Sobre ciertas expresiones de la función rango, independientes de la teoría de ordinales

Pub. Mat. UAB N° 20 Set. 1980 Actes VII JMHL SOBRE CIERTAS EXPRESIONES DE LA FUNCION RANGO, INDEPENDIENTES DE LA TEORIA DE ORDINALES Mario de J. Pérez- Jiménez Facultad de Matemáticas Universidad de Barcelona In the present work we obtain several representations of the rank function associated to a well founded relation in terms of transitive and supertransitive closures, by means of transfinite recursion theorems concerning these relations and with no use of ordinals theory • Moreover, specificai representations are obtained for the ordinary rank function in certain transitive classes • Notación : Representaremos porli la clase universal, por la clase de los números ordinales y porcia gráfica vacía. Si R es una relación bien fundamentada sobre una clase A entonces notaremos por R. la extensión transitiva de R,porSL(*)el R-segrnento inicial de extremo x€A y por M (A) K K la clase de los elementos R-minimales de A. Si A es una clase notaremos por A y A, respectivamente, las clausuras transitiva y su per transitiva V de A ; por A el interior transitivo de A ; por €Á la restricción a A de la «-relación; por (£)=S (a«A);y por A*la clase siguiente de A - A éA Teorema 1 Si A es una clase y R es una relación bien fundamentada sobre A entonces existe una única gráfica funcional de A en lil tal que : i) dom j>^= A ; ii) W*) HR(A) - O ) ; y iii) (Va)(x£A-<VA) ^ fĄK(*) = - Además, en tal situación (V x)(x€A^ f A *(*)€.&) y (recj^es una clase ordinal). A « A demostración :La existencia y unicidad de f resulta de la aplicación del teorema de recurrencia transfinita a la R-gráfica de recurrencia H de A 87 en UL definida así : H(^*) = O y si xcA y F -á UJ (¿'j en toncas h e7) - L^r^rT. Finalmente , por R-inducción transfinita se establece que (Vx)(x€A =^~ T( f*(x))) Y Pue T(rec PR ) . * - Definición :Ba/io la nomenclatura del teorema 1,1a gráfica pR se denomina jĄ función rango sobre A asociada a R.Si A =lí y R = entonces notaremos £y¡_ rank = P (es la función rango tDrdinaria sobre la clase universal) . U. Corolario : Si A es una clase entonces existe una única gráfica funcional P de A en U tal que : i) dom f = A ; ii) (Vx)(xé M (A) =£> P (x)- O) y Ją Ją eA JA iii) ( V x)(x«A- MÉ (A) =*> p' (X) = O' ÍSJpl*). A JA yexnA Además , en tal situación se verifica : 1.- fĄ - y (V x)(xcA =$> rank(x) = rec j>A ) . I A ,x 2.- o - rari K y (Vx)(xeí£ ^ rank(x) = rec ) . JUi 1* 3.- Si A es una clase propia transitiva entonces rec p = 0 . JA 4.- Si A es un conjunto transitivo entonces rec í> = rank(A) . A demostración : Apliqúese el teorema la R = €A . V 1.- Basta aplicar R-inducción transfinita sobre A y tener presente que V si a€A entonces a A = a • 3.- Basta observar que si A es una clase propia entonces (Vx)(xe & (3 y) (y e A ^ rank(y) > x) . 4,- Basta tener presente que rank(A) = *- frankfx)] y T(rec p ) . x é A *- Ą Teorema 2 Si A es una clase y R es una relación bien fundamentada sobre A entonces £ existe una única gráfica funcional de A en 11 tal que : i) dom FR= a ; ii) (Vx) ( x e (* ) - O J ; y iii) (V*) (xfe A - Mr (A) frR(x) _ ) ■ Además , en tal situación se verifica F¿R - f>* . demostración :La existencia y unicidad de Fß resulta de la aplicación del " ' 1 A teorema de recurrencia transfinita a la R-gráfica de recurrencia H de A en U definida así : H( <p*) = 0 y si xcA y F*é 4^(^00; M-)- {?*} entonces h (F) -^Cf T^>r . Finalmente , por R-inducción transfinita se establece que ^ •=. • 88 Corolario: Si A es una clase entonces existe una única gráfica funcional ^ de A en li. tal que : i) dom = A ; ii) iVx) (A) - °) y iii) (Vx) (xé A-M, (A) R (x ; - dy í^Ty>J ) . 6A ^ /6XOA Además , en tal situación se verifica - j> Del corolario anterior resulta que Fit = rank ; en consecuencia (V x)(x e KL ~=$r rank(x) = ) ■ /** Teorema ,3 Si A es una clase y R es una relación bien fundamentada sobre A entonces existe una única gráfica funcional de A en U. tal que : i) dom G* = a ; ii) (Vx)(xeMÄ(A) Q* (xj - O ) y iii) ( V x)(x€ A- M, (A) -=^ G* (*) - (/>}). >«VW e Además , en tal situación se verifica G* = R. e = P * a demostración :La existencia y unicidad de resulta de la aplicación del teorema de recurrencia transfinita a la R^-gráfica de recurrencia H de A en U definida así : Hf jó* ) = 0 y si X€A y F entonces H(F) = LJ í ; y observando que NļD (A) = Mni. (A) • /€VX) R o ft Finalmente , por R- inducción transfinita se establece que Cr ^ ^ • Corolario l:Si A es una clase entonces existe una única gráfica funcional Ga de A en U tal que : i) dom = A ; ii) (Vx)(xíM (A) =£• <^(x)=rO) y iii) ( Vx)(x€ A-M * (A) =^- GA(*> = W} ) . * Además , en tal situación se verifica GA - ^ • Corolario 2: Si A es una clase transitiva entonces existe una única gráfica funcional GA de A en U tal que : i) dom GĄ = A ; ii) GĄ (O) = 0 y iii) (Vx)(x Ł ^-{0} ^ <rA(x)= Además f en tal situación se verifica Cr ^ =■ , A ^ Ja , Corolario 3; Si A es un conjunto entonces rank(A) = rank(Â) • Teorema 4 - - Si A es una clase y R es una relación bien fundamentada sobre A entonces existe una única gráfica funcional de A en VL tal que : i) dom JAR= A ; ii) (Vx)(xe MRÍA) => j;RC*) = 0) y iii) (Vx)(x€A-Mr(A) "= ) ' Además , en tal situación se verifica J¡f rzr <*a - ^ 89 demostración :La existencia y unicidad de ^resulta de la aplicación del teorema de recurrencia transfinita a la R-gráfica de recurrencia H de A en Vi definida así : H( fi* ) = 0 y si X€A y F€.$(Sfttx.); ífl) - entonces H(F) = /<łSr(K) TS Fß Finalmente , por R-inducción transfinita se establece que - a • Corolario : Si A es una clase entonces existe una única gráfica funcional 3^ de A en Lí tal que : i) dom = A ; ii) ( V x)(xé - O) y iii) (Vx)(xÉ A - MÊ (A) ^(xj - tiìr). 4 ^6^ OA Del corolario anterior resulta que v^=^rapk^^ en consecuencia (Vx)(xeVl -=^ rank(x) = -[ ror» ) . /6X Teorema 5 Si A es una clase transitiva tal que todos sus elementos son cerrados por clausuras transitivas y R es una relación bien fundamentada sobre A verificando (V x)(x€A"=^ SrW c X a {ye^ : ^/)cXJ 6 W- ) entonces existe una única gráfica funcional L!^ de A en ÍAtal que : i) dom L* = A ; ii) (Vx)(xeMR(A) =£> L^(xj = O ) y iii) ( Vx)(x€A-Mr(A) =*> ) • demostración ; Se considera la relación T sobre A definida así:si (x,y)eAXA entonces (x,y)eT4^ (3z) * SÄ(*)cz ) . Se demuestra que T es bien fundamentada sobre A y se aplica el teorema de recurrencia transfinita a la T-gráfica de recurrencia H de A en Indefinida así:H(0*) = = 0 y si xéA y F G.¿($Tí*)jVL)-[$A} entonces Hip) = » observando que SjXksKJ y que Mr • 7 Mefyx) Corolario : Si A es una clase su per tran sit iva tal que todos sus elementos son cerrados por clausuras transitivas , entonces existe una única gráfica funcional LA de A en H tal que : i) dom LA = A ; ii) LA (O) = 0 y iii) (Vx)(xe A- ļo} La(x)- Además , en tal situación se verifica = rankj^ demostración : Obsérvese que si a es un conjunto cerrado por clausuras transitivas entonces CLS . X6ČL 90 Bibliografía 1. -ENDERTON H.B. "Elements of set theory" .Academic Press. New York ( 1977 ) . 2. -JECH T. "Set theory" . Academic Press . New York (1973) . 3.- LEVY A. "Basic set theory" . Springer-Verlag . Londres (1979) . 4,- TARSKI A. "The notion of rank in axiomatic set theory and some of its applications" . Bull. Amer. Math. Soc. 61 (1955) .p. 443 91