Iteraciones de funciones racionales sobre la esfera de Riemann

FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS DEPARTAMENTO DE AN ´ ALISIS MATEM ´ ATICO ITERACIONES DE FUNCIONES RACIONALES SOBRE LA ESFERA DE RIEMANN Trabajo de Fin de Grado realizado por: Julia Mart´ ınez de la Fuente Tutor: Juan Carlos Garc´ ıa V´ azquez Profesor de la Universidad de Sevilla ´ Indice general Abstract 3 Introducci´on 4 1. Conjuntos de Julia para polinomios 6 1.1. ConjuntosdeJulia................................. 6 1.2. Funciones cuadr´aticas. El conjunto de Mandelbrot. . . . . . . . . . . . . . . 21 2. Funciones racionales 27 2.1. El plano complejo ampliado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Funcionesracionales................................ 31 2.3. Condici´on de Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4. Conjugaci´on. ................................... 44 2.5. Valencia....................................... 48 2.6. Puntosfijos..................................... 51 2.7. Puntoscr´ıticos................................... 52 2.8. Una topolog´ıa para las funciones racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3. Los conjuntos de Julia y Fatou 61 3.1. Los conjuntos de Julia y de Fatou. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2. Conjuntos completamente invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3. Familias normales y equicontinuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4. Propiedades de los conjuntos de Julia 75 4.1. Puntos excepcionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2. Propiedades de los conjuntos de Julia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3. Funciones racionales con conjuntos de Fatou vac´ıos. . . . . . . . . . . . . . . 85 1 Referencias 90 2 Abstract The main aim of these notes is to provide some knowledge about Julia set of rational functions. For it, we study iterations of rational functions. In Chapter 1, we consider polynomials functions. In this way, we will study how the structure of their Julia set is. We will also study how Mandelbrot and Julia sets of a quadratic function are connected. In Chapter 2 we will provide a formal definition of rational functions and provide some important properties about them. We will study this properties in the complex sphere and prove various results involving concepts such as the Lipschitz condition, conjugacy and valency. These notions will be present throughout the remaining of these notes. The formal definition of Julia and Fatou sets of a rational function will appear in Chapter 3. Moreover, we will prove important properties and theorems such as Theorem 3.3.5 and its consequences. Finally, in Chapter 4, we will prove new consequences of Theorem 3.3.5 and talk about Property of Minimality of Julia set: it establishes that the Julia set is the smallest closed, completely invariant set with, at least, three points. At the end of this chapter, we will study an example about a rational function for which its Julia set is the complex sphere. 3 Introducci´on A lo largo de estas notas vamos a desarrollar el estudio de las iteraciones de funciones racionales. Empezaremos trabajando en el plano complejo con funciones polin´omicas y, ser´a m´as adelante cuando pasemos a trabajar sobre la esfera de Riemann. Nuestro objeto de estudio en todo momento va a ser el de los conjuntos de Julia aunque, para entenderlos mejor necesitaremos desarrollar previamente nuestra herramienta m´as potente: las funciones racionales y sus propiedades. Esto forma parte del ´ambito de estudio de las Din´amicas Complejas y el nombre de estos conjuntos hacen honor al matem´atico franc´es Gaston Maurice Julia (1893-1978). En el Cap´ıtulo 1 trataremos cuestiones relacionadas con las iteraciones de funciones polin´omicas. C´omo ´estas se comportan al iterarlas partiendo de puntos del plano complejo y qu´e estructura tendr´an los conjuntos donde estos puntos se encuentren ser´an nuestras principales ocupaciones. Este caso, el de los polinomios, es muy interesante y, al contrario de lo que pudiera parecer, nada sencillo. Veremos que los polinomios son buenos ejemplos para ilustrar el comportamiento ca´otico de las sucesiones de funciones iteradas. Con solo algunas definiciones nuevas sobre la mesa y apoy´andonos en la maquinaria de An´alisis Complejo, seremos capaces de probar algunas propiedades importantes de los conjuntos de Julia para este tipo de funciones. Probaremos que los conjuntos de Julia de polinomios son cerrados y acotados. En la segunda secci´on relacionaremos el conjunto de Mandelbrot con los conjuntos de Julia de polinomios de segundo grado y terminaremos con algunas im´agenes de ejemplos. Despu´es de estudiar el caso de los polinomios y antes de adentrarnos en el estudio de los conjuntos de Julia para funciones racionales en general, necesitamos el Cap´ıtulo 2, donde asentaremos nuestra base -topol´ogica y anal´ıtica-. Necesitamos a˜nadir el punto ∞a nuestro espacio de partida y de llegada. Para ello, empezaremos definiendo el plano complejo ampliado y estableceremos una biyecci´on entre ´este y la esfera unidad. Esta relaci´on bi- un´ıvoca entre ambas superficies dar´a pie a definir dos nuevas m´etricas -cordal y esf´ericacuya influencia en las propiedades de las iteraciones de funciones racionales es directa. Es- 4 to lo veremos en la tercera secci´on dedicada a la condici´on de Lipschitz. Adem´as, en este cap´ıtulo, definiremos las funciones racionales formalmente y encontraremos las herramientas m´as ´utiles para trabajar con ellas y desarrollar nuestra teor´ıa como son las nociones de conjugaci´on, de valencia y de puntos cr´ıticos. En el Cap´ıtulo 3 ya estaremos en disposici´on de definir con total formalidad los conceptos de conjuntos de Julia y de Fatou para funciones racionales. Una vez asentada la noci´on de equicontinuidad, diremos que el conjunto de Fatou es el mayor abierto de C∞donde la sucesi´on de iteradas es equicontinua y el conjunto de Julia ser´a su complementario. Estudiaremos los conjuntos completamente invariantes y los caracterizaremos a trav´es de cierta relaci´on de equivalencia, adem´as de deducir algunas propiedades de los mismos. En la tercera secci´on de este cap´ıtulo enunciaremos uno de los teoremas m´as relevantes en el estudio de los conjuntos de Julia de las funciones racionales, el Teorema 3.3.5. Con este teorema podremos afirmar que si una familia de funciones anal´ıticas est´a definida de una regi´on situada en la esfera de Riemann, Dy toma valores en el plano complejo ampliado salvo tres puntos: 0, 1 y ∞, entonces dicha familia es normal en D. Terminaremos este cap´ıtulo dando dos variaciones de este importante resultado. Finalmente, llegaremos al Cap´ıtulo 4, donde nos centraremos de nuevo en Julia y sus propiedades y exprimiremos las consecuencias del Teorema 3.3.5. Daremos las definiciones de puntos excepcionales y puntos predecesores. En la segunda secci´on llevaremos a cabo un estudio an´alogo al que hicimos en el primer cap´ıtulo pero esta vez, para funciones racionales. Daremos una caracterizaci´on de J(R) a trav´es de una propiedad que llamaremos, Propiedad de Minimalidad de J, que dice que el conjunto de Julia de una funci´on racional es el conjunto cerrado y completamente invariante m´as peque˜no que contiene, al menos, tres puntos. Ser´a en la ´ultima secci´on de este cap´ıtulo donde daremos un ejemplo de funci´on racional cuyo conjunto de Julia es el total, hecho que no puede ocurrir en el caso de trabajar con polinomios. Todo este camino lo recorreremos de la mano de los matem´aticos brit´anicos Kenneth Falconer y Alan Beardon. El Cap´ıtulo 1 de estas notas est´a basado en las dos primeras secciones del Cap´ıtulo 14 de [4]. Para los cap´ıtulos 2, 3 y 4 me he ayudado de los cap´ıtulos 2, 3 y 4 de [2]. 5 Cap´ıtulo 1 Conjuntos de Julia para polinomios Este cap´ıtulo est´a sacado del Cap´ıtulo 14 del libro Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, Kenneth Falconer [4]. 1.1. Conjuntos de Julia. A lo largo de esta secci´on vamos a considerar f:C−→ C z7−→ anzn+an−1zn−1+. . . +a1z+a0 un polinomio de grado n≥2, donde aj∈C, para todo j∈ {1, . . . , n}. M´as adelante veremos que, haciendo peque˜nas modificaciones, esta teor´ıa sigue siendo cierta si fes una funci´on racional definida en el plano complejo ampliado de la forma f(z) = R(z) = P(z) Q(z), donde PyQson polinomios. Denotaremos por fka la k-´esima composici´on de la funci´on f,f◦k · · · ◦f. As´ı, fk(z) = f(f(· · · (f(z)) · · · )) es la k-´esima iteraci´on de fen z. Los conjuntos de Julia se pueden definir en t´erminos del comportamiento de las iteraciones de fk(z) para un ksuficientemente grande. 6 Definici´on 1.1.1. Sea fun polinomio. El conjunto de Julia relleno de f, denotado por K(f), es el conjunto de puntos del plano complejo donde la sucesi´on de iteraciones de fno tiende a infinito, esto es, K(f) = {z∈C:fk(z)→ ∞}. As´ı, definimos el conjunto de Julia de f, denotado por J(f), como la frontera del conjunto de Julia relleno de f, esto es, J(f) = ∂K(f). De esta definici´on deducimos que z∈J(f) si existe un entorno Vde zdonde encontramos dos puntos u, v ∈Vtales que fk(u)→ ∞ yfk(v)→ ∞. Para simplificar la notaci´on, escribiremos KyJen lugar de K(f) y J(f) respectivamente cuando la funci´on est´e clara. Vamos a definir algunos conceptos para polinomios que en los cap´ıtulos siguientes generalizaremos para el caso de las funciones racionales: Definici´on 1.1.2. Sean fun polinomio y wun punto de C. Decimos que wes un punto fijo de fsi f(w) = w. En el caso en el que wsatisfaga la igualdad fp(w) = w para alg´un p≥1, decimos que wes un punto peri´odico de fde per´ıodo p. As´ı, w, f(w), . . . , fp(w) es una ´orbita de per´ıodo p. Definici´on 1.1.3. Sean fun polinomio y w∈Cun punto peri´odico de per´ıodo ptal que la derivada de la p-´esima iteraci´on de fevaluada en wes igual a λ, (fp)′(w) = λ. Decimos que wes un punto atractivo de fsi 0≤ |λ|<1. As´ı, wser´a un punto no atractivo de fsi |λ|>1. 7 El estudio de sucesiones {fk(z)}k≥0variando el punto inicial zentra dentro del campo de estudio de las din´amicas complejas. El siguiente resultado nos va a ser de gran utilidad a la hora de determinar si una sucesi´on de iteradas converge a infinito, ayud´andonos as´ı a determinar qu´e puntos del plano complejo se quedan fuera del conjunto de Julia relleno. Lema 1.1.4. Sea f:C→Cun polinomio de la forma f(z) = anzn+an−1zn−1+. . . +a1z+a0, donde an= 0 yn≥2. Entonces, existe un n´umero rpositivo tal que si |z| ≥ r, entonces |f(z)| ≥ 2|z|. En particular, si |fm(z)| ≥ rpara alg´un m≥0, entonces fk(z)−→ ∞ si k→ ∞. Por tanto, o bien fk(z)−→ ∞ o bien el conjunto {fk(z): k= 0,1,2, . . .}est´a acotado. Demostraci´on. Sea zun punto del plano complejo. Tomamos r > 0 tal que si |z| ≥ r, entonces 1 2|an| |z|n≥2|z|(1.1) y, por tanto, |an−1| |z|n−1+. . . +|a1| |z|+|a0| ≤ 1 2|an| |z|n. Esta ´ultima desigualdad se verifica pues dividiendo por |z|na ambos lados de la desigualdad anterior, obtenemos |an−1| |z|+. . . +|a1| |z|n−1+|a0| |z|n≤1 2|an|, pues, |an−1| |z|+. . . +|a1| |z|n−1+|a0| |z|n−→ 0 cuando |z|→∞, mientras que 1 2|an|>0. Luego, si |z| ≥ r, entonces |f(z)|=anzn+an−1zn−1+. . . +a1z+a0 ≥ |an| |z|n−|an−1| |z|n−1+. . . +|a1| |z|+|a0|.(1.2) 8 ii). z∈C\K. Si aplicamos el Lema 1.1.4 tenemos que existe r > 0 tal que |fk(z)|> r para alg´un k. Luego, |fk(w)|> r, para todo w∈V, donde Ves un entorno de z. As´ı, por el lema mencionado anteriormente, concluimos que fk(w)→ ∞ uniformemente en Vy, por tanto, la familia {fk}es normal en w. Nota. Es habitual a la hora de profundizar en el estudio de los conjuntos de Julia, encontrarnos la expresi´on dada en (1.6) como la propia definici´on de conjunto de Julia. Nuestro objetivo a partir de este momento es probar que podemos caracterizar los conjuntos de Julia, J(f), como la clausura de los puntos peri´odicos no atractivos de f. Antes de ello, presentaremos algunas propiedades interesantes de los conjuntos de Julia relacionadas con este tema. Lema 1.1.12. Sean fun polinomio, w∈J(f)yUun entorno de w. Entonces, para cada j= 1,2, . . ., el conjunto W≡ ∞ [ k=j fk(U) es o bien el plano complejo, o bien el plano complejo menos un ´unico punto, que llamaremos punto excepcional. Adem´as, tal punto es excepcional independientemente de wyUy no pertenece a J(f). Demostraci´on. Tenemos que probar cuatro cosas: i). W= ∞ [ k=j fk(U) =    C. C\ {v}. ii). v /∈J. iii). ves independiente de w∈J(f). iv). ves independiente del entorno de w,U. En primer lugar, sea w∈J(f). Sabemos por la Proposici´on 1.1.11 que, en este caso, la familia de funciones {fk}∞ k=jno es normal en w. Luego, aplicando el Teorema 1.1.10, deducimos i). Para continuar tomamos v∈C\W. Tenemos que f(W)⊂W, pues: W= ∞ [ k=j fk(U), 15 para cada j= 1,2, . . .. As´ı, f(W) = f  ∞ [ k=j fk(U) =ffj(U)∪fj+1(U)∪ · · · = =fj+1(U)∪fj+2(U)∪ · · · = ∞ [ k=j+1 fk(U)⊂W, para cada j= 1,2, . . . . Como hemos tomado v∈C\W, tenemos que si existe z∈Ctal que f(z) = v, entonces f(z)/∈W. Acabamos de ver que f(W)⊂W, luego f(z)/∈f(W) y, por tanto, z /∈W. Por i)., sabemos que C\Wtiene, a lo m´as, un punto y, como v∈C\W, entonces z=v. Tenemos pues que fes un polinomio de grado ntal que la ´unica soluci´on de la ecuaci´on f(z)−v= 0 es z=v, donde estamos considerando zcomo una variable. Por tanto, f(z)−v=c(z−v)n, para alguna constante c∈C. Si tomamos zsuficientemente cerca de ventonces, fk(z)−v→0, si k→ ∞. Adem´as, podemos encontrar un entorno de vsuficientemente peque˜no donde la convergencia de la sucesi´on anterior es uniforme. Por tanto, la familia de funciones {fk}es normal en vy podemos concluir as´ı que v /∈J. Con esto hemos probado ii). Finalmente, hemos visto que v´unicamente depende de f, luego, tambi´en se verifican iii). y iv). El siguiente resultado tiene gran importancia pr´actica pues constituye la base de muchas im´agenes de los conjuntos de Julia hechas a ordenador. Corolario 1.1.13. Sea fun polinomio: a). Para todo z∈Ccon, a lo m´as, una excepci´on se verifica: si Ues un abierto de Ctal que U∩J(f)=∅, entonces existen infinitos valores de k∈Ntales que la intersecci´on f−k(z)∩U=∅. 16 b). Sea z∈J(f). Se verifica la igualdad: J(f) = ∞ [ k=1 f−k(z). Esto es, J(f)es la clausura del conjunto S∞ k=1 f−k(z). Demostraci´on. a). Sea U⊂Cun abierto tal que U∩J=∅. Entonces, Ues entorno de alg´un punto de Jy verifica el Lema 1.1.12. ´ Este nos asegura que ∞ [ k=j fk(U) es el plano complejo Csalvo, a lo m´as, un punto. Luego, si zno es el punto excepcional del que habl´abamos en el Lema 1.1.12, entonces para cada j= 1,2, . . . z∈ ∞ [ k=j fk(U). Por tanto, z∈fk(U) para infinitos valores de k; y, para todos ellos, f−k∩U=∅. b). Si z∈J(f), entonces aplicamos la Proposici´on 1.1.6 para deducir que f−k(z)∈J, para todo k. Luego, ∞ [ k=1 f−k(z)⊂J(f). En la Proposici´on 1.1.5 hemos probado que J(f) es un conjunto cerrado, por tanto, ∞ [ k=1 f−k(z)⊂J(f). Veamos ahora la otra contenci´on: sean z∈J(f) y Uun abierto tal que U∩J=∅. Entonces, por el apartado anterior, tenemos que f−k(z)∩U=∅ para infinitos valores de k. Por tanto, J(f) = ∞ [ k=1 f−k(z). 17 Proposici´on 1.1.14. Sea fun polinomio. Entonces, J(f)es un conjunto perfecto (cerrado y sin puntos aislados) y, por tanto, no numerable. Demostraci´on. Sean v∈J(f) y U⊂Cun entorno de v. Vamos a probar que la intersecci´on (U\ {v})∩Jno es vac´ıa. Para ello, distinguimos tres casos: i). El punto vno es un punto fijo ni peri´odico de f. Aplicando el apartado b). del Corolario 1.1.13 y la Proposici´on 1.1.6 tenemos que Ucontiene un punto de f−k(v)⊂J para alg´un k≥1 y, este punto, debe ser distinto de v, pues vno es un punto fijo ni peri´odico de f. Por tanto, U\ {v}contiene alg´un punto de J. ii). El punto ves un punto fijo de f, esto es, f(v) = v. Si la ecuaci´on f(z) = v tuviera como ´unica soluci´on z=ventonces, razonando como en la prueba del Lema 1.1.12, llegar´ıamos a que v /∈J(f). Hemos llegado a una contradicci´on pues v∈J(f). Por tanto, existe w∈C\ {v}tal que f(w) = v. Aplicando de nuevo el apartado b). del Corolario 1.1.13, tenemos que Ucontiene un punto uque pertenece a f−k(w) = f−k−1(v) para alg´un k≥1. La Proposici´on 1.1.6 nos asegura que cualquier punto de ese tipo, pertenece tambi´en a J(f). Adem´as, ues distinto de vpues fk(v) = v=w=fk(u). Por tanto, U\ {v}contiene alg´un punto de J(f). iii). El punto ves un punto peri´odico de fde per´ıodo p > 1, esto es, fp(v) = vpara alg´un p > 1. La Proposici´on 1.1.7 nos asegura que J(f) = J(fp) para todo p≥1. Luego, aplicando el apartado anterior de esta demostraci´on a la funci´on fp, concluimos que U\ {v}tambi´en contiene puntos de J(fp) = J(f). Luego, dado un punto v∈J(f), cualquier entorno Ude vcontiene alg´un punto de J(f) distinto de v, esto es, J(f) no tiene puntos aislados. Adem´as, hemos visto en la Proposici´on 1.1.5 que J(f) es un conjunto cerrado. Concluimos as´ı que J(f) es un conjunto perfecto. Finalmente, sabemos por Topolog´ıa que todo conjunto perfecto es no numerable. 18 Con el siguiente resultado vamos a probar el que ha sido nuestro objetivo durante las ´ultimas p´aginas: Teorema 1.1.15. Sea fun polinomio. El conjunto de Julia de fes la clausura de los puntos peri´odicos no atractivos de f. Demostraci´on. Sea w∈Cun punto no atractivo peri´odico de fde per´ıodo p. Entonces, fp(w) = wy(fp)′(w)>1. Llamamos g=fp. As´ı, wes un punto fijo no atractivo de g. Consideramos la familia de funciones {gk}y razonamos por reducci´on al absurdo: supongamos que {gk}es normal en w. Entonces, wtiene un entorno Vdonde cualquier subsucesi´on {gki}de funciones de {gk}converge uniformemente en compactos a una funci´on anal´ıtica acotada, g0. No puede converger a infinito pues gk(w) = wpara todo k≥1. Aplicando el Teorema de Weierstrass estudiado en la asignatura Variable Compleja, sabemos que la sucesi´on de las derivadas de {gki}converge uniformemente en los compactos de Va la derivada de g0, esto es, para todo z∈V, gki(z)′−→ g′ 0(z), cuando k→ ∞. Sin embargo, la Regla de la Cadena nos asegura que gki(w)′(w) =g′(w)ki−→ ∞, cuando ki→ ∞, pues wes un punto fijo no atractivo de gy|g′(w)>1|. Esto contradice el hecho de que g′ 0(w) sea una funci´on anal´ıtica acotada. Por tanto, la familia de funciones {gk}no es normal en w. Aplicando la Proposici´on 1.1.11 tenemos que, w∈J(g) = J(fp). Adem´as, la Proposici´on 1.1.7 nos asegura que J(f) = J(fp), para todo p≥1. Luego, w∈J(f). Tenemos pues que todo punto w∈Cperi´odico no atractivo de fpertenece a J(f), esto es, el conjunto de puntos del plano complejo que son peri´odicos y no atractivos de fest´a contenido en J(f). Como J(f) es un conjunto cerrado entonces, la clausura del conjunto de puntos peri´odicos no atractivos de ftambi´en est´a contenida en J(f). Por otro lado, consideramos el conjunto E={w∈J(f): existe v=wcon f(v) = wyf′(v)= 0} 19 y tomamos un punto w∈E. Entonces, existe V⊂Centorno de wdonde podemos encontrar una funci´on anal´ıtica f−1:V−→ C\Vtal que f−1(w) = v=w (simplemente escogemos valores de f−1(z) de manera continua). Ahora, definimos una familia de funciones anal´ıticas definidas sobre V,{hk}, donde hk(z) = fk(z)−z f−1(z)−z yVes un entorno de wsuficientemente peque˜no de modo que f−1(z)−z= 0 para todo z∈V. Sea U⊂Cun abierto tal que w∈UyU⊂V. As´ı, Ues un entorno de wcontenido en V. Como w∈J(f), la familia {fk}no es normal en U. Entonces, la familia de funciones {hk}tampoco es normal en U. As´ı, aplicando el Teorema 1.1.10, sabemos que para todo w∈Csalvo, a lo m´as, un punto, existen z∈Uyk≥1 tales que hk(z) = w. En particular, sabemos que la funci´on hk(z) toma o bien el valor 0 o bien el valor 1 para alg´un valor de z∈Uyk≥1. En el primer caso, hk(z) = 0 para alg´un z∈Uy alg´un k≥1 se verifica: hk(z) = fk(z)−z f−1(z)−z= 0. Despejando en la igualdad anterior obtenemos que fk(z) = z, esto es, zes un punto peri´odico de f. En el segundo caso, hk(z) = 1 para alg´un z∈Uyk≥1, tenemos que: hk(z) = fk(z)−z f−1(z)−z= 1. Despejando adecuadamente llegamos a que: fk(z) = f−1(z). Luego, fk+1(z) = zy tambi´en as´ı zes un punto peri´odico de f. En cualquiera de los dos casos zes un punto peri´odico de f. Por tanto, Ucontiene un punto peri´odico de fywest´a en la clausura de los puntos peri´odicos no atractivos de f, para todo w∈E. Como fes un polinomio, Econtiene todos los puntos de J(f) salvo un n´umero finito de puntos. Sabemos por a Proposici´on 1.1.14 que J(f) no contiene puntos aislados. Entonces, J(f)⊂EyEest´a contenido en la clausura del conjunto de puntos peri´odicos no atractivos de f. 20 1.2. Funciones cuadr´aticas. El conjunto de Mandelbrot. En esta secci´on nos dedicaremos a estudiar los conjuntos de Julia de polinomios cuadr´aticos. Aunque no ser´a hasta la secci´on 4 del Cap´ıtulo 2 cuando definiremos formalmente el concepto de conjugaci´on, se verifica que todos los polinomios de grado 2 son conjugados de alg´un polinomio de esta forma: fc(z) = z2+c, (1.7) donde c∈Ces una constante. Por ahora, podemos decir que dos polinomios de grado dos, fyg, son conjugados si existe una aplicaci´on lineal hde la forma h(z) = αz +β, donde α∈C\ {0}yβ∈C, tal que g=h−1fh, donde h−1fh =h−1◦f◦hDe este modo, si consideramos la composici´on h−1fch, tenemos que h−1fch(z) = h−1(fc(h(z))) = α2z2+ 2αβz +β2+c−β α y, escogiendo valores adecuados de α,βycpodemos escribir todos los polinomios cuadr´aticos. Luego, estudiando los polinomios de la forma (1.7) estamos realmente haciendo un estudio general. Debemos tener en cuenta que la funci´on inversa de f−1 c(z) es de la forma: f−1 c(z) = ±(z−c)1 2, esto es, dado un z,f−1 c(z) nos devuelve dos valores, salvo que z=c. Llamamos ramas de f−1 c(z) a cada uno de los posibles valores de f−1(z), para todo z=c. Por tanto, si Ues un abierto tal que c /∈U, entonces f−1 c(U) consta de dos partes. La funci´on dada por fc establece una biyecci´on entre cada una de ellas y Ude manera regular (en el sentido de diferenciabilidad). Definici´on 1.2.1. Definimos el conjunto de Mandelbrot como el conjunto de par´ametros c donde el conjunto de Julia de la funci´on dada por fces conexo, esto es, M={c∈C:J(fc)es conexo }. 21 Figura 1.1: Conjunto de Mandelbrot. En los siguientes resultados veremos que el conjunto de Mandelbrot nos proporciona informaci´on relevante acerca de la estructura de los conjuntos de Julia de polinomios cuadr´aticos. A lo largo de esta secci´on diremos que una loop es una curva regular (i.e. diferenciable), cerrada y simple (sin autointersecciones) definida en el plano complejo. Si γes una loop, entonces nos referiremos a la componente conexa acotada de C\γcomo el interior de γy a la componente conexa no acotada de C\γcomo el exterior de γ. Lema 1.2.2. Sean Cuna loop y c∈C. a). Si c∈Cest´a en el interior de C, entonces f−1 c(C)es una loop. Adem´as, fcestablece una relaci´on entre el interior de f−1 c(C)y en el interior de C; y entre el exterior de f−1 c(C)y el exterior de C. b). Si c∈Cpertenece al exterior de Centonces f−1 c(C)contiene dos loop disjuntas tales que ninguna de ellas est´a contenida en la otra. Adem´as, fctransforma el interior de cada loop f−1 c(C)en el interior de Cy el exterior de ambas curvas en el exterior de C. Demostraci´on. Para cada c∈Cconsideramos el polinomio de segundo grado: fc(z) = z2+c. De esta forma, tenemos que: f−1 c(z) = ±(z−c)1 2 es su funci´on inversa y (f−1 c)′(z) = ±1 2(z−c)−1 2 22 su derivada. ´ Esta ´ultima est´a bien definida y es distinta de cero para todo z=c. Por tanto, si c /∈Cy elegimos una de las dos ramas de f−1 c, el conjunto f−1 c(C) es localmente una curva regular. Supongamos que c /∈C. Tomamos un punto inicial w∈Cy consideramos los dos valores correspondientes de f−1 c(w): z0y−z0. Cada una de las ramas de f−1 c(z) define una funci´on continua y, si variamos zdentro de Cde manera continua, las pre-im´agenes correspondientes en cada una de las ramas tambi´en variar´an de manera continua, trazando, a su vez dos, dos curvas que conforman la “imagen inversa” de C, que denotaremos por C+yC−.´ Estas curvas son sim´etricas respecto al origen, esto es, se verifica: u∈C+⇐⇒ −u∈C−. Cuando zrecorre la curva completa, C, y vuelve al punto inicial, w, las curvas que conforman la imagen inversa de C,C+yC−vuelven tambi´en a los puntos de partida: z0y −z0. Distinguimos dos casos: a). La imagen inversa de Cdada por la curva C+tiene como punto inicial z0y como punto final −z0(y C−lo contrario). De esta manera, si unimos ambas curvas obtenemos que f−1 c(C) est´a compuesta por una ´unica loop. Como fces una funci´on continua que transforma f−1 c(C) en C(y no m´as puntos), entonces el polinomio fctransforma el interior y el exterior de f−1 c(C) en el interior y exterior de Crespectivamente. Adem´as. como las curvas C+yC−con sim´etricas respecto al origen entonces, el origen, debe estar en el interior de f−1 c(C) y, por tanto, c=f−1 c(0) est´a en el interior de la curva C. b). La imagen inversa de Cdada por la curva C+empieza y termina en el punto z0y C−en −z0. En este caso, C+yC−son dos loops disjuntas y sim´etricas respecto del origen. Entonces, fctransforma el interior y el exterior de C+yC−en el interior y exterior de Crespectivamente. A diferencia del caso anterior, ahora el origen no puede estar en ninguna de las curvas C+ni C−ni en sus interiores pues, en ese caso, el origen estar´ıa dentro de las dos. Luego, c=f−1 c(0) est´a en el exterior de C. Siguiendo la notaci´on del lema anterior, si c∈Centonces f−1 c(C) es una curva regular y cerrada con un ´unico punto de autointersecci´on. El siguiente teorema es conocido como el Teorema Fundamental del conjunto de Mandelbrot. ´ Este da una caracterizaci´on del conjunto de Mandelbrot, Ma partir de las iteraciones de fc: 23 Teorema 1.2.3. (Teorema Fundamental de Conjunto de Mandelbrot). Sea c∈C. El conjunto de Julia J(fc)es conexo si la sucesi´on dada por las iteraciones de f,fk c(0)∞ k=1, est´a acotada y es totalmente disconexo en otro caso. Entonces: M={c∈C:J(fc)es conexo}(1.8) =nc∈C:{fk c(0)}∞ k=1 est´a acotadoo(1.9) =nc∈C:fk c(0) → ∞ si k→ ∞o.(1.10) Demostraci´on. En primer lugar, veamos que 1.9 y 1.10 definen el mismo conjunto. Por el Lema 1.1.4 sabemos que fk c−→ ∞ ⇐⇒ nfk c(0)o∞ k=1 est´a acotada. Luego, las definiciones 1.9 y 1.10 son equivalentes. En segundo lugar, vamos a probar que los conjuntos 1.8 y 1.9 son iguales por doble contenci´on. ⊃Empezamos viendo que si la sucesi´on dada por {fk c(0)}∞ k=1 est´a acotada entonces J(fc) es conexo: Sea Cun c´ırculo suficientemente grande tal que: todos los puntos de {fk c(0)}∞ k=1 est´en en el interior de Cy verifiquen: fk c−→ ∞, si k→ ∞ yf−1 c(C) est´e en el interior de C. Vamos a probar que la sucesi´on de loops dada por {f−k c(C)}∞ k=0 est´a contenida en J(fc). Como c=fc(0) est´a en el interior de Centonces, aplicando el Lema 1.2.2, f−1 c(C) es una loop contenida en el interior de C. Adem´as, como fc(c) = f2 c(0) entonces cest´a en el interior de f−1 c(C). De nuevo, aplicamos el Lema 1.2.2 y obtenemos que f−2 c(C) es una loop contenida en el interior de f−1 c(C), donde cest´a en el interior de f−2 c(C). Si repetimos el proceso obtenemos que {f−k c(C)}∞ k=0 es una sucesi´on de loops encajadas, esto es, tenemos una sucesi´on de loops donde cada una est´a contenida en el interior de la loop anterior. Sea Kel conjunto cerrado de puntos tales que est´an sobre las loops f−k c(C) o en su interior, para todo k. Si z∈K, entonces fk c(z) se encuentra en el interior de C, para todo k. Por otro lado, si z /∈K, entonces zest´a en el exterior de f−k c(C) para alg´un k. En ese caso, fk c(z) est´a en el exterior de Cyfk c−→ ∞, si k→ ∞. Por tanto, Kes el conjunto relleno de fc. Pero Kes la intersecci´on de una sucesi´on decreciente de conjuntos simplemente conexos (conjuntos conexos cuyo complementario en C∞es conexo). Sabemos 24 Sustituyendo esto en (2.3) obtenemos la siguiente relaci´on: 2 π σ0(z, w) 2≤sin σ0(z, w) 2≤σ0(z, w) 2.(2.5) Como 2 sin σ0(z, w) 2=σ(z, w), podemos sustituir esta relaci´on en (2.5) y multiplicar todo por 2 para finalmente obtener: 2 πσ0(z, w)≤σ(z, w)≤σ0(z, w). Una consecuencia directa del Teorema 2.1.2 es que las distancias cordal y esf´erica son equivalentes sobre C∞. Terminamos esta secci´on con una definici´on: Definici´on 2.1.3. Longitud esf´erica. Sea γuna curva de clase C1en C∞. Llamamos longitud esf´erica de γa la integral Zb a 2 1 + |γ(t)|2|γ′(t)|dt. (2.6) 2.2. Funciones racionales. En esta secci´on vamos a aclarar algunas generalidades sobre las funciones racionales que ser´an fundamentales para el desarrollo del trabajo. Nuestro objetivo es poder trabajar con ellas en C∞, tratando al ∞como un punto m´as del dominio y del rango. Una funci´on racional es una funci´on de la forma R(z) = P(z) Q(z), donde PyQson polinomios no nulos, pues si P= 0 o Q= 0, entonces Rser´ıa la funci´on constante 0 y ∞respectivamente. Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que PyQ son polinomios primos entre s´ı pues, en otro caso, podr´ıamos eliminar los factores comunes y considerar Rya despejada. Si Q(z) = 0 para alg´un valor de zyPno es el polinomio constante cero, entonces diremos que R(z) = ∞. 31 Por otro lado, definimos R(∞) como el l´ımite de R(z) cuando z→ ∞, esto es, R(∞) = l´ım z→∞ R(z). As´ı, las funciones racionales son funciones definidas de C∞en C∞. Definici´on 2.2.1. Sea R(z) = P(z) Q(z)una funci´on racional. Llamamos grado de Ral m´aximo de los grados de los polinomios PyQ, esto es, gr (R) = m´ax{gr (P),gr (Q)}. Si R(z) = a, donde a∈C∞es una constante diremos que el grado de Res cero. Vamos a hablar del comportamiento de Ren el punto ∞. Para ello, consideramos la funci´on: S(z) = R1 z que est´a bien definida en un entorno perforado del origen y es una funci´on racional. Adem´as, R(∞) = l´ım z→∞ R(z) = l´ım z→0R1 z= l´ım z→0S(z) = S(0). Luego, si R(∞)=0,∞decimos que el orden del cero o del polo de Ren el infinito es el orden del cero o del polo de Sen el origen. Hagamos un estudio general. Sea R(z) = P(z) Q(z)una funci´on racional, donde P(z) = anzn+. . . +a1z+a0, Q(z) = bmzm+. . . +b1z+b0 son dos polinomios de grado nymrespectivamente. Entonces, R(z) = anzn+. . . +a1z+a0 bmzm+. . . +b1z+b0 . Observamos que cualquier z∈C\ {0}satisface: S(z) = R1 z= an zn+. . . +a1 z+a0 bm zm+. . . +b1 z+b0 =zm−nan+. . . +a1zn−1+a0zn bm+. . . +b1zm−1+b0zm, donde anbm= 0. Distinguimos tres casos: 1. Si m>n, entonces R(∞) = 0 y Rpresenta un cero de orden m−nen ∞, pues S(z) = R(1 z) presenta un cero del mismo orden en el origen. 32 2. Si m=n, entonces R(∞) = an bn= 0. En este caso el punto ∞no es ni un polo ni un cero de R. 3. Si m<n, entonces R(∞) = ∞yRpresenta en ∞un polo de orden n−m, pues S presenta un polo del mismo orden en el origen. Observamos que, en los tres casos estudiados anteriormente, el n´umero de ceros y el n´umero de polos de R(contando multiplicidades) en C∞es igual a m´ax{n, m}. Veamos: sabemos que Rtiene nceros y mpolos en C, contando multiplicidades. Si m>n, entonces m´ax{n, m}=m, y se verifica que Rtiene, contando multiplicidades, mpolos en C⊂C∞y como Rtiene un cero de orden m−nen ∞, entonces Rtambi´en tiene n+ (m−n) = mceros en C∞. Si m < n razonamos de manera an´aloga: en este caso, m´ax{n, m}=nyRtiene, contando multiplicidades, npolos en C⊂C∞;mceros en Cy n−mceros en ∞. Por tanto Rtiene npolos y m+ (n−m) = nceros en C∞. El caso en el que m=nes trivial pues Rtiene n=m= m´ax{n, m}ceros y polos en C. Adem´as, m´ax{n, m}= gr (R) ; luego, el grado de una funci´on racional nos determina el n´umero de ceros y polos, contando multiplicidades, de la misma. M´as a´un. Sea a∈Cuna constante. La funci´on dada por R(z)−a tambi´en es una funci´on racional, que comparte los mismos polos que R, pues, si R(z) = P(z) Q(z), entonces R(z)−a=P(z) Q(z)−a=P(z)−aQ(z) Q(z). Los polos de R(z)−ase corresponden con los ceros de su denominador y, como los denominadores de R(z) y R(z)−acoinciden, tambi´en coinciden sus ceros. Adem´as, el grado de ambas funciones coincide, gr (R(z)) = gr (R(z)−a) y, por tanto, tambi´en lo hace el n´umero de ceros. Sin embargo, en este caso no comparten los mismos ceros. Los ceros de R(z)−ason las soluciones de la ecuaci´on R(z) = a, contando multiplicidades. Hemos demostrado el siguiente teorema: 33 Teorema 2.2.2. Sea Runa funci´on racional de orden p. Entonces, Rtiene exactamente pceros y ppolos en C∞, contando multiplicidades. Adem´as, toda ecuaci´on de la forma R(z) = a,a∈C∞tiene exactamente psoluciones, contando multiplicidades. Luego, si R:C∞→C∞es una funci´on racional de grado u orden pentonces cada punto z∈C∞tiene exactamente ppreim´agenes, contando multiplicidades. A cada punto w∈C∞ le corresponden ppuntos, z1, . . . , zp, no necesariamente distintos, tales que R(zk) = w, k∈ {1, . . . , p}. Como el rango y el dominio de Res todo el plano complejo ampliado, podemos hablar de sucesiones de funciones iteradas, (Rn). ´ Estas sucesiones ser´an de la forma: R0= Id, R1=R, R2=R, ◦R R3=R◦R◦R . . . , donde Id es la funci´on identidad definida en C∞. Adem´as, gr (Rn) = gr (R)n. Esto es una consecuencia del siguiente teorema: Teorema 2.2.3. Sean RySdos funciones racionales. Entonces, gr (R◦S) = gr (R)gr (S). Demostraci´on. Sean RySdos funciones racionales de grado rysrespectivamente. Tomamos w∈Ctal que la funci´on S(z)−wtenga sceros simples en C, o lo que es lo mismo, que S−1{w}sean spuntos distintos; y tal que R−1{ζk}sean rpuntos distintos para cada k= 1, . . . , s. Esto es, tomamos w∈Ctal que S−1{w}={ζ1, . . . , ζs} ⊂ C sean spuntos distintos y, para todo k= 1, . . . , s, R−1{ζk}={ηkj : 1 ≤j≤r} ⊂ C sean rpuntos distintos. De este modo, (R◦S)−1{w}={ηkj : 1 ≤k≤s, 1≤j≤r} ⊂ C consta de sr puntos. Hemos probado que el n´umero de soluciones de (R◦S)(z) = wpara esta elecci´on de wes sr. Podemos concluir as´ı que el grado de la composici´on R◦Ses: gr (R◦S) = sr = gr (R) gr (S), 34 como quer´ıamos probar. Si la funci´on S(z)−wtiene alg´un cero de multiplicidad mayor que uno en alg´un punto z, entonces la derivada de Sen z, que es una funci´on racional, tambi´en se anula en z. Pero los ceros de S′son tantos como el grado de S′, esto es, un n´umero finito. Luego, S′ se anula en una cantidad finita de puntos y, por tanto, Ssolo puede tener una cantidad finita de ceros con multiplicidad mayor que uno. El resto ser´an ceros simples. De este modo, siempre podemos conseguir wtal que S−1{w}sea el conjunto de puntos donde S′no se anule. Podemos razonar de manera an´aloga que podemos evitar los puntos ηkjtales que R′se anule. De este modo, la cantidad de puntos que debemos evitar es finita. Podemos concluir as´ı que la existencia de west´a garantizada. Vamos a definir los conceptos de funci´on holomorfa, meromorfa y anal´ıtica que vamos a utilizar en este trabajo. De aqu´ı en adelante, consideraremos D⊂Cuna regi´on del plano complejo, esto es, abierto y conexo. Definici´on 2.2.4. Una funci´on f:D→Ces holomorfa en Dsi es derivable en cada punto de D. Definici´on 2.2.5. Una funci´on f:D→C∞es meromorfa en Dsi, para cada punto de D, existe un entorno del mismo donde alguna de las funciones fo1 fsea holomorfa. Los polos de fson, precisamente, aquellos puntos w∈C∞donde f(w) = ∞y, existe un entorno de wdonde la funci´on 1 f(z)es holomorfa, considerando 1 f(w)= 0. Definici´on 2.2.6. (Definici´on alternativa a 2.2.5). Sea f:D→C∞una funci´on. De manera alternativa, decimos que fes meromorfa en Dsi es holomorfa en Dsalvo, a lo m´as, en una colecci´on aislada de puntos donde fpresenta polos. Se deduce de esta definici´on que las funciones racionales son meromorfas en el plano complejo, C. Nota. Sean f:D→C∞una funci´on y w∈Dtal que f(w) = ∞. Observamos que fes continua en w, esto es, fes continua en un polo; y fes holomorfa en un entorno reducido de w. Veamos: la funci´on 1 f(z)est´a definida como 0 cuando z=w. Esta funci´on es continua en wseg´un la m´etrica euc´ıdea, pues l´ım z→w 1 f(z)=0= 1 f(w); 35 y seg´un la m´etrica cordal, pues se verifica que la funci´on dada por z7→ 1 zes una σ-isometr´ıa. Entonces, σ(f(z), f(w)) = σ1 f(z),1 f(w)=σ1 f(z),0−→ 0 cuando z→w. Deducimos as´ı que las funciones racionales son continuas en todo el plano complejo Csi son vistas como funciones definidas de Cen C∞. Pero es que tambi´en son continuas en ∞, pues R(∞) = l´ım z→∞ R(z). Luego, cualquier funci´on racional R:C∞→C∞es una aplicaci´on continua sobre C∞. Para las definiciones siguientes consideraremos Ω ⊂C∞una regi´on del plano complejo ampliado. Decimos que una funci´on f: Ω →C∞est´a definida en un entorno del punto ∞ si est´a definida en alg´un conjunto de la forma: {|z|> r} ∪ {∞}. Definici´on 2.2.7. Funci´on holomorfa y meromorfa en ∞. Sea f: Ω →C∞una funci´on. Decimos que fes holomorfa en el infinito si f(1 z)es holomorfa en un entorno del origen. Decimos que fes meromorfa en el infinito si f(1 z)es meromorfa en un entorno del origen. Una funci´on racional Rsiempre puede considerarse definida en un entorno de ∞.´ Esta ser´a holomorfa o meromorfa en el ∞, dependiendo los grados que tengan los polinomios del numerador y del denominador de R. Definici´on 2.2.8. Sean D1yD2regiones de C∞. Diremos que la funci´on f:D1→D2es anal´ıtica en D1si es holomorfa o meromorfa en cada punto de D1. Ejemplo 2.2.9. Los polinomios de la forma P(z) = anzn+. . . a1z+a0, donde an= 0 y n > 0satisfacen la igualdad P(∞) = ∞. Adem´as, son funciones anal´ıticas en C∞pues son anal´ıticas en Cy meromorfas en el punto ∞. Esto ´ultimo se verifica pues la funci´on 1 P1 z=zn an+. . . +a1zn−1+a0zn se define como cero en el origen y es holomorfa en un entorno del mismo. Adem´as, ∞es un punto fijo de cualquier polinomio no constante. 36 Terminamos la secci´on afirmando que toda funci´on racional Res anal´ıtica en C∞. Veamos: si R:C∞→C∞es una funci´on racional, entonces para cualquier punto z0∈C, alguna de las funciones Ro1 Res holomorfa en un entorno de z0. Luego, Res meromorfa en z0. Adem´as, Rtambi´en es meromorfa en ∞, pues en un entorno del origen, f(1 z) o 1 f(1 z)son holomorfas. Luego, f(1 z) es meromorfa en un entorno del origen. Adem´as, estudiamos en la asignatura Funciones de una Variable Compleja que si f:C∞→C∞es una funci´on anal´ıtica, entonces fes una funci´on racional. 2.3. Condici´on de Lipschitz. Toda funci´on continua de un espacio m´etrico compacto en otro espacio m´etrico es uniformemente continua. Esto es un resultado de topolog´ıa. Esto es, si f: (X, d)→(X1, d1) es continua y (X, d) es compacto, entonces para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si d(x, y)< δ entonces d1(f(x), f(y)) < ε. Como las funciones racionales R:C∞→C∞son continuas, entonces son uniformemente continuas respecto de las distancias cordal y esf´erica. En el siguiente teorema se demuestra algo m´as: no solo son uniformemente continuas, son funciones lipschitzianas. Teorema 2.3.1. Toda funci´on racional Rsatisface una condici´on de Lipschitz del tipo σ0(R(z), R(w)) ≤Mσ0(z, w) (2.7) sobre la esfera de Riemann. Esto es, existe una constante M > 0tal que para todo z, w ∈C∞ se verifica la desigualdad (2.7). Demostraci´on. La clave est´a en acotar el siguiente cociente: |R′(z)|1 + |z|2 1 + |R(z)|2.(2.8) Supongamos que existe M > 0 tal que (2.8) est´a acotado superiormente por M. Sean zyw dos puntos distintos de C∞yγ: [a, b]⊂C∞→C∞la curva cuya imagen por Π nos da la distancia esf´erica entre zywen la esfera de Riemann. Aplicando la definici´on de longitud esf´erica tenemos que: σ0(z, w) = Zγ 1 1 + |s|2|ds|=Zb a |γ′(t)| 1 + |γ(t)|2dt. 37 De este modo, R◦γes una curva que une R(z) con R(w) y, por tanto, como la distancia esf´erica es la menor longitud esf´erica entre dos puntos, tenemos que σ0(R(z), R(w)) ≤ZR◦γ 1 1 + |s|2|ds|=Zb a |R′(γ(t))||γ′(t)| 1 + |R(γ(t))|2dt = =Zb a |R′(γ(t))||γ′(t)| 1 + |R(γ(t))|2 1 + |γ(t)|2 1 + |γ(t)|2dt ≤MZb a |γ′(t)| 1 + |γ(t)|2dt =Mσ0(z, w), pues hab´ıamos supuesto que el cociente dado por (2.8) estaba acotado superiormente por M. Con esto habr´ıamos probado el Teorema. Ahora bien, tenemos que probar que, efectivamente, (2.8) est´a acotado en un entorno de cada polo de Ry en un entorno del infinito (pues en el resto de puntos de la esfera de Riemann la funci´on Res continua). Supongamos que Rtiene un polo de orden men z0. Entonces, podemos escribir R(z)=(z−z0)−mg(z), donde ges una funci´on no nula y holomorfa en un entorno de z0. Adem´as, R′(z) = g′(z)(z−z0)m−mg(z)(z−z0)m−1 (z−z0)2m. Sustituyendo esto en (2.8), obtenemos: |R′(z)|1 + |z|2 1 + |R(z)|2= g′(z)(z−z0)m−mg(z)(z−z0)m−1 (z−z0)2m1 + |z|2 1 +  g(z) (z−z0)m 2= = |z−z0|m−1|g′(z)(z−z0)−mg(z)|1 + |z|2 |z−z0|2m+|g(z)|2, que est´a acotado en un entorno de z0. Estudiamos tambi´en qu´e ocurre en un entorno de ∞. Como Res una funci´on racional, podemos escribir R(z) = P(z) Q(z), donde PyQson polinomios de grado nymrespectivamente. Distinguimos tres casos: i). n>m, esto es, Rtiene un polo de orden n−men ∞. Entonces, podemos escribir R(z) = zkh(z), R′(z) = kzk−1h(z) + zkh′(z), 38 donde k=n−myhes una funci´on holomorfa y no nula en un entorno de ∞. Sustituyendo esto en (2.8) obtenemos: |kzk−1h(z) + zkh′(z)|1 + |z|2 1 + |z|2k|h(z)|2.(2.9) De este modo, tenemos que en un entorno de ∞, el orden que domina en (2.9) es 2k tanto en el numerador como en el denominador. Luego, este cociente est´a bien definido y es distinto de cero en un entorno de ∞. Por tanto, el cociente dado en (2.9) est´a acotado en un entorno de ∞. ii). n=m, esto es, Rest´a bien definida y es distinta de cero en ∞. En este caso, R(z) = P(z) Q(z), R′(z) = P′(z)Q(z)−P(z)Q′(z) Q2(z) y, el cociente dado por (2.8) ser´ıa de la forma:  P′(z)Q(z)−P(z)Q′(z) Q2(z)1 + |z|2 1 +  P(z) Q(z) 2.(2.10) Podemos escribir PyQcomo P(z) = anzn+. . .+a1z+a0yQ(z) = bnzn+. . .+b1z+b0. Sustituyendo esto en (2.10) y despejando adecuadamente, llegamos a que el grado del numerador es, a lo m´as, 2ny el denominador es 2n. Por tanto, en un entorno de ∞, (2.10) est´a acotado. iii). n<m, esto es, Rtiene un cero de orden m−nen ∞. An´alogamente al caso anterior, acotaremos el cociente (2.8) razonando sobre los grados de los polinomios PyQ. Tenemos que P′yQ′tienen grados n−1 y m−1 respectivamente. Entonces, al sustituir en R′tenemos que P′(z)Q(z)−P(z)Q′(z) es un polinomio de, a lo m´as, grado m+n−1. De esta forma, en el cociente |P′(z)Q(z)−P(z)Q′(z)|(1 + 1|z|2) |Q(z)|2+|P(z)|2(2.11) el grado del numerador es, a lo m´as, m+n+ 1 y el grado del denominador es 2m. Como m>n, entonces m≥n+ 1 y se verifica que 2.≥m+n+ 1. Es decir, el grado del numerador en (2.11) es menor o igual que el grado del denominador. Podemos concluir as´ı que el cociente dado en (2.11) tambi´en est´a acotado en un entorno de ∞. 39 Finalmente, el cociente dado por (2.8) est´a acotado para todo z∈C∞y para toda funci´on racional R, como quer´ıamos probar. El siguiente resultado trata de afinar la cota propuesta en el Teorema 2.3.1 para el caso donde la funci´on racional sea una transformaci´on de M¨obius: Teorema 2.3.2. La transformaci´on de M¨obius dada por: g(z) = az +b cz +d, ad −bc = 1 satisface la condici´on de Lipschitz σ0(g(z), g(w)) ≤ ∥g∥2σ0(z, w), donde ∥g∥2=|a|2+|b|2+|c|2+|d|2. Demostraci´on. Sea gla transformaci´on de M¨obius del enunciado. Bas´andonos en la prueba del Teorema 2.3.1, tenemos que probar que para todo z, |g′(z)|1 + |z|2 1 + |g(z)|2≤ ∥g∥2.(2.12) Observamos que g′(z) = a(cz +d)−c(az +b) (cz +d)2=1 (cz +d)2, pues ad−bc = 1. Sustituyendo esto en (2.12) llegamos a que tenemos que probar la siguiente desigualdad: 1 + |z|2 |az +b|2+|cz +d|2≤ ∥g∥2. Llamamos ϕ(g, z) a la parte izquierda de la desigualdad anterior, ϕ(g, z) = 1 + |z|2 |az +b|2+|cz +d|2. Para obtener la funci´on inversa de g, escribimos: w=az +b cz +d⇐⇒ czw +dw =az +b⇐⇒ z=−dw +b cw +a. As´ı, g−1(z) = −dz +b cz −a. 40 Demostraci´on. Sea zun punto fijo de R. Entonces, R(z) = z. Si evaluamos Sen g(z) obtenemos: S(g(z)) = gRg−1(g(z)) = gR(z) = g(z). Rec´ıprocamente, si g(z) es un punto fijo de S, entonces S(g(z)) = g(z). Si evaluamos Ren zobtenemos: R(z) = g−1Sg(z) = g−1g(z) = z. Para ilustrar el uso de la conjugaci´on, vamos a caracterizar los polinomios dentro de la clase de aplicaciones racionales conjugadas. Sabemos que una funci´on racional no constante Res un polinomio si y solo si R−1{∞} =∞. Esto es, si Rtiene un polo en ∞y no tiene polos en C. M´as generalmente, tenemos el siguiente resultado: Teorema 2.4.5. Sea Runa funci´on racional no constante. Res conjugada de un polinomio si y solo si existe w∈C∞tal que R−1{w}={w}. Demostraci´on. Sea Runa funci´on racional. Supongamos que existe w∈Ctal que R−1{w}={w}. Vamos a probar que, en este caso, Res conjugada de un polinomio. Para ello, consideramos una transformaci´on de M¨obius gtal que g(w) = ∞y consideramos la funci´on racional conjugada de Rdada por S=gRg−1. Tenemos que Ssatisface S−1{∞} =gRg−1−1{∞} =gR−1g−1{∞} =gR−1(w) = g(w) = {∞} y, por tanto, Ses un polinomio. Por otro lado, supongamos que Res conjugada de un polinomio P. Entonces, existe una transformaci´on de M¨obius gtal que P=g−1Rg ⇐⇒ R=gPg−1. Tomamos w∈C∞tal que g(w) = ∞. Este wexiste pues las aplicaciones bilineales establecen una biyecci´on sobre C∞. As´ı, tenemos que R−1{w}={w}, pues R−1{w}=gpg−1−1{w}= (gP)−1{∞} =g−1{∞} ={w}. 47 2.5. Valencia. Sea funa funci´on no constante y holomorfa en un entorno de z0∈C. Sabemos que en un entorno de z0,fse puede escribir de la siguiente forma: f(z) = a0+ak(z−z0)k+ak+1(z−z0)k+1 +. . . , donde los coeficientes ajson n´umeros complejos, ak= 0 y kes un n´umero entero positivo que est´a un´ıvocamente determinado por la condici´on de que el l´ımite l´ım z→z0 f(z)−f(z0) (z−z0)k exista, sea finito y no nulo. As´ı, llamamos valencia u orden de fen el punto z0al ´unico k que verifica lo anterior y lo denotamos por vf(z0). En realidad, la valencia de fen el punto z0es el orden del cero que presenta la funci´on f(z)−a0 en el punto z0. Teorema 2.5.1. (Regla de la cadena para la valencia). Sean z0un punto de C,guna funci´on holomorfa y no constante en un entorno de z0yfuna funci´on holomorfa y no constante en un entorno de g(z0). Entonces, vf◦g(z0) = vf(g(z0)) vg(z0), donde z0,g(z0)yf(g(z0)) son tres n´umeros complejos. Demostraci´on. Sea z0∈C. Hemos estudiado en la asignatura de Funciones de una Variable Compleja que los ceros de una funci´on holomorfa son aislados. Por tanto, si ges una funci´on no constante y holomorfa en z0, entonces los ceros de la funci´on g(z)−g(z0) son aislados. Luego, existe un entorno perforado, N, de z0donde g(z)=g(z0). Sobre este entorno tenemos que f(g(z)) −f(g(z0)) (z−z0)kq =f(g(z)) −f(g(z0)) (g(z)−g(z0))q g(z)−g(z0) (z−z0)k!q ,(2.21) 48 donde q=vf(g(z0)) y k=vg(z0). Si el l´ımite cuando z→z0de la expresi´on anterior existe, es finito y no nulo entonces se verifica la igualdad: l´ım z→z0 f(g(z)) −f(g(z0)) (z−z0)kq = l´ım z→z0 f(g(z)) −f(g(z0)) (g(z)−g(z0))ql´ım z→z0 (g(z)−g(z0))q ((z−z0)q)k. Podemos concluir as´ı que se verifica la igualdad: vf◦g(z0) = vg(f(z0)) vf(z0). Proposici´on 2.5.2. Una funci´on fes inyectiva en un entorno de z0si y solo si vf(z0)=1. Demostraci´on. Es conocido que si UyVson dos abierto del plano complejo y f:U→Ves una funci´on holomorfa e inyectiva, entonces f′(z)= 0, para todo z∈U. Podemos encontrar una prueba de este resultado en [6, p. 206-207]. Con ello, tenemos que vf(z0)= 1. Rec´ıprocamente, si vf(z0)= 1, entonces f′(z0)= 0. De este modo, deducimos que f tiene inversa en un entorno de z0y, por tanto, concluimos que fes inyectiva en un entorno de z0. Partiendo del resultado anterior, la regla de la cadena nos dice que la valencia se preserva por pre-aplicaci´on o post-aplicaci´on de una funci´on inyectiva. Expl´ıcitamente, si f◦gest´a definida en un entorno de zyges inyectiva en un entorno de zo si h◦fest´a definida en un entorno de zyhinyectiva en un entorno de f(z), entonces se verifican las siguientes igualdades: vf◦g(z) = vf(g(z)) , vh◦f(z) = vf(z). Hasta ahora solo hemos hablado de valencia de una funci´on fen puntos de C, pero estas reglas nos van a permitir extender las definiciones de valencia vf(z0) a los casos en los que z0=∞of(z0) = ∞o, incluso, a ambos casos a la vez, f(∞) = ∞. Consideramos dos transformaciones de M¨obius, gyh, que lleven z0yf(z0) a puntos de Crespectivamente. En el caso en que alguno de los dos, z0of(z0) sea ∞definimos la valencia de fen z0como sigue: vf(z0) = vF(g(z0)) ,(2.22) 49 donde F=h◦f◦g−1. Esta definici´on es consistente y no depende de las transformaciones de M¨obius escogidas, pues como hemos tomado gyhtales que g(z0)∈C, F(g(z0)) = (h◦f)(z0) = h(f(z0)) ∈C y, aplicando la Regla de la Cadena para la valencia, 2.5.1, tenemos que: vF(g(z0)) = vh◦f◦g−1(g(z0)) = =vh◦fg−1(g(z0))vg−1(g(z0)) = =vhfg−1(g(z0))vfg−1(g(z0))vg−1(g(z0)) = =vh(f(z0)) vf(z0)vg−1(g(z0)) = =vf(z0). pues vh(f(z0)) = 1 = vg−1(g(z0)) dado que ambas funciones, gyh, son inyectivas. Podemos hablar as´ı de valencia de forma general en todo el plano complejo ampliado. Teorema 2.5.3. Si ftiene un polo de orden ken el punto z0∈C, entonces vf(z0) = k. Demostraci´on. Supongamos que ftiene un polo de orden ken z0∈C. Hemos estudiado en la asignatura de Funciones de una Variable Compleja que, entonces l´ım z→z0 (z−z0)kf(z) = a= 0.(2.23) Queremos hallar la valencia de fen el punto z0∈C, donde f(z0) = ∞. Para ello, vamos a aplicar la f´ormula (2.22), considerando las transformaciones de M¨obius gyhdadas por: g(z) = z, h(z) = 1 z. As´ı, vf(z0) = vF(g(z0)) = vF(z0), donde F(z)=(hfg−1)(z) = 1 f(z). Luego, vf(z0) = vF(z0) = v1 f(z0). 50 Adem´as, aplicando la definici´on de valencia para v1 f(z0) y (2.23) llegamos a que el siguiente l´ımite existe, es finito y no nulo: l´ım z→z0 1 f(z)−1 f(z0) (z−z0)k= l´ım z→z0 1 f(z)(z−z0)k=1 a= 0, donde hemos considerado 1 f(z0)= 0. De este modo, tenemos que v1 f(z0) = ky, por tanto, vf(z0) = k, como quer´ıamos probar. 2.6. Puntos fijos. Sea Runa funci´on racional no constante de la forma R(z) = P(z) Q(z), donde PyQson polinomios primos entre s´ı. La localizaci´on de los puntos fijos de Res trivial. En primer lugar, Rfija a ∞si y solo si gr (P)>gr (Q). Si ζ∈Ces un n´umero complejo fijado por R, entonces Q(ζ)= 0 y, se debe cumplir la siguiente igualdad: P(ζ) = ζQ(ζ).(2.24) Rec´ıprocamente, si se cumple la ecuaci´on dada por (2.24) y, adem´as, Q(ζ)= 0, entonces ζes un punto fijo de R. Por tanto, los puntos fijos de Rque pertenecen a Cson las soluciones de la ecuaci´on: P(z)−zQ(z)=0.(2.25) Observamos que la ecuaci´on dada por (2.25) no tiene por qu´e tener soluciones en C, pues la parte izquierda de la igualdad puede ser un polinomio constante no nulo. Por ejemplo, la funci´on dada por: R(z) = z+1 z no tiene puntos fijos en Cy P(z)−zQ(z) = z2+ 1 −z2= 1. 51 Si ζ∈Ces un punto fijo de una aplicaci´on anal´ıtica f, entonces diremos que ftiene exactamente kpuntos fijos en ζsi y solo si la ecuaci´on f(z)−ztiene un cero de orden ken ζ. As´ı, por ejemplo, la funci´on dada por: f(z) = z+z3 tiene 3 puntos fijos en ζ= 0. Sin embargo, vz+z3(ζ) = 1. Por otro lado, la aplicaci´on f(z) = z3 tiene 1 punto fijo en el origen y vz3(0) = 3, pues f(z)−z=z3−z=z(z2−1)). La noci´on de punto fijo y su multiplicidad se puede generalizar para el caso de ∞. Podemos consultar los resultados necesarios para ello y su definici´on en la sexta secci´on del Cap´ıtulo 2 de [2]. 2.7. Puntos cr´ıticos. Comenzamos esta secci´on con una definici´on: Definici´on 2.7.1. Sea Runa aplicaci´on racional. Decimos que un punto zes un punto cr´ıtico de Rsi Rno es inyectiva en ning´un entorno de z. Si Rno es una funci´on constante, entonces los puntos cr´ıticos de Rson aquellos puntos donde la valencia de Res mayor que uno y, en ese caso, la derivada de Rse anula en z. Luego, z∈C∞satisface vR(z)>1 y R′(z)=0 si es un punto cr´ıtico de R. Definici´on 2.7.2. Sea Runa funci´on racional. Decimos que un punto w∈C∞es un valor cr´ıtico para Rsi es la imagen de alg´un punto cr´ıtico de R, esto es, si w=R(z) para alg´un punto cr´ıtico zde R. Sea Runa funci´on racional de grado d. Si wno es un valor cr´ıtico de R, entonces R−1{w}consta, precisamente, de dpuntos distintos, digamos z1, . . . , zd. Como ninguno de los zjson puntos cr´ıticos de R, existen Nun entorno de wyN1, . . . , Ndentornos de z1, . . . , zd 52 respectivamente donde Restablece una biyecci´on de Njen N, para cada j∈ {1, . . . , d}. Luego, para cada j∈ {1, . . . , d}, la restricci´on de RaNjtiene inversa R−1 j:N→Nj. Llamamos ramas de R−1en wa cada una de las funciones anteriores. Ahora bien, sabemos que Res inyectiva en un entorno de cualquier punto de Cdonde la derivada de R,R′, no tenga cero ni polo alguno. Luego, salvo en una cantidad finita de puntos, vR(z) = 1. Por tanto, X z∈C∞ (vR(z)−1) <∞. Esta suma nos da una medida del n´umero de ra´ıces m´ultiples de Ry de las dificultades para definir R−1. El siguiente teorema nos proporciona una f´ormula que usaremos m´as adelante: Teorema 2.7.3. (Teorema de Riemann-Hurwitz). Sea Runa funci´on racional no constante. Se verifica: X z∈C∞ (vR(z)−1) = 2gr (R)−2.(2.26) Nota. Aunque, a priori, el sumatorio de la expresi´on (2.26) es infinito, realmente las sumas que estamos considerando son una cantidad finita pues, ´unicamente son positivos aquellos sumandos definidos sobre puntos cr´ıticos, que hemos visto que son una cantidad finita. En el resto de puntos de C∞, vR(z)−1=0. De este modo, la f´ormula dada en el teorema anterior nos proporciona una estimaci´on del n´umero de puntos cr´ıticos de R. Para un polinomio P(z) = anzn+. . . +a1z+a0de grado n > 0, tenemos que vP(∞) = gr (P). Luego, en este caso, la f´ormula dada en (2.26) nos da una estimaci´on del n´umero de puntos cr´ıticos de Pen C. Este comentario da pie al siguiente corolario: Corolario 2.7.4. Sea Runa funci´on racional de grado d > 0. Entonces, Rtiene, a lo m´as, 2d−2puntos cr´ıticos en C∞. Adem´as, si Res un polinomio, entonces Rtiene, a lo m´as, d−1puntos cr´ıticos en C. 53 Demostraci´on. Hemos visto en la nota anterior que el sumatorio dado en (2.26) s´olo cuenta con los t´erminos asociados a puntos cr´ıticos. El Teorema 2.7.3 nos asegura que esta suma es igual a 2d−2, donde des el grado de R. Teniendo en cuenta que la valencia solo toma valores naturales y, la valencia de los puntos cr´ıticos es mayor o igual que dos, 2d−2 nos proporciona una cota superior del n´umero de puntos cr´ıticos de R. Si R=Pes un polinomio de grado d > 0, entonces vP(∞) = gr (P) = d. Luego, despejando esto en la f´ormula dada en (2.26) obtenemos X z∈C (vP(z)−1) = 2d−2−(d−1) = d−1. Estas estimaciones juegan un papel fundamental en la teor´ıa de iteraciones de funciones. Por lo general, asignaremos una multiplicidad a cada punto cr´ıtico z, justo el valor vR(z)−1. Bajo este convenio, una aplicaci´on racional de grado dtiene exactamente 2d−2 puntos cr´ıticos. Veamos la prueba del Teorema 2.7.3: Demostraci´on. Prueba del Teorema 2.7.3 (de Riemann-Hurwitz): Antes de empezar la prueba de este teorema, observamos que ambos lados de la igualdad (2.26) son invariantes por conjugaci´on pues, tanto la valencia como el grado de una funci´on respetan la conjugaci´on. De modo que, basta probar la f´ormula para cualquier aplicaci´on conjugada de R. Sean Runa funci´on racional de grado dyζun punto tal que ζno sea un punto fijo ni cr´ıtico de R, esto es, R(ζ)=ζ, vR(ζ)=1 y tal que la ecuaci´on dada por R(z) = ζ tenga dsoluciones distintas. Consideramos la transformaci´on de M¨obius gtal que g(ζ) = ∞, (g◦R) (ζ) = g(R(ζ)) = 1; y llamamos Sa la funci´on dada por S=gRg−1. 54 Entonces, las funciones RySson conjugadas. De este modo, Ssatisface las siguientes propiedades: 1. S(∞) = 1, pues S(∞) = gRg−1(∞) = gRg−1(∞)=g(R(∞)) = 1. 2. Stiene dpolos simples en C,z1, . . . , zd. Como RySson conjugadas, podemos aplicar el Teorema 2.4.2 y deducir que los grados de ambas funciones coinciden, gr (S) = gr (R) = d. Adem´as, el Teorema 2.2.2 nos asegura que el grado de una funci´on racional es igual al n´umero de polos en C∞de la misma. Deducimos as´ı que Stiene dpolos (contando multiplicidades) en C∞. En este caso, todos los polos de Sest´an en Cpues, S(∞) = 1. Solo nos queda probar que los dpolos de Sson simples. Sabemos que zes un polo de Ssi satisface la igualdad S(z) = ∞.(2.27) Desarrollando esta expresi´on obtenemos: gRg−1(z) = ∞ ⇐⇒ Rg−1(z)=g−1(∞) = ζ. Part´ıamos de la siguiente hip´otesis: R(z) = ζtiene dsoluciones distintas, para todo z. En particular, para z=g−1(z). Por tanto, la ecuaci´on (2.27) tiene dsoluciones distintas y, podemos concluir as´ı que Stiene dpolos distintos en C, esto es, Stiene d polos simples en C. 3. vS(∞) = 1, pues aplicando El Teorema 2.5.1 obtenemos: vS(∞) = vgRg−1(∞) = vgR g−1(∞)vg−1(∞) = vg(R(ζ)) vR(ζ)vg−1(∞). En la secci´on 5 de este cap´ıtulo vimos que una funci´on es inyectiva en entorno de un punto si y solo si su valencia en ese punto es igual a 1 (Teorema 2.5.2). Como las transformaciones de M¨obius son transformaciones biyectivas de C∞en C∞, en particular, son inyectivas en cualquier entorno de cualquier punto z∈C∞. Luego, vg(z) = 1 = vg−1(z), para todo z∈C∞. En particular, para z=R(ζ) y z=∞. Como hemos tomado ζtal que vR(ζ) = 1, concluimos que vS(∞) = vg(R(ζ)) vR(ζ)vg−1(∞) = vR(ζ)=1. 55 Si renombramos a Spor Rtenemos que: R(∞) = 1, Rtiene dpolos simples en C, z1, . . . , zd; y vR(∞) = 1. Estas condiciones aseguran que la valencia de Ren el infinito y en cada uno de los zj,j= 1, . . . , d es 1, pues, del Teorema 2.5.3 deducimos que la valencia de una funci´on en un polo coincide con el orden del polo. En este caso, como los polos son todos simples, todos tienen orden 1. De este modo, tenemos que el sumatorio que estamos considerando se puede restringir a los puntos de C: X z∈C∞ (vR(z)−1) = X z∈C\{z1,...,zd} (vR(z)−1) . Para tales z∈C\ {z1, . . . , zd},R(z) pertenece a Cy, por ello, el valor de la derecha es exactamente igual al n´umero de ceros de R′(z) (podemos comprobar esto f´acilmente escribiendo el desarrollo en serie de Taylor de Ren los ceros de R′). Ahora, escribimos R(z) = P(z) Q(z), donde PyQson polinomios primos entre s´ı. Entonces, la derivada de Rser´a de la forma, R′(z) = P′(z)Q(z)−P(z)Q′(z) Q(z)2.(2.28) Esta tambi´en es una expresi´on reducida de la funci´on racional R′, es decir, los polinomios P′Q−PQ′yQ2son coprimos. Razonamos por reducci´on al absurdo: supongamos que los polinomios P′(z)Q(z)−P(z)Q′(z) y Q2(z) tienen alg´un cero en com´un. Entonces, tal cero debe ser uno de los zj,j∈ {1, . . . , d}. Esto es, para alg´un j∈ {1, . . . , d}, Q2(zj) = 0 =⇒Q(zj) = 0 y P′(zj)Q(zj)−P(zj)Q′(zj) = 0. Como Q(zj) = 0, despejando en a igualdad anterior, tenemos que: P(zj)Q′(zj) = 0. Como hemos supuesto que PyQno tienen ceros comunes, entonces P(zj)= 0 y, por tanto, Q′(zj) = 0. En ese caso, zjser´ıa un cero de multiplicidad, al menos, 2 de Q. Hemos llegado a una contradicci´on pues los ceros de Qson simples. Por tanto, la expresi´on de R′dada por (2.28) est´a reducida. 56 de M¨obius y su inversa satisfacen la condici´on de Lipschitz respecto de la distancia esf´erica (y cordal) en C∞. Por tanto, si conjugamos Rcon una transformaci´on de M¨obius, la equicontinuidad se transmite de manera natural y tenemos el siguiente resultado: Teorema 3.1.4. Sea Runa funci´on racional no constante, guna transformaci´on de M¨obius yS=g◦R◦g−1=gRg−1. Entonces, F(S) = g(F(R)) yJ(S) = g(J(R)). Demostraci´on. Sea Runa funci´on racional no constante. Sabemos que F(R) es el abierto maximal contenido en C∞donde la familia de funciones {Rn}es equicontinua. Consideramos guna transformaci´on de M¨obius. El Teorema 2.3.1 nos asegura que existe una constante M > 0 tal que gsatisface la condici´on de Lipschitz. Tomamos un punto z0∈F(R). De este modo, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo z∈C∞y para todo k, se verifica σRk(z0), Rk(z)<ε M, siempre que σ(z0, z)< δ. Por tanto, si σ(z0, z)< δ, σgRk(z0), gRk(z)≤Mσ Rk(z0), Rk(z)< ε. (3.2) Consideramos ahora la inversa de g,g−1, y su constante de Lipschitz asociada, M′>0. Si escribimos z0=g−1(w0), esto es, w0=g(z0); y z=g−1(w), tenemos que si σ(w0, w)<δ M′, entonces σ(z0, z) = σg−1(w0), g−1(w)< δ. Aplicando (3.2) tenemos que σgRkg−1(w0), gRkg−1(w)=σgRk(z0), gRk(z)< ε siempre que σ(w0, w)<δ M′. Acabamos de probar que g(z0)∈F(R). De este modo, concluimos que g(F(R)) ⊂F(S). La prueba de que g−1(F(S)) ⊂F(R) se razona de manera an´aloga. Podemos concluir as´ı que F(S) = g(F(R)). Adem´as, tenemos que z∈J(S)⇐⇒ z∈F(S)c⇐⇒ z∈g(F(R))c⇐⇒ z∈g(F(R)c)⇐⇒ z∈g(J(R)). Deducimos as´ı que tambi´en se da la igualdad: J(S) = g(J(R)). 63 Un argumento similar nos lleva al siguiente resultado: Teorema 3.1.5. Sea Runa funci´on racional no constante. Entonces, para todo pentero positivo se verifica: F(Rp) = F(R)yJ(Rp) = J(R). Demostraci´on. Vamos a empezar probando que F(R)⊂F(Rp): Sea S=Rp. Definimos las familias de funciones F′={Sn:n≥1}yF={Rn:n≥1}. As´ı, F′est´a contenida en Fy, en particular, F′es equicontinua donde Flo es. Tenemos as´ı que: F(R)⊂F(S). Veamos la otra implicaci´on: partimos de que cada Rksatisface la condici´on de Lipschitz. Entonces, la familia de funciones dada por: Fk=nRkSn:n≥0o es equicontinua donde lo es F′. En particular, cada Fkes equicontinua en F(S). Por tanto, la uni´on finita de familias de funciones F0∪. . . ∪ Fp−1tambi´en es equicontinua en F(S). Adem´as, p−1 [ j=0 Fj={Sn:n≥0}∪{RSn:n≥0} ∪ . . . ∪Rp−1Sn:n≥0= ={Rnp :n≥0} ∪ Rnp+1 :n≥0∪. . . ∪Rnp+p−1:n≥0= =1, Rp, R2p, . . .∪R, Rp+1, R2p+1, . . .∪. . . ∪Rp−1, R2p−1, R3p−1, . . .= ={Rn:n≥0}, pues S=Rp. Tenemos que: ∪p−1 j=0Fj={Rn:n≥0}es equicontinua en F(S) y F= {Rn:n≥1}est´a contenida en {Rn:n≥0}entonces, Fes equicontinua en F(S) y, finalmente, F(S) = F(R). Adem´as, J(R) = C∞\F(R) = C∞\F(S) = J(S). 3.2. Conjuntos completamente invariantes. En esta secci´on vamos a discutir las consecuencias de que un conjunto sea invariante al aplicarle una cierta funci´on. Para ello, empezamos distinguimos tres tipos de invarianza: 64 Definici´on 3.2.1. Sean g:X→Xuna funci´on definida de Xen s´ı mismo y Eun subconjunto de X. Se dice que Ees: i). Invariante hacia delante si se verifica: g(E) = E. ii). Invariante hacia atr´as si satisface: g−1(E) = E. iii). Completamente invariante si se dan las igualdades: g(E) = E=g−1(E). Si ges sobreyectiva, esto es, g(X) = Xentonces los conceptos de invarianza hacia atr´as y completa coinciden pues: E=g(g−1(E)) por ser gsobreyectiva y g−1(E) = Epor ser E invariante hacia atr´as; y as´ı tenemos que: E=g(g−1(E)) = g(E). La condici´on de que gsea sobreyectiva es crucial a la hora de que ambos conceptos, invarianza completa y hacia atr´as, coincidan. Por ejemplo, Ces invariante hacia atr´as pero no completamente invariante bajo la aplicaci´on dada por: g:C−→ C z7−→ ez. Nuestro principal objetivo son las funciones racionales. Estas transforman C∞en s´ı mismo, esto es, todas las transformaciones racionales son sobreyectivas sobre C∞y, por tanto, ambos conceptos coinciden. Ilustramos estas ideas en el siguiente resultado: Teorema 3.2.2. Sea Runa funci´on racional de grado, al menos, dos y Eun conjunto finito completamente invariante bajo R. Entonces, Etiene, a lo m´as, dos elementos. Demostraci´on. Supongamos que Etiene kelementos. Tenemos por hip´otesis que Ees un conjunto finito y completamente invariante bajo R, esto es, se verifica la igualdad: R(E) = E. Deducimos as´ı que Rdebe actuar como una permutaci´on sobre E. En ese caso, existe un n´umero natural qtal que Rqes la identidad en E. Ahora, supongamos que Rqes una funci´on racional de grado d. Tenemos as´ı que, para todo wen E, la ecuaci´on Rq(z)−w= 0 tiene dsoluciones. Como Rqes la identidad, realmente, tenemos que z=wes un cero de multiplicidad d. Aplicando la f´ormula dada en el Teorema 2.7.3 a Rqllegamos a la desigualdad: k(d−1) ≤2d−2. 65 Como d≥2 por hip´otesis, despejamos adecuadamente la expresi´on anterior y obtenemos que k≤2, es decir, Etiene, a lo m´as, 2 elementos. Es conveniente reunir varias propiedades generales, pero elementales, de los conjuntos completamente invariantes. Para ello, supondremos que g:X→Xes sobreyectiva. As´ı podremos intercambiar los conceptos de invarianza hacia atr´as y completa. En primer lugar veamos que la completa invarianza es invariante por conjugaci´on. Sea Eun conjunto completamente invariante bajo gyh:X→Xuna aplicaci´on biyectiva. Entonces, h(E) es completamente invariante bajo h◦g◦h−1=hgh−1. Ahora, aplicamos la construcci´on habitual que se utiliza para generar, por ejemplo, subgrupos, subespacios y topolog´ıas. El operador g−1conmuta con la intersecci´on, esto es, dada una colecci´on de conjuntos {Eα}, g−1\Eα=\g−1(Eα). Tenemos as´ı que la intersecci´on de una familia de conjuntos completamente invariantes bajo una aplicaci´on sobreyectiva es completamente invariante bajo la misma aplicaci´on. Esto quiere decir que, dado un conjunto E0, llamamos Ea la intersecci´on de todos los conjuntos completamente invariantes que contienen a E0. Entonces, Ees el conjunto completamente invariante m´as peque˜no que contiene a E0. Es este caso, decimos que E0genera a E. Introducimos ahora una relaci´on de equivalencia que nos facilitar´a la discusi´on acerca de los conjuntos completamente invariantes. Sean x, y ∈X, definimos la relaci´on ∼sobre Xcomo: x∼ysi y solo si existen n, m ∈Z≥0tales que gn(x) = gm(y). Es f´acil ver que esta relaci´on es de equivalencia pues es reflexiva, sim´etrica y transitiva. Veamos esta ´ultima: si x∼yyy∼zentonces existen n, m, p, q ∈Z≥0tales que: gn(x) = gm(y) y gp(y) = gq(z). Si componemos con gpen la primera igualdad y con gmen la segunda, obtenemos: gn+p(x) = gm+p(y) = gm+q(z). Hemos encontrado as´ı dos n´umeros n+p, m +q∈Z≥0tales que gn+p(x) = gm+q(z) y, por tanto, x∼z. Definici´on 3.2.3. Llamamos ´orbita de xa la clase de equivalencia dada por la relaci´on anterior que contiene a xy la denotaremos por [x]. 66 El siguiente teorema nos ayudar´a a identificar la ´orbita de x: Teorema 3.2.4. Sea g:X→X. Entonces, [x]es el conjunto completamente invariante generado por el conjunto unitario {x}. Demostraci´on. En esta prueba denotaremos por ⟨x⟩al conjunto completamente invariante generado (bajo g) por {x}. Cuando terminemos la prueba, pasaremos a usar [x] en su lugar. En primer lugar, tomamos un elemento de la ´orbita de x,y∈[x]. Entonces, existen n, m ∈Z≥0tales que gm(y) = gn(x). Despejando adecuadamente, obtenemos: y∈g−mgn({x})⊂g−mgn(⟨x⟩) = ⟨x⟩. La ´ultima igualdad la tenemos pues ⟨x⟩es completamente invariante (bajo g). Deducimos as´ı que [x]⊂ ⟨x⟩. Ahora, solo falta demostrar que el conjunto [x] es completamente invariante (bajo g). Con ello, tendremos que ⟨x⟩es el conjunto completamente invariante m´as peque˜no que contiene a x Si probamos que el conjunto [x] es completamente invariante (bajo g), tendremos, por un lado que ⟨x⟩es el conjunto completamente invariante m´as peque˜no que contiene a x y, por otro lado, que [x] es un conjunto completamente invariante que tambi´en contiene a x. Entonces, ⟨x⟩ ⊂ [x] y, as´ı completamos la igualdad: ⟨x⟩= [x]. Veamos pues que [x] es completamente invariante: partimos de que y∼g(y) pues g0(y) = g1(y). Entonces, x∼y si y solo si x∼g(y). Esto es equivalente a decir que: y∈[x] si y solo si g(y)∈[x]. Esto nos muestra que y∈[x] si y solo si g−1([x]). Finalmente, [x] es completamente invariante. Una consecuencia directa del Teorema 3.2.4 es que un conjunto Ees completamente invariante si y solo si se puede escribir como uni´on de clases de equivalencias [x]. En ese caso, su complementario, Ectambi´en se puede escribir como uni´on de ciertas clases de equivalencias y, por tanto, tambi´en es un conjunto completamente invariante. Esto nos sugiere que debemos estudiar qu´e ocurre con los operadores de conjuntos complementario, interior, frontera y clausura: Teorema 3.2.5. Sean g:X→Xuna aplicaci´on abierta y continua definida en un espacio topol´ogico y Eun conjunto completamente invariante (bajo g). Entonces, su complementario 67 en X,X\E; su interior, E0; su frontera, ∂E y su clausura Eson completamente invariantes (bajo g). Demostraci´on. Ya hemos visto que X\Ees completamente invariante (bajo g). Veamos qu´e ocurre con el interior de E: como E0⊂Xes abierto y ges una aplicaci´on continua en X, entonces, g−1(E0)⊂g−1(E) es abierto. Como Ees completamente invariante entonces, g−1(E) = E. Tenemos as´ı que g−1(E0) es un abierto de Eyg−1(E0)⊂E0. An´alogamente, tenemos que Ees completamente invariante g(E) = Eyges una aplicaci´on abierta. Entonces, g(E0)⊂g(E) = E. Deducimos as´ı que g(E0) es un abierto de Eyg(E0)⊂E0. Si componemos con g−1 llegamos a: E0⊂g−1(g(E0)) ⊂g−1(E0). Finalmente, g−1(E0) = E0y concluimos que E0es completamente invariante (bajo g). Ya tenemos que la completa invarianza de Eimplica la de X\EyE0. Aplicando argumentos topol´ogicos se puede probar, es este caso, la frontera y la clausura de Etambi´en son conjuntos completamente invariantes bajo g. Vamos a probar ahora que la divisi´on de la esfera en los conjuntos de Julia y Fatou es completamente invariante, un resultado fundamental. Teorema 3.2.6. Sea Runa funci´on racional. Entonces, los conjuntos de Julia y Fatou de R,FyJson completamente invariantes bajo R. Demostraci´on. Sabemos por el Teorema 3.2.5 que, si Fes completamente invariante bajo R entonces Jtambi´en lo es. Por otro lado, como Res una aplicaci´on racional, es sobreyectiva en C∞y, un conjunto Ees completamente invariante (bajo R) si y solo es invariante hacia atr´as (bajo R). Luego, para demostrar este resultado nos reducimos al caso en el que Fes invariante hacia atr´as, esto es, R−1(F) = F. Lo vemos por doble contenci´on: En primer lugar, vamos a probar que R−1(F)⊂F. Para ello, tomamos un punto z0que est´e en R−1(F) y llamamos w0a su imagen por R,w0=R(z0). Entonces, w0∈F. Como F es el abierto maximal de C∞donde la familia de funciones iteradas {Rn}es equicontinua yw0∈F, se verifica que para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si σ(w, w0)< δ entonces σ(Rn(w), Rn(w0)) < ε, para todo n. Como Res una funci´on continua en C∞, existe ρ > 0 68 tal que si σ(z, z0)< ρ entonces σ(R(z), R(z0)) < δ. Aplicando lo anterior tenemos que, entonces, σ(Rn+1(z), Rn+1(z0)) < ε. Con esto hemos probado que la familia de funciones F1={Rn+1 :n≥1}es equicontinua en z0. Entonces, {R}∪F1={Rn:n≥1}tambi´en es equicontinua en z0, pues lo es F1y Res continua en C∞. Tenemos as´ı que la familia de funciones {Rn:n≥1}es equicontinua en z0y, por tanto, en R−1(F). Como R−1(F) es abierto, deducimos que R−1(F)⊂F. Veamos ahora la otra contenci´on: sea z0un punto de Fyw0su imagen por R,w0= R(z0). Como z0pertenece a F, dado cualquier n´umero positivo ε, existe δ > 0 tal que para todo nse verifica: si σ(z, z0)< δ entonces σRn+1(z), Rn+1(z0)> ε. El conjunto de los zque satisfacen la condici´on de σ(z, z0)< δ es un entorno abierto, N de z0. Luego, R(N) es un entorno abierto de w0. Si tomamos wen R(N) entonces, tenemos que w=R(z) para alg´un z∈Ny σ(Rn(w), Rn(w0)) = σRn+1(z), Rn+1(z0)< ε. Por tanto, si w0pertenece a F, entonces F⊂R−1(F). Finalmente, F=R−1(F) y, podemos concluir que tanto Fcomo Json conjuntos completamente invariantes bajo R. Teorema 3.2.7. Sea Pun polinomio de grado, al menos, 2. Entonces, ∞est´a en F(P)y la componente F∞de Fque contiene al punto del infinito es completamente invariante bajo P. Demostraci´on. Sea W⊂C∞un entorno de ∞donde Pnconverge uniformemente a ∞. Entonces, se verifica que para todo ε > 0, existe Nentero tal que, si zywest´an en Wy n≥N, entonces σ(Pn(z), Pn(w)) ≤σ(Pn(z),∞) + σ(∞, P n(w)) < ε. Luego, la familia de iteradas {Pn}es equicontinua en Wy∞est´a en F(P). Para ver que F∞es completamente invariante bajo P, observamos que: i). ∞ ∈ P(F∞) pues ∞ ∈ F∞yP(∞) = ∞. ii). P(F∞)⊂Fpues hemos visto en el Teorema 3.2.6 que Fes completamente invariante. 69 iii). P(F∞) es conexo pues F∞es conexo y la funci´on Pes continua en C. Por tanto, Ptransforma F∞en s´ı mismo. Tomando P−1llegamos a que F∞⊂P−1(F∞). Supongamos ahora que zpertenece a P−1(F∞). Aplicando nuevamente el Teorema 3.2.6 tenemos que zpertenece a alguna componente conexa F1de Fy, razonando como antes, deducimos que Ptransforma F1en F∞. Entonces, P(F1)⊂F∞. En realidad, en la expresi´on anterior se da la igualdad, pues, si P(F1) no fuese igual a F∞, entonces existir´ıa un punto ζperteneciente a la frontera de F1tal que P(ζ)∈F∞. Esto no puede ocurrir pues, en ese caso, ζpertenecer´ıa a J(P) y, hemos probado en el Teorema 3.2.6 que Jes un conjunto completamente invariante. Deducimos entonces que P(F1) = F∞. Por tanto, F1contiene alg´un punto wtal que P(w) = ∞. Pero entonces, w=∞,F1=F∞, z∈F∞. Luego, P−1(F∞)⊂F∞. Finalmente, Fes completamente invariante bajo P. El siguiente resultado nos ser´a de gran utilidad m´as adelante: Teorema 3.2.8. Sean Xun espacio topol´ogico con un n´umero finito de componentes, X1, . . . , Xn. Sea f:X→Xuna aplicaci´on continua y sobreyectiva. Supongamos que X es un espacio topol´ogico con un n´umero finito de componentes Xj. Entonces, existe mnatural tal que, para todo j= 1, . . . , n,Xjes completamente invariante bajo fm. Demostraci´on. Tenemos que, para cada j= 1, . . . , n,Xjes una componente conexa de X. Como fes una funci´on continua entonces, f(Xj) es conexo para todo j. As´ı, finduce una aplicaci´on τdefinida en {1, . . . , n}tal que τ(i) = j, donde f(Xi)⊂Xj. Como fes sobreyectiva, tambi´en lo es τy, por tanto, τdefine una permutaci´on de los elementos de {1, . . . , n}. Podemos hablar del orden de τ.´ Este es finito, m∈N. As´ı, para todo j= 1, . . . , n fm(Xj) = Xj. Como Xj,j= 1, . . . , n son disjuntos dos a dos, al aplicar f−men la igualdad anterior obtenemos: Xj=f−m(Xj) y, finalmente, hemos llegado a que cada Xj,j= 1, . . . , n es completamente invariante bajo fm. 70 3.3. Familias normales y equicontinuidad. Hemos definido los conjuntos de Julia y Fatou en t´erminos de equicontinuidad de la familia {Rn}. Sin embargo, el concepto de equicontinuidad est´a ´ıntimamente relacionado con el concepto de familias normales de funciones anal´ıticas. Una vez que hayamos entendido esta relaci´on, podremos enfrentarnos a los resultados m´as poderosos sobre familias normales de funciones anal´ıticas y obtener m´as informaci´on acerca de los conjuntos de Julia y Fatou. Este es el objetivo de esta secci´on. Para ello, empezaremos definiendo algunos conceptos clave sobre familias normales: Definici´on 3.3.1. Sean {fn}una sucesi´on de funciones definidas entre los espacios topol´ogicos (X1, d1)y(X2, d2); y funa funci´on. Decimos que {fn}converge localmente uniformemente sobre X1afsi para todo x∈X1existe un entorno Vxtal que fnconverge uniformemente a f. En este caso, tenemos que la convergencia es uniforme en cada conjunto compacto de X1. Definici´on 3.3.2. Una familia de funciones Fdefinidas entre dos espacios topol´ogicos (X1, d1)y(X2, d2)es normal en X1si cada sucesi´on infinita de funciones de Fcontiene una subsucesi´on que converge localmente uniformemente en X1. Recordamos que el l´ımite de la subsucesi´on convergente de la definici´on anterior no tiene por qu´e pertenecer a F. Por otro lado, aunque hemos definido los conceptos anteriores de manera general para espacios m´etricos, s´olo nos ocuparnos del caso en que los espacios sean regiones de la esfera de Riemann con la distancia cordal (o esf´erica). Enunciamos ahora el teorema de Arzel`a- Ascoli: Teorema 3.3.3. (Teorema de Arzel`a-Ascoli). Sean Duna regi´on de la esfera compleja y Funa familia de funciones continuas definidas de Den la esfera compleja. Entonces, Fes equicontinua en Dsi y solo si Fes una familia normal en D. Demostraci´on. La demostraci´on de este teorema no la vemos en este trabajo, pero la podemos encontrar en [1, p. 222]. Una ilustraci´on del uso del concepto de normalidad en lugar del de equicontinuidad es el teorema de Vitali: partiendo de la prolongaci´on anal´ıtica podemos obtener informaci´on acerca del l´ımite fde una sucesi´on {fn}sobre una regi´on Dconociendo ´unicamente fen una peque˜na parte de D: 71 Teorema 3.3.4. (Teorema de Vitali). Supongamos que la familia de funciones anal´ıticas {f1, f2, . . .}es normal en una regi´on Dde la esfera de Riemann y que (fn)converge puntualmente a alguna funci´on fen alg´un abierto no vac´ıo W⊂D. Entonces, fse extiende a una funci´on anal´ıtica Fen Dyfn→Flocalmente uniformemente sobre D. Demostraci´on. Podemos encontrar la prueba de este teorema en [3, p. 219]. Pasamos a estudiar condiciones que nos garanticen la normalidad de una familia de funciones anal´ıticas. Una consecuencia elemental del teorema de la F´ormula Integral de Cauchy (que hemos estudiado en la asignatura de Funciones de Una Variable Compleja) es que si fes una funci´on holomorfa que satisface la condici´on |f| ≤ Men una regi´on D⊂C, entonces |f′|esta acotada en cada compacto K⊂D, donde el l´ımite superior depende de M,KyDpero no de f. Esto implica que si Fes una familia de funciones holomorfas y uniformemente acotadas en D, entonces Fes equicontinua en Dy, por tanto, gracias al Teorema 3.3.3, Fes normal en D. Es posible obtener una variedad de generalizaciones leves de este resultado sin mucho esfuerzo, pero no nos har´an falta. En su lugar, veremos directamente uno de los resultados m´as importantes sobre normalidad: el siguiente resultado es completamente esencial para el estudio de las iteraciones de funciones racionales. Sin embargo, podemos omitir su prueba sin perjudicar la comprensi´on del texto. Teorema 3.3.5. Sean Duna regi´on de la esfera compleja C∞yΩ = C∞\ {0,1,∞}. Entonces, la familia Fcompuesta por todas las funciones anal´ıticas definidas en f:D→Ω es normal en D. Demostraci´on. Podemos encontrar la prueba de este teorema en [3, p. 57]. La hip´otesis del Teorema 3.3.5 es que ninguna funci´on de Fpuede tomar los valores 0, 1 y ∞en ning´un punto de D. Vamos a ver c´omo podemos utilizar el Teorema 3.3.5 para originar dos variaciones del mismo tema. En primer lugar, supondremos que ninguna funci´on f∈ F puede tomar tres valores que ahora dependen de f. Necesitamos adem´as que los tres valores est´en uniformemente separados en la esfera. El resultado del que hablamos es el siguiente: Teorema 3.3.6. Sean Funa familia de funciones anal´ıticas en una regi´on Dde la esfera compleja. Supongamos que existen una constante mpositiva y que, para toda funci´on fde F, tres puntos distintos af,bfycfen C∞tales que: a). Si f∈ F entonces fno toma los valores af,bfycfen D. 72 Teorema 4.1.2 y el Corolario 4.1.3, tenemos la cadena de contenciones: E⊂E(R)⊂F(R), completando as´ı el primero caso. Supongamos ahora que Ees infinito. Como Ees un conjunto completamente invariante, sabemos por el Teorema 3.2.5 que tambi´en lo es su complementario Ω = C∞\E. Por tanto, cada iteraci´on Rnes una transformaci´on de Ω en s´ı mismo. Aplicando el Teorema 3.3.6 a la familia de funciones {Rn}sobre Ω, elegimos los puntos correspondientes af,bfycfcomo puntos dados de E. Esto nos muestra que {Rn}es normal en Ω y, por tanto, Ω ⊂F. Luego, Jest´a contenido en Ey concluimos el segundo caso. Resulta habitual y conveniente expresar la conclusi´on del Teorema 4.2.2 de la siguiente forma: Jes el conjunto cerrado y completamente invariante m´as peque˜no que contiene, al menos, tres puntos. Nos referiremos a esta propiedad como la Propiedad de Minimalidad de J. La prueba del Teorema 4.2.2 puede resultarnos sorprendentemente corta en vista a los interesantes corolarios que de ´el se deducen. Por supuesto, esto no es m´as que un reflejo de la potencia del Teorema 3.3.5. En primer lugar, el plano complejo extendido C∞se puede escribir como la uni´on disjunta del interior del conjunto de Julia, su frontera y el conjunto de Fatou de una funci´on racional R, algo que representamos as´ı: C∞=J0⊔∂J ⊔F. Sabemos que el conjunto de Fatou de una funci´on racional es completamente invariante y, por el Teorema 3.2.5 sabemos que tambi´en lo son J, su frontera y su interior. Si Fno es vac´ıo entonces la uni´on de Fcon la frontera de J,F∪∂J es un conjunto infinito, cerrado y completamente invariante. Luego, por la propiedad de minimalidad de J, J⊂F∪∂J. De esta forma, J⊂∂J y obtenemos el siguiente resultado: Teorema 4.2.3. Sea Jel conjunto de Julia de una funci´on racional. Entonces o bien J=C∞bien Jtiene interior vac´ıo. Demostraci´on. Hemos probado en el comentario previo al enunciado de este teorema que si el conjunto de Fatou de una funci´on racional Rno es vac´ıo, entonces J⊂∂J. Luego, si J=C∞entonces el interior de Jes vac´ıo. Veamos el otro caso: J=C∞. 79 Llamamos conjunto derivado de J, notado J0, al conjunto de los puntos de acumulaci´on de J. De este modo, J0⊂J, pues Jes cerrado. Si J0es un subconjunto infinito, cerrado y completamente invariante, entonces la Propiedad de Minimalidad de Jnos asegura que J⊂J0. Por tanto, J=J0y, concluimos que Jno tiene puntos aislados. Nos falta probar que, efectivamente, J0es un conjunto infinito y completamente invariante: Sabemos por el Teorema 4.2.1 que, si Res una funci´on racional de grado mayor o igual que dos, entonces su conjunto de Julia, J, es infinito. Adem´as, J0es no vac´ıo y, como J0es el conjunto derivado, es cerrado. Como Res una funci´on continua de grado finito, es claro que R(J0)⊂J0. Luego, J0⊂R−1(J0). Adem´as, como Res una aplicaci´on abierta, es f´acil ver que R−1(J0)⊂J0. Por tanto, J0es un conjunto completamente invariante. Aplicando el Teorema 4.2.2 concluimos que J0es infinito y concluimos la demostraci´on de este resultado. Como Jno tiene puntos aislados entonces es no numerable, esto es, Jes un conjunto perfecto. Esto es una consecuencia del Teorema de Categor´ıas de Baire. Podemos acudir a [5, p. 97] para encontrar este teorema y su demostraci´on. Con ello habremos probado el siguiente teorema: Teorema 4.2.4. Sea Runa funci´on racional de grado, al menos, dos. Entonces, Jes un conjunto perfecto y, por tanto, no numerable. Continuamos estudiando las consecuencias del Teorema 3.3.5. Los siguientes resultados aseguran que la sucesi´on de iteraciones de Rexpanden cada vez m´as los entornos de cada punto de J. Dado un abierto Wque corta a J, el siguiente resultado describe c´omo se extienden las im´agenes de Rn(W) recubriendo la esfera. Para ello, recordamos el Teorema 4.1.2 que afirmaba que el conjunto de puntos excepcionales E(R) tiene, a lo m´as, dos elementos. Teorema 4.2.5. Sean Runa funci´on racional de grado, al menos, dos y Wun abierto no vac´ıo tal que W∩J=∅. Entonces: i). S∞ n=0 Rn(W)⊃C∞\E(R); y ii). Rn(W)⊃Ja partir de nsuficientemente grande. Demostraci´on. Sean W0=S∞ n=0 Rn(W) y K=C∞\W0. Si Kcontuviera tres puntos distintos ζ1,ζ3yζ3, podr´ıamos aplicar el Teorema 3.3.6 a la familia de funciones {Rn} sobre W, donde af,bfycfse corresponden con los respectivos ζj,j= 1,2,3, y deducir as´ı que la familia de funciones dada por {Rn}es normal en W. Entonces, Westar´ıa contenido 80 en F. Esto no puede ocurrir pues W∩J=∅yJ∩F=∅. Luego, W0contiene a todos los puntos de la esfera compleja salvo, a los m´as, dos excepciones. Ahora, consideramos un punto zque no sea excepcional para R. Entonces, por el Teorema 4.1.3 deducimos que el conjunto de predecesores de zes infinito. Adem´as, O−(z)∩W0= ∅. Luego, existen un punto wy dos enteros no negativos pyqtales que Rp(w) = zy w∈Rq(W). As´ı, zpertenece a Rp+q(W) y concluimos i). Para probar ii)., tomamos tres abiertos W1,W2yW3tales que la distancia cordal entre ellos sea positiva y la intersecci´on de cada uno de ellos con Jno sea vac´ıa. En primer lugar, Vamos a probar que para cada j= 1,2,3, alguna imagen de Wjpor alguna iteraci´on de R recubre alg´un Wk, donde k∈ {1,2,3}. Esto es, para cada j, existen enteros no negativos k yntales que: Rn(Wj)⊃Wk.(4.1) Razonamos por reducci´on al absurdo: supongamos que no se da la afirmaci´on anterior. Entonces, existe alg´un jtal que Rn(Wj) no recubre a ninguno de los abiertos W1,W2yW3. Aplicando el Teorema 3.3.6 tendr´ıamos que la familia de funciones {Rn}es normal en Wj. Esto no puede ocurrir pues la intersecci´on de Wjcon Jes no vac´ıa para cada j= 1,2,3. Acabamos de probar que para cada j∈ {1,2,3}, existen kyntales que Rn(Wj)⊃Wk. Denotamos el kanterior por π(j). Entonces, πes una aplicaci´on definida del conjunto {1,2,3}en s´ı mismo. Esto es, πes una permutaci´on del conjunto {1,2,3}y su orden es finito. Luego, alguna iteraci´on de πtiene alg´un punto fijo. En otra palabras, para alg´un j y alg´un n, se verifica: Rn(Wj)⊃Wj. Ahora, definimos S=Rn. Entonces, S(Wj)⊃Wjy la sucesi´on de conjuntos dada por Sm(Wj) crece conforme lo hace m. Aplicando i). a SyWj, encontramos que los conjuntos Sm(Wj) forman un recubrimiento abierto creciente del conjunto compacto J. Luego, alguno de ellos recubre J. Claramente, podemos escoger todos los Wkest´en en W. En ese caso, existe alg´un ntal que: J⊂Rn(Wj)⊂Rn(W). Adem´as, para todo nse verifica: J=R(J)⊂Rn+1(W). Razonando por inducci´on concluir´ıamos ii). 81 Los siguientes tres resultados nos muestran c´omo el conjunto de Julia se obtiene a partir del l´ımite o la clausura de alg´un conjunto numerable. Un punto ζse dice punto peri´odico de Rsi es un punto fijo de alguna iteraci´on de R,Rn. Es claro que la cantidad de puntos peri´odicos de Res numerable. Teorema 4.2.6. Supongamos que Res una funci´on racional de grado, al menos, dos. Entonces, Jest´a contenido en la clausura del conjunto de puntos peri´odicos de R. Este resultado implica que Rtiene infinitos puntos peri´odicos. Demostraci´on. Sea Nun abierto tal que N ∩ J=∅. Vamos a probar que Ncontiene alg´un punto peri´odico de R. Tomamos un punto wde la intersecci´on N ∩ J. Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que ´este no es un punto cr´ıtico de R2pues si no, podr´ıamos tomar otro punto de un entorno de Jque no lo fuera. Como el grado de Res mayor o igual que dos y wno es un punto cr´ıtico de R2entonces, en R−2{w}hay, al menos, cuatro puntos distintos. Consideramos los puntos w1,w2yw3, distintos de wy construimos los entornos N0,N1,N2yN3de w,w1,w2yw3respectivamente, tales que sus clausuras sean disjuntas dos a dos, N0⊂ N yR2sea un homeomorfismo de cada Njen N0para j= 1,2,3. Sea Sj:N0→ Njla inversa de R2:Nj→ N0,j∈ {1,2,3}. Si para todo zde N0, todo j= 1,2,3 y todo n≥1 tenemos que: Rn(z)=Sj(z), entonces, por el Teorema 3.3.7 tendr´ıamos que la familia de funciones {Rn}es normal en N0. Esto no ocurre pues N0∩J=∅. Por tanto, existe alg´un punto zen N0, alg´un jen {1,2,3}y alg´un n≥1 tal que Rn(z) = Sj(z). Tenemos as´ı que R2+n(z) = R2Sj(z) = z. Finalmente, zes un punto peri´odico en Ncomo quer´ıamos probar. Consideramos ahora la relaci´on entre Jy la ´orbita [z] de un punto que no sea excepcional para R. Como la clausura de [z], [z] es cerrado y completamente invariante, la Propiedad de Minimalidad de Jestablece que si zno es un punto excepcional, entonces J⊂[z]. Si z pertenece a J, entonces no es excepcional. Luego, [z] y tambi´en [z] est´an contenidos en J. Por tanto, si zpertenece a J, entonces J= [z]. De hecho, podemos intercambiar [z] por el conjunto m´as peque˜no O−(z) y probar el siguiente resultado: Teorema 4.2.7. Sea Runa funci´on racional de grado, al menos, dos. 82 i). Si zno es un punto excepcional para R, entonces Jest´a contenido en la clausura de O−(z). ii). Si zpertenece a J, entonces Jes la clausura de O−(z). Esto nos muestra que, dado un punto no excepcional z, su conjunto de predecesores, O−(z), es un conjunto numerable que se acumula en cada punto de J. Demostraci´on. Prueba del Teorema 4.2.7. Sean zun punto no excepcional para RyWun abierto no vac´ıo de C∞tal que W∩J=∅. Como la intersecci´on de Wcon Jno es vac´ıa, podemos aplicar el Teorema 4.2.5 para deducir que zpertenece a Rn(W) para alg´un n. Entonces, el conjunto de predecesores de z, satisface: O−(z)∩W=∅, probando as´ı i). Si zpertenece a J, entonces el conjunto cerrado y completamente invariante Jcontiene la clausura del conjunto de predecesores de z. Aplicando i). podemos concluir ii). Si zpertenece a Fy no es un punto excepcional, entonces la clausura de O−(z) contiene estrictamente a J. En lugar de estudiar todo el conjunto de predecesores de z, tambi´en podemos estudiar la n-´esima imagen inversa de R,R−n(z) (´esta contiene, a lo m´as, dn puntos) y preguntarnos cu´ando (en alg´un sentido) esos puntos convergen a J. La misma pregunta nos podemos hacer para el conjunto Een lugar del conjunto unitario {z}que respondemos probando el siguiente teorema: Teorema 4.2.8. Sean Runa funci´on racional de grado, al menos, dos y Eun conjunto compacto de la esfera compleja que satisface la siguiente propiedad: para todo z∈F(R), la sucesi´on dada por {Rn:n≥1}no se acumula en ning´un punto de E. Entonces, para todo abierto Uque contenga a J(R)tenemos que, a partir de nsuficientemente grande, R−n(E)⊂U. Si la conclusi´on del teorema se verifica entonces decimos que R−n(E) converge a J y escribimos R−n(E)→J. Ejemplos de estos conjuntos Eson f´aciles de encontrar: por ejemplo, si F0es una componente conexa del conjunto de Fatou que contiene un punto fijo atractivo ζ, entonces existe un conjunto compacto de F0\ {ζ}que satisface tal propiedad. 83 Demostraci´on. Prueba del Teorema 4.2.8. Razonamos por reducci´on al absurdo. Supongamos que, bajo las hip´otesis del teorema, no existe ning´un abierto Utal que J⊂Uy que a partir de un nsuficientemente grande, R−n(E)⊂U. Entonces, existen un abierto Uque contiene a Jy, para ciertos n∈ {n1, n2, . . .}, una sucesi´on de puntos znen R−n(E)\U. Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que la sucesi´on anterior converge a un punto wtal que w /∈Upues Ues abierto y {zn} ⊂ U. Pero J⊂U. Luego, wpertenece a F. Sea εpositivo. Como w∈F, la familia de funciones {Rn}es equicontinua en alg´un entorno de w. Luego, existe δpositivo tal que para todo n, se verifica: si σ(z, w)< δ, entonces σ(Rn(z), Rn(w)) < ε. Por tanto, a partir de nsuficientemente grande, tenemos que σ(Rn(zn), Rn(w)) < ε y, como Rn(zn) pertenece a Ellegamos a que la sucesi´on Rn(w) tiene un punto de acumulaci´on en E, esto es, se acumula en E. Hemos llegado as´ı a una contradicci´on pues part´ıamos de la hip´otesis de que la familia de funciones dada por {Rn:n≥1}no ten´ıa puntos de acumulaci´on en E. Finalmente, existe un abierto Utal que J⊂UyR−n(E)⊂Ua partir de nsuficientemente grande. Terminamos esta secci´on con la siguiente generalizaci´on del Teorema 3.1.5: Teorema 4.2.9. Sean RySdon funciones racionales de grado, al menos, dos. Si RyS conmutan, entonces J(R) = J(S). Demostraci´on. Dado un conjunto E, escribimos diam[E] para referirnos al di´ametro de Erespecto de la m´etrica cordal, σ. Sabemos por el Teorema 2.3.1 que existe un n´umero positivo Mtal que, para todo zywpertenecientes a C∞, σ(S(z), S(w)) ≤Mσ(z, w). Tomamos un punto wde F(R). Entonces, la familia de funciones dada por {Rn}es equicontinua en w. Luego, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo n, diam [Rn(D(w, δ))] <ε M, 84 donde D(w, δ) es el disco de centro wy radio δpara la distancia σ. Como RySconmutan, deducimos que: diam [RnS(D(w, δ))] = diam [SRn(D(w, δ))] ≤Mdiam [Rn(D(w, δ))] < ε. Luego, la familia de funciones {Rn}es normal en el conjunto abierto S(D(w, δ)). En particular, S(w) pertenece a F(R). Esto prueba que Sy, por tanto, cada Sntransforma F(R) en s´ı mismo y, por simetr´ıa, F(R) = F(S). 4.3. Funciones racionales con conjuntos de Fatou vac´ıos. Nuestro objetivo de esta secci´on es mostrar que el conjunto de Julia de la funci´on racional dada por: z7−→ z2+ 12 4z(z2−1) (4.2) es la esfera compleja completa. Este ejemplo (el primero de este tipo) fue dado por el matem´atico franc´es Samuel Latt`es en 1918. Tambi´en vamos a hacer algunas observaciones generales sobre otras funciones racionales con esta propiedad. Sean λyµdos n´umeros complejos tales que no son m´ultiplos reales el uno del otro, y sea Λ el ret´ıculo correspondiente, esto es, Λ = {mλ +nµ:n, m ∈Z}.(4.3) Un paralelogramo per´ıodo para Λ es un paralelogramo cerrado de la forma: Ω = {z+sλ +tµ: 0 ≤s≤1,0≤t≤1}. Sea funa funci´on no constante. Se dice que fes una funci´on el´ıptica para Λ si es meromorfa en Cy si cada punto wde Λ es un per´ıodo de f; esto es, si para todo z∈Cy todo w∈Λ, f(z+w) = f(z). Es claro que cualquier funci´on de este tipo transforma Cen C∞y, como f(C) = f(Ω), tenemos que f(C) es un compacto de C∞. Adem´as, sabemos por el Teorema de la Aplicaci´on Abierta (estudiado en Variable Compleja) que f(C) es un abierto de C∞. Por tanto, f(Ω) = f(C) = C∞. 85 Nuestro argumento se basa en las propiedades de las funciones el´ıpticas de Weierstrass. ´ Estas son funciones de la forma: ℘(z) = 1 z2+X∗1 (z+w)2−1 w2, donde P∗denota el sumatorio de los elementos no nulos wde Λ. Solo daremos los pasos principales de la demostraci´on. La funci´on dada por ℘y sus derivadas satisfacen ciertas identidades algebraicas, entre ellas, la f´ormula de la adici´on: ℘(2z) = R(℘(z)) ,(4.4) donde Res la funci´on racional dada por R(z) = z4+g2 z2 2+ 2g3z+g2 42 4z3−g2z−g3 ,(4.5) donde g2yg3son cantidades conocidas definidas en t´erminos del ret´ıculo Λ. Notamos que la f´ormula dada en (4.4) es an´aloga a la f´ormula del ´angulo doble de trigonometr´ıa elemental. Ahora, sean Dun disco en CyU=℘−1(D). Definimos φ(z) = 2z. Como Ues abierto yφn(U) es el conjunto Uexpandido por un factor 2n, tenemos que a partir de nsuficientemente grande, φn(U) contiene un paralelogramo per´ıodo Ω de ℘. Con esto y con (4.4) obtenemos que, para tales n, Rn(D) = Rn(℘(U)) = ℘(2nU) = C∞.(4.6) En t´erminos generales, esto implica que las funciones Rnexpanden cualquier disco peque˜no Den toda la esfera. Es claro que, como Des arbitrario, (4.6) implica que la familia de funciones {Rn}no es equicontinua en ning´un abierto de la esfera compleja. Luego, J(R) = C∞. Este argumento nos proporciona una familia de funciones racionales cuyos conjuntos de Julia son la esfera compleja completa. De hecho, siempre se cumple que: g3 2−27g2 3= 0,(4.7) y, cualquier par (g2, g3) verificando lo anterior se obtiene mediante alg´un ret´ıculo. Con esto, podemos construir Λ tal que g2= 4 y g3= 0. Entonces, la funci´on Rdada por (4.5) es la funci´on dada por (4.2). Podemos encontrar otros aspectos din´amicos interesantes sobre este ejemplo que brevemente discutiremos. Para cada entero positivo k, denotamos por 2−kΛ al conjunto 2−kΛ = nw 2k:w∈Λo. 86 Observamos que si zpertenece a 2−kΛ, entonces existe w∈Λ tal que z=w 2k⇐⇒ 2kz=w. Por tanto, aplicando nuevamente la f´ormula dada en (4.4), obtenemos Rk(℘(z)) = ℘(2kz) = ∞. Esto nos muestra que el conjunto de predecesores de ∞bajo R, es ℘ [ k∈N 2−kΛ!. Como ∪k2−kΛ es denso en C, su imagen por ℘es densa en C∞. Aplicando el Teorema 4.2.7, concluimos de nuevo que J(R) = C∞. A continuaci´on, la f´ormula dada por (4.4) nos muestra que si m= 2k−1, entonces Rk℘w m=℘2kw m=℘w+w m=℘w m. Luego, los puntos ℘(w m) son puntos peri´odicos de R. Al considerar todo wy todo k, vemos que el conjunto de puntos peri´odicos de Res denso en C∞. Aunque no estamos en condiciones de afirmar que, a partir de la afirmaci´on anterior, J(R) = C∞, resulta intuitivo que s´ı deber´ıa darse la igualdad. Se puede probar que J(R) = C∞considerando los puntos cr´ıticos de R. En general, un punto cr´ıtico zde una funci´on racional Rse dice pre-peri´odico si no es un punto peri´odico pero existe ntal que Rn(z) es peri´odico para R. La demostraci´on del siguiente teorema la podemos encontrar en el Cap´ıtulo 9 de [2]. Teorema 4.3.1. Sea Runa funci´on racional. Si todo punto cr´ıtico de Res pre-peri´odico entonces J=C∞. El Teorema 4.3.1 nos permite crear otros ejemplos de funciones racionales cuyos conjuntos de Julia son la esfera completa, por ejemplo, la funci´on racional de grado dos dada por: R(z) = (z−2)2 z2 tiene 2 ·2−2 = 2 puntos cr´ıticos: z= 0 y z= 2. Como adem´as, aplicando Robtenemos: 27−→ 07−→ ∞ 7−→ 17−→ 1, 87 esto es, ambos puntos cr´ıticos, 2 y 0 son pre-peri´odicos entonces, por el Teorema 4.3.1 concluimos que J(R) = C∞. Es f´acil ver que Rest´a conjugada con la aplicaci´on dada por: z7−→ 1−2 z2. Terminamos esta secci´on con una caracterizaci´on de las funciones racionales cuyo conjunto de Julia es la esfera completa: Teorema 4.3.2. Sea Runa funci´on racional. Entonces, J(R) = C∞si y solo si existe alg´un punto ztal que su ´orbita {Rn(z): n≥1}es densa en la esfera compleja. Demostraci´on. En primer lugar, sea {Bn:n≥1}una base numerable de la topolog´ıa sobre C∞. Esto es, dado un abierto de C∞podemos escribirlo como uni´on de elementos de Bn. A continuaci´on, sea Del conjunto formado por los ztales que su ´orbita O+(z)=[z] es densa en la esfera compleja. Esto es, zpertenece a Dsi y solo si para todo k, existe ntal que Rn(z)∈Bk. Entonces, D=\ k≥1[ n≥1 R−n(Bk). Supongamos ahora que D=∅. Escribimos Ak=C∞\Bky Ek=\ n>1 R−n(Ak). Entonces, como D=∅, tenemos que C∞=[ k≥1 Ek. Como consecuencia del Teorema de Baire [5, p. 97], tenemos que C∞no se puede escribir como uni´on numerable de conjuntos densos en ninguna parte. Por tanto, para alg´un k, la clausura de Ektiene interior no vac´ıo, W. Adem´as, Ekes cerrado. Luego, existe un abierto no vac´ıo Wdentro de Ek. Esto es: para todo n,Rn(W)⊂Ak. Por tanto, en Wlas funciones Rn no toman valores en Bk. Entonces, W⊂F(R). Esto muestra que, si J(R) = C∞, entonces D=∅. Luego, existe alg´un punto zcuya ´orbita sea densa en la esfera compleja. Ahora, supongamos que Jno es la esfera compleja completa, esto es, F(R)=∅; y existe alg´un punto ztal que su ´orbita O+(z) sea densa en la esfera compleja. En primer lugar, zno pertenece a Jpues si no, O+(z)⊂JyO+(z) no ser´ıa densa en la esfera. Luego, zpertenece a alguna componente conexa Ω de F(R). Consideramos las componentes de F(R): Ω, R(Ω), R2(Ω), . . . 88