La influencia de la forma en las zapatas de medianera y de esquina

UNIVERSIDAD DE SEVILLA DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS, TEORÍA DE ESTRUCTURAS E INGENIERÍA DEL TERRENO Tesis Doctoral: “LA INFLUENCIA DE LA FORMA EN LAS ZAPATAS DE MEDIANERA Y DE ESQUINA” Rocío Romero Hernández Arquitecto Sevilla, septiembre de 2004 UNIVERSIDAD DE SEVILLA DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS, TEORÍA DE ESTRUCTURAS E INGENIERÍA DEL TERRENO Tesis Doctoral: “LA INFLUENCIA DE LA FORMA EN LAS ZAPATAS DE MEDIANERA Y DE ESQUINA” Director Tesis Doctoral: Antonio Jaramillo Morilla Doctorando: Rocío Romero Hernández Sevilla, septiembre de 2004 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina ÍNDICE ÍNDICE 1.- ANTECEDENTES 1 1.1.- Historia de las cimentaciones 1 1.1.1.- Inicio y evolución de los distintos sistemas de cimentación 1 1.1.2.- Análisis de los sistemas de cimentación empleados en España desde el siglo XVIII 23 1.2.- Tipología de cimentaciones 26 1.2.1.- Cimentaciones superficiales y profundas 26 1.2.2.- Tipología de zapatas 27 2.- MÉTODOS DE CÁLCULO DE ZAPATAS DE HORMIGÓN 29 2.1.- Nociones básicas de cálculo: Comprobaciones geotécnicas y estructurales 29 2.1.1.- Acciones a considerar 29 2.1.2.- Comprobación de tensiones en el terreno: 31 2.1.3.- Comprobación estructural de la cimentación: 33 2.2.- Presión máxima y presión de cálculo 37 3.- ESTUDIO COMPARATIVO NORMATIVAS DE HORMIGÓN 40 3.1.- Evolución de las distintas normativas españolas 40 3.1.1.- Instrucción para el proyecto y la ejecución de obras de hormigón en masa o armado 1968/ EH-73 40 3.1.1.1.- Zapatas rectangulares flexibles h<v. 40 3.1.1.2.- Zapatas rectangulares rígidas h>v 41 3.1.2.- Instrucción para el proyecto y la ejecución de obras de hormigón en masa o armado EH-80, 82 y EH-88 42 3.1.2.1.- Cálculo a flexión: 43 3.1.2.2.- Determinación y disposición de la armadura: 44 3.1.2.3.- Adherencia de las armaduras en zapatas 44 3.1.2.4.- Cálculo a cortante 45 3.1.2.5.- Cálculo a punzonamiento 45 3.1.2.6.- Comprobación de las condiciones de fisuración 45 3.1.2.7.- Dimensiones y armaduras mínimas 46 3.1.3.- EH-91 46 3.1.3.1.- Cálculo a flexión 46 3.1.3.2.- Comprobación a cortante 48 3.1.3.3.- Comprobación a punzonamiento 49 3.1.3.4.- Condiciones de adherencia 52 3.1.3.5.- Comprobación de las condiciones de fisuración 52 3.1.3.6.- Condiciones de anclaje 53 3.1.3.7.- Dimensiones y armaduras mínimas 56 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina ÍNDICE 3.1.4.- EHE-98 58 3.1.4.1.- Clasificación de las cimentaciones 58 3.1.4.2.- Dimensiones mínimas 59 3.1.5.- Comprobación a punzonamiento 62 3.1.6.- Comprobación a cortante 63 3.1.6.1.- Cuantías mínimas 66 3.1.6.2.- Modificación del valor de los recubrimientos. 66 3.2.- Zapatas excéntricas, de medianería y de esquina 67 3.3.- Cálculo a flexión de las zapatas de medianera 67 3.4.- Cálculo a flexión de las zapatas de esquina 68 3.4.1.- Resistencias mínimas del hormigón y el acero 68 3.5.- EUROCÓDIGO EC-2 69 3.5.1.- Comprobación a punzonamiento 69 3.5.2.- Comprobación a cortante 70 3.6.- ACI 318 70 3.6.1.- Comprobación a punzonamiento 70 3.6.2.- Comprobación a cortante 70 4.- EVOLUCIÓN DE LOS DISTINTOS SISTEMAS DE CÁLCULO 72 5.- EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS UTILIZADO 75 5.1.- Descripción del elemento shell 77 5.2.- Placas gruesas. Teoría de Reissner/Mindlin 79 5.3.- Cálculo de esfuerzos y deformaciones. 84 5.4.- Aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales 86 5.5.- Formulación de los elementos finitos. Discretización del campo de movimientos. 87 5.6.- Discretización del campo de deformaciones generalizadas 88 5.7.- Obtención de la matriz de rigidez del elemento 89 5.8.- Condiciones de contorno 91 6.- COMPROBACIONES REALIZADAS 92 7.- CÁLCULOS REALIZADOS CON EL SAP2000 106 7.1.- Discretización del conjunto con luces de 3m 109 7.2.- Discretización del conjunto con luces de 4m 110 7.2.1.- Área 1 m2 110 7.2.2.- Área 2 m2 113 7.2.3.- Área 3 m2 113 7.3.- Discretización del conjunto con luces de 5m 114 7.3.1.- Área 1 m2 114 7.3.2.- Área 2 m2 116 7.3.3.- Área 3 m2 116 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina ÍNDICE 7.4.- Discretización del conjunto con luces de 6m 117 7.4.1.- Área 1 m2 117 7.4.2.- Área 2 m2 118 7.4.3.- Área 3 m2 119 7.5.- Discretización del conjunto con luces de 7m 120 7.5.1.- Área 1 m2 120 7.5.2.- Área 2 m2 120 7.5.3.- Área 3 m2 121 8.- RESUMEN Y CONCLUSIONES 124 8.1.- RESUMEN 124 8.2.- CONCLUSIONES 127 8.3.- FUTURAS INVESTIGACIONES 129 9.- BIBLIOGRAFÍA 130 ANEJO 1: TABLAS ANEJO 2: DEFINICIONES, SÍMBOLOS Y SISTEMAS DE UNIDADES ÍNDICE DE TABLAS ÍNDICE DE FIGURAS La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 1 1.- ANTECEDENTES 1.1.- Historia de las cimentaciones 1.1.1.- Inicio y evolución de los distintos sistemas de cimentación Se denomina cimentación a la parte de una estructura que transmite al terreno subyacente su propio peso, el de la superestructura y todas las sobrecargas. El cimiento es por tanto el enlace entre la superestructura y el terreno, y son por ello elementos básicos en el diseño y organización general del edificio, aunque durante muchos siglos el diseño y dimensionamiento de los mismos, ha sido un proceso eminentemente empírico. Un inadecuado diseño de la subestructura de un edificio colocado sobre un terreno inestable, conduce a la ruina del mismo, mientras que cimientos cuidadosamente diseñados y sólidamente establecidos, aseguran la permanencia de la edificación superior. Sin embargo, las cimentaciones de los edificios antiguos, a pesar del papel tan relevante que han tenido en la permanencia de los mismos, han sido normalmente ignoradas, en parte quizás porque no participan de los desarrollos formales, en parte por un posible desconocimiento de la importancia vital de las mismas. También el estudio de las cimentaciones resulta dificultoso dado que éstas no suelen estar fácilmente accesibles y su observación requiere de complejas excavaciones arqueológicas. Vamos a realizar un recorrido, más o menos concreto, por distintas cimentaciones desde la antigüedad hasta nuestros días, haciendo un mayor hincapié en las cimentaciones superficiales por medio de zapatas, que son el tema fundamental de este documento. Desde el momento en el que el hombre se hace sedentario necesita erigir su hogar, establecerse y para ello ha de ir colonizando el suelo. Las primeras estructuras de tierra de las que tenemos constancia, tenían un motivo religioso y datan del Neolítico o del Paleolítico Superior, mucho antes de la Edad del Hierro. Incluso las presas de tierra eran erigidas a un dios, (figura 1). Figura 1: Stonehenge La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 2 Stonehenge fue construido en tres fases que abarcan desde el 2400 hasta el 1700 a.C. Su tamaño, complejidad e importancia hacen de este monumento circular de la edad del bronce, una obra de características únicas. El círculo exterior de piedras hitas soportó en un principio un dintel arqueado que, a su vez, rodeaba a cinco trilitos (dolmen de dos piedras que sostienen a una tercera en posición horizontal) dispuestos en forma de U. Las primeras viviendas eran ligeras, generalmente realizadas con raíces y ramas de los árboles, para ir evolucionando progresivamente hasta emplear ladrillo de barro cocido al sol, dispuestos en hiladas sucesivas. En Mesopotamia hay restos del zigurat de Aqar Quf, donde vemos cómo se intercalaban entre las hiladas de ladrillos o bloques de barro, unas capas de arena con unas mallas tejidas con hojas y ramas que actuaban como elemento drenante, para eliminar la humedad y rigidizar las fábricas. (Kerisel, 1987) El empleo de pilotes de madera, por ejemplo, se presenta en los palafitos, o viviendas lacustres neolíticas construidas hace más de 5.000 años, ejemplares de las cuales se han encontrado en el lago de Lucerna, en Italia y en Irlanda. Precisamente la palabra "palafitta" quiere decir en italiano pilotes hincados en tierra. Mediante estos pilotes se independizaban las viviendas de la acción de las mareas y los ataques por vía terrestre. Desde los primeros tiempos el hombre se va adaptando al medio y aprovechando los recursos de que dispone. Los egipcios, los caldeos, etc... se sirvieron, para construir sus viviendas, de ladrillos de arcilla desecada o endurecida al sol, lo cual significaba que ya conocían algunas propiedades de este suelo y en otros casos emplearon grandes trozos de roca. Figura 2 Detalle de las mallas vegetales La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 3 Los antiguos conocían ya las ventajas de cimentar en roca o en terreno estable. Así, la gran Pirámide de Keops (c. 3.000 a.C.), de 160 m de altura, fue cimentada en una superficie rocosa nivelada. La base rocosa es capaz de resistir presiones superiores a 3000 kPa. (Kerisel, 1987) Los problemas de Tolomeo II para construir el faro de Alejandría (200 a.C.) de 160 m de altura en la isla de Pharos, tuvieron que ser mayores, por los posibles efectos sísmicos. Desde sus primeros días el hombre va a necesitar pronto del conocimiento del terreno, aunque en un principio se trataba de un conocimiento eminentemente empírico, no sólo para cimentar sus edificios sino también para construir las vías de comunicación. Segun J.L. Escario (1960), el primer camino que registra la historia es el que construyó el faraón Keops, citado anteriormente, para transportar los materiales necesarios para la construcción de su pirámide. Las grandes losas empleadas en este camino indican que los egipcios eran ya conscientes de la necesidad de repartir las cargas sobre el terreno, con objeto de no superar la capacidad portante del mismo Los primeros asentamientos humanos solían ser próximos a valles de ríos y en terrenos no excesivamente buenos como material portante. La ciudad de Babilonia se extendía sobre una gran llanura aluvial de suelo blando. Sus habitantes construyeron esta ciudad sobre rellenos de tierra de 1,50 a 5,00 m de altura. Las construcciones se cimentaban sobre lechos de ladrillo unidos por un mortero natural bituminoso. Según Sowers (1972), los caldeos tomaban medidas para contrarrestar los asientos diferenciales en sus construcciones, mediante el empleo de bloques rígidos separados por juntas. No es de extrañar el cuidado de los constructores de Babilonia, dadas las terribles penas decretadas en el Código de Hammurabi para quien se le derrumbase un edificio. Durante las excavaciones realizadas en la ciudad de Jericó se observó que las murallas apoyaban sobre una capa de piedra colocada como cimentación, y que esta capa de piedra se había desplazado hacia el exterior, lateralmente. Parece como si se hubiera minado la base del muro para provocar un deslizamiento. De ser, esto cierto, los Figura 3 : Pirámide de Keops La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 4 israelitas, hacia el 1.605 a.C., poseerían un cierto conocimiento de la estabilidad de los muros y habrían inundado la zanja al pie exterior de las murallas, a una señal de trompeta, provocando su derrumbamiento. (Verdeyen , 1971). Muchas son las teorías acerca del derrumbe de la Torre de Babel, señalando alguna de ellas que pudo hundirse al alcanzar cierta altura, como consecuencia de las condiciones del suelo sobre el que se apoyaba. Los griegos, chinos y mayas, y otros pueblos de la antigüedad utilizaron bases de mampostería en forma de losas de reparto. Las piedras se unían con llaves de plomo o hierro y se ajustaban milimétricamente, del mismo modo que estudiaremos con posterioridad en la Grecia clásica. Los mayas del Yucatán (200 a.C.) empleaban con frecuencia las cimentaciones sobre placas formadas por una capa de piedras rugosas de 30 a 60 cm de lado a la que se añadía encima otra capa de piedras pequeñas y mortero de cal, todo ello situado sobre un terreno bien nivelado. Los muros del edificio se cimentaban sobre esta plataforma. Aunque sin basarse en teorías científicas, los antiguos constructores chinos empleaban un método que está relacionado con el de los "drenes de arena". En sus suelos aluviales blandos hincaban pilotes de madera que extraían, a continuación, por rotación. Los agujeros eran rellenados con cal viva bien compactada. Estos pozos de cal absorbían el agua que los rodeaba, produciendo, de este modo, una consolidación acelerada del suelo, siendo éstos los principios del empleo de las técnicas de mejora del terreno. Conforme va evolucionando la especie humana van complejizando sus asentamientos y modificando los sistemas constructivos para irse adaptando a las nuevas tipologías, con nuevas formas y nuevas disposiciones de las cargas. Figura 4: Torre de Babel Figura 5 Templo maya La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 11 podemos observar que las calzadas romanas satisfacen perfectamente las necesidades de drenaje. Se observa en ellas, además, que los romanos tenían el sentido de los filtros graduados. La llegada del imperio bizantino supuso el aprovechamiento de muchas de las innovaciones constructivas realizadas por los romanos, fundamentalmente en el campo de las cimentaciones hidráulicas. En las zonas secas del imperio se incorporaron a menudo grandes cisternas de piedra revestidas con mortero hidráulico bajo los edificios, con el fin de almacenar agua para las épocas de grandes sequías, frecuentes en esta zona. Las iglesias bizantinas incorporan las bóvedas en muchas de ellas. Durante el período romano las cúpulas y bóvedas se apoyaban sobre elementos continuos y lineales, mientras que el imperio bizantino comienza a apoyarlas sobre pechinas. Las bóvedas son muy sensibles a movimientos de los apoyos, por lo que varias han colapsado, como la de Santa Sofía, que lo hizo dos veces. La planta del edificio denota que todo él se concibe con un nuevo sentido artístico, porque tras un somero examen se observa que todas las partes están dispuestas para contener la gran cúpula central, de 31 m de diámetro, inscrita en un gran cuadrado, y sostenida por cuatro pechinas en los ángulos y sobre las arcadas de cuatro grandes pilares. Esto constituye la gran innovación de la arquitectura bizantina y lo que hace famosa a la cúpula de Santa Sofía, porque únicamente se apoya sobre cuatro puntos, a diferencia de las bóvedas de la antigüedad romana, por ejemplo el Panteón de Agripa, que lo hacían sobre un muro circular. Figura 14: Imagen de una calzada romana La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 12 El peso de las cúpulas romanas recaía sobre el suelo directamente a través del muro de cerramiento circular dando la sensación de un espacio hermético, mientras que la gran media naranja de Santa Sofía parece estar flotando en el aire, inmersa en una luz sobrenatural gracias a las cuarenta ventanas que se abren en su arranque. Al este y al oeste, su enorme empuje se distribuye sobre medias cúpulas de diámetros iguales (33 m), sustentadas por pilares dispuestos octogonalmente y contrarrestados a su vez por tres nichos que se abren en arcadas entre ellas. En los otros dos lados, al norte y sur, los empujes están contrarrestados por dos arcos que actúan a modo de contrafuertes exteriores, cerrados por dos filas de columnas y ventanas. Una serie de dependencias laterales rodea este enorme espacio: naves laterales con galerías altas, que forman salas independientes desde donde la corte y los altos funcionarios asistían a las ceremonias que se celebraban en el grandioso templo. Al fin de aligerar el peso de la cúpula, los arquitectos de Santa Sofía adoptaron el sistema de construirla con anillos de ánforas engarzadas en gruesos lechos de cemento y con un sistema de tejas blancas esponjosas fabricadas en la isla de Rodas. Se asume que los cimientos de Santa Sofía llegan hasta el lecho de roca, transmitiendo las cargas de la superestructura, aunque las excavaciones realizadas hasta ahora no han confirmado esta hipótesis. Al parecer la iglesia se cimenta sobre una serie de muros Figura 15: Cúpula de Santa Sofía La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 13 escalonados de piedra caliza y mortero hidráulico, hasta un nivel de arcillas a unos 4,5m de profundidad, según el esquema que se adjunta en la figura anterior. Figura 16: Esquema de la cimentación Santa Sofía La Edad Media supuso el abandono de muchas técnicas constructivas y la paralización de la evolución de los conocimientos, dada la modesta escala de la mayoría de los monumentos de este período. Excavaciones realizadas en la catedral de York revelaron la utilización de un sofisticado entramado de vigas de madera entre los elementos de mampostería unidos con mortero, produciendo una malla de refuerzo o trabazón de la subestructura, dando una mayor resistencia a flexión, sin embargo existieron en esta época notables fracasos, como los cimientos de la torre de Pisa, que demuestran que el conocimiento del comportamiento del suelo estaba lejos de ser una ciencia exacta. La utilización de la zapata independiente en edificios, es debida a la aparición del estilo gótico en la Edad Media, pues las grandes luces y el uso de columnas aisladas provocan la separación de las plataformas usadas anteriormente. En los terrenos resistentes la cimentación era poco más ancha que el elemento que soportaba (Paterson, 1970). En los suelos blandos se prolongaba más allá de los límites de la columna o el muro. Las dimensiones de las zapatas en raras ocasiones estaban determinadas por las cargas que La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 14 actuaban sobre ellas. Cuando se producía un accidente, se ensanchaba la parte defectuosa hasta que la carga era soportada de modo adecuado. En terrenos muy blandos se empleaban fajinas de varios decímetros de espesor bajo las zapatas de mampostería, más adelante se emplearon suelos de madera. Durante el siglo XI en Italia se produce el colapso de importantes edificios, debido a fallos de sus cimentaciones y son muchos los campaniles que sufren inclinaciones, algunos de los cuales han continuado su movimiento hasta nuestros días, como es el caso de la torre de Pisa, (Kerisel, 1987). Esta torre, de 20m de diámetro y 60m de altura fue construida en tres fases, comenzándose en 1173. Una vez construido el primer tercio comenzó a inclinarse y se paralizaron las obras durante un tiempo realizándose posteriormente el segundo tercio, continuando su inclinación. No fue hasta 1373 cuando se tomó la decisión de finalizarla. Este puede ser considerado uno de los grandes errores de los constructores y arquitectos de la Edad Media en Italia, una torre excesivamente pesada para la escasa calidad del suelo sobre el que se cimentó. La llegada del gótico supuso una gran innovación conceptual, tanto en el empleo de delgados muros como en el diseño de sus cimentaciones. Las retículas de trabazón escalonadas que penetran en el terreno hasta grandes profundidades, podemos considerarlos el equivalente de las cada vez más altas y delgadas estructuras Figura 17: Torre de Pisa La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 15 sobrerasante, reflejando un conocimiento más o menos pragmático y una apreciación de las distintas características del suelo. Figura 18: Esquema de cimentación de la catedral de Amiens El desarrollo de las catedrales obligó a soportar cargas y empujes muy superiores a los conocidos hasta entonces. Los fallos de cimentación pueden explicarse por el predominio de razones religiosas o políticas más que técnicas, en la elección de lugares, el deficiente tratamiento de mamposterías enterradas y posibilidad de ahorro en las zonas que no quedaban a la vista. Las excavaciones de Viollet-le-Duc en la catedral de Amiens, son uno de los ejemplos bien documentados de la construcción de cimentaciones góticas. La catedral se construyó sobre un estrato de arcilla próximo a un río, por lo que nivel freático podría estar alto, disminuyendo la capacidad portante del terreno. Se construyeron unos muros escalonados con una profundidad de casi 8 metros, dispuestos en forma de retícula, lo que favorecía el reparto de las cargas, y recuerda de algún modo las retículas utilizadas en los templos romanos, como es el caso del templo de Delfos. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 16 Allí donde fue posible se reutilizaron cimentaciones antiguas sobre las que se erigieron los nuevos edificios, en las que los edificios anteriores habían compactado las capas inferiores de suelo, disminuyendo así el riesgo potencial de asientos diferenciales. Las nuevas disposiciones de las cargas y su distribución modifican las plantas de los edificios. La imagen siguiente es de la planta de la catedral de Chartes, ahora ya no son muros y elementos lineales sino que se pasa a emplear elementos más esbeltos y con dimensiones en planta mucho más reducidas. Figura 20: Planta de la catedral de Chartes El arquitecto-ingeniero italiano Vitrubio, en su “De Architectura”, no trata con extensión la materia de cimentaciones, su lema principal parece ser: “si existe duda, use pilotes”, sin embargo recomienda la utilización de cimientos escalonados sugiriendo, por ejemplo, que la cimentación de una columna debe de ser 50% más ancha que la propia columna, (libro Figura 19: Nuevos espacios: Nueva distribución de las cargas La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 17 IV, cap. I). También este mismos autor, en su libro III, capítulo III, propone como medida preventiva para una buena cimentación del edificio «...alcanzar el firme...». En el Renacimiento continúa la preocupación por las cimentaciones. Palladio plantea que las cimentaciones deberían ser el doble de gruesas que los muros soportados por ellas, una dimensión que podría modificarse según la calidad del suelo y la escala de la edificación. Según Alberti, la excavación de la cimentación debería ser horizontal, para evitar cualquier deslizamiento o movimiento y los muros deberían ubicarse en el centro de la zapata, recomendando abrir algunos pozos o fosos para conocer las características de los estratos presentes bajo la superficie. Existe en este momento una mayor preocupación sobre las cimentaciones y sus técnicas constructivas, si bien no es posible realizar un desarrollo evolutivo del diseño de las cimentaciones, ya que fueron tan variadas como los edificios que sustentaban. Figura 21: Sección de una catedral gótica La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 18 En el siglo XV Leonardo da Vinci diseñó una máquina para hincar pilotes. Igualmente Francesco di Biorgio (alrededor de 1450) avanzó en el diseño de dichas máquinas. En el siglo XVIII se empleó por primera vez el método de la precarga (Sowers, 1968): el emplazamiento de la futura construcción se cargaba con anterioridad para provocar una parte de los asientos antes de construir la obra. Sin embargo, parece ser que se desconocía el fundamento de este procedimiento. En 1783 un arquitecto inglés, Wyatt, empleó por primera vez, al parecer sin intencionalidad clara, una cimentación parcialmente flotante, el peso de las tierras excavadas era al menos un 50% del peso del edificio, (Skempton, 1955) mediante la construcción de sótanos. Este método, usado a comienzos del siglo XIX, fue pronto olvidado, y no reapareció hasta final de la década de 1920 (v. D'Appolonia y Lambe, 1971). Hasta este momento la Mecánica del Suelo había sido prácticamente un arte. El aumento de las tensiones sobre el terreno que exigen obras cada vez más pesadas, el empleo de terrenos cada vez más malos, y la necesidad de economizar debido al coste creciente de la mano de obra, precisan una cuantificación del comportamiento del terreno. Esto hace que la Mecánica del Suelo se convierta en una ciencia. Podemos decir que la transformación de la Mecánica del Suelo en una ciencia se inicia con el científico francés Coulomb, el cual, en el año 1773 enuncia el criterio de rotura que lleva su nombre. Merece destacarse que la teoría de rotura de Coulomb es muy anterior a las teorías de rotura de los metales. Asimismo Coulomb inicia las teorías de empujes de tierras al determinar el empuje activo como un máximo y el pasivo como un mínimo de todos los empujes posibles, suponiendo, para simplificar, que las líneas de rotura son rectas. Antes del siglo XIX los edificios, formados por gruesas paredes algo flexibles, podían sufrir grandes asientos sin ser dañados. Como consecuencia los constructores prestaban poca atención a sus cimentaciones. Cuando debían construirse estructuras de dimensiones excepcionales, con fuertes cargas, los proyectistas tendían a dimensionar cimentaciones muy pequeñas, pues no había reglas ni experiencia que los guiase. Como consecuencia muchos edificios importantes se derrumbaron. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 19 En el siglo XIX se necesitaron edificios grandes pero económicos. Los tipos de edificios que se desarrollaron eran mucho más sensibles a los asientos diferenciales, y, además, hubo necesidad de construir en sitios donde los suelos eran blandos. Se precisaba, pues, un método seguro y sencillo para cimentar. En la década que comienza en 1870 se desarrolló en varios países el concepto de la "presión admisible del suelo" (Terzaghi y Peck, 1955), basándose en el hecho evidente de que, en condiciones generales, las zapatas que transmiten grandes presiones al terreno asientan más que aquellas que transmiten cargas de menor cuantía. De forma empírica empezaron a observar el comportamiento de los distintos edificios que empleaban cimentaciones superficiales y que ejercían distintas presiones sobre el terreno. A la presión máxima que no producía daños en el edificio se le denominó “presión admisible del suelo”. En los reglamentos de edificación de cada ciudad importante se incluyeron tablas de presiones admisibles. Baumann en 1873 enunció por primera vez en Estados Unidos el principio de la presión admisible, a la vez que señalaba que el punto de aplicación de las cargas debía coincidir con el eje del apoyo en la zapata. También a finales del siglo XIX se adoptaron algunas reglas empíricas sobre las zapatas, como el que al aumentar la anchura de una zapata en una cantidad debía incrementarse también su espesor en esta cantidad (Sowers, 1972). Se usaron bóvedas invertidas como cimentaciones para aligerar éstas, pero no se resolvió el problema de contrarrestar el empuje transmitido por los arcos extremos, por lo cual hubo de abandonarse el sistema. Con gran sofisticación, los lechos inferiores de piedra o tabique fueron construidos un poco más anchos que el escalón inmediatamente superior, para producir un cimiento por ampliación de la base, logrando una superficie mayor de apoyo. Este fue un avance importante, dado que permitió soportar cargas más grandes sin aumento de la presión transmitida al terreno, y de este modo fue posible construir edificios más altos. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 20 Este método alcanzó su límite cuando la cimentación ocupó toda la superficie en planta del edificio, con lo que resultaba imposible cualquier aumento en altura de los mismos sin introducir innovaciones técnicas. Aún con el adelanto que significó el uso del cimiento, su diseño continuaba siendo casual. La mayoría de las cimentaciones se hacían continuas, aparentemente con el fin de disponer de una superficie de apoyo mayor, y no se trató de adecuar el tamaño de la cimentación a las cargas que se trataba de transmitir. Por fin, la necesidad de transmitir cargas mayores obligó a los proyectistas a fijar su interés en las cimentaciones. El desarrollo más importante en el diseño de las cimentaciones tuvo lugar en Chicago en el último cuarto del siglo XIX. En 1871, la ciudad fue destruida en un gran incendio, al que siguió un período de construcción febril. En el área de negocios de Chicago, conocida como “The Loop” tiene un terreno cuyas características no son favorables para la construcción de grandes edificios con cimentaciones superficiales. El terreno es una arcilla de espesor considerable depositada por el lago Michigán en condiciones periglaciales. Aproximadamente entre 3,65 y 4,6 metros, (12 y 15 pies) se encuentra un estrato de arcilla dura. Sobre esta superficie se apoyó la cimentación de la ciudad a reconstruir. A pesar de la escasa capacidad portante del estrato algunos de los edificios se apoyaron el él, Figura 22: Detalle de la cimentación escalonada Figura 23: Home Insurance Company La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 27 A veces se plantean situaciones en las que el terreno de cimentación se encuentra a niveles intermedios, en cuyo caso recurrimos a lo que suele denominarse cimentaciones semiprofundas, que normalmente denominamos pozos. 1.2.2.- Tipología de zapatas En función de las cargas a soportar, de la proximidad entre pilares y de la profundidad del estrato resistente, podemos establecer diferentes tipos de zapatas. -Para soportar cargas bajo un solo pilar: • Zapatas aisladas bajo un solo pilar. • Zapata superficial centrada. • Zapata superficial en medianera. • Zapata superficial en esquina. -Para soportar cargas bajo elementos lineales: Figura 30: Tipologías de cimentación La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 1 Página 28 • Zapatas corridas. -Para soportar la acción de varios pilares relativamente cercanos: • Zapatas combinadas. En la figura anterior se representan los diferentes tipos de zapatas y pozos. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 2 Página 29 2.- MÉTODOS DE CÁLCULO DE ZAPATAS DE HORMIGÓN Dada la variedad y tipología de zapatas que hemos mencionado en el apartado anterior, es necesario acotar el problema que vamos a desarrollar en este documento, por lo que nos vamos a centrar en el estudio y en el cálculo de zapatas de hormigón aisladas, que soportan cargas bajo un solo pilar, esto es: • Zapata centrada. • Zapata de medianera. • Zapata de esquina. No hemos considerado las zapatas bajo elementos lineales (zapatas corridas) y las diseñadas para soportar dos pilares cercanos (zapatas combinadas), ya que la causuística sería excesivamente amplia, y no se encuentra dentro de lo que pretendemos abarcar en este documento. El comportamiento de una zapata combinada y la distribución de tensiones en la misma depende directamente de la luz entre pilares y de la sección de cada uno de esos pilares, por lo que alargaría mucho los cálculos al introducir tantas variables y sin embargo no aportaría prácticamente nada a lo que pretendemos demostrar en este documento. Las abreviaturas de los distintos términos que se emplean en este documento aparecen recogidas al final del mismo, en el anejo 1 y corresponden a los empleados en el Borrador del Código Técnico. 2.1.- Nociones básicas de cálculo: Comprobaciones geotécnicas y estructurales 2.1.1.- Acciones a considerar En el cálculo de toda cimentación ha de partirse de las siguientes acciones sin mayorar: Np Axil transmitido por el pilar al nivel de cota superior de cimentación. Hx Esfuerzo horizontal según la dirección x al nivel de cota superior de la cimentación. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 2 Página 30 Hy Esfuerzo horizontal según la dirección y al nivel de cota superior de la cimentación. Mx Momento en cimentación según la dirección x al nivel de cota superior de la cimentación. My Momento en cimentación según la dirección y al nivel de cota superior de la cimentación. Pc Peso propio del elemento de cimentación, para lo cual hay que partir de un predimensionado del elemento. Las dimensiones se indican en la figura. h a b B L D Np Figura 31: Dimensiones de la zapata Para zapatas rectangulares de hormigón: hor hLBW γ ... = ( 1 Pt Peso de las tierras sobre el elemento de cimentación. Para zapatas rectangulares de hormigón: terr hDLBWt γ ).(. − = ( 2 Estos esfuerzos en la base de zapata se transforman en: NtNcNpN + + = ( 3 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 2 Página 31 2 2 y HHxH += ( 4 hHyMxxM . ´+= ( 5 hHxMyyM . ´+= ( 6 N=Np+Nc+Pt Mx Hx H´x My Hx Hy Mx Hy Hx H´x H´y My Mx Np Np Np Figura 32: Acciones a considerar En la figura anterior se representan las distintas acciones que actúan sobre la base de la cimentación. Cada una de las posibles combinaciones (con las cargas en servicio), constituye una hipótesis de cálculo. Aunque en edificación lo más desfavorable suele ser la combinación de concargas más sobrecargas totales, no se pueden despreciar las otras combinaciones (viento y sismo), sobre todo en edificios altos. 2.1.2.- Comprobación de tensiones en el terreno: Para comprobar las tensiones transmitidas al terreno, se utilizan los valores de la combinación poco probable en Estado Límite de Servicio, a partir de las acciones exteriores que actúan sobre el terreno: cargas transmitidas por la cimentación, incluido el La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 2 Página 32 peso propio de la misma y el peso de las tierras, así como las cargas uniformes repartidas por encima del plano de cimentación. La distribución real de presiones de la zapata sobre el suelo, y por tanto de las reacciones de éste, constituyen un tema complejo que depende de muchas variables, en particular de la rigidez de la zapata, del nivel de carga de la misma y de las características tensión deformación del suelo. En la tabla siguiente se adjunta un resumen realizado por Calavera (2000): σσ σσ σσ TIPO DE ZAPATA TIPO DE SUELO COHESIVO GRANULAR ROCA RIGIDA FLEXIBLE La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 2 Página 33 Según Jiménez Salas y Justo Alpañés, (1975) , la distribución de presiones sería la siguiente: Sin embargo, para el caso de cimentaciones corridas y aisladas, con los vuelos empleados usualmente, la práctica universal es aceptar una distribución uniforme de presiones. 2.1.3.- Comprobación estructural de la cimentación: Como reacción del suelo se consideran los valores de la tensión del terreno obtenidos del cálculo con las acciones ponderadas transmitidas por la cimentación, descontando el peso propio de la misma y las cargas uniformes por encima del plano de cimentación, cuando no influyan en el cálculo de esfuerzos. Comprobaciones a realizar Vamos a tomar como referencia para las comprobaciones a realizar en las zapatas, lo que especifican el Eurocódigo 7 y el borrador del Código Técnico, aunque este último no esté aún en vigor, pero no ha parecido importante introducir las especificaciones que en él figuran. En el cálculo de una cimentación superficial debe de comprobarse: 1)El coeficiente de seguridad al vuelco debe de ser igual o superior a 2. x xM L N Fv 2 . = ( 7 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 2 Página 34 y yM B N Fv 2 . = ( 8 2)El coeficiente de seguridad al deslizamiento debe ser igual o superior a 1,5. H tgNLBa Fd d δ ... + = ( 9 En general puede tomarse: ad Adherencia: En forma simplificada podemos considerarlo nulo para suelos arenosos y en caso de terrenos arcillosos el 50% de la cohesión. Si se requiere una mayor precisión puede utilizarse los datos de las tabla 10.2 que figura en el anejo 1, (Jiménez Salas y Justo Alpañés, 1976). φ En forma simplificada puede tomarse 2/3 de δ siendo φ el ángulo de rozamiento interno del terreno. Si se requiere una mayor precisión pueden utilizarse los datos de la tabla mencionada en el apartado anterior. B',L' Dimensiones eficaces de la zapata. N M LL 1 2 ´−= ( 10 N M BB 2 2 ´−= ( 11 3) El coeficiente de seguridad al hundimiento Debe ser igual o superior a 3 para la combinación más desfavorable de peso propio, sobrecarga de uso y viento. Algunos autores (Jiménez Montoya, 1986), admiten bajar el coeficiente de seguridad a 2 en la comprobación de combinaciones de peso propio más sobrecarga, viento más sismo. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 2 Página 35 En el caso de que estemos trabajando con una cimentación que transmite una carga excéntrica, una carga vertical P y dos momentos, uno en cada dirección, según los ejes x e y de la zapata, Meyerhof (1953 y 1965) nos indica que la carga de hundimiento de la cimentación real bajo carga excéntrica es casi igual a la del área efectiva bajo la misma carga centrada (Mush y Weib, 1969). Se han realizado también los cálculos según el Eurocódigo 7, anejo D y Geotecnia y Cimientos II. 4) Deformaciones admisibles: asientos totales, diferenciales, distorsiones angulares, etc. La tabla 8.2 de la NBE-AE-88 especifica los asientos máximos. Esta tabla coincide con los asientos máximos según la NTE-CSZ. Los asientos diferenciales deben ser como máximo la mitad de los máximos, y la distorsión angular Dz/500, siendo Dz la distancia entre zapatas. Para edificios monumentales se reduce la distorsión angular a DZ/750. La verificación de los Estados Límite de Servicio relacionados con los movimientos y las vibraciones de la cimentación podrá llevarse a cabo, mediante criterios basados en valores límite para: Figura 33: Definiciones básicas del movimiento de las cimentaciones Asiento, s, definido como el descenso de cualquier punto de la cimentación de un edificio Asiento diferencial, ds, definido como la diferencia de asiento entre dos puntos cualesquiera de la cimentación. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 2 Página 36 Distorsión angular, b, definida como el asiento diferencial entre dos puntos dividido por la distancia que les separa. También se denomina giro relativo o rotación relativa cuando el asiento diferencial está referido a la distancia medida según la línea que define la inclinación media de la cimentación (línea A’ D’ en la figura). Deflexión relativa, D, definida como el desplazamiento máximo relativo a la línea que une, tras el movimiento, dos puntos de la cimentación. Deflexión relativa normalizada, D/L, definida como la deflexión relativa entre dos puntos dividida por la distancia que les separa. Estados límite de servicio por distorsión angular Estructuras isostáticas y muros de contención 1/300 Estructuras reticuladas con tabiquería de separación 1/500 Estructuras de paneles prefabricados 1/700 5)Comprobación estructural. La mayor parte de las cimentaciones son de hormigón, por lo que su dimensionado se realiza siguiendo los criterios de la EHE-98 actualmente en vigor, que analizaremos más adelante. 6)Estabilidad general del conjunto. Se ha de tener en cuenta no sólo la edificación propia, sino la posible influencia de las construcciones vecinas, posibles excavaciones próximas, estabilidad de laderas, etc. Las modalidades más predominantes son: La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 43 Figura 35:Tipo de zapatas según EH-80 Tipología Zapatas Tipo Vuelo Tipo I 0,5h < Vmax < 2h Tipo II Vmax < 0,5h tipo III Vmax > 2h 3.1.2.1.- Cálculo a flexión: La sección de referencia S1 que se considera para el cálculo a flexión es paralela a la cara del soporte y está a una distancia de 0,15*a de la cara del mismo, siendo a la dimensión del soporte medida ortogonalmente a la sección que se considera y siempre que el soporte sea de hormigón, tal y como indicamos en la figura siguiente. El momento flector máximo a considerar es aquel que se produce en la sección de referencia S1. Establece dónde se debe de tomar el momento flector máximo (Según art. 58.4.1.1.1. de la EH-80.) La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 44 Figura 36 Situación de la sección S1 3.1.2.2.- Determinación y disposición de la armadura: La armadura necesaria en la sección de referencia se hallará con un cálculo a flexión simple, calculada de acuerdo con los criterios anteriores, se extenderá en todos los casos, sin reducción alguna de su sección, de un lado a otro de la zapata. El momento flector que deberá resistir la sección de referencia no será menor que la quinta parte del momento de referencia que puede resistir la sección de referencia ortogonal. En zapatas rectangulares, la armadura paralela al lado mayor de la base de la zapata de longitud a´ se podrá distribuir uniformemente en todo el ancho b´ de la base de la zapata. La armadura paralela al lado menor b´ se deberá colocar de tal forma que una fracción del área total A igual a ´´ ´2 ba b + se coloque uniformemente distribuida en una banda central coaxial con el soporte de anchura igual a b´. El ancho de b´ no será inferior a a+2h, siendo a el lado del soporte paralelo al lado mayor de la zapata y h el canto de la misma. 3.1.2.3.- Adherencia de las armaduras en zapatas Se ha de verificar que bd d dund V ττ ≤= ...9,0 1 ( 16 Siendo: Vd1 el esfuerzo cortante mayorado por unidad de longitud en la sección de referencia s1 n el número de barras por unidad de longitud La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 45 u el perímetro de cada barra d el canto útil de la sección b τ la tensión tangencial de adherencia bd τ la resistencia de cálculo para la adherencia. 32 95,0 cdbd f= τ en kp/cm2 3.1.2.4.- Cálculo a cortante Se realizará en la sección de referencia, entendiendo como tal una sección plana perpendicular a la base de la zapata, paralela a la cara del soporte o muro y a una distancia d de la misma, medido el canto útil en la cara del soporte. El valor de cálculo del esfuerzo cortante Vd2 en la sección de referencia s2, habrá de cumplir la siguiente limitación: cvd fdbV ...2 222 ≤ siendo cdcv ff 5,0= fcd y fcv en kg/cm2 ( 17 3.1.2.5.- Cálculo a punzonamiento Se introduce por primera vez el cálculo a punzonamiento de los elementos de hormigón, manteniéndose este cálculo en todas las normativas de hormigón posteriores. Se admite que la superficie Sp de referencia tiene un contorno en planta formado por rectas paralelas a los lados del soporte y distante de éste d/2, siendo d el canto de la zapata. 3.1.2.6.- Comprobación de las condiciones de fisuración De acuerdo con la EH-82, sólo es necesaria la comprobación en piezas lineales, luego no es el caso. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 46 3.1.2.7.- Dimensiones y armaduras mínimas En canto mínimo en el borde de las zapatas de hormigón armado no será inferior a 25cm. La cuantía geométrica mínima de la armadura longitudinal en las dos direcciones ortogonales es la misma que en la EH -91 La EH-82 recomienda no emplear diámetros inferiores a 12mm, aunque sin indicar calidad. 3.1.3.- EH-91 La EH-91 distingue los mismos 3 tipos de zapatas según la relación vuelo-canto de la normativa anterior: NP NP H1 H2 M2 M1 H1 M1 HP1 N=NP+NC+PT H1 H2 HP2 HP1 NP MP2 MP1 Figura 37: Acciones a considerar en la zapata 3.1.3.1.- Cálculo a flexión La sección de referencia y el cálculo a flexión es el mismo que en la normativa anterior. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 47 El momento de cálculo de dicha sección es: 2 ... 2´´ 11 af d vb M στ = ( 18 2 ... 2´´ 22 bf d va M στ = ( 19 siendo para el caso de pilares: avv aa .15,0 ´+= bvv bb .15,0 ´+= ( 20 La flexión produce unas tensiones de compresión y tracción en la sección de hormigón. Los valores máximos de estas tensiones son: I h M2 . max = σ ( 21 2 ´ 2´ 11 max ...3 . .6         == h v hb Ma f d στσ 2 ´ 2´ 22 max ...3 . .6         == h v ha Mb f d στσ ( 22 Estos valores de la tensión tienen que ser resistidos por el hormigón. La resistencia a tracción es lo más desfavorable, por lo que su valor viene limitado1: ( ) c ck dct f f τ 3 2 , .375,0 = ( 23 1 Según el artículo 46.3 de la EH-91 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 48 Considerando el vuelo "v" aproximadamente igual a "v'", tenemos que (h/v') es aproximadamente mayor o igual a 2. Para un hormigón H-150, y control reducido,γ f = 1,8 y γc = 1,7, tenemos: 2 3 2 max /22,6 7,1 150.375,0 cmkp== σ ( 24 Si sustituimos en las expresiones anteriores, observamos que para presiones inferiores a 400kPa no sería necesaria armadura y cumpliría siempre. 3.1.3.2.- Comprobación a cortante La comprobación es la misma que en la normativa anterior y debe de cumplirse: V2d ≤ Vcu El valor del cortante será: ´. 2 ´ . 2bd aa V     − − = σ ( 25 fd VV τ . 22 =dbfV cvcu ´.. = cdcv ff .5,0= ( 26 La tensión tangencial de cálculo es: hb bh aa A v T f d d´. ´.. 2 ´ . 2 2 τσ      − − == ( 27 Este valor debe ser menor que la resistencia a tracción del hormigón: La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 49 ( ) c ck T f T 3 2 .375,0 = ( 28 3.1.3.3.- Comprobación a punzonamiento La comprobación o cálculo a punzonamiento se realizará en superficie concéntrica a la zona de aplicación de la carga, situada a una distancia de las caras del soporte no menor que la mitad del canto total de la zapata. El esfuerzo que produce el punzonamiento y el área resistente son: ( ) hhbhabaVd.)).((´´.. + + − = σ ( ) hhbaA .2.2 + + = ( 29 El valor del esfuerzo punzante de agotamiento vale: AfV cvcu ..2 = ( 30 Debe cumplirse: Vd ≤ Vcu En el caso de no cumplir alguna de las dos condiciones, habría que aumentar el canto total h, y el canto útil d. La tensión será: ( ) hhba hhbhaba d)2(2 .)).((´´.. ++ + + − =Γ σ ( 31 Esta tensión tendrá que ser menor o igual a 2⋅fct,d, según art. 58.7 de la EH-91, por lo que: La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 50 c ck dctd f f τ 3 2 , ).(75,0 .2 =≤Γ ( 32 En caso de no cumplir alguna de las dos condiciones, habría que aumentar el canto "h". Hemos adjuntado un esquema comparativo de las dimensiones de las distintas superficies consideradas para el cálculo a punzonamiento, según las normativas más empleadas: 2d 2d 1.5d 1.5d b1 b1 0.5d b1 0.5d EC-2 EHE-98 ACI-318-99 EH-82/EH-91/EH-91 Figura 38: Secciones de punzonamiento según las distintas normas Cuando el vuelo medido en las dos direcciones es igual o menor a la mitad del canto total, no es necesario realizar ningún tipo de comprobación ni a cortante ni a punzonamiento, si la presión transmitida es inferior a 400 kPa y el hormigón tiene una resistencia mínima H-150. ZAPATAS TIPO I Y III Cálculo a flexión Se considera una sección de referencia a la misma distancia definida en el apartado anterior. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 51 El momento de cálculo de dicha sección es: 2 ... 2´´ 11 af d vb M στ =2 ... 2´´ 22 bf d va M στ = ( 33 siendo para el caso de pilares: avv aa .15,0 ´+= bvv bb .15,0 ´+= ( 34 Se dimensionará con estos esfuerzos la armadura necesaria, teniendo en cuenta la armadura mínima de la EH-91 : c yd cd sA f f A04,0≤ ( 35 Se dispondrá como armadura de flexión el valor αAs siendo: s cdc ydS SA fA fA A       −= . .5,125,1. α ( 36 Si la zapata es cuadrada la armadura se distribuye uniformemente. Si es rectangular, la armadura paralela al lado mayor se distribuye uniformemente en el ancho b'. Una fracción de la armadura total As paralela al lado menor igual a: ´´ ´..2 ba bAs + ( 37 se distribuye en un ancho b centrado con el soporte, pero este ancho no se tomará igual o mayor que: a+2h. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 52 3.1.3.4.- Condiciones de adherencia Las condiciones para zapatas apoyadas en el terreno, son las mismas que en la normativa anterior. Para elementos con barras del mismo diámetro la EH-91 establece que se ha de cumplir para las dos direcciones: ´...15,0 2 ´ . 1ba aa Vfd στ      + − =´...15,0 2 ´ . 2aa bb Vfd στ      + − = ( 38 Si V ≤ 2h : 2 .95,0 ...9,0 cd d bf und V≤= τ ( 39 Si V > 2h : 3 2 2256,1       =ckbu bd f τ τ ( 40 "d" es el canto de la zapata, "n" el número de barras en la dirección considerada y "u" el perímetro de cada barra. τbu = 115 kp/cm² para Φ < 8 τbu = 130 - 1,9 φ (el diámetro en mm) kp/cm² para 32 ≥ Φ ≥ 8 τbu = 69 kp/cm² para Φ>32 3.1.3.5.- Comprobación de las condiciones de fisuración La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 59 Rígidas: Zapatas y encepados con v<2h en la dirección de más vuelo, pozos y elementos masivos de cimentación, (Tipo I y II de la antigua EH-91). Se calcularán con la teoría de bielas y tirantes. Flexibles: Zapatas y encepados con v≥2h en la dirección de más vuelo, losas y vigas de cimentación (Tipo III de la antigua EH-91). Se calcularán con la teoría general de flexión. Figura 40 Tipos de zapatas EHE 3.1.4.2.- Dimensiones mínimas En zapatas aisladas los cantos mínimos serán de 30cm en el caso de zapatas de hormigón en masa y 25cm en el caso de hormigón armado. Además será necesario que el canto de la zapata sea suficiente para poder desarrollar el anclaje de las barras trabajando a compresión. Las dimensiones en planta deberán garantizar que la tensión transmitida al terreno sea inferior a la admisible, admitiéndose una distribución plana de tensiones en el terreno bajo la zapata. Las tensiones máxima y mínima producidas en el terreno por una zapata rectangular sobre la que actúan un axil Nk un momento Mk paralelo a la dimensión a2 son (para una ley trapezoidal) : La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 60 2 22 22 . .6 .ab M ba Nkk ±= σ ( 42 Zapatas rígidas: Figura 41:Esquema bielas La armadura principal se obtendrá para resistir la tracción Td indicada en el modelo, que resulta: f A = ) a 0,25 - x ( d 0,85 R = Tyd s 1 1d d ( 43 Resumen de cálculo ZAPATAS AISLADAS RÍGIDAS Comprobación Cálculo Valor acciones Combinación acciones Referencias EHE Flexión De cálculo (valor de comb.) ELU 59.4.1.1, 24, 40 Cortante De cálculo (valor de comb.) ELU No es necesario Punzonamiento De cálculo (valor de comb.) ELU No es necesario Fisuración De cálculo (valor casipermanente) ELS Cuasi-permanente 49 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 61 Anclaje De cálculo ELU 66.5 ZAPATAS AISLADAS FLEXIBLES Comprobación Cálculo Valor acciones Combinación acciones Referencias EHE Flexión De cálculo (valor de comb.) ELU 59.4.2.1, 42 Cortante De cálculo (valor de comb.) ELU 59.4.2.1.1.2, 44 Punzonamiento De cálculo (valor de comb.) ELU 59.2.1.2.2, 46 Fisuración De cálculo (valor casi-permanente) ELS Cuasipermanente 49 Anclaje De cálculo ELU 66.5 El cálculo a flexión se realiza para cada dirección principal, en la sección de referencia S1, que está situada a una distancia de 0,15a de la cara del soporte en el caso de pilares de hormigón y a la mitad de la distancia entre la cara del pilar y el borde de la placa de anclaje en el caso de pilares metálicos. 2 1 12 2 15.0 22 1     + − =a aa a N Md d ( 44 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 62 Figura 42: Situación s1 EHE 3.1.5.- Comprobación a punzonamiento Se define el perímetro crítico a punzonamiento, como aquel que se sitúa a una distancia 2d del borde de la zona cargada, siendo d el canto útil de la zapata. En los pilares de borde y de esquina se recorta ligeramente, con objeto de tener en cuenta que la distribución real de tensiones tangenciales no es uniforme, o bien aumentamos el axil de punzonamiento mediante un coeficiente multiplicador $. El perímetro crítico a punzonamiento se define de acuerdo con lo indicado en la figura: 2d 2d b1 2d 2da1 Figura 43: Sección referencia punzonamiento Fuerza de punzonamiento actuante fuera del perímetro crítico: [ ] 2 111122 4)(4 dbadbabaV tdpd πσ −+−−= ( 45 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 63 La superficie resistente a punzonamiento viene definida por el producto del perímetro crítico definido anteriormente por el canto útil de la zapata: ddbaSp)2(2 11 π + + = ( 46 El valor de la resistencia a punzonamiento viene dado por el producto de la tensión resistente a punzonamiento por Sp: pcupu SVV . = ( 47 donde: 3/1 ).100(12.0 ckcu fV ρξ = ( 48 )( 200 1mmd += ξ ( 49 02.0 ≤ ρ cuppd VSV . ≤ ( 50 3.1.6.- Comprobación a cortante El cortante de cálculo resulta para la presión uniforme de cálculo ⌠td y en la dirección a2:      − − =d aa bV tdd 2 12 2 σ ( 51 dbfV ckcu 0 3/1 .).100(12.0 ρξ = ( 52 cud VV ≤ ( 53 Si la comprobación anterior no se cumple, puede disponerse armadura transversal en cada dirección, de acuerdo con la teoría general de esfuerzo cortante en piezas lineales. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 64 Comprobación del estado límite de fisuración. Se realizará con la combinación de acciones de cálculo, valor cuasi-permanente. Comprobación del estado límite de anclaje. La armadura calculada deberá estar anclada según el más desfavorable de los dos criterios siguientes: -Anclaje en una longitud lb, neta,A desde una sección S3 situada a un canto útil de la sección de referencia S1. reals cálculos bAnetab A A ll , , ,, = ( 54 lb, es la longitud básica de anclaje As, cálculo, es el área de la armadura a tracción resultante del cálculo a flexión. Podemos aproximarla con: yd d cálculos fd M A..9,0 ,= ( 55 As, real, es el área de la armadura real dispuesta en la zapata -Anclaje de una fuerza Td desde la sección S3 de la figura: h 0,85 h 0,25 - a 0,15 + v R = Tdd ( 56 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 65 Figura 44: Secciones de referencia EHE Las disposiciones de anclaje que se pueden utilizar son: Condición Criterio Lb, neta a considerar Lb, neta, A+d-0,15 a> Lb, neta,B +v- 0,5h,1 A Lb, neta, A Lb, neta, A+d-0,15 a< Lb, neta,B +v- 0,5h, B Lb, neta, B Si... Anclaje Criterio A v-r-d+0,15a1 >Lb, neta, A v-r-d+0,15a1 >0,7.Lb, neta, A v-r-d+0,15a1 <0,7*Lb, neta, A Prolongación recta Patilla o barra soldada Prolongación recta sobre patilla (L1) Criterio B 0,5h>Lb, neta, B 0,5h>0,7*Lb, neta, B Prolongación recta Patilla o barra soldada La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 66 0,5h<0,7*Lb, neta, B Prolongación recta sobre patilla (L1) 3.1.6.1.- Cuantías mínimas Elemento B 400 S B 500 S Armadura longitudinal 2,0 1,8 Armadura transversal 2,0 1,8 3.1.6.2.- Modificación del valor de los recubrimientos. La disposición de los recubrimientos adecuados capaces de garantizar un espesor mínimo del mismo en todo punto de cada una de las armaduras, constituye un criterio básico para alcanzar una durabilidad adecuada. Por ello será necesario disponer unos espesores mínimos y nominales, en función del nivel de control de ejecución, y de la clase de exposición. En cimentaciones, muros de sótano y otros elementos en contacto con el terreno, el ambiente será Recubrimiento nominal Recubrimiento mínimo Clase de exposición Control intenso Control normal o reducido IIa 30 35 25 Qb 45 50 40* * este recubrimiento sólo es válido para el caso de que el ambiente Qb, sea consecuencia exclusiva de la presencia de sulfatos (tabla 8.2.3.b de la EHE). La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 67 3.2.- Zapatas excéntricas, de medianería y de esquina Siempre que la resultante vertical de acciones esté aplicada dentro del núcleo central ABCD, la zapata puede considerarse centrada, con los momentos Mx y My, actuando en cada dirección principal. D C B A a /3 2 b /3 2b2 a2 e e y x Figura 45: Situación del núcleo central 3.3.- Cálculo a flexión de las zapatas de medianera El empleo de las zapatas de medianera surge ante la necesidad de situar los pilares perimetrales del edificio junto a los límites de propiedad o de la parcela, de ahí que su uso sea muy habitual. La utilización de este tipo de zapatas supone que las cargas transmitidas por los pilares van a estar descentradas con respecto a la geometría de las zapatas de modo que van a aparecer unos momentos en cimentación. Para centrar estos momentos podemos emplear distintas formas, que si bien no son objeto de este documento, de modo que vamos a señalar únicamente y de forma resumida las alusiones a ello de la EHE-98, refiriéndonos al empleo o no de viga centradora entre la zapata de medianera y la más próxima. Podemos distinguir dos casos: Sin viga centradora La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 3 Página 68 Armadura según a2: Se puede calcular como una viga de ancho el del pilar más medio canto a cada lado, en voladizo, sometida a las acciones del terreno y otros elementos como tirantes de arriostramiento. Armadura según b2: Se calcula como una losa en vuelo desde el eje de la zapata (b2/2) Con viga centradora Armadura según a2: La necesaria para resistir el 20% del esfuerzo que resiste la armadura según b2 Armadura según b2: Se calcula como una zapata (rígida o flexible) con un ancho de soporte igual al ancho de la viga centradora. 3.4.- Cálculo a flexión de las zapatas de esquina Un posible modelo simplificado para el cálculo de zapatas de esquina puede ser considerar éstas como placas empotradas sobre voladizos laterales unidos al pilar. Esto conduce a la necesidad de armar las zapatas en dos caras: superior e inferior. En cuanto a las demás comprobaciones: cortante, punzonamiento, fisuración y anclaje, se realizará de la misma forma que en las zapatas aisladas. 3.4.1.- Resistencias mínimas del hormigón y el acero Las resumimos en la siguiente tabla: Tipo de hormigón fck(N/mm2) En masa 20 Armado o pretensado 25 De limpieza -- La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 5 Página 75 5.- EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS UTILIZADO La forma natural de proceder de la mente humana consiste en separar los sistemas en elementos o componentes individuales cuyo comportamiento pueda conocerse sin dificultad, y a continuación reconstruir el sistema original para estudiarlo a partir de sus componentes. Con excepción de las estructuras de barras, la mayor parte de las estructuras de arquitectura e ingeniería son de naturaleza continua, y por tanto no pueden expresarse en forma precisa en función de un número pequeño de variables discretas. Un análisis riguroso de dichas estructuras precisa la integración de ecuaciones diferenciales que expresan el equilibrio de un elemento diferencial genérico de las mismas. El método de los elementos finitos, (Zienkiewicz, 1994) es un procedimiento de aproximación de problemas continuos de tal forma que: • El continuo se divide en un número finito de partes o elementos cuyo comportamiento se especifica mediante un número concreto de parámetros. • La solución del sistema completo como ensamblaje de los elementos que sigue las mismas reglas que se aplican a los problemas discretos. Aunque las estructuras continuas son inherentemente tridimensionales, en algunos casos su comportamiento puede describirse adecuadamente por modelos matemáticos uni o bidimensionales. El método de los elementos finitos es hoy día el procedimiento más potente para el análisis de estructuras de carácter uni, bi o tridimensional, sometidas a las acciones exteriores más diversas. Las etapas básicas del análisis son las siguientes (Oñate, 1992): • Seleccionar un modelo matemático apropiado para describir el comportamiento de la estructura, definiendo las propiedades mecánicas de cada uno de los materiales que lo componen, así como el carácter de deformación del mismo. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 5 Página 76 • Discretización de la estructura en porciones no intersectantes entre sí, denominadas “elementos finitos”, dentro de las cuales se interpolan variables principales, en función de sus valores en una serie de puntos discretos del elemento denominados “nodos”. Los elementos se conectan entre sí por los nodos situados en su contorno. Esta es la parte fundamental de este preproceso. • A partir de la expresión del Principio de los Trabajos Virtuales2, se obtienen las matrices de rigidez K(e) y el vector de cargas f(e) para cada elemento. • Ensamblaje de las matrices de rigidez y el vector de carga elementales en la matriz de rigidez global de toda la malla de elementos finitos K y el vector de cargas sobre los nodos F, respectivamente. • El sistema de ecuaciones resultante ka=f se resuelve para calcular las variables incógnitas ( movimientos de todos los nodos de la malla). • Cálculo de las deformaciones y tensiones de cada elemento, así como las reacciones en los nodos con movimientos prescritos. Una vez realizados las distintas etapas, tenemos que interpretar y presentar los resultados numéricos obtenidos. Las etapas 3 a 6 son las que implementamos en el ordenador con el método de los elementos finitos. Una vez estudiados los resultados, pueden efectuarse modificaciones de cualquiera de las etapas anteriores. Las estructuras con las que vamos a trabajar y que hemos denominado con anterioridad sistemas estructurales continuos, tienen infinitos grados de libertad y, por tanto, para conocer cuál sería su comportamiento frente a la acción de cargas exteriores debería ser necesario integrar las correspondientes ecuaciones diferenciales de equilibrio. Sin embargo este tipo de análisis es con frecuencia difícil o imposible, debido a la geometría 2 “Una estructura está en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas exteriores si al imponer a la misma unos desplazamientos arbitrarios (virtuales) compatibles con las condiciones de los apoyos, el trabajo realizado por las fuerzas exteriores sobre los desplazamientos virtuales es igual al trabajo que realizan las tensiones en la barra sobre las deformaciones producidas por los desplazamientos virtuales”. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 5 Página 77 de la estructura, la naturaleza de las condiciones de contorno, la distribución de las propiedades mecánicas de los materiales, el tipo de cargas, etc., y en la práctica es necesario utilizar métodos simplificados que nos permitan analizar la estructura de manera aproximada. El método de los elementos finitos es uno de los procedimientos que existen para aproximar el comportamiento de una estructura con infinitos grados de libertad por el de otra, con aproximadamente las mismas propiedades físicas y geométricas, pero con un número finito de grados de libertad, cuyas ecuaciones de equilibrio pueden expresarse por un sistema algebraico de ecuaciones simultáneas, con un número limitado de incógnitas. De esta forma sustituimos la estructura por un modelo teórico formado por una serie de elementos finitos, conectados entre sí a través de sus nodos y sometidos a una serie de acciones externas. Una vez discretizada la estructura obtendremos las ecuaciones matriciales de la misma, a partir del estudio del equilibrio de los elementos que la componen. Las cimentaciones superficiales, y en concreto las zapatas, podemos estudiarlas desde el punto de vista de la elasticidad bidimensional, ya que son elementos que plantean problemas de deformación plana, dado que una de sus dimensiones es mucho mayor que las otras dos, y además sobre ella actúan únicamente cargas uniformemente distribuidas a lo largo de toda su longitud y contenidas en planos perpendiculares al eje que une los centros de gravedad de sus distintas secciones transversales. En nuestro caso hemos discretizados las zapatas por medio de elementos tri o tetranodales bidimensionales, tipo shell. 5.1.- Descripción del elemento shell El elemento shell es un elemento tri o tetranodal tridimensional general, que puede tener un comportamiento como placa o láminas a flexión, o bien, como membrana. El comportamiento como membrana utiliza una formulación isoparamétrica que incluye componentes translacionales rígidos en el plano y una componente translacional de rigidez en la componente normal al plano del elemento. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 5 Página 78 La placa incluye dos tipos de componentes de rigidez, una rotacional exterior al plano de la placa y otra en la dirección normal al plano del elemento. En el caso de las placas gruesas se tiene en cuenta la teoría de Mindlin/Reissner, mientras que en el caso de placas delgadas son de aplicación los criterios de Kirchhoff. Se utiliza para los elementos una fórmula de integración numérica de ocho puntos. Las fuerzas de los elementos, en el sistema local de coordenadas de los mismos, son evaluadas en los puntos de integración y extrapoladas a los nudos del elemento. Un error aproximado en las fuerzas de los elementos puede ser estimado desde diferentes elementos unidos a un nudo común. Esto dará una idea de la precisión de la aproximación de los elementos finitos y puede usarse como base para la selección de una nueva y más eficaz red de elementos finitos. Cada elemento shell puede tener tres o cuatro nodos, siendo más eficaz la utilización de elementos tetranodales, recomendándose la utilización de los trinodales para el caso de las transiciones, ya que si bien su formulación de rigidez es razonable, la recuperación de la tensión es algo pobre. Cada elemento shell tiene su propio sistema de coordenadas locales, utilizado para definir las características del material, sus cargas y el estado tensional en el que se encuentra. Los ejes de este sistema de coordenadas se denominan 1, 2 y 3. Los dos primeros están colocados en el plano del elemento y el tercero es perpendicular al mismo. Para cada uno de los elementos definiremos las características del material, como son su módulo de elasticidad, el coeficiente de Poisson, coeficiente de dilatación térmica, su masa y su peso. También definiremos para cada uno de ellos el espesor. Se permite la aplicación de cargas superficiales sobre el elemento en la forma de carga normal de presión, temperatura o cargas gravitatorias. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 5 Página 79 j3 j1 j2 j4 Eje 1 Eje 2 ángulo F-MAX F-MIN F22 F12 F11 Figura 48: Fuerzas que actúan sobre el elemento shell j1 j2 M12 j3 M22 Eje 2 Eje 1 M11 ángulo j4 M-MIN M-MAX M12 Figura 49: Momentos flectores y torsores que pueden actuar sobre el elemento 5.2.- Placas gruesas. Teoría de Reissner/Mindlin La teoría de Reissner/Mindlin para el estudio de placas gruesas se basa en una serie de hipótesis fundamentales, (Oñate, 1992): • En los puntos del plano medio u=v=0, en otras palabras, los puntos del plano medio sólo se mueven verticalmente. • Todos los puntos contenidos en una normal al plano medio tienen el mismo desplazamiento vertical. • La tensión normal σz es despreciable. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 5 Página 80 • Los puntos que antes de la deformación estaban sobre la normal al plano medio de la placa permanecen al deformarse sobre una misma recta, sin que ésta tenga que ser necesariamente ortogonal a la deformada del plano medio. De las hipótesis 1, 2 y 4 se deduce: ),(),,( yxzzyxu x θ − = ),(),,( yxzzyxv y θ − = ),(),,( yxwzyxw = x,u y,v z,w t plano medio 0x y 0 n´ n t plano medio deformada real deformada supuesta de la normal de la normal Figura 50: Deformación de la sección donde θx y θy son los ángulos que definen el giro de la normal, por lo que podemos definir el vector de movimientos como: [] T xywu θθ ,,= ( 62 De la hipótesis 4 sobre el giro de la normal se obtiene: xx x w φθ + ∂ ∂ = ( 63 e igualmente para el plano yz: La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 5 Página 81 yy y w φθ + ∂ ∂ = ( 64 Es decir, los giros de la normal en un punto se componen de dos términos: x w ∂ ∂ y y w ∂ ∂ son debidos al cambio de pendiente del plano medio. x φ y y φ , se deben al giro adicional de la normal al no permanecer necesariamente ortogonal a la deformada del plano medio. El que las normales al plano medio permanezcan rectas después del giro implica que la distribución de tensiones xz τ y yz τ sea constante sobre el espesor. En realidad esto no es más que una aproximación, pues, de hecho, las normales inicialmente rectas se distorsionan durante la deformación, siendo dicha distorsión más importante conforme mayor es el espesor de la placa. Así pues, debemos interpretar los giros x φ y y φ , como valores medios de la deformada real de la normal. Para obtener el campo de deformaciones partimos de la definición general de las deformaciones en tres dimensiones. Sustituyendo en dicha ecuación el campo de movimientos, se obtiene: x z x ux x∂ ∂ −= ∂ ∂ = θ ε ( 65 y y z y v y∂ ∂ −= ∂ ∂ = θ ε ( 66 0= ∂ ∂ =z w z ε ( 67         ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ =xy z x v y uy x xy θ θ γ ( 68 xxxz x w x w z u φθγ −= ∂ ∂ +−= ∂ ∂ + ∂ ∂ = ( 69 yyyz y w y w z v φθγ −= ∂ ∂ +−= ∂ ∂ + ∂ ∂ = ( 70 La no ortogonalidad de la normal se traduce en que las deformaciones transversales γxz y γyz no son nulas, siendo su valor absoluto el de los giros Ǿx y Ǿy, respectivamente. También se aprecia que dichas deformaciones son independientes de la coordenada z. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 5 Página 82 La condición de deformaciones transversales nulas implica que x w x∂ ∂ = θ y y w y∂ ∂ = θ . Según la hipótesis 3 la tensión normal σz es nula, con lo que podemos definir el vector de tensiones no nulas de la siguiente manera:           =                       = c f yz xz xy y x σ σ τ τ τ σ σ σ ..... ..... ( 71 Por analogía podemos definir el vector de deformaciones asociado al de tensiones como:           =                                   − ∂ ∂ − ∂ ∂         ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ − ∂ − =                       = c f y x y x yz xz xy y x y w x w xy x z y y z x z ε ε θ θ θ γ γ γ ε ε ε ..... ..... ..... ( 72 Donde εf y εc son relativamente, los vectores de deformaciones de flexión y de cortante transversal. t xz yz dx dy distribución supuesta t xz yz dx dy distribución exacta Figura 51: Distribución de tensiones La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 5 Página 83 Partiendo de la ecuación constitutiva de la eslasticidad tridimensional, y haciendo uso de que σz es nula, podemos encontrar la siguiente relación entre tensiones no nulas y deformaciones asociadas. ε ε ε σ σ σ D D D c f c f c f=                 =       =...... 0 0 ( 73 siendo Df y D´c las matrices constitutivas de flexión y cortante, respectivamente, que para elasticidad ortótropa se escriben como:           − − = xyxyyx yxyx xxyx xyyx f G EE EE D )1(00 0 0 1 1 γγ γ γ γγ ( 74       = yz xz cG G D0 0 ´ ( 75 Para un material isótropo EEE yx == v yxxy == γ γ )1(2 ν + === E GGG yzxzxy ( 76 Debido al campo de desplazamientos supuesto, la distribución de deformaciones εx y εy y γxy es lineal en z y, por consiguiente, también lo es la de las correspondientes tensiones σx, σy y Τxy . Por otra parte la distribución de deformaciones γxz y γyz es constante a lo largo del espesor, al igual que las tensiones Τxz y Τyz. No obstante, según la Teoría de la elasticidad, la distribución exacta de las tensiones tangenciales transversales no es constante a través del espesor. Generalmente dicha distribución tiene forma polinómica con valores nulos en los planos inferior y superior de la placa. Para sortear este problema se afecta a las tensiones tangenciales transversales La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 5 Página 84 de un coeficiente, de manera que el trabajo de deformación de las mismas coincida con el realizado por las tensiones transversales “exactas”. De esta forma se puede afirmar que el trabajo de la deformación global de la placa coincide con el exacto, aunque localmente las tensiones tangenciales no tienen la distribución correcta. Así, pues, en la práctica el vector σc se escribe como:       = yz xz cG G 2 1 0 0 α α σ ( 77 donde α1 y α2 son los coeficientes de distorsión transversal. 5.3.- Cálculo de esfuerzos y deformaciones. Se define el vector de esfuerzos σ ) en un punto del plano medio por: dz z dz z z z Q Q M M M c f yz xz xy y x y x xy y x c f ∫∫ + − + −          =                       =                       =           =2 1 2 1 2 1 2 1..... .......... ..... σ σ τ τ τ σ σ σ σ σ ) ) ) ( 78 donde f σ ) y c σ ) son los vectores de momentos flectores y esfuerzos cortantes, respectivamente. Se observa que los momentos Mx, My y Mxy se obtienen integrando a través del espesor el momento con respecto al plano medio de las tensiones σx, σy y Τxy, respectivamente, y los esfuerzos cortantes Qx y Qy son la resultante sobre el espesor de las tensiones tangenciales transversales Τxy Τyy, respectivamente. En la figura se muestra el convenio de signos para los esfuerzos. La ecuación anterior se puede modificar y escribirla como: dz D zD cc ff c f ∫+ −          =           =2 1 2 1.......... ε ε σ σ σ ) ) ) (79 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 5 Página 91 5.8.- Condiciones de contorno Las condiciones de contorno corresponden a los valores de los movimientos nodales prescritos. Los más usuales son los siguientes: Borde empotrado: 0=== yx w θ θ Borde simplemente apoyado: condición fuerte: 0 = = s w θ Condición débil: 0 = w siendo s la dirección a lo largo del borde apoyado Apoyo puntual: 0= i w Eje de simetría (geometría y cargas ): 0 = n θ x y empotrado (E) simplemente apoyado (SA) apoyo puntual: w =0 i w=0 =0 =0 XY Fuerte: w=0 =0 Y Débil: w=0 SA SA SA SA A B D C P eje de simetria y x 0 =0 Y P/4 D C A B 0 =0 x Figura 53: Diferentes condiciones de contorno en placas La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 6 Página 92 6.- COMPROBACIONES REALIZADAS Una vez analizados los distintos sistemas de cálculo y la normativa de aplicación, vamos a profundizar en el estudio de la forma de las cimentaciones superficiales, para ver cómo ésta influye en la distribución de tensiones en el interior de los elementos de cimentación, siendo nuestro objetivo demostrar que la influencia de la misma es bastante sustancial. Hoy día la mayoría de las cimentaciones que empleamos en edificación son rectangulares o cuadradas, en definitiva tienen sus lados paralelos, o a lo sumo son circulares, en casos muy concretos, fundamentalmente en el caso de algunos silos o depósitos. Según su localización en la planta del edificio, las zapatas pueden ser de tres tipos: • Zapatas de esquina • Zapatas de medianera • Zapatas interiores, normalmente centradas. Las zapatas de esquina y las centradas suelen ser cuadradas, salvo que existan momentos muy importantes y necesitemos centrar las cargas. En el caso de las zapatas de medianera, la forma habitual de las mismas suele ser rectangular, pero en definitiva siguen teniendo sus lados paralelos. A lo largo de este documento pretendemos analizar las posibles ventajas que podemos obtener al modificar la forma de estos elementos de cimentación, optando por elementos triangulares. Trataremos de estudiar cómo es la distribución de tensiones y la transmisión de los esfuerzos si empleamos las zapatas descritas con anterioridad, que tienen todas ellas sus lados paralelos. Partiremos del estudio de una zapata de forma aislada, sometida a una carga centrada determinada, en función de la superficie de la misma y admitiendo que la distribución de tensiones en la base es lineal. Como se ha mencionado con anterioridad en el La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 6 Página 93 documento, en el caso de que la carga esté descentrada como consecuencia de la existencia de momentos en alguno de los ejes consideraremos una zapata de dimensiones eficaces, en la cual la carga esté perfectamente centrada, según la teoría de Meyerhof. Recordemos que si todas las presiones en la base son de compresión o nulas, es decir, no admitimos tracciones dado que el suelo no resiste a tracción, la distribución seguirá la ley de Navier: BL M BL M LB NYX . 6 . 6 .22 ±±= σ (98 En todo este documento nos hemos centrado en aquellas zapatas en las que la resultante de las cargas cae dentro de núcleo central, que en el caso de zapata rectangular es un rombo de diagonales iguales a 1/3 de las dimensiones de la zapata, de forma que la distribución de presiones en la base será uniforme. D C B A L /3 B /3 B L e e y x Figura 54: Esquema en planta del elemento de cimentación Posteriormente estudiaremos el comportamiento de una zapata en las mismas condiciones, pero que sea una zapata de forma triangular. A lo largo de este capítulo vamos a comparar los cálculos de zapatas ortogonales, según las formas tradicionales, y los de las zapatas triangulares, que son las formas que proponemos como alternativa a la zapata tradicional. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 6 Página 94 En la siguiente figura mostramos cómo serían los dos tipos de zapatas de esquina, una de lados paralelos y otra triangular. Figura 55: Zapatas de esquina De igual forma que las zapatas de esquina compararemos las zapatas de medianera, tanto en el caso de los modelos rectangulares o cuadrados que son la forma de cualquiera de las zapatas habituales, como en el caso de las zapatas triangulares. Figura 56: Zapatas de medianera Una vez comparadas las zapatas como elementos aislados, vamos a estudiar qué resultados y qué datos que se obtienen si utilizamos el modelo completo, esto es, una zapata de esquina, dos de medianera y una centrada, unidas por medio de una serie de vigas de arriostramiento en las dos direcciones. El modelo estudiado no incluye elementos de cimentación con vigas centradoras, y tampoco hemos considerado las zapatas combinadas, dado que ello introduciría muchas La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 6 Página 95 variables y no podríamos obtener resultados comparables de forma sencilla, de ahí que hayamos optado por otro este modelo. El primer modelo estudiado se compone de cuatro zapatas de lados paralelos y luego se repetirán los cálculos utilizando zapatas triangulares. Figura 57 Esquema del conjunto con zapatas de lados paralelos Figura 58 Esquema del conjunto con zapatas triangulares La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 6 Página 96 5.1.- ESTUDIO DE LAS ZAPATAS DE ESQUINA Estudiamos ahora el comportamiento de las zapatas de esquina, cuyo funcionamiento resulta algo complejo. Según J. Calavera (2000), podemos emplear un método simplificado de cálculo, basado en considerar la zapata como una placa gruesa empotrada en el pilar por una de sus esquinas, y suponiendo dos vigas virtuales, que serían los dos lados exteriores de la zapata, que trabajan en voladizo desde el pilar y sobre ellas se considera apoyada una placa cuadrada de lado el lado de la zapata, sometida a la ley de presiones del terreno. Figura 59: Planta de la zapata cuadrada con las dos vigas laterales Del estudio del modelo descrito, resultan unos momentos máximos, uno en la dirección de la diagonal que pasa por el pilar y que produce tracciones en la cara inferior de la zapata y otro en la dirección ortogonal que produce tracciones en la cara superior. El valor de estos momentos es prácticamente coincidente, resultando por unidad de ancho: 8,4 2 2 a Mt σ = (99 Vamos a analizar qué sucedería si en lugar de emplear una zapata cuadrada adoptásemos una de forma triangular, para lo cual la suponemos apoyada en sus dos lados medianeros (los catetos), que serían las supuestas vigas en voladizo desde el pilar y sobre las que apoya la placa triangular de lado el lado de la zapata, según el modelo descrito en la figura 60. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 6 Página 97 Figura 60: Planta de la zapata triangular con las dos vigas laterales Buscamos obtener una relación sencilla entre los esfuerzos a los que la sometemos y las tensiones que se van a producir en ella, en función, lógicamente de sus dimensiones, o lo que es lo mismo de su superficie. De igual manera vamos a comprobar qué sucede en el caso de una zapata cuadrada de la misma superficie que la anterior, al ser sometida a esfuerzos análogos. Hemos discretizado las zapatas de forma sencilla, utilizando elementos “shell”, que son elementos de tensión plana, como hemos expuesto en apartados anteriores. Calculamos la zapata triangular para una presión de 1000 kPa, con una zapata de lado 1m, y obtengo M11=M22=0.426*E2 y como Mmax=0.848E2, siendo 1.41 m la hipotenusa de la zapata triangular, lógicamente si aumentamos las presiones obtenemos resultados proporcionales. Repetimos el cálculo con una zapata triangular, de 2m de lado y los resultados obtenidos son los siguientes: M11=M22=0.170E3 y Mmax=0.339E3, con una hipotenusa de 2.848m. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 6 Página 98 Figura 61: Discretización de zapata triangular. Apoyo en dos lados. Discretizamos ahora una zapata cuadrada de dimensiones 0.70x0.70 m, de forma que tenga la misma superficie que la triangular de 1m de lado y podamos comparar presiones en uno y otro caso. Supongo la zapata apoyada en sus dos lados medianeros y trabajando como si estuviera en voladizo en los otros dos y obtengo los siguientes resultados: M11=M22=0.567E2 y Mmax=0.992E2. Los esfuerzos que aparecen en las zapatas triangulares, para una misma presión y la misma superficie de zapata, son inferiores en un 17% en el caso de las triangulares. Hemos visto que la modificación de la forma de las zapatas puede disminuir los esfuerzos en las mismas, como queríamos demostrar, lo que nos permite para una misma presión disminuir la superficie o los armados necesarios. Si conseguimos reducir la superficie necesaria de las zapatas o las armaduras de las mismas para los mismos esfuerzos, La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 6 Página 99 podríamos disminuir los costes, al menos en lo referido al coste de los materiales de estos elementos. Según Calavera, como hemos señalado con anterioridad, en el caso de zapatas cuadradas, y siendo a el lado del cuadrado, la relación era: 8.4 .2 a M σ = (100 Figura 62: Discretización de zapata de esquina. apoyo en vigas esquina Al tener 0,70m de lado tenemos un momento de 99.2 kN.m, luego: 93.4 70.0. 2.99 2 =⇒= F F σ En el caso de la zapata de esquina triangular, con Max =0.339E3, tenemos: La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 6 Página 100 3339.0 848,2.1000. 22 E FF d M=== σ Despejando F=23.59, lo que nos permite de forma sencilla ver cuáles son los momentos máximos. Si utilizo el lado del triángulo en lugar de su hipotenusa para obtener este coeficiente, tendré: 79.11 1*1000 8.84 2 =⇒= F F Como podemos observar los resultados en el caso de las zapatas cuadradas dan muy próximos a los cálculos simplificados que aparecen en el libro de “Cálculo de estructuras de cimentación” de J. Calavera, 3ª edición. En la siguiente figura hemos superpuesto dos zapatas con la misma superficie y distinta forma, señalando las posiciones de sus centros de gravedad. Figura 63: Superposición de ambas zapatas indicando su centro de gravedad Al considerar dos vigas virtuales en voladizo desde el pilar empotradas en el soporte y el resto como una losa apoyada sobre esas vigas, en la figura anterior podemos ver que la zona rayada de la zapata ortogonal está más alejada de sus vigas que la losa de la zapata triangular, ya que la altura del triangulo rectángulo es menor que la diagonal del La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 7 Página 107 ver cuál es el comportamiento del conjunto. Vamos a estudiar también si la rigidez de las zapatas influye en los resultados, para lo cual iremos variando el canto de las mismas. En un primer estudio utilizaremos sólo una capa de terreno, para aumentar luego el número de capas y ver si ello introduce modificación en los resultados, al igual que la discretización elegida, comprobaremos si el empleo de una malla de elementos más tupida o el cambio a una malla menos densa, produce alteraciones en los resultados que puedan ser significativas. En primer lugar vamos a discretizar el conjunto completo, tanto con elementos cuadrados como triangulares, con luces de vigas de 3, 4, 5, 6 y 7 metros y variando la geometría de las zapatas, tanto en su superficie como en su canto. Las superficies de las zapatas las hemos variado en relación 1, 2 y 3 para cada una de las luces, y el canto de las zapatas lo hemos variado entre 30, 40, 50, 60, 70 y 80 centímetros para cada superficie y para cada luz entre zapatas. Figura 70: Esquema con lados ortogonales y paralelos La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 7 Página 108 Esquema de dimensiones y cargas para el caso cuadrado Tabla 3: Datos de cálculo con zapatas de lados paralelos ZAPATAS CUADRADAS Tipo zapata Dimensiones Cargas Área 1m Área 2m Área 3 m Área 1m Área 2m Área 3m Centrada 1x1 1.41x1.41 1.73x1.73 100E3 200E3 3000E3 Medianera 1.2x0.60 1.7x0.85 2x1 75E3 150E3 225E3 Esquina 0.7x0.7 0.86x0.86 1x1 50E3 100E3 150E3 Esquema de dimensiones y cargas para el caso de los elementos triangulares. Tabla 4 :Datos de cálculo con zapatas triangulares ZAPATAS TRIANGULARES Tipo zapata Dimensiones Cargas Área 1m Área 2m Área 3 m Área 1m Área 2m Área 3m Centrada 1x1 1.41x1.41 1.73x1.73 100E3 200E3 3000E3 Medianera 1.8x0.9/2 2.4x1.2/2 3x1.5/2 75E3 150E3 225E3 Esquina 1x1/2 1.4x1.4/2 1.73x1.73/2 50E3 100E3 150E3 Las cargas se han introducido en los nodos correspondientes a los pilares y para el suelo suponemos un coeficiente de balasto, simulado como un muelle en la dirección z de valor 100e3 kN/m. En los nodos de las medianeras no se han permitido los desplazamientos perpendiculares a las mismas. Obtenemos los momentos máximos en el ejemplo con elementos triangulares y en el cuadrado, comparándolo con lo realizado anteriormente en al apartados anterior en el que habíamos considerados las zapatas como elementos aislados y con la formulación La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 7 Página 109 simplificada para el cálculos de los momentos que aparece en el libro de J. Calavera (2000). 7.1.- Discretización del conjunto con luces de 3m Figura 71: Discretización del conjunto con luces de 3m Partimos de una luz entre pilares de 3 metros y de una superficie de las zapatas de 1 m2, 0.75 m2 y 0.5 m2 respectivamente. Tabla 5: Momentos en esquema de zapatas cuadradas con luz de 3 metros ZAPATA CUADRADA luz 3m Canto Mmax medianera Mmax esquina 30 12571 6406 40 12708 6399 50 12871 6398 60 12876 6393 70 12882 6461 80 12980 6463 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 7 Página 110 Tabla 6: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 3metros ZAPATA TRIANGULAR luz 3m Canto Mmax medianera Mmax esquina 30 12608 6406 40 12708 6439 50 12787 6451 60 12918 6457 70 12952 6461 80 12980 6463 Momentos en las direcciones principales en N/m Para una luz de 3m no tiene sentido aumentar la superficie ya que quedarían excesivamente juntas las zapatas. 7.2.- Discretización del conjunto con luces de 4m 7.2.1.- Área 1 m2 Figura 72: Discretización del modelo triangular con luces de 4m La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 7 Página 111 Repetimos los cálculos anteriores con luces entre pilares de 4 metros. Partimos de una superficie de las zapatas de 1 m2, 0.75 m2 y 0.5 m2 respectivamente. Inicialmente el canto de las zapatas es de 30 centímetros y vamos aumentando el mismo de 10 en 10 centímetros hasta alcanzar los 80 cm. Tabla 7: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 4metros y área 1 m2 ZAPATA CUADRADA luz 4m Canto Mmax medianera Mmax esquina 30 18821 21317 40 18890 23493 50 18787 24628 60 18769 25256 70 18697 25439 80 18653 25851 Tabla 8:Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 4metros y área 1 m2 ZAPATA TRIANGULAR luz 4m Canto Mmax medianera Mmax esquina 30 12269 6332 40 12476 6289 50 12536 6251 60 12554 6225 70 12564 6208 80 12573 6196 Momentos en las direcciones principales en N.m La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 7 Página 112 LUZ DE 4 m AREA 1m2 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 1 CANTO (cm) Mmax RECTANGULAR MEDIANERA RECTANGULAR ESQUINA TRIANGULAR ESQUINA TRAINGULAR MEDIANERA Figura 73: Gráfica comparativa de los momentos obtenidos en los dos modelos Si analizamos los resultados tabulados en la figura anterior vemos que los momentos son mucho mayores en el caso de que estemos empleando zapatas de lados ortogonales. La curva superior es la correspondiente a las zapatas cuadradas de esquina, mientras que la que tiene los valores más pequeños y aparece en la parte inferior de la gráfica es la correspondiente a las zapatas triangulares de esquina. En el caso de las zapatas de medianera, también hemos reducido los momentos al emplear las zapatas triangulares, de ahí que la gráfica esté por debajo de la de los momentos de las zapatas rectangulares de medianera, aunque las diferencias en los valores de estas dos sean menores. Hacemos ahora una comparación haciendo que las superficies sean el doble, lo que supone 2m2, 1.5m2 y 1m2 respectivamente, para ver si el comportamiento de los dos modelos es el mismo. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 7 Página 113 7.2.2.- Área 2 m2 Tabla 9: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 4metros y área 2m2 ZAPATA CUADRADA luz 4m área 2 m2 Canto Mmax medianera Mmax esquina 30 71685 64485 40 73708 71376 50 74718 74320 60 75518 75715 70 75685 76423 80 77295 76799 Tabla 10: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 4metros y área 2m2 ZAPATA TRIANGULAR luz 4m área 2 m2 Canto Mmax medianera Mmax esquina 30 30653 25040 40 31717 25339 50 32304 25428 60 32430 25438 70 32494 25607 80 32553 25615 Los resultados que hemos obtenido son muy similares a los comentados en el caso de las superficies más pequeñas. 7.2.3.- Área 3 m2 Hacemos ahora una comparación haciendo que las superficies sean el triple de la inicial, lo que supone 3m2, 2.25m2 y 1.5m2 respectivamente y vamos aumentando las luces entre las zapatas, de la misma forma que en los casos anteriores. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 7 Página 114 Tabla 11: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 4metros y área 3m2 ZAPATA CUADRADA luz 4m área 3 m2 Canto Mmax medianera Mmax esquina 30 107809 105295 40 119016 117795 50 125322 123619 60 128878 125550 70 130905 126974 80 132676 128635 Tabla 12: Momentos esquema de zapatas triangulares con luz de 4metros y área 3m2 ZAPATA TRIANGULAR luz 4m área 3 m2 Canto Mmax medianera Mmax esquina 30 56636 48296 40 63414 51262 50 67124 52136 60 69209 52751 70 70712 53114 80 70846 53339 7.3.- Discretización del conjunto con luces de 5m 7.3.1.- Área 1 m2 Partimos de una luz entre pilares de 5 metros. Partimos de una superficie de las zapatas de 1 m2, 0.75 m2 y 0.5 m2 respectivamente. Tabla 13: Momentos esquema de zapatas cuadradas con luz de 5metros y área 1 m2 ZAPATA CUADRADA luz 5m área 1 m2 Canto Mmax medianera Mmax esquina Mmax med. pilar 30 24440 24951 25070 40 24758 27933 23159 50 24734 29711 22223 60 24497 30783 21900 70 23379 31452 21572 80 24289 31642 21507 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 7 Página 115 Tabla 14: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 5metros y área 1 m2 ZAPATA TRIANGULAR luz 5m área 1 m2 Canto Mmax medianera Mmax esquina Mmax med. pilar Mmax esquina pilar 30 14229 10021 27621 10740 40 14606 10018 25085 10410 50 14746 10080 23744 10066 60 14935 10055 22921 9930 70 14995 10034 22678 9794 80 15031 10016 22069 9808 Momentos en las direcciones principales en N.m Hacemos ahora una comparación haciendo que las superficies sean el doble, lo que supone 2m2, 1.5m2 y 1m2 respectivamente. LUZ DE 5 m AREA=1m2 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 1 CANTO (cm) Mmax RECTANGULAR MEDIANERA RECTANGULAR ESQUINA TRIANGULAR ESQUINA TRAINGULAR MEDIANERA Figura 74: Gráfica comparativa de los momentos obtenidos en los dos modelos La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 7 Página 116 7.3.2.- Área 2 m2 Tabla 15: Momentos esquema de zapatas cuadradas con luz de 5metros y área 2 m2 ZAPATA CUADRADA luz 5m área 2 m2 Canto Mmax medianera Mmax esquina Mmax med. pilar 30 75975 66505 50719 40 78274 75074 45395 50 79139 79155 42006 60 80969 81818 40078 70 82311 82361 39008 80 83511 83273 37946 Tabla 16: Momentos esquema de zapatas triangulares con luz de 5metros y área 2 m2 ZAPATA TRIANGULAR luz 5m área 2 m2 Canto Mmax medianera Mmax esquina Mmax med. pilar 30 31714 25604 65482 40 33414 26272 59932 50 33983 26177 56670 60 34012 26077 55006 70 33878 26110 54141 80 33738 26209 53800 7.3.3.- Área 3 m2 Hacemos ahora una comparación haciendo que las superficies sean el triple de la inicial, lo que supone 3m2, 2.25m2 y 1.5m2 respectivamente. Tabla 17: Momentos esquema de zapatas cuadradas con luz de 5metros y área 3 m2 ZAPATA CUADRADA luz 5m área 3 m2 Canto Mmax medianera Mmax esquina Mmax med. pilar 30 140263 102651 89449 40 50 162315 139795 77619 60 70 80 171654 152381 71312 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 7 Página 123 Una vez que hemos estudiado cuál es la variación de los resultados de los esfuerzos en los distintos elementos, como consecuencia de las variaciones de luces y de cargas, vamos a analizar si las modificación de las características del terreno puede modificar los resultados, para los cual hemos variado los módulos de elasticidad de material, multiplicando por 10 y por 100 el valor inicial de E, (E=50.000 kN/m, E=500.000 kN/m y E=5.000.000 kN/m obteniéndose los mismos esfuerzos). La modificación de las características geotécnicas del terreno de apoyo no supone una variación de las conclusiones anteriores. De igual manera y antes de poder afirmar que la forma es determinante en los esfuerzos a los que se ven sometidos los elementos que componen la cimentación superficial, resulta necesario cerciorarse de que una modificación de la discretización de estos elementos o de la forma de la malla empleado no nos conduce a otros resultados distintos, para lo cual se han remallado todas las zapatas, pudiendo concluir que los resultados han sido iguales a los precedentes, de modo que el tamaño de los elementos no es tampoco una condición excluyente o diferenciadora. Los resultados son independientes de la malla de elementos con la que se realicen los cálculos. Los modelos iniciales se discretizaron con una malla de 10x10cm, y hemos comparado los resultados obtenidos empleando una malla de elementos finitos de 5x5 cm con zapatas de 50 cm de canto y una malla de 20x20 cm con el mismo canto que los anteriores. La consideración de una discretización más tupida o de un número mayor de capas de terreno no produce variaciones sustanciales de los momentos calculados. En general y como orden de magnitud, debemos utilizar 3 capas de elementos en sección y los elementos deben tener una dimensión no superior a la mitad del canto. En nuestros modelos partíamos de un canto de 30 cm en el caso menor y de 80 cm en el caso mayor, por eso hemos adoptado en todos una dimensión de 10x10 cm. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 8 Página 124 8.- RESUMEN Y CONCLUSIONES 8.1.- RESUMEN El cimiento es aquella parte de la estructura encargada de transmitir al terreno las cargas actuantes sobre la totalidad de la construcción. En condiciones normales, no podemos elegir el terreno sobre el que vamos a cimentar y las características del mismo no suelen ser modificables, ya que no suele ser económicamente viable la mejora del mismo. Es por ello que la cimentación tendrá que proyectarse de acuerdo con el suelo, incluso puede que muchos aspectos de la estructura vengan también condicionados por él. Tradicionalmente se han venido utilizando cimentaciones de lados paralelos, rectangulares o cuadradas, y en casos muy concretos, como pueden ser los silos o los depósitos, se han diseñado cimentaciones circulares. El objetivo principal de este trabajo es el estudio de la influencia de la forma en las cimentaciones superficiales por medio de zapatas aisladas, realizando una comparación entre los esfuerzos y las tensiones transmitidas por zapatas de forma triangular y zapatas de lados paralelos, en los casos más habituales de utilización de las mismas: zapatas centradas, medianeras y de esquina. Para lograr este objetivo hemos ido abordando distintos puntos: • Estudio de los tipos de cimentación más comunes usados desde la Antigüedad hasta nuestros días, analizando sus formas y características, así como las causas que motivaban el empleo de cada una de ellas, dado que se basaban en métodos totalmente empíricos. • Análisis de los distintos métodos de cálculo que se han empleado para el cálculo de zapatas de hormigón, realizando una revisión de las distintas normativas e instrucciones del hormigón, desde 1968 hasta nuestros días, así como normativas de ámbito europeo y americanas (EC-2 y ACI-318). La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 8 Página 125 • Análisis de la evolución de los distintos sistemas de cálculo de elementos de hormigón, desde sus inicios hasta los métodos basados en elementos finitos tan usados hoy en día. • Descripción de los métodos de cálculos basados en los elementos finitos, explicando la formulación de los mismos y los conceptos básicos en los que se fundamentan. • Descripción breve del programa de cálculo que hemos usado y la discretización empleada, tanto en las zapatas triangulares como en las de lados paralelos. Una vez analizados los puntos anteriores hemos partido del estudio de las zapatas de forma aislada, primero la zapata centrada, y posteriormente las que habitualmente reciben una carga descentrada, como es el caso de las de medianera y de esquina, que en circunstancias normales y dado que los pilares irán colocados en el perímetro de la parcela, resulta muy difícil centrar geométricamente las cargas y puede que sea necesario recurrir a otros sistemas. No hemos incluido en el estudio las zapatas combinadas, centrándonos exclusivamente en el análisis del comportamiento de las zapatas centradas de medianera y de esquina, tanto de forma aislada como unidas entre sí por medio de vigas de arriostramiento. Hemos abordado el estudio de un conjunto formado por una zapata de esquina, dos medianeras y una centrada, unidas entre ellas por las correspondientes vigas de arriostramiento y hemos tratado de comparar las tensiones provocadas en cada caso para los mismos esfuerzos. Partimos del análisis de un modelo en el que las zapatas tienen sus lados ortogonales, que son las más usadas habitualmente y posteriormente hemos empleado elementos de cimentación triangulares, como forma propuesta para reducir esfuerzos en estos elementos, facilitando la transmisión de los mismos al terreno subyacente. Hemos ido variando en ambos caso el canto de las zapatas, desde 30 hasta 80 cm. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 8 Página 126 A continuación se han ido modificando los esfuerzos que se aplican a las zapatas y posteriormente las luces entre las mismas, para ver cómo variaban las tensiones en función de estos parámetros. Hemos realizado unas comparaciones de los resultados, tanto en el caso de emplear zapatas triangulares o zapatas de lados paralelos. Posteriormente hemos realizado una comparación de los resultados obtenidos, en el caso de modificar la discretización empleada y el tamaño de la malla, tanto para uno como para el otro tipo de geometría. El siguiente escalón en este metódico proceso, ha sido comparar los resultados si modificamos los parámetros del suelo, como por ejemplo su módulo de elasticidad o el número de capas de terreno que hemos considerado. Una vez realizados estos cálculos hemos podido analizar los resultados obtenidos, que han sido bastante concluyentes, permitiéndonos afirmar que la forma de los elementos de cimentación hace que los esfuerzos máximos a los que se vean sometidos sean muy distintos. Al resultar determinante el empleo de una u otra forma, en el diseño de las cimentaciones, ésta puede resultar otra variable para optimizar los recursos materiales en las obras de cimentación. Como último punto de este trabajo hemos analizado las tablas simplificadas de uso más frecuente para cálculos de armaduras de las zapatas y dimensionado de las mismas en función de las limitaciones impuestas por la normativa del homigón para cortante y punzonamiento, que están realizadas para zapatas de lados paralelos, obteniendo otras similares para el caso del empleo de zapatas triangulares en sus posiciones más frecuentes. En los anejos del documento se recogen las tablas comparativas de los cálculos realizados. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Conclusiones Página 127 8.2.- CONCLUSIONES La forma de las cimentaciones superficiales por medio de zapatas aisladas tiene una gran influencia en el comportamiento de las mismas y condiciona de manera muy clara los esfuerzos a los que se van a ver sometidos los elementos de cimentación. La modificación del diseño de las cimentaciones superficiales por medio de zapatas aisladas nos va a permitir una reducción de los costes de material de estos elementos. Los resultados obtenidos en un calculo simplificado, considerando las zapatas de esquina como una placa gruesa apoyada en vigas virtuales que serían los dos lados medianeros de la zapata, que trabajan en voladizo desde el pilar nos permiten afirmar que los esfuerzos disminuyen en casi el 20% si empleamos una zapata triangular en lugar de una zapata cuadrada con la misma superficie. En el caso de las zapatas de medianera, la sustitución de una zapata rectangular por una triangular de idéntica superficie en planta, calculadas como vigas gruesas apoyadas en la viga de medianera y en una perpendicular a la fachada, y considerándolas de forma aislada, supone una disminución de esfuerzos próxima al 40% en algunos casos. Los análisis de los modelos comparados, formados por cuatro zapatas: una de esquina, dos de medianera y una centrada, nos permiten afirmar que en todos los casos, en el conjunto de zapatas triangulares son menores los momentos obtenidos, tanto en las de medianera como en las de esquina, independientemente de las luces entra pilares y del canto de las zapatas con las que trabajemos. En los modelos de cálculo las luces entre pilares han sido de 3, 4, 5, 6 y 7 metros y los cantos de las zapatas han variado desde 30 hasta 80 centímetros y en todos los casos los resultados han sido los mismos. Hemos comprobado que al emplear zapatas triangulares, la distribución de esfuerzos en las mismas es más homogénea, eliminándose los picos en el interior de las mismas, todos los elementos van a soportar presiones similares, lo que favorece un comportamiento más homogéneo del material. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Conclusiones Página 128 La modificación de las características geotécnicas del terreno de apoyo de la cimentación no supone una variación de las conclusiones anteriores. Los resultados son independientes de la malla de elementos con la que se realicen os cálculos. Los modelos iniciales se discretizaron con una malla de 10x10cm, y hemos comparado los resultados obtenidos empleando una malla de elementos finitos de 5x5 cm con zapatas de 50 cm de canto y una malla de 20x20 cm con el mismo canto que los anteriores. La consideración de una discretización más tupida o de un número mayor de capas de terreno no produce variaciones sustanciales de los momentos calculados. En general y como orden de magnitud, debemos utilizar 3 capas de elementos en sección y los elementos deben tener una dimensión no superior a la mitad del canto. En nuestros modelos partíamos de un canto de 30 cm en el caso menor y de 80 cm en el caso mayor, por eso hemos adoptado en todos una dimensión de 10x10 cm. La disminución de los esfuerzos permite reducir el consumo de acero, o bien emplear una zapata de más pequeña, manteniendo los esfuerzos y reduciendo el consumo de hormigón, lo que a su vez implica menor excavación y menor superficie a encofrar y perfilar. La obligatoriedad del empleo de las cuantías geométricas mínimas en el armado de los elementos de hormigón, hace que sean muchos los casos en los que al modificar la forma, disminuyendo los esfuerzos que han de soportar, y al hacerlos trabajar de forma más homogénea, podamos armar por cuantía geométrica y no serían necesarios más cálculos. Reducir el consumo de materiales puede permitirnos abaratar el capítulo de cimentación. Las zapatas triangulares están sometidas a esfuerzos de torsión, por lo que es necesario el armado con una malla en las dos direcciones. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Capítulo 8 Página 129 8.3.- FUTURAS INVESTIGACIONES Las propuestas de futuras investigaciones a partir de este trabajo son: • Realización de tablas simplificadas que nos permitan obtener de forma rápida unos armados aproximados de distintas zapatas triangulares partiendo de distintos valores de carga, de forma similar a las tablas que aparecen en las normas tecnológicas. Es importante considerar las cuantías geométricas mínimas al elaborar las tablas, ya que serán muchos los casos en los que sea suficiente el armado por cuantía mínima, lo que nos permite reducir mucho los cálculos, facilitando de esta manera el armado de los elementos. • Estudio de los valores de los esfuerzos por encima de los cuales son necesarios cálculos exhaustivos de las zapatas, ya que no sean suficientes los armados según las cuantías mínimas. • Medida de los esfuerzos y de las deformaciones y asientos de los elementos de cimentación en un modelo real, tanto en laboratorio, como en un edificio y sometido a las cargas habituales en viviendas, con objeto de contrastar estos resultados con nuestros modelos de elementos finitos. • Estudio de la influencia de la forma en otro tipo de cimentaciones, como pueden ser los encepados de las cimentaciones profundas por medio de pilotes. • Analizar cómo se van a comportar las zapatas triangulares frente al hundimiento. En el anexo D del Eurocódigo se introducen unas comprobaciones al hundimiento de los elementos de cimentación, en las que influye el coeficiente de forma sc de los mismos. La formulación incluye un factor de forma para cimentaciones rectangulares y otro para circulares, de ahí que fuera necesario hacer una serie de comprobaciones y calcular el coeficiente de forma que debemos emplear para el caso en el que el elemento tenga una forma triangular. La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina Bibliografía Página 130 9.- BIBLIOGRAFÍA “Guía de aplicación de la instrucción del hormigón estructural Edificación. Ministerio de Fomento”. 2002. “Instrucción para el proyecto y la ejecución de obras de hormigón en masa o armado 1968”. Aprobada según Decreto de la Presidencia de Gobierno 29/87/1968, de 20 de septiembre. “Instrucción para el proyecto y la ejecución de obras de hormigón en masa o armado EH-1973”. 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Zienkiewic, O.C - Taylor, 1994. “El Método De Los Elementos Finitos”. 4º Edición 1994 Cimne, Barcelona La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina ANEJO 2 6 γd Peso específico del suelo seco γ´ Peso específico del suelo sumergido en condiciones hidrostáticos G Densidad relativa de las partículas sólidas e Índice de huecos n Porosidad w Contenido de humedad Sr Grado de saturación Consistencia wL Límite líquido wP Límite plástico Ip Índice de plasticidad ws Límite de retracción IL Índice de liquidez Ic Índice de consistencia emax Índice de huecos en el estado más flojo del material emin Índice de huecos en el estado más denso del material ID Índice de densidad Permeabilidad h Altura de carga hidráulica o potencial q Caudal v Velocidad i Gradiente hidráulico k Coeficiente de permeabilidad Consolidación (en una dimensión) mv Coeficiente de compresibilidad Cc Índice de compresión cv Coeficiente de consolidación t Tiempo de consolidación Tv Factor tiempo U Grado de consolidación Resistencia al esfuerzo cortante τ Resistencia al corte c´ Cohesión efectiva Φ´ Angulo de rozamiento interno efectivo La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina ANEJO 2 7 Empuje de las tierras d Distancia δ Angulo de rozamiento entre el muro y el suelo adyacente K Coeficiente de empuje de las tierras Ko Coeficiente de empuje en reposo Cimientos N Factor de capacidad portante ks Módulo de reacción B Anchura de la cimentación L Longitud de la cimentación D Profundidad de la cimentación SISTEMA DE UNIDADES El sistema de unidades utilizado en este documento es el Sistema Internacional (SI), oficialmente vigente en España (RD 1317/1989;BOE 03/11/89). Las unidades fundamentales, junto con sus abreviaturas son: Masa: kilogramos = kg Tiempo: segundo = s Longitud: metro = m Temperatura. grado centígrado = °C Fuerza: Newton = N Presión: Pascal = Pa = N/m2 3 Los múltiplos más comunes de fuerza y presión son los siguientes: Fuerza: kN = 10e3 N; MN = 10e6 N Presión: kPa = 10e3 Pa; Mpa = 10e6 Pa Densidad: Kg/m3, Mg/m3, t/m3 Peso específico: N/m3, KN/m3 Permeabilidad: m/s Consolidación: m2/s La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina ÍNDICE ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1: Comparativo de resultados zapata rectangular y triangular apoyada en la medianera y en una viga perpendicular. ....................................................................................................................................... 104 Tabla 2: Comparativo de resultados medianera/rectangular empotrada en la viga perpendicular a fachada 104 Tabla 3: Datos de cálculo con zapatas de lados paralelos ............................................................................ 108 Tabla 4 :Datos de cálculo con zapatas triangulares....................................................................................... 108 Tabla 5: Momentos en esquema de zapatas cuadradas con luz de 3 metros ............................................... 109 Tabla 6: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 3metros........................................... 110 Tabla 7: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 4metros y área 1 m2......................... 111 Tabla 8:Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 4metros y área 1 m2........................ 111 Tabla 9: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 4metros y área 2m2.......................... 113 Tabla 10: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 4metros y área 2m2...................... 113 Tabla 11: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 4metros y área 3m2........................ 114 Tabla 12: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 4metros y área 3m2...................... 114 Tabla 13: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 5metros y área 1 m2....................... 114 Tabla 14: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 5metros y área 1 m2..................... 115 Tabla 15: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 5metros y área 2 m2....................... 116 Tabla 16: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 5metros y área 2 m2..................... 116 Tabla 17: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 5metros y área 3 m2....................... 116 Tabla 18: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 4metros y área 3 m2..................... 117 Tabla 19: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 6metros y área 1 m2....................... 117 Tabla 20: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 6metros y área 1 m2..................... 117 Tabla 21: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 6metros y área 2 m2....................... 118 Tabla 22: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 6metros y área 2 m2..................... 119 Tabla 23: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 6metros y área 3 m2....................... 119 Tabla 24: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 6metros y área 3 m2..................... 119 Tabla 25: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 7metros y área 1 m2....................... 120 Tabla 26: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 7metros y área 1 m2..................... 120 Tabla 27: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 7metros y área 2 m2....................... 121 Tabla 28: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 7metros y área 2 m2..................... 121 Tabla 29: Momentos en el esquema de zapatas cuadradas con luz de 7metros y área 3 m2....................... 122 Tabla 30: Momentos en el esquema de zapatas triangulares con luz de 7metros y área 3 m2..................... 122 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina ÍNDICE ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1: Stonehenge 1 Figura 2 Detalle de las mallas vegetales 2 Figura 3 : Pirámide de Keops 3 Figura 4: Torre de Babel 4 Figura 5 Templo maya 4 Figura 6: Partenón 5 Figura 7: detalle de la columnata 5 Figura 8: Erectheion de Atenas 6 Figura 9: Planta de cimentación 7 Figura 10: Templo de Apolo en Delfos 7 Figura 11: Imagen del Coliseo romano 8 Figura 12: Esquema del Coliseo 8 Figura 13:Sección calzada romana 10 Figura 14: Imagen de una calzada romana 11 Figura 15: Cúpula de Santa Sofía 12 Figura 16: Esquema de la cimentación Santa Sofía 13 Figura 17: Torre de Pisa 14 Figura 18: Esquema de cimentación de la catedral de Amiens 15 Figura 19: Nuevos espacios: Nueva distribución de las cargas 16 Figura 20: Planta de la catedral de Chartes 16 Figura 21: Sección de una catedral gótica 17 Figura 22: Detalle de la cimentación escalonada 20 Figura 23: Home Insurance Company 20 Figura 24: Edificio Monadnock 21 Figura 25: Cimentación edificio Rookery 22 Figura 26: Edificio Pullman 22 Figura 27: Cimentación en zanja corrida 24 Figura 28: Arcos de piedra como elementos de cimentación 25 Figura 29 Pilotes en cimentación 25 Figura 30: Tipologías de cimentación 27 Figura 31: Dimensiones de la zapata 30 Figura 32: Acciones a considerar 31 Figura 33: Definiciones básicas del movimiento de las cimentaciones 35 Figura 34: Armado según Instrucción del 68 42 Figura 35:Tipo de zapatas según EH-80 43 Figura 36 Situación de la sección S1 44 La influencia de la forma en el cálculo de zapatas de medianera y de esquina ÍNDICE Figura 37: Acciones a considerar en la zapata 46 Figura 38: Secciones de punzonamiento según las distintas normas 50 Figura 39: Longitudes de anclaje EH-91 54 Figura 40 Tipos de zapatas EHE 59 Figura 41:Esquema bielas 60 Figura 42: Situación s1 EHE 62 Figura 43: Sección referencia punzonamiento 62 Figura 44: Secciones de referencia EHE 65 Figura 45: Situación del núcleo central 67 Figura 46: Sección de referencia a punzonamiento EUROCÓDIGO EC-2 69 Figura 47: Sección de referencia a punzonamiento ACI-318 70 Figura 48: Fuerzas que actúan sobre el elemento shell 79 Figura 49: Momentos flectores y torsores que pueden actuar sobre el elemento 79 Figura 50: Deformación de la sección 80 Figura 51: Distribución de tensiones 82 Figura 52: Discretización de una placa 88 Figura 53: Diferentes condiciones de contorno en placas 91 Figura 54: Esquema en planta del elemento de cimentación 93 Figura 55: Zapatas de esquina 94 Figura 56: Zapatas de medianera 94 Figura 57 Esquema del conjunto con zapatas de lados paralelos 95 Figura 58 Esquema del conjunto con zapatas triangulares 95 Figura 59: Planta de la zapata cuadrada con las dos vigas laterales 96 Figura 60: Planta de la zapata triangular con las dos vigas laterales 97 Figura 61: Discretización de zapata triangular. Apoyo en dos lados. 98 Figura 62: Discretización de zapata de esquina. apoyo en vigas esquina 99 Figura 63: Superposición de ambas zapatas indicando su centro de gravedad 100 Figura 64: Planta de la zapata de medianera 101 Figura 65: Zapata medianera apoyada en dos vigas perpendiculares 102 Figura 66: Zapata medianera apoyada en dos vigas perpendiculares 102 Figura 67: zapata triangular apoyada en dos vigas perpendiculares 103 Figura 68: zapata medianera con empotramiento en el centro 105 Figura 69: Representación de los dos modelos estudiados: rectangulares y triangulares 106 Figura 70: Esquema con lados ortogonales y paralelos 107 Figura 71: Discretización del conjunto con luces de 3m 109 Figura 72: Discretización del modelo triangular con luces de 4m 110 Figura 73: Gráfica comparativa de los momentos obtenidos en los dos modelos 112 Figura 74: Gráfica comparativa de los momentos obtenidos en los dos modelos 115 Figura 75: Gráfica comparativa de los momentos obtenidos en los dos modelos 118