Análisis y control óptimo de las EDPs estacionarias de Stokes y Navier-Stokes

Universidad de Sevilla Facultad de Matem´aticas Trabajo Fin de Grado An´alisis y control ´optimo de las EDPs estacionarias de Stokes y Navier-Stokes Autor: Javier Cand´on Cifuentes Tutor: Enrique Fern´andez Cara 3 de diciembre de 2021 ´ Indice general 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes 10 1.1. Algunos espacios funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.1. Notaci´on ........................... 10 1.1.2. Caracterizaci´on de los espacios HyV........... 13 1.2. Existencia y unicidad de la soluci´on de las ecuaciones de Stokes . 14 1.2.1. Formulaci´on variacional del problema . . . . . . . . . . . 14 1.2.2. Existencia y unidad de soluci´on para el problema de Stokes 16 1.2.3. El problema de Stokes no homog´eneo . . . . . . . . . . . 19 1.2.4. Resultados de regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3. Discretizaci´on de las ecuaciones de Stokes (m´etodo de diferencias finitas)................................. 21 1.4. Discretizaci´on de las ecuaciones de Stokes (m´etodo de elementos finitos)................................. 23 1.4.1. Resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.2. Elementos finitos de grado 2 (n= 2) ........... 27 1.4.3. Elementos finitos de grado 3 (n= 3) ........... 32 1.4.4. Una aproximaci´on interna de V . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4.5. Elementos finitos no conformes . . . . . . . . . . . . . . . 40 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes 44 2.1. El caso lineal. Ecuaciones de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.1. Notaci´on ........................... 45 2.1.2. El teorema de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . 46 2.2. Teoremas de compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.1. Resultado preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 ´ Indice general 2.2.2. Teorema de compacidad en los espacios de Banach . . . . 54 2.2.3. Teoremas de compacidad en los espacios de Hilbert . . . . 56 2.3. Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.3.1. Un teorema de existencia en Rn(n≤4 n≤4 n≤4).......... 60 2.3.2. Regularidad y unicidad para n= 2 n= 2 n=2............. 67 2.3.3. Regularidad y unicidad para n= 3 n= 3 n=3............. 69 2.3.4. Soluciones m´as regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.3.5. Relaciones entre los problemas de existencia y unicidad para n= 3 n= 3 n=3 .......................... 73 2.3.6. El caso f= 0 f= 0 f=0......................... 74 3. Control ´optimo de las EDPs estacionarias de Stokes 75 3.1. Existencia, unicidad y caracterizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2. C´alculo del control ´optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4 Introducci´on Uno de los fen´omenos de la F´ısica m´as complicados de estudiar y analizar es el movimiento de los fluidos. A d´ıa de hoy, conocer el comportamiento de ´estos para poder predecir el clima, las corrientes oce´anicas, el estudio del flujo sangu´ıneo, el flujo de agua en una tuber´ıa o en un reactor, del flujo de aire alrededor de aviones o proyectiles... es de suma importancia en Geof´ısica, Medicina o Ingenier´ıa. La din´amica de un fluido real queda descrita en la gran mayor´ıa de situaciones posibles por las ecuaciones de Navier-Stokes, nombradas as´ı en honor al ingeniero y f´ısico franc´es Claude-Louis Navier y al f´ısico y matem´atico anglo irland´es George Gabriel Stokes. Se trata de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que expresan la conservaci´on de la cantidad de movimiento (el momento lineal) y de la masa para fluidos Newtonianos (es decir, para fluidos viscosos cuya viscosidad puede considerarse constante). No existe una soluci´on general para dichas ecuaciones. A excepci´on de ciertos tipos de fluidos y/o situaciones muy concretas, no se puede encontrar una soluci´on anal´ıtica, requiriendo por ello la teor´ıa de Ecuaciones en Derivadas Parciales de la ayuda del An´alisis Funcional y del An´alisis Num´erico para determinar una soluci´on aproximada. El objetivo principal de este trabajo es determinar las condiciones sobre las cuales podemos encontrar y controlar (y determinar mediante diferentes algoritmos) soluciones m´as o menos regulares. En los dos primeros cap´ıtulos haremos un an´alisis tanto de las ecuaciones estacionarias de Stokes como de las ecuaciones de evoluci´on de Navier- 6 Introducci´on Stokes. Principalmente, enunciaremos resultados de existencia, unicidad y regularidad de las soluciones. Adem´as, cuando estudiemos en el primer cap´ıtulo las ecuaciones estacionarias de Stokes, trabajaremos con ciertos espacios funcionales (fundamentales en este contexto) y presentaremos aproximaciones basadas en m´etodos de elementos finitos. El an´alisis de las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes que se muestra en el segundo cap´ıtulo es mucho m´as complejo. Nos centraremos en obtener la formulaci´on variacional del problema y los resultados principales de existencia y unicidad de soluci´on en los casos bidimensional y tridimensional. Por otro lado, en el tercer cap´ıtulo formularemos y resolveremos un problema de control ´optimo para las ecuaciones estacionarias de Stokes: existencia, unicidad, caracterizaci´on y c´alculo de la soluci´on mediante algoritmos de punto fijo. 7 Introduction One of the most complicated phenomena in physics to study and analyze is the motion of fluids. Today, to know their behavior to be able to predict the climate, the ocean currents, the study of blood flow, the flow of water in a pipe or in a reactor, the flow of air around planes or projectiles... is of utmost importance in geophysics, medicine or engineering. The dynamics of a real fluid is described in the vast majority of possible situations by the Navier-Stokes equations, named after the French engineer and physicist Claude-Louis Navier and the Anglo-Irish physicist and mathematician George Gabriel Stokes. It is a system of nonlinear partial differential equations that express the linear momentum and mass conservation for Newtonian fluids (i.e., for viscous fluids whose viscosity can be considered constant). There is no general explicit solution for such equations. With the exception of certain types of fluids and/or very specific situations, an analytical solution cannot be found, requiring therefore the theory of Partial Differential Equations with the help of Functional Analysis and Numerical Analysis to determine an approximate solution. The main objective of this work is to present some conditions under which we can find and control (and determine through different algorithms) more or less regular solutions. In the first two chapters, we will analyze both the stationary Stokes equations and the evolution Navier-Stokes equations. Mainly, we will state results on the existence, uniqueness and regularity of solutions. In addition, in the study in the first chapter of the stationary Stokes equations, we will work with cer- 8 Introduction tain functional spaces (fundamental in this context) and present aproximations based on Finite Element Methods. The analysis of the Navier-Stokes evolution equations given in the second chapter is much more complex. We will focus on obtaining the variational (weak) formulation of the problem and the main results on existence and uniqueness of solution in the two-dimensional and threedimensional cases. Finally, in the third chapter we will formulate and solve an optimal control problem for the stationary Stokes equations: existence, uniqueness, characterization and calculation of the solution (the optimal control-state pair) by some fixed-point algorithms. 9 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes Lema 1.1. Sea Ωun conjunto abierto y acotado de clase C2. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (i) u∈Vsatisface (1.6). (ii) u∈H1 0(Ω) y satisface (1.1) −(1.3) en el sentido de las distribuciones: Existe p ∈L2(Ω) tal que −ν∆u+∇p=fen Ω (1.7) ∇ · u= 0 en Ω (1.8) γ0u= 0 (1.9) Definici´on 1.1. El problema ”determinar u∈Vque satisfaga (1.6)”se denomina la formulaci´on variacional del problema (1.1) −(1.3). 1.2.2. Existencia y unidad de soluci´on para el problema de Stokes Teorema 1.3. Para cualquier Ω⊂Rnconjunto abierto y acotado en alguna direcci´on, y para cada f∈L2(Ω) (o f∈H−1(Ω)), el problema (1.6) posee una ´unica soluci´on u. Es m´as, existe una funci´on p∈L2 loc(Ω) tal que satisface (1.7)−(1.8). Y adem´as, si Ωes un conjunto abierto y acotado de clase C2, entonces p∈L2(Ω), y se cumple (1.7)−(1.9). Este Teorema es consecuencia directa del Lema 1.1 y del siguiente Teorema cl´asico: Teorema 1.4 (Teorema de Lax-Milgram).Sea Wun espacio real de Hilbert (con norma || · ||W), y sea a(u,v)una forma continua bilineal en W×Wque es coerciva, es decir, existe α > 0tal que a(u,u)≥α||u||2 W∀u∈W(1.10) 16 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes Luego para cada len W0(el espacio dual de W), existe una y solo una funci´on u∈Wtal que a(u,v) = hl, vi ∀v∈W(1.11) Observaci´on 1.2. Para aplicar este Teorema a (1.6), tomamos Wcomo el espacio Vequipado con la norma asociada a (1.4), a(u,v) = ν((u,v)), y para v→ hl, vila forma v→(f,v), que es lineal y continua en V. El espacio Ves separable como un subespacio cerrado del espacio separable H1 0(Ω). Demostraci´on del Teorema 1.4. En primer lugar, demostremos la unicidad de la soluci´on de (1.11). Sean u1yu2dos soluciones, y definamos u=u1−u2. Tenemos a(u1,v) = a(u2,v) = hl, vi ∀v∈W a(u1−u2,v)=0 ∀v∈W Tomando v=u, y usando (1.10), α||u||2 W≤a(u,u)=0 Luego u= 0. Veamos ahora la existencia de la soluci´on. Por simplicidad, daremos la prueba suponiendo que Wes separable. Existe una sucesi´on de elementos w1,...,wm,...,de Wque lo definen en su totalidad. Sea Wmel espacio definido por w1,...,wm. Para cada mentero fijo, definimos una soluci´on aproximada de (1.11): um= m X i=1 ξi,mwiξi,m ∈R cumpliendo a(um,v) = hl, vi ∀v∈Wm Demostremos que existe una y solo una umque cumple esta igualdad, la cual es equivalente al conjunto de mecuaciones a(um,wj) = hl, wjij= 1,...m Constituyen un sistema lineal para las mcomponentes ξi,m de um: 17 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes m X i=1 ξi,ma(wi,wj) = hl, wjij= 1, . . . , m La existencia y unicidad de umquedar´ıa demostrada si conseguimos ver que el anterior sistema es regular. Para conseguirlo, ser´a suficiente probar que el respectivo sistema homog´eneo asociado, es decir, m X i=1 ξia(wi,wj) = 0 j= 1, . . . , m (1.12) tiene una ´unica soluci´on ξ1, . . . , ξm= 0. Pero si ξ1, . . . , ξmsatisfacen (1.12), entonces multiplicando cada ecuaci´on por la correspondiente ξjy sumando todas las ecuaciones, obtenemos m X i,j=1 ξiξja(wi,wj) = am X i=1 ξiwi, m X j=1 ξjwj= 0 Usando (1.10), m X i=1 ξiwi= 0 y como w1,...,wmson linealmente independientes, ξ1=. . . =ξm= 0. Ya por ´ultimo, tomemos l´ımite. Para v=um, tenemos que a(um,um) = hl, umi y usando (1.10), llegamos a que la sucesi´on umest´a acotada, independientemente del valor de m, en W. Como las bolas cerradas de un espacio de Hilbert son d´ebilmente compactas, existe un elemento de W,u, y una sucesi´on um0extra´ıda de um, tal que en el l´ımite m0−→ ∞,um0−→ upara la topolog´ıa d´ebil de W. Ahora bien, sea vun elemento fijo de Wjpara alg´un j. Tan pronto como m0≥j, v∈Wm0, y por ello tenemos que a(um0,v) = hl, vi Usando el siguiente lema, podemos tomar l´ımite y obtenemos entonces a(u,v) = hl, vi 18 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes Esta igualdad es v´alida para cada v∈ ∪∞ j=1Wj, y como este conjunto es denso en W, la igualdad sigue siendo v´alida por continuidad para v∈W. Con esto, queda demostrado que ues soluci´on de (1.11). Lema 1.2. Sea a(u,v)una forma bilineal y continua en un espacio de Hilbert W. Sea φm(o ψm) una sucesi´on de elementos de Wque converge a φ(o a ψ) en la topolog´ıa d´ebil (o fuerte) de W. Entonces: l´ım m→∞ a(ψm, φm) = a(ψ, φ) (1.13) l´ım m→∞ a(φm, ψm) = a(φ, ψ) (1.14) 1.2.3. El problema de Stokes no homog´eneo Teorema 1.5. Sea Ω⊂Rnun conjunto abierto y acotado de clase C2. Dados f∈H−1(Ω), g ∈L2(Ω), φ ∈H1/2(Γ) tal que ZΩ g dx =ZΓ φ·ν dΓ (1.15) Entonces existen u∈H1(Ω), p ∈L2(Ω) soluciones del problema no homog´eneo de Stokes: −ν∆u+∇p=fen Ω (1.16) ∇ · u=g en Ω (1.17) γ0u=φ, i.e., u=φ sobre Γ (1.18) Adem´as, ues ´unica, y ptambi´en salvo constante aditiva. Demostraci´on. Como H1/2(Γ) = γ0H1(Ω), existe u0∈H1(Ω) cumpliendo γ0u0=φ. As´ı, por (1.15) y la f´ormula de Stokes, ZΩ (g−∇·u0)dx = 0 Usando el Lema 1.3, vemos que existe u1∈H1 0(Ω) tal que ∇ · u1=g− ∇ · u0. Tomando v=u−u0−u1, (1.16)−(1.18) se reduce al problema homog´eneo para 19 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes v, de manera que ya se tiene la existencia y unicidad de vyp(y, por ello, de u yp). Lema 1.3. Sea Ω⊂Rnun conjunto abierto, lipschitziano en el espacio de Hilbert y acotado. Entonces el operador divergencia est´a bien definido y es sobreyectivo de H1 0(Ω) en L2(Ω)/R, es decir, ng∈L2(Ω) ,ZΩ g(x)dx = 0o 1.2.4. Resultados de regularidad Proposici´on 1.3. Sea Ωun conjunto abierto y acotado de clase Cr, tal que r= m´ax{m+ 2,2}para m > 0entero. Supongamos que u∈W2,α(Ω), p ∈W1,α(Ω),1< α < +∞(1.19) son soluciones del problema de Stokes general (1.16) −(1.18). Si f∈Wm,α(Ω), g∈Wm+1,α(Ω) yφ∈Wm+2−1/α,α(Γ) 3, entonces u∈Wm+2,α(Ω), p ∈Wm+1,α(Ω) (1.20) La existencia de uypest´a asegurada por los Teoremas 1.3 y 1.5 si α= 2. La siguiente Proposici´on nos da un resultado general de existencia y regularidad para n= 2 ´o 3. Proposici´on 1.4. Sea Ω⊂Rnun conjunto abierto (n= 2,3) de clase Cr, con r= m´ax{m+ 2,2}con m≥ −1entero; y sean f∈Wm,α(Ω), g ∈Wm+1,α(Ω), φ∈Wm+2−1/α,α(Γ) tal que satisfacen la condici´on de compatibilidad ZΩ g dx =ZΓ φ·ν dΓ (1.21) Entonces existen uypfunciones ´unicas (p´unica salvo constante) soluciones de (1.16) −(1.18) que satisfacen (1.20). 3Wm+2−1/α,α(Γ) = γ0Wm+2,α(Ω) 20 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes 1.3. Discretizaci´on de las ecuaciones de Stokes (m´etodo de diferencias finitas) Definici´on 1.2. Una aproximaci´on interna de un espacio vectorial normado Wes un conjunto {Wh, ph, rh}, con h∈ H (este conjunto de ´ındices depende del tipo de aproximaci´on), donde Whes un espacio vectorial normado. phes un operador lineal y continuo de When W. rhes un operador, quiz´as no lineal, de Wen Wh. Definici´on 1.3. Una aproximaci´on externa de un espacio normado Wes un conjunto que consta de un espacio normado Fy un isomorfismo ωde Wen F. una familia {Wh, ph, rh}, con h∈ H, donde •Whes un espacio normado. •phes una funci´on lineal de When F. •rhes una funci´on, quiz´as no lineal, de Wen Wh. Observaci´on 1.3. Para F=W, y ωla identidad, tenemos la aproximaci´on interna. Observaci´on 1.4. Los operadores phyrhse denominan, respectivamente, operadores de prolongaci´on y de restricci´on. Cuando trabajamos con diferencias finitas, debemos discretizar el recinto. Para ello, introducimos el vector malla h= (h1, ..., hn), donde hies la malla en la direcci´on xi, y por lo tanto, 0< hi≤h0 i para algunos n´umeros estrictamente positivos h0 i, de manera que H= n Y i=1 (0, h0 i) 21 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes Para cada h∈ H, definimos: hies el vector hiei, donde la j−´esima coodenada de eies δij, la delta de Kronecker. Rhes el conjunto de puntos de Rnde la forma j1h1+... +jnhn, con ji enteros. σh(M),M= (µ1, ..., µn) es el conjunto n Y i=1 µi−hi 2, µi+hi 2. σh(M, r) es el conjunto [ 1≤i≤n,−r≤α≤+r σh(M+α 2hi) whM es la funci´on caracter´ıstica del bloque σh(M). δies el operador de diferencias finitas: (δiφ)(x) = φ(x+1 2hi)−φ(x−1 2hi) hi Para cada Ω ⊂Rnabierto, y para cada entero no negativo r, definimos el conjunto ˙ Ωr h={M∈Rh;σh(M, r)⊂Ω} ∇ihφ(x) es otro operador de diferencias finitas: ∇ijφ(x) = φ(x+hi)−φ(x) hi Supongamos que Ω ⊂Rnes un abierto lipschitziano y acotado. Vamos a definir una aproximaci´on del espacio Vusando diferencias finitas. Sea F=L2(Ω)n+1 equipado con el producto escalar Hilbertiano habitual, y sea ω∈L(V;F) el isomorfismo definido por u→ωu = (u, D1u, ..., Dnu). Vhes el espacio de las funciones escalonadas uh(x) = X M∈˙ Ω1 h uh(M)whM (x), uh(M)∈Rn que son libres de divergencia en el sentido n X i=1 ∇ihuih(x)=0,∀x∈Ω(h) 22 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes El espacio Vhest´a equipado con uno de los siguientes productos escalares. ((uh,vh))h= n X i=1 ZΩ δiuh(x)·δivh(x)dx [[uh,vh]] = ZΩ uh(x)vh(x)dx + ((uh,vh))h El operador de prolongaci´on vendr´a definido por phuh={uh, D1uh,· · · , Dnuh} El operador de restricci´on se define solo para u∈V(subespacio denso de V). ∀M= (m1h1,· · · , mnhn)∈˙ Ω1 h, (rhu)(M) viene dado por uih(M) la i−´esima componente de uh. Usando esta aproximaci´on de V, podemos proponer un esquema de diferencias finitas para la aproximaci´on del problema de Stokes (1.6): Hallar uh∈Vhtal que ν((uh,vh))h= (f,vh),∀vh∈Vh(1.22) Proposici´on 1.5. Para todo h∈ H, la soluci´on uhde (1.22) existe y es ´unica. Adem´as, si h→0, la soluci´on converge a la soluci´on ude (1.6) en el siguiente sentido: uh→uen L2(Ω) δiuh→Diuen L2(Ω) 1.4. Discretizaci´on de las ecuaciones de Stokes (m´etodo de elementos finitos) Ahora estudiaremos la discretizaci´on de las ecuaciones de Stokes por el m´etodo de los elementos finitos. En primer lugar, consideraremos polinomios a trozos de grado dos en el caso bidimensional (Secci´on 1.4.2), luego polinomios a trozos de grado tres en el caso tridimensional (Secci´on 1.4.3), y tras ello polinomios a trozos de grado cuatro en el caso bidimensional (Secci´on 1.4.4). Adem´as, consideraremos una aproximaci´on externa por elementos finitos no conformes en cualquier dimensi´on (Secci´on 1.4.5). 23 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes 1.4.1. Resultados previos Coordenadas baric´entricas Partimos de n+ 1 puntos de Rn,A1, A2, . . . , An+1 4, con coordenadas a1,i,..., 1≤i≤n+1, que no est´an sobre el mismo hiperplano. Esto ´ultimo es equivalente a decir que los nvectores A1A2, . . . , A1An+1 son independientes, es decir, que la matriz A=            a1,1a1,2· · · a1,n+1 a2,1a2,2· · · a2,n+1 . . .. . . an,1an,2· · · an,n+1 1 1 1 1            sea no singular. Dado cualquier punto P∈Rn, con coordenadas x1, . . . , xn, existe n+ 1 n´umero reales λi=λi(P) tales que OP = n+1 X i=1 λiOAi,(1.23) n+1 X i=1 λi= 1 (1.24) donde Oes el origen de Rn. Que se cumplan las condiciones (1.23) y (1.24) es equivalente a decir que el sistema A         λ1 . . . λn λn+1         =         x1 . . . xn 1         (1.25) tenga una ´unica soluci´on. Las cantidades λise denominan coordenadas baric´entricas de P, con respecto a los n+1 puntos A1, A2, . . . , An+1. Por ello, los n´umeros λiaparecen como funciones lineales no homog´eneas de las coordenadas 4De aqu´ı en adelante, denotaremos a los puntos del espacio af´ın Rnpor letras may´usculas (A, B, M, P, ...). AB, por ejemplo, denotar´a al vector de Rnque va de Ahacia B. 24 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes x1, . . . , xnde P: λi= n X j=1 bi,jxj+bi,n+1 1≤i≤n+ 1 (1.26) donde la matriz B= (bi,j) es la inversa de la matriz A. La envolvente convexa de estos n+ 1 puntos es exactamente el conjunto de los puntos de Rncon coordenadas baric´entricas tales que 0 ≤λi≤1, 1 ≤i≤n+1. Esta envolvente convexa Ses el n−simplex generado por los puntos Ai, los cuales se denominan v´ertices del n−simplex. El baricentro de S,G, es aquel cuyas coordenadas baric´entricas son todas iguales, y por ello, iguales a 1/n + 1. En el caso bidimensional (n= 2), Ses un tri´angulo, y en el caso tridimensional (n= 3), es un tetraedro. Proposici´on 1.6 (Un resultado de interpolaci´on).Sean A1, . . . , An+1 n+ 1 puntos de Rnque no est´an en el mismo hiperplano. Dados n+ 1 n´umeros reales α1, . . . , αn+1, existe una y s´olo una funci´on lineal utal que u(Ai) = αi, con 1≤i≤n+ 1, y u(P) = n+1 X i=1 αiλi(P),∀P∈Rn donde λi(P)son las coordenadas baric´entricas de Pcon respecto a A1, . . . , An+1. Normas de algunas transformaciones lineales Sean SySdos n−simplex de v´ertices A1,·, An+1 yA1,· · · , An+1 respectivamente. Denotamos por ρ(respectivamente ρ0) al di´ametro de la bola m´as peque˜na conteniendo a S(respectivamente, el di´ametro de la bola m´as grande contenida en S). As´ı, ρyρ0tienen un significado similar. Supondremos que A1=A1= 0 son los or´ıgenes de Rn, y denotaremos por Λ a la funci´on lineal tal que Ai= ΛAi,2≤i≤n+ 1 Las normas de Λ y Λ−1se pueden generalizar de la siguiente manera en funci´on de ρ, ρ0, ρ, ρ0. 25 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes C) APROXIMACI ´ ON DEL PROBLEMA DE STOKES Usando la anterior aproximaci´on de V, podemos plantear una esquema de elementos finitos para la aproximaci´on del problema de Stokes en el caso bidimensional: Encontrar uh∈Vhtal que ν((uh,vh)) = (f,vh)∀vh∈Vh La soluci´on uhde dicho esquema existe y es ´unica; y adem´as, Proposici´on 1.7. Si ρ(h)−→ 0, con h∈ Hα, la soluci´on uhconverge a la soluci´on ude (1.6) con la norma de H1 0(Ω). 1.4.3. Elementos finitos de grado 3 (n= 3) Sea Ω ⊂R3un conjunto abierto, lipschitziano y acotado. Tal y como hemos hecho en el caso bidimensional, describiremos una aproximaci´on interna de H1 0(Ω), y luego daremos una aproximaci´on externa de V. Las funciones aproximadas ser´an c´ubicas a trozos. A) APROXIMACI ´ ON DE H1 0(Ω) Si Ses un 2−simplex (es decir, un tetraedro), denotaremos por A1, . . . , A4a sus v´ertices, y por B1, . . . , B4al baricentro de las 2−caras S0 1,...,S0 4. Denotemos adem´as por E1 hal conjunto de v´ertices de los simplex S∈Thy por E2 hal conjunto de baricentros de las 2−caras de los simplex S. Lema 1.10. Un polinomio de grado 3 en R3est´a definido un´ıvocamente por sus valores en los puntos Ai, Bi(1 ≤i≤4) y por los valores de las primeras derivadas en los puntos Ai. Es m´as, dicho polinomio viene dado en t´erminos de las coordenadas baric´entricas con respecto a A1, . . . , A4por la expresi´on: φ(x) = 4 X i=1 [1 −2(λi(x))3+ 3(λi(x))2]φ(Ai)+ 1 6 4 X i=1 λ1(x)· · · λ4(x) λi(x)h27φ(Bi)−7 4 X α=1 α6=i φ(Aα)i+ 4 X i,j=1 i6=j (λi(x))2λj(x)[Dφ(Ai)·AiAj]− 4 X i=1 λ1(x)· · · λ4(x) λi(x)[Dφ(Ai)·AiAj] 32 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes Demostraci´on. La demostraci´on es completamente an´aloga a la del Lema 1.6. Los coeficientes de φson las soluciones de un sistema lineal con tantas ecuaciones como inc´ognitas; s´olo tenemos que comprobar que el polinomio del miembro de la derecha cumple todas las condiciones requeridas para cualquier conjunto de datos dados φ(Ai), φ(Bi), Dφ(Ai). De este lema se deduce que una funci´on escalar φhque se define en Ω(h) y es un polinomio de grado tres en cada simplex S∈Thest´a completamente definida si los valores de φhest´an dados en los puntos Ai∈E1 hyBi∈E2 h, y tambi´en los valores de Dφhen los puntos Ai. Esta funci´on es diferenciable en cada simplex, pero no hay motivo para decir que lo sea en todo Ω(h) (ni tampoco que sea continua). Realmente, al menos, es continua: en una 2−cara S0de un tetraedro S∈Th, la funci´on tiene dos valores (quiz´as diferentes) φ+ h yφ− h; pero φ+ hyφ− hson polinomios de grados tres que toman los mismos valores en los v´ertices y en los baricentros de S0; y las primeras derivadas de φ+ hyφ− h en los v´ertices de S0son tambi´en iguales. Por ello, gracias a los Lemas 1.6 y 1.7, concluimos que φ+ h=φ− h. Denotemos por whM , M ∈Eha la funci´on escalar que es un polinomio de grado tres definido a trozos en Ω(h), con whM (M)=1, whM (P)=0,∀P∈Eh, P 6=M DwhM (P)=0 ∀P∈E1 h Para M∈Eh, i = 1,2,3, w(i) hM es la funci´on escalar que es un polinomio de grado tres definido a trozos en Ω(h) tal que w(i) hM (P) = 0 ∀P∈Eh Dw(i) hM (P) = 0 ∀P∈E1 h, P 6=M Dw(i) hM (M) = eii= 1,2,3 Todas estas funciones whM yw(i) hM son continuas en Ω(h). 33 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes 1. Espacio Wh. Ser´a el espacio de funciones vectoriales continuas uhde Ω en R3del tipo uh=X M∈Eh uh(M)whM +X M∈E1 h 3 X i=1 Diuh(M)w(i) hM que se anulan fuera de Ω(h). Es un subespacio de H1 0(Ω) de dimensi´on finita. As´ı, est´a dotado del producto escalar inducido por H1 0(Ω): ((uh,vh))h= ((uh,vh)) ∀uh,vh∈Wh 2. Operador ph.Es el operador identidad. 3. Operador rh. Para cada u∈D D D(Ω), definimos uh=rhucomo uh= 0 si el soporte de uno est´a incluido en Ω(h), y si lo estuviera, uh(M) = u(M),∀M∈Eh(1.36) Duh(M) = Du(M)∀M∈E2 h(1.37) B) APROXIMACI ´ ON DE V Partimos de Ω ⊂R3un conjunto abierto y acotado, y Thuna triangulaci´on admisible de Ω(h). 1. Espacio F. Operador ω. El espacio Fes H1 0(Ω), y ωes la identidad: ωu=u,∀u∈V. 2. Espacio Vh. Es un subespacio de Wh. Es el espacio de las funciones uh∈Whtales que ZS ∇ · uhdx = 0,∀S∈Th(1.38) Lo dotamos con el producto escalar inducido por H1 0(Ω) y Wh. 3. Operador ph.Es el operador identidad. 34 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes 4. Operador rh. Sea uun elemento de V. Tomemos rhu=u1 h+u2 h(1.39) donde u1 h,u2 h∈Wh.u1 hse define tal y como hicimos en la aproximaci´on de H1 0(Ω), es decir, cumpliendo (1.36)−(1.37), y u2 hes un “peque˜no corrector” definido como u2 h(M)=0, Du2 h(M)=0,∀M∈E1 h y en los puntos M∈E2 h, la componente tangencial de u2 h(M) a la cara S0, cuyo baricentro es M, es cero. La componente normal u2 h(M)·νse caracteriza por la condici´on ZS0 uh(x)·ν dΓ = ZS0 u(x)·ν dΓ Es directo afirmar que uhpertenece a Vh, ya que para cada S∈Th, ZS ∇ · uhdx =Z∂S uh·ν dΓ = Z∂S u·ν dΓ = ZS ∇ · udx = 0 C) APROXIMACI ´ ON DEL PROBLEMA DE STOKES Su estudio es el mismo que el ya visto en el caso bidimensional. 1.4.4. Una aproximaci´on interna de V Ahora partimos de Ω ⊂R2conjunto abierto y acotado, con frontera lipschitziana 8, y adem´as simplemente conexo. En el caso bidimensional, la condici´on ∇ · u= 0 es ∂u1 ∂x1 +∂u2 ∂x2 = 0 8Esto signica que en el entorno de cualquier punto de la frontera, x∈Γ, Γ admite una representaci´on como una superficie yn=θ(y1,...,yn−1) donde θes una funci´on Lipschitziana, y (y1,...,yn) son coordenadas rectangulares en Rnen una base que puede ser diferente de la can´onica. 35 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes y, por ello, existe una funci´on ψ(la llamada funci´on de flujo) tal que u1=∂ψ ∂x2 ,u2=−∂ψ ∂x1 (1.40) La funci´on se define localmente para cualquier conjunto Ω y globamente para un conjunto simplemente conexo Ω. Podemos asociar a cada funci´on uen Vla correspondiente funci´on de flujo ψ. La condici´on u= 0 en ∂Ω equivale a decir que las derivadas tangenciales y normales de ψen ∂Ω se anulan. Por ello, ψes constante en ∂Ω y, como ψest´a definida un´ıvocamente salvo constante aditiva, podemos suponer que ψ= 0 en Γ y, por ello, ψ∈H2 0(Ω). As´ı, la funci´on ψ−→ u=n∂ψ ∂x2 ,−∂ψ ∂x1o es un isomorfismo de H2 0(Ω) en V. Nuestro objetivo ahora es construir una aproximaci´on de H2 0(Ω) mediante funciones polin´omicas de grado 5 definidas a trozos, para luego obtener gracias al anterior isomorfismo una aproximaci´on interna de V. A) APROXIMACI ´ ON INTERNA DE H2 0(Ω) Sea Thuna triangulaci´on admisible de Ω. Un 2-simplex es un tri´angulo. De esta manera, sea Sun tri´angulo de v´ertices A1, A2yA3; denotaremos por B1, B2, B3o por A23, A13, A12 a los puntos medios de las aristas A2A3, A1A3y A1A2, respectivamente, y por νij a los vectores unitarios normales a las aristas AiAj. Lema 1.11. Un polinomio φde grado 5 en R2est´a definido ´unicamente por los siguientes valores de φy de sus derivadas: Dαφ(Ai),1≤i≤3,[α]≤2 ∂φ ∂νij (Aij),1≤i, j ≤3, i 6=j Demostraci´on. La prueba es an´aloga a la ya mostrada en el Lema 1.6. En este caso, tenemos 21 coeficientes para φy 21 condiciones que corresponden a los diferentes valores de φy de sus derivadas enunciados en el Lema. 36 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes De este lema se deduce que una funci´on escalar φhque se define en Ω(h) y es un polinomio de grado cinco en cada tri´angulo S∈Thest´a completamente definida si los valores de φhest´an dados en los puntos Ai∈E1 hyBi∈E2 h, y tambi´en los valores de las primeras y segundas derivadas en los puntos Ai. Esta funci´on es diferenciable en cada simplex, pero no hay motivo para decir que lo sea en todo Ω(h). Veamos que en realidad es diferenciable y continua en tal conjunto (φh∈C1). Sean φ+ hyφ− hlos valores de φhen los dos lados de la arista A1A2 de un tri´angulo S. Son polinomios de, a lo m´as, grado cinco en A1A2, y son iguales junto con sus primeras y segundas derivadas en los puntos A1yA2(seis condiciones independientes) y, por tanto, φ+ h=φ− h. Las derivadas tangenciales ∂φ+ h/∂τ y∂φ− h/∂τ, con τ=A1A2/|A1A2|, tambi´en son necesariamente iguales. Veamos que las derivadas normales ∂φ+ h/∂ν12 y∂φ− h/∂ν12 son iguales en A1A2: estas derivadas son polinomios de grado, a lo m´as, cuatro en A1A2. Son iguales en A1yA2junto con sus primeras derivadas, y tambi´en ser´an iguales en A12. Por lo tanto, tambi´en lo ser´an en A1A2. Esto nos indica que φh∈C1en Ω(h). A cada punto M∈E2 hle asociamos la funci´on ψ0 hM , que es un polinomio de grado cinco definido a trozos en Ω(h) de manera que: ∂ψ0 hM ∂ν (M)=1,y todos los dem´as valores nodales de ψ0 hM son cero, i.e., ∂ψ0 hM ∂ν (P)=0 ∀P∈E2 h, P 6=M Dαψ0 hM (P)=0 ∀P∈E1 h,[α]≤2 A cada punto M∈E1 hle asociamos las seis funciones ψ1 hM , . . . , ψ6 hM definidas como siguen: son polinomios de grado cinco definidos a trozos en Ω(h) y ψ1 hM (M) = 1 y todos los dem´as valores nodales de ψ1 hM son cero. Para i= 1 o 2: Djψi+1 hM (M) = δij y todos los dem´as valores nodales de ψi+1 hM son cero. D2 1ψ4 hM (M) = 1, D1D2ψ5 hM (M) = 1, D2 2ψ6 hM = 1, y todos los dem´as valores nodales de ψ4 hM , ψ5 hM yψ6 hM son cero. Todas estas funciones son diferenciables y continuas en Ω(h). 37 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes 1. Espacio Xh. Es el espacio de las funciones escalares diferenciables y continuas en Ω del tipo: ψh=X M∈E2 h ξ0 Mψ0 hM + 6 X i=1 X M∈E1 h ξi Mψi hM ξi M∈R Estas funciones se anulan fuera de Ω(h). Es un subespacio de H2 0(Ω) de dimen- si´on finita, y lo dotamos con el producto escalar inducido por H2 0(Ω): ((ψh, φh))h= ((ψh, φh))H2 0(Ω) ∀ψh, φh∈Xh. 2. Operador ph.Es el operador identidad. 3. Operador rh.Para ψ∈D(Ω), definimos rhψ=ψhpor sus valores nodales: Dαψh(M) = Dαψ(M)∀M∈E1 h,[α]≤2 (1.41) ∂ψh ∂νij (Aij) = ∂ψ ∂νij (Aij)∀Aij ∈E2 h(1.42) B) APROXIMACI ´ ON INTERNA DE V Sea Thuna triangulaci´on admisible de Ω. 1. Espacio Vh. Es el espacio de las funciones vectoriales continuas uhdefinidas en Ω del tipo: uh=n∂ψh ∂x2 ,−∂ψh ∂x1o con ψh∈Xh. Es obvio que uhse anula fuera de Ω(h), y es continua ya que φh∈C1y∇ · uh= 0. Por lo tanto, uh∈V, y Vhes un subespacio de Vde dimensi´on finita. De esta manera, lo dotamos con el producto escalar inducido por V: ((uh,vh))h= ((u,v)) 2. Operador ph.Es el operador identidad. 38 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes 3. Operador rh.Sea u∈V, y ψla correspondiente funci´on de flujo. Claramente, ψ∈D(Ω), y podemos definir ψh∈Xhpor (1.41) −(1.42). De esta manera, definimos el operador como: uh=rhu=n∂ψh ∂x2 ,−∂ψh ∂x1o∈Vh C) APROXIMACI ´ ON DEL PROBLEMA DE STOKES El problema aproximado asociado a (1.6) es: Encontrar uh∈Vhtal que ν((uh,vh)) = hf,vhi ∀vh∈Vh La soluci´on uhde dicho esquema existe y es ´unica; y adem´as, Proposici´on 1.8. Si ρ(h)−→ 0, con h∈ Hα, la soluci´on uhconverge fuertemente a la soluci´on ude (1.6) en V. Observaci´on 1.5. Si Ω es un conjunto m´ultiplemente conexo 9de R2, y u∈V, entonces existe una funci´on ψque cumple (1.40). Supongamos que Γ = Γ0∪ Γ1∪Γ2. . . es la descomposici´on de ∂Ω en sus componentes conexas, con Γ0 por ejemplo la frontera exterior de Ω si estuviera acotado. De esta manera, uy ∂φ/∂ν se anulan en ∂Ω, y ψse anula en Γ0y es constante en las componentes internas de ∂Ω. La funci´on ψ−→ u=n∂ψ ∂x2 ,−∂ψ ∂x1o nos da un isomoformo entre el espacio X=nφ∈H2(Ω), φ = 0 en Γ0, φ = cte en los Γi,∂φ ∂ν = 0 en ∂Ωo yV. 9Un conjunto m´ultiplemente conexo es un conjunto conexo con numerosos agujeros o subconjuntos de elementos no pertenecientes al conjunto conexo inicial. 39 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes 1.4.5. Elementos finitos no conformes Debido a la condici´on ∇·u= 0, no es posible aproximar Vpor los elementos finitos m´as simples, las funciones lineales continuas definidas a trozos. Nuestro objetivo ahora es describir una aproximaci´on de Vpor elementos finitos lineales no conformes, que en este caso ser´an funciones lineales definidas a trozos, pero discontinuas. Tras ello, asociaremos junto con esta aproximaci´on de Vun nueva esquema de aproximaci´on para el problema de Stokes. A) APROXIMACI ´ ON DE H1 0(Ω) Supongamos que Ω ⊂Rnes un conjunto abierto, lipschitziano y acotado, y sea Thuna triangulaci´on admisible de Ω. Si S∈Th, denotaremos por A1, . . . , An+1 a sus v´ertices, por Sia la (n−1)−cara que no contiene a Ai, y por Bial baricentro de la cara Si. Si Gdenota el baricentro de S, entonces dado que las coordenadas baric´entricas de Bicon respecto a Aj,j6=i, son iguales a 1/n, tenemos GBi=X j6=i GAj n= n+1 X j=1 GAj n−GAi n=−1 nGAi Deducimos entonces que nBiBj=n(GBj−GBi) = GAi−GAj=−AiAj y por tanto, los vectores B1Bj, j = 2, . . . , n + 1, son linealmente independientes (tal y como lo son los vectores A1Aj). Por ello, las coordenadas baric´entricas de un punto Pcon respecto a B1, . . . , Bn+1 se pueden definir, y las denotaremos por µ1, . . . , µn+1. Observamos tambi´en que para cada conjunto dado de (n+ 1) n´umero β1, . . . , βn+1, existe una y solo una funci´on lineal que toma en los puntos B1, . . . , Bn+1 los valores β1, . . . , βn+1, y esta funci´on u(ver Proposici´on 1.6) es u(P) = n+1 X i=1 βiµi(P) 1. Espacio Wh. Es el espacio de funciones vectoriales uhque son lineales en cada S∈Th. que se anulan fuera de Ω(h) y que, adem´as, son tales que su valor en el baricentro Bi de alguna (n−1)−cara Side un simplex Ses cero si perteneciera a la frontera 40 Cap´ıtulo 1. Las ecuaciones estacionarias de Stokes de Ω(h); si esta cara interseca el interior de Ω(h), entonces los valores de uh en Bison los mismos cuando Bise considera como un punto de dos simplex adyacentes diferentes. Sea Uhel conjunto de puntos Bique son baricentros de una (n−1)−cara de un simplex S∈Th, y que pertenecen al interior de Ω(h). Una funci´on uh∈Wh est´a completamente caracterizada por sus valores en los puntos Bi∈Uh. Denotemos por whB, siendo Bun punto de Uh, la funci´on escalar que es lineal en cada simplex S∈Th, que satisface todas las condiciones que cumplen las funciones de Why, adem´as, whB(B)=1, whB(M) = 0 ∀M∈Uh, M 6=B Tal funci´on tiene un soporte igual a los dos simplex adyacentes a B. Lema 1.12. Las funciones whBeide Wh, con B∈Uhy1≤i≤n, conforman una base de Wh. El espacio Whno est´a incluido en H1 0(Ω); realmente, la derivada Diuhde alguna funci´on uh∈Whes la suma de las distribuciones de Dirac localizadas en las caras de los simplex y de una funci´on escalonada Dihuhdefinida c.p.d. por Dihuh(x) = Diuh(x)∀x∈S,∀S∈Th Como uhes lineal en S,Dihuhes constante en cada simplex. Dotamos al espacio Whcon el producto escalar [[uh,vh]]h= (uh,vh) + n X i=1 (Dihuh, Dihvh) 2. Espacio F. Operador ω. El espacio Fes F=L2(Ω)n+1, y ωes el isomorfismo ωu= (u, D1u, . . . , Dnu)∈F∀u∈H1 0(Ω) 3. Operador ph.Se define como el anterior isomorfismo, para uh∈Wh. 4. Operador rh.Definimos rhu=uh, para u∈D(Ω), como uh(B) = u(B)∀B∈Uh 41 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes Ahora volvamos a suponer que f∈L2(V0) es una funci´on vectorial dada. Si u∈L2(V) satisface (2.11), entonces como hemos visto u∈L2(V0) y tambi´en satisface (2.13). Teniendo en cuenta el Lema 2.1, la igualdad (2.13) es equivalente a u0+νAu=f(2.14) Por el contrario, si u∈L2(V0) cumple que u∈L2(V) y (2.14), entonces claramente usatisface (2.11) ∀v∈V. As´ı, otra formulaci´on alternativa del problema ser´ıa la siguiente: Problema 2.2. Para f∈L2(0, T;V0)yu0∈Hdados, hallar u∈L2(0, T;V) tal que para u0∈L2(0, T;V0) u0+νAu=fen (0, T) (2.15) u(0) = u0(2.16) De esta manera, cualquier soluci´on de (2.15) −(2.16) lo es de (2.11) −(2.12) y viceversa. En cuanto a la existencia y unicidad de la soluci´on de estos problemas, probaremos el siguiente resultado. Teorema 2.1. Para f∈L2(0, T;V)yu0∈Hdados, existe una ´unica soluci´on u∈L2(0, T;V)tal que satisface (2.15) −(2.16). Adem´as, u∈C(H). Demostraci´on. Demostremos en primer lugar la existencia de la soluci´on. Para ello, usaremos el m´etodo Faedo-Galerkin. Como Ves separable, existe una sucesi´on de elementos linealmente independientes w1,...,wm, . . . que conforman, en su totalidad, V. Para cada mdefinimos una soluci´on aproximada umde (2.11) o (2.15) de la forma um= m X i=1 gim(t)wi y (u0 m,wj) + ν((um,wj)) = hf,wjij= 1, . . . , m (2.17) um(0) = u0m(2.18) 48 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes Las funciones gim,1≤i≤m, son funciones escalares definidas en [0, T], y (2.17) es un sistema diferencial lineal para estas funciones: m X i=1 (wi,wj)g0 im(t) + ν m X i=1 ((wi,wj))gim(t) = hf(t),wjij= 1, . . . , m (2.19) Como w1,...,wmson elementos linealmente independientes, la matriz definida por los elementos (wi,wj) (1 ≤i, j ≤m) es no singular. Por ello, al invertir esta matriz, reducimos (2.19) a un sistema lineal con coeficientes constantes. g0 im(t) + m X j=1 αijgjm(t) = m X j=1 βijhf(t),wji1≤i≤m(2.20) donde αij, βij ∈R. La condici´on (2.18) equivale a mecuaciones: gim(0) = i−´esima componente de u0m As´ı, el sistema diferencial (2.20) junto con estas condiciones iniciales definen un´ıvocamente gim en todo el intervalo [0, T ]. As´ı, como las funciones escalares t−→ hf(t),wjison de cuadrado integrable, tambi´en lo ser´an las funciones gim y, por lo tanto, para cada m, um∈L2(V),u0 m∈L2(V0) (2.21) Obtendremos estimaciones a priori (independientes de m) para las soluciones aproximadas y, tras ello, pasaremos al l´ımite. Empezamos multiplicando (2.17) por gjm y sumamos estas ecuaciones para j= 1, . . . , m. De esta manera, obtenemos (u0 m(t),um(t)) + ν||um(t)||2=hf(t),um(t)i Teniendo en cuenta (2.21), 2(u0 m(t),um(t)) = d dt|um(t)|2 Luego d dt|um(t)|2+ 2ν||um(t)||2= 2hf(t),um(t)i(2.22) Y teniendo en cuenta la siguiente acotaci´on 2||f(t)||V0||um(t)||2≤ν||um(t)||2+1 ν||f(t)||2 V0 49 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes Entonces d dt|um(t)|2+ν||um(t)||2≤1 ν||f(t)||2 V0(2.23) En particular, integrando lo anterior, obtenemos para 0 < s < T |um(s)|2≤ |u0m|2+1 νZs 0 ||f(t)||2 V0dt ≤ |u0|2+1 νZT 0 ||f(t)||2 V0dt Por ello, sup s∈[0,T ] |um(s)|2≤ |u0|2+1 νZT 0 ||f(t)||2 V0dt El miembro derecho es finito e independiente de m, luego la sucesi´on umpermanece en un conjunto acotado de L∞(H). Integrando (2.23) de 0 a T, |um(T)|2+νZT 0 ||um(t)||2dt ≤ |u0m|2+1 νZT 0 ||f(t)||2 V0dt ≤ |u0|2+1 νZT 0 ||f(t)||2 V0dt De manera que la sucesi´on umpermanece en un conjunto acotado de L2(V). Veamos ahora el paso al l´ımite. Por un lado, que la sucesi´on umpermanezca en un conjunto acotado de L∞(H) nos corrobora la existencia de un elemento u en el mismo espacio y de una subsucesi´on um0que converge, para m0−→ ∞, a upara la topolog´ıa d´ebil de L∞(H). Esto nos dice que para cada v∈L1(H), con m0−→ ∞, ZT 0 (um0(t)−u(t),v(t)) dt −→ 0 (2.24) Por otro lado, de manera an´aloga, como la sucesi´on um0permanece en un conjunto acotado de L2(V), afirmamos la existencia de un elemento u∗en el mismo espacio y de una subsucesi´on que a´un denotaremos por um0que converge a u∗ para la topolog´ıa d´ebil de L2(V). As´ı, para m0−→ ∞, ZT 0 hum0(t)−u∗(t),v(t)idt −→ 0∀v∈L2(V0) En particular, por (2.1), para cada v∈L2(H), ZT 0 (um0(t),v(t)) dt −→ ZT 0 (u∗(t),v(t)) dt 50 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes Comparando con (2.24), ZT 0 (u(t)−u∗(t),v(t)) dt −→ 0 Por ello, u=u∗∈L2(V)∩L∞(H) Consideremos ahora funciones escalares ψcontinuas y diferenciables en [0, T] con ψ(T) = 0. Multiplicando (2.17) por dicha funci´on, e integrando, ZT 0 (u0 m(t),wj)ψ(t)dt =−ZT 0 (um(t)ψ0(t),wj)dt −(um(0),wj)ψ(0) De manera que −ZT 0 (um(t), ψ0(t)wj)dt +νZT 0 ((um(t), ψ(t)wj)) dt = (u0m(t),wj)ψ(0) + ZT 0 hf(t),wjiψ(t)dt El paso al limite para m=m0−→ ∞ en las integrales del miembro izquierdo es f´acil porque, tal y como hemos deducido, um0converge a upara la topolog´ıa d´ebil estrella de L∞(H). um0converge a u∗para la topolog´ıa d´ebil de L2(V). u=u∗∈L2(V)∩L∞(H). Observamos adem´as que u0m−→ u0. As´ı, en el l´ımite, −ZT 0 (u(t), ψ0(t)wj)dt +νZT 0 ((u(t), ψ(t)wj)) dt = (u0(t),wj)ψ(0) + ZT 0 hf(t),wjiψ(t)dt (2.25) Por linealidad, como (2.25) es cierta para cada j, −ZT 0 (u(t),v)ψ0(t)dt +νZT 0 ((u(t),v))ψ(t)dt = (u0(t),v)ψ(0) + ZT 0 hf(t),viψ(t)dt (2.26) para cada vque sea una combinaci´on lineal finita de los wj. Como cada t´ermino de (2.26) depende lineal y continuamente de v, para la norma de V, dicha 51 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes igualdad sigue siendo v´alida para cada vde V. Particularizando (2.26) para ψ=φ∈D((0, T)), en el sentido de las distribuciones en (0, T), d dt(u,v) + ν((u,v)) = hf,vi ∀v∈V que es exactamente (2.11). Como se demostr´o antes de enunciar el teorema, gracias a esta igualdad, y como u=u∗∈L2(V)∩L∞(H), tenemos que u0∈ L2(V0), y u0+νAu=f Por ´ultimo, nos queda comprobar que u(0) = u0. Para ello, multiplicamos (2.11) por ψe integramos: ZT 0 d dt(u(t),v)ψ(t) = −ZT 0 (u(t),v)ψ0(t)dt + (u(0),v)ψ(0) Luego −ZT 0 (u(t),v)ψ0(t)dt +νZT 0 ((u(t),v))ψ(t)dt = (u(0),v)ψ(0) + ZT 0 hf(t),viψ(t)dt Comparando con (2.26), (u0−u(0),v)ψ(0) = 0 para cada v∈V. Tomando ψtal que ψ(0) 6= 0, tenemos u(0) = u0 Con esto queda demostrado la existencia de la soluci´on. Veamos ahora la continuidad y unicidad. Para ello, nos basaremos en el siguiente lema: Lema 2.2. Si upertenece a L2(V)y su derivada u0aL2(V0), entonces u es igual, c.p.d., a una funci´on continua de [0, T]en H; y adem´as tenemos la siguiente igualdad, que se cumple en el sentido de las distribuciones, en (0, T): d dt|u|2= 2hu0,ui(2.27) Asumiendo este lema, es obvio que u∈C(H) 52 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes S´olo nos queda ver la unicidad. Supongamos que uyvson dos soluciones diferentes de (2.15) −(2.16), y definamos w=u−v. Entonces: w0−νAw= 0 (2.28) w(0) = 0 (2.29) Tomando producto escalar en (2.28) para w(t), hw0(t),w(t)i+ν||w(t)||2= 0 c.p.d. Usando entonces (2.27), d dt|w(t)|2+ 2ν||w(t)||2= 0 y |w(t)|2≤ |w(0)|2= 0 t∈[0, T] Tenemos entonces que para cada t,u(t) = v(t). 2.2. Teoremas de compacidad Ahora demostraremos un teorema de compacidad en el marco de los espacios de Banach y otros dos teoremas de compacidad en el de los espacios de Hilbert. 2.2.1. Resultado preliminar Lema 2.3. Sean X0, X yX1tres espacios de Banach tales que X0⊂X⊂X1, la inyecci´on de Xen X1es continua, y la inyecci´on de X0en Xes compacta. Entonces para cada η > 0existe una constante cηque depende de η(y de los tres espacios) tal que ∀v∈X0: ||v||X≤η||v||X0+cη||v||X1(2.30) Demostraci´on. Lo haremos por reducci´on al absurdo. Supongamos que (2.30) no es cierto, es decir, existe η > 0 tal que para cada cen R, ||v||X≥η||v||X0+c||v||X1 53 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes para al menos una v. Tomando c=m, obtenemos una sucesi´on de elementos vmcumpliendo ||vm||X≥η||vm||X0+m||vm||X1∀m Consideramos entonces la sucesi´on normalizada wm=vm ||vm||X0 que satisface ||wm||X≥η+m||wm||X1∀m(2.31) Como la sucesi´on est´a normalizada, est´a acotada en X, y por (2.31), ||wm||X1−→ 0m−→ ∞ (2.32) Adem´as, gracias a que X0⊂X⊂X1, la sucesi´on wmes relativamente compacta en X; y por ello, podemos extraer de wmuna subsucesi´on wµfuertemente convergente en X. Por (2.32), el l´ımite de esta subsucesi´on debe ser cero, pero esto resulta ser contradictorio con (2.31): ||wµ||X≥η > 0∀µ 2.2.2. Teorema de compacidad en los espacios de Banach Sean X0, X yX1tres espacios de Banach tales que X0⊂X⊂X1, donde las inyecciones son continuas, los espacios Xi(para i= 0,1) son reflexivos, y la inyecci´on de X0en Xes compacta. Fijemos adem´as T > 0 y consideremos α0y α1dos n´umeros finitos tales que αi>1 (para i= 0,1). Definamos el espacio Y=Y(0, T;α0, α1;X0, X1) como Y=v∈Lα0(0, T;X0) ; v0=dv dt ∈Lα1(0, T;X1) Es un espacio de Banach y est´a equipado con la norma ||v||Y=||v||Lα0(X0)+||v0||Lα1(X1) 54 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes Teorema 2.2. En las condiciones anteriores, la inyecci´on de Yen Lα0(0, T;X0) es compacta. Demostraci´on. Sea umuna sucesi´on acotada en Y. Tenemos que probar que esta sucesi´on contiene una subsucesi´on uµfuertemente convergente en Lα0(0, T;X). Como los espacios Xison reflexivos, y 1 < αi<+∞, los espacios Lαi(0, T;Xi) son tambi´en reflexivos y, por ello, Ytambi´en lo ser´a. Por lo tanto, existe alguna uen Yy alguna subsucesi´on uµconverge d´ebilmente a uen Y(para µ−→ ∞), y esto es: uµ−→ ud´ebilmente en Lα0(0, T;X0). u0 µ−→ u0d´ebilmente en Lα1(0, T;X1). Basta probar que vµ=uµ−u−→ 0 fuertemente en Lα0(0, T;X) (2.33) El teorema queda demostrado si conseguimos ver que vµ−→ 0 fuertemente en Lα0(0, T;X1) (2.34) Debido al Lema 2.2, ||vµ||Lα0(X)≤η||vµ||Lα0(X0)+cη||vµ||Lα0(X1) y como la sucesi´on vµest´a acotada en Y, ||vµ||Lα0(X)≤cη +cη||vµ||Lα0(X1) Pasando al l´ımite, vemos por (2.34) que l´ım µ→∞||vµ||Lα0(X)≤cη y dado que η > 0 es arbitrariamente peque˜no, dicho l´ımite superior es cero y, por lo tanto, (2.33) queda demostrado. Para probar (2.34), nos damos cuenta que Y⊂C(X1) (con inyecci´on continua) gracias al Lema 2.1. Deducimos entonces ||vµ(t)||X1≤c∀t∈[0, T]∀µ 55 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes De acuerdo al Teorema de Lebesgue, (2.34) queda demostrado si vemos que, para casi todo ten [0, T], vµ(t)−→ 0 fuertemente en X1para µ−→ ∞ (2.35) Lo probamos para t= 0 (la prueba es similar para cualquier otro valor de t). Escribimos vµ(0) = vµ(t)−Zt 0 v0 µ(τ)dτ =1 shZs 0 vµ(t)dt −Zs 0Zt 0 v0 µ(τ)dτdti=aµ+bµ donde aµ=1 sZs 0 v0 µ(t)dt bµ=−1 sZs 0Zt 0 (s−t)v0 µ(τ)dτdt Para  > 0 dado, escogemos stal que ||bµ||X1≤Zs 0 ||v0 µ(t)||X1dt ≤ 2 Luego, para tal sfijo, observamos que si µ−→ ∞,aµ−→ 0 d´ebilmente en X0 y, por ello, fuertemente en X1; para µsuficientemente grande, ||aµ||X1≤ 2 2.2.3. Teoremas de compacidad en los espacios de Hilbert Sean X0, X yX1tres espacios de Hilbert tales que X0⊂X⊂X1, donde las inyecciones son continuas y la inyecci´on de X0en Xes compacta. Si ves una funci´on de Ren X1, denotamos por ˆ va la correspondiente transformada de Fourier: ˆ v(τ) = Z+∞ −∞ e−2iπtτ v(t)dt La derivada en tde orden γde ves la transformada inversa de Fourier de (2iπτ)γˆ vo \ Dγ tv(τ) = (2iπτ)γˆ v(τ) Para γ > 0 dado, definimos el espacio Hγ(R;X0, X1) = v∈L2(R;X0), Dγ tv∈L2(R;X1) 56 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes Es un espacio de Hilbert con la norma ||v||Hγ(R;X0,X1)=h||v||2 L2(R;X0)+|||τ|γˆ v||2 L2(R;X1)i1/2 Asociamos a cualquier conjunto K⊂Rel subespacio Hγ Kdefinido como el conjunto de funciones uen Hγcon soporte contenido en K. Teorema 2.3. En las condiciones anteriores, para cualquier conjunto acotado Ky para cualquier γ > 0, la inyecci´on de Hγ K(R;X0, X1)en L2(R;X)es compacta. Demostraci´on. En primer lugar, fijemos γ > 0 y el conjunto K. Sea umuna sucesi´on acotada en Hγ K(R;X0, X1). Tenemos que probar que esta sucesi´on contiene una subsucesi´on fuertemente convergente en L2(R;X)). Como Hγ K(R;X0, X1) es un espacio de Hilbert, la sucesi´on uµcontiene una subsucesi´on que converge d´ebilmente en este espacio a alg´un elemento u. Es obvio que udebe pertenecer tambi´en a Hγ K(R;X0, X1), luego definiendo vµ=uµ−u, es acotada en Hγ K(R;X0, X1), y converge d´ebilmente a 0 en Hγ; esto es: vµ−→ 0 d´ebilmente en L2(R;X0). |τ|γˆ vmu −→ 0 d´ebilmente en L2(R;X1). Basta probar que uµconverge fuertemente a uen L2(R;X), es decir, vµ−→ 0 fuertemente en L2(R;X) (2.36) Vamos a ver que esto lo tenemos si antes vemos que vµ−→ 0 fuertemente en L2(R;X1) (2.37) Debido al Lema 2.2, ||vµ||L2(R;X)≤η||vµ||L2(R;X0)+cη||vµ||L2(R;X1) y como la sucesi´on vµest´a acotada en L2(R;X0), ||vµ||L2(R;X)≤cη +cη||vµ||L2(R;X1) 57 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes Por ello, sup s∈[0,T ] |um(s)|2≤ |u0|2+1 νZT 0 ||f(t)||2 V0dt (2.56) El miembro derecho es finito e independiente de m, luego la sucesi´on umpermanece en un conjunto acotado de L∞(H). Integrando (2.55) de 0 a T, |um(T)|2+νZT 0 ||um(t)||2dt ≤ |u0m|2+1 νZT 0 ||f(t)||2 V0dt ≤ |u0|2+1 νZT 0 ||f(t)||2 V0dt De manera que la sucesi´on umpermanece en un conjunto acotado de L2(V). Denotemos por ¯ uma la funci´on que es igual a umen [0, T] y a 0 fuera de este intervalo. Adem´as de las desigualdades anteriores, que son similares a las estimaciones en el caso lineal, queremos ver que Z+∞ −∞ |τ|2γ|ˆ um(τ)|2dt ≤cte. (2.57) para alg´un γ > 0. Esto, junto con que umpermanezca en un conjunto acotado de L2(V), implicar´a que la sucesi´on ¯ umpermanece en un conjunto acotado de Hγ(R;V, H), y nos permitir´a aplicar el resultado de compacidad del Teorema 2.3. En vistas a demostrar (2.57), observemos antes que podemos reescribir (2.51), para j= 1,· · · , m, como d dt(¯ um,wj) = h¯ fm,wji+ (u0m,wj)δ0−(um(T),wj)δT(2.58) donde δ0yδTson las distribuciones de Dirac en 0 y T, respectivamente, y fm=f−νAum−Bum ¯ fm=fmen [0, T],0 fuera del intervalo (2.59) Tras una transformaci´on de Fourier, (2.58) queda como 2iπτ(ˆ um,wj) = hˆ fm,wji+ (u0m,wj)−(um(T),wj)e−2iπτT (2.60) donde ˆ fmyˆ umdenotan las transformadas de Fourier de fmyumrespectivamente. 64 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes Multiplicando (2.58) por ˆ gjm(τ) (transformada de Fourier de ¯ gjm), y sumando para j= 1,· · · , m, obtenemos 2iπτ|ˆ um(τ)|2=hˆ fm,ˆ umi+ (u0m,ˆ um(τ)) −(um(T),ˆ um(τ))e−2iπτT (2.61) Por (2.56), |um(0)| ≤ cte. |um(T)| ≤ cte. y deducimos por (2.61) que |τ||ˆ um(τ)|2≤c2||ˆ um(τ)|| +c3|ˆ um(τ)| o |τ||ˆ um(τ)|2≤c4||ˆ um(τ)|| Para γ < 1 4fijo, observamos que |τ|2γ≤c5(γ)1 + |τ| 1 + |τ|1−2γ∀τ∈R y teniendo en cuenta lo anterior, Z+∞ −∞ |τ|2γ|ˆ um(τ)|2dτ ≤c5(γ)Z+∞ −∞ 1 + |τ| 1 + |τ|1−2γ|ˆ um(τ)|2dτ ≤ c6Z+∞ −∞ ||ˆ um(τ)|| 1 + |τ|1−2γdτ +c7Z+∞ −∞ ||ˆ um(τ)||2dτ Como umpermanece en un conjunto acotado de L2(0, T;V), por la igualdad de Parseval, la segunda integral est´a acotada para m−→ ∞. De esta manera, el resultado queda probado si vemos que la primera integral est´a tambi´en acotada. Por la desigualdad de Schwarz y la igualdad de Parseval, podemos acotar estas integrales por Z+∞ −∞ dτ (1 + |τ|1−2γ)21/2ZT 0 ||um(t)||2dt1/2 finita si γ < 1 4y acotada para m−→ ∞. Ya podemos decir que ¯ umpertenece a un conjunto acotado de Hγ(R;V, H). Las estimaciones de que umpermanezca en un conjunto acotado de L∞(0, T;H) y de que tambi´en permanezca en un conjunto acotado de L2(0, T;V) nos permiten afirmar la existencia de un elemento u∈L2(0, T ;V)∩L∞(0, T;H) y de una subsucesi´on um0tal que, para m−→ ∞,um0converge d´ebilmente a upara 65 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes la topolog´ıa d´ebil de L2(0, T;V) y fuertemente para la topolog´ıa d´ebil estrella de L∞(0, T;H). Debido a que ¯ umpermanece en un conjunto acotado de Hγ(R;V, H), y por el Teorema 2.3, tambi´en podemos afirmar que um0−→ ufuertemente en L2(0, T ;H). Estos resultados de convergencia nos permiten pasar al l´ımite. Lo haremos igual que en el caso lineal, pero previamente, debemos introducir el siguiente lema. Lema 2.5. Si uµconverge d´ebilmente a uen L2(0, T ;V)y fuertemente en L2(0, T;H), entonces tambi´en lo hace para cualquier funci´on vectorial wcon componentes en C1(¯ Q), ZT 0 b(uµ(t),uµ(t),w(t)) dt −→ ZT 0 b(u(t),u(t),w(t)) dt Consideremos ahora funciones escalares ψcontinuas y diferenciables en [0, T] con ψ(T) = 0. Multiplicando (2.51) por dicha funci´on, e integrando, −ZT 0 (um(t), ψ0(t)wj)dt +νZT 0 ((um(t), ψ(t)wj)) dt + ZT 0 b(um(t),um(t),wjψ(t)) dt = (u0m(t),wj)ψ(0) + ZT 0 hf(t),wjψ(t)iψ(t)dt Si pasamos al l´ımite, y tenemos en cuenta el Lema 2.5, entonces se da que −ZT 0 (u(t),vψ0(t)) dt +νZT 0 ((u(t),vψ(t))) dt +ZT 0 b(u(t),u(t),vψ(t)) dt = (u0,v)ψ(0) + ZT 0 hf(t),vψ(t)idt (2.62) para cada vque sea una combinaci´on lineal finita de los wj. Como cada t´ermino de (2.62) depende lineal y continuamente de v, para la norma de V, dicha igualdad sigue siendo v´alida para cada vde V. Particularizando (2.62) para ψ=φ∈D((0, T)), vemos que usatisface (2.46) en el sentido de las distribuciones. Finalmente, queda por demostrar (2.47). Para ello, multiplicamos (2.46) por ψe integramos: −ZT 0 (u(t),vψ(t)) dt +νZT 0 ((u(t),vψ(t))) dt +ZT 0 b(u(t),u(t),vψ(t)) dt = (u(0),v)ψ(0) + ZT 0 hf(t),vψ(t)idt 66 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes Comparando con (2.62), (u0−u(0),v)ψ(0) = 0 para cada v∈V. Tomando ψtal que ψ(0) = 1, tenemos u(0) = u0 Con esto queda demostrado la existencia de la soluci´on. 2.3.2. Regularidad y unicidad para n= 2 n= 2 n= 2 Cuando la dimensi´on del espacio es n= 2, la soluci´on de los Problemas 2.3 −2.4 satisface m´as propiedades de regularidad y, adem´as, es ´unica. Para demostrarlo, introduciremos previamente dos lemas. Lema 2.6. Si n= 2, para Ωcualquier conjunto abierto, se cumple ||v||L4(Ω) ≤21/4||v||1/2 L2(Ω)||∇v||1/2 L2(Ω) ∀v∈H1 0(Ω) Lema 2.7. Si n= 2, |b(u,v,w)| ≤ 21/2|u|1/2||u||1/2||v|| |w|1/2||w||1/2∀u,v,w∈H1 0(Ω) Si u∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H), entonces Bu∈L2(0, T;V), y ||Bu||L2(V0)≤21/2|u|L∞(H)||u||L2(V) Teorema 2.6. Para n= 2, la soluci´on ude los Problemas 2.3 −2.4 dada por el Teorema 2.5 es ´unica. Es m´as, ues igual, c.p.d., a una funci´on continua de [0, T]en H, y u(t)−→ u0en Hpara t−→ 0. Demostraci´on. Primero, veamos el resultado de regularidad. De acuerdo con el Lema 2.7 y (2.15), u0=f−νAu−Bu, y dado que el miembro de la derecha pertenece a L2(0, T;V0), u0tambi´en pertenecer´a a L2(0, T;V0). Esta observaci´on mejora que u0∈L1(0, T;V0) (tal y como dedujimos en el Problema 2.4), y nos permite aplicar el Lema 2.2, que afirma que ues igual, c.p.d., a una funci´on continua de [0, T] en H(es decir, u∈C([0, T]; H)), consiguiendo por ello directamente el resultado de convergencia. 67 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes Veamos ahora la unicidad. Sean u1yu2dos soluciones de (2.15) −(2.16), y sea u=u1−u2. Tal y como hemos visto antes, las tres funciones pertenecen a L2(0, T;V0). Adem´as, para use da u0+νAu=−Bu1+Bu2(2.63) u(0) = 0 (2.64) Tomamos en (2.63) producto escalar y, usando el Lema 2.2, obtenemos que d dt|u(t)|2+ 2ν||u(t)||2= 2b(u2(t),u2(t),u(t)) −2b(u1(t),u1(t),u(t)) (2.65) Como b(u,v,v) = 0 ∀v∈H1 0(Ω) si u∈V, entonces el miembro de la derecha es igual a −2b(u(t),u2(t),u(t)) Por el Lema 2.7, podemos acotar esta expresi´on por 23/2|u(t)|||u(t)||||u2(t)|| ≤ 2ν||u(t)||2+1 ν|u(t)|2||u2(t)||2 De manera que (2.65) queda como d dt|u(t)|2≤1 ν|u(t)|2||u2(t)||2 Como la funci´on t−→ ||u2(t)||2es integrable, entonces d dthe−1 νRt 0||u2(s)||2ds|u(t)|2i≤0 Integrando y aplicando (2.64), llegamos a que |u(t)|2≤0∀t∈[0, T]. De esta manera, u1=u2, es decir, la soluci´on es ´unica. Observaci´on 2.1. Como consecuencia del Lema 2.6, la ´unica soluci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes cumple que u∈L4(Q) (2.66) Por el contrario, si n= 3, tan solo se puede demostrar que u∈L10/3(Q). 68 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes 2.3.3. Regularidad y unicidad para n= 3 n= 3 n= 3 Los resultados vistos para el caso bidimensional no pueden extenderse a dimensiones superiores, pues falta informaci´on sobre la regularidad de las soluciones d´ebiles dadas por el Teorema 2.5. Sin embargo, demostraremos algunas propiedades de regularidad adicionales de las soluciones, que ser´an m´as d´ebiles que las del caso n= 2. Tras ello, daremos un teorema de unicidad para una clase de funciones donde no se conoce la existencia. No obstante, este resultado muestra c´omo la informaci´on relativa a la regularidad de las soluciones d´ebiles est´a relacionada con la unicidad. Lema 2.8. Si n= 3, para Ωcualquier conjunto abierto, se cumple ||v||L4(Ω) ≤21/2||v||1/4 L2(Ω)||∇v||3/4 L2(Ω) ∀v∈H1 0(Ω) Teorema 2.7. Si n= 3, la soluci´on ude (2.15)−(2.16) dada por el Teorema 2.5 cumple u∈L8/3(0, T;L4(Ω)) (2.67) u0∈L4/3(0, T;V0) (2.68) Demostraci´on. Para casi todo t, por el Lema 2.8, ||u(t)||L4(Ω) ≤c0|u(t)|1/4||u(t)||3/4 La funci´on del miembro de la derecha pertenece a L8/3(0, T ), luego la funci´on del miembro de la izquierda tambi´en. Usando la desigualdad de H¨older, |b(u,u,v)|=|b(u,v,u)| ≤ c1||u||2 L4(Ω)||v|| ∀u,v∈V(2.69) Por lo tanto, si u∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H), Bu∈L4/3(0, T ;V0), ya que para casi todo t, ||Bu(t)||V0≤c1||u(t)||2 L4(Ω) (2.70) ||Bu(t)||V0≤c2|u(t)|1/2||u(t)||3/2(2.71) Para el caso bidimensional obtuvimos que cualquier soluci´on ude (2.15)−(2.16) cumpl´ıa que u0∈L2(0, T;V0) y (2.66), y esta fue la propiedad fundamental que 69 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes nos permit´ıa demostrar la unicidad. Para el caso tridimensional, que la soluci´on cumpla u0∈L2(0, T;V0) y (2.66) son condiciones reemplazadas por (2.67) y (2.68) (m´as d´ebiles). Ahora veremos que existe como mucho una soluci´on en una clase de funciones m´as peque˜na que aquella en la que obtuvimos la existencia. Teorema 2.8. Si n= 3, existe como m´aximo una soluci´on del Problema 2.4 tal que u∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H) (2.72) u∈L8(0, T;L4(Ω)) (2.73) Tal soluci´on deber´ıa ser continua de [0, T]en H. Demostraci´on. Las desigualdades (2.70) y (2.71) implican que, si ucumple (2.73), entonces al menos Bu∈L2(0, T;V0). Por lo tanto, si ucumple (2.72) − (2.73) y (2.15), entonces u0∈L2(0, T;V0) y, de acuerdo con el Lema 2.2, ues igual, c.p.d., a una funci´on continua de [0, T] en H. Por la desigualdad de H¨older y el Lema 2.8, |b(u,u,v)| ≤ c0||u||L4(Ω)||v||L4(Ω)||u|| |b(u,u,v)| ≤ c1|u|1/4||u||7/4||v||L4(Ω) (2.74) Supongamos ahora que u1yu2son soluciones de (2.15)-(2.16) que cumplen (2.72) y (2.73), y sea u=u1−u2. Tal y como vimos en la demostraci´on del Teorema 2.6 (caso n= 2), d dt|u(t)|2+ 2ν||u(t)||2= 2b(u(t),u(t),u2(t)) y por (2.74), podemos acotar el miembro de la derecha por 2c1|u(t)|1/4||u(t)||7/4||u2(t)||L4(Ω) ≤ν||u(t)||2+c2|u(t)|2||u2(t)||8 L4(Ω) As´ı, obtenemos d dt|u(t)|2≤c2||u2(t)||4 L4(Ω)|u(t)|2 Como la funci´on t−→ |u2(t)|8 L4(Ω) es integrable, la unicidad quedar´ıa demostrada de manera an´aloga a como hicimos en el caso bidimensional (Teorema 2.6). 70 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes Observaci´on 2.2. Se puede probar tambi´en un resultado de unicidad para n= 3 en la clase de las funciones que verifican (2.72) y u∈Lr(0, T;Ls(Ω)) con 2 r+3 s≤1, s > 3 V´ease por ejemplo [Lions-1]. 2.3.4. Soluciones m´as regulares Ahora nuestro objetivo es ver que, partiendo de datos con mas regularidad, podemos obtener soluciones m´as regulares para el caso bidimensional. En el caso tridimensional, probaremos la existencia de soluciones m´as regulares en intervalos de tiempo arbitrarios siempre que supongamos que los datos de partida u0,fsean ”suficientemente peque˜nos.oque νsea suficientemente grande. CASO BIDIMENSIONAL Teorema 2.9. Supongamos n= 2, y partimos de f,f0∈L2(0, T;V0),f(0) ∈H yu0∈H2(Ω) ∩V. Entonces la ´unica soluci´on del Problema 2.4 dada por los Teoremas 2.5 y 2.6 cumple que u0∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H) Teorema 2.10. Supongamos n= 2, con Ωun conjunto acotado de clase C2, y partimos de f∈L∞(0, T;H),f0∈L2(0, T;V0),f(0) ∈Hyu0∈H2(Ω) ∩V. Entonces la ´unica soluci´on del Problema 2.4 dada por los Teoremas 2.5 y 2.6 cumple que u0∈L∞(0, T;H2(Ω)) CASO TRIDIMENSIONAL Teorema 2.11. Supongamos n= 3, y partimos de f∈L∞(0, T;H),f0∈ L1(0, T;H)yu0∈H2(Ω) ∩V“suficientemente peque˜nos” o para νsuficientemente grande. Entonces existe una ´unica soluci´on udel Problema 2.4 que cumple u0∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H) 71 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes Teorema 2.12. Supongamos n= 3, con Ωconjunto de clase C∞, y partimos de f∈L∞(0, T;H),f0∈L1(0, T;H)yu0∈H2(Ω) ∩V“suficientemente peque˜nos” o para νsuficientemente grande. Entonces la ´unica soluci´on del Problema 2.4 cumple que u0∈L∞(0, T;H2(Ω)) Propiedades de la presi´on (para n≤4 n≤4 n≤4) Definamos U(t) = Zt 0 u(s)ds β(t) = Zt 0 Bu(s)ds F(t) = Zt 0 f(s)ds Si ues soluci´on de (2.15) −(2.16), entonces para n≤4, U, β, F∈C∞([0, T]; V0) Integrando (2.15), vemos que v((U(t),v)) = hg(t),vi ∀v∈V∀t∈[0, T] donde g∈C([0, T]; V0) es g(t) = F(t)−β(t)−u(t) + u0 Gracias a las Proposiciones 1.1 y 1.2, aseguramos para cada t∈[0, T ] la existencia de alguna funci´on p(t)∈L2(Ω) tal que u(t)−u0−ν∆U(t) + β(t) + ∇p(t) = F(t) (2.75) Teniendo en cuenta que ∇p=g−ν∆U llegamos a que ∇p∈C([0, T]; H−1(Ω)) y, por lo tanto p∈C([0, T]; L2(Ω)) (2.76) De esta manera, podemos derivar (2.75) en el sentido de las distribuciones en Q. As´ı, estableciendo p=∂p ∂t (2.77) 72 Cap´ıtulo 2. Las ecuaciones de evoluci´on de Navier-Stokes obtenemos en Q ∂u ∂t −ν∆u+ n X i=1 uiDiu+∇p=f La presi´on aparece generalmente como una distribuci´on en Qdefinida por (2.76) y (2.77). Bajo las hip´otesis de los Teoremas 2.10 (n= 2) y 2.12 (n= 3), y teniendo en cuenta la Proposici´on 1.5, concluimos con que p∈L∞(0, T;H1(Ω)). 2.3.5. Relaciones entre los problemas de existencia y unicidad para n= 3 n= 3 n= 3 Denominaremos Soluciones d´ebiles a aquellas funciones usoluci´on de (2.46) −(2.47) tal que u∈L2(0, T;V)∩(0, T;H) y, por ello (aplicando el Teorema 2.6), u∈L8/3(0, T;L4(Ω)) y u0∈L4/3(0, T;V0). Soluciones fuertes a aquellas funciones vsoluci´on de (2.46) −(2.47) tal que, adem´as de lo anterior, cumplen que v∈L8(0, T;L4(Ω)). Por los Teoremas 2.5, 2.6, 2.8 y 2.11, sabemos de la existencia pero no de la unicidad de las soluciones d´ebiles y, por e contrario, sabemos de la unicidad pero no de la existencia de las soluciones fuertes. Para las soluciones d´ebiles dadas por el Teorema 2.5 se cumple la denominada desigualdad de la energ´ıa: |u(t)|2+ 2νZt 0 ||u(s)||2ds ≤ |u0|2+ 2 Zt 0 hf(s),u(s)ids ∀t∈[0, T] (2.78) y de acuerdo al Teorema 2.8 y al Lema 2.2, las soluciones fuertes (si existen) cumplen la igualdad de la energ´ıa: |v(t)|2+ 2νZt 0 ||v(s)||2ds =|v0|2+ 2 Zt 0 hf(s),v(s)ids ∀t∈[0, T] (2.79) Los problemas de la unicidad de las soluciones d´ebiles y de la existencia de las soluciones fuertes se relacionan por el siguiente teorema. 73 Cap´ıtulo 3. Control ´optimo de las EDPs estacionarias de Stokes ||Mf1−Mf2|| ≤ c0(Ω)||f1−f2|| ∀f1,f2∈L2(Ω) Las iteraciones de ALG 1 se pueden escribir en la forma fn+1 =PUad −a bMfn, n ≥0 Por ello, usando la no expansividad del operador proyecci´on, si miramos ALG 1como un algoritmo de punto fijo asociado al operador resultante de la composici´on PUad ◦−a bMllegamos a que, si se cumple que a bc0(Ω) <1 esta composici´on es contractiva y, por el Teorema de Punto Fijo de Banach, el m´etodo de aproximaciones sucesivas converge. Para terminar, estamos interesados en formular un nuevo algoritmo de punto fijo teniendo en cuenta alguna de las aproximaciones descritas en el Cap´ıtulo 1. Nos centraremos en la aproximaci´on por elementos finitos del problema. En l´ıneas generales, para llegar a ALG 1 partimos del problema de control (3.4) definido por una EDP de estado, un funcional de coste Jy un conjun- to de controles admisibles Uad. A partir de la soluci´on de (3.4), definimos el sistema de optimalidad caracterizado por (3.5) −estado asociado (u, p)−, (3.6) −estado adjunto asociado (w, q)−y (3.7) −condici´on adicional que, gracias a la proyecci´on sobre Uad, nos permite calcular fteniendo en cuenta el problema de m´ınimos (3.8)−. Para llegar a un algoritmo ALG 2 que sea computacionalmente practicable, tenemos dos posibles v´ıas: Podemos aproximar el problema de control (3.4) por un problema en dimensi´on finita (usando la aproximaci´on por elementos finitos), obteniendo as´ı una ecuaci´on de estado aproximada, un nuevo funcional de coste aproximado y un nuevo conjunto aproximado de controles admisibles. A partir de ello, podemos entonces definir un nuevo sistema de optimalidad aproximado y reformular ALG 1. Podemos partir del sistema de optimalidad definido por (3.5) −(3.7) y cambiar el problema a resolver por una aproximaci´on en dimensi´on finita, 80 Cap´ıtulo 3. Control ´optimo de las EDPs estacionarias de Stokes de tal manera que el nuevo m´etodo resuelva, en cada etapa, diferentes problemas con diferentes aproximaciones. Nosotros seguiremos la segunda v´ıa para llegar a ALG 2. Observaci´on 3.1. Generalmente, los dos algoritmos que se pueden obtener por estas v´ıas no coinciden. Por fijar ideas, consideremos aproximaciones de las ecuaciones de estado y estado adjunto basadas en elementos finitos mixtos. De esta manera, llegamos a la ecuaci´on de estado aproximada      νZΩ ∇uh· ∇vh−ZΩ ph(∇ · vh) = ZΩ fhvh∀vh∈Wh ZΩ ¯ph(∇ · uh)=0 ∀¯ph∈Ph (3.9) donde Whes un subespacio de dimensi´on finita de H1 0(Ω) y Phes un subespacio de dimensi´on finita de L2(Ω). Supondremos que el par (Wh, Ph) verifica la condici´on inf-sup uniforme ´ınf ph∈Ph sup vh∈WhRph(∇ · vh) ||ph||L2||vh||H1 0 ≥β > 0 Esta condici´on permite asegurar la existencia y unicidad de soluci´on de (3.9) (phes ´unica salvo una constante aditiva). Para los detalles, v´ease por ejemplo [Brezzi]. De manera an´aloga, tambi´en llegamos a la ecuaci´on de estado adjunto aproximada      νZΩ ∇wh· ∇vh−ZΩ qh(∇ · vh) = ZΩ (uh−udh)vh∀vh∈Wh ZΩ ¯qh(∇ · wh) = 0 ∀¯qh∈Ph (3.10) Por ´ultimo, la condici´on de optimalidad (3.7) se reduce a calcular fh=PUad −a bwh(3.11) 81 Cap´ıtulo 3. Control ´optimo de las EDPs estacionarias de Stokes Con estos elementos, ya tenemos las herramientas necesarias para formular nuestro nuevo algoritmo de punto fijo. ALG 2: Paso 1.- Fijar f0 h∈Uad. Paso 2.- Para n≥0 y fn h∈Uad dados, hallar (un h, pn h) (soluci´on de (3.9) con fh=fn h), (wn h, qn h) (soluci´on de (3.10) con uh=un h) y fn+1 h(soluci´on de (3.11) con fh=fn hywh=wn h). Estudiemos dos casos particulares: (1) Si Uad =L2(Ω), entonces PUad es la identidad, de manera que fn+1 h=−a bwn h (2) Un caso con mayor inter´es pr´actico es si definimos el conjunto de controles admisibles como Uad ={fh∈L2(Ω) ; αi≤(fh)i≤βi,1≤i≤d}, es decir, la i−´esima componente de fhest´a acotada entre dos n´umeros reales αiyβi, donde ivar´ıa entre 1 y d(dimensi´on del espacio). En estas condiciones, la proyecci´on de una funci´on z∈L2(Ω) queda definida como PUad (z) = z∗, z∗ i=         αisi zi< αi zisi zi∈[αi, βi] βisi zi> βi En consecuencia, fn+1 hqueda determinada teniendo en cuenta (3.11). Por ´ultimo, veamos un resultado de convergencia similar al enunciado en el Teorema 3.3. 82 Cap´ıtulo 3. Control ´optimo de las EDPs estacionarias de Stokes Teorema 3.4. En las condiciones precedentes, para un valor de a bsuficientemente peque˜no, el algoritmo precedente converge. Idea de la demostraci´on. Consideremos la aplicaci´on lineal Λh:Uad →Uad donde, para cada f∈Uad, Λhf=PUad (−a bwh) donde whes (junto con qh) la soluci´on de (3.10), y uhes (junto con ph) la soluci´on de (3.9). Para que esta aplicaci´on sea contractiva, por un razonamiento an´alogo al usado en el Teorema 3.3, bastar´a con que a bsea suficientemente peque˜no. Observaci´on 3.2. Si los WhyPhse eligen asociados (por ejemplo) a las aproximaciones Pl−Lagrange correspondientes a una familia regular de triangulaciones Thy se cumple la condici´on inf-sup uniforme, se puede probar que el tama˜no de a/b se puede elegir suficientemente peque˜no independientemente de h. Por ejemplo, esto se puede conseguir si WhyPhson, respectivamente, aproximaciones P2−Lagrange y P1−Lagrange. Para los detalles, v´ease [Brezzi]. 83 Bibliograf´ıa [Br´ezis] Br´ ezis, H.,Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer, U.S.A., 2010. [Brezzi] Brezzi, F.; Fortin, M.,Mixed and hybrid finite element methods. Springer Series in Computational Mathematics, 15. Springer-Verlag, Berlin, 1991. [Fern´andez-Cara] Fern´ andez-Cara, E.,Complementos de modelizaci´on y optimizaci´on num´erica. Notas de curso, Universidad de Sevilla, 2018. [Gunzburger] Gunzburger, M.D.,Perspectives in flow control and optimization, Advances in design and control, 5. SIAM, Philadelphia, 2003. [Lemari´e-Rieusset] Lemari´ e-Rieusset, P.G.,The Navier-Stokes problem in the 21st century. CRC Press, Boca Raton, FL, 2016. [Lions-1] Lions, J.L.,Optimal control of systems governed by partial differential equations. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 170 Springer-Verlag, New York-Berlin, 1971. [Lions-2] Lions, J.L.,Quelques methodes de r´esolution des probl`emes aux limites non lin´eaires. Dunod, Paris, 1969. [Robinson] Robinson, J.C.; Rodrigo, J.L.; Sadowski, W.,The threedimensional Navier-Stokes equations. Classical theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 157, Cambridge University Press, Cambridge, 2016. 84 Bibliograf´ıa [Temam] Temam, R.,Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis. North-Holland Publishing Company, Amsterdam-New York-Oxford, 1979. 85