Los seis libros primeros de la geometria de Euclides

LOSSEIS LIBROS PRIMEROS DELA GEOMETRIA DE EVCLIDES. Tradnzidos en legua Efpañola por Rodrigo camorano Adróla go yMathematico.,yCathedrat¡co de Cofmographia por fu Mageftad en la cafa de la Contratado de Senilla Dirigidos al jllultre tenor Luciano de Negro, Canónigo déla tanda yglefia de Seuilla. Con licencia delConfejo Real. En Senilla en cala de Atonto déla Barrera, r'*' if7 Eda tallado en tingo ^amorano nos fue fecha relació diziédo qvos auiades ttaduzido los feys libros primeros de la geometría de Eucli des en nueftra legua efpaiíola porque hauian fido muydcílea dos de muchas gentes por la granvtd'idad qué trayan adía los que liguen las mathematicas como atodos los artífices, yen traduzirlenofolo auiades pallado mucho trabajo en que materia tan diflficil yobfcura,eftuuielTe clara en nuéftr a lengua,pero ala república fe le hauia hecho no pequeño beneficio por la necefl'idad que de ella obra tenia ,Suplicando nos lo mándaíTemos Yéer ydar os licencia para lo poder im primir,ocomo la nueftra merced fuelle. Lo qual villo por los del nueftro ConfejOjpor quanto en el dicho libro fe h¡- zieron las diligencias que la prematica por nos hechafobre la ympreffion de los libros difpone ,fue acordado que deuiamos mandar dar ella nueftra carta para vos en la dicha razón &nos touimos lo por bié.Por la qual damos licencia yfacultad para que por ella vez qualquierympreílor deftos nueftros reynos pueda imprimir el dicho libro fin que por «lio cayga ni yncurra en pena alguna. Ymandamos que delpues de ymprello no fe pueda vender ni venda finque pri - A2, . mero le traya al rmeftro Confejo juntamente con el original que fue vifto,que va rubricajo yfirmado de luán gallo de dadradanueftro fcritiano de camara de los que reliden en elnueftro Coniejo,para queladichaimpreflionfe vea li ella conforme al original yfe de licencia para lo poder vender^ fe talle el precio aque fe huuiere de vender cada pliego del,fopena de caer &incurrir en las penas contenidas en - ladichapregmaticayleyesde nueftros Reynos ymas de la nueftra merced yde diez mili maranedis para la nueftra; camara.Dada éMadrid aveynte yquatro dias del mes de mar $o de mili &quinientos yfetenta yquatro años . D.Eps Segobieñ. El Licenciado El doílor Franclfco Pero gáleo. hernádez delieuana ElEicenciado El doílor luys El Doílor Contreras. de moliua. Aguilera, Yo luán gallo de dndrada fcriuaao defamara defuMagellad la lize fereuirpor lu mandado conacuerdo de los del fu Gonfejo. Alonfo de Vargas Pecellin Por chanciller Alonfo de Vargas Pecellin ALILL VSTRE S E ÑOR LVCIAN ODE NEGRO, N canónigo déla íanífca ygleíia. de Seuilla. ¡S¡; r;; ' BLIGAMEjiíluñre leñar) Lo. mucho.que. V.^ví.iTieriece, ,f,Aíffl I.yiardeuda g.araeu¡,ar ;cn que todas íasbuenas arces a.V.M BMÉsssa¡^¡ll.le eEtajUdedicaríc como apa tron ytan eiludiólo decodas ellas, eftos ícys libros dcla Geometría de Euclides traduzidos en nueílra lengua Efpañola ,para comentar concito alpttiir alguna parce de lo mucho qa.V.M.deuo ydedeo: corno apeelona que no folo en fus principales eIludios délas letras {agradas,pero aun en elle genero de profeísion tiene tambuena parte, que bailara dar nombre no Tolo aelle, pero a otros mas Illuítres trabajos .El qual confio que lera gratamente reccbido de todos los curiofos de las Mathematicas, tanto por yr debaxo de calprotedlion yamparo, quanto por ?A antiguos ella tí llena de ejemplos Geómetra cos^q fin cita fciétia es impolllblc poder éphí iofophia l'aber el día de oycofa alguna.Táb ié la philofophia moral es cola clara la neceííidad de Geometría qtiene,pues Ariftoteles é lasEticas coparalas despartes delajufticiadi íhibutiua yComutatiua alas dos proportio nes^Geométri-cay Árithmetica ,Quintiliano haze la Geometría ncceffaria ál OradorjyBar tolo al’Iurílpetico.Ygeneralméteatodas las demas artes y{'ciencias fe les hecha de ver la neceflidad,pues vnas fin ella nopuedé paíTar, yalas demas les es vtil en grande manera, co mo lo vera quien aello vn poco atender quiíiere.Ha íido fiempre tan tenida yeílimada ella fcientia que Platón madaua ninguno de fus difcipulos entrafe aoyrlephilofophia fino fupiefe primero: Geometria.H/ppocratesfcfi criuio vnlíbrtíde él quadrar él circülojAuice na otro de lineasy'números,Archimédes rnq chosjdelos qualcS algunos fe han perdido co la injuria del tiempo^y otros andan aun eldia de oy éntrelas manos délos curiólos .Hypfícles feriuio dos libros de Geometría que tratan de laproporcion de. los cinco cuerpos re x--guiares guiares,los qualcs coíi algunos de los quince de Eutlides traduxo en latín SeucrínoBoetio Apollonio Pcrgeo folia 1er llamado diuino por los ocho libros que eícribio de las fc&io nés Conicas,dclos quales Ihlcn tanta diueríldad de fubtilezas en los Rcloges Polares ,en los inftrumentos Mathcmaticos,y principalmente en aquella delicada yadmirable inue tion de;el. Aftrolabio ,Yfinalmente anadie podemos juzgar por do&Oja nadieporperito yexercitado en lulcientiá oen arte alguna:!! carece del conocimiento de la Geometría ba lis yfundamento de todas ellas .Por lo qual fiendo eílafciétia tan antigua,necefariay.no ble pciire de comunicar la acodos para que le puedan vniueríalmente aprouechar delk en todas las ar'tesy ícientias.Y no me ha pare cido facar aora aluz mas de losprimcros feys libros por í'cr ellos mas neceííarios que los ©tros.Ni lie querido poner en ellos comenta rios,l¿holios,ni additiones(quc pudiera) por que el auétor fue en ello tan ingeniólo que el que quifiere,con facilidad puede ,atendiendo bien ala letra,percebir el lentido ydemon ílraciondc.lo que el enfena. Yaunque elle ;o¿. B3mi mi pequeño trabajo entiendo ha de fer agradable am«chos,pero aotros no les parecerá tambienjporque aunno le hauia biencómeii. cado quando tnc dixeron vnos bien yotros mal de mi diligecia.Mas deípues peiíuadidopor.ruegos de algunos amigos}jdé la ííeceii ó dad que de andar efte libró en nucítra legua vulgar hauiaíteniendo ya aleada la mano de-, la traduótion quife voluer ai ella'; Afta aca * barios feys primeros. libros,que ion los mas neceílarios. de todos losqueEuclides cicribio Pareciendo me mejor el prouecho'quc alos vnos hazia que no la murmuración que por fuere atengo de infrie de los demás, quelesp'a fece^que el andarlas fcientias en lengua vulgares hazer las Mcchanicas,no mirando que los ambares que al principio las fcribicron, lasdesearon (criptas en lengua que entonces eratan vulgar comoaora lo es la nuciera ,y que no bufearon otras agenas én que Ccrcbir porque fu intención fue mas de aprouechar atodos que nó'de encubrir anadie la ícictia. Pero porque citas gentes me parece que van fuera de buen camino,rto Curare de gaftar pa labras en eftoynas de encomendar al curioib v. "" leedor le£tor,tenga por bueno mi trabajo,, el qual yo entendiere que le es acepto Tacare breuemente lo que falta de Eucíi des,con otras cofas tocantes ala Aílronomia,Afirolo- - gia yCoímographia,q entiedó aplacará. alos curiofos. Vale . ü LIBRO PRIMERO DE LOS ELEMENTOS DE EVCDIDES PHILOSOPHO Megarenfe, Detees géneros de principios El primero las difinitiones «. Punto es,cuya parte es Linea re£ia ninguna. Linea cuma. Linea tortuofa. Superficie llana. L. 3. iLinea eslogitudque no fe puede enfanchar. 3Los tcrminosdela linea fon punítos.. 4Linea reíla es la que ygualmete efta entrefus; puntos. fSuperficie es lo que fo lamentetiene lógitud yanchura., 6Los terminosdela fupcrficie fon lineas. 7Superficie llana cs,la que ygualmente ella entre fus lineas. 8Angulo ll ano es, la in Superficie cuma, clinacio de doslineas qfe toca en vn plano yno efta en derecho Angu EVCLIDES. fa. o: 9Angulo redilineo fe llama quando las lincas que cótienen el ángulo fueren re¿las 10 Quando eftando vna linea re £ta fobre otra linea recta hi -A»guIorcílo ziere ángulos de ambas partes ygualcs entre íi ,es reíto cada vno délos ángulos ygiia les, yla linca que fobre cita, le dize perpendicular fobre la que eftuuierc. Obtufo a£uiío nAngulo obtufo es el mayor que re£to. »_B 11Angulo agudo es el menor que rcéfo. j3Termino es, lo que es fin de cada cofa. 14-Figura es la que es contenida de alguno, o de algunos términos. Circulo. ir Circulo es vna figurallana 1 cotenida'dcvna linea,que /\ /V le llama cireuferccia ,afta | ala qual todas las lineas qv. \J faüerendevn’puntoqcftc LIBRO PRIMERO DE dentro cayendo tulla circúíérentia del írxiímo circujo íbn.entfe íiygnales.. .Í4 i6Centro del mifmo circulo fe llama aquel pur.cto. <•Ci iyDiametro di circulo esyria¡;\<<. Ejametro, linca reda tirada ppr-eldée. t:ro:y de ambas pactes ter-a minada éla circunferencia,- del circulo .la qual diuide alcirculojporniediá. .. .s.u'iüiw» ;rni *8' Medio circulo es la figura te. nida del diámetro yde la circú fcrécia que con el es cortada,.: -q- ;y iíj Segmcto de circulo,cs la figu ra contenida de yna linea redayde vna circunferenciade .circulo mayor omenor qmc- •dio circulo. ioFiguras rectilíneas fon las que das delineas redas. Medió circulo fon contení 11Figuras de tres lados fon lascóte Tfilatera, nidas debajo de tres lineas redas- Figu- EVCLID ES. /•'. 1zFiguras quadrilatéras fon las Qua'Inlaccra. quéfe comprehenden debajb ele quatro lincas rectas. ijFiguras de muchos lados ío Dc llltK ,10S laUos. !' las qfe cóprehcdeh debajo <- de mas que quatro lineas re •¿tas; pi -.5 •" *1 ' »• i 1.4 Ótroíi délas figuras de treslados triangulo equilátero es el :qfe cóticne debajo de tres lados yguales. ziYfoíceles es el qescotenido í’oláinete debajo de doslados %&Eícaleno es clque es contení do debajo de tres lacios dcíi guales. a^-Dcmas deffo 'delasfiguiras ele tres lados triágulo rectagulo es éíque viene ángulo: rekífcbc xS Pero amblygonio' es él queti. ene ángulo obrufo ,y-.a. Re¿tángelo- iSísíM q LIBRO PRIMERO. ¿9 Oxigonio el’ que tienetres an gulos agudos. 5oPero de las figuras quadrilatefas,qütdrado ds elquc es cquilacero yredtangulo . 5rQuadrangulo es,el que es rectángulo po no es equilátero jíRombo es la figura qes cqui latera, pero no es rcCtágula. 55 Romboyde es la figura qtic ne los lados yángulos contra ríos yguales,pero ni es equila teta ni reCtansmla. O 54 Los demas quadrilateros fue ra deítos llamanfc trapezias . jsLineas rcCtas parallclas (olas qcitado cvn mifmo llano ,y eítédidas de abas partes éinfinito, cningúaparte cocurre Oxigonio. Quadrado. Lll Quadragnlo. CD Rombo Romboyde. \p\ Trapezias. ZE\ Paralelas ‘El LIBRO PRIMERO. fo.u ^El íegundo genero de principios las peticiones. i. Tirar vna linca recta defdc qualquier pün ' ’do afta qualquier pundo. 2 Vna linca reda termina da cftenderla cótinuay derechamente. 3Sobre qualquier centro ydiftancia deferibir vn circulo. 4Todos los ángulos reatos fer entre íi ygualcs. j. Sicayédovna •linea reda í'o bre doslineas redas hizicrc los ángulos interiores yde vna mifmá par te menores que dos rectos, aquellaslíñeas iredas eftendidas en infinitóles neceflarí»' ^^ue concurra azia aquella parte ertlá qual citan los ángulos menores que dos redos LIBRO PRIMERO DE técia)y le esygúal,ycaeran tibien los de mas angulosfpor la mifma)fobre los de mas ángulos yles lera yguales., efto es el ángulo.ABC.al ángulo. DE2.yel ángulo.ACB. al ángulo DÜÍLuego quando dos triángulos tupieren los dos lados yguales alos dos lados el vno al otro yel ángulo ygual aí an guio contenido de yguales lineas rectas. tendrán también la bafis ygual ala baíis^y el vn triangulo lera ygual al otro trií • .guloty los de mas ángulos lera yguales a los de mas ángulos el vno al otro, debajo de los quales fe ellieuden yguales la doSjlo qual comimo demonftrmie. Tbeorema.z. Propoíltion. j. ^Los ángulos de los triigulos yíofceles qefta í’obre la bafis fon entrefi yguales. Yeftédidas las lineas reótas yguales, feran tibien yguales entre filos ángulos qeftan debajo de la bafis Sea el triagulo yfoIceles. ABC. que tenga elíacío. AB . ygual al lado. AC. yclliendanfe derechamétefpor la fecuJa petition) las lineas. BD.C E. alas lineas. AB.A C. digo que el ángulo.A. BC.es ygual al anguío.A CB.y elang.ulo.CB I> al ángulo. BCE.Tómele en la lineaJ3 D.vn puto acafo y fea.Z.ycortefe déla linea. AE mayor (por la tercera propo ¿icio) vna ygual ala. A.Z .me nory fea. AI.y júntenle. Z.C yIB.y porque. AZ.a la.AL yAB. ala. AC. fon yguales, luego lasdos ZA,AC.íoygua les alas dos.1 A.A B.la vna a Ja otra,y cierran el ángulo co mun que es cotenido debajo de. ZALluego la bafis ZC. es por EV-CLIDES. fo. if «(por la.+.propofició) ygual alabafis.I B.y el triangulo. AZC.feraygual al triangulo.AI B.y los demas ángulos a los de mas ángulos elvno al otro ferá yguaIes,debajo délos quales fe eftienden yguales la dosillo es el ángulo.ACZ. al ángulo.ABI5yel ángulo.AZC.al ángulo.AIB. yporq toda la.AZ.es ygual atoda la.AI.de las.quales la linea .AB . es ygual ala linea. AC.luego la que refta.B Z. es ygual (por la.j.comú fentencia)ala. CI.q relia. Yefta demoftrado que. 2C.es ygual ala mifma.B I.luego las dos. BZ. ZC.fonygn, ales alas dos.C I. I B.la vna ala otra,y el angulo.B ZC. es y gual alangulo.C IB.(por Ia.4vppofici6)y la.B C. esbafis co mun,lliego el trianguío.B ZC.fera ygual al triangulo.C I B ylos demas ángulos alos demas ángulos el vno al otro ferá también yguales debaxo délos qualcs fe eftienden yguales lados(porlainilma)luego el angulo.Z BC.es ygual al angu lo.I CB.y elangulo. BCZal ángulo CBI.fon yguales.Pues porq todo el águlo. ABI.como efta demoftrado es ygual a todo el águlo.ACZ.delos quales.CB I.es ygual al angulo,B CZ.luego el ángulo.ABC.q refta es ygual (por la.j.comú fentécia) al ángulo reftáte.A CB.y fon fobrelabafis del tri ángulo.ABC.per oefta demoftrado,queel angulo.Z BC.e» ygual alangulo.I CB,y eftan debaxo déla bafis luego délos triángulos yfofceles los ángulos que eftan lobre labafis fon yguales entre fi,y eftendidas las lineas reñas yguales feran también iguales entre fi los ángulos que eftan bebaxo de la bafis lo qualfe auia de demoftrar. Theorema.3. Bropoficiau.fi. ^Si los dos ángulos del triágulo fuere yguales cntrcíijtambicn los lados qeftan debaxo dcyguales ángulos ferá yguales entre fi, PvSca el triangulo.ABC.q ter>ga»I ángulo.ABC.ygual al ángulo, ACB.Digo qtambién el j*do. AB. es ygual al tado. AC.porq fino es ygual el lado. Aal lado. AC.elvno dello* fera mayor,fea.ÁÉ.mayor(Y por 3-propoficion)cortefc 93«Id [LIBRO PRIMERO' DE del mayor.AB.vna linea yguala la. AC.y ella lea-, DB. ytirefe la linea. DC(poi-k.3.petitió)Pue3perq el la do.DB.es ygualallado.AO.y cornil. Ialinea,B C-luegolos dos lados .D .11. BO. Ion yg'.ulcs-íi los dos lados. AC.C B.el vno al otro,yel ángulo. DBG.al águlo. AC.B. por la.ruppbíi •ció, luego la baíisD C(por la.4.pro •poficion) es.ygual ala bafis.AB.y el ariágulo. DBCjferaygualjporía'inii ma, al triangulo. ACB. es afaber el menor al mityor,lo qual es. impofli ile.Luego el lado. AB,noesdeíigual aliado .AC.Serapuesygual .Luego li los dos ángulos de vn triangulo fuere ygüaíes entre ii, cambié feran yguales los lados entre fi, que fe eílienden debaxó de yguales ángulos, -lo qualfe hauia de-demoílrar., Theorema:4. Propofition. 7. íSobrevna miíma-linea reóta no í’c daran. dos lincas re.ófcas.ygnaj.es a. otras dos lineaste¿tas, la Vna ala otra qconcurra en otropuníto di uerfo,teniendo vnos miíraos términos colas prunerasdiiicas redtas . Porq fi es.poílÍblé,cícfe fiobre tfna mifina linea rcChu A'B-a las dós^neasreótas.AC.GB.btrás dos liiieasre&as.AD. DB yguales la viia ala otra qcocirfr&en diñerfos puchos qlean •CD.haziavnas íhilujas partes couieneadaber hasia. CD-te niedo.vnos mifinos temimos qfon.AB.De máera q.CA.dfea yguai.a la.DA-teniedo* el mifrao termino qes.A.ylaCB.ala DB..tcíJiédo elmifinp termino qes.B.juceí'e.CD¿ppr Luí-pe •.tíció fEVCLIDES, tici5)Pu'es {j.oi'gsjt C.esygual ala .A D.lera tábieiiyguál elartJitfo.ACD al sngulo.ADC.Espues.el agirlo A.D C.mcnorq el ángulo.BDC. luego me ñor es elauguloACD. qel Sgulo.BD C.Serapues mucho menor el ángulo BGP,q e) agirlo. BDG. luego mucho, esuieuoí ebanguJp.BCD. qel ángulo B.DC.De uias deito porque.BC.es y~ g¡jai <V¡ q, DB,Esiurgoygual tibien el ángulo,BCL^alanguío.C DB,.Y efta yademroftrado qes mucho menor , lo qual es ¡mpüílibier¡Euego i'obrev- 1 na mifma tefita linea,a dos miliiias li meas reftas no.fgd.ará píraí dosJineaS Veífcts ygpales la vna. ala otra qcócurrá en.diuérfos pullos,liaziarnas inifmaspar teSjteuiédo los miírnos términos con las primeras lineas reñaSvLo qualconuino demonitrai-% --,::. i Tlieoiema. pí’rojiofieion. 8. CSi dos triágulos tuuieix los dos lados ygua les alos dos lados, el vno al ocio:y la baíis tabiéygual ala baíis,tedran tábie el ángulo cotenido de yguales lincas reífcas ygual al aguló «[Sean dos triángulos. A5c., DEZ.que tega los dos lados BC. ACayguales alos la dos.E Z; DZ.elvno al ó, tro eft© es.C B.ala ZE.f AC.ala DZ ytengan la balis.fi A,ygual ala bafis CBodigo quelangulo.B CA.es ygual al angulo.E L ZD.porque puedo el tri ángulo.ABG.fobre el triangulo. DE£.ypuéfto el plinto. B fobre el puijto.E.y la linea refta.B A.fohre..E D.cae también -C’ 4‘elpunto LIBRO PRIMERO DE elpunto.C.fobre el punto.Z.porque. BC.es ygual ala.E Z. caen también. CA. AB. fobrelD. DZ.porque fila bafis BA.caefobrelabafis.E D.peroloslados.B C. AC.nocaéfo bre loslados.E Z. DZ.fino ¡j fi difieren cnmo.E Z. EC.D Z. DC.darfe han lbbre vna milma linea reña dos lineas reñas yguales aotras dos lineas reñas lavnaala otra q.cócurráé diferentes puntos hazia vna milma parte teniédo vuos mif mos terminos.Pero no fe dan eftas(por la.7.propofieió)lue go cayédo la bafis.B A.fobre la bafis .E Dcaerá tábien los la dos.B C. AC.fobre los Iados.E Z. DZ.por lo qual también el ángulo.BCA.caera fobre el ángulo. EZD. yfera ygual, Luegofi dos triángulos tmiieren los dos lados ygüales a los dos lados elvnoal otroyla bafis tábien ygual ala bafis, tendrán el ángulo también ygnal al ángulo cótenido deyguales r.eñas lineas, que era lo qfe auia de demoftrar. Problema.4. Propofítioo ^Diuidir vn ángulo dado redi lineo en dos partes yguales., tjSea el ángulo reñí lineo.dado.B A'C.conuiene diutdirle en dos partes yguales.Tórnele enla linea.AB.vn puño acafoy fea.D. Ydéla linea. AC.fporla.j.pro pofició) cortefe. AE.ygual ala. AD. y(por la.i.petici6)tirel'e la linea. DE yhaga fe(por la;i.propofi.ci5)vn triá guio áyguales ladosfobre.D E. ylea DZE.y (por la.'i. petition)tire le la AZ.Digo. qel águlo.B AC.es cortado con la linea. AZ.en dos partes yguales.Porq. AD.es ygual ala.AE.y común la. AZ.luego las dos .D A.A Zfó yguales alas dos.E A. AZ.iavna ala otra,yla bafis, DZ.es ygual(por la. i,pro.po.fictó)a la bafis,EZ,luego (por la,¿)el águlo,D AZes. ygual al EVCLIDES. fo 17 juto,Z AE.Efta luego cortado en dos partes yguales con la linea.AZ.el ángulo dado de Eneas reíbas.B AC.loqual coa uino afli hazerfe. Problema.?. Propofícion. io. ^Diuidir en dos partes yguales vna linea re da dada terminada, adada la linea reíia terminada. AB.cóuiene diuidir 1» linea. AB.édos partes yguales.,hagafe(por la.i.propolició ) fobre ella el triágulo de:/guales lados ABC(y por la.<i.|ppofici5)cortefe é dos partes yguales el ángulo .ACB . có la linea redirá, CD, digo qla linea reída,AB. es cortada en despartes y guales enel pim£ho,D.,porq(por la. i, propolició)A C.es ygual ala.C B.y ía CDescomun,lijegolasdosAC. CDfon yguales alas dos BC.C Dda vna ala otra,yel ágtilo ACD. es ygual al águlo BCD.Luego (por la. 4.) la bafis-A Des ygual ala baiis. DB Elba pues cortada la linea1AB-reíba dada terminada édosy guales partes. enel puncho,D.que era lo cj fe hauia de hazer . Problema. C. Propolirio.. u» CDada vna linca reda,ía.car deí’dc vn puto en ella íenaladovna recia linca en ángulos redos. ?*Seala linea reíba dada.AB.y el punido feñalado en ella fea.C.conuiene dtefie el miimopuníbo.C .deJamifmd linea re£la,.A B.facarsrm linea reída era ángulos ,reídos-,. Tome le euLunifnra.A B., vn-puaóboacafoy 1'ea.Q-y pongafe(por la tercera LIBRO PRIMERO DE tercera propofíció)la linea*" -' CE.ygual aia.D C.y fobre DE(porla.i. propolician) haga fe cltriagulo de lados yguales.Z D£,y.tirefe lali nea;ZC- Digo qla linea re £UéZ CTale 'déla linea. A en ángulos refíos defde el C púnelo feñalado en ella que es-C.Porq. DC.es yguál aía .C E.y lalinea.Z C.es coimi luego las dos.D C.C Z.lon yguales^ alos dos. EC. CZ. la vna ala otra yJabaíis. DZ(por la .ir'- propofició) es ygual ala bafis.EZ.luego el ángulo. DCZ. es yguaI(porIa.8.propolici 6)al angtilo.EC Z.yeílandevnay otra parte.Yquado eilando vna linea refía iobre-otra linea reóla hiziere de vna yotra parte ángulos entre íi yguales^ca da vnof de los ángulos yguales es refío(por la.io.de/imcioii) luego el ángulo. DCZ.yel angulo,Z CE.fon re61os. Luego faco fe la linea re6ra, ZC.e arigtilos refííos de la linea recia .. AB*y defde elpüfío.C.feñalado én ella,q éoniuno hazer fe. . Ploblenia.7.‘rropofícidh. 12 .' '-:- «[Tirar vna linca re£ta perpendicular ípbrc vna linea rtífca dada infinita deídcvn puncto que no eftc en ella , &&Seavna línea refía infinita,ylea ella. AB. yel punfío da do que no elle eja ella fea.C.conuiene fobre la linea refía da cía infinita. AB.delde eTpiin61ójC.q no eíla efi élla tirar vti¡& lineártela perpedjcular .Tómele enlavnapxirte déla miGna línea refía. AB.vn punfío acafo ylea.É.y fobre la.C. como centro. Yfegun la diltancia.C E.defle(por Ia.ppeticíó) el cir culo.E ZI.y cortefe(porla.io.propoficion) EI.é dos partes yguales en elpuiifío.T.y tiren fe (porla.i.petició)Ias lineas refías. C1. CE.C T.Digo qla linea refía.C T.eíla tirada per pedicular fobre la linea recia dada infinita. AB. defde el pú- ... -fí'Q ÉVCLiDES. fo 1 8 Qctf) daJo. C.qno eft.i en ella. Porque. 1 T..cs ygual ala.T E.y la.T C.es comíi luego las dos.I.T. CT. lo ygiiales alas dos.ET.CT Bla vna ala otra, Yla baíis T^CI.ala bafis.CE.esygual (por la difinicion quinze) luego el ángulo .CTÍ .esygiial (por la.S’.propofició)al angulo.C TE. Yeílan Je Vna yotra parte.y quádo eftádo vna linea reéla l'obre otra linea rebla hiziere de vnay otra parte ángulos-entredi yguales,cada vno délos yguales ángulos es re£lo(por la.io.difinició) yla li nea recta qella encima fe llama pepédteular. Luego fobre la linea recia dada infinira.A Bldefde el púto.C.dado qno ella éella,ella tirada.la perpédicular.C T.q cóiiino hazerle. Thorenu.S. Propofition. 13 Quando eftádo vna linca re£ta {obre otra linea reóta hizicre ángulos,ohara dos redtos oyguales ados rectos. ^Eítandovna linea re&a. AB^fobre la linea re¿ta,C,D3haga los ágúlospCBÁ, ABD.di go qlos ángulos. CBA. A BD.o Ton dósreétos.,o ygu ales adosreótos.Si el angu lo.C BA.esygual al ángulo ABp.ferá ya dos reares. Pero fino faqueíe(por la.n.propoficion)defde el puecto. B. dadtfen la linea.C 0,1alinea.B E.en ángulos rectos.Allí que los angulos.C BE.E BD(por la diíinici on. ro)feran reélos. Y porq el ángulo.CBE. es ygual alos dos angu los .CB A.A BEjpongaíepor coimm elangulo.D BE.luego los ángulos CBE.E BD.fon yguales alos tres-angulcs q*íbn. C B A.A BE.EBD. De mas defto p.orq el agulo. DBA.es ygual alos LIBRO PRIMERO DE dos ángulos DBE.E BA.Pógafcpor comí! el ángulo.ABC luego los ángulos. DBA.A B C.fonyguales alostres agido» DB E. EB A.A BC.Y ella demonílradoq los águlos.C BE. EBD.lo yguales alos mifmos'.tres,yIas cofas qavna mifma fó yguales(por la.i.comúfentétia)fon entre fi ygualesduego los águlos.C BE.E BD.fó yguales alos águlos. DBA.ABC ylos ángulos DBE.C BE.l'on dos retios ,luego tibien los ángulos. DBA.A BC.fonyguales ados reílos.Enego quan do eftádo vna linea recia fobre otra linea retía hiziere angu Ios,oharados retios oyguales ados reílos,lo qualfue con ueniente deinonllrarfe. Thorema.7. propollció. 14. fSi de alguna linea reda:y devn pundo fuyo tiradas doslincas redas haziadiuerfas partes de vna yotra parte hiziere ángulos yguales a dos redos ,ellas entre íiferan en derecho de linca reda. í*>De alguna linea retía. AB.y de vn punto en ella .B .las dos lincas retías. BC.B D.no tiradas hazia vna mifma parte hagan de vna yotra parte los ángulos. A B C.A BD.yguale» ados retios .Digo que la linea retía. BD.ella en derecho de la linea .CB.porqfialalinea.BD.no le ella éderecho la linea BC.eilele ala.D B.la linea.B Epueíta cderecho.Pues por Í [líela linca retía.AB.cayo óbrela linea retía. DBE.lne go los ángulos.A B D.ABE. fon yguales adosretlos(por la. 13. propoficion )po los an gulos.A BC.A B D.fon ygua les ados reílos,luego las ángulos. DBA. ABE•fon yguales alos ángulos .CB.A. ABD.y quitado el ángulo común A BD.luego el ángulo que relia. ABE.es ygual al ángulo que relia EVCLIDES. fo 19 refta. A B C.el menor al mayor,lo qiul es impolííble.Luego la linea.BE.no efta en derecho alalinea.B D.También de la mifina manera deirioftraremos que ni otra linea fuera de la linca. BC,luego ala linea. DB. díale en derecho la linea. BC luego fi de alguna linea reña yde vn puto luyo ,tiradas dos lineas reñas acia diuerlas partes,hizieré ángulos devna yotra psrtey guales a dos rectos,ellas entre li eftaran en derecho de linea reóla,que conuino demoftrarfe. Thorema.8. Fropoíició. iy. fSi dos lineas redáis Ce corearen enere fi ,hará los ángulos contrarios yguales entredi. . F*>Cortcnfe entre filas dos lineas reñas. AB.C D.enel puto E.digo qel ángulo. AEC.es ygual al ángulo.DEB.porque cayendo la linea reña. AE.lobre la linea refta.C D.hazelos ángulos. CEA. A E D.luego los aiigulos.C EA. AED.l’ony guales ados reños (por la. 13. Fropoíició)Item,porq laiiiiea refta DE.cae fobre ía li - nea reña. AB.haziédo los ángulos. AED. DEB. luego los ángulos. AED. DEB. fon yguales ados reftos (porlamifma.13. propoíicio) yeíta dernoftrado ólos angulos.CEA AED.fon yguales ados reños,Iuego los ángulos .CEA. AED.fon ygii.iles.alos ángulos. AED. DEB. quitado pues el común. AED.el angulo.C EA .que refta, es ygual a! ángulo que refta, DEB.dela mifina forma fe demoftrara qtá- .bienlos ahgüloslCE B. DEA. fon yguales. Luego fi dos lineas reñas fe cortaré entre fi, liaran los ángulos contrarios yguales entre ¡i,que conuino demoftrarfe. Theorema LIBRO .PRIMERO DE ?^Sea la linea Jada. Aii.v.cl púnelo dado en ella fea. A. yel ángulo dado rectilíneo fea.D CE-cóuiene poner éla linea re fia dada.AB.yenel pñélo éella dado.Á.vn ángulo reítilineo ygnal alanguloreétiüneo da do.[D CE.Seá aca ib enla vna yotralinea.C DCE.vnos punétos,y lean ellos. DE.y tirefe.D É(por la.i. petició) Ydelastres.liheas reélas Z A.Z I.I A, quefón.ygualés a las tres lineas re él as dadas C D.D E.E C.haga le(por la precedente, vn.triángulo’ ,y fea AZI. De manera'qué la linea.CD.feaygualalaliuea.AZ.y.CE.a la linea.AI.Ytam bien.D E.a la,Z I.y porque las doslineas-D C.C E. lonyguá les alas dos lineas .ZAAI,Ia vna ala otra,y la bafis .DE. (por lafuppofition)alabafis.ZI.Luego el ángulo. DCE.es ygnal al angulo.Z AI(por la.i¡.propoficion)luego enla linea reéladada.AB.y enelpunélo en ella feüalado. A. ella dado «1 ángulo reélilmeo. ZAI.ygual al anguloireétilineo.D CE. que convino hazerle. . 'Problema. 15- Propofitió.Z4 ^"Si dos.triágulos tuuieren los dos ladosygua les alos dos.: lados.,el vno alotro,pero mayor el vn ángulo contenido, de yguales lineas redas que el angula,tendrán también:Ja bafis mayor que la bafis.. é^Sean los dos triángulos.ABC.D EZ.que tengan los dos ' lados.AB.A C.yguales alos doslados.DE-D Z.el vno al o- EVC'LIDES. So. .*$ otro,eonuiene fabcr^el lado.AB.ai lado.D E-y el lado. AC. al lado.D Z.pero el ángulo. BAC.lea mayor que el ángulo EDZ.Digo que también la bafis. BC.es mayor que labaíte EZ.porque lleudo el ángulo. BAC.mayor que el ángulo . EDZ-pongafe(por la propolicion.Z3)enla linea rcfta. DE. yen el punido. D.en ella el. ángulo. EDl.ygual al ángulo. BAC. yponga fe la .DI. ygual alavna de las dos.AC.D.Z .y tireniefpor lapriftcra petición. 1E.Z I.Pues porque.AB es ygual ala.'D E.y AC.a la.D Honyguales las dos lineas, BÁ.A C. alas dos lineas. ED.DI. lavna ala otra,yel ángulo.BA C(por laveyntey trespropoficion)ygual al ángulo. EDI.Luegola batís, B.C.(por la quartapropofició) es ygual ala bafis.E I. Iten porq es ygual,DI.a la.D.Z. luego el angit lo.D IZ.es ygual al ángulo.D7, 1.Luego el augulo.D ZI. es mayor que el angulo.E 1Z.es pUesmucho mayor el ángulo EZIque el angulo.E IZ.Y parqV1 ees el triangulo EZI.que tiene el ángulo. EZ1. tnayoijjel águío.E IZ.Y el ma yor ángulo tiene opuefto mayor ladofpor la.i8.pro po(icion) luego mayor es el lado,E I.que el lado EZ yes ygual ellado.EI. alia do BC, luego el lado-B C. mayor es qel lado.E Z.lue go li dostriangulostutiieré losdos lados yguales alos dos lados,ylo que de mas fe ligue como en lapropoficion.Lo qual comimo demoftrar. Theorema.ifi. Fi opoficion.zy . <j~Si dos triágulos ruuierc los dos lados yguales alos dos lad^s el vno al otro: pero la bafis mayor qla bafis tedrá tábié el ángulo cóteni do de yguales lineas redtas mayor qel agulo. D)Siendo LIBRO PRIMERO DE Siído dos triangulo}.ABC.D EZ.que tengan los dos 1.1 dos. AB. AClygimles alos dos lados. DE.D Z.elvnóa! otro eftoes'AB,almilmo.DE.y AC.almifmo. DZ.pero la bafis BC.fa mayor que la balis.E Z.Digo qel águlo.B AC.es nu yor qel angulo.ED Z.porq fino, oes ygual ael ,omenor qpe el, ygnalno la es el ángulo .BAC, A ulangula.EDZ.Porquefi fuelle /\ ygual,la bafis también BC(por /\ íá.4.propoficiou)leriaygiial ala- /V bafis.EZ. pero no lo es, luego el. /\ ángulo.BAC.' en ninguna mane /\ ra es ygual al ángulo. ED Z.ni tí /\ poco es menor el ángulo. BAC, [n. c\ que el ángulo EDZ. Por que la bafis.B C.leria menor qla bafis.EZ.Pcro nolo es.iüego el an guio. BAC.no es menor qel angulo.ED Z.Yella demoftra do qniygual.Luego mayor es el 5gulo.B AC. que el ángulo EDZ. Luego fi dos triángulos tuuieréylo que iefigue como «nel theorema que cóuino Remoftrar.. Theóreme. '7. Propofitio. z6. Si dos triángulos tuuierenlosdos angulos ygualcsalos dos angulos:el vno al otro :yel vnlado ygual al;vn lado :aora el t| cita. entre los dos ángulosygualesio el que fe opone ál vno de fes yguales ángulos tendran también los demas lados yguales aios demas lacios el vno al otro:y el águ-Io-refíat-e al .aguio relíate. íiySeanlos dos triángulos.A’B C.ETE Z.quetengan Ios-dos .-ángulos. A.BC.B CA.ygualesa.los doí ang^rlosD EZ.E ZD el vno al otro,esafabcr,eiangúlo.AB C.alangu!o. DEZ.y el angino.B CA.alágúlo.E ZD.y el va fááfrygnai al ni lado yqóSktoa lo primero fea el que efta entre I06 dos ángulos, cito es EVCLIDES. fo, ello es,el lado.B C!al laclo. EZ. Digo qlos demas ladoslos tí drantábien yguales *los de mas lados., elvno al otro,efto es el lado. AB.al ladoD E•Y dllado.A'C.allado.D.Z. yel ángulo qrelia ygual alangu 1t> qrefia, es aáiber.B AC.ál milmo.E IH.l5orq íl. AE.r.o es ygual aDE-fer a¡avnannt yoijfea mayor.AB. yponga íéfpor la.'j.prOpoficio) ¡a 1L¿Ü . nea.IB.yguala la linea. DE,y tirefe.I C.pnes porq.IB .esyj>ualala.DE,Y Jn.BC.ala.EZ,luego las dos lineas. IB. BC. ionyguales alas dos.DE.EZJavna ala otra,yel ángulo. IB C.al ángulo,DEZ. es ygual,luego la bafis.IC (por la. 4 , própofició)es ygual ala baiis.D Z.y el triangulo.IBC.es ygual al tnangulo.D EZ.Y los demas ángulos feran yguales a los demás agidos debajo délos qiiales fe tiédé yguales lados Luego ygual es el ángulo. ICB. al ángulo. DZÉ.Yel ángulo DZE.íc fupone ftr ygual a! imlmo.B CA.Luego el ángulo BCI(pór^a,i.comú fentééja5es'ygual al angul'o.B CA.efme noralmayor,<pesimpoffibie.Luego.AB;no es, defiguala la DE.feri puesygual.y es tÚbien.BG.ygual ala.E Z.Luego ya AB.B Cfon yguales a.D E.E Z.la vna ala otra, yel ángulo. ABC.es ygual al ángulo. DEZ.Luego(porla.4.propofitió) la bafis.A. C.fera ygual ala bafis.D Z,y el ángulo.BAC.reftá te ygual alanguío.E DZ. reliante. Demas defto féanyguales Jos lados cj fe eftftden ayguales ángulos,yfean.A BDE.Pigo otra vez qne los demas lados feran yguales alos demas lados,es afaber,ellad©.ACalladci.DZ.y el Igdo.BC.allado EZ,y demas defto el Igulo reftáte.B AC.al águlp qreftá.ED Z.lera ygual. Porq íi.BC.no es yguaí.a EZ.cl vn.adel!osfer,t mayor.Sea pues mayor fies poflible ellado.B C,y (por Ja.3, ¿spofici6)pógafeygual¡aIinea.BTlala iineajÉZ.r tirtfe(por •Ja.i.peticióJAT.Ypor q.B T.esygiialala.EZ-.y ABáia DE. D4luego LIBRO PRIMERO DE luego lis dos-AB.B T.fcm ygualcs alas dos.D E.E Z. !a vna ala otra, ycontiene yguales ángulos .Luego la balis .AT . (por la.4.propoSció)es ygual ala bafis.D.Z.y el triágulo. A 13 T.al crmngulo.DEZesygiial.Y los de mas ángulos fon y guales alos.demas ángulos debajo délos quales le efti eliden yguales lados,Lue°o el angulo.B TA.e6ygual al ángulo. D ZE.Y el angulo.EZD.es ygual al angulo BCA.fera pues el' angulo.B TA.ygual al angulo.B CA.luego el ángulo exte - rior.B TA-del triangulo. ATC.es ygual al ángulo interior yopuefto.B CA.Lo qualfpor la.iC.propoficion)es impofli - kle-Luego el lado.EZ.no es defígual al íado.B C,y es, AB.y gual ala.D E.Luego las dos.AB.B C.ionyguales alas dos DEEZ.La vna ala otra ycontienen ygualesangulos,luego Id bafis.A C(porla.4.propo/icion)esyguálála bafis.D Z.Y eltriangulo.A BC.al trianguló. D-ÉZ.yel ángulo qué refta, BAC.es ygual al angultíiE DZ.que refta.Luego fi dos trian g'ulos tuuieren loí d'os'angiilos yguales alos dos ángulos ,y' lo de mas como éñl theorema.Lo qual cótienia demoftrarte Theorema.iX Propofició.zy ^Si cayendo vna linea reda fobrc dos lineas re&as hiziere los agulos alternos entre fi yguales lasmifmas lineas reftas ferá entre fi pa rallclas. évPorque cayendo la linca' EZ.fobrelas doslineas reñas. AB.C D.haga entre fi yguales los dngalosalternos. AE Z. EZD.Digo que es parale N. lia. AB. ala.CD.por que q\rA_ fino,eftendidas fe juntará, \ ohacia las partes .BD.o hacia.A C.eftiendá fe pues P^c yconcurran hacia las par tes.B D.cuelpiinfto.I.fi es poíll EVCLIDES. fo zf poífi ble. Luego el ángulo exterior. AEZ.del triangulo.1EZ es ygual al angulo.E Zí.intcrior,y oppueíto.Lo qual(por la ió.propoíicion)es impoílible.Luego.Á B.C D.eftendiaas lia cía lasparteSjB D.en ninguna manera concurren. También de la tnifma fuerte fe demolirara que ni hacia las partes.AC y. las lineas que en ninguna parte concurren fon parallelas (por lavltimadiíinicion)luego.A B.esparaíella ala.CD.Lu ego íi cayendo vna linea re&a^y lo demás como enel tneore nía que fe hauia de demoltrar. TJieorema. 19. -1 Propoíieion.zS;. <[Si cayendo vná linea re£hi í'obre dos lineas rc¿tas hizieren el ángulo exterior ygual al in teriory oppuefto haciavnas mifmas partes^o los interiores hacia vnas miíinas partesygua lee ados rc£tos,íeraparalellas entre fi las mil' mas lineas reótas. cayendo la linea reéla.E Z.fobre las dos lineas realas AB.C D.hicieren el ángulo exterior?EIB.ygual al ángulo interior yoppuello.I TD.o los interiores hacia vna mifma párteles afaber.B IT.I TD.yguales ados reólos. Digo que csparalella la linea. AB.alaliMea.CD. Porque el ángulo. E IB(por lafupofició) es ygual al ángulo, i TD.y el ángulo. EI B(por la*ií)es ygual al ángulo. AIT. luego el ánguloáLT. es ygual al ángulo. ITD.y ion alternos(por la veynte y(icte propoii 1 LIBRO PRIMERO DE píopoíic'ion )luego’ es paraiella. AB. ala.C D.Bcmasdeíto porque los ángulos,BIT.IT D.íon ygtiales a dos reítos (por la iappofkion)y los ángulos.AIT.B IT(por la treza propoíkVou)forrygualcs adosreftos .Luego los ángulo 3 AIT,B IT.fon yg,líales alos angulos.B IT.l T D .Quite fe el ángulo comun.BIT.luego elrcftante.AIT.esyguala! re ftante.I TD.y.fon alternos.Luego parallela es.AB.a la.CD. luego ii cayendo vna linea recia fcbre dos lineas reñas,ylo tiernas comoenlapropoíidon,queeslo qfcaiiiad? ,<¿cüiaflrar. Theorema.zo. .Propoí!don<z?. <T Cayendo vna linca recta í'obrc dos lincas re ¿tas paraíell as,liara ¡os ángulosalternos en - trefiyguales :yel exccriorygual al interior y o-pueílo hacia vnasiniíniás partes :y|os dos interiores hacia vnas xniímas partes yg-uá'ks- a dos retios. ; é^Caya ("obre las líneas re&as paralIelas.Á B.C D-la linea refta.f, 2. D¡gq,qi¡e¡jaceyguales los ángulos alternos. AIT yITI),yel ángulo extericr.EI B.al intertcrytopucfto haO1 ciav-nas miftnaspartes,eftoís,alangulo.l TD,y lósinterio. res yacia vpas jniijnas partes que fon.BIT.IT D.yguales a dos rcftos''Po-rtj«eji.A 1T.c.o.esygjjai a.¡ TDíe'lVné déll-os es mayor,fea mayor.A1T.Fucs porqtle.Á 1T.es mayor q iTD.pongafep.or común el .ángulo.B.1 T,luegb los angu • los. A1T.B iT.ion mayores que. B1T. 1TD.y los ángulos A1T.T ÍB(por ia.n.prppo!icion)fonyguales ados re£los, luego los angulos.B 1T. IT D. fon menores que dos rectos- y(por la quinta petición) las lineas qu eüaziendo menoresl que fo 26.EVOLIDES. qnedos reítos feel' tienden en infinito, concurren ,ycitas por ferparalellásno concnrreiifpor laiíi policióyluego el angnto. AIT. nonífdefigos! al ángulo. IT D.Luego lera ygu.il Yeíangnio.AT- T(por lá.if.propeíieián^Bsygual al ángulo EIB. Luego elángulo.E IB (‘Porli.i. común ¡catencia) es ygualal ángulo.! TD.Pongale por coman.B IT. Luego ¡os ángulos.EiB¡. BIT.iTon ygnales alos ángulos. BÉ T.I TI). :y los ángulos" EIB.BIT. ionyguales .idos retSló.sfpor'lanj propolIeioirJhiego-los-angiilos.BIT, IT D.fbn ygnales a dos re&osXúegó'cayendo vaa linca reíta ¡obré dos lineas teñas paralcllas.,y-kule mis corno cnla.propoíieionjque cS lj enia-üemolirax. Theorenia.zi. Propofition.jo . fLas lineas redas que avna miíinaion para Helas entre ilion par arle Has. d&>Sean. AB.C Diparalel’as ala.E Z.dígo que.A'B.es parale Ilaafá.CtJ.'Ciy.viobre ellas la linea recta- IT K," porqueta 4^- B TT“ ¡2 K linea reíta. ITK-. cae íobre las lineas rectasparalelas.A B:E Z.lnegó fer.i ygiul el Sgnlo. AI T. al abgalo .ITZ• (pcTrla .zy.propo!i fi on) Item porque fobre las lineas rectas paraleHas.E'Z.C D.cae la linea reírtá.í K.es,por laraihn.i, ygual.í EZ.al.fK D.Y efta declarado q. AíT.es J'gUSl a! angulo.ITZiy quc TKD.esyguala.i TZ. luego. AI K'esygual aI.K D.y fon alteniaSjluegoparakíIa es.A'B. a’liCT). que es le qtici'e auia de dcmoítrar. Problema LIBRO PRIMERO DE Problema, io Propoíitió^iíForvnpun&o dado tirar vna li&ea reda pa rállela avna linea reda dada. .¿^Sea.A.e! punido dado,y la linea recia dada Tea. BC. co«u iliene por elpunéto dad». A. tirar vna linea rc&a paralella ala linca re&a.B C.Tomeíe vn pun&o acafo en la milina li mea re&a.B C.y í’ea,D.y tirefe(por la.i. petición) la linea. A D(y porlapropoíicio n.Z3)hagafe fohre la linea rc£la dada AD,y enel punélo. A.feñalado éella,el ángulo.DAZ.ygual •al ángulo dado. ADB yeftieda fe le la linea AZ.derechamente a la linea AF/por la. z. petición) Yporque cayendo la rcóla linea.AD.lobre las lineas re&as.B C.E Z.hizo entre fi ygua - les los ángulos alternos!!. AD.A DiB.ferapues.EZ. parale lia ala.B C.(porlapropofició.z7)Iuego per el pundto dado. A.íetiro la linea refta.E AZ.paralella ala linea rc&a.B C. Lo qual conuino hazerfe. Theorema.zz. Propoficion.32. CEftendido el vnlado de todo triágulo el an guio exterior es vgual alos dos interiores de Uparte cótrarjiajy los tres interiores ángulos del triangulo fon ygualcs arlos redros. ¿t?Sca el triágulo. ABG.y ef tiedafe vn lado luyo jylea BC.aíla c.D. digo que el an guio. ACD. exterior es y- •gual alos d.os.C AB.A BC. interiores déla parte cótra ria:y los tres ángulos inte- %notes EVCLIDES. fo Z7 riores. ABC.C BA.B AC.del triangulo fon yguales adosre ííos.Tirefe(porlaprecedente)por elpunélo.C.lallnea.C E parallelaalalineareÉla.AB.Y porque. AB.esparallela ala CE.Yfobre las mifraas lineas cae. AC.los ángulos alternos. BAC. ACE.fon entrefi yguales.De masdefto porque AB. es parallela ala.C E.y fobre ellas cae la lineareíia.B D.el an guio exterior,ECD(por las. 27. z8. Z9. propoficiones) es ygual al ángulo interior. ABC.oppuefto .ydemoftroíe ,que ACE,es ygual al ángulo.BAC.Luego todo el ángulo exterior.ACD.es ygual alos dos interiores yopueftos,que fon B A C.Á BC,Y póngale por común el angulo.A CB. Luego ACD. ACB.fon yguales alos tres ángulos.ABC.BCA.G AB.Pero ACD.A CB(por la.i 3. propoíicion) fon yguales ados redtos,luego los ángulos.ACB.C AB.CB A.lonygua les ados reftos.Luego eftendido el vn lado de todo triangil lo,ylo de mas que fe ligue como enel theorema ,qconuino demoftrarfe Theorema.Z3 Fropoiició.3 3. ^Las lineas rectas quejuntan aygualeslineas reétas yparallclas hacia vnas miímas partes , ellas miímas tárnbié fonyguales yparallelas. ífciSean las lineas reílasygualesypárallelas.AB.CD. yjun 'té las hacia vnas miímas partes las lineas recias. AC.B D.di go que. AG.y BD.fon yguales y’Párallelas.Tire fe(poiTapri mera petición) la linea.B S.Yaífi porque. AB.a la.C D.espa rállela yfobre ellas cae. BC.los ángulos alternos.AEC.B CD.lo entre fi yguales(por la.zy. propo iicion)y porque.AB.es ygual ala CD.y común,B.C. luego las dos AB.B G.‘fon yguales alas dos. B C.C D.Y el águlo.ABC. es ygual LIBRO PRIMERO DE ytire fe.Z E.luego el triangulo.ABC,es ygual al triangulo ,ZCE(porla.38)porqeftanen vnas mifinas bafís,yguales .B C.C E.y en vnas miímasparallelas. BE.AZ. Yifil triangulo. A BC-es ygual al triangulo.D CE.luego el trianguJo'.D GE.es ygual al trianguIo.Z CE,el mayor al menor que es imponible. Luego.AZ.en ninguna manera es parallela ala.B £-y de la mifma manera demoítraremos que otra ningunafuera de AD.luego. AD.par alíela es ala.B E.q cóuenia demortrar-fe . Theorema.31. Propoficion,4 1. :ijí; <[ Si vn parallclogramo yvn triangulo tuuie rcn vna mií'ma baíis:y cftuuicren en vnas mil’ mas parallelas: el parallclogramo í'era el doblo del triangulo, PvEI parallelógrámo.ABC'D.y el trianguIo.EB C. tenga la' mifma bafis.B C.y eften en las mifmas parallelas,B C. AE.Di go que el parallclogramo. ABGD.es el doblo del triangulo : EBC.tireiefpor la.i.peci-: jc¡on)la linea .AC. Luego el triangulo. ABC(por la 37)es Ygual al triangulo. EBC. Porque ellan en la mifma bafis.B C, yen las milmas parallelas. BC. A. E.y el parallclogramo.ABCD.es doblado al triangulo. AB C(por la.34.propofic¡on)porque'la‘diagonal.A Cile diuide é dos yguales partes,por lo qual el parallelógrámo. ABCD. es el doblo del trianguIo.EB C.inego fi vn parallelógrámo y vn triangulo,y lo que fe figue reftante ,quede auia de demo Arar. Problema,u- Propoficio.42' tSobre- EVCLIDES. fo. jr. ^Sobrevn ángulo dadore&iíineolrazer vn paraílelográmo ygual avn triangulo dado , evSea el triágulo.ABC yel ángulo reflilino Jado fea.D. conuienepues hazer en vn ángulo, reéli lineo ygual al angulo.D. Vn palíelo gramo ygual al rniíino triágulo. ABC — — eortefe(poria,io.propoí¡iCÍon) la linea, BC, en dosygiiales partes én el pun£í:o,E,y tirefe(por Ia,i,petició)la linea, AE y(por la,Z3,propoficion)hagafefbbre la linea refta, EC,eia el punfto fuyo,E,el angulo,C EZ,ygual al ángulo,D,y (por lapropoficiñ,5 t)por el púnelo,A.tirefe, AI,para!lela ala, EC,y,porlamii'ma,p.or elpun£l:o,C,tirefe,C l,parallelaala linea .EZ, Sera pues parallelogramo,Z El Cydoblodel tri ángulo,AEC,por laprecedente,y porq es ygual,BE,a la ,E C,el triangulo,ABE,por la, 38, es ygual al triangulo ,AEC, porq eftan é¡as bafes yguaies.B E,EC,y enlas mifinas para - Ilelas,B C, AI, luego el triangulo,ABC,es el doblo del trian gulo,AEC,Y porqelparallelográmo,ECIZ,y el triangulo AEC,eftá fobre vna mifuia,bafis,E C, yentre vnasmiíinas pa rállelas,EC,AI,es doblado elparallelográmo,ECIZ,aI tria gnlo,AEC,por laprecedente)Luego el paraílelográmo .Z ECI.es ygual al miimo triangulo.ABC.y tiene el ángulo. C EZ.ygual al ángulo dado'D,Luego díol’e el paraílelográmo ZE C 1.ygual al triangulo.Á BC.fobre el ángulo refililineo. CEZ.q es ygual al ángulo. D.lo qual conuino hazerfe. Theorema^z. Propolicion. 43. ^So yguales entre fi los íuplemetos de aqllos \ " »\ i\/ , LIBRO primero de parallelogramos que eft.iaen la diagonal de todoparallelográmo. £^>Sea elpavallelogramo .ABC D.y fu diagonal fea.AC.y enla di agonal. AC.eífcen los paralelográ mos.ET.l Z.y los íupplementos fean.B K.K D.digo que el fupplemsnto.BK esyguai al fupplemen, to>KD.Pues porfíes el parallelogramo. ABC D.y fu diagonal. A Cel triangulo. ABC (por la. 34. propoíició)es ygual al triangulo ADC.Ite porq. AEKT.es parallelográmo yfu diagonal es. AK.Luego el triangulo. AEK“ es por lamiíin^ygual al triangulo. ATK.y por eílo tambie el triangulo.K ZC.es ygual altrraguIo.K IC.yporque el tria guio.AÉK.es ygual al triangulo.ATK.y el triangulo.K ZC es ygual al triangulo. K1C.Luegolos triángulos. AE K.K I C fon yguales alos triángulos.ATK.K ZC.Y todo el triagul® ABC.es ygualatodo el triangulo. ADC.Luego el fupplementó.BK.que reíta(por la. 3. común fcntencia) esyguai al fupplemento.K D.q refta.Luego fon yguales entre fi los fup plementos de aquellos parallelogrütnos qeíian en la diage* »al de todoparallelogramo.Lo qual conuino demoílrar. Problema, iz. Propoíicion. 44;} ^“Sobre vna linea reíla dada en vn ángulo da do redlilineo hazer vn parallelogramo ygual a.yn triangulo dado, EVCLIDES. fo. 32* $Í?'Sca. AB.la Enea;re£hidada yfea.C.el triagulo dado,pero el ángulo dado reótilineo fea. D.cóuienepues fobrc la linca reóla.AB.hacer vnparellelograino ygiial al triágulo dado C.e vn aguío ygual al aguio.D Hagafe(por1a.42)el pale 1ogra mo.BEZ I.ygual altriagulo.C eiíl águlo,EB I.q es ygual al águIo,D.y( por la. z.petició) haga fe BE.é derecho déla. ABy eftiendafe.Z I.afta en.T. ypor el píi&o.A por la.31.jppo/icio_, tirefe la linea.AT.parallela alas dos.B I.EZ.y tirefe (por la primera petición) TB.Y -porque /obre las paraHelas .AT, EZ.cae la linea rc&a,T ZJuego los ángulos, ATZ, TZE, (por la.Z9’propolicion)fon yguales a dos reótos, ylos angu ios.B TI.I ZE.lon menores qdos reótos_,y las lineas qhazié do menóresque dos''recios, fe eftiéden en infinito concurren (por la.f.petició^Luego las.T B.Z E.eftédidas en infinito co curre, Eítiendanfe pues yconcurran en.K.y, por la propoíi «¡011*31.por el pú&.o.K. tirefe KL.parallela alas dos.E A.ZT ye6 ítiendáfe,por la.z.peticio las lineas. TA.IB.afta en los pü iftos.L.M.luego esparallelogrSmo.T LKZ. yfa diagonal es KT.y éla nnfma diagonal.KT.eílá los parallelognímos. A1 ME.y los fupplemétos fon.L B.B Z.Luego,por la.43.L B.es ygiial aBZ.y BZ,por la.4z.es yguafal triagulo.C.luego tabieXB.es ygual al triaguIo.C.y porq el ángulo,1BE. por la. ií.es ygual al angulo.A BM,y el angulo.lBE.es ygual al ángulo. D.liíego el ángulo ABM.es ygual al mifmo.D.Luego fobre la linea reefta dada.AB.efta hecho el pallelogramo .A M.ygual al triagulo dado.C.enel ángulo. ABM.que es ygiial al angulo.D.lo qual conuino hazerfe. Problema. 13, Propoficion.45’. E4Hazer —\L '£> .c \V\ AJA A“B\ LIBRO PRIMERO DE ^Hazer vnparallelogramo ygual avn re ¿lili neo en vn ángulo dado rectilíneo. ¿fc’Sea elreddineo dado. ABCD. yel ángulo dado re<Slili neo rea.E.conuiene hazerrn palíelogramo ygual al rectilíneo. ABCD. en vn ángulo dado redilineo,tirefe (por la pe titió. i.)Ia linea.DB.y(por la propoíidó.4 z.'jhagafeel palle Iográmo.Z T.ygual al triangulo. ABD.enel ángulo .ITK . que es ygual al angulo.E.ypor la. 44jpP0Ílc‘ó> liagafe i'obre la linea reda.í T.el paílelogranio. IM, ygual al triangulo. DB.C.enel ángulo. TIL .q es ygual al ángulo.E.yporque al ángulo. Eesygu al el ángulo .1TK.y el anguloTTI L.luego el ángulo.ITK es ygual al ángulo. TIL.pongafe cornil el águlo.MT Í.Iuego los ángulos. L 1T.I TM.lon yguales alos angulos<K T 1.1 X M.y los ángulos.L1T. 1T.M fonpor la.ip.yguales ados re dos,luego ios angulos.K TI.I TM.lon yguales adbsredos luego delde vna linea reda.í T(por la. 14.propoíició) ydefde vnpunto enella.T eftan lasdos lineas redas.KT.TMno azia vnas mil mas partes que hacen de vna yoírU. parte ángulos yguales ados redos.Luegoen vna linear eda ella. AT con.T M.y porque fobre las palíelas.KM. Zl.caelalineare da.T I. fon ygual.es. entrefiporla.29.propoíicici5ylos agplos alternos.MT X.TI Z.pongafe coiiiiin' elángu.lo.T IL.luego los anguIos.M TI.T IL.fonyguales.alos ángulos,TIZ. T£ L.y los anguIos.M TI.T IL.por la mifma,fonyguales ados redos,luego en derecho ella la linea.Z I.dela linea. IL.ypor que.K Z.(por la-34)es ygualypalela ala.T l.y la.M L.alaTl luego por la.i.comú fentécia.Z K.es ygual ala.M L.y palíela porÍa.30,ppolició. Vjuta las las dos lineas redas.KM.ZL. EVCLID'ESr ^33. luego las lineas. KM.Z L.(por la propoíicion.33.)fon ygua- Icsypalelas.Iuego.K Z.MtjLes pallelogramo?yporque-" por la.42.)el triangulo.ABD.es ygualalpallelogramo.Z T.y el triagulo.D BC.alpallelogramo.IM.luego todo elredihneo ABCD.es ygual artodo cípallelogramo.K ZLM.Luego ef 'ta hecho elpailelográino.K ZLM.ygnal al redilineo dado ABC D.enel ángulo. KML.q por la. 34. es ygual ai ángulo dado.E.Io qual conuino hazerfe. Problema 14. Propolicion.46 fDevna linca rcóta hazer, va quadrado. «[Sea la linea reda. AB.conuiene defcribir vn quadrado de la linea reda. AB.faquefe?por la.n.propofició,é ángulos re dos-Cobre la linea reda. AB.defde el punto dado. A.la linea AC.y corteíe'(por la.$.propoí¡cion )la linea. AD.ygualahuA B.y (por la propolicio. 3i)porel punto. D.tírele. DE.pa líela ala. AB.y por la mifma, por elpun to.B.tireffc.BE.palela ala. AD.luego es pallelogramo.ADEB. luego esygual la AB.alai.DE.y la AD.ala.B E.porla. 34 yla. A'B. es también ygual ala. AD. luego las quatro.A B.A D.DE.E B.í’on entrefiyguales luego el pallelogramo.AD EB.es equilátero. Digo que tatnbié es redangulo ,porque e laspallelas.AB.DE.caelalineareda.A D.luego los angn - los.B AD.A DE.por Iapropofició,29.fonygua1cs ados redos,yel ángulo. BAD.es redo. luego el ángulo. A DE.tam bien es redo,ylos lados ylos ángulos opueftos de los efpaciospalelogramos lonyguales entre íi(por Ia.34.propo(ici5 luego lo§ ángulos contrarios. ABE.B ED. abos tambié fon redos.luego. ABED.es redangulo,y ella demcítrado que también eqdjivitero, luego es quadrado,yhecho déla linea, AB.que conmiiohazerfe. Theorema.33.. Propoíitio. 47 •En los LIBRO PRIMERODE CEn Jos triángulos redangulos el quadrado que es hecho de el ladoq'efta opueíto al angu lo retío es ygual alos dos quadradosq fon he chos de los lados qcotienen el ángulo redo, daSea el triangulo reídágulo.ABC.qtengja reído el ángulo BAC.digo que el quadrado qes hecho del lado.EC.esygual alos quadrados qfe hazen de BA.y de.A C.Defcribaíe, por la.qú.dela.B C.el quadrado.B DEiE,y por la mifma, de la B A.y dela,A C.los quadrados.ABZl.A CK T.y porelpúto A.tireíe.A L.parallela co la.B. D.CE,por lípropofioio^ji, y por ¡a. i.petició tírele AD.C Z.yporq los 5gulo3.B AC.B Al ion reídos. Luego tiradas dos lineas reídas.AG.Al.defdé vna linea reíd;». AB.y defde vn pililo en ella. A. no.hacia vnas mifmas ptes hace de vnay ot.rapte águlos iguales ados xe» Ídnj;3porla.i4.ppofici6) luego éderecho efl# la. A C.üla.A Iy por eito.tábié BA ella'é derecho de. A ypor qel ángulo. DB,C. esygual al angulo.ZB A. povq cada .vn.o del Los es re£do:p6gafe comú el ángulo ABC,. Luego todp DBAes ygual atodo el ángulo ZBC.y porq las dos.A B.B D.fon.yguales alas dos 13 Z.BC.lavna a la otra,y el águío. DBA es ygual al anguío.Z BC. luego ¡a liáis?. Ai),por !a.4.,ppofictó,esyguq|jpla bafis.Z C. yel triangulo.ABD.al triangulo. ZBC.ts ulíiedi ygual. Vql paral!elogramo,BL,pop L1.4 i,es doblo del triangulo.ABD por EVCLIDF. Sr 34. pofq.tieue vna mifina b'alisqes. BD.yeftüen vnas mifmas parailelasj es afaber.D B.AL.y tábié el quadradod B.por la milsna,cs doblo del triáguío.Z BC.porq tienela mifma baíis í] es.fi 2. y ella en vnas mifmas parallelas^es afaber.Z B. 1C. ylas colas qfon doblo de colas yguales,por la. 6.común fen téciai,cntre 11 fon ygna!es,Luegó elparailelográmo.B L. es y goal al quadrado.1B.Semejátemente fí,por la.i.peticion ,fe tira. AE.B K.íe ¿emoftrara elparallelográmo.C L.fer ygual al.qnadrado,T C, Luego todo el quadrado.B DEC,esygual alos dos quadradoSjl í¡ ,T C,Y el quadrado,BDEC, es hecho xlel&jB C,y los cuadrados,! B,C T,fon hechos dela,B A AC, Luego el quadrado'cpde el lado.B C.fe hizo es ygual a los quadrádos qfon hechos deloslados,B A,AC,luego cu los triángulos re¿tangirlos el quadrado qes hecho del lado qeítaoppueíto.al ángulo reólo ylo que mas fe ligúe cómo é el theorema,que fe hauia de demollrar, Theolema. 34.Inopoíieioa.qfí. í¡~Si el quadrado que es hecho de vno de ios lados del triagulo fuereygual aaqllosquadra dos que de los demas lados del tmgulorel an guio compreheiidido délos dos lados relian tes del triangulojíera reólo . p*i El quadrado que es hecho del vn lado.B C.del triangq lo. \ ABC. fea ygual aaqllos qlia- .\ tirados que fon hechos de los \ lados.B A. AC.digo que el an - gulo.B AC.es re616.Saquefe' ^ (por la.ii.propoíuió)defde el pulidlo. A. la. AD. en ángulos \ reítosconla dinea recia .AC. sV y(porl¿.;.propoficion) ponga' /\ le.A D.ygualala.A B,y(porla ^— - .i.petkió)tire le.D C.y porque esygual.D A.a la. AB.clqua drado LIBRO PRIMERO DE di ado que es hecho de.D A.es ygual al qnadrado de la. AB. póngale común el quadrado dela.A C.Luego losquadrados dela.D A.y dela.A C.fon yguales ales quadrados dela.B A. yde la. AC,.y(por la precedente)a los quadrados déla. DA. ydela.A C.esygual el quadrado dela.D C.porque es refto el angulo.DA'C.y alos quadrados dela.A B.y dela.A C(por lafuppofició)es ygual el quadrado dela.B C.porque elloalfi fe admitió. Luego el quadrado de la.DC.es ygual'alquadra do dela.BC.por loqual el lado.D C.esygual al lado.BC. Y porque. AD.es ygual ala,AB.y común la.A C.luego las dos DA,AC. fon yguales alos dos. BA.AC.y labafis. BC. ala bafis .D C. es ygual, Luego elangulo.D AC(por laoftaua propoficion) es ygual al angulo.B AC, yel ángulo .DAC. es rcót o, luego tábien el ángulo BAC.es redto, Luego 11 el quadrado que es hecho de vno de los lados éaa del triágulojfuere ygual aaquellosqua drados qde los de mas lados del trian gulo,él ángulo cóprehendido délos dos lados reliantes del triangulo, fera re£Vo ,que fe auia de demolti ar. é*> (.:.) fFIN DEL PPJMERLIBRO; EVCLIDES. 3f. LIBRO SEG VND O DE LOS ELEMENTOS DEEVCL1 des Megarenfe philofopho, Griego. Parallelográmo rectángulo. ^Todo parallelográmo re&angulo fe dizc ef tar contenido debajo de las dos lineas reCtas que comprehendcn el ángulo redro . Que fea gnomon. (¡¡"Cada vno de aquellos parallclográmos de todo parallelográmo que cita en la diagonal fuyarcó los dos fupplemécos fe llama gnom5 Theorema. i. Propoficion. i„ fSifueren dos lineas reCtasry la vna dellas fe cortare en algunas partes,cl rectángulo com prehendido debajo délas dos lineas reCtas es ygual aaquellos rectángulos que fon com prehédidos de ella no cortada yqualquicra parte ; iSena i LIBRO SEGVNDÓ DE mun,L I,ques ygual al que fe haze de,C D,luego el gnomo CMI,y,L I, ion yguales al rectángulo cóprehendido deba so déla,AD,D B,y al quadrado que fe haze de, CD,yel gnomon.C Ml,y el,L l.fon todo el qtiadrado,C EZB,quej dela,B C,luego el reftágulo cóprehédido debaxo déla,AD ydeía:D B,juiitaméte con el quadrado qfe hace dela,C D, ts ygual al quadrado que fe haze dela,CB,luego fuma linea refta ylo demas que fe figue como en eltheoremalo qual cconuino demoftrarle, Theorema.6. Bropoficion. ¿. fSÍ vna linea recta fe diuide en dos partes y guales yle le añade en derecho alguna linea xeófcael rectángulo comprehcndido debaxo de toda ella có la añadida,y de la añadida, jú mente conel quadrado que fe haze de Ja mitad,es ygual aaquel quadrado que como de vna es hecho deja añadida ydéla mitad juta mente,, ÁpCortefe la linea refla, AB.endos yguales partes en el pú to,C,y añadafele édérecho'vnaJinea re£la,B D,digo quelre £1ángulo comprehendido» de la AD.ylaJB D.juntamente conel quadrado que fe hace de la.B C. es ygual aaquel quadrado que fehacedela.DC.hagafe,por la 4C.del.i,elquadradodeía. CD. que es.C EZD,ypor la.i.petició, tirefe DE.y, porla,-$ i.del.i.por el punido,B.tire fe laparallela,B I.con la.CE.y con la. DZ. que EVCLIDES. fo. 3í» corte ala. DE.en elpunfto.T.yfpor la mifma)por el punto. T.tirefe.K M.parallelaa catiavnadelas dos.A D.EZ.Y tibié por la mifma,por el pííóho.A.tirefe.AKparalíela acada vna delas.dos.CL.D M.luego porqfpor la.36.del. i. AC.esygual ala.C B.es ygual. AL.al.CT.Y por la(43.del.i)CT es ygtial a.TZ.luégo AL.ala.T Z(por la.i.comú fentécia)es tibien ygual.Póngale comnn.C, M.luego todo. AM.esygual algno mon.N XO.y AM.es el qfe hace de.AD.y de.D B.porq es ygual.D M.a la,D B.por elcorolario déla.4. del a)Luego tant bié el gnomo.NXO.es ygual al rectángulo cóprehendidodc la. AD.yde la. DB.Pógafe comú.L l.q es ygual al quadrado qfe hace dela.C B..luego elpeftágulo cóprehédido dela.A D yde la.DB.iútaméte pó aql quadrado que de la.B C.es ygual al gnomon.N XO. yál.L l.y elgnomó.NXO.y el.L I. l'on.to do elqu'adrado.CEZ D.q fe hace dela.C D.Luegoelreflágu lo cóprehédido dela-AD.y dela.DBiuntaméte.có elquadra do qes dela.B C.es ygual al quadrado que es dela.C D. Luego ¡ivirá linea reftta,y lo de mas que fe figue.Lo qual couino dcmcftrar, 7h.eorema. 7. Propoficion.7. «[Si vna linea reda fe corta comoquiera,clq le hace de roda ella,yel qde vna de fus partes abes quadtados,fonyguales alrcdagulo coprehendido dos veces de coda ella,yla dicha parte,y al quadrado que fe hace tic la parte q relia. c^Cortefe como quiera la linea re6La.AB.enIpü£k>.C. digo qlos quadrad.os qkhacen dela.A B.y dela.B C. Ion yguales al repágulo cótenido dos veces dela.A B.y de la.B C.y aaql quadrado qfe hace dela.A C.Hagnfe (por la.46.del. i)de la. B.el quadrado. A DEB.y deferibafe la figura .Yporq por I*jl (43.del,i)es ygual^AI.aí.I E.Pógafe comnn.C 2.porq todo LIBRO SEGVNDO DE AZ.es yg'.ialatoJo.OE.Luego.AZ.yCE. fon el doblo de AZy. AZ.yCE•fó el gnomo, K LM.y elqdrado.CZ. Luego el giiomS. KLM.yel quiultido. GZ.es el doblo. DE.AZ, yes también el doblo de. AZ. lo q-dos veces fe hace de. AB.en BC.porq esygual.B Z.a la,B C Luego el gnotnon.KLM. yel quadrado.C Z.es ygual al reélá guio cótenidodos veces de la. AB.y dela,B C.Pógafe comfl.D Iiq es el quadrado de .A C . Luego el gnomon.K L Míy Ios quadradós,D 1.1 B.fónygua - les al reílangüldq fe cótiené dos veces déla. AB.y de ía.B.C yalquadrado qfehace dela.A C. el ygnornó KLM.ylos quadrados.Bl.Dl.fontodo.B ADE.y.C Z.qfonlosquadra dos de la. AB.y dela.B C.Luego los quadrados dela.A B.yde la:B C.fon yguales al í'eñSgulo cóprehendido dos veces debajo de.AB.B C.con aql quadrado qfe hace deia,AC.Luega fi vna linea refla^y lo que mas fe ligue como enel theorqma, que conuino deinoftrarfe. Theoréma.S. Propoíicion .?. ^Si vna linea redta fe corta comoquiera,el re ótáguloqfécóprehcdequatro veces debajo de todá ellay de vna de fuá partes con el qua drado qüe esdela parte qrefta,esygual al qua drado qfe hace de toda ella yde Ja dicha par re como de vna. «¡¡Córtele la linea re&a.A B.como quiera enelpíí&o.C, digo qel reclaftgulo qqaatro vezes ie cóprehede ti ebajo de. AB. ydela.B Gamita;uete con el quadrado déla. AC, es ygual a í qua» EVCLIDES. .fo .40 qtiaclrado cj fe creícribe de la .AB,y de!a. BC.como de rna. Por la,Zipefidó,eftiédafeen derecho ala linca. AB;. la ¡idea B,D. ypágale leygual la. B D.a la CB(por la. r.del.i.)y p0rla.4C.de!, i,defcribafe el cjuadrado. AE Z D. de la. A D.yhagafela figura doblada.Pues porq es ygual. C.B. ala,B D.y CB.ala.l K. es ygual.Luego(porIa.34.del.i) BD.es ygual ala.K Ñ, Luego tábié.l K.es ygual ala. K N-V tábien-PR.ala. RO.es ygual,Yporq.B C. es ygual ala,E D, yla. 1K. ala.KN Luego ygual es.C K.a KD.y el.I R.a.RN(por la. 36. del.i)y porla.43,del.i.")C K.es ygual,».RN,porqfon fupplementos del parallelográmOjC OPD.luego,KD.es ygual.a.RN.lúe go.C K,D K.l RRN.fon entrefiyguales.Luego todosquatro fon quatro veces tiito que,C K. Iten p.orq es ygual .CB.a la BD,y la.B D.es ygual ala.B K,efto.es ala.Cl.Luego.C B. ef to es.IK.es ygual ala.R P.luego.C Les ygual ala.R P.ypor queyguales.CK.al.KP.y.PR.a la.R 0,es yguaI,A I, a,L P, y,Lp,al,R T,y,M Obporla, 43,,del, 1) es ygual a,0 t,porq¡ fon fupplemétos del parallelográmo,M L.luego rabien, AI. es ygual al.R ;Z,por la, 43,del mifmo,Luego ios quatro,A1, MO..P L,R T,ibnyguales entre fi, Luego todos quatro fon el quadrnplojde AÍ,Y efta demoftradoque los quatro,C Ií, KÜ,lR.RN,ibn ol quadruplo de,CK,Luegolos ocho qabra tan algnomó.S QJqfon el quadrupul.o de, AK,Yporq AK, es el qdéla,AB,y dela,B D,porque, BK, es ygual ala.B D Luego el q,quatro veces es déla,AB,y de la,B D,es el quadrupulo de,AK,Pero efta denioftrad oqel gnom ó,5 Q_F,<* quadruplo de,AKquatro doblado, Luego lo qquatroveces CS hecho de, AB,y de,B D,cs ygual al gnomo,SQJs^pogafe "F4pues LIBRO SEGVNDODE pires comíí,X T,q es ygual al quadrado déla, AC,Luego el quatro vezes comprehendido de la-. A.B.y de la BD,con el quadrado dela.AC.esygual aignotno.S QF.'y al quadrado xT.y elgúpmo.S QF.yXT.y fó todo el quadrado. AEZD. qes déla. AD,luego lo qquatro vezes es déla ,AB, y<fía,B DJuntaméte con aquel quadrado que fe hace déla, AC, es ygual al quadrado qle haze día, AD, Yla, BD, es ygual ala BC,luego el reóbuigulo coprehendido quatro vezes de la, AB,y dela,B C,júntamete co aquel quadrado qfe haze día AC,es ygualal quadrado que fe hize de la, AD,ello es déla AByde!a,B C,como de vna. Luego íí vnalínea reóta;ylo q de mas fe ligue, que era lo qfe auia de demoltrar . Xheorema.9 Propoíició. 9.. ^"Si vna linea re¿ta fe di aide cygualcs yen de íiguales párteseos quadrados qte hazen de las partes déíiguales dtoda rilaron el doblo de aquel quadrado que fe hace déla mitad , y del que déla que efta en medio délas diuiíio- ^Vna linea re&a.A B. córtele enyguales ptes en el punto. C.y en desiguales en.D.digo que los quadrados de la.B D. y dela.D A. fon el doblo de aquellos quadrados que fon de la. BC.y dcla.C D.Saq.uefe delde el puto.C.fobre la.AB.vna en agidos re&os qfea.CE(por la. 11. del.i )y haga fe ygu al acada vna cíe las dos .CA. CB.(porla.3,dl.i,y(porla.i. peticio,tirenfe, AE.EBypor la.31.del.!. )por elpunto.D- faqfe. DZ.palíela ala..E C(y por la melma) por el püto.Z.tirele4ZI.palela ala. AB.y por Ia.i.petició,tirefe.BZ.y porque.B C.esygual ala.C E.por la quinta del. i. el ángulo. EBC.es ygual al angulo.C EB.yporq ángulo dejunto, a, C. es reído,luego los demas angulos.E B C^CEB EVC LID ES, 4r . C.C EB.fon yguales avn reótojluego cada vno délos ángulos. BEC.E BC.es la mitad de vn reóto^y por lo mifmo cadavno délos dos.E AC.C EA. es la mitad de vn re£lo,Uicgo todo. AEBes vn reóto.Y porque.IEZ. es la mitad de vn re &o,y es reóto.E IZ.porq es ygual al interioryopuefto (por la^p.del.i.jefto es al angnlo.E CA.luego.E ZI. qreíta es la mitad dereóto,luego por la.tf.comu lenteclavel ángulo. IEZ. es ygual aí.EZljpór lo ql porla.ó.dl.i.el lado.Z I,e$ ygual al lado IE.Iteporqel agido. A. es medio re£to,y el agulo.ZD A es retOjporqs ygual al interiory opuefl:o.ECA,(por la^2p di .i)luego. AZD.es medió rccto,lncgo el ángulo. A. es ygual al DZ Ayaífi(pór la. 6.del.ñ)el lado. DZ.es ygual al lado. DA yporq BC.es ygual a.CE.y es ygual el quadrado de la. BC. al dela.C E.luego los quadrados dela.CB.y de ía.C E. fon do blados al dela.B C.y(por Ja.47-del,i)alos dela.B C.y dela.C E.es ygual el quadrado qfe hace de la. EB,porq el angulo,B CEy es reóto.,Íucgo el quadrado dcla,B E,es el doblo di de la,B C,Ité porq, EI,es ygual ala,l Z,fera ygual el que déla, ZI, alque dela,l E, luego los quadrados que fon dela,I E,y deía,IZ,fon el doblo del quadrado de Ia,IZ,y alos quadra dos qfe hazé de la EI,y dela,í Z,es ygual el qde la,EZ,por la,47.,delji,luego el quadrado dela,E Z,es doblado al de la IZ,yes ygi?al,IZ}aIa,C D,luego el dela,E Z,es eldoblo de el deh^CDjyes el qfe haze dc-la,B E,el doblo di qfe hace déla BC.luego los adrados dela,BE,y deln,E Z, Ion el doblo de los qdradosq le hace día, BC,y CD, yalos qfe hace dela,B E,V dla,E Z,esygual el qfe hace dla,B Z,perla.47 dl.i.norq el águlo»«B EZ.es reóto,luego el qdrado cíe la.B Z.es el doblo délos qfe haze. dela,B C.y dela.C D.Y al qfe hace déla. BZ.fónyguales los qfe hace dela.B D.y dcla.Q Z. (por la. 47,del.i.)porq es retío el ángulo.BDZ. luego losq fe hace delá,B D.y dela.D Z.fon el doblo daqllos cjadradosq fe ha cen dela.B C.y déla CD.y es ygual la,D Z,ala, DA.Luego los quadrados dcla^D^y dela.D A,fon el doblo délos qua drados delajEC,y deiajCDjIiiegoíi vna linea reótale corta e partes JLIBRO SEGVNDO D£ partes ygualcs y en defíguales los quadrádosq fe hace de lns parres delignales de toda eIIa;fon el doblo de aquellos adra dos qehaze déla mitad,y deí qde ia pte qella en medio de las diiúílones lo qual contiino aemoftrar. Theorema.io. Propoíition.io «[Si vna linca rcíla fe dimdc en partes yguales,yíc 1c ajunca en derecho vna linea reñía, el quadiado dtoda ella co la añadida,y el de la añadida,anabos ados,fon el doblo del qua drado qfe deícribe déla mitad,y del qde la o tra mitad ydéla añadida como de vna. Vna lineareíla. AB.cortefep.or medio é.C.y ajútefele en derecho vna linea reíla.B D.digo qlos fJdrados’dela.A D.y déla. DB. fon el doblo délos quadrados qfe hace déla. AC.y dela.C O.Saqíefpor la,ll.del.i.)delpúto.C.la linca. CE,en i gulos reílos.có la. ABD.y pógafeygualacada vnadlasdos AC.CB.(por Ia.;.del,i.)y por ja.i.petkio,tirére.A E.Eli. y (por la.ji.SI.i.ÍJpor el.pvito.E.fa^re.EZ-paíela ala.A.D.y por lamifma,por dpíito.D.faqfe.DZ.palela ala.CE.Yporq en las lineas reílasparallelas.C E.,DZ.cae vna linea recia. EZ. luego losúgulos.CEZ.E ZD,por la. ig. del. i., fon ygu ales a dos.reílos,luego los águlos.Z EB.EZ D.fon men ores qdo* rcílos,por la mifma.Y las qhaziédo menores qdos reílos fe cftiédé,por !a.;.pet¡ció,cñciirré,luego.EB.ZD.eftédidas ha cia las ptcs.B p,có(cur.r.é,Eftiédáfe ycócnrra en, I.y por la. J. .peticiójtirefe.A I.y porq. AC.esygualala.CE.táblen elágU lo.AEC.es ygual al águlo.E AC, porla.s.31.i.,ye¡5 reílo Iágrjlo.A CE.luego mitad dreílo fera cq, da vno dlos.E AC. AEC.y porla milina razó es tábié .mitad de redo cada vno delos.GEB .CBE. luego reílo es.AEE-y porq elaa i -EVO LID ES, 4Z. 'gnlo.EBC.es iriedio reño,ypor la. ry. del. I., tibié el ángulo DBI.fera mitad de reño,yel ángulo. BDIes reño porqes ygual al ángulo. DC E.pórque fon altenios,luego el ángulo DIB.q refta es medio reño.Luego,por la. 6coma fentécia el ángulo. D1B.es ygual al ángulo. DBl.por lo qual el lado BD.es ygual al lado.I D.íté porq el angliIo.E 1Z.es medio reño yel águlo.Z.es re6to,porque,por la treyntiy quatro, deti.es yguaí al águlo.E CD.luego el águlo que refta. Z E I. es medio reño.Luego el anguIo.E IZ.es ygual al angulo.IE Z.Y afsipor la.íí.delji.el Iado,ZE,es ygual al lado,ZÍ,y poique, EC, es ygUal,aCA, lera ygual el quadrad o31a, EC, al quadrado déla,CA, luego los quadrados aia.C E,y dela,CA fon el doblo de aquel quadrado qué le haze déla,AC, Ya aquellos que fe hazéjleJa,E C¿y'dela,CA es ygual por la, 47 del, 1,el que deláJÉ A,luego el quadrado dela,E A, es dobla do del que fehaze de la. AC,Item porque es ygual,IZ,ala,E Z,el quadrado que fe haze de lá,lZ.es ygvial aaquel quadra do,que fe haze dela.E Z.luego los quadrados que fe hazen dela,lZ,y de la, EZ,fon el doblo de! que fe haze déla, EZ Yaaquellos que fe hazen déla !Z,ydéla ,EZ,por la, 4 7del i,es ygual el quadrado que fe. haze déla, E1:luego el que fe haze dekjE l,es el doblo del que fe haze dela,E Z, Yesygual EZ,ala,C D,luego elque fe haze dela.E I, es eidoblo del que fe haze dela.CD. Yeftu.uo. claro que el que fe hace dela,E A. es eidoblo 31 qfe hace de la, AC. Luego los quadrados que fe hazen dela.Á E,y doia,E 1,-fon el doblo de aquellos quadrados que fe hazen déla, AC,y dela,C D.Yalos quadrados que fe hazen déla, AE.y déla, El,es ygual el quadrado que fe haze dela.A l,(por layquarentay hete, del. i.jluego el qua diado que fe ha.cé déla, A1.es el doblo délos que fe hazen déla, AC,y dela,C D. Ya! que fe haze déla. A1,1'onyguales los quadrados qué fe hazen déla. AD.y de la,D 1, Luego los quadrados que fe hazen déla, AD,y déla ,D1, fon el doblo de aquellos que fe hazen déla, AC,y de Ia,C D.Y ala,D 1es ygual.D B,Luego los quadrados que fe hacen déla.AD, yde la LIBRO SEGVNDODE la.D B.fon el doblo de aqllos quadrados qfehazé déla. AC. ydela.C D.Luegofi vna linea refta fe corta en partes yguaíes ylo que mas fe ligue como en eltheorcma que conuino deinoílrarfe. -* Froblcma.i. Propolici6.il. ^Diuidir vna linea de manera que el rcdtagu lo de toda ella yvna de fus partes lea ygual a aquel quadrado qfe haze de la parte qrefta. qSeala linea refta dada. AB.conuiene diuidir la mifma.A B de fuerte que el reftangulo comprehendido de ella toda y vnade fuspartes fea ygual aaql quadrado qié hace delapar te reliante. Deícribaíepor la.4tJ.del.1ei quadrado.B ACD dela.A B.y cortefe(por la.io.del.i.)Ia.A C. por medio en el punfto.E.y tirefé.B É. yeftiendafe (por la. z.pet¡eion)C A. aftaen.Z(y porla.3. del •t.)hagafe.EZ.ygual ala BE.ypor la.46.del.i,def críbale el quadrado. ZiII TA.de la. A.Z.y eftieda fe,por la.i,peticion.IT. aftaen.K.Digoq,AB .fe ¿ corta en. T. demanera qel reftangulo coinprehédido dela,AB.y dela.B T, es ygual al quadrado de.AT.Borqla linea refta AC.efta covtadapor medio é.E,yfe le añade la, AZ,luego(por la.6.del.t.)el refta guio cópr.ehédido dela.C Z.y de la,Z A. júntamete có el qna drado qfe hace dela.EAxsygual al qdrado qfe hace déla EZ yla.E Z,es ygual ala.E B.Ltiego.el reftangulo cóprehédido de la.C Z.Z A.juntaméte có el quadrado Sfe hace de la EA . es ygual al quadrado qib .hace de la.E B.yal ófe hace dela.E B(por la.47. del primero) fon yguales los que fe hacen déla BA.AE.porque es recio el ángulo. A. luego el que es de la,C Z.yde ia.Z A.con el que fe hace de la_, AE,es ygual aaqllos EVCLIDES, 4;. que fe hazende la.B A.ydéla. AE. qnitefe por comú el de la AE.luego el re&angulo que refta cóprehendido dela.C y dela.Z A.es ygual al quadrado que fehace de la.AB.Y el qué es dela.CZ.yde la.ZA.es elmiirao.Z K.porque.Z A.esygual ala mifmá.Z 1.Yel que fe hace déla. AB.es el mifmo.AD.lue go.Z ll’c-s ygual almifmo.A D,Quítele el comú.A.K. luego elquerefta.Z T.es ygual al. TD.yT D.es el quede la.AB. y dela.B T.Porque es ygual, AB.a la.B D.y el.ZT.es el que de AT.Luego el reftangulo comprehendido de la. AB. yde la BT.es ygual aaquel quadrado qfe hace dela.T A.Efta pues la linea teña dada.AB.diuidida en.T.de manera qel reftan gulocóprehendido déla.AB.y dela,B T.feaygualaaql qua tirado que fe hace déla.AT.lo qual conuino hazerfe . Theorema.i 1. Propoúcion.u. ^"Enlos triángulos de ángulo obtufo el quadrado que fe hace ded lado opuefto al ángulo obtufo tanto es mayor que aquellos quadrados qfe hacen délos lados quecomprehcden elágulo obtufo,quanto es el reítangulo conr prehendido dos veces debajo de vno de los que comprehenden el ángulo obtufo (fobre el qual eftendido cae vna perpedieular) ydel que es tomado fuera debajo déla perpédicu lar afta el anearlo obtufo. O P&Seá. el triangulo de ángulo obtufo.ABC. que tenga el an gulo.B AC.obtufo ytirefe defde elpuíl:o,B.la linea, BD.per pendicular fobre la,CA.eftendida,por la.iz,del.i.)Digo qel quadrado dela.B.C.es mayor que los dela.BÍy déla. AC, por elreftágulo cóprehendido dos vezes debaxo dehvC A. yde la.A D.Puesporq la linea rcfta.CD.es cortada comoquiera LIBROTERCERO DE tro del circulo. ABC.porque <i no.fi es poiíible fea. I.(ypor la. i,petición) tirenfe. IA.l D.lB.y porque es ygual.AD.ala DB.y común. DI. Luego las dos AD.D Ifonyguales alas dos.I D DB.la vnaala otra., ypor la. ij. definición del.i,la bafis.l A, es ygual ala bafis .IB. Porque fajen delcentro'Luego,por la.S.del. i. el ángulo. ADl.es ygual al angu lo.B Dl.Y quádo vna linea rebla cayédo fobre otra linea rébla hiciere devnay otra parte ángulos > yguales cadavno de aquelíosangnlos fera rcbtofpor la.to, definición del,!.luego el'angulo.B Dl.es reblo ,yel ángulo ZDB,es reblo.Luego el ángulo.ZDB. es ygual ai ángulo. BDl.el mayor almenor,queesiinpofilble.luego.l.no es cen tro del circulo. ABC.deíamifma.manerademoitraremos q ninguno otro fino.Z.Luego.Z.es centro del circulo. AJJ C,q «onuino demollrar. . Corolario fDe aqui es manificílo que en el circulo al guna linea reóta aalguna linea refta la corta por medio yen ángulos rc&os ,cnla que corra cita el centro del circulo. Theorcma.ij ,Fropoficion. z.- «TSi en la circunferencia de vn circulo fueren tomados dos púdbos como quiera, la linca re £ta que junta aquellos dos pnn¿tos,cae dentro del circulo-. Sea evclWo, 47. fitiScx el circulo.ABC.y en fu circunfcrécia fean como qnie rados punélos.A B.digo que la linea re&a tirada del'de. A.al* ta.B.cae détro del mifmo circulo. ABC.Borque (ino,fi es po ííible caya fuera,como.AE11. ytómele el centro ¿del circuí» ylea (por la precectente)D,y por Ia,r,petic¡on)tirenfe, DA,D B, y eftiédafe,DZ,afta en,E, IJues porque es ygual,D A(por la,iy, difini ció del,i,a laJD B,iera ygualel au gulo,D AE,al águlo,D BE.ypor ¡ que el lado, AEB,del triiígulo,D 1 ÁE,le duende,(luego por la, 16,\ del,i.)el angulo.D EB, es,mayor qel angulo,D AE,Yes yguál el an guIo,D AE,al ángulo,DBE,Lue go mayor es el angulo,D EB,q el angulo.D BE,y amayor angufoanayor lado.le.efta opuefto (por la.iH,del,;,Luego mayor es,DB,qnoD E,y por la, iy , definicion)es ygual,D B. ala DZ,Luego mayor es.D Z,q no DE,la menor qla mayor que es impoíl'ible. Luego eftedida vna linea re.fta defde.A, afta.B,no,cae fuera 31 circulo. Déla mifrna manera.dernoftraremos,que ni en la mifma circunferencia,luego caera dentro. Luego (i en.la circunfcrécia devn circulo.y lo de mas que le ligue como.enel theorema,Ioqual conuino demoftrar. Thcorciua,!, Propofieíon.j. ^Sí cnci círculo vnalinca re¿la tirada portel cetro,cortare por medio aotra lincare£ta no tirada por el centro,cortar la aen ángulos re ¿los, y(i kcortare en ángulos rcótos, cambie la cortara por medio. Oise* UBROTWCERO DE qSe.i el circulo. ABC.y enelyua linea recia tira Ja por el ce tro.C D.corte por medio ala linea. Aii.no tirada por el cen tro,enelpúído,Z.Digo qcambióla corta en ángulos reídos: Ofrézcale otómele *1 cetro del circulo. ABC.por la.i.del.;, yfea.E.ypor la.i.petició.tiréfe.E A.EB.y porq.A Z. es ygual ala.Z B.y es comú la.Z E.luego las dos,E Z>ZAfon yguales alas dos.E Z3ZB.y la bafis.E Acs ygual aIabafiSjBÉfporla indefinido del. (.(Luego por la.S’.del.i.)el ángulo. AZE. es ygual al ángulo. BZE.Y quádovna linea reída cayendo Cobre otra linea reída hiziere ángulos if rna yotra parte entre fiyguales(porla.io,definició debí. )cada vno délos miímos ángulos Cera reíto.Luego cada es reído. Luego. CD.eldendida por el centro cortado ala .AB. lio eilendida por el centro ,por mediojcorta la tábien íángulos reídos. Pero corte la.C D. ala A B.enangudosreídos.Digo qtam bien la corta por medio,efto es, que. AZes ygual aIa,Z B.porq diíptieídas las mifmas cofas yti bricadasdela mifina manerapo que es ygual.EA,alajE B(por la. tf.fil. i.)fera ygual el ángulo EAZ^al alguno.E BZ.Y el ángulo. AZEreído esygu*l(por la.4,peticionjal ángulo reíto.B ZE. Luego fondos triangu* los.E AZ,EBZ,que tiene los dos ángulos yguales alos Jos ángulos.,yel rulado ygual al rulado que es .E Z,es aCaber que Sendo comunfpor la.z6.del.i)fe oppone en ellos amoi de los yguales angulos.Lucgo también los de mas lados ten drau yguales alos de mas lados. Luego ygual es. AZ.a Ja.ZB Luego fi rna linea reída,ylo de mas que fe figuc como e» el thcorema^lo qual conuiuo demoitrarfe. Si en Tbeorema. 3. Propoficion.4. EV CL1I) ES, 4S fSi. en el circulo dos lineas recitas fe cortaren entre íi no tiradas por el centro, no fe corta - ran por medio. Sea el circulo. ABCD.y eneldos lineas rectas. AC.B D. córtenle en,E,no eftendidas por el cetro. Digo qno fe corta por medio. Porqli es poflible cortenfc entre li por medio de tal manera q,A E,íeaygual ala E C,y la.B E.a la.E D. Tomefe el cé tro del círculo. ABCP,y fea por la.r. del. 3.Z,y’por la, i.petj cien,tirefe, ZE. Pues porq vna linea re £ia,Z Ejtiradapor el cetro,cort; por medio ala linea, AC,no tirada por el centro, corta la tábié en Angulos reítos,porla.3.del-3.Lue gorl.angulOjZE A,es reílo.Yten porq vna linea re£la,Z E,corta también por medio ala linea BD.no tirada por el centro también (por U.3.del.3)U corta en ángulos teños. Luego el angulo.Z EB,tábíen es reíto yprobofe que el ángulo,ZEA,es re¿to,luego elangulo.ZE A,por la.4.peti,ció,es ygualal angulp,Z EB,el menor al ma yor que es impoífible.Luego las lineas restas, AC,B D.é nnt gima manera fe cortan por medio .Luego ti en vp circulo, y l.o que mas fe ligue que coiiuino denjoltrarfe, Tbcorema. 4, Propolición, y, fSí . dos círculos étre fi fe cortaré,no fera vno mcfmo el centro deilos, é^Cortéíí los dos círculos,ABC,C Br,entrefiélos pú6to* C,B,digo f| fu cetro no es vno rnefmo.Poiqfi es poflible fea E,y por la,r,petíció,tireÍ£,E C,y tirefe tábié,EZI,como qui era,y porq el pí¡£lo,E,es cetro del circulo,ABC, fera ygual G4EC, LIBRO TERCERO DE EC,a la,E Z,por Ia,lf, definido del, r,)Yté porq elpun&o E.es cetro del circulo, CB I, csygualpor lamifma difinifió,EC,ala,EIjyeftademof 1 trado q,EZ,e8 ygual'ala,E C luego tábien,EZ,es.ygual ala El, la menor ala mayor qes impollible.Luegoelpú£to,E. no es cerro de los círculos ,ABC,C BI,. Luego (i dos círculos ylo de mas que fe ligue, lo qualconqenia demollrar ,, Theorema. j, propofició.6.- Si entre ftíe tocaren dos circuios por de den tro, el centro dcellos no fera vno mcímo. £»Toquenfe por de dentro I»s doscirculoSj.A BC,C DE. enel pun&o,C,digo qel centro dellos.no es vnomifmo. Por qli es poílible iea,Z,y por láji,p¿titÍQ,tirefe,ZC, ytambién tirefe como quiera,? BjPues porq el punido.Z. es cetro del . circulo,ABC, es yguai,Z C,(por la,if,)definició del.i,ala,Z B,Yté porq e! punido Z,es centro del cir Culo,C DE,es ygualjZ C,a la,Z E por la naifina dcfinició: ycita fiabidq q, ZC.es yguala la,Z B,luego ZE,es yguaí ala, ZB, la menor a la mayor,lo qual es impoífiblc,Ln ego el pú£to,Z, no es cetro de los circuios, ABC,C DE, luego fi entre ii fe tocaren dos circulos.y lo qmasfe figue:como cel tht erema que fe hauia de demoítrar. Theorema.6. propoficion, 7, «fSi cnel diámetro de vn circulo íe tomare al gunpíídto t[ en ningúa manera fea el centro del EVCLTOES. 4?• del circulory deídc aql piído aí circulo í’alierc algunas lincas rcdasda mayor íera en la q efta el cérrotpero la mas pequeña la qreíia 3y délas otras fiépre la mas cercana aaqíla que paíTa por el centróles mayor que la mas apar tada3mas folamente caen dos yguales lineas redas defde el mií'mo pundo afta el circulo, aam bas parces déla menor.. <->&. Seael circulo.A BCD,y fíi diámetro fea. AD.y en el mif mp.Á D. tome fe vnpuftoy fea.Z.el qiial nó fea el cetro del circulo:y fca(porlá.t.deL}j)elcentro'del circulo. E.ydefdo Z.afta el circulo.AB Gl)>¿ayáalí'ijhas;liiieáá reÉías'.Z B.Z C ZI.Digo qla.Z A. es 1ámayorly la.Z Di esta menBrpero de las ot ras la3ZB.és mayor que la.Z C.yla.Z Cupayór qla.ZJ .LIBRO TERCERO DE ygual.ET,a la.E D.l.nego.l Z.Z Efon mayores q.E D, Quite je la comú,E Z,luego la í¡ reíla.'l Z,es mayor que la redante ZD.Luego la mayor de tedas es,Z.A,y la menor .ZD. yes mayor, 2 B. que.Z Cyla.Z C,que la.Z l.Digo también qdef deelpuüfto,Z,íolamente dos lineas reftasygualescaen en el circulo, ABCD,a ambas partes déla menor.Haga fe(por •l3.ipdéi,i.)fobre!aHné.Treíta,EZ,y enel ptmóle.K. dadoé ella el angulo,Z ET.ygUfd al úgulo.IE ¡Z (y porla.i.petició, tircfe.Z T.Pues porq es ygual,IE,a la,E T,porla.15.definido cid. i.y!a:‘E Z.es ccmlin,luego las dos,IÉ,EZ, ionyguales a las dos.T E,EZ.y por,ia.Z3.del.:i,el ángulo^ EZ.es ygual ál ángulo. TEZ.Lúegppor Ib. 4.debí,labafísdí lies ygual ala rbaiis,T Z.Digo también qala linea, Z1,ninguna otra le cae ygual enel circulo defde elpiin£lo,Z,porqueli espofllbleca ya.Z K.Y poique. ZK,csyguaiala,Z í,y la.Z T,esygual ala Z1.Luego.Z K.es ygual ala,Z T,luego la que ella mas pro» .piqqua ala qpe paila por electro es ygual ala mas apartada que por lo qefta demoftrado es impoflible. Odefta manera por ia.i.petició,tirefe,E K.y porq (por la. 15. definido debí.) es ygual.I E.a la,E K,y común la,Z E,ylabaíis.I Z.es ygual a labafis,Z K. Luego por la. S.del.i.el ángulo,! EZ, es ygual al ángulo,KEZ,y el ángulo. IEZ,cs ygual al ángulo,TE Z.Lu ego por la.i.comú feutencia,el ángulo.TEZ.es ygual al anguíOjK EZ,el menor al mayor que es impoflible, Luego def de el punfirOjZ,ninguna otra cae enel circulo ygual ala. 1Z- luego vna fola.Luego fi enel diámetro de vn circulo,ylo quu mas fe ligue como eñl tjieorema qeslo qfé auia cf denioftrar Thcorema,7 Propofícion. ?, <}" Si fuera de vn circulo fe toma algupiíítoy defde acj¡ puto al circulo fe tira algüas lincas tedias de las guales la vna í'c cílieda por el cé F, VCLID ES. fo. tro,yLas demás como quiera, de Lis lineas redirás qcaen en la circunferencia conuexa es la mayórlaqferiroporelcctro:y días otras fie pre la maspropinqua ala qpaila por el cetro es mayor qla mas remota.Pero délaslineas re ¿tas qcaen cía circííferecia cuma es la menor la qefta entre el púdto yel diámetro: yla mas propinqua ala menor fiepre es menor que la mas apartada yfolametc dos lincas reótas cae ygualcs eñl circulo aabas partes día menor, ¿«¿Sea el circnlo. A B C.Y fuera del imfmo.ABC.To mofe el púnelo. D.y deí'de el tireufe algunas lineas re ñas al intimo circulo, yleí DA. DE. DZ. DC.y tire ifé.D A. por el cetro. Digo qde las lineas reñas,qcaé en la cirtüferécia del circu lo. AEZC.Es la mayor la qpaila por el centro, qes. DA. yla menor la qella entre elptmft'o. D.y el día metro. AI.í’ero mayor es DE.q no DZ, yla DZ. q nola.D C.pei odías lineas reñas qeaenenla cireúferécia cuma. TLKI.fiíprc la mas llegada ala menor D1. «.menor ¡piola mas apar LIBR OTERCERODE apartada,cfto es la. DK, qno la.DL.y la.D L. qno la DT. Tomcfe(por la. i. del, 3)el centro del circulo. ABC.y fea .M. ypor la. i. petición) tiren fe. ME. MZ.MC.M T,M L. MK. (y porq por la.ij.difini.dl.r.) ;es ygual la.AM.a la.E M,póga fe comun.M D.Luego AD.es ygual alados.EM.M D.Pcro la.EM.y la.MD, fon mayores qla.E D(por'la.2o.del.i)Lue go tibié. AD.es mayorqla.E D.Yté porq (por la.if.dlfinició ¡del.i.)la. ME. es ygual ala.-M Z.ppg'a fe.M D.comú, luego la EM.y la.M D.fon ygual es ala.Z M.y.ala.M D.y eligido, E MD.es.mayor qel ángulo.ZMD. Luego por la.Z4,del,i).la bafis.ED.es mayor íqla,bafis.Z D. Delamifma fuerte demof trareuios q.Z D.es mayor q.C D. luego la mayor es .DA.y mayor. DE.qño.D Z.y la.D Z.qno la. DC. í(porqpor la 20.del,i)M K.y Ia,K D.fon mayores q.M D.(y por la.iy.defi nieló del. ij)es.ygual.MI. ala.M K.luego la.K D.es mayor q la.D I.Por lo.qiial.I D.es menor qno.K D.Y porq del triangulo.MDL.del vi) lado.M D.falé dos lineas. MK.K D. qhiziero.dentro.el triangulo.M KD.luego(p,ór la.2i.del.ñ)M K KD.fó menores q.M L.L D.3 las qles.M K.es,ygual ala.M L Luego I,i,K D,q reída' es menor éj la.D L,q reída. Déla mifina manera demoftraremos íj.D L. es meor q. DT}luego la mas pequeña es.D I, Pero la.D K.es menor qla.D L.y la ,DL,q la.D T, Digo tibien qfolaméte dos caen yguales delde elpú c!o.D,fobreeI mifin ocircuí oaambas partes día menor,D I Hagafefpor la.zj.del.fjfobrela linea redta.MD.y enelpütlo M.fuyo.eI.angulo,DMB.ygualal aguí o, KMD,(y por la.i. petició)tirefe. DB.yporqfpqr la.if .definíció di. i.)esygual la MB.a la MK,y comú la.M Ó,Luego las dos,M K.M I), fon yguales alas dos.B M,M D,Iavna ala otra,yel angulp.K M D(por la,2;.del,r.)es ygual alangulo.B MD.Luego (por la 4.del .f,)la bafis ,DK, es ygual a la bafis,D B.Digo, pues que ala linea reíta ,DK ,no cae otra ygual en el circulo del’de el punflro ,D,Porque fí es poffible ,caya,y fea, DN, Pues por que la, DN,es ygual ala,DK,ya lamifma,DK, lees ygual D.B, Luego iarobíen,DB, por la primera comúníeutéc¡a)es ygaaí ala.D N,Luego la maspropínqua ala menor EVCLIDES. menor.D I.es ygual ala mas apartada,loquaIya cita demo íiradopor ímpo/fihle.O tábic delta mancra(Tirefe por la.i, petició)M N.y por^(por la.is,.difinici5)es ygual la. Ií.M.a la MN.y comiin Ja.M.D.y la balls.DK.es ygual alabalis,D N por la luppofícion,luego por la, 8,del.i,el ángulo,KMD. e» ygual al anpulo.D MN.y el ángulo.KMD,es ygual al angix lo.BM D.Lucgo el aiigulo.BMD.es ygual alangulo.N MD es afaber el menor al mayor,que es impofltble,Luegodefde el punfío.D.enel circulo! ABC.no caen mas de dos lineasre fías ygtiales aambas partes déla menor. D1. Luego il fueta de vn circulo fe toma vn púfío.Ylo de mas como en el theo rema,lo qualconuino dem'oilrar . Tbeorema. 8. Propofícion.9.. ^Si encl circulo fe tomavnpunóto.y dcfde el punéto al circulo cayérenfmasque dos lineas ,re¿tasyguales,clpun6to tomado es détro del miftno circulo. P&iScaelcirculOj.A BC.y dentrp del elle el punfío.D^y defde elmilmo.D.eneícirculoiA BC.cayan mas qdos lineas re fíasyguaW,eíto es.D A.D B.D C.digoqiieelpunño.D. es centro del circulo, ABC.Tirenfepor la.(i.peticion. AB,EC ycortenlepor medio en los pun fíos.E Z:'( por la, 10. dcI.i.)Con — — z.* \ uiene afaber la.AB.en.E.y la.B, /n. /\ CeniZ.y tiradas.ED, DZ. por la //\ (í.peticion) eltiendan fe avna yI—i. 1:-.'. ~e _ otra parte afta los pu-nfíos, 1K. rD\1 LT.Pues porque es ygual AE. y/ ala EB.y corauo la,E D, Luego \J k)sdosIados,AE,ED,fonygua -y/ les alos dos lados, BE, ED,Y- — ’ 1' -- ^ por la fupofición,la balis^D A,ala'ba(!s,DB,esygual.LÍucgo el ángulo,AED,es ygual al angulo,BÉ D,(j>orla,8, del, 1) luego LIBRO TERCERO DE Je la .7. Eporqué es reflocl ángulo .Z.y aaquel que fe haze dela.E C. (por la raifmá) fon yguales los que fe hazen de la,E I. yJe la. IC. porque es re£ío el ángulo.1.luego losqua Jrados que fe hazen dela.A Z.y déla ZE.fon yguales alos q fe hacen dela.C I,y dela.IE.delosquales aquel quefe hacede la.AZ.es ygual al que fe hace dela,C I.porque es ygual.AZ. ala.CT.luegoelreftante qviefehaze dela.Z E.es ygual alque relia quefe haze.deIa;E-I.(por la.3.común lentencia )-luego EZ.es ygual ala.E I,y,énel circulólas lineas reítas fe dizen y. gualmente diftar del centro quando las perpédiculares tira das del centro harta ellas fonyguales(por la definido.4. del. ;.)luego. AB.C D.ygualmente dirtan del centro. ;Peropór go que.AB.CD.ygualmente dirtan del centro,erto es q.EZj feaygiial ala.E I.Digo ques ygual. ABala.C D. Porquepue ftas las nriímas cofas demoftraremos déla miíinu fuerte que AB.es. el doblo déla mifma.AZ.y la CD,dela.C I. Yporqués ygual. AE.ala.C E.por.falir del centro aJa circunferentia, es ygual el quadrado qiie fe haze dela.A E.alquadrado que fe hace dela.C É. Ya.aql quadrado que fe haze déla. AE.fon yguales los qúadrados que fe hazen dela.E Z.yd la.Z A. (por la.'47.del.r.)y al que fe haze dela.C E.fon ygualesqpar la ni if mallos que fe-hacen dela.E I.y dejad C.Luegolosquadrados que fe hazen dela.E Z.y dela.Z A.fon yguales aaqüellosqua diados que fe hazé dela.E l.y dela.I C.Delos quales el quefe haze cíela. EI.es ygual al que fe haze dela.EZ.porques ygual EZ.ala.E Lluego el que refta que fe haze JéU. A.Z, por la.;, couum fcntenciCjCS ygual aaquel que fe hace dela.C Ljuegq ygual es.AZ.ala.C l.y dela.A Z.es duplala.AB.ydela.CI.es dupla la.C D.luegoygual es.A B.ala.C D,por la 6. .común fé téci.ij Luego énel circulo ygúates.lineas, refias ygualmcntp dirtan del centro.Y las queygualmente diltan del centro fon yguales entre fí.Loqual fe auia de demoftrar. Theorcma.i.f Propoñcion^if, E11 el EVCLIDES Encl circulo la mayor es el diámetro, yde las otras fiempre la mas propincua al centro ,es mayor que lamas apartada. í*>Sea el circulo,AB.C D.y el diámetro fuy ofea. AD.y el cé tro:fea.E.y la más llegada al diametro.A D.fea.B C,y la mas apartada fea.ZI,digo que.AD.es la mayor,ymayor es.BC. queno.Z I.TÍréfe(por bi.u.de!.r.)defde el tetro. E,fobre las <los,B C.Z I,las perpendiculares.ET.E K.y porqla mas llega da al centro es.B C.y la mas a -£>artáda,Zl.Ltiego porla.4.d¡ nnicion del, ¡.mayor es.E K,q la,E T.pongafe (por la.4.del. 3OU.E L.ygual ala.E T.y por la.u,del,t.tlrada.LM .por el punido. L, en ángulos reídos con,E K.eíliendáie halda. N. y por la. j,peticioii, tírenle. EM. EN.E Z..E I.Y porque. ET. es ygualala.EL,( -por la.14.del 3.) ydiHnicion,4.del mcimo.es ygual. BC.ala.M N.yten por que es ygual.A E.ala,E M,y la.E D,ala.E N.luego, ÁD. es ygual ala,E M,y ala.F. N.Y la ME,yla.E N.por la, 20.del. 1. fon mayores que.M N.luego. AD.es mayor que.M N-Y porque las dos.ME,E N,fon yguales alas dos.Z E.E I.(por la.if.deii nicion del. 1., por 1er del centro ala circunferencia.Yel angulo.M EN.es mayor que el angulo.Z EELupgo la bafís.M N, por la.14.dehx.es mayor que la bafiv.Z I.Y elda moldrxtdo.- M N-,fer ygual,ala,BC,luego,BC.es mayor quc,ZI, Luego lama yor es el diametro.A D.y mayor la,BC,que ta.ZI. Luego eñl. circulo la mayor es el diámetro. Ydélas otras iiempre lamas propinqua al centro es mayor que la mas apartada,que con uino demoilrarfe. Thcorema.iy. PropqjGcion.16. H3 LIBROTERCERO DE <f"La que fe íacadda extremidad deídiarnetro del circulo' en águlos rcótos cae fuera del mil’ mo circulo:y en el lugar de entre la rniíma lia nearedtay la circunlerecia del circulo no ca era otra linea rcita,yel ángulo del femicircu lo es mayor que todo ángulo agudo redti li - neo,ymenor el que refta. íijSea el circulo. ABC.lbbre el cencro.D.y el diámetro.AB Digo que la que fe faca defde.A.en ángulos reilos con la .A B.cae fuera del mifmo circulo,Porque fíno,fí es poflible caya dentro como. CA. Ytire fe.D C.Y porqtie.D A. es ygual ala.D C.(por la.if. definición del.i.)por fea del cetro ala eir cunfcrccia, tambíé feraygual ílangulo.D AC.al ángulo. D CA. Yel angnlo.DAC.es re- A £lo,lucgo. ÁC D.tábien es re- 6lo,Luegolos ángulos. DAC A G D.fóyguales adosreílos Lo unal,por Ia.32.deb1, es inv poflible .Luego la facada del pililo. A.en ángulos reilos ton. AB.no cae détrodel círculo Tábiendela tnilñia manera demoftrareroos qni en la mifma eircüferencia. Luego-cae fuera como.AE.Digo qenellugar entre lalmea.AE.y la circúferécía.B.C A.nocaeotra lineare fta.Porqfi es poflible cayacomo.Z A.y faquefefporla. iz} del.i.)del púnelo.D.fobre la.Z A.la perpendicular.D1-Ypor Sj es refto el ángulo. AID.y menor qreéio el ángulo. DAI. Luego mayor es.AD.qno.Dl.Yes y'gualla.D A.ala, DT. por fer de! cetro ala circuid encía. Luego por la. 19. del. lima yor Cfi.D T.que no.i) Lia menor qla mayor,qes imponible. •1Luego EVCLIDES. •'.i ^fC. Luego enel lugar entre la linea re£ta.y la circüfereda no cae otra linea reóla.Digo tábien qel ángulo del íemicirciilo con tenido déla linca re&a. AB.y dela circüfcrcncia.C TA .es ma yor que todo ángulo agudo rectilíneo,yel que relia contení do deUcircuferencia.C TA.ydéla linea reóta.AE,es menor qtodo ángulo agudo rectilíneo,l?orq fi hay algún ángulo re cliliiíeo mayor qel ángulo que es contenido déla circunferí cia.C TA.ydéla linea rc&a.B A.pero menor qel que es con tenido déla circunferí cía. CXA.yde la linea reóla. AE.caera cnel lugar entre la circunfereciaiC TA.yla linea re£hv AE. linea recia, la qual liara mayor el ángulo contenido de las lincas re6las que el qes contenido de la linea reda .BA.yla circunferecia-C TA. pero menor qel que es contenido de la circunferencia.G TA.ydéla linea rc&a.AE-.Y no cae. Luego por la poííibilidad ya dvmoftrada^el ángulo agudo contenido de lineas reftas,no es mayor que el Ángulo obtenido déla linea recia, BA.ydéla circunferida.GTA.ni tampoco me- nor que el contenido déla circunferencia.CTA.y. dda linea red^AE. /... ... I . €J’ Corolario. •"De aqui es manifioíto que la Tacada déla ex tremidad del diámetro de vn circuí oen angu losre&os toca al mifmó circulo. Yque la linea reirá, (olamcntc en yn p.uncto íolo toca avn circulo h . 1 • -Porque eftá demofVra¿Jo(por en'áqée J:'.qs,4e>s purt&os, ca..-, cae dentro,del, Lp qua! conjiico; iimp itrarfe, '|J Problema'z, I'ropoíicion. 17. .<^Qc;vn pUíito dado tira ivna linca rc&i que roque avn circulo dado. *'' " H4Sea LIBRO TERCERO DE ¿fc’Sea el punto dado. A.yel círculo dado fea.B CD.couient pues defde el púído dado, A,tirar vna linea reída qtoque al circulo,BCD,Tomefepor la, i.del, 3.el centro del circulo y lea, E.y tirefepor la.i.petició.A DE.y haciendo centro.E.fe guilla diftañcía.E A.porla.3,petición, defcribaleel circulo. AZI.y defdeel !nifmo.Q.tirefe¿D_3.en águlos reídos l’obre EA.por la. II;del,t,ypor Ia.i,peticion.tirelVe.E BZ,y. AB.Di góque defctie el pun£do.A.fe tiro la linea. AB.iquet.aca al circii l'o.B CD.Porquc el puiitOyE,es centro del circulo, BCD, y del, AZI,és ygnal la,E A,ala,E Z,y la ED,ala,EB,por 1er 31 centro ala circunferencia,Lúe go las dos,AE,E B, fonygua- 1les alas dos,EZ,ED,y tiene co mun el angulo,E, luego la bafis,D Z,por la, 4,del,i,esygU' j al ala balis.A Ejy el triangulo [ DEZ,al trianguIójE BA,es y ' gnal,y los de maxágulos alos de mas ángulos. Luego yguaL es el ángulo,EDZ,al ángulo, EBA,y es reído,E DZ,.luego> también es reído, E B AXYIa,E B,es defde el centro,/ la que ín ángulos reídos fé facadela extremidad del diámetro del circulo,toca, al mifino circulo por el corolario, déla*, iú, deljj. luego. AB,toca al circulo,B CD,luego del,punido dado. A, Te tiro la linea;,,AB,tocando al cn'cnlo dado,D BC. LoquaL cquuino hazeríc, , Theorema. iá„ Propoficion. iS .. fSi alguna linca reéta tocare al circulo y;defde clcentroaf tocamictofctirare algúalinea. reíta,la. tirada lera pcrpcdícular ala qtoca.. ((Al circulo. ABC. toque le alguna linea reída. DE.enelpun ¿to.C.y tomefe por la. i. del.3.el cetro del circulo.A BC.y fea 7 -r EVCLIDES. í7 Z.y defde.Z.afta en.C.tirefe por Ia.i.peticion,Z C.digo qZG es’perpédicular fobrcla.D E.Porgue fino,tirelepor la.iz.iíl primero defde.Z.fobre .DE. la perpendicular.ZI. Pues porque el anguto.Z IC.cs redo,luego el águloJ CZ.es agudo.Luego ma yor es el angulo.ZlC.q el ángulo.ZC1.ydebajo de mayor angu lo(por la. 19.del. 1.) feeltiéde ma yor ladojluego mayor es. ZC.q no.Z l.y es ygual la.ZC.a la.C B por ler del cetro ala circunferí: cia,luegomayores.Z B.que.Z 1. la menor qla mayor,q es imponible. Luego.Z1,110 es perpendicular (obre. DE. Luego fi alguna linea reda tocare al circulo,ylo qmas fe ligue. Lo qual sonuino dcmoftrarfe. Thcorema.17» Propolicion.ip.. fSi alguna linea re£ta tocare al circulo, ydef de el tocamiento í'elc facare alguna linea re ;~ ¿ta en ángulos re¿fcos„cnla que es lacada cita ra el centro del circulo, ri¡Al circulo. A B C.toqtielevna linea recta.D E.enelpun do.C. ydefde.C.porla.n. del.i.. Tire fe1 CA.en ángulos redos.Digoque enla. mifma.C A.efta el ceücr.od! circulo,Porq fino, fies.pó.iíible elle en.Z.y porLer.,petición tire fe.C Z.I'ugs pOrqila’linea .DE. toca al circiltó.Au BC. ydefde el «entro ál tocamiento fe tiroZ C luego LIBRO TERCERO DE luego por la.i8.cs perpendicular ala DE.y'es reólo el angn Jo.2 CK,y el ángulo. ACE.es reólo.Luego el ángulo. 2CE. es ygual al ángulo.ACE.el menor al inayor,que es imponible*. Luego.Z. no es centro del circulo. ABC.Tambien demo litaremos de la mifma manera qni en otra pa rte tuera del a AC.Luego fi alguna linea reóla tocare al circulo, ydefde el tocaniiéco fe Tacare vna linea reéla en ángulos reélos lobre la que toca,en la que le faca eftara el centro del circulo .Lo qualconuino demoftrar fe. Tbeoretna.!?, Propóíicíon.20 CEncl circulo,el ángulo fobre el cerro ,es do blado al de fobre la circunferéda,quandolos ángulos tuuieren ygual circunferencia. r*>Seael circulo, AB C.y fobre fu centro cfte el ángulo. BE C. pero fobre la circunferencia, el angulo.B AC,ytenga por .vna mifma bafis ala circunferencia,BC. Digo que el ángulo BEC.es doblado al angulo.B AC. Porque tirada. AE. (pó'r ]a.i.pctición)eftiendafe alia en.Z. Pues parque es ygual ala.E B.por fer del centro ala circunferencia, es ygual el angulo.E AB. al ángulo. EB A.Luego los anguIoslEÁB ! EB A.fon el doblo, del ángulo .EÍP. AB(por la.í del.t. )yes ygual ell'y angulo.B EZ.(porla.;a.4leldií5 a los ángulos.EAB.E EA.Luego el \ angulo.B EZ.es el doblo de. EAB yporla mifma manera también el ángulo.ZEC.es el doblo del angulo.E AC.por la mifma. Lu ego todo.B EC.es el doblo dé tbdmB A C.Ycen póngale, o. «• tro angulo.B DC.y tírele (por la.i.peticídií. DiEs yeilienda fe por la. 2.petición afta cn.LDctnollraremottambieu de la e.; mifma EVCLIDES. y8. mifniíi manera,que el ángulo.IEC.es doblado al ,-ingHlo .C DE.Delos quales el que debaxo de.IEB.es ti doblo del ángulo. EDB.Luego el que refta.B EC.es el doblo de .BDC. Luego eñl circulo el ángulo fobre el centro es doblado al de iobre la circunferencia, quando los ángulos tuuietcn ygual circunferencia.Lo quaí conuino demolliarfe. ,Theorema.19. Propoficíon, 21. el circulo, los ángulos qeílan ei}-vn mifmo íegmcntOjí'on yguales entre (i. • . • ' i. ••': 'le.. ¿*>Elten enelfegmcnto.B AED.dcl circulo. ABCD. los an guIos.B AD.B ED.digo que los ángulos. BAD.B ED.fon enere íi yguales. Torne fe por la .i.del.3.)ei centro del circulo. A BCD.y fea.Z.y tirenfe por la. r. petición. BZ.Z D.yporque el ángulo.BZD.ella íobre ei centro,yel ángulo.BAD. lobre La ckcunferencia,y tiene por batís la mifma circunferencia. BCD Luego el ángulo, BZD,por la precedente, es doblado al angu ío.B AD.Y por ello el ángulo. BZD.es también doblado al ángulo.B E D.Luego ygual es el ánguloJ3AD. al ángulo JB ED( por la común lentecía que dize,Las cofas que devna mifma ion mitad entre ii fon yguales. Luego enel circulo 1os ángulos que eílan en vn mííino légmeto fon yguales entre fu Lo qual conuino demollrarfe. Theorcnia.2o,. Propoíicion.22:. ^Los ángulos oppueftos ellos quadrifateros qcita en los circuios ion yguales ados redos Sea LIBRO TERCERO DE ¿VÍeael circulo. A B CD.y eftc encl el quadrilatero.ABCD Digo que los ángulos oppueftos fon yguales ados reftos.Ti ren le(por Ia.i.pedcion)A C.B D.Puesporq(por 1a, 3a.del. i) los tres ángulos de todo triangulo fon yguales ados reños, luego del triangulo. AB C.los tres angulos-C AB.A BC.B CA,fon y guales ados reftos,y el angulo.C AB.es ygual al angulo.BD C.por laz1.deL3.por citar eñlmifmofeg mento.B A0C.Y el ángulo. ACB (por la milhia) al ángulo ,ADB. por eftar en vn jnifuio fegmento, ADC B.luegotodo.ADC.es ygual alos dos.B AC.ACB.Ponga i'epor común el ángulo. ABC.lue^ C.BC A-fon yguales ajos ángulos. A los. ABC.B AC.ACB, fon yguales ados reños,íuegolo's an gulos.A BC. ADC, fon yguales ados reños.Del* mifmafuerte fe demoftrara que también fon yguales ados reños .B AD.DCB.Luego los ángulos oppueftos délos quadrilate. rosque cita en los círculos fon yguales ados reños.Lo quaj tonuenia demoftrarfe. Theorema. ai. Propofidon.23. CSobre vna miíma linca rcdta dada, no fe da rá hazia vnas mifma.s parces,dos fegmetos de circuios femejantes ydeííguales. ^Porque fi es poífibIe,haganfe fobre vna mífma lineare- ¿Va. AB.dos fermentos de círculos femejantes ydesiguales ACB. ADB. házia viías intimas partes ,ytire fe .ACD. (por la primera petición) ydel'pues tiren te.C B. DB. Pues por que el fegmento.ACB.es feincjante al fermento ADB. .E-VCUDES r9. ADB.y fon remojantes fegmentos ¡Je circuíoslos que recibe yguales ángulos,por Ia’definiciñ. io. del. 3, luego elanguIo.AC B,es yguál al ángulo.ADB. el exteri- or al interior.Lo qual,por la. tú • del.i.esimpofsible. Luego fobre vna mifma linea rebla dada no fe daran hazia varas mifrnas partes dos fegtnétos de circuios fe inejantes ydefiguales.Lo qual conuiuo demollrarl'e. Theorema.zz. Propoficion.zq. ^Los fegmentos femejantes dcciiculos^pueítos í'obrc ygualcs lineas recias fon yguaies, entre íi. réJ Ponga (é fobre las lineas reblas yguales-4 B.C D. los feméritos de círculos.A E B;C ZD,femejantes.Digo quellegmento.A EB.es ygual al legmen- to.C ZD.pqtque iobre puelto el S* ''sv fegmento.AEB.alfegmento.EZ /\ D.y puello eípnnto.A.fobre elpíi /\ to.D, yla liuei recia. AB. quadrí \Ib do fpbre la linea rebla. D'C.tambi en el punto, B.quadrára fobre el ^ pun£lo.C.Porqueesygual,AB, a,\\j la,CD,yquadi Jtio la linea rebla / y \\ AB,fobre la linea rebla,C D,.qua '[/ c\) dra también el fegmentOjA E B, P^~ ^ alfegmepto.CZ D.Porque fila linca-rebla,ÁB, qúaJra fobre la linea reéla,CD,pero el fermento,AEB.no quadra fo bre el fegmento,C ZL,fino que difiere, como,C 11), Yvn.cir culo aotro circulo,por la, zo, del,}, no le.corta en mas qdos puntos,y el círculo,CID,corta al circulo,CZD,,en mas que . en dos punblbs que es en,C.l,D,lo qual por la iniiina es impelir- LIBRO TERCERO DE mentOjes mayor que redo.Y de mas defto el ángulo del mayor Tegmento es mayor que re &o:y el ángulo del menor fegmcto es menor que redo . faiSea. el circulo. 4BCD,y fu diámetro fea.B C.y el cetro fea E.y tome le euel medio cigcnto vn puño como quiera yfea.D. , ytirenfe.B A.AC.A D,D C. Di go qu eel ángulo .BAC.en el medio circulo es redo. Yel ángulo enellegmento. ABCuna.- yor.que medio circulo, que es ABC.es menorque reíio. Per a el ángulo en. ADC.íegméto menor que medio circu!o,ques ADC.es mayor que redo.Tirefe. AE.y eltiendafe.B A.alia eu.Z.y porque.BÉ.es ygual ala.E A. por fer del cetro afta la eirniníx'rcuTnA,c.i 7^n al el angulo.E AB.Por la.f.del.i.al angulo.E BA.Ytem porque cs-yguaMa.AF-.ala. EC .es ygual por Iamifma)el angulo.C AÉ.al ángulo.ACE. Luego todo elanguIo.B AC.es ygual alos dos ángulos. ABC.ACB.Y el anguto.Z AC.fuera del triangulo.ABC .es ygual alos dos ángulos.ABC. ACB(por laqt.del.iOLuego el ángulo.BAC es ygual alangulo.Z AC.Luegocadavnodelloses redo. Lu ego eú! medio circulo.B AC.El angulo.B AC.es redo.Ypor que los dos ángulos.ABC.B AC.del triangulo. A.B C.por la 17. del. 1.) fon menores que dos reños.Yel angulo.B AC.es redo,luego el ángulo.ABC.es menor que redo,y ella en el fegmento.ABC.mayor que medio circulo.Yporque el qua drilatero.ABC D.eftaenelcirculo,ylos ángulos opueftos délos quadrilateros qneeftSenlos circulos(por la.zt.del.;) fonyguales ados redos ..Luego los ángulos. ABC.CDA (por la miímajfonyguales ados redos, yel ángulo. ABC" es menor. EVCLIDES. íy ei menor que reño,luego el ángulo.ADC. que relia es m* yor que reflo,y efta enel fegmento menor que medíocircuío.Digo pues también quel angiiló del fegmento mayor coprehendidodela circunferencia.ABC.ydela linea reña.AC es mayor que reñoiFero el ángulo del menor fegmento có prehendido déla circunferencia. ADC.y déla linea reña. A C.es menor que reño.Yeftamanifiefto.Porqueel angulocó prehédidodelas lineas reñas.BÁ.A C.esreftoduego el angu ¡ocomprehendido déla circunferécia.A BC,y delaliuea re íla.A C.es mayor que reño,porque eltodo es mayor quefu parte (por la. 9.común fentencia) Yten porque el Angulo có prehendido délas lineas reftas.A C.A Z.esreftoduegoelan guio comprehendido déla linea reña.CA.y déla circunferí cia.ADC.es menor que reño. Luego en el circulo el ángulo que efta en el medio circulo es reño, yel que efta en el tegmento mayor es menor que reño,y el que eñl menor es nía yor que reño,y demas defto elangulo del mayor fegmento es mayor que reño,yel del mehor fegmento menor que re ño.Lo qual conuino demoftratfe. <5*. Otra demoftracion que el anguIo.B AC. es reño .Porq el ángulo. AEC.es doblado al anguIo.B AE.(por la.}z. del. í.porqs ygual a¡os dos interioresy oppueftos,y Iosinterio res(por la.y.)fonyguales:y el águlo.AEB.es doblado al an gulo.E AC.luegolos ángulos. AEB.AEC.fonel doblo delá gulo.B AC.y los ángulos. AEB.AEC.fonyguales ados re ños,iuego el águlo.BACes reño,lo |1 fe auia de demoítrar Corolario. fDcaqui esmanifiefto quefi civil ángulo de vn triangulo fuere ygual alos dos que rcftan,que fera rc&o.Porque el que le efta pegado,conuienc aíaber el que es Irccho eften dido el lado fuera deltriangulo,es ygual alos 1 3 mil- LIBRO TERCERO DE mifmosiy qliando de vna yotra parte fueren yguales fon reótos. Theorema.28. Propofíció. 32. ÍSÍ algua linea tedia tocare al circulo.,ydefde el tocamiéto fuere tiradavna linea redba qcor te al circulólos ángulos qhace con la qtoca fon yguales aaquellos ángulos que efta enlos tegmentos alternos del circulo. %Al circulo. AB C. toq le la linea reóla.E Z. eñl puólo B.Ydef de el pilólo. B.faqfe vna linea reóla détro ¿?1 circulo ABCD« qle corte yfea.BD.digo qlos agidos qla.B D.haze jíítaméte co la.E Z.q tocación yguales alos ángulos qella élos fegme tos alternos del circulo, ello es,q el agido. ZB D. es ygual al ángulo qella eñlfegtnéto.B AD.y elanguIo.EB D.es ygual al ángulo q^eíla enel fegmeto- BCD,Saq le (porla.n.del.i,): defde el pilólo. B.la BA.e agu los reólos fobre. EZ. Ytome fe comoquiera vn pilólo enla circuferencia.B D.y fea.C.yti refe.AD.D C.C B.Yporq al circulo. ABCD; le toca vna linea reóla.E Z.eJB.y defde el tocamiéto.B. fe faco la.B A.ean¿ ego ela mifnia.BA.ella el cetro del circulo, ABCD,por la. 19 del.3.y el águlo. ADB.q ella eñl medio circulo es reóto(por la.31. del..3.) luego los agidos q^reíla.B AD.A BD.fon yguales avn reólo,y el ángulo. ABZ.es reóloXuego el ángulo. ABZ, es ygual alos ángulos.BAD.A BD.quitefe el ángulo comu. ABD.luego elanguio.DB Z.q, relia es ygual al angulo.B AD qella enel l'egméco alterno del circulo. Ypqrqefd circulo ella elquadrilatero.A BCD.los ángulos oppueltos fon yguales a.das reólos(por la.zz.del.3)luegolos angulos.DB Z.DB E fonygua reólos có la qtoca.Ln EVCLIDES. ¿4 ío yguales alos angulos.BAD.BCD.,de los qu.ilcs ti ángulo. EiD.eila demolirado qes ygual al ángulo.DBZ,Luego el agulo.D BE.íj refta es ygual al auguio.DCB.q ella eúlfegroc to alterno.Luego fi al circulo le tocare alguna linea refta., y defdc el tocamiéto fuere tirada alguna linea refta qcorte al circuíoslos ángulos qhace con la qtoca fon yguales aaqllos augulos qcílan en los fegmétos alternos del circulo, que fe auia de demoftrar . Problema.?. Propolicion. 33. «[Sobre vna linea reda dada dderibir vn fe g meto de circulo que reciba vn ángulo ygual avn ángulo dado redilineo. «Sea la linea refta dad».AB.y el ángulo reftilineo dado fea C.conuienc fobre la linea recia dada.AB.defcribir vn fegmé to de circulo que recibavn ángulo ygual al mifnio ángulo. C Es pues el angulo.C.o agudo,o refto,o obtufo.Sca lo prime ro agudo,como en la primer figura,Ypor la.2 3,del.i.hagafe fo ble la linea refta, AB.yfobre el púfto luyo. A. el ángulo. DAB ygual al ángulo.C. es pues el an gtilo-D AB.agudo.Saquefepor la.11.del mifmo)la. AE.en angu los reftos fobre. AD.y córtele la.AB.por medio en el púfto Z.por Ia.io.del.i.)y defde el píífto.Z.faquele.Z I.cn ángulos reftos fobre. AB.por la.n.del miiino ytirefe la.l Ü.Yporq es ygual la, AZ.ala.Z B.y comúla.Z 1. Luego las dos .AZ.Z I. fó yguales alas dos.Z B.Z I.y el águío.A Zbpoiia.q.petició es ygual al águlo.l ZB,Luego la b.iils.A I.por la. 4. del.i. es y gual ala bafis.I B.Luego lobie el cetro.1. yel eipacio.I A(pdr Ja.3.peti.defciito vn circulo pallara tibié por. B. Delcriba fe yfea. ABE.y tirefe.E B.Puesporq cf la extremidad ¿11 diamo tro.AE.dfdeélpúólo.A.fale.A D.éSgulos reftos fobre. AE, Luego la. AD. toca al circulo. ABE.por el coreíatio de la. 18. •*’’ '"noró el circulo. ABE. le toca la linca refta. AD.y def- 14de ti LIBROTERCERODE del tocamiento. A.deatro delmifino circulo fe faco la linea reña.AB.Iuego el angulo.D ABmorlaqz^del mifmo.es y - gual al ángulo.AEB.que ellaenel tegmento alterno del cir culo.Yel angulo.D AB.es ygual al ángulo. C.luego el angu- 10. C.cs ygual alangulo.AEB.luegp fobre la linea reña dada .A B.efla deferipto elfegméto de circulóque recibe el an guio.AEB.ygual al ángulo da docC.Pero fea reñoelangulo C. yfea meneller otra vez def crebirfóbre la. AiB.vn fegmé-- rodé circulóque reciba vn an guloygualial ángulo recto. C^- hagafe otra vez Pobre la linea reña¡AtB.y fobre el pimfto. Ael ángulo. BA:D. ygualal á*- guIó: re¿Hlineo'.dado.C.porIa.23.del.'i..como:enla:2. deferip tió.y porla:jo:del.i.cortefe por medio la. AB.enel punto. Z yfobrecel centro Z. yel e,(pació. ZA.o.ZBideforiba fe el circuló.A' EB!(por lá.;.petició«.)Tocapues la linea recta. AD al circuló; A.EB.porque elangylo.’A.es refto.yel ángulo .B AD.es ygual'al ángulo que ella enel íe-gmento.A EB.piprq también es reblo él mifmo que ella eneímedio circulo (por la.31.del.3-5y elanguló.B AD.es ygual al ángulo. C.Luego ella otra vez deferito fobre la.ABi el Tegmento del circulo AEB.que recibe vn ángulo ygual al an guló.C. Pero lea el angulo.C. obtufo,y haga fe le ygual el ángulo. BAD.fobre R latinea relia. AB.y fobre elpunblo.A. (por la.z3.del primero)comoella’en la tercera defcripcion )yfoble lá’. AD . faquefe en ángulos rectos la,A E(porIa n 11. delinifmo)y corte fe lá.AB.por me; dio enel pñ£lo.Z,por la.10.dcl miímojy fobre lá.AB.faque fe íángulos retios.Zl. por ¡a.ii.delmifmo.Y tírefela.I B. Yallí porqes ygual la.A Z.a la.Z B.y común lá.Z 1.Luego las dos AZiZ l.fou yguales alas dos.B Z.Z I.y el ángulo. AZI. por la.q. EVCLIDES. 6f. Ia.4.pet¡ci6jes ygual al ángulo. BZI. Luego la bafis. AI. por la.4.del miTmo esygualalabafís.IB.Pues (obre el centro. I. yelefpacio.I A.(por la.3.petició)defcrito vn circulo pallara por.B.Paflecomo.A BE.Y porq déla extremidad del diame tro. AE.en ángulos reídos fe faco la. AL>Luego(por el coro lario dela.16.del 3). la. AD. toca al circulo. AF, B.Y desde el tocamieto. A.fe eftiéde la. AB. Luego el ángulo. BAD(por la 37.. del mifmo)es ygual al ángulo. ATB.q ella en el fegméto alterno del circulo.Yel ángulo .B AD.esygualal ángulo .C. Luego el ángulo qellaenel fegmento.A TB.es ygualalangu lo.C.Luego ¡obre la linea recia dada. AB.eiladélcrito el feg mentó de circulo.ATB.que recibe vn ángulo ygual al águlo C.que conuino hazer fe. Problema. 6.Propoficion.34. fDevn circulo dado, cortarvn fegmétoqicci Ba vn águlo ygual avn águlo dado reábilineó. <>4s>Sea el circulo dado.ABC.y el ángulo reíliliiieo dado fea D.cóuiene aora del circuló. ABC.cortar vn fegmento qreciba vn ángulo ygual al ángulo. D.Saque le (por la. 17. del. 3.) vna linea qtoque al circulo yfea.E Z.y toque le enel púnelo B.y haga le(por la.z}. del. 1. ) fbbre la linea relia: EZ.yenel púto.B.el angüIó.Z BC,ygual al ángulo. D. Pues porq al cir culo. ABC.letocaviia linea re Ala. EZ.enel püílo.B.y defde el tOcimiento.Bi fe faco.B C. Luego el angulo.Z BC.por la 3a:del.'3.es ygual alangtilo.B 1 terno,y"el.’angiilo.Z BC.'es ygual al ángulo: D. Luego el ángulo qella enelTegmentO.B AC.es ygual al anguIo.D.Luego de el circuIodado.A BC.fe corto el fegmentójB AC. que re cibe vn ángulo ygual al ángulo reiljlineo dado. Lo qual con uinohazerfe.- The" LIBRO TERCERO DE Theorema.stj. Fropoficion .jy, ^Siencl circulo fe cortaré entre íidos lincas redaste! redangulo comprehendido detaxo de las partes de la vna,es ygual al rc&angulo c¡ fe cóprehédc debaxo délas partes déla otra £4En ti circulo. ABC D.cortcnfe entre fíUs dos líneas.AC BD.enclpunño.E.Digo que el reflangulo cóprehendido de baxodcla.AEly de la.EC.es ygual al reñangulocóprehédido debaxo de I la.DE. ydela.EB ' Pues Ji la.A C.y la DB.pallan por el centro demanera q.E.fea centro del circulo. ABC D. Máifiello es íjpucs AE.EC.D E.EB.fon ygualeSjque el redlangrilo.pomprehen dido debaxo de la. AE.y dela.EC.es ygual al reñanguloque fecomprehende debaxo dela.D E. yde la,E B.Eftcn pues la AC.y la. BD.no eftendidaspor clcentro,ytomefeel centro delcirculG.ABC D.y fea.Z.(por Ia,i.del.$,)y defde.Z. fobr? la. AC.y fobre la. DB.lineas reñas tírenle por l?,n. del. i. las perpédiculáres.Z I.Z T.y tiréle.ZBiZC.Z E.Y porq por la. 5. del. 3. la linea refta.Z ¡.tirada por el cetro corta ala linea reña.AC,q no paila por el cétro,é ángulos reñotjcortar la a tibien por médio,lúego ygual es. AI,ala.I C.Y porq la linca redla.A C.eftacortada en partes ygualesenel puño. í,y en defiguales en.E,luego el reñágulo cóprehendido debaxo de la. AE.y dela.E C.juntaméte có aqtquadrado qfe haze de la EI.(por la. f.del. z.es ygual al qfehaze deía.I C. Póngale común el qfeliaze dela.I Z. Luego elqfccópreliéde deis .A E. ^de la ) '-EVCLIDES.? 't65 ydela.E Cautamente con los quadrados délas dos.E I.í Z>es yguaí a!os qfe haze dela.CI.y dela.I Z.Y alo.s qfe hazen de la.E I.y dela4;Ziesygual el qfe haze dla,Z,E(por'la-í4'7’*deI.i. Pero alos qfe haze.dela.C I.y déla. IZ,: es y-gjual el qfe haze dela.Z;C.(por la inifma. Luego el qfe contiene debaxo dé la AE.y dela.E C.iuqtflméte con el qfe haze dela.Z E. es yguaí al qfe haze dela.Z C.y es ygtiAl la.Z C.a Ia,Z B.por fer defde el centro ala circimferecia. Luego el qfe cotiene debaxo de Ja. AE.y dela.E C.juntaméte con el qle haze de la.E Z. es ygualal qfe haze dela.Z B.Y por ello el qfe contiene debaxo dela.D E.y dela.E B.juntainente con el qfe haze dela.Z E.es yguaí al qfe haze de la.Z 13 .Luego el qué fe ccitiene debaxo déla. AE.ydda.E C.jutaméte có el qfe haze dela.Z E.es yguaí al qfe haze de la. ZB. luego el que fe con tiene debaxo de la AE^y de la.E C.juntamente c5 el que fe haze de la.Z E. es ygual al qfe cotiene debaxo dela.ED.y dela.E B.jíkamcte có el qfe haze dela.Z E.quitefe por comú el qfe haze de la.Z E. Luego el reótangulo qrelia cóprehendido debaxo déla. AE ydela.E C.es yguaí «al re&iigulo coprehendido debaxo déla DE.y de la.E B.luego (i enel circulo fe cortare. Entreli dos li neas re¿las,cl re&angulo coprehedido debaxo de las partes déla vnaes yguaí al reólahgulo q.í'e compréhede debaxo de las partes déla otra.Lo quarconuinó demollrar fe. Thcbrema^Pi Propófícion.3 6. <j~Si fuera: deIcircuíale toma algún pundto: y defclcicl alia el circulo cayeren dos-lincas re - 6fcis,y la vna deilas:cortare al circuio,yla otra le toca,cl re&angulo que cscomprehendiáo debaxo de todá lu que Corta,yla qes tomada de fuera entre el pundio yla circunferida cur na es yguaí al quadrado qfe haze déla qtoca Fuer LIBRO TERCERO DE Fuer* del circulo. A B C.tome fe algún punño yfea, D. y defdeelinifmo.D.afta elcirculo.A BC.cayan las dos lineas reñas, DCA.D B.y corte al circulo.ABC.Ia linea reña .D CÁ.y la.B D.toqiíele.Digo que el reftangulo compreheñdido debaxo déla.AD.y de la.DC.es ygual al quadrado quefe hazedela.B D,La linea reña. DCA.o ella tirada por el cetro ono,Efte lo primerotirada por el cctro,y (por Ia.i.<fl.j.)fea Z.cl cetro del circulo,ABC.y tirefe.ZB.Luego el ágtilo.ZBD es reño.Yporque lalínea reña. AC.eftadiuidida pormedio en.Z.y le efta pegadala linea reña.C D.el que es contenido debaxo dela.A D.y dela.D C.juntamentecon el que fe haze dela.Z C.es ygual al que fe haze dela.Z D.Cpor.la. fi.del.z.) y es ygual la.ZC.a la.ZB .por fer del centro ala circunferencia, Luego el que fe contiene debaxo de la. AD.Y déla. DC. juntamente con el que fe haze dela.Z B.es ygual al que fe ha zedela.Z D.y es ygual el que fe hace de la. ZD. alos que fe hazen dela.Z B.y de la.B D(por la.47.del.r.)porq el ángulo, 7.BD.es reño.Luego el qfe cótíene debaxo de.AD.y de la. C.juntaméte có él qfehazedeIa.ZB.es ygual alos qfeha :n dela.Z B.y de la.BD.Qirite fe por comú el qfe haze de la ZB. EVCLTDBS <¡ 7- ZB,luego el qrefta debaxo déla. AD.y dela.D C.es ygual a! <j. fe haze cfla.D B.q toca .Pero la linea refta. DCA. No fea tirada por el centro clel circulo. AEC,y por la. i. del. j.íea.Ej centro del circüló.AB C,y defde.E.fobre.A C.por la.u.dsl.t tírele la. perpendicular,E^.y tirenfe.EB.EC.ED.E spues re ño el ángulo..EZ D.y porque la linea reña.E Z. tirada por el centro(por la, ;.dc1.V)c o rtaen ángulos reños ala linca. A C,no tirada por el centro ,corta la también por medio, lúe goda. AZ. es ygual ala.Z C.Y porque la linea reña. AC.es di uididapor medio ene! punño.Z.yle eftu pegadala linea.C D luego elqne es contenido debajo dela.AD.y dela.D C.junta mente con el que le haze dela.Z C.es ygual al que fe haze de la.Z D.(por la.ú.del.a .Pongafe por común el que fe haze de la.Z E.luego el que es contenido debaxo dela.D A.y déla. D C.juntamente con los que fehazen dela.EZ.y dela.Z C. fon ygu ales alos qfe hazeu dela.ZDy de!a.ZE.Y aios qfe hazéde la.ZD.y déla ZE es ygual elq fe haze dela.DE.por la.47.deh1 portpiees reño el ángulo. EZD.y alos que fe hacen déla. C. Z.y déla ZE.por la indina es ygual el qle haze dela.C E.luego el que fe contiene debaxo déla.AD.y dela.DC.juntamen te con el que fe haze dela.E C.es ygual al que fe haze déla .E D.yes ygual la.E C.ala.E B.por fer del centro ala circunferí cia.Luego el que es contenido debajo déla. AD.y déla. DC. juntamente con el que fe haze dela.E B.es ygual al que fe ha ze dela.ED.Y al que fe haze dela.E D,por la.47.del .1 .fon yguales los que fe hazen dela.E B.y dela.B D.porque el ángulo. EB D.es reño.Luego el que es contenido dela.AD.y déla DC.jtintanientecoiielquele haze dela.E Bes ygual alos q fe hazen dela.E B.y dela.B D.Quitefe por comíi el que fe ha ce dela.E B.lücgo el redante que fe contiene debaxo déla. A D.y dela.DC.es ygual al que fe haze déla,DB, Luego (i fuera del circulo fe toma algún puliólo. Ylo demas que fe ligue, lo qual conuino demoftrafe. Theoréma.31. Fropofició. 37. Si fuera LIBRO QVARTO DE AKB.es ygual al ángulo. DELluego el ángulo .AMB.que reft aes ygual al ángulo que refta.D EZ.Dé la mifma manera-fe demoltrara que también.el ángulo LNM. es ygual al á guio .D ZE.luego el ángulo qué relta.M LN.es ygual al ángulo que refta.E DZ.luego el triangulo.L MN. es el equian guio al triangulo.D EZ.y deícribeíe al derredor del circulo ABC.luegoal derredor de vn circulo dado ella defcrito vn triangulo sequianguloa yn.triangulo dado.Lo qijal cóuenia hacerle..- Problema;^. Propofició. 4. fEn vn triangulo dado deícribirvn circulo. Pb> Sea el triágulo dado. ABC.es menelter eñl. triágulo. AB C.d efcrjbk rn circulo.Cortenfefpor la:p:deLi.).Ios:ángulos ABC.A CB.por medio con las lineas rectas. BD.D C.q con curran enel punílo.D.y faquenfepor la: n.del,i3defde elpú flo.D.fobrelas mifmas lineas reflras.A B-B C.C A, las perpé diculares.D E.D Z. DI.y porqués ygual el ángulo. ABD,al • angulo.CB D.y el angulo.B E. D/eílo esygual al ángulo re fio.B ZD.Sóu ya los dos tria gulosrEB D.Z.BD,que tiene los dos ángulos yguales alos dos águlos^yel vn lado ygual alvn ladóesa.faber.B D.él ql es común,a.ellosy oppueíto aci Jos ángulos ygtiales.Luego los demas lados(porla.a<5. del. 1. tendrán yguales alos demas lados.Luego la^D E. es ygual a la.D Z.y por ello tambienla.DJ.es ygnal ala.DZ.por lo ql también la.DE.es ygual ala.D Lluego las tres.D E.DZ. DI. fon yguales entre fi(par la primera común fentencia) luego defcripto vn circulo fobre el centro.D.fegun el eipacio.D E aDZ.oD í.padara por los demas púnelos ytocara aLas liareis reblas. AB.BC.CA.porquelos ángulos que citan en los EVCLIDES, 7>- enlos punños.E ZI.fon reídos.Porque fi las corta ,carra en el circulo la linea facada en ángulos reños déla extremidad del diámetro del circulo,lo qual fer impoflible fe vio claro a rriba en Ta-.16.del.) .luego el circulo defcrito fobre el centro D.y el efpacio.D E.0DZ.0D 1.no corta alas lineas reñas AB.B C.C A.Luego tocar las a, por el corelario de la tnifma, yeftara defcrito el circulo enel triangulo. ABC.Luego en c-I triangulo dado. ABC.efta defcrito el circulo.E ZI.lO qual có uenia hazerfc. Problema.;. :Propoficion. «fAl derredor de vn triangulo dado deferibir vn círculo. ík’Sea el triangulo dado. A BC. conuiene al derredor de el triangulo dado .ABC. deferibir vn circulo. Corten fe las lineas rectas. A'B.A C, porinediodn lüspuriños.D ¡,. E(por la decimadelpiimero : ydefdelospunñQs.P.É.fá- <¡nenfefporla.i 1..del primero) DZ¿E¡ Z. en ángulos reños fobre.A B.A Cyellas couc lo. ABC.o en la lihea reña.BC.o fuera de la linea rebla. BC Concurran pues lo primero dentro del mifmo triangulo en elpun&o.Z.y tiren lefpor la primerapeticion).Z B.Z C.ZA yporque es ygnal la, 4D.a la,B D,y común la. DZ.y eu alíf gulos reños.Luego labalis. AZ(por la quarta del primero ) es yguai'aia balis.Z B,dé la mifma' manera de'mditrarrdmos que también la.C Z,esygual ala. AZ,por lo qual la. ZB. e* K- je, ygnal LIBRO oy'ARTO DE ygnala la.Z C.luego las tres ZAZB.Z C. fonygiúles en tre li.lusg’a loare el centro. Z yel efpacio.Z A.o.Z B.o.ZC. defcrito vn circulo pallara c por los de mas pun£tos:y eftara defcrito el circulo al der redor del triangulo .ABC. defcribafe ya como .ABC. Pero concurran las lineas re ftas.DZ.EZ.fobrela linea re ¿ta.B C.en el punólo. Z.como ella en la leguada deferí pcioiijY tire fe la. AZ.ydemollearemos también de la mifma fuerte que el punteo Z. es el centro del circulo de feripto al derredor del triágulo.AB C.Conciirranpues las lineas recias .DZ.EZ. fuera del mitraotriangulo.ABC.en el pun6lo;Z.otravez¿co ano ella en la tercera defcripcion. tiren fe las lineas*re£las. A Z.Z B.Z C. Yporque también es ygual la. AD.ajla.D B,yco muny en ángulos re6tos la.D Zlluego la batís. AZJ.( por la qrarta del primero es ygual ala batís. EZ.Déla mífina mane ra demoítrareraos también que la,C Z.es ygual ala. AZ.lue gootra vez Cobre el centro.Z.,y el elpaeio. ZA.o.Z B. o.Z C. defcrito vn circulo pallara por los de mas punólos, ycítara defcrito al derredor del triangulo. ABC.defcribafe puesteo mo.A BC.'Iuogo al derredor de vn triangiilo dado cita defcrito vn circuíoslo qual conuenia hazerfe. Corolario eV Yes manifiello que quaiido dentro del trian - guio cae el centro del circulo ,el angulo.B AC. que ella en Sia/or iegmento de circulóles menor que reSto yquando cae. EVCLIDES. 7'z. cae en la linea re$a. BC. el ángulo eílar.do en medio circ tilo es rcólo.Pero qliando cae el centro Aierade la linea reéta.B C.elangulo.B AC.eftando en menor fegmento de circuJo^es mayor que íT&o.Por lo qtial también quando el im guio dado fuere menor que redi o^las lineas redlas. DZ. EZ concurren dentro del miímo triangulo, yquáiido es refío, fobre la. BC. Pero qiuulo mayor qué tedio concurren fuera de la mifma.B C.lo qual conumo liazerfe. Problema. 5. Propoíicion. 6, fEnvn circulo da docíeferibir vn quadrado. í'fciSea el circulo dado/ABCD, es menefter en el clrctilo . ABCD.defcribir vn quadrado .Saquen fe los diámetros delmifmo circulo! ABC D. en ángulos retios entre 11, yfean .AC. BD. yti ren fe ,r, AB. BC. CDI) Á. Y por queesygualla.B E. ala. D, 3E.(por la dfccima quinta de ;b finiciondel primero). Por que.E.es el centro,ycomun yen ángulos retios la, EA. Luego la bafis. AB. (por, la .quartadel primero) esygual ala bafis. AD.ypor ello tambien cada vua de las dos.B C.C Dies yg'ttal acacia vna de las dos.AB.A D. Luego es equilátero el qúadi ¡latero. ABCI). Digo que también retlangulo.Porque la linea retía. BD. es diámetro del circulo. ABCD. Luego ti ángulo es de medio circulo. Luego el ángulo. B A D. es retío (por la 31 .del tercero )y por ello también cada vnode los ángulos contenidos debaxo.de.A BC.BC D.CD A.esretla. Luego K4es redi» LIBRO QVARTODE f?refl.inguto el qnajrilatero. ABC D.y ella de moftrado q también eqnilatei'OjIiiego esquadrado(por la.30. definidor» del. «.) ydefcnpco enel circuí o.A BCD.lo qual comiino hazerlé. Problem a.7. Propoficion. 7. ^"Al derredor de vncirculo dado deícribir vn cpadrado. £ív Sea el circulo Jado. ABC D.es meneiler al derredor del circulo. ABC D. deícribir vn quadrado. Saquefe dos diame tros del circulo. ABCD. en ángulos reci os entre íi,y fean. AC BD.y por los puliólos. A.B.C. D por la 17.del.3* tírenle lineas re« £las que toquen al circulo. AB. CD.y fea.ZK.KT.TLlZ. pues porque la linea reóla.Z l.toca al mifmo circulo. ABCD. enel pü ¿lo.A.y defde el centro. E. baila 7 el púnelo. A.del toca meto lalelalmeareóla.E A. lu ego los ángulos que eíla júto ala. A. fon reólos,por la.i8.del.;. ypor ello también los ángulos que eílan cerca de los puliólos,B. C,D_,fon reólos.yporque el ángulo.AEB.es re6lo>ytambíe el ángulo. EBI.cs reólo. Luego. IT.es palelá al a. AC.por la . 28;deí.r.y por ello también la. AC.es parallela ala.Z K. déla miílna manera también demoílraremos que cada vna délas dos,IZ.T K.es parallela ala^B ED, luego fon paraielogramos,I D, IC.AKjB K.luego ygual es la. IZ.ala,T K.yla.I T. ala.Z K.por la.; 4.del.i-y porqués ygual la. AC,ala,B D.y la AC.es yguala cadavnadías dos,IT. ZK.y la. BD.es ygual acada vna de ias dos.I Z.T K. luego cada vna de las dos.I T ZK, es ygual acada vna délas dos.I Z.TK.luego el quadrila EVCLIDES. 75- tero.Zl.TK.es equilátero. Digo que también reítangulo .Porqtie.IBEA.es pkra,llelogramo3yel ángulo. AEB. es reftojluego'también eslreíío el ángulo. AIB.por la. 34.del.í, déla niifma manera cambien demoltraremos quelos angulos.T.K.Z. Ion vecloSjltiego esreítangulo el qnadrilatero.Z 1TK.v eltá demollrado qne fambiqn '.equilátero,luego es quadradoíy al derredor del circulo. ABCD.elta deferipto. Luego al derredor de vil circulo dado ella delcripto vn qua dradojlo qtial comieaia hazerfe. Problema.8. Propoíicion.S, CEn vn quadrado dado describir vn circulo. Sea el qiiadraiío. ABCD.contiíéne.enel qiujdrado .AB CD.defc-ribir vn circulo, cortefe3por la.io.dei.i. cadaVna if las dos.AB.A D.por medio enlos pun£tos.E.Z.y por elpun Éto3E.tireffe.E Tiparalléla acada Vna délas dos.AB.DG. polla.; i.ucl.ijV por elpiiri£to.Z.tireífe.Z.K,paralela acada vna dejas dos. AD.B C.porLa.j i.del3lluego es paralelogranio cada vno deltos,A K,K- B.A T.T D.A 1.1 D.BIjlCjY B los ladosfuyos conuiene afa bcr los Opueftos fonyguales por-Ia1.54.del primeroy por que AD.es ygual a¡a .A¡r B3yla .AE,es la mitad de la AD,yla3AZ.esla mitadde la, ABjluego ygual es la AE ala ,AZ, por lo qual tamc bien las oppueftas(por la m¡rma)fon yguales. Luego la,Z 1. es ygual ala.EljSemejanteinente también demoltraremos que cada vna délas dbs,I T.I K,es ygual acadavnadlasdos Z1,1E,luego las quatro,lE,IZ,l T,í K, fonyguales entre (i, por la,ijComun fentencia) luegodefcripto vn circulo fobre el centro,l,fegun el elpacio,l É,o,l Z,otlT,o,l, K, pallara tam LIBRO QVART ODE también pos los' demas .punétesy toca'ía alas líhé'as 'feñas. AB.BC.C D.D A.pcirqiielos ángulos qeftail en los puños;. E.Z.T.K.fdn reñoLPorque fi ñoirculocartaaks lineas .AB BC.CD'l) rj.la linea qfetira'é ángulos rcéiíis acije la extre anidad del diámetro caerla dentro,déimiftn.osircijloí,loquál (por la.i6idel;5.)es¡mpb£Gble.Liiegó fofereel tí tíQ.b.y el el" pació. lE.o.IZ.odT.ól.K. detenta vh circulo no corta; alas lincas leñas. AB.B CtDC.D A.luego tocalas^y eíta eñl qua drado.ABCD.luego en vn quadradodadoy lo que de mas fe ligue.Lo qual conuenia hazerfe. Problema, 9,' PropóS(ád.".í*; i'í 9Al derredor de yñ quadrado claclodcícríbir vn circulo. - ¿«.¿Sea elquadrado dádo.A BCD.conuiene ál derredor del fcjnadradb. ABCD.defcribir vn circulo.Tiradas las lineas re cías. AC.B D.cortcn fe entre íien.E.ypórqufe csygiul la.DA ala. AB.y común la.AC.luego las dos.D A.AC. fon yguales alas dos.B A.AC.la vna ala o tra,y la bafis.D C.es ygual ala baiis.B C. Luego el ángulo .D AC(por la.8,del.i,)es ygual al ángulo.BAC. luego el ángulo DAB.efta diuidido por medio con la linea. AC. De la mifina manera también demoftrareinos que cada vno de los ángulos. ABC.B CD.C DA.cftadi uidido por medio con las lineas re&as. AC.I)B. yporque el ángulo. DAB.es ygual al ángulo. ABC.y el ángulo.EAB.es mitad del ángulo.DAB.y el ángulo. ABE.es mitad del angu lo. ABC. luego cUngulo.EAB.eVygual al ángulo, EB A.por 10 qual(por la.ó.del.i.ellado.B A. es ygual al lado. BF.Dc* la miíma manera doraobraremos qcacíá vna tillas dos lineas redas :i;..EVCLIDES. •74 íeíiás.Ei A,E Bieslygual acada vna délas dos.E C.E D. Loegoks.quatr«.E4.&B,ECiED.fonyguales entre fí. Luego fobre el centrd.E.y el dpacio,E A.o.E B.o.E C,o.E D. deferí tovn circulo pallarap.orl6s.de mas ptmcíor. Vfera deferito al derredor del quadrado.ABGD.Defcribafc como, ABC D’.Lnego al derredor de.vn quadrado dado ella deferito vn «¡rcuIo.Lo qüal conuino hazerfe . -Problema, io. 1Propofícion.io. ^Hazcr vn triangulo yjíoíecles que tenga ca da vnó de los ángulos de íobre la bafis dobla dó déí que reíla. #*>Tirefe,rna.linea re £la.AIí.ydiuidafc(por la undécima del.2.) en el pulidlo.C. d,e mane, raque.el reiftfigulo cp: Í irehédidp'dcbaxo de a. AB.y da la.'B G.fea ygual al quadradaque, fe haze de la'.QVV,y lobre el centro, A. yel ef pació, AB. (por la tercera petición) deferibafe el circulo .BDE, yalfidorele éelcirculo BOE.Jíi linea reíla, BD.ygual ala reíla linea. AC.la qual no es.niayprqu® el diámetro delc¡rculo,B D.E. (por la primera del quarto)y tiren le. AD.D C.,y (por la qnintajJol.^.) deferibafe el circulo.A CDE-al derredor del.tciaiigulo. AÓ I). Yporque,el reflangplo que fe contiene dpbaxo. déla, A,B. yde la.B C.es ygual al quadrado que fe haze de la. AC.Pop que LIBRO QVÁRTO DE que .lili fe admitió ello,yla. AOes ygüál aIa¿B D. luego el 2¡ le contiene debaxo de la. AB.y de la.B C.es ygual al quadra do que fe haze de la.B D. Yporque fuera del circulo* ACDE fe toma vn pimólo.B.y defdé el mifmo punÓlo.B.fobre el cu' rulo.ACD E.cayeron las dos lineas reólas .BCA.B D.y la yna deltas le cortay la otra cae,vel contenido debaxo de la AB.y de la.B C.es ygiialalquadrado.de la.B D.luego(por la 37.de!.3. la,B D.toca al circulo. ACDE, Pues porque. BD . le toca en el punélo.D.y delüe el pun£to. D: del tocamiento fe tiro la. DC.Iuego el ángulo.BDC.(por la. 32. del miJipo ) es ygúai al que ella en el Tegmento alterno del circulo yques al aíguIo.D AC.Pues porque esygual.el angulo.,B DC.alan gulo.D AC.pongal’e común el ángulo.CDA. luego^todo el angnlo.B DA.es ygual alos dos agulos.C DA.D AC.y alos dos,C DA.D’,AC,es ygual el ángulo cxterior.B CD(por la 3z.del.i.)luego el ángulo.BDA.es ygual al angulo.B CD. y el angulo.B DA(por la quinta del primero) es ygual al angu lo.CBD.porque el lado. AD(por la quinze definición dél pri mero) es ygual al lado. AB. Por lo qital también el ángulo DBA(por la primera común fentenciaj es ygual al ángulo. ECD.luego fon yguales entre fi los tres anguIos.B DA.D B A.B CD.Y porque es ygual el ángulo.DBC.al angulo.B CD lera también ygual el lado.D B.al lado. DC.y BD(por la fupo(icion)esygual ala.C A.luego también la^C A.es ygual a ía.C D.por lo qual también el ángulo .GDA(por la quinta del primero)es vgual al ángulo. DAC.Luego los ángulos. C DA.D AC.fon el doblo del ángulo,CAD.pero el angulo.B CD-es ygual alos angu1os.CDA.D AC.Iuego tambie el ati guIo.B CD.es el doblo del ángulo.CAD.y es ygual el dngu lo.B CD. acada vno délos dófe angulfo¿s.B DA.DB A. Luego también cada vno de los angúlos.B DA,D BA.es el doblo del angulo.D AB.luego ella hecho el t-riaiigulo yfófceles.A BD.que tiene cada vno de los ángulos de fobre la bafis. DB doblado cjeí que rella.Lo qualcomíino hazerfe. Pioble EVCLIDES. 7í- Problema.i i. Propoíicion.n. avn circulo dado defcribir vn pcntango no ^equilátero y¡equiángulo. pai Sei el circulo dado,A BCDE.cs menefter en el circulo. AB CDE.defcríbir vn pentágono ¡equilátero yequiángulo,tomefe(por la.io.defte) vn trianguloy fofceles, yfea,Z IT.que tenga el angu lo qualquiera'defobre la bafis doblado al q refta,ques.Z.y deferíbafe por la.2.del,4, en el circulo. ABCD. el tri 3gulo,A CD.ygual en ángulos al triangulo,ZIT,de tal manera qal ángulo. Z. fe le ha ga ygual el ángulo. C A D.y cada vnode los dos ángulos. AC D,CDA,fe haga ygual acada vno de los dos angulos.TIy af si cada vnode los dos, ACD,C DA, es el doblo del ángulo, CAD,Corteflé,por lanoiiena del primero cada.' vno clellos dos ángulos.ACD.C DA.por medio có las lineas reñas. C E, DB.y tirenle,A B,B C.CD,D E, EA, puesporq cada vno délos 5gulos,A CD,CD A,es’ el doblo del ángulo,CAD,y ef tá diuididos por medio có las lineas reñas, CE, DB,luego los cinco agidos qfon,DÁC,A CE,E CD,C DB,B DA, fon yguales entre ii,y los ángulos ygualés eftS fobreygúales cir cunferécias,por la,26,del,3,luego fon yguales entre li lascin co circunferencias, AB,B C,G D;D E,E A, yayguales circíi ferentias,por la,2<i,del mifiuo fe eftienden yguales lineas re ñas. Luego las cinco lineas reñas. AB.B C.C D. DE.E A.fó yguales entre fi.Luego equilátero es el petagono. ABCDE. Digo ya que también equiángulo ,porque la circunferencia. AB.es ygual ala circunferencia.D E.Pongafe comim.B CD. Lingo