Fundamentos de la teoría de la relatividad general: predicciones teóricas y verificacion experimental

Facultad de F´ısica Departamento de F´ısica de la Materia Condensada TRABAJO FIN DE GRADO Fundamentos de la Teor´ıa de la Relatividad General: predicciones te´oricas y verificaci´on experimental Laura Brenes Gil Sevilla, Junio de 2018 Facultad de F´ısica Departamento de F´ısica de la Materia Condensada TRABAJO FIN DE GRADO Fundamentos de la Teor´ıa de la Relatividad General: predicciones te´oricas y verificaci´on experimental El profesor tutor: Fdo: Diego G´omez Garc´ıa Fdo: Laura Brenes Gil Catedr´atico de Universidad A mis padres. Resumen En este libro se pretende que el lector adquiera unas nociones b´asicas sobre la teor´ıa de la relatividad general de Einstein. Para ello, en primera instancia, lo acercaremos al lenguaje en el que se escribe dicha teor´ıa: la geometr´ıa semiriemanniana y la m´etrica de Schwarzschild. Se estudiar´an, por tanto, los elementos geom´etricos necesarios para elaborarla, as´ı como la descripci´on del espacio-tiempo que envuelve dicha teor´ıa. Una vez asentados los conocimientos tanto de las herramientas matem´aticas que usaremos como del espacio de trabajo, procederemos a formular la teor´ıa de la relatividad general de una forma compacta, sencilla y, a la vez, elegante, como son las ecuaciones de campo de Einstein. Tras dotar a las ecuaciones anteriormente mencionadas de un significado f´ısico, se estudiar´a una ´unica soluci´on particular hallada por Schwarzschild. Como es de esperar, no puede faltar la concordancia de la teor´ıa formulada con los hechos experimentales, que estudiaremos en el ´ultimo cap´ıtulo. Estos hechos proporcionan apoyo y consistencia a las predicciones te´oricas. Por ´ultimo, el libro finaliza con un ap´endice que ser´a de utilidad para una lectura adecuada, ya que constituye la teor´ıa previa a la que se desarrolla aqu´ı, tambi´en formulada por Einstein: la teor´ıa de la relatividad especial. Abstract This book pretends the reader to acquire basic notions about Einstein’s theory of general relativity. To achieve it, in a first instance, we will introduce the language in which the theory is written: the semiriemannian geometry and the Schwarzschild’s metric. Thus, we will study the required geometric elements to develop it, as well as the description of the spacetime where the theory is envolved. Once we settle the knowledge of the mathematical tools and the workspace, we proceed to fomulate the general theory of relativity in a compact, simple and, at the same time, elegant way, as the Einstein’s field equations are. After we endow these equations with their physical meaning, we will study a particular solution found by Schwarzschild for a mass point in an otherwise empty spacetime. As required, the agreement between the formulated theory and the experimental results must be assessed, and this is the goal of the last chapter. These pieces of evidence provide support and consistency to the theoretical predictions. Finally, the book concludes with an useful appendix to help the reader with the previous theoretical background, i.e., the theory of special relativity. 2 Cap´ıtulo 1. Introducci´on po absoluto correspondiente a un sistema de referencia absoluto ligado a las estrellas fijas, igual para cualquier observador; sin embargo, ya en la relatividad especial, cada observador tiene su tiempo propio. Con respecto a la ecuaci´on 1.2, vemos que aparece el operador laplaciano en vez del operador invariante bajo TL d’alambertiano φ. Adem´as, un cambio en la distribuci´on de materia ρproduce una alteraci´on inmediata en el potencial a velocidad infinita en todo el universo, en lugar de hacer uso de los potenciales retardados y avanzados como ocurrir´ıa con el d’alambertiano. Aparte de que estamos hablando de velocidades superiores a la de la luz en el vac´ıo, ¿con respecto a qu´e observador se da la simultaneidad del cambio en la distribuci´on de materia en el universo y en el potencial, respectivamente? Si suponemos pues que la gravedad newtoniana usa un observador especial para que as´ı se cumplan las ecuaciones anteriores ya estar´ıamos violando el Principio de la Relatividad, cuya idea principal es que las leyes f´ısicas son las mismas en cualquier sistema de coordenadas. Estos no son los ´unicos problemas que surgen; la ecuaci´on 1.2 es v´alida para el caso est´atico, i.e., cuando la distribuci´on de materia no var´ıa, pero no explica bien el caso de fuentes no est´aticas. En resumidas cuentas, al incorporar la gravedad tenemos que tratar con observadores acelerados y no inerciales, no considerados por la relatividad especial. A Einstein se le ocurri´o la idea de considerar las part´ıculas libres en un sistema de referencia no inercial como part´ıculas en un sistema de referencia inercial sobre las que act´ua una fuerza ficticia: la gravedad. Esto se puede considerar partiendo de que el principio de equivalencia es cierto, es decir, de que la masa inercial y gravitacional son id´enticas. Esta igualdad condujo a Einstein a su experimento mental del ascensor en ca´ıda libre, donde la aceleraci´on 3 de cualquier part´ıcula respecto al ascensor es cero: la part´ıcula y el ascensor tienen la misma acelaraci´on relativa a la Tierra como resultado de la equivalencia entre masa gravitacional e inercial. Todas estas observaciones mentales se mantendr´ıan exactamente si el campo gravitatorio de la Tierra fuese realmente uniforme. Pero esto no es as´ı, pues act´ua radialmente. Sin embargo, podemos considerar que el ascensor cae durante un corto periodo de tiempo y que es espacialmente peque˜no, por tanto, podr´ıamos considerarlo como un sistema de referencia inercial. De este modo, las leyes de la relatividad especial se mantendr´ıan en el interior del ascensor. La soluci´on estar´a en considerar un espacio-tiempo con gravedad como un conjunto de peque˜nos trozos de espacio-tiempo plano, de forma que en cada trozo de cumplan las leyes de la relatividad especial y el conjunto forme un espacio que tiene curvatura globalmente. As´ı, las trayectorias de part´ıculas aceleradas por la gravedad no son m´as que l´ıneas rectas (trayectorias de part´ıculas libres) en un espacio curvo. Es necesario por tanto trabajar en un espacio con curvatura, pero que localmente parezca un espacio plano. Lo llamaremos variedad y a la herramienta de trabajo en dicho espacio, geometr´ıa diferencial. 4 Cap´ıtulo 1. Introducci´on Cap´ıtulo 2 Fundamentos de la geometr´ıa semiriemanniana En este primer cap´ıtulo nos familiarizaremos con las herramientas matem´aticas que son base para la teor´ıa de la relatividad general de Einstein. Comenzaremos por tomar coordenadas en un sistema de referencia y estudiar las relaciones entre distintos sistemas de coordenadas. Aprenderemos qu´e es un tensor y c´omo podemos trabajar con ellos, para as´ı despu´es poderlos emplear en nuestro espacio de trabajo, al que llamaremos variedad diferencial. 2.1. Coordenadas curvil´ıneas en el espacio Eucl´ıdeo 2.1.1. Sistemas de coordenadas Sea el espacio tridimensional R3. Podemos tomar coordenadas cartesianas en dicho espacio (x, y, z) y referirlas a cualquier otro sistema de coordenadas (u, v, w): x=x(u, v, w), y =y(u, v, w), z =z(u, v, w),(2.1) y, en el caso en el que la matriz de cambio de base sea invertible: u=u(x, y, z), v =v(x, y, z), w =w(x, y, z).(2.2) 6 Cap´ıtulo 2. Fundamentos de la geometr´ıa semiriemanniana Usando las ecuaciones 2.1, podemos construir un vector que d´e la posici´on de los puntos en el espacio en funci´on de las coordenadas u, v, w: r=x(u, v, w)i+y(u, v, w)j+z(u, v, w)k. Si diferenciamos parcialmente la ecuaci´on respecto de cada coordenada obtenemos un conjunto de vectores tangentes a las curvas coordenadas (no necesariamente ortogonales), obteniendo una base en cada punto P de R3,{eu,ev,ew}: eu=∂r ∂u,ev=∂r ∂v,ew=∂r ∂w. An´alogamente, empleando las ecuaciones 2.2 y diferenci´andolas, obtenemos una base alternativa en cada punto P, {eu,ev,ew} eu=∇u=∂u ∂xi+∂u ∂y j+∂u ∂z k, ev=∇v=∂v ∂xi+∂v ∂yj+∂v ∂z k, ew=∇w=∂w ∂x i+∂w ∂y j+∂w ∂z k. En el caso en que cada vector de las dos bases sean ortonormales entre s´ı, las bases coinciden. Una vez construidas las bases, podemos escribir cualquier vector en funci´on de las mismas: λ=λueu+λvev+λwew, λ=λueu+λvev+λwew. (2.3) Observaci´on 1 (Criterio se sumaci´on de Einstein).A partir de ahora, cada vez que aparezca un mismo ´ındice como super´ındice y como sub´ındice, se entender´a que se est´a sumando en ´el. As´ı, las ecuaciones 2.3 se pueden escribir como: λ=λieiyλ=λiei. Definici´on 1. Las componentes λide un vector λque surgen de la base natural {ei}reciben el nombre de componentes contravariantes, mientras que las componentes λide un vector λque surgen de la base dual {ei}reciben el nombre de 2.1. Coordenadas curvil´ıneas en el espacio Eucl´ıdeo 7 componentes covariantes. Definici´on 2. Llamamos coeficientes m´etricos gij al producto escalar de los vectores i-´esimo y j-´esimo de la base natural, i.e., gij =ei·ej. An´alogamente, gij = ei·ej. Observaci´on 2. Los coeficientes m´etricos son sim´etricos, i.e., gij =gji ygij =gji. Adem´as, gkjgji =δi k, donde δi kes la delta de Kronecker. Definici´on 3. Podemos por tanto escribir el producto escalar de dos vectores λ yµcomo: λ·µ=λiei·µjej=gijλiµj=λiei·µjej=gijλiµj=λiµi=λiµi.(2.4) 2.1.2. Transformaci´on de sistemas de coordenadas Consideremos dos sistemas de coordenadas curvil´ıneas en el espacio Eucl´ıdeo, que denotaremos por (u, v, w)y(u0, v0, w0), con bases {ei},{ei}y{ei0},{ei0}respectivamente. Escalares Definici´on 4. Llamamos escalares a aquellos elementos que permanecen invariantes bajo transformaciones de coordenadas. Un ejemplo de escalar ser´ıa el producto escalar de dos vectores. Vectores contravariantes Trabajando en la regi´on donde ambos sistemas de coordenadas est´an bien definidos, podemos escribir uno en funci´on del otro como ui0=ui0(uj) y ui=ui(uj0). Sea λ=λi0ei0.(2.5) Observaci´on 3. A partir de aqu´ı notaremos ei≡∂r ∂uiyei0≡∂r ∂ui0. 8 Cap´ıtulo 2. Fundamentos de la geometr´ıa semiriemanniana En virtud de la regla de la cadena, si llamamos Ui0 ja la matriz de derivadas parciales ∂ui0 ∂uj, tenemos: ∂r ∂uj=∂r ∂ui0 ∂ui0 ∂uj, de modo que ej=Ui0 jei0. As´ı tenemos que λ=λjej=λjUi0 jei0. Comparando con 2.5 tenemos la transformaci´on para las componentes contravariantes de un vector: λi0=Ui0 jλj. Vectores covariantes Sea µ=µi0ei0. Por definici´on, ei≡ ∇uiyei0≡ ∇ui0. Por la regla de la cadena tenemos que: ∇uj=∂uj ∂ui0∇ui0=⇒ej=Uj i0ei0. As´ı tenemos que µ=µjej=µjUj i0ei0. Comparando tenemos la transformaci´on para las componentes covariantes de un vector: µi0=Uj i0µj. Coeficientes m´etricos Partiendo de que ej0=Ui j0eiyej0=Uj0 iei, tenemos que: gi0j0=ei0·ej0= (Uk i0ek)·(Ul j0el) = Uk i0Ul j0gkl, de modo que la f´ormula de transformaci´on ser´ıa: gi0j0=Uk i0Ul j0gkl, y an´alogamente gi0j0=Ui0 kUj0 lgkl. 2.2. Campos de tensores en un espacio vectorial 9 2.2. Campos de tensores en un espacio vectorial Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre el cuerpo de los n´umeros reales. Definici´on 5. Dado r∈N, sea T0 r(V) = {f:Vr−→ R/f es r −lineal}. Los elementos de T0 r(V)se llaman tensores covariantes de tipo (0, r). Podemos considerar su suma directa ∞ X r=0 T0 r(V), que se denomina ´algebra de los tensores covariantes de V. Definici´on 6. Sean ωr∈T0 r(V),ωs∈T0 s(V). Se llama producto tensorial de ωr yωs, que se denota por ωr⊗ωsa un elemento de T0 r+s(V), que ser´a tal que si (v1, ...vr, vr+1, ..., vr+s)∈Vr+s, entonces: (ωr⊗ωs)(v1, ...vr, vr+1, ..., vr+s) = ωr(v1, ...vr)ωs(vr+1, ..., vr+s). Definici´on 7. Sea r∈N. A los elementos de Tr 0(V) = T0 r(V∗)se les llaman tensores contravariantes de tipo (r, 0), donde V∗es el dual de V. Al espacio ∞ X r=1 Tr 0(V), se denomina ´algebra de los tensores contravariantes de V. Puesto que T1 0(V) = T0 1(V∗) = V, puede considerarse el producto tensorial de dos vectores de V. Por ´ultimo definimos una nueva clase de tensores: Definici´on 8. Sean r, s ∈N. Entonces, los elementos de Tr s(V) = {f:Vs×V∗r−→ R/f es (s+r)−lineal}se llaman tensores mixtos de tipo (r, s). Adem´as, al conjunto T(V) = Pr,s∈NTr s(V)se le denomina ´algebra tensorial de V. 10 Cap´ıtulo 2. Fundamentos de la geometr´ıa semiriemanniana Definici´on 9. Sean T∈Tr s(V)yS∈Tr0 s0(V). Definimos el producto tensorial en T(V)como (X r,s T(r,s))⊗(X r0,s0 S(r0,s0)) = X r,s,r0,s0 T(r,s)⊗S(r0,s0). Sea {ea}una base de T(V). Entonces se induce una base dual en T∗(V), {ea}y una base para Tr s,{eb1...bs a1...ar}. As´ı, cada tensor τ∈Tr spuede expresarse como: τ=τa1...ar b1...bseb1...bs a1...ar. Si cambiamos la base de T(V), las componentes del tensor se ver´an afectadas de la siguiente forma: τa0 1...a0 r b0 1...b0 s=Xa0 1 c1...Xa0 r crXd1 b0 1...Xds b0 sτc1...cr d1...ds,(2.6) donde las matrices [Xa0 c] y [Xd b0] son las matrices jacobianas del cambio. 2.2.1. Ejemplos de tensores A continuaci´on introducimos un par de tensores relevantes: Definici´on 10. Definimos la delta de Kronecker como un tensor de rango (1,1): δi j=   0cuando i6=j 1cuando i=j Cabe destacar que la delta de Kronecker tendr´a las mismas componentes en cualquier sistema de coordenadas empleado. Definici´on 11. Se define el tensor Levi-Civita εi1...iNcomo: εi1...iN=         1cuando (i1...iN)es una permutaci´on par de (12...N) −1cuando (i1...iN)es una permutaci´on impar de (12...N) 0en caso contrario 2.2. Campos de tensores en un espacio vectorial 11 2.2.2. ´ Algebra de tensores Definici´on 12. Llamamos tensor sim´etrico a aquel tensor que cumple que Tij = Tji. Diremos que es antisim´etrico si se cumple que Tij =−Tji. Por ejemplo, el tensor m´etrico [gij] es sim´etrico. A continuaci´on veremos c´omo operaremos con estos nuevos elementos- Suma de tensores Sean Aa1...ar b1...bsyBc1...cr d1...dsdos tensores de rango (r, s). Entonces la operaci´on suma genera otro tensor Ce1...er f1...fsdel mismo rango: Aa1...ar b1...bs+Bc1...cr d1...ds=Ce1...er f1...fs. Producto por un escalar Sea Aa1...ar b1...bsun tensor de rango (r, s). Multiplicar por un escalar genera otro tensor Bc1...cr d1...dsdel mismo rango. Producto de tensores Sean Aa1...ar b1...bsun tensor de rango (r, s) y Bc1...cp d1...dqun tensor de rango (p, q). El producto de ambos genera un tensor de rango (r+p, s +q). Contracci´on de tensores Comenzaremos por bajar y subir ´ındices en un tensor. Sea Aa1...ar b1...bsun tensor de rango (r, s). Podemos obtener un tensor de rango (r−1, s + 1) bajando ´ındices, i.e.: Ba1...ar−1 kb1...bs=δklAa1...ar−1l b1...bs. Del mismo modo, podemos subir ´ındices para conseguir un tensor de rango (r+ 1, s −1). Tambi´en podemos bajar ´ındices mediante la contracci´on de un ´ındice contravariante con uno covariante. As´ı, podemos conseguir un tensor de rango (r− 18 Cap´ıtulo 2. Fundamentos de la geometr´ıa semiriemanniana Cap´ıtulo 3 El espacio-tiempo de la relatividad general En este cap´ıtulo se realiza un estudio exhaustivo de las geod´esicas y su gran importancia para la f´ısica, en concreto, en el marco de la gravitaci´on. Aprenderemos un nuevo concepto de derivada que nos llevar´a a formular en el marco de la relatividad general ecuaciones v´alidas en la f´ısica newtoniana. Para finalizar, conoceremos unos tensores relevantes relacionados con la curvatura y sus principales propiedades. 3.1. Geod´esicas Estamos acostumbrados a que cuando queremos ir de un sitio a otro por el camino m´as cercano, la trayectoria a seguir sea la recta que une esos dos lugares. Pues bien, una vez m´as, el sentido com´un nos juega una mala pasada. Lo anterior no es del todo cierto, y se debe a que depende de en qu´e espacio nos encontremos. En el espacio Eucl´ıdeo esta afirmaci´on s´ı que ser´ıa cierta, pero en general, en un espacio cualquiera, lo com´un es que no lo sea. Esto nos lleva a introducir un nuevo concepto: Definici´on 28. Llamamos geod´esica a la curva de m´ınima longitud que une dos puntos. Como hemos indicado, en el espacio Eucl´ıdeo las geod´esicas son l´ıneas rectas, 20 Cap´ıtulo 3. El espacio-tiempo de la relatividad general pero en general no se cumplir´a en una variedad. ¿Qu´e condici´on debe satisfacerse para que una curva sea una geod´esica? Este ser´a nuestro prop´osito en este apartado. 3.1.1. Ecuaciones de movimiento Consideremos una part´ıcula libre. En ese caso, la Lagrangiana coincidir´a con su energ´ıa cin´etica: L=m 2v2=m 2gij dxi dt dxj dt =m 2gij ˙xi˙xj. Las ecuaciones de Lagrange que han de cumplirse son: d dt ∂L ∂˙xl−∂L ∂xl= 0.(3.1) De ahora en adelante notaremos ∂ ∂xl(...) = (...),l. Por tanto, ∂L ∂˙xl=mgil ˙xi,∂L ∂xl=L,l =m 2gij,l ˙xi˙xj. Y de 3.1 se tiene que gil ¨xi+gil,j ˙xi˙xj−1 2gij,l ˙xi˙xj= 0. Despejando gil,j ˙xi˙xj=1 2(gil,j +gjl,i) ˙xi˙xj. Multiplicando por gµν y sumando en ltenemos: ¨xk+ Γk ij ˙xi˙xj= 0, donde hemos escrito Γk ij =1 2gkl(gil,j +gjl,i −gij,l).(3.2) En la ecuaci´on 3.2 quedan definidos los coeficientes de Christoffel, que desempe˜nan un papel importante en la geometr´ıa diferencial. Estos coeficientes son sim´etri- 3.1. Geod´esicas 21 cos, i.e.: Γk ij = Γk ji, y como consecuencia, en el espacio tridimensional solo existen dieciocho coeficientes distintos. 3.1.2. La ecuaci´on de la geod´esica Como hemos indicado, una geod´esica debe minimizar la distancia entre dos puntos de una variedad: Zds =extremo. Sin embargo, la labor se dificulta en un espacio semiriemanniano ya que ds2pue- de ser cero y negativo. Emplearemos por tanto el Principio variacional. Sea t un par´ametro inicialmente arbitrario que tome el mismo valor en los puntos inicial y final PyQrespectivamente. Entonces: s=ZQ P ds =ZQ P ds dt dt =ZQ Prgij dxi dt dxj dt dt =extremo. (3.3) Este problema variacional tiene la forma matem´atica del Principio de Hamilton con la Lagrangiana L=pgijx0ix0j=√F, x0i≡dxi dt .(3.4) Por tanto, la geod´esica debe cumplir las ecuaciones de Lagrange: d dt ∂L ∂x0l−∂L ∂xl=d dtgilx0i √F−1 2√Fgij,lx0ix0j =1 2F√F−dF dt gilx0i+ 2Fd dt(gilx0i)−Fgij,lx0ix0j= 0. (3.5) De las ecuaciones 3.3 y 3.4 se tiene que Fes constante y de 3.5 obtenemos la ecuaci´on diferencial de la geod´esica: d2xk dt2+ Γk ij dxi dt dxj dt = 0. 22 Cap´ıtulo 3. El espacio-tiempo de la relatividad general Si elegimos tcomo un par´ametro af´ın tenemos que la geod´esica dada por xi(u) satisface: d2xk du2+ Γk ij dxi du dxj du = 0. donde Γk ij son los coeficientes de Christoffel definidos en 3.2. 3.2. Transporte paralelo de vectores a lo largo de una curva Sea γuna curva en el espacio tridimensional Eucl´ıdeo dada param´etricamente por ui(t), P0con par´ametro t0un punto inicial en la curva y λ0un vector. Podemos transportar el vector λ0a lo largo de la curva γsin cambiar su direcci´on o longitud, de forma que obtenemos un campo de vectores paralelos λ(t) a lo largo de γ. Puesto que no hay cambio en la longitud ni direcci´on, se satisface: dλ dt = 0,con λ0(t) = λ0. Escribiendo λen la base natural, i.e., λ=λieiy usando puntos para diferenciar respecto a ttenemos: 0 = dλ dt =dλiei dt =˙ λiei+λi˙ ei.(3.6) Adem´as, ˙ ei=∂jei˙ujy en cada punto del espacio: ∂jei= Γk ijek. Sustituyendo en 3.6: (˙ λi+ Γi jkλj˙uk)ei= 0 =⇒˙ λi+ Γi jkλj˙uk) = 0. La ecuaci´on anterior es la ecuaci´on de transporte paralelo a lo largo de una curva en el espacio Eucl´ıdeo. Extendi´endola a una variedad Mn-dimensional: ˙ λa+ Γa bcλb˙xc= 0,(3.7) 3.3. Derivada absoluta y covariante 23 donde Γa bc son los coeficientes de Christoffel definidos en 3.2 y ˙xaes el vector tangente que surge de la parametrizaci´on xa(u) de la curva γ. Supongamos ahora que transportamos un vector λaen Pcon par´ametro ua lo largo de la curva parametrizada γhasta un punto cercano Q, con par´ametro u+δu. Sea ¯ δa≡λa+δλael vector transportado. Tenemos que: δλa≃dλa du δu. De la ecuaci´on 3.7 dλa du =−Γa bcλbdxc du , llegando as´ı a: ¯ λa≃λa−Γa bcλbdxc du δu ≃λa−Γa bcλbδxc,(3.8) as´ı que tenemos una aplicaci´on lineal desde el espacio tangente en Phasta el espacio tangente en Q. 3.3. Derivada absoluta y covariante En esta secci´on consideramos campos definidos a lo largo de una curva mejor que en una regi´on Ude la variedad Mcuyas componentes son funciones del par´ametro u empleado para etiquetar los puntos de dicha curva, de modo que las derivadas ser´an respecto a u. Cuando derivamos un campo de vectores respecto a u, el resultado no es necesariamente componente de un tensor. Por ello es necesaria una modificaci´on de derivada total que dirige al concepto de derivada absoluta. Adem´as, debemos modificar tambi´en las derivadas parciales de los campos de tensores definidos en una regi´on, teniendo as´ı la llamada derivada covariante. Ambas derivadas dependen de la noci´on de paralelismo introducida previamente y suponen un papel importante en la formulaci´on de la teor´ıa de la relatividad 24 Cap´ıtulo 3. El espacio-tiempo de la relatividad general general. 3.3.1. Derivada absoluta Sea λa(u) un campo de vectores definido a lo largo de una curva γdada param´etricamente por xa(u). Como hemos indicado previamente, las derivadas dλa du no son las componentes de un vector. Para verlo, usamos otro sistema de coordenadas (prima) que relacionamos con el anterior: dλa0 du =d(Xa0 bλb) du =Xa0 b dλb du +Xa0 bc dxc du λb, donde el t´ermino Xa0 bc =∂2xa0 ∂xb∂xcser´ıa nulo si dλ du fuesen componentes de un vector. Supongamos que tenemos Pun punto de γcon valor de par´ametro uyQun punto cercano a Pcon valor de par´ametro u+δu. Entonces λa(u+δu) es un vector en Q. Sea ¯ λael vector obtenido por transporte paralelo de λa(u) en PaQ. La diferencia λa(u+δu)−¯ λaes un vector en Q, al igual que el cociente λa(u+δu)−¯ λa δu . Si hacemos δu →0, obtenemos la derivada absoluta Dλa du de λa(u) en γ. As´ı: λa(u+δu)≃λa(u) + dλa du δu, y de la ecuaci´on 3.8: ¯ λa≃λa(u)−Γa bcλb(u)δxc λa(u+δu)−¯ λa δu ≃dλa du + Γa bcλb(u)δxc δu . Definici´on 29. Llamamos derivada absoluta al l´ımite del cociente que resulta al hacer δu →0en la expresi´on anterior, con el punto Qtendiendo a P, i.e., Dλa du ≡dλa du + Γa bcλbdxc du ,(3.9) donde todas las cantidades est´an evaluadas en el mismo punto Pde γ. 3.3. Derivada absoluta y covariante 25 As´ı, la derivada absoluta de un campo de vectores λaa lo largo de una curva γ no solo involucra la derivada total dλa du , sino tambi´en los coeficientes de conexi´on Γa bc. Cabe destacar que una vez definida la derivada absoluta, la ecuaci´on 3.7 para el transporte paralelo de un vector contravariante a lo largo de una curva se reduce aDλa du = 0. Esta condici´on puede ser extendida a un campo de tensores τa1...ar b1...bs definidos en la curva γcomo Dτa1...ar b1...bs du = 0. A continuaci´on imponemos una serie de condiciones en el operador diferencial D/du aplicado a campos de tensores definidos a lo largo de una curva parametrizada por u: 1. D/du aplicado a un campo de tensores devuelve otro campo de tensores del mismo tipo. 2. D/du es un operador lineal: D(σab c+τab c)/du =Dσab c/du +Dτab c/du D(kτab c)/du =k(Dτab c/du),con k constante. 3. D/du satisface la regla de Leibniz respecto al producto de tensores: D(σa bτcd)/du = (Dσa b/du)τcd +σa b(Dτcd/du). 4. Dφ/du =dφ/du, ∀φcampo escalar. A continuaci´on veremos c´omo resultar´ıan las derivadas absolutas para ciertos campos: Derivada absoluta de un campo escalar De la condici´on cuarta: Dφ du =dφ du.(3.10) 26 Cap´ıtulo 3. El espacio-tiempo de la relatividad general Derivada absoluta de un campo de vectores contravariantes Notando las derivadas con puntos, la ecuaci´on 3.9 queda como: Dλa du ≡˙ λa+ Γa bcλb˙ dxc.(3.11) Derivada absoluta de un campo de vectores covariantes Sean µayλaun campo de vectores covariantes y contravariantes respectivamente. Entonces λaµaes un campo escalar. Usando 3.10 y la condici´on 3 se obtiene: Dµa du = ˙µa−Γd acµd˙xc. Derivada absoluta de un campo de tensores de tipo (r, s) Sea τa1...ar b1...bs un tensor de tipo (r, s). Su derivada covariante estar´a dada por la suma de las derivadas totales ˙τa1...ar b1...bsde sus componentes, rt´erminos de la forma Γak cd τ...c... ... ˙xdyst´erminos de la forma −Γc bkdτ... ...c... ˙xd. Por ejemplo: Dτab c du = ˙τab c+ Γa deτdb c˙xe+ Γb deτad c˙xe−Γd ceτab d˙xe. 3.3.2. Derivada covariante La derivada covariante surge cuando el campo de tensores est´a definido en un abierto U⊆Mvariedad diferenciable. De modo que sea λaun campo de vectores contravariantes definido en Uy sea γuna curva en U. Entonces, podemos restringir λaaγy por 3.11: Dλa du ≡˙ λa+ Γa bcλb˙ dxc, pero ˙ λa=∂λa ∂xc˙xc, as´ı que: Dλa du =∂λa ∂xc+ Γa bcλb˙xc. La expresi´on entre par´entesis constituye las componentes de un tensor de tipo (1,1) que no depende de la curva, tan solo de las componentes λay de sus derivadas 3.3. Derivada absoluta y covariante 27 en el punto en cuesti´on. Observaci´on 4. Recordamos que abrevi´abamos ∂/∂xacomo ∂a. Tambi´en es v´alido notarlo con una coma seguida de un sub´ındice aescrito despu´es del objeto sobre el que se act´ua. Definici´on 30. Llamamos derivada covariante a la expresi´on anteriormente descrita, y la notamos por λa ;c: λa ;c=∂cλa+ Γa bcλb=λa ,c + Γa bcλb. Vemos ahora c´omo queda la derivada covariante para ciertos campos. Derivada covariante para un campo escalar Sea φun campo escalar. Entonces: φ;a≡∂aφ. Derivada covariante para un campo de vectores contravariantes Sea λaun campo de vectores contravariantes. La derivada covariante ser´a: λa ;b≡∂bλa+ Γa cbλc. Derivada covariante para un campo de vectores covariantes Supongamos µaun campo de vectores covariantes. Tenemos que: µa;c≡∂cµa−Γb acµb. Derivada covariante para un campo de tensores Consideremos ahora un campo de tensores τab de tipo (2,0). Entonces: τab ;c≡∂cτab + Γa dcτdb + Γb dcτad. 34 Cap´ıtulo 3. El espacio-tiempo de la relatividad general Intercambiando bycy restando podemos observar c´omo var´ıa el resultado al cambiar el orden de las derivadas covariantes: λa;bc −λa;cb =∂bΓd ac −∂cΓd ab + Γe acΓd eb −Γe abΓd ec. Definici´on 31. Llamamos tensor de curvatura otensor de Riemann al tensor de tipo (1,3) siguiente: Rd abc ≡∂bΓd ac −∂cΓd ab + Γe acΓd eb −Γe abΓd ec.(3.20) Observaci´on 6. Las derivadas covariantes de un tensor pueden ser intercambiadas si y solo si Ra bcd = 0. Una vez introducido el tensor de Riemann, podemos dar una definici´on formal de espacio plano: Definici´on 32. Sea Muna v.d. Se dir´a que U⊆Mabierto es plano si en cada punto P∈Use verifica que Ra bcd = 0. En otro caso, se dir´a que Ues curvo. En principio Ra bcd tiene N4componentes, pero en realidad gracias a las simetr´ıas que cumple, que se ven seguidamente, se reduce a N2(N2−1)/12 componentes independientes. Identidad c´ıclica: Ra bcd +Ra cbd +Ra dbc = 0. Escribiendo Rabcd ≡gaeRe bcd podemos escribir las simetr´ıas de forma simplificada: Teniendo en cuenta las siguientes expresiones y manipulando un poco: Γabc ≡1 2(∂bgac +∂cgba −∂agbc), Γabc =gadΓd bc, Γabc + Γbac =∂cgab, obtenemos: Rabcd ≡1 2(∂d∂agbc −∂d∂bgad −∂c∂agbd)−gef (ΓeacΓfbd −ΓeadΓfbc), 3.6. Tensores de curvatura 35 de donde es f´acil ver las siguientes relaciones de simetr´ıa: Rabcd =−Rbacd, Rabcd =−Rabdc, Rabcd =Rcdab. (3.21) De lo anterior se sigue que Ra acd = 0. De las derivadas covariantes tambi´en surge otra identidad: Identidad de Bianchi: Ra bcd;e+Ra bde;c+Ra bec;d= 0. A continuaci´on vemos otros elementos relevantes que surgen del tensor de curvatura: Definici´on 33. Llamamos tensor de Ricci (sim´etrico) a la contracci´on del tensor de curvatura: Rab ≡Rc abc. Definici´on 34. Llamamos escalar de curvatura a la contracci´on del tensor de Ricci: R≡gabRab =Ra a. Definici´on 35. Llamamos tensor de Einstein al tensor sim´etrico Gab a: Gab ≡Rab −1 2Rgab. Lema 2. La divergencia del tensor de Einstein Gab ;aes cero. Demostraci´on: Contrayendo acon den la identidad de Bianchi resulta Rbc;e+Ra bae;e+Ra bec;a= 0, o, con la segunda ecuaci´on de 3.21, Rbc;e−Rbe;c+Ra bec;a= 0. 36 Cap´ıtulo 3. El espacio-tiempo de la relatividad general Subiendo by contrayendo con e: Rb c;b−R;c+rab bc;a= 0. Pero de la tercera ecuaci´on de 3.21, Rab bc;a=Rba cb;a=Ra c;a=Rb c;b, as´ı que lo anterior queda reducido a 2Rb c;b−R;c= 0, que, dividiendo por dos y usando la primera ecuaci´on para la delta de 3.12, da: Rb c−1 2Rδb c;b = 0. Por tanto, Gb c;b= 0, que implica que Gbc ;b= 0.  3.7. Desviaci´on geod´esica En esta secci´on vamos a ver cu´al es la desviaci´on entre dos geod´esicas cercanas. Sean xa(u, p) una familia de geod´esicas y u, p los par´ametros. Consideremos las derivadas parciales: ∂xa ∂u ≡ta,∂xa ∂p ≡ξa,∂ta ∂p ≡∂ξa ∂u , donde el vector tangente taapunta en la direcci´on de la velocidad, y ξadp es el vector de desplazamiento entre dos geod´esicas cercanas. Seg´un la definici´on de derivada 3.7. Desviaci´on geod´esica 37 absoluta para un campo de vectores contravariantes dada por la ecuaci´on 3.9: Dta dp =∂2xa ∂u∂p + Γa cbtcξb, Dξa du =∂2xa ∂u∂p + Γa cbξctb. De modo que gracias a la simetr´ıa de los coeficientes de Christoffel Γa bc = Γa cb, se tiene que Dta dp =Dξa du . Calculemos ahora D2ξa du2: D2ξa du2=D duDta dp =D du∂ta ∂p + Γa cbtcξb= =∂2ta ∂u∂p + Γa cb,dtdtcξb+ Γa cb∂tc ∂u ξb+tc∂ξb ∂u + Γa ef ∂te ∂p + Γe cbtcξbtf. (3.22) Podemos simplificar la ecuaci´on anterior utilizando que: 0 = D dp Dta du =D dp∂ta ∂u + Γa cbtctb. Esto conduce a ∂2ta ∂u∂p =−Γa cb,dξdtctb−Γa cb∂tc ∂p tb+∂tb ∂p tc−Γa ef ∂te ∂u + Γe cbtctbξf. Sustituyendo en 3.22 y teniendo en cuenta la simetr´ıa de los coeficientes de Christoffel se tiene: D2ξa du2=tdtcξb(Γa cb,d −Γa cd,b + Γa edΓe cb −Γa ebΓe cd. Por la definici´on de tensor de curvatura y usando las propiedades 3.21 se tiene que: D2ξa du2=tdtcξbRa cdb. 38 Cap´ıtulo 3. El espacio-tiempo de la relatividad general De modo que la ecuaci´on de la desviaci´on de la geod´esica es: D2ξa du2+Ra cbdξb˙xc˙xd= 0.(3.23) Cabe destacar que en una v.d. plana (Ra bcd = 0), y en coordenadas cartesianas D/du =d/du, la ecuaci´on anterior se reduce a D2ξa du2. Cap´ıtulo 4 Fundamentos de la teor´ıa de gravitaci´on de Einstein En este cap´ıtulo estudiaremos un nuevo tensor que ser´a clave para la relatividad general. En ´el quedar´a recogida toda la informaci´on referente al objeto masivo que produce un campo gravitatorio. Adem´as, estableceremos la relaci´on existente entre dicha masa y la deformaci´on producida en la curvatura del espacio-tiempo. A esta relaci´on se le conoce como ecuaciones de campo de Einstein, que formulan toda la teor´ıa de la relatividad general de una forma sencilla y elegante. Para finalizar, estudiaremos una soluci´on particular hallada por Schwarzschild a estas ecuaciones y el significado f´ısico de la misma. 4.1. El tensor energ´ıa-momento Consideremos en primer lugar una v.d. plana y un sistema de coordenadas inercial. Antes de introducir el tensor energ´ıa-momento necesitamos algunas nociones previas. Puesto que vamos a trabajar con vectores de tres y cuatro componentes, los denotamos como: λµ≡(λ0, λ1, λ2, λ3)≡(λ0,λ). Consideremos una part´ıcula que se mueve en la variedad. Usaremos cantidades 40 Cap´ıtulo 4. Fundamentos de la teor´ıa de gravitaci´on de Einstein como: m≡masa propia de la part´ıcula, t≡tiempo propio, γ≡dt/dτ = (1 −v2/c2)−1/2,donde v es la velocidad de la part´ıcula, E≡γmc2≡energ´ıa de la part´ıcula, uµ≡dxµ/dτ ≡velocidad del mundo, vµ≡dxµ/dt ≡uµ/γ ≡componentes de la velocidad, pµ≡muµ≡tetravector momento de la part´ıcula. Para una part´ıcula en movimiento, pµ≡muµ=γmvµ= (γmc, γmv) = (E/c, p), es decir, en la relatividad, energ´ıa y momento son las componentes temporal y espaciales del tetravector pµ. Si pasamos a una distribuci´on continua de materia como puede ser un fluido perfecto, hemos de emplear tanto sus campos escalares y vectoriales caracter´ısticos. Estos son su densidad ρ, su presi´on py su velocidad del mundo uµrespectivamente. Para que ρsea un campo escalar hemos de definir la densidad propia, que es la masa propia por unidad de volumen. En lugar del tetravector momento pµusaremos el tetravector densidad momento ρuµ. Buscamos un tensor que represente la energ´ıa del fluido y que cuando trabajemos en una variedad curva pueda actuar como fuente del campo gravitatorio. Puesto que en relatividad no hay distinci´on entre energ´ıa y masa, todas las formas de energ´ıa producen un campo gravitatorio. Es m´as, la fuente debe contener el tetravector densidad momento del fluido. Definimos por tanto el tensor energ´ıa-momento para un fluido perfecto: Definici´on 36. Llamamos tensor energ´ıa-momento para un fluido perfecto en una variedad diferencial plana a Tµν ≡(ρ+p/c2)uµuν−pηµν, 4.1. El tensor energ´ıa-momento 41 donde pes la presi´on del fluido y ρsu densidad. Lo primero que debemos observar es que el tensor es sim´etrico, i.e., Tµν =Tνµ. Adem´as se tiene que Tµνuν=c2(ρ+p/c2)uµ−puµ=c2ρuµ, de modo que Tµνuνes, salvo un factor c2, el tetravector densidad momento del fluido. Observaci´on 7. Las ecuaciones de continuidad del fluido quedan recogidas como Tµν ,µ = 0, i.e., divergencia del tensor energ´ıa momento es cero. La ecuaci´on anterior no es m´as que una ecuaci´on de continuidad que rige el movimiento de la materia bajo la influencia de un campo gravitatorio. Ahora ya podemos dar el salto a una variedad curva. Para ello empleamos el principio de m´ınimo acoplo: Definici´on 37. Llamamos tensor energ´ıa-momento para un fluido perfecto en una variedad diferencial curva a Tµν ≡(ρ+p/c2)uµuν−pgµν,(4.1) donde pes la presi´on del fluido y ρsu densidad. Por ´ultimo, en virtud de la observaci´on anterior y del principio de m´ınimo acoplo se tiene que la derivada covariante del tensor en cuesti´on es nula: Tµν ;µ= 0. 42 Cap´ıtulo 4. Fundamentos de la teor´ıa de gravitaci´on de Einstein 4.2. Ecuaciones de campo de Einstein Como ya sabemos, la idea de la teor´ıa de la gravitaci´on de Einstein se basa en geometrizar la fuerza gravitatoria. En 1909-13 Einstein se dio cuenta de que el tensor m´etrico gµν que describe la geometr´ıa del espacio-tiempo parece estar relacionado con la cantidad de materia en la regi´on en cuesti´on. Los campos gravitatorios est´an producidos por la materia, entendi´endose materia en el contexto de la relatividad general. Es por ello por lo que se comienza a buscar unas ecuaciones que plasmen dicha relaci´on, conocidas como ecuaciones de campo. Parece razonable que las ecuaciones de campo satisfazcan ciertos requisitos: 1. Las ecuaciones de campo deben ser ecuaciones de tensores (independientes del sistema de coordenadas). 2. Al igual que las otras ecuaciones de campo de la f´ısica, deben ser ecuaciones diferenciales (parciales) de al menos segundo orden en las funciones a determinar (las componentes del tensor m´etrico gµν). 3. Tambi´en deben, en el l´ımite, tender a la ecuaci´on de Poisson 1.2: ∇2= 4πGρ. 4. Como el tensor energ´ıa-momento es el an´alogo de la densidad de masa en la relatividad especial, dicho tensor deber´ıa ser la causa (fuente) del campo gravitatorio. 5. Si la variedad diferencial Mes plana, entonces Tµν debe ser nulo. De lo anterior se deduce que necesitamos un tensor que contenga solo derivadas de la m´etrica de m´ınimo segundo orden. Por la condici´on 4 se sigue que las ecuaciones de campo tienen la forma: Gµν =κTµν,(4.2) donde la constante κest´a a´un sin determinar y Gµν es el tensor de Einstein. Esta expresi´on es consistente con la simetr´ıa y la divergencia cero del tensor energ´ıamomento si y solo si: Gµν ;ν= 0 y Gµν =Gνµ, 4.3. L´ımite Newtoniano 43 pero eso ya lo ten´ıamos de antes. Las ecuaciones de campo de Einstein muestran c´omo la curvatura del espacio (representada por el tensor de Ricci) est´a relacionada con la distribuci´on de materia (representado por el tensor energ´ıa-momento). Constituyen un total de diez ecuaciones diferenciales para hallar los diez coeficientes m´etricos gµν. Sin embargo, incluso sujeto a condiciones iniciales, el sistema no tiene soluci´on ´unica, siendo siempre posible llevar a cabo transformaciones de coordenadas. 4.2.1. Ecuaciones de campo en el vac´ıo Las ecuaciones de campo 4.2 tambi´en pueden ser escritas como: Rµν =κTµν −1 2Tgµν,(4.3) donde T=Tµ µ. Definici´on 38. Se dir´a que una regi´on est´a vac´ıa si Tµν = 0, i.e., si dicha regi´on no contiene materia ni tampoco energ´ıa radiactiva o momento. De la ecuaci´on 4.3 se sigue f´acilmente que para una regi´on vac´ıa las ecuaciones de campo toman la forma: Rµν = 0. 4.3. L´ımite Newtoniano A continuaci´on vamos a comprobar la validez de las ecuaciones de campo de Einstein en el l´ımite newtoniano. Lo haremos en primer lugar en el vac´ıo, y finalmente, en general. 50 Cap´ıtulo 4. Fundamentos de la teor´ıa de gravitaci´on de Einstein v´alida solo donde se cumplen las ecuaciones de campo en el vac´ıo. El motivo del segundo l´ımite inferior 2GM/c2no es otro que cuando rtiende a ´el, la componente g11 del tensor m´etrico tiende a infinito, de modo que el conjunto de valores que puede tomar la coordenada res rB< r < ∞o bien 2GM/c2< r < ∞. En el caso de que rdecreciera hasta 2GM/c2sin que rBsea alcanzado primero, el objeto en cuesti´on se tratar´a de un agujero negro, aunque no entraremos a discutir tal cuesti´on. 4.5. Longitud y tiempo La ecuaci´on 4.9 puede ser escrita denotando m≡GM/c2como c2dτ2= (1 −2m/r)c2dt2−(1 −2m/r)−1dr2−r2dθ2−r2sin2θ dφ2.(4.10) En el caso de tconstante, el elemento de l´ınea resulta: ds2= (1 −2m/r)−1dr2+r2dθ2+r2sin2θ dφ2.(4.11) Para una esfera de radio rconstante , el elemento de l´ınea anterior se reduce a dL2=r2(dθ2+ sin2θ dφ2), lo cual lleva a dL ≡r(dθ2+ sin2θ dφ2)1/2, de forma que la esfera tiene la geometr´ıa de una esfera bidimensional en el espacio Eucl´ıdeo. Cuando las distancias radiales θyφson constantes, el elemento de l´ınea 4.11 queda dR ≡(1 −2m/r)−1/2dr, (4.12) es decir, dR > dr, o, dicho de otro modo, rya no mide la distancia radial. Respecto al ´ambito temporal, un reloj situado en el espacio (r, θ, φ) constante, 4.5. Longitud y tiempo 51 medir´a el tiempo propio, que de 4.11 toma la expresi´on dτ = (1 −2m/r)1/2dt. (4.13) Analizando la expresi´on anterior observamos que cuando la masa mtiende a cero (variedad plana), el tiempo propio que mide el reloj es el tiempo tde las coordenadas. Sin embargo, para espacio-tiempos no planos, dτ < dt y el reloj ya no medir´a t. No obstante, tanto para dR como para dτ, cuando r→ ∞, se tiene que dR →dr y que dτ →dt. Por ´ultimo, en la siguiente tabla comparamos las expresiones de longitud y tiempo para la relatividad especial y general respectivamente: Relatividad especial Relatividad general dl =dl0(1 −v2/c2)1/2dr =dR(1 −2m/r)1/2 dt =dτ(1 −v2/c2)−1/2dt =dτ(1 −2m/r)−1/2 Cuadro 4.1: Longitud y tiempo en distintas m´etricas. Cabe destacar que, para la relatividad especial, ves constante, y ni la longitud ni el tiempo infinitesimal dependen de la posici´on. En cambio, en la m´etrica de Schwarzschild s´ı que dependen de la coordenada rvariable. 52 Cap´ıtulo 4. Fundamentos de la teor´ıa de gravitaci´on de Einstein Cap´ıtulo 5 Tests cl´asicos de la relatividad general En los cap´ıtulos anteriores hemos formulado la Teor´ıa de la Relatividad General, una teor´ıa de la gravedad a la que hemos llegado con las ecuaciones de Einstein, las cuales establecen una clara relaci´on entre la masa y la deformaci´on del espaciotiempo producida por la curvatura. Sin embargo, esta teor´ıa debe adaptarse bien a la naturaleza, es decir, debe estar de acuerdo con las evidencias experimentales. En este cap´ıtulo se exponen varias pruebas que apoyan esta famosa teor´ıa de Einstein, aport´andole m´as confianza a´un. 5.1. El efecto Doppler gravitacional Los famosos corrimiento hacia el rojo o hacia el azul son evidencias experimentales que respaldan la relaci´on 4.13 entre el tiempo propio y la coordenada temporal. Supongamos que una se˜nal es enviada desde un punto (rE, θE, φE) en el momento tEpara el emisor, de forma que el suceso ocurre en (tE, rE, θE, φE). Esta se˜nal es recibida en el punto (rR, θR, φR) en el momento tRpara el receptor, i.e., el suceso ocurre en (tR, rR, θR, φR). Sea ues un par´ametro af´ın tal que u=uEen el suceso de emisi´on, y u=uRen el suceso de recepci´on. Si el camino seguido por la se˜nal es 54 Cap´ıtulo 5. Tests cl´asicos de la relatividad general una geod´esica nula, i.e., c2dτ2= 0, entonces de la ecuaci´on 4.11 se deduce que: (1 −2m/r)c2(dt/du)2= (1 −2m/r)−1(dr/du)2+r2(dθ /du)2+r2sin2θ(dφ/du)2, de modo que, si ˜gij =−gij, dt du =1 c1−2m r−1 ˜gij dxi du dxj du 1/2 . Integrando obtenemos tR−tE=1 cZuR uE1−2m r−1 ˜gij dxi du dxj du 1/2 du. Como podemos comprobar, el miembro de la derecha solo depende del camino seguido, por lo que no depende de la se˜nal en s´ı. Es decir, si tuvi´esemos otra se˜nal 2, el tiempo que tarda en recibirse desde que se envi´o es el mismo que para la se˜nal 1: t(1) R−t(1) E=t(2) R−t(2) E. De lo anterior se deduce que el retardo en recibir la se˜nal 2 tras recibir la se˜nal 1 es exactamente el tiempo de diferencia de emisi´on de cada se˜nal, i.e., ∆tR=t(2) R−t(1) R=t(2) E−t(1) E= ∆tE.(5.1) Por otro lado conocemos la relaci´on del tiempo propio con la coordenada temporal para cada observador: ∆τE= (1 −2m/rE)1/2∆tE, ∆τR= (1 −2m/rR)1/2∆tR. Como de 5.1 se tiene que ∆tR= ∆tE, tenemos ∆τR ∆τE =1−2m/rR 1−2m/rE1/2 . A continuaci´on vemos la interpretaci´on f´ısica. Imaginemos que la se˜nal enviada se 5.1. El efecto Doppler gravitacional 55 trata de un ´atomo pulsante que emite npulsos en un tiempo ∆τE, i.e., la frecuencia de emisi´on es νE=n/∆τE. An´alogamente, la frecuencia de recepci´on de los pulsos ser´a νR=n/∆τR. Como ∆τE6=DeltaτR, la frecuencia de emisi´on y recepci´on de los pulsos de cada observador respectivamente no ser´a la misma. De hecho: νR νE =1−2m/rE 1−2m/rR1/2 =1−2GM/rEc2 1−2GM/rEc21/2 ,(5.2) con m≡GM/c2. En el caso en el que rEc22GM yrRc22GM, desarrollando en serie se tiene νR νE≈1 + GM c21 rR−1 rE. De lo anterior resulta: ∆ν νE≡νR−νE νE≈GM c21 rR−1 rE.(5.3) Esta ´ultima ecuaci´on tiene un gran significado f´ısico: si el emisor est´a m´as cerca del objeto masivo que el receptor, entonces 1/rR<1/rE, siendo as´ı ∆ν/νE<0. La traducci´on ser´ıa que se produce un corrimiento hacia el rojo. Por el contrario, si es el receptor el que est´a m´as cerca del objeto masivo se tiene que 1/rR>1/rE, y por tanto ∆ν/νE>0, produci´endose as´ı un corrimiento hacia el azul. La ecuaci´on 5.3 ha sido verificada experimentalmente en 1960 por Robert Pound y Glen Rebka en el Jefferson Laboratory de la Universidad de Harvard. El experimento estaba basado en la emisi´on y absorci´on de fotones por parte de un ´atomo excitado o en su estado fundamental. La luz emitida o absorbida depender´a del campo gravitatorio terrestre, ya que se dar´a el efecto Doppler gravitacional. Para poder cuantificar dicho efecto, los cient´ıficos anteriormente mencionados trataron de contrarrestarlo con el efecto Doppler cinem´atico. Para ello movieron la fuente con una velocidad vcon respecto al detector. Sus resultados confirmaron las predicciones de la relatividad general con una exactitud del 10 %, aunque actualmente la precisi´on llega a ser de hasta un 0.01 %. 56 Cap´ıtulo 5. Tests cl´asicos de la relatividad general Otro experimento que apoya la dilataci´on temporal gravitacional es el sat´elite Gravity Probe A, lanzado en 1976 a una altura de 10.000 km. Te´oricamente, a esta altura el reloj del sat´elite deber´ıa correr 4,5·10−8% m´as r´apido que un reloj terrestre, lo cual fue comprobado con una precisi´on de 7 ·10−5%. Sin embargo, el experimento m´as conocido y probablemente la ´unica aplicaci´on de la relatividad general en la vida cotidiana, es el sistema de GPS (Global Positioning System). Para determinar una posici´on en la superficie terrestre, es necesario que, al menos, el aparato GPS contacte mediante se˜nales electromagn´eticas con cuatro sat´elites de la red GPS. Dicha red est´a formada por un total de 24 sat´elites orbitando a una altura de 20.000 km sobre la superficie terrestre. A esta altura hay que considerar dos efectos relativistas: la dilataci´on temporal cinem´atica de la relatividad especial, que produce un atraso en los relojes de los sat´elites respecto a los terrestres, y el efecto de la relatividad general, que produce un adelanto en los mismos debido a la diferencia de potencial gravitatorio. Concretamente, a la altura a la que orbitan, domina el efecto de la relatividad general, resultando un adelanto neto de 38 µs por d´ıa en los relojes de los sat´elites. Por ello este efecto ha de ser considerado, pues de no ser as´ı, el sistema GPS resultar´ıa in´util en cuesti´on de horas. 5.2. Movimiento general de part´ıculas Cuando estudiamos la m´etrica del espacio de la relatividad general vimos que las geod´esicas pueden ser de tipo espacial, temporal o nula. Pues bien, el camino que seguir´an las part´ıculas con masa cerca de un objeto masivo ser´a de tipo temporal, mientras que el camino seguido por los fotones ser´an las geod´esicas nulas. 5.2.1. Part´ıcula de masa m En principio, consideremos una part´ıcula con masa en general, y sea el tiempo propio τun par´ametro af´ın. Queremos obtener una ecuaci´on de movimiento para dicha part´ıcula que est´e relacionada con su energ´ıa E. De las ecuaciones de Euler- 5.2. Movimiento general de part´ıculas 57 Lagrange podemos obtener las cuatro geod´esicas de tipo temporal para la part´ıcula en cuesti´on, tomando como Lagrangiana L( ˙xσ, xσ)≡1 2gµν ˙xµ˙xν=1 2c2(1 −2m/r)˙ t2−(1 −2m/r)−1˙r2−r2(˙ θ2+ sin2θ˙ φ2), donde se ha tomado x0≡t,x1≡r,x2≡θ, y x3≡φ. Adem´as, el punto denota la derivada respecto a τym=GM/c2. Sin p´erdida de generalidad, podemos aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a la Lagrangiana en el punto θ=π/2. Para este valor, la ecuaci´on con µ= 2 se satisface, y la correspondiente a µ= 1 queda como 1−2m r−1 ¨r+mc2 r2˙ t2−1−2m r−2m r2˙r2−r˙ φ2= 0.(5.4) Puesto que tyφson coordenadas c´ıclicas (no aparecen como tal en la Lagrangiana), conocemos dos integrales inmediatas: ∂L/∂ ˙ t=constante, ∂L/∂ ˙ φ=constante. que con θ=π/2 lleva a: (1 −2m/r)˙ t=k y r2˙ φ=h, con kyhconstantes. De la relaci´on 3.13 se sigue que c2(1 −2m/r)˙ t2−(1 −2m/r)−1˙r2−r2˙ φ2=c2 c2(1 −2m/r)˙ t2/˙ φ2−(1 −2m/r)−1(dr/dφ)2−r2=c2/˙ φ2, (5.5) y de las integrales inmediatas (dr/dφ)2+r2(1 + c2r2/h2)(1 −2m/r)−c2k2r4/h2= 0. Escribiendo u≡1/r ym=GM/c2obtenemos la ecuaci´on que est´abamos bus- 58 Cap´ıtulo 5. Tests cl´asicos de la relatividad general cando: du dφ2 +u2=E+2GM h2u+2GM c2u3,(5.6) donde E≡c2(k2−1)/h2. Analizando la ecuaci´on anterior, observamos que corresponde a una ecuaci´on de energ´ıa donde el ´ultimo t´ermino de la derecha no es m´as que una correcci´on relativista como veremos posteriormente cuando estudiemos el perihelio de Mercurio. 5.2.2. Fotones En el caso de las part´ıculas con masa en reposo nula no podemos usar τcomo par´ametro af´ın, de modo que usaremos otro par´ametro af´ın, w. Las ecuaciones del apartado anterior son v´alidas (para θ=π/2) hasta la ecuaci´on 5.5, donde c2del miembro de la derecha debe ser sustituido por cero: c2(1 −2m/r)˙ t2−(1 −2m/r)−1˙r2−r2˙ φ2= 0. An´alogamente al caso anterior, obtenemos la ecuaci´on equivalente a 5.6 para fotones: du dφ2 +u2=F+2GM c2u3,(5.7) donde F≡c2k2/h2. Volveremos a esta ecuaci´on cuando estudiemos la deflexi´on de la luz. 5.3. El perihelio de Mercurio La ecuaci´on de movimiento que sigue una part´ıcula de masa msometida a un campo gravitatorio newtoniano creado por un objeto de masa Msituado en el origen se siguen de las consideraciones energ´eticas y del momento angular: (du/dφ)2+u2=E+ 2GMu/h2,(5.8) 5.3. El perihelio de Mercurio 59 donde u≡1/r,Ees la energ´ıa que corresponde a la ´orbita y hes el momento angular por unidad de masa, i.e., h=r2dφ/dr. La soluci´on de la ecuaci´on diferencial anterior es u= (GM/h2)[1 + ecos(φ−φ0)], siendo φ0es una constante de integraci´on y e2= 1 + Eh4/G2M2representa la excentricidad de la trayectoria c´onica. Comparando 5.6 y 5.8 observamos un t´ermino adicional en 5.6: es una correcci´on relativista a la energ´ıa como advertimos antes. Este t´ermino extra se hace notar a´un m´as en el sistema solar, provocando un avance en el perihelio (punto de la trayectoria m´as cercano al Sol) de los planetas, aunque es m´as evidente en Mercurio por su cercan´ıa al Sol. El afelio (punto m´as lejano al Sol) y el perihelio cumplen que du/dφ = 0, con u verificando la ecuaci´on 5.6: 2GM c2u3−u2+2GM h2u+E= 0. Esta ecuaci´on tiene, obviamente, tres soluciones u1, u2, u3. Supongamos que u1 corresponde al afelio y u2al perihelio, con u1≤u≤u2. Sean u0≡(u1+u2)/2, ¯u≡u/u0y≡2GMu0/c2. Entonces: ¯u3−¯u2+2GM h2u0 ¯u+E u2 0 = 0, que es equivalente a (d¯u/dφ)2=(¯u−¯u1)(¯u2−¯u)(¯u3−¯u). Adem´as, ¯u3= 1 −(¯u1+ ¯u2)=1−2, siendo la suma de las ra´ıces 1/ y ¯u1+ ¯u2= 2, por lo que (d¯u/dφ)2= (¯u−¯u1)(¯u2−¯u)(1 −(2 + ¯u)). Desarrollando hasta el primer orden en , ya que toma valores muy peque˜nos, se Ap´endice A Breve repaso de la relatividad especial El tiempo y el espacio se cre´ıan totalmente independientes con la mec´anica de Newton. Sin embargo, Einstein descubri´o que est´an ´ıntimamente relacionados y juntos forman lo que se denomina el espacio-tiempo. De esta forma damos paso a la teor´ıa especial de la relatividad, descubierta sobre 1905. Esta teor´ıa consta de dos postulados b´asicos: 1. La velocidad de la luz ces la misma para todos los sistemas de referencia inerciales, 2. Las leyes de la f´ısica son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales, entendi´endose como sistema de referencia inercial a aquel donde las leyes de Newton se cumplen. Tomamos coordenadas en in sistema de referencia inercial K x0≡ct, x1≡c, x2≡y, x3≡z, y las expresamos como xµ, (µ= 0,1,2,3) de forma compacta. Si consideramos otro sistema de referencia inercial K0, podemos introducir el invariante espacio-tiempo ds2=ηµνdxµdxν=ηµνdxµ0dxν0. 68 Ap´endice A. Breve repaso de la relatividad especial En virtud del segundo postulado trabajaremos en un sistema inercial de coordenadas cartesianas, donde [ηµν] =         1000 0−100 0 0 −1 0 000−1         . De esta forma el espacio-tiempo de la relatividad especial queda definido como una variedad diferencial semiriemanniana de cuatro dimensiones. En lo que refiere a la m´etrica, cualquier vector no nulo est´a descrito como          tipo temporal si ηµνλµλν>0 nulo si ηµνλµλν= 0 tipo espacial si ηµνλµλν<0 Por otro lado, dado un sistema de referencia Ky una part´ıcula, definimos el tiempo propio τentre dos puntos de la trayectoria de dicha part´ıcula como el tiempo medido por un reloj en reposo respecto a la part´ıcula: c2dτ2≡ηµνdxµdxν⇒dτ = (1 −v2/c2)1/2dt, (A.1) con vla velocidad de la part´ıcula. A.1. Cinem´atica relativista Sea Kun sistema de referencia inercial, y K0otro. Nuestro objetivo es ser capaces de estableces una relaci´on entre las coordenadas de un evento en cada sistema de referencia. Definici´on 39. Una transformaci´on de Lorentz es una transformaci´on de coordenadas desde un sistema de referencia inercial Ka otro tambi´en inercial K0que se mueve respecto a Ka una velocidad v. A.2. Dilataci´on del tiempo 69 Tras varios experimentos se concluy´o que las ecuaciones de transformaci´on de Lorentz para un sistema inercial K0que desplaza en el eje x con velocidad vrespecto de Kson: t0=γ(t−vx/c2), x0=γ(x−vt), y0=y, z0=z, donde γ= (1 −v2/c2)−1/2. Matricialmente:         ct0 x0 y0 z0         =         γ−vγ/c 0 0 −vγ/c γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1                 ct x y z         . o tambi´en, xµ0= Λµ0 νxν. A continuaci´on veremos c´omo se transforman las velocidades udel movimiento de una part´ıcula de Ken K0, considerando que K0se mueve con velocidad vrespecto de K. Derivando con respecto al tiempo ten las ecuaciones de Lorentz y si el movimiento se da en el plano XY , se tiene: ux=dx dt =u0 x+v 1 + vu0 x/c2, u0 x=u0 x−v 1−vux/c2, uy=dy dt =u0 y/γ 1 + vu0 x/c2, u0 y=uy/γ 1−vux/c2. A.2. Dilataci´on del tiempo Consideremos un reloj en movimiento que mide su tiempo propio τ. La ecuaci´on A.1 muestra que el intervalo de tiempo propio ∆τmedido por un reloj en movimiento con velocidad constante vrespecto a Kviene dado por ∆τ= (1 −v2/c2)1/2∆t, 70 Ap´endice A. Breve repaso de la relatividad especial donde ∆tes el intervalo de tiempo medido por un reloj estacionario en K. Como podemos ver, ∆t > ∆τ, de forma que para el reloj en movimiento el tiempo corre m´as despacio. A este fen´omeno se le conoce como dilataci´on del tiempo. A.3. Contracci´on de longitudes Supongamos ahora un varilla en el eje x durante un tiempo ty en reposo en K. Su longitud ser´a por tanto l0=x2−x1, con x2yx1sus extremos en K. Esa misma varilla para un sistema de referencia inercial K0que se mueve con velocidad vcon respecto a Kes: l=x0 2−x0 1. Utilizando las transformaciones de Lorentz: x1=γ(x0 1+vt0), x2=γ(x0 2+vt0). Por tanto, x2−x2=γ(x0 2−x0 1), y, en consecuencia, l=l0/γ =l0(1 −v2/c2)1/2. Es decir, los extremos de la varilla en el mismo instante en el que se est´a midiendo, les menor que l0, lo que se conoce como contracci´on de las longitudes. El criterio de simultaneidad es diferente en cualquier otro sistema y, en consecuencia, el resultado de medir la longitud ser´a tambi´en diferente. A.4. Din´amica relativista 71 A.4. Din´amica relativista En esta secci´on introduciremos algunos 4−vectores caracter´ısticos de la relatividad especial La notaci´on que emplearemos ser´a λµ= (λ0, λ1, λ2, λ3) = (λ0,λ), donde la negrita representa la parte espacial. Llamaremos uµ≡dxµ/dτ a la velocidad del mundo de una part´ıcula, que ser´a diferente de la velocidad vµ(que es un vector tridimensional): vµ≡dxµ/dt = (c, v), uµ= (dt/dτ)vµ= (γc, γv). Definimos el tetravector momento de una part´ıcula de masa mcomo pµ≡muµ= (E/c, p), con Ela energ´ıa de la part´ıcula y psu momento lineal. Cabe destacar que la segunda ley de Newton se modifica como dpµ/dτ =fµ, donde fµes el tetravector fuerza que act´ua sobre la part´ıcula: fµ≡γ(F·v/c, F) yFla fuerza aplicada como vector tridimensional. 72 Ap´endice A. Breve repaso de la relatividad especial 73 Bibliograf´ıa [1] B. Janssen. (2013). Teor´ıa de la Relatividad General. Granada: Universidad de Granada. [2] Foster, J. and Nightingale, J. (2006). A short course in general relativity. New York: Springer. [3] French, A. (2002). Relatividad especial. Barcelona: Revert´e. [4] H. Stephani. (2004). General Relativity: An introduction to the theory of the gravitational field. Cambridge: Cambridge University Press. [5] R. Abraham, J., E. Marsden and T. Ratiu. (1993). Manifolds, Tensor, Analysis, and Applications. New York: Springer. [6] R. M. Wald. (1984). General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press. [7] S. W. Hawking and G. F. R. Ellis. (2008). The large scale structure of space-time. 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