Aproximación de hélices mediante curvas polinomiales

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETR´ IA Y TOPOLOG´ IA Aproximaci´on de H´elices mediante Curvas Polinomiales Memoria realizada por M´onica Collin Goth Dirigido por: VoBo Dra. M. Carmen M´arquez Garc´ıa Abstract In this work we study two different methods to approximate the helix by B´ezier curves. The first one approximation is by cubic rational B´ezier curves, simple and composite, and we analyze the error committed. The second one is by quadratic polynomial and rational B´ezier curves. We also calculate the error bound with the Hausdorff distance between the helix and each approximate curve. Finally, we show both methods in some examples. ´ Indice general Introducci´on 7 1. Preliminares 9 1.1. Conceptosprevios......................... 9 1.2. Arco de circunferencia como curva racional . . . . . . . . . . . 17 2. Aproximaci´on c´ubica de h´elice 25 2.1. Idea b´asica de la aproximaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Optimizaci´on de la aproximaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Continuidad C2enlasuniones.................. 33 3. Aproximaci´on cuadr´atica de h´elice 47 3.1. Idea b´asica de la aproximaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2. C´alculodelerror ......................... 52 3.3. Ejemplos.............................. 56 Bibliograf´ıa 61 5 6´ INDICE GENERAL Introducci´on La h´elice es una curva en el espacio que se origina por el movimiento de traslaci´on de un punto que gira entorno a un eje. La h´elice circular puede observarse habitualmente en numerosas disciplinas cient´ıficas. Destacamos por su belleza la estructura del ADN y la escalera de doble h´elice del castillo de Chambord en Francia. El objetivo de este trabajo es aproximar una h´elice circular mediante curvas polinomiales, en particular, curvas de B´ezier. Las curvas de B´ezier, concepto fundamental para esta memoria, fueron desarrolladas por primera vez por Paul Casteljau en 1959, usando el algoritmo que lleva su nombre, sin embargo, fue Pierre B´ezier quien las public´o 3 a˜nos m´as tarde, en 1962, de quien tomaron el nombre. Estas curvas fueron un sistema que se desarroll´o para el trazado de dibujos t´ecnicos, en el dise˜no aeron´autico y en el de autom´oviles. Pierre B´ezier naci´o en Par´ıs en 1910. Su padre era ingeniero y su madre fue una persona muy interesada en la criptograf´ıa y el an´alisis combinatorio. Obtuvo el t´ıtulo de ingeniero mec´anico en la Escuela Nacional Superior de Artes y Oficios y un a˜no despu´es el de ingeniero el´ectrico en la Escuela Superior de Electricidad. Sali´o al mercado laboral en 1931 y dos a˜nos m´as tarde entr´o en la casa Renault, llegando a la direcci´on general en 1960. Dedic´o mucho tiempo a la ense˜nanza y sus trabajos, m´as all´a del sector del autom´ovil, resonar´ıan en toda la industria. Con la aparici´on de los primeros ordenadores hizo uso de la inform´atica para el dise˜no de carrocer´ıa. As´ı en 1968 present´o un prototipo del sistema Unisurf que fue uno de los pioneros sistemas de dise˜no geom´etrico asistido por ordenador. Esta modelizaci´on matem´atica se apoya en las curvas que llevan su nombre y que protagonizan su tesis de Doctorado en Matem´aticas que defendi´o en 1977. Finalmente, falleci´o en 1999 siendo enterrado en Gallardon, Francia. Paul de Casteljau naci´o en 1930 en Besan¸con, Francia. Estudi´o f´ısica y 7 8INTRODUCCI ´ ON matem´aticas y trabaj´o para la casa Citro¨en, donde en 1959 desarroll´o un algoritmo conocido actualmente como algoritmo de De Casteljau con el que se puede evaluar c´alculos en una cierta familia de curvas polin´omicas. El algoritmo de De Casteljau es todav´ıa ampliamente usado, aunque con algunas modificaciones, ya que es el m´etodo m´as robusto y num´ericamente estable para evaluar polinomios. Finalmente, muri´o en 1999. Este trabajo est´a dividido en tres cap´ıtulos. El primero comienza introduciendo algunos conceptos previos que consideramos necesarios para la comprensi´on del mismo y de los que haremos uso a lo largo de la memoria. Expondremos la definici´on de curvas de B´ezier y sus propiedades, centr´andonos en las curvas racionales. Tambi´en parametrizaremos un arco de circunferencia sobre el plano (X, Y ) mediante curvas de B´ezier racionales cuadr´aticas y veremos la elevaci´on del grado. En el segundo cap´ıtulo presentaremos y desarrollaremos el m´etodo introducido por I. Juh´asz en el art´ıculo de investigaci´on [6]. Se trata de un m´etodo para aproximar la h´elice circular mediante una curva de B´ezier racional c´ubica. Est´a dividido en dos secciones: en la primera aproximaremos la h´elice utilizando curvas de B´ezier racionales simples y calcularemos una cota del error que se comete anal´ıticamente, mientras que en la segunda secci´on lo haremos con curvas de B´ezier racionales c´ubicas compuestas y veremos el error cometido visualmente. En el tercer y ´ultimo cap´ıtulo, expondremos el m´etodo introducido por Young Joon Ahn en el art´ıculo [1]. En ´el vamos a dar otro m´etodo para aproximar la h´elice circular, en este caso, mediante curvas de B´ezier cuadr´aticas polinomiales y racionales. Adem´as, estudiamos una cota del error cometido utilizando la distancia de Hausdorff para cada una de las curvas. Finalmente, el cap´ıtulo concluye con unos ejemplos. A lo largo de esta memoria, aparecen varias im´agenes, ´estas han sido elaboradas utilizando los programas Maple 17 y Geogebra. Cap´ıtulo 1 Preliminares En este cap´ıtulo expondremos todos las definiciones y resultados que vamos a necesitar para desarrollar la aproximaci´on de un arco de h´elice circular de eje OZ y radio rmediante curvas de B´ezier racionales. Comenzamos con una primera secci´on de conceptos previos en la que definimos y enunciamos todas las nociones b´asicas que vamos a necesitar para la comprensi´on de esta memoria. Continuamos con otra secci´on en la que desarrollamos la parametrizaci´on de un arco de circunferencia centrado en el origen de coordenadas de ´angulo 2α, con α∈(0, π/2), y radio rsobre el plano (X, Y ) como curva de B´ezier racional cuadr´atica. Y por ´ultimo, en esta misma secci´on, veremos c´omo se realiza la elevaci´on del grado de una curva de B´ezier racional cuadr´atica a una curva de B´ezier racional c´ubica. 1.1. Conceptos previos En esta secci´on vamos a enunciar algunos conceptos relativos a la teor´ıa de B´ezier que van a ser necesarios para la comprensi´on de esta memoria. Tambi´en definiremos conceptos muy b´asicos de la geometr´ıa local de curvas para fijar la notaci´on que seguiremos. Definici´on 1.1.1 (Serie de Taylor) La serie de Taylor de una funci´on f real o compleja infinitamente diferenciable en el entorno de un n´umero real o complejo aes la siguiente serie de potencias: 9 16 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES r0(t) = N0(t)D(t)−D0(t)N(t) D(t)2, donde N0(t) = 3(ω1b1−ω0b0)(1 −t)2+ 3(ω2b2−ω1b1)t(1 −t) + 3(ω3b3−ω2b2)t2 D0(t) = 3(ω1−ω0)(1 −t)2+ 3(ω2−ω1)t(1 −t) + 3(ω3−ω2)t2. Por lo tanto, ya podemos expresar la primera derivada de la curva r(t) en los puntos extremos, siendo: r0(0) = N0(0)D(0) −D0(0)N(0) D(0)2= 3ω1 ω0 (b1−b0) (1.1.6) r0(1) = N0(1)D(1) −D0(1)N(1) D(1)2= 3ω2 ω3 (b3−b2).(1.1.7) Por otro lado, vamos a expresar el desarrollo del c´alculo de la segunda derivada de dicha curva de B´ezier racional, que tambi´en vamos a necesitar. La expresi´on de la segunda derivada de la curva r(t) es la siguiente: r00(t) = (N00(t)D(t)−D00(t)N(t))D(t)2−(N0(t)D(t)−D0(t)N(t))2D(t)D0(t) D(t)4, donde N00(t) = −6(ω1b1−ω0b0)(1 −t) + 6(ω2b2−ω1b1)(1 −2t) + 6(ω3b3−ω2b2)t D00(t) = −6(ω1−ω0)(1 −t) + 6(ω2−ω1)(1 −2t) + 6(ω3−ω2)t. La segunda derivada de la curva r(t) en los puntos extremos ser´a: r00(0) =(N00(0)D(0) −D00(0)N(0))D(0)2−(N0(0)D(0) −D0(0)N(0))2D(0)D0(0) D(0)4 r00(1) =(N00(1)D(1) −D00(1)N(1))D(1)2−(N0(1)D(1) −D0(1)N(1))2D(1)D0(1) D(1)4. Por lo tanto, r00(0) = 6ω2 ω0 (b2−b0)−18ω2 1 ω2 0 (b1−b0)+6ω1 ω0 (b1−b0) (1.1.8) 1.2. ARCO DE CIRCUNFERENCIA COMO CURVA RACIONAL 17 r00(1) = 6ω1 ω3 (b1−b3) + 18ω2 2 ω2 3 (b3−b2)−6ω2 ω3 (b3−b2).(1.1.9) Proposici´on 1.1.14 Dos curvas de B´ezier racionales de grado ncon los mismos puntos de control y con distintos pesos {ω0, ..., ωn},{ω0 0, ..., ω0 n}son la misma curva si se verifica: ω0 0/ω0 ω0 1/ω1 =ω0 1/ω1 ω0 2/ω2 =... =ω0 n−1/ωn−1 ω0 n/ωn . Demostraci´on: La demostraci´on de esta proposici´on no la incluimos en esta memoria por ser demasiado t´ecnica y no aportar ning´un concepto relevante al desarrollo de este trabajo, pero se puede encontrar en [7]. Definici´on 1.1.15 (Distancia de Hausdorff) Sean α(s) y β(t) dos curvas definidas para s, t ∈[0,1]. Se llama distancia de Hausdorff entre αyβ a dH(α, β) = m´ax(d1(α, β), d2(α, β)), donde d1yd2son no sim´etricas, es decir, se miden solo en un sentido y est´an dadas por: d1(α, β) = m´ax t∈[0,1] m´ın s∈[0,1] |α(s)−β(t)| y d2(α, β) = m´ax s∈[0,1] m´ın t∈[0,1] |α(s)−β(t)|. 1.2. Parametrizaci´on de arco de circunferencia por curvas racionales En este apartado vamos a parametrizar un arco de circunferencia en el plano (X, Y ) como una curva de B´ezier racional de grado 2: r(t) = (1 −t)2ˆω0a0+ 2ˆω1t(1 −t)a1+t2ˆω2a2 (1 −t)2ˆω0+ 2ˆω1t(1 −t) + t2ˆω2 .(1.2.1) con t∈[0,1]. Siendo a0, a1ya2los puntos de control de dicha curva y ˆω0, ˆω1 y ˆω2sus pesos. Consideramos el arco de circunferencia c(s) = (rcos(s), r sen(s)), de amplitud 2α, con 0 < α < π/2, centrado en el origen y de radio r. Los 18 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES puntos extremos de este arco ser´an c(−α)=(rcos α, −rsen α) y c(α) = (rcos α, r sen α). Teniendo en cuenta la parametrizaci´on de la curva de B´ezier racional dada en (1.2.1) y la propiedad interpolatoria de los puntos extremos (1.1.4) y (1.1.5), se tiene que r(0) = a0=c(−α) = (rcos α, −rsen α) y r(1) = a2= c(α)=(rcos α, r sen α). Debido a la simetr´ıa, podemos suponer, sin p´erdida de generalidad, que ˆω0= ˆω2= 1. Por tanto, para determinar r(t) s´olo nos queda calcular la primera coordenada del punto de control a1= (x, 0) y el peso ˆω1>0. En la Figura 1.2 se representa el arco c(s), s∈[−α, α] y los puntos de control de la curva racional de grado 2, r(t). Figura 1.2: Arco circunferencia como curva racional cuadr´atica. Primero vamos a calcular x: teniendo en cuenta que en cualquier punto de una circunferencia la recta tangente es ortogonal al vector de posici´on de dicho punto, vamos a imponer esta misma condici´on sobre la curva r(t) en el punto r(1) = a2. La direcci´on de la recta tangente a r(t) en a2es r0(1) = 2 ˆω1 ˆω2 (a2−a1) (esta expresi´on se ha obtenido sin m´as que derivar la expresi´on (1.2.1)). As´ı pues, el tri´angulo que hemos extra´ıdo en la Figura 1.3 debe ser un tri´angulo rect´angulo. 1.2. ARCO DE CIRCUNFERENCIA COMO CURVA RACIONAL 19 Figura 1.3: Tri´angulo extra´ıdo de la Figura 1.2 Por tanto, cos α=r xy tenemos que: x=r cos α. Lo siguiente que vamos a calcular es ˆω1: consideramos m= (rcos α, 0) el punto medio de a0ya2, y cque es el punto de corte entre el arco de circunferencia y el eje OX, escribiremos ccomo c=m(1 −u) + a1uya que ces un punto del segmento que une mcon a1, para un valor u∈[0,1] y podemos escribir u=ˆω1 1 + ˆω1 . Por otro lado, tenemos que c= (r, 0) y tomando la primera coordenada de las dos expresiones de c, llegamos a la siguiente igualdad: r= (rcos α)(1 −u) + r cos αu⇒rcos α=rcos2α+u(r−rcos2α) ⇒u=cos α−cos2α 1−cos2α⇒u=cos α 1 + cos α. De aqu´ı se deduce que: ˆω1= cos α. Se puede ver que a partir del punto de control y el peso que acabamos de obtener, se verifica que r2 1(t) + r2 2(t) = r2, donde r(t)=(r1(t), r2(t)). 20 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Efectivamente, de la ecuaci´on (1.2.1) llegamos a que r(t) = (1 −t)2(rcos α, −rsen α) + 2 cos αt(1 −t)( r cos α,0) + t2(rcos α, r sen α) (1 −t)2+ 2t(1 −t) cos α+t2. (1.2.2) Se tiene: r2 1(t) + r2 2(t) = ((1 −t)2rcos α+ 2 cos αt(1 −t)r cos α+t2rcos α)2 ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos α+t2)2+ +(−(1 −t)2rsen α+t2rsen α)2 ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos α+t2)2= =(1 −t)4r2+t4r2+ 2r2t2(1 −t)2(2 cos2α+ 1) ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos α+t2)2+ +4 cos αr2t(1 −t)3+ 4 cos αr2t3(1 −t) ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos α+t2)2= =r2((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos α+t2)2 ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos α+t2)2=r2. (1.2.3) Luego la curva racional r(t) es una parametrizaci´on del arco de circunferencia de partida c(s). Elevaci´on del grado de la curva de B´ezier racional Mediante la elevaci´on del grado, dada una curva racional de grado n, vamos a poder parametrizarla como una curva de B´ezier racional de grado n+ 1. Despu´es de describir este procedimiento, aplicaremos la elevaci´on del grado a la curva racional de grado 2 que acabamos de calcular y que describe un arco de circunferencia para parametrizar este arco por una curva racional c´ubica o de grado 3. Empezamos describiendo el caso general, consideremos r(t) = n X j=0 ajn jˆωjtj(1 −t)n−j n X j=0 n jˆωjtj(1 −t)n−j , curva racional de grado ncon puntos de control aiy pesos ˆωi,i= 0, . . . , n. Queremos calcular los nuevos puntos de control y pesos que denotamos biy 1.2. ARCO DE CIRCUNFERENCIA COMO CURVA RACIONAL 21 ωi, respectivamente, con i= 0, . . . , n+1, de tal forma que la nueva curva sea una reparametrizaci´on de la curva r(t). Si multiplicamos r(t) por (t+ (1 −t)) (t+ (1 −t)), tenemos: r(t) = n X j=0 ajn jˆωjtj+1(1 −t)n−j+ n X j=0 ajn jˆωjtj(1 −t)n+1−j n X j=0 n jˆωjtj+1(1 −t)n−j+ n X j=0 n jˆωjtj(1 −t)n+1−j . El siguiente paso es hacer el cambio j+ 1 →jen el ´ındice de sumaci´on del primer sumando, tanto del numerador como del denominador, y la nueva expresi´on ser´a: r(t) = n+1 X j=1 aj−1n j−1ˆωj−1tj(1 −t)n+1−j+ n X j=0 ajn jˆωjtj(1 −t)n+1−j n+1 X j=1 n j−1ˆωj−1tj(1 −t)n+1−j+ n X j=0 n jˆωjtj(1 −t)n+1−j . Para calcular los puntos y pesos de la curva racional de grado n+ 1, imponemos que: n+1 X j=1 aj−1n j−1ˆωj−1tj(1 −t)n+1−j+ n X j=0 ajn jˆωjtj(1 −t)n+1−j n+1 X j=1 n j−1ˆωj−1tj(1 −t)n+1−j+ n X j=0 n jˆωjtj(1 −t)n+1−j = = n+1 X j=0 bjn+ 1 jωjtj(1 −t)n+1−j n+1 X j=0 n+ 1 jωjtj(1 −t)n+1−j . 22 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Como la base de Bernstein es base de polinomios, igualamos los coeficientes de los t´erminos tj(1 −t)n+1−jde los denominadores y numeradores, y obtenemos las siguientes ecuaciones para j= 1, . . . , n: n+ 1 jωj=n j−1ˆωj−1+n jˆωj bjn+ 1 jωj=aj−1n j−1ˆωj−1+ajn jˆωj Para j= 0 y j=n+ 1, obtenemos: ω0= ˆω0,ωn+1 = ˆωn,b0ω0=a0ˆω0y bn+1ωn+1 =anˆωn. As´ı, a partir de estas igualdades, para nuestro caso, n= 2 y j= 0,1,2,3, partiendo de la curva r(t) dada por la expresi´on (1.2.2), se tiene que los pesos de la curva de B´ezier racional c´ubica son: ω0= ˆω0= 1. 3ω1= ˆω0+ 2ˆω1⇒ω1=1 3(1 + 2 cos α). 3ω2= ˆω1+ 2ˆω2⇒ω2=1 3(1 + 2 cos α). ω3= ˆω2= 1. Podemos apreciar que ω1=ω2. A este valor lo denotamos ω. Por otro lado, los puntos de control son los siguientes para j= 0,1,2,3: b0ω0=a0ˆω0⇒b0=a0. 3b1ω1=a0ˆω0+ 2a1ˆω1⇒b1=a0+ 2 cos αa1 3ω. 3b2ω2= 2a1ˆω1+a2ˆω2⇒b2=a2+ 2 cos αa1 3ω. b3ω3=a2ˆω2⇒b3=a2. Por tanto, r(t) = 3 X i=0 ωibiB3 i(t) 3 X i=0 ωiB3 i(t) = (r1(t), r2(t)), donde: 1.2. ARCO DE CIRCUNFERENCIA COMO CURVA RACIONAL 23 r1(t) = r(2t2−2t+ 1) cos α+ 2t(1 −t) 2t(1 −t) cos α+ 2t2−2t+ 1 . r2(t) = rsen α2t−1 2t(1 −t) cos α+ 2t2−2t+ 1. (1.2.4) Se verifica que r2 1(t) + r2 2(t) = r2como se vio en (1.2.3). La curva de B´ezier c´ubica de ecuaciones param´etricas (r1(t), r2(t)) se representa en la Figura 1.4. Figura 1.4: Arco de circunferencia como curva racional c´ubica. 24 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Cap´ıtulo 2 Aproximaci´on de h´elice circular por curvas de B´ezier c´ubicas Este cap´ıtulo est´a compuesto por 3 secciones, en la primera secci´on, a partir del arco de circunferencia parametrizado por la curva de B´ezier racional c´ubica vista en el cap´ıtulo anterior, vamos a exponer la idea b´asica de la aproximaci´on de la h´elice circular. En las dos secciones siguientes, vamos a desarrollar dos m´etodos diferentes entre s´ı para aproximar la h´elice circular mediante curvas de B´ezier racionales c´ubicas. Estos m´etodos se pueden encontrar en [6]. 2.1. Idea b´asica de la aproximaci´on La h´elice circular se describe como una curva espacial trazada en la superficie de un cilindro que va formando un ´angulo constante con sus generatrices. Puede parametrizarse por: h(v)=(rcos v, r sen v, pv), v ∈R.(2.1.1) A lo largo de esta memoria vamos a exponer varios m´etodos para aproximar el arco de h´elice circular con v∈[−α, α] con 0 < α < π/2. Para ello, proyectamos dicho arco de h´elice sobre el plano (X, Y ) y obtenemos un arco de circunferencia que, como vimos en el cap´ıtulo anterior, parametrizamos como una curva de B´ezier racional c´ubica plana (1.2.4). Una vez que ya tenemos parametrizado el arco de circunferencia mediante una curva de B´ezier racional c´ubica en el plano (X, Y ), desplazamos los puntos de control sobre rectas paralelas al eje OZ. Por simetr´ıa, ver Figura 1.4, 25 32 CAP´ ITULO 2. APROXIMACI ´ ON C ´ UBICA DE H ´ ELICE obtenemos la igualdad: cos vcos2α+ 2 cos2α+αcos αsen α−cos v−2 + αsen α+αcos vsin α= 0, de donde cos v=2 sen α−α(1 + cos α) α−sen α. Por tanto, el valor de vpara el que se obtiene la m´axima distancia entre h(v) y r(v) es: v(α) = arc cos 2 sen α−α(1 + cos α) α−sen α. Para cada α∈(0, π/2) podemos considerar la funci´on m´aximo error que viene definida como δ(α, v(α)). Ahora vamos a probar que la funci´on error, δ(α, v), es mon´otona creciente en α, en el dominio especificado. Para ello, se tiene que verificar la siguiente desigualdad: ∂δ(α, v) ∂α ≥0. Vamos a verlo: ∂δ(α, v) ∂α =p(1 −cos v)(cos α−cos v)(α(1 + 2 cos α)−sen α(2 + cos α)) (1 + cos α)(cos α−1)2sen v. Para α∈(0, π/2), v ∈[0, α] el denominador es positivo. De los factores del numerador se tiene que (1 −cos v)>0 y (cos α−cos v)≤0, por tanto, es suficiente ver que se cumple la siguiente desigualdad: α(1 + 2 cos α)≤sen α(2 + cos α). Para ello, utilizamos el desarrollo de Taylor de las funciones trigonom´etricas en α= 0: sen α=α−α3 3! +α5 5! −α7 7! +..., cos α= 1 −α2 2! +α4 4! −α6 6! +..., 2.3. CONTINUIDAD C2EN LAS UNIONES 33 tenemos que las siguientes desigualdades son v´alidas: sen α≥α−α3 6, cos α≥1−α2 2, cos α≤1−α2 2+α4 24. Entonces: α(1 + 2 cos α)≤α1+21−α2 2+α4 24= 3α−α3+α5 12 = =α−α3 63−α2 2≤sen α(2 + cos α). Como consecuencia, dado que v(α)∈[0, π/2] para α∈(0, π/2), la funci´on m´aximo error es mon´otona decreciente cuando αdecrece a 0 y que fijado un  > 0, es posible encontrar un valor de αtal que /p acote la funci´on m´aximo error. Para lo cual fijado  > 0, debemos encontrar αtal que la funci´on m´aximo error sea /p: δ(α, v(α)) =  p. En la Figura 2.4 se muestra la gr´afica de la funci´on m´aximo error como funci´on de α. 2.3. Continuidad C2en las uniones En la secci´on anterior hemos desarrollado un m´etodo para aproximar la h´elice circular h(v) mediante curvas de B´ezier racionales c´ubicas, pero tambi´en hemos visto al final de dicha secci´on que el error δ(α, v) aumenta cuando el ´angulo αcrece. Por ello, en esta nueva secci´on vamos a introducir un nuevo m´etodo de aproximaci´on de h´elices circulares mediante curvas de B´ezier racionales c´ubicas considerando curvas de B´ezier compuestas ya que en la pr´actica, para aproximar un arco de h´elice suficientemente amplio, lo haremos aproximando 34 CAP´ ITULO 2. APROXIMACI ´ ON C ´ UBICA DE H ´ ELICE Figura 2.4: Valor ´optimo de α. arcos m´as peque˜nos y los uniremos haciendo reparametrizaciones (v´ease las Definiciones 1.1.11 y 1.1.12). As´ı obtendremos una curva de B´ezier compuesta por varios tramos, constituidos todos ellos por curvas de B´ezier simples, que aproxima el arco de h´elice de partida. Consideramos la curva de B´ezier c´ubica r(t), t∈[0,1] vista en la Secci´on 2.1 que aproxima h(v), v∈[−α, α], y determinada por los puntos de control b0,b1,b2,b3y por los pesos ω0= 1, ω1=ω2=ω,ω3= 1. Por otro lado, vamos a considerar la curva de B´ezier c´ubica reparametrizada ˜r(t), con t∈[1,2], siendo ˜ b0=b3,˜ b1,˜ b2y˜ b3sus puntos de control y ˜ω0=ω0, ˜ω1= ˜ω2=ωy ˜ω3=ω3sus pesos que aproxima el arco de h´elice h(v) con v∈[α, 3α]. La curva ˜r(t) viene dada a trav´es de r(t) mediante un movimiento helicoidal, de eje OZ y paso p, girando los puntos de control de la curva r(t) con ´angulo 2α. En la Figura 2.5 est´an representados los puntos de control de r(t) y ˜r(t) vistos desde un punto que est´a sobre el eje OZ y la curva de B´ezier racional compuesta por estos dos tramos parametrizada por t∈[0,2]. Para t∈[0,1] la curva compuesta se define como r(t) y para t∈[1,2] la curva compuesta 2.3. CONTINUIDAD C2EN LAS UNIONES 35 se define como ˜r(t). Figura 2.5: Vista vertical de los puntos de control y de la curva compuesta. En el m´etodo anterior, cada uno de estos trozos var´ıa en funci´on del ´angulo αy de bque hab´ıamos calculado al imponer la igualdad entre el ´angulo de la recta tangente de la curva de B´ezier y el plano (X, Y ), y el ´angulo entre la recta tangente de la h´elice y el mismo plano en los puntos extremos del arco considerado. En esta nueva secci´on, vamos a proponer un nuevo m´etodo para calcular el par´ametro b. En esta ocasi´on vamos a imponer que en los puntos de uni´on de tramos los planos osculadores coincidan. M´as adelante veremos que se tiene continuidad de clase C1en las uniones y tambi´en vamos a ver qu´e ocurre al imponer continuidad de clase C2. Las dos curvas r(t) y ˜r(t) tienen el mismo plano osculador en el punto de uni´on b3=˜ b0si y solo si los puntos b1,b2,b3,˜ b0,˜ b1y˜ b2son coplanarios. Sea r(t) = (1 −t)3ω0b0+ 3t(1 −t)2ω1b1+ 3t2(1 −t)ω2b2+t3ω3b3 (1 −t)3ω0+ 3t(1 −t)2ω1+ 3t2(1 −t)ω2+t3ω3 , t ∈[0,1]. Sabemos que r(1) = b3y, tambi´en por (1.1.7) que r0(1) = 3ω2 ω3 (b3−b2). De igual forma, la segunda curva de la curva compuesta es ˜r(u) = (1 −u)3˜ω0˜ b0+ 3u(1 −u)2˜ω1˜ b1+ 3u2(1 −u)˜ω2˜ b2+u3˜ω3˜ b3 (1 −u)3˜ω0+ 3u(1 −u)2˜ω1+ 3u2(1 −u)˜ω2+u3˜ω3 , u ∈[0,1]. 36 CAP´ ITULO 2. APROXIMACI ´ ON C ´ UBICA DE H ´ ELICE Haciendo el cambio u=t−1, se tiene: ˜r(t) = ˜ω0˜ b0(2 −t)3+ 3˜ω1˜ b1(t−1)(2 −t)2+ 3˜ω2˜ b2(t−1)2(2 −t) + ˜ω3˜ b3(1 −t)3 ˜ω0(2 −t)3+ 3˜ω1(t−1)(2 −t)2+ 3˜ω2(t−1)2(2 −t) + ˜ω3(t−1)3, con t∈[1,2]. As´ı, ˜r0(1) = d˜r dt t=1 =d˜r duu=0 = 3 ˜ω1 ˜ω0 (˜ b1−˜ b0), seg´un vimos en (1.1.6). Por otro lado, por (1.1.9) se tiene que r00(1) = 6ω1 ω3 (b1−b3) + 18ω2 2 ω2 3 (b3− b2)−6ω2 ω3 (b3−b2), y teniendo en cuenta que ω1=ω2=ωyω3= 1, obtenemos que r00(1) = 6ω[(3ω−1)(b3−b2)−(b3−b1)]. Volviendo a realizar el cambio de par´ametro u=t−1 con u∈[0,1] en la segunda curva ˜r(t), tenemos que ˜r00(1) = d2˜r dt2t=1 =d2˜r du2u=0 = ˜r00(0) = 6ω2 ω0 (˜ b2−˜ b0)−18ω2 1 ω2 0 (˜ b1−˜ b0)+6ω1 ω0 (˜ b1−˜ b0) seg´un (1.1.8). Ahora bien, como r0(1) = 3ω(b3−b2), entonces sabemos que r0(1) es paralelo al vector b3−b2. Del mismo modo, como ˜r(1) = 3ω(˜ b1−˜ b0), entonces ˜r0(1) es paralelo al vector ˜ b1−˜ b0. Esto implica que r0(1) es paralelo a ˜r(1) ya que b3−b2=˜ b1−˜ b0por el movimiento helicoidal que hemos realizado al obtener la curva de ˜r(t), de hecho, ˜r0(1) = r0(1). Si tomamos Π como un plano que contiene al punto b3=˜ b0y al vector b3−b2=˜ b1−˜ b0, entonces se tiene que los puntos b2y˜ b1pertenecen a Π. Por otro lado, tambi´en hemos visto que r00(1) = (18ω2−6ω)(b3−b2)− 6ω(b3−b1) y ˜r00(1) = 6ω(˜ b2−˜ b0) + (6ω−18ω2)(˜ b1−˜ b0). As´ı que, los puntos b1y˜ b2pertenecen al plano Π si y solo si r00(1) y ˜r00(1) est´an en Π, y esto sucede si y solo si Π es el plano osculador en t= 1 de r(t) y ˜r(t). Por tanto, ambas curvas tienen el mismo plano osculador en t= 1 si y solo si los puntos b3=˜ b0,˜ b1,˜ b2,b2yb1son coplanarios. Por ello, vamos a imponer que los puntos b3=˜ b0,˜ b1,˜ b2,b2yb1sean coplanarios. Si estos 5 puntos se encuentran en el mismo plano, entonces vamos a ver que las rectas que unen b1con b2y˜ b2con ˜ b1se intersectan en un punto al que llamaremos m, y la distancia entre my el plano (X, Y ) es igual a la distancia entre el punto de control b3=˜ b0con dicho plano. 2.3. CONTINUIDAD C2EN LAS UNIONES 37 Sea S1(λ) = b1+λ(b2−b1) la recta que une b1con b2, y sea S2(µ) = ˜ b2+µ(˜ b1−˜ b2) la recta que une ˜ b1con ˜ b2. Considerando las coordenadas zde los puntos de control que quedan representadas en el Figura 2.6, se tiene que las coordenadas zde los puntos de las rectas son: Figura 2.6: Puntos de control proyectados sobre el eje OZ. S1z(λ) = −b+ 2bλ S2z(µ) = 2αp +b+µ(−2b). Ahora igualamos ambas expresiones para determinar la coordenada zdel punto intersecci´on: −b+ 2bλ = 2αp +b−2bµ ⇒2αp + 2b−2b(λ+µ) = 0 ⇒2αp + 2b(−λ−µ+ 1) = 0. Por simetr´ıa, sabemos que b3−b2=˜ b1−˜ b0y que, los m´odulos de los vectores que forman b1con b2y˜ b2con ˜ b1tambi´en son iguales, por tanto, el punto de intersecci´on se obtiene para el mismo valor de los par´ametros de las curvas, es decir, λ=µ. As´ı que de la expresi´on anterior se sigue: 2b(−2λ+ 1) = −2αp ⇒ − 2λ+ 1 = −αp b ⇒ −2λ=−αp b−1⇒λ=αp 2b+1 2. 38 CAP´ ITULO 2. APROXIMACI ´ ON C ´ UBICA DE H ´ ELICE Sustituimos este valor de λen S1(λ) para determinar el valor de la coordenada zdel punto de intersecci´on entre ambas rectas, el punto m. −b+ 2bαp 2b+1 2=−b+αp +b=αp, que coincide con la coordenada zdel punto ˜ b0como quer´ıamos demostrar. En la Figura 2.7 hemos considerado las proyecciones de myb2sobre el plano (X, Y ) y las hemos denotado por (m) y (b2), respectivamente para no confundirlos con myb2. Si extraemos de esta figura las proyecciones de estos Figura 2.7: Representaci´on de los puntos myb2. puntos y los representamos en el plano (Y, Z) obtenemos la Figura 2.8, donde se puede apreciar la siguiente relaci´on: tan θ=b b2y =αp my . Entonces: b=b2yαp my =rsen α 1 + 2 cos α αp my .(2.3.1) Si les la longitud del segmento que une el origen con el punto m, podemos observar en la Figura 2.7 que cos α=mx l=b2x ly que sen α=my l; por tanto, tenemos la siguiente relaci´on: 2.3. CONTINUIDAD C2EN LAS UNIONES 39 Figura 2.8: Proyecci´on sobre el plano (Y, Z). l=b2x cos α=my sen α⇔tan α=my b2x ⇔ ⇔my=b2xtan α=2r+rcos α 1 + 2 cos α sen α cos α.(2.3.2) De este modo, a partir de las igualdades (2.3.1) y (2.3.2), podemos determinar el valor de bque era nuestro objetivo en esta secci´on: b=αp cos α 2 + cos α.(2.3.3) La curva de B´ezier racional compuesta calculada con el par´ametro bobtenido tiene el mismo plano osculador en la uni´on, es decir, en t= 1. Veamos las condiciones que se tienen que verificar para poder asegurar continuidad en el punto de uni´on de las curvas de B´ezier simples. Como vimos en la Definici´on 1.1.12, tendremos continuidad de clase C1 en la uni´on si se verifica que r0(1) = ˜r0(1). Entonces la condici´on para que la continuidad sea C1es: 40 CAP´ ITULO 2. APROXIMACI ´ ON C ´ UBICA DE H ´ ELICE r0(1) = 3ω2 ω3 (b3−b2) = ˜r0(1) = 3 ˜ω1 ˜ω0 (˜ b1−˜ b0),(2.3.4) que se verifica claramente pues seg´un hemos tomado las curvas r(t) y ˜r(t), ω2= ˜ω1=ω=1 3(1 + 2 cos α), ω3= ˜ω0= 1 y b3−b2=˜ b1−˜ b0por el movimiento helicoidal que hemos realizado para obtener la curva ˜r(t). Ahora buscaremos la condici´on sobre los par´ametros fijados para que la curva compuesta tenga continuidad de clase C2. Para ello, tenemos que comprobar que ˜r00(1) = r00(1). Como se verifica que ˜ b0=b3, al sustituir los valores de los pesos de la condici´on ˜r00(1) = r00(1), llegamos a que (3ω−1)(b3−b2) + b1= (1 −3ω)(˜ b1−˜ b0) + ˜ b2. Adem´as, considerando que ω=1 3(1 + 2 cos α), se obtiene: (˜ b2−˜ b0)−2 cos α(˜ b1−˜ b0) = (b1−b3) + 2 cos α(b3−b2).(2.3.5) En la Figura 2.9 se puede ver una representaci´on gr´afica en R3de los puntos de control de la curva compuesta. Con el fin de entender mejor la relaci´on (2.3.5) que hemos obtenido, consideramos la proyecci´on de estos puntos sobre el eje OZ que ya representamos en la Figura 2.6. Si denotamos U= (b1−b3)+2 cos α(b3−b2) y V= (˜ b2−˜ b0)−2 cos α(˜ b1−˜ b0), considerando sus correspondientes coordenadas z, tenemos que se verifica: Uz= (−1−2 cos α)b+ (2 cos α−1)αp ≤0 Vz= (1 + 2 cos α)αp + (1 −2 cos α)b > 0. como se puede apreciar en la Figura 2.10. Llegamos entonces a que al imponer la igualdad (2.3.5), obtenemos una contradicci´on, pues Uz6=VZ. Por lo que para estos puntos y estos pesos no podemos asegurar una continuidad C2en las uniones. Sin embargo, vamos a seguir analizando las caracter´ısticas de la curva compuesta. Denotamos a la curvatura de r(t) como k(t), y a la curvatura de ˜r(t) como ˜ k(t), a partir de la Definici´on 1.1.5, tenemos: k(1) = |r0(1) ×r00(1)| |r0(1)|3. 2.3. CONTINUIDAD C2EN LAS UNIONES 41 Figura 2.9: Puntos de control de la curva de B´ezier compuesta. Teniendo en cuenta las expresiones obtenidas en (1.1.7) y (1.1.9), llegamos a que: k(1) = 2ω3ω1 3ω2 2 |(b3−b2)×(b3−b1)| |b3−b2|3.(2.3.6) Si reparametrizamos la curva ˜r(t) por u=t−1, tenemos la curva ˜r(u), u∈[0,1] y el valor de la curvatura de ˜r(t) en t= 1 es el mismo que el valor de la curvatura de la curva ˜r(u) en u= 0. Teniendo en cuenta la Definici´on 1.1.5, (1.1.6) y (1.1.9) obtenemos que: ˜ k(1) = 2ω0ω2 2ω2 1 |(˜ b1−˜ b0)×(˜ b2−˜ b0)| |˜ b1−˜ b0|3.(2.3.7) As´ı, se tiene k(1) = ˜ k(1) pues ω0=ω3= 1, ω2=ω1=ωyb3−b2=˜ b1−˜ b0. Adem´as sabemos que |(b3−b2)×(b3−b1)|=|b3−b2||b3−b1|sen ρsiendo ρ el ´angulo que forman los vectores b3−b2yb3−b1, pero |˜ b2−˜ b0|=|b3−b1| yρtambi´en es el ´angulo que forma ˜ b2−˜ b0con ˜ b1−˜ b0pues la curva ˜r(t) se ha obtenido de la curva r(t) mediante un movimiento helicoidal. Por tanto, 48 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON CUADR ´ ATICA DE H ´ ELICE Figura 3.1: Representaci´on de la h´elice h(v) y su proyecci´on en el plano (X, Y ), h0(v). arco de circunferencia. Como vimos en el primer cap´ıtulo, se pueden obtener los puntos de control y pesos de una curva de B´ezier racional cuadr´atica que parametriza el arco de circunferencia, donde los puntos de control eran: a0= (rcos α, −rsen α). a1= ( r cos α,0). a2= (rcos α, r sen α). Sin embargo, en este cap´ıtulo, no la vamos a reparametrizar como una curva de B´ezier racional c´ubica mediante la elevaci´on del grado. As´ı que, una vez que ya tenemos parametrizado el arco de circunferencia como una curva de B´ezier racional cuadr´atica en el plano (X, Y ), teniendo en cuenta los ai ya calculados, vamos a desplazar los puntos de control sobre rectas paralelas al eje OZ. Por simetr´ıa, elevamos el punto a2y descendemos el punto a0. A estos puntos de control desplazados los vamos a denotar b0,b1yb2. Teniendo en cuenta la propiedad interpolatoria de una curva de B´ezier racional, el primer y ´ultimo punto, b0yb2, se encuentran sobre la h´elice, b0=h(−α) y b2=h(α), as´ı que la coordenada zde b0yb2es: b0z=−αp, b2z=αp. 3.1. IDEA B ´ ASICA DE LA APROXIMACI ´ ON 49 Por ello, los puntos de control de la curva de B´ezier racional cuadr´atica son: b0= (x0, y0, z0) =(rcos α, −rsen α, −pα). b1= (x1, y1, z1) =(rsec α, 0,0). b2= (x2, y2, z2) =(rcos α, r sen α, pα). Y los pesos son los mismos que calculamos en el primer cap´ıtulo, ω0= 1, ω1= cos αyω2= 1. As´ı que la curva de B´ezier racional cuadr´atica con dichos puntos de control y pesos es de la forma: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ω(t), t ∈[0,1].(3.1.2) donde: x(t) = 2 X i=0 ωixiBi(t) = r(cos α(1 −t)2+ 2t(1 −t) + cos αt2), y(t) = 2 X i=0 ωiyiBi(t) = rsen α(2t−1), z(t) = 2 X i=0 ωiziBi(t) = pα(2t−1), ω(t) = 2 X i=0 ωiBi= (1 −t)2+ 2 cos αt(1 −t) + t2. En el primer cap´ıtulo, vimos que r2 1(t) + r2 2(t) = r2, por ello, la curva de B´ezier racional cuadr´atica que acabamos de aproximar, se encuentra sobre el cilindro de la h´elice. Por otro lado, tenemos que r(0), r1 2yr(1) son puntos de la h´elice circular, ya que r(0) = b0=h(−α), r(1) = b2=h(α) y queda ver que ∃v0∈(−α, α) tal que h(v0) = r(1 2): r1 2=r 1 2cos α+1 2 1 2cos α+1 2 ,0,0= (r, 0,0) = h(0). En la Figura 3.2 representamos la curva de B´ezier racional cuadr´atica r(t) y su proyecci´on sobre el plano (X, Y ), denotada por r0(t). Por otro lado, como ya hemos mencionado, tambi´en vamos a aproximar el arco de h´elice como una curva de B´ezier simple cuadr´atica que se define 50 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON CUADR ´ ATICA DE H ´ ELICE Figura 3.2: Representaci´on de la curva de B´ezier r(t) y su proyecci´on r0(t). de la siguiente forma: q(u) = 2 X i=0 biB2 i(u),0≤u≤1,(3.1.3) donde B2 i(u) son los polinomios de Bernstein y cuyos puntos de control son los mismos que hemos calculado para la curva de B´ezier racional cuadr´atica. Los puntos extremos de la curva de B´ezier simple cuadr´atica, q(0) y q(1), son puntos de la h´elice circular ya que q(0) = b0=h(−α) y q(1) = b2=h(α); por tanto, se encuentran sobre el cilindro de la h´elice. Sin embargo, no todos los puntos de la curva de B´ezier cuadr´atica se encuentran sobre el cilindro de 3.1. IDEA B ´ ASICA DE LA APROXIMACI ´ ON 51 la h´elice, esto vamos a demostrarlo viendo que q2 1(u) + q2 2(u)6=r2: q2 x(u) + q2 y(u) =((1 −u)2rcos α+ 2u(1 −u)r cos α+u2rcos α)2+ + (−(1 −u)2rsen α+u2rsen α)2= =(1 −u)4r2+u4r2+ 2r2u2(1 −u)2−sen2α+ cos2α+2 cos2α+ + 4u(1 −u)3r2+ 4u3(1 −u)r2= =r21+2u2(1 −u)2−1 + 2 cos2α+2 cos2α−6u2(1 −u)2= =r21−4u2(1 −u)2(cos2α−1) cos2α6=r2. En la Figura 3.3 est´a representada la curva de B´ezier simple cuadr´atica q(u) y su proyecci´on en el plano (X, Y ), a la que vamos a denotar por q0(u). Figura 3.3: Representaci´on de la curva de B´ezier q(u) y su proyecci´on q0(u). Notar que si dividimos un arco de h´elice en subarcos de igual longitud y aproximamos cada uno de los subarcos por curvas de B´ezier simples o racionales de orden 2, obtendremos una curva de B´ezier polin´omica compuesta y una curva de B´ezier racional compuesta, ambas de clase G1. Observaci´on 3.1.1 Se tiene que h0(v) y r0(t) son el mismo arco de circunferencia con ´angulo 2αen el plano (X, Y ). 52 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON CUADR ´ ATICA DE H ´ ELICE 3.2. C´alculo del error utilizando la distancia de Hausdorff Proposici´on 3.2.1 Sea r(t)una c´onica y q(t)una curva de B´ezier cuadr´atica que tienen los mismos puntos de control p0,p1,p2, y r(t)tiene los pesos 1,ω,1, respectivamente. Entonces hay una reparametrizaci´on t(u)tal que r(t(u)) −q(u)es paralelo a p0−2p1+p2y se verifica: |r(t(u)) −q(u)| ≤ |1−ω| 4(1 + ω)|p0−2p1+p2|. Demostraci´on. Aunque en la Proposici´on 2.1 y el Corolario 2.2 en [4] se puede encontrar esta demostraci´on para curvas planas que se encuentran en el plano (X, Y ), tambi´en se tiene el resultado cuando r(t) y q(u) son curvas planas situadas en el mismo plano. Proposici´on 3.2.2 Para cada α,pyr, la aproximaci´on de la h´elice mediante curvas racionales cuadr´aticas y curvas simples cuadr´aticas tienen la siguiente cota de error: dH(h, r)≤pE(α),(3.2.1) dH(h, q)≤p(pE(α))2+ (rF(α))2,(3.2.2) donde tA=1 2−1 2s(1 + cos α)(α−sen α) (1 −cos α)(α+ sen α), E(α) = arctan y(tA) x(tA)−z(tA) pω(tA), F(α) = 2 sen4α 4sec α. Demostraci´on. Por la Definici´on 1.1.15 sabemos que : dH(h, r) = m´ax m´ax t∈[0,1] m´ın v∈[0,1] |h(v)−r(t)|,m´ax v∈[0,1] m´ın t∈[0,1] |h(v)−r(t)|≤ ≤m´ax m´ax t∈[0,1] |h(v(t)) −r(t)|,m´ax t∈[0,1] |h(v(t)) −r(t)|. siendo h(v(t)) una reparametrizaci´on de h(v). 3.2. C ´ ALCULO DEL ERROR 53 Por lo tanto, se verifica la siguiente desigualdad: dH(h, r)≤m´ax 0≤t≤1|h(v(t)) −r(t)|.(3.2.3) Utilizando la reparametrizaci´on v=v(t) = arctan y(t) x(t), obtenemos que la diferencia entre la ecuaci´on de la h´elice (3.1.1) y la ecuaci´on de la c´onica (3.1.2) es la siguiente: h(v(t)) −r(t) = rx(t) px(t)2+y(t)2,ry(t) px(t)2+y(t)2, p arctan y(t) x(t)! −x(t) ω(t),y(t) ω(t),z(t) ω(t). Como ya hemos visto que la h´elice y la curva racional de B´ezier cuadr´atica est´an sobre el cilindro, entonces sabemos que x(t)2+y(t)2=rω(t)2, por lo tanto, podemos escribir la diferencia anterior como: h(v(t)) −r(t) = 0,0, p arctan y(t) x(t)−z(t) ω(t).(3.2.4) De esta forma, a la tercera componente de la expresi´on anterior la vamos a denotar como (t), (t) = parctan y(t) x(t)−z(t) ω(t), cuya derivada es la siguiente: 0(t) =py(t)0x(t)−y(t)x(t)0 x(t)2+y(t)2−z(t)0ω(t)−z(t)ω(t)0 ω(t)2= =p(y(t)0x(t)−y(t)x(t)0)−r2(z(t)0ω(t)−z(t)ω(t))) r2ω(t)2. A continuaci´on, vamos a ver que el numerador de 0(t) se puede escribir como una curva polinomial cuadr´atica, para ello primero vamos a determinar las derivadas de x(t), y(t), z(t) y ω(t), que son: x0(t) =r(−2 cos α(1 −t) + 2(1 −2t) + 2 cos αt), y0(t) =2rsen α, z0(t) =2pα, ω0(t) = −2(1 −t) + 2 cos α(1 −2t)+2t. 54 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON CUADR ´ ATICA DE H ´ ELICE Con esto se tiene que el numerador de 0(t) se puede escribir como: p(y0x−yx0)−r2(z0ω−zω)) = =2r2p{sen αcos α(1 −t)2+ 2t(1 −t) + t2cos α− −sen α(2t−1)(−cos α+ 2tcos α+ 1 −2t)− −α((1 −t)2+ 2 cos αt(1 −t) + t2)+ +α(2t−1)(−1+2t+ cos α(1 −2t))}= =2r2p{− sen α(−2t2+ 2t2cos α−2tcos α−1)+ +α(2t2−2t2cos α+ 2tcos α−2t−cos α)}= =2r2p{t2(2 sen α−2 cos αsen α+ 2α−2αcos α)+ +t(2 sen αcos α−2 sen α+ 2αcos α−2α)+ + (sen α−αcos α)}= =2r2p{2(t2−t)(α−αcos α+ sen α−sen αcos α)+ + (sen α−αcos α)}= =2pr2{2(α+ sen α)(1 −cos α)(t2−t) + (sen α−αcos α)}. En la Figura 3.4, quedan representadas ambas ra´ıces de la curva polinomial cuadr´atica anterior con α∈(0, π/2), que son: Figura 3.4: Representaci´on de tAytBpara α∈(0, π/2). 3.2. C ´ ALCULO DEL ERROR 55 tA=1 2−1 2s(1 + cos α)(α−sen α) (1 −cos α)(α+ sen α), tB=1 2+1 2s(1 + cos α)(α−sen α) (1 −cos α)(α+ sen α). y se puede apreciar que ambas se encuentran en el intervalo (0,1) para α∈ (0, π/2). Por otro lado, como (t) = 0 para t= 0,1/2,1, y 0(t)>0 en (0, tA) y (tB,1), entonces (t) tiene un m´aximo local (tA), un m´ınimo local en (tB) y(tA) = −(tB) es el m´aximo global de (t) en el intervalo cerrado [0,1], como se muestra en la Figura 3.5. Figura 3.5: Representaci´on de (t) para t∈[0,1] cuando α=π/4. Por tanto, como el vector que se describe en (3.2.4) es paralelo al eje OZ, podemos acotar su m´odulo de la siguiente forma: |h(v(t)) −r(t)|=p(t)2=(t)≤(tA), porque hemos demostrado que (tA) es el m´aximo global de (t). As´ı que ya podemos ver que la desigualdad (3.2.1) es cierta: dH(h, r)≤m´ax 0≤t≤1|h(v(t))−r(t)| ≤ (tA) = parctan y(tA) x(tA)−z(tA) pω(tA)=pE(α) 56 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON CUADR ´ ATICA DE H ´ ELICE para todo 0 ≤t≤1. Ahora vamos a probar que se verifica la desigualdad (3.2.2), es decir, vamos a buscar una cota de error superior utilizando la distancia de Hausdorff dH(h, q) entre la h´eice h(v) y la curva de B´ezier cuadr´atica aproximada q(u). q(u) y r(t) tienen los mismos puntos de control b0,b1,b2, as´ı que por la Proposici´on 3.2.1, tenemos que existe una reparametrizaci´on t=t(u) tal que r(t(u)) −q(u) es paralelo a b0−2b1+b2y, adem´as: |r(t(u)) −q(u)| ≤ 1−cos α 4(1 + cos α)|b0−2b1+b2|. Para poder aplicar esta desigualdad, primero vamos a calcular el m´odulo del vector b0−2b1+b2=−2r(sen2αsec α, 0,0) que como es paralelo al eje OX, entonces su m´odulo es |b0−2b1+b2|= 2rsen2αsec α. As´ı que la desigualdad anterior se acota de la siguiente forma: |r(t(u)) −q(u)| ≤ (1 −cos α) 4(1 + cos α)×2rsen2αsec α= 2rsen4α 2sec α=rF(α). Por ´ultimo, hab´ıamos visto que h(v(t(u))) −r(t(u)) = (0,0, (t)) donde (t)≤pE(α). Por otro lado, tambi´en hemos visto que r(t(u)) −q(u) = (2(t),0,0) donde 2(t) = −2rsen2αsec αtal que 2(t)≤rF(α). Por ello, para todo u∈[0,1], con la reparametrizaci´on v=v(t(u)), tenemos: |h(v)−q(u)|=|(h(v(t(u))) −r(t(u)) + (r(t(u)) −q(u))|= =|((t),0, 2(t))|=p(t)2+2(t)2≤ ≤pp2E(α)2+r2F(α)2. Con esto ya queda probada la desigualdad (3.2.2). En la Figura 3.6 est´an representadas las dos cotas de error que hemos demostrado, pE(α) y pE(α)2+F(α)2, con α∈[0, π/4] y p=r= 1. 3.3. Ejemplos En este cap´ıtulo, hemos aproximado la h´elice dada por (3.1.1) como una curva de B´ezier racional cuadr´atica, r(t), dada por (3.1.2) y una curva de 3.3. EJEMPLOS 57 Figura 3.6: Representaci´on de (t) para t∈[0,1] cuando α=π/4. B´ezier simple cuadr´atica, q(u), dada por (3.1.3). Adem´as, hemos obtenido una cota de error utilizando la distancia Hausdorff para ambas aproximaciones que han sido demostradas en la Proposici´on 3.2.2. A continuaci´on vamos a mostrar mediante gr´aficas las curvas obtenidas por estos m´etodos que aproximan a la h´elice de partida. Ejemplo 3.3.1 En primer lugar vamos a aproximar una vuelta completa de la h´elice h(v) con r=p= 1 y v∈(−π/4,7π/4) dividi´endola en 4 arcos de igual amplitud. Cada uno de estos 4 arcos tendr´an como puntos extremos h(−π/4) y h(π/4), h(π/4) y h(3π/4), h(3π/4) y h(5π/4), y por ´ultimo h(5π/4) y h(7π/4). Cada arco ser´a aproximado por una curva de B´ezier racional cuadr´atica y una curva de B´ezier simple cuadr´atica seg´un el m´etodo que hemos visto en este cap´ıtulo. El resultado lo podemos ver en la Figura 3.7. En esta Figura podemos comparar visualmente el error de aproximaci´on que comete cada curva que hemos estudiado en este cap´ıtulo, donde la curva de B´ezier simple cuadr´atica aparece en verde, la curva de