Autoafinidad en series temporales

AUTOAFINIDAD EN SERIES TEMPORALES Jesús Muñoz San Miguel Departamento de Economía Aplicada I Universidad de Sevilla e-mail: jm[email protected] Resumen En algunas series temporales sumamente erráticas aparece un fenómeno típico de los conjuntos fractales. Este fenómeno, que recibe el nombre de autoafinidad, se manifiesta si representamos estas series en intervalos de tiempo con una duración cada vez menor y observamos que su apariencia es, en cierto sentido, similar. En este trabajo vamos a analizar que consecuencias tiene este fenómeno a la hora de describir como un proceso estocástico este tipo de series temporales. Como caso particular, analizaremos la serie Ibex35, que es como nos referiremos a la serie de los logaritmos de los cierres diarios del índice Ibex35 durante la década de los noventa (desde el día 2-01-1991 hasta el día 29-12-2000). Palabras clave: fractales, autoafinidad, procesos estocásticos autoafines. Área temática: análisis de series temporales. 1.-Introducción Uno de los primeros modelos utilizados para describir la evolución de una serie temporal como un proceso estocástico es el movimiento browniano, el cual recibe este nombre por R. Brown, que en 1828 observó este movimiento en pequeñas partículas suspendidas en un fluido, y está caracterizado fundamentalmente por dos de las propiedades de sus incrementos, la independencia y la normalidad de su distribución Este modelo aparece por primera vez asociado a los precios de una acción en 1900 en la tesis de Louis Bachelier “Theory of speculation” y, aunque fue sistematizado por N. Wiener en 1923, de aquí que también reciba el nombre de proceso de Wiener, no cobra importancia hasta que en 1965 el premio nobel en Economía Paul A. Samuelson (1915-) se basa en la idea de trabajar con los logaritmos de los precios que aparece en 1959 en un artículo de M. F. M. Osborne, “Brownian motion in the stock market”, y propone el movimiento browniano geométrico o económico en el cual los logaritmos de los precios son los que siguen un movimiento browniano con tendencia. Aunque desde entonces es uno de los modelos más utilizados para describir el precio de una acción, en la serie Ibex35, al igual que en la mayoría de las acciones, los datos empíricos no se ajustan bien del todo al modelo, ya que los incrementos presentan cierta dependencia (figura 1) y su distribución empírica difiere de la normal (figura 2). Figura 1: Las autocorrelaciones empíricas de los incrementos de la serie Ibex35, aunque pequeñas son significativamente distintas de cero, ya que, partiendo de un primer valor ρ(1)=0.091, para retardos de todos los órdenes aparecen valores superiores a su mitad en módulo. Figura 2: La distribución empírica de los incrementos de la serie Ibex35 presenta diferencias con la distribución correspondiente a una normal con la misma media y varianza: hay un fuerte nivel de apuntamiento, con una curtosis muestral marcadamente positiva kn=3.314135, la distribución está ligeramente sesgada a la izquierda, con un coeficiente de asimetría muestral βn= -0.252056. Además, sus colas son sensiblemente mayores que las correspondientes a una normal. En los años sesenta, Benoît B. Mandelbrot (1924-), al que se considera como el padre de la Geometría Fractal, propuso dos generalizaciones del movimiento browniano para modelizar la evolución de los precios de un activo financiero: los movimientos brownianos fraccionarios, que sólo tienen incrementos independientes en el movimiento browniano original, y los movimientos L-estables, cuyos incrementos son siempre independientes y en los que las distribuciones que siguen estos incrementos, distribuciones estables, son una generalización de la normal. Las gráficas de los precios de la mayoría de las acciones comparten con la gráfica de la serie Ibex35 un fenómeno típico de los conjuntos fractales: los grafos que se obtienen cuando se reduce la escala temporal para representarlos tienen una apariencia similar (figura 3). Figura 3: Al representar la serie Ibex35 se obtiene un grafo con una apariencia errática e irregular que no admite una aproximación lineal. Cuando representamos la serie en intervalos de tiempo con una duración cada vez menor este comportamiento se mantiene con independencia de la escala y los grafos muestran, en cierto sentido que analizaremos, una apariencia similar. Este fenómeno recibe el nombre de autoafinidad y nos va a permitir englobar a ambas generalizaciones del movimiento browniano clásico dentro de los procesos estocásticos autoafines. Para ello, analizaremos en primer lugar el concepto de autoafinidad determinística en el grafo de la función seno de Weierstrass-Mandelbrot. 2.-Autoafinidad determinística. La función seno de Weierstrass-Mandelbrot forma parte de una familia de funciones que surgen de una función utilizada por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) como ejemplo de función que es continua en todos sus puntos pero que no es diferenciable en ninguno de ellos, y es producto de sucesivas generalizaciones realizadas por Mandelbrot para obtener modelos con características comunes a otros conjuntos fractales (un estudio detallado de ésta y otras funciones de la familia se puede encontrar en Mandelbrot 2001 pp. 142-154 o en Muñoz 2002 pp. 98-108). 21 1 )( )2( <<>∈= ∑+∞ −∞= −sRttsenf(t) n nns λλλ El parámetro s, determina la dimensión del grafo de la función, ya que, si λ es lo suficientemente grande coincide con la dimensión de recuento por cajas de su grafo (un estudio detallado del concepto de dimensión se puede encontrar en Falconer 1990, Mandelbrot 2001 o Muñoz 2002). El parámetro λ es el que determina las características de escala de su grafo, ya que se puede comprobar, sin más que sustituir en la expresión de la función t por λt, que se verifica )()( 2tftf s− = λλ Rt ∈ ∀ (1). Esta propiedad marca las características de escala del grafo de esta función y es la que hace que hablemos de autoafinidad en torno al origen, ya que si reducimos la escala horizontal las representaciones obtenidas son iguales salvo en la escala vertical. Así, si interpretamos la variable de la función de Weierstrass-Mandelbrot como el tiempo, la ecuación (1) refleja que al cambiar la escala temporal se obtiene una función que sólo difiere de la original en la escala espacial (figura 4). Figura 4: Si reducimos la escala horizontal y representamos la función seno de Weierstrass-Mandelbrot (s=1.75, λ=2) en intervalos cada vez más pequeños manteniendo el origen como extremo inferior del intervalo ([0, λ-n] n=0,1,2), las representaciones obtenidas sólo difieren en la escala vertical. 3.-Autoafinidad estadística Aunque la igualdad a distintas escalas sólo aparece en la función de Weierstrass- Mandelbrot cuando el factor de reducción vertical es una potencia del parámetro λ, y en sentido estricto no deberíamos hablar de autoafinidad, la idea de autoafinidad en torno al origen que refleja la ecuación (1) es la que se utiliza en los procesos estocásticos para hablar de autoafinidad estadística y nos llevará a definir un proceso estocástico autoafín como un proceso en el que al cambiar la escala temporal se obtiene un proceso que sólo difiere del original en la escala espacial (como los factores de escala temporal y espacial pueden ser distintos hemos preferido seguir a Mandelbrot y usar el término de proceso autoafín, del inglés self-affine process, en vez del término proceso auto-semejante, del inglés self-similar process que aparece en la literatura específica sobre el tema). 3.1.-Procesos autoafines y exponente de autoafinidad La idea de autoafinidad en torno al origen que refleja la ecuación (1) lleva a definir un proceso estocástico autoafín como un proceso en el que al cambiar la escala temporal se obtiene un proceso que sólo difiere del original en la escala espacial: Definición 3.1: Un proceso estocástico {X(t), t ∈ T} que comienza en el origen (casi seguro) es un proceso autoafín si: { } { } 0 0 tal que ( ) ( ) : ,ab XatbXtttat∀> ∃> ≅ ∀ ∈T ♣ Nota: Como estamos interesados en la autoafinidad en torno a un punto, el punto de partida se fija en el origen imponiendo que el proceso comience en el origen casi seguro. Además, se supondrá que el proceso no es trivial para eliminar los procesos que no son más que una tendencia y que el proceso es estocásticamente continuo en t para todo t∈ T por razones técnicas. Bajo estas condiciones, el cambio de escala espacial, a, y el cambio de escala temporal, b, verifican una relación de tipo exponencial, b=aH (Lamperti 1962): Teorema 3.2: Sea {X(t), t ∈ T}un proceso estocástico autoafín que comienza en el origen (casi seguro), no trivial y estocásticamente continuo en t ∀t∈ T. Existe un único H>0, que recibe el nombre de exponente de autoafinidad del proceso, tal que { } { } 0 ( ) ( ) : , H aXataXtttat∀> ≅ ∀ ∈T (2) Para explicitar el valor de H diremos que el proceso es H-autoafín (en este caso, damos por supuesto que es un proceso estocástico no trivial, estocásticamente continuo en t ∀t∈T y que comienza en el origen casi seguro). ♣ 3.2 El movimiento browniano clásico El movimiento browniano clásico es un proceso estocástico cuyos incrementos son independientes y están idénticamente distribuidos según una normal con media cero y varianza proporcional al incremento temporal: Definición 3.3: Un movimiento browniano es un proceso estocástico que comienza en el origen casi seguro, {B(t): t ≥ 0}, verificando: • El proceso tiene incrementos independientes. • ∀t ≥ 0 ∀h ≥ 0 B(t+h)-B(t)∼ N(0,σ2 h). ♣ El siguiente teorema muestra que el movimiento browniano es un proceso autoafín con exponente de autoafinidad ½ . Teorema 3.4: Sean {B(t) t ≥ 0} un movimiento browniano y a>0: B(at) ≅ a1/2 B(t). Demostración La distribución del proceso es una normal con media cero y varianza proporcional al incremento temporal, ya que, al comenzar el proceso en el origen, el proceso coincide con su incremento respecto al origen: B(t)∼ N(0,σ2 t) ∀t ≥ 0. Para ver que el movimiento browniano es un proceso autoafín sólo hay que probar que la distribución del nuevo proceso, a-1/2B(at), también es una normal con media cero y varianza proporcional al incremento temporal, ya que el resto de las propiedades de la definición se deducen inmediatamente de las correspondientes para B(t). Como B(t) sigue una distribución normal, a-1/2B(at) también sigue una distribución normal y basta obtener su media y varianza: • E[a-1/2B(at)] = a-1/2E[B(at)] = 0. • E[(a-1/2B(at))2] = E[a-1B(at)2] = a-1E[B(at)2] = a-1σ2at = σ2t. Para ver que el exponente de autoafinidad es único, sólo faltaría ver que el proceso es estocásticamente continuo; para lo que habría que ver que cuando h tiende a cero el incremento B(t+h)-B(t) converge en probabilidad a cero; lo que se puede comprobar sin más que ver que lo hace su distribución, N(0, σ2 h). ♣ El movimiento browniano permite establecer las diferencias entre la autoafinidad determinística de la función de Weierstrass-Mandelbrot, ecuación (1), y la autoafinidad estadística de un proceso estocástico, ecuación (2). En la función de Weierstrass-Mandelbrot al cambiar la escala temporal se obtiene un grafo cuya apariencia es la misma, ya que tanto la función como el grafo sólo difieren de los originales en la escala espacial (figura 4). Sin embargo, al cambiar la escala temporal en un proceso estocástico autoafín, aunque el proceso básicamente es el mismo, ya que los incrementos siguen la misma distribución y el proceso sólo difiere del original en la escala espacial, la apariencia de los grafos no es exactamente igual y sólo mantienen el mismo aspecto en un sentido estadístico (figura 5). Figura 5: Si reducimos la escala horizontal y, manteniendo el origen como extremo inferior del intervalo, representamos una aproximación al movimiento browniano en intervalos cada vez más pequeños ([0,3000], [0,1500] y [0,750]), las representaciones obtenidas mantienen el mismo aspecto en un sentido estadístico, ya que el proceso básicamente es el mismo y sólo difiere del original en la escala vertical. Otra característica del movimiento browniano es que los incrementos del proceso son estacionarios, ya que, como los incrementos del proceso, B(t+h)-B(t), están idénticamente distribuidos según una normal con media cero y varianza proporcional al incremento temporal, estos incrementos no dependen de t y sólo dependen del incremento temporal h. 3.3 Procesos autoafines con incrementos estacionarios: Cuando consideramos procesos con incrementos estacionarios en los que la distribución de cada incremento sólo depende de la longitud del intervalo de tiempo considerado y no de su posición, hipótesis que mantendremos de aquí en adelante, el exponente de autoafinidad del proceso permite relacionar la distribución del proceso en un instante cualquiera, t∈T, con la distribución del proceso en un instante concreto, que tomaremos siempre como el instante t = 1. Proposición 3.5: Sea {X(t): t∈T} un proceso estocástico H-autoafín, H>0, cuyos incrementos son estacionarios. • X(t) ≅ tH X(1) ∀t∈T. • X(t)-X(0) ≅ tH (X(1)-X(0)) ∀t∈T. Demostración: La primera parte se obtiene al sustituir a por t y t por 1 en la definición de proceso autoafín y la segunda al incluir el origen del proceso. ♣ La primera parte pone de manifiesto una nueva consecuencia de la autoafinidad de un proceso con incrementos estacionarios: salvo por escala, la distribución de un proceso autoafín tiene que ser la misma en todos los instantes del proceso. Por ejemplo, el movimiento browniano tiene incrementos estacionarios (están idénticamente distribuidos según una normal con media cero y varianza proporcional al incremento temporal) y verifica: B(t) ∼ N(0,σ2 t), ∀t ≥0. La segunda parte de la proposición hace que en un proceso autoafín con incrementos estacionarios, salvo por escala, los incrementos correspondientes a intervalos de distinta duración tengan la misma distribución (figura 6). Figura 6: Bajo la hipótesis de autoafinidad, las distribuciones que aproximen a las distribuciones empíricas de los incrementos (logarítmicos) correspondientes a los cierres diarios, semanales y mensuales de la serie Ibex35 serán del mismo tipo. Definición 3.11 Un proceso de Lévy es un proceso estocástico, {B(t): t ≥ 0}, estocásticamente continuo en t ∀ t∈T, que comienza en el origen casi seguro y tal que • el proceso tiene incrementos estacionarios e independientes ♣ Las distribuciones estables, que son una generalización de la normal, son las únicas posibles en los procesos de Lévy que presenta la característica fractal de autoafinidad estadística (Embrechts y Maejima 2000): Teorema 3.12 Sea {Xt, t∈T} un proceso de Lévy no trivial. {Xt} es H-autoafín si y sólo si {Xt} es estrictamente α-estable (α: 0<α≤2). En este caso, H= 1/α. ♣ Como el teorema 3.12 hace que las distribuciones estables sean las únicas posibles en los procesos autoafines con incrementos independientes, el movimiento L-estable o proceso estable de Pareto-Lévy es el único proceso con incrementos independientes y características autoafines que puede generalizar al movimiento browniano. 3.9 Movimiento L-estable El movimiento L-estable o proceso estable de Pareto-Lévy se obtiene al considerar que los incrementos del proceso siguen una distribución estable con exponente característico α, 0<α≤2, en lugar de una distribución normal, que es estable con α=2. Además, como se considera que no tiene tendencia, el parámetro de localización, µ, que en la distribución normal es la media, se toma como cero: Definición 3.15 Un movimiento L-estable o proceso estable de Pareto-Lévy es un proceso estocástico que comienza en el origen (casi seguro), {Lα,β(t): t≥ 0} verificando: • El proceso tiene incrementos independientes. • ∀t≥ 0, ∀h≥ 0: Lα,β(t+h)-Lα,β(t) ∼ Sα,β(0,γ h). ♣ El parámetro de escala de la distribución, γ, va a establecer la proporcionalidad de los incrementos del movimiento L-estable con el incremento temporal, análogamente al movimiento browniano clásico, único caso con varianza finita (α=2), donde con la sustitución γ=σ2/2, la distribución de los incrementos es normal con media cero y varianza σ2h. Como los incrementos del proceso están idénticamente distribuidos y sólo dependen del incremento temporal, los incrementos del proceso son estacionarios y, al comenzar en el origen, se tiene: Lα,β(t) ∼ Sα,β(0,γ t), ∀ t≥ 0. Como estamos dentro de los procesos de Lévy y en esta generalización del movimiento browniano clásico queremos que la característica fractal de autoafinidad estadística se mantenga, el teorema 3.12 nos obliga a que la distribución sea estrictamente estable. En este sentido, cuando el exponente característico de la distribución, α, es distinto de uno, la distribución siempre es estrictamente estable, ya que, el parámetro de localización, µ, es cero. Sin embargo, cuando α es igual a uno la distribución es estrictamente estable sólo si es simétrica y vamos a imponer que lo sea (este caso corresponde a la distribución de Cauchy). Proposición 3.16 Sean {Lα,β(t): t≥ 0} un movimiento L-estable con exponente característico α, simétrico para α=1, y a>0: Lα,β(t) ≅ a–1/ αLα,β(a t) Es decir, el proceso es autoafín con exponente de autoafinidad H=1/α. Demostración El teorema 3.11 nos garantiza que el proceso es autoafín con exponente de autoafinidad 1/α ♣ El exponente característico del proceso coincide con el exponente característico de la distribución, α y, por tanto, en un movimiento L-estable no browniano, α<2, la varianza será infinita. Además, como este exponente también determina el tamaño de las colas, las colas de un movimiento L-estable no browniano, α<2, serán mayores que en el movimiento browniano, α=2 (figura 9). Figura 9: Las distribuciones estables con esperanza finita están comprendidas entre la distribución normal (S2,0(0,1/2) = Normal[0,1]), que tiene esperanza y varianza finita, y la distribución de Cauchy (S1,0(0,1/2) = Cauchy[0,1/2]), cuya esperanza y varianza son infinitas. Por tanto, las colas de una distribución estable no normal con esperanza finita están comprendidas entre las colas de la distribución de Cauchy y las colas de la distribución normal. 4 Conclusiones Como en un proceso autoafín las covarianzas entre los distintos instantes del proceso sólo tienen sentido cuando la varianza es finita y éstas únicamente dependen del exponente de autoafinidad del proceso, con un movimiento browniano fraccionario persistente, en el cual la dependencia no llega a desaparecer, se podría modelizar mediante un proceso autoafín la dependencia observada en la serie Ibex35, figura 1. Sin embargo la distribución de sus incrementos es una normal, por lo que el movimiento browniano fraccionario podría combinarse con un movimiento L-estable con una distribución no normal con esperanza finita y varianza infinita; lo que explicaría las diferencias observadas entre la distribución empírica de los incrementos de la serie Ibex35 y la distribución correspondiente a una normal, figuras 2 y 8. Referencias 1. Bachelier,L. Theory of speculation. En The Random Character of Stock Market Prices. Risk Books, 2000 (editor P. Cootner). 2. Embrechts, P y Maejima, M. An introduction to the theory of self-similar stochastic processes. International Journal of Modern Physics B., 14(12- 13):1399--1420, 2000. 3. Falconer, K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 1990. 4. Lamperti, J. Semi-stable stochastic processes. Trans. of the American Math. Society, 104:62--78, 1962. 5. Mandelbrot, B. B. Fractals and Scaling in Finance. Springer-Verlag, 1997. 6. Mandelbrot, B.B. Gaussian Self-Affinity and Fractals. Springer-Verlag, 2001. 7. Muñoz San Miguel, J. La dimensión fractal en el mercado de capitales. Tesis doctoral. Dpto. Economía Aplicada I, Universidad de Sevilla, 2002. 8. Osborne, M. F. M.. Brownian motion in the stock market. Operations Research, 7:145--173, 1959. 9. Samuelson, P.A.. Rational theory of warrant pricing. Industrial Management Review, 6:13--31, 1965.