Relatividad general con MATLAB

Universidad de Sevilla Grado en F´ ısica Relatividad general con MATLAB Isabel Cruz Zabala Tutores: Alberto Tom´ as P´ erez Izquierdo Carlos Soria del Hoyo Departamento de Electr´ onica y Electromagnetismo Facultad de F´ ısica Resumen Se utiliza el software MATLAB para la construcci´ on y resoluci´ on de las ecuaciones geod´ esicas en el marco de la relatividad general para estudiar las trayectorias de los rayos de luz en presencia de agujeros negros de Schwarzschild y de Kerr. Se analizan estas trayectorias para conocer las caracter´ ısticas m´ as importantes de los agujeros negros, como la forma geom´ etrica de la sombra, el horizonte de sucesos y la ergoesfera. ´ Indice general 1. Introducci´ on 1 2. Fundamento te´ orico 3 2.1. Notaci´ onysistemadeunidades........................ 3 2.2. Tensor m´ etrico y el intervalo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3. Trayectorias estacionarias: la ecuaci´ on geod´ esica .............. 5 2.4. Ecuaciones de campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.5. Ejemplos de tensores m´ etricos......................... 7 2.5.1. Espacio de Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5.2. M´ etrica de Schwarzschild. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.5.3. M´ etricadeKerr.............................. 10 2.6. Condicionesiniciales.............................. 12 2.6.1. Condiciones iniciales m´ etrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . 12 2.6.2. Condiciones iniciales m´ etrica de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Metodolog´ ıa 15 3.1. Definici´ on de tensores en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2. M´ etrica y s´ ımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3. Comprobaci´ on ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.4. Obtenci´ on y resoluci´ on de la ecuaci´ on geod´ esica.............. 18 3.4.1. Implementaci´ on de la ecuaci´ on ge´ odesica.............. 18 3.4.2. Resoluci´ onconode45 ......................... 20 4. Resultados 23 4.1. Comprobaci´ on ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2. Trayectorias de fotones alrededor de agujeros negros . . . . . . . . . . . 23 4.2.1. Estudio trayectorias con agujeros negros de Schwarzschild . . . . 23 4.2.2. Estudio trayectorias con agujeros negros de Kerr . . . . . . . . . . 28 4.3. Rayos de luz observados cerca de agujeros negros . . . . . . . . . . . . . 32 5 4.3.1. Regi´ on cercana a un agujero negro de Schwarzschild . . . . . . . 33 4.3.2. Regi´ on cercana a un agujero negro de Kerr . . . . . . . . . . . . . 36 5. Conclusiones 43 Cap´ ıtulo 1 Introducci´ on La teor´ ıa general de la relatividad cambi´ o radicalmente la manera de estudiar y entender la interacci´ on que rige el universo a grandes escalas: la gravedad. La teor´ ıa que desarroll´ o Albert Einstein entre 1907 y 1915 (a˜ no de publicaci´ on de su art´ ıculo sobre la relatividad general) se basaba en tres principios fundamentales. El primero de ellos hace referencia al hecho de que un observador, que contempla objetos a su alrededor movi´ endose aceleradamente, es incapaz de distinguir si se encuentra en movimiento uniformemente acelerado o en ca´ ıda libre, es decir, en presencia de un campo gravitatorio uniforme. A esto se le conoce como principio de equivalencia, ya que establece una equivalencia entre una regi´ on de campo gravitatorio uniforme y un sistema de referencia uniformemente acelerado. Algunos autores distinguen dos tipos de principios de equivalencia: el principio de equivalencia d´ ebil y el fuerte (cap´ ıtulo 2 [1]). El d´ ebil (WEP, weak equivalence principle) establece que el movimiento de un cuerpo neutro en un punto del espacio-tiempo es independiente de su composici´ on. Por otro lado, Einstein quiso generalizar este ´ ultimo para incluir experimentos tanto mec´ anicos como electromagn´ eticos, y postul´ o el principio de equivalencia fuerte (SEP, strong equivalence principle). Con este principio, estableci´ o que los resultados de todos los experimentos locales en un sistema de referencia de ca´ ıda libre (aqu´ ı con ((local)) nos referimos a una regi´ on suficientemente peque˜ na como para que el campo gravitatorio sea uniforme) son independientes del movimiento con respecto a otros sistemas de referencia; que son iguales para esos sistemas de referencia en cualquier punto del espacio y en cualquier instante; y que son consistentes con la relatividad especial. Esta ´ ultima afirmaci´ on la aclararemos m´ as adelante. El segundo fundamento de la teor´ ıa general de la relatividad es el conocido como principio de covariancia. Este hace referencia a la invariancia formal que deben presentar las leyes f´ ısicas en cualquier sistema de referencia. Este principio es el que le llev´ o en 1 2CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI ´ ON primer lugar a formular la teor´ ıa especial de la relatividad en 1905 y el que, finalmente, le llev´ o a buscar una forma covariante para la gravedad. Y, por ´ ultimo, la noci´ on de curvatura espaciotemporal. Este principio es el que siempre nos resulta menos intuitivo. Con ´ el se establece que la materia no se mueve en un espacio-tiempo est´ atico, sino que esta va deformando la regi´ on donde se encuentra, y el espacio-tiempo, a su vez, determina el movimiento de la materia. Esto marca una gran diferencia a la hora de tratar la relatividad especial y la relatividad general. Mientras que en la primera la geometr´ ıa es plana y trabajamos en el conocido espacio de Minkowski; en la segunda el espacio-tiempo se presenta, generalmente, curvo. Sin embargo, como coment´ abamos dos p´ arrafos atr´ as, los resultados de experimentos locales son consistentes con la relatividad especial, es decir, al igual que podemos aproximar una esfera por su plano tangente en un entorno peque˜ no en el punto de tangencia, el espacio de Minkowski describe bien el espacio localmente, pero no globalmente. Por supuesto, es mucho m´ as dif´ ıcil trabajar en geometr´ ıas curvas que en un espacio plano. En este marco, entra el sistema para c´ alculo num´ erico MATLAB. Con su herramienta para c´ alculo simb´ olico Symbolic Math Toolbox podremos realizar todos los c´ alculos necesarios con gran rapidez. Adem´ as, nos permitir´ a representar las trayectorias de los fotones, nuestro principal objeto de estudio, con gran facilidad en cualquier geometr´ ıa. La teor´ ıa general de la relatividad ha sido probada experimentalmente mediante numerosos casos: desviaci´ on de la trayectoria de la luz, precesi´ on del perihelio de Mercurio, detecci´ on de ondas gravitacionales... Una de las predicciones m´ as importantes de la relatividad general, y ser´ a en lo que basaremos este estudio, fue la existencia de agujeros negros. Un agujero negro es una regi´ on del espacio, delimitada por el horizonte de sucesos, de la que no puede escapar ning´ un tipo de part´ ıcula, ni siquiera los fotones. Es una zona del espacio donde los efectos relativistas son muy importantes. Los agujeros negros est´ an caracterizados por tres magnitudes: masa, carga y momento angular. El hecho de que para caracterizar a los agujeros negros solo sean necesarias tres propiedades viene explicado con mucha claridad en [2]. Para concretar un poco m´ as, este trabajo se centra en el estudio de dos tipos de agujeros negros: el de Schwarszchild, el cual solo tiene masa; y el de Kerr, caracterizado por masa y por momento angular. Para ello, trabajaremos en MATLAB con la m´ etrica de Schwarszchild y con la m´ etrica de Kerr. En primer lugar, probaremos que estas m´ etricas satisfacen las ecuaciones del vac´ ıo de Einstein, continuaremos estudiando trayectorias interesantes de fotones alrededor de estos agujeros negros y finalizaremos con el estudio del efecto de lente gravitacional para cada caso. Pero antes de todo esto, ser´ a necesaria una introducci´ on te´ orica. Cap´ ıtulo 2 Fundamento te´ orico Antes de comenzar a tratar los temas que ser´ an desarrollados en este proyecto es importante explicar algunos conceptos te´ oricos b´ asicos. 2.1. Notaci´ on y sistema de unidades En primer lugar, es necesario aclarar que trabajaremos en todo momento con el sistema natural de unidades. En este sistema, tanto la velocidad de la luz como la constante de gravitaci´ on universal son tomadas igual a la unidad, i.e: c=G= 1.(2.1) Con el objetivo de evitar trabajar con n´ umeros excesivamente grandes, todas las distancias que trataremos estar´ an en funci´ on del radio de Schwarzschild, rS, definido como rS=2GM c2= 2M. (2.2) El radio de Schwarzschild es el radio m´ aximo que debe tener un objeto esf´ ericamente sim´ etrico de masa Mpara que la luz tarde un tiempo infinito en escapar de su gravedad. Y como veremos m´ as adelante, ser´ a el valor del radio del horizonte de sucesos de un agujero negro de Schwarzschild. Por otro lado, la notaci´ on que utilizaremos ser´ a la que se presenta en [3]. Cuando nos refiramos exclusivamente a las componentes espaciales de los tensores utilizaremos un ´ ındice latino y para componentes temporales y espaciales un ´ ındice griego. De esta manera, el tetravector espacio-tiempo en coordenadas cartesianas ser´ ıa xµ↔(x0, x1, x2, x3) = (t, x, y, z),(2.3) 3 10 CAP´ ITULO 2. FUNDAMENTO TE ´ ORICO 2.5.3. M´ etrica de Kerr. La m´ etrica de Kerr describe la geometr´ ıa espacio temporal que causa un agujero negro en rotaci´ on. En este caso, tenemos un par´ ametro adicional: la densidad de momento angular que denotaremos por a. Para definir la m´ etrica de Kerr hay diferentes formas de hacerlo, las tres fundamentales se presentan en la secci´ on 19.3 de [5]. Nos vamos a centrar en la que se conoce como la forma de Boyer-Lindquist gµν ↔       gtt 0 0 gtϕ 0Σ ∆0 0 0 0 Σ 0 gtϕ 0 0 gϕϕ       (2.31) donde gtt =−1−rSr Σ;gtϕ =−rSr Σasin2θ gϕϕ =r2+a2+rSra2 Σsin2θsin2θ Σ = r2+a2cos2θ ∆ = r2−rSr+a2. Una manera muy intuitiva de derivar estas expresiones se puede encontrar en la secci´ on 7 de [9]. Por otro lado, es necesario recalcar que, en este caso, debido a la rotaci´ on, (r, θ, ϕ)no siguen la transformaci´ on a coordenadas cartesianas m´ as com´ un, en su lugar obedecen las siguientes relaciones          x=rsin θcos ϕ+asin θsin ϕ y=rsin θsin ϕ−asin θcos ϕ z=rcos θ (2.32) Algunas propiedades interesantes de la m´ etrica de Kerr son que no es est´ atica, ya que no es invariante frente a inversi´ on temporal t→ −t; que es estacionaria ya que no depende expl´ ıcitamente del tiempo; que es axisim´ etrica, ya que no depende expl´ ıcitamente de ϕ; y que es invariante frente a inversi´ on simult´ anea de tyϕ(t→ −ty ϕ→ −ϕ). En la m´ etrica de Kerr, al igual que en la de Schwarzschild, se pueden calcular el horizonte de sucesos y la superficie de redshift infinito. De la misma manera que en el caso 2.5 EJEMPLOS DE TENSORES M ´ ETRICOS 11 anterior, para el horizonte de sucesos: grr =∆ Σ= 0 ⇒∆ = r2−rSr+a2= 0 r=rS±pr2 S−4a2 2.(2.33) En este caso tenemos dos horizontes de sucesos, uno exterior r+=rs+√r2 S−4a2 2y otro interno r−=rs−√r2 S−4a2 2, siempre que rS≥2a. En el caso en que se diera la situaci´ on contraria estar´ ıamos ante lo que se conoce como singularidad desnuda. Este caso viene explicado en el apartado 19.10 de [5] y no lo vamos a tratar. Por otro lado, para la superficie de redshift infinito tenemos gtt =−1−rSr Σ= 0 ⇒r2+a2cos2θ−rSr= 0 r=rS±pr2 S−4a2cos2θ 2.(2.34) Tenemos de nuevo dos superficies, una exterior, S+, y otra interna, S−. A diferencia del caso de Schwarzschild, estas superficies no coinciden con los horizontes de sucesos salvo en los polos, θ={0, π}. La superficie S+, salvo en los polos, es mayor que la esfera de radio r+, y la regi´ on entre estas dos superficies se conoce como ergoesfera. En esta regi´ on no se puede mantener el equilibrio est´ atico, aunque las part´ ıculas s´ ı pueden escapar hacia el infinito. En otras palabras, un observador externo siempre va a observar en movimiento a un objeto que se encuentre en esta regi´ on, aunque es f´ ısicamente posible que pueda escapar de la atracci´ on del agujero negro puesto que se encuentra fuera del horizonte de sucesos externo. Este hecho se debe al frame-dragging, [10]. Este fen´ omeno es muy importante en agujeros negros en rotaci´ on y se refiere al ((arrastre)) del espacio-tiempo que causa la rotaci´ on. En la figura 2.1 se muestran a escala todas estas superficies. En la m´ etrica de Kerr se puede hacer un estudio parecido de las singularidades en las curvaturas que se explic´ o en el ´ ultimo apartado de la secci´ on anterior. En este caso, la singularidad no ocurre para r= 0 como ocurr´ ıa con los agujeros negros de Schwarzschild sino que se encuentra en la regi´ on del espacio r2+a2cos2θ= 0.(2.35) Como es la suma de dos cantidades no negativas, la expresi´ on se hace cero cuando ambos sumandos se hacen cero. Es decir, para r= 0 yθ=π 2. Al contrario que en la 12 CAP´ ITULO 2. FUNDAMENTO TE ´ ORICO Ergosfera S r r _ _ + + Representación estructura agujero negro de Kerr Figura 2.1: Representaci´ on de los horizontes de sucesos, superficies de redshift infinito y ergosfera para el caso a= 0.3rS. m´ etrica de Schwarzschild esta condici´ on describe un anillo que yace en el plano z= 0. En cierta manera, la rotaci´ on ((suaviza)) la singularidad de Schwarzschild y la expande formando un anillo. 2.6. Condiciones iniciales A la hora de calcular las trayectorias que siguen los fotones alrededor de agujeros negros es muy importante definir unas condiciones iniciales adecuadas, tanto de posici´ on inicial como velocidad inicial. Estas condiciones deben cumplir la condici´ on de intervalo espacio-temporal nulo ya que estamos trabajando con fotones. En este apartado se van a introducir las expresiones para las componentes de la tetravelocidad inicial. Para ello vamos a hacer uso del formalismo de tetradas locales que se introduce en [3], que nos asegura el cumplimiento de la condici´ on de intervalo nulo. Aqu´ ı nos centraremos en las direcciones nulas que son las que siguen los fotones. Para una tetrada local e(i)la direcci´ on nula υse escribe υ=±e(0)+ sin χcos ξe1+ sin χsin ξe2+ cos ξe3,(2.36) donde e(i)son la base de vectores e(i)=eµ (i)∂µ, cuya expresi´ on depender´ a de la m´ etrica que estemos considerando, y χyξson los ´ angulos que se representan en la figura 2.2. 2.6.1. Condiciones iniciales m´ etrica de Schwarzschild Para agujeros negros de Schwarzschild, como la m´ etrica expresada en forma matricial es diagonal como ve´ ıamos en 2.28, la base de vectores de la tetrada local toma la 2.6 CONDICIONES INICIALES 13 Figura 2.2: Direcci´ on nula υcon respecto a la tetrada local e(i). Figura sacada de [3]. expresi´ on e(i)=1 √gii ∂i.(2.37) De esta manera, la expresi´ on de la tetravelocidad inicial toma la siguiente forma υ=±1 p1−rS r ∂t+ sin χcos ξr1−rS r∂r+ sin χsin ξ1 r∂θ+ cos ξ1 rsin θ∂ϕ.(2.38) 2.6.2. Condiciones iniciales m´ etrica de Kerr En este caso, la m´ etrica no es diagonal pero en [3] se especifica el caso en el que el espacio-tiempo es estacionario y tiene simetr´ ıa axial, que es justamente las dos propiedades que satisface la m´ etrica de Kerr. As´ ı, la expresi´ on de la tetrada local se puede escribir e(0)= Γ(∂t+ζ∂ϕ),e(r)=1 √grr ∂r,e(θ)=1 √gθθ ∂θ,(2.39a) e(3)= ΩΓ[±(gtϕ +ζgϕϕ)∂t∓(gtt +ζgtϕ)∂ϕ],(2.39b) donde Γ = 1 p−(gtt + 2ζgtϕ +ζ2gϕϕ)yΩ = 1 qg2 tϕ −gttgϕϕ ,(2.40) 14 CAP´ ITULO 2. FUNDAMENTO TE ´ ORICO yζes la velocidad angular del observador que, si observamos la expresi´ on 2.40, est´ a limitada debido a que el radicando de la definici´ on de Γdebe ser positivo ζm´ ın =ω−rω2−gtt gϕϕ , ζm´ ax =ω+rω2−gtt gϕϕ ,(2.41) con ω=−gtϕ ϕϕ . El caso ζ= 0 corresponde con un observador est´ atico con respecto al infinito. Y el caso en que ζ=ωes el que se conoce como locally non-rotating frame (LNRF). En este sistema de referencia, los observadores cancelan el efecto del frame-dragging debido a que est´ an girando con el agujero negro. Nos centraremos en el caso del observador est´ atico en el infinito. As´ ı la expresi´ on de la tetrada local ser´ ıa υ=±Γ(∂t+ζ∂ϕ) + sin χcos ξr∆ Σ∂r+ sin χsin ξ1 Σ∂θ+ + ΩΓ cos ξ[±(gtϕ +ζgϕϕ)∂t∓(gtt +ζgtϕ)∂ϕ].(2.42) Agrupando t´ erminos υ=±Γ[1 + Ω cos ξ(gtϕ +ζgϕϕ)]∂t+ sin χcos ξr∆ Σ∂r+ + sin χsin ξ1 Σ∂θ±Γ[ζ−Ω cos ξ(gtt +ζgtϕ)]∂ϕ.(2.43) Estas ser´ an las componentes de la velocidad inicial que debemos imponer a la hora de calcular las trayectorias. Cap´ ıtulo 3 Metodolog´ ıa En este cap´ ıtulo se va a introducir la metodolog´ ıa que se ha seguido para la obtenci´ on de resultados. Es necesario aclarar que el c´ odigo utilizado se ha basado en los scripts que Mario Misas Arcos desarroll´ o para su trabajo de fin de grado. 3.1. Definici´ on de tensores en MATLAB En primer lugar, comenzamos definiendo las variables simb´ olicas con las que vamos a trabajar. En el caso de Schwarzschild utilizaremos simplemente las variables esf´ ericas {t, r, θ, ϕ}, y para comprobar que la m´ etrica de Kerr cumple las ecuaciones de Einstein tendremos que a˜ nadir una variable simb´ olica aque representa la densidad de momento angular, cuando queramos estudiar las trayectorias alrededor de agujeros negros en rotaci´ on no har´ a falta tratar acomo variable simb´ olica, simplemente ser´ a un par´ ametro definido m´ as. syms t(s) r(s) theta (s) phi(s) a Es necesario introducir la dependencia en sde manera expl´ ıcita de la siguiente manera Spacetime = [t ,r ,theta ,phi ]; x = Spacetime (s); Ahora ya tenemos un vector xde tipo sym que recoge las coordenadas con las que vamos a trabajar. Si queremos llamar a una de las coordenadas solo tendremos que usar x(i) y MATLAB entender´ a que nos referimos al elemento idel vector y no al vector x evaluado en s = i. A continuaci´ on tenemos que definir que xno es un vector cualquiera, sino que debe cumplir las propiedades de un tensor, es decir, debemos crear una nueva variable a par- 15 16 CAP´ ITULO 3. METODOLOG´ IA tir de xque se comporte como un tensor. Para ello hacemos uso de un script realizado por el profesor Carlos Soria del Hoyo del departamento de Electr´ onica y Electromagnetismo de la Universidad de Sevilla que nos permitir´ a crear tensores. Se define una nueva clase de MATLAB llamada basicTensor que cumple las propiedades de los tensores. Se ha elegido este m´ etodo de trabajo por considerarse el m´ as conveniente ya que permite trabajar con entidades con sus propias operaciones, propiedades y su propia estructura interna. [up , dw ] = basicTensor . defineUpDw ; X = basicTensor (x ,[ up ]) ; Los argumentos que necesita la funci´ on son las componentes de la matriz que queramos que pase a ser tensor, compMatrix y un vector que recoja el car´ acter covariante o contravariante del tensor que debe resultar, idxMask. Para ello, primero definimos up y dw para componentes contravariantes y covariantes respectivamente. En nuestro caso, para el tetravector espacio-tiempo, queremos las componentes del vector xque ten´ ıa las coordenadas {t, r, θ, ϕ}y queremos que sea contravariante (xµ). 3.2. M´ etrica y s´ ımbolos de Christoffel Ahora queremos definir los elementos fundamentales que nos servir´ an tanto para la comprobaci´ on de las ecuaciones de Einstein como para trazar trayectorias alrededor de los agujeros negros: el tensor m´ etrico y los s´ ımbolos de Christoffel o conexiones afines. Para ello debemos proceder formalmente de la misma manera que para conseguir el tensor espacio-tiempo. En primer lugar, definimos una matriz del tipo symfun que contenga los elementos que se presentan en la secci´ on 2.5. Hay que aclarar que trabajaremos en funci´ on del radio de Schwarzschild por lo tanto lo tomaremos como 1. Si queremos trabajar con la m´ etrica de Schwarzschild debemos crear una matriz con la forma de 2.28. Una vez tengamos la m´ etrica definida tenemos que, de nuevo, imponer expl´ ıcitamente la dependencia de todos los elementos de la matriz en el par´ ametro s metric = diag ([ -(1 -1/ r) ^2 ,(1 -1/ r)^( -1) ,r ^(2) ,r ^(2) * sin ( theta ) ^(2) ]) ; gdmatrix = metric (s); Si, en cambio, vamos a tratar con la m´ etrica de Kerr debemos utilizar la expresi´ on 2.31, que traducida a lenguaje de MATLAB ser´ ıa sum = r^2 + a ^2* cos ( theta ) ^2; Del = r^2 - r + a^2; metric = diag ([ -(1 -r/ sum ),sum / Del , sum ,( r^2 + a^2 + ... 3.2 M ´ ETRICA Y S´ IMBOLOS DE CHRISTOFFEL 17 (r*a ^2) *( sin ( theta )) ^2/ sum ) *( sin ( theta )) ^2]) ; gdmatrix = metric (s); gdmatrix (1 ,4) = -r*a *( sin ( theta )) ^2/ sum ; gdmatrix (4 ,1) = gdmatrix (1 ,4) ; Ya solo quedar´ ıa transformar estas matrices en tensores, gµν =gd ygµν =gu, con la funci´ on basicTensor gd = basicTensor ( gdmatrix ,[ dw dw ]) ; gu = basicTensor ( inv(gd. compMatrix ), [up up ]) ; De la misma manera, para el c´ alculo de las conexiones afines tenemos que definir la matriz que contenga los elementos necesarios y pasarla a tensor. De aqu´ ı la ´ unica diferencia con respecto al c´ alculo del tensor m´ etrico es su definici´ on. En primer lugar, calculamos los s´ ımbolos de Christoffel de primer orden mediante la expresi´ on 2.18 for p = 1:4 for b = 1:4 for q = 1:4 BM (p,q ,b) = (1/2) * diff (gd . compMatrix (b,p) ,x(q))... + (1/2) *diff (gd. compMatrix (b ,q),x(p))... - (1/2) * diff (gd . compMatrix (p ,q),x(b)); end end end B = basicTensor (BM ,[ dw dw dw ]) ; Y, a continuaci´ on, efectuamos la contracci´ on 2.17. Para ello hacemos uso de una funci´ on interna de basicTensor. F = tensorContraction (gu ,B ,[ alfa beta nu; alfa rho NU; beta nu rho ]); Gamma = basicTensor ( simplify (F. compMatrix ) ,F. idxMask ); Los argumentos necesarios para esta funci´ on son dos elementos que sean del tipo basicTensor, en este caso gu yB(la conexi´ on af´ ın de primer orden) y una matriz que recoja los´ ındices del resultado de la contracci´ on en la primera fila, los´ ındices del primer tensor en la segunda y los ´ ındices del segundo tensor en la ´ ultima. Donde NU = 0, alfa = 1, beta = 2, ... Tambi´ en se ha hecho uso del comando de MATLAB simplify que simplifica las expresiones obtenidas para mejorar la rapidez y los c´ alculos. Estos dos elementos ser´ an clave para este trabajo. Ahora vamos a explicar c´ omo calcular los tensores de Riemann, Ricci y Einstein. 18 CAP´ ITULO 3. METODOLOG´ IA 3.3. Comprobaci´ on ecuaciones de Einstein Para calcular el tensor de Einstein y probar que se cumple la ecuaci´ on 2.19 es necesario primero calcular el tensor de Riemann mediante la expresi´ on 2.24. Para implementarlo en MATLAB hay que separarlo en dos t´ erminos, uno que contiene las derivadas parciales de las conexiones afines TM y otro formado por las contracciones, G for z = 1:4 for c = 1:4 for d = 1:4 for e = 1:4 TM (z ,c ,d ,e) = diff ( Gamma . compMatrix (z ,e ,c) ,x(d)) ... - diff ( Gamma . compMatrix (z ,d ,c) ,x(e)); end end end end G1 = tensorContraction ( Gamma , Gamma ,[ alfa beta nu delta ;... alfa nu rho NU;rho delta beta NU ]); G2 = tensorContraction ( Gamma , Gamma ,[ alfa beta nu delta ;... alfa delta rho NU; rho nu beta NU ]); RM = TM + G1. compMatrix - G2. compMatrix ; Rns = basicTensor (RM ,[ up dw dw dw ]); R = basicTensor ( simplify (RM) ,[up dw dw dw ]) ; Para el tensor y el escalar de Ricci simplemente hay que contraer los tensores introducidos en el fundamento te´ orico (2.23 y 2.22). Y por ´ ultimo, el tensor de Einstein se calcula GM = Riccit . compMatrix - (1/2) * Riccisc . compMatrix * gd. compMatrix ; Solo faltar´ ıa simplificar las expresiones obtenidas y convertirlo en tensor. De esta manera se procede para las m´ etricas de Schwarzschild y de Kerr. A continuaci´ on se va a detallar la obtenci´ on y resoluci´ on de la ecuaci´ on geod´ esica para hallar las trayectorias de los fotones. 3.4. Obtenci´ on y resoluci´ on de la ecuaci´ on geod´ esica 3.4.1. Implementaci´ on de la ecuaci´ on ge´ odesica En este caso, volvemos al punto en el que solo ten´ ıamos el tensor m´ etrico y los s´ ımbolos de Christoffel. 3.4 OBTENCI ´ ON Y RESOLUCI ´ ON DE LA ECUACI ´ ON GEOD ´ ESICA 19 En primer lugar, para la resoluci´ on de la ecuaci´ on geod´ esica, vamos a implementar el segundo t´ ermino que aparece en la ecuaci´ on 2.15. Para ello, debemos realizar una contracci´ on de tensores entre la conexi´ on af´ ın que hab´ ıamos denominado Gamma y un nuevo tensor que hace referencia a las derivadas dxβ ds dxν ds. Para calcular este ´ ultimo, realizamos un bucle for para crear una matriz que recoja todos los valores de las derivadas cruzadas y le damos forma de tensor for i = 1:4 for j = 1:4 dadb (i,j) = diff (x(i),s)*diff (x(j),s); end end DADB = basicTensor ( dadb ,[ up up ]) ; Realizamos la contracci´ on de tensores Γα βν dxβ ds dxν dsy almacenamos la matriz de componentes del tensor en un vector de 4 componentes, correspondientes a las 4 componentes de nuestra ecuaci´ on, llamada gds. A continuaci´ on, debemos pasar esta matriz de tipo sym a tipo symfun con el comando symfun y especificando el par´ ametro del que depende la funci´ on simb´ olica, en este caso s gds = symfun (gds ,s); Esto nos ser´ a´ util ya que la funci´ on odeToVectorField, que usaremos m´ as adelante, requiere entradas de clase symfun. En este punto, lo que queda es formar la ecuaci´ on a˜ nadiendo el t´ ermino de la derivada segunda de la ecuaci´ on 2.15: eqn = diff ( Spacetime ,s,s) == -gds ; Ahora tenemos un elemento de tipo symfun con 4 ecuaciones diferenciales de segundo grado. Para que podamos resolver las ecuaciones con ode45 necesitamos EDOs de primer orden y que sean de tipo function handle. Para ello, en primer lugar, hacemos uso del comando, ya mencionado, odeToVectorField que convertir´ a las 4 EDOs de segundo orden en 8 EDOs de primer orden, creando nuevas variables correspondientes a las derivadas de los t´ erminos del tetravector Xcon respecto al par´ ametro s:Dr,Dt,Dphi yDtheta. Esta funci´ on nos devuelve dos elementos: V, que recoge las nuevas EDOs de primer grado en un vector de 8 componentes de tipo sym; y un vector AUX, que almacena las variables que aparecen en el nuevo sistema de EDOs en el orden en que aparecen las ecuaciones en el vector V. Es muy importante tener en cuenta este orden ya que ser´ a el que aplicaremos en las condiciones para resolver el sistema. Por ´ ultimo, solo tenemos que pasar el sistema de 8 EDOs de primer orden de tipo 26 CAP´ ITULO 4. RESULTADOS -1 1 -0.5 0.5 0 1 0.5 0.5 0 1 0 -0.5 -0.5 -1 -1 Figura 4.4: Trayectoria de la luz para un radio inicial de 1.25 rSy direcci´ on inicial en el eje y. establecemos como direcci´ on inicial la direcci´ on del vector unitario ∂ϕ. Si, de nuevo, imponemos una direcci´ on con componente radial obtendr´ ıamos resultados parecidos a los de la figura 4.2, y aqu´ ı lo que nos interesa es estudiar la ´ orbita circular. Con estas condiciones se obtiene la trayectoria mostrada en la figura 4.3. Si ahora estudiamos el caso en el que la distancia inicial es menor a rph veremos que, efectivamente, ocurre lo que hab´ ıamos predicho. En la figura 4.4 se muestra c´ omo la luz cae dentro del agujero negro. De nuevo estamos en el caso en que la direcci´ on inicial es la direcci´ on del eje y. En esta situaci´ on resulta interesante estudiar qu´ e ocurre exactamente en la soluci´ on num´ erica. Al llevar a cabo la simulaci´ on, MATLAB nos informa de que la simulaci´ on se ha detenido debido a que le resulta imposible continuar con los pasos de la integraci´ on. Si observamos una representaci´ on de la coordenada rfrente al tiempo t, no frente al par´ ametro de integraci´ on s, sino frente al tiempo que medir´ ıa un observador externo, obtenemos la curva que se presenta en la figura 4.5. Podemos observar que, partiendo del valor inicial r= 1.25rS, el radio va disminuyendo r´ apidamente hasta que ese descenso se va frenando conforme nos acercamos al horizonte de sucesos. Matem´ aticamente el valor r=rScorresponde con una as´ ıntota, es decir, la luz tardar´ ıa un tiempo infinito en alcanzar el horizonte de sucesos para un observador externo, por eso MATLAB nos comunicaba que hab´ ıa un error. En el sistema de referencia de la luz, no habr´ ıa ning´ un problema, atravesar´ ıa esa superficie ya que rSes solo una singularidad debido a las coordenadas. Esto ya se discuti´ o en el apartado 2.5.2. Pero desde un sistema de referencia externo que est´ e midiendo el tiempo, no se observar´ ıa la llegada del rallo de luz al horizonte de sucesos, simplemente se ver´ ıa con 4.2 TRAYECTORIAS DE FOTONES ALREDEDOR DE AGUJEROS NEGROS 27 012345678910 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 Figura 4.5: Representaci´ on de la coordenada radial frente al tiempo para direcci´ on inicial en la direcci´ on del eje yyro= 1.25rS. longitudes de onda mayores hasta desaparecer (cap´ ıtulo 7 [13]). Por ´ ultimo, queda comentar que hasta ahora hemos tratado con trayectorias en el plano z= 0. Esto es as´ ı porque, como se estudia en el cap´ ıtulo 19 de [11], el momento angular se conserva, as´ ı que todas las trayectorias van a tener lugar en un solo plano. Como tenemos simetr´ ıa esf´ erica todos los planos que pasen por el centro son equivalentes. Para visualizar un ejemplo en que la direcci´ on inicial es la del unitario ∂θtenemos la figura 4.6. Como vemos, para ro=rph el rayo de luz sigue una trayectoria circular pero en otro plano, por lo tanto, es indiferente el plano de trabajo que utilicemos. 1.5 1 -1 1 -0.5 0.5 0 0 0 0.5 -0.5 1 -1 -1 Figura 4.6: Representaci´ on trayectoria de la luz con radio inicial rph y direcci´ on inicial ∂θ. 28 CAP´ ITULO 4. RESULTADOS Figura 4.7: Comparaci´ on entre trayectorias que parten de (xo, yo) = (3,−3) para los dos sentidos de rotaci´ on. A la izquierda para el agujero negro rotando en sentido contrario a las agujas del reloj y a la derecha en sentido contrario. 4.2.2. Estudio trayectorias con agujeros negros de Kerr Para los agujeros negros de Kerr podemos hacer un estudio similar al realizado para los de Schwarzschild, sin embargo debemos tener en cuenta un par´ ametro m´ as, la rotaci´ on. El sentido y el m´ odulo del momento angular ser´ an dos aspectos fundamentales a tener en cuenta. N´ otese en la ecuaci´ on 2.33, que para tener horizontes de sucesos con significado f´ ısico 4a2< r2 S, como estamos tomando rS= 1, el l´ ımite para el m´ odulo de la densidad de momento angular es |a| ≤ 1/2. Vamos a tratar los casos m´ as ilustrativos, veremos c´ omo var´ ıan las trayectorias en funci´ on de la distancia inicial, del sentido y la magnitud del giro del agujero negro. Si comenzamos tratando trayectorias lo suficientemente lejos del agujero negro como para que los fotones no caigan hacia el agujero negro, podemos observar en la figura 4.7 que el sentido de rotaci´ on del agujero negro es verdaderamente un factor determinante. Se debe aclarar que el signo positivo del par´ ametro aest´ a asociado al eje de rotaci´ on apuntando al sentido positivo del eje z. Tal y como est´ a en la figura 4.7 corresponde con el sentido opuesto al de las agujas del reloj. La rotaci´ on ((arrastra)) al fot´ on en su direcci´ on debido al fen´ omeno anteriormente citado de frame-dragging. El fot´ on en la imagen de la izquierda de la figura 4.7 ((intenta)) curvar su trayectoria para cambiar el sentido de giro pero antes de lograrlo escapa de la atracci´ on del agujero negro y comienza a trazar de nuevo una trayectoria rectil´ ınea. Si la condici´ on inicial situara al fot´ on m´ as cerca del agujero negro ver´ ıamos como s´ ı logra cambiar su sentido en la trayectoria, este caso se estudiar´ a m´ as adelante. Los rayos de 4.2 TRAYECTORIAS DE FOTONES ALREDEDOR DE AGUJEROS NEGROS 29 Figura 4.8: Comparaci´ on entre los tama˜ nos de las ´ orbitas circulares para dos valores de densidad de momento angular. A la izquierda para a= 0.3y a la derecha para a= 0.1. luz siguen una l´ ınea recta cuando est´ an lo suficientemente alejados del agujero negro como para no sentir sus efectos gravitatorios, es lo mismo que ocurr´ ıa en la figura 4.1. En [12] tambi´ en se estudian las trayectorias circulares en la m´ etrica de Kerr, y se establece que la ´ orbita circular para un agujero negro en rotaci´ on es: rph = [1 + cos (2/3 acos (−2a))]rS.(4.1) As´ ı que para diferentes valores de atendremos distintos radios de ´ orbitas circulares. En este caso no tiene sentido hablar del sentido de rotaci´ on ya que se van a obtener las mismas trayectorias. Veamos en la figura 4.8 c´ omo afecta el valor de a. Como para a= 0.1la rotaci´ on es menor, el tama˜ no de la ergosfera es tambi´ en menor, en el l´ ımite a→0recuperamos el agujero negro de Schwarzschild que no tiene esa regi´ on. Adem´ as, como era de esperar el agujero negro con mayor rotaci´ on tiene menor radio de ´ orbita circular. Por otro lado, al igual que hac´ ıamos con el caso de Schwarzschild podemos estudiar trayectorias cuya coordenada radial inicial ro< rph, en este caso, los fotones terminar´ an cayendo hacia el interior del agujero negro. Estas trayectorias se presentan en la figura 4.9. Como coment´ abamos anteriormente, el fot´ on para a= 0.3siente los efectos de la rotaci´ on tan fuertemente que cambia su direcci´ on para comenzar a girar en simpat´ ıa 30 CAP´ ITULO 4. RESULTADOS Figura 4.9: Comparaci´ on de las trayectorias que parten de (xo, yo) = (1.5,−1.5) para los dos sentidos de giro del agujero negro. con el agujero negro. Cuando estudiamos la definici´ on de ergosfera en el apartado 2.5.3, vimos que todo cuerpo que se encuentre en su interior debe girar en el mismo sentido que lo hace el agujero negro. Este hecho se entiende muy bien en la figura 4.9, en cuanto el rayo de luz atraviesa la superficie de red-shift infinito y entra en la ergosfera ya est´ a girando a favor de la rotaci´ on del agujero negro, tanto si su direcci´ on inicial era favorable a ello (caso derecho figura 4.9) como si no (caso izquierdo figura 4.9). El frame-dragging en la ergosfera es tan grande que impide el equilibrio est´ atico de un objeto en su interior. Este hecho se puede observar muy bien si representamos el valor de la velocidad angular, ˙ ϕcon respecto a la coordenada radial. En la figura 4.10 se observan las representaciones de la velocidad angular para las simulaciones que se muestran en la figura 4.9. En el caso a= 0.3, vemos que inicialmente la velocidad angular es negativa y que conforme nos acercamos al horizonte de sucesos pasamos a valores positivos. En ambos casos, se ve claramente c´ omo al acercarnos al horizonte de sucesos el m´ odulo de la velocidad angular crece asint´ oticamente hasta infinito. No se representa los valores m´ as all´ a de 10 rad/s en el eje yya que al acercarnos al horizonte de sucesos, las simulaciones pierden validez debido a que los valores son muy grandes y MATLAB tiene problemas con pasos de simulaci´ on de ese tama˜ no. Para los agujeros negros en rotaci´ on tambi´ en se puede hacer un estudio como el que hicimos con la figura 4.5 pero obtendr´ ıamos los mismos resultados solo que con curvas diferentes que depender´ an del sentido de rotaci´ on. M´ as adelante se ver´ a este hecho con otro ejemplo. Por ´ ultimo, podemos estudiar qu´ e ocurre cuando inicialmente imponemos una di- 4.2 TRAYECTORIAS DE FOTONES ALREDEDOR DE AGUJEROS NEGROS 31 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 Figura 4.10: Comparaci´ on de la soluci´ on de la velocidad angular en el caso de apositivo (arriba) y negativo (abajo). Se ha representado una l´ ınea roja marcando el horizonte de sucesos y en l´ ınea discontinua el valor de velocidad angular 0. 32 CAP´ ITULO 4. RESULTADOS Figura 4.11: Representaci´ on de la trayectoria con direcci´ on inicial con componente z. recci´ on en el eje z, con la componente ϕde la velocidad inicial 0. Este caso se puede observar en la figura 4.11. Aunque inicialmente no hay componente ˙ ϕ, se observa que, al entrar en la ergoesfera, el rayo de luz comienza a girar en el plano z= 0 con la direcci´ on de giro que impone el agujero negro. Incluso aunque la direcci´ on inicial era la del sentido negativo del eje zal entrar en la ergoesfera el fot´ on gira en el plano z= 0 con el sentido de la rotaci´ on del agujero negro. Es un resultado que esper´ abamos despu´ es de ver en los anteriores casos el efecto de frame-dragging en la ergoesfera. 4.3. Estudio de los rayos de luz que se observan en regiones cercanas a un agujero negro Como hemos estado viendo a lo largo de estas dos ´ ultimas secciones, los rayos de luz no siguen una trayectoria rectil´ ınea como observamos en la vida cotidiana en presencia de agujeros negros, sino que siguen trayectorias curvil´ ıneas. Esto nos lleva a preguntarnos qu´ e observar´ ıamos alrededor de un agujero negro si mir´ asemos directamente hacia ´ el. Como sabemos, no observar´ ıamos nada de su interior debido al horizonte de sucesos, pero vamos a estudiar de d´ onde proceden los rayos de luz que observamos alrededor de un agujero negro. 4.3 RAYOS DE LUZ OBSERVADOS CERCA DE AGUJEROS NEGROS 33 -1 0 1 15 10 5 0 -5 4 2 0 -2 -10 Figura 4.12: Trayectoria seguida por un rayo de luz que llega a nuestro campo de visi´ on con xf= 5rS. -1 0 1 15 10 5 0 5 -5 0 -10 -5 Figura 4.13: Comparaci´ on entre los recorridos seguidos por dos rayos de luz sim´ etricos. 4.3.1. Regi´ on cercana a un agujero negro de Schwarzschild Comenzaremos estudiando los rayos de luz procedentes de regiones cercanas a un agujero negro de Schwarzschild. En primer lugar, vamos a ver cu´ al es el recorrido seguido por un rayo de luz que llega paralelo a nuestra l´ ınea de visi´ on si nos encontramos a una distancia de xf= 5rS(con xfla coordenada xdel punto de observaci´ on) del centro del agujero negro. En la figura 4.12 podemos ver que, efectivamente, lo que se observa justo al lado del agujero negro no se encuentra en esa direcci´ on de observaci´ on si no que estamos observando realmente en una direcci´ on oblicua. Adem´ as, es claro que, debido la simetr´ ıa de la m´ etrica de Schwarzschild, en el punto de observaci´ on sim´ etrico pero con x′ f=−xfse va a obtener la trayectoria especular. Este hecho se puede comprobar en la figura 4.13. 34 CAP´ ITULO 4. RESULTADOS -1 0 1 0 -2 -4 4 -6 2 -8 0 -10 Figura 4.14: Recorrido seguido por un rayo de luz que vemos desde una posici´ on xf= 2.5rS. Si estudiamos fotones que hayan sentido la atracci´ on m´ as fuertemente, es decir, que hayan pasado por un punto m´ as cercano al agujero negro, veremos que el cambio de direcci´ on es mayor. En la figura 4.14 nos muestra c´ omo hay fotones que rodean al agujero negro antes de llegar hasta nuestro punto de observaci´ on. En este caso, estar´ ıamos observando rayos de luz que provienen desde un punto situado detr´ as del punto de observaci´ on. Adem´ as, si nos coloc´ asemos en el punto de intersecci´ on en la trayectoria estar´ ıamos viendo la misma imagen desde dos direcciones diferentes. Al llevar a cabo las simulaciones, no se han podido obtener trayectorias que hayan pasado m´ as cerca del agujero negro ya que para xf<2.5rStodos los rayos de luz pasaban tan cerca del agujero negro en algunos puntos que ca´ ıan en su interior. Si representamos la coordenada radial de esas trayectorias frente al tiempo, figura 4.15, vemos que realmente ese fot´ on habr´ ıa estado en el horizonte de sucesos durante un tiempo infinito hasta llegar al punto donde lo observamos, por lo tanto son trayectorias que no tienen sentido f´ ısico. En la simulaci´ on solo llega hasta cero ya que para obtener resultados con sentido f´ ısico todas las trayectorias se paran cuando llegan a t= 0. Estamos viendo el suceso contrario al que discut´ ıamos con la gr´ afica 4.5, aunque para MATLAB la simulaci´ on es la misma, la ´ unica diferencia es que en un caso estamos integrando hacia delante y en otro caso hacia atr´ as. Esto nos quiere decir que la sombra oscura que entendemos como agujero negro se extender´ ıa mucho m´ as all´ a de la circunferencia delimitada por el horizonte de sucesos, ya que hay ciertos rayos de luz que al acercarse tanto terminan cayendo en su interior y no llegan al punto de observaci´ on. Este hecho se encuentra estudiado con mayor profundidad en [14]. Teniendo esto en mente, realizamos un barrido que recorra las zonas m´ as cercanas al 4.3 RAYOS DE LUZ OBSERVADOS CERCA DE AGUJEROS NEGROS 35 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 4.15: Representaci´ on de la evoluci´ on temporal de la coordenada radial frente al tiempo de una trayectoria con xf= 1.2rS. agujero negro y lo representamos en la figura 4.16. Podemos ver que se puede observar todo lo que hay alrededor del agujero negro, tanto en los laterales, como detr´ as de la l´ ınea desde la que observamos (l´ ınea punteada en rojo en la figura). Figura 4.16: Recorrido de todos los rayos de luz que llegan hasta nuestra l´ ınea de visi´ on. Por ´ ultimo, podr´ ıamos estudiar qu´ e ocurrir´ ıa si en lugar de observar desde un punto o una l´ ınea de observaci´ on, pudi´ esemos contemplar como un objeto extenso. Para ello se buscan rayos de luz que lleguen a un plano z=cte. En este caso, para zf<2.5rS, Cap´ ıtulo 5 Conclusiones La relatividad general siempre es considerada una rama de estudio compleja y de elevada densidad en cuanto a contenidos, tanto matem´ aticos como f´ ısicos, gran parte debido a la complejidad matem´ atica y anal´ ıtica que lleva consigo. Todo esto resulta m´ as complicado si le a˜ nadimos el estudio de objetos tan singulares y desconocidos como los agujeros negros. Sin embargo, en este trabajo, simplemente conociendo las expresiones anal´ ıticas de las diferentes geometr´ ıas, hemos podido estudiar, con relativa facilidad, las propiedades m´ as fundamentales de los agujeros negros, as´ ı como el resultado principal de la relatividad general: la curvatura del espacio-tiempo. Todo esto ha sido posible gracias a la utilizaci´ on de c´ alculo simb´ olico y num´ erico. El software MATLAB ha sido elegido ya que nos permit´ ıa, mediante la herramienta Symbolic Math Toolbox, obtener la expresi´ on anal´ ıtica de la ecuaci´ on geod´ esica, lo cual nos ha ahorrado, adem´ as de tiempo y esfuerzo, la posibilidad de cometer errores durante el proceso; y, mediante ode45, resolver la ecuaci´ on geod´ esica num´ ericamente. Aunque no hayamos obtenido soluciones anal´ ıticas, s´ ı se han podido obtener soluciones num´ ericas cuyas representaciones nos han permitido obtener los resultados necesarios para los objetivos de este proyecto. Gracias a MATLAB hemos podido ver c´ omo las trayectorias, que siempre observamos como rectil´ ıneas, se curvan en presencia de agujeros negros y c´ omo la rotaci´ on de este afecta al recorrido que sigue la luz. Hemos podido estudiar y entender qu´ e ocurre en la ergosfera, c´ omo todo lo que entra debe girar, en un plano, a favor del agujero negro sin importar las condiciones iniciales. Gracias a estas simulaciones se ha podido entender con claridad lo que implica el horizonte de sucesos, esa barrera donde aparentemente se queda parado todo lo que cae dentro del agujero negro para un observador externo. Por otro lado, hemos podido comprender qu´ e ver´ ıamos si estuvi´ esemos mirando directamente hacia un agujero negro. Con un c´ odigo relativamente simple se ha podido 43 44 CAP´ ITULO 5. CONCLUSIONES intuir qu´ e forma debe tener la sombra de cada agujero negro simplemente estudiando los rayos de luz que vemos m´ as cerca de la sombra. Todo esto ha sido posible con MATLAB sin necesidad de introducirnos con demasiada profundidad. Ese es el verdadero potencial de este software, una poderosa herramienta para estudiar relatividad general de manera sencilla y eficiente. Agradecimientos Me gustar´ ıa agradecer, en primer lugar, a mis tutores, Alberto y Carlos, por darme la oportunidad de llevar a cabo este proyecto. Honestamente, creo que es el mejor tema que pod´ ıa haber elegido as´ ı que muchas gracias. Tambi´ en me gustar´ ıa agradecer a todos mis amigos por hacerme el camino m´ as ameno y por obligarme a levantarme de la silla cuando MATLAB me daba un error tras otro. Y, por supuesto, gracias a Alfonso, por ser el mejor compa˜ nero del mundo. Adem´ as, me gustar´ ıa agradecer a Ignacio por alegrarme siempre y hacerme la carrera m´ as llevadera. Y, por ´ ultimo, gracias mi hermano y a mis padres, por guiarme y ayudarme siempre tanto. 45 Bibliograf´ ıa [1] I. R. Kenyon, General Relativity. Oxford University Press, 1990. [2] K. S. Thorne and S. Hawking, Black Holes and Time Warps: Einstein’s Outrageous Legacy. W.W. Norton, 1994. [3] T. M¨ uller and F. Grave, “Catalogue of spacetimes,” 4 2009. [4] B. F. Schutz, A first course in general relativity. Cambridge University Press, 2009. [5] R. D’Inverno, Introducing Einstein’s relativity. 1992. [6] T. P. Cheng, Relativity, Gravitation and Cosmology: A Basic Introduction. OUP Oxford, 2010. [7] S. M. Carroll and Addison-Wesley, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley, 2004. [8] E. Malec, “Schwarzschild horizon and the gravitational redshift formula,” Classical and Quantum Gravity, vol. 19, p. 571, 2002. [9] S. A. Teukolsky, “The kerr metric,” Classical and Quantum Gravity, vol. 32, p. 124006, 2015. [10] P. V. D. Wijk, “The kerr-metric: describing rotating black holes and geodesics,” 2007. [11] S. Chandrasekhar, The mathematical theory of black holes. Clarendon Press ; Oxford University Press, 1983. [12] J. M. Bardeen, W. H. Press, and S. A. Teukolsky, “Rotating black holes: locally nonrotating frames, energy extraction, and scalar synchrotron radiation,” The Astrophysical Journal, vol. 178, pp. 347–370, 1972. [13] S. M. Carroll, “Lecture notes on general relativity,” arXiv preprint gr-qc/9712019, 1997. 47 48 CAP´ ITULO 5. BIBLIOGRAF´ IA [14] V. Perlick and O. Y. Tsupko, “Calculating black hole shadows: review of analytical studies,” Physics Reports, vol. 947, pp. 1–39, 2022. [15] A. Abdujabbarov, M. Amir, B. Ahmedov, and S. G. Ghosh, “Shadow of rotating regular black holes,” Physical Review D, vol. 93, p. 104004, 2016.