Superficies de Riemann

Superficies de Riemann Jose Alberto Ruiz Alba Superficies de Riemann Jose Alberto Ruiz Alba Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Prof. Tutor Alberto Castaño Domínguez i Resumen El objetivo principal de este trabajo es tratar los conocimientos fundamentales sobre superficies de Riemann así como enunciar, demostrar y comprender el teorema de Riemann-Roch para curvas proyectivas planas lisas. Para ello se definen y trabajan los conceptos necesarios, empezando con las superficies de Riemann y las aplicaciones entre estas. Más adelante se realiza un breve estudio sobre formas diferenciales y se concluye con los conceptos fundamentales sobre divisores, lo que nos permite cerrar este proyecto con una corta prueba de dicho teorema. English Abstract The main goal of this work is to address the foundations of Riemann surfaces as well as to state, prove and understand the Riemann-Roch theorem for smooth projective plane curves. To achieve this, the necessary concepts are defined and studied, starting with Riemann surfaces and the maps between them. Later on, a brief study on differential forms is conducted and we conclude with the essential concepts on divisors, which allows us to close this project with a short proof of the mentioned theorem. Índice general 1. Generalidades 3 1.1. Cartascomplejas.............................. 3 1.2. Primerosejemplos............................. 6 2. Funciones y aplicaciones 13 2.1. Funciones en superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Ejemplos de funciones meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Holomorfismos .............................. 26 2.4. Propiedades globales de los holomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. 1-formas diferenciales 41 3.1. Conceptosbásicos............................. 41 3.2. Operaciones con 1-formas ........................ 44 3.3. Integración y el teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4. Divisores 51 4.1. Generalidades ............................... 51 4.2. Equivalencia lineal de divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 iv superficies de riemann 4.3. Espacios de funciones y formas asociadas a los divisores . . . . . . . 61 5. El teorema de Riemann-Roch 67 5.1. Resultadosprevios............................. 67 5.2. Prueba del teorema y algunas consecuencias . . . . . . . . . . . . . . 71 A. Apéndice 75 Introducción A lo largo de la historia se han producido varios enfoques a la teoría de superficies de Riemann. En este proyecto seguiremos el camino dibujado por Riemann. Él marcó las pautas de lo que hoy conocemos como las superficies que llevan su nombre. Otra postura a destacar es la de Gauss que trató el tema desde las variedades reales de dimensión 2. Más información sobre la historia detrás de las superficies de Riemann puede ser encontrada en [Yin05] o en [Sti20]. Comenzamos siguiendo las notas de Rick Miranda en su libro Algebraic Curves and Riemann Surfaces. En el capítulo uno nos presenta el concepto de atlas complejo, que no deja de ser una reunión de cartas con alguna condición especial, y gracias a esto define las superficies de Riemann como 1-variedades complejas conexas. Estas mismas líneas hemos seguido nosotros también en el primer capítulo. Una vez definidas las superficies de Riemann podemos considerar las aplicaciones entre ellas, prestando especial interés a las aplicaciones holomorfas, u holomorfismos, pero para ello debemos definir anteriormente las funciones de estas superficies en el plano complejo. Todo esto lo tratamos en el capítulo dos, inspirado en [Mir95, Cap. II]. El tercer capítulo es una breve introducción a las formas diferenciales. En él definimos los conceptos de 1-formas holomorfas y meromorfas así como ciertas operaciones que podemos realizar con ellas, siendo la más importante la integración. Por desgracia no es el objetivo de este trabajo definir todos los rudimentos necesarios para integrar en superficies de Riemann, aún así enunciaremos los conceptos fundamentales. Para más información consultar [Mir95, Cap. IV]. El siguiente capitulo sigue la teoría presentada en [Mir95, cap. V]. Tratamos el concepto de divisores; estos son una forma de organizar y estudiar los ceros de una función meromorfa. Esta inocente idea resulta tener una gran cantidad de sorpren- 8superficies de riemann Curvas lisas afines Nuestro objetivo es identificar un subconjunto 𝑋 ⊂ ℂ2que globalmente no tiene por qué ser un grafo, pero localmente sí. La forma más natural de hacerlo es definir 𝑋como el lugar de los ceros de un polinomio en dos variables, 𝑓(𝑧, 𝑤). Para ello el polinomio debe satisfacer el siguiente teorema: Teorema 1.2.1 (Teorema de la función implícita). Sea 𝑓(𝑧, 𝑤) ∈ ℂ[𝑧, 𝑤]un polinomio y sea 𝑋= {(𝑧, 𝑤) ∈ ℂ2|𝑓(𝑧, 𝑤) = 0} el lugar de sus ceros. Sea 𝑝= (𝑧0, 𝑤0)un punto de 𝑋, es decir, 𝑝es una raíz de 𝑓. Supongamos que 𝜕𝑓 𝜕𝑤 (𝑝)≠0. Entonces existe una función 𝑔(𝑧)holomorfa en un entorno abierto de 𝑧0tal que, cerca de 𝑝,𝑋es el grafo 𝑤=𝑔(𝑧). Más aún, 𝑔′= −𝜕𝑓 𝜕𝑧 ∕𝜕𝑓 𝜕𝑤 cerca de 𝑧0. Definición 1.2.2. Una curva afín plana es el lugar de los ceros en ℂ2de un polinomio 𝑓(𝑧, 𝑤). Un polinomio 𝑓(𝑧, 𝑤)es liso en una raíz 𝑝∈ℂ2si alguna de sus derivadas parciales es distinta de 0 en 𝑝(si ambas son 0 decimos que 𝑝es singular). La curva plana afín 𝑋de las raíces del polinomio 𝑓se dice lisa en 𝑝si 𝑓es liso en 𝑝 y decimos que la curva 𝑋es lisa si lo es en todos sus puntos. Proposición 1.2.3.Sea 𝑋la curva afín plana lisa definida por el polinomio 𝑓(𝑧, 𝑤). Entonces 𝑋tiene un atlas complejo, es segundo numerable y Hausdorff. Demostración. Primero definamos las cartas. Gracias a que 𝑋es lisa, para todo punto 𝑝∈𝑋alguna de sus parciales será no nula. Supongamos que 𝑝= (𝑧0, 𝑤0) ∈ 𝑋y que 𝜕𝑓∕𝜕𝑤(𝑝)≠0. Por el teorema de la función implícita encontramos una función holomorfa 𝑔𝑝(𝑧)tal que en un entorno 𝑈de 𝑝,𝑋es el grafo de 𝑤=𝑔𝑝(𝑧)y por lo tanto la proyección en 𝑧,𝜋𝑧∶𝑈→ℂ, es un homeomorfismo de 𝑈en su imagen 𝑉, la cual es un abierto de ℂ. Este desarrollo es análogo si 𝜕𝑓∕𝜕𝑧(𝑝)≠0, en ambos casos obtenemos una carta de 𝑋para todo 𝑝∈𝑋. Comprobemos que las cartas anteriores formen un atlas de 𝑋. Solo falta comprobar que son cartas compatibles. Supongamos primero que ambas cartas se obtienen usando la misma proyección 𝜋𝑧o𝜋𝑤. Si la intersección de ambos abiertos es no vacía la composición resultante al hacer el cambio de coordenadas es la identidad, que es una función holomorfa. Supongamos ahora que cada carta usa una proyección distinta. Sea 𝑈la intersección de los dominios y sea 𝑝= (𝑧0, 𝑤0)un punto suyo. Podemos asumir que, cerca de 𝑝,𝑋es localmente de la forma 𝑤=𝑔(𝑧)para cierta función holomorfa 𝑔. Así, en 𝜋𝑧(𝑈)cerca de 𝑧0, la inversa de 𝜋𝑧envía 𝑧en (𝑧, 𝑔(𝑧)), luego la composición 𝜋𝑤◦𝜋−1 𝑧envía 𝑧a𝑔(𝑧), la cual es holomorfa. Hemos probado que las cartas son compatibles y claramente recubren 𝑋, luego forman un atlas. 𝑋es segundo numerable y Hausdorff como subespacio de ℂ2. 1. generalidades 9 Observación 1.2.4.Si 𝑋fuera conexa sería una superficie de Riemann. Desafortunadamente, 𝑋no es necesariamente conexa, por ejemplo tomemos el siguiente polinomio 𝑓(𝑧, 𝑤)=(𝑧+𝑤)(𝑧+𝑤+ 1). Este define una curva plana afín 𝑋que es la unión de dos rectas complejas que no se cortan, cada recta es una superficie de Riemann por sí misma, pero ambas a la vez no. Teorema 1.2.5. Si 𝑓(𝑧, 𝑤)es un polinomio irreducible, entonces su lugar de ceros, 𝑋, es conexo. Por lo tanto si 𝑓es liso e irreducible, 𝑋es una superficie de Riemann. Demostración. Si 𝑓(𝑧, 𝑤)es un polinomio irreducible, entonces 𝑋es irreducible en el sentido topológico y por tanto 𝑋es conexo. Observación 1.2.6.Si 𝑓(𝑧, 𝑤)es un polinomio irreducible, entonces los puntos de su lugar de ceros 𝑋donde 𝑓es singular son un conjunto finito (ver la proposición A.0.2). Si eliminamos esos puntos, el subconjunto abierto resultante de 𝑋es una superficie de Riemann con las mismas cartas de antes (nótese que, al estar definida sobre ℂ, quitar una cantidad finita de puntos no impide que sea conexa). Llamaremos a esta superficie como parte lisa de una curva afín plana 𝑋. En general, si 𝑓es un polinomio irreducible, la parte lisa de su lugar de ceros es una superficie de Riemann. Curvas proyectivas planas lisas Vamos a hacer un desarrollo similar a la sección anterior pero ahora en el plano proyectivo ℙ2. Observación 1.2.7.ℙ2puede ser recubierto por 3 conjuntos abiertos: 𝑈𝑖= {[𝑥0∶𝑥1∶𝑥2]|𝑥𝑖≠0} 𝑖= 0,1,2. Cada conjunto 𝑈𝑖es homeomorfo al plano afín ℂ2. Por ejemplo, el homeomorfismo de 𝑈0manda [𝑥∶𝑦∶𝑧] ∈ ℙ2a(𝑦∕𝑥, 𝑧∕𝑥) ∈ ℂ2cuya inversa manda el par (𝑎, 𝑏) ∈ ℂ2 a[1 ∶ 𝑎∶𝑏]. Para 𝑈1y𝑈2el razonamiento es análogo. De aquí podemos deducir que el plano proyectivo es compacto. Observación 1.2.8.Dado un polinomio 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)homogéneo de grado 𝑑, no tiene sentido evaluar este polinomio en un punto proyectivo ya que 𝐹(𝜆𝑥0, 𝜆𝑦0, 𝜆𝑧0) = 𝜆𝑑𝐹(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) pero [𝑥0∶𝑦0∶𝑧0]representa la misma clase en el plano proyectivo que el punto [𝜆𝑥0∶𝜆𝑦0∶𝜆𝑧0]. Sin embargo, sí podemos saber si 𝐹se anula en ese punto, luego 10 superficies de riemann podemos definir 𝑋como el lugar de sus ceros 𝑋= {[𝑥∶𝑦∶𝑧] ∈ ℙ2|𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0} es más, 𝑋es un subconjunto cerrado del plano proyectivo. La intersección de 𝑋con los 𝑈𝑖, que llamaremos 𝑋𝑖, son curvas planas afines vistas en ℂ2. Para 𝑖= 0: 𝑋0=𝑋∩𝑈0≅ {(𝑎, 𝑏) ∈ ℂ2|𝐹(1, 𝑎, 𝑏) = 0} es la curva afín plana descrita por el polinomio 𝑓(𝑎, 𝑏)=0, donde 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝐹(1, 𝑎, 𝑏). Definición 1.2.9. Un polinomio homogéneo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)es liso si el sistema de ecuaciones 𝐹=𝜕𝐹 𝜕𝑥 =𝜕𝐹 𝜕𝑦 =𝜕𝐹 𝜕𝑧 = 0 (1.1) no tiene soluciones en el plano proyectivo. Observación 1.2.10.Destacamos que cualquier polinomio homogéneo (en cualquier número de variables) satisface la fórmula de Euler: 𝐹=1 𝑑∑ 𝑖 𝑥𝑖 𝜕𝐹 𝜕𝑥𝑖 , donde 𝑑es el grado de 𝐹. Como 𝐹es un polinomio homogéneo, todos sus monomios tienen el mismo grado y por linealidad es suficiente probar el resultado para uno de ellos. Para un monomio el resultado es inmediato. Lema 1.2.11.Supongamos que 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)es un polinomio homogéneo de grado 𝑑. Se tiene que 𝐹es liso si y solo si cada 𝑋𝑖es una curva plana afín lisa en ℂ2. Demostración. Tomemos 𝐹un polinomio homogéneo de grado 𝑑. Supongamos que sea liso y por reducción al absurdo que algún 𝑋𝑖no lo sea, por simplicidad tomaremos 𝑖= 0.𝑋0está definido como el lugar de los ceros del polinomio 𝑓(𝑢, 𝑣) = 𝐹(1, 𝑢, 𝑣). Como 𝑋0no es liso, existe un punto (𝑢0, 𝑣0) ∈ ℂ2que es solución del sistema de ecuaciones 𝑓=𝜕𝑓 𝜕𝑢 =𝜕𝑓 𝜕𝑣 = 0. Vamos a demostrar que [1 ∶ 𝑢0∶𝑣0]es solución del sistema de ecuaciones (1.1). Se tiene que 𝐹[1 ∶ 𝑢0∶𝑣0] = 𝑓(𝑢0, 𝑣0)=0, 𝜕𝐹 𝜕𝑦 [1 ∶ 𝑢0∶𝑣0] = 𝜕𝑓 𝜕𝑢 (𝑢0, 𝑣0)=0, 𝜕𝐹 𝜕𝑧 [1 ∶ 𝑢0∶𝑣0] = 𝜕𝑓 𝜕𝑣 (𝑢0, 𝑣0)=0, 1. generalidades 11 y despejando de la fórmula de Euler 𝜕𝐹 𝜕𝑥 [1 ∶ 𝑢0∶𝑣0]=(𝑑𝐹 −𝑢0 𝜕𝐹 𝜕𝑦 −𝜕𝐹 𝜕𝑧 )[1 ∶ 𝑢0∶𝑣0]=0. Hemos probado que 𝐹no es liso en [1 ∶ 𝑢0∶𝑣0], lo cual es una contradicción. Para probar el recíproco supongamos que los 𝑋𝑖sean curvas planas afines lisas en ℂ2y por reducción al absurdo que 𝐹no sea liso. Entonces existe al menos un punto [𝑥0∶𝑦0∶𝑧0] ∈ ℂ2que es solución de (1.1). Como este punto está en el espacio proyectivo, una de sus coordenadas es no nula, de nuevo por simplicidad supongamos que 𝑥0≠0. Así [𝑥0∶𝑦0∶𝑧0]está en 𝑈0y razonando de forma similar llegamos a que es un punto singular de 𝑋0. Esto contradice el hecho de que 𝑋0sea lisa. Lema 1.2.12.Todo polinomio homogéneo liso es irreducible. Demostración. Dado un polinomio homogéneo liso 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)en ℙ2, razonemos por reducción al absurdo. Supongamos que 𝐹sea reducible, entonces existen dos polinomios 𝑔1(𝑥, 𝑦, 𝑧)y𝑔2(𝑥, 𝑦, 𝑧)tales que 𝐹=𝑔1𝑔2. Por el teorema de Bézout (ver teorema A.0.3), podemos afirmar que 𝑔1y𝑔2se anulan a la vez en, al menos, un punto 𝑝(por tanto 𝐹(𝑝)=0). Consideremos ahora las derivadas parciales de 𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝑥𝑖 =𝜕𝑔1 𝜕𝑥𝑖 𝑔2+𝜕𝑔2 𝜕𝑥𝑖 𝑔1𝑖= 1,2,3. Estas derivadas parciales se anulan en 𝑝, luego 𝑝es un punto singular de 𝐹y llegamos a una contradicción con la hipótesis de que 𝐹sea liso. Observación 1.2.13.Supongamos que 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)es un polinomio homogéneo liso que define la curva 𝑋. Por el lema anterior, 𝐹es irreducible y por tanto los tres subconjuntos abiertos 𝑋𝑖de 𝑋son curvas planas afines lisas e irreducibles, luego superficies de Riemann por el teorema 1.2.5. Proposición 1.2.14.Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)un polinomio liso y homogéneo. Entonces, el lugar de los ceros de 𝐹en ℙ2es una superficie de Riemann compacta. Demostración. Los tres abiertos 𝑋𝑖recubren 𝑋y es fácil comprobar que las tres cartas son compatibles entre sí. La compacidad se obtiene al ser 𝑋un subconjunto cerrado de ℙ2. Definición 1.2.15. Decimos que 𝑋es una curva plana proyectiva lisa si 𝑋es el lugar de ceros de un polinomio 𝐹liso y homogéneo en ℙ2. 2 Funciones y aplicaciones El objetivo de este capítulo es definir las aplicaciones entre superficies de Riemann y explorar algunas propiedades interesantes de ellas. Para ello, comenzaremos tratando las funciones en superficies de Riemann y algunos ejemplos en algunas superficies particulares. En [For91, cap. I] podemos encontrar una fuente alternativa a [Mir95, cap. II]. 2.1 Funciones en superficies de Riemann Funciones holomorfas Sea 𝑋una superficie de Riemann, sea 𝑝un punto suyo y sea 𝑓una función compleja definida en un entorno 𝑊de 𝑝. Definición 2.1.1. Decimos que 𝑓es holomorfa en 𝑝si existe una carta 𝜙∶𝑈→𝑉 con 𝑝∈𝑈tal que la composición 𝑓◦𝜙−1 es holomorfa en 𝜙(𝑝). Decimos que 𝑓es holomorfa en 𝑊si lo es en todo punto de 𝑊. El siguiente lema muestra que no importa la carta que escojamos para comprobar que 𝑓es holomorfa en 𝑋. Lema 2.1.2.Sea 𝑋una superficie de Riemann, sea 𝑝un punto suyo y sea 𝑓una función compleja definida en un entorno 𝑊de 𝑝. Entonces: 1. 𝑓es holomorfa en 𝑝si y solo si para cada carta 𝜙∶𝑈→𝑉con 𝑝∈𝑈, la composición 𝑓◦𝜙−1 es holomorfa en 𝑝. 2. 𝑓es holomorfa en 𝑊si y solo si existe un conjunto de cartas {𝜙𝑖∶𝑈𝑖→𝑉𝑖} con 𝑊 ⊆ ⋃𝑖 𝑈𝑖tal que 𝑓◦𝜙−1 𝑖es holomorfa en 𝜙𝑖(𝑊∩𝑈𝑖)en cada 𝑖. 14 superficies de riemann 3. si 𝑓es holomorfa en 𝑝,𝑓es holomorfa en un entorno de 𝑝. Demostración. Bajo las hipótesis del enunciado: 1. Sean 𝜙1y𝜙2dos cartas que contienen a 𝑝y supongamos que 𝑓es holomorfa con la carta 𝜙1. Entonces 𝑓◦𝜙−1 1es holomorfa en 𝜙1(𝑝). Debemos comprobar que 𝑓◦𝜙−1 2es holomorfa en 𝜙2(𝑝). Como 𝑓◦𝜙−1 2= (𝑓◦𝜙−1 1)◦(𝜙1◦𝜙−1 2), 𝑓◦𝜙−1 2es holomorfa por ser la composición de funciones holomorfas. La otra implicación es trivial. 2. Se deduce inmediatamente de 1. 3. Es una consecuencia directa del mismo resultado para funciones holomorfas de un abierto de ℂ. De la definición podemos deducir los dos siguientes corolarios: Corolario 2.1.3.Toda carta compleja considerada como una función compleja sobre su dominio es holomorfa sobre su dominio. Corolario 2.1.4.Supongamos que 𝑓y𝑔son funciones holomorfas en 𝑝∈𝑋. Entonces 𝑓+𝑔,𝑓−𝑔y𝑓𝑔 son holomorfas en 𝑝. Además, si 𝑔(𝑝)≠0, entonces 𝑓∕𝑔es holomorfa en 𝑝. Ejemplos 2.1.5.Veamos como se traduce que una función sea holomorfa en algunas superficies de Riemann conocidas. 1. Esfera de Riemann: Sea 𝑓una función compleja en la esfera de Riemann ℂ∞definida en un entorno de ∞. Entonces 𝑓es holomorfa en ∞si y solo si 𝑓(1∕𝑧)es holomorfa en 𝑧= 0. En particular, si 𝑓es una función racional 𝑓(𝑧) = 𝑝(𝑧)∕𝑞(𝑧), entonces 𝑓es holomorfa en ∞si y solo si deg(𝑝)≤deg(𝑞). 2. Toro complejo: Consideramos un toro complejo ℂ∕𝐿con la proyección 𝜋∶ℂ→ℂ∕𝐿. Sea 𝑓∶𝑊→ℂuna función compleja de un subconjunto abierto 𝑊 ⊂ ℂ∕𝐿. Entonces 𝑓es holomorfa en un punto 𝑝∈𝑊si y solo si existe una preimagen 𝑧de 𝑝en ℂtal que 𝑓◦𝜋es holomorfa en 𝑧. Además 𝑓es holomorfa en 𝑊si y solo si 𝑓◦𝜋es holomorfa en 𝜋−1(𝑊). 2. funciones y aplicaciones 15 3. Curva afín plana lisa: Sea 𝑋una curva plana afín definida por un polinomio liso 𝑓(𝑧, 𝑤) = 0. Entonces las dos proyecciones (en el eje 𝑧y el 𝑤) son funciones holomorfas en 𝑋. Cualquier función polinómica 𝑔(𝑧, 𝑤), al restringirla a 𝑋, es una función holomorfa. 4. Curva proyectiva plana lisa: Sea 𝑋una curva proyectiva plana definida por un polinomio liso 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)=0 y un punto 𝑝= [𝑥0∶𝑦0∶𝑧0]de 𝑋. Si 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)es un polinomio homogéneo de grado 𝑑y𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑧)otro polinomio homogéneo del mismo grado que no se anula en 𝑝, entonces el cociente 𝐺∕𝐻es una función holomorfa de 𝑋en el punto 𝑝. Destacamos que, a diferencia de las curvas afines, hemos tenido que considerar un cociente de polinomios. Veremos más adelante el porqué de esto. Definición 2.1.6. Si 𝑊 ⊂ 𝑋 es un subconjunto abierto de una superficie de Riemann 𝑋, escribiremos 𝑋(𝑊)(o simplemente (𝑊)) para denotar al conjunto de funciones holomorfas de 𝑊: 𝑋(𝑊) = (𝑊)={𝑓∶𝑊→ℂ|𝑓es holomorfa}. Observamos que, por el corolario 2.1.4, (𝑊)es una ℂ-álgebra. Singularidades En esta sección vamos a extender el concepto de singularidad de funciones complejas (polo, esencial o evitable) a superficies de Riemann. Para ello, sea 𝑋una superficie de Riemann: Definición 2.1.7. Sea 𝑓una función holomorfa en un entorno punteado de 𝑝∈𝑋. Decimos que: 1. 𝑓tiene una singularidad evitable en 𝑝si y solo si existe una carta 𝜙∶𝑈→𝑉 con 𝑝∈𝑈tal que la composición 𝑓◦𝜙−1 tiene una singularidad evitable en 𝜙(𝑝). 2. 𝑓tiene un polo en 𝑝si y solo si existe una carta 𝜙∶𝑈→𝑉con 𝑝∈𝑈tal que la composición 𝑓◦𝜙−1 tiene un polo en 𝜙(𝑝). 3. 𝑓tiene una singularidad esencial en 𝑝si y solo si existe una carta 𝜙∶𝑈→𝑉 con 𝑝∈𝑈tal que la composición 𝑓◦𝜙−1 tiene una singularidad esencial en 𝜙(𝑝). 16 superficies de riemann Como era de esperar, el tipo de singularidad no depende de la carta que escojamos: Lema 2.1.8.Con la notación anterior, 𝑓tiene una singularidad evitable (respectivamente esencial o polo) si y solo si para cada carta 𝜙∶𝑈→𝑉con 𝑝∈𝑈, la composición 𝑓◦𝜙−1 tiene una singularidad evitable (respectivamente esencial o polo) en 𝜙(𝑝). Demostración. Razonemos de forma similar al lema 2.1.2. Supongamos que 𝑓tiene una singularidad evitable (análogamente esencial o polo) en 𝑝. Por hipótesis, existe una carta 𝜙1∶𝑈→𝑉tal que la composición 𝑓◦𝜙−1 1tiene dicha singularidad en 𝑝. Consideremos ahora cualquier otra carta de 𝑋,𝜙2, compatible con 𝜙1en 𝑝. Observemos de nuevo que 𝑓◦𝜙−1 2= (𝑓◦𝜙−1 1)◦(𝜙1◦𝜙−1 2). Por lo tanto, si 𝑓◦𝜙−1 1presenta una singularidad en 𝑝,𝑓◦𝜙−1 2también. Corolario 2.1.9.Si 𝑓está definida y es holomorfa en un entorno punteado de 𝑝podemos saber qué tipo de singularidad presenta en 𝑝investigando el comportamiento de 𝑓(𝑥)para 𝑥próximo a 𝑝: a. Si |𝑓(𝑥)|está acotado en un entorno de 𝑝, entonces 𝑓tiene una singularidad evitable en 𝑝. Definimos 𝑓(𝑝)como el límite l ım𝑥→𝑝𝑓(𝑥)que sabemos que existe por estar |𝑓(𝑥)|acotado. b. Si |𝑓(𝑥)|tiende a ∞cuando 𝑥se aproxima a 𝑝, entonces 𝑓tiene un polo en 𝑝. c. Si |𝑓(𝑥)|no tiene límite cuando 𝑥se aproxima a 𝑝, entonces 𝑓tiene una singularidad esencial en 𝑝. Demostración. Al estar |𝑓(𝑥)|acotado en un entorno de 𝑝,𝑓◦𝜙−1 también lo está en un entorno de 𝜙(𝑝)y por lo tanto la composición presenta una singularidad evitable en 𝜙(𝑝). Los otros dos casos son similares a este y análogos a sus correspondientes homónimos para funciones meromorfas en ℂ. Funciones meromorfas De forma similar a como hemos definido las funciones holomorfas en una superficie de Riemann 𝑋, podemos definir funciones meromorfas: Definición 2.1.10. Una función 𝑓en 𝑋se dice meromorfa en un punto 𝑝∈𝑋si o es holomorfa o tiene una singularidad no esencial en 𝑝. Decimos que 𝑓es meromorfa en un abierto 𝑊si es meromorfa en cada punto de 𝑊. 2. funciones y aplicaciones 17 Observación 2.1.11.Sea 𝑓una función compleja definida en un abierto de ℂ. La definición de función meromorfa anterior (considerando ℂcomo una superficie de Riemann) coincide con la usual. Corolario 2.1.12.Supongamos que 𝑓y𝑔son funciones meromorfas en 𝑝∈𝑋. Entonces, 𝑓+𝑔,𝑓−𝑔,𝑓𝑔 son funciones meromorfas en 𝑝. Si 𝑔no es idénticamente nula, entonces 𝑓∕𝑔es una función meromorfa. Es más, cualquier función ℎmeromorfa en 𝑝es localmente el cociente de dos funciones holomorfas. Ejemplos 2.1.13.Tal y como hicimos con las funciones holomorfas, enunciemos algunos ejemplos en nuestras superficies habituales. Los detalles los veremos en una sección posterior. 1. Esfera de Riemann: Sea 𝑓una función compleja en la esfera de Riemann ℂ∞definida en un entorno de ∞. Entonces 𝑓es meromorfa en ∞si y solo si 𝑓(1∕𝑧)es meromorfa en 𝑧= 0. En particular, cualquier función racional 𝑓(𝑧) = 𝑝(𝑧)∕𝑞(𝑧)es meromorfa en ∞, de hecho, cualquier función racional es meromorfa en la esfera de Riemann. 2. Toro complejo: Consideremos el toro complejo ℂ∕𝐿con la proyección 𝜋∶ℂ→ℂ∕𝐿. Sea 𝑓∶𝑊→ℂuna función compleja en un subconjunto abierto 𝑊 ⊂ ℂ∕𝐿. Entonces 𝑓es meromorfa en un punto 𝑝∈𝑊si y solo si hay una preimagen 𝑧 de 𝑝en ℂtal que 𝑓◦𝜋es meromorfa en 𝑧. De hecho, 𝑓es meromorfa en 𝑊si y solo si 𝑓◦𝜋es meromorfa en 𝜋−1(𝑊). Observemos que 𝑔=𝑓◦𝜋es siempre 𝐿-periódica, es decir, 𝑔(𝑧+𝑤) = 𝑔(𝑧) para cada 𝑧∈ℂy para todo 𝑤∈𝐿. Es más, hay una biyección entre funciones de ℂ∕𝐿y funciones 𝐿- periódicas en ℂ. Una función meromorfa 𝐿-periódica en ℂse llama función elíptica 1y por tanto tenemos una biyección entre funciones elípticas en ℂy las funciones meromorfas en el toro. 3. Curva proyectiva plana lisa: Sea 𝑋una curva proyectiva plana definida por un polinomio liso 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)=0. Sea 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)un polinomio homogéneo de grado 𝑑y𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑧)un polinomio homogéneo del mismo grado que no se anula completamente en 𝑋. Se tiene que el cociente 𝐺∕𝐻es una función meromorfa en 𝑋. Como caso particular tenemos la recta proyectiva y las curvas afines planas lisas. 1Las funciones elípticas son una área de las matemáticas muy atractiva con aplicaciones en criptografía, teoría de números, análisis complejo, entre otras. Por desgracia, hacer un estudio de estas funciones está fuera del alcance de este trabajo. El lector interesado puede encontrar más información en [Apo90]. 24 superficies de riemann es una función racional en 𝑢y es meromorfa. De forma análoga se prueba para la otra carta (que envía [𝑧∶𝑤]a𝑤∕𝑧). Todo polinomio homogéneo de grado positivo en 𝑧y𝑤puede ser factorizado en factores lineales. Así, los cocientes de polinomios homogéneos del mismo grado pueden escribirse de la forma 𝑟(𝑧, 𝑤) = ∏ 𝑖 (𝑏𝑖𝑧−𝑎𝑖𝑤)𝑒𝑖, donde podemos asumir que los diferentes factores son coprimos entre sí. Es fácil ver que, con esta notación, ord[𝑎𝑖∶𝑏𝑖](𝑟) = 𝑒𝑖donde consideramos 𝑟como una función meromorfa de ℙ1. Tenemos el siguiente teorema: Teorema 2.2.5. Cada función meromorfa en ℙ1es un cociente de polinomios homogéneos en 𝑧y𝑤del mismo grado. Demostración. Sea 𝑓una función meromorfa en ℙ1que no sea idénticamente nula. Como ℙ1es compacto, 𝑓tiene un número finito de ceros y de polos, que escribiremos como {[𝑎𝑖∶𝑏𝑖]}. Asumamos que ord[𝑎𝑖∶𝑏𝑖](𝑓) = 𝑒𝑖y consideremos el cociente 𝑟(𝑧, 𝑤) = 𝑤𝑛∏ 𝑖 (𝑏𝑖𝑧−𝑎𝑖𝑤)𝑒𝑖 donde 𝑛está elegido de forma que 𝑟sea un cociente de polinomios homogéneos del mismo grado: 𝑛= − ∑𝑖𝑒𝑖. Observemos que 𝑔=𝑓∕𝑟no tiene ni ceros ni polos, excepto posiblemente en el punto [1 ∶ 0] donde 𝑤= 0. Nuestro objetivo es mostrar que 𝑔es constante. Si 𝑔tiene un polo en [1 ∶ 0], entonces 𝑔no tiene ceros y 1∕𝑔no tiene polos. Por lo tanto 1∕𝑔es constante ya que ℙ1es compacto, pero 1∕𝑔tiene un cero en [1 ∶ 0], lo cual es una contradicción con que 1∕𝑔=𝑟∕𝑓no sea idénticamente cero. De esta manera asumimos que 𝑔no tiene un polo en [1 ∶ 0], luego 𝑔es holomorfa en ℙ1y𝑔es constante en ℙ1por ser compacto. Observación 2.2.6.Observamos que, igual que en la esfera de Riemann, tenemos que ∑𝑝ord𝑝(𝑟)=0para cualquier cociente 𝑟de polinomios del mismo grado. Por el teorema anterior, toda función meromorfa se puede expresar como un cociente de esa forma, lo que nos lleva al siguiente corolario: Corolario 2.2.7.Sea 𝑓una función meromorfa no constante en ℙ1. Entonces ∑ 𝑝 ord𝑝(𝑓)=0. 2. funciones y aplicaciones 25 Funciones meromorfas en curvas planas lisas En esta sección será muy importante el siguiente corolario, consecuencia del teorema A.0.1: Corolario 2.2.8.Supongamos que ℎes un polinomio que se anula donde un polinomio irreducible 𝑓se anula. Entonces 𝑓divide a ℎ. Veamos como definir funciones meromorfas en una curva plana lisa. Proposición 2.2.9.Sea 𝑋una curva afín lisa definida por un polinomio irreducible y liso 𝑓(𝑥, 𝑦)=0. Entonces cualquier cociente de polinomios 𝑟=𝑔(𝑥, 𝑦)∕ℎ(𝑥, 𝑦) es una función meromorfa en 𝑋siempre y cuando 𝑓no divida al denominador ℎ. En el caso proyectivo, sea 𝑋una curva proyectiva plana lisa definida por un polinomio irreducible liso y homogéneo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧). Entonces el cociente de dos polinomios homogéneos 𝑅=𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧)∕𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑧)donde 𝐺y𝐻tienen el mismo grado es una función meromorfa en 𝑋siempre y cuando 𝐹no divida al denominador 𝐻. Demostración. Supongamos que 𝑓(𝑥, 𝑦)=0define una curva plana lisa 𝑋 ⊂ ℂ2. Sabemos que las funciones coordenadas 𝑥e𝑦definen ambas funciones holomorfas en 𝑋, y por lo tanto, también cualquier polinomio 𝑔(𝑥, 𝑦). Así, cualquier cociente de polinomios 𝑟(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥, 𝑦)∕ℎ(𝑥, 𝑦)es una función meromorfa en 𝑋siempre y cuando ℎno sea completamente nula en 𝑋. Si el polinomio 𝑓(𝑥, 𝑦)divide al polinomio del denominador, ℎ(𝑥, 𝑦), entonces ℎse anulará claramente en todo 𝑋. El corolario anterior nos asegura que este es el único caso donde ℎse puede anular completamente en 𝑋. Para el caso proyectivo, consideremos las coordenadas homogéneas [𝑥∶𝑦∶𝑧] con la curva plana 𝑋 ⊂ ℙ2definida como el lugar de los ceros de un polinomio irreducible, liso y homogéneo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧). Ahora debemos considerar el cociente de dos polinomios homogéneos del mismo grado, 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐺∕𝐻.𝑅es una función compleja bien definida en todo ℙ2salvo en los ceros de 𝐻. El corolario anterior puede extenderse al caso proyectivo y nos afirma que 𝐻se anula completamente en la curva plana proyectiva 𝑋definida por 𝐹= 0 solo si 𝐹divide a 𝐻. De esta forma, como las cartas afines de una curva proyectiva son curvas afines, podemos comprobar que el cociente 𝑅es meromorfo comprobándolo en las cartas afines de ℙ2. Para ello, por ejemplo en ℂ2donde 𝑧≠0, simplemente fijamos 𝑧= 1 en la ecuación de 𝐹para obtener la ecuación afín 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥, 𝑦, 1) para 𝑋, y también fijar 𝑧= 1 en los polinomios homogéneos 𝐺y𝐻. Así vemos que la función 𝑅es, en ℂ2 con 𝑧≠0, igual al cociente de los polinomios 𝑔(𝑥, 𝑦)∕ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝐺(𝑥, 𝑦, 1)∕𝐻(𝑥, 𝑦, 1). 26 superficies de riemann Por lo tanto, es meromorfa en todos los puntos de 𝑋con esta elección de coordenadas, ya que es el cociente de funciones holomorfas. De forma análoga para las otras dos cartas se prueba que 𝑅es meromorfa en todo 𝑋. 2.3 Holomorfismos Una vez definido nuestro objeto de estudio así como las funciones complejas, tiene sentido estudiar las aplicaciones entre superficies de Riemann. Definición 2.3.1. Sean 𝑋e𝑌dos superficies de Riemann. Decimos que una aplicación 𝐹∶𝑋→𝑌es holomorfa en 𝑝∈𝑋si existen dos cartas 𝜙1∶𝑈1→𝑉1de 𝑋 con 𝑝∈𝑈1y𝜙2∶𝑈2→𝑉2de 𝑌con 𝐹(𝑝) ∈ 𝑈2tales que la composición 𝜙2◦𝐹◦𝜙−1 1 es holomorfa en 𝜙1(𝑝). Si 𝐹está definida en un subconjunto abierto 𝑊 ⊂ 𝑋, entonces decimos que 𝐹es holomorfa en 𝑊si 𝐹es holomorfa en cada punto de 𝑊. En particular, decimos que 𝐹es una aplicación holomorfa (o un holomorfismo) si 𝐹es holomorfa en todo 𝑋. De hecho, 𝐹es holomorfa con cualquier par de cartas: Lema 2.3.2.Sea 𝐹∶𝑋→𝑌una aplicación entre superficies de Riemann. Entonces: a. 𝐹es holomorfa en 𝑝si y solo si para cualquier par de cartas 𝜙1∶𝑈1→𝑉1de 𝑋y𝜙2∶𝑈2→𝑉2de 𝑌con 𝑝∈𝑈1y𝐹(𝑝) ∈ 𝑈2, la composición 𝜙2◦𝐹◦𝜙−1 1es holomorfa en 𝜙1(𝑝). b. 𝐹es holomorfa en 𝑊si y solo si existen dos colecciones de cartas {𝜙(𝑖) 1∶𝑈(𝑖) 1→ 𝑉(𝑖) 1}de 𝑋con 𝑊 ⊂ ⋃𝑖𝑈(𝑖) 1y{𝜙(𝑗) 2∶𝑈(𝑗) 2→𝑉(𝑗) 2}de 𝑌con 𝐹(𝑊)⊂⋃𝑗𝑈(𝑗) 2 tales que 𝜙(𝑗) 2◦𝐹◦𝜙(𝑖)−1 1es holomorfa para cada 𝑖y𝑗donde esté definido. Demostración. Probaremos el primer apartado. Si 𝐹es una aplicación holomorfa en 𝑝entonces existen dos cartas 𝜙1∶𝑈1→𝑉1de 𝑋con 𝑝∈𝑈1y𝜙2∶𝑈2→𝑉2de 𝑌con 𝐹(𝑝) ∈ 𝑈2tal que la composición 𝜙2◦𝐹◦𝜙−1 1es holomorfa en 𝜙1(𝑝). Tomemos ahora dos cartas cualesquiera, 𝜙′ 1∶𝑈′ 1→𝑉′ 1y𝜙′ 2∶𝑈′ 2→𝑉′ 2, con 𝑝∈𝑈′ 1y𝐹(𝑝) ∈ 𝑈′ 2. Sabemos que los cambios de coordenadas son aplicaciones holomorfas, luego: 𝜙′ 2◦𝐹◦𝜙′−1 1= (𝜙′ 2◦𝜙−1 2)◦(𝜙2◦𝐹◦𝜙−1 1)◦(𝜙1◦𝜙′−1 1) es holomorfa en 𝜙′ 1(𝑝)por ser composición de aplicaciones holomorfas entre abiertos de ℂ. La otra implicación es inmediata y el segundo apartado se deduce del primero fácilmente. 2. funciones y aplicaciones 27 Observación 2.3.3.Si 𝑌=ℂentonces las nociones de función y aplicación holomorfa coinciden, es decir, una aplicación holomorfa 𝐹∶𝑋→𝑌es simplemente una función holomorfa en 𝑋. Lema 2.3.4.Se tienen las siguientes afirmaciones: a. Si 𝐹es holomorfa, entonces 𝐹es continua y ∞2. b. La composición de aplicaciones holomorfas entre superficies de Riemann es holomorfa. c. La composición de una aplicación holomorfa con una función holomorfa es una función holomorfa: si 𝐹∶𝑋→𝑌es holomorfa y 𝑔es una función holomorfa en un abierto 𝑊 ⊂ 𝑌 , entonces 𝑔◦𝐹es una función holomorfa en 𝐹−1(𝑊). d. La composición de una aplicación holomorfa con una función meromorfa es también meromorfa: si 𝐹∶𝑋→𝑌es holomorfa y 𝐺es una función meromorfa en un abierto 𝑊 ⊂ 𝑌 , entonces 𝐺◦𝐹es una función meromorfa en 𝐹−1(𝑊) (hay que tener en cuenta que la imagen de 𝐹(𝑋)no puede ser un subconjunto de los polos de 𝐺). Demostración. Veámoslo punto a punto: a. Probaremos la continuidad. Sea 𝐹∶𝑋→𝑌holomorfa y 𝐺un abierto de 𝑌. Consideremos una colección de cartas de 𝑌que recubran a 𝐺, por ejemplo {𝜙(𝑖) 2∶𝑈(𝑖) 2→𝑉(𝑖) 2}, y notamos 𝐺𝑖=𝐺∩𝑈(𝑖) 2(que son abiertos de 𝑌). Como 𝜙(𝑖) 2 es un homeomorfismo, 𝜙(𝑖) 2(𝐺𝑖)es un abierto de ℂ. Ahora, como 𝐹es holomorfa existen cartas {𝜙(𝑖) 1∶𝑈(𝑖) 1→𝑉(𝑖) 1}de forma que 𝜙(𝑖) 2◦𝐹◦𝜙(𝑖)−1 1es holomorfa como aplicación entre ℂ, por lo tanto es una aplicación continua y podemos afirmar que (𝜙(𝑖) 2◦𝐹◦𝜙(𝑖)−1 1)(−1)(𝜙(𝑖) 2(𝐺𝑖)) es un abierto de ℂ. Si ahora componemos a la izquierda con 𝜙(𝑖) 1obtenemos que 𝜙(𝑖) 𝑖◦(𝜙(𝑖) 2◦𝐹◦𝜙(𝑖)−1 1)(−1)(𝜙(𝑖) 2(𝐺𝑖)) = 𝐹−1(𝐺𝑖) es un abierto de 𝑋. Luego sabemos que 𝐹−1(𝐺) = ⋃𝑖𝐹−1(𝐺𝑖)donde 𝐹−1(𝐺𝑖)es abierto, de donde deducimos que 𝐹−1(𝐺)es abierto por ser unión de conjuntos abiertos. La prueba de que 𝐹es ∞es similar a la anterior. b. Tomemos ahora dos holomorfismos entre superficies de Riemann 𝐹∶𝑋→𝑌 y𝐺∶𝑌→𝑍. Veamos que la composición 𝐺◦𝐹∶𝑋→𝑍es holomorfa en todo 𝑋. Fijemos un punto 𝑝de 𝑋, entonces existen dos cartas 𝜙1∶𝑈1→𝑉1 2La definición de aplicación ∞entre superficies de Riemann es análoga a la de aplicación holomorfa intercambiando holomorfa por ∞. 28 superficies de riemann y𝜙2∶𝑈2→𝑉2con 𝑝∈𝑈1,𝐹(𝑝) ∈ 𝑈2y 𝐹=𝜙2◦𝐹◦𝜙−1 1holomorfa en 𝜙1(𝑝). Como 𝐺es holomorfa en 𝑌y𝐹(𝑝) ∈ 𝑌tenemos que existe una carta 𝜙3∶𝑈3→𝑉3con 𝐺(𝐹(𝑝)) ∈ 𝑈3y 𝐺=𝜙3◦𝐺◦𝜙−1 2holomorfa en 𝜙2(𝐹(𝑝)). Hay que probar que  𝐻=𝜙3◦𝐹◦𝐺◦𝜙−1 1es holomorfa en 𝜙1(𝑝), pero tenemos que  𝐻= 𝐺◦ 𝐹es holomorfa por ser composición de aplicaciones holomorfas en ℂ. c. Es un corolario del caso anterior. d. Veamos que para todo punto 𝑝∈𝐹−1(𝑊)la composición 𝐺◦𝐹∶𝐹−1(𝑊)→ℂ es una función meromorfa, para ello, gracias a que 𝐺es meromorfa, existe una carta 𝜙2∶𝑈2→𝑉2con 𝐹(𝑝) ∈ 𝑈2⊂ 𝑊 tal que la composición  𝐺=𝜙−1 2◦𝐺es meromorfa. Por otro lado, como 𝜙2es una carta de 𝑌y𝐹es un holomorfismo, sabemos que existe una carta 𝜙1∶𝑈1→𝑉1con 𝑝∈𝑈1⊂ 𝑋 tal que la composición  𝐹=𝜙2◦𝐹◦𝜙−1 1es holomorfa. Tenemos el siguiente diagrama 𝑈1𝑈2ℂ 𝑉1𝑉2. 𝐹 𝜙1𝜙2  𝐹  𝐺 𝐺 Consideremos ahora el conjunto abierto 𝐹−1(𝑊)(𝑊es abierto y hemos visto que 𝐹es continua), 𝑝∈𝐹−1(𝑊). Sea 𝑈1|𝐹−1(𝑊)=𝐹−1(𝑊) ∩ 𝑈1, entonces podemos definir la siguiente carta de 𝐹−1(𝑊),𝜙1|𝐹−1(𝑊)∶𝑈1|𝐹−1(𝑊)→ℂ. Obtenemos otro diagrama 𝑈1𝑈2ℂ 𝑉1𝑉2. 𝐹 𝜙1|𝐹−1(𝑊)𝜙2  𝐹|𝐹−1(𝑊)  𝐺 𝐺 Ahora sí, la composición 𝐺◦𝐹◦𝜙−1 𝐹−1(𝑊)= 𝐺◦ 𝐹|𝐹−1(𝑊)es una función meromorfa en 𝜙−1 𝐹−1(𝑊)(𝑝)por ser composición de una función holomorfa con una meromorfa (entre abiertos de ℂ). Por lo tanto 𝐺◦𝐹es una función meromorfa de 𝐹−1(𝑊). 2. funciones y aplicaciones 29 Observación 2.3.5.Los dos últimos apartados del lema anterior dan lugar a las siguientes afirmaciones: Sea 𝐹∶𝑋→𝑌una aplicación holomorfa entre superficies de Riemann. Entonces, para cada conjunto abierto 𝑊 ⊂ 𝑌 ,𝐹induce un homomorfismo de ℂ-álgebras 𝐹∗∶𝑌(𝑊)→𝑋(𝐹−1(𝑊)) definido por la composición con 𝐹:𝐹∗(𝑔) = 𝑔◦𝐹. De forma análoga se tiene para funciones meromorfas: 𝐹∗∶𝑌(𝑊)→𝑋(𝐹−1(𝑊)) Isomorfismos y automorfismos Definición 2.3.6. Un isomorfismo entre superficies de Riemann es una aplicación holomorfa 𝐹∶𝑋→𝑌, biyectiva y cuya inversa 𝐹−1 ∶𝑌→𝑋es holomorfa. Un isomorfismo en sí mismo 𝐹∶𝑋→𝑋se dice automorfismo. Si existe un isomorfismo entre 𝑋e𝑌decimos que son isomorfas. Ejemplo 2.3.7.La esfera de Riemann ℂ∞y la recta proyectiva ℙ1son isomorfas mediante la siguiente aplicación 𝐹∶ℂ∞→ℙ1vista en el ejemplo 1.1.7 𝐹([𝑧∶𝑤]) = (2𝑅𝑒(𝑧𝑤),2𝐼𝑚(𝑧𝑤),|𝑧|2−|𝑤|2 |𝑧|2+|𝑤|2). De aquí deducimos que el género de la recta proyectiva coincide con el de la esfera de Riemann. Teoremas sobre aplicaciones holomorfas De nuevo, podemos heredar algunos teoremas de funciones holomorfas a aplicaciones holomorfas entre superficies de Riemann. Los tres primeros resultados tienen pruebas muy sencillas teniendo en cuenta estos mismos resultados para funciones holomorfas en el plano complejo y que las cartas complejas son homeomorfismos. Proposición 2.3.8 (Teorema de la aplicación abierta).Sea 𝐹∶𝑋→𝑌un holomorfismo no constante entre superficies de Riemann. Entonces 𝐹es una aplicación abierta. 30 superficies de riemann Proposición 2.3.9.Sea 𝐹∶𝑋→𝑌una aplicación holomorfa e inyectiva entre superficies de Riemann. Entonces 𝐹es un isomorfismo entre 𝑋y su imagen 𝐹(𝑋). Proposición 2.3.10 (Teorema de la Identidad).Sean 𝐹y𝐺dos holomorfismos entre las superficies de Riemann 𝑋e𝑌. Si 𝐹=𝐺en un subconjunto 𝑆de 𝑋con un punto límite en 𝑋, entonces 𝐹=𝐺. Veamos ahora dos resultados propios de superficies de Riemann. Proposición 2.3.11.Sea 𝑋una superficie de Riemann compacta y sea 𝐹∶𝑋→𝑌un holomorfismo no constante. Entonces 𝑌es compacto y 𝐹es sobreyectiva. Demostración. Como 𝐹es holomorfa y 𝑋es abierto de sí mismo, 𝐹(𝑋)es abierto de 𝑌por el teorema de la aplicación abierta. Por otro lado, como 𝑋es compacto, 𝐹(𝑋) es compacto y por ser 𝑌Hausdorff, 𝐹(𝑋)debe ser cerrado en 𝑌. Se sigue entonces que 𝐹(𝑋)es abierto y cerrado en 𝑌, y como 𝑌es conexa, 𝐹(𝑋) = 𝑌, por lo tanto 𝐹 es sobreyectiva e 𝑌es compacto. Observación 2.3.12.Desde este momento en adelante hablaremos de conjuntos discretos y cerrados, siendo esto último prescindible en algunos casos. Asumiremos que los conjuntos discretos son cerrados si fuese necesario. Proposición 2.3.13 (Carácter discreto de las preimágenes).Sea 𝐹∶𝑋→𝑌una aplicación holomorfa no constante entre superficies de Riemann. Entonces para cada 𝑦∈𝑌, la preimagen 𝐹−1(𝑦)es un subconjunto discreto de 𝑋. En particular, si 𝑋e𝑌 son compactos, entonces 𝐹−1(𝑦)es un subconjunto no vacío finito para todo 𝑦∈𝑌. Demostración. Fijemos una coordenada local 𝑧centrada en 𝑦∈𝑌, y para un punto 𝑥∈𝐹−1(𝑦)elegimos una coordenada local 𝑤centrada en 𝑥. Entonces la función 𝐹 escrita en términos de sus coordenadas locales es una función holomorfa no constante 𝑧=𝑔(𝑤), más aún, 𝑔tiene un cero en el origen ya que 𝑥(que es 𝑤= 0) se envía en 𝑦 (que es 𝑧= 0). Por lo tanto, como los ceros de una función holomorfa no constante son discretos, vemos que en un entorno (suficientemente pequeño) de 𝑥ella es la única preimagen de 𝑦. Esto prueba que 𝐹−1 es un subconjunto discreto de 𝑋. La segunda afirmación se sigue de que 𝐹debe ser sobreyectiva (por la proposición anterior) y los subconjuntos discretos de espacios compactos son finitos. 2. funciones y aplicaciones 31 Funciones meromorfas y aplicaciones holomorfas en la esfera de Riemann Sea 𝑓una función meromorfa en la superficie de Riemann 𝑋. Los valores que toma 𝑓fuera de los polos son números complejos mientras que en los polos podemos decir que su "valor" es ∞. De esta forma, podemos definir la siguiente función 𝐹∶𝑋→ℂ∞ como 𝐹(𝑥) = {𝑓(𝑥) ∈ ℂsi 𝑥no es un polo de 𝑓 ∞si 𝑥es un polo de 𝑓. Veamos que es una aplicación holomorfa: sea 𝑝un punto de 𝑋, si 𝑝no es un polo de 𝑓no tenemos problema, consideramos la lectura usual de coordenadas en ℂ∞y la composición con 𝐹es holomorfa por hipótesis. Ahora, si 𝑝es un polo, tomamos la coordenada local de ℂ∞que contiene al punto del infinito, esta es, 1∕𝑧. La composición con 𝑓(𝑥)es holomorfa en un entorno de 𝑝. Proposición 2.3.14.La construcción anterior induce una biyección entre las funciones meromorfas 𝑓en 𝑋y los holomorfismos 𝐹∶𝑋→ℂ∞(no idénticamente ∞). Demostración. Hemos visto cómo pasar de funciones meromorfas a aplicaciones holomorfas en la esfera, veamos la otra parte. Dada 𝐹∶𝑋→ℂ∞distinta de la aplicación constantemente ∞. Definimos 𝑓∶𝑋→ℂcomo 𝑓(𝑝) = 𝐹(𝑝)si 𝐹(𝑝)≠∞. Veamos que 𝑓es meromorfa. Consideremos la carta de la esfera que no contiene a ∞y obtenemos que 𝑓es holomorfa en 𝑝. Para ver que los puntos donde 𝐹(𝑝)=∞ se transforman en singularidades, podemos considerar de nuevo la carta anterior y al componerla con 𝑓el resultado es un polo en el punto 𝑝. Observación 2.3.15.Como ℂ∞es isomorfa a ℙ1, hay una correspondencia entre funciones meromorfas y aplicaciones holomorfas a la recta proyectiva. 2.4 Propiedades globales de los holomorfismos Proposición 2.4.1 (Forma normal local).Sea 𝐹∶𝑋→𝑌una aplicación holomorfa no constante definida en 𝑝∈𝑋. Entonces existe un único entero 𝑚≥1que satisface la siguiente propiedad: para cada carta 𝜙2∶𝑈2→𝑉2de 𝑌centrada en 𝐹(𝑝), existe una carta 𝜙1∶𝑈1→𝑉1de 𝑋centrada en 𝑝tal que 𝜙2(𝐹(𝜙−1 1(𝑧))) = 𝑧𝑚. Demostración. Fijemos una carta 𝜙2de 𝑌centrada en 𝐹(𝑝)y escojamos cualquier carta 𝜓∶𝑈→𝑉de 𝑋centrada en 𝑝. Entonces la serie de Taylor de la función 32 superficies de riemann 𝑇(𝑤) = 𝜙2(𝐹(𝜓−1(𝑤))) debe tener la forma 𝑇(𝑤) = ∞ ∑ 𝑖=𝑚 𝑐𝑖𝑤𝑖 con 𝑐𝑚≠0y𝑚≥1ya que 𝑇(0) = 0. Así tenemos que 𝑇(𝑤) = 𝑤𝑚𝑆(𝑤)donde 𝑆(𝑤)es una función holomorfa en 𝑤= 0 y𝑆(0) ≠0(si fuese cero bastaría tomar 𝑚 más grande). En este caso, aplicando el teorema de la función implícita al polinomio 𝑦𝑚−𝑥, sabemos que existe una función 𝑅(𝑤)holomorfa en un entorno de 𝑤= 0 tal que 𝑅(𝑤)𝑚=𝑆(𝑤), por lo que 𝑇(𝑤) = (𝑤𝑅(𝑤))𝑚. Sea 𝜂(𝑤) = 𝑤𝑅(𝑤), se tiene que 𝜂′(0) = 𝑅′(0) ≠0. Observemos que cerca del cero, 𝜂es holomorfa e invertible (usando el teorema de la función implícita en el polinomio 𝑥𝑦 − 1). Luego la composición 𝜙1=𝜂◦𝜓es también una carta de 𝑋definida y centrada cerca de 𝑝. 𝑈1𝑈2 𝑉1ℂ 𝐹 𝜓𝜙2 𝑇(𝑤)=𝜙2◦𝐹◦𝜓−1(𝑤) 𝜙1=𝜂◦𝜓 Si pensamos en 𝜂como una nueva coordenada local 𝑧(tal que 𝑧=𝜂(𝑤)), vemos que 𝑧y𝑤están relacionados por 𝑧=𝑤𝑅(𝑤). Entonces 𝜙2(𝐹(𝜙−1 1(𝑧))) = 𝜙2(𝐹(𝜓−1(𝜂−1(𝑧)))) =𝑇(𝜂−1(𝑧)) =𝑇(𝑤) = (𝑤𝑅(𝑤))𝑚 =𝑧𝑚. La unicidad de 𝑚se deduce de que si existen coordenadas locales en 𝑝y𝐹(𝑝)tal que la aplicación 𝐹tiene la forma 𝑧→ 𝑧𝑚, entonces en un entorno de 𝐹(𝑝), cada punto tiene exactamente m preimágenes. Así, este exponente 𝑚depende únicamente de las propiedades topológicas de la aplicación 𝐹cerca de 𝑝, y por lo tanto es independiente de las elecciones de coordenadas locales. Definición 2.4.2. La multiplicidad de 𝐹en 𝑝,mult𝑝(𝐹), es el único entero 𝑚tal que hay coordenadas locales cerca de 𝑝y𝐹(𝑝)con 𝐹de la forma 𝑧→ 𝑧𝑚. 2. funciones y aplicaciones 33 Hay una manera más simple de calcular la multiplicidad sin tener que hallar la forma normal de 𝐹o tener que calcular unas coordenadas locales centradas en cada 𝑝y𝐹(𝑝). Tomamos dos coordenadas locales cualesquiera, 𝑧cerca de 𝑝y𝑤cerca de 𝐹(𝑝), y suponemos que envían 𝑝en 𝑧0y𝐹(𝑝)en 𝑤0. Así, 𝐹puede ser leído en sus coordenadas locales como 𝑤=ℎ(𝑧)donde ℎes holomorfa y se tiene que 𝑤0=ℎ(𝑧0). Lema 2.4.3.Con la notación anterior, la multiplicidad de 𝐹en 𝑝es mult𝑝(𝐹) = 1 + ord𝑧0(𝑑ℎ∕𝑑𝑧). En particular, la multiplicidad es el exponente del menor término estrictamente positivo de la serie de potencias de ℎ: si ℎ(𝑧) = ℎ(𝑧0) + ∑∞ 𝑖=𝑚𝑐𝑖(𝑧−𝑧0)𝑖con 𝑚≥1y 𝑐𝑚≠0, entonces mult𝑝(𝐹) = 𝑚. Demostración. Hemos visto en la proposición anterior que la multiplicidad es el término más bajo que aparece en el desarrollo en series de potencias de 𝑇, con 𝑇la lectura en coordenadas de 𝐹con cartas locales centradas en 𝑝y𝐹(𝑝)respectivamente. Con la notación anterior, 𝑧−𝑧0y𝑤−𝑤0son las coordenadas locales centradas, así pues, como 𝑤−𝑤0=ℎ(𝑧) − ℎ(𝑧0), vemos que la multiplicidad es el término más bajo en aparecer en la expansión en series de potencias de ℎ(𝑧) − ℎ(𝑧0)en 𝑧=𝑧0. Por el teorema de Taylor, esto es uno más que el orden de la derivada de ℎen 𝑧0. Corolario 2.4.4.Los puntos del dominio de 𝐹donde tiene multiplicidad al menos dos forman un conjunto discreto. Demostración. Por el lema anterior, estos puntos se corresponden con ceros de la derivada de ℎ, la lectura en coordenadas de 𝐹. Como ℎes holomorfa su derivada es holomorfa y sus ceros forman un conjunto discreto. Definición 2.4.5. Sea 𝐹∶𝑋→𝑌un holomorfismo no constante. Un punto 𝑝∈ 𝑋se dice punto de ramificación (o simplemente ramificación) de 𝐹si mult𝑝(𝐹)≥2. Un punto 𝑦∈𝑌es un punto rama de 𝐹si es la imagen de un punto de ramificación de 𝐹. Lema 2.4.6.Sea 𝑋una curva plana afín lisa definida por la función 𝑓(𝑥, 𝑦)=0y sea 𝜋∶𝑋→ℂla función proyección 𝜋(𝑥, 𝑦) = 𝑥. Entonces 𝜋tiene un punto de ramificación en 𝑝∈𝑋si y solo si (𝜕𝑓∕𝜕𝑦)(𝑝)=0. Sea 𝑋una curva plana proyectiva lisa definida por un polinomio homogéneo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. Consideramos la aplicación 𝐺∶𝑋→ℙ1que envía [𝑥∶𝑦∶𝑧] en [𝑥∶𝑧].Entonces 𝐺se ramifica en 𝑝∈𝑋si y solo si (𝜕𝐹 ∕𝜕𝑦)(𝑝)=0. Demostración. Empezaremos por el caso afín. Sea 𝑝= (𝑥0, 𝑦0). Por reducción al absurdo supongamos que (𝜕𝑓∕𝜕𝑦)(𝑝)≠0. Entonces 𝜋es una carta de 𝑋cerca de 𝑝(ver 31-formas diferenciales En este capítulo, de forma análoga a [Mir95, cap. IV], presentamos las 1-formas diferenciales, holomorfas y meromorfas, cómo operar con ellas y enunciamos los resultados esenciales sobre integración en superficies de Riemann. 3.1 Conceptos básicos 1-formas holomorfas Definición 3.1.1. Una 1-forma holomorfa en un conjunto abierto 𝑉 ⊂ ℂes una expresión 𝜔de la forma 𝜔=𝑓(𝑧)𝑑𝑧 donde 𝑓es una función holomorfa en 𝑉. Decimos que 𝜔es una 1-forma holomorfa en la coordenada z. Este va a ser nuestro objeto de estudio básico en este capítulo. Con el fin de transportar esta definición a superficies de Riemann usando cartas complejas introducimos la siguiente definición: Definición 3.1.2. Supongamos que 𝜔1=𝑓(𝑧)𝑑𝑧 es una 1-forma holomorfa en la coordenada 𝑧, definida en un abierto 𝑉1y que 𝜔2=𝑔(𝑤)𝑑𝑤 es otra 1-forma holomorfa en la coordenada 𝑤, definida en 𝑉2. Sea 𝑧=𝑇(𝑤)una aplicación holomorfa de 𝑉2a 𝑉1. Decimos que 𝑇transforma 𝜔1en 𝜔2si 𝑔(𝑤) = 𝑓(𝑇(𝑤))𝑇′(𝑤). Observación 3.1.3.Si 𝑇es invertible con función inversa 𝑆, entonces 𝑇transforma 𝜔1en 𝜔2si y solo si 𝑆transforma 𝜔2en 𝜔1. Ahora sí, podemos definir 1-formas en superficies de Riemann. 42 superficies de riemann Definición 3.1.4. Sea 𝑋una superficie de Riemann. Una 1-forma holomorfa en 𝑋 es una colección de 1-formas holomorfas {𝜔𝜙}, una por cada carta 𝜙∶𝑈→𝑉en la coordenada de 𝑉, tal que si dos cartas 𝜙𝑖∶𝑈𝑖→𝑉𝑖(𝑖= 1,2) se cortan en su dominio entonces las 1-formas holomorfas asociadas satisfacen que 𝜔𝜙1se transforma en 𝜔𝜙2 a través del cambio de coordenadas 𝑇=𝜙1◦𝜙−1 2. Lema 3.1.5.Sea 𝑋una superficie de Riemann y sea un atlas compatible con 𝑋. Supongamos que existen 1-formas para cada carta del atlas tales que si dos cartas tienen dominio común se transforman una en la otra. Entonces existe una única 1- forma holomorfa en 𝑋que extiende estas 1-formas holomorfas en cada una de las cartas de . Demostración. Sea 𝜓una carta de 𝑋que no está en el atlas. Nuestro objetivo es definir una 1-forma holomorfa respecto a la coordenada local 𝑤de 𝜓. Fijemos un punto 𝑝en el dominio de 𝜓y escojamos una carta del atlas, 𝜙, con 𝑝en su dominio. Sea 𝑧la coordenada local de esta carta, entonces 𝜔=𝑓(𝑧)𝑑𝑧 es una 1-forma holomorfa con respecto a 𝜙. Definamos ahora la 1-forma holomorfa respecto a 𝜓como 𝑓(𝑇(𝑤))𝑇′(𝑤)𝑑𝑤 donde 𝑧=𝑇(𝑤)describe el cambio de coordenadas 𝜙◦𝜓−1. Hay que comprobar que esta 1-forma es independiente de la elección de la carta 𝜙y por lo tanto es una 1-forma asociada a 𝜓en cada punto de su dominio: sea  𝜙 otra carta del atlas con 𝑝en su dominio y con la 1-forma asociada 𝜔 =𝑔(𝑧)𝑑 𝑧. Por hipótesis,  𝑇=𝜙◦ 𝜙−1 transforma 𝜔en 𝜔, es decir, 𝑔(𝑧) = 𝑓( 𝑇(𝑧))  𝑇′(𝑧). Como 𝜓y  𝜙son compatibles, el cambio de coordenadas  𝑇= 𝜙◦𝜓−1 es una función holomorfa. Luego tenemos 𝑓(𝑇(𝑤))𝑇′(𝑤)𝑑𝑤 =𝑓(𝜙◦𝜓−1(𝑤))(𝜙◦𝜓−1)′(𝑤)𝑑𝑤 =𝑓(𝜙◦ 𝜙−1◦ 𝜙◦𝜓−1(𝑤))(𝜙◦ 𝜙−1◦ 𝜙◦𝜓−1)′(𝑤)𝑑𝑤 =𝑓( 𝑇◦ 𝑇(𝑤))(  𝑇◦ 𝑇)′(𝑤)𝑑𝑤 =𝑓( 𝑇◦ 𝑇(𝑤))(  𝑇′◦ 𝑇)(𝑤) 𝑇′(𝑤)𝑑𝑤 =𝑔( 𝑇(𝑤))  𝑇′(𝑤)𝑑𝑤, lo cual prueba que no depende de la carta elegida. Se comprueba de forma análoga que las 1-formas así definidas se transforman de la manera esperada entre ellas. La unicidad es consecuencia inmediata de la definición dada. 3. 1-formas diferenciales 43 1-formas meromorfas Siguiendo la sección anterior, podemos definir 1-formas meromorfas en superficies de Riemann. Definición 3.1.6. Una 1-forma meromorfa en un abierto 𝑉 ⊂ ℂes una expresión 𝜔de la forma 𝜔=𝑓(𝑧)𝑑𝑧 donde 𝑓es una función meromorfa en 𝑉. Decimos que 𝜔es una 1-forma meromorfa en la coordenada 𝑧. Definición 3.1.7. Sean 𝜔1=𝑓(𝑧)𝑑𝑧 y𝜔2=𝑔(𝑤)𝑑𝑤 dos 1-formas meromorfas en la coordenada 𝑧y𝑤y definidas en un abierto 𝑉1y𝑉2respectivamente. Sea 𝑧=𝑇(𝑤) una función holomorfa de 𝑉2a𝑉1. Decimos que 𝑇transforma 𝜔1en 𝜔2si 𝑔(𝑤) = 𝑓(𝑇(𝑤))𝑇′(𝑤). Definición 3.1.8. Sea 𝑋una superficie de Riemann. Una 1-forma meromorfa en 𝑋es una colección de 1-formas meromorfas {𝜔𝜙}, una por cada carta 𝜙∶𝑈→𝑉 en la coordenada de 𝑉, tales que si dos cartas 𝜙𝑖∶𝑈𝑖→𝑉𝑖(𝑖= 1,2) se cortan en su dominio, entonces las 1-formas asociadas satisfacen que 𝜔𝜙1se transforma en 𝜔𝜙2a través del cambio de coordenadas 𝑇=𝜙1◦𝜙−1 2. El siguiente lema es el equivalente al lema 3.1.5 para 1-formas meromorfas. Su demostración sigue las mismas líneas. Lema 3.1.9.Sea 𝑋una superficie de Riemann y un atlas suyo. Supongamos que existen 1-formas meromorfas para cada carta del atlas que se transforman entre sí en sus dominios comunes. Entonces existe una única 1-forma meromorfa en 𝑋que extiende estas 1-formas meromorfas en cada carta de . También podemos hablar del orden de 1-formas meromorfas en superficies de Riemann. Proposición 3.1.10.Sea 𝑋una superficie de Riemann con 𝑝∈𝑋y sea 𝜔= {𝜔𝜙} una 1-forma meromorfa en 𝑋. Sean {𝜔𝑖}las 1-formas de 𝜔con 𝑝en su dominio. Así para cada 𝜔𝑖podemos escoger una coordenada local 𝑧𝑖centrada en 𝑝y obtener la correspondiente 1-forma 𝜔𝑖=𝑓𝑖(𝑧𝑖)𝑑𝑧𝑖donde 𝑓𝑖es una función meromorfa en 𝑧𝑖= 0. Entonces se tiene que el orden de 𝑓𝑖en dicho punto es el mismo para todas las 𝑓𝑖asociadas a las 𝜔𝑖. Demostración. Sean 𝜙1y𝜙2dos cartas de 𝑋con 𝑝en su dominio. Por hipótesis, las 1-formas 𝜔1=𝑓1(𝑧1)𝑑𝑧1y𝜔2=𝑓2(𝑧2)𝑑𝑧2asociadas a las cartas anteriores se 44 superficies de riemann transforman entre ellas a través de 𝑇=𝜙1◦𝜙−1 2, es decir, 𝑓2(𝑧2) = 𝑓1(𝑇(𝑧2))𝑇′(𝑧2). Probemos que ord𝑝(𝑓1) = ord𝑝(𝑓2). Teniendo en cuenta que las cartas están centradas en 𝑝y que 𝑇es una aplicación holomorfa, entonces 𝑇tiene un cero de orden 1 en 𝑝. Aplicando el lema 2.1.22 se tiene la igualdad. Definición 3.1.11. Llamamos a este número orden de 𝜔en 𝑝y lo denotamos ord𝑝(𝜔). Decimos que 𝑝es un cero de 𝜔de orden 𝑛 > 0si ord𝑝(𝜔) = 𝑛y decimos que 𝑝es un polo de 𝜔de orden 𝑛 > 0si ord𝑝(𝜔)=−𝑛. Observación 3.1.12.El conjunto de los ceros y polos de una 1-forma meromorfa es un conjunto discreto. Veamos un ejemplo que nos será de utilidad más adelante: Ejemplo 3.1.13.Sea 𝑋=ℂ∞y sea la 1-forma holomorfa 𝜔1=𝑑𝑧 en ℂ. Queremos definir una 1-forma en 𝑋tal que 𝜔=𝜔1si nos restringimos a ℂ. Para ello, sea 𝜙1(𝑧) = 𝑧la carta usual de 𝑋y𝜙2(𝑤) = 1∕𝑤la carta de 𝑋que contiene a ∞. Observamos que 𝜔1=𝑓(𝑧)𝑑𝑧 está definida en el dominio de 𝜙1(siendo 𝑓(𝑧)la función constante 1). Tenemos que definir una 1-forma 𝜔2=𝑔(𝑤)𝑑𝑤 en el dominio de 𝜙2que se transforme bien bajo el cambio de coordenadas 𝑇=𝜙1◦𝜙−1 2= 1∕𝑤. Impongamos que 𝑇transforme 𝜔1en 𝜔2: 𝑔(𝑤) = 𝑓(𝑇(𝑤))𝑇′(𝑤) = −1∕𝑤2. Luego aplicando el lema 3.1.9 queda definida la 1-forma 𝜔en ℂ∞. Es fácil ver que esta 1-forma no tiene ceros y solo tiene un polo (doble) en el punto del infinito. Consideremos ahora la 1-forma meromorfa 𝜔1=𝑓(𝑧)𝑑𝑧 definida en ℂ. Repitiendo el razonamiento anterior concluimos que 𝑔(𝑤) = 𝑓(1∕𝑤)(−1∕𝑤2), luego la 1-forma 𝜔definida en ℂ∞tiene en el infinito orden −2 + ord∞(𝑓). 3.2 Operaciones con 1-formas En esta sección trataremos de forma breve las operaciones más frecuentes que se pueden hacer con 1-formas cuyo resultado sea otra 1-forma. 3. 1-formas diferenciales 45 Multiplicación por funciones Proposición 3.2.1.Supongamos que ℎes una función holomorfa en una superficie de Riemann 𝑋y𝜔=𝑓(𝑧)𝑑𝑧 es una 1-forma holomorfa en 𝑋. Entonces ℎ𝜔 =ℎ𝑓(𝑧)𝑑𝑧 es una 1-forma holomorfa en 𝑋. Demostración. Tenemos que comprobar que las 1-formas locales de ℎ𝑤 se transforman bien. Supongamos que ℎ𝑤1=ℎ𝑓1(𝑧)𝑑𝑧 yℎ𝑤2=ℎ𝑓2(𝑤)𝑑𝑤 son dos 1-formas holomorfas, cada una con su coordenada local, tales que se cortan en sus dominios y por lo tanto las respectivas 1-formas de 𝑋,𝜔1y𝜔2también. Por hipótesis sabemos que estas dos últimas se transforman la una en la otra por el cambio de coordenadas 𝑇. De aquí deducimos que 𝑇transforma ℎ𝜔1en ℎ𝜔2. Observación 3.2.2.Esta misma proposición puede enunciarse para ℎuna función meromorfa y 𝜔una 1-forma meromorfa. El resultado ℎ𝜔 es una 1-forma meromorfa en 𝑋. Su demostración es análoga a la anterior. Corolario 3.2.3.Si ℎy𝜔son meromorfas en 𝑝entonces ord𝑝(ℎ𝜔) = ord𝑝(ℎ)+ord𝑝(𝜔). Demostración. Se sigue de este mismo resultado para funciones meromorfas. Imagen inversa de una 1-forma Sea 𝐹∶𝑋→𝑌un holomorfismo no constante entre dos superficies de Riemann. Sea 𝜔=𝑓(𝑧)𝑑𝑧 una 1-forma holomorfa (meromorfa) en 𝑌. Nuestro objetivo en esta sección es asociar a 𝐹y𝜔una 1-forma holomorfa (meromorfa) en 𝑋. Para ello, fijamos una carta 𝜙∶𝑈→𝑉de 𝑋y una carta 𝜓∶𝑈′→𝑉′tal que 𝐹(𝑈)⊂ 𝑈′. Sean 𝑤 y𝑧las coordenadas locales de 𝑈y𝑈′respectivamente y sea 𝑧=ℎ(𝑤)la lectura en coordenadas de 𝐹. Definición 3.2.4. Bajo las hipótesis anteriores, llamamos imagen inversa de 𝜔por 𝐹a la expresión 𝐹∗𝜔=𝑓(ℎ(𝑤))ℎ′(𝑤)𝑑𝑤. Lema 3.2.5.𝐹∗𝜔es una 1-forma holomorfa (meromorfa) bien definida en 𝑋. Demostración. Sea ℎ(𝑧)es una función holomorfa. Si 𝜔es una 1-forma holomorfa (meromorfa) entonces 𝑓(ℎ(𝑤))ℎ′(𝑤)es una función holomorfa (meromorfa). Para comprobar que la 1-forma está bien definida en 𝑋, es decir, que se transforma bien, razonamos siguiendo la prueba del lema 3.1.5 reemplazando 𝑇por ℎy 𝑇por  ℎ. 46 superficies de riemann Corolario 3.2.6.Si 𝜔es una 1-forma holomorfa (o meromorfa) entonces 𝐹∗(𝜔)es una 1-forma holomorfa (o meromorfa). Observación 3.2.7.También podemos hablar de la imagen inversa de una función 𝑓 vía 𝐹: sea 𝑓una función en 𝑌, entonces 𝐹∗𝑓es la función 𝑓◦𝐹. Lema 3.2.8.Supongamos que 𝐹∶𝑋→𝑌es un holomorfismo entre superficies de Riemann y 𝜔una 1-forma meromorfa en 𝑌. Fijado un punto 𝑝en 𝑋se tiene que ord𝑝(𝐹∗𝜔) = (1 + ord𝐹(𝑝)(𝜔)) ⋅mult𝑝(𝐹)−1. Demostración. Escojamos una coordenada local 𝑤en 𝑝y otra 𝑧en 𝐹(𝑝)tal que cerca de 𝑝la aplicación 𝐹tenga la forma 𝑧=𝑤𝑛, con 𝑛= mult𝑝(𝐹). Por otro lado, la 1- forma 𝜔con respecto a la coordenada 𝑧se puede expresar como 𝜔= (∑𝑖=𝑘𝑐𝑖𝑧𝑖)𝑑𝑧 donde 𝑘= ord𝐹(𝑝)(𝜔)y𝑐𝑘≠0. Entonces la 1-forma 𝐹∗𝜔es una expresión 𝐹∗𝜔= (∑ 𝑖=𝑘 𝑐𝑖𝑤𝑛𝑖)(𝑛𝑤𝑛−1)𝑑𝑤 en 𝑤. De aquí se deduce que el orden de 𝐹∗𝜔es 𝑛𝑘 +𝑛− 1. De manera similar al lema anterior, si tenemos en cuenta la observación 3.2.7, podemos probar el siguiente resultado: Lema 3.2.9.Sea 𝐹∶𝑋→𝑌es un holomorfismo entre superficies de Riemann y 𝑓 una función meromorfa en 𝑌. Fijado un punto 𝑝en 𝑋se satisface ord𝑝(𝑓◦𝐹) = mult𝑝(𝐹)⋅ord𝐹(𝑝)(𝑓). 3.3 Integración y el teorema del residuo El objetivo de esta sección es probar el famoso teorema del residuo para integrales en superficies de Riemann. No es el enfoque de este trabajo definir y tratar en profundidad los conceptos relacionados con la integración en dichas superficies, para ello ver [Mir95, sec. IV.3] o [FK92, sec I.4]. No obstante, haremos un breve resumen. Integración en superficies de Riemann Definición 3.3.1. Un camino en una superficie de Riemann 𝑋es una función continua 𝛾∶ [𝑎, 𝑏]→𝑋de clase ∞a trozos, con [𝑎, 𝑏]un intervalo cerrado real. Decimos que es un camino cerrado si 𝛾(𝑎) = 𝛾(𝑏). 3. 1-formas diferenciales 47 Lema 3.3.2.Veamos algunas propiedades: a. Todo camino puede reparametrizarse para que su dominio sea [0,1]. b. Si 𝐹∶𝑋→𝑌es una aplicación ∞entonces 𝐹∗𝛾=𝐹◦𝛾es un camino en 𝑌. c. Dados dos caminos 𝛾1y𝛾2en 𝑋(sin perdida de generalidad supongamos ambos parametrizados en [0,1]) tales que 𝛾1(1) = 𝛾2(0), entonces podemos concatenarlos, es decir, encontrar un camino 𝛾∶ [0,1] →𝑋que satisface que 𝛾|[0,1∕2] =𝛾1 y𝛾|[1∕2,1] =𝛾2. Este argumento se aplica fácilmente a un número finito de caminos. d. De manera similar al caso anterior, podemos dividir un camino en un número finito de caminos, es decir, dado un camino 𝛾en 𝑋, podemos encontrar una partición 0 = 𝑎0< 𝑎1< ... < 𝑎𝑛= 1 que da lugar a 𝑛caminos que se concatenan en 𝛾. Corolario 3.3.3.Sea 𝑋una superficie de Riemann y 𝛾un camino suyo. Entonces 𝛾 puede ser dividido en un número finito de caminos {𝛾𝑖}tal que cada 𝛾𝑖es ∞y su imagen está contenida en una única carta de 𝑋. Ya podemos definir la integral de una 1-forma 𝜔definida en una superficie de Riemann 𝑋en un camino 𝛾de 𝑋. Escogemos una partición de 𝛾tal que los 𝛾𝑖sean caminos ∞en su dominio [𝑎𝑖−1, 𝑎𝑖]y su imagen esté contenida en el dominio 𝑈𝑖 de una carta 𝜙𝑖de 𝑋. Con respecto a cada carta 𝜙𝑖escribimos la 1-forma 𝜔como 𝜔=𝑓𝑖(𝑧)𝑑𝑧 y consideramos la composición 𝜙𝑖◦𝛾𝑖=𝑧(𝑡). Definición 3.3.4. Con la notación anterior definimos la integral de 𝜔en 𝛾como el número complejo ∫𝛾 𝜔=∑ 𝑖∫𝑎𝑖 𝑡=𝑎𝑖−1 𝑓𝑖(𝑧(𝑡))𝑧′(𝑡)𝑑𝑡. Observación 3.3.5.Cabe destacar que, como 𝑓es una función holomorfa, el integrando es una función ∞y por lo tanto la integral está bien definida. Además, gracias a la definición dada, la integral de 𝜔en 𝛾no depende de la elección de coordenadas locales y es independiente de la parametrización de 𝛾. Por último enunciareamos un corolario del teorema de Stokes que nos será de utilidad en la prueba del teorema del residuo. Corolario 3.3.6.Sea 𝐷un conjunto cerrado triangulable de una superficie de Riemann 𝑋y sea 𝜔una 1-forma holomorfa o meromorfa. Entonces ∫𝜕𝐷 𝜔= 0, donde 𝜕𝐷 es la frontera topológica de 𝐷. 48 superficies de riemann Este resultado se obtiene del teorema de Stokes (que está enunciado en su totalidad en [Mir95, Teorema IV.3.16]) aplicando [Mir95, Lema IV.2.4] ya que nuestra función es holomorfa (o meromorfa). El teorema del residuo Sea 𝜔una 1-forma en una superficie de Riemann 𝑋meromorfa en un punto 𝑝∈𝑋. Escogiendo una coordenada local 𝑧centrada en 𝑝, podemos escribir su serie de Laurent como 𝜔=𝑓(𝑧)𝑑𝑧 = ( ∞ ∑ 𝑛=𝑀 𝑐𝑛𝑧𝑛)𝑑𝑧 donde 𝑐𝑀es distinto de cero y el orden de 𝜔en 𝑝es 𝑀. Definición 3.3.7. El residuo de 𝜔en 𝑝, denotado por Res𝑝(𝜔), es el coeficiente 𝑐−1 de la serie de Laurent para 𝑤en 𝑝. Sabemos que los coeficientes de la serie de Laurent dependen de la coordenada local escogida, no obstante el coeficiente 𝑐−1 no viene determinado por la carta seleccionada. Lema 3.3.8.Sea 𝜔una 1-forma meromorfa definida en 𝑝∈𝑋. Sea 𝛾un camino cerrado alrededor de 𝑝que no encierra ningún otro polo de 𝜔. Entonces Res𝑝(𝜔) = 1 2𝜋𝑖 ∫𝛾 𝜔. Demostración. Sea 𝜙∶𝑈→𝑉una carta de 𝑋centrada en 𝑝tal que 𝐼𝑚(𝛾)⊂ 𝑈con coordenada local 𝑧. Entonces, podemos escribir 𝜔en dicha coordenada local, 𝜔=𝑓(𝑧)𝑑𝑧. Sea ∑𝑛𝑐𝑛𝑧𝑛la serie de Laurent de 𝑓(𝑧). Así ∫𝛾 𝜔=∫𝜙𝛾 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 la cual sabemos que es 2𝜋𝑖𝑐−1 por el teorema del residuo para funciones de variable compleja. Corolario 3.3.9.El residuo de una 1-forma meromorfa está bien definido. Demostración. Es consecuencia del lema anterior y del hecho de que la integral no depende la carta escogida (y por lo tanto de la coordenada local) para definir la serie de Laurent de la 1-forma. 3. 1-formas diferenciales 49 Lema 3.3.10.Supongamos que 𝑓es una función meromorfa en 𝑝∈𝑋. Entonces 𝑑𝑓∕𝑓es una 1-forma meromorfa en 𝑝y su residuo en 𝑝coincide con el orden de 𝑓 en 𝑝. Demostración. Escojamos una carta centrada en 𝑝. Supongamos que su coordenada local es 𝑧y que ord𝑝(𝑓) = 𝑛. De esta forma, podemos expandir 𝑓,𝑓=∑𝑖=𝑛𝑐𝑖𝑧𝑖, cerca de 𝑝con 𝑐𝑛≠0. Así, 1∕𝑓se puede expresar como ∑𝑖=−𝑛𝑐′ 𝑖𝑧𝑖cerca de 𝑝con 𝑐′ −𝑛= 1∕𝑐𝑛. Por lo tanto 𝑑𝑓 = (∑𝑖=𝑛−1(𝑖+ 1)𝑐𝑖+1𝑧𝑖)𝑑𝑧 cerca de 𝑝y entonces el término de menor grado del cociente 𝑑𝑓∕𝑓es 𝑛∕𝑧. Observemos que el residuo en 𝑝es 𝑛. Teorema 3.3.11 (Teorema del residuo). Sea 𝜔una 1-forma meromorfa en una superficie de Riemann compacta 𝑋. Entonces ∑ 𝑝∈𝑋 Res𝑝(𝜔)=0. Demostración. Sabemos que los polos de 𝜔forman un conjunto finito en 𝑋(que es compacta), por lo tanto la suma es finita. Sean 𝑝1, 𝑝2, ..., 𝑝𝑛los polos de 𝜔. Escojamos para cada polo 𝑝𝑖un camino cerrado 𝛾𝑖en 𝑋que encierre a 𝑝𝑖y a ningún otro polo de 𝜔y llamemos 𝑈𝑖al interior de dicho camino (entendemos por interior al conjunto que encierra la imagen del camino cerrado). Por el lema 3.3.8 sabemos que ∫𝛾𝑖 𝜔= 2𝜋𝑖Res𝑝𝑖(𝜔). Sea 𝐷=𝑋−⋃𝑖𝑈𝑖. Se tiene que 𝜕𝐷 = − ∑𝑖𝛾𝑖. Entonces ∑ 𝑖 Res𝑝𝑖(𝜔) = 1 2𝜋𝑖 ∑ 𝑖∫𝛾𝑖 𝜔 =−1 2𝜋𝑖 ∫−∑𝑖𝛾𝑖 𝜔 =−1 2𝜋𝑖 ∫𝜕𝐷 𝜔 = 0, donde en la última igualdad hemos usado el corolario 3.3.6 del teorema de Stokes. Como consecuencia directa de este teorema y del lema 3.3.10, podemos llegar al mismo resultado que en la proposición 2.4.13. 56 superficies de riemann Para el segundo apartado, sea 𝑓una función meromorfa en 𝑌, queremos probar que 𝐹∗(div(𝑓)) es principal. Tomemos un punto 𝑝en 𝑋, sabemos que 𝐹∗(div(𝑓))(𝑝) = mult𝑝(𝐹)⋅div(𝑓)(𝐹(𝑝)) = mult𝑝(𝐹)⋅ord𝐹(𝑝)(𝑓) = ord𝑝(𝑓◦𝐹), donde hemos usado el lema 3.2.9. En el último apartado si el soporte de 𝐷es un único punto, digamos 𝑞, se sigue de la definición: deg(𝐹∗(𝐷)) = ∑ 𝑝∈𝐹−1(𝑞) mult𝑝(𝐹)𝐷(𝑞) =𝐷(𝑞)⋅∑ 𝑝∈𝐹−1(𝑞) mult𝑝(𝐹) =deg(𝐷)deg(𝐹). Por linealidad en 𝐷se tiene en general. Divisor de ramificación y divisor de rama Definición 4.1.24. Sea 𝐹∶𝑋→𝑌un holomorfismo no constante entre dos superficies de Riemann. Definimos el divisor de ramificación de 𝐹, y lo denotamos 𝑅𝐹, como el divisor en 𝑋 𝑅𝐹=∑ 𝑝∈𝑋 [mult𝑝(𝐹) − 1] ⋅𝑝. También definimos el divisor de rama de 𝐹, denotado 𝐵𝐹, como el divisor en 𝑌 𝐵𝐹=∑ 𝑦∈𝑌 [∑ 𝑝∈𝐹−1(𝑦) (mult𝑝(𝐹) − 1)] ⋅𝑦. Observación 4.1.25.Si 𝑋e𝑌son compactas, ambas sumas son finitas y tienen el mismo grado. Por otro lado, los grados de estos divisores nos permiten escribir la fórmula de Hurwitz como sigue: 2𝑔(𝑋) − 2 = deg(𝐹)(2𝑔(𝑌) − 2) + deg(𝑅𝐹). 4. divisores 57 Lema 4.1.26.Sea 𝐹∶𝑋→𝑌un holomorfismo no constante entre superficies de Riemann y sea 𝜔una 1-forma meromorfa en 𝑌, no idénticamente nula. Entonces div(𝐹∗𝜔) = 𝐹∗(div(𝜔)) + 𝑅𝐹. Demostración. Sabemos que, fijado un punto 𝑝, 𝐹∗(div(𝜔))(𝑝) = mult𝑝(𝐹)⋅div(𝜔)(𝐹(𝑝)) = mult𝑝(𝐹)ord𝐹(𝑝)(𝜔). Por otro lado, aplicando el lema 3.2.8 tenemos que div(𝐹∗𝜔) = ∑ 𝑝∈𝑋 ord𝑝(𝐹∗𝜔)⋅𝑝 =∑ 𝑝∈𝑋 [(1 + ord𝐹(𝑝)(𝜔)) ⋅mult𝑝(𝐹) − 1] ⋅𝑝 =∑ 𝑝∈𝑋 [(mult𝑝(𝐹)⋅ord𝐹(𝑝)(𝜔)) + (mult𝑝(𝐹) − 1)] ⋅𝑝 =𝐹∗(div(𝜔)) + 𝑅𝐹 Orden de los divisores Sea 𝑋una superficie de Riemann. Vamos a dotar al conjunto de los divisores de 𝑋,Div(𝑋), de un orden parcial: Definición 4.1.27. Sea 𝐷∈ Div(𝑋). Diremos que 𝐷≥0si 𝐷(𝑝)≥0para todo 𝑝∈𝑋. Así, escribiremos 𝐷 > 0si 𝐷≥0y𝐷≠0. También podemos comparar dos divisores de 𝑋, sean 𝐷1y𝐷2∈ Div(𝑋), entonces 𝐷1≥𝐷2si 𝐷1−𝐷2≥0y de manera similar podemos implementar >así como ≤y<. Observación 4.1.28.De esta forma, podemos descomponer un divisor 𝐷en su parte positiva y su parte negativa: 𝐷=𝑃−𝑁, donde 𝑃y𝑁son divisores no negativos de soporte disjunto. El siguiente corolario es una consecuencia inmediata que también puede ser enunciado para 1-formas meromorfas. Corolario 4.1.29.Si 𝑓es una función meromorfa en 𝑋, entonces 𝑓es holomorfa si y solo si div(𝑓)≥0. 58 superficies de riemann 4.2 Equivalencia lineal de divisores Definición 4.2.1. Sea 𝑋una superficie de Riemann y sean 𝐷1y𝐷2∈Div(𝑋). Decimos que son linealmente equivalentes, denotado por 𝐷1∼𝐷2, si su diferencia es un divisor principal. Lema 4.2.2.Sea 𝑋una superficie de Riemann. Entonces a. Un divisor es linealmente equivalente a 0si y solo si es un divisor principal. b. Ser linealmente equivalentes es una relación de equivalencia en el conjunto Div(𝑋)de los divisores en 𝑋. c. Si 𝑋es compacta, entonces los divisores linealmente equivalentes tiene el mismo grado. Demostración. La primera afirmación es inmediata, solo hay que tener en cuenta que 𝐷− 0 = 𝐷siendo 𝐷un divisor en 𝑋. Veamos (b). La propiedad reflexiva es inmediata. Supongamos que 𝐷1, 𝐷2y𝐷3 son divisores en 𝑋tales que 𝐷1∼𝐷2y𝐷2∼𝐷3. Claramente 𝐷2−𝐷1es principal. Se tiene que 𝐷1∼𝐷3ya que 𝐷1−𝐷3=𝐷1−𝐷2+𝐷2−𝐷3 y esto por hipótesis es la suma de dos divisores principales. Para el último apartado, gracias al lema 4.1.9 por ser 𝑋compacta sabemos que el grado de los divisores principales es nulo. Luego si 𝐷1∼𝐷2, deg(𝐷1) − deg(𝐷2)=0 lo que prueba el resultado. Ejemplos 4.2.3.Podemos ver algunos ejemplos sencillos, sea 𝑋una superficie de Riemann: a. Si 𝑓es una función meromorfa en 𝑋no idénticamente nula, entonces por la ecuación (4.1) sabemos que div0(𝑓) ∼ div∞(𝑓). b. Sea 𝑋=ℂ∞, entonces dos puntos cualesquiera 𝑝1y𝑝2de 𝑋son linealmente equivalentes. Para ello, tomemos 𝑝2≠∞, entonces la siguiente función 𝑓(𝑧)=(𝑧−𝑝1)∕(𝑧−𝑝2)es una función meromorfa tal que div(𝑓)=1⋅𝑝1−1⋅𝑝2. Si 𝑝2= ∞ consideramos 𝑓(𝑧) = 𝑧−𝑝1. El siguiente corolario será de gran importancia: 4. divisores 59 Corolario 4.2.4.Sea 𝑋una superficie de Riemann compacta de género 𝑔. Si existe una función meromorfa en 𝑋no constante entonces deg(𝜅)=2𝑔− 2 para todo divisor canónico 𝜅en 𝑋. Demostración. Gracias a la proposición 4.1.19 sabemos que existe un divisor canónico en 𝑋,𝜂, de grado 2𝑔− 2. Utilizando el corolario 4.1.18, la diferencia entre dos divisores canónicos es un divisor principal luego 𝜂∼𝜅y gracias al apartado (c) del lema anterior se completa la prueba. Multiplicidad de intersección Definición 4.2.5. Sean 𝐶1y𝐶2dos curvas proyectivas planas lisas definidas por los polinomios homogéneos e irreducibles 𝐹1y𝐹2respectivamente, donde ambos polinomios no se dividen entre sí. Sea 𝑝un punto común a ambas. Llamamos multiplicidad de intersección de 𝐶1y𝐶2en 𝑝, y lo denotamos I𝑝(𝐶1, 𝐶2), a la dimensión del anillo local en 𝑝de la intersección de 𝐶1y𝐶2. Es decir: I𝑝(𝐶1, 𝐶2) = dimℂ ℙ2,𝑝 ⟨𝐹1, 𝐹2⟩. Observación 4.2.6.Podemos relajar la definición anterior definiendo I𝑝(𝐶1, 𝐶2)como 0si 𝑝no es un punto en la intersección de ambas curvas. En cualquier caso, la multiplicidad de intersección toma valores enteros. Definición 4.2.7. Bajo las hipótesis anteriores, podemos definir el divisor de intersección de las curvas 𝐶1y𝐶2como 𝐼(𝐶1, 𝐶2) = ∑ 𝑝∈ℙ2 I𝑝(𝐶1, 𝐶2)⋅𝑝 Lema 4.2.8.El divisor de intersección es efectivamente un divisor bien definido de grado deg(𝐹1)⋅deg(𝐹2). Demostración. Como los polinomios 𝐹1y𝐹2no se dividen entre sí y son irreducibles, sus respectivas curvas no tienen componentes en común. Sean 𝑛1y𝑛2el grado de dichos polinomios. El teorema de Bézout (ver teorema A.0.3) nos asegura que las curvas 𝐶1y𝐶2se cortan en exactamente 𝑛1⋅𝑛2puntos (contados de acuerdo a su multiplicidad) y podemos afirmar que el soporte es finito. 60 superficies de riemann Si queremos hacer hincapié en el polinomio homogéneo que define una de las curvas, podemos definir el divisor de intersección como sigue: Definición 4.2.9. Sean 𝐶1y𝐶2dos curvas proyectivas planas lisas donde 𝐶2es el lugar de los ceros de un polinomio homogéneo 𝐺. Llamaremos divisor de intersección de 𝐺en 𝐶1,div(𝐺), al divisor de intersección de 𝐶1y𝐶2. Fórmula de Plücker En esta breve sección vamos a enunciar y demostrar la fórmula de Plücker, para ello necesitamos el siguiente lema: Lema 4.2.10.Sea 𝐶una curva proyectiva plana lisa definida por el polinomio homogéneo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0. Consideramos ahora la aplicación 𝜋∶𝐶→ℙ1definida como 𝜋[𝑥∶𝑦∶𝑧] = [𝑥∶𝑧]. Entonces el divisor de intersección definido por la función meromorfa 𝜕𝐹 ∕𝜕𝑦 en 𝐶es exactamente el divisor de ramificación 𝑅𝜋de 𝜋: div(𝜕𝐹 ∕𝜕𝑦) = 𝑅𝜋. Demostración. Recordemos que gracias al lema 2.4.6, 𝑝∈𝐶es un punto de ramificación si y solo si (𝜕𝐹 ∕𝜕𝑦)(𝑝)=0. Es decir, ambos divisores tienen el mismo soporte. Vamos a probar el lema para el conjunto abierto 𝑧≠0, en los otros dos abiertos el razonamiento es similar. En este caso, 𝑋es isomorfo a la curva afín plana definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐹(𝑥, 𝑦, 1) = 0, es más, la restricción de 𝜋al plano afín es la aplicación proyección de (𝑥, 𝑦)en 𝑥. Sea 𝑝= (𝑥0, 𝑦0)un punto de ramificación de 𝜋y por lo tanto un cero de 𝜕𝑓∕𝜕𝑦. De aquí deducimos que 𝜕𝑓∕𝜕𝑥 es distinto de cero en 𝑝ya que 𝑋 es lisa, así, por el teorema de la función implícita, en un entorno de 𝑝se tiene que 𝑋 es localmente el grafo de una función holomorfa 𝑔(𝑦). De esta manera 𝑓(𝑔(𝑦), 𝑦)es exactamente cero en un entorno de 𝑦0. Derivamos respecto de 𝑦obteniendo que 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑔′(𝑦) + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 es idénticamente nulo en 𝑋cerca de 𝑝, luego 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = −𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑔′(𝑦) cerca de 𝑝. Ahora, 𝑔(𝑦)es precisamente la lectura en coordenadas de la proyección 𝜋. En consecuencia, el orden de 𝑔(𝑦)es la multiplicidad de 𝜋y el orden de 𝑔′(𝑦)es uno 4. divisores 61 menos que dicha multiplicidad. Como (𝜕𝑓∕𝜕𝑥)≠0en 𝑝, el orden de 𝑔′(𝑦)es el mismo que el orden de 𝜕𝑓∕𝜕𝑦. Así pues ord𝑝(𝜕𝑓 𝜕𝑦 ) = mult𝑝(𝜋)−1. El número de la izquierda es el valor del divisor de intersección div(𝜕𝐹 ∕𝜕𝑦)en 𝑝 mientras que a la derecha tenemos el valor del divisor de ramificación 𝑅𝜋en 𝑝. Proposición 4.2.11 (Fórmula de Plücker).Una curva proyectiva plana lisa de grado 𝑑 tiene género 𝑔= (𝑑− 1)(𝑑− 2)∕2. Demostración. Sea 𝐶una curva proyectiva plana lisa de grado 𝑑, definida por el polinomio homogéneo 𝐹. Consideremos el holomorfismo 𝜋anterior. Esta aplicación tiene grado 𝑑y por el lema anterior su divisor de ramificación es igual al divisor de intersección de (𝜕𝐹 ∕𝜕𝑦). Por el teorema de Bézout esta intersección tiene 𝑑(𝑑− 1) puntos, entonces por la fórmula de Hurwitz y teniendo en cuenta que el género de ℙ1 es cero (ver 2.3.7) se tiene que 2𝑔− 2 = 𝑑(−2) + 𝑑(𝑑− 1) para 𝑔el género de 𝑋. Trabajando esta expresión llegamos a que 𝑔= (𝑑− 1)(𝑑− 2)∕2. 4.3 Espacios de funciones y formas asociadas a los divisores En esta sección nuestro objetivo es caracterizar las funciones meromorfas usando divisores, para ello usaremos la función orden. Por conveniencia, diremos que si una función es idénticamente nula en un entorno de un punto 𝑝, esta tendrá orden ∞en 𝑝. El espacio (𝐷) Definición 4.3.1. Sea 𝐷un divisor en una superficie de Riemann 𝑋. Llamaremos espacio de funciones meromorfas con polos acotados por 𝐷, denotado por (𝐷), al conjunto (𝐷)={𝑓∈(𝑋)|div(𝑓)≥−𝐷}. 62 superficies de riemann Observaciones 4.3.2.De esta definición podemos deducir algunos hechos relevantes: a. Primero interpretemos la definición. Supongamos que 𝐷(𝑝) = 𝑛 > 0, así si 𝑓∈(𝐷)se tiene que ord𝑝(𝑓)≥−𝑛, es decir, a lo sumo 𝑓tiene un polo en 𝑝 de orden 𝑛. Si 𝐷(𝑝)=−𝑛 < 0entonces para que 𝑓esté en (𝐷)debe tener un cero de orden 𝑛en el peor de los casos. b. (𝐷)es un espacio vectorial complejo. Llamaremos 𝑙(𝐷)a su dimensión. c. Si 𝐷1≤𝐷2, se tiene que 𝐷1(𝑝)≤𝐷2(𝑝)para todo 𝑝, luego (𝐷1)⊆(𝐷2) d. Sabemos que una función meromorfa es holomorfa si y solo si div(𝑓)≥0, luego (0) = (𝑋) = { funciones holomorfas en 𝑋}. En particular, si 𝑋es compacta entonces (0) = { funciones constantes en 𝑋}≅ℂ Lema 4.3.3.Sea 𝑋una superficie de Riemann compacta. Si 𝐷es un divisor en 𝑋con deg(𝐷)<0, entonces (𝐷) = {0} Demostración. Por reducción al absurdo, sea 𝑓∈(𝐷)y𝑓no idénticamente nula. Consideremos el divisor 𝐸= div(𝑓) + 𝐷. Teniendo en cuenta que 𝑓∈(𝐷), es una simple comprobación ver que 𝐸≥0y por lo tanto deg(𝐸)≥0. Sin embargo, sabemos que deg(div(𝑓)) = 0 de donde se deduce que deg(𝐸) = deg(𝐷)<0lo cual contradice lo anterior. En una sección anterior presentamos el concepto de divisores linealmente equivalentes. Esto nos será de utilidad ya que si 𝐷1∼𝐷2entonces sus espacios de funciones meromorfas serán isomorfos. Proposición 4.3.4.Sean 𝐷1y𝐷2dos divisores linealmente equivalentes en una superficie de Riemann 𝑋. Sabemos que 𝐷1=𝐷2+ div(ℎ)con ℎuna cierta función meromorfa no nula. Entonces, la multiplicación por ℎda un isomorfismo de espacios vectoriales complejos: 𝜇ℎ∶(𝐷1)≅ ←←←←←←→ (𝐷2) 𝑓→ ℎ𝑓. Demostración. Veamos que 𝜇ℎestá bien definida. Sea 𝑓∈(𝐷1), es decir, se tiene que div(𝑓)≥−𝐷1. Teniendo en cuenta el lema 4.1.8: div(ℎ𝑓) = div(ℎ) + div(𝑓)≥div(ℎ) − 𝐷1= −𝐷2, así pues la función ℎ𝑓 =𝜇ℎ(𝑓)está en (𝐷2). Por lo tanto, 𝜇ℎenvía (𝐷1)en (𝐷2). Por la definición dada se observa que es lineal y por simetría 𝜇1∕ℎenvía (𝐷2)en (𝐷1), siendo inversas una de la otra. Concluimos que 𝜇ℎes un isomorfismo. 4. divisores 63 El espacio (1)(𝐷) De forma similar a como hemos definido el espacio de funciones con polos acotados por un divisor podemos definir espacios de 1-formas meromorfas. Definición 4.3.5. Sea 𝐷un divisor en una superficie de Riemann 𝑋. Llamaremos espacio de 1-formas meromorfas con polos acotados por 𝐷, denotado (1)(𝐷), al conjunto de 1-formas meromorfas (1)(𝐷)={𝜔∈(1)(𝑋)|div(𝜔)≥−𝐷}. Observaciones 4.3.6.De nuevo, recalcamos un par de hechos: a. (1)(𝐷)es un ℂ-espacio vectorial y llamamos 𝑙(𝐷)a su dimensión. b. (1)(0) es el espacio de las 1-formas holomorfas en 𝑋. Igual que para el caso de funciones meromorfas podemos probar la siguiente proposición: Proposición 4.3.7.Sean 𝐷1y𝐷2dos divisores de 𝑋linealmente equivalentes, es decir, 𝐷1=𝐷2+ div(ℎ)con ℎuna cierta 1-forma meromorfa. Entonces, la multiplicación por ℎda un isomorfismos entre espacios vectoriales 𝜇ℎ∶(1)(𝐷1)≅ ←←←←←←→ (1)(𝐷2) 𝑓→ ℎ𝑓. Isomorfismos entre (1)(𝐷)y(𝐷+𝜅) Lema 4.3.8.Sea 𝜅= div(𝜔)un divisor canónico en una superficie de Riemann 𝑋y 𝐷un divisor en 𝑋. Entonces, la aplicación 𝜇𝜔∶(𝐷+𝜅)→(1)(𝐷) 𝑓→ 𝑓𝜔. es un isomorfismo de espacios vectoriales. Demostración. Comprobemos que 𝜇𝜔está bien definida. Sea 𝑓∈(𝐷+𝜅), luego div(𝑓) + 𝐷+𝜅≥0. Por el lema 4.1.16 sabemos que la 1-forma 𝑓 𝜔 satisface que div(𝑓𝜔) = div(𝑓)+div(𝜔) = div(𝑓)+𝜅. Así pues, div(𝑓𝜔)+𝐷= div(𝑓)+𝜅+𝐷≥0 y𝑓𝜔 ∈(1)(𝐷). 64 superficies de riemann Por otro lado, se observa que es claramente lineal e inyectiva. Demostremos que es sobreyectiva. Para ello, escojamos una 1-forma 𝜔′∈(1)(𝐷). Por el lema 4.1.17, existe una función meromorfa 𝑓tal que 𝜔′=𝑓𝜔. Entonces div(𝑓) + 𝐷+𝜅= div(𝑓) + 𝐷+ div(𝜔) = div(𝑓𝜔) + 𝐷= div(𝜔′) + 𝐷≥0, luego 𝑓∈(𝐷+𝜅)y se satisface que 𝜇𝜔(𝑓) = 𝜔′. (𝐷)en la esfera de Riemann Sea 𝐷un divisor en la esfera de Riemann con grado no negativo, 𝐷= 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑒𝑖⋅𝜆𝑖+𝑒∞⋅∞ con los 𝜆𝑖∈ℂdistintos entre sí. Como deg(𝐷)≥0,∑𝑖𝑒𝑖+𝑒∞≥0. Consideramos la función 𝑓𝐷(𝑧) = 𝑛 ∏ 𝑖=1 (𝑧−𝜆𝑖)−𝑒𝑖. Proposición 4.3.9.Con la notación anterior, el espacio (𝐷)es exactamente el espacio (𝐷)={𝑔(𝑧)𝑓𝐷(𝑧)|𝑔(𝑧)es un polinomio de grado a lo sumo deg(𝐷)}. Demostración. Realizaremos la prueba por doble contención. Sea 𝑔(𝑧)un polinomio de grado 𝑑≤deg(𝐷). Observemos que el orden de 𝑔es 0 salvo en 𝑑puntos (contados de acuerdo a su multiplicidad), luego cumple la siguiente relación: div(𝑔)≥−𝑑⋅∞(el término derecho de la igualdad es el divisor nulo salvo en ∞, que toma el valor −𝑑). Por otro lado, el divisor asociado a 𝑓𝐷es div(𝑓𝐷) = ∑ 𝑖 −𝑒𝑖⋅𝜆𝑖+ (∑ 𝑖 𝑒𝑖)⋅∞ y se verifica que div(𝑓𝐷) + 𝐷= (∑ 𝑖 𝑒𝑖+𝑒∞)⋅∞. 4. divisores 65 Teniendo esto en cuenta div(𝑔(𝑧)𝑓𝐷(𝑧)) + 𝐷= div(𝑔) + div(𝑓𝐷) + 𝐷 ≥(∑ 𝑖 𝑒𝑖+𝑒∞−𝑑)⋅∞ = (deg(𝐷) − 𝑑)⋅∞ ≥0. Esto prueba que el espacio dado es un subespacio de (𝐷). Veamos la otra inclusión. Sea ℎ∈(𝐷)y sea 𝑔=ℎ∕𝑓𝐷. Tenemos que div(𝑔) = div(ℎ) − div(𝑓𝐷)≥−𝐷− div(𝑓𝐷) = (− ∑ 𝑖 𝑒𝑖−𝑒∞)⋅∞=−deg(𝐷)⋅∞, esto nos dice que 𝑔no tiene polos en ℂy que a lo sumo puede tener un polo en ∞ de orden deg(𝐷). Concluimos que 𝑔es un polinomio de grado como mucho deg(𝐷). Esto finaliza la prueba. Gracias a la proposición anterior, podemos deducir la dimensión del espacio (𝐷): Corolario 4.3.10.Sea 𝐷un divisor en la esfera de Riemann. Se cumple que 𝑙(𝐷) = dim(𝐷) = {0si deg(𝐷)<0, y 1 + deg(𝐷)si deg(𝐷)≥0. Demostración. Si deg(𝐷)<0entonces (𝐷) = {0} por el lema 4.3.3. En caso contrario, (𝐷)tiene la misma dimensión que el espacio vectorial generado por los polinomios de grado menor o igual que deg(𝐷), es decir, deg(𝐷)+1. Cota en la dimensión de (𝐷) Lema 4.3.11.Sea 𝑋una superficie de Riemann, 𝐷un divisor en 𝑋y𝑝un punto de 𝑋. Se cumple que (𝐷−𝑝) = (𝐷)o(𝐷−𝑝)tiene codimensión uno como subespacio de (𝐷)(entendemos 𝑝como el divisor nulo excepto en 𝑝, que vale uno). Demostración. Escojamos una coordenada local z centrada en 𝑝y sea 𝑛= −𝐷(𝑝).Así, toda función 𝑓∈(𝐷)tiene como serie de Laurent en 𝑝una de la forma ∑𝑖=𝑛𝑐𝑖𝑧𝑖. 72 superficies de riemann Corolarios Gracias al teorema de Riemann-Roch podemos dar una definición alternativa del género de una curva proyectiva plana lisa: Corolario 5.2.1.El género de una curva proyectiva plana lisa 𝐶es igual a la dimensión del espacio vectorial de las 1-formas holomorfas en 𝐶. Demostración. Tomando 𝐷= 0 en el teorema de Riemann-Roch obtenemos que 𝑙(0) − 𝑙(𝜅) = 1 − 𝑔. Sabemos que 𝑙(0) es la dimensión del espacio vectorial de las funciones holomorfas en 𝐶que por la observación 4.3.2 tiene dimensión 1. Así pues 𝑙(𝜅) = 𝑔 donde 𝑙(𝜅)es la dimensión de (𝜅), que por el lema 4.3.8 (de nuevo, 𝐷= 0) es isomorfo a(1)(0), o lo que es lo mismo, el espacio de todas las 1-formas holomorfas en 𝐶. Observación 5.2.2.De esta forma hemos caracterizado el género de una curva proyectiva plana lisa de tres formas equivalentes: como superficie topológica (género topológico), mediante la fórmula de Plücker y gracias al teorema de Riemann-Roch (género geométrico). Se conoce al menos una noción más de género, el género aritmético, pero este escapa del alcance de este trabajo. Corolario 5.2.3.Toda función meromorfa en una curva proyectiva plana lisa es una función racional. Demostración. Como hemos visto con anterioridad, sabemos que existe una 1-forma meromorfa 𝜅definida en 𝐶. El teorema de Riemann-Roch nos dice que la desigualdad del lema 5.1.3 es exactamente una igualdad, por lo tanto el espacio de funciones meromorfas (𝑚𝐻)tiene la misma dimensión que el espacio de las posibles funciones 𝑓 definidas en dicho lema. Gracias a que div(𝑓) ∈ (𝑚𝐻)podemos asegurar que ambos espacios son iguales. Ahora, consideremos una función meromorfa 𝑓en 𝐶tal que div(𝑓) + 𝑚𝐻 ≥0. Así, está función está contenida en el espacio de funciones meromorfas acotadas por 𝑚𝐻, es decir, 𝑓∈(𝑚𝐻)y por tanto 𝑓es de la forma 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑚 5. el teorema de riemann-roch 73 para cierto polinomio 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐶𝑚[𝑥, 𝑦, 𝑧]. Este mismo argumento se puede repetir cambiando las hipótesis del lema 5.1.3 de forma que si 𝐿1, ..., 𝐿𝑚son rectas en ℙ2y𝐻𝑗sus correspondientes divisores de intersección con 𝐶, entonces si 𝑚es lo suficientemente grande toda función 𝑓meromorfa en 𝐶que cumpla div(𝑓) + 𝐻1+... +𝐻𝑚≥0(5.4) es racional. Nos basta probar que toda función meromorfa en 𝐶satisface (5.4) para ciertos 𝐻1, ..., 𝐻𝑚. Para ello, sea 𝑓una función meromorfa en 𝐶y sea 𝑝∈𝐶un polo de 𝑓. Consideramos una recta, 𝐿𝑝, que pase por este polo y sea 𝐻𝑝el divisor de intersección de 𝐿𝑝y𝐶. Sabemos que 𝐻𝑝≥0(siendo la desigualdad estricta en 𝑝) luego sumando un número finito de veces este divisor obtenemos que ord𝑝(𝑓) + 𝐻𝑝(𝑝) + ... +𝐻𝑝(𝑝)≥0. Ya que 𝑓tiene un número finito de polos, repetimos este proceso en cada uno de ellos obteniendo unos 𝐻1, ..., 𝐻𝑚que satisfacen la ecuación (5.4), concluyendo así que 𝑓es una función racional. Corolario 5.2.4.Toda curva proyectiva plana lisa 𝐶de género 0es isomorfa a la esfera de Riemann. Demostración. Fijemos un punto 𝑝∈𝐶. Sabemos que existe un divisor canónico 𝜅 de grado 2𝑔− 2 = −2. Vamos a aplicar el teorema de Riemann-Roch donde 𝐷es el divisor asociado al punto 𝑝: 𝑙(𝐷) − 𝑙(𝜅−𝐷) = deg(𝐷) + 1 − 𝑔. Como el divisor 𝜅−𝑝tiene grado −3 se tiene que 0 = (𝜅−𝑝) = (𝜅−𝐷). Así 𝑙(𝐷) = 1 + 1 − 0 = 2. De aquí deducimos que existe una función meromorfa no constante 𝑓en (𝐷). Esta función 𝑓solo tiene un polo en 𝑝que además es simple. La proposición 2.4.12 nos afirma que 𝐶es isomorfa a ℂ∞. Observación 5.2.5.En general, se puede demostrar que toda superficie de Riemann 𝑋 compacta tiene una función meromorfa no trivial. Para ello, consideramos el divisor 𝐷= (𝑔+ 1)𝑝. Por el teorema de Riemann (para superficies de Riemann compactas) 𝑙(𝐷)≥deg(𝐷) + 1 − 𝑔= 2, y razonando como antes vemos que existe una función meromorfa no trivial en 𝑋. 74 superficies de riemann Otro gran resultado sobre superficies de Riemann compactas es la equivalencia de categorías entre estas (junto con los holomorfismos entre ellas) y las curvas algebraicas sobre ℂ(con las aplicaciones racionales ente sí). A su vez, ambas categorías son equivalentes a las extensiones de ℂde grado de trascendencia uno con los homomorfismos entre ellas. Estas importantes afirmaciones desafortunadamente no pueden ser tratadas con el rigor que merecen en este trabajo debido a la complejidad que conllevan. Se pueden encontrar detalladas en [Mir95, cap. VI] y en [DD20, sec. VI.3]. A Apéndice En este breve apéndice enunciaremos resultados que ya hemos visto a lo largo de la carrera y que hemos utilizado en este trabajo o de los que se deduce algún otro resultado necesario en este proyecto. Resultados de geometría algebraica Los siguientes resultados se pueden encontrar en [Rei95] y [Har97]. Teorema A.0.1 (Hilbert’s Nullstellensatz). Supongamos que 𝐾es un cuerpo algebraicamente cerrado y sea 𝐼 ⊆ 𝐾[𝑥1, ..., 𝑥𝑛]un ideal. Entonces ((𝐼)) = √𝐼. Proposición A.0.2.El conjunto de puntos regulares de una variedad cuasi-proyectiva es abierto en la topología de Zariski. Teorema A.0.3 (Teorema de Bézout). Sean 𝐶1y𝐶2dos curvas proyectivas planas sin componentes en común de grado 𝑛1y𝑛2respectivamente. Se satisface que estas curvas se cortan en 𝑛1⋅𝑛2puntos contados de acuerdo a su multiplicidad. Resultados de geometría y topología Proposición A.0.4.Toda región regular admite una triangulación. Proposición A.0.5.Dada una región regular 𝑅, la característica de Euler-Poincaré de cualquier triangulación de no depende de la triangulación. Para ver estos resultados en detalle, consultar [Mun97]. Bibliografía [Apo90] Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet series in number theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 41, Springer-Verlag, New York, 1990. [DD20] Régine Douady and Adrien Douady, Algebra and Galois theories, Springer, Cham, 2020. [FK92] Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, vol. 71, Springer-Verlag, New York, 1992. [For91] Otto Forster, Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, vol. 81, Springer-Verlag, New York, 1991. [Har97] Robin Hartshorne, Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, No. 52, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1997. [Kir92] Frances Kirwan, Complex algebraic curves, London Mathematical Society Student Texts, vol. 23, Cambridge University Press, Cambridge, 1992. [Mir95] Rick Miranda, Algebraic curves and Riemann surfaces, Graduate Studies in Mathematics, vol. 5, American Mathematical Society, Providence, RI, 1995. [Mun97] James R. Munkres, Topology: A first course, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1997. [Rei95] Miles Reid, Undergraduate commutative algebra, London Mathematical Society Student Texts, vol. 29, Cambridge University Press, 1995. [Sti20] John Stillwell, Mathematics and its history, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, Cham, 2020. [Yin05] Daniel Ying, History of Riemann surfaces, disponible en http://riemannsurfaces.com/ownwork/history.pdf, 2005.