Análisis dinámico de una distribución desmodrónica en apertura y cierre de válvulas

El texto presentado no puede ocupar más de una línea Trabajo Fin de Máster Máster en Ingeniería Industrial ANÁLISIS DINÁMICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DESMODRÓMICA EN APERTURA Y CIERRE DE VÁLVULAS Autor: Álvaro García Romero Tutor: Daniel García Vallejo 2018 Departamento de Ingeniería Mecánica y de Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 ii iii iv Autor: Álvaro García Romero Tutor: Daniel García Vallejo Departamento de Ingeniería Mecánica y de Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 v Autor: Álvaro García Romero Tutor: Daniel García Vallejo El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2018 El Secretario del Tribunal vi ANÁLISIS DINÁMICO DE UNA DISTRIBUCIÓN DESMODRÓMICA EN APERTURA Y CIERRE DE VÁLVULAS Álvaro García Romero 23 de noviembre de 2018 2 A todas las personas que me han apoyado durante estos años de Universidad. A mi tío Jose Carlos y al concesionario Retalbikes por la ayuda recibida, y sobre todo a Juan, su Jefe de Taller. 3 Resumen Existen diversos mecanismos creados para realizar la labor de abrir y cerrar las válvulas de un motor de combustión interna de 4 tiempos. Este análisis está centrado en sistema de distribución por levas conjugadas o desmodrómicas aplicado a las válvulas. Existen dos tipos de mecanismo que realizan labores opuestas, abrir y cerrar; sin embargo éstos no pueden ser incompatibles ya que deberán sucederse etapas tanto de actividad como inactividad permitiendo a cada uno realizar su trabajo. Resulta de especial interés analizar, desde el punto de vista dinámico, cómo se realiza los cambios de sub-sistemas, y cómo los sistemas inactivos permiten no oponerse a la labor del otro. Teniendo en cuenta la dinámica, al ser pares de levas, se traduce en que deben existir sucesivas pérdidas de contacto para el funconamiento correcto del mecanismo, lo que conlleva a períodos de actividad o inactividad de los mismos. 10 par de levas necesita un elemento que asegure dicho contacto. El elemento por excelencia utilizado es el resorte. El resorte no es más que un muelle que asegura el contacto y realiza la labor de cierre. Este sistema es muy simple pero que como se verá posteriormente presenta varios inconvenientes. Siguiendo con el desarrollo cronológico de la historia de los motores de cuatro tiempos, la evolución y la precisión hicieron que la cámara de combustión se redujese. La combustión se comenzó a producirse en el poco espacio que queda con el émbolo en el punto muerto superior (PMS) y las hendiduras que se empezaron a realizar en el propio émbolo con la forma de la válvula. Digamos que se utiliza actualmente la cabeza del pistón como parte de la cámara de combustión. La gran mejora es debida a que con la precisión alcanzada se redujeron los consumos y se aprovechaba mejor la energía producida. El inconveniente viene de que si algún elemento se desajustaba, o si la trasmisión de movimiento no es muy precisa , se produce el impacto de la válvula contra la cabeza del pistón, con la consiguiente rotura . Una razón más que nos lleva a aumentar, más si cabe, la precisión del mecanismo de apertura y cierre de las válvulas. El balancín empezó a dejar de utilizarse. Se comenzó a utilizar el doble árbol de levas – double overhead camshaft DOCH - . Este elemento transmitía el contacto entre el árbol de levas y la válvula directamente. De las peculiaridades del par de levas que comúnmente se estudia – con mecanismo de leva muelle antagonista - , se asume que la condición de contacto entre los dos perfiles del actuador y del seguidor se mantienen, teóricamente. Sin embargo la realidad es bien distinta, ya que la condición de que sigan en contacto sólo puede ser asegurada mediante un elemento que obligue al seguidor a estarlo. Como se ha mencionado, se ha utilizado tradicionalmente un resorte que realiza dicha función. Este elemento es una solución que da unos buenos resultados en ciertos regímenes de velocidades. Los muelles cuando se someten a ciclos de cargas, dependiendo de la frecuencia, pueden entrar en resonancia. El material deja de comportarse como lo hace habitualmente, en este caso la resonancia del muelle provoca que el contacto en el par de leva no se mantenga ya que se produce despegue. El principal problema que se encuentra es que el comportamiento de la válvula no es el deseado ya que el cierre no se produce en el momento idóneo, por lo que conlleva a una gran pérdida de potencia. A este fenómeno se le conoce como “flotación de válvulas”. Por este motivo la utilización del resorte no es más que una solución a medias , de compromiso digamos, que depende para qué uso, puede resultar, pero si entra en resonancia, dará fallos de llenado/vaciado de gases en la cámara de combustión. Es bastante frecuente encontrarlo en competición, cuando se le exigen a los motores un gran rendimiento a altos regímenes de vueltas. El campo de la competición durante años ha sido un laboratorio de pruebas donde los mejores ingenieros han aportado sus ideas para conseguir títulos con sus máquinas, llegando posteriormente a aplicarse en los motores de serie para los vehículos. En la segunda mitad el siglo XX los ingenieros trataban de buscar una solución al problema de flotación de válvulas para aumentar la potencia de los motores y alzarse con las victorias. Como bien es sabido, la potencia definida teóricamente no es más que la fuerza por la velocidad. Aplicado al mundo de los motores rotatorios es el par, momento generado, por la velocidad angular que se adquiere. Por este motivo un método para aumentar la potencia consiste en aumentar las revoluciones por minuto, pero esto generaba dicha flotación, por lo que los resultados no eran los óptimos que se esperaban. En motores convencionales, en los tramos donde se produce la apertura de la válvula, el muelle se opone al movimiento; es decir, el muelle se carga. En la fase de cierre el muelle se 11 descomprime llevando la válvula a su posición origina. Cuando se carga un muelle de manera lenta, las espiran se contraen por igual; sin embargo al hacerlo de manera rápida se producen en la zona de inicio de la carga, una compresión mayor que en el resto de zonas. Éste fenómeno puede dar lugar a un comportamiento anómalo llegando a poderse producir la rotura. Para que éste fenómeno no se produzca, o se reduzca lo máximo se deben colocar muelles dobles con distancias variables en las espiras y aumentar su constante de rigidez. Figura 4: Vibraciones del muelle de la válvula. El pensamiento de aquellos ingenieros era el de conseguir que la válvula estuviese todo el tiempo guiada de manera mecánica para eliminar este efecto. Comenzó a desarrollarse la idea de producir dos pares de levas contrarios, es decir, uno para el movimiento de apertura, como se venía haciendo habitualmente, y otro para el cierre. La peculiaridad de este sistema es la eliminación definitiva de la flotación, pero introduciéndose bastante complejidad tanto en la elaboración como para el cálculo ya que la modificación de una leva implica la modificación de su opuesta. Figura 5 : Desmodrómico de la francesa Bignan. 12 Figura 6 : Distribución desmodrómica Mercedes. Muchos fueron las materializaciones de dicha idea. Las fábricas de motores que lo implementaban conseguían numerosas victorias. Las denominadas “flechas de plata” de la escudería de Mercedes de F1, lograron fama que incluso llegan a día de hoy. La gran complejidad y el altísimo costo, hicieron que muchos de estos inventos no se llevasen a la fabricación de motores de serie. A principio de la década de 1950 entró, como director técnico de la compañía Ducati, un ingeniero llamado Fabio Taglioni. Este, fascinado con la idea de dicha peculiaridad de los sistemas de distribución, creó una línea dedicada al sistema desmodrómico. Este término se refiere a que el sistema posee un solo grado de libertad real, la válvula sólo tiene la posibilidad de seguir en todo momento al árbol de levas. Eliminaba el cierre tradicional por fuerza, basándose en la desconfianza de los resortes. Primero, Ducati lo introdujo en sus motos de competición cosechando numerosos títulos en míticas carreras italianas. Una década después, aparece la primera moto de serie donde se incorporaba este elemento. Dichas motos eran las Mark Desmo 250 y 350. Esta compañía no abandonará este mecanismo hasta hoy día, convirtiéndose en su seña de identidad. Figura 7 : Ducati Mark Desmo 250. 13 Figura 8: Ducati Desmosedici MotoGP. Hoy día es la única marca que realiza este tipo de distribución. Son motores de altas prestaciones donde se pueden conseguir un mayor número de revoluciones por minuto que sus rivales. Tradicionalmente en el mundo de las motocicletas, la tendencia japonesa ha sido la de crear motores tetracilíndicos en línea que generan mucho par, pero en la actualidad las marcas japonesas empiezan a girar a motores “a la europea” – 2 o 3 cilindros, en V, etc -. La tendencia europea ha sido la de generar motores bicilíndricos. Cabe destacar que se está refiriendo a motos de gama media alta, ya que también existen monocilíndricos. Los comportamientos de los motores bicilíndricos son bastantes diferentes a los de los tetracilíndricos, sobre todo en la manera de entregar la potencia a bajo régimen. Habitualmente en motos de competición las prestaciones de los tetracilíndricos superan a las de los bicilídricos. La potencia que son capaces de generar es mayor en los primeros. Ducati produce solamente para modelos de serie motores biciíndricos en V a 90 º, pero debido al sistema desmo son capaces de generar igual o mayor potencia que sus rivales japonesas. Para la competición de MotoGP a principio del siglo XXI generó un motor llamado Desmosedici, que consta de un motor V4 capaz de sacar una velocidad punta cercana a 20 Km/h superior a las demás. El mecanismo de levas desmodrómicas surgió para dar una solución definitiva al problema de la flotación de válvulas, pronto se dieron cuenta que al estar la válvula totalmente guiada por las levas en todo momento se pueden obtener mayores aceleraciones de la misma. Este efecto provoca que la válvula pueda estar mayor tiempo abierta completamente en comparación a una distribución normal por leva -resorte. Esto facilita tanto el llenado como el vaciado dando más rendimiento. 1.3 Estructura del documento  Capítulo 2: Descripción. Se realiza una descripción des sistema exponiendo sus peculiaridades comparado con los demás mecanismos más comumente utilizados. Se explican por separado los sistemas utilizados para la apertura y cierre de la válvula.  Capítulo 3: Metodología. Con el fin de obtener todos los datos necesarios para la realización del análisis, se expone cómo se han recopilado de manera tanto experimental como por diseño de sólidos 3D. Además se incluyen apartados donde se explica la báse teórica tanto para la cinemática como 14 para la dinámica computacinal aplicados al sistema.  Capítulo 4: Análisis. Se comienza por un análisis cinemático de las peculiaridades del mecanismo. A continuación se realiza un análisis dinámico donde se muestan los momentos en los que se existe un cambio de mecanismo, apertura o cierre. Además se realizan modificaiones de los perfiles con el fin de la mejora del sistema. Posteriormente se analiza a diferentes velocidades de giro para las que está pensado el motor.  Capítulo 5: Conclusión. Recopilación de las peculiaridades del sistema exponiendo tanto sus ventajas como posibles desventajas con el fin de agrupar las conlusiones tomadas de éste estudio.  Capítulo 6: Trabajos Futuros. Al formar una parte del conjunto llamado motor, se describen los posibles trabajos futuros a partir de este análisis, con el fin de serguir de guía para desarrollar próximos estudios.  Capítulo 7: Bibliografía. Recopilación de dónde se ha obtenido la información para la realización de este proyecto con el fin de la comprensión a la hora de realizar la simulación tanto cinemática como dinámica.  Capítulo 8: Anexo. Parte del programa computacional donde se visualiza la realización de los principios tomados para el análisis con el fin de que sirva de ayuda para futuros proyectos. 15 Capítulo 2 Descripción 2.1 Mecanismo En los motores de combustión interna existen diferentes fases, para un ciclo completo, en las cuales se le debe aportar o extraer un flujo de gases a la cámara de combutión. Para ello debe exisir un mecanismo que regule la entrada y salida de los mismos dependiendo del tipo de solicitudes para las que esté diseñado dicho motor. El sistema de distribución es el encargado de determinar en qué momento se debe realizar cada labor. Consta, para la mayoría de los motores de 4 tiempos, de: árbol de levas, balancín y válvula. El movimiento del árbol de levas es de tipo rotatorio alrededor de su eje. Éste viene impuesto por la rotación del cigüeñal. Debido a que en un motor de 4 tiempos una válvula debe activarse cada dos rotaciones del cigüeñal, el árbol de levas gira a ½ de las revoluciones de éste. Imprime el movimiento mediante el contacto de su propio perfil con el perfil del balancín, lo que se conoce como par de leva. El segundo elemento presente, aunque no en todos los casos, es el balancín. Como su propio nombre indica, realiza un movimiento de balanceo alrededor de su eje. Transmite el movimiento del árbol de levas a la válvula, por lo que presenta dos perfiles de contacto, dos pares de levas. Por último se encuentra la válvula, elemento que permite o no el flujo de gases en a cámara de combustión. Recibe mediante un par de leva su movimiento. Realiza un desplazamiento rectilíneo ya que tiene un par prismático. Su movimiento se le denosmina alzada. Figura 9: Diagrama de admisión y escape. 16 El sistema necesita de dos movimientos contrarios, uno de apertura de válvulas y uno de cierre. Para ello consta de dos mecanismos: uno abre, y otro cierra. Sin embargo estos dos sistemas no pueden ser incompatibles, debido a que deben permitir que uno haga el trabajo en un cierto instante de tiempo, y posteriormente actúe el siguiente mecanismo y se cambien los roles. 2.2 Apertura El mecanismo utilizado para la apertura es bien conocido en el mundo de los motores de combustión interna. Se trata de: un actuador situado en el árbol de levas (sólido 2) que transmite el movimiento a un seguidor (sólido 3) y éste a su vez realiza el papel de actuador para forzar la apertura de la válvula, seguidor (sólido 5).(Véase figura 10). Ésta parte del mecanismo es la encargada de abrir, por lo que el movimiento de estos tres sólidos debe estar estudiado como para que la válvula realice el movimiento deseado y necesario para el correcto funcionamiento del motor de combustión. Figura 10: Mecanismo de apertura del sistema desmodrómico 2.3 Cierre Es de entender que el sistema, al estar situado de manera vertical, y sólo con el mero desplazamiento relativo entre los sólidos no asegurará el contacto. Para ello en la industria automovilística se han usado varias variantes económicas y efectivas, según qué casos, para asegurar el contacto entre los sólidos. La más comúnmente solución utilizada es la incorporación de un resorte unido a la válvula que haga que exista un contacto. Sin embargo el sistema desmodrómico elimina la inclusión de dicho resorte incorporando un mecanismo utilizado para el cierre. Éste consta de un sistema similar al de apertura pero utilizado para el cierre de la misma. La justificación teórica de este sistema implementado 17 para el cierre de la válvula, es que ésta siga en todo momento el movimiento del mecanismo a cualquier régimen de revoluciones. Es decir, en condiciones donde la velocidad angular del giro del motor sea muy elevada, hablemos por tanto de regímenes de giro en conducción deportiva o de competición; un resorte podría entrar en resonancia, haciendo que la válvula no siga en todo momento a su actuador. Fenómeno llamado “flotación de válvula”, que origina pérdidas de potencia elevadas o en el peor de los casos, el choque de la misma con el pistón. El mecanismo de cierre consta de un actuador en el árbol de levas (sólido 2) que es solidario al mencionado en el sistema de apertura. Éste es seguido por un balancín de cierre (sólido 3), que a su vez actúa sobre la válvula (sólido 5). El punto de contacto con el sólido 5 se realiza en diferente zona con respecto a la apertura ya que lo que se pretende es “levantar” la válvula. (Véase figura 11). Figura 11: Mecanismo de cierre del sistema desmodrómico. 2.4 Movimiento conjunto La complejidad reside, como ya se ha mencionado anteriormente, en que a pesar de ser dos movimientos contrarios, los dos sistemas en ciertos instantes de tiempo deben dejar al otro realizar su trabajo. Esto conlleva a que en ambos sistemas estén implementados como para realizar las dos labores, de apertura o cierre, pero no están activas en todo momento. El conjunto de ambos mecanismos es lo que se le denomina sistema de distribución por levas desmodrómicas o levas conjugadas. 18 Figura 12: Mecanismo desmodrómico. Para que este mecanismo funcione, es decir, que un subsistema esté activo en un determinado instante de tiempo mientras el otro no lo esté, y la inversión de papeles; se precisa que exista un pérdida de contacto entre determinados sólidos para realizar el cambio. Este instante de tiempo donde existe una pérdida de contacto, se ve reflejado en que la normal de contacto se vuelve nula. Pongamos un ejemplo, supongamos que la válvula está en la fase de apertura. Su movimiento es descendente, por lo que debe estar activo el mecanismo de apertura, mientras el de cierre debe estar inactivo. Por lo que conlleva a que en el sistema de apertura las normales deben ser positivas, queriendo decir que existe contacto entre sus sólidos. Mientras, en el sistema de cierre, al tener que dejar actuar al de apertura, no debe haber contacto, por lo que una de sus normales, debe ser nula. En el instante en que la válvula alcanza su máximo desplazamiento descendente, deberá subir, por lo que se invierten los roles. Una normal de la “apertura” debe hacerse nula y entrará en estado de inactividad, mientras en el de cierre debe cambiar a hacerse positiva para que exista contacto y así esté activo. Debido a que las válvulas de los motores deben ser lo más livianas posible, se convierten a su vez en el elemento más frágil del sistema. Éste cambio de contacto repetido en cada ciclo a altos regímenes de giro conllevaría al “descabezamiento” de la válvula. Por este motivo conviene que el contacto se realice entre el árbol de levas y los balancines al tratarse de piezas más resistentes ante impactos y al tener mayor superficie de contacto, a que la presión sea menor. Por ello en los motores más actuales se le han incorporado resortes torsionales a los balancines que hagan que exista contacto entre los balancines y la válvula, y que la pérdida de contacto se cree entre el árbol de levas y los balancines. 19 Capítulo 3 Metodología 3.1 Obtención de datos geométricos Para el estudio y análisis del mecanismo de levas desmodrómicas, ya que se trata de un mecanismo de difícil comprensión, se precisa partir de una geometría ya conocida que servirá de base de dicho proyecto. Requirió realizar una toma de medidas de un motor real. La empresa Retalbikes se prestó a la ayuda de esta fase, dejando estar presente en varias ocasiones en operaciones de reglajes de válvulas. El proceso, como se aprecia en las imágenes, consistió en desmontar las culatas de un motor Ducati. Motor Testastretta 11º bicilíndrico desmoquattro (motor V2 a 90º), cuatro válvulas por cada cilindro, de 1200 cm3 utilizado en varios tipos de motocicletas. En este caso se trataba de la Ducati Multistrada 1200. A continuación se muestran fotos tomadas por el autor de éste trabajo fin de máster: Figura 13: Fotos tomadas en Retalbikes, taller oficial Ducati. 26 Figura 21: Esquema de radios de curvatura de levas. De la expresón anterior se deduce que: 𝜌+𝑅 𝑅𝜌 ≥0 (20)  Si 𝞺 ≥ 0: el par funcionará correctamente.  Si 𝞺 < 0: para que se cumpla la condición, el valor de 𝞺 nunca deberá ser inferior al de -R. La expresión sería: 𝞺 ≤ -R. El papel que juegan las varianles 𝞺 y R dependerá del sistema de referencia que se esté tomando ya que en la mayoría de casos los papeles de actuador y seguidor dependerá de dónde esté situada la entrada del mecanismo. Las variables tomadas como positivas, significan que el perfil en un punto determinado del actuador o seguidor tiene una curvatura convexa. Por otro lado los valores de curvatura tomados como necativos, significa que tienen curvatura cóncava. Una curvatura convexa no tendrá problemas de intersección entre los perfiles. Sin embargo, una curvaruta cóncava uede presentar problemas de interferencia o no dependiendo de cómo sea con respecto al elemento con el que esté en contacto, como se expone en el segundo punto. La relación expuesta sirve para asegurar que las curvaturas de los perfiles en cada momento, la relativa a los puntos de contacto entre los dos sólidos en un para de levas, sean las idóneas. Se aplica para que solamente exista un único punto de contacto en cada momento entre 3.3.1.2 Particularización distribución desmodrómica Uniendo los dos mecanismos, se obtienen 13 variables que definen el sistema completo. 27 Figura 22: Variables de la cinemática. 𝑞=[𝜃2 𝜑23 𝜃3 𝜑32 𝜑35 𝑠15 𝜑53 𝜑24 𝜃4 𝜑42 𝜑45 𝑠25 𝜑54] 𝑇 (21) Como los perfiles deben estar parametrizados, dependerán de las variables φ (ver vector 19). Estos valores necesarios para la resolución del problema, son distintos para cada valor de los parámetros ya que la geometría de los mismos varía con respecto al ángulo (ver vector 20). Por tanto se incluirán como variables que dependen de los ángulos φ, pero que para cada posición determinada se calcularán e se incluirán en las ecuanciones (ver ecuaciones 25-33). 𝑝=[𝑥23 𝑦23 𝑥32 𝑦32 𝑥35 𝑦35 𝑥53 𝑦53 𝑥24 𝑦24 𝑥42 𝑦42 𝑥45 𝑦45 𝑥54 𝑦54 ] 𝑇 (22) 𝑑𝑝= [𝑑𝑥23𝑑𝑦23 𝑑𝑥32 𝑑𝑦32 𝑑𝑥35 𝑑𝑦35 𝑑𝑥53 𝑑𝑦53 𝑑𝑥24 𝑑𝑦24 𝑑𝑥42 𝑑𝑦42 𝑑𝑥45 𝑑𝑦45 𝑑𝑥54 𝑑𝑦54 ] 𝑇 (23) Donde: 𝑥𝑖𝑗 =𝑥𝑖𝑗 (𝜑𝑖𝑗) e 𝑦𝑖𝑗 =𝑦𝑖𝑗 (𝜑𝑖𝑗) 𝑑𝑥𝑖𝑗 =𝜕𝑥𝑖𝑗 𝜕𝜑𝑖𝑗 𝑑𝑦𝑖𝑗 =𝜕𝑦𝑖𝑗 𝜕𝜑𝑖𝑗 El movimiento es impuesto por el cigüeñal del motor, y éste es transmitido por la distribución al árbol de levas (sólido 2) por lo que el movimiento del sistema a estudio es impuesto éste. 28 Se supondrá un análisis a una velocidad de giro constante, de la forma: 𝜃2=𝜔2 𝑡 (24) Por lo que dando un valor de tiempo t se podrá resolver el sistema indicado. Se tiene un sistema de 13 ecuaciones de restricción: 𝐶(𝑞,𝑝,𝑑𝑝,𝑡)=0 (25) 𝐶(𝑞,𝑝,𝑑𝑝,𝑡)=[ 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶6 𝐶7 𝐶8 𝐶9 𝐶10 𝐶11 𝐶12 𝐶13]𝑇 (26) 𝐶1= 𝜃2−𝜔2𝑡=0 (27) 𝐶2=(𝐴2 𝑡𝑝2 )𝑇(𝐴3 𝑛𝑝3)=0 (28) [𝐶3 𝐶4]𝑇 = 𝑅2+𝐴2 𝑟𝑝2−𝑅3−𝐴3 𝑟𝑝3=[0 0]𝑇 (29) 𝐶5=(𝐴3 𝑡𝑝3 )𝑇(𝐴5 𝑛𝑝5)=0 (30) [𝐶6 𝐶7]𝑇 = 𝑅3+𝐴3 𝑟𝑝3−𝑅15−𝐴5 𝑟𝑝5=[0 0]𝑇 (31) 𝐶8=(𝐴2 𝑡𝑝2 )𝑇(𝐴4 𝑛𝑝4)=0 (32) [𝐶9 𝐶10]𝑇 = 𝑅2+𝐴2 𝑟𝑝2−𝑅4−𝐴4 𝑟𝑝4=[0 0]𝑇 (33) 𝐶11 =(𝐴4 𝑡𝑝4 )𝑇(𝐴5 𝑛𝑝5)=0 (34) [𝐶12 𝐶13]𝑇 = 𝑅4+𝐴4 𝑟𝑝4−𝑅25−𝐴5 𝑟𝑝5=[0 0]𝑇 (35) Donde: 𝑟𝑝𝑖= [ 𝑥𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗] 𝑡𝑝𝑖= [ 𝑑𝑥𝑖𝑗 𝑑𝑦𝑖𝑗] 𝑛𝑝𝑖= [ 𝑑𝑦𝑖𝑗 −𝑑𝑥𝑖𝑗] 𝑖=2,3,4,5 𝐴𝑖= [cos(𝜃𝑖)−sin(𝜃𝑖) sin(𝜃𝑖)cos(𝜃𝑖)] 𝑅𝑖= [ 𝑅𝑥𝑖 𝑅𝑦𝑖] 𝑖=2,3,4 𝐴𝑖= [1 0 0 −1] 𝑅15= [ 𝑅𝑥5 𝑠15] 𝑅25= [ 𝑅𝑥5 𝑠25] Resolviendo mediante Newton-Raphson: 𝐶(𝑞,𝑝,𝑑𝑝,𝑡)=0 (36) 29 𝑞𝑖+1 =𝑞𝑖−𝐶𝑞 𝑖−1 𝐶𝑖 (37) Donde: 𝐶𝑞=𝜕𝐶 𝜕𝑞+ 𝜕𝐶 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑞+ 𝜕𝐶 𝜕𝑑𝑝 𝜕𝑑𝑝 𝜕𝑞 (38) Para la obtención de la velocidad y aceleración: 𝑞󰇗 = −𝐶𝑞 𝐶𝑡 (39) 𝑞󰇘 = −𝐶𝑞 [𝜕 𝜕𝑞(𝐶𝑞 𝑞󰇗) 𝑞󰇗+2 𝜕2𝐶 𝜕𝑡 𝜕𝑞 𝑞󰇗+𝜕2𝐶 𝜕𝑡2 ] (40) La resolución de las ecuaciones se ha realizado mediante la herramienta de cálculo computacional Matlab. La incorporación del vector de coordenadas “p” y “dp” han sido añadidos debido a la necesidad de obtener unos valores de geometría de los perfiles dependiendo del vector de coordenadas “q”. Para cada iteración en la resolución se deben aportar el valor de estos vectores ya que dependen del vector de coordenadas “q”. Se ha resuelto mediante cálculo simbólico pero combinado con la aportación numérica de “p” y “dp”. 3.3.2 Teoría dinámica El giro del cigüeñal es transmitido al árbol de levas para el movimiento de éste sistema, por lo que se trata de un problema de dinámica inversa. Hallar las fuerzas y momentos que provocan que el mecanismo se mueva de una determinada forma impuesta, la calculada en el apartado de la cinenática. Lo interesante de problema es el análisis de las fuerzas normales de contacto entre los sólidos, al tratarse de pares de levas. Para ello se parte de la base que las normales provocan un momento, lo cual conlleva a que los balancines giren. Se deberán realizar equilibrios de momentos tanto en el árbol de levas como en los balancines, además de equilibrio de fuerzas verticales en la válvula al desplazarse verticalmente. Por tanto aparecerán: 𝑀2, 𝑁23, 𝑁24, 𝑁35, 𝑁45. Además se debe tener en cuenta que al no encontrarse los c.d.m en el centro de rotación generarán momentos respecto a éste. Se deben incluir por tanto la inercia de los elementos, y la acción de los resortes torsionales.Se ha de destacar que en éste estudio no se han tenido en cuenta las fuerzas de rozamiento entre los sólidos. 30 Figura 23 : Fuerzas y momentos utilizados en la dinámica. 𝑝𝑎𝑟=[𝑀2 𝑁23 𝑁24 𝑁35 𝑁45 ] 𝑇 (41) 𝛺= 𝛺 (𝑞,𝑞󰇘,𝑝,𝑑𝑝,𝑝𝑎𝑟)=0 (42) 𝛺=[𝛺2 𝛺3 𝛺4 𝛺5]𝑇 (43)  Equilibrio de momentos en el sólido 2: 𝛺2=𝑀2+(𝑂2𝑃1 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 𝑥 𝑁23 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 )𝑧+ (𝑂2𝑃3 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 𝑥 𝑁24 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 )𝑧+ (𝑂2𝐺2 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 𝑥 𝑚2𝑔 )𝑧−𝐼2𝑔 𝜃2 󰇘=0 (44)  Equilibrio de momentos en el sólido 3: 𝛺3=(𝑂3𝑃1 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 𝑥(−𝑁23 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 ))𝑧+ (𝑂3𝑃2 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 𝑥 𝑁35 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 )𝑧+ (𝑂3𝐺3 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 𝑥 𝑚3𝑔 )𝑧−𝐼3𝑔 𝜃3 󰇘−𝑘 (𝜃3−𝜃30)= 0 (45)  Equilibrio de momentos en el sólido 4: 𝛺4=(𝑂4𝑃3 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 𝑥(−𝑁24 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 ))𝑧+ (𝑂4𝑃2 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 𝑥 𝑁45 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 )𝑧+ (𝑂4𝐺4 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 𝑥 𝑚4𝑔 )𝑧−𝐼4𝑔 𝜃4 󰇘−𝑘 (𝜃4−𝜃40)= 0 (46)  Equilibrio de fuerzas en el eje y del sólido 5: 31 𝛺5=(−𝑁35 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 )𝑇𝑗 + (−𝑁24 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 )𝑇𝑗 +𝑚5𝑔 −𝑚5 𝑠󰇘=0 (47) Como se aprecia en las ecuaciones y el vector de fuerzas y momentos, existen 4 ecuaciones con 5 incógnitas. Pero se puede resolver bajo las condiciones descritas anteriormente. Los pares que dejaran de hacer contacto serán los llamados 𝑃2 y 𝑃3 , quiere decir que las normales 𝑁23 y 𝑁24 se alternaran con valores positivos o nulos. Siendo positivas en caso de que exista contacto y nulas en el caso de que no. En el caso por ejemplo de que la válvula esté cerrada, quiere decir que se soporta debida a que está en funcionamiento el mecanismo de cierre; el valor de 𝑁24 será positivo. En ese período concreto 𝑁23 será cero ya que carece de contacto. El sistema con las condiciones indicadas se vuelve de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, ya que una es nula, y por tanto tiene solución. Cuando 𝑁24 positiva comienza a acercarse a valores próximos a 0, quiere decir que sucederá el cambio, y por consiguiente cuando llegue a tomar el valor de 0, entra en juego el otro sistema, pasando 𝑁23 a ser positiva. Condiciones:  Condición de partida: 𝑁23 =0 y 𝑁24 > 0 (válvula cerrada)  Apertura: 𝑁23 >0 y 𝑁24 = 0 (válvula en proceso de apertura)  Cierre: 𝑁23 =0 y 𝑁24 > 0 (válvula en proceso de cierre) 32 Esquema resolutivo: Condición Inicial: 𝑁23 ≤0 𝑁24 > 0 Cálculo Dinámica 𝑁23 =0 𝑠5 󰇘 Mecanismo Cierre 𝑁24 < 0 𝑁24 = 0 Cálculo Dinámica 𝑠5 󰇘 Mecanismo apertura 𝑁23 < 0 SI NO NO SI 33 Capítulo 4 Análisis En este capítulo se realiza el análisis de los resultados obtenidos. Los perfiles de contacto se han representado en el programa Matlab de la manera descrita en el capítulo 2. El modelo de estudio generado, presenta ciertas limitciones derivadas de la toma de medidas experimental, las pequeñas dimensiones de todos sus componentes, y el nivel de dificultad asociado a la representación de los perfiles reales de manera computacional. A pesar de ello se ha simulado con la máxima exactitud posible, pudiéndose destacar las peculiaridades del sistema que se mostrarán a continuación. Los resultados obtenidos han sido realizados para un ciclo completo del mecanismo en el movimiento de apertura y cierre de la válvula. Se ha de tener en cuenta que para cada velocidad de giro del árbol de levas se ha considerado que ésta es constante, es decir, no se le ha aplicado aceleración al movimiento. Las pequeñas modificaciones, que se expondrán a continuación, añadidas al mecanismo de los perfiles de contacto entre sólido se han realizado punto a punto. La dificultad reside en que si se modifica un punto de los obtenidos de manera experimental, se deben modificar a su vez los de alrededor. La curvatura correspondiente a los perfiles de los contacto debe ser tal que no se produzcan zonas donde pueda existir dos puntos de contacto simultáneos, como se explica en el capítulo 2. -50 0 50 100 20 40 60 80 100 120 140 Distribución desmodrómica [mm] [mm] Figura 24 : Representación computacional del mecanismo. 34 4.1 Cinemática Sin olvidar el objetivo en mente, la obtención de la dinámica, es necesaria la realización del problema cinemático ya que ambos problemas están intrínsecamente ligados. En este apartado se han obtenido los resultados de los mecanismos de manera independiente, teniendo en cuenta, de manera conceptual, la existencia de dos válvulas ubicadas en la misma posición. Por este motivo se representaran dos curvas, una creada por el sistema de apertura, y otra por el sitema de cierre. Se ha de decir que ambas replesentan el movimiento idílico en el que nunca se pierden los contactos de los pares de levas de los sólidos. En primer lugarse muestra el sistema representado de manera computacional mediante Matlab, con sus perfiles de contacto (ver figura 24). Han sido representandos teniendo en cuenta cómo se han descrito en el Capítulo 3: Descripción. Cada sólido, representado en un color diferente, contiene los perfiles de contactos entre ellos. Los perfiles han sido modificados, para que exista una máxima similitud entre ambas curvas, ya que se trata de un mismo sólido. A continuación en la figura 24, se representa la secuencia de movimiento de un ciclo en 4 instantes de tiempo. Cada una de las imágenes representa un girop de 90º con respecto a la anterior. Todo unido reprenta el desplazamiento producido por la válvula en su movimiento descendente. -40 -20 0 20 40 60 60 80 100 120 140 160 Representación del movimiento mm mm -40 -20 0 20 40 60 60 80 100 120 140 160 Representación del movimiento mm mm -40 -20 0 20 40 60 60 80 100 120 140 160 Representación del movimiento mm mm -40 -20 0 20 40 60 60 80 100 120 140 160 Representación del movimiento mm mm Figura 25: Representación del movimiento en un ciclo completo. 35 Para dicha simulación cinemática se debe elegir un valor de velocidad angular del árbol de levas (sólido 2). En esta primera simulación se ha elegido 𝜔2= 4625 rpm, ya que corresponde a la mitad de la velocidad de giro del cigüeñal cuando entrega su potencia máxima (Pot. Máx. entregada a 9450 rpm), además de que este tipo de sistema está ideado para rendir a regímenes altos de rpm. El estudio se realizará analizando un ciclo completo. La posición inicial la válvula permanece cerrada por lo que no existirá movimiento alguno. Posteriormente debe iniciarse la apertura de la misma hasta su punto de máximo desplazamiento, y posteriormente la vuelta a la posición inicial. En la figura 25 se el desplazamiento realizado por la válvula. 0 0.005 0.01 0.015 -15 -10 -5 0 5 Desplazamiento de la válvula Tiempo [s] Alzada [mm] s51 s52 Figura 26 : Alzada de la válvula. Se puede apreciar cómo los dos subsistemas, apertura y cierre, realizan el mismo movimiento si se mantuviese un contacto ideal entre todos los elementos. Como ya se ha mencionado, esto no ocurre en la realidad. Se puede decir que este par de levas están conjugadas al realizar el mismo tipo de desplazamiento en el sólido 5 (válvula), posteriormente se analizará cuándo está activo cada sistema, dependiendo de la posición y tramo de ciclo en la que se encuentre en cada momento. 42 0 0.005 0.01 0.015 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 Normales en el árbol de levas tiempo [s] fuerza [N] N23 N24 Figura 35: Normales de contacto 23 y 24 tras la modificación del perfil. Normales 35 y 45: Balancines – Válvulas Como se expuso en el capítulo 2, en los motores modernos de Ducati, se le han añadido resortes torsionales a los balancines. Realizado con el fin de que la pérdida de contacto se produzca en los pares de levas árlbol de levas-balancín, debido a la fragilidad de la válvula. Al convenir que la válvula sea lo menos pesada posible, la convierte en un elemento más frágil en comparación con los demás elementos. Al ser los balancines y el árbol de levas de mayor sección, es preferible que la pérdida de contacto se produzca entre ambos. Es de decir que en motores más antiguos carecen de los resortes mencionados, y el sistema funciona de la misma manera. Para comprobar que no se pierde contacto entre los balancines y la válvula, se deben observar las normales 𝑁35 y 𝑁45, las relativas a los contactos mencionados. Éstas deben ser positivas en todo momento para que se mantengan en contacto. A continuación se muestran las normales descritas: 43 0 0.005 0.01 0.015 -500 0 500 1000 1500 2000 Normales en la válvula tiempo [s] fuerza [N] N35 N45 Figura 36: Normales en la válvula. Se aprecia que en los momentos donde las normales 𝑁23 y 𝑁24 toman papeles relevantes en el ciclo, las normales en la válvula toman valores mayores. Sin embargo, en momentos donde no están activos los mecanismos, de apertura o cierre, toman valores cercanos al nulo pero siempre positivos, lo que podemos concluir que se mantienen en contacto. Así mismo se confirma la actuación de los resortes torsionales aplicados a los balancines, y la pérdida de contacto se realiza donde se ha descrito anteriormente. Velocidad angular Los resultados aportados en el apartado anterior se han realizado para una velocidad de giro tal que el motor rinde a portencia máxima. Sin embargo, al ser un régimen alto de vueltas, están muy presentes las inercias del sistema. A continuación se simulará a unas velocidades muy bajas, donde las fuerzas de inercias están menos presentes ya que son muy bajas con respecto a las demás. 44 010 20 30 40 50 60 -10 0 10 20 30 40 50 60 Normales en el árbol de levas tiempo [s] fuerza [N] N23 N24 Figura 37: normales a 𝜔2=1 𝑟𝑝𝑚 Como se expuso, para que la válvula se encuentre en su posición de reposo, cerrada, debe estar actuando la normal 𝑁24. La curva roja representa lo dicho, el mecanismo de cierre se encarga de sostener la válvula. Al estar simulado a una velocidad muy baja, las fuerzas de inercia están poco presentes; y ésto unido a que el sistema está montado de manera vertical hace que la válvula descienda casi pos sí sola debida al peso. Se aprecia existe una zona donde si interviene el sistema de apertura, representado con la curva azul. El sistema de cierre pierde contacto, 𝑁24 =0, y 𝑁23 toma valores positivos. Podemos decir que la simulación está hecha de manera correcta, ya que repruduce lo esperado. Conforme se va incrementando la velocidad angular, como se mostrará a continuación, los valores de las normales se irán incrementando además de producirse diversos cambios de sub-mecanismos ya expuestos anteriormente. Valores reales de velocidad angular Como ya se ha mencionado anteriormente, éste sistema de distribución se caracteriza por un guiado de la válvula en todo el momento, con el fin de que tenga buen comportamiento a regímenes altos de rpm. La ventaja del sistema consiste en que la válvula es capaz de alcanzar mayores aceleraciones y se siga comportando como debe, debido al hecho de la no existencia de resortes que podrían entrar en resonancia. Por consiguiente, aprovechando esto, se puede inducir a la válvula a que permanezca más tiempo en su posición de máximo recorrido ya que soportará, mayor aceleración tanto en la apertura como en el cierre. Por lo que podemos decir que es capaz de entrar mayor cantidad de gas en el cilindro; lo que conlleva a un aumento de la potencia. Hasta ahora el análisis se ha hecho para una velocidad de giro del árbol de levas determinada por la potencia máxima que ofrece la moto. Sin embargo estamos hablando de una moto de calle que debe cumplir un nivel máximo de emisiones, sonido, etc. Se inicia a determinar la sensibilidad del sistema ante una cierta velocidad de giro. Se comenzará con una velocidad baja y posteriormente se verá a altas rpm. Se va a suponer un régimen de giro de 3500 rpm, lo que puede ser un nivel de conducción 45 relajado, conlleva a 𝜔2=3500/2 𝑟𝑝𝑚. 0 0.01 0.02 0.03 0.04 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 Aceleración de la válvula Tiempo [s] Aceleración [m/s2] s51 s52 Figura 38: Aceleración de la válvula producida a 𝜔2=1750 𝑟𝑝𝑚 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0 100 200 300 400 Normales en el árbol de levas tiempo [s] fuerza [N] N23 N24 Figura 39: Normales de contacto 23 y 24 a 𝜔2=1750 𝑟𝑝𝑚. Se aprecia cómo las fuerzas normales de contacto entre el árbol de levas y los balancines han descendifdo notablemente. Al existir menos acelración, se genera menos momento de inercia en la última zona donde vuelve a haber contacto en el mecanismo de apertura, se aprecia que es considerablemente menor dicho contacto (ver figura 39). Observando el mundo de la competición y más en especial al mundial de Superbikes (carreras 46 de motociclismo de velocidad con motos derivadas de la producción en serie); el motor estudiado en este proyecto, es utilizado en esta competición. Dorna, la empresa encargada de la dirección, impone un límite máximo de rpm con el fin de igualar rendimiento. El límite para éste motor está fijado en 12400 rpm, 2000 rpm menos que todas sus rivales. Con ello se puede intuir la ventaja en este aspecto del sistema. Aplicando 𝜔2=12400/2 𝑟𝑝𝑚 se obtienen los siguientes resultados. 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x 104Aceleración de la válvula Tiempo [s] Aceleración [m/s2] s51 s52 Figura 40: aceleración de la válula a 𝜔2=6200 𝑟𝑝𝑚 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 Normales en el árbol de levas tiempo [s] fuerza [N] N23 N24 Figura 41: Normales de contaco 23 y 24 a 𝜔2=6200 𝑟𝑝𝑚. Encontramos que para este régimen de giro, se genera una altísima aceleración de la válvula, 47 lo cual motores con sistema de distribución convencional no serían capaces de seguir de una manera correcta. 48 Capítulo 5 Conclusión El sistema de distribución desmodrómica aplicado a la apertura y cierre de válvulas en un motor de 4 tiempos, ha sido diseñado para tener un comportamiento lo más óptimo posible a altos regímenes de revoluciones por minuto. Por este motivo tiene una gran aplicación para el mundo de la competición o la conducción deportiva. Al tener buen comportamiento cuando la aceleración que sufre la válvula en su movimiento, se puede incrementar su aceleración con respecto a un sistema convencional. Esto se traduce en que la válvula se puede encontrar en su posición de máxima alazada un mayor rango de tiempo. Al no utilizar un resorte para mantener el contacto, no sufre problemas de resonancia, por lo que no sufrirá pérdidas de potencia. Esto unido a un mayor tiempo de válvula en apertura, lo hace un motor ideado para rendir lo máximo posible. Sin embargo no todo es positivo. Como se ha expuesto en este TFM, es un sistema que necesita de una precisión bastante buena para el correcto funcionamiento. Todos sus componentes deben estar en perfecto estado para no provocar ruidos excesivos, y además todo el mecanismo debe estar perfectamente lubricado debido a la gran cantidad de contactos entre sólidos que se deben producir. Por ello precisa de un gran mantenimiento. Por ello se concluye que:  Mecanismo ideado para rangos de velocidades medio-alto.  Permite modificar la curva de desplazamiento de la válvula para obtener mayor período de tiempo en su posición máxima , debido a que admite grandes aceleraciones.  Sistema costoso y de alto nivel de comprensión, necesidad de manteniemiento elevado. 49 Capítulo 6 Trabajos futuros Éste TFM ha tratado de conocer cómo es y cómo funciona un sistema de distribución desmodrómica aislado. Al tratarse de una parte de un motor de combustión interna, conviene analizarlo en conjunto de los demás elementos que hacen que el motor funcione. Se tiende a analizar componenetes por separado de un sistema global y analizarlo aislado. Sin embargo al formar todo un conjunto con un fin determinado, se debería estudiar las interrelaciones entre ellos. Se ha analizado la cinemática y la dinámica en una válvula de admisión, como se ha mencionado anteriormente, dicho motor consta de 4 válvulas. Un estudio conjunto de mecanismos de admisión y escape desmodrómicos sería interesante desde el punto de vista de sincronización entre ambos para obtener la máxima eficiencia. Además sería útil el estudio de la incorporación de un variador de fase en los árboles de levas con el fin de adecuar el motor dependiendo de las necesidades en cada rango de revoluciones. Es estudio de los sistemas de distibución no sólo están sujetos al comportamiento del mismo, al formar parte de un conjunto, le afecta por ejemplo la temperatura, las ondas de presión producidas por el escape en su vuelta desde el final de tubo de escape, etc. 50 Capítulo 7 Bibliografía [1] Stefano Fantoni, “Development Trends of Motorcycles”. 5th Internaltional Conference, 18th October 2012 en Budrio – Bolonia. [2] Giovanni Lelli, “Distribuzione Desmodrómica”. 2011-2012.. [3] Motor. Asistencia Técnica Fiat Auto S.p.A. 1992. [4] Manuel Arias-Paz, “Manual del Automóvil”. [5] www.ducati.com [6] Manuales Oficiales de Reparación Ducati. [7] Jose Luis Escalona, “Dinámica de Sistemas Multicuerpo”. [8] Cylesworld.com by Kevin Cameron. [9] Daniel García Vallejo, “Three-Dimensional Simulation of Human Walking Optimizing Aesthetics and Energy”. [10] Eduardo Arroyo Martín, “Modelado y Estudio Cinemático y Dinámico de un Waveboard”. 51 Capítulo 8 Anexo Muestra de la realización del programa computacional clear all clc crea=false; syms theta2 phi23 theta3 phi32 phi35 s5_1 phi53 syms phi24 theta4 phi42 phi45 s5_2 phi54 t syms theta2p phi23p theta3p phi32p phi35p s5_1p phi53p syms phi24p theta4p phi42p phi45p s5_2p phi54p syms theta2pp phi23pp theta3pp phi32pp phi35pp s5_1pp phi53pp syms phi24pp theta4pp phi42pp phi45pp s5_2pp phi54pp spp syms x23 y23 x32 y32 x35 y35 x53 y53 x24 y24 x42 y42 x45 y45 x54 y54 syms dx23 dy23 dx32 dy32 dx35 dy35 dx53 dy53 syms dx24 dy24 dx42 dy42 dx45 dy45 dx54 dy54 syms ddx23 ddy23 ddx32 ddy32 ddx35 ddy35 ddx53 ddy53 syms ddx24 ddy24 ddx42 ddy42 ddx45 ddy45 ddx54 ddy54 syms M2 N23 N24 N35 N45 q=[theta2 phi23 theta3 phi32 phi35 s5_1 phi53 ... phi24 theta4 phi42 phi45 s5_2 phi54]; p=[x23 y23 x32 y32 x35 y35 x53 y53 x24 y24 x42 y42 x45 y45 x54 y54]; par=[M2 N23 N24 N35 N45]; qp=[theta2p phi23p theta3p phi32p phi35p s5_1p phi53p ... phi24p theta4p phi42p phi45p s5_2p phi54p]; qpp=[theta2pp phi23pp theta3pp phi32pp phi35pp s5_1pp phi53pp ... phi24pp theta4pp phi42pp phi45pp s5_2pp phi54pp]; dp=[dx23 dy23 dx32 dy32 dx35 dy35 dx53 dy53 ... dx24 dy24 dx42 dy42 dx45 dy45 dx54 dy54]; ddp=[ddx23 ddy23 ddx32 ddy32 ddx35 ddy35 ddx53 ddy53 ... ddx24 ddy24 ddx42 ddy42 ddx45 ddy45 ddx54 ddy54];