Un ejemplo de teoría de bordismo equivalente al PL-bordismo

Rev. Acad. Ciencias Zaragoza, 38 (1983) UN EJEMPLO DE TEORIA DE BORDISMO EQUIVALENTE AL PL-BORDISMO. A. QUINTERO. Departamento de GeO<!letría y Topo logía. Facul ta d de Matemática . Uní versidad de Sevi l la . C/ Tar ifa s/ n. Se vil la . (España) . In t h is paper we def in e th e CPL -mani f ol ds and we p ro ve, by using a des i ngu- , .l ar i zat i on proce d ure, t hat th ese ob jects give a bor dis m th eo ry whi ch is eq uival ent e to t he PL-bo rdism . It' s in t erest i ng to not e t hat ·t he f'amí.Ly CPL of the CPL -manifo lds i s not close d to tak ing topologica l cilyn de rs. Notaciones ··.· En lo que ·s i gue 'empLe az emoa el: signo "+" para indicar La uni6n disjunta . También usaremos los conceptos y notaciones habituales de la Topología Poliedral tales como ~ r i a ngu l a c i 6n , poliedro euclídeo, estr ella abierta (st(-», engarce o "link" (lk(-», cono (c(":», ·suspensi6n n -ésima (En_ ) , PL -isomorfismo, PL-variedad, PL-esfera,etc. Para una · referencia general ver [9] . Asimismo, la teoría de homología que utilizaremos será la homolo gía s in gular con coeficientes en el g rupo de los números enteros. 1. VARIEDADES DE HOMOLOGIA FUERTES Por una v ariedad de homologia de dimensi6n n (HML-variedad) se entende rá un poliedro euclídeo , no necesariamente compacto, cu ya homología local es la del se miespacio R~ (ver L6] para más detalles). Una n-esfera de homología es una HML-variedad compacta Hn cuya homolog ía es la de la esfera can6nica Sn . Cuando Hn es PL-variedad s e dice una PL -esfera de homología . Analogamente se puede con siderar las n-bolas y las PL-bola s de homología. 1.1 Definici6n. Una variedad de homología fuerte (HMLFvar i edadi de dim ensi6n n es una HML -variedad tal · que el engarce de cad a p unto es una PL-esfera o P L ~bola de homología de dimens i6n n-l. Un punto es sing~ar si su engarce no es PL-esfera o PL ~bo la . 1.2 Proposici6n. Todo punto singular de u na HMLF-variedad M es el vértice de cualquier triangulaci6n de M. En particular , los puntos ~ingulares form an un conjunto aislado . 15 Demostraci6n. Sea K una triangulac16n de M y x E ó con o E,K Y dim o=r'>O. Entonces .lk(x; M) es PL-isomorfo a Erlk(o;K). Como lk(x;M) es PL-variedad se sigue que lk(o;K) debe ser la PL-bola o PL-esfera de la dimertsi6n correspondie~ te; es decir, x no es un punto singular. 1.3 Not a . al De acuerdo con la proposici6n anterior, si K es una triangulaci6n de una HMLF-variedad~ lk (o; K) es la PL-esfera o la PL-bola si dim o»O Y una PL-bola o PL-esfera de homología en caso contrario. b) Si H3 'es la 3-esfera de Poincaré (ver [SJ l, entonces EIH 3 es una HMLF-variedad tal que su cilindro topo16gico E I H 3~ 1 no es HMLF-variedad, ,pue s si v El , !:k(Vb; EIH\1), con Vo= (v,O), es PL-isomorfo a cH3 que no es PL-variedad. Esta misma propiedad la cumple El aG n, donde Gn es u na n-variedad de Glaser (ver [3J ). 1.4 Definici6n. Un punto singular del interior de una HMLF-variedad M es acícli co si su engarce en M es el borde de una PL-bola de homología. 1 .5 Eroposici6n. Los puntos singulares interiores de una ID{LF-variedad de dimensi6n distinta de cuatro son acíclicos '. Demostraci6n. Esto es una consecuencia inmediata del hecho de que toda PL-esf~ ra de homología de dimensi6n distinta de tres es el bOrde de una PL-bola de ho mol ogí a (ver [41 ). 1 .6 Nota. Obsérvese que la proposici6n anterior no se puede extender a la dimen si6n cuatro pues EIH 3 no tiene sus puntos singulares acíclicos ya 'que H3r epr esenta u,n ele ment o no nulo del grU:po e ~ (gr upo de t1-borc.iismo de las PL-esfe ras de homología de dimensi6n tres) (ver [sJ ). 1.7 Pr opos i ci 6n . Si M es una HMLF-variedad cerrada cuyos puntos singulares son acíclicos, e xiste una PL-variedad M que es bordante a M por una HMLF-variedad cuyos puntos singulares coinciden con los de M. De mostraci 6n. Puesto que los puntos singulares son aislados , podemos suponer que ' M s610 tiene un punto singular; sea éste p y sea W una PL-bola de homología cuyo borde es lk(p;M), entonces el pegamiento 1C de !1' =M - ~t(p;M) con W a través de sus bordes respectivos es una PL-variedad. Y el pegamiento V de 11';(1 con c(W.1VaW,,1) a través ~e sus respectivos bordes es una HMLF-variedad cuyo borde es M+M y tiene a p como único punto singular. 1.S Proposici6n. Sea M una HMLF-variedad con borde cuyos puntos 's i ngul ar e s interiores son 'ací cl i cos y tal que si dim M=4 éstos son los únicos puntos singulares. Entonces existe una PL-variedad M que es bordan te a M por una HMLFvariedad como variedades con borde, es decir, existen HMLF-var~edades Zy Zo tales que az = (M+M) U Zo y azo=aM + aMo Demostraci6n. Sea p un punto singular, si pEM - aM se desingulariza como en 1.7. Si pE aM, existe una PL-bola de homología W tal que aw = lk (p; aM). Ento~ ces L= lk(p;M)U W es una PL-esfera de homología que,por [{) , acota una PLbola de homología V. S~an M el pegamiento de M - ;t(p;M) con V a través de lk(p;M) y Z el 'pegami e nt o de M - S't(p;M)X1 con c(VxlUlk(p;M)J<:I) a través 'de lk(p;MiXI.Si hay más puntos singulares se repite la ,operaci6n ante16 17 rior). Entonces M es una PL-variedad y Z es ~~a HKLF-variedad cuyo borde es az ~ (M+M) U ZO' donde Zo es el pegamiento de aH - st(p¡a~)KI con el cono c(WdUlk(p¡aMj}<I) • F(x) G(x) s~ X€Zl H(x) ·si xE.MxI H(x,l) si XEZ2 Es ·:c l a r o que F cumple las propiedades deseadas. X . :e st(P¡M)><I ¡ st(p¡M)xO e (st (p¡M)x 1U aWd) ZxOUst(p¡M)XI -X GUHlst(P¡M)XI (Q,Qo) = (Zl V Md VZ 2, · z ~ \) a M d V Z ~ ) ~ X ZO' i=1,2) c (w><1 UaW~I) ~ e(W/W-C l( 1 V aWd) F PQr último, definimos por donde C es un PL-collar de aw en W lver [9] ). Si po::: aM es singular y W es una PL-bola de homología con aw = lk (P¡ ~M) y Ves otra PL-bola de homología con av .= lk(p¡M)UW (ver 1.8), definimos G : c(Vdl]lk(p; .Mr)l;I)"·____. X 1.10 Proposici6n. Con M y Q en las condiciones de 1.9, y dada una ap1icaci6n contínua f: (M,aM) ~ (X,A), existe una extensi6n de fa (Q,QO)' Más aún, si f, g : (M,aM) --- (X,A) son homot6picas, existe una funci6n contínua F : (Q,QO) -- (X,A) . tal que .F IM+M = ·f+g. Demostraci6n. Si p~M - aM es un punto singular y . W es una PL-bo1a de homología tal que aw = lk(p¡M), definimos G : c(WdVaWxI) -X como la composici6n natural de modo análogo al 'ca s o anterior. Extendemos GaG: (Z,ZO) ----.(X,A) haciendo G = fKid fuera de las estrellas de los puntos singulares.Es obvio que G extiende a f. Sean f, g : (M,aM) ~ (X,A) homot6picas y . Huna homotopía entre ellas: Por la propiedad de extensi6n . de·homotopías eXiste ..H : (Z, .ZO)l(I -- (X,A) que extiende a 1.9 Corolario. Si M es una HMLF-variedad en las condiciones de 1.8, existen HMLF-variedades Q y QO tales que aQ = (M+M)UQO y aQO aM + aMo Demostraci6n. Con la notaci6n de 1. 8; basta considerar Q = ZU M..I .UZ, y QO = ZoUílMXIUZ O' 2. "CPLBORDI SMO. 18 en el tal que Lj= st(Yj;M)V lk(Yj;Q') = ast(Yj;Q') es una PL-esfera de homología. Por [4) , existe una PL-bola de homología L .• De este modo JIk \ oIk \ Q=(Q' - ~ st(y .;Q'»U L-J V: " j '" 1 J j=1 J es una PL-variedad cuyo borde es M." Hemos probado así que la clase de M grupo 1t ~L es el elemento neutro, y por tanto que "ol v" es "i ny ec t i vo . Al igual que en los casos clásicos, podemos dar la definici6n de CPL-bor dismo s ingular para CPL~variedades singulares f (M,aM) ~ (X,A), donde (X,A) es un par topo16gico cualquiera . La proposici6n 1.10 nos asegura que la relaci6n anterior es de equivalencia. 2 .3 Nota . La raz6n de la condici6n impuesta para la dimensi6n 4 en la "defin i - ción de CPL-variedad es garantizar que la relaci6n de CPL-bordismo singular es tran~itiva. Se puede probar que la relaci6n de CPL-bordismo absoluto es transitiva s in imponer retricciones en dimensi6n cuatro. En efecto, 's i M, de dimensión tres, es CPL-bordante a M' por w 1' y M' lo e~ a M", por w 2' en el pegamiento W 1\JW 2, que puede no ser CPL-variedad, se sustituyen las estrellas abiertas de los puntos x M' no acíclicos por una PL-var ~edad cuyo borde sea lk( x;W lUW2) 2.2 Teorema. El morfismo olvido olv: AA PL ~ 1tCPL es un isomorfismo 'rL n n para todo n ~ O, donde 1iPL representa el n -ésimo grupo de iPLbor di smo . n Demostración. Por 1.7 se tiene que "olv " es ep iyectivo . Además, como para n~ 3 las HMLF-variedades coinciden con las PL-variedades, s610 queda que probar que "olv" es inyectivo si n ~ "3. Así pues, sea M una "PLvar i edad 'con dim M ~3 que .L/CPL . d d representa el elemento nulo de 7l n" • Entonces existe una CPL-var~e aQ tal qu e a~ '""M.' Utili:zando los mi 'smos "razonam:tentas que "en "l a" demostraci6n " de 1.8, se puede construir una CPL -variedad Q' de modo que s610 contenga puntos singulares en aQ' '" M. Si n= 3, Q' será directamante una PL-varfedad; si n ~3 supongamos que Yl'Y2" "Yk son los puntos singulares de Q', que están todos en el borde. Entonces Por CPL representaremos la subfamilia de las HMLF-variedades cuyos puntos singulares interiores son acíclicos. Para las CPL-variedades de dimensi6n cuatro se exigirá además que s610 haya "punt os singulares en el interior. " Obsérvese que en dimensiones distintas de cuatro las CPL-variedades y las HMLF-variedades coinciden por 1.5. La "nota 1.6 nos dice que esto no es así en dimensi6n cuatro. De forma natural po demos considerar la relaci6n de bordismo entre las CPL-variedades cerradas, y gracias a 1 .9 se deduce facilmente que se trata de una relaci6n de equivalencia. Podemosentonces definir los grupos 1t~~L de CPLbordismo no orientado. 2 .1 Nota . Es interesante observar que la familia CPL no es cerrada para la operac i6n de tomar cilindro topo16gico. Así, como se vi6 en 1.2, ¿l aG xl no está 1n en CPL, pero sí lo está ¿ aG n. Sin embargo, 1.9 prueba que CPL está dotada de "un cilindro categorial que perm ite definir la relaci6n de bordismo . y 19 determina una equivalencia natural entre 't eor í a s de homología. 1t PnL(X,A) _ 41.. CPL (X A) n ' D la; fIax)UD (a; f) olv : aD(a;f) D(a;f) lk(A;D(a;f) = -1 .' AfI f (a) = fJ se tiene que lk(A;D(a;f») es PL-isomorfo a Si ahora -1 A·· • •• lk(A;D(a;f» = fl· (a)*D(oO;Ol)* •.• *D(o 1;0 )*D(o ;K) 00 qq q donde f I b~ (~) es la PL-esfera de la dimEonsi6n correspon diente . (ver [11 i . Entonce s, si dim A=O, se tiene Recordemos que si f: K ~L es simplicial y ' K ' ~ KY L'~ L son sub divisiones baricéntricas tales que f: K' ~ L" sigue siendo simplicial, se define la célula dual de aEL respecto a f como D(a;f) ={<oo,a¡, .. ,o >E K'I c-e f(oo)} q . { ~ '" Al} <o o, o ¡ , •• ,Oq > € K' a"i f(oo) Demostraci6n de 2.4. Si A=<So,t¡, •. ,w > es un q-símplice de D( a;f) tal que A(\ f1 ( ~ ) i 11l se tiene ' q fl:- 1 (a)*D(o ;K) si q';tO 0q q 0(0 ;K) si q=O q Como D(Oq;K) es FL··isomorfo a lk(oq;K), en el pz íme.r caso estamos ante la PL-esferao la PL-bola y en el segundo ante una PL-bola o PL-esfe ra de homología (ver 1.2a ). · AA PL (esto es posible pues 'r~3 ~ O). Este método no se puede seguir ' en el caso simgular ya que se · tropieza con el problema de extender aplicaciones contínuas. Siguiendo los procedimientos habituales tenemos definidos los grupos 1{~PL(X,A) de CPL~bordismo singular no orientado •. Además por 1.10, estos funtores son ?omot6picos. La demostraci6n de que dichos funtores definen una teoría de homología generalizada se realiza como en el caso de las seudovariedades (ver [2] ) o de las HML-variedades (ver [7J ), teniendo en cuenta que la existencia de entornos regulares es consecuecia de . la siguiente proposición so bre células duales. 2.4 Proposici6n. Si K es una triangulaci6n de M, CPL-variedad de dimensión n, y f: K ---'L es una aplicaci6n simplicial, dado a€L, la célula dual D(a;f) es una CPL-variedad de dimensi6n n-dim a. Además Si dirn A')O es fácil concluir que lk(A;D(a;f) es la 'PL-bola o la PLesfer¡¡.. 2 .5 Teorema. El morfismo olvido D(a;flao)*D(oo,a¡)* .. *D(O ;K) q Y es fácil comprobar que lk(A;D(a;f» es la PL-bola. La descripci6n de aD(a;f) se hace igual que en r7] C8] H. S ATO : [3j L. G LASER :"U nco untabl y many co nt racti ble ope n mani f ol ds " . Top6log y 6 (1967) 37-.42 [4] M.A. KE RVAI RE: "Smoot h homolog y spheres an d t hei r fundamental group". Trans . A.M. S. 144 (1969) 67-72 "Const ructing man ifolds by homo to py equival e nce . An obstruc ~ tion ·..ti o' c onstruct in g PL man ifolds from h omolog y mana ñol.ds" ·Ann . In s t. Fo urier 22(1 972) 271-286 [9J J .R . STALLI NGS : Lectures on Pol yh edr al Topolog y. Tata I ns t . B ~ mb a y 1968 [5J . R. C. KI RBY and M.G. SCHARLE MAN : " Eig ht fa ce s of the 'Poincaré homolog y 3-sp here". Proc. of the Geor g iá Topolo gy Co nf . 1977. Academic .P re ss 197 9. [6 J C.R .F. MAUN DER: Alg ebra i c Topolog y. Van Nos t r and 1970 [7J A. QUIN TERO: "Al gunos resulta dos sobre el bordismo de las variedades de homología" • . PQ .r apar ecer 20 2. 7 Not a. Aunque hemos trabajado s6lo en el ca so no orie ntado, todos los resul tados que aq uí se e xpo nen tienen la co rrespondiente ver si 6n para el caso orien - tado . t 1] M.M. CO HE N: . "Sim pl i c ia l structures and transverse cellularity" . Ann. of Mat h. ~(1 96 7) 218-2 45 [2] E. DO MI NGUEZ : "Gr upos de Se udo bordismo". Rev •. Aca d. C ienc. zaragoza 30 (1975 ) 5-16 REFE REN CIAS Demostraci6n . En el cas o absolut o es una c onsecuencia inmediata de las Broposiciones 1 .7, 1.8 ·y 1 .1 0. El caso relativo se deduce enton ces del lema ae los cinco. 2. 6 Not a . La HMLF-variedad ¿l H3 no puede ser componente del borde de n inguna HMLF-variedad de dimensi6 n 5, pues, como se dijo en 1.6 , H3 representa un elemento no nu lo del grupo e ~ . En par ticu lar , l a relaci6n clásica de bordismo no es reflex iva en estos ca so s. Consideremos entonces toda HMLF-variedad c errada de dimensi6n 4, M, como . l a uni 6n disjunta M a+M s' donde M a es la reuni6n de las componentes cone xas .que t ienen todos sus puntos singulares acíclicos y M s la reuni6n de aquellas co mponentes con al9ún pu nto singular no acíclico. Definimos, a partir de la descompos ici6n anterior, la sigui nte r elaci6n de "bordismo": M y M' son "bor - dantes" si M s= M ~ Y M a es bordan te a M~ por u na HMLF -variedad. Esta rela - ci 6n es de equivalencia y el c onjunto cociente lo de n otamo s por -11. ~MLF . La reuni6n .dis junta de los representantes s610 de termina una estructura de semig rupo sobre dicho co njunto, pues , por ejemplo, ¿l H3 no posee inverso.