Quoniam eft Cntam inter KC, CGquam infer AC, CBmedia Proportionalis, PunSia A, K, B, Q i per Umbras, 73 B, Gad Periphertam Circuli^ ut et Pundta E, K, D, G, Io. ReBae P(X^^uadratufn aequale eji quadratis econtingentibus PB, Q^D, fimulfumptis. 11. AFundo Gad contadum aliquem, ut Bduda GBerunt Triangula PGB, PBQ^Similia.^ adeoque Ratio ipjius VGad PRationis PBadP Qjdtiplicata. 12. Secet dudarum aliqua, ut GD redam Cmin t, eruntque Ct, Cm, Gdcontinue Proportionales.^ &c, ^ SECTIO 74 Genejis Curvarum SECTIO IV. Genejis Linearum tertii Ordi^ nis ex Umbris quinque Parabolarum divergentium Clajfts Prima, /^Urvas continens quae generantur QxParabola divergente cumOvali conjugata^ quam defignat Aequatio y' =abx'^ -+ cxubi poiita y~ o, tres Abfciffae xvalores funt reales et inaequales. Neutono Spec. 67. Fig. 70, 71 f. Pars *Si in Planum infinitum apun£io lucido illuminatum umbrae figurarum projiciantur, Umbrae SeSiionum Conicarumfernper erunt Seniones Conicae, eae Curvarum fecundi Generis fernper erunt Curvae fecundi Generis, eae Curvarum tertii Generis fernper erunt Curvae tertii Generis, et ficdeinceps in infinitum. Et quemadmodum Circulus umbram projiciendo generat Sedliones omnes Conicas, fic Parabolae quinque divergentes umbris fuis generant et exhibent alias omnesfecundi Generis Curvas, et fic Curvae quaedam fimpliciores alioru?n Generum inveniri poffunt quae alias omnes eorundem Generum Curvas umbrisfuis apundlo lucido inPlanumprojediisformabunt. Neut.Enumerat. fiib finem, fSpecies et Figurae ad quas refertur eaefunt Enumerationis aD. Jones, editae 1711.qui Tradiatus haec legenti praejio effe fiupponitur ;ut et V. CL Jac. Sterling Lineae tertii Ordinis, O.\on. 1717, 8o Genefts Curvarum ubi Ordinata =o. Sic [N. VII.) quoniam Pundlorum B, F, Projediones fupra Lineam^ Horizontalem, Pundi HProjedio infra eandem cadit, in Aequatione xy* == —ax* ^bx^-^-cx +dquae Curvam defignat. Ordinata evanefcente, duo Abfciflae XValores erunt ejuf^m Signi, tertius Signi contrarii. At Curvam genitam hac Aequatione defignari patet. Nam quia Diametrum habet, deeft Terminus ey\ et quia, ultra Vertices in quas projiciuntur F, H, Ordinata evadit imaginaria, oportet ut Terminus altiffimus ax^ Signo negativo afficiatur. Quod li Vertex aliquis, reda L per ipfum tranfeunte, projiciatur in infinitum,- Aequatio Neutoniana uno gradu 'deprimenda eft ;ut pro Xy* ~axl &c. V. gr. fiat at y' ==:*<$ AT ^-f- cx^-^ d. Quae eadem Curvis pofthac recenfendis, Diametrum habentibus, applicentur. Notan- per l/miras. 8f Notandum denique Pundia C072- irarii Flexzis^i^uvsit Genitricis, manere in Genitdy nifiper eatranfeatLj ut in N. XI. Facile quoque ex ipfa Projedtione difcerni ad quam Projectionis Partem pertineant. Sic utrumqiie iiiHyperbolacircumfcripta 'TV.X.) in Ambigefiis '\N. iX.) lingulis unum reperias. Pars Altera. Ubi reBa L> fien eji OrdiHatis (y) Parallela. Fio-^ BB. Xil. SeeetL Parabolafnm.VunBo quo^ vis T, ad has vel illas contrarii flexus Partes, neque Ovalem attingat ;tangens TQ^ad illud Pundfum fiet A~ fymptotos Figurae genitae. Crurum extrema in Projedtione fiexu contrario jungentur ad Lineam Horizojitakj?i ;Ovalis Ovale?n dabit :Eritque Figura Hyperbola A7igtnnea cum 0- vah^ Species 33. Fig. 39. Gxur. 82 Genejis Curvarum xiii. Manente Pundo T, cum tangente T0^circa illud rotari intelligatur rcdla L, donec Ovalem contingat in Naut K;manebit Hyperbola giimea-i Ovali in Faraholai7iconverfa ; Species fc. 52. Fig. 56. XIV. Eoufque rotetur Redla L, ut Ovalem fecet in Fundis R, R, ad quae redae Ovalem contingentes triangulum efficiant SQJVE cum tangente Tvel Imt forfan Parallelae: Et in utrovis Cafu erit Projedio binae Hyperbolae infcriptae Afymptotis quae fiunt eTangentibus Ovalem, et tertia Argiiinea. Quae eft Species 9. 15, 16. XV. Ea fit redae LPolitio ut Tangentes ad R, R, concurrant ad tertiam TQ^, et in Figura genita, Afymptoti per Umbras. 83 toti per idem Pundum tranlibunt. Quae eft Species 26. Fig. 32. XVI. Secet LParabolam in T, atque e* andem contingat in X;(vel X2.) Projectio erit duae Hyperbolo- Parabolicae^ quarum alteram Afymptotos lecat, cum Ovali conjugata. Species 46. Fig. 50. XVII. Secet LParabolam in Pundis T, B, C;Tangentes ad ea Punda, (T Qj FG, HI) quae neque ad idem Pundlum convergere, neque omnes libi invicem Parallelae ede polTunt, totidem Afymptotos dabunt, triangulum intra quod Ovalis projicitur condituentes :quia fc. Ovalis Genitrix in Angulo externo HLG femper invenietur *. Parabola vero tres Plyperbolas dabit. Quarum quae eCruribus iniinitis nalcitur, erit Cir- G2ciun- *Conferatur Exemph 2. Schol, i. Se£t. II. 84 Genefts Curvarum cumfcripta, quia Tangentes ad extrema Pundla (T, C,) utraeque Cruribus (projeftis faltem) occurrent : Tangens vero ad Balteri ePartibus intermediis TBaut BCoccurrit (modo Bnon Iit ad contrarium Flexum, de quo poftea) unde ea Pars Hyperbolam dabit Ambigenam \at tertia, quam red;arum contingentium nulla fecat, Inf criptam. Eftque haec Species i. Fig. 1,2. XVIII. Et fi. redla Lcum Axe coincidat, tres Tangentes parallelae, in Projectione tranfibunt per Pundlum illud in Linea Horizontali in quo Crurum extrema conjunguntur. Species 27. 33* j,. SCHOLIUM. Aequatio Neutoniana (qualis eft /2 Af -t- AT ^+&c =o) portiones Abfciffae,interAfymptoton aliquam quae pro ordinata prima affumitur, et rec- 2tas per Umbras, 85 tas huic Parallelas quae Curvam tangunt, aut per Pundiim duplex tranfeunt, interceptas, delignant. Si itaque ad quam Aequationem pertineat Projectio aliqua, ea v. gr. N. XIV. dignofcere velis, aPundo Tin quo LCurvam fecat, dudis Curvam contingentibus, quot duci pofTunt, (T X TX2,1' K, TN,) harum Projediones, fibi invicem et Abyniptoto ex TQ_qriundae, Parallelae, Figuram genitam contingent ;Aequationis vero dimenfionem, et Radicum S'gna, contingentium Numerus et Politio refpedu alTumptae TQ,indicabunt. Sic in praebenti Exemplo, Numerus contingentium quaternarius Aequationem indicat ax"’ +jv" -r- 8cc =o, cujus radices funtreales et inaequales. Et quia Contingentes TK, TXinfra TQ^, ac TX2,TNfupra eandem projiciuntur, id duas Radices duabus contraria Signa habere denotat. G3 Affumta 86 Genefis Curvarum Afiumta autem pro Ordinata prima Afymptoto ex Ovalem contingente (ut SM) genita, quoniam aPunc- to contaclus Runica SMCurvam contingere poteft Aequationis^ at + bx^ oRadices erunt omnes imaginariae. "Qui Cafus in Fig. 15. exhibetur. Clajfts Secimda. Curvas contmens quae fiunt projiciendo ParabolamVvncTATAU ;O- VALi conjugata inVvs^Qivu converjd^ peraequalitatefji duarumRadicmjiAequationis ax^ +bx' +cxd=o. Neutono Speci. 69. Fig. 74. Pars I . Ubi Linea 'Extremorum Ordinatis (y) eft Parallela. Fig. CC. XIX. Sit PPundtum conjugatum; et citra illud Axem fecet Lut in A: Erit Projectio Hyperbola Conchoidalis cum, f i i C?. 'V? \ ol0-t. '£4i> V-iS >. ..XX :injjill .=H fli J3D:; V XKY. ’\C|!^'.^V^j,;jL9idfi 11^{ !'it' ,-iliol v5H^;\\Vi‘\ 5' :OL‘potj’lji; ,oft3[piq n!»i- > -cwvvvA ^^^o^J^up^A tii.i ^djart ,iud\po- \ i.. .V -•• Jii:? .D mJJj5gn£5 i*O•• ..olrl fio.k' fn./'?;2<'>i£n A.JUV ''^'A ,i, O -b.i;n';inR- , '.kl fboffp .V. 715 fk; ,i. yr\ per Umbras. 87 cum FunSlo conjugato ad Convexitatem deo. Species Fig. XX. Sin Axem fecet in B, inter Punctum et Verticem, erit Speciei 44. Pun&G conjtigato fupra Afymptoton Co7ichoidalis projedto. XXL Si per ipfum Ptranfeat, Conchoi dalis genita erit Pura. PunEio fcilicet in infinitum projefto, adeoque pereuntibus bini§ Aequationis Neutodimenfionibus, Species 63. Fig, 67. XXII. Punctatam tang-at Lin C, erit Projedio duae Figurae Hyperbolo- Parabolicae cum PimSio conjugato fupra Afymptoton fito. Speciem hanc VIII. Analogam apud Neutonum defiderari animadverterat D. Nic. BcrnoulU ;quod me G4olim 94 Genejis Curvarum XXXV. Tranfeat Lper C, C, iit Tangentes concurrant ad Partes Crurum et ad eafdem Curvam fecent ;eritque Projedlio duae HyperbolaeA}?ibige7tae^ una Infcripta, ad Latera Trianguli Afymptoton politae. Species 17. Fig. 23. XXXVI. Sin ad Partes verticis Curvam fecent (L tranfeunte per D, D) una erit Circu7nf cripta^ Hfcriptae. Species 16. Fig. 22. xxxvir. xxxviii. Sint Tangentes Parallelae, idque vel ad B, vel ad E;ipfae projectae ad LineamHorizontalem (tertiam fyTTtptotori) concurrent: Unde prior Cafus Specie77zdabit 29. Fig. Ah^r Speci e 777 28. Fig. 34. XXXIX. 95 per Umbras, XXXIX, XL, XLI. Tranfeat Lper Punfta Contrarii Flexus^ eruntque Hyperbolae omnes Ltf criptae: Tangentes autem in Parabola Campaniformi coibunt ad Partes verticis, in Ampullata ad Partes Crurum, vel in ea quae inter utramque Media eft erunt libi invicem palelae ;qui Cafus totidem Species dabunt Speciem 22. Fig. 28. 2“* Speciem 23. Fig. 29. 3'"' Speciem 32. Fig. 38. Pars Altera. Ubi Pinea Extremorum non ejl Ordinatis (y) Parallela. Fig. DD, FF. .XLII. Parabolae Purae femel occurrat Linea Extremorum TA, ut in T Pundio, ea in Anguinea7nPura^n line Centro et Diametro projicietur ; Specietn fc. 37. 42. xLiri. 96 ^Genejis Curvartim XLiir. Tangat Linea Extremorum TS Curvam in S{Fig. DD) et projicientur A\x2izHyperbolo-Parabalae PuraSi Species 50. Fig. 53 ,54- XLIV. Secet Parabolam in Pund:isT,Mj N in quibus Curvam tangant re£tae Tx, NX, MQ^, Triangulum conftituentes TT Rcujus vertex Rad has Partes redae Llocetur, et tres Hyperbolae lic Projedae Specie7n conftituunt 5. Fig. XLV. In eadem {Fig.V F) finge redam L circa Mrotari, donec pervenerit in fitum tMn, ut fit Trianguli aTangentibus comprehenfi vertex rinter redam Let Tangentem tp qpofitus ; quo Cafu Hyperbolae ad Latera Tri* anguli *Conferatur N. XVII. ( per UmirasM^^ 97 anguli Afymptoton conflituentur, 6. exhibentes. \F/^. 9, 10. XLVI. Ea fit redtae nMtPofitio :ut evanefcat Triangulum pqr;et Afymptotis per idem Pundum tranfeuntibus, oxKtxxv Species 24. Fig. 30. XLVII. Accepto denique pro Lmed Ex^ 'tremorum ipfo Parabolae Axe, erit Projectio Anguineapura cum Centroy Species 38.Fig. 43* SCHOLIUM I. Projectionum Cafus illos, ubi Linea Extremorum per alterutrum contrariw7iFlexum ducitur, haCtenus omifii fimt, ut univerlbs unius Theo-' rematis ope, atque eadem operaab- folverem. HTHEO- 98(lenefis Curvarum THEOREMA I. ht Parabola Divergente cum Ovali conjugata (Fig. QG) fi^ a Pu?iSio Contrarii Flexus P, ducantur reciae PA, PB, PC, Curvam eonting£7ites in A, B, C;erunt tria CrmiaBth PunSla adeandem reBam. DEMONSTRATIO. Sit enim ZVAxis Curvae, ipfi. occurrens ad Vertices V, V, u, in quibus eandem contingant VQ^, vR, uS, Bbi invicem parallelae ;et affumta T^xoLined Extre?no?'mn redla LMParabolam contingente in P, fi Curva, ritu praecedentium, in Planum projici concipiatur, erit projedio etiamnum Parabola dive?gens cum Ovali^ Genita Tc. ejufdem Speciei cum Genitrice. Et quum, in Projedtione ifta, Parabolae Crura infinita ad Pundlum in Linea Horizontali coeuntes, cont7'arium Flexum ibidem efficiant, at Contingentes VQ^, vR, uS, -'IdWnOO iTTuJlUILi'! . -3 ]nuid .xn::n,r'ioqoA': “5 b.?j ,£> ;v .•,' ^i-njjjrl HK :v- '^.J. ^•..'’ ,} ,i\ aio-'- -£3 ni t-SbojoTEq • ij£ .'jiiup ;:>;• 'xTsti^^n ^Huiixs O.< 3£rjp -ni -nbnoD somaV nt ehfinibiO rasbr; rn obom non inX;. 'W^Jixinio 8iviuD rii £:•, -IVJmnb: -Inpy ^xlibup bnir j?:' - nrrii-- rT’^' '• -nuuoiK obofrr ‘•*-. i, ^i5 ^«Oi* is r* »«-' » ^«^ .-'.i. V* *r per Umbras. 99 US'j ad idem illud Punctum convergant, liquet Propofitum. Erant enim Punda Contadus V, v, u, ad eandem Redam in Figura Genitrice ; et viciflim, Punda A, B, C, in Vertices Figurae Genitae projeda, in eadem reda, ea fc. quae in Axem Genitae projicitur, extitiffe necelTe eft. ^E. D. f Ej OROLt Tj. X* In PunBatd et Pura, Tangens PC projicitur in Redam quae Pa~ rabolajn Genitam in Vertice contingat, litque ejufdem Ordinatis Parallela. Co RO LL. 2. Conftat etiam non modo in Parabolis hifce, fed in Curvis omnibus exinde derivatis, idem obtinere. Curvafque omnes ex uni qualibet ejufdem Clajjls generari. Hinc Projedi.ones modo memoratas recenfere et ad Species notas referre V loo Genejis Curvarum ferre facile fuerit, etli novi quiddam prima facie minitentur. Cum enim Contingentes aPundo in quo Linea Extremorum Curvam fecat exeuntes, Figurae Genitae vertices determinent *;lint autem, in Cafu propofito, vertices in eadem reda conflituti ;palam eft Figuram Genitam fore aliquam eCurvis prius defcriptis, Diametro deflitutis, in Analogam^ quae Diametrtim habeat, converfam. Singulae autem ejufmodi Converfiones funt quae fequuntur. I. N. XII tranfit in N. Ivel VII, 2.XIII ---IIWVL XIV ---III wv. 4* XV ---IV. 5- XVI - - -VIII. t. XVII ---X. 7.-XXVI --XIX, XX. 8.XXVII --XXI. 9- XXVIII --XXII. 0.. XXIX --XXIV. II. *Vid. pag. 79, 8a. lor per Umbras, 11. N.XLII mXXXL 12. XLIII XXXII. 13. XLIV XXXIII, XXXIV. 14. XLV XXXV, XXXVI. 15. XLVi XXXVII, xxxviir. 16.7 Et fi. fuerit Lquae Curvam conly.?- tingit a.d Co7iiranum Flexu7n^ 18.J renafcitur Species Genitrix, ScHOL IUM 2. D. Mac Laurin^ qui haec infpicere dignatus erat, T^heorema egregium de Lineijs tertii Ordinis communicavit. Literis 18 Feb. 1717-8, ad me datis ;quod et nunc eximio Operi de Fluxionibus infertum video *. “Lemma^ inquit, de Pundis contrarii Flexus, in primis notatu dig- “num. Illud quidem mihi non “prius obfervatum ex Affedtione ta- “men harum Curvarum generali “ftatim deduxi, aNeutono aliove “quopiam non memorati, at quam “in pluribus hujufmodi inveftiga- H3“tionibus *An.401. Io8 Genejis Curvarum DEMONSTRATIO. Curvam fecet harum altera (T t,) (\ Opus produda, in Pund:o C. Ex hoc ducatur AbfcifTa nova, ad quam, in Pundis P, p, tt, ordinentur rectae quae Figuram ad Vertices T, t, t, 7 contingunt. Transformata nuncAequatione, quaeratur Valor Ordinatae Curvam contingentis, eritque hujus Expreffio quatuor Ordinatis communis. At quum fit, ex Conftrudione TTCreda, adeoque Ordinatae TP, TTT, Abfcifiis CP, CTT Proportionales, erunt et tp, 7-«r, ut Ablcifilae Cp, Cid eft, reda t7 (ad Abfciflam pariter inclinata) per idem Pundum Ctranfibit. D. CoROL. I. Projiciatur Figura, ut Tangentes Vticales^Afy?nptotos^ et Crura infinita huic applicata ad idem Punctum coeant, utque ultro prodibit alterum Y),Mac LaurinT\iZox^vs\2im.odo. per Umbras, 109 do memoratum ^. Quod fc. “duc- ‘‘tis ab eodem Cvirvae Neutoniaiiae “Punfto quatuor redlis quae ipfam “contingant, fi bini quivis contadus “re£lis jungantur, erit redarum in- “terfedio ad eandem Curvam.” Cor. 2. Hinc quoque demonftratur Propofitio illa in quam prius incideram, «< Si aPundo contrarii Flexus, du- “cantur tres redae quae Curvam “contingant, fore tres contadus in “eadem reda :Accedente fc. Punc- to aquo redae duci ponuntur, ad alterum contrarium Flexum, ut tandem cum ipfo coincidat. CoR. 3. -Tranfeat Linea Extremorum per unum ePundis Contadus, et manebunt in Projedione tres duntaxat contingentes, quae Afymptoto occurrent in Pundo ad quod Crurum Hyper- *Vide Treatife of Fluxions., §. 401. 11 6 Genefts Curvarunt Hyperbolicoriim Projedtiones conVefgunt. Ex quo colligitur “In Curvis “qualis eji Fig. 5Q. Enum. Neut. ji aPunclo in quo Afy??iptotos “Curvamfecat^ tres Tangentes duci “queant^ duElis duabus reSiis qua- “rum altera tranfeat per duo quae- “vis contaSius PunEia^ altera per “tertium conta8iu7n jit Afymptoto parallela^ harum concurfum fore “ad CurvamP Cor. 4. Du(^a denique Linea Extremorum per binos Contadtus, fequetur ut, “Quoties duaeAJy?nptoti ad Curvam “fe decujfant, ideji^ fit in FiG. Neut. “Trianguli DdS' Angulus unus ft “ad Curvam^ et ab Angulo illo duci “queant duae Tangentes ;reEla quae “hos contaEius conjungit^ ft tertiae “Afymptoto parallela. In fumma, illud quidem fatis conflat ;11 in his vel quibufvis aliis Curvis indagari queant Theoremata fimpliciora, sb £ii£ =y7idq bi- i;hL.::c: -hnl^^lTHVjJ S!£b' S;:>r kfs ^BU2’ J'av5Va!; !) rnsjyiiikif. msoCiiBio/rj/s nv4i\ i5^si!£*,; ; <v.:.H .k '.0 \> iiiVjx iw: . aaUJjn-A'. 1.0..,.^ -aVA' *\ x/:>i akjaoi:.; -V 'per Umbras. iii pliciora, ad Parallelas adfcriptas pertinentia, haec omnia ad plura alia de Lineis ad Pun<3:a data convergentibus, transferri poffe :quae alia quacunque ratione inventu difficillima forent. Sed ad Enumerationem inftitutam redeamus. Clajfts ^arta. Curvas continens quaeJiunt ex Parabola Nodata. Spec. 68. Fig.q^. Pars I. Uii Linea Extremorum ejl Ordinatae [y )parallela :Fig. KK. XLVIII. Secet LAxem Parabolae Nodatae cis Verticem ut in A, erit Projedlio Hyperbola Nodata^ cui Afymptotos eft Linea Horizontalis feu Projedio Ordinatae ad Diftantiam infinitam. Species \i. Fig, /\.6, XLIX, 11 2 Genefts Curvarum XLIX. Si Nodum contingat in B, is in duo Crura Parabolica protendetur, ut fiat Species 54. Fig. 58. L. Secet Axem in C, Curvam in T, T, ut quae in illis Pundis ipfam contingunt convergant ad Partes Verticis. Et Figura Genita erit tres Hyperbolae infcriptae^ quarum duae fe mutuo decuffant ;et quia tangentium Concurfus fupra Horizontalem projicitur, fit Species 19. Fig. 25. LI. ' Sin ad Partes Crurum convergant, Linea fc. Extremorum Axem fecante in E;Afymptoti in quas projiciuntur Tangentes concurrent infra Horizontalem; Species i8. Fig^. 24. o OLII. per Umbras. ^113 Lll. 'Sint denique Tangentes illae parallelae, ut Afymptoticor\currant ad' Horizontalem ;et evanefcente Triangulo convertuntur binae praecedentes in Speciem 2^0. Fig. 36. LIII. Tranfeat Lper Pundum Nodi F,^ et Tangentes ad illud Pundum projicientur in duas Afymptotos parallelas, ab Axe aequidiftantes ;ut fiatv Species 60. Fig. 64. LIV. Secet Axem in G, Crura infinita in TT;ad quae Punda Curvam contingentes projiciantur in binas A- fymptotos fupra tertiam fe decuffantes; et fiet Species ii. Fig. 18. Pars Altera. Ubi Linea Extremorum non eji Ordinatae parallela. Fig. LL. IL\’ 11 4 Geriejis-Curvarum LV. . 'Xl^irca Pundlum aliquod TmCrure Nodatae affu ruptum rotari ‘intelligatur recta L;et primo Situm obtineat TM, ut Curvae in unico Puncto occurrat :Tangens ad P, projedta, evadet Afymptotos Hyperbolae Anguineae cum Nodo^ Speciei 34-%- 40- LVI. Tangat Nodum in N, ifque in bina Crura Paraholica projedlus Speciem dabit 51. Fig. 5 LVII. Secet deinde Nodum in S, S, ut Tangentes ad S, S, convergant ad has Partes Lineae Extremorum ut^ in P, iitque Triangulum contingentium PQ^R. In Projedtione Pundtum Crucis cadet extra Triangulum A- fymptoton, nempe fub bafi. in quam prO' per Umbras. 11 5 projicitur Tangens TRFigura autem erit hujufmodi. Segmentum SNSHyperbolam dabit Infcriptam. Segmentum SD ABFT Infcriptam Afymp^ totis quae fiunt eTangentibus TR, SR. At Segmentum SEABF cum Crure infinito FXipfi adjundlo, et reliquo alterius cruris aTverfus Z in infinitum excurrentis, Hyperbolam dant Ambigenam^ quam fc. fecat altera Afymptotos eTangente TRgenita. Eftque haec Species 8. Fig. II, 12. Nota. F?V. 12, Cafum exhibet ubi Projedio Tangentis TRpro Ordinata prima ufurpatur; Fig. ubi alia Afymptotos ea vice defungitur. i LVIII. Sin redlaLin Situm tranfeatTBB aut TAAut Tangentes concurrant ad alteras Partes, ut in p, vel fint forte parallelae, in priore cafu Pro- I2iedtio *YiAz.Schol. i. Se^.W.