Estudio del origen del daño longitudinal observado en las láminas a 90 grados de laminados cross-ply sometidos a tracción
Abstract
En el Laboratorio del Grupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales ubicado en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de la Universidad de Sevilla se ha detectado en unos ensayos de tracción transversal sobre laminados cross-ply con secuencia de apilado [0,90n] s la aparición de daño longitudinal en dirección de la carga en la capa a 90 grados. Este hecho no se corresponde con el comportamiento esperado, puesto que el daño debería aparecer en sentido perpendicular a la misma. En este proyecto se analiza si puede existir una relación entre las tensiones de curado que aparecen a nivel micromecánico en la capa de 90◦ y los daños observados. Para ello, se desarrollará un modelo numérico, representando en una zona de la lámina de 90◦ el material compuesto por fibras y matriz, estudiando el efecto que el proceso de curado tiene en el estado tensional en la interfase de fibra y matriz. Además de ello, en base a este modelo, se tratará de realizar una estimación del valor de la tenacidad a fractura de la interfase fibra-matriz, empleando para ello un enfoque energético y suponiendo que las grietas transversales en la interfase fibra-matriz se producen de forma explosiva, es decir, que aparecen de forma instantánea.
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Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Máster Máster Universitario en Ingeniería Aeronáutica Estudio del origen del daño longitudinal observado en las láminas a 90 grados de laminados cross-ply sometidos a tracción Autor: Luis Manuel Ramírez Montes Tutor: María Luisa Velasco López Tutor Elena Correa Montoto Dpto. Elasticidad y Resistencia de Materiales Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2023
Trabajo Fin de Máster Máster Universitario en Ingeniería Aeronáutica Estudio del origen del daño longitudinal observado en las láminas a 90 grados de laminados cross-ply sometidos a tracción Autor: Luis Manuel Ramírez Montes Tutor: María Luisa Velasco López Elena Correa Montoto Dpto. Elasticidad y Resistencia de Materiales Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2023
Trabajo Fin de Máster: Estudio del origen del daño longitudinal observado en las láminas a 90 grados de laminados cross-ply sometidos a tracción Autor: Luis Manuel Ramírez Montes Tutor: María Luisa Velasco López Elena Correa Montoto El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha:
Resumen En el Laboratorio del Grupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales ubicado en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de la Universidad de Sevilla se ha detectado en unos ensayos de tracción transversal sobre laminados cross-ply con secuencia de apilado [0,90n]s la aparición de daño longitudinal en dirección de la carga en la capa a 90 grados. Este hecho no se corresponde con el comportamiento esperado, puesto que el daño debería aparecer en sentido perpendicular a la misma. En este proyecto se analiza si puede existir una relación entre las tensiones de curado que aparecen a nivel micromecánico en la capa de 90 ◦ y los daños observados. Para ello, se desarrollará un modelo numérico, representando en una zona de la lámina de 90 ◦ el material compuesto por fibras y matriz, estudiando el efecto que el proceso de curado tiene en el estado tensional en la interfase de fibra y matriz. Además de ello, en base a este modelo, se tratará de realizar una estimación del valor de la tenacidad a fractura de la interfase fibra-matriz, empleando para ello un enfoque energético y suponiendo que las grietas transversales en la interfase fibra-matriz se producen de forma explosiva, es decir, que aparecen de forma instantánea. I
Abstract In the Laboratory of the Elasticity and Strength of Materials Group located at the School of Engineering of the University of Seville, in transverse tensile tests on cross-ply laminates with stacking sequence [0,90n]s , the appearance of longitudinal damage in the direction of the load in the layer at 90 degrees has been detected. This does not correspond to the expected behaviour, since the damage should appear perpendicular to the load. In this project, it is analysed whether there can be a relationship between the curing stresses that appear at the micromechanical level in the 90 ◦ sheet and the damage observed. To this end, a numerical model will be developed, representing the fibre-matrix composite material in one area of the 90 ◦ sheet, studying the effect that the curing process has on the stress state at the fibre-matrix interface. In addition, based on this model, an estimation of the value of the fracture toughness of the fibre-matrix interface will be carried out, using an energetic approach and assuming that the transverse cracks at the fibre-matrix interface occur explosively, that is, they appear instantaneously. III
XÍndice de Figuras 2.26 σxy en Modelo 1 29 2.27 Detalle de σxy en Modelo 1 29 2.28 εxx en Modelo 1 30 2.29 εyy en Modelo 1 30 2.30 εxy en Modelo 1 30 2.31 Esquema del laminado que se empleará en la TGL (Elaboración propia) 31 2.32 Giro realizado para relacionar ejes de ortotropía con ejes de laminado 35 3.1 Representación de la celda empleada en el Modelo 2, junto con la simetría aplicada 38 3.2 Detalle de la celda en el interior del Modelo 2 39 3.3 Geometría del Modelo 2 en ANSYS Workbench 39 3.4 Detalle de la geometría del Modelo 2 en ANSYS Workbench 40 3.5 Detalle de la zona de interfase en el Modelo 2 en ANSYS Workbench 40 3.6 Vista general malla del Modelo 2 en ANSYS Workbench 41 3.7 Detalle de la malla del Modelo 2 en ANSYS Workbench 42 3.8 Detalle de la malla de la celda del Modelo 2 en ANSYS Workbench 42 3.9 Detalle de la malla de una fibra en el Modelo 2 en ANSYS Workbench 43 3.10 Nodo elegido para la convergencia de malla en Modelo 2 43 3.11 Numeración seguida para las fibras 44 3.12 σren Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 2 45 3.13 σθen Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 2 45 3.14 σrθen Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 2 46 3.15 σren Fibra 1 y matriz para Modelo 2 47 3.16 σθen Fibra 1 y matriz para Modelo 2 47 3.17 σrθen Fibra 1 y matriz para Modelo 2 48 3.18 σren Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 2 48 3.19 σθen Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 2 49 3.20 σrθen Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 2 49 3.21 σren Fibra 3 y corona de interfase para Modelo 2 50 3.22 σθen Fibra 3 y corona de interfase para Modelo 2 51 3.23 σrθen Fibra 3 y corona de interfase para Modelo 2 51 3.24 σren Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 2 52 3.25 σθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 2 53 3.26 σrθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 2 53 3.27 σren Fibra 4 y matriz para Modelo 2 54 3.28 σθen Fibra 4 y matriz para Modelo 2 54 3.29 σrθen Fibra 4 y matriz para Modelo 2 55 3.30 σren Fibra 5 y corona de interfase para Modelo 2 55 3.31 σθen Fibra 5 y corona de interfase para Modelo 2 56 3.32 σrθen Fibra 5 y corona de interfase para Modelo 2 56 3.33 Esquema del Modelo 3 57 3.34 Aplicación de simetría en el laminado del Modelo 3 58 3.35 Detalle de la celda en el interior del Modelo 3 58 3.36 Geometría del Modelo 3 en ANSYS Workbench 59 3.37 σren Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 3 60 3.38 σθen Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 3 60 3.39 σrθen Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 3 61 3.40 σren Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 3 61 3.41 σθen Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 3 62 3.42 σrθen Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 3 62
Índice de Figuras XI 3.43 σren Fibra 3 y corona de interfase para Modelo 3 63 3.44 σθen Fibra 3 y corona de interfase para Modelo 3 63 3.45 σrθen Fibra 3 y corona de interfase para Modelo 3 64 3.46 σren Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 3 64 3.47 σθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 3 65 3.48 σrθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 3 65 3.49 σren Fibra 5 y corona de interfase para Modelo 3 66 3.50 σθen Fibra 5 y corona de interfase para Modelo 3 67 3.51 σrθen Fibra 5 y corona de interfase para Modelo 3 67 3.52 Esquema del Modelo 4 68 3.53 Detalle de la celda en el interior del Modelo 4 68 3.54 Geometría del Modelo 4 en ANSYS Workbench 69 3.55 Detalle de la geometría del Modelo 4 en ANSYS Workbench 69 3.56 Detalle de la malla del Modelo 4 en ANSYS Workbench 70 3.57 Detalle de la malla de la celda del Modelo 4 en ANSYS Workbench. 70 3.58 σren Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 4 71 3.59 σθen Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 4 71 3.60 σrθen Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 4 72 3.61 σren Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 4 72 3.62 σθen Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 4 73 3.63 σrθen Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 4 73 3.64 σren Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 4 74 3.65 σθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 4 74 3.66 σrθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 4 75 3.67 Propiedades de cada uno de los sólidos para el Efecto 1 en Fibra 1 76 3.68 σren Fibra 1 y corona de interfase para Efecto 1 77 3.69 σθen Fibra 1 y corona de interfase para Efecto 1 77 3.70 σrθen Fibra 1 y corona de interfase para Efecto 1 78 3.71 Propiedades de cada uno de los sólidos para el Efecto 1 en Fibra 4 79 3.72 σren Fibra 4 y corona de interfase para Efecto 1 79 3.73 σθen Fibra 4 y corona de interfase para Efecto 1 80 3.74 σrθen Fibra 4 y corona de interfase para Efecto 1 80 3.75 Propiedades de cada uno de los sólidos para el Efecto 2 en Fibra 1 81 3.76 σren Fibra 1 y corona de interfase para Efecto 2 82 3.77 σθen Fibra 1 y corona de interfase para Efecto 2 82 3.78 σrθen Fibra 1 y corona de interfase para Efecto 2 83 3.79 Propiedades de cada uno de los sólidos para el Efecto 2 en Fibra 4 83 3.80 σren Fibra 4 y corona de interfase para Efecto 2 84 3.81 σθen Fibra 4 y corona de interfase para Efecto 2 84 3.82 σrθen Fibra 4 y corona de interfase para Efecto 2 85 3.83 Detalle de grieta (en rojo) en la interfase de la Fibra 1 en el Modelo 2 86 3.84 Valores de σren los nodos ubicados a ambos lados de la capa de interfase 86 4.1 Detalle de la grieta transversal (en rojo) para un ángulo genérico 90 4.2 División de la circunferencia de la Fibra 4 en Modelo 5 90 4.3 Detalle de la malla de la Fibra 4 en el Modelo 5 en ANSYS Workbench 91 4.4 Detalle de la malla de la interfase de la Fibra 4 en el Modelo 5 en ANSYS Workbench 91 4.5 Explicación gráfica del contacto sin fricción [MECHEAD, 2022] 92 4.6 Modelado del contacto en ANSYS Workbench 92 4.7 Incremento de desplazamiento en dirección radial 94
XII Índice de Figuras 4.8 Modos de fractura de una grieta 95 4.9 σren Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 5 sin decremento térmico 96 4.10 σrθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 5 sin decremento térmico 96 4.11 σren Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 5 con decremento térmico 97 4.12 σrθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 5 con decremento térmico 97 4.13 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 70◦sin decremento térmico 98 4.14 Detalles de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 70◦sin decremento térmico 99 4.15 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 70◦sin decremento térmico 99 4.16 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 70◦con decremento térmico 100 4.17 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 70◦con decremento térmico 100 4.18 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 70◦en el caso sin temperatura 102 4.19 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 70◦en el caso con temperatura 102 4.20 Detalle de la malla refinada de la interfase de la Fibra 4 en el Modelo 5 en ANSYS Workbench 103 4.21 σren Fibra 4 única y corona de interfase para Modelo 5 sin decremento térmico 104 4.22 σrθen Fibra 4 única y corona de interfase para Modelo 5 sin decremento térmico 104 4.23 σren Fibra 4 única y corona de interfase para Modelo 5 con decremento térmico 105 4.24 σrθen Fibra 4 única y corona de interfase para Modelo 5 con decremento térmico 105 4.25 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 20◦sin decremento térmico 107 4.26 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 20◦sin decremento térmico 107 4.27 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 20◦con decremento térmico 108 4.28 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 20◦con decremento térmico 108 4.29 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 20◦en el caso sin temperatura 109 4.30 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 20◦en el caso con temperatura 110 4.31 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 30◦sin decremento térmico 110 4.32 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 30◦sin decremento térmico 111 4.33 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 30◦con decremento térmico 111 4.34 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 30◦con decremento térmico 112 4.35 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 30◦en el caso sin temperatura 113 4.36 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 30◦en el caso con temperatura 113 4.37 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 40◦sin decremento térmico 114 4.38 Detalles de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 40◦sin decremento térmico 114 4.39 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 40◦sin decremento térmico 115 4.40 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 40◦con decremento térmico 115 4.41 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 40◦con decremento térmico 116 4.42 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 40◦con decremento térmico 116 4.43 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 40◦en el caso sin temperatura 117 4.44 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 40◦en el caso con temperatura 117 4.45 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 50◦sin decremento térmico 118 4.46 Detalle de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 50◦sin decremento térmico 119 4.47 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 50◦sin decremento térmico 119 4.48 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 50◦con decremento térmico 120 4.49 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 50◦con decremento térmico 120 4.50 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 50◦con decremento térmico 121 4.51 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 50◦en el caso sin temperatura 122 4.52 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 50◦en el caso con temperatura 122 4.53 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 60◦sin decremento térmico 123 4.54 Detalles de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 60◦sin decremento térmico 123 4.55 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 60◦sin decremento térmico 124 4.56 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 60◦con decremento térmico 124 4.57 Detalles de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 60◦con decremento térmico 125
Índice de Figuras XIII 4.58 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 60◦con decremento térmico 125 4.59 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 60◦en el caso sin temperatura 126 4.60 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 60◦en el caso con temperatura 126 4.61 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 80◦sin decremento térmico 127 4.62 Detalles de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 80◦sin decremento térmico 127 4.63 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 80◦sin decremento térmico 128 4.64 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 80◦con decremento térmico 128 4.65 Detalles de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 80◦con decremento térmico 129 4.66 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 80◦con decremento térmico 129 4.67 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 80◦en el caso sin temperatura 130 4.68 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 80◦en el caso con temperatura 130 4.69 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 90◦sin decremento térmico 131 4.70 Detalle de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 90◦sin decremento térmico 131 4.71 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 90◦sin decremento térmico 132 4.72 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 90◦con decremento térmico 132 4.73 Detalle de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 90◦con decremento térmico 133 4.74 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 90◦con decremento térmico 133 4.75 Zona de contacto entre la fibra y la matriz para la grieta de 90◦134 4.76 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 90◦en el caso sin temperatura 135 4.77 Distribución de σrcon respecto al ángulo de despegue en grieta de 90◦en el caso con temperatura 135 4.78 Distribución de GCpara cada longitud de grieta en el caso sin temperatura 138 4.79 Distribución de GCpara cada longitud de grieta en el caso con temperatura 138 4.80 Comparación de valores de GIC para cada longitud de grieta teniendo en cuenta o no el decremento térmico 139 4.81 Comparación de valores de GC para cada longitud de grieta teniendo en cuenta o no el decremento térmico 140
Índice de Tablas 1.1 Propiedades de la lámina en ejes del material 9 1.2 Coeficientes de expansión térmica de la lámina 9 1.3 Valores de ¯ αen cada dirección 10 1.4 Propiedades de matriz y fibra 11 2.1 Comparación de los parámetros de las mallas estudiadas para el Modelo 1 17 2.2 Valores de los desplazamientos para cada una de las mallas estudiadas para el Modelo 1 19 2.3 Valores de las tensiones para cada una de las mallas estudiadas para el Modelo 1 19 2.4 Valores de las deformaciones para cada una de las mallas estudiadas para el Modelo 1 20 2.5 Valores de los desplazamientos para la Malla 1 22 2.6 Valores de las tensiones para la Malla 1 22 2.7 Valores de las deformaciones para la Malla 1 22 2.8 Comparación entre los valores obtenidos en el modelo numérico y los obtenidos mediante la TGL 36 3.1 Comparación de los parámetros de las mallas estudiadas en el Modelo 2 43 3.2 Valores de las tensiones en coordenadas polares de las mallas estudiadas en el Modelo 2 44 3.3 Valores de las tensiones en coordenadas polares del nodo de convergencia en el Modelo 3 66 3.4 Parámetros de la malla estudiada en el Modelo 4 69 3.5 Valores de las tensiones en coordenadas polares del nodo de convergencia en el Modelo 4 75 4.1 Parámetros de la malla estudiada en el Modelo 5 91 4.2 Valores de Wpara la grieta de 70◦101 4.3 Valores de GCpara la grieta de 70◦101 4.4 Valores de GCpara la grieta de 70◦refinada 103 4.5 Valores de Wpara la grieta de 70◦con fibra única 106 4.6 Valores de GCpara la grieta de 70◦con fibra única 106 4.7 Valores de Wpara la grieta de 20◦109 4.8 Valores de GCpara la grieta de 20◦109 4.9 Valores de W para la grieta de 30◦112 4.10 Valores de GCpara la grieta de 30◦112 4.11 Valores de Wpara la grieta de 40◦116 4.12 Valores de GCpara la grieta de 40◦117 4.13 Valores de Wpara la grieta de 40◦con fibra única 118 4.14 Valores de GCpara la grieta de 40◦con fibra única 118 4.15 Valores de Wpara la grieta de 50◦121 4.16 Valores de GCpara la grieta de 50◦121 4.17 Valores de Wpara la grieta de 60◦125 XV
XVI Índice de Tablas 4.18 Valores de GCpara la grieta de 60◦126 4.19 Valores de Wpara la grieta de 80◦129 4.20 Valores de GCpara la grieta de 80◦130 4.21 Valores de Wpara la grieta de 90◦133 4.22 Valores de GCpara la grieta de 90◦134 4.23 Recopilación de los valores Wobtenidos para todas las grietas estudiadas 136 4.24 Valores Wpara el caso sin y con temperatura para las grietas estudiadas con fibra única 136 4.25 Recopilación de los valores GCobtenidos para todas las grietas estudiadas 137 4.26 Valores GCpara el caso sin y con temperatura para las grietas estudiadas con fibra única 137
1 Introducción En los últimos años, el estudio de los materiales ha cobrado una especial importancia en la ingeniería, siendo uno de los puntos de investigación más importantes y con un mayor abanico de posibilidades, debido en gran parte a la necesidad de la sociedad de conseguir soluciones a los problemas tecnológicos que se plantean, los cuales son claves para el adecuado desarrollo económico y medioambiental del mundo. Con este afán de mejorar y conseguir nuevas soluciones, surgen investigaciones en las que se estudian nuevos materiales que puedan sustituir a los existentes o que incluso mejoren sus propiedades. Un claro ejemplo de ellos son los materiales compuestos. Aunque se desconoce el origen exacto en el que estos materiales fueron utilizados por el ser humano por primera vez, tienen un largo historial de uso, ya que durante la historia de la humanidad se han encontrado referencias de algún tipo a los materiales compuestos. Por ejemplo, los egipcios utilizaron madera contrachapada ya que mejoraba las propiedades de la madera o los medievales construyeron espadas de diferentes metales [ Jones, 1999 ]. De esta manera, en los últimos años se ha incrementado el uso de nuevos materiales para una gran variedad de aplicaciones (siendo el ámbito aeronáutico uno de los más destacados) y todo hace indicar que esta tendencia continuará en el futuro. En la actualidad, los materiales compuestos tienen una gran importancia en la ingeniería, ya que desde que se comenzó con su estudio a principios de la década de 1950, se han conseguido muchos avances en cuanto al conocimiento de propiedades de los mismos, al igual que al desarrollo de distintas teorías que definen el comportamiento de estos. Sin embargo, aún sigue siendo un campo con mucho que investigar, puesto que no siempre se tienen certezas del comportamiento de los materiales compuestos, sobre todo ante ciertas circunstancias. De esta manera, en el Laboratorio del Grupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales ubicado en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de la Universidad de Sevilla, donde se realizan numerosos proyectos de investigación que están relacionados con materiales compuestos, se ha detectado en unos ensayos de tracción una situación en la que el daño obtenido no es el esperado. El problema en cuestión es el de la aparición de daño longitudinal en dirección de la carga en la lámina de 90 grados en laminados cross-ply (con secuencia de apilado [0,90n]s ). Este hecho contradice al comportamiento esperado, puesto que el daño esperado debería aparecer en sentido perpendicular a la misma. Por lo tanto, el objetivo del proyecto que se va a realizar es el de estudiar este daño longitudinal y, concretamente, comprobar si el mismo está relacionado con las tensiones residuales que aparecen en el proceso de curado de estos materiales. De esta manera, mediante un software de Elementos Finitos, se estudiará el laminado sometido ante carga térmica para caracterizar su comportamiento a nivel macromecánico en primer lugar; a continuación se realizará un modelo a nivel micromecánico en la capa de 90 grados, en el que se pueda estudiar con detalle el comportamiento de las fibras y la matriz, además de la interfase entre ellas. 1
2Capítulo 1. Introducción El software elegido para desarrollar el proyecto es el ANSYS Workbench, el cual ofrece un amplio catálogo de posibilidades a la hora de realizar proyectos de toda índole en el ámbito de la ingeniería. Para ello, se ha hecho uso del módulo de análisis estructural, en el cual es posible tanto crear la geometría, como mallarla y obtener una solución al problema que se esté tratando. 1.1 Materiales compuestos Un material compuesto es una combinación a escala macroscópica de dos o más materiales con interfases de separación entre ellos para formar un nuevo material. El material compuesto, tiene como principal objetivo tanto el obtener propiedades que no pueden ser alcanzadas por ninguno de los constituyentes actuando aisladamente como aunar las propiedades individuales de dichos constituyentes en un solo material [ Paris et al., ]. Los materiales compuestos se pueden considerar materiales heterogéneos, debido a que están formados por varias fases que se pueden separar; y materiales anisótropos, ya que presenta diferentes características según la dirección en la que son examinadas. Las propiedades que suelen ser de interés en estos materiales son, entre otras, presentar una gran rigidez y una muy buena resistencia tanto mecánica como corrosiva con un peso notablemente inferior al de los materiales convencionales. También es destacable la vida a fatiga y la resistencia a la abrasión que presentan, así como el aislamiento tanto térmico como acústico [ Paris et al., ]. Estas propiedades convierten a los materiales compuestos en materiales con unas características fantásticas y muy versátiles, que pueden tener una gran variedad de aplicaciones. Los materiales compuestos están formados por la unión de matriz y refuerzos (ver Figura 1.1). La matriz se encarga de sostener esos refuerzos, además de mantener la integridad del compuesto y transferir las cargas entre las fibras, dando capacidad al compuesto de soportar diferentes solicitaciones de carga (las fibras por sí solas sólo son capaces de soportar tracción). Además, la matriz protege a las fibras del ataque del medio. Otra función de la matriz es aislar las fibras para retardar el crecimiento de grietas, es decir, para aumentar la tenacidad del material [Vanegas and Arias, 2004]. Figura 1.1 Compuesto reforzado por partículas (izquierda) y compuesto reforzado con fibra (derecha) [Vanegas and Arias, 2004]. En cuanto a los refuerzos, se trabaja principalmente con dos tipos: fibras y partículas. El refuerzo con fibra es el más comúnmente usado y es el que suscita un mayor interés en la industria. En este proyecto, se trabajará con los reforzados con fibra. Una fibra se distingue porque una dimensión, su longitud, es mucho mayor que las otras dos. Éstas, debido principalmente a las pequeñas dimensiones de la sección transversal,
1.1 Materiales compuestos 3 no son directamente usables en aplicaciones ingenieriles. Son por ello embebidas en matrices para formar los materiales compuestos reforzados con fibra [Paris et al., ]. Los compuestos de fibras pueden clasificarse en compuestos de una sola capa o multicapa. Los compuestos de una sola capa están generalmente formados también por múltiples capas, llamadas láminas, pero teniendo todas las mismas propiedades y orientación. En la mayoría de las aplicaciones estructurales se suelen usar materiales compuestos formados por diferentes láminas, dado que el espesor de cada una de ellas (del orden de 0.1 mm) hace inviable su uso aislado. Cuando todas las láminas son del mismo material (misma fibra, matriz y volumen relativo de ambos), si bien con orientaciones diferentes debido a las necesidades de diseño, el material compuesto recibe el nombre de laminado [Paris et al., ]. Dentro de los materiales reforzados con fibra, encontramos la distinción entre fibra continua y fibra discontinua. Se dice que la fibra es discontinua o corta cuando la longitud de la fibra afecta directamente a las propiedades del material, mientras que si la carga es soportada por las fibras principalmente, se trata de un material de fibra continua. Otra distinción que se puede hacer entre las láminas de fibra continua es que el refuerzo se produzca en una dirección, conocidos como compuestos unidireccionales, o en dos direcciones. Los compuestos unidireccionales son muy rígidos y resistentes en la dirección de las fibras, pero muy débiles en la dirección perpendicular [ Paris et al., ]. En la Figura 1.2 se puede apreciar de manera visual la clasificación que se ha explicado. Partículas Material compuesto reforzado con partículas Tipos de refuerzos Fibras discontinuas Refuerzo con fibra discontinua y orientación preferente Refuerzo con fibra discontinua y orientación aleatoria Fibras continuas Refuerzo con fibra continua unidireccional Refuerzo con fibra continua bidireccional Figura 1.2 Clasificación de los materiales compuestos de una sola capa. 1.1.1 Fibras más empleadas En la actualidad, las fibras que más se usan son las de carbono, vidrio, boro (en menor medida) y las orgánicas (registradas como Kevlar). A continuación se harán algunos comentarios acerca de las ventajas e inconvenientes de cada una de ellas, aunque debido a que para realizar este proyecto se usará fibra de carbono, se hará un mayor hincapié en las propiedades de esta. Las fibras de carbono tienen un diámetro de 7 a 8 µ m y sus propiedades dependen del grado de perfección de la orientación de los planos de las capas de grafito que deben estar orientadas paralelamente al eje de
10 Capítulo 1. Introducción Cálculo de ¯ α α α Los valores de los coeficientes de expansión térmica que se observan en la Tabla 1.2 deben ser promediados en el rango térmico asociado al enfriamiento tras el curado. Tanto en la Figura 1.9 como en la Ecuación 1.2 se observa la manera en la que se ha realizado el promediado. Se ha representado el valor de cada uno de los valores de la tabla en función de la temperatura, tomando un rango de entre 22 ◦C y 122 ◦C . Para ello, se ha supuesto que el valor a temperatura ambiente es el mismo que a 50 ◦C , además de que la variación entre 120 ◦C y 122 ◦C no es significativa. Se trabaja en ese rango de temperaturas puesto que el objetivo será estudiar un decremento térmico de 100 ◦C hasta llegar a condiciones ambiente, que representa el proceso de enfriamiento tras el curado del material. ¯ α=∑4 i=1Ai ∆T(1.2) Mediante la Ecuación 1.2 se ha hecho una media ponderada del valor de las áreas formadas bajo la curva que une todos los puntos. En la Figura 1.9 se ha representado el valor de α2 únicamente como ejemplo. El procedimiento sería el mismo para las otras dos direcciones. 20 40 60 80 100 120 Temperatura (ºC) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Coeficiente de expansión térmica 2 (x 10-6) ( ° C-1) Evolución de frente a T en dirección 2 A1 A2 A3 A4 Figura 1.9 Representación de los valores de α2en función de la temperatura. De esta manera, los valores promediados que se obtienen se muestran en la Tabla 1.3. Tabla 1.3 Valores de ¯ αen cada dirección. Coeficiente de expansión térmica × × ×1 1 10 0 0− − −6 6 6[ [ [◦ ◦ ◦C C C− − −1 1 1] ] ] ¯ α α α1 1 1-8.1421 ¯ α α α2 2 217.988 ¯ α α α3 3 319.2523
1.4 Datos del material 11 1.4.2 Propiedades de matriz y fibra Una vez mostrados los valores de la lámina, se va a pasar a comentar los valores que se emplearán en el estudio de la matriz y la fibra que se realizará a nivel micromecánico. Para este caso, tanto la fibra como la matriz se definen como sólidos isótropos en el plano de representación, el cual se muestra en la Figura 1.5, y será en el que se realizarán los distintos modelos. Se muestran a continuación en la Tabla 1.4 los valores numéricos de las propiedades necesarias para poder modelar fibra y matriz [Barzegar et al., 2020]. Tabla 1.4 Propiedades de matriz y fibra. Matriz Fibra E E Em m m(GPa) α α αm m m× × ×1 1 10 0 0− − −6 6 6[ [ [◦ ◦ ◦C C C− − −1 1 1] ] ]ν ν νm m mE E Ef f f(GPa) α α αf f f× × ×1 1 10 0 0− − −6 6 6[ [ [◦ ◦ ◦C C C− − −1 1 1] ] ]ν ν νf f f 5.07 52 0.35 15 15 0.2 Una vez descritas estas propiedades, en los siguientes capítulos se mostrarán diferentes modelos en los que se analizará de manera exhaustiva el comportamiento del laminado ante las tensiones residuales que aparecen tras el proceso de curado, durante el enfriamiento posterior.
2 Comportamiento a nivel macromecánico. Modelo 1 Antes de comenzar a realizar un análisis micromecánico a nivel de fibra y matriz, resulta interesante conocer el comportamiento del laminado completo ante las solicitaciones provocadas por el proceso de curado. Este análisis permitirá conocer los valores de desplazamientos, tensiones y deformaciones que aparecen en el laminado, los cuales servirán como base para poder trabajar en los siguientes capítulos con modelos más enfocados al nivel micromecánico. De esta manera, en primer lugar se describirá el diseño del laminado que se ha empleado para este modelo, incluyendo una breve descripción de la creación de la geometría en el software ANSYS Workbench. También se tratará el mallado que se realizará para este modelo, así como sus estrategias a seguir. Además, se realizará un estudio de convergencia de malla en el que se establecerá una relación entre resultados y número de elementos, con el fin de poder simplificar al máximo la malla. Una vez se haya discutido el estudio de convergencia de malla, se analizarán los resultados obtenidos, tanto de desplazamientos, como de tensiones como deformaciones. Comentar que todas ellas se obtendrán tanto para un modelo de tensión plana como de deformación plana. Al mostrar los resultados obtenidos se tomará una decisión justificada sobre qué modelo elegir. Finalmente, se realizará una comparación de los resultados obtenidos con los derivados siguiendo la Teoría General del Laminado, lo cual permitirá comprobar que la solución obtenida resulta coherente con la misma. Por último, se establecerán algunas conclusiones obtenidas en este caso y pasos a seguir para próximos modelos. 2.1 Diseño del Modelo 1 Para el diseño de este primer modelo, se ha empleado un laminado [04,90,04] , donde, por tanto, se tienen espesores diferentes para las láminas de 0 y 90 grados. Se va a suponer que este mide 1 cm de largo, mientras que el espesor de las capas es de 600 µm en el caso de la lámina de 0, y de 150 µm para la lámina de 90. En la Figura 2.1 puede observarse un esquema del mismo, que guarda similitud con el mostrado en la Figura 1.5. Comentar que tanto en este modelo, como en todo el proyecto, se trabajará en el plano, realizando un estudio en 2D. Para este modelo por lo tanto, se tiene que el espesor total de las láminas de 0 grados es ocho veces mayor 13
14 Capítulo 2. Comportamiento a nivel macromecánico. Modelo 1 que el de la lámina de 90 1 , hecho que debería verse reflejado al obtener los valores finales de tensiones en el modelo. 1 cm 600 µm 600 µm 150 µm Figura 2.1 Esquema del Modelo 1. Al tratarse de un laminado simétrico en cuanto a su geometría, y al estar sometido únicamente a acciones térmicas, es posible aplicar condiciones de simetría, pudiendo trabajar únicamente con una cuarta parte del mismo. Por lo tanto, el modelado del problema se simplifica notablemente al añadir apoyos de bolas en las zonas en las que se aplica simetría. Este hecho puede observarse en la Figura 2.2. y x y x Aplicamos condiciones de simetría Capa 90º Capa 0º Capa 0º Figura 2.2 Aplicación de simetría en el laminado del Modelo 1. Partiendo del diseño mostrado en la Figura 2.2, éste se trasladó al módulo DesignModeler de ANSYS Workbench, con el fin de crear una geometría que resultase válida para el proyecto y que permitiese resolver el problema planteado. La geometría dentro del software ha sido creada mediante dos rectángulos, ambos incluidos en el mismo Part. A cada uno de los rectángulos se les ha asignado las propiedades de la lámina correspondiente, de manera que a la de arriba se le asignan las propiedades de lámina de 0 grados y a la de abajo de lámina de 90 grados. En las Figuras 2.3 y 2.4 se observa tanto la representación de la geometría en ANSYS Workbench como un esquema del modelo con el que se va a trabajar. 1El espesor total de las láminas de 0 grados sería de 1200 µm, mientras que el de 90 grados sería de únicamente 150 µm.
2.2 Resolución del Modelo 1 15 Figura 2.3 Geometría del Modelo 1 en ANSYS Workbench. y x Figura 2.4 Esquema del Modelo 1 con simetría. Una vez definida la geometría en el programa se pasa al módulo de mallado donde se realizará la malla para poder resolver el problema. La estrategia de mallado seguida se desarrollará en la siguiente sección. 2.2 Resolución del Modelo 1 2.2.1 Estudio de convergencia de malla A la hora de resolver un problema empleando un programa de elementos finitos, es necesario realizar una malla que sea coherente con la geometría de la que se parte. De esta manera, los resultados serán más precisos y fiables mientras mejor se adecúe esa malla a la superficie o cuerpo con la que se está trabajando. Para este primer modelo, la malla a priori no tiene una gran relevancia en los resultados finales. Este hecho se debe a que se está trabajando con un modelo geométrico muy simplificado, formado únicamente por dos rectángulos como se comentó anteriormente. Aún así, se ha decidido que la malla del modelo varíe a medida que se aleja de la zona de unión entre ambas láminas. El motivo de esto es que la zona superior del laminado (capa de 0 ◦ ) realmente no resulta relevante para la investigación en la que se está trabajando, debido a que las evidencias que se buscan deberían estar en la lámina intermedia, la única orientada a 90 ◦ . Dado este hecho, se ha realizado un estudio de convergencia de malla con el fin de estudiar si los resultados entre las distintas mallas estudiadas hacía variar el resultado.
16 Capítulo 2. Comportamiento a nivel macromecánico. Modelo 1 Para el mismo, se comenzó con una malla constituida por un número racional de elementos, de manera que este se iría aumentando progresivamente a medida que se iban realizando las correspondientes mallas. La idea de este estudio de convergencia es no variar en exceso el tamaño de la semilla de mallado, para observar si los resultados realmente cambian al aumentar los elementos. En total se han estudiado un total de cuatro mallas, siguiendo todas ellas patrones muy similares de mallado. De esta manera, se ha mallado empleando el comando Edge Sizing para cada una de las aristas que aparecen en la geometría, fijando el tamaño del elemento. En el caso de la lámina de 0, se ha seguido la misma estrategia, pero en este caso incluyendo un Bias, el cual indica la proporción entre el primer elemento y el último de la arista que se está mallando 2 . Esta función resultará mucho más útil en los siguientes modelos. Además de imponer los Edge Sizing, se ha añadido un Face Meshing en cada una de las dos caras, definiendo mediante ello que el método de mallado que se establecerá será el de cuadriláteros de una forma estructurada. Por otro lado, se tiene que el tipo de elemento que se ha empleado es un elemento 2D, debido a que el problema se va a estudiar desde un punto de vista bidimensional, como se comentó con anterioridad. Más concretamente, se hará uso de elementos 2D cuyo comportamiento se base en tensión plana y deformación plana, y se compararán ambos en este estudio de convergencia de malla. Finalmente, es importante destacar que el orden de los elementos que se ha empleado es el lineal, aspecto que se mantendrá así en todo el proyecto. La decisión de elegir esto se basa simplemente en el hecho de disminuir el coste computacional, puesto que se ha comprobado que los resultados no varían en exceso al incluir el orden cuadrático. Figura 2.5 Malla 1 realizada para el Modelo 1. En la Figura 2.5 puede observarse la malla implementada para este caso. Para apreciar con mayor claridad determinadas zonas de la malla, se han incluido las Figuras 2.6 y 2.7, donde se observa que la malla no tiene el mismo tamaño de elemento en toda la geometría, como se ha comentado anteriormente. En la Figura 2.6, se aprecia que los elementos son más alargados, puesto que se trata de la zona superior de la lámina de 0 ◦ , la cual no tendrá una influencia directa con los resultados que interesan en este estudio (lámina de 90 ◦ principalmente, como se comentó con anterioridad). Sin embargo, en la Figura 2.7, se muestra como se ha conseguido que la transición entre ambas capas se haga con elementos más cuadrados y ligeramente más pequeños, puesto que se trata de una zona de interés para el modelo, de ahí que la malla sea más refinada. 2 Por ejemplo, en el caso de existir un Bias de 1.5, significa que el tamaño del último elemento de la arista es 1.5 veces la del primero
2.2 Resolución del Modelo 1 17 Figura 2.6 Detalle de la Malla 1 realizada para el Modelo 1 en la zona superior de la geometría. Figura 2.7 Detalle de la Malla 1 realizada para el Modelo 1 en la zona inferior de la geometría. Se muestran a continuación, en la Tabla 2.1, el número de elementos y nodos de cada una de las mallas que se han estudiado. Además de ello, se acompaña de dos datos que pueden ser interesantes para determinar si la malla puede considerarse adecuada. En primer lugar, se tiene la máxima relación de aspecto de los elementos de la malla. Se ha intentado que en ningún caso supere el ratio de 1.5, ya que este valor se considera un valor adecuado para un elemento. Nótese que lo ideal para un elemento es que su relación de aspecto sea lo más cercana a la unidad posible. Como es obvio, los elementos de la malla que presentan la relación de aspecto más alta son aquellos que se encuentran en la zona superior de la capa de 0 grados, puesto que se trata de una zona en la que no buscamos excesiva precisión en los resultados, por lo que se puede emplear una malla menos refinada. El segundo de ellos es la mínima calidad de los elementos de la malla. Este parámetro mide cómo de cuadrados son los mismos. De esta manera, tener un valor superior al 0.9 es adecuado, puesto que se busca que tengan un valor lo más cercano posible a la unidad. Tabla 2.1 Comparación de los parámetros de las mallas estudiadas para el Modelo 1. Malla 1 Malla 2 Malla 3 Malla 4 Nodos 20064 48828 74315 109109 Elementos 19599 48125 73392 108000 Máx. Aspect Ratio 1.5 1.49 1.47 1.44 Min. Element Quality 0.922 0.923 0.927 0.934 Una vez mostrados el número de elementos y nodos de cada una de las mallas, la forma en la que se
18 Capítulo 2. Comportamiento a nivel macromecánico. Modelo 1 va a decidir si la malla de menor número de elementos es válida será elegir un punto concreto de cada una de las capas, y en ese punto obtener un valor representativo que sirva para comparar. Para este caso, se han seleccionado los valores de los desplazamientos en las direcciones X e Y, además de las tensiones normales en las tres direcciones del espacio, y la tensión tangencial en el plano X-Y del modelo, con las correspondientes deformaciones en el plano y en cada una de las direcciones. Además, todos los resultados se analizarán tanto en configuración de deformación plana como de tensión plana. Los nodos elegidos en cada una de las láminas para realizar las comparaciones se muestran en las Figuras 2.8 y 2.9. Se han elegido estos puntos en una posición centrada y no en las esquinas, para que no existan excesivos problemas en cuanto a zonas singulares, en las que sí se condiciona el resultado por el número de elementos. Además de ello, como en este estudio se busca un resultado de las tensiones a nivel de lámina, el resultado más lógico a comparar es el resultado en la zona central de la misma. Estos valores se referenciarán en las tablas de resultados como Lámina 0◦yLámina 90◦. Figura 2.8 Nodo elegido para la capa de 0◦. Figura 2.9 Nodo elegido para la capa de 90◦. El estudio se ha realizado tanto para deformación plana como tensión plana. El modelo de tensión plana suele usarse cuando es necesario obtener resultados en zonas cercanas a los bordes, mientras el de deformación plana se emplea cuando quiere estudiarse la zona central de un modelo. La idea es comparar los resultados en ambos casos y tomar una decisión sobre qué tipo de configuración usar. De esta manera, se han recopilado los valores de desplazamientos, tensiones y deformaciones en las láminas, además del valor máximo y mínimo, para cada una de las mallas especificadas en la Tabla 2.1, empleando deformación plana y tensión plana. Para poder resolver el problema se han impuesto las condiciones de contorno anteriormente comentadas (condiciones de simetría en los ejes X e Y, modeladas como un apoyo de bolas que impide el desplazamiento en una dirección y lo deja libre en la otra, en función del eje en el que se aplique simetría), además del decremento térmico de 100◦C en todo el sólido.
2.2 Resolución del Modelo 1 19 Tabla 2.2 Valores de los desplazamientos para cada una de las mallas estudiadas para el Modelo 1. Malla 1 Malla 2 Malla 3 Malla 4 DP TP DP TP DP TP DP TP u u ux x x (mm) min 00000000 max 0.003836 0.004004 0.003836 0.004004 0.003835 0.004004 0.003835 0.004004 Lámina 0º0.001778 0.001855 0.001778 0.001855 0.001778 0.001855 0.001778 0.001855 Lámina 90º0.001775 0.001851 0.001775 0.001851 0.001775 0.001851 0.001775 0.001851 u u uy y y (mm) min -0.001787 -0.001392 -0.001787 -0.001391 -0.001787 -0.001391 -0.001787 -0.001391 max 00000000 Lámina 0º-0.0009390 -0.0007657 -0.0009390 -0.0007657 -0.0009390 -0.0007657 -0.0009390 -0.0007657 Lámina 90º-0.0001028 -0.0001194 -0.0001028 -0.0001194 -0.0001028 -0.0001194 -0.0001028 -0.0001194 Tabla 2.3 Valores de las tensiones para cada una de las mallas estudiadas para el Modelo 1. Malla 1 Malla 2 Malla 3 Malla 4 DP TP DP TP DP TP DP TP σ σ σx x x (MPa) min -51.1420 -57.4010 -53.0600 -59.5720 -53.1300 -59.6450 -53.6870 -60.2710 max 20.3730 22.6770 20.3730 22.6770 20.3730 22.6770 20.3730 22.6770 Lámina 0º-2.5482 -2.8368 -2.5482 -2.8368 -2.5481 -2.8368 -2.5481 -2.8368 Lámina 90º20.3590 22.6620 20.3590 22.6620 20.3590 22.6620 20.3590 22.6620 σ σ σy y y (MPa) min -20.7390 -23.1180 -20.7860 -23.1470 -20.7820 -23.1620 -20.7860 -23.1670 max 10.5330 10.4580 12.9920 12.9430 14.5330 14.4760 15.6790 15.6010 Lámina 0º0.01543 0.01767 0.01541 0.01765 0.01541 0.01764 0.01540 0.01764 Lámina 90º0.03255 0.03710 0.03252 0.03706 0.03251 0.03705 0.03250 0.03704 σ σ σz z z (MPa) min -118.1900 - -118.2200 - -118.2300 - -118.2300 - max 19.7980 - 20.8880 - 21.2530 - 21.7480 - Lámina 0º15.6960 - 15.6960 - 15.6960 - 15.6960 - Lámina 90º-103.8000 - -103.8000 - -103.8000 - -103.8000 - σ σ σx x xy y y (MPa) min -0.8577 -0.8839 -0.8751 -0.9016 -0.8949 -0.9220 -0.9234 -0.9514 max 9.7361 10.7660 10.1580 11.1990 10.4270 11.4750 10.5290 11.5870 Lámina 0º0.08078 0.09180 0.08075 0.09177 0.08075 0.09178 0.08074 0.09176 Lámina 90º7.4798e-04 8.4878e-04 7.4738e-04 8.4811e-04 7.4726e-04 8.4799e-04 7.4712e-04 8.4781e-04
26 Capítulo 2. Comportamiento a nivel macromecánico. Modelo 1 máximo y mínimo mostrado en la Tabla 2.6, se tiene que están asociados al punto singular comentado anteriormente. Figura 2.18 σyy en Modelo 1. Figura 2.19 Detalle de σyy en Modelo 1. Figura 2.20 Detalle de σyy positivas en Modelo 1.
2.2 Resolución del Modelo 1 27 Figura 2.21 Detalle de σyy negativas en Modelo 1. •σ σ σz z zz z z A continuación se muestran los valores de las tensiones en dirección Z. Aunque en este proyecto se trabaja en el plano XY al haber desarrollado un modelo bidimensional, se ha decidido incluir estos valores debido a que al trabajar con deformación plana, es posible calcular el valor de esta componente. De esta manera, en las Figuras 2.22 y 2.23 se muestran las tensiones en dirección Z, además de un detalle de las mismas. Al igual que en los casos presentados anteriormente, en las Figuras 2.24 y 2.25 se muestran las tensiones positivas y negativas. Figura 2.22 σzz en Modelo 1. Comentar que se tiene una gran compresión en la lámina de 90 ◦ , en color azul turquesa, mientras que en la lámina de 0 ◦ se han obtenido tracciones (en color rojo) del orden de 15 MPa. Se trata de valores significativos, pero que al estar trabajando en un modelo bidimensional, no tienen una relevancia importante en este estudio, debido a que en este caso, no se están teniendo en cuenta en estos valores la aportación del efecto asociado a la dirección 1 del laminado, así como otras propiedades importantes que puede aportar trabajar con un modelo tridimensional.
28 Capítulo 2. Comportamiento a nivel macromecánico. Modelo 1 Figura 2.23 Detalle de σzz en Modelo 1. Figura 2.24 Detalle de σzz positivas en Modelo 1. Figura 2.25 Detalle de σzz negativas en Modelo 1.
2.2 Resolución del Modelo 1 29 •σ σ σx x xy y y Finalmente, se mostrarán los valores de las tensiones tangenciales en el laminado de estudio, las cuales se muestran en las Figuras 2.26 y 2.27. Figura 2.26 σxy en Modelo 1. Figura 2.27 Detalle de σxy en Modelo 1. Se observa que los valores de tensiones se encuentran muy cercanos a 0, como puede verse en la Figura 2.26, donde la mayor parte del laminado se encuentra en un color azul oscuro, a excepción de la zona que rodea al punto singular. Este hecho se ve reflejado en la Tabla 2.6, donde los valores obtenidos para ambas láminas en los nodos de las Figuras 2.8 y 2.9 son prácticamente nulos. Deformaciones Con idea de completar el estudio, se incluirán también los valores de las deformaciones que se obtienen para el Modelo 1. Estas deformaciones únicamente aportan contenido informativo, puesto que para analizar el comportamiento del laminado y estudiar la posible aparición grietas se emplearán los valores de las tensiones mostrados anteriormente. En las Figuras 2.28, 2.29 y 2.30 se muestran los valores de las deformaciones.
30 Capítulo 2. Comportamiento a nivel macromecánico. Modelo 1 •ε ε εx x xx x x Figura 2.28 εxx en Modelo 1. •ε ε εy y yy y y Figura 2.29 εyy en Modelo 1. •ε ε εx x xy y y Figura 2.30 εxy en Modelo 1.
2.3 Comparación de los resultados con la Teoría General del Laminado 31 2.3 Comparación de los resultados con la Teoría General del Laminado Una vez obtenidos los resultados que se han mostrado, se va a comprobar su ajuste con la Teoría General del Laminado. Esta teoría proporcionará los valores de tensiones que se producen en las láminas del modelo que se está estudiando. Es necesario comentar antes de realizar el estudio, que los ejes que se tomarán en la TGL no son los mismos que se emplean en el modelo de elementos finitos, pero al final de esta sección se establecerá una relación entre ellos. En la Figura 2.31 puede observarse un esquema del laminado con los ejes según esta teoría, además de la orientación de cada una de las láminas que conforman el mismo. La Teoría General del Laminado se centra en encontrar la relación entre tensiones y deformaciones usando las hipótesis generales de placas delgadas. En el proyecto se usará para obtener los valores de tensión a los que se encuentra expuesto el laminado cuando únicamente se le aplica el decremento térmico. De esta manera, partiendo de las propiedades proporcionadas del laminado en las Tablas 1.1 y 1.3, es posible resolver las ecuaciones para obtener el comportamiento final de cada lámina. xy z Lámina 1: 0º Ejes del laminado según la TGL Lámina 2: 90º Lámina 3: 0º Figura 2.31 Esquema del laminado que se empleará en la TGL (Elaboración propia). Matriz de comportamiento de cada lámina Para caracterizar el comportamiento de cada lámina se cuenta con la matriz de rigidez, que en este caso es de tamaño 3x3. El valor de cada uno de los elementos en ejes principales de cada lámina viene dado por: Q11 =E11 1−ν12ν21 (2.1) Q22 =E22 1−ν12ν21 (2.2)
32 Capítulo 2. Comportamiento a nivel macromecánico. Modelo 1 Q12 =ν12E22 1−ν12ν21 (2.3) Q66 =G12 (2.4) De esta manera, se obtiene la matriz de comportamiento en ejes principales (simétrica con Q13 =Q23 =0 ). Q= 135.7921 2.6404 0 2.6404 8.8013 0 0 0 4.75 ×103[MPa] A continuación, es necesario obtener la matriz anterior en ejes de cada lámina, teniendo en cuenta la orientación de cada una de ellas. Las expresiones de cada componente son las siguientes: ¯ Q11 =Q11cos4θ+2(Q12 +2Q66)sen2θcos2θ+Q22sen4θ(2.5) ¯ Q12 = (Q11 +Q22 −4Q66)sen2θcos2θ+Q12(sen4θ+cos4θ)(2.6) ¯ Q22 =Q11sen4θ+2(Q12 +2Q66)sen2θcos2θ+Q22cos4θ(2.7) ¯ Q16 = (Q11 −Q12 −2Q66)senθcos3θ+(Q11 −Q22 +2Q66)sen3θ+cosθ(2.8) ¯ Q26 = (Q11 −Q12 −2Q66)sen3θcosθ+(Q12 −Q22 +2Q66)senθ+cos3θ(2.9) ¯ Q66 = (Q11 +Q22 −2Q12 −2Q66)sen2θcos2θ+Q66(sen4θ+cos4θ)(2.10) De esta manera, se obtienen las siguientes matrices: ¯ Q0◦= 135.7921 2.6404 0 2.6404 8.8013 0 0 0 4.75 ×103[MPa] ¯ Q90◦= 8.8013 2.6404 0 2.6404 135.7921 0 0 0 4.75 ×103[MPa] Al estar el material expuesto al proceso de curado, es necesario incluir el efecto de la temperatura de curado, por lo que se trabajará únicamente con el decremento térmico. Se exponen a continuación las expresiones que permiten obtener los valores del coeficiente de dilatación térmica en ejes del laminado: αx=α1cos2θ+α2sen2θ(2.11) αy=α1sen2θ+α2cos2θ(2.12) αxy =2(α1senθcosθ−α2senθcosθ)(2.13)
2.3 Comparación de los resultados con la Teoría General del Laminado 33 Por lo tanto, se obtienen los siguientes valores para cada lámina: α0◦= −8.1421 17.9880 0 ×10−6[◦C−1] α90◦= 17.9880 −8.1421 0 ×10−6[◦C−1] Relación esfuerzos-deformaciones El siguiente paso a desarrollar sería el de obtener las matrices Ai j , Bi j y Di j , que son las que relacionan los esfuerzos con las deformaciones. La matriz Ai j es aquella que relaciona esfuerzos de laja con deformaciones de laja, la Bi j relaciona esfuerzos de laja con deformaciones de placa o esfuerzos de placa con deformaciones de laja, mientras que la Di j relaciona esfuerzos de placa con deformaciones de placa. Las expresiones de estas matrices son: Ai j = 3 ∑ k=1 ¯ Qk i j(zk−zk−1)(2.14) Bi j =1 2 3 ∑ k=1 ¯ Qk i j(z2 k−z2 k−1)(2.15) Di j =1 3 3 ∑ k=1 ¯ Qk i j(z3 k−z3 k−1)(2.16) Las matrices resultantes son las siguientes: A= 164.2707 3.5645 0 3.5645 30.9304 0 0 0 6.4125 ×103[MPa ·mm] D= 27.8059 0.5414 0 0.5414 1.8403 0 0 0 0.9739 ×103[MPa ·mm3] Al tratarse de un laminado simétrico y cross-ply, la matriz Bi j es nula. Cálculo de esfuerzos térmicos Debido al efecto de la temperatura de curado, aparecerán esfuerzos térmicos en el laminado que son necesarios tenerlos en cuenta para poder obtener las tensiones. Se considerará un decremento térmico de ∆T=−100◦C. Vienen dados por la siguiente expresión. NT x NT y NT xy = 3 ∑ k=1 ¯ Q11 ¯ Q12 ¯ Q16 ¯ Q12 ¯ Q22 ¯ Q26 ¯ Q16 ¯ Q26 ¯ Q66 k αx αy αxy k ∆T(zk−zk−1)(2.17)
34 Capítulo 2. Comportamiento a nivel macromecánico. Modelo 1 MT x MT y MT xy = 3 ∑ k=1 ¯ Q11 ¯ Q12 ¯ Q16 ¯ Q12 ¯ Q22 ¯ Q26 ¯ Q16 ¯ Q26 ¯ Q66 k αx αy αxy k ∆T(z2 k−z2 k−1) 2(2.18) Para el caso que nos ocupa, se obtienen los siguientes esfuerzos térmicos: NT x NT y NT xy = 124.9242 −0.5464 0 [MPa ·mm] Se tienen que los momentos térmicos, dada la configuración simétrica del laminado son cero. Cálculo de las deformaciones en función del espesor A continuación, se obtendrán los valores de las deformaciones en las láminas en los ejes del laminado, teniendo en cuenta que solo se tienen esfuerzos térmicos. Nx+NT x Ny+NT y Nxy +NT xy Mx+MT x My+MT y Mxy +MT xy = A11 A12 A13 B11 B12 B13 A12 A22 A13 B12 B22 B23 A13 A23 A13 B13 B23 B33 B11 B12 B13 D11 D12 D13 B12 B22 B13 D12 D22 D23 B13 B23 B13 D13 D23 D33 ε◦ x ε◦ y γ◦ xy k◦ x k◦ y k◦ xy (2.19) Dado que las condiciones de contorno impiden la curvatura ( k◦=0 ), las deformaciones de laja son las siguientes: ε0= 0.000762768 −0.000105568 0 Al ser nulas las deformaciones de placa, se tiene que las deformaciones serán constantes en todo el laminado. Tensiones de las láminas Una vez se han conseguido las deformaciones, es posible obtener el valor de las tensiones en ejes del laminado. Para ello es necesario aplicar en primer lugar la relación tensión-deformación, obteniendo las tensiones en ejes del laminado, y a continuación pasarlas a ejes principales de cada lámina. Se muestra en primer lugar la relación tensión-deformación en ejes del laminado: σx σy σxy k = ¯ Q11 ¯ Q12 ¯ Q16 ¯ Q12 ¯ Q22 ¯ Q26 ¯ Q16 ¯ Q26 ¯ Q66 k εx−αx∆T εy−αy∆T γxy −αxy∆T (2.20) A partir de estas tensiones, se puede aplicar la siguiente expresión que relaciona los ejes del laminado con los de cada lámina:
2.3 Comparación de los resultados con la Teoría General del Laminado 35 σxy =T−1σ12 (2.21) donde se tiene que: T−1(θ) = cos2(θ)sin2(θ)−2sin(θ)cos(θ) sin2(θ)cos2(θ)2sin(θ)cos(θ) sin(θ)cos(θ)−sin(θ)cos(θ)cos2(θ)−sin2(θ) (2.22) x y 1 2 q Figura 2.32 Giro realizado para relacionar ejes de ortotropía con ejes de laminado. mostrándose en la Figura 2.32 el giro necesario para relacionar los ejes de ortotropía con los ejes del laminado. De esta manera, se muestran directamente los valores de las tensiones en ejes del laminado y en los ejes de cada lámina: σ0◦ LAMINADO(x−y)= −2.51458 14.7669 0 [MPa];σ0◦ LAMINA(1−2)= −2.51458 14.7669 0 [MPa] σ90◦ LAMINADO(x−y)= 20.1167 −118.135 0 [MPa];σ90◦ LAMINA(1−2)= −118.135 20.1167 0 [MPa] σ0◦ LAMINADO(x−y)= −2.51458 14.7669 0 [MPa];σ0◦ LAMINA(1−2)= −2.51458 14.7669 0 [MPa] Por lo tanto, estos valores que se obtienen en ejes del laminado son los que deben ser comparados con los obtenidos en la Tabla 2.6, para de esta manera comprobar el modelo numérico realizado con lo obtenido mediante la Teoría General del Laminado. Antes de analizar los valores obtenidos, se va a realizar la equivalencia entre los ejes del modelo de estudio y los del TGL. Como se observa en la Figura 2.31, se tiene que el eje X es el mismo que en el caso que se ha estudiado (Figura 2.4) , sin embargo, la diferencia radica principalmente en los ejes Y y Z, los cuales se encuentran cambiados en ambos modelos. De esta manera, para poder comparar los valores de la tabla con los resultados del TGL es necesario conocer esta apreciación.
42 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz En la Figura 3.6 se observa cómo el tamaño de los elementos en zonas alejadas de la celda es muy superior a los de la Figura 3.7, en los que se ha buscado refinar mucho más la malla. Figura 3.7 Detalle de la malla del Modelo 2 en ANSYS Workbench. Figura 3.8 Detalle de la malla de la celda del Modelo 2 en ANSYS Workbench. Se observa por tanto en las Figuras 3.6, 3.7 y 3.8 el resultado obtenido, que incluye transiciones en las zonas en las que se ha considerado necesario, además de homogeneizar el tamaño del elemento lo máximo posible a ambos lados de la arista correspondiente. Se ha intentado que los elementos de la malla tengan forma de cuadrilátero, aunque existen algunos elementos triangulares (son minoría). En la Figura 3.9 se muestra el mallado realizado en una fibra, donde se ha establecido una semilla de mallado de un elemento cada dos grados, tamaño que se ha considerado suficiente para poder iniciar el estudio y obtener resultados satisfactorios. La interfase se ha definido como un único elemento para poder identificar con mayor claridad la misma. De esta manera, a priori, se ha dedicado mucho esfuerzo en conseguir una malla que pueda ser consistente a la hora de obtener resultados fiables, consiguiendo elementos más pequeños en las cercanías de la zona de estudio 3. 3 Previamente a conseguir este modelo de malla tan estructurado, se realizaron distintas pruebas con mallas con distribuciones diferentes, las cuales se desecharon finalmente al conseguir la que se ha mostrado.
3.1 Estudio del Modelo 2 43 Figura 3.9 Detalle de la malla de una fibra en el Modelo 2 en ANSYS Workbench. A continuación se muestra en la Tabla 3.1 el estudio realizado para la convergencia de la malla. En este caso, puesto que la malla original se encuentra lo suficientemente depurada, lo que se hará será refinar el número de elementos en la zona de la celda, concretamente en las cercanías del anillo de interfase y fibra. Tabla 3.1 Comparación de los parámetros de las mallas estudiadas en el Modelo 2. Malla 1 Malla 2 Nodos 51660 101002 Elementos 51349 100836 Como se puede observar en la Tabla 3.1, se aprecia claramente la diferencia entre los dos modelos de malla desarrollados, ya que en el segundo de ellos el número de elementos se ha duplicado. Para este modelo, se va a trabajar fundamentalmente con tensiones en coordenadas polares. Esto se debe a que las zonas de auténtica relevancia están ubicadas en la interfase fibra-matriz. De esta manera, empleando este tipo de coordenadas resulta más sencillo interpretar los resultados obtenidos al estar trabajando con superficies circulares. Dicho esto, en el estudio de convergencia de malla se va a emplear un nodo concreto para comparar los resultados. El mismo se ubicará en la zona superior de la interfase entre la fibra y la matriz (ver Figura 3.10). Figura 3.10 Nodo elegido para la convergencia de malla en Modelo 2.
44 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz Por lo tanto, se muestran a continuación en la Tabla 3.2 los valores de las tensiones en coordenadas polares para comparar ambos modelos. Nótese que, como se estableció en el modelo 1, en todo el proyecto se trabajará empleando deformación plana. Tabla 3.2 Valores de las tensiones en coordenadas polares de las mallas estudiadas en el Modelo 2. Malla 1 Malla 2 σ σ σr r r(MPa) 12.114 12.122 σ σ σθ θ θ(MPa) 34.123 34.11 σ σ σr r rθ θ θ(MPa) 1.0868 1.0883 En la Tabla 3.2 se observa cómo las diferencias de tensiones entre las dos mallas es mínima, lo cual indica que la malla de un menor número de elementos resulta idónea para poder estudiar el Modelo. 3.1.3 Resultados del Modelo 2 Una vez elegida la malla, se mostrarán los resultados relativos a las tensiones que se han obtenido para este modelo, además de sacar algunas conclusiones que permitan poder identificar los siguientes pasos a realizar en el estudio. Se simulará una situación de curado del material, donde se aplicará un decremento térmico de 100◦C, al igual que en el primero de los modelos mostrados en el capítulo anterior. Antes de comenzar con el análisis de resultados, es necesario establecer una identificación para cada fibra del modelo (ver Figura 3.11), con idea de poder realizar comentarios de una forma más directa, además de aumentar la claridad en las explicaciones. Aunque todas las fibras resultan de especial importancia en el modelo dada su posición y efecto sobre las demás, en este proyecto se hará un énfasis especial en las Fibras 1 y 4, debido a que dada su posición y cercanía a la lámina de 0 ◦ , serán las que de acuerdo a la evidencia experimental previa sufrirán un mayor daño, lo que conlleva un mayor riesgo de despegue. Figura 3.11 Numeración seguida para las fibras. De esta manera se muestran a continuación los resultados obtenidos para las fibras junto con su corona de interfase, además de un análisis de los mismos en cada una de ellas.
3.1 Estudio del Modelo 2 45 Fibra 1 Figura 3.12 σren Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 2. Figura 3.13 σθen Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 2.
46 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz Figura 3.14 σrθen Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 2. En primer lugar se muestran los resultados relativos a la Fibra 1, que se ubica en la zona superior izquierda de la semicelda de estudio, como se observa en la Figura 3.11. En la Figura 3.12 se muestran las tensiones radiales en la fibra y en el anillo de interfase definido en el Modelo. Se ha decidido incluir este anillo para poder observar con una mayor claridad el contraste de resultados entre la zona definida como matriz y la de fibra. En cuanto a estas tensiones, comentar que presentan distintos valores en función de la zona de la fibra. Las tensiones radiales suponen el principal indicativo de grieta que puede observarse en un modelo de este tipo, debido a que el despegue debe producirse en dirección normal a la fibra. En la parte lateral de la misma se observan grandes valores de tensiones radiales de tracción (del orden de 37 MPa), lo cual se traduciría en que la zona de despegue de las tensiones se ubicaría en las inmediaciones de la zona roja. Nótese que, en las zonas superior e inferior de la fibra, los valores de tensión son sensiblemente inferiores a los comentados anteriormente (en la zona superior de un valor de compresión muy cercano a 0, mientras que en la zona inferior se llega el mínimo de compresión en el dominio mostrado). De esta manera, la grieta se formaría presumiblemente en la zona roja, dando lugar a una grieta transversal alrededor de la interfase, si la resistencia de la interfase fuera alcanzada. En cuanto a las demás tensiones mostradas, es necesario comentar que las tensiones circunferenciales no resultan despreciables (ver Figura 3.13), dado que se obtienen valores significativos del orden de 40 MPa. Sin embargo, puesto que el objetivo final del proyecto es la búsqueda de aparición de fallo de despegue, las tensiones radiales juegan un papel más importante en este estudio que las circunferenciales. Finalmente, se muestran también las tensiones tangenciales (ver Figura 3.14), donde existen valores positivos y negativos en la fibra. A continuación se muestra la representación de la Fibra 1 pero incluyendo en la misma una zona mayor de matriz situada en la periferia de esta, con la única finalidad de observar la continuidad de los resultados en la matriz. Sin embargo, resulta primordial comentar el hecho de que, al estar el sistema de referencia en el centro de la Fibra 1, y tratarse de tensiones en coordenadas polares, no tiene interés el valor de las tensiones
3.1 Estudio del Modelo 2 47 fuera de la propia fibra de estudio. Estas representaciones pueden observarse en las Figuras 3.15, 3.16 y 3.17, donde se muestran los valores de las tensiones radiales, circunferenciales y tangenciales para el caso de la Fibra 1 y las inmediaciones de matriz. Figura 3.15 σren Fibra 1 y matriz para Modelo 2. Figura 3.16 σθen Fibra 1 y matriz para Modelo 2.
48 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz Figura 3.17 σrθen Fibra 1 y matriz para Modelo 2. Fibra 2 Figura 3.18 σren Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 2.
3.1 Estudio del Modelo 2 49 En las Figuras 3.18, 3.19 y 3.20 se representan los valores de las tensiones para la Fibra 2. Figura 3.19 σθen Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 2. Figura 3.20 σrθen Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 2.
50 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz La Fibra 2 se encuentra en la zona central de la celda de estudio, y de ella se obtienen unos valores de tensiones que presentan cierta simetría, dada la ubicación de la misma. En este caso se tiene que para σr , los valores más altos vuelven a ser alcanzados en la misma zona que ocurría en la Fibra 1. Por ello, es previsible el hecho de que el primer fallo que ocurriese fuera el de grieta transversal en la interfase fibra-matriz. En este caso se tienen valores de compresión tanto en la zona superior como inferior de la fibra de estudio. Las demás distribuciones de tensiones mostradas siguen una estructura similar a las comentadas para la Fibra 1. Fibra 3 Los resultados de la Fibra 3 son muy parecidos a los obtenidos para la Fibra 1, pero en este caso se tiene que el valor mínimo de compresión en las tensiones radiales se obtiene en la zona superior en lugar de en la inferior, debido a la presencia de las otra fibras. Por lo tanto, previsiblemente, la aparición de una grieta tendería a producirse en la parte lateral de la grieta, extendiéndose progresivamente a lo largo del contorno de la fibra. De nuevo se mostrarán los mapas de tensiones radiales, circunferenciales y tangenciales en las Figuras 3.21, 3.22 y 3.23 respectivamente. Figura 3.21 σren Fibra 3 y corona de interfase para Modelo 2. Los resultados de σr muestran una clara similitud con los obtenidos para las fibras anteriores, apareciendo tensiones considerables en el lateral de la fibra de estudio.
3.1 Estudio del Modelo 2 51 Con respecto a las tensiones circunferenciales y tangenciales, las conclusiones son similares a las comentadas con anterioridad para otras fibras. Figura 3.22 σθen Fibra 3 y corona de interfase para Modelo 2. Figura 3.23 σrθen Fibra 3 y corona de interfase para Modelo 2.
58 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz y x y x Aplicamos condiciones de simetría Capa 90º Capa 0º Capa 0º Figura 3.34 Aplicación de simetría en el laminado del Modelo 3. Para este caso se empleará el mismo esquema de celda que el que se tenía para el Modelo 2, manteniendo las dimensiones y ubicación de la misma, además del número de fibras en el estudio (como se muestra en la Figura 3.35). Así, al mantener todas las condiciones a excepción del espesor de la lámina de 90 ◦ , es posible realizar una comparación de los resultados entre los modelos. Lámina de 0 º Lámina de 90 º Df Df 2a Df aDf Figura 3.35 Detalle de la celda en el interior del Modelo 3. Una vez definida la geometría, esta se realiza en ANSYS Workbench, empleando un procedimiento similar al seguido para el Modelo 2. Añadir, además, que la numeración de las fibras mostrada en la Figura 3.11 será la que se mantendrá para este nuevo modelo.
3.2 Estudio de modelos con diferentes espesores para la lámina de 90◦59 Como se observa en la Figura 3.36, la única diferencia entre la Figura 3.3 y la mostrada anteriormente es la inclusión de una superficie en la zona inferior, que se ha modelado con propiedades de lámina de 90 ◦ , por lo que los detalles mostrados en las Figuras 3.4 y 3.5 se mantienen intactos en este caso. Figura 3.36 Geometría del Modelo 3 en ANSYS Workbench. En cuanto a la malla, se ha empleado como base la conseguida en el Modelo 2, que se encuentra en las Figuras 3.6, 3.7, 3.8 y 3.9. Por lo tanto, las zonas de detalle en las inmediaciones de la interfase fibra-matriz son exactamente iguales, puesto que en esa zona no se ha añadido nada. La única diferencia reside en la zona inferior de la misma, en la cual se ha añadido una distribución similar a la presentada en la Figura 3.6 en la parte derecha. De este modo, se presentarán los mapas de tensiones obtenidos para este modelo, además del valor de la tensión en un nodo concreto en un lugar relevante para poder comparar con el modelo anterior 5. Fibra 1 Se incluyen en primer lugar los resultados para la Fibra 1. Para mostrar los resultados se seguirá la misma estructura que en el Modelo 2, representando las tensiones radiales, circunferenciales y tangenciales. En las Figuras 3.37, 3.38 y 3.39 puede verse que los resultados son muy parecidos a los obtenidos en el Modelo 2. La principal diferencia reside en el hecho de que los valores obtenidos de tensiones resultan ligeramente inferiores a los otros. Para la tensión radial, este valor se reduce aproximadamente en 0.5 MPa en su zona máxima. La distribución de tensiones es la misma en ambos casos para todas las tensiones mostradas, por lo que las conclusiones presentadas son las mismas que ya se tenían en el modelo anterior. 5Se elegirá el mismo nodo que se mostraba en la Figura 3.10 para realizar la comparación.
60 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz Figura 3.37 σren Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 3. Figura 3.38 σθen Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 3.
3.2 Estudio de modelos con diferentes espesores para la lámina de 90◦61 Figura 3.39 σrθen Fibra 1 y corona de interfase para Modelo 3. Fibra 2 Figura 3.40 σren Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 3.
62 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz Figura 3.41 σθen Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 3. Figura 3.42 σrθen Fibra 2 y corona de interfase para Modelo 3. En el caso de la Fibra 2, las conclusiones son similares a las de la Fibra 1 (ver Figura 3.18), puesto que las tensiones radiales en este caso son prácticamente iguales, aunque con una leve disminución del orden de décimas en el valor del máximo. Los valores de estas tensiones se muestran en las Figuras 3.40, 3.41 y 3.42.
3.2 Estudio de modelos con diferentes espesores para la lámina de 90◦63 Fibra 3 Figura 3.43 σren Fibra 3 y corona de interfase para Modelo 3. Figura 3.44 σθen Fibra 3 y corona de interfase para Modelo 3.
64 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz Figura 3.45 σrθen Fibra 3 y corona de interfase para Modelo 3. El efecto en la Fibra 3 es similar a los casos anteriores, como puede verse en las Figuras 3.43, 3.44 y 3.45. El mapa de tensiones es prácticamente igual al mostrado para el Modelo 2, por lo que no se pueden sacar conclusiones que difieran de las que se conocían. Fibra 4 Figura 3.46 σren Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 3.
3.2 Estudio de modelos con diferentes espesores para la lámina de 90◦65 Figura 3.47 σθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 3. Figura 3.48 σrθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 3. De nuevo, para la Fibra 4 los mapas de tensiones mostrados en las Figuras 3.46, 3.47 y 3.48 son casi idénticos a los del Modelo 2. Como detalle mencionar que en este caso el valor máximo de la tensión radial ha
66 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz disminuido en 0.35 MPa aproximadamente, mientras que el mínimo lo ha hecho en casi 1.5 MPa, poniendo de manifiesto el hecho de que la compresión es mayor en la zona inferior de la fibra para este modelo. Por lo tanto, los cambios no son muy significativos, por lo que las conclusiones no difieren hasta el momento de las ya conocidas. Se muestran además los valores de las tensiones en el nodo comentado con anterioridad en la Tabla 3.3, con idea de comparar directamente los resultados sobre este. Tabla 3.3 Valores de las tensiones en coordenadas polares del nodo de convergencia en el Modelo 3. Modelo 3 σ σ σr r r(MPa) 11.109 σ σ σθ θ θ(MPa) 33.82 σ σ σr r rθ θ θ(MPa) 1.233 Comparando los valores de la Tabla 3.3 con los de la primera columna de la Tabla 3.2 se observan las mínimas diferencias que presenta el modelo nuevo con respecto al anterior. Este cambio no se considera suficiente como para poder obtener conclusiones distintas a las conocidas. Fibra 5 Finalmente, se mostrarán los resultados asociados a la Fibra 5 en las Figuras 3.49, 3.50 y 3.51. Figura 3.49 σren Fibra 5 y corona de interfase para Modelo 3. En este caso, la representación vuelve a ser similar a la obtenida en el Modelo 2, pero con el máximo valor de tensiones ligeramente inferior al de aquel modelo.
3.2 Estudio de modelos con diferentes espesores para la lámina de 90◦67 Figura 3.50 σθen Fibra 5 y corona de interfase para Modelo 3. Figura 3.51 σrθen Fibra 5 y corona de interfase para Modelo 3.
74 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz Fibra 4 Figura 3.64 σren Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 4. Figura 3.65 σθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 4.
3.2 Estudio de modelos con diferentes espesores para la lámina de 90◦75 Figura 3.66 σrθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 4. En el caso de la Fibra 4, las conclusiones vuelven a ser las mismas que se comentaron con anterioridad, al no aportar nueva información relevante. Los resultados se muestran en las Figuras 3.64, 3.65 y 3.66. Con el objetivo de realizar una comparación con un nodo concreto, se muestran en la Tabla 3.5 los resultados para el nodo referenciado en la Figura 3.10. Se observa que los valores han aumentado ligeramente en el caso de las tensiones radiales y circunferenciales, pero no se trata de un incremento tan importante como para ser responsable de la aparición del daño objeto de estudio de este trabajo (aproximadamente de 2 MPa). Tabla 3.5 Valores de las tensiones en coordenadas polares del nodo de convergencia en el Modelo 4. Modelo 4 σ σ σr r r(MPa) 13.11 σ σ σθ θ θ(MPa) 36.038 σ σ σr r rθ θ θ(MPa) 0.64627 Por lo tanto, se puede concluir que, pese a que no se produce de manera notoria, el valor de las tensiones radiales y circunferenciales aumenta al disminuir el espesor de la lámina de 90 ◦ , mientras que el de la tensión tangencial disminuye. Una vez mostrados los dos modelos, se puede afirmar que el espesor de la lámina de 90 ◦ no influye directamente en el mapa de tensiones a nivel micromecánico, debido a que los valores obtenidos en el estudio no proporcionan evidencias de ello. Además, se ha observado que la posible formación de grietas no se vería alterada para los casos estudiados, de manera que es necesario enfocar en otra dirección la investigación del proyecto.
76 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz 3.3 Efectos producidos al modificar las propiedades de los materiales de estudio En esta sección se va a estudiar el efecto que tiene sobre el comportamiento del laminado la modificación de distintas propiedades de los materiales que conforman el mismo. Por lo tanto, se van a realizar dos modificaciones sobre el modelo, que provocarán cambios en los resultados de las tensiones. El motivo de desarrollar estas modificaciones es el de llevar a situaciones extremas al laminado y sacar conclusiones sobre su comportamiento cuando únicamente se encuentra sometido a un decremento térmico. Comentar que todas las modificaciones que se presentan en esta sección están asociadas al Modelo 2 expuesto con anterioridad. 3.3.1 Efecto 1: Aislar una única fibra en el Modelo 2 En primer lugar se va a intentar aislar una única fibra de entre todas las que se encuentran en la celda de estudio, con el objetivo de observar el comportamiento de las fibras aisladas, de manera que no se distorsionen las tensiones en la fibra por la presencia de las demás. Esto se va a realizar tanto para la Fibra 1 como para la Fibra 4. La manera de proceder será la de modificar las propiedades de las demás fibras, dotándolas de propiedades de matriz, para poder simular el efecto de una única fibra dentro de la celda. Por otra parte, las propiedades de las láminas se mantienen como se habían definido en la Tabla 1.1. De esta manera se podrán obtener conclusiones interesantes acerca del comportamiento de la fibra aislada dentro del laminado. Fibra 1 En primer lugar, se desarrollará el estudio en el caso de aislar la Fibra 1. En la Figura 3.67 se pueden observar las propiedades de cada uno de los sólidos que conforman el modelo de estudio definidas en diferentes colores. En la celda, se puede ver cómo todas las fibras tienen propiedades de matriz (denotadas por una M en color azul oscuro), a excepción de la Fibra 1, que se tratará con propiedades de fibra. Estas propiedades se encuentran en la Tabla 1.4. Lámina de 0 º Lámina de 90 º Df Df 2a Df aDf Matriz Matriz M M M M F Figura 3.67 Propiedades de cada uno de los sólidos para el Efecto 1 en Fibra 1. Así, en las Figuras 3.68, 3.69 y 3.70 se observan los valores de las tensiones en coordenadas polares.
3.3 Efectos producidos al modificar las propiedades de los materiales de estudio 77 Figura 3.68 σren Fibra 1 y corona de interfase para Efecto 1. Figura 3.69 σθen Fibra 1 y corona de interfase para Efecto 1.
78 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz Figura 3.70 σrθen Fibra 1 y corona de interfase para Efecto 1. Estos resultados que se muestran incluyen solo la Fibra 1 y la interfase de matriz. Se observa en estas figuras una representación bastante simétrica de los resultados de las tensiones radiales y circunferenciales, debido a la presencia de una única fibra. Además, el orden de magnitud de las tensiones se ha mantenido igual con respecto a lo que se obtuvo en el Modelo 2 (ver Figura 3.12), encontrándose el máximo en la misma zona y con el mismo valor aproximadamente. En la Figura 3.68 se muestra el valor de la tensión radial en un nodo concreto de la Fibra 1. Este nodo se tomará de referencia en próximas modificaciones realizadas. Para el caso de estudio se tiene que este valor se ha convertido en un valor de tracción, al contrario que en el caso básico del Modelo 2, en el que se tenía una compresión muy cercana a 0. En cuanto al valor de las tensiones tangenciales, se observa que siguen una tendencia similar a las ya comentadas en los modelos anteriores. De esta manera, mediante este estudio se puede destacar que la influencia de otras fibras dentro de la celda no interfiere en exceso en el comportamiento de la fibra en cuestión para los resultados que se buscan en este proyecto 6 , debido a que en las representaciones que se han mostrado no se aprecian evidencias que puedan demostrar la aparición de daño longitudinal en la interfase de la fibra. Fibra 4 Una vez estudiado el comportamiento de la Fibra 1 aislada, se repetirá el procedimiento, pero en esta ocasión con la Fibra 4. En la Figura 3.71 se muestran las propiedades que se le han otorgado a cada uno de los sólidos que conforman el modelo en ANSYS Workbench. 6 La influencia de otras fibras sí que afecta a las tensiones, solo que no aporta evidencias sobre lo que se está buscando en este caso concreto.
3.3 Efectos producidos al modificar las propiedades de los materiales de estudio 79 Lámina de 0 º Lámina de 90 º Df Df 2a Df aDf Matriz Matriz M M M M F Figura 3.71 Propiedades de cada uno de los sólidos para el Efecto 1 en Fibra 4. En las Figuras 3.72, 3.73 y 3.74 se muestran las tensiones en coordenadas polares para el modelo desarrollado con las modificaciones comentadas. Figura 3.72 σren Fibra 4 y corona de interfase para Efecto 1. Para este modelo se obtienen conclusiones similares a las propuestas para la Fibra 1, aunque en este caso la solución en tensiones radiales es menos simétrica. El valor del nodo superior de la fibra es muy parecido (en el Modelo 2 se tenían 12.144 MPa), por lo que la principal diferencia reside en las zonas de compresión en la parte superior de la fibra, y tracción (esta varía mínimamente con respecto a la Figura 3.24). Con este efecto se puede constatar el hecho de que el comportamiento de las fibras aisladas es muy parecido al de la celda en conjunto para este efecto.
80 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz Figura 3.73 σθen Fibra 4 y corona de interfase para Efecto 1. Figura 3.74 σrθen Fibra 4 y corona de interfase para Efecto 1.
3.3 Efectos producidos al modificar las propiedades de los materiales de estudio 81 3.3.2 Efecto 2: Aislar una única fibra en el Modelo 2 imponiendo propiedades de matriz a la lámina de 90º Tras mostrar los resultados que se han obtenido con la inclusión en el modelo del Efecto 1, se realizará una segunda modificación, que va ligada a la primera. En este caso, partiendo del Modelo 2, se vuelven a establecer las propiedades de matriz en todas las fibras a excepción de la de estudio, como se hizo para el Efecto 1. La novedad en este caso se encuentra en el hecho de que se dotará a la lámina de 90 ◦ de propiedades de matriz. Por ello, se simulará un efecto que provoca que la celda tenga la misma longitud que la lámina al tratarse toda la lámina de 90 ◦ con propiedades de matriz. Esto provocará que el efecto de aislamiento de la fibra se acentúe, debido a que existe una mayor cantidad de matriz en los alrededores de la misma. Por lo tanto, se desarrollarán los resultados que se obtengan en el modelo en el caso de aislar las Fibras 1 y 4 de forma individual, con idea de comparar las tensiones con las obtenidas en el caso base del Modelo 2 y el del Efecto 1. Fibra 1 En primer lugar se desarrollará el estudio para el caso de aislar la Fibra 1. En la Figura 3.75 se pueden observar las propiedades de cada uno de los sólidos que conforman el modelo estudio definidas en colores. La única diferencia con respecto a las mostradas en la Figura 3.67 es el cambio producido en las propiedades de la capa de 90◦, que ahora jugará el papel de matriz. Lámina de 0 º Df Df 2a Df aDf Matriz Matriz M M M M F Matriz Figura 3.75 Propiedades de cada uno de los sólidos para el Efecto 2 en Fibra 1. En las Figuras 3.76, 3.77 y 3.78 se observan los valores de las tensiones en coordenadas polares, mostrándose las tensiones radiales, circunferenciales y las tangenciales respectivamente. En este caso, se observa cómo los valores de las tensiones presentan algunas diferencias con respecto a los casos anteriores. En cuanto a las tensiones radiales (ver Figura 3.76), puede apreciarse cómo el valor máximo se ha incrementado, aunque no en exceso, con respecto al mostrado en la Figura 3.68 del Efecto 1. En este caso se obtiene un valor que se acerca a los 40 MPa. La principal diferencia se encuentra en el valor de σr mostrado en la Figura 3.76, puesto que en este caso se obtiene una tensión negativa en esa zona de la fibra. Este hecho es debido a la gran cantidad de fibra que presenta el modelo.
82 Capítulo 3. Comportamiento a nivel micromecánico. Inclusión de modelo de fibra-matriz Figura 3.76 σren Fibra 1 y corona de interfase para Efecto 2. En las Figuras 3.77 y 3.78 se observan las tensiones circunferenciales y tangenciales respectivamente. Figura 3.77 σθen Fibra 1 y corona de interfase para Efecto 2.
3.3 Efectos producidos al modificar las propiedades de los materiales de estudio 83 Figura 3.78 σrθen Fibra 1 y corona de interfase para Efecto 2. Fibra 4 A continuación, se repetirá el procedimiento, pero esta vez para aislar la Fibra 4. En la Figura 3.79 se muestran las propiedades asignadas a cada sólido en el modelo. Lámina de 0 º Df Df 2a Df aDf Matriz Matriz M M M M F Matriz Figura 3.79 Propiedades de cada uno de los sólidos para el Efecto 2 en Fibra 4. En las Figuras 3.80, 3.81 y 3.82 se representan los mapas de tensiones en coordenadas polares con el sistema de referencia centrado en la Fibra 4.
90 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz Df 2a a q q Figura 4.1 Detalle de la grieta transversal (en rojo) para un ángulo genérico. 4.1 Desarrollo del Modelo 5. Para la obtención de los resultados se empleará un nuevo modelo de laminado. Este se referenciará como Modelo 5. La geometría de dicho modelo es exactamente igual a la del Modelo 2 presentado en el capítulo anterior (ver Figuras 3.3, 3.4 y 3.5). La única modificación que se desarrollará en este caso será la división de la circunferencia de la Fibra 4 en dos arcos de circunferencia, mostrados en rojo en la Figura 4.1, tomando θcomo el valor del ángulo que se pretenda estudiar. Para realizar este procedimiento, se ha hecho uso del comando Split Edges en el módulo de Geometry (ver Figura 4.2). Esto permite una gran versatilidad para a la hora de recrear las grietas, debido a que resulta sencillo poder cambiar el ángulo del corte de la circunferencia y así poder definir un despegue distinto, en función del ángulo deseado. Figura 4.2 División de la circunferencia de la Fibra 4 en Modelo 5. Una vez conformada la geometría, se pasará a definir la malla de este modelo. En este caso, la malla presenta la misma estructura que la del Modelo 2 mostrada en las Figuras 3.6, 3.7, 3.8 y 3.9. La principal diferencia en este caso es que se ha realizado un refinamiento de la zona de la interfase, con idea de modelar de una forma más precisa la interfase. Por ello, se ha creado una malla más fina que presenta dos elementos por cada grado (ver Figuras 4.3 y 4.4). De esta manera, se ha incrementado por cuatro el número de elementos por cada grado (anteriormente se tenía un elemento cada dos grados).
4.1 Desarrollo del Modelo 5. 91 Figura 4.3 Detalle de la malla de la Fibra 4 en el Modelo 5 en ANSYS Workbench. Figura 4.4 Detalle de la malla de la interfase de la Fibra 4 en el Modelo 5 en ANSYS Workbench. Por lo tanto, se puede comprobar que la malla obtenida resulta estable y bastante consistente, lo que aportará fiabilidad a los resultados obtenidos. Se muestran a continuación en la Tabla 4.1 las propiedades de la malla conseguida para este modelo, con independencia de la longitud de grieta. Es importante destacar además que el número de elementos es algo menor al de la malla del Modelo 2, como puede verse en la Tabla 3.1, debido a que se ha aumentado el tamaño de algunos elementos alejados de la zona de estudio, puesto que no resultarán relevantes en los resultados. Tabla 4.1 Parámetros de la malla estudiada en el Modelo 5. Malla Modelo 5 Nodos 44310 Elementos 43503
92 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz 4.2 Modelado de una grieta en ANSYS Workbench Antes de exponer el desarrollo matemático necesario para poder obtener el trabajo asociado a la generación de una grieta, se desarrollarán los pasos que se han seguido para realizar un correcto modelado de la grieta en el módulo de mallado del software. En primer lugar, es necesario definir el contacto existente entre las aristas de la zona de la grieta en cuestión. Para ello, se emplea el tipo de contacto Frictionless. Esta configuración modela el contacto unilateral estándar, es decir, la presión normal es igual a cero si se produce la separación. Por lo tanto, en el modelo pueden formarse huecos entre los cuerpos en función de la carga que se tenga. Esta solución no es lineal porque el área de contacto puede cambiar a medida que se aplica la carga. Se supone un coeficiente de fricción nulo, lo que permite el deslizamiento libre. En la Figura 4.5 se expone una explicación gráfica sobre las condiciones del contacto sin fricción. Figura 4.5 Explicación gráfica del contacto sin fricción [MECHEAD, 2022]. Por lo tanto, se ha realizado el modelado en ANSYS Workbench escogiendo las aristas de cada superficie, como puede verse en la Figura 4.6, donde se tiene que el cuerpo definido como Contact se corresponde con la fibra, mientras que el Target es la matriz. Figura 4.6 Modelado del contacto en ANSYS Workbench.
4.3 Método empleado para el cálculo del trabajo asociado a la generación de la grieta 93 Otro aspecto importante a tener en cuenta a la hora de modelar la grieta son las opciones de análisis. Para estudiar una separación de la grieta, es necesario establecer el Largue Deflections. Esto produce que en el modelo puedan producirse grandes desplazamientos, lo cual permite la resolución de situaciones no lineales, como es la apertura de una grieta. Además de ello, con el objetivo de obtener una solución más precisa, se modificará el número de etapas en las que se resolverá el modelo. Mientras que en los modelos anteriores este valor no había sido modificado dado el carácter lineal del problema, en este caso sí que es necesario aumentarlo (por defecto aparece como resolución en un paso) hasta unos 5 o 10 pasos, en función de la complejidad de la malla y del problema que se esté estudiando. 4.3 Método empleado para el cálculo del trabajo asociado a la generación de la grieta Como se ha comentado al principio de este capítulo, el objetivo final será obtener el trabajo asociado a la generación de un despegue de forma explosiva que permita conseguir una estimación de la tenacidad a fractura GC . En esta sección se desarrollará un método aproximado que permite la obtención de estos valores. En primer lugar, antes de comenzar con el desarrollo de este método, se va a definir la deformación que se aplicará al modelo de estudio con idea de simular el desplazamiento que ha experimentado el laminado cuando aparece el primer despegue durante un ensayo de tracción uniaxial. Para ello, se ha realizado una estimación en base a observaciones experimentales llevadas a cabo en trabajos previos realizados por el Grupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales de la Universidad de Sevilla. Se ha observado que la deformación a la que aparece este daño es del de ε0=0.005 , por lo que es posible obtener el desplazamiento a aplicar en los extremos del laminado como condición de contorno (ver Ecuación 4.1). ε0=∆L L=0.005 (4.1) Sabiendo que el valor de la longitud del laminado de estudio (se referirá a la mitad del laminado representada por la simetría) es de 5 mm, se llega a que: ∆L=25µm Por lo que este será el valor del desplazamiento que habrá que aplicar en el extremo del laminado para poder simular la aparición de la grieta en base a las observaciones en el laboratorio. Una vez establecido ese valor, se va a establecer el método que se seguirá para la obtención de los valores de trabajo y energía de la grieta. La forma de proceder será crear dos modelos distintos para el cálculo: • Modelo sin grieta: Se trata de un modelo en el cual no existe la grieta, por lo que el contacto entre las dos aristas mencionado en la Figura 4.6 debe estar establecido como Bounded. Con este modelo se calcularán a lo largo de toda la línea la distribución de las tensiones radiales ( σr ) y tangenciales ( σrθ ). • Modelo con grieta: Se define una grieta que se extiende a lo largo de todo el arco circular. La malla de este modelo debe ser idéntica al del anterior, con idea de poder emplear los mismos nodos que en el caso anterior para calcular la distribución de los desplazamientos relativos normales ( ∆ur ) y tangenciales (∆uθ) entre ambas caras de la grieta. En la Figura 4.7 puede verse una representación de la forma en la que se definirán los valores de los desplazamientos relativos en dirección radial. Los mismos se definirán como positivos, por lo que
94 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz se tomarán como la diferencia entre los valores de la matriz y los de la fibra, para que pueden ser definidos como mayor que cero. q q Dur Figura 4.7 Incremento de desplazamiento en dirección radial. Una vez que se hayan resuelto los dos modelos, es posible calcular el trabajo total (W) mediante la Ecuación 4.2: W=ZS 0 1 2(σr∆ur+σrθ∆uθ)ds (4.2) siendo S la longitud total de la grieta 2 . Como sabemos que hay N nodos, o sea N-1 elementos, esta integral se podría aproximar mediante la Ecuación 4.3. W= N ∑ 1 1 2 (wi+1+wi) 2bi(4.3) siendo bi es el tamaño del elemento que une los nodos i+1 e i, y el trabajo de cada nodo es de wi=σr∆ur en caso de obtener valores para la grieta en Modo I por ejemplo. El procedimiento a realizar es el mismo si se trata el estudio en Modo II, siendo wi=σrθ∆uθen ese caso. En el estudio que se va a realizar, se tendrá siempre que el tamaño de todos los elementos es el mismo, por lo que en la expresión anterior el término bipodría salir fuera del sumatorio. Una vez definido el valor del trabajo generado por la grieta, es posible obtener el valor de la tenacidad a fractura (GC) con la Ecuación 4.4: W=GCS−→ GC=W S(4.4) Esta propiedad será la que se empleará para comparar cada una de las grietas y a partir de la cual se obtendrán las conclusiones más importantes de este apartado. Por lo tanto, una vez establecido el modelo es posible comenzar con la resolución del mismo para diferentes longitudes de grieta. La manera de proceder será extraer la información de tensiones y desplazamientos de cada caso en un archivo de Excel, donde se organizarán los resultados obtenidos para cada nodo con idea de facilitar el tratamiento de los mismos y poder conseguir el valor de GC. Previo a comenzar con el estudio, se van a definir los posibles modos de fractura de un cuerpo que posea una grieta (ver Figura 4.8): 2 Al tratarse la fibra de una circunferencia, se tiene que la longitud total de la grieta vendrá dada por S=2πRfb Sgrieta 360 , donde b Sgrieta es el ángulo total de apertura de la grieta en grados.
4.4 Estudio de despegues transversales 95 • Modo I: Apertura. Se produce un esfuerzo tensional perpendicular a la grieta. Se trata del modo de fractura más importante. • Modo II: Cizallamiento. Esfuerzos tangenciales actúan paralelos a las caras en la grieta pero en direcciones opuestas. • Modo III: Desgarramiento. Esfuerzos tangenciales que actúan paralelos pero perpendiculares a la cara de la placa y opuestos entre sí. Figura 4.8 Modos de fractura de una grieta. En este proyecto se tendrán en cuenta tanto el Modo I como el Modo II, al tratarse de un estudio bidimensional. Debido a que la apertura de la grieta será tratada de forma explosiva, los resultados de tenacidad a fractura que se basarán en el Modo I. 4.4 Estudio de despegues transversales Una vez definidos tanto el modelo como el método de resolución que se va a llevar a cabo, se va a comenzar con el estudio de las grietas. En todos los casos de grietas estudiadas se incluirán los resultados teniendo en cuenta la solicitación mecánica exterior, además de la inclusión o no del decremento térmico provocado por el curado, el cual volverá a ser de 100◦C. Se mostrarán los resultados obtenidos para grietas de diferente longitud, con el objetivo final de obtener el valor de GC de la grieta en distintas situaciones y estudiar la variabilidad del resultado. Tal y como se ha comentado con anterioridad, este estudio se desarrollará desde un enfoque energético, teniendo en cuenta que la grieta se genera de forma explosiva. De esta manera, siguiendo el procedimiento descrito en la sección anterior, se realizará una estimación de la tenacidad a la fractura del material en base a un balance de energía. Para ello, se seguirá en todos los casos un procedimiento similar, trabajando principalmente con el programa de cálculo Excel, para así poder manejar los valores de tensiones exportados del modelo principal. La finalidad es realizar un barrido en el que se incluyan grietas de diferentes longitudes, desde 20 ◦ hasta 90 ◦ , aumentando 10◦en cada caso, además de incorporar algún caso que presente una única fibra. Puesto que el valor de las tensiones radiales y tangenciales se obtendrá de un modelo sin grieta, estas serán independientes de la longitud de la grieta que se modele. A continuación se mostrarán, por tanto, los mapas de tensiones en coordenadas polares que se han obtenido para la Fibra 4 y su anillo de matriz en presencia o ausencia de efecto térmico.
96 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz Caso Sin Temperatura En primer lugar, se van a mostrar tanto las tensiones radiales (ver Figura 4.9) como las tangenciales (ver Figura 4.10) cuando solo se aplica la carga mecánica, sin decremento térmico. Figura 4.9 σren Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 5 sin decremento térmico. Figura 4.10 σrθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 5 sin decremento térmico.
4.4 Estudio de despegues transversales 97 Caso Con Temperatura Se muestran los resultados de las tensiones radiales (ver Figura 4.11) y tangenciales (ver Figura 4.12) en el caso de incluir el decremento térmico. Figura 4.11 σren Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 5 con decremento térmico. Figura 4.12 σrθen Fibra 4 y corona de interfase para Modelo 5 con decremento térmico.
98 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz Se observan diferencias apreciables entre ambos casos, sobre todo para las tensiones radiales, que son las que influyen en el Modo I de fractura. Es constatable en la Figura 4.9 que el máximo en la zona izquierda de la fibra, en la que se centra la grieta, no se encuentra en la zona central, sino que se ubica en un ángulo de aproximadamente 20 ◦ . En cuanto al caso en el que se incluye la temperatura, sí que se observa una distribución mucho más uniforme de las tensiones radiales en el entorno de una posible grieta. Las tensiones tangenciales, mostradas en la Figura 4.10 y 4.12 para los casos sin y con decremento térmico respectivamente, siguen una tendencia similar en la fibra, con la diferencia de que en el caso en el que se tiene en cuenta la temperatura los valores son mayores en términos absolutos. 4.4.1 Grieta de 70◦ El primer modelo desarrollado es el de una grieta de 70 ◦ . Cabe recordar que, aunque la grieta se denote con un ángulo determinado, este está referido a una única mitad de la misma, por lo que en este caso la grieta total con la que se va a trabajar es de 140 ◦ . Se trata del primer despegue estudiado ya que en trabajos previos se predice como la longitud máxima que alcanzará el despegue en la interfase fibra-matriz, por lo que se tomará como referencia. Dentro de este apartado se estudiarán diferentes opciones de la grieta de 70 ◦ . En primer lugar se mostrarán los resultados obtenidos para el modelo básico de 70 ◦ para obtener una referencia del valor de GC . A continuación se refinará la malla realizada, con idea de comprobar si el número de elementos expuesto en el primer caso se considera adecuado. Finalmente, se modelará un caso especial en el que se tendrá un grieta de 70 ◦ pero en un modelo de fibra única, para de esta manera observar el efecto cuando la fibra se encuentra aislada. Todo ello se realizará teniendo en tanto en el modelo que incluye la temperatura como en el que no lo hace. Se comenzará en primer lugar con el modelo base de la grieta de 70 ◦ , en el cual se obtendrán los valores de Wpara Modo I y Modo II. Figura 4.13 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 70◦sin decremento térmico. Antes de exponer los resultados, puede resultar de interés explicar la metodología empleada para tratar los datos numéricos extraídos del modelo. Como se comentó con anterioridad, es necesario obtener el valor de las tensiones en los nodos que conforman el despegue antes de que éste aparezca. Para ello, se han
4.4 Estudio de despegues transversales 99 exportado las tensiones en los nodos de la curva que conforma la grieta. Este proceso se repite con los desplazamientos, dividiéndolos en este caso en dos columnas, una de matriz y otra de fibra, con idea de obtener los desplazamientos relativos. Finalmente, se han tratado los resultados hasta obtener el valor de W , haciendo uso de la Ecuación 4.3, y posteriormente de la Ecuación 4.4 para obtener GC. Caso Sin Temperatura Comenzando con el caso en el que no se incluye el decremento térmico, se muestran los desplazamientos radiales (ver Figuras 4.13 y 4.14) y circunferenciales (ver Figura 4.15) obtenidos cuando se abre la grieta. Figura 4.14 Detalles de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 70◦sin decremento térmico. Figura 4.15 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 70◦sin decremento térmico. En la Figura 4.13 se observa con claridad cómo se abre la grieta (la escala está en verdadera magnitud). Comentar que a lo largo de toda la grieta, los valores de los desplazamientos radiales en la matriz son mayores que los de la fibra, como cabía esperar, de manera que el valor de ∆ur se construirá como
106 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz Además, los desplazamientos experimentados siguen una tendencia muy similar a los mostrados para el caso base, de manera que es posible obtener el valor de W. Tabla 4.5 Valores de Wpara la grieta de 70◦con fibra única. Grieta de 70◦ ◦ ◦con fibra única Sin Temperatura Con Temperatura W W WI I I(J/m) 7.8683e-06 1.9569e-05 W W WI I II I I(J/m) 2.6333e-06 4.5403e-06 W W W(J/m) 1.0502e-05 2.4109e-05 En la Tabla 4.5 se muestran los resultados de W obtenidos para fibra única. Es destacable el hecho de que los resultados obtenidos son superiores a los de la Tabla 4.2. Finalmente, en la Tabla 4.6 se muestran los valores de GC , los cuales son superiores a los del caso base, por lo que se pone de manifiesto el hecho de que el valor GC es superior cuando se estudia una única fibra aislada. Tabla 4.6 Valores de GCpara la grieta de 70◦con fibra única. Grieta de 70◦ ◦ ◦con fibra única Sin Temperatura Con Temperatura G G GI I IC C C(J/m2 2 2)0.8587 2.1356 G G GC C C(J/m2 2 2)1.1461 2.6312 4.4.4 Grieta de 20◦ Como se observó en la Figura 4.18, resulta interesante estudiar una grieta de 20 ◦ , debido a que es en este caso en el cual se obtiene el valor máximo de tensiones para el modelo en el que no se aplica el decremento térmico. Por lo tanto, resulta de interés resolver este caso para poder obtener algunas conclusiones interesantes sobre el estudio del comportamiento de la tenacidad a fractura de la interfase fibra-matriz. Caso Sin Temperatura En primer lugar, en las Figuras 4.25 y 4.26 se muestran los valores de los desplazamientos radiales y circunferenciales respectivamente. Mediante los mismos, y haciendo uso de las Ecuaciones 4.3 y 4.4, es posible obtener en primer lugar el valor del trabajo W , y finalmente el de la tenacidad a fractura del material GC . Se observa cómo se abre la grieta, aunque en este caso la apertura es mucho menos notoria que con la grieta de 70 ◦ , como era de esperar. Por lo tanto, la diferencia en los desplazamientos se verá reflejada en el cálculo final de G. En el caso de los desplazamientos en dirección circunferencial (ver Figura 4.26), se observa cómo la diferencia es aún menor que en el caso de los desplazamientos radiales. Este hecho se debe entre otros motivos a que en este caso no se tiene contacto entre las caras de la grieta, hecho que en el caso de la grieta de 70 ◦ , aunque muy levemente, sí que ocurría. Por lo tanto, el valor de WII será muy pequeño en principio, hasta el punto de poder despreciarlo. En este estudio se ha decidido obtenerlo siguiendo el método descrito anteriormente.
4.4 Estudio de despegues transversales 107 Figura 4.25 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 20◦sin decremento térmico. Figura 4.26 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 20◦sin decremento térmico. Caso Con Temperatura En las Figuras 4.27 y 4.28 se muestran los valores de los desplazamientos radiales y circunferenciales respectivamente, en el caso en el que se tiene en cuenta el decremento térmico.
108 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz Figura 4.27 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 20◦con decremento térmico. Figura 4.28 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 20◦con decremento térmico. En este caso, las conclusiones que se pueden extraer para los desplazamientos son las mismas que en el modelo sin temperatura.
4.4 Estudio de despegues transversales 109 De esta manera, una vez se realizan los cálculos con los valores de las tensiones y los desplazamientos en los nodos, se muestra el valor obtenido para el trabajo total Wen la Tabla 4.7. Tabla 4.7 Valores de Wpara la grieta de 20◦. Grieta de 20◦ ◦ ◦ Sin Temperatura Con Temperatura W W WI I I(J/m) 1.0742e-06 2.5364e-06 W W WI I II I I(J/m) 2.2135e-08 6.3697e-08 W W W(J/m) 1.0963e-06 2.6001e-06 Los resultados mostrados en la Tabla 4.8 demuestran las hipótesis que se tenían en cuanto a los valores de WII , los cuales podrían haberse considerado despreciables, puesto que en ningún caso alcanzan un valor lo suficientemente significativo como para tenerlos en cuenta (dos órdenes de magnitud inferiores). Físicamente, se explica esta ausencia de aportación del Modo II debido a que al tener una grieta de poca longitud, toda la apertura de la misma es debida casi exclusivamente al Modo I. A continuación, se muestran en la Tabla 4.8 se observan los valores de GC. Puede verse cómo la GCes muy inferior con respecto a los de la grieta de 70◦. Tabla 4.8 Valores de GCpara la grieta de 20◦. Grieta de 20◦ ◦ ◦ Sin Temperatura Con Temperatura G G GI I IC C C(J/m2 2 2)0.4103 0.9688 G G GC C C(J/m2 2 2)0.4188 0.9932 Se incluye también una distribución de las tensiones radiales en cada caso (ver Figuras 4.29 y 4.30), que resultan ser prácticamente constantes, como se observó. Figura 4.29 Distribución de σr con respecto al ángulo de despegue en grieta de 20 ◦ en el caso sin temperatura.
110 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz Figura 4.30 Distribución de σr con respecto al ángulo de despegue en grieta de 20 ◦ en el caso con temperatura. En la Figuras 4.29 y 4.30 se observa la distribución de las tensiones radiales en función del ángulo de despegue. Es notoria la falta de simetría en el modelo, debido al efecto de otras fibras, aunque los valores de las tensiones permanecen muy estables en cada caso en el rango de estudio. 4.4.5 Grieta de 30◦ Caso Sin Temperatura Comenzando con el caso en el que no se incluye el decremento térmico para la grieta de 30 ◦ , se tiene que los desplazamientos obtenidos cuando se abre la grieta se observan en las Figuras 4.31 y 4.32. Figura 4.31 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 30◦sin decremento térmico.
4.4 Estudio de despegues transversales 111 Figura 4.32 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 30◦sin decremento térmico. Las conclusiones obtenidas para este modelo guardan bastante similitud con las de 20 ◦ , al tratarse ambas de grietas de no muy elevado tamaño. Caso Con Temperatura Figura 4.33 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 30◦con decremento térmico.
112 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz Figura 4.34 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 30◦con decremento térmico. En las Figuras 4.33 y 4.34 se representan los valores de los desplazamientos radiales y circunferenciales respectivamente. En este caso, las conclusiones que se pueden extraer para los desplazamientos son las mismas que en el modelo sin temperatura. Una vez se han realizado los cálculos con los valores de las tensiones y los desplazamientos en los nodos, se muestra el valor obtenido para Wen la Tabla 4.9 y de GCen la Tabla 4.10. Tabla 4.9 Valores de W para la grieta de 30◦. Grieta de 30◦ ◦ ◦ Sin Temperatura Con Temperatura W W WI I I(J/m) 2.2062e-06 4.9752e-06 W W WI I II I I(J/m) 1.0547e-07 2.3214e-07 W W W(J/m) 2.3117e-06 5.2073e-06 Tabla 4.10 Valores de GCpara la grieta de 30◦. Grieta de 30◦ ◦ ◦ Sin Temperatura Con Temperatura G G GI I IC C C(J/m2 2 2)0.5618 1.2669 G G GC C C(J/m2 2 2)0.5887 1.3260
4.4 Estudio de despegues transversales 113 Los resultados mostrados en la Tabla 4.9 muestran un valor bajo de WII , puesto que el principal componente de la apertura de esta grieta se debe al Modo I. Se incluye también la distribución de las tensiones radiales en las Figuras 4.35 y 4.36. Figura 4.35 Distribución de σr con respecto al ángulo de despegue en grieta de 30 ◦ en el caso sin temperatura. Figura 4.36 Distribución de σr con respecto al ángulo de despegue en grieta de 30 ◦ en el caso con temperatura. 4.4.6 Grieta de 40◦ Continuando con el estudio, se desarrollará ahora el caso de 40 ◦ . De nuevo, se presentarán los resultados con y sin el efecto del decremento térmico. Caso Sin Temperatura En las Figuras 4.37 y 4.38 se muestran los valores de los desplazamientos radiales en la fibra y la corona de interfase teniendo en cuenta únicamente la solicitación mecánica exterior.
114 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz Figura 4.37 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 40◦sin decremento térmico. Figura 4.38 Detalles de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 40◦sin decremento térmico. En este caso, se aprecia cómo la apertura es menor que en el caso de la grieta de 70 ◦ , como era de esperar. En esta circunstancia, a diferencia de la grieta anterior, sí que existe una mayor diferencia en el valor de los desplazamientos, la cual puede observarse en el tono de colores indicado en las Figuras 4.37 y 4.38. En la Figura 4.39 se muestran los valores de uθ . Comparando estos resultados con los mostrados en la Figura 4.32, se observa cómo en este caso los desplazamientos relativos en la grieta son mayores.
4.4 Estudio de despegues transversales 115 Figura 4.39 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 40◦sin decremento térmico. Caso Con Temperatura Figura 4.40 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 40◦con decremento térmico.
122 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz Para finalizar con este caso, se incluye la distribución de tensiones radiales con respecto al ángulo de despegue en ambos casos, en las Figuras 4.51 y 4.52. Figura 4.51 Distribución de σr con respecto al ángulo de despegue en grieta de 50 ◦ en el caso sin temperatura. Figura 4.52 Distribución de σr con respecto al ángulo de despegue en grieta de 50 ◦ en el caso con temperatura. 4.4.9 Grieta de 60◦ El siguiente caso a estudiar sería el de la grieta de 60 ◦ , para la cual se muestra la representación de los desplazamientos a continuación. Caso Sin Temperatura Como en casos anteriores, en primer lugar se mostrarán los resultados asociados al caso sin decremento térmico. En las Figuras 4.53 y 4.54 se muestran los valores de los desplazamientos radiales.
4.4 Estudio de despegues transversales 123 Figura 4.53 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 60◦sin decremento térmico. Figura 4.54 Detalles de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 60◦sin decremento térmico. Se observa cómo en este caso existe una mayor diferencia entre los valores de los desplazamientos a ambos lados de la grieta con respecto a las grietas de menor ángulo de despegue. Esta diferencia está representada en los distintos colores empleados en la zona de la grieta. En la Figura 4.55 se muestran los valores asociados a uθsin tener en cuenta el decremento térmico.
124 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz Figura 4.55 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 60◦sin decremento térmico. Caso Con Temperatura Figura 4.56 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 60◦con decremento térmico.
4.4 Estudio de despegues transversales 125 Figura 4.57 Detalles de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 60◦con decremento térmico. Figura 4.58 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 60◦con decremento térmico. En las Figuras 4.56 y 4.57 se muestran los desplazamientos radiales, mientras que en la Figura 4.58 se muestran los circunferenciales. En la Tabla 4.17 se observan los valores de W que se han obtenido para esta grieta. Tabla 4.17 Valores de Wpara la grieta de 60◦. Grieta de 60◦ ◦ ◦ Sin Temperatura Con Temperatura W W WI I I(J/m) 6.1977e-06 1.4220e-05 W W WI I II I I(J/m) 1.3608e-06 2.0911e-06 W W W(J/m) 7.5585e-06 1.6311e-05
126 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz En la Tabla 4.18 se observan los resultados de la tenacidad a fractura tras aplicar la Ecuación 4.4. Tabla 4.18 Valores de GCpara la grieta de 60◦. Grieta de 60◦ ◦ ◦ Sin Temperatura Con Temperatura G G GI I IC C C(J/m2 2 2)0.7891 1.8106 G G GC C C(J/m2 2 2)0.9624 2.0768 Como en casos anteriores, se incluye la distribución de tensiones radiales en las Figuras 4.59 y 4.60. Figura 4.59 Distribución de σr con respecto al ángulo de despegue en grieta de 60 ◦ en el caso sin temperatura. Figura 4.60 Distribución de σr con respecto al ángulo de despegue en grieta de 60 ◦ en el caso con temperatura. Los resultados muestran la tendencia de la curva de tensiones para cada nodo en el modelo que no incluye grieta. Se observa la asimetría de los resultados en el entorno de la grieta, destacando también que se obtienen unas tensiones ligeramente inferiores en la zona superior de la grieta (ángulo positivo) en comparación con su correspondiente ángulo negativo. Al igual que en la zona central de la misma la simetría no era muy notoria, a medida que la grieta se hace más grande se observa como la misma va adoptando un carácter más simétrico.
4.4 Estudio de despegues transversales 127 4.4.10 Grieta de 80◦ A continuación se detallarán los resultados asociados a la grieta de 80 ◦ . A priori, en este caso jugará un papel más importante la aportación del término del Modo II al cálculo de la W. Caso Sin Temperatura En primer lugar, se muestran los valores asociados a los desplazamientos en el caso en el que no se tiene en cuenta el efecto térmico. En las Figuras 4.61 y 4.62 se observan los desplazamientos radiales, mientras que en la Figura 4.63 se hace lo mismo con los circunferenciales. Figura 4.61 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 80◦sin decremento térmico. Figura 4.62 Detalles de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 80◦sin decremento térmico.
128 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz Figura 4.63 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 80◦sin decremento térmico. Caso Con Temperatura En las Figuras 4.64, 4.65 y 4.66 se muestran los desplazamientos en el caso de incluir el efecto del decremento térmico. Figura 4.64 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 80◦con decremento térmico.
4.4 Estudio de despegues transversales 129 Figura 4.65 Detalles de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 80◦con decremento térmico. Figura 4.66 Valores de uθpara fibra y matriz de la grieta de 80◦con decremento térmico. En la Tabla 4.19 pueden verse los valores obtenidos para Wen este caso. Tabla 4.19 Valores de Wpara la grieta de 80◦. Grieta de 80◦ ◦ ◦ Sin Temperatura Con Temperatura W W WI I I(J/m) 8.0076e-06 1.9145e-05 W W WI I II I I(J/m) 2.8336e-06 4.6788e-06 W W W(J/m) 1.0841e-05 2.3824e-05
130 Capítulo 4. Estudio de despegues transversales en la interfase fibra-matriz En la Tabla 4.20 se observan los valores obtenidos para la tenacidad a fractura obtenidos para esta grieta. Tabla 4.20 Valores de GCpara la grieta de 80◦. Grieta de 80◦ ◦ ◦ Sin Temperatura Con Temperatura G G GI I IC C C(J/m2 2 2)0.7647 1.8282 G G GC C C(J/m2 2 2)1.0353 2.2750 Finalmente, se incluye la distribución de tensiones radiales para ambas situaciones en las Figuras 4.67 y 4.68, para el caso sin y con temperatura respectivamente. Figura 4.67 Distribución de σr con respecto al ángulo de despegue en grieta de 80 ◦ en el caso sin temperatura. Figura 4.68 Distribución de σr con respecto al ángulo de despegue en grieta de 80 ◦ en el caso con temperatura. 4.4.11 Grieta de 90◦ Por último, se estudiará un caso de grieta límite, con una longitud de grieta mayor que los casos anteriores.
4.4 Estudio de despegues transversales 131 A priori, es posible que para una grieta tan grande exista un tramo no despreciable de contacto, por lo que en este caso tomará una importancia más relevante el valor de WII , el cual ya no podría ser excluido de la solución 4 . De esta manera, se mostrarán a continuación los modelos sin y con temperatura que se han estudiado. Caso Sin Temperatura Figura 4.69 Valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 90◦sin decremento térmico. Figura 4.70 Detalle de valores de urpara fibra y matriz de la grieta de 90◦sin decremento térmico. Observando los resultados relativos a los desplazamientos radiales (ver Figuras 4.69 y 4.70) y circunferenciales (ver Figura 4.71), se observa que en este caso la grieta se abre de una manera similar a lo que lo hacía para el caso de 70 ◦ . Se aprecia con claridad como la misma no se extiende hasta la totalidad de los 90 ◦ , 4 Como se comentó anteriormente en este capítulo, los valores de WII para las grietas de menor longitud podrían haberse pasado por alto al cumplirse que WI>> WII. Sin embargo, se optó por incluirlo con idea de estudiar un modelo más completo.