Funciones de Morse Excelentes en Pseudosuperficies trianguladas

FACULTAD DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE SEVILLA AUTOR: Álvaro Luque Amaro TUTORES: Dña. Desamparados Fernández Ternero D. José Antonio Vilches Alarcón CONVOCATORIA: 2ª Septiembre El alumno Álvaro Luque Amaro Los tutores Desamparados Fernández Ternero José Antonio Vilches Alarcón Dedicado a ti, pap´a ´ Indice general Introducci´on iii 1. Preliminares de Topolog´ıa 1 1.1. Homotop´ıa .................................... 1 1.2. Topolog´ıaSimplicial ............................... 2 1.3. Homolog´ıasimplicial............................... 7 1.4. Complejoscelulares................................ 10 2. Teor´ıa de Morse 15 2.1. Teor´ıa de Morse discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1. Generalidades............................... 15 2.1.2. Campos de vectores gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3. El complejo de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.4. Cancelaci´on de s´ımplices cr´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Funciones de Morse ´optimas y perfectas 23 3.1. Funciones de Morse F-perfectas......................... 23 3.2. Funciones de Morse ´ Optimas .......................... 28 3.3. Funciones de Morse Z-perfectas......................... 30 3.4. Resultados sobre pseudosuperficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4. Triangulaciones 38 4.1. Superficies..................................... 38 4.1.1. Esquemas de identificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.1.2. Triangulaci´on en esquemas de identificaci´on . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.3. Forma normal de los esquemas de identificaci´on . . . . . . . . . . . . 44 4.2. Pseudosuperficies................................. 45 5. Funciones de Morse excelentes 47 5.1. Homolog´ıa persistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2. Superficies orientables sin borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3. Superficies no orientables sin borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4. Superficiesconborde............................... 54 5.5. Pseudosuperficies................................. 55 5.5.1. Pseudosuperficies fuertes cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.5.2. Wedge por un ´unico punto singular de superficies . . . . . . . . . . . 60 i Resumen El objetivo principal de este trabajo es determinar cu´antas funciones de Morse discretas excelentes (inyectivas para los valores cr´ıticos) no homol´ogicamente equivalentes pueden ser definidas en una triangulaci´on fijada de una superficie o una pseudosuperficie compacta. Para ello, se desarrollar´a un tipo especial de triangulaciones de dichos espacios y se probar´a que el problema planteado es equivalente a contar el n´umero de un tipo especial de caminos reticulares que pueden construirse en Z2 +. Como consecuencia, dicho n´umero depende de los n´umeros de Betti y del total de s´ımplices cr´ıticos. Abstract The main goal of this work is to determine how many excellent non-homologocally equivalent discrete Morse functions can be defined either on a given triangulation of a compact surface or a pseudosurface. With this purpose, we introduce a special kind of triangulations of such spaces and we will prove that the considered problem can be reformulated in terms of counting the the number of a special kind of reticular paths in Z2 +. Finally, the studied number will be expressed in terms of the Betti numbers and the total number of critical simplices considered. Introducci´on La teor´ıa de Morse cl´asica o diferenciable, introducida por Marston Morse en 1934 [13], tiene como principal objetivo obtener v´ınculos entre la topolog´ıa de una variedad diferenciable y las propiedades de funciones definidas en dicha variedad. En este sentido, y de un modo m´as preciso, un resultado clave de la teor´ıa lo constituyen las desigualdades de Morse. ´ Estas establecen desigualdades e igualdades que relacionan las diferentes cantidades de puntos cr´ıticos de una funci´on de Morse con la homolog´ıa de la variedad considerada por medio de sus n´umeros de Betti. M´as aun, el teorema fundamental de esta teor´ıa afirma que si se conocen todos las cantidades de puntos cr´ıticos de una funci´on de Morse, entonces el tipo de homotop´ıa de la variedad sobre la que est´a definida queda determinado. M´as concretamente, dicha variedad es del mismo tipo de homotop´ıa que un complejo celular con exactamente tantas celulas de dimensi´on kcomo puntos cr´ıticos de ´ındice ktiene la funci´on de partida. La teor´ıa de Morse ha sido una herramienta clave en el desarrollo de la topolog´ıa de variedades (Bott, Smale, Thom) as´ı como de ´areas externas a la topolog´ıa como la F´ısica te´orica (Floer, Witten). A finales del siglo pasado, Robin Forman introdujo una versi´on combinatorial o discreta de la teor´ıa de Morse para objetos discretos (complejos simpliciales), la llamada teor´ıa de Morse discreta [7]. Hay que destacar que el enfoque de Forman no es una mera extensi´on a la categor´ıa poliedral de la teor´ıa cl´asica, sino que usando una noci´on esencialmente distinta de objeto cr´ıtico (s´ımplice cr´ıtico), logra obtener resultados an´alogos a los cl´asicos en cuanto a relaciones entre objetos cr´ıticos y topolog´ıa de la variedad. Este enfoque discreto cuenta con algunas ventajas fundamentales: por un lado, la naturaleza discreta de los objetos a tratar evita complejidades t´ecnicas que aparecen en el caso cl´asico. Adem´as, la teor´ıa discreta puede ser aplicada directamente sobre espacios m´as generales que triangulaciones de variedades. Finalmente, el car´acter combinatorio del enfoque de Forman resulta especialmente apropiado para ser tratado computacionalmente, lo que lo convierte en una herramienta con multitud de posibles aplicaciones, tanto pr´acticas, como te´oricas. En este sentido, la teor´ıa de Morse discreta se ha convertido en una de las herramientas m´as utilizadas en el contexto de la topolog´ıa computacional, con aplicaciones en el tratamiento digital de im´agenes, tomograf´ıa, geolog´ıa, eliminaci´on de ruido en big data, etc. Al igual que ocurre en el caso cl´asico, en la teor´ıa de Morse discreta juegan un papel destacado las funciones ´optimas, es decir, aquellas funciones de Morse discreta que minimizan el n´umero total de s´ımplices cr´ıticos. Ello se debe a que son las funciones m´as pr´oximas a la topolog´ıa del complejo sobre el que est´an definidas. Dentro de esta clase de funciones, resultan de especial inter´es aquellas en las que se alcanzan los valores m´ınimos de s´ımplices cr´ıticos fijados por las desigualdades de Morse (en t´erminos de los n´umeros de Betti del complejo considerado). R. Forman prob´o que, tras una serie de perturbaciones locales, es posible transformar toda funci´on de Morse discreta en una cuyos valores cr´ıticos (los correspondientes iii iv INTRODUCCI ´ ON a los s´ımplices cr´ıticos) sean todos diferentes, son las llamadas funciones de Morse excelentes. Fijado un complejo simplicial, un problema interesante consiste en determinar cu´antas funciones de Morse discretas excelentes es posible definir sobre ´el. Para ello, resulta natural considerar como equivalentes (homol´ogicamente equivalentes) aquellas funciones excelentes con el mismo n´umero de valores cr´ıticos verificando que sus correspondientes subcomplejos de nivel tienen los mismos n´umeros de Betti. En este contexto se han obtenido los n´umeros de funciones de Morse discretas excelentes no equivalentes en grafos [2], [4] y superficies compactas orientables [3] en t´erminos del n´umero de Catalan asociado al n´umero de s´ımplices cr´ıticos no esenciales. La idea clave para la prueba de dichos resultados consiste en relacionar la evoluci´on de los n´umeros de Betti de los subcomplejos de nivel de una funci´on de Morse discreta (las llamadas secuencias homol´ogicas del complejo) con cierto tipo de caminos reticulares en Z2 +. El objetivo principal de este trabajo consiste en extender este estudio al caso de 2- complejos m´as generales que las triangulaciones de superficies orientables compactas. Siendo m´as precisos, abordaremos el problema de la cardinalidad del conjunto de funciones de Morse discretas excelentes no homol´ogicamente equivalentes definidas en triangulaciones de superficies compactas (con y sin borde) y en pseudosuperficies. Para ello ser´a necesario establecer un modo sistem´atico de triangular tales espacios especialmente adaptado a nuestros prop´ositos, as´ı como hacer compatibles la teor´ıa de homolog´ıa persistente y la teor´ıa de Morse discreta. El contenido de esta memoria se estructura de la siguiente manera: el Cap´ıtulo 1 est´a dedicado a introducir las nociones y resultados de topolog´ıa algebraica que ser´an usados posteriormente, tales como las definiciones y propiedades fundamentales de homotop´ıa, complejo simplicial, homolog´ıa simplicial y complejo celular. El segundo cap´ıtulo contiene una introducci´on a la teor´ıa de Morse, tanto en su vertiente cl´asica como en su versi´on discreta. Se dedicar´a especial atenci´on a laa noci´on de campo gradiente, las desigualdades de Morse, el teorema fundamental de la teor´ıa de Morse, el complejo de Morse y la cancelaci´on de s´ımplices cr´ıticos. Los conceptos y resultados referentes a funciones de Morse discretas ´optimas y perfectas ser´an tratados en el tercer cap´ıtulo. El cap´ıtulo 4 se centrar´a en desarrollar un tipo especial de triangulaciones especialmente adecuado al tipo de complejos en los que vamos a trabajar: forma normal de esquemas de identificaci´on para triangular superficies y pseudosuperficies. Finalmente, el cap´ıtulo 5 aborda el problema fundamental de esta memoria: el c´alculo de los cardinales de los conjuntos de funciones de Morse discretas excelentes en superficies y pseudosuperficies compactas. Cap´ıtulo 1 Preliminares de Topolog´ıa 1.1. Homotop´ıa Definici´on 1.1.1. Dos aplicaciones continuas f, g :X→Yse dicen homot´opicas si existe una aplicaci´on continua H:X×[0,1] →Y tal que H(x, 0) = f(x) y H(x, 1) = g(x), para todo x∈X. La aplicaci´on Hse llama homotop´ıa entre fyg, y la relaci´on de ser homot´opicas se denotar´a por f≃g. Una homotop´ıa se dice constante sobre un conjunto A⊆Xsi H(x, t) = f(x) para todo t. Nota 1.1.2.La relaci´on de homotop´ıa es de equivalencia. En efecto, la propiedad reflexiva se deduce de la homotop´ıa constante H(x, t) = f(x) para todo t∈[0,1]. Sea H:X×I→Yuna homotop´ıa entre fyg; entonces la aplicaci´on H:X×I→Y definida por H(t) = H(x, 1−t) es una homotop´ıa entre gyf. Esto prueba la propiedad sim´etrica. Finalmente, para demostrar la propiedad transitiva, dadas las homotop´ıas G:X×I→ Yentre fyf0yH:X×I→Yentre f0yf00. Entonces, la yuxtaposici´on de homotop´ıas F:X×I−→ Ydefinida por: F(x, t) = G(x, 2t) si t∈[0,1 2], H(x, 2t−1) si t∈[1 2,1]. es una homotop´ıa entre fyf00. Definici´on 1.1.3. Una aplicaci´on continua f:X−→ Yse dice que es una equivalencia de homotop´ıa (o que XeYson homot´opicamente equivalentes) si existe g:Y−→ X continua tal que f◦g≃idYyg◦f≃idX. Un espacio Xse dice que es contr´actil si es homot´opicamente equivalente a un espacio formado por un punto. Es inmediato que esta condici´on es equivalente a afirmar que la identidad idXes homot´opica a una aplicaci´on constante c:X→X. Definici´on 1.1.4. Un subespacio A⊆Xde un espacio Xse dice un retracto de Xsi existe una aplicaci´on continua r:X→A(llamada retracci´on) tal que r(a) = apara todo a∈A. Esto es, si i:A→Xes la inclusi´on, r◦ies la identidad de A. Se dice que Aes un retracto de deformaci´on de Xsi adem´as la composici´on i◦res homot´opica a la identidad de X. Si YXdenota el conjunto de las aplicaciones continuas de Xen Y, toda homotop´ıa h:X×I→Yinduce una aplicaci´on bh:I→YXdefinida por bh(t)(x) = h(x, t). De esta manera si se dota a YXde una topolog´ıa apropiada para que la aplicaci´on bhsea continua se podr´a identificar homotop´ıas entre fygcon caminos en YXentre fyg. 1 2CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES DE TOPOLOG´ IA Ello se consigue con la llamada topolog´ıa compacto-abierto que es la topolog´ıa generada por todas las intersecciones finitas de la forma ∩n i=1hKi, Uiisiendo, para cada i,KiyUi conjuntos compactos y abiertos de XeY, respectivamente, y hK, Ui={f∈YX;f(K)⊆ U}. Para la topolog´ıa compacto-abierto se tiene el siguiente resultado, conocido como ley exponencial; (ver [15]; Teorema 46.11). Recordemos que un espacio Xse dice localmente compacto si para todo punto x∈Xy para todo entorno Nde xexiste un entorno m´as peque˜no de x,N0⊆N, que es compacto. El teorema dado en [15] exige la propiedad de Hausdorff, pero esta no es necesaria como veremos a continuaci´on. Teorema 1.1.5. Sean YyZespacios topol´ogicos cualesquiera y sea Xlocalmente compacto (no necesariamente de Hausdorff). Entonces si YXest´a dotado de la topolog´ıa compacto-abierto, la continuidad de h:X×Z→Yes equivalente a la continuidad de la aplicaci´on bh:Z→YX. Es decir, que la aplicaci´on h→bhinduce una biyecci´on YX×Z∼ =(YX)Z. Demostraci´on. Supongamos que hes continua. Entonces, para todo z∈Z,bh(z) : X→Y es continua por ser la composici´on h◦jzdonde jz:X→X×Zes la inclusi´on jz(x) = (x, z). M´as a´un, la aplicaci´on bhes continua pues dados K⊆Xcompacto y U⊆Yabierto y z∈bh−1(hK, Ui) se sigue que bh(z)(K) = h(K× {z})⊆U; es decir K× {z} ⊆ h−1(U). Por la continuidad de h,h−1(U) es abierto y por la definici´on de la topolog´ıa producto para todo x∈Kexisten abiertos Wx⊆Xy Ωx⊆Ztales que (x, z)∈Wx×Ωx⊆h−1(U). Como K⊆ ∪x∈KWxyKes compacto, existen x1, . . . , xm∈Ktales que K⊆ ∪m i=1Wxi. Sean W=∪m i=1Wxiy Ω = ∩m i=1Ωxi. Entonces Wy Ω son abiertos y K× {z} ⊆ W×Ω⊆ h−1(U). As´ı pues z∈Ω⊆bh−1(hK, Ui), lo que prueba que zes un punto interior y as´ı bh−1(hK, Ui) es abierto. Ahora a partir de la definici´on de la topolog´ıa compacto-abierto se concluye que bhes continua. Rec´ıprocamente, si bhes continua, sea Uabierto de Yy (x, z)∈h−1(U). Escribimos g=bh(z) : X→Y. Por hip´otesis, ges continua as´ı que g−1(U) es abierto de Xque contiene ax. Ahora usamos la compacidad local de Xpara encontrar un entorno compacto de x, Kx⊆g−1(U), esto es, bh(z) = g∈ hKx, Ui. M´as a´un, de ser bhcontinua tenemos que V=bh−1(hKx, Ui) es abierto con z∈V. Entonces (int Kx)×Ves un abierto conteniendo a (x, z) y tal que h((int Kx)×V)⊆U, esto prueba que (x, z) es un punto interior de h−1(U) y por tanto que h−1(U) es abierto. Hemos probado que hes continua. Como consecuencia inmediata del teorema anterior, si tomamos Z= [0,1], el intervalo unidad eucl´ıdeo, se tiene la siguiente identificaci´on de las homotop´ıas como caminos entre aplicaciones. Corolario 1.1.6. Sea Xun espacio localmente compacto. Entonces para todo espacio Y, dos aplicaciones continuas f, g :X→Yson homot´opicas si y s´olo si est´an conectadas por un camino en YXcon la topolog´ıa compacto-abierto. 1.2. Topolog´ıa Simplicial Los complejos simpliciales son el prototipo de objetos geom´etricos dotados de una estructura combinatoria al estar construidos a partir de puntos, segmentos, tri´angulos, tetraedros, etc., que son pegados por sus caras. El estudio topol´ogico de los complejos simpliciales forma una especialidad de la Topolog´ıa conocida como Topolog´ıa Simplicial o Poliedral. En esta secci´on recordaremos las definiciones b´asicas de esta disciplina. Para los detalles se pueden consultar los manuales [14] ´o [18]. Recordemos que una colecci´on de puntos {a0, . . . , an} ⊆ Rmse dice af´ınmente independiente si los vectores {a1−a0, . . . , an−a0}son linealmente independientes. El n-s´ımplice 1.2. TOPOLOG´ IA SIMPLICIAL 3 generado por {a0, . . . , an}es el conjunto convexo, σn={x∈Rm;x= n X i=0 λiaicon n X i=0 λi= 1 y λi≥0}1. As´ı, como se puede apreciar en la Figura 1.1 un 0-s´ımplice es un punto, un 1-s´ımplice es un segmento, un 2-s´ımplice es un tri´angulo y un 3-s´ımplice es un tetraedro. Figura 1.1. Si ei= (0,..., i ∧ 1,0, . . .) es la base can´onica de Rn+1, se llama n-s´ımplice can´onico ∆n al que tiene por v´ertices ei(1 ≤i≤n+ 1). Los coeficientes λison llamados coordenadas baric´entricas. El punto de σcon todas sus coordenadas iguales a 1 n+1 se llama el baricentro de σy se denota b(σ). El interior (af´ın) de σes el conjunto ◦ σ={x∈σ;λi>0}. Los puntos ai(0 ≤i≤n) se llaman v´ertices de σy se escribir´a σ= (a0, a1, . . . , an) para representar de manera expl´ıcita el s´ımplice en funci´on de sus v´ertices. Nota 1.2.1. 1. Dos n-s´ımplices σ= (a0, . . . , an) y τ= (b0, . . . , bn) son af´ınmente isomorfos; esto es, existe f:σn→τnbiyectiva, con f(Σn i=0λiai)=Σn i=0λibi. 2. Un n-s´ımplice σ= (a0, . . . , an)⊆Rmse considera topologizado por la topolog´ıa relativa de Rm. Obs´ervese que ´esta coincide con la topolog´ıa intr´ınseca de σdefinida por la distancia d(Σn i=0λiai,Σn i=0µiai) = pΣn i=0(λi−µi)2. 3. Si σ⊆Rmes un n-s´ımplice, su interior af´ın no coincide con su interior topol´ogico si n6=m, pues este ´ultimo es vac´ıo. Sean σyτdos s´ımplices en Rm. Se dice que τes cara de σ, y lo denotaremos por τ≤σ, si los v´ertices de τson v´ertices de σ. Si τ6=σyτ≤σdiremos que τes una cara propia de σy escribiremos entonces τ < σ. Si τ≤σ, se dir´a que ◦ τes una cara abierta de σ. La uni´on de caras propias de un n-s´ımplice σ= (a0, . . . , an) se llama borde de σ, y lo denotaremos por • σ. N´otese que • σ={x∈σ;x=Pn i=0 λiaital que λj= 0 para alg´un j} y por tanto ◦ σ=σ−• σ. Se tienen las dos propiedades siguientes: a) Todo s´ımplice es uni´on disjunta de sus caras abiertas. b) Dos caras de un mismo s´ımplice o son disjuntas o intersectan en una cara com´un a ambas. Definici´on 1.2.2. Llamamos complejo simplicial a una colecci´on K(no necesariamente finita) de s´ımplices en alg´un espacio eucl´ıdeo Rnverificando: 1El super´ındice ndenota la dimensi´on del s´ımplice. Puede ser indicado o no, dependiendo de la situaci´on. Tambi´en se usa a lo largo de este texto para otras estructuras. 10 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES DE TOPOLOG´ IA Para calcular H1(K, F) se necesitan saber tanto Ker ∂0como Im ∂1. Dado que ∂0≡ 0, entonces se tiene que Ker ∂0=C0(K, F) = F5. Sab´ıamos, tambi´en que por el apartado anterior, dim(Im ∂1) = 3, por lo que Im ∂1=F3. As´ı se consigue, H0(K, F) = Ker ∂0 Im ∂1 =C0(K, F) Im ∂1 ≃F5 F3≃F2. A modo de resumen, se llega a, Hn(K, F) =      F2si n= 0, Fsi n= 1, 0 en otro caso. Los n´umeros de Betti asociados a este complejo son, bp(K, F) =      2 si p= 0, 1 si p= 1, 0 en otro caso. Y su caracter´ıstica de Euler-Poincar´e es χ(K, F)=2−1 = 1. 1.4. Complejos celulares Denotemos por Bda la bola cerrada de radio unidad en un espacio eucl´ıdeo d-dimensional Ed. Es decir, Bd={x∈Ed:|x| ≤ 1}. La frontera de Bdes la esfera unidad (d−1)- dimensional S(d−1) ={x∈Ed:|x|= 1}. Definici´on 1.4.1. Una d-c´elula es un espacio topol´ogico que es homeomorfo a Bd. Si σ es una d-c´elula, entonces se puede denotar por ˙σal subconjunto de σcorrespondiente a S(d−1) ⊂Bd, bajo homeomorfismo entre Bdyσ. Generalmente, diremos que una c´elula es un espacio topol´ogico que es una d-c´elula para alg´un d. La operaci´on b´asica en los complejos celulares (o CW-complejos) es la de pegar una c´elula. Definici´on 1.4.2. Sea Xun espacio topol´ogico, σuna d-c´elula y f: ˙σ→Xuna aplicaci´on continua. La expresi´on X∪fσdenota la uni´on disjunta de Xyσ, haciendo cociente por la relaci´on de equivalencia en la que cada punto s∈˙σest´a identificado con f(s)∈X. Decimos que la operaci´on X∪fσes el resultado de pegar la c´elula σaX. A la aplicaci´on fse le llama pegamiento. Hay que tener bien en cuenta que todos los puntos de ˙σest´an pegados a X. Supongamos que Xes una circunferencia, a la que le queremos pegar una 1-c´elula σ. La Figura 1.6(a) muestra una manera de hacer esto de una manera correcta. En cambio, la Figura 1.6(b) no muestra un pegamiento como el que se ha definido anteriormente, ya que un punto de ˙σno est´a pegado a X. 1.4. COMPLEJOS CELULARES 11 (a) (b) Figura 1.6. Definici´on 1.4.3. Se dice que un espacio topol´ogico Xes un CW-complejo finito si existe una sucesi´on finita encajada de subespacios ∅ ⊂ X0⊂X1⊂ · · · ⊂ Xn=X(1.2) tal que para todo i= 0,1, . . . , n,Xies el resultado de pegar una c´elula a Xi−1. Notemos que esta definici´on requiere que X0sea una 0-c´elula. Si Xes un CW- complejo, decimos que 1.2 es una CW-descomposici´on de X. Supongamos que en la CW- descomposici´on 1.2, de las n+ 1 c´elulas que son pegadas, exactamente cdson d-c´elulas. Entonces se dice que el CW-complejo Xtiene una CW-descomposici´on consistente en cd d-c´elulas, para cada d. Cabe decir que un d-s´ımplice es una d-c´elula, y que un complejo simplicial finito es un CW-complejo cuyas c´elulas son los s´ımplices con los que est´a compuesto. (a) (b) (c) (d) Figura 1.7. Como se muestra en la Figura 1.7, se puede obtener una CW-descomposici´on del toro consistente en una 0-c´elula (Figura 1.9(a)), dos 1-c´elulas (a˜nadidas en las Figuras 1.7(b) y 1.7(c)) y una 2-c´elula (a˜nadida en la Figura 1.7(d)). Cabe destacar que cualquier triangulaci´on del toro consta de al menos 7 v´ertices, 21 aristas y 14 tri´angulos. Por tanto, mediante el uso de CW-complejos, se simplifica el n´umero de elementos que hay que a˜nadir para construir una misma estructura geom´etrica. El siguiente resultado establece que el tipo de homotop´ıa de X∪fσdepende ´unicamente del tipo de homotop´ıa de Xy de la clase de homotop´ıa de f. Teorema 1.4.4. Sea h:X→X0una equivalencia de homotop´ıa, σuna c´elula, y f1: ˙σ→X,f2: ˙σ→X0dos aplicaciones continuas. Si h◦f1es homot´opica a f2, entonces X∪f1σyX0∪f2σson homot´opicamente equivalentes. 12 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES DE TOPOLOG´ IA Como consecuencia, se tiene el siguiente resultado en el caso de que h:X→Xsea la aplicaci´on identidad. Corolario 1.4.5. Sea Xun espacio topol´ogico, σuna c´elula, y f1, f2: ˙σ→Xdos aplicaciones continuas. Si f1yf2son homot´opicas, entonces X∪f1σyX∪f2σson homot´opicamente equivalentes. Por tanto, el tipo de homotop´ıa de un CW-complejo est´a determinado por las clases de homotop´ıa de los pegamientos. Ejemplo 1.4.6. Supongamos que Xes un espacio topol´ogico que tiene como CW-descomposici´on exactamente una 0-c´elula y una n-c´elula. Entonces Xpodemos expresar ´esta mediante la sucesi´on ∅ ⊂ X0⊂X1=X. El espacio X0ha de ser la 0-c´elula, y X=X1es el resultado de pegar la d-c´elula a X0. Como X0es un ´unico punto, el ´unico pegamiento es la aplicaci´on constante. Por tanto, X se construye tomando una d-bola cerrada, e identificando todos los puntos de su frontera. Se puede ver que este proceso da como resultado una d-esfera. Figura 1.8. Ejemplo 1.4.7. Supongamos que Xes un espacio topol´ogico que tiene como CW- descom- posici´on ex´actamente una 0-c´elula y n d-c´elulas. Entonces, Xsigue una CW-descomposici´on como la descrita en la sucesi´on 1.2, de manera que X0es la 0-c´elula, y para todo i= 1,2, . . . , n el espacio Xies el resultado de pegar una d-c´elula a Xi−1. Teniendo en cuenta el Ejemplo 1.4.6, se sabe que X1es una d-esfera. El espacio X2se construye pegando una d-c´elula a X1. El pegamiento es una aplicaci´on continua de una (d−1)-esfera en X1. Toda aplicaci´on de la (d−1)-esfera en X1es homot´opica a una aplicaci´on constante, ya que, πd−1(X1)∼ =πd−1(Sd)∼ =0. Como el pegamiento debe ser homot´opico a una aplicaci´on constante, el Corolario 1.4.5 implica que X2se puede ver como la uni´on disjunta de dos d-esferas, cociente por un punto en cada una de ellas, que son identificados. A este tipo de uni´on se le denomina wedge (en este caso, de dos d-esferas), y es denotado por Sd∧Sd. (a) (b) (c) (d) Figura 1.9. En la Figura 1.9 se muestran X0(Figura 1.9(a)), X1(Figura 1.9(b)) y X2, donde d= 2. Las Figuras 1.9(c) y 1.9(d) muestran X2de dos formas distintas, aunque equivalentes, siendo la segunda de ellas un wedge de dos 2-esferas. Para construir X3, pegando una d-c´elula a X2, la informaci´on necesaria que se debe tener en cuenta es la aplicaci´on que va desde Sd−1aX2. El tipo de homotop´ıa del espacio resultante est´a determinado por la clase de homotop´ıa de esta aplicaci´on, que es 1.4. COMPLEJOS CELULARES 13 homot´opica a una aplicaci´on constante, ya que πd−1(X2)∼ =πd−1(Sd∧Sd)∼ =0. Como X2es homot´opicamente equivalente al wedge de dos d-esferas, y el pegamiento es homot´opico a una aplicaci´on constante, se deduce, utilizando el Teorema 1.4.4 que X3es homot´opicamente equivalente al espacio wedge de tres d-esferas. La Figura 1.10 muestra dos formas distintas, aunque equivalentes tambi´en, de representar el wedge de 3 2-esferas. En la Figura 1.10(a) est´an unidas, formando una cadena, mientras que en la Figura 1.10(b) est´an todas unidas a trav´es de un punto com´un. (a) (b) Figura 1.10. Continuando de esta manera, se puede ver que Xdebe ser homot´opicamente equivalente al wedge de n d-esferas. Ejemplo 1.4.8. Supongamos que Xes un CW-complejo que tiene exactamente una CW- descomposici´on consistente en una 0-c´elula, una 1-c´elula y una 2-c´elula. Consideremos el siguiente esquema de CW-descomposici´on de X, ∅ ⊂ X0⊂X1⊂X2=X. Sabemos que X0es la 0-c´elula. Supongamos que X1es el resultado de pegar la 1-c´elula en X0. Entonces, X1debe ser una circunferencia, y X2aparece pegando la 2-c´elula a X1. La aplicaci´on de pegamiento relaciona la frontera de la 2-c´elula, es decir, una circunferencia, con X1, que tambi´en lo es. Homot´opicamente, esta aplicaci´on est´a determinada por el n´umero de vueltas que se recorren a lo largo de la circunferencia que se identifica, que puede ser un n´umero entero no negativo. Si el n´umero de vueltas es 0, entonces podemos suponer que el pegamiento es una aplicaci´on constante, lo que nos lleva a decir que X es homot´opicamente equivalente a S1∧S2(X∼S1∧S2). Si el n´umero de vueltas es 1, entonces podemos asumir que el pegamiento es un homeomorfismo, en cuyo caso Xser´ıa un disco de dimensi´on 2. Si el n´umero de vueltas es 2, habr´ıa que ver que Xes el plano proyectivo P2. Es decir, cada n´umero de vueltas da un espacio distinto X. Estos espacios pueden distinguirse por su homolog´ıa. Generalizando este hecho, y usando que πi(Sd) = 0 para i < d, se llega al siguiente resultado. Teorema 1.4.9. Sea una CW-descomposici´on finita de un CW-complejo X, ∅ ⊂ X0⊂X2⊂ · · · ⊂ Xn=X. (1.3) Entonces, Xes homot´opicamente equivalente a una CW-descomposici´on finita con el mismo n´umero de c´elulas de cada dimensi´on que 1.3, y con las c´elulas pegadas de tal manera que sus dimensiones forman una sucesi´on no decreciente. Sea un CW-complejo con una CW-descomposici´on fijada. Supongamos que Xest´a construido con exactamente cdc´elulas de dimensi´on dpara cada d= 0,1, . . . , n =dim(X), y sea Cd(X, Z) el grupo libre abeliano generado por las d-c´elulas de X, dotadas de una orientaci´on. El siguiente resultado es uno de los fundamentales en la teor´ıa de CW-complejos. 14 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES DE TOPOLOG´ IA Teorema 1.4.10. Existen aplicaciones borde ∂d:Cd(X, Z)→Cd−1(X, Z) para cada d, tales que ∂d−1◦∂d= 0. El complejo diferencial, 0→Cn(X, Z)∂n −→ Cn−1(X, Z)∂n−1 −−−→ . . . ∂1 −→ C0(X, Z)→0 calcula la homolog´ıa de X. Es decir, si definimos, Hd(C, ∂) = Ker(∂d) Im(∂d+1), entonces, para cada d Hd(C, ∂)∼ =Hd(X, Z), donde Hd(X, Z) denota la homolog´ıa de X. Teniendo constancia de la aplicaci´on borde, podemos obtener m´as resultados. Por ejemplo, si elegimos un cuerpo de coeficientes F, podemos construir el complejo diferencial siguiente 0→Cn(X, F)∂n −→ Cn−1(X, F)∂n−1 −−−→ . . . ∂1 −→ C0(X, F)→0 que calcula H∗(X, F), donde ahora Cd(X, F)∼ =Fcd. Utilizando el ´algebra lineal, se pueden deducir las siguientes desigualdades. Teorema 1.4.11. Sea Xun CW-complejo con una CW-descomposici´on consistente en cpc´elulas de dimensi´on ppara cada p. Fijando un cuerpo de coeficientes F, se tienen las siguientes ecuaciones, (Desigualdades de Morse d´ebiles). Para cada p, cp≥bp. Sea χ(X) la caracter´ıstica de Euler de X, es decir, χ(X) = b0−b1+b2−. . . , se tiene tambi´en χ(X) = c0−c1+c2−. . . Teorema 1.4.12. [Desigualdades de Morse fuertes] En las mismas condiciones del Teorema 1.4.11, para cada p= 0,1, . . . se da, cp−cp−1+cp−2− · · · + (−1)pc0≥bp−bp−1+bp−2− · · · + (−1)pb0. Ejemplo 1.4.13. Consideremos el caso donde Xes un toro bidimensional. Por tanto, para cualquier cuerpo de coeficientes, se tiene b0= 1, b1= 2, b2= 1. Utilizando las desigualdades de Morse d´ebiles, se tiene que, para cualquier CW-descomposici´on, c0≥b0= 1, c1≥b1= 2, c2≥b2= 1. Cap´ıtulo 2 Teor´ıa de Morse 2.1. Teor´ıa de Morse discreta Todos los conceptos generales sobre teor´ıa de Morse discreta son ampliamente detallados en los art´ıculos [8] y [9] y la memoria [6]. 2.1.1. Generalidades Definici´on 2.1.1. Sea Kun complejo simplicial. Una funci´on f:K→Res una funci´on de Morse discreta1, si, para todo αps´ımplice de K, se cumplen las siguientes propiedades card{βp+1 > α :f(β)≤f(α)} ≤ 1,(2.1) card{γp−1< α :f(γ)≥f(α)} ≤ 1.(2.2) 1 5 3 24 0 (a) 0 2 4 15 3 (b) Figura 2.1. En la Figura 2.1 se representan dos funciones, fyg, sobre los s´ımplices del mismo complejo simplicial. La funci´on fen la Figura 2.1(a) no es una funci´on de Morse discreta, ya que f−1(0) no cumple la Propiedad 2.2, es decir, los dos s´ımplices de dimensi´on 0 que lo acotan tienen asociados valores mayores que ´el. Adem´as, el v´ertice f−1(5) no cumple la Propiedad 2.1, ya que los 1-s´ımplices que lo rodean tienen asociados valores menores (o iguales) a ´este. Sin embargo, la funci´on gen 2.1(b) s´ı cumple las propiedades de la Definici´on 2.1.1, por lo que s´ı es una funci´on de Morse discreta. Notemos que una funci´on de Morse discreta no es una funci´on continua en K. Es m´as bien una asignaci´on de un n´umero con cada s´ımplice, siguiendo una serie de normas. Una noci´on interesante en esta teor´ıa es la de s´ımplice cr´ıtico. 1De aqu´ı en adelante, a estas funciones tambi´en se les podr´a notar s´ımplemente como funciones de Morse ofunciones. Se trata de un abuso de notaci´on que nos podemos permitir, ya que no se estudiar´an funciones de ninguna otra naturaleza. 15 16 CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA DE MORSE Definici´on 2.1.2. Un s´ımplice αpes cr´ıtico si 1. card{βp+1 > α :f(β)≤f(α)}= 0. 2. card{γp−1< α :f(γ)≥f(α)}= 0. A los valores que la funci´on toma sobre los s´ımplices cr´ıticos se denominan valores cr´ıticos. Es importante mencionar que cualquier s´ımplice no puede fallar en las dos condiciones de s´ımplice cr´ıtico. Lema 2.1.3. Si Kes un complejo simplicial con una funci´on de Morse f, entonces para todo s´ımplice αp, se tiene que cumplir al menos una de las siguientes condiciones. 1. card{βp+1 > α :f(β)≤f(α)}= 0. 2. card{γp−1< α :f(γ)≥f(α)}= 0. Pasamos a enunciar el teorema principal de la teor´ıa de Morse discreta. Teorema 2.1.4. Sea Kun complejo simplicial, con una funci´on de Morse discreta asociada a ´el. Entonces, Kes homot´opicamente equivalente a un CW-complejo con exactamente una c´elula de dimensi´on ppor cada s´ımplice cr´ıtico de dimensi´on p. En lugar de exponer la demostraci´on de este teorema, se dar´a una breve descripci´on de las ideas principales de esta. Una funci´on de Morse discreta permite describir un complejo simplicial finito en un n´umero finito de pasos. Para ello, bastar´ıa considerar el s´ımplice (o s´ımplices) cuyo valor asociado es m´ınimo, e ir incorporando sucesivamente a la descripci´on los s´ımplices cuyos valores son inmediatamente mayores. Teniendo esto en cuenta, podemos definir el siguiente concepto. Definici´on 2.1.5. Dado c∈R, se define el subcomplejo de nivel de K,K(c), como el subcomplejo consistente en todos los s´ımplices τcon f(τ)≤c, con todas sus caras, es decir, K(c) = ∪f(τ)≤c∪σ≤τσ. Lema 2.1.6. Si no existen s´ımplices cr´ıticos αcon f(α)∈(a, b], entonces K(b) es homot´opicamente equivalente a K(a). Lema 2.1.7. Si existe un ´unico s´ımplice cr´ıtico αcon f(α)∈(a, b], entonces existe una aplicaci´on F:Sd−1→K(a), donde des la dimensi´on de α, tal que K(b) es homot´opicamente equivalente a K(a)∪FBd. 0 (a) 0 2 1 (b) 0 2 4 1 3 (c) 0 2 4 15 3 (d) Figura 2.2. 2.1. TEOR´ IA DE MORSE DISCRETA 17 En la Figura 2.2 se pueden apreciar los distintos complejos de nivel que aparecen en la construcci´on del complejo simplicial, cuya funci´on de Morse asociada est´a descrita en la Figura 2.1(b). Se puede ver que los complejos en las Figuras 2.2(a), 2.2(b) y 2.2(c) son homot´opicamente equivalentes (colapsan a un v´ertice), ya que no se ha a˜nadido ning´un s´ımplice cr´ıtico. Sin embargo, el complejo de la Figura 2.2(d) tiene un tipo de homotop´ıa distinto, al a˜nadir el s´ımplice cr´ıtico g−1(5). Hay que mencionar que se pueden definir funciones de Morse discretas sobre cualquier complejo simplicial. Por ejemplo, se puede hacer la asignaci´on f(α) = dim(α) para cada s´ımplice α. En este caso, todos los s´ımplices ser´ıan cr´ıticos. Este ejemplo no ser´ıa interesante si posteriormente se desea aplicar el Teorema 2.1.4, ya que el CW-complejo resultante ser´ıa exactamente el propio complejo simplicial. Los casos m´as interesantes, en este caso, son aquellos en los que el n´umero de s´ımplices cr´ıticos es el menor posible. Sea Kun complejo simplicial con una funci´on de Morse discreta definida sobre ´el. Sea mpel n´umero de s´ımplices cr´ıticos de dimensi´on p. Sea Fcualquier cuerpo, y bp= dim(Hp(K, F)) el p-´esimo n´umero de Betti con respecto a F. Utilizando los Teoremas 2.1.4, 1.4.11, 1.4.12, y la invariancia homot´opica de la homolog´ıa, se tienen las siguientes desigualdades. Teorema 2.1.8. (Desigualdades de Morse d´ebiles) 1. Para cada p= 0,1,2, . . . , n (siendo nla dimensi´on de un complejo simplicial K), se tiene: mp≥bp.(2.3) 2. m0−m1+m2− · · · + (−1)nmn=b0−b1+b2− · · · + (−1)nbn(= χ(K)). Teorema 2.1.9 (Desigualdad de Morse fuerte).Para cada p= 0,1,2, . . . , n, n + 1, mp−mp−1+· · · + (−1)pm0≥bp−bp−1+· · · + (−1)pb0. 2.1.2. Campos de vectores gradiente En ocasiones, el hecho de trabajar con las propias funciones de Morse sobre complejos simpliciales puede ser una tarea un tanto tediosa. ¿C´omo podemos simplificar esto, de manera que se cumplan los axiomas de las funciones de Morse discretas? Se puede utilizar su campo de vectores gradiente. 0 2 4 15 3 Figura 2.3. Utilizando el ejemplo de la Figura 2.1(b), la funci´on de Morse que se expresa en la Figura 2.3 posee algunos s´ımplices que no son cr´ıticos, como puede ser, por ejemplo, la arista g−1(1), ya que el v´ertice g−1(2) adyacente a ´el tiene un valor mayor. Dicho de otra manera, el v´ertice g−1(2) no es cr´ıtico, ya que la arista g−1(1), adyacente a ´el tiene un valor menor. La relaci´on que poseen estos dos s´ımplices se indica mediante una flecha que 18 CAP´ ITULO 2. TEOR´ IA DE MORSE va desde g−1(2) hasta g−1(1). De manera an´aloga, tambi´en se traza una flecha desde el v´ertice g−1(4) hasta la arista g−1(3). El conjunto de todas estas flechas forma el campo de vectores gradientes sobre el complejo simplicial indicado. Este proceso se puede aplicar a cualquier complejo simplicial Kcon cualquier funci´on de Morse asociada f. Las flechas se van a˜nadiendo de la siguiente manera. Construcci´on 2.1.10. Supongamos que αpes un s´ımplice no cr´ıtico, con βp+1 > α tal que f(β)≤f(α). Entonces se traza una flecha que va desde αhacia β. En la Figura 2.4 se hace el c´alculo del campo de vectores gradiente (Figura 2.4(b)) sobre una funci´on de Morse h(Figura 2.4(a)) definida en un nuevo complejo simplicial. En este caso, el conjunto de s´ımplices cr´ıticos se reduce al v´ertice h−1(0) y a la arista f−1(11). 10 98 7 11 12 4 13 6 14 15 17 0 3 12 16 5 (a) (b) Figura 2.4. Utilizando el Teorema 2.1.4, este complejo simplicial es homot´opicamente equivalente a una circunferencia, es decir, a una 0-c´elula y a una 1-c´elula pegadas. A partir del Lema 2.1.3, se deduce que todo s´ımplice αsatisface exactamente uno de las siguientes afirmaciones: 1. αes el origen de exactamente una flecha. 2. αes el destino de exactamente una flecha. 3. αno es ni origen ni destino de ninguna flecha. Es f´acil ver que un s´ımplice es cr´ıtico si y s´olo si se cumple este ´ultimo resultado. Estas flechas se pueden ver como un campo de vectores discreto an´alogo a la funci´on de Morse. Trabajar con estas flechas es mucho m´as sencillo que con la funci´on de Morse discreta original. No obstante, como se ver´a m´as adelante, los valores asociados a los s´ımplices en las funciones de Morse excelentes son importantes, pues nos marcan los pasos en la construcci´on del complejo simplicial que se considere, mediante los subcomplejos de nivel. Sea Kun complejo simplicial, dotado de funci´on de Morse discreta f. Se puede ver el campo de vectores gradiente Vasociado a esta funci´on como una colecci´on de pares de s´ımplices de K,{αp< βp+1}p, donde el par {αp< βp+1}est´a en Vsi y s´olo si f(β)≤f(α), es decir, si hay una flecha que va de αaβ. Las propiedades de una funci´on de Morse determinan, por tanto, que cada s´ımplice debe estar a lo sumo en un par de V. Esto nos lleva a la siguiente definici´on. Definici´on 2.1.11. Un campo de vectores discreto Ven Kes una colecci´on de pares de s´ımplices de K,{αp< βp+1}p, tales que cada s´ımplice est´a en, como mucho, un par de V. 2.1. TEOR´ IA DE MORSE DISCRETA 19 Dado el campo de vectores discreto Ven K, un V-camino es una secuencia de s´ımplices αp 0, βp+1 0, αp 1, βp+1 1, αp 2, . . . , βp+1 r, αp r+1.(2.4) tal que para cada i= 0, . . . , r,{α < β} ∈ V, y βi> αi+1 6=αi. Se dice que el V-camino es cerrado no trivial si r≥0 y α0=αr+1. Si Ves el campo de vectores gradiente de una funci´on de Morse f, entonces se denotar´a tambi´en a un V-camino como un camino gradiente de f. Teorema 2.1.12. Supongamos que Ves el campo de vectores gradiente de una funci´on de Morse discreta f. Entonces, una secuencia de s´ımplices como en 2.4 es un V-camino si y s´olo si para cada i= 0,1, . . . , r se da αi< βi> αi+1, y f(α0)≥f(β0)> f(α1)≥f(β1)>· · · ≥ f(βr)> f(αr+1). Por tanto, los caminos gradientes de fson sucesiones de s´ımplices en los cuales f decrece. En particular, el Teorema 2.1.12 implica que si Ves el campo de vectores gradiente asociado a una funci´on f, entonces no hay V-caminos cerrados no triviales. El rec´ıproco es cierto. Teorema 2.1.13. Un campo de vectores discreto Ves el campo de vectores gradiente de una funci´on de Morse discreta si y s´olo si no hay V-caminos cerrados no triviales. Teorema 2.1.14. Sea Gun grafo dirigido. Entonces, existe una funci´on real que es estrictamente decreciente en cada camino dirigido si y s´olo si no hay ciclos dirigidos. El Teorema 2.1.13 es consecuencia del Teorema 2.1.14. Usaremos estos resultados para verificar que el campo de vectores discreto que se presenta a continuaci´on es, en realidad, el campo de vectores gradiente asociado a una funci´on. 3 2 1 3 2 1 e e t Figura 2.5. La Figura 2.5 muestra un campo de vectores discreto Vsobre una triangulaci´on del plano proyectivo P2, que es un complejo simplicial. Se puede ver que no existen V-caminos cerrados, ya que los V-caminos van todos hacia la “frontera” de la figura, y no hay V- caminos cerrados en la frontera. Por tanto, utilizando el Teorema 2.1.13, Ves el campo de vectores gradiente de una funci´on. Los ´unicos s´ımplices que no son ni comienzo ni final de alguna flecha son el v´ertice 1, la arista ey el tri´angulo t. Son los s´ımplices cr´ıticos. Utilizando el Teorema 2.1.4, se puede decir entonces que el plano proyectivo P2es homot´opicamente equivalente a un CW-complejo consistente en exactamente una 0-c´elula, una 1-c´elula y una 2-c´elula. 26 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE MORSE ´ OPTIMAS Y PERFECTAS Ejemplo 3.1.7. Si, por el contrario al Ejemplo 3.1.6, Kes la triangulaci´on de una superficie cerrada, como puede ser el toro (Figura 3.6), entonces co(K) = 1. El hecho de eliminar un 2-s´ımplice permite colapsarlo hasta convertirlo en un grafo. a d e a a a b c b c fg hi d e a b c d e Figura 3.6. Ejemplo 3.1.8. En el caso del sombrero bobo K, tambi´en se puede ver que co(K) = 1. La Figura 3.7 describe el colapso que se produce al eliminar un 2-s´ımplice. a a a b c d b c d bcd ab dc Figura 3.7. Teorema 3.1.9. Sea Kun 2-complejo simplicial conexo. Entonces, Kadmite una funci´on F-perfecta si y s´olo si co(K) = b2(K, F). Demostraci´on. Supongamos que Kadmite una funci´on de Morse, f,F-perfecta. Por tanto, mp(f) = bp(K, F), para p= 0,1,2. Eliminando los m2(f) s´ımplices cr´ıticos de K, se obtiene un subcomplejo K0con b2(K0,F) = 0. Obs´ervese que la restricci´on de fen Kes una funci´on de Morse F-perfecta. Por tanto, se tiene que K0tiene el mismo tipo de homotop´ıa que un grafo. Por tanto, K0colapsa a un grafo, y se tiene co(K)≤b2(K, F). Veamos que esta desigualdad es en realidad una igualdad. En el caso de quitar m<m2(f) 2-s´ımplices de K, el subcomplejo resultante K00 satisface b2(K00,F)≥1, y por tanto no colapsar´ıa a un grafo. Supongamos ahora que co(K) = b2(K, F), y sea Gel grafo resultante del colapso de K0. Tomando una funci´on F-perfecta gen G, esta se puede extender a una funci´on de Morse F-perfecta f0en K0. Finalmente, se extiende f0en K, asignando a cada 2-s´ımplice restante un valor mayor que el resto de valores que poseen sus 1-caras, con lo que se obtiene una funci´on de Morse F-perfecta. La Figura 3.8 ilustra el campo de vectores gradiente de una funci´on F-perfecta, definida 3.1. FUNCIONES DE MORSE F-PERFECTAS 27 sobre la triangulaci´on Kdel cilindro que se mostr´o en la Figura 3.5. En este caso, co(K) = b2(K, F) = 0. a b a b c d e f Figura 3.8. Algo similar ocurre en la triangulaci´on del toro K0(Figura 3.3), ya que co(K0) = b2(K0,F) = 1. Sin embargo, en el sombrero bobo K00 no se puede definir una funci´on F-perfecta, ya que co(K00)=16=0=b2(K00,F). La existencia de ejemplos de 2-complejos simpliciales en los que no es posible definir una funci´on de Morse F-perfecta plantea dos problemas. 1. Por una parte, est´a el problema de averiguar el m´ınimo n´umero de s´ımplices cr´ıticos que debe tener una funci´on de Morse sobre tales complejos. 2. Por otra parte, tambi´en existe el problema de establecer un m´etodo general para obtener funciones de Morse que alcancen ese n´umero. Este problema es computacionalmente complejo, por lo cual s´olo cabe esperar proporcionar algoritmos eficientes en ciertos tipos particulares de 2-complejos simpliciales, como las superficies o las pseudosuperficies, que ser´an estudiados a lo largo de este trabajo. A continuaci´on se presentan resultados sobre si admiten o no funciones perfectas ciertos tipos particulares de 2-complejos simpliciales. Definici´on 3.1.10. Sea Fun cuerpo, o Z. Un complejo simplicial Kde dimensi´on nes F-ac´ıclico si Hp(K, F) = 0, para todo 1 ≤p≤n. Teorema 3.1.11. Sea Kun 2-complejo simplicial F-ac´ıclico, no colapsable y conexo. Entonces, Kno admite una funci´on de Morse F-perfecta. Demostraci´on. Supongamos que existe una funci´on de Morse F-perfecta fdefinida en K. Como Kes F-ac´ıclico, se tiene que bp(K, F) = 0 para p= 1,2. Esto implica que fdebe satisfacer mp(f) = 0 para p= 1,2 y m0(f) = 1. Por tanto, utilizando el Teorema 2.1.18, se tiene que Kes colapsable, lo cual es una contradicci´on. Por el teorema de coeficientes universales (ver [14]), todo complejo simplicial Z-ac´ıclico es F-ac´ıclico para todo cuerpo F, y se obtiene el siguiente resultado. Corolario 3.1.12. Si Kes un 2-complejo simplicial Z-ac´ıclico, no colapsable y conexo, entonces no admite ninguna funci´on de Morse F-perfecta para cualquier cuerpo F. Teorema 3.1.13. Toda triangulaci´on de una superficie no orientable, compacta, conexa y sin borde admite una funci´on de Morse Z2-perfecta. Demostraci´on. El resultado se obtiene utilizando el Teorema 3.1.9, ya que todo 2-complejo simplicial, triangulaci´on de una superficie no orientable, compacta, conexa y sin borde satisface co(K) = 1. Adem´as, el segundo n´umero de Betti con coeficientes en Z2de cualquier superficie no orientable es 1. 28 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE MORSE ´ OPTIMAS Y PERFECTAS El siguiente resultado generaliza al anterior. Corolario 3.1.14. Toda triangulaci´on de una superficie compacta y conexa admite una funci´on Z2-perfecta. Consideremos ahora el espacio pseudoproyectivo de dimensi´on k Pk, que no es sino el espacio obtenido al identificar el borde de una 2-bola a una circunferencia S1mediante una aplicaci´on de grado k. En otras palabras, el borde de la 2-bola “da kvueltas sobre” S1. Se obtiene el siguiente resultado. Proposici´on 3.1.15. Toda triangulaci´on de un espacio pseudoproyectivo Pkadmite una funci´on de Morse Zk-perfecta, y no admite una funci´on de Morse Zk0-perfecta si kyk0son primos entre si. Demostraci´on. Se sabe que, Hp(Pk,Z) =      Z,si p= 0, Zk,si p= 1, 0,si p6= 0,1. Utilizando el teorema de coeficientes universales (ver [14], cap´ıtulo 7), se tiene que b2(Pk,Zk0) = 1 si y s´olo si k0=k. Como co(Pk) = 1, haciendo uso del Teorema 3.1.9 se puede concluir que Pkadmite funciones de Morse Zk0-perfectas si y s´olo si k0=k. 3.2. Funciones de Morse ´ Optimas Como se ha visto en la secci´on anterior, existen 2-complejos simpliciales sobre los que no es posible definir una funci´on perfecta, es decir, 2-complejos para los que no se pueden obtener funciones con n´umero de s´ımplices cr´ıticos de cada dimensi´on exactamente igual al n´umero de Betti correspondiente. En estos casos se buscan funciones ´optimas, para las que el n´umero de s´ımplices cr´ıticos est´e lo m´as cerca posible a la suma de los n´umeros de Betti. Definici´on 3.2.1. Una funci´on de Morse discreta fdefinida sobre un n-complejo simplicial Kse dice ´optima si tiene el menor n´umero de s´ımplices cr´ıticos posible, es decir, si se cumple mp(f)≤mp(g) para todo p= 0, . . . , n, y para toda funci´on gdefinida en K. Definici´on 3.2.2. Se define la caracter´ıstica de Morse-Smale del complejo simplicial K, γ(K), de la siguiente manera γ(K) = m´ın{µ(f) : f∈ F(K)} donde µ(f) = Pn p=0 mp(f), y F(K) denota las funciones de Morse discretas definidas sobre K. Tambi´en, se definen los valores γp(K) = m´ın{mp(f) : f∈ F(K)}. No es dif´ıcil comprobar que γ(K)≥Pn p=0 γi(K), y tambi´en γ(K)≥1. Proposici´on 3.2.3. Para toda funci´on de Morse discreta ´optima fdefinida sobre K, se da la igualdad γ(K) = µ(f). 3.2. FUNCIONES DE MORSE ´ OPTIMAS 29 Demostraci´on. Por una parte, por la Definici´on 3.2.2, es inmediato deducir la desigualdad γ(K)≤µ(f). Por otra parte, para probar la otra desigualdad, basta tener en cuenta la Definici´on 3.2.1, de la que se deduce que, al ser f´optima, entonces mp(f) = γp(K) = m´ın{mp(g) : g∈ F(K)}, p = 0, . . . , n. Por tanto, µ(f) = n X p=0 mp(f) = = n X p=0 (m´ın{mp(g) : g∈ F(K)})≤ ≤m´ın{ n X p=0 mp(g) : g∈ F(K)}= = m´ın{µ(g) : g∈F(K)}= =γ(K). Si, adem´as, Kcorresponde a una triangulaci´on de una superficie compacta, conexa, orientable y sin borde, entonces se pueden demostrar las siguientes afirmaciones. γ(K) es un n´umero par. Es bien sabido que este tipo de triangulaciones corresponde a superficies homeomorfas a la suma conexa de ntoros, para alg´un n≥0. Por tanto, si se elimina un 2-s´ımplice τde su triangulaci´on, entonces el complejo K−τcolapsa a un grafo G con 2nciclos (cada toro en la suma conexa aporta dos generadores). Por la Proposici´on 3.1.2, sabemos K−τadmite una funci´on de Morse F-perfecta consistente en 2n+ 1 s´ımplices cr´ıticos (un 0-s´ımplice cr´ıtico y 2n1-s´ımplices cr´ıticos). Asignando aτun valor mayor que sus caras en K, obtenemos un 2-s´ımplice cr´ıtico. Sumando, se obtienen 2(n+ 1) s´ımplices cr´ıticos, que es un n´umero par, y no puede haber un n´umero menor de s´ımplices cr´ıticos en Kya que la funci´on de Morse que se ha definido es F-perfecta. γ(K) = 2 si y s´olo si Kes triangulaci´on de S2. a a bc d b c d e fg h i Figura 3.9. 30 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE MORSE ´ OPTIMAS Y PERFECTAS El caso de S2(Figura 3.9) es particular, ya que al eliminar un 2-s´ımplice τde su triangulaci´on, el complejo K−τcolapsa a un punto. Es decir, Kadmite una funci´on de Morse fF-perfecta con en 2 s´ımplices cr´ıticos (un 0-s´ımplice y un 2-s´ımplice). En fse satisface m0(f) = b0(K) = 1, m1(f) = b1(K) = 0 y m2(f) = b2(K) = 1, luego este tipo de funci´on de Morse caracteriza a K. N´otese que las funciones de Morse perfectas son ´optimas, pero no ocurre este hecho de manera rec´ıproca. Obs´ervese tambi´en que sobre un complejo simplicial Kde dimensi´on nse puede definir m´as de una funci´on ´optima, incluso con el mismo n´umero de i-s´ımplices cr´ıticos, con 0≤i≤n. Ahora bien, el campo de vectores discreto inducido por todos ellos tiene el mismo n´umero de s´ımplices cr´ıticos. El siguiente resultado viene a indicar la relaci´on existente entre los conceptos de colapsabilidad y la caracter´ıstica de Morse-Smale. Lema 3.2.4. Sea Kun complejo simplicial. Entonces, Kes colapsable si y s´olo si γ(K) = 1, es decir, si admite una funci´on ´optima con un ´unico s´ımplice cr´ıtico. Demostraci´on. Supongamos que Kcolapsa a un v´ertice v. Entonces, aplicando el Lema 2.1.19, existe una funci´on de Morse en Ktal que ves el ´unico s´ımplice cr´ıtico. Rec´ıprocamente, dada una funci´on de Morse fen Kcon un s´olo s´ımplice cr´ıtico, aplicando las desigualdades de la Expresi´on 2.3, se tiene que m0(f) = 1. Si ves el ´unico v´ertice cr´ıtico de fen K, entonces a=f(v) denota al valor m´ınimo de fen K. Para un suficientemente peque˜no, se tiene que K(a+) = K(a). Sea bel m´aximo valor de f en K. Entonces, K(b) = K. Como el intervalo [a+, b] no contiene ning´un valor cr´ıtico, aplicando el Teorema 2.1.18 se tiene que K(b)&K(a), y por tanto, Kes colapsable. Este resultado permite comprobar que si Kes una triangulaci´on del sombrero bobo y fes una funci´on de Morse ´optima sobre K, entonces m0(f) = m1(f) = m2(f) = 1. En efecto, como m0(f) = 1 y Kes contr´actil, por las desigualdades de Morse (Teorema 2.1.8) se tiene que 1 −m1(f) + m2(f) = 1. Luego m1(f) = m2(f). Ahora bien, como Kno es colapsable, por el Lema 3.2.4 m1(f)≥1. Por tanto, γ(K)≥3. En la Figura 3.4 se indica el campo de vectores discreto de una funci´on de Morse sobre Kcon γ(K) = 3. 3.3. Funciones de Morse Z-perfectas En esta secci´on se har´a un estudio sobre la existencia de funciones de Morse perfectas en 2-complejos simpliciales, considerando en este caso el c´alculo de sus homolog´ıas sobre coeficientes enteros, Z. Empecemos enunciando algunos resultados tomados de la Secci´on 3.1, habi´endolos reformulado en el caso de Z. Estos resultados se pueden encontrar en [5]. Proposici´on 3.3.1. Todo grafo Kadmite al menos una funci´on Z-perfecta. Corolario 3.3.2. Si Kes un 2-complejo simplicial que colapsa a un grafo conexo, entonces Kadmite una funci´on Z-perfecta. A continuaci´on, se presentar´an algunos resultados acerca de la relaci´on que aparece entre la existencia de las funciones de Morse Z-perfectas sobre 2-complejos y algunos grupos de homolog´ıa y su tipo de homotop´ıa simple. Proposici´on 3.3.3. Sea Kun 2-complejo compacto y conexo, que admite una funci´on de Morse Z-perfecta. Son ciertos los siguientes resultados. 3.3. FUNCIONES DE MORSE Z-PERFECTAS 31 1. Si Kes Z-ac´ıclico, entonces es colapsable. 2. Si H1(K) = 0 y H2(K)6= 0 entonces Ktiene el mismo tipo de homotop´ıa que un wedge de copias de S2, tantas como el valor de b2(K, Z). 3. Si H1(K)6= 0 y H2(K) = 0, entonces Ktiene el mismo tipo de homotop´ıa que un wedge de copias de S1, tantas como el valor de b1(K, Z). Demostraci´on. 1. Como Kes Z-ac´ıclico, y considerando que admite una funci´on de Morse fZ-perfecta, se tiene que mp(f) = bp(K, Z) = 0 para p= 1,2 y m0(f) = b0(K, Z) = 1. Por tanto, utilizando el Teorema 2.1.18, se confirma que Kes colapsable. 2. Dado que H1(K) = 0, H2(K)6= 0, y teniendo en cuenta que Kadmite una funci´on de Morse fZ-perfecta, entonces mp(f) = 0 para p= 0,1 y m2(f) = b2(K, Z)≥1. Por tanto, utilizando el Lema 2.1.7, se concluye que Ktiene el mismo tipo de homotop´ıa que el wedge de m2(f) 2-esferas. 3. Dado que H1(K)6= 0, H2(K) = 0, y teniendo en cuenta que Kadmite una funci´on de Morse fZ-perfecta, entonces mp(f) = 0 para p= 0,2 y m2(f) = b1(K, Z)≥1. Por tanto, utilizando el Lema 2.1.7, se concluye que Ktiene el mismo tipo de homotop´ıa que el wedge de m1(f) 1-esferas. De este resultado se tiene que todo 2-complejo compacto y conexo que es ac´ıclico y no colapsable no admite una funci´on de Morse discreta Z-perfecta. En la Figura 3.10 se muestra un 2-complejo simplicial que no admite una funci´on Z-perfecta. ad de dea d e a d e a a c b a c b a eadea c b a d e ac b a d e a b c Figura 3.10. El siguiente resultado da una condici´on necesaria, que debe satisfacer cualquier 2- complejo simplicial, de manera que pueda admitir una funci´on de Morse Z-perfecta. Teorema 3.3.4. Sea Kun 2-complejo simplicial compacto y conexo. Si Kadmite una funci´on de Morse discreta Z-perfecta, entonces H1(K) no tiene parte de torsi´on. Demostraci´on. Si Kadmite una funci´on de Morse Z-perfecta f, entonces utilizando el Teorema 2.1.4, se tiene que Kes homot´opicamente equivalente a un CW-complejo Lcon mp(f) = bp(K, Z) c´elulas de dimensi´on p, para cada p= 0,1,2. Siendo m´as precisos, L tiene una ´unica 0-c´elula v0,b1(K, Z) 1-c´elulas e1, . . . , eb1yb2(K, Z) 2-c´elulas ˜e1,..., ˜eb2. Sean x1, . . . , xb2puntos del interior de las 2-c´elulas (uno por cada una de ellas), y sea Dk⊂˜ekun disco abierto centrado en xk, para k= 1, . . . , b2. Consideremos ahora 32 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE MORSE ´ OPTIMAS Y PERFECTAS V=L− {x1, . . . , xb2}yU=D1∪ · · · ∪ Db2. Notemos que Vtiene el mismo tipo de homotop´ıa que el 1-esqueleto de L, dicho de otra manera, el wedge ∨b1 i=1ei. Consideremos la sucesi´on de Mayer-Vietoris para los conjuntos L,UyV, · · · → H2(U)⊕H2(V)β2 −→ (H2(L)) ∆1 −−→ H1(U∩V)α1 −→ H1(U)⊕H1(V)β1 −→ β1 −→ H1(L)∆0 −−→ H0(U∩V)α0 −→ H0(U)⊕H0(V)β0 −→ H0(L) Notemos que H0(U) = Zb2,H1(U) = H2(U) = 0, H0(V) = Z,H1(V) = Zb1yH2(V) = 0. La aplicaci´on α0es inyectiva, y por tanto, ∆0es la aplicaci´on nula. Por otro lado, por la definici´on de ∆1, cada generador de H2(L) se env´ıa a un generador de H1(U∩V) = Zb2. Este hecho es rec´ıproco tambi´en. Por tanto, ∆1es un isomorfismo, y α1es la aplicaci´on nula. Se concluye, por tanto, que H1(L) es isomorfo a H1(V). El rec´ıproco del Teorema 3.3.4 no es es cierto en general. Consideremos el 2-complejo simplicial Kque se muestra en la Figura 3.11, a b c a d e a c b a e d a b c Figura 3.11. En este caso, se puede comprobar que H2(K) = 0 y que H1(K) = Z. Sin embargo, haciendo uso de la Proposici´on 3.3.3 (3), Kno admite funciones de Morse Z-perfectas ya que no tiene el mismo tipo de homotop´ıa simple que el wedge de copias de S1(Kno contiene 1-caras libres). El siguiente teorema muestra de qu´e manera est´a relacionado co(K) con la existencia de funciones Z-perfectas. Es consecuencia directa del Teorema 3.1.9. Teorema 3.3.5. Sea Kun 2-complejo simplicial compacto y conexo. Entonces Kadmite una funci´on de Morse discreta Z-perfecta si y s´olo si co(K) = b2(K, Z). Corolario 3.3.6. Si Kes la triangulaci´on de una superficie sin borde, entonces co(K)≥1. Haciendo uso del Teorema 3.3.5, y teniendo en cuenta que el segundo n´umero de Betti de cualquier superficie orientable es 1, se tiene el siguiente resultado. Proposici´on 3.3.7. Sea Kla triangulaci´on de una superficie conexa sin borde. Entonces Kadmite una funci´on de Morse discreta Z-perfecta si y s´olo si es orientable. Demostraci´on. Supongamos que Kes triangulaci´on de una superficie orientable. Entonces, utilizando la Proposici´on 3.1.4, Kadmite una funci´on Z-perfecta. Para probar el resultado rec´ıproco, supongamos que Kes la triangulaci´on de una superficie no orientable, por lo que b2(K, Z) = 0. Sin embargo, por el Corolario 3.3.6, co(K)≥1. Es decir, b2(K, Z)6=co(K), por lo que Kno admite ninguna funci´on Z- perfecta. 3.4. RESULTADOS SOBRE PSEUDOSUPERFICIES 33 3.4. Resultados sobre pseudosuperficies Se recuerda que una triangulaci´on de una superficie conexa y cerrada1es un 2-complejo simplicial Kfinito y conexo, en el que cada uno de los puntos de |K|tiene un entorno homeomorfo a un disco de dimensi´on 2. Definici´on 3.4.1. Una pseudosuperficie es un espacio topol´ogico 2-dimensional en el que todo punto tiene un entorno homeomorfo a un disco salvo un n´umero finito de puntos que se denominan puntos singulares. (a) (b) Figura 3.12. La Figura 3.14(a) representa al Toro bidimensional, que es una superficie. La Figura 3.14(b) es una pseudosuperficie con un punto singular, llamada toro estrangulado. Lema 3.4.2. Si Kes una triangulaci´on de una pseudosuperficie, entonces se tiene que cada 1-s´ımplice de Kes cara de exactamente dos 2-simplices. Como consecuencia del lema anterior, se tiene: Corolario 3.4.3. Si ves un punto singular, existe un entorno de ven |K|homeomorfo a un n´umero finito pde discos de dimensi´on 2, cuyos centros se identifican en el punto v, para un cierto p > 1, esto es; existe un entorno de vhomeomorfo al wedge por vde p discos de dimensi´on 2. Los resultados que se muestran a continuaci´on, para pseudosuperficies con uno o m´as puntos singulares, pueden consultarse en [12]. Centr´emonos, en primer lugar, en el estudio de una triangulaci´on Kde una pseudosuperficie con un punto singular v, que trataremos de clasificar seg´un su tipo de homolog´ıa. Observemos que, generalmente, el complejo simplicial K−{v}, borrado de ven K, no tiene porqu´e ser conexo. En la siguiente definici´on se detalla el proceso de descomposici´on de una triangulaci´on de una pseudosuperficie con un punto singular, en varias triangulaciones de superficies. Definici´on 3.4.4. Se denotan por ·Ki, con i= 1, . . . , n a cada una de las ncomponentes conexas de K− {v}, es decir; a las componentes conexas del complejo simplicial que obtenemos a partir de Kcon el borrado del v´ertice v. Por tanto, se puede ver Kcomo la siguiente uni´on: K= n G i=1 ·Kit◦ st(v).(3.1) 1De aqu´ı en adelante, todos los objetos geom´etricos que se traten ser´an conexos, compactos y cerrados. 34 CAP´ ITULO 3. FUNCIONES DE MORSE ´ OPTIMAS Y PERFECTAS Dado que cada disco de dimensi´on 2 en el entorno de vpertenece a una y s´olo una de las componentes conexas de K− {v}, se tiene que, p= n X i=1 pi, donde pies el orden en vde cada ·Ki, con i= 1, . . . , n. Esta serie de resultados nos dan pie a considerar el estudio de Ka trav´es de ·K1,...,·Kn. donde se tiene que cada ·Ki, con i= 1, . . . , n, resulta la triangulaci´on de una superficie con pibordes. Teorema 3.4.5. Toda triangulaci´on de una pseudosuperficie con un punto singular se puede descomponer en un n´umero finito nde triangulaciones de superficies con pibordes cada una, que se identifican con un wedge por vde pidiscos, de manera que el borde de cada disco se corresponde con un borde en la triangulaci´on de la superficie ·Ki, siendo i= 1, . . . , n. v (a) (b) v (c) Figura 3.13. La Figura 3.13 muestra la descomposici´on que se puede hacer de una pseudosuperficie con un punto singular, seg´un el Teorema 3.4.5. La Figura 3.13(c) es el wedge por vde 2 discos, cuyos bordes se identifican con los bordes de la Figura 3.13(b), para formar as´ı la pseudosuperficie con un punto singular, indicada en la Figura 3.13(a). Tambi´en se puede considerar otra descomposici´on de K, que es equivalente a la anterior. Teorema 3.4.6. Toda triangulaci´on de una pseudosuperficie con un punto singular es uni´on finita de triangulaciones de superficies, en la que varios 0-s´ımplices de ellas se identifican. Obs´ervese que en el resultado anterior podr´ıamos tener la situaci´on de una ´unica superficie en la se produjeran varias indentificaciones de 0-s´ımplices. Algunas propiedades interesantes que cumplen las triangulaciones de pseudosuperficies con un punto singular, son las siguientes. Teorema 3.4.7. Una condici´on necesaria para que dos triangulaciones de pseudosuperficies con un punto singular cada una, KyK∗, sean homeomorfas es, pi=pi∗, i = 1, . . . , n, i∗= 1, . . . , n∗.(3.2) Por tanto, han de darse tambi´en las igualdades n=n∗yp=p∗. Es importante darse cuenta de que la condici´on descrita en la Ecuaci´on 3.2 no es suficiente para que KyK∗sean homeomorfas, ya que las triangulaciones de las superficies con las que est´an construidas no tienen porqu´e ser homeomorfas. Sin embargo, si se tiene en cuenta la orientabilidad, se puede tener la siguiente caracterizaci´on: 3.4. RESULTADOS SOBRE PSEUDOSUPERFICIES 35 Teorema 3.4.8. Toda triangulaci´on de una pseudosuperficie con un punto singular es orientable si y s´olo si todas las triangulaciones de las superficies con las cuales est´a construida son orientables. Teorema 3.4.9. Se tienen, para todo cuerpo F6=Z2oF=Z, las siguientes relaciones entre los grupos de homolog´ıa de una triangulaci´on Kde un pseudosuperficie con un punto singular y los grupos de homolog´ıa de las superficies ·Ki, con i= 1, . . . , n, descritas en la Definici´on 3.4.4: H0(K, F) = F H1(K, F) = Ln i=1 H1(·Ki,F)LFp−no H2(K, F) = Fno donde noes el n´umero de superficies ·Kiorientables. Utilizando la notaci´on de los n´umeros de Betti, estas relaciones quedan de la siguiente manera, b0(K, F)=1 b1(K, F) = Pn i=1 b1(·Ki,F) + p−no b2(K, F) = no Los grupos de homolog´ıa Hk(·Ki,F) son los mismos que Hk(Ki,F) cuando k= 0,2, donde las Kison las triangulaciones de las superficies dadas por el Teorema 3.4.6. Obs´ervese que ·Kise puede obtener a partir de Ki“abriendo” piagujeros. En el caso de H1(·Ki,F) se tiene la siguiente relaci´on: H1(·Ki,F) = H1(Ki,F)⊕Fpi−i,(3.3) en n´umeros de Betti, b1(·Ki,F) = b1(Ki,F) + pi−i, donde i=1 si Kies orientable 0 si Kies no orientable Consideremos ahora una triangulaci´on Kde una pseusosuperficie con m´as de un punto singular. Sean v1, v2, . . . , vslos puntos singulares de Ky veamos que los resultados anteriores se pueden adaptar a esta nueva situaci´on. As´ı pues, el Corolario 3.4.3 es v´alido para cada vj, con j= 1, . . . , s, en el que el orden de cada vjes pj. Los Teoremas 3.4.5 y 3.4.6 tambi´en se pueden generalizar, siendo el primero de ellos enunciado de la siguiente manera: Teorema 3.4.10. Toda triangulaci´on Kde una pseudosuperficie con spuntos singulares se puede descomponer en un n´umero finito nde triangulaciones de superficies ·Ki, con pi bordes cada una, que se identifican con los wedges por vjde pj idiscos, de manera que el borde de cada disco se identifica con un borde en Ki, para todo i= 1, . . . , n y para todo j= 1, . . . , s. Es m´as, se cumplen las siguientes igualdades, pi= s X j=1 pj iypj= n X i=1 pj i, donde pjrepresenta el orden de vj,j= 1, . . . , s. 42 CAP´ ITULO 4. TRIANGULACIONES 2. La frontera de cualquier cara es una sucesi´on c´ıclica ordenada abc. 3. Caras distintas tienen fronteras diferentes. Definici´on 4.1.7. Dados dos esquemas de identificaci´on, (F, E, B)y(F0, E0, B0), se dice que (F0, E0, B0) es una subdivisi´on elemental de (F, E, B) si (F0, E0, B0) se obtiene a partir de (F, E, B) mediante una de las siguientes operaciones. 1. Dadas las aristas aya−1en (F, E, B), estas son reemplazadas por bc yc−1b−1en todas las fronteras, donde b, c son dos aristas distintas que est´an en (F0, E0, B0), pero no en (F, E, B). A esta operaci´on se le denomina corte de dimensi´on 1 [17]. En la Figura 4.8 se representa esta operaci´on. a b c Figura 4.8. 2. Cualquier cara Aen (F, E, B), con frontera B(A) = a1. . . apap+1 . . . anes reemplazada por dos caras, A0, A00 en (F0, E0, B0), con fronteras a1. . . apdyd−1ap+1 . . . an, donde des un arista en (F0, E0, B0) que no est´a en (F, E, B). Por supuesto, esta operaci´on es an´aloga para la cara A−1. Esta operaci´on recibe el nombre de corte de dimensi´on 2 [17]. En la Figura 4.9 se representa esta operaci´on, siendo Auna cara con frontera B(A) = a1a2a3a4. a3 a4 a1 a2 a3 a4 a1 a2 d a3 a4 a1 a2 d d Figura 4.9. Se dice que un esquema de identificaci´on (F0, E0, B0) es un refinamiento de un esquema de identificaci´on (F, E, B) si (F, E, B)y(F0, E0, B0) est´an relacionados mediante la clausura reflexiva y transitiva de la relaci´on de subdivisi´on elemental, y se dice que (F, E, B) y (F0, E0, B0) son equivalentes si est´an relacionados mediante la m´ınima relaci´on de equivalencia que contiene a la relaci´on de subdivisi´on elemental. Como se ver´a m´as adelante, todo esquema de identificaci´on es equivalente a un tipo especial de esquema de identificaci´on, el cual se dice que se encuentra en forma normal. Teorema 4.1.8. Toda superficie tiene asociado un esquema de identificaci´on, y sus esquemas de identificaci´on equivalentes. Proposici´on 4.1.9 ( [1]).Todo esquema de identificaci´on Kpuede ser refinado a un 2-complejo. Demostraci´on. A continuaci´on, se dar´an una serie de pasos para construir un 2-complejo simplicial a partir de un esquema de identificaci´on. El primero de ellos es subdividir cada arista del esquema aen dos nuevas aristas, b yc, donde b6=c, usando para ello la operaci´on 4.1.7(1). Es decir, se introducen nuevos v´ertices frontera (b, c−1). La consecuencia de aplicar esta operaci´on es que las aristas ay 4.1. SUPERFICIES 43 a−1dan lugar a distintos v´ertices para toda nueva arista a. Por tanto, cualquier frontera de la forma B=a1. . . anen el nuevo esquema cumple n≥2. En la Figura 4.10 aparece descrito este paso sobre el esquema de identificaci´on de un plano proyectivo. a a αα b c b c α αβ β Figura 4.10. Se construye ahora un v´ertice central γ= (d1, . . . , dn) en el nuevo esquema de identificaci´on, y se a˜nade una arista entre este v´ertice y todos los v´ertices ya creados, excepto con ´el mismo. Este proceso se hace, primero, utilizando la operaci´on 4.1.7(2), que divide la frontera B=a1. . . anen dos, a1dyd−1a2. . . an, y luego, aplicando la operaci´on 4.1.7(1) se divide den la cadena d1d−1 n, consiguiendo as´ı las fronteras d−1 na1d1yd−1 1a2. . . andn. Aplicando, de nuevo la operaci´on 4.1.7(2) a la frontera d−1 1a2...,andn, se consiguen las fronteras d−1 1a2d2d−1 2a3d3. . . d−1 n−1andn. Con esto, se consigue que, en efecto, γ= (d1, . . . , dn) sea un v´ertice interior en el nuevo esquema de identificaci´on. En la Figura 4.10 aparece descrito este paso en funci´on del esquema de identificaci´on resultante en el paso anterior. b c b c α αβ β b c b c α αβ β γ d1 d2d3 d4 Figura 4.11. Al realizar este proceso, se cumplen las condiciones 4.1.6(2) y 4.1.6(3) anteriores, pero es posible que la condici´on 4.1.6(1) no se cumpla. Esto se solventa dividiendo cada frontera triangular resultante del paso anterior a1a2a3en cuatro subtri´angulos, de manera que se a˜nade una nueva arista entre los puntos medios de las tres aristas, a1,a2ya3. Esto se hace utilizando la operaci´on 4.1.7(1), consiguiendo as´ı b1c1b2c2b3c3, y luego mediante la operaci´on 4.1.7(2) se consiguen los tri´angulos c1b2d3,c2, b3, d1,c3, b1, d2yd−1 1, d−1 2, d−1 3. El esquema de identificaci´on resultante satisface la propiedad 4.1.6(1), por lo que se trata de un 2-complejo simplicial, triangulaci´on del esquema de identificaci´on original. En la Figura 4.12 se obtiene la triangulaci´on resultante del plano proyectivo, a partir del esquema de identificaci´on que se obtiene en el paso anterior. δ ǫ δ ǫ α αβ β b c b c α αβ β γ d1 d2d3 d4 Figura 4.12. 44 CAP´ ITULO 4. TRIANGULACIONES Un caso especial de esquema de identificaci´on es el que contiene en su frontera cadenas del tipo aa−1´o a−1a. Un ejemplo ser´ıa el de la esfera S2, como se puede ver en la parte izquierda de la Figura 4.13. A su derecha se muestra la estructura resultante del conjunto de procesos detallado anteriormente, que en este caso no es una triangulaci´on. Los s´ımplices sombreados son los que no cumplen la condici´on de triangulaci´on. a a αα ǫ δ α αβ βδ ǫ Figura 4.13. En la Figura 4.14 se muestra el proceso de creaci´on de nuevos s´ımplices sobre los 2-s´ımplices que comparten αyδ, de manera que la estructura resultante sea una triangulaci´on. El proceso habr´ıa que repetirlo tambi´en sobre los 2-s´ımplices que comparten αy . α δ δ α δ δ 1 321 Figura 4.14. De forma general, este proceso habr´ıa que hacerlo siempre y cuando exista una cadena de tipo aa−1´o a−1aen el esquema de identificaci´on (es decir, sobre esquemas de esferas y esferas con agujeros). ǫ δ α αβ βδ ǫ ǫ δ α αβ βδ ǫ Figura 4.15. En este ejemplo particular, la triangulaci´on de la esfera S2es la resultante en la Figura 4.15. 4.1.3. Forma normal de los esquemas de identificaci´on Los siguientes resultados est´an encaminados a clasificar los distintos esquemas de identificaci´on mediante el concepto de subdivisi´on elemental. De entre todos los esquemas equivalentes correspondientes a una superficie, se tomar´a un representante al que se le denomina esquema de identificaci´on en forma normal. 4.2. PSEUDOSUPERFICIES 45 Definici´on 4.1.10. Un esquema de identificaci´on en forma normal de una superficie M es un esquema de identificaci´on (F, E, B), donde F={A}es un conjunto unitario, y ocurre una de las siguientes situaciones. 1. E={a, c1, . . . , cq, h1, . . . , hq}, y B(A) = aa−1c1h1c−1 1. . . cqhqc−1 q, donde q≥0. 2. E={a1, . . . , ap, b1, . . . , bp, c1, . . . , cq, h1, . . . , hq}, y B(A) = a1b1a−1 1b−1 1. . . apbpa−1 pb−1 pc1h1c−1 1. . . cqhqc−1 q, donde p≥1 y q≥0. 3. E={a1, . . . , ap, c1, . . . , cq, h1, . . . , hq}, y B(A) = a1a1. . . apapc1h1c−1 1. . . cqhqc−1 q, donde p≥1 y q≥0. Lema 4.1.11. Todo esquema de identificaci´on (F, E, B) es equivalente a cierto esquema de identificaci´on en forma normal. Con este resultado se tiene que para toda superficie existe un esquema de identificaci´on normal asociado a ella, que se puede refinar a un 2-complejo simplicial, que no es m´as que su triangulaci´on. Este tipo de triangulaciones nos servir´an de soporte en las sucesivas p´aginas para definir funciones de Morse con las caracter´ısticas que les queramos pedir. 4.2. Pseudosuperficies En esta secci´on se a´unan los conceptos vistos en las Secciones 3.4 y 4.1. Ya se vio en el Teorema 3.4.5 que una pseudosuperficie se puede decomponer en la uni´on de un n´umero finito de superficies con un n´umero finito de agujeros cada una, uni´on con discos, que se identifican a trav´es de ciertos puntos. Figura 4.16. En la Figura 4.16 se muestra una pseudosuperficie, que se decompone como uni´on de dos toros con un agujero cada uno, una esfera con un agujero y tres discos. Estas superficies se unen seg´un el esquema de flechas que aparece. 46 CAP´ ITULO 4. TRIANGULACIONES Todas estas superficies se pueden representar mediante un esquema de identificaci´on normal, que se puede triangular. En el borde de cada triangulaci´on deben existir un conjunto de 0-s´ımplices y 1-s´ımplices que son compartidos con el borde de otra triangulaci´on (u otras triangulaciones), ya que en el caso contrario, la pseudosuperficie que se tiene en consideraci´on no ser´ıa conexa. La Figura 4.17 muestra la triangulaci´on de la pseudosuperficie mostrada en la Figura 4.16. Los s´ımplices que se identifican est´an resaltados. α1 β1 γ1 δ1 α1 α1 α1 α1 β1 γ1 δ1 ǫ1 ζ1 η1 ǫ1 ζ1 η1 θ1 θ1 ι1κ1 ι1 κ1 λ1 λ1 µ1 ν1 χ1 λ2 κ2 ι2 θ2 α2 β2γ2δ2α2 α2 η2 ζ2 ǫ2 δ2 γ2 β2 α2 η2 ζ2 ǫ2 α2 θ2 ι2 κ2 λ2 χ2 ν2 µ2 µ1 λ1 λ1 χ1 ν1 λ2 λ2 ν2 µ2 χ2 ξ1 ξ1 ø1 ø1 π1 π1 v ξ2 ξ2 ø2 ø2 π2 π2 π3π3 ø3ø3 ξ3ξ3 λ3λ3 χ3ν3µ3 λ3χ3ν3µ3λ3 α3 α3 α3 β3 γ3 δ3 β3 γ3 δ3 θ3 ι3 κ3 κ3 ι3 θ3 Figura 4.17. Por tanto, la triangulaci´on de una pseudosuperficie queda determinada por la triangulaci´on de cada una de las superficies en las que se ha descompuesto. Cap´ıtulo 5 Funciones de Morse excelentes En este cap´ıtulo se estudiar´an las funciones de Morse discretas excelentes sobre superficies y pseudosuperficies compactas. En concreto, nos centraremos en el c´alculo del n´umero de clases de equivalencia homol´ogica de dichas funciones, apoy´andonos en la noci´on de secuencia homol´ogica. Definici´on 5.0.1. Una funci´on de Morse discreta sobre un complejo simplicial Kse dice que es excelente si los valores correspondientes a sus s´ımplices cr´ıticos son distintos dos a dos. Definici´on 5.0.2. Dos funciones de Morse discretas excelentes fygdefinidas sobre un complejo simplicial finito K, con valores cr´ıticos a0< a1<· · · < am−1yc0< c1<· · · < cm−1, respectivamente, son homol´ogicamente equivalentes si, para todo i= 0, . . . , m −1, los subcomplejos de nivel K(ai) y K(ci) tienen los mismos n´umeros de Betti. Definici´on 5.0.3. Sea funa funci´on de Morse discreta excelente definida sobre un complejo simplicial finito Kcon ms´ımplices cr´ıticos cuyos valores asociados son a0, a1, . . . , am−1. Denotando por Ki=K(ai) a los subcomplejos de nivel de K, para cada i= 0,1, . . . , m−1, se definen las secuencias homol´ogicas de fcomo las aplicaciones B0, B1, B2:{0,1, . . . , m− 1} → Nque contienen la informaci´on homol´ogica de los complejos de nivel K0, K1, . . . , Km−1. Es decir, Bp(i) = bp(Ki) = dim(Hp(Ki)) para cada i= 0,1, . . . , m −1 y para cada p= 0,1,2. Nota 5.0.4.Obs´ervese que dos funciones de Morse discretas excelentes son homol´ogicamente equivalentes si y s´olo si sus secuencias homol´ogicas son iguales. N´otese tambi´en que en el caso de las superficies, la secuencia homol´ogica de una funci´on de Morse fsobre su triangulaci´on, K, se puede representar mediante el camino de puntos (B0(i)−1, B1(i)) en el cuadrante Z2 ≥0×Z2 ≥0, para todo i= 0,1, . . . , m −2, que van de (0,0) a (0, b1). En la Figura 5.1 se muestra el camino de puntos correspondiente a las siguientes secuencias homol´ogicas de una funci´on de Morse excelente f, definida sobre la triangulaci´on del toro: B0: 1,2,2,3,4,4,4,5,6,6,5,4,3,2,2,1,1,1 B1: 0,0,1,1,1,2,3,3,3,2,2,2,2,2,3,3,2,2 B2: 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1 47 48 CAP´ ITULO 5. FUNCIONES DE MORSE EXCELENTES (0,2) Figura 5.1. N´otese que la diferencia entre un punto y su siguiente es siempre igual a uno, en alguna de las direcciones de los ejes coordenados. El n´umero total de caminos de puntos entre (0,0) y (0, b1) en m−2 pasos viene dado por la siguiente expresi´on (ver [11]): ω0 m−2(0, b1) = m−2 km k−m k+ 1m−2 k−1. 5.1. Homolog´ıa persistente Definici´on 5.1.1. Sea funa funci´on de Morse excelente, definida sobre la triangulaci´on de una superficie conexa, compacta y orientable K, con valores en los s´ımplices cr´ıticos a0<· · · < am−1. Se dice que un v´ertice cr´ıtico ves un v´ertice esencial si f(v) = a0, es decir, en vse alcanza el m´ınimo global. Se dice tambi´en que un tri´angulo cr´ıtico Tes un tri´angulo esencial si f(T) = am−1, es decir, en Tse alcanza el m´aximo global. De otra manera, si un v´ertice cr´ıtico (o un tri´angulo cr´ıtico) no es esencial, se dice que es un v´ertice (o tri´angulo) superfluo o cancelable. Nota 5.1.2.En la triangulaci´on de una superficie K, un v´ertice cr´ıtico (o un tri´angulo cr´ıtico) es esencial si y s´olo si representa el elemento b´asico de H0(K) (o H2(K)). Al contrario de lo que ocurre con los conceptos de v´ertices y tri´angulos esenciales y cancelables, no es tan sencillo introducir los conceptos de aristas esenciales o cancelables. Para determinarlas, se har´a uso de la teor´ıa de homolog´ıa persistente, que se basa en estudiar la evoluci´on de las secuencias homol´ogicas de una funci´on de Morse a lo largo de sus subcomplejos de nivel. Supongamos que fes una funci´on de Morse excelente definida un complejo simplicial Kde dimensi´on 2, con ms´ımplices cr´ıticos cuyos valores son a0, . . . , am−1. Sean Ki, con i= 0,1, . . . , m −1 cada uno de los distintos subcomplejos de nivel de Kseg´un la funci´on f. Se tiene, por tanto, la siguiente filtraci´on, ∅=K0⊂K1⊂ · · · ⊂ Km−1=K. Para cada 0 ≤p < q ≤m−1, se definen por ip,q ∗:H∗(Kp)→H∗(Kq) a los homomorfismos inducidos por la inclusi´on Kp⊂Kq. Definici´on 5.1.3. Sea σun s´ımplice cr´ıtico, tal que f(σ) = ai. El predecesor de σes el s´ımplice cr´ıtico σ−, tal que cumple f(σ−) = ai−1. 5.1. HOMOLOG´ IA PERSISTENTE 49 Sean σyτs´ımplices cr´ıticos de K, de dimensiones dyd+1, respectivamente, de manera que f(σ) = ap< f(τ) = aq. Si se consideran los predecesores de σy de τ, se obtiene la siguiente sucesi´on de aplicaciones, inducida por las inclusiones Kp−1⊂Kp⊆Kq−1⊆Kq: Hd(Kp−1)ip−1,p d −−−−→ Hd(Kp)ip,q−1 d −−−−→ Hd(Kq−1)iq−1,q d −−−→ Hd(Kq). Haciendo uso de todos estos conceptos, se llega a las siguientes definiciones, que finalmente determinar´an si un s´ımplice cr´ıtico es cancelable o esencial. Definici´on 5.1.4. Se dice que una clase de equivalencia h∈Hd(Kp)nace en σsi h /∈Im(ip−1,p d) (es decir, haparece en Hd(Kp), sin haber estado en Hd(Kp−1)). Se dice que una clase de equivalencia h∈Hd(Kp) que nace en σmuere en τsi ip,q d(h)∈Im(ip−1,q d) y ip,q−1 d(h)/∈Im(ip−1,q−1 d). Definici´on 5.1.5. Se dice que un par de s´ımplices cr´ıticos σ, τ, de dimensiones dyd+ 1 respectivamente, donde d= 0 ´o 1, son cancelables si f(σ) = ap< aq=f(τ), con p, q = 0, . . . , m −1 y q > p, de manera que existe una clase de equivalencia h∈Hd(Kp) que nace en σy muere al entrar en τ. Definici´on 5.1.6. Un s´ımplice cr´ıtico τ, de dimensi´on d= 0,1 ´o 2, con f(τ) = ap, p= 0, . . . , m −1, es esencial si existe una clase de equivalencia h∈Hd(Kp) que nace en τy no muere. Nota 5.1.7.Obs´ervese que para el caso de superficies conexas, compactas y orientables las funciones de Morse discretas excelentes tienen un ´unico tri´angulo cr´ıtico esencial, que coincide con el m´aximo global de la funci´on, por lo que esta definici´on es consistente con la Definicion 5.1.1. De estas definiciones se deduce que los s´ımplices cancelables siempre aparecen emparejados. Es decir, siempre que exista un v´ertice cr´ıtico cancelable, tambi´en existir´a una arista cr´ıtica cancelable asociada a ´el. Asimismo, siempre que exista una arista cr´ıtica cancelable, tambi´en existir´a un tri´angulo cr´ıtico cancelable con el que est´a emparejado. Por tanto, se llega a que el n´umero de s´ımplices cr´ıticos posibles sobre un complejo simplicial depende de la homolog´ıa del propio complejo (existir´a uno por cada n´umero de Betti, en cada dimensi´on) y de las parejas de s´ımplices cr´ıticos cancelables, de dimensiones consecutivas, que se a˜nadan. El hecho de poder elegir tantos s´ımplices cr´ıticos cancelables como se deseen sobre la triangulaci´on de una superficie o una pseudosuperficie, puede acarrear ciertos problemas para ubicarlos. Es decir, podr´ıa ocurrir que el n´umero total de s´ımplices cr´ıticos fuera mayor que la cantidad de s´ımplices disponibles en la triangulaci´on que se tiene en consideraci´on. αα a a (a) α β δ γ αβδ γ 12 34 5 (b) Figura 5.2. 50 CAP´ ITULO 5. FUNCIONES DE MORSE EXCELENTES En la Figura 5.2 se muestra el esquema de identificaci´on del plano proyectivo (Figura 5.2(a)), junto con su triangulaci´on, acorde a lo visto en la Proposicion 4.1.9 (Figura 5.2(b)). Como se puede apreciar, esta triangulaci´on consta de 16 tri´angulos, 28 aristas y 9 v´ertices, por lo que no ser´ıa posible definir en ella una funci´on de Morse con m´as de 16 tri´angulos cr´ıticos, 28 aristas cr´ıticas o 9 v´ertices cr´ıticos. Para evitar este problema, basta con hacer una modificaci´on en el esquema de identificaci´on de la superficie o pseudosuperficie en cuesti´on. La idea consiste en conseguir que el esquema identificaci´on tenga tantos v´ertices, aristas y caras como v´ertices, aristas y tri´angulos cr´ıticos se deseen en la triangulaci´on resultante. En el caso del plano proyectivo, una funci´on de Morse ´optima contiene 1 v´ertice cr´ıtico, 1 arista cr´ıtica y 1 tri´angulo cr´ıtico, que se puede corresponder con el v´ertice, la arista y la cara del esquema de identificaci´on de la Figura 5.2(a). La triangulaci´on de este esquema (Figura 5.2(b)) es adecuada para albergar los s´ımplices de esta funci´on. α β δ γ αβδ γ Figura 5.3. En la Figura 5.3 se muestra el campo de vectores discreto correspondiente a una funci´on de Morse sobre el plano proyectivo. El v´ertice cr´ıtico y la arista cr´ıtica se han seleccionado de entre aquellos s´ımplices que se identifican en el complejo simplicial para tratar de hacer una correspondencia con los elementos de dimensi´on 0 y 1 del esquema de identificaci´on en la Figura 5.2(a). Por un motivo an´alogo, se ha seleccionado el tri´angulo cr´ıtico. En el caso de querer a˜nadir una pareja de s´ımplices cr´ıticos cancelables, como pueden ser un v´ertice y una arista a una triangulaci´on del plano proyectivo, dar´ıa como resultado 2 v´ertices cr´ıticos, 2 aristas cr´ıticas y 1 tri´angulo cr´ıtico. En este caso, habr´ıa que modificar un poco el esquema de identificaci´on presentado en la Figura 5.2(a) a˜nadiendo un nuevo punto en la arista a, consiguiendo as´ı un esquema con 2 v´ertices, 2 aristas y 1 cara. La triangulaci´on resultante de este esquema es capaz de albergar sin problemas el n´umero de s´ımplices cr´ıticos que en principio se deseaban. 5.1. HOMOLOG´ IA PERSISTENTE 51 β α βα b c b c (a) β α βα µ µ δ δ γ γ ǫ ǫ ζ ζ η η (b) Figura 5.4. Al igual que ocurre en las Figuras 5.2(a) y 5.3, los s´ımplices cr´ıticos de la Figura 5.4(b) se eligen estrat´egicamente a partir de la Figura 5.4(a). En el caso de querer a˜nadir una pareja formada por una arista cr´ıtica y un tri´angulo cr´ıtico, ambos cancelables, en la triangulaci´on del plano proyectivo, se tendr´a un total de 1 v´ertice cr´ıtico, 2 aristas cr´ıticas y 2 tri´angulos cr´ıticos. El esquema de identificaci´on de la Figura 5.2(a) se modifica a˜nadiendo una arista interior que une los dos puntos denotados por α. Por tanto, se consigue un nuevo esquema de identificaci´on consistente en 1 v´ertice, 2 aristas y 2 caras. Para conseguir triangularlo, basta con triangular cada cara, seg´un el procedimiento descrito en la Proposici´on 4.1.9. αα a a (a) α β γ δ αβγ δ (b) Figura 5.5. En este caso, la arista cr´ıtica que est´a en el interior del complejo simplicial de la Figura 5.5(b) corresponde a la arista a˜nadida en el esquema de la figura 5.5(a). Si se considera una superficie con borde, existen ciertas diferencias. Por cada componente del borde de K(excepto en una), se elige una arista, que se tomar´a como cr´ıtica esencial. El resto de aristas cr´ıticas esenciales ser´an aristas que no estar´an situadas en ninguna componente del borde. Un ejemplo de esto est´a ilustrado en la Figura 5.6. Esta triangulaci´on corresponde al plano proyectivo con dos agujeros, por lo que para definir ah´ı una funci´on de Morse perfecta, se asigna una de las dos aristas cr´ıticas esenciales 58 CAP´ ITULO 5. FUNCIONES DE MORSE EXCELENTES arista cr´ıtica, que son “empujadas” a trav´es de sus correspondientes discos asociados al wedge de discos en K(estas aristas cr´ıticas no se pueden identificar). En la Figura 5.8 se ejemplifica este procedimiento. β3 . . . v α3 γ3 δ3 α3 β3 γ3 δ2 δ3 γ2 β2 α2 α2 β2 γ2 δ2δ1 γ1 β1 α1α1 β1 γ1 δ1 ǫ3η3 ζ3 η2 ζ2 ǫ2 ǫ1 ζ1 η1 Figura 5.8. Nota 5.5.6.La Figura 5.8, al igual que la Figura 5.7, muestra el campo de vectores asociado a la triangulaci´on de un wedge de 3 discos o m´as en la triangulaci´on de una pseudosuperficie K. Al igual que en el punto anterior, en el caso de la triangulaci´on de un wedge de 2 discos, habr´ıa que considerar ´unicamente las triangulaciones de los dos primeros discos. Como ejemplo, en la Figura 5.9 se muestra definido el campo gradiente de una funci´on perfecta sobre la triangulaci´on Kdel toro estrangulado(Figura 3.13(a)). Recordemos que b0(K) = 1, b1(K) = 1 y b2(K) = 1, por lo que hay un s´ımplice cr´ıtico esencial por cada dimensi´on. 5.5. PSEUDOSUPERFICIES 59 γδγβα ζ1 θ1 θ1 ζ1ǫ1ǫ2ζ2 η2 θ2 ǫ2ζ2 η2 θ2 ι1 λ1 ι2 κ2 λ2 δ β α ǫ1 κ1 η1 η1 α ν1 ξ1 v θ1 λ1 κ1 ι1 θ1 µ1 µ1 ν1 ξ1 v ξ2 ν2 µ2 θ2 κ2 θ2 µ2 ν2 ξ2 α ι2 λ2 Figura 5.9. Al igual que ocurre en en el caso de las superficies orientables (Teorema 5.2.4) y no orientables (Teorema 5.3.3), el siguiente resultado es tambi´en cierto para el tipo de pseudosuperficies que se acaban de describir. Teorema 5.5.7. El n´umero de clases de equivalencia homol´ogicas de las funciones de Morse discretas excelentes con m=b0(K) + b1(K) + b2(K)+2ks´ımplices cr´ıticos en la triangulaci´on Kde una pseudosuperficie fuerte orientable sin borde es: ω0 m−2(0, b1) = m−2 km k−m k+ 1m−2 k−1. En caso de que la pseudosuperficie fuerte fuera no orientable sin borde, se tiene, ω0 m−2(0, b1+ 1) = m−2 2k−1 2 m 2k−1 2−m 2k+1 2m−2 2k−3 2. En general, independientemente de la orientabilidad, para toda pseudosuperficie fuerte, la suma de estos valores da como resultado el n´umero de clases de equivalencia de las funciones de Morse discretas excelentes con m=b0(K) + b1(K) + b2(K)+2ks´ımplices cr´ıticos. Est´a claro que como cota superior se tiene ω0 m−2(0, b1) + ω0 m−2(0, b1+ 1). Para ver que la igualdad es cierta es necesario construir una funci´on de Morse excelente sobre Ktomando ms´ımplices (que ser´an los s´ımplices cr´ıticos) y construyendo un campo de vectores discreto a partir de estos. 60 CAP´ ITULO 5. FUNCIONES DE MORSE EXCELENTES 5.5.2. Wedge por un ´unico punto singular de superficies En este apartado se considerar´a un tipo muy concreto de pseudosuperficies. Se trata de aquellas que est´an formadas por varias superficies identificadas en un ´unico punto singular. Un claro ejemplo de este tipo de pseudosuperficies es el que est´a indicado en las Figuras 4.16 y 4.17. Al igual que en el apartado anterior, en este tipo de pseudosuperficies existen una serie de propiedades que relacionan sus propios n´umeros de Betti y los n´umeros de Betti de las superficies que la conforman. Supongamos que se tiene la triangulaci´on de una pseudosuperficie Kobtenida al identificar ntriangulaciones de superficies K1, . . . , Knen un ´unico punto v. No es dif´ıcil saber, teniendo en cuenta los resultados sobre pseudosuperficies del Cap´ıtulo 3, cu´al es la relaci´on entre los n´umeros de Betti de KyK1, . . . , Kn. 1. b0(K) = b0(K1) = · · · =b0(Kn) = 1. 2. b1(K) = Pn i=1 b1(Ki) + n−no. 3. b2(K) = Pn i=1 b2(Ki). Otra manera de ver este tipo de pseudosuperficies es considerarlas como la uni´on de un cierto n´umero de superficies con agujeros, en la que cada uno de los agujeros de cada superficie est´a identificado con el borde de un ´unico disco perteneciente a un wedge de discos de dimensi´on 2. Dadas estas propiedades, definir una funci´on de Morse excelente sobre la triangulaci´on de una pseudosuperficie de este tipo se har´a a partir de las funciones de Morse definidas en las distintas triangulaciones de las superficies con agujeros que la conforman. Una vez hecho esto, habr´ıa que definir la funci´on de Morse en la triangulaci´on de cada uno de los discos del wedge, que fuera coherente con la funci´on definida en los agujeros de las superficies correspondientes. En los interiores de todos los discos del wedge, la funci´on podr´ıa ser definida tal y como se indica en la Figura 5.10. vi δi γi βi αi δi γi βi αi ǫiζiηi Figura 5.10. De esta manera se consiguen las funciones de Morse correspondientes a cada una de las superficies que conforman la pseudosuperficie. 5.5. PSEUDOSUPERFICIES 61 Llegados a este punto, quedar´ıa ´unicamente llevar a un ´unico v´ertice todos los v´ertices cr´ıticos esenciales de cada una de las triangulaciones de las superficies que conforman la pseudosuperficie. Obs´ervese que existe un ´unico camino gradiente que va desde vihasta el punto cr´ıtico esencial de la superficie con agujeros Ki, para cada i= 1, . . . , n. Utilizando el resultado del Teorema 2.1.17, este camino se puede invertir, por lo que se puede definir una nueva funci´on de Morse en la triangulaci´on de cada superficie que conforma K, donde el punto vies el ´unico punto cr´ıtico esencial, para cada i= 1, . . . , n. Al llevar todos los v´ertices cr´ıticos esenciales via uno, se obtiene el campo de vectores de una funci´on de Morse asociada a la triangulaci´on de la pseudosuperficie que se hab´ıa considerado inicialmente. Como ejemplo, en la Figura 5.11 se muestra el campo de vectores definido por una funci´on de Morse perfecta sobre la pseudosuperficie de la Figura 4.16. Las flechas indicadas en gris se han invertido para establecer el punto singular como v´ertice cr´ıtico esencial. α1 β1 γ1 δ1 α1 α1 α1 α1 β1 γ1 δ1 ǫ1 ζ1 η1 ǫ1 ζ1 η1 θ1 θ1 ι1κ1 ι1 κ1 λ1 λ1 µ1 ν1 χ1 λ2 κ2 ι2 θ2 α2 β2γ2δ2α2 α2 η2 ζ2 ǫ2 δ2 γ2 β2 α2 η2 ζ2 ǫ2 α2 θ2 ι2 κ2 λ2 χ2 ν2 µ2 µ1 λ1 χ1 ν1 λ2 λ2 ν2 µ2 χ2 ξ1 ø1 ø1 π1 π1 ξ2 ξ2 ø2 π2 π3π3 ø3ø3 ξ3ξ3 λ3λ3 χ3ν3µ3 λ3χ3ν3µ3λ3 ω3 α3 ω3 β3 γ3 δ3 β3 γ3 δ3 θ3 ι3 κ3 κ3 ι3 θ3 ξ1 λ1π2 ø2 v Figura 5.11. 62 CAP´ ITULO 5. FUNCIONES DE MORSE EXCELENTES Teorema 5.5.8. El n´umero de clases de equivalencia homol´ogicas de las funciones de Morse discretas excelentes con m=b0(K) + b1(K) + b2(K)+2ks´ımplices cr´ıticos en la triangulaci´on Kde un wedge por un punto singular de superficies es: b1 0+b1 1+b1 2+2k X m1=b1 0+b1 1+b1 2 ωm1−2(0, b1 1+1)· n Y i=2 m−Pi−1 j=1 mj X mi=bi 0+bi 1+bi 2 ωmi−2(0, bi 1+i), donde ndenota el n´umero de superficies que intervienen en el wedge, bi p, con p= 0,1 ´o 2, denota el p-´esimo n´umero de Betti de la superficie Ki, i=(1,si la superficie ies no orientable, 0,si la superficie ies cerrada orientable, y m=m1+m2+· · · +mn, es decir, el n´umero de s´ımplices cr´ıticos totales corresponde a la suma de los s´ımplices cr´ıticos de las restricciones de la funci´on de Morse considerada a cada una de las triangulaciones de las superficies que componen la pseudosuperficie en cuesti´on. Est´a claro que si un v´ertice cr´ıtico cancelable est´a en la triangulaci´on de una superficie, entonces su arista cr´ıtica cancelable asociada est´a en la triangulaci´on de la misma superficie, ya que si no estuviera, habr´ıa un camino gradiente de una a otra que pasar´ıa por el punto singular, que es v´ertice cr´ıtico, por lo que es imposible que esto ocurra. En el caso de aristas y tri´angulos cr´ıticos cancelables asociados, debe haber un camino de tri´angulos y aristas que vaya de uno a otro y que pase por el punto singular, pero eso es imposible, ya el punto singular es un v´ertice. Como trabajo futuro, ser´ıa interesante formalizar todos los resultados de este cap´ıtulo. Tambi´en ser´ıa buena idea encontrar algunos criterios que nos permitan clasificar la mayor cantidad posible de pseudosuperficies (en este trabajo hemos considerado dos casos concretos), para as´ı poder definir funciones de Morse discretas excelentes sobre ellas, de una manera sistem´atica. M´as concretamente, profundizando en el art´ıculo [16], en el que se modelan pseudosuperficies mediante grafos, se intentar´a definir una noci´on que juegue un papel an´alogo al de arista puente en el contexto de pseudosuperficie, y utilizar esta noci´on para ampliar los resultados de este trabajo a pseudosuperficies m´as generales. Bibliograf´ıa [1] L.V. Ahlfors, L. Sario, Riemann Surfaces, Princeton Math. Series, vol. 2, Princeton University Press, Princeton, 1960. [2] R. Ayala, L.M. Fern´andez, D. Fern´andez-Ternero, J.A. Vilches, Discrete Morse theory on graphs, Topology and its Applications 156(18) (2009) 3091-3100. [3] R. Ayala, D. Fern´andez-Tenero, J.A. Vilches, Counting Excellent Discrete Morse Functions on Compact Orientable Surfaces, Imagen-A 1 (1) (2010) 49-56. [4] R. Ayala, D. Fern´andez-Ternero, J.A. Vilches, The number of excellent discrete Morse functions on graphs, Discrete Applied Mathematics 159(16) (2011) 1676-1688. [5] R. Ayala, D. Fern´andez-Ternero, J.A. 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