Abregé de l'arithmetique et de la géométrie de l'ifficier : contenant les quatre premieres opérations de l'arithmétique et les regles de trois et de conpagnie ...

gra see - sitter sante + ABREGÉ D E L'ARITHMETIQUE EDS ADEE LA GÉOMÉTRIE DE L'OFFICIER, CONTENANT Les quatre premieres opérations de l’ & les Reples de Trois & de Compagnie ; les prin- Cipes de la Géométrie les, plus utiles pour l’intelligence & la pratique des Fortifications , & pour ever des Cartes & des Plans ; le toifé des Surfaces, & un abrégé de celui des Solides, Par M. LE BLOND, Maître de Mathématique de Monfeigneur le DUC DE BOURGOGN. SECONDE EDITION, Arithmétique ; A PAT Chez Cr, Ant, JoMBERT , Imprimeutdu Roi pour l’Artillerie & le Génie, rue Dauphine, à l'Image Notre-Dame, M. DCC. LVI11. Avec Approbation 6 Privilège du Roï, Be » pe S + 4 LÉ dk , : 2 nt LES “+ di TIR D is : M à re ee ur à 2 ça , S € db A AZ 1" val rs if dent agi Si 1) )& ‘ L4 Li L : pis ait 210 RS x où c 2 JTE + t miuie? Lo 2065 :99 [IE \ * CA] | DE | 1 CAIN | , AVENT . = LA * Ld : nn “+ É A ! . . t/ , *) Bt À 1 n vi e 1,09 4 , " © et ….— TT shœnre à tie : à pe ” Nr «an ff M AT H£ AVERTISSEMENT. Clsiaur befoin que les. Miitares avent de la Géométrie’. tous les Livres qui traitené de Cette Science ne font pas éga- €ment propres à les engager d'ent aire l'objet de leur application. -€S gros volumes ne convien- Rént guere à ceux qui n’ont pas: contracté l'habitude d'étudier. IE ur faut des Fraités qui joignenç enfemble la clarté & la Hériees On. à tâché de réunir ces deux AVantages dans /’Arithmértique. € la Géométrie de l'Officier ; qu’on Went de donner au public : maïs: Comme cet ouvrage eft trop éten- Au pour ceux qui n'ont pas. le: loifir ou le define de faire une étude férieufe & fuivie de la Géo-- étrie , on a compolé cet abrégé de tour ce qui à paru: le plus: ci ai Le) 4 ABREGÉé DÂRITHMETIQUE deux ; exprimé en chiffres par 3442. 8. On peut confidérer chacun de ces chiffres comme formant une colonné articuliere, & alors le premier de la droite marquera celle des unités ; Le fe cond, en allant de droite à gauche; _celle des dixaines de l'unité , le troifie: ie, en allant: de même vers la gauche la colonne des centaines de l'unité; lé _quatrieme, celle des mille, & ainfi dé fuite, s’il y avoit plus de quatre chiffres: 9. Il fuit de ce qu’en vient de dire: que pour énoncer la valeur d’une quan rité quelconque écrite avec des chiffres, il faut exprimer la valeur de chaqué chiffre , fuivant la colonne dans laquell 1] fe trouve placé. hrs Pour connoître la valeur de cette co lonne, on commencera à compter l& colonnes par celle des’ unités. On dirai cette colonne, unités ( ou, pour fe fef vir de l’expreflion qu’on emploie ordi den) nombres ; à la feconde cof lonne, dixaines ; à la troifieme, cent4l nes ; à la quatrieme, mille ; à la cinqui me, dixaines de mille ; à la fixiem@ centaines de mille, &c. On s'arrètef au dernier chiffre, dont on exprime la valeur relativement à fa colonne, à fucceflivement celle des autres chiffres | _. ÊT De GroMETRIE: Fe] “en TeVenant à Ja colonfe des unités. s at exemple , fi le nombre propofé ER formé-de trois chiffres , COMME 549, € $ étantÀ la troïfieme colonne , qui eft celle des centaines, vaut soo;le 4, qui ER arcalle des dixainies= ya at 403 & oi :+ 93 qui eft à la colonne des unités, vaut fimplement 9 unités, Ainf on éx- Primera «4 S49 Par cng cens quaranteneuf. Si le nombre propofé eft de quatre REMARQUE SUR LE Z'ERG. 10. Le zero n'ayant au Propre, comme on l'a dé point de nombres; Ou, ce qui eft la A Même chofe BE marquer la valeur des iffres qui le précedent vêrs la gauche, at fi l'on à un chiffre quelconque, Comme 4, il ne y 1j 6 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE encore un à la droite du premier, il f8 + trouvera à la colonne des centaines, & il vaudra 400. | 11. D'où il fuir qu’en plaçant un zerd à Ja droite d'un nombre, on multiplié ce nombre par dix, & qu’on le multi® plie par cent, fi on lui en ajoute uf fecond; par mille, f on lui en ajouté trois , &C. 12. Lors donc qu'on énoncera nombre dans lequel 1l y aura un ou pli fieurs zero, on n’exprimera point lé colonnes occupées par ces zero; & di même, lorfqu'on aura un nombre! écrire, ou à marquer avec les chiffres dans lequel toutes les colonnes interm£ diaires n'auront point de valeur , on lé remplira par des zero. Ainfi pour ma quer quatre mille Joixante & dix, -Écrira 4070. 13. Pour énoncer un nombre qui cof tient plus de quatre ou cinq chiffres, 0 le partagera de trois en trois par di ints ou des virgules, en commenéaf par le chiffre de la droite, c’eft-à-diré qu’on mettra le premier point entre lé centaines & les mille, le fecond , entf les centaines de mille & les millions ;4 troïfieme, entre les centaines de m lions, & les milliards , & ainf de fuites € ËT De GEOMETRIR. at exemple, pour le nombre 378, 914, so: pa de neuf chiffres CU mettra un point ou une virgule ue de $ &le 4, & un aütre entre le 9 a ) Ce qui donnera trois divifons. a Premiere à droite fe terminera par les centaines ; la feconde par les centaines € mille , & la troifieme, par les centaines de millions ; de forte que la premiere tranche où divifion de la gauche ne contient que des millions Fes ES feconde, en allant de gauche à droite , des mille ; & la troifieme de la gauche, où la premiere € la droite, des unités; ce qui donne Peaucoup de facilité pour exprimer tout ‘Un coup des nombres compofés d’un grand nombre de chiffres; car il n'y a que la valeur des chiffres de chaque tranche à exprimer, c’eft-à-dire , Celle de 3 chiffres , en ajoutant au dernier le nom eS unités que contient chaque tranche ; ainfi le nombre propofé 378 Sonténant trois tranches, on exprimera d'abord la premiere à gauche, qui eft celle des millions; enfuite, celle des mille ; puis celle des unités ; de forte qu'il fera exprimé pat 378 millions, 914 mille, ox unités. 14. L'énoncé de l’expreffion des nom. TES 16 nomme Ze numérarion ; & après 1V »914, SOI, 8 ABREGÉ D'ÂARITHMETIQUE tout ce que l'on vient de dire fur cé fujer, il fera aifé d’énoncer-la valeur dé toutes. fortes de nombres marqués aved des chiffres , c’eft-à-dire, de les nombrers! & de mème de les écrire avec des chif fres; ce qui fait aufi une partie de l “numération. Mais ce qu'il eft effenriel de remarquer & de bien concevoir, c’ell que toutes les opérations de l'Arithmé tique font fondées fur cette fuppoftiof arbitraire , que chaque unité d’une colonnt en vaut dix dans celle qui La fuit immé diatement à droite, & au contraire qu dix unités d’une colonne n’en valent qu’un dans celle qui la précede immédiatemen à gauche. 4 Pour donner encore.plus de facilité énoncer c a nombrer un nombre exprimi par beaucoup de chiffres , on terminef cet article par la numération du nomb fuivant , 774; 4275 3218, 142, 759, 8 QUe Qu CCE QUE QUE 100 SABRE. RER ÈS DE DE de n DIE die dE à are a” a. an ps a 28" 28 9 pb / EE dé D OH LE à ER hé &F “fé a fs | » + ÈT DE GEOMETRIE.. 9 .doft la valeur eft de 774 quatrilliards, 427 trilliards , 328 billiards , 142 mildiards 759 millions , 842 mille ; s6o Bnités, . = | CRT ES à DE L'ADDITION. I HSE rt eft une opération qui fert à joindre plufieurs nombres de même efpece, pour en former un {eul qui les contienne tous ; lequel fe nomme la fomme ou le rotal de tous les nom- Dres propofés. : > Aiïnfi additionner 26 & 39 ; C'efttrouver 65, qui eft la fomme de 16 & 39e Maniere de faire lAddition. 16. Pour additionner plufeurs nombres donnés ou propofés, on les poferz les uns fous les autres, de maniere que es unités répondent aux unités, ou qu'eles foient dans la même colonne : Ex es dixaines répondent aux dixaines ,; les centa Ines aux centaines, &c, on tirera Enfuite une ligne droite. fous tous ces f . nombres, & on commencera pat ajou- LA Rat da nés D |; Somme 1614 Ÿ me on vient de l’e “ 10 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE, ter enfemble les chiffres de la colonrié des unités, & autant de fois qu'il yau dix unités dans cette colonne , on retien’ dra autant de fois 1 , pour porter dans l4 colonne fuivante ; & on pofera dans Le remiere colonne , fous la ligne tracée# Le nombre qui reftera au deflus de cef dixaines, s’il y en a un; finon, on y por fera un zero. On fera la mème chofe pouf l'addition de toutes les autres colonnes. Soient, par exemple, les trois nom bres, 456, 267 & 891 456 À} \ addirionner. 267 On les pofera les un$ 891 fous les autres ; CO feigner, & on com mencera par addirionner la colonne des unités , en difant, 6 & 7 font 13,&$# font 14; ce qui donne 1 dixaine & 4 de lus. On es 4 dans cette même cof | pe & on retiendra 1 pour la color ne fuivante. Paffant à cette colonne, on dira r dé retenu & $ font 6, & 6 font 12, & 9 font 21: on pofera 1 dans cette fecorià de colonne, & on retiendra 2 pour læ troifieme. Venant donc à cette colonne, on dir# 2 de retenus & 4 font 6, & 2 fonr 8> ET DE GEOMETRIE. 11 & 8 font 16 : on pofera 6, à er tiendra r. Mais comme il n'y à Pas de Quatrieme colonne pour y porter ss Unité, on la pofera à côté de 6 ; Vers là gauche, en Hô. j'avance 1, & On aura 1614 pour la fomume des trois nombres propofés. LS U eft évident, par l'opération, que € nombre qu'on vient de trouver , contient la forme de toutes les unités, de toutes les dixaines, & de toutes les cerr-: taines des nombres propofés , & qu'ainfi il eft égal à tous ces trois nombres pris enfemble, REMARQUES. à 17, Il eft indifférent de commencer à comptér par les chiffres d’en haut, Commé on vient de le faire, o u par les chiffres d’en bas. Mais fi après avoir fair l'addition en comptant par le haut, on la refait en comptant par le bas, & qu’on trouve la même fommie , on pourra regarder l'opération comme faite exatement & fans erreur ; étant pas à préfumer que l'on faffe là même faute en Somptant différemment. À vj ge mg Me + 32 ÂBREGÉ D'ÂRITHMETIQUE. IL 2e 18. Les moyens qu'on emploie pour. examiner fi une opération eft faire exactement, fe nomment Ja preuve ; & les’ raifons dont on fe fert pour faire voir qu'en pratiquant ce qui elt prefcrit pour” l'opération d’une regle, elle répond à l'effet qu'on s’en propofe, fe nomment - R démonftration de la regle. . Ainfi on a démontré l'opération de! l'addition, lorfqu’on a fait voir, ne fuivant ce que la regle prefcrit, la fom me qui en réfulte contient toutes les parties des nombres propofés, c’eft-à- dire qu'elle contient tous ces nombres En pratiquant ce qui a été prefcrir pour l'addition précédente , il fera aifé de faire toutes autres fortes d’additions" Ain il fufhra d'en mettre ici plufieurs" exemples. . | PREMIER ExEMrLe, Somme. ,..124227 7. ÊT by GEOMETRIE. 13 SEcoND ExEMPLE. > ON trouvera le n 10000 Hanovriens. 23550 Allemands. 27450 Ruffiens. 11745 Anglois. 10718 Hollandofs, ——————— ge, Total de l'armée 83473. . " ——— DE L’'ADDITION COMPOSÉE. 19. L'unité ab ftraite ou numérique fe CONÇoit comme une efpece de nombre re d { SNL RM LUE ESS 1 Y } “io AÂGnRECÉ D'ARITHMETIQUÉ. on dira 2 de retenus & 4 font 6, &2 font 8, & $s font 13. Or, comme en 13 il y.a deux fois 6 & 1 de refte, on po | , era x à cette colonne, & l’on portefh \ les deux toifes de retenues à la colonnà à | des toifes, difant 2 & $ font 7, &c. Of achevera enfuite cette addition comm celle des livres, des fols & des deniers ce qui n’a aucune difficulté. | ” f De Addition des autres efpeces. 25. Quelques différentes chofes qué l'on ait à additionner , on en trouvef toujours la fomme en commençant l'opé ration par les plus petites parties dan Le l'unité eft divifée ; on paffef de celles-ci à celles qui font immédiate ment plus grandes, en leur ajoutaf autant d'unités qu'on aura trouvé dé fois, dans la premiere addition , le non bre de parties qu’elles contiennent des plus petites, & ainfi fucceflivementt Jufqu’à ce que l’on foit parvenu aux en tiers , qu'on additionnera comme dal tous les exemples qui précédent. --#" De la Preuve de ? Addition compof{esn , 26. La preuve des additions COMPO fc Me fera de la même maniere qué hun ET-DE GEOMETRIESS 2X celle des additions fimples, c'éft-à-dire, qu'après avoir fait l'opération, En comiençant à compter par les chiffres d en dut, on la fera une feconde fois , en Commençant par Les chiffres d'en bas. Left évident qu'il doit fe trouver la même fomme 2e chacune de ces adltions différentes. On donnera dans 2 fuite une preuve plus réguliere de cette opération, LE DE LA SOUSTRACTION. Nu dv Souftraition eft une opération pat laquelle on retranché un nombre d'un at grand: de mème efpece, pour En connoître la différence. Ain retrancher .ou /ouffraire 28 de 35; Ceft Oter 28 de 35, pour trouver le nombre 7 qui eft la dikérence de ces eux nombres. Cette différence ou cet excédent du plus grand nombre fur le Plus petit, fe nomme au quelquefois de he : IL eft évident que le nombre qu'on veut retrancher d'un autre, doit tou- M 22 ABREGÉ D'ARITRMETIQUEN jouts être plus Pet que ce nombres n'étant pas poflible, par exemple, dû fouftraire 6 de 4, non plus que 12 de 9: &c. É. 28. Pour fouftraire d’un nombre tel qu'on voudra , un autre nombre plus pes tit , on pofera celui-ci fous le plus grands de maniere que les unités , les dixainess les centaines, &c. de ces deux nombres? foient dans les mêmes colonnes, com me dans l'addition, & enfuite on re tranchera de toutes les parties du nonf bre fupérieur , celles de l’inférieur. 29. Par exemple, pour fouftraire dé 6564 2431 Refle 4133. Preuve 6564 fous les dixaines , & après avoir tiré uñf ligne fous le fécond nombre, on dir en commençant par les unités du plf grand nombre ; qui de 4 ôter, refte LEE pofera dans la colonne des unités nfuite , paffant à la feconde colonne? on dira, qui de 6 ôte 3 ,refte ;, quoi pofera dans cette même colonne, con me on le voit dans l'exemple figurêt Paflant à la colonne des centaines ; Of \ d ET DE GEOMETRIE- 23 de ç Ôte 4, refte 1, qu'on pofe. T& auffi dans cette mème colonne. Enfin Sant parvenu à la derniere, on dira, QUI de 6 ôte 2, refte 4, qu'on pofera ans cette derniere colonne, à côté des autres reftess & l’on aura 4133 pour le Telle ou la différence des deux nombres Propofés. dita qui Preuve de la fouftraëtion. 30. Pour faire la preuve de cette rége, il faut remarquer que la différence des deux nombres donnés, ou , ce qui la mème chofe, l'excédent du plus grand fur le plus petit, étant ajonté à ce nombre plus petit, doit le rendre égal au grand , & qu'ainfi fi on a bien opéré, ‘addition du nombre 2431, & du refte 4133, doit donner le nombre fupérieur 6564. Faifant donc cette addition , com- Me elle donne le nombre 6564 , on doit € conclure que la fouftraétion eft faite Exactement. 31 Lorfque les chiffres du nombre à Lt ; Mraire, {e trouvent tous moindres due ceux du nombre dont ils doivent tre fo os Uftaits, comme dans l'exemple È SR vient de voir , la fouftraction fe % Toujours très-facilement : mais lor£. 14. ABREGÉ D'ÂRITHMETIQUE" qu'il s’en trouvera de plus grands danf les colonnes du fecond > que dans les correfpondantes du premier , l'opératiof veut fouftraire 48966. | | Onpofera le fe De 56234 | \ 4 cond fous le pré Ù en. +075 mier, comme danf refle 7278 € l'exemple précêt Preuve 56:34 \ dent, & on dira 7] 7 commençant toif _ jours l'opération pas les unités, qui dé 4 Ôte 6, cela ne € peut; car on ne peulif = d’un nombre quelconque en retranché ou Ôter un plus grand. Pour faire l’opé tation, on prendra une unité fur le” | de la colonne des dixaines, laquellé | étant portée fur. celle des unités, @f 1 vaudra 10, lequel nombre joint avec lé | 4 de cetre colonne des unités , fait 14 R Alors de 14 on peut en ôter 6, & refte 8, qu'on pofera dans la colon des unités. _ 4 fre 3 ne vaut plus que 2 unités de cetf colonne, on dira donc, quide 2 ôte $# ce ET DE GEOMETRIS. 2$ Sela ne fe peut; il faudra prendre une Mité fur le chiffre 2 de la troifieme co- Onne, laquelle unité en vaudra 10 de la feconde, Ces 10 unités jointes aux “x qui reftoient dans cette colonne, Ont r2, Or, qui de 12 Ôte s, refte 7, Qu'on pofera dans la feconde colonne. enant à la troifieme, le chiffre 2ne Vaut plus qu'une unité, Ainf il faut dire, qd de 1 ôte 9, cela ne’ fe peut : il faut RC Avoir recours à la quatrieme colon. > Prendre une unité fur le 6 de cette colonne , laquelle unité en vaudra 10 de celle de Ja troifieme. Ces 10 unités jointes avec celle qui reftoit à cette troi- 1eme colonne > fontir, rie tant 9; refte 2, qu'ou pofera à la troifieme colonne, Allant à près cela à la quatrieme colonne, le 6 ne vaut plus que s unités. Or, qui de s Ôte huit, cela ne fe peut: il ue prendre une unité fur la cinquie- Me colonne, laquelle en vaudra 10 fur l Jatrieme, & ces 10 unités jointes avec les $ qui reftent à cette colonne , Valant à S» on dira, qui de 1 0te8, Se 7, qu'on pofera à cette colonne. RE ainfi parvenu à la cinquieme Colonne . > Qui dans cet exemple eft Ja thicre, | € $ de cette colonne ne vaut 26 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE plus que 4 unités : c'eft pourquoi on dits ui de 4 Ôte 4, refte zero, qu'on po fa fi l'on veut; & n'y ayant plus de À chiffres dans le nombre fupérieur l’opéa ration eft achevée, & l’on à 7278 pouf Fexcédent ou [a différence du premick fur le fecond. | "On en fera la preuve comme dans fé premier exemple, c'eft-à-dire, en ajot tant au fecond nombre la quantité 7 27% dont il differe du premier, & trouva FF l'addition ce premier , il s'enfuit qué opération eft exadte. REMARQUES. L 33. La pratique de cette regle # concevra fort aifément en fe rappellaf ce qu'on a vu dans la numération, à veux dire, qu'une unité d’un nombre vaut 10 fur celui qui le précede imm% diatement à droite. Æ JL. 34 À l'égard de là démonftration # l'opération , elle fe tire clairement del pratique qu’on y a obfervée; car il & clair qu'en prenant la différence de 10! tes Lé$ parties du premier nombre, ên bc ET R GROMETRIE. k #4 telles di {econd, on a la différence du | Plémier au fecond. | ‘our fouftraire de même de 90800, Si: le nombre 17597; Qui de 90800 7”) après Les avoir pofés Ôte 17597 { lun fur l’autre, coméfle 32 me dans Les exem- : RE ples qui précedent , A SALES ee dira d'abord, qui | de zero ôte >, cela ne fe peut. On prendra une unité fur le 8 de la troifieme colonne , laquelle étant pofée fur le premier zero à fa droite, Vaudra 10 unités de la colonne de ce Zero, Prenant enfuite une unité de ces 10 ,il en reftera 9 à la feconde colonne à & l'unité prife à cette feconde , En vau- - dra 10 à La premiere. Ainf, après cet Atrangement, on dira > Qui de 10 Ôte 7, . xeft £ 3» quon pofera dans la premiere colonne, | Sant après à la feconde , fur liquelle On alaiffe 9 unités, on dira, qui de 9 06 9 ,relte 2eto ; Qu'on pofera fous le 9 à l'ordinaire. : au Parvenu à la troifieme colonne où € 8 ne vaut plus que 7, on dira, . qui 7 OA réelle 2 qu'a ofera auf fous le x rl P aflant à k quatrieme, on dira qui B ij —— 28 Apreck D'ARITHMETIQUE. de zero ôte 7, cela ne fe peut. Il faudra prendre une unité fur le 9 de la cinquies me colonne, laquelle unité en vaudra 10 furla quatrieme ; & dire enfuite, qui de 10 Ôte 7, il refte 3, qu'on poferi fous le 7. * Enfin venant à la cinquieme colonné où le 9 ne vaut plus que 8 unités, of dira, qui de 8 Ôte 1, refte 7, qu'of pofera dans cette cinquieme colonnes & l'on aura 73203 pour la différenc@ des deux nombres propofés. On fera lé reuve de cette opération comme dafi És exemples précédens. 1 Si l'on a bien compris ce qui vienf d'être pratiqué dans les deux derniefi exemples, on ne trouvera aucune diffé culté dans les autres qu'on pourra pro! pofer: c'eft pourquoi on fe contenteff d'en joindre ici plufieuts, qui aiderof encore les commençans à fe rendre pli familiere la pratique de la fouftraét10 je Exemples de fouftraitions fimples, Qui de 9000471000 ôte 7178756784 refle 1821714216 Preuve 9000471000 pe | = ET DE GEOMETRIE 29 Qui de 171110011071 ôte 9875678797 TEfle “7234332174 Preuve 1711001 1071 Que" Boodsoose | ôte 1 8340 7079834 refle 6292101660 Preuve 800000000 SOUSTRACTION COMPOSÉ E. 35. La fouftraëtion compofée , eft celle dans ds les entiers fonr accompagnés es parties de l'unité, comme es livres, de fols & de deniers ; les toifes , de pds pouces , &c. 36. Soit té a fomme de 4507 L 12 f Pot On veut fouftraire celle de 3078 Rise dés; Qui de 45071 rf 4d. ôte 3678 18 ‘10 refle 828 13 ( Preuve 45071. af 44. 36 ABrecé D'ARiITHMETrQ 12 x PRE REMA RQU Es. I. 39. Au lieu de 1746 dans le nombf fupérieur, il auroit fallu mettre 1 74) parce que l’année 1746 n’eft révoli qu'au dernier Décembre 1 746. An on a mis une année de trop dans ce nof bre; mais comme on en a mis auffi ù de trop par la même raifon dans l'i F rieur, f. différence de ces deux nombif eft la même que celle qu’on auroit tro ‘# vée en les diminuant chacun d’une unil Leg € 49. Si le nombre des mois du nomb! fupérieur avoit été moindre que cel! de l'inférieur, on autoit pris une uñl fur la colonne des années, c’eft-à-di € qu'on aurois pris 12 mois qu’on autô ajoutés avec les mois du nombre fufi rieur, après quoi l'opération n’auf plus eu aucune difficulté. 1, DE Srcon» Exemprrr. On fuppofe une armée de 56700 of mes, © que dans une bataille il y en eu 374$ de tués, on demande le ré du nombre de l'armée. ET DE GEOMETREE Ï eft évident qu'il faut fouftraire le Cond nombre du premier, & que le réfte donnera le nombre d'hommes dont armée eft compofée après la bataille. Qui de $6700 hommes. , 3745 hommes. refte S295$ hommes. Preuve $6700 hommes. TrRorsiemMe Exemprr. Il a été mené 14r1200 livres de poudre au dernier fiege de Turin ; il en eft reflé 234440 livres ; on demande quel ef? le nombre de livres de poudre qui a été con- Jommé à ce fiege. | “Al eft clair qu'il ne faut que fouftraire des poudres menées devant Turin, la quantité qui en eftreftée , & que Île refte Où la différence de ces deux quantités Onnéra celle de là confommarion qu'on emande. & Le de x411200 livres de poudre. te 234440 1176760 div. pour la confomrr. nee, refle Preuve 1411100 ns 33 ÂBrEcÉ D'ARITIUME TIQUE { De la preuve de l'addition par la Souftraëtion. 4 D ne doit pas l'ignorer , on va fuppléer 16 €n peu de mots à l’omiflion qu'on en A faite. | tbe 22 > 1 A. 41741" 13f 44.1 B 8756 14 re C 8709 10 1G D 9877 IT : E. 8756 19 Gun 40376 le TL. s d. H K RER ner * 36101 03 ï ed x. Soit le nombre marqué par G , l'add tion ou la fomme des nombres mar quê par À,B,C,D&E.,s: l'opération el exacte, G doit être égal À tous lesnomi® bres À, BC, &t. ._ÊT DE GEOMETREE, 9 . Soit faite enfuite une feconde add. OMS CDR E dans laquelle on . #+ " 26 Comprenne pointle nombre À, qu'on ï Pour cela féparé des autres par une ne ponduée, & foir H la fomme de tte feconde addition , il eft évident qu'elle doit être plus petite que la pre- Mere du nombre À, qu'on n'y a point Compris ; enforte que G doit furpaffer € la quantité A! “eft pourquoi, fi l'opération eft exacte, Ôtant de G le nombre H, on doit trouver le nombre A. Faifant donc la fouftraction, on a lenombre K de 42741. 13 L 4 d. Or le nombre A eft Ja même chofe : donc l'addition à été faite fans erreur, c'eft-à-dire - : de G eft la fomme des nombres A, B , C,D&E REMARQUE. 42. L'addition & la fouftraction fe érvent réciproquement de preuve; car a fouftraétion à été prouvée par l’addion, puifqu’on l’a faite en ajoutant au Moindre nombre la différence au plus Stand, & l’on vient de voir que la fouftraction {ert également de preuve à Faddition. re. L S 49 ÂBREcÉ D'ARITHMBTIQUE L V. DE LA MULTIPLICATION. \ 7: AT ULTIPLIER un notnbre paru autre, C'eft prendre le premier autant de fois que l'unité eft contenue dans le fecond. Ainf multiplier 4 par 3, c'eft pren“ dre 4 trois fois, ou, ce qui eft la même chofe , c'eft trouver le nombre 1 2 qui contient autant de fois 4 qu'il y a d’uni: tés dans 3, c'eft-à-dire, 3 fois. | 44. Le nombre que l’on multiplie fe nomme le #uliplié ou le mulriplicande: Celui par lequel on le multiplie fe. nomme le multiplicateur : & le troifie me nombre qu’on trouve par la multiplication des deux premiers, fe nomme le produir. Dans l'exemple de Ia multiplication de 4 par 3, 4 eft le multiplicande, 3 le multiplicateur , & 12 le: produit. REMARQUE. 45. Pour n'être point embarrafé dans la multiplication , il eft abfolument né Re ET DE GEOMÉETRIE. 4 cefaire de fçavoir multiplier par cœur Tout nombre plus petit que 10 par tour Ombre auf au deffous de 10 , c'eft-à- “3 le produit de tous les nombres depuis : jufqu'à ro. = La Table que l’on joint ici peut fervir * apprendre en fort peu de temps la nuktiplication de ces nombres. Il eft à _ Propos, en opérant, d’en avoir une de- Vant foi pour la confulter , jufqu'à ce Que ces petites multiplications d’un Chiffre par un autre chiffre » foient de- Veénues familieres. = nt ln) En LS PS _3| 6! oft2frs/r8l21 ce Dom names Done) PTS PE ee je | mm À manne |. —}015|20/25)30|3 s|40|45 6|12|18 24/30/36|42/48/54 42/49/5616 3 oanal tomes Le Eee 1624/32)40/48| 56/64/72 27136|45154163|72/8+ 282713645154 —— ne 1 46: Pour faire ufage de cette Table, il aut chercher dans le rang fupérieur & chiffre que l'on veut multiplier, & D. 41 Asrecé D'ARITHMETIQUÉ, dans la premiere colonne à gauche, ce f. par lequel on veut le multiplier. 4 trouvera le produit de ces deux chiffré dans la cafe qui fera commune à la @ lonne du multiplicande & an rang di multiplicateur- | À Par exemple, pour multiplier 8 pat fl on cherchera 8 dans le rang du haut 4 la table, & 7 dans la premiere colon de la gauche : on parcourra enfuire # Tang où eft 7, jufqu'à ce qu’on foirp af” venu à la cafe 56, qui répond à la Lu lonne de 8 & au rang de 7. Le nombf# 56 de cette cafe fera le produit def par 7. Il en fera de même de tous 6 autres produits depuis 1 fois x jufqu’ celui de 9 par 9, qui eft 8. ‘4 ee Pratique de la Muitiplicaion. 47: Pour mulipliertel nombre qu'on voudra, comme par exemple, 346 p#l un autre quelconqu“ 345 6,on Pile le mi S À viplicateur 6 fous Produit 1030 \ chiffre $ des unité dE: du multiplicande; À Von tirera enfuite une ligne fous cé? eux nombres. à n dira après cela, € fois s font 39% > & 7 ET DE GEroMETRIE ., 43 On Pofera o à la colonne des unités, & Fon retiendra 3 pour la colonne fuivante, On mulripliera de mème le chiffre 4 des dixaines du multiplicande par 6, en ant, 6 fois 4 font 24, & 3 de rete- Nu font 27, On pofera + à la feconde colonne, & on retiendra 2 pour la fuivante. On paffera à la troifieme colonne , & on dira, 6 fois 3 font 18 , & 2 de retenu font 10. On pofera zero à la colonne des centaines; & comme il n'y a plus de chiffres à multiplier dans le multipli- . cande , on avancéra 2 pour former une quatrieme colonne : ) : ainfi on aura 2070 pour le produit de 34$ par G. DÉMONSTRATION. © Ueft chair par l'opération, que l'on à muluiplié tout le nombre 34% par 6, Puifque toutes fes parties l'ont té par ce même nombre, 48. Pour multiplier de même 18: pes 24, On pofera ces nombres ; fçavoir, € multiplicateur 24 fous le multipli- Cande, & de maniere que les unités foient OUS les unités, & les dixaines fous les IXaines. 44 ABREGÉ D'ARITHMETIQUÉ. Après avoir tiré une ligne fous ces | deux nombres, of. 1781 dira, en commen 24 çant à multiplier Les 7124 N unités du mulriplis re cande par celles du | Ba multiplicateur , ce Produit _42744 ) qui fe pratiquer4, toujours, on diras dis-je, 4 fois 1 font 4, & on pofera # à la colonne des unités. Paffant enfuitén aux dixaines du multiplicande , on dira » 4 fois 8 font 32:0on pofera 2 à la fecon de colonne, & l’on retiendra 3. Allant. après aux centaines du multiplicandes on dira, 4 fois > font 28 ; & 3 de ren tenu font 31 : on pofera 1 à latroifiemé colonne , & on retiendra 3 unités poufl la fuivante , à laquelle étant parvenu # on dira, 4 fois 1 font 4, & 3 de retenl font >, on pofera + à cette quatriemen colonne. On aura alors 7124 pour le produit du multiplicande par 4. ‘4 On multipliera après cela ce mème multiplicande par le fecond chiffre du $ multiplicateur. Pour cet effet on diras. 2 fois 1 font 2, qu'on pofera à la feconde colonne du premier produit, c’eft-à* dire, dans la même que celle du chiffre, ? Par lequel on multiplie. On dit#” a ET DE GEOMETRIE. Enfuite, Paffant à la feconde colonne - du Mültiplicande 2 fois 8 font 16 > On Pofera çà la troifieme colonne du Pise Ut, & on reriendra 1. Allant après à * Hroïfieme colonne du multiplicande, 4,2 fois 7 fontr4, & 1 deretenu l t15;0n pofera s à la quatrieme co- °nne du produit, & l’on retiendra 7 Fons la fuivante. Etant enfin parvenu à éthieré colonne du multiplicande, idita. foie font 2, & 1 de retenu Ont 3, &on pofera zen Pavançant vers k gauche pour former une cinquieme Colonne au produit. On mettra un point ous ‘le hifée 4 des unités du premier Produit, qui fervira à marquer fs exactement que le premier chiffre u fecond Produit ef à la feconde colonne du pre- Mier, & l'on aura pour ce fecond produit 356120. n tirera une ligne fous ces deux Produits, après quoi on les additionnera Enfemble , & l’on tOuvera 42744 pour $ produit total, REMARQUES. I. 49: Quelque nombre de chiffres qu'il Ÿ ait ans le multiplicateur , on multi- ç2 ABrEGÉ D'ARITHMETIQUE colonne du produit; & enfin 3 fois 4 - font 9; on pofera 9 à la fixieme colonne du produit, & lon aura pour le fe, cond produit 901600, avec lequel on \ additionnera le premier, & l’on aura \ 1051750 pour le produit total. \ 22 2: Sur la Preuve de la Multiplication. 7 56: La preuve dela multiplicarion en fait pat une autre opération qu'on ap# \pelle Divifion, dont on parlera dans la fuite : mais en attendant, voici un moyeñ fort fimple de s’aflurer de l'exactitude de l'opération. "40 Ce moyen confifte, après avoir fall la multiplication d’un nombre par us autre, d'en faire une nouvelle avec le" même multiplicande, mais avec un mul tiplicateur double. Il eft clair que cett£n feconde multiplication doit donner ui produit double de la premiere, & quais fi la moitié de ce produit doit être égal® à celui de la premiere multiplication: « Soit, par exemple, $ 303 à multiphél par 374. Ayant fini l'opération & trolls vé 1983322 pour le produit, on pofetis à part le multiplicateur 374, & on g multipliera par 23 ce qui donnera 74 pour celui de la feconde opératiof ET DE GEoMÉTRIS. On Multipliera donc le même multiplieù cande $303 par 539%.) 748: & l’on au- 57 le produit 21212. ne dont 37121; Fe on prendra la p 15909. moitié, en e lOduit 1083323 | mencçant par le ee | Se Pire | de la gauche , di 374 fant : la moitié pi 3 eft 1 pour 2 pou 2,il refte 1 uni- HS & qui étant po- 5303 fée à côté fur le 748 | 9 voifin, vaut 42424 | 10, & *joinre AL ETS avec ce 9; fait 37121. . 19; dont la moiro Gi tié eft o pour 18, B: #4 on pofera.9 fous Preuve: 1983322 }) le 9. Il refte en- \ core une unité, QU étant portée fur la colonne fuivan- De Vaut auf 10 unités de cette colon 2e; lefquelles jointes au 6 qui s'y trou- Ont 16, dont la moitié elt 8 , qu'on po era fous "mA 6. On continuera anftiite 4 4 Prendre la moitié des autres chiffres ü Même produit, en difant, la moitié G 1ij 4 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE de 6 eft 3, qu'on pofera fous le 6 ; puis. encore la moitié de 6 eft 3 : enfuite la moitié de 4 eft 2; puis la moitié de 4. eft encore 2 , & l’on aura ainfi pour la imoirié du produit de la feconde multi” plication 1983312, c’eftA-dire, le pro. duit de la premiere multiplication ; ce qui prouve que chacune de ces opéra“ tions eft exacte, À REMARQUE. s7: Il eft. clair que cette preuve peut être yariée de différentes manieres. On. auroit pu doubler le multiplicande ; &. laiffant le mème multiplicateur ; on au) roit eu dé même dans la feconde Opéra tion un produit double de celui de la premiere. En ,doublant le multipliant de ou le multiplicareur, & prenant 4 moitié de celui de ces deux termes qu'on n'aura pas doublé, il eft évident auf qu'on auroit eu le même produit quéml celui de la premiere opération. à À près rout le détail dans lequel on el] entré jufqu’ici fur la pratique de la mul ciplication, il fuffira de donner quelquesn exemples pour rendre cette pratique fa% miliere ; & pour faire voir l’obferyatio! de tout ce qui a été prefcrit pour cetté! Opération. \N \ a À ET DE GEOMETRIE, , $$ Exemples de Muliplications Jénples. 14 58. La circonférence de la terre fe me- Jüre par celle d'un grand cercle qui ef Vif en 360 parties égales , qu’on nomme DEGRÉS, Chaque degré ef de 25 lieues: °R demande combien la circonférence de 4 £erre a de lieues. » Il eft clair 9° } qu'il faut mul. Fs. tiplier 360 par 1800 À 25, & que le 720. produit 9000, fera la quanti- ——— te mms 1 . Réponfe 9006 lieucssalité de lieues du | ——__ _____- tour delaterre, I I. $9. L'année Julienne ou commune, ef < 365 Jours 6 heures , on demande comlen elle à d'heures. C iv 6 AnRecé D'ARITHMETIQUE Sçachant que le jour eft de 24 heures, x on multipliera 365 A) pat 24, & on ajou= or: tera 6 à la colonne 1460 des unités des pro- À 730: duits ; enfuite on en 6 fera l'addition , qui « | Réponfe 8766h. \ donnera 8266 pour. à PE RENNES le nombre des F4 L res de l’année. | | LT. : 60. On fuppofe une armée compofée de ÿo bataillons de so foldats chacun : & de 84 éfcadrons de 140 cavaliers ; on demande quel eft le nombre d'hommes dé cette armée. ë 0 batail. 84 eftads à 6$o hom. À 140 caval. 1 + 26400 3360 300... .84.. 4 fol. 31500 CaY. 11760 cdval.. 11760 RATE Total 44 260 hom. 660 , & l’on aura 32500 pour le nom On multipliera les so bataillons PA ré d'hommes qu'ils contiennent. | \:13 ET DE GEOMFTRIE. ñ multipliera de même les 84 eféa.. $ par 140, & l’on aura 11760 pour 24 hombre de cavaliers de l’armée : on 1 dton tlônnera après cela les foldats & les Caval: lers, & leur fomme 44260 donnera no mbre d'hommes de toute l’armée. I V. 61, On Jüppofe qu'un Particulier à 25 L, à dé enfér par jour, on demande % Quoi fe monte Jon revenu par an. 36 jours. Il y a 365 jours LS 251. dans l'année; il | Ron. faut donc multire es plier 6e nombre Réponfe 912 — de jours par 25, LAS LE er le produit donnera le nombre demandé, V. 62, On demande combien 325 louis de 4 L. font de livres. M 2 $ lébie 1 faut multiplier x 32$ par 24, & le CRETe produit 78001. fe- 1300 ta le nombre de | 650. livres que valent ; Réponfe +800 1. 325 louis à 241, Wire chacun. Guy 1 58 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE VI 3 63. On demande combien il y a de fol dans 723 L. + 7 7251 La livre yaur 20" à of. /: fols. Il faut donc onfe 1acoof © multiplier 72ç pa Rep ane tésao L 20, & le rdc 14500 fera le nom bre de fols qui font 725 1. | VII 64. Sçavoir combien la livre de 20 foBs contient de deniers. 1 20 f. La livre vaut 24 à 124. fols , & le fol 12 de 40 niers; il faur doné 20. multiplier 210 pa | mr À 12, & le produ Réponfe ART de - 240 fera le P nbré de deniers que contient la livre. Y? 6s. Il fui delà, que pour changé. des livres en deniers, il faudra les mu tiplier par 240. VIII, 66. Le muid d’ayoine contient 12/4 ters de \ ET DE GÉOMETREE. 9 24 boiffeaux ; fçavoir le nombre @e boiffèaux que contient le muid. 42 Spriers. IL eft clair qu'il à 24 Boiffeaux. faut multiplier 48 F3 12 par 24, & que mme 288 Boiffeaux. ne du Muid d'avoine. le produit 298, . donnera le nombre des boiffeaux Ous ces exemples font plus que fuffi- , / fans Pour mettre en état de réfoudre toutes les Hultip] € parties d’unirés, queftions qui concerneront la À en - ication fimple. On va paffer à la À Sn e, ceft-à-dire, à celle dans laquelle le mulriplicateur tés & d eit formé d’uni- MULTIPLICATION COMPOSÉE. | 67: Soit le nombre 27 $ à multiplier RTS | Pa 25 L rs f 25.26€ 60 ÂBREGÉ D'ARITHMETIQUE On pofera le multiplicateur fous le. multiplicande, comme on le voit ici, & on fera d’abord la multiplication par les entiers du multiplicateur, c’eft-à-dire , par2s. | + * On viendra enfuite à la multiplicarion des fols. Pour la faire, on remarquera que fi l’on avoit à multiplier le multiplicande par x livre, le produit feroit le même que le multiplicande, & que comme 1$ fols n'eft que les trois quarts de.20 fols ou d’une livre, le. produit de 275$ par rs fols, doit être les trois quarts de ce qu'il feroit par une livre. Pour prendre les trois quarts de 275; on commencera par en prendre la mo tié pour 10 fols, & enfuite le quart pour « s fols, ou la moitié du produit de 10 fols. On dira donc (commençant toujours par la derniere colonne à gauche du _ multiplicande) la moitié de 2 eft 1, qu'on pofera dans la colonne du 2 du Éhéeliabde ; Ceft-à-dire, dans cet exemple, dans celle des centaines. En- 1 fuite la moitié de 7 ef 3, qu'on pofera auf dans la même colonne qu'oceupe le chiffre > dont on prend la moitié; il refte r unité qui vaut ro étant portée dans la colonne fuivante, & qui par … :: ET DE GEOMETRTE:. 6x Conféquent fair 1 s avec le chiffre sde , tte colonne : on en prendra la moitié fe ef 7, pour 14: on pofera > à la co: LUE des unités. Il en refte r qui eft | Ge ; dont il faut auffi prendre la moi- RÉ TRS US cf 10 fols, qu'il faut pofer “vis les fols du multiplicateur, & 20 le même rang que les livres du prore de 10 fols; le rout ainf que l’exemfi Ple Buré le fait voir : ainfi on à dans : Xemple , pour le produit de 10 fols, . 137 livres 10 fols. + ÈS +8) > Où la moitié de 137 liv. 10 fols ; Cornme la moitié eft plus aifée à pren- _ dre que le quart : on prendra donc pour … 5 lois a moitié de 137 Liv. 10 fols, & ‘3 Cela on dira, là moitié de r'n’eft nt, &,on pofera un point ou zero is e chiffre 1. On portera certe unité .. ? Colonne füivante où elle vaudra è lon tés » qui jointes au 3 de certe coris. feront r 3. On en prendra la moi. à FR QUI eft 6, qu'on pofera fur le 3 : 1 : \ {an : Pa ob "vec les > de cette colonne feront is ll Ont la moitié 8 fe pofera fous le A r -68 AÂBREGÉ D'ARITHMETIQUÉ par le chiffre de la gauche. RC HT f. ; W 122$, = 245. Pour 1of. Rate) Dour \ se". :6E58 Pour. -&1; 424. .710 Produit total 38831. sf. à Ainfi on dira, la moitié de 1 eft M qu’on pofera dans la troifiemie colonnä païce que le : du multiplicande eft da ; cette colonne. On dira après , la molfs de 4eft2, qu'on pofera dans la LA me colonne du 4 ; enfuire la moitié OM _eft 2 pour 4: on pofera 2 dans la co PANEAE des unités : celle qui refte eft un livre qui vaut 20 fols ; on en prendiié} moitié qui eft 10 fols , qu’on pofera 4241 la colonne des fols du mulriplicatél Onaura ainfi 122 1. 10 f. pour le pro00m de 10 fols. 18 On prendra enfuite pour $ fois: moitié du précédent produit de 10 fo a On dira donc, la moitié de 1 n’eft p91% mais en portant cette unité fur la colo ne fuivante, elle vaudra 1 2 avec le 72% cette colonne , dont la moitié et | Pour le : Pllcation, ]] refte encore prendre pour 2 foks, Pour cela , On féparera lechiffre ç des Hnités du multiplicande, des autres chif- :S du même multiplicande par umpoint MIS entre les dixaines & les unités. On °ICra enfuite les autres chiffres du mul- Mplicandé fous le produit de $ fols, ob- Syant de les avancer chacun d’une co- - Pine vers {a droite ; enforte que le Chiffre 2 des centaines du multiplicande 2 mis dans la colonne des dixaines ; ele, qui eft aux dixaines , foit dans » + Colonne des unités; & à l'égard du + ou € 5 des unités, on le doublera en Lane, 2 fois $ font 10, qu'on pofera L* Colonne des fols. | Mrorr.tdditionnera après cela tous les Foduits particuliers de cette opération : 18 9Mmme 38831. sf fera le produit Par 151.17 f. Le … 75° Si l'on à de même à multiplier | 1 70, ABREGÉ D'ARITHMETIQUE " 3109 par 425 livres 6 fols; ‘1 On fera la den ta à l’ordinaiten U il * our les 425 liv. du Se a ; & N Léreon fera parvenu aux {ols ,on preñs \ dra pour $ la quatrieme partie du mul ciplicande, & pour 1 fol fa vingtiémes : 3 10.9 12 par ax hi CLR 1$$45 6218. 12436.. Pour sf. +..0777 $ Pour 1f. ss..16$ 9 Produit total 13222671. af. Pour prendre le quart ou la quil partie du multiplicande 3109 , on pré dra d’abord le quart du premier chififés de la gauche; mais comme le quart 3 n'eft point, on pofera zero dans Q{ colonne du ; du multiplicande ; fou%4 produit des livres. Ces 3. unités de 8} premier chiffre étant portées fur CO qui le fait immédiatement droite ; Ÿ°l dront 30 unités , qui , avec le chiffré} feront 31 , dont le quart eft 7 pour 2 On pofera donc 7 ik colonne du Se fre 1. Il refte: 3 unités qui vaudront ET DE GEOmMEtRIE. 71 fur La colonne voifine ; comme elle eft “emplie Par un zero, iln'ya rien à leur “Jouter. Ainfi on dira ; Le quart de 30 eft [core 7 Pour 28 ; on pofera 7 à la co- °nne des dixainés, & l’on aura > unide refte de cette colonne, qui vaut20 fur la fuivante, & qui , avec ° Chiffre de cette colonne , feront 294. donr le quart eft > pour 28. On Pofera donc > à la colonne des unités, Unité eftante eft une livre , dont le quart Qui eft ç fols, fera pofé à la co- One des fois. Ainfi On aura pour le Oduit de $ fols , ou, ce qui eft la mê- € Chofe, pour le quart du multipliande, 337 liv. s fols. Il refte à préfent à prendre le produit ‘un fol, qui doit donner là moitic de lui que ds 2 fols. 21 féparera d’abord par un. point le ch TE 9 des unités du multiplicande , _ Sautres chiffres qu'il contient , & l’on Prendra 1 moitié des autres qu'on po- Sa fous le produit de s fols, mais obfer. jo d'avancer chaque chiffre d’une co- DS Vers droite. On dira done, la moitié du chiffre 3 1 Multiplicande eft pour 2 : on pofera À 4 colonne des centaines, qui eft P Savancée d’une colonne vers la droite : tés ce 72 ABREGÉ D'ARITHMETIQUÉ ÿ | que le chiffre 3: L'unité qui refte de là moirié de 3, étant portée fur la cou lonne voifine, vaut 10, ce qui, joifils avec le chiffre 1 de cette colonne, fau sr, dont la moitié eft $ pour 10. ON sofera $ à la colonne des dixaines , ë6 Fünité reftante fera portée fur la voifine»s où elle vaudra 10. Or, comme cettôn colonne eft remplie par un zero , 1l ns .a rien à ajouter à ces 10: on en préli ‘ dra doncla moitié, qui eft $, qu'on pos, fera à la colonne des unités. Il n’y a pli qu'à prendre la 20° ne du chiffre des unités 9 , qui a d'abord été féparé des | autres , & pour cela, il n’y a qu'à lepan fer à la colonne des fols, (M. 73:00 Ainf l'on aura pour le produit d’un 199 255 liv. 9 fols. 308) I ne s'agit plus après cela que d'add# j tionner tous ces différens produits pol avoir le produit total ‘1322257 Life 14 fols. été REMARQUE. +71 76. Ayant féparé le chiffre des unit | des autres chiffres du multiplicande Ps un point , on fuppofe que tous les chil À font avancés d’une, colonne à, droit# enforte que celui des dixaines réPObENt après cela à la colonne des unités. uns JL ËT De Gromernre. | - chiffre eft impair , lorfqu'on en prend # Moitié, il refte une unité, qui ainfi SKune livre, dont la moitié, qui eft ro » doir être jointe & p rtée aux fols Sec le chiffre des unités hi multiplican- Mi Ce Pourquoi, fi dans l'exemple : L'on Vient de voir, au lieu d’un zero : aux ixaines du multiplicande ,; Ohavoit °ù où un 3> Où un autre chiffte impair, ü lieu de à moitié de 10 que l’on a eu à Pofer 4 la colonne des unités, on auroit OU la moitié de 1 3, qui eft 6: il auroit Onc refté une livre, dont on auroit pris 4 s OItIé, qui eft 10 fols, qu’on auroit füroit eu 19 fols aux fols. Pour fe rendre cette Pratique bien évidente , il n° ? qu’à pofer à paït le produit de 2 fols, &en Prendre la moitic. Cette moitié fera lient le mème produit quecelui on vient d'indiquer. | ë Mio ion Par livres, fols & deniers 5 OL par Les entiers , É toutes Les par= “es dans lefquelles on Les divife ordi. Wairemenr. À (ra Lorf ue le myltiplicateur à des Mence ve ols & des deniers, on com- Pération par les pie REGÉ D'ARITHMETIQUE As ne fols, & des fols on pafle à la maltiplication des deniers. dr 78. Le produitdes deniers fe prend” | fur celui d’un fol ou de deux Le fol + On prendra fur le produit d'un Bou 6. der fa Ho Pour 4 d. letiers. Pour 2 d. la fixieme partie. Pour 1 d, la douxieme, ; £ Pour $s d. on Prendra pour 4 le tiers Pour 1 le quart du produit de 4.00) ie Pour 7 d. on prendra pour 6 d. la moi: . _ pour un la Jixieme partie du PT oc de 6 d. Pour 8 d. on prendra pour 6 la moitlé G pour 2 le tiers du produit de 6. d OUT 9 d. on prendra pour 6 d. la moi Pour les 3 reflans | [a moiti produit de 6. 14 Pour 10 d. on prendra pour 6 la moitie, Produit d'un fol, 6 Pour 4 le tiers même produit. DL Pour rrd, on Prendra d'abord pour. PUIS pour 3, la moitié du pr odutt d . #3 6 pour Les 2 réflans , Le ciers Produit des 6 d. 10” 80. Si l'on prend Les deniers far leP l duit de 2 fols. n prendra pour ga Quart du produit de 2 Jos, Pour 8 dl tiers, = = LS LS Li = = . se nnnneeee NNNNNN T Dx GEOMETRIM PT la huitieme partie. | UT 4 d. la fixieme partie. Our 2 d, Ja douxieme. Our I d, la Vimpot-quatrieme ; Gé enr Pour 3 4. REMARQUES. J. 81. Comme les commençans ont fous Vent de la difficulté À prendre la douléme & là vingt-quatrieme partie d’un ombre, ils pourront, lorfqu’ils auront * Prendre un denier, fuppofer qu’ils ont + Ou 6 deniers, & prendre enfuite le Quart du produit de 4 deniers, ou la fixieme partie de celui de 6 ; qui donne. font également le produit d’un denier. PAF 82. Lorfque le multiplicateur fe trou= FEfa avoir des deniers , fans avoir des TE ou que le nombre de fes fols n’opligera point de prendre le produit d’un pe ni celui de 2 fols, on fuppofera An de ces produits fur lequel on prendra Les deniers, mais on le biffera par Un trait de plume , pour ne point le com- Prendre dans l'addition des différens pro- Mts de la muli plication. Dij nn. 16 Anrecé D'ARTTHMrTIQUE Exemples dé multiplication Jols & deniers. 83. Soit 1300 À multi if sd. Après avoir fait | par livres » plier par 25 live | a multiplication paf les livres & les fols » Qui ont donné Es produit d'un {ol , on viendra aux denief que l’on prendra fur le produit d’un fol: qui, dans cet exemple, eft de 65 Live (l 1300: th! 4 254 1rf sd. ne rem 6500 2600. Pour 1of. ., Pois Aa 6 O Pour 4d.,..27 17 7 # Pour 14 DR 422 ; SR NET oO RAR Produit 33242], FES E 8 d | ne, On prendra d’abord pour 4 denié® le tiers de ce produit. Pour cet effet Fa dira , le tiers de 6 eft2, qu'on poser fous le 6 & dans la même colonne. En fuite le tiers de s eft x pour 3, &il Lee fa 2. On pofera 1 fous le s ; &lon Les tra les 2 unités reftantes aux fols. ES vaudront 40 fols : on en prendra le cigf$# \ : LS ÊT DE GEOMETRIE > / qui eft 13 pour 39 : on pofera donc 13 x ls Il rte te fol, qui vaut 12 de- DES ; Le tiers en eft 4, qu'on portera à ) & Colonne des denièrs, & l’on aura ain- y 21 Liv. 13 fols 4 den. pour le produit $ Quatre deniers. Fa KE: … lefte À prendre le produit d’un de- Aer >, C'eft-à-dire, le quart de celui de 4. A dira donc, le quart de 2 n’eftpoint, l'on pofera zero fous le 2. Mais ce Chiffre porté à la colonne des unités vaut EUX dixaines ou vingt unités, qui join- TES avec Le chiffre 1 de cette colonne, Ont 21,, dont le quart eft &, qu'on po- £fa à la.colonne des-unités. Hrefte une _ Mvre qu'on portera aux fols : & qui join- _ fes avec les 13 fols du précédent .pro- Mit, fait 33 fols: onen prendra le quart, ALeft 8 pour 32, & on pofera 8 aux Ols, I] refte un fol, qui vaut 12 deniers, è « . J LA Nan joindras avec les 4 du précédent Fléduit ; ce qui donnera 16 deniers, Ont le quarteft 4 , qu’on pofera fous le du produit de 4 deniers : on addition- a enfuite tous ces différens produits , Ont la fomme fera 33242 liv.11.8d.. 4 Pour multiplier 3045 par 2p3 lv. or 7 d. , On commencera de même la Multiplication par les Liv. & par les fols; “IS comme les fols ne donnent point Di * + ÂBREGÉ D'Aritume rer faut multiplier par le nombre de j que les chevaux ont été employés. "Yt0o So. d ce à 1lu1s f, 6:98 Rose 1200 Pour 10 fols.,... +. 600 Pour fon na À 300 “Faux produir dun fol . à 68 « Pour fix deniers. ‘30 Dép. par jour des ch *.2130l, Us ont éré employés 6 mois & demi» “qui contiennent, fcavoir ; AMUH Sr | sus 30 Pi Mat in 31 Jin es ne 30 Juiller. . no EE Août Me TRUE. Septembre , ,., + 30 Et pour O&tobre . |! | Total 198 jour Il ne s'agit plus à préfent que de sauf tiplier ces 198 jours. pat la dépenfed'ut jou, c'eftà-dire, Pat 2130 liy. po Avoir Ja dépenfe demandée. CET DE GÉOMETRIES CS à 198 ous A | 2130]. 5940 198 ce 3 D: or fPenfe totale 4217401. FI SS. | 88. Lorfque Le boifféau -davoine fe | ’end > fois 8 deniers, on demande # | Sblen revient le muid , qui en contient LA L ni Il eft clair qu'il ne faut que multi Pier 288 hoiffeaux par 7 fols 8 deniers. 288 Boiffeaux. dd: ol7f5d, Pour $ f. Es. Pour 2 f. 28 ’r6 Pour 8 d. 09 12 Réponfe 1101 S8f ILE PRE Un Officier a une ordonnance de rte + à recevoir , fur laquelle on doit UT le dixieme & Les 4 deniers pour ! ù "Æ 86 Avrecé D'RRITHMETTQUE, livre 3 Jeavoir à quoi Je re * deux retenues , & le produit net de | . donnance. H faut d'abord prendre le dixiemc® 800 iv. pour cela, il ne faut qi trancher le premier zero de Le drag ë 1l reftera$o, qui fera Ja dixiemeP?, tie de 800 , ou le produit de ce nom? par z{ols. A l'égard des 4 deniers, Cie me ils font la fixieme partie du pro fi de 2 Sols, ils doivent prodnire la partie de 8o < > qui eft 13 liv, ç L 84 Aïnfi l’on aura pour TF4 Ie dixieme de 300. 8ol. our le produit des 0 4 deniers pour livre. 331 6f Foie = de For. des deux retenues 9316122 f Préfentement fi de 800 livres on À Ouftrait 93 liv. 6 f. 8 den. le refte7 4 Hv. 13 {4 den. fera le produit nef Fordonnance de 800 liv. Qui de oof. | CUT ASSISES ETS 8 d. | réfle 7061. : 21. ds lee" "PÉSNER - Preuve: Sool. Preuve T DE GPOMETRIE 3% IVe, 20. Trouver la dépenfé totale ou le fond de de ds néceffaire pour Pentretien dur SMEnt de cavalerie , de dragons ot in 4nterie pendant uné année. Da pour cela fçavoir le nombre des pofés S dont chaque compagnie eft comtue celui des différens officiers qui y LS Attachés, & la paie qui leur ef ac- Es ée à chacun par le Roi ;, Ce qui étant Mau, on peut trouver aifément la dé- Penfe de route la compagnie dans un jour, celle de la compagnie dansunan, en Multipliant la dépenfe d’un jour par 365: Burs, Ayant ainifi la dépenfe d’une com- Papnie pendant une année , on aura celle € toutes les compagnies du régiment, £a multipliant la dépenfe d’une com- Pignie par le nombre des autres ; ce qui: aucune difficulté, 91. I eft clair qu'on peut parlà *Voir la dépenfe torale de route une ar ri Pendant une année, ou pendant tel Ombre de jours que l’on veut ; car lorf- Ë © connoîtra la dépenfe particuliere: o tous les. différens. corps. dont elle eft -Mpofée , l'addition de ces dépenfes: “nera celle de toute l'armée ; ce qui ni L.. è # de par leque SA Divifeur | & celw qui fait connoitf” 7 88 AsnecéD'Anrrumer ous, paroît trop clair & trop facile pour is: | titer d'entrer à-deflus dans un pl | grand détail. | 7 | V. 4 D "270 wi DIVISION, 92. D: VPISER un nombre paf 1 autre , c'eft en chercher un troifiengs, qui ÿ foit contenu autant de fois due. l'unité eft contenu dans le fecond. - É ÂAïnfi divifer 12 par 4, c’eft ché cher lé nombre 3 qui eft contenu 4 108 dans 12, c'eft-À dire , autant de fois dl le fecond 4 contient l'unité. 7 Le nombre 3 étant contenu 4 fois dans 12, en eft le quart ; s’il y étoit A tenu s fois, il en feroit la cinquieme P#. tie, &c. D'où il fuir que divifer un n0® le par Un autre, c’eft aufli le parta8®] En autant de parties égales que le fecol nombre contient d'unités. à 93: Le nombre À divifer fa nom Dividende ; celui par lequel on divile” combien de fois le dividende contigf 3kQ le divic Fine GrzOMETRIE: 89 leur, fe nomme le Quotient. = l'exemple de r2à divifer paf 45 ? eft le dividende , 4 le divifeur , & Uotient, | On fuppofe qu'on fçait divifer par Ut tout nombre moindre que 100 4 tout nombre moindre que 10 ; & Pour faire enténdre plus clairement les OL divifion ; on les fera précéee un exemple d’où on pourra les dé- Ut | Cœ ExEmpre d'une divifion dans laquelle de divifeur n’a qu'un chiffre. 94. Soit le nombre de 772 ädivifer Pr. Dividende 772 Quotient. Divifeur 4 | 193 4 1.2 4 (0) On tracera à-côté de ce nombre, vers fOlte, une petite Le comine on AFIN 4 . “ Voit Ci-deflus ; on pofera à la droite de ue à 90 ABREGÉ D'À RITHMETIQU 4 cette ligne PE chiffres. qu'on crouverr _pour le quorient. ; - On écrira le divifeur 4 fous le piée snier chiffre > de la gauche du EL dende, & l’on marquera un point fus © chiffre. Me: A Cec His t'onicommencers l'opéri tion de la divifion, en difant, e0/ combien de fois 4, on trouvera q Le eft 1 fois. On pofera 1 au quone? on multipliera le divifeur 4 par ce € re, & l’on en retranchera le produit? du nombre 7 , il reftera 3, quon pol dans la même colonne du chiffre 7334 le divifeur 4. | On marquera enfuiteun point face cond chiffre du dividende , en compta”. e gauche à droite, & on abaifer2 © chiffre à côté du refte 3. On avance” le divifeur d’une colonne vers la droite C'eft -à- dire, qu'on le pofera fous, chiffre 7 qu'on vient d'abaiffer , & me dira, joignant le refte 3 avec ce ce fre, en 37 combien de fois 4 : Où Br vera qu'on pofera-au quotient , à du premier chiffre, On multipliera 9 p 4, en difant : 9 multiplié par 4 fait à é qui étant ôté de 37, il refter , dU pofera fous la feconde pofition du dis” feur 4. | ET DE GEOMETRIE. ._ 0% chi, Mquera un point fur le rroifieme Ta enf, = du dividende , & on l'abaileét à côté du fecond refte 1. On 4 ne le divifeur 4, en l’avançant d’uqu] ne vers la droite ; de maniere d'a Re fous le chiffre 2 qu'on vient " Fe ee & l’on dira, joignant le refte Hibe chiffre 2, en 12 combien de tee > il y eft 3, qu'on pofera au quoes On multiphiera 3 par 4, cé qui + NE 12, qui étant retranché du refte :? du dividende, il ne refte rien. .-0mme il n’y a plus de cffres à ab- Aller dans le dividende , la divifon eft “evée , & le quotient 193 fait voir Me dans 772 il y a 193 fois 4 Preuve de la divifion. La preuve de la divifion fe fait en Atipliant le quotient par le divifeur, dique le produit fe trouve’égal au ende, lopération eft exacte. tom Pique le quotient exprime le tien ie de fois que le dividende coniledivifeur, ce nombrede fois mulpli é P Lié par Le divifeur , doit donner le: diénde, : 4 DE Agrecé D'AntTHMETIQUE Quotient 193 Divifeur 4 Preuve 22H08» St après la derniere opérati®® d'une divifion il yaunrefte, où l'ajo À tera , pour la preuve , au produit dui db tent par Le divifeur. | ie Par exemple, fi on divife 4378 PT % Oh trouvera le quotient 875, Ye refte 3 ; & pour la preuve, on moe | pliera 87 $ Pat s ,; & on ajoutera 3 ds produit 4376, à la colonne des unif avec lequel on l'additionneta. 4378 {87 s | 3:7 $ ren 2,8 4 refie 3 Prenve 87$ S rent 2 437$ “ refle ns 3 Produis 4378 égal au dividende ‘0 ÊT DE GEOMETRIE: 0. 9% enr. donnera dans la fuire la maniere = Pller au auot: ’une di-- vid : quotient le refte d e REMARQUES. I. de Les points que l’on met fur les conn du dividende , fervent à faire A OItre ceux qui ont déja été divifes, $ Qui refte à divifer du dividende. RE ee Loi UE : 27: Le divifeur change de place à que opération, en avançant toujours ne colonne vers la droite, Sa pre- | | lre pofition eft fous la premiere co- _ ‘ne du dividende, à moins que le Are du dividende qui occupe cette ( ere , ne foit de moindre valeur que pe M du divifeur ; car autrement on End pour la premiere colonne du diend le fecond chiffre, en allant de chi © droite, & alors le prèmier lo du divifeur fe place fous certe coh > ainfi qu'on a pu l'obferver dans _… Pécédente opération. t III, d' ee Si dans une des opérations de {a "90; il ne fe trouve point de refte, 100 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE, droit 3 fois 237 , au lieu qu’on a vu d* ne le contient que 2. 00 On déterminera de la même manie le nombre de fois que chaque parti dividende de toute divifion contient le divifeur qui fera placé fous cette B£ b tie, & on obfervera, comme on VI. deja dele faire, que le refte de cage Opération doit être toujours moindre’ le divifeur. S'il étoit égal ou plus gra ? le chiffre. pofé au quotient feroit ! petit. Les regles qu'on vient d'expligi contiennent aflez exactement tout, pratique de la divifion. I ne s'agit $, que de les appliquer à des exemp pour aider les commençans à fe les h dre plus familieres, ee 102, Soit le nombre 118168 à dl fer par 20. af On pofera vers la gauche le avi 29, fçavoir fous le fecond & le tf0! f me chiffre du dividende, parce gui premier chiffre du divifeur eft plus 8! Fe que le premier du dividende, On me ss des points fur ces trois premiers hifi, & on cherchera après, comme 9 y enfeigné ci-devant, combien 115 tient de fois 29, on trouvera 4 FOIS. pofera 4 au quotient, & encore ot chig ÊT DE GErOMETRIE. or 2 ire 9 du divifeur , pour multiplier to 4, ce qui donnera le produit 2 t qu'on fouftraira de 118, &1lref- €ta deux, « | Dividende 118 en Quotients Diifeur 19 | 4074. 4 ns I*126 1, Refleo o 2.1 6 ie ; a RRrs 2:83 Refte | or 3.8 z 9 4 dos - ME PTE 3°, & dern, Ref, o 2 2 d On abaiffera le quatrieme chiffre 1 du Widende À côté du refte2, & dans fa RE Me colonne, avec lequel refte il fera > & comme ce nombre elt plus petit de le divifeur 29, on pofera zero au iotienc , & l’on abaiffera à côté de 21 “iquieme chiffre 6 du dividende, A fera » avec les 2 chiffres 1 & 2 E iij ‘102 Asnae DARITAMETI QUE qui le précédent, 216, On fera paf a le divifeur de deux colonnes, c'e ps dire, qu’on le pofera fous les cie & 6 de 216, & l’on cherchera enfl en 216 combien il y a de fois 29: f . trouvera 7 , qu'on pofera au quonéte? & encore fous le chiffre 9 du diviféis pout fervir de multiplicateur à ce ui feur., lequel donnéra ainf le PIS 203; qu'on retranchera de 216 ;, reftera 13 pour le fecond refte. je On abaiffera À côté du refte 13 " dernier chiffre 8 du dividende , qui fe avec cerefte, 138. On pofera 29 fois 38, & l'on cherchera combien de : 29 eft contenu dans 138. On trot . 4» Qu'on pofera au quotient, & 2 on ous le o du divifeur par 4 ; ce ASS nera le produit 116, qu'on foutre ‘de 138, & il reftera 22 pour le ro. me & dernier tefte, : de S'il y avoit un plus grand nombre + chiffres au dividende : l'opératio® te Continueroit de la même maniere si fe feroit auffi également quand le PAS eur auroït un plus grand nombre ©. chiffres que dans cet exemple. 0! On fera la preuve de cette Opéra je en multipliant le quotient 4074 Pas ivifeur 20, & l’on ajoutera le def” refte 2: au produit, / ET DE GEOMETRIE 103 7 ,. 4074 7 Dernier refle: 22 Preuve 118168 ————— 193, Soit de même à diviler 947038 par 37e SPA à 9470 3 : | PA : 24 at, refle 2 ©.7 3 7 Le ÿ 1 8 PF 2€,refle ©22.0 327 $ nan eee * 1 8 S Jferefle 0353 ce Es D 9 179165$ ——— 76785. & _ 33% | dernier refte 23 45, Éee refre ide Preuve 947038 f I &r 58, 6 der. refle 023 SET NP Eiv 104 ÂAgrecé D'ARITHMETIQUÉ On cherchera d’abord combien les deux premiers chiffres de la gauche d8 dividende , contiennent de fois 37. trouvera 2 fois. On pofera 2 au quo! tient, & encore fous le fecond chiffre du divifeur 5 On multipliera 37 par 2° ce qui donnera le produit 74 , quo fouftraira de 94, & l’on aura 20 PO le refte de la premiere fouftraction. | On abaiffera enfüite le troifieme ch F fre > du dividende à côté du prenié refte, avec lequel il fera 207, à GE. pe era le Terre fous ce nombre » € avançant d’une colonne vers la droit£? c'eft à-dire, fous le zero & fous le 7' on cherchera enfuite combien 207 COP Uennent de fois 37 : ontrouvera ç, quo pofera au quotient, & encore fous Je 7 du divifeur , pour lui fervir de multiph Cateur : on aura après la multiplication? é. produit 185, qu'on fonftrair 207, & l’on aura le fecond refte 22. On abaiffera à côté du fecond relié 22 Île quatrieme chiffre zero du div’ ende, qui fera valoir ce refte 220 : 0 pofera le divifeur 37 fous les deux def” ruers chiffres de ce nombre , & l’on chef” Chera combien de foisil y fera content! On trouvera s, qu'on pofera au qu tent & fous le > du tee On multf een Pliera Le dvi SÉCHREAERS ne É ivifeur par s ; & l’on retran- Mc FROUEE 138$ de 220 ; ce que achève lé troifieme _refte 35. L'on on L, fa enfuite l'opération ROUE Due de dans l'exemple précédent , êc ur +, xemple figuré le fair voir. On Pour Opération étant achevée, 1$$59$ it £ quotient de 947038 divifé par te Ceft le nombre de fois que 37 eft Fénu dans ce nombre. Autres exemples de divifion. D: : DURS EEE Lie - vid. 100000 $ 1327? ‘ Puf 450 Se Z A 900 %, zeflé 100.0 #s0 113 É 450 i 300 11100 2 refle 100.0 8838 LT ] 4 so dernier réfle ro. Z Preuve to00000 900 8 nt) + 6 der, rejte 100 Ey 106 ABREGÉ D'ARITHMETIQUÉ. " ; se Dipid. 5781010. 20003 Divif. 2.89 è $ 2 0003 578] ||| De rit, refle 000,1.0.1.0 ci k 3 89 r 60024! 3 L 4009 ? = 8 67 dernier refte 142 dern, refie 578101? 143 Preuve 5787 Divid. 7100000 + 6200 } 00 Divif. 1200 00 I 6 200 7200 FE zer relle RE: « | RE 4 = Prenye 7 2009 REMARQUE. 104. Dans ce dernier exemple . Quatre premiers chiffres du ‘divideñ CoOntiennent exaétement où fans 1€ 1 le hvifeur ; enforte qu'après la pren Ke Opération , 1l ne refte rien. Or , il do’ y avoir autant de chiffres au quoriem qu'il y a ou qu'il peut y avoir de di TEntes politions au divifeur , ou, ce qd 2 ET DE GÉOMETRIE.. 107 “. la même chofe , qu'il y a de chiffres à abaiffer. Mais, après la premiere Opéra Hon de cet exemple, ilrefte 3 zero ou 3 Chiffres à abaifler, & par conféquent 3 iffres À mettre encore au quotient, lef- Quels chiffres ne peuvent être que des Zero », Puifqu'il ne refte rien ni dans la “Euere opération, ni dans les caraceres qui reftent à abaïfler. me. 105. [Il fuit de cetre obfervation ;- que lorfqu’en difant un nombre parun “utre, 1] fe trouve une opération dans laquelle il n’y a point de refte, alors s'il N'y a plus que des zero dans le diviende, ilfaut, pour achever la divifon Mettre autant de zero au quotient qu’il en refte à abaïfler. C’eft ce qu'on a prajus dans Texemple qui donne lieu à Cette remarque. 108 ABREcÉ D'ARITHME#IQUÉ Dh 80 000 À 1388 par ERA à TROPI ”; 1100 CRE RTESANN 3 3 ixer, refle 0139490 s014 seit é 1366 ———— 3 000 1foft à nana : E 6 99 Hé ; 2°, refte 44 3 9.0 dernier refle 472 s# SOI : Preuve 1 7 00002 40136 ; F nmsnenmenmenmen——""" 3°, 6 der, refle O 42 $ 4 EEE À MÉTHODE PLUS 4BREGÉE DE LA Division. 06: L ORSQUE les regles de le divifion feront devenues un peu famis lieres par l’ufage, on pourra en 4 ré” ger l'opération , en faifant en même temps la multiplication de chaque chifiré des quotients par le divifeur & la fou} traction de ce produit du dividende. UP Exemple fuffira pour faire connoître cetfé Le ÊT De GÉOMETRIE rog Méthode, On ne la pas donnée d'abord, Parce qu’elle n’eft que l’abrégé de celle quon à expliquée, & qu'il a paru que SS Principes de la divifion feroient plus fllement entendus, la regle étant ex- Pliquée dans tout le dérail qu'elle exige, Qe fi on l’avoit donnée feulement par abrépe, ? Les divifions que l’on fera dans la fui- € cer ouvrage, feront faites felon. tte méthode. Élle n'aura abfolument Men de difficile , fi l’on a bien conçu tout Se que l’on à expliqué jufqu'ici fur la lvifion. Soit le nombre 57060 à divifer Par 2 $ à jpo6o +1242$ ae 2 ;| PTE 4 f 2 refle To = TZ { 3, ren: 2 eus RUE o 6.0 mt me 2 ÿ Preuves 7060 £ Où pofera à l'ordinaire le divifeur 2: VS Les 2 premiers chiffres de la gauche 116 ÂBREGé D'ARITHMETIQUE Comme il s'agit de livres dans i exemple , lerefte 202 exprime de _ vres ; il faut le changer en fois ; “ hors cet effet il faut le multiplier par 20; 4 cle on aura 4040 fols, qu'on divifera P, 7 mème divifeur.; 50. Onaura 11 {ol quotientayec o1 fols de refte. 1 On multipliera le refte 91 par l'on pour changer les fols en deniers, & re Aura 1092 deniers qu’on divifera Pr: es même divifeur 359. Ou aura 3 4 j au quotient , & le refte 1 s denieïs» di ne peuvent plus être divifés par le eh feur 359. Ainfi le quotient cotal (of divifion propofée fera 106 liv. 11 3 deniers. gra Pour faire la preuve de cette OP"; tion ,on multipliera à l'ordinaire Le é 10 tient par le divifeur, c'eft-à-dire ke Liv. 11 fols 3 den. pat 359, obferva dl fi l'on met le quotient à ja place du Pas tiplicande, de prendre le proëte jf: fols fur 359, qui eft le mulriplicat fon 109. On remarquera à cette D. de’ que toutes les fois que les fols &c le de niers appartiendront au multiples ü faudra Les prendre fur Le rule teur, & qu'ils ne doivent ètre pris den multiplicande que lorfqu'ils appaf nent au multiplicateur. — CaprËT DE GEOMETRIE. Er> À l'épard des : s deniers reftans de la dernier € divifion, on les rapportera à la n fültiplication auparavant que de faire Le à Ition de différens produits dont el fon. . ompoñée ; & comme 1 deniers \ C1 fol & > deniers ) On mettra 1 fol ; IL colonne des fols, & 3 deniers.à Ê € des deniers. S'il étoir refté un plus grand nombre Eniers, on les auroit divifés d’abord ue, pour fçavoir le nombre de fols Qu'ils auroient contenu , & lerefte dela Iifion auroit été les deniers qu'il au- Toit fallu ajouter à la colonne des de- Mers. , Si les fols produits par les deniers étoient en plus grande quantité que 20, pu les diviferoit par ce nombre 20, pour $S changer en livres , le refte de la divi- 10n feroit les fols à ajouter à la colonne 8 fols de la multiplication , & le quo- Hent des fols par le divifeur 20, donne- QU des livres qu’il faudroit ajouter au Produit des livres aux colonnes convefables, c'eft-à-dire les unités à la codune des unités , les dixaines à celle des Baines, &c. ne le nombre à divifer 37897 avoit “Ptéfenté des toifes , ilauroit fallu chan En pieds Le refte 202 de la divifion ñ à. \ 218 ABREGÉ D'ÂRITHMETIQUÉ & pour cela, le multiplier par 6, puif que la voife a 6 pieds. Ayant divifé 1e pieds par le divifeur 359, on auroitmuh _tiphié le refte des pieds par 12, pour ef faire des pouces, parce qu’un pied vauf 12 pouces, & après avoir divifé les por ces par le même divifeur 359, on 418 roit multiplié le refte: par 12 pour 6h faire des lignes, & après la divifion des lignes , On auroit négligé le refte de 7 divifion ; mais dans la preuve il aufok fallu rapporter à la multiplication © quotient par le divifeur, ce que les B- gnes de refte auroient produit de toifes, de pieds ; de pouces , ou delignes , Ga. meme maniere que dans la preuve x cette divifion enlivres, on à rapporté” la preuve 1 fol 3 deniers pour les 15 deniers du refte de la divifion des dé niers. : Si ce nombre à divifer avoit repréfen té des années , il auroit fallu multiples par 12 le refte de la premiere divifof ? pour en faire des mois, &-le refte de # divifion des mois pat 30, pour en fall des jours , & ainfi de toutes les autféé efpeces qu’on pourra avoir À divifer qu'on réduira Æ même dans les di L rentes parties dans lefquelles elles fe fu°° divifent ordinairement, 14 FT DE GÉOMETRIE vx9 Preuve de La Mulsiplication par la Divifion, : HO Onia dir dans l’article de [a pa tiplication » que fa véritable preuve “toit |a divifion, &onn'a pu la don- *0rS, parce qu'on n'avoit point “core parlé de cette ele : préfente- “At qu’elle doit être parfaitement conque C'eft ici le lieu de donner cette leuve. $ 4e On fuppofera pour cela qu'il fautmul- “plier, ar exemple, 407 par 37 liv. Or Ru dont le produit eft 1888; lv i8£ ;d 497 371 xof. 11 d, Te 3479 1491. oil | 248 10 5 {. 124 $ ‘2 49 14 2 {. 4) 14 : 8 d, 16 1] 4 2 d. 2 10 1 d. : I S 120 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE Ileft évident que ce produit doit con” tenir Le multiplicateur 37 Liv. 19 À ; den. aurant de fois qu’il y a d'unités da Ainf, comme en le divifant par ce nor 0 donc trouver pour le quotient le paul ls en fols ; On y ajoutera les 18 os, produit, & l’on aura 9898 f. à di prouve que le produit 18883 1. 1 87] contient 497 fois le multiplicateuf ? ' 19 1x den. & par conféquent que he ration de La multiplication eft ssl 1 s l F ET Dg GEOMETRIE. 12% 4 . eve 18883 1. 5 371 497]. 3973. R 497 de des livres gts F ut multiplier pariof. Sr OV où { 9850. DUT” Produit 18 9808 £io£ 497 SR. CR | +97 | Saec | dde des fols : aut mulciplier par:x2 d. 910 D 455: fliers du produit 7 5167 à £ nd. 497| 0497 497 000 TRES F E . |1- 111. On voit par-là que la mule, cation & la divilion fe fervent récipe, 122 ABREGÉ D'ARITHMETIQU quement de prenve , de même que 12 dition & la fouftraétion s’en fervent €8 lement. ye On fera de la mème maniere la prée ñ de toutes les autres multiplications qu pourra propofer. PS ; f M fl Application de la Divifion à la réfolui de plufieurs queflions. 1F : | de .112+ On fuppofe qu'un degré du me ridien terreftre efl de 57183 toifes w qu'il vaut 25 lieues communes dé ce , Jçavoir Le nombre des toifes dé commune. La bu 1 faut divifer:s7183 roifes paf " & le quotient 2284 fera le nombi£ toifes de la lieue commune. ÊT DE GEoMETRIr. 5 CRRHANRS fes 5718; j 2287 toifé 25 | UT Et O71I 11435 2, 4574 — refle 8 . 57183 Preuve. 183 2. Efle 08 IL 113. Connoiffant La circonférence de l terre de 9000 lieues ; fçavoir Le nom. re des jours qu’il faudroit employer pour 7 faire le tour , Juppofant qu'on faffe 12 “es par jour. b Left air qu'il faut divifer 9000 CUS Pat 12, & quele quotient 750 ; le nombre des jours demandé. 9000 Ÿ 76o jours 12 | tn 060 12 \ Fij i 124 ÂBREGÉ D'ARITHMETIQUÉ Divifant ces jours par 364, ontro vera qu'ils contiennent deux années 20 jours de refte, 750 4 2, années 365 refte 20 jours mt JR 20 114. Lorfque le muid d'avoine code TS livres | à combien reyienr Le boiffé#” I faut fcavoir quel eft le nombre cf boifleaux qu'il y à dans le muid. . Le muid eft compofé de 12 ferielt & le ferier de 24 boiffeaux, Il ya do, 12 fois 24 boiffeaux dans le muid ; def à-dire, 288. 4 A préfent il fant confidérer que ch que boiffeau coûte la 288° partie de} ; 1v. Pour avoir cette partie, il faut divi® 150.par 288 ; ce quihe fe peut ; arte, du que le dividende 150 eft plus P 4 .que le divifeur 288 ÿ ce qui prouve 54 ord que le boiffeau vaut moins d'uneh vre ou de 10 fols. Pour trouver fon pi” il faut multiplier les 1 so liv. del} leur du muid par 20, pour les réduit” en fols, qui peuvent ètre divifés par 297 Ron FT DE GEOMETRIE. QUI donneront pour le prix du boiffeau OS ç deniers, SE 1$ol. par 20 3000 Sac 288 Reftes des fols 1210 12 240 m4 120. | È 1440 d: 36 de 288 000 Preuye. 288 Boifleaux « a 10 sd. < La Preuve de cette don fe fera Fi) 132 ÂDREGÉ D'ARITHMETIQUÉ : Car puifque 9 multiplié par 12 do | Îe même produit que celui que donnero® la multiplication du premier terme paf” dernier, ileft évident qu’en divifant € produit par le premier terme 3, on ? un nombre 36 au quotient , qui mul plié par ce même nombre 3, fait au Œ 08 ; ce qui prouve que ce nombre ; eft le quatrieme terme de la regle 4. trois, | Dans les exemples qu’on va donnéf? On démontrera l'opération de la reg de trois ; indépendamment de la 27 priété de la proportion. 5 , T20+ SZ zrois ouvriers font 15 roife d'ouvrage pendant un certain LEMPS » pr ° . ê A È bien 9 ouvriers en feront-ils dans le nëmé temps. On prend toujours pour les deux a. iers termes de la-regle ceux qui jones de même efpece | comme dans cet exe ple les nombres 3 & qui exprime des ouvriers. Le troifieme termeeft celu qui eft feul de fon efpece dans les troi° termes donnés, & auquel on cherche tif quatrieme terme de même efpeces: # / | ÊT DE GEOMETRIE 13% ,On flfange ainfi Les trois termes don. . ASE on $2 Marque ordinairement le quatrieie Ftme qu'on cherche d'une maniere hdéterminée par une lettre quelconque , Mme x%En ce cas ; la regle de trois Me ainfiune proportion, 3.9:1$.%4 °nE le quatrieme terme eft x , Mais qui 1e fera Connu qu'après l'opération. Pour le trouver, on doit, fuivant ce Fi a Été dit précédemment, ##ülriplier € Jecond 9 par le troifieme 15, € di- J€r Le produit 135 parle premier 3 3 £ Qui donnera 45 pour la valeur de x. a-dire,: pour le nombre: des toifes Îe o ouvriers feront dans le même tems de trois ouvriers en feront 1 s- DÉMonNstrATION. Le 1. Pour démontrer cette opéra- Par elle-même ; il faut confidérer Von As la queftion propofée , fi on fçacn nombre des toifes que font chaag J 3 premiers ouvriers, il feroit LE trouver ce que 9 ouvriers en fe. tue pou le même temps, êc cela en Par Plant Les toifes de chaque ouvrier, l “nombre des ouvriers. Or , puifque toifas POLE que 3 ouvriers font ES Ouvrage pendant le vemps fixé, 134 ÂAsnecé »'AntrmmeTiQU pour avoir ce que chaque ouviiéf, (ot fait dans le mème temps, il faut div” © 1$ par 3, & le quotient ç eft le no 4 bre des toifes de chaque ouvrief: fenrement fçachant que chaque ouv fait $ toifes » pour avoir ce que 9 , vriers en feront, il faut multiplief SP 9; OU9par s ; ce qui donnera 4$ P° les roifes que feront les 9 ouvriers , {e 122. D'où il fuit que pour aV0% Quatrieme terme de la regle de trois? faut divifer le troifieme par le rem & multiplier lequotient par le fcon ar 123. Mais comme il arrivera dé plufieurs cas que le troifieme ter” VIS par le premier , ne donnera Pass quotient exaét, commeil a donné "4 l'exemple qu'on vient de propolé” fief faut » pour éviter les reftes, multiP. r le troifieme terme par le fecond , & 244 fer enfuite Le produit par le premier 4 qui donnera le même nombre que lp, duit du eh du troifieme rerm° à : VIf par le premier, & multiplié par le fecond. À .cerif Car, dans cer exemple, le croifié é terme 15 eft trois fois plus grand Gof s'il avoit été divifé par Le premier 2° es Produit par le fecond 9, eft To epé plus grand que fon tiers 3 multipli ET pg GErOMETRIS. 135 le Même terme 9. Or Le terme que l’on cherche » €ft le tiers de 1 $ multiplié par 2: Donc, Puifque le produit de rs par 2 €ft trois fois plus grand que le pro- ME cherché, il faut le divifet par 3, Pour avoir ce produit: Donc » ON trOU- Véra dans cet exemple le quatrième tetme de la regle, en multipliant le fecond & Le troifieme terme , & divifant leur Produit par le premier. 9Mmme ce même raifonnement peur ‘appliquer a tous les autres exemples U'On pourra propofer , 1] nous fervira € démonftrarion de la regle de trois. “eUX qui en voudront une preuve plus igoureufe , pourront confulter le traité _Ges proportions dans l'Arithmétique & Le Géométrie de Pofficier. I I. Étin _ 124. Si avec 100 pifioles on en ga- 8% 20, conbien en gagneral'on avec 2J0, il eft clair que le gain doit être Pro P tionné aux piftoles, Ainfi on aura 0250 : + 36° x: À 2 trouvera , en faifant la regle, 76 Pour La valeur de x où du quatrieme 136 Âprecé D'ARITHMETIQUÉ. LIL es , il 125. Si 125 facs de farine ont prod! 22500 rations ; Ÿ combien en produit 0 458 Jacs ? LA fi Comme les facs font aux facs , 42 les rations doivent être aux rati0NS 12$.-468::22ç00.% On trouvera la valeur de x en mule pliant 22$00 par 458 , & divifant 0! produit par 126.Le quotient fera 82 41 ic'eft le nombre des rations que prod ront les 458 facs de farine , dans nn pofition que 125 en ont produit 2259 LV. né 126. On fuppofe que r$0 as À / Perfonne faffent 60 toifes , On de ar Combien 670 pas de La même perfontén feront. me af in Comme les pas font aux pas» ? les toifes font aux toifes, 1$0.670::60.x. | , arf * La ration du foldat eft de 24 onces , OÙ ui livre & demie de pain par jour. Un pain 1405 0 qui pee crois livres, contient deuxi@" ET DE GEOMETRIE 137 On trouvera 268 toifes pour la valeur Quatrieme terme x. V. … 127. Si avec 378 L 15 [. 9 don aëu T2 toiles 3 pieds d’un certain terrein, “OMbien aura-t’on de toifes du même ter- Teir avec 1893 L 18 [. 9 d. Omme Je premier terme de cette Ftple eft de différentes efpeces , il faut É réduire aux plus petites , c’eft-à-dire eniers, : Ourcet efferon mulripliera 378liv. par 20 tt . du a Produit 7$s6of. On ajoutera au produit f xs 7560 les 1; fols joints aux 7575 ivres du premier terme, ne & l'on aura 7 75 £ qu'on | ——— Téduira en deniers, en les 4 SA SS Multipliant par 12, & l’on }7575- *Uta 90900 deniers. Com- 90900 * é le premier terme a 9. o “Mers, on les joindra à ce es £ Ombre & l'on aura 90909 ( = Ébiers pour fa valeur réduite en de- Mers, : d Le terme 18931. 18f. 9 deniers étant ° Même réduit en deniers fe trouvera $ 454545 deniers. | £ 138 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE. 0 Cette préparation étant faite, onP | fera la regle de cette maniere. if. pe, # 09, y 7 2 $ toi 3 ee Le toif, 3 pieds ms 2272725 909090. 454545 .. 227272 Pour les > Pieds, t rs Refe destoifes à rSe ‘ Qu'il faue multiplier É Par ——————_—— marre, Pour Les reduire Pieds on aura 2727 24 .uxXquels il aue ; AdOuter Les 3 Lieds du dividende. PR On aurz LIT ‘Qui étans divifés par dans 3 Pieds au 90909 Guotient, * terme de la regle prix 00000 MS de 617 toifes 3 Pteds, ne memes 3 el 3 PAT ET DE GEOMETRIE. 139 VI. or 8. On füppofe qu'avec la Jornme de 5 OR a eu 37 toifes 4 pieds d un cererrein, on dernande à combien revient TtOIfe de ce terrein. d Pour réfoudre cette queftion, on réra d’abord les 37 toifes en pieds, & l'on aura 226 pieds pour les 37 toifes + Pieds, Or comme toife contient Pieds, on pofera la regle de cette Maniere, 226 picds , G pieds :: 1200 1.. x. Faifant cette rogle on trouvera pour équatrieme terme 311. 17 2d. VIT 129. On füppofe qu'on faffe un ous pee en 12 jours , en travaillant quatre ‘ures par jour , on-demande le nombre Ve Jours qu'on y employeroit fi on tratlloit fix heures chaque jour. Dans cet exemple, les deuxtermes de “Me efbece font des heures, & ce fone * Qui doivent ainfi être les deux pre- Ê 40 ABREcÉ D'ARITHMETIQN miers de la regle. Il s'agir de fçavoi quel doit être pofé le premier. : Pour cela il faut faire attention noncé de la regle, &aàce qu’elle prop? de trouver. Le terme que l'on cherche eft des jo mais 1l doit être plus petit que le tros me terme de la regle, qui eft auf % jours , car il eft évidence qu’en cravailal X NeUrES par jour au lieu de 4, ON do. employer moins de jours à faire l'ouvi ge. On voit donc qu'il faut mettre P° £ Prier terme de [a reole le plus gi. des deux termes de même efpece ; € “de ä-dire, le terme € des heures, af° trouver le quatrieme terme moind'£ le troifieme, . Il faut donc pofer ainfi la regle dP à vient de propofer. {2 G+4::12.x. On trouvera & pote valeur de ce quatrieme termex;, €P le fant l'opération à l'ordinaire. CE à nombre des jours qu’on employer}, faire l'ouvrage dont il eft queftion? Havaillant 6 heures par jours au lieu 44 alé {e ue REMARQUE. s _. c l 130. Les arithméticiens appeller. cs regles de cette derniere efpece de? s lues” DE GEOMETRIE. I47 ie Î elles Je plus donne le MOINS , des 865 de trois inverfes ou indireiles , ques qu'en Les pofant à leur maniere > 1E “1; pour lesréfoudre , faire l’opération A Un ordre renverfé, c’eft-à-dire, ee ue le premier & le fecond Die oifieme À à divifer le produit par le Ou le dernier, ta LT Pour réfoudre la regle précéden- Al l'arrangeroient de cette maniere : 12::6.x, Or faifant l'opération à Llinaire , en mulripliant le fecond ter- Le Par le troifieme 6, & divifant le Ut 72 par le premier 4 , on trouve Pour le dernier terme de la regle. Mais il eft abfurde qu’en travaillant plus dheures ; On foit plus de jours à faire le me Quvrage ; ce qui prouve que cette Sie ne doir pas être faire à l'ordinaire, «On la fait dans un ordre renverfé, en Se Upliant le premier terme 4 par le fehu 12, & divifant le produit par le cent 6, ona8 pour le quatrieme de 11e regle. C'eft le nombre qui répond * Queftion ; car en travaillant fix heu- Pat jour au lieu de 4, ontravailleun ù ; on de Le Plus ; on doit donc pat-là dimi- Ur “ CURT £$ jours d’un tiers, & en effet 8 u | 8 ef R tiers plus petit que 12. Ainfi, * terme qui répond à la queftion € Fig, 84 ES 5, Fis, 86. 244 ABREGÉ D'ARITHMETIQU? à rapport à leurs côtés , ou pat rappoit # leur angles. k fi 172. Par rapport aux côtés, celui qui a fes trois côtés épaux, comme ABC fe nomme équilatéral ; celui qui n’a qu£ deux côrés égaux, comme DEF, dans lequel DFeft égalàFE, fenomme ifof cele; & enfin celui qui a fes trois CLÉS inépaux eft appellé /Calene. 173. Par rapport aux angles, Le trianr gle qui a un angle droit, comme GH% dans lequel l'angle GHI eft fuppofé droit, eft appellé sriangle reélangle, & le C0 G Loppolé à l'angle droit, fe nomine hypoténufe : le triangle qui a un angle 00. eus eft appellé obrufangle , comme LIN, & enfin celui quia fes trois angles aigl eft appellé acutangle. 174. La bafe d'un triangle eft u de fes cotés, pris à volonté, comm£ MN dans letriangle LMN, & alors leu fommet L de l'angle M LN oppofé à le bafe, fe.nomme le fommet du triangi Si on avoit pris L M pour la bafe de cé triangle , le point N en auroir éréle fom” met. | 175, La hauteur d’un triangle efr uné perpendiculaire LP abaiffée du fommet L fur le bafe MN, prolongée lorfqu il 68 #Tt befoin, Fe PE 00e ET DE GEOMETRIE. L'4K: THEORÊME L. D Dans tout triangle, deux me RUES. en e 120$ " Jemble, font toujours plus gran > € troifieme, , gere propofition elt évidente; car il Fig: 87. LR par exemple dans le triangle “qe, que les deux côtés LM, &MN blu °nt une ligne courbée LMN, font, © Brands que la droite LIN. THEORÊME II... à / à Les trois angles de tout triangle de. ox TL mble a deux an- / s Pris enfe .Ôtes dr. ; ; Demo NSTRATION. van le triangle A CB dans lequel on Æ%. 88. B ns Touver que fes trois angles À , €; Pont tgaux à deux angles droits, ou | pe MMatre-vingts degrés. ARTE “nant A B pour bafe , foit mené par Qhter C la ligne DE parallele à À B. De ligne fair trois angles de fuite tés € ACB & BCE avec les deux Par CA & CB du‘triangle, qui font | “Onféquenr égaux à deux angles L ii t N 246-ABREGÉ D'ARITHMETIQUE. droirs*. Ainf f on démontre que les 101$ angles du triangle À CB fonc égaux 4 ces trois angles de fuite, on aura der. montré qu'ils valent deux angles droits. A caufe de la parallele DE, l'angle DC A eft égal à fon alterne C À B*; l'angle ACB qui eft l'angle du fommet du triangle eft égal à lui-même; & le tfof fieme angle de fuite ECB et auf égal à fon alterne CB À. Donc les trois an” gles dutriangle A BC, font égaux à deux angles droits. Il eft évident qu'on peur. démontrer la même chofe de rout autfé triangle. Donc, &c. COROLEZIRES. LS 11 fuit de cette propofñtion , : 178. Que lorfqu’on connoît deux an” gles dans un triangle , on peut fraro” quelle eft la valeur du troifieme. Car fi on fuppofe dans le criangle A CB que l'angle C AB foit de 5° “. | grés , & Pangle A BC de 60, ajoute | enfemble ces deux angles , leur fomm fera 110 degrés, qui étant drés de RU valeur des trois angles du triangle » | \ nn. ÊT DE GEOMÉTRIE. 247. Ta 70 dectés pour celle dutroifieme fngle ACR ” ( IL I ee 5 tan 7 * Que lorfqu’un triangle eft rec Re, Ji lon connoît l’un de fes deux 1 4gus, on connoîtra auffi Pautre. dl Car 5 € les deux aigus ne valent enfemla qu un droit; ainfi de 90 degrés RE de Ë $ aigu connu , le refte fera la valeur NcConnu, VIT | fem + Qu'un criangle ne petit avoir en Juge * Un angle droit & un obtus , MAIS Ment Pur ou l'autre. THEORÊMEIIL con 5x, Si lon prolonge un côté quel- Fir, 88. es 4C dun triangle ABC, Pangle **. JRCUNBCD fèra égal aux deux oppo- Mérieurs 1 ER DEMONsSTRATION: ï do à Yu dans la propofition précégl ., Le les trois angles de touttrian- * 77. los dent deux angles droits. Ainfi, | sux Angles À &B joints avec l’an- L iv "4 CNE | 248$ ABREGÉ. D'ARITEH METIQUÉ gle ACB, valent cent quatre-vingrside grés ; Mais l'angle extérieur BC D, joint - aufi avec l'angle ACB , qui eft {on {upplémenr, vaut pareillement deux 4n£ es: | droits, Doncil eft égal aux deux: a18 es A &B pris enfemble ; puifqu en lui ajoutant le mème angle ACB, il forme une * N. 9. fomme égale à celle de ces * deux ang es joints au même angle. C. q. £. d. THÉORÊME 1 V: 182. Dans tout triangle les angles dé- * pendent des côtés qui leur font oppo DS & réciproquement les côtés dépen den “des angles : C’eft-à-dire , que fi le tri” gle eft équilatéral , fes trois angles Jon égaux entr'eux ; que s’il eft ifofcele il 4 deux angles égaux, & que Ji fes 106 angles font égaux , il ef équilatéral, ifofcele s’iln’a que deux angles égaux+ Soivle triangle équilartre AE 0 faut démontrer que fes trois angles font égaux. : DEMONSTRATION. _ Fig.89. Faites palfer par le problème du Pr 62 la circonférence d’un cercle par | ‘ fommer des angles de À, B& C; con | ÊTDE GEOMETRIE 249 enfuite que les côtés de ce triangle £S cordes des arcs qu'ils ne 5 is - que comme ils ou se ne. Ape °Maufhi*, Or chaque Fe Le * pour mefure la moitié de l'arc Nr lequel ij s'appuie *, c’eft-à-dire » R* Nssr. ADI d'arcs égaux: Donc ils font éganx: OC le triançle équilaréral a fes trois “ngles doaux,: C. q-f. d.: Le . an. 2 démontrera de la même maniere que le triangle ifofcele a deux angles Sgaux, D è ; Car dÿant fait pafler la circonférence Ærcle par les trois angles de ce Ble, on n'aura que les de &a US par les côrés épaux qui | ie AUX : or les angles oppoiés à ces core MC chacun pour mefute la moitié: de . Da *. Doncils feront égaux : donc, Nuisr dérez ont ] n ) P A : four démontrer PAR sie Ége LA * rois angles du triangle A CB font Fig. MS il féra équilatéral , anonte rene, jt Encore faire pañler la circonf A ane LUN cercle par le fommet de ces : ttia ës, & confidérer que les ALES du : en sale diviferont -cetre con | OS parties égales entr’elles. LE JE 1 du triangle A CB ont chacun pour SR moitié dés parties : fur:lefs - : Ly. & Eu N. 50 ‘ 2ç0 ÂABREGÉ D'ARITHMETIQUE : quelles ils s'appuient: mais comme me {ont égaux par la fuppofition, il faut q 3. ces moitiés foient égales, & par C0” quent que les ares entiers le foient ea lement; les côtés du triangle font N : ne cordes de ces arcs, mais dans le me! cercle les arcs égaux font fourenus pe des cordes égales *. Donc les trois cote du triangle font égaux : donc le tr148 qui à fes angles égaux eft équilaté®” €. q. f. d. , de Il eft évident par cette même démo? : tation, que le triangle qui a deux an8 ‘| égaux, a auffi deux côtés égaux OÙ qu eft ifofcele, COROLLAIRE Î. Il fuit du précédent theorème, 183. 1°, Que chaque anole du cos gle équilatéral vaut 60 degrés, Car CON me ils valent tous Les trois enfemble 1 degrés, & qu'ils font égaux eng'en” chacun en vaut le tiers, c’eft-à-dire D CORGTLARRE LP re (cele À 104. 2°. Que le triangle ifofce en£ deux angles égaux , & réciproque” gi que celui qui a deux angles égaux ? deux côtés égaux, ou qu'il eft 1foice C4 que l'angle CB A oppolé au côté ET DE GEOMETRIE 2€ THEORÊME V. os Dans tout triangle , le plus grand se JE oppofé au plus grand angle, & RPr Oquément au plus grand angle eff PPofé le Plus grand côté. le Soit Le triangle À BC, dont CB foit Fig: pe+ pt MS grand côté, il faut démontrer que JoBle CAB qui lui eft oppofé, eft le SR 8tand ete du triangle. | {oi Uiique CB eft plus grand que CA » CA Pris fur CB, la partie CD égale à e ss {oit tiré A D. # ee Joe 8le 1fofcele CAD, donrlesangles È & CDA feront égaux *. Or * N.184- Le & l'angle extérieur a PAS : Lonc1 lus grand que l'an- QUE : Pan é A D Le auf * N.18r, Stand que ce mème angle B, & à nn démontrera de la même maniere, de Angle C AB eft plus grand que l’an- DC °Ppofé à À B. "Ur R feconde partie de la propo- Ts: À vj 242 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE tion, qui confifte à démontrer que fi l'anan- le C À Bet le plus grand angle du tr] 5 gle CBÀA, le côté CB oppolé à cet af gle, fera plus grand que chacun des au= tres côtés du mème triangle, 1l faut tr rer la ligne À D qui faffe avec A Can: gle C À D égalil'angle DC À. Onaura alors le triangle ifofcele À DC qui don- *N.184. NN. 17. nera DC égale à À D*, & la ligne cour” bée À DB égale à la droite BU; mais cette ligne courbée eft plus grande que la droire À B *. Donc CB eft auf plus grande que cette même ligne : donc; &C: On démontrera de la même maniélé que CB eft plus grand que C A. Il fuit de cette propofñition, 186. Que dans les triangles évaux les côtés égaux font oppofés aux anglé5 égaux, & que les côtés qui font opp9 fs aux angles égaux font évaux. THEORÊME VI. … 187. Si l’on a un triangle équilatéra! ABC, & quon prolonge un de fes 0% BC'en D, faifant BD ésalaBC , qu'on tire enfuite D À , cette ligne fera perPél” diculaire fur AC. ET DE GEOMETRIM 253: DEMONSTRATION. A À augle extérieur À B D. du triangle Fig. 91 en Vaut 120 degrés, puifqu il eft ; aux deux oppofés intérieurs À &.C au raugle, qui valent chacun 60 de- Hot Or. Le criangle D BA ef ifofce-* N.183°. ni DB eft égal à. BC, ou à AB. , % &S deux angles D & D AB, .qui let enfemble 60 degrés , érant le fupit de 120, valent chacun 30 de- Ne Aïnf l'angle DAC ef compofé Pre eux angles C À B & B A D, dont. le 30 Mit vaut. 6o degrés, & le fecond done 97e cet angle vaut 90 degrés : D peut tirer de cetre propoñition un | FN facile d'élever une perpendicul'extrémité d'une ligne. se lg PPOfant que À foit l'extrémité ne Cle ï toite AC, fur laquelle Er für È Une perpendiculaire: On PE : | o ‘te ligne une partie quelco na. Cm > fur la uelle on décrira un triangle . aus aatéral 8 prolongeant vets € feà À, & N va : Li que Cort ÿ À oi | de ce triangle oppoi: af. g get B D Cgal à C RE fi lon tite D À A: ta perpendiculaire fur Lens le La 1 ER 35 den 6, à ligne propofée ce qu? eit €Y RRS ar de précédent, JheQremies 0 9 Eïg. 97: à deux angles donnés a & b, "0m eæ :6o Agrecé D'ARITHMETIQUE III. 196. Faire un triangle qui ait pour bafe une ligne égale a une ligne donné AB , & les angles fur cette bafe si que deux droits. RESOLUTION. . Tirez la ligne F G égale à la Higne AB 4 & faites au point F l'angle GF H gs angle à, & au. point G, l’angle G É al à l'angle 3; prolongez les deu | . côtés de ces angles jufqu'à ce qui rencontrent dans un point H : alors le triangle EG H fera le triangle deman®” REMARQUE. Si les angles à & b étoient donnés €? degrés , il faudroit faire fur FG 2% points F & G, desangles, avec le PE Ç / porteur, de la quantité des degrés Ufages qu'on peur faire des rriangi pour mefurer les, lignes. acceffibles pe léurs extrémités feulement ; O4 entis rement inacceffibles, Ge. 4 K 4 LA ZT DE GEOMETRIE. 26% è 7: Un appelle pee faille de ! L née À eee a Géométrie qui trai Mefur q noie es des triangles .& qui par la con- | Ace des trois chofes qui les dérereo fait parvenir à connoître les joues angles inconnus. se tioon Peut réfoudre les problèmes de É cul p_Mtrie par le calcul, ou fans ca te qu. P'emiere méthode eff plus ee bg l'autre , & on la trouvera ra der. Métique & la Géométrie de abre: 7 ne la donne point . a. Pros e. Parce qu'elle fuppofe p ne É Parle ons dont on n'a pas.de ER de Mes fi: -? féfoudra done 1c1 les Reel : donr Vans, fans calcul; ils ne bé Gps. Une idée de la fécondité es pr d' déja établis, & de pets | en SN peut faire: mais auparavant 1 Qu? Rrür Les différentes fortes de lignes \ “ Peut avoir à mefurer fur le terrein. à k * On appelle lignes horifontales | Para 80es couchées fur le terrein 2 ou tte FES à fa furface , parce que dans Brinq ation , elles le font auffi she le: etcle appellé Aorigon ; leque C & {PRÉ paffer par le centre de la terre ; N Pa Yifer en deux également; 4 Gus © fupérieure , & en partie infé- A Coté 262 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE, | 199. On appelle lignes verticales Le AA perpendiculaires à Phortgon ; des Ho | droites qui ne penchent d'aucun COEE AE le terrein, c'eft-à-dire, qui font des Gr | oles droits avec routes Îles lignes ia zontales qui paflent par le point oti é {ont élevées fur le terrein. ca à 200. Une ligne oblique où inclinee horizon , eftune ligne qui penc A le terrein plus d’un.côté que d'un aupeue À telle eft une ligne droite tirée du 10 | met d’une\montagne à fon pied 72 201: On appelle auffi fsures hO7 ro" à tales celles qui font formées de ligne horizontales ou tracées fur lererreln enfin figures verticales ; celles qui Fe élevées perpendiculairement au terfef PROBLÈME L Fig. 98. 202. Trouver la largeur AB ge étang, ou, ce qui eft la même chofe » 7 longueur d’une ligne À B acceffible feu ment par fes extrémités À & B. | On fera planter deux piquets ae À lons aux points À & B ; enfuite fi Le 1 pagne ef libre , comme on le fupp® Cer4 on choifira un point C à volonté» quel on puifle voir les piquets & y aller fans obflacle. 3 Côte er à Our Ja. 4. Les le démontrer, confidérez que EC De côtés CE & CD du triangle ay Plus PL À C Puig Ur. û AQ b J . °Nt égaux, par la conftruétion , X côtés À C & CB de A CB;de } $ du premier eft égal à l'angle Ut re l'angle ECD formé par les Formé par les deux du fecond , ces angles font oppofés au fom- AC les deux triangles ECD, & 4 Rue Égaux * : donc les lignes ED * N, 1924 % 2 Q à ! 3, Sépale ti. an due le Te | ler perdre Oùr SA à... t Éten Û *t-del 4 Ont égales. C. q. f. d. LU campagne fe trouve trop °U trop refferrée pour permettre fe, comme on vient de le fai- e AB, on peut mefurer le :B, & le conftruire dans un x It du terrein où l’on puifle 28 de À B, | Cela, il faut mefurer fes deux C& CB, & l'angle ACB que eee 4 264 ÀABREGÉ. D'ARITHMETIQUE ces côtés font enfemble. C'eft rout te dont on a befoin pour la conftruétion de ce triangle. 4 Fig.99, Ilnya qu'à choifir enfuite un cerner : commode {ur lequel on prenne & us au nombre de toifes de AB, faire aVEC le Graphométre , l'angle GH L égal se ACB, & e:côtéH L égal à CB: il € | | évident que le triangle GHL fera E7 . 8.198 au triangle À CB*, & que GL pes e d'un nouveau triangle égal à À CB,P€ devenir embarraffante dans plufieuf* Cats voici un moyen de l'éviter, en rappo” tant ce triangle fur Le papier par le moyÿé d’une échelle & du rapporteur. De Péchelle d'un plan ou d'une figuré" 204. 1 eft évident que lorfque a conftruit fur le papier une figure prise a tracée fur le terrein, il faut néceh? de ment qu’elle occupe moiñs d'efpae ant le papier que fur le terrein, & cepir «ele ferve à faire connoître la go deur de toutes les parties de l’objet dl # ; le doit repréfenter. C'eft pouf cela 2e dorfqu'il faut rapporter du noir c LA Papi n ee ere 7 DE GEOMETRIE | 26$ Une figure quelconque, on comlenc F . j . Ou ie Pour ainfi dire, par raccourcir (Lave luer la mefure du terrein.Je veux e à c de sie > fi toutes les parties de la figure ps tt É lein font exprimées en toiles & en > ON Commence par dérerminer une Ney HET S8Ueur arbitraire pour repréfenter fur À lh Sure 0n à Cn $ ls ù e à à \ . ee Pier Ja longueur de la toife du ter- * ”* Cette longueur fe proportionne Stand Je \ Ja fiè eur qu’on veut donner à la 2.feltivemenc au PAPIÉS fur lequel = 2 repréfenter ou defliner. pen peut prendre un pouce pour é .Fter 100 toifes ou so toifes du 1: &c. Si l'on a pris un pouce SO toifes , une longueur de trois Onnera 150 toifes, de quatre, » &c. Ceft cette longueur, ainfi inée, pour repréfenter celle dont Etvie pour mefurer fur le rerrein, nee Onté. à fuppofe , par exemple, que la F3. 100, : ait été déterminée pour repré- 4 ne longueur de 100 toifes, fa. ,j - Vaudra ço toifes, & cette € Étan 3 A ë : ñ don." divifée en cinq parties éga- Mera des divifions de 10 toiles M 266 ABREGÉ D'ARITHMETIQUÉ chacune ; fi ces divifions font affez gran des pour être divifées en 10 parties eg Les, elles donneront des toifes, lefquer les divifées en 6 F donneront des pie S9 & fi les pieds font aflez grands pour être divifés en douze parties égales , ils don neront des pouces, &c. Tout cela er évident » & paroït fufffant pour donné une idée netre & exa@e de ce que c'eft »1 pu que l'échelle d'unefigure, de même que de fes ufages ou propriétés. 205. Rapporter ou conftruire fur le PF pier une figure mefurée fur le cerrein* Fig. 98. Toutle détail précédent bien congl? fappofons À préfent qu'il faut rappoit, le triangle AC B fur le papier ; que lee? té AC a été mefuré & trouvé de 40 cor fes, le cotéBC de ç0, & l'angle AC de 70 degrés. ta Fig. or Cela pofé, on commencera paf fi ii és io échelle de la figures on tirera pour ; ; } le OP la une ligne indéfinie, fur hque it : . pu 1. 464 prendra une partie ac à volontés roifes 9 repréfenter , par exemple, 10, b ainfi portant cette partie cinq fois jure deaenk, on aufa la longuetf où ch “chelle 44 de ço toifes. S'il fe tron $ dans la figure des lignes plus Jongti* | ET DELGEOMETRIR. 267 que Sotoifes., on pourroit augmenter Ja | OPpueut de l'échelle; par exemple; Ja “rede 100 ou ro toifes, &c..enpro- Ongeant [a ligneaë, & portantfur fon M ORements meute deux fois, &c. 4% n écrit {ous chaque divifon de léelle le nombre des toifes qu'elle con- .t» depuis le commencement a, jufdu'au Point de la divifion où l’on.eft par- Venu. ‘Aïnf dans cetexemple, on écrit de US Ja premiere, 20 fous la feconà &c. Le dernier nombre écrit à l’ex- “Émité de l'échelle , exprime toute la leur de l'échelle. . 206, : L'échelle a 4 ainfi conftruite, Zip. so RES a Le: papier une ligne indéfinie 6 102. : » fur laquelle vous-préndrez la partie 1. 40 toifes de l'échelle, pour réprér le côté AC du triangle À C B du | “lein!, au point Z vous ferez AVEC EI s NE moyen du rapporteur , l'angle ent f 7 de 70 degrés, quiveft la valeur de de le À C B du terrein. Vous ferez im & S9 toifes , qui eft la longueur deCB, té US tirerez 9m , laquelle étant pornon 1° l'échelle 42, marquera par le Nomb. des toifes qu’elle contiendra, le tien. 12, de celles du terrein que con- D. la ligne À mefurer À B. Ur le prouver , confidérez que le M 1} n. EGÉ D'ARITHMETIQU ER | m eft déterminé par les trois CB du 268 ABR triangle g7 hômes chofes que le triangle térrein, € que chaque roife du papig£ | exprime chaque toife du errein ; qu of | Les roifes de l'échelle que g7 contie répondent néceffairement aux roifes rerrein que contient la ligne x mefuré” A B. On en trouvera une démonftrat0 plus exacte dans P Arithmétiqué CUT Géométrie de POfficier. é Pis: 09 79 Deux figures, comme les deu” & j02. triangles gim bc ACB, dérerminé ; | ar les mêmes circonftances ; mais Aves des mefures différentes, font n0M Fe … figures femblables. On trouvera; ar j livre qu'on vient de citer, 1 dérai plus complet:de ces fortés de-figure de: leurs propriétés. stores SPA PROBLÈME LL 108: Méfurer la largeur dune f pie ; ou d'une ligne acceffible feulement paie de fes extrémités. | 1 704 OI OR Fig. 103. Soit X la riviere dont on veut vor | Ja largeur : on déterminera une De? | AÀ.B au bord-de la riviere; d'une LR gueur à peu près égale à fa jargeur de mettra le demi-cercle au point ÿ ! 4 ke Les d pla ur | , ET DE GEOMETRIE 269 Mere qu’ en regar Az par les pinnu- € fon diametre, on voye un piquet ntéen B ; on mettra enfuite l'alidade € point de 90 degrés, & bornoyant ar à : ; ee Pinnules , on obfervera un point #COnque:, comme C; de l’autre côté Se ireët en 2 flviere, qui fe trouvera dans le ion du ravon vifuel ; on -remar- Uer F. era ce point , on plantera un piquet À, & l’on viendra avec l’inftrument 5, on mefurera l'angle ABC, & enf. : notite la bafe AB, après quoi on con- Ia [es trois chofes qui déterminent an le k “angle A CB; fçavoir fa bafe &c les 8les für fa bafe. On le rapportera fur Pier comme le triangle du premier A >/ Pb e *, & l’on connoitra; par l’'é- *N. 206: ch El €, le nombre de toifes de la ligne > Ou de la largeur de la riviere. REMARQUE: I. +09. Si le rerrein du côté de la bafe la UR te] CI in Le trouve libre & uni , on peut, fans Potter le triangle C'A B fur le papier, °hftruire bien facilement fur le ter= ul ce prolongeant vers D la 13; Are C À indéfiniment, & faifant Point B l'angle ABD égalà CBA; M 11} ss NN. 192 . de la bafe AB; mais encore la diftance 256 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE REMARQUE. srl ‘x18. Il faut que labafeEF foit prife affez grande pour qu'il y ait une difié rence fenfble entre l'angle CEF, l'angle CFG , fupplémenc de EEG autrement les lignes CE, .CF ne.col” Gourroient point ;. car elles pourroienf ñ arf ; * être confidérées comme paralleles *. FT. 219. Le triangle ECF étant conftuit fur le papier , & la perpendicti” laire CG: abaillée du fommer C fur le prolongement de la bafe EF, il ef clair qu'on peut connôître , avec lé: chelle, la ligne FG ou BD: ainf f lon fuppofe que C D foit la hauteur d’une: tour ou celle d’une montagne ? l'opération au’on vient de faire-fef# q connoître non feulement la valeuf , la perpendiculaire abaifée du fonte de la tour où de la montagne fur le P* du point B de la bafe au milieu de la tour on de la montagne, | ET DE GEOMETRIE 277 L'LT ‘ss k : ft évident que cette opérafé RTS la hauteur de l’objet probé AR qu'au deflus du terrein de le > & qu'ainfi, fr cet objet étoit >tofon 4 terrein plus enfoncé où plus Ê Que celui de AB, on nauroït tetr AUteur de cemobjet qu'au deflus du En de la bafe AB. PROBLÊME. VI. en 21 D'un lieu élevé perpendiculaire ha U deffus d’un terrein , & dont la \ PES Peut étre connue ; trouver la larde ce terrein. Site le lieu élevé au deflus du ter- Fig. 107 d je ture ? ? Comme par exemple , louverde “ne croifée , ou la partie Me k li he tour ; il faut de ce lieu melurer 1€ horizontale À B. | °: M s Pofera le demi-cercle en C, de die "€ que fon diametre foit perpen- Culair , Il l \ CA: HGUe au terrein.où para ee? x ave! CE fort aifé, en mettant un fil L | RE da ie Plomb à l’extrèmitéfupérieure ent jètre, & en arrangeant LE laure Maniere que Le fil paile aufli par — ÉExtrèmité, EE Fig. i08. 178 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE , Cela fait, on fera mouvoir l'ilida Le jufqu'à ce qu'en regardant par fes pe nules, on apperçoive lé point B; 2 © : on aura l'arc ab du demi-cercle dÙ donnera la valeur de l'angle à L'angle CAB eft droit, puifquon LS pofe que AG eft perpendiculaire pe terrein : ainfi il ne s’agit plus que . ue | connoître C À pour pouvoir conftruile Pouf le triangle CAB fur le papier. à cela, on fera tomber un plomb où ü° pierre par l’ouverture C, auquel 11° attachée une corde, & on le fera defcen” dre ainfi jufqu’en À ; mefurant en ul la longuéuf de cetre cordé, compil ue À ne 3 s{1É entre C & À, on connoîtra la hautél, CA, & par conféquent on pourra con” noître AB, en conftruifant le triangle CAB fur le papier, comme dans Jes problèmes précédens. PROBLÊME.VIL - 222. Mefurer un angle À BsC donr on ne peut approcher. H fauc choifir dans Ja campagf® uñ point quelconque D dans le prol0 5 ment de BC, & y faire planter UP PE. œ quet D, & de même un autre por ge” q OU ET DE GEOMETRIE 279 | fans le prolongement de À B : enfuite IMaginanc [à ligne DE, on mefurera les angles BDE ; BED : on ôtera leur Mme de 180 deorés; le refte fera la , * Valeur de DBE x” &c par conféquent * N. 178, elle de fon oppofé au fommet À BC. REMARQUE. 223. Si l'on peut approcher du point Fig. 108: ON mefüurera fort facilement & fans Mfrument , l'angle ABC; car prolon- Sant Les côtés AB & BC d’une gran- ; “ atbitraire BD.&.B E, & les nee le B; de même que la diftance DE e SES Extrèmités D & E, on aura un | “angle DBE donr lestrois côtés feront & nus. enforte qu'en le ns : le Papier , par le moyen d’une échel- Ta ta Pourta après cela en mefurer les aies avec lerapporreur, & er se ut l'angle propofé À B C* qui eft éga 1905 DBE : en © Peut de la même maniere mefurer Fig: 109: ; dedans un angle BG acceflible. é PROBLÈME VIli hard. Faire La carté d'un Pays: La Carte d’un pays eft une figure pla Ss fur laquelle font marqués tous les lieux qu'il contient, fuivant Fig 110: | ligne A B des extrèmités A &b; [l 52 ABRÉGÉ D'ARITHMETIQUE. qu'ils ont entr'eux. C'eft propt la politio® emént une figure femblable au pays, fur laquelle. a eux on connoît toutes les diftances des Het par le moyen d'une échelle. RSS 1 pad Cet On n’a pas deffein d’entréf dans © ouvrage dans tout le détail dont € opération eft fufceptible : on veut feule” ent donfér une-idée: de la mans dont on y procede , par le moye” triangles. Ceux qui voudront une Cor inf truétion plus ample {ur cette matiere > pourront confulter utilement le li titulé, Méthode de lever les plans ® 4 fe ven” cartes de terre & de mer, &c. M yre 1° chez Jombert , rue Dauphine, à Parts 1 Pour lever-la carte d’un terrelP > : faut commencer par choifir un end," dans la campagne ; duquel on puiffe couvrir beaucoup de lieux con id CA f A“ fidér. " . 2 A bles , comme clochers , moulins, € teaux, &c. \ : a | une On fait mefurer dans cet endroit Ü de 247 quelle on découvre le plus qu'il eft po” ble de ces licax. On place le demi-cercle au p9 & l'on fait planter un jalon en B, on'attache du papier ou un int À auquel hoif moucre, . : #4 os blanc , pour aider à découvrf plus # ment cejalon de A. A ÆETDE GEOMETRIE 281 Si difpofe le demi-cercle de manie-. hi AUEn regardant par les pinnules où . [uiette de fon diametre, on voye le Ron B, Reel fait, on prend tous les lieux re- “quablesC, D, E, F, &c. qui font non k ligne A B, c'eft-à-dire, qu'on gPégine les lignes AC, AD, AE, &c: Due on mefure les angles CAB , av B, EAB, &c. que ces lignes font éClabafe À BR. : | : pot écrit fur une feuille de papier ; far Fig. 1e ‘a telle on figure l'opération , & qui v fPelle brouillon où mémorial X , la 0 Ut de chacun de ces angles, avec le Écr; des lieux C; D, E ; &c & lon Le long de chacune de ces lignes Re AD. AE, &c le nom du ÇG Obfervé , c’eft-à-dire , de l’objet ie E , &c. S ces angles ayant dues fur fe ol X,on Ôte le Pen Cercle du point À; on met ä la | tive Un jalon avecune marque diftinc- Pos POur le faire appercevoir de B , & : Pofa Porte l’inftrument en B , où on le ins, € Maniere qu’en regardant par les _ Pn nt | On fules où la lunette de fon diafnetre ; été mefurés & Fig. 110 flo. tPpercoive le jalon À. | R imagine enfuite les lignes BC, . Re ER 282 ABREGE D'ARITHMETIQUE BD, BE, &c. & l'on mefure les an - gles CBA, DBA,ABE, &c c'eltà- dire, ceux que tous les lieux obfervé par la premiere opération, font avec 1 BUS re extrémité B dela bafe.À B ; on écrit” : long de chaque côté BC, B D, 8e: M7 cé fur le mémorial X, le nom des objet C , C; &c. comme on la fait en À; LoP écrit aufli la valeur des angles obfervés ou mefurés entre les côtés de chaque 2e gle , dans un petit arc renferme ent ces côtés; le tout comme on le yéiren 7 qui ef la figure dece mémorial. Par cetre feconde opération, rous les lieux C, D, E, deviennent Les fon” mets des triangles ACB , ADB; es - quiont AB pour bafe commune » dont les angles de la bafe font of par les opérations que l'on a faires à 1€ extrémités. Il fuir delà, que les 0 ; : z Ces chofes qui déterminent chacun de je Use triangles , font connus * :ainfi il ne er git plus que de les rapporter fur le pi : : pour avoir la pofition de tous ea RE NT obfervés delabafe AB, c'eft-à-dire A mettre au net le mémorial X. “ Fig, nn Pourcela, il faut tirer fur le papi® f t onnéf n trouvé Je ter” & 12. - une ligne ab , à laquelle il fau autant de toiles de l’échelle quo qüela bafe À B en contenoit Auf Qu ten nr DE GEOMETRIE | 3 À fes extrémités a & 2, on ait, nee Je rapporteur, des angles égaux à Ceux qui ont été mefurés aux PRES À'8c 3 in ; COTÉS : ce ie È nes es e RE ans 81e Étant prolongés, Pa ie és points c, d,e;, UE qu li. nent, fur le papiér , la pofition MC, À , E, &c.le point co les lignes fitr lefquelles on a écrit le lieu lien Supent, donne la poñrion : ge 5 Celui où fe joignent celles fur lettelles On a écritle lieu D, donne la pO+ de D ; &ainfi des autres. À prend & on rapporte de Ja même conne la pofirion de rous les cbjers kR me étables qui font de l'autre He tan à & filon veut PÉRAES HE pas déc hombre de polñitions que l'on n on te des extrémités de la bafe À B, ce SOI fit pour nouvelle Bafe Ja diftan- Du deux lieux C & D déja dérerminés éS premieres opérations ; & l'on ao énfuite La ofition de tous les lieux ÉCOuvre de pare & d'autre de cette Yelle bafe comme on l’a fair fur la Loniere À B; après quoi; sil en ci bas ? > on choifit encore une ROUE e inf “mme la feconde, & l'on opere facceffivement fur chaque bafe,juf- © Se que l'on ait la poñrion de tous les 284 ABREGE D'ARITHMETIQUE bourgs, villages, hameaux , châceatl*» &c. F lieu dont on veut faire la carte: ‘On rappoñte fur le papier toutés opérations faites fur chaque bafe ;-CONR me on a rapporté celles de la bafe AB: On place après cela Péchelle dans un 0° droit dela carre, &onla divife en roiles ou en lieues, fuivant Ja mefure que” repréfente; le tout comme on l'a exp" qué , n. 204. Une attention qu'il faut avoir €n PE nant la pofition des lieux qu'on veu marquer fur la carte, c’eft que ces jieux ne faffent point avec la bafe des angles trop aigus OU Crop obtus ; autrement Je point d'interfeétion des lignes qu F donnent la pofition , deviendroit difict” le à diftinguer, parce que ces hgnes fe couperoient trop obliquement. Pouf evr : nt ter cet inconvénient, il faut , autre nt là pofition des lieux qui font vis-à-vl$ part & d'autre. Pour les autres on les déterminera par de nouvé”""” ; fes qu'on choifira , de la maniere hd jugera la plus avantageufe pouf avoir exactement la pofition de’ces lieux : S'il ya des bois dans le pays dont? fait la carte, on prend la pofitio® Ca Une 0 Ptinci ET DE GÉOMETRIE: 25 Ses spaux arbres qui Les epoenes e mé OIéS ; après quoi l’efpace renfer- Ha des lignes tirées des je aux au- & La & Onne für la carte l'emp acement ,* Mgute du bois. On déterminera de ME le cours des rivieres, en prenant Pofition de différens grands jalons dé ” fait planter fur les bords pour avoir FEns points du bord de ces rivieres. à REMARQUE: 225. ]l eft dufage de marquer fur les Ftes le côté du Nord, on le fait ordi- LEMent en y deflinant une bouffole ; {a re eft celle d’une efpece de croix de f Walier, dont une des pointes a de a de-lys ui exprime le coté du Nord. de TAune carte a une bouflole, on Quelle eft orientée. acte I eft aifé d'orienter Re ja tée prervant 1 angle que l ete ec us at fur le rerrein avec la bale que * On lurée, C'eft principalement pour cer Obfervation, qu'au centre du demite € on conftruir, prefque toujours ; * bouffole qui ne confifte que dans guille aimantée, qui tourne libre l L . ent fur un pivot. On fçait que la pro- Dtides He : ? Priété de cette aiguille ef d'avoir tou- Re. RP SE ERA 292 ABREGÉ DARITHMETIQUE, gies font égaux à quatre angles drolts » £. faut tirer la diagonale D À, qu! le p? tagera en deux triangles quelconqu” ABD, A DC, Lesangles de ces ue gles fontles mêmes que ceux du qu? de Pteses lors chacunicvaut ‘deux’ 208 : * N, 177. ATOS * donc le quadrilatere en v45, quatre. C. q.f. d. PROBLEMES. I. z : 1, pol Fig.i26. 242. Une ligne A4 Bétant donnée PP le côté d’un quarré ; décrire ce quar: 6 RESOLUT.ION. Aux extrémités À & B de la ligne donnée , élevez des perpendiculaif AD & BC, égales chacune à 2% joignez ces perpendiculaires par RS ; ; DC, & le quarré fera conftruit: cé *N. 229 eft évident Fa - ï I. dont les 243. Conftruire un reëlangle Grau deux côtés qui font un angle , f0! He aux lignes données A 6 B. RESOLUTION: 5 à , à a jigné Fig. 127. Tirez une ligne EC égale # : LÉ S donnée À ; élevez à es extrèmi . Cr ie ET DE GEOMETRIE« 29% Le * Perpendiculaires EF;C D , gaüre acune à l’autre ligne donnéeB, & z PD. Le rectangle E CD F aura | pou côtés les deux lignes À & B. Ce qui Évident. PISE | +44 Conflruire un parallélograrime , Fig. 128 ai @L, pour côtés. deux lignes’ égales qe ane données. 4.€.B qui. faffént don p 5 un as égal si ist ouf RESOLUTION. Tirez une ligne-DF égaleà À, & É tes; au, point D: l'angle FDE égabà mesle donné C ; prenez DE égale à B, ft RO centre &de Q'étvalle DEF , décrivez umare vers Cent ü point F' pris-enfuitel aufli pour Un £ e, &. de l'intervalle D'E, décrivez . SCond. arc qui-coupe le premier-en tall 1 tez GEF& GE, vous: aurez le paélogramme incliné DE GE, 'avecles C 1 Li Onftances. demandées. N iij ee 294 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE RCA Des Polygones. : 245. Ok appelle Po/ygone toute figuré de plufieurs côtés ou de plufieurs an8 es. 246. Suivant certe définition > les triangles & les quadrilateres font des polygones, & ils en font effectivement mais dans l’ufage ordinaire, on ne fe fer du terme de polygone que pour les - gures qui ont plus de quatre côtés. , Chaque polygone a un nom particu” lier qui fe tite du nombre de fes côtés OÙ de fes angles. : Cr anoD SGA _-247. Celui de cinq côtés eft app Pentagone. : DE CE SRI 248. Celui de fix, Exagone. 249. Celui de fept, Epragone. 250. Celui dehuit, Oüogone. 2ç1. Celui de neuf, Ennéagones 252. Celui de dix, Décagones 253. Celui de onze, Endécagoné* 254. Celui de douze, Dodécagoné & 265. Er enfin celui de treize ve appellé Polygone derreize côtés , °° + y a des polygones réguliers & des irréguliers. jé À ET pe GEOMETRIE 295$ : 256. Le Polygone régulier eft celui Fig. 129 Qui a tous fes côtés & fes angles égaux ; & 130. k eft le polyoone A; & L'irrégulier eft celui qui a de l'inégalité dans fes côtés re fes angles, comme, le polygo- 257. Les côtés qui terminent Le poly- 5 ne fe nomment tous enfemble fa cr- _ Cnférence où fon perimetre. 258, Tout polygone régulier X, aun Fig 131. gite. C'eft un poinr © également Rs du fommet des angles que ee emble les cotés AB, BD, &c. du Po Ygone, Fa n confidere deux fortes de rayons :nS le polygone régulier ; fçavoir le Toit & l’oblique. , 259, Le rayon droit eft fa perpendi- Cülaire CE abaiflée du centre C du po- Ygone fur un de fes côtés quelconque 260. Le rayon oblique et ha ligne Toite tirée du centre Cà un des angles Qelconque du polygone, comme A, HOCC: | 1.761 Le rayon oblique mefure la difance du centre du polygone aux angles À fa circonférence ; & comme toutes ES diftances font égales, par la défini- 9n du centre du polygone , il s'enfuit | N iv 296 ÂBREGÉ D'ARITHMETIQUE que tous les rayons obliques font égat* entr'eux. I fui auffi de la définition du r2J0® | droit; Er | 262. 1°. Qu'il mefure la diftancé du centre C du polygone à chacun de Jes FN 16. côtés À B*. À A5 263. Et 2°, Qu'il coupe chaque cos 4 B du polygone en deux également. Car le centre C étant, par fa défi “N,258. nition, à égale diftance de À & deB > & CE étant perpendiculaire fur AB | doit avoir tous fes points à égale diftancé * M, rr2. de À & de B*; ainfile point E du raÿ®® droit CE eft au milieu de A B. 264 3°. Que tous les rayons droits comme CE, CG,6c. font égaux. Fiz.i5n, Car tous les côtés du polygone j étant égaux, cles rayons droits Les cotl pant perpendiculairement , & en 4 + M. 263. également * , leurs moitiés AE, B©> &c. font égales : or fi l’on imagine JU BG foit porté exaétement fur À Er angles ÀEC, BGE, étantdroits» G - tombera fur EC, &° comme les lignes AC&BC font égales, que d’ailleurs | . , . C- les points qui les terminent font les n° ue: mes dans cette pofition , il s'enfuit q |: 1r0SiS | + Les 4 ET DE GEOMETRIE | 294 “* deux triangles À EC&CG B {fe CoUvrent exactement. DoncCE eft égal : donc, &c. ; à ra polygone régulier, commeX, a Fig. 131 AL deux fortes d'angles ; fçavoir, CE #3 u centre, & celui de la circonté- Ence, té Fe L'angle du centre d'un polygone | SUler, eft un angle ACB formé de EUX rayons obliques CA , CB qui fe D: “EMinent aux extrémités À & B du’ mé- $coté du polygone. à Re: k 266. Er l'angle de la circonférence eft T angle , comme ABD, formé de : Eux côtés À B, BD du polygone. » orfque le polygone “eft irrégulier, Fig. 130 OMme Z, il a quelquefois des angles léntrans & des faillans, ; Hz L’angle rentrant eft un angle, : ‘Mme À , dont le fommet rentre en Edans du olygone , &c dont la mefure à en dehors. & le faillant, comme B, ‘ he un angle dont le fommet faille en de- Ors du polygone , & dont la mefure eft SA dedans. Les polygones réguliersn'ont Ie des. angles faillans. THEORÊME L | 268. Si l’on tiretous les rayons obli- | N v ELLE 108 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE, ques d’un polygone régulier XS il fer partagé en autant de triangles égaux 5 qu'il a de côtés. F4 _ Fig.132 Cette propofition eft évidente; tous Les rayons obliques érant égaux “ * N. 261. tr'eux* , de même que tous Les cores all polygone , il s'enfuit que les triang ie comme ACB , BCD, &c. qui chacun pour bafe les côtés égaux du po" gone , & qui ont pour leurs deux tres côtés deux rayons obliques » leurs trois côtés égaux ; chacun à cha?" TN. 190. donc ils font égaux *, COROLLATRE: Il fuit de cette propoitionts , ‘ Fig. 132. -, 269. 1°. Que tous les angles des triangles ACB, BCD, &c. du pol , gone À , fenr égaux, comparés chacur à chacuñ, parce que ces triangles LA # Ni 190. leurs trois côtés égaux * ; qu’ainfi 404$ fier angles du centre d’un polygone régur font égaux entr'eux. è 270 Mais comme tous les an qu’on peut faire autour d’un même P° C , ne valent jamais que quatre 418 7 * M. 90. droits * , tous les'angles du centre V4 Fa donc , pris enfemble, quatre 41877 dioits. Comme ils font égaux entr'en*? gles int les: 2 LT ET DE GEOMETRIE 299 d qu il y en a autant que le polygone $ cotés , ils partagent la circonférence U cercle , c’eft-a-dire ; la valeur de Aatre angles droits en autant de parties Coales que le polygone a de cOtés. D'où U fuit, : 271, Que pour avoir l'angle du centre hdd olygone régulier quelconque ; il faut. Wiér 360 degrés par le nombre de fes Aïnf l'angle du centre du pentagone Vautla cinquieme partie de 360 degrés » U 72 deorés; celui de lexagone la fi- *leme partie de 360 degrés, ou 60 de- 8tÉs ; celui du décagone la dixtéme pat Ue de Ja circonférence, où 36 degrés , ainfi des autres. 272. 20. Que les angles CAB; CBA, CBD, &CDB, &c. fairs fur Les côtés À B, B D du polygone par les o ayons obliques CA, CB, CD, &c. | font au égaux entr'eux ; parce qu à Can € de l'égalité de ces rayons, ces trlan- Sles fonr ifofceles ; ainfiles angles À B G:xs & CB D font égaux entr'eux *. Donc * AN. 182. Us font chacun la moitié des angles de la | Mtconférence du polygone. Doù il fuit, 273, Que chaque angle de la circonfé {vi a 300 Anrecé D'ARITHMETIQUE rence d'un polygone régulier ; comme A BD ou B DH. eff coupé en deux égar lement par lerayon oblique € B ou CD. | Fig.132. 274. Ain pour trouver le centte C: d'un polygone régulier X, 1l faut cou” per deux angles de fa circonférence ! | comme G AB, & AB D en deux 68% | lement, & le point de rencontre C » Sr lignes À C, B C qui divifent ainfi cé° angles ,.fera le centre cherché du po gone. THEORÈME II Fig.133: 275. L’angle du centre À € B d'un po. | lygone régulier quelconque X ,. & Pangle” de la circonférence D À B du même pos gone ,. joints enfemble, font égaux à deux angles droits. DEMONSTRATION. Confidérez que les. trois angles d% | triangle À CB font égaux à. deux 498 5 * A, 177. droits * , & que:les deux angles de de bafe ;. fçavoir, CAB, & CBA: fn chacun la moitié de l'angle de la cHeonr * N.273: férence de ce polygone * : donc ils ne R pris enfemble égaux à cer angle ; le | joints avec l'angle du centre À CB; Fr ET DE GEOMETRIE 307 ue deux droits : donc l'angle de la cit. joi “rence D'AB, qui leur eftégal, , de à l'angle du centre A CB, vaut | 1 deux angles droits. €. q, f.d.. COROLLAIRE: us fuir de cette propofition : Que pol qu'on connoît l'angle du centre dun ag e0ne régulier , on peut connoitre AAA celui de fa circonférence ; car ce it de 18 degrés l'angle du centre de RAS Ygone ,-le refte fera la valeur de ! de la circonférence. ét ns l'angle du centre du ponne il teft 672 degrés > f on l'ôte de 1 7 bn Eera 108 degrés pour la valeur de 8le du centre du penragone régulier. et déterminera de la mème maniere Pont des autres polygones réguliers, & tee VE que l'angle de la ie Celui JS l'exagone eft de 120 a ; del à l'epragone de 1 28 degrés, celu Oétopone de 135, &c. THEORÊME III. ren 7° T ous Les polygones réguliers différom ? ais de même nombre de côtés , e. ŸS angles du centre égaux ; de mé- Te cœux de la circonférence. NN 306 ABREGE D'ARITHMETIQUE, lygone régulier d'un mème romane côtés , il faut prolonger Les rayons Mae du polygone infcrit , jufqu’à la ren ne tre de la circonférence de ce ceic? mener À cette circonférence ; P# points où ils la toucheront , des t418° tes reérminées de part & d'autre paf prolongement des rayons oblique Fe premier polygone; & que ces range? QE donneront un polygone circonferit lé cercle du même nombre de côtés l'inferir. : % | 9 Let le FHÉORÊME 20 284. Le côté de l’exagone régulier infor” dans un cercle, eft égal au ray0f CERCLE ee Fig. 136. Soitl’exagoneréoulier AB DE, Li infcrit dans le cercle X; je dis qué” côté AB eft égal au rayon AC de cercle. | DEMONSTRATION- n £ e of Tirez le rayon oblique C B qui de “a nera le triangle CAB, quiafest0 gles égaux. f le) ep on Car comme l’exagone a fix ie à angle du centre A CB vaut la Le d partie de la citconférence, où 6° fo ) ,, ÊTDE GEOMETRIE 307 SS*; les deux autres angles du mème * M. 27r. Lui LS k D ; eR fngie CAB & CBA, font égaux di fUX, à canfe de l'égalité des rayons | ‘ques CA & CB * : ainfi comme *V 182. ch Ho angles de tout triangle valent . 0 egrés*, & que l'angle C en vaut N. 177 deux il refte donc 120 degrés pour É dde o8ls CAB & CBA , celtva 60 pour chacun, puifqu ils font ' X : donc les trois angles du trianke AB C font égaux entreux : donc, LS CÔtÉS Le fonc auifi * : donc le côte”. 182° de l’exagone eft égal au rayon CA "Cercle dans lequel 11 eft inferit. C. %£ d THÉORÊME VIL ns Plus un polygone régulier infcrit F5 un cercle a de côtés , plus ils font do G plus: ils s'approchent de Ja cirfer ence. DEMONSTRATION. Pon infcrit dans un même cercle Fig. 1372 cs Polygones , dont le nombre des l'a & vid t £ N. de fun foit double des côtes de re , comme par exemple, un quarré ‘n oétogone, cette propofirion fera £nte ; parce que chaqué côté du ASS R ER SN 308 ABnEck D'ARITHMETIQUE quarré répondra à deux cÔLésS de-Loëee gone , qui faifant enfemble une Bee courbée , feront plus grands que /€ hr * N, 26, du quarré qui les foutient *. Mais po® le démontrer généralement, :, des Il faut confidérer que les cotes ë pobrgonés font les cordes des partie® i | a circonférence du cercle dans leque” * N.279. eft infcrit *, Or plus le polygone a 4 côtés , plus ces parties font en se nombre, & conféquemment plus DL à. font petites : donc les. côrés du P° . gone qui les foutiennent ou qui leu! : Fr vent de cordes, font auf plus perle : mais plus les cordes font petites der un cercle ou dans des cercles égal? plus elles font: éloignées ducentté * N. 153. cercle * : donc plus elles s’approchent frcrcontérencesnsor rm 7h CoOROLLAIRE. Il fuit de-la : 286. Que plus un polygone inferit dans un cercle a des côtés ,. plus fa cir conférer ce eft grande: : LE s Lancé Car il eftévident que la circonféren à du cercle fera toujours plus:grancé Le lus celle du polygone infcrit, puifque côtés. étant des lignes droires ; font P ET De GEOMETRIE. 309 Pets que les arcs qu'ils foutiennent ; Us plus il à de côtés, plusil approche $ * à circonférence du cércle, ou moins en differe : donc il eft plus grand : on, &c. THEORÊME VII fé 287. Plus un polygone régulier. ctr- Sonferie à un cercle à de côtés ; plus L 1 \ TE conférence ef petite. DEMONSTRATION. g Cette propofñition paroïtra évidente ; Fig.138: A l'on circonferir à un ceréle deux poly- Ones , dontle nombre des côtés de lun _loit double des cotés de l'autre, par Ékémple , un quarré & un oCtogone; OMmme le quarré À B CD& l'octogoabcde, &c. car il eft clair que le Ê0té ap de l'octogone eft plus petit que SS deux parties a À, Ab du quarré; quil en eft de nième à tous les autres qples dece quarré À D, & que le refte | : € loëtogone eft commun aux deux po- 2J8ones. D'où il fuit, que la circonfé- | qe du quarré eft plus grande que celle Ée l'oétogone. ‘Mais pour le démontrer éhéralement , l'faut confidérer que la circonference ee EE 310 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE du polygone régulier circonfcrit ef jee jours plus grande que celle du cercle» Fe cet axiome, que ce qui contient ef P Fe £rand que ce qui efé contenu ; Que chaq® côtédu polygone circonfcrit rouchele en cle dans l'extrémité du rayon droit ; CET *N.280.à-dire, par le milieu * ; mais que pe les côtés du polygone font petits ; moins ils s'éloignent de ce point de prie d'autre, ou, ce qui eft la même choie 2, plus leurs extrémités s’appiochent ie circonférence du cercle : or plus el de s’en approchent, moins la fomme | cotés du polygone differe de la circonie rence du cercle, c’eft-à-dire, plus € eft petite : mais cette fomme en apPi9 che d'autant plus que les côtés du poly: gone font perits , c’eft-à-dire, qu’ils ont. en plus grand nombre : donc, &c. REMARQUE. 288. Il eft évident que la circonfé rence du cercle contenant celle du poly À gone infcrit , & étant renfermée 275 le circonfcrit, elle elt plus grande que 4 circonférence du premier polygone» plus petite que celle du fecond : mais comme ces polygones approchent our > s tant plus du cercle qu'ils ont un P# * bre de côtés *, fion fuppofe Fibre de ces côtés infini , ils fe con- On "Ont alors avec le cercle , dont la Crco nférence peut ainfi être conçue com- e “Oimpofée d’une infinité de côtés 1n- ] ment petits. Dans certe fuppoñtion ; pcetcle devient un polygone régulier “éinfinité de côtés : cet pourquoi qu CE que l’on démontrera dans la fuite t ie louliers, pourra s’atttiby Polygonesréguliers, p 4 à] | , ÉTUDE, GEOMETRIE 34% Slahd nom JT ét pareillement au cercle confidéré * Somme polygone. THEORÊME IX. qe 89, Tour polygone régulier ou irrégu- Fig. 139% try Ÿ » peut être partagé par des lignes Fes un de [es angles D a [es autres an- Fe 4GB , Éc. en autant de criangles M 4, DAB, &c. qu'il a de côtés, 07 5 deux côtés. : DEMONSTRATION. d Confidérez qu'il faut AedEenens x côtés du polygone pour avoir le | Mier triangle DFA , de même que 1enier DEC , & queles autres trianeSTont compofés d’un feul côté du popare » & des lignes DA, ne si ». En dedans le polygone. D'où i * EEE 312 ÂABREAGÉ D'ARITHMETIQUE, fuir, que fi l'on retranche de la cire? rence du polygone les deux cotés | de & DE qui forment l'angle F DE; 7e fommer duquel on a riré les lignes" à DB, &c le refte des côtés du poly Lt donnera le nombre des triangles dans 4 quels il aura été partagé: donc il 14 aura autant que le polygone à de cotes + moins deux côtés : donc, &c: COROLLAIRE: Il fuit de cette propoñrion qu£ nl 290. Les angles de tout polygone J0re égaux , pris enfemble, à deux fois ar ds, {angles droitsque le polygone 4 de «0 moins deux. Car on vient de voir que tout po gone peut fe partager en autant de gris oles qu'il a de côtés, moins deux Ont angles de chacun de ces criangles o 2j formés de rous ceux du polygon6s qu * N. 177: valent deuxdroits * :-donc les an£ É Fe polygone valent deux fois autañf 4 gles droits qu’on y peut former 1e 2 gles par des dite tirées d’un de ? d'il gles, c'eft-à-dire, deux fois autant a de côtés, moins deux. €. q: °°” pPROBLEMES ! À AUX RE ET De GEOMETRIE 31 PROBLEMES. I. mn T. Jnfcrire un quarré dans un cercle né, RESQOLUTION. 2 Soit Je cercle donné Z, dont le cen- Fig. 140% € € C : tirez deux diametres AB, a qui fe coupent perpendiculairement C; ils diviferonrla circonférence du Ce à s ne k icle 7 en quatre parties égales : tirez ; Cordes À D, DB, &c. de chacune 4 DR parties, & vous aurez le quarté E, DEMONSTRATIONS | k Les lignes AD, DB, &c. font éga- . 5 Étant cordes d’arcs égaux *, & les jsles ADB, DBE, &c. qui ont 1e fommet A la circonférence du cercle, oo s'appuient fur un diametre , font Its * S": donc, &c. EE n 22: Infèrire un oëtogone régulier dans nn, “ercle donné. PINS soi &N,1664 RESOLUTION. lafcrivez-y d'abord un quarré pat le Fig. 141 S: re) Æ19, 142: da : jr4 Asrecé D'ARITHMETIOVÉ problème précédent , & divifez chaqr” arc que foutient le côté du quafté» Fa deux également : tirez enfuite des bg | droites d'une divifion à l'autre, & YO aurez l’oétogone demandé ; ce qui : évident, à TILL : 293. TInferire un eXxagone dans url cercle donné ; dont le centre eft C. RESOLUTION. % & le Tirez le rayon C A du cercle z | le portez fix fois fur fa circonférence » divifera en fix parties égales ; C9 4 qui eft évident par la propoñtio w n°. 284 LV, 294. Inferire un dodécagone dañs gercle. RESOLUTIO N. Divifez d'abord la circonférence cercle en fix parties égales , comme Eire y infcrire l’exagone ; coupez 7°, chaque divifion en deux également? 4 | tirez des lignes droites d’une, divi 7 : Vautre, elles donneront le dodéca8” Anfcrit au cercle. PT pe GEOMÉTRIE 31$ y. , A 0 295$. Dans un cercle donné ; tyférire #n ; 4 - > rlangle équilatéral. ue divifer fa circonférence en fix at / nas : ? FUes égales. comme pour y infcrire un Fig. 1422 Fone, & tirer enfuite des lignes dre t 2h Fe d de La premiere divifion la troifieme, à celle-ci à Ja cinquieme , & He ème à la premiere, & l'on aura le 1 . 2 2 au Né ngle équilatéral 15 3-30 ps ay Se; car chaque angle, Fed > ÿ ft pour mefure la moitié des, deux à É Xlêmes parties de la circonférence fur Quelles il s'appuie, c’eft-à-dire, un q fne >] CC: PROBLÈME VI ne Infcrire un polygone régulier | onque dans un cercle. ce Trouvez d’abord l'angle du centre de bar h°Ygone , en divifant 360 degrés {ii le nombre de fes côtés * : tirez enaf, « xrayons qui faffent enfembleun k t 7 ayons € de l'arc compris entre ces deux °RS ; fera le côté du polygone de: Oij ja & de la cin-. Vers de la demie *, il fera de 6o degrés: * W. 15%4 * N, 2710 tgal à celui du centre du polygone: A | 322 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE même cercle d’un même nombre de côt Fi, h Le Ce problème s’exécutera de la meme maniere que le précédent. PROBLÈME X. : Fe Re our -: quelconque ; dont le côté foit égal al ligne donnée. [ uelle dolcon” LS O VUS © S ss 5 ES & à ER SA RE (où S D w à T & “Fig, 146. Soit la ligne donnée AB fur on veut décrire un polygone q _ que, par exemple un octogone. RESOLUTION. DAYS Il faut commencer par trouver 1e ele du ‘centre de l’octogone, & cela a FA. 271. divifant 360 par * 8, on aura 45 deg be pour la valeur de cet angle ; on Aie 45 deorés de 180, le refte 13$ ne l'angle de la circonférence de l'oct XIN. 27e pOne *. -275 8 s 6 276. Ce petit calcul étant fait, on fera LA points À & B des angles B A C égaux chacun à la moitié de 13 2 degrés» togone, C'eft-à-dire de 67 degrés 3e minutes ; les côtés de ces angle prolongés, fe couperont dans ün P C, qui fera le centre du polygon® oinË de” ET DE GÉOMETRIE. 323 ” = Mandé* : enforte que fi de ce point pris | W. 27 Ag. PO céntre, & de l'intervalle C Du N re décrit un cercle, le coté À MVifera fa circonférence en huit parties Bales, REMARQUES. 1 304. Par ce problème, OP peut ou Uuire fur le rerrein un polygone reg # ÆT quelconque, dont le côté, aitu : fombre. de toifes fixé où PRES | Cat il n’y a qu'à décrire furun plan; at Le moyen d’une échelle bien pese : tracer iur 16 ÿ polygone qu'on veut tr À e Rétrein, donnant à fon côté autant bifes de l'échelle qu'il doit en avoir {ur à ! ré Éterrein, alors il fera aifé de connoï He avec l'échelle la grandeur du rayon (à ce ÿ os ét zette granc : Tan {bortera fur le terrein avec le Lee | re, & fuppofant que C foire és Our le C d solvgone , on ÏIera entre du polve Pole AC à 1 ” ù ang'eSs Dee cet inftrument les ang; de “3 ù € d » &c. égaux aux angles du En, U polyeone :-& faifant les COTéS 7 5 CB, CI : les, égaux am ES GD gré de ces anpiess 5 ombre de toifes des rayons obliques-css v} ane connue, on fe Fig: F47* 24 ABREGE D'ARITHMETIQUE polygone, mefurés fur l'échelle du plan” Les lignes AB, BD, &c. tirées par © peut réfoudre le mème problème 2 Wir. 148 . . e= extrémirés des rayons obliques ; donné 3 9 ront les côtés du polygone demañ Ce qui’eft évident. LE 305. Au défaut du demi-cercle, 0 planchette dont on a déja parlé n- 104 & fuivans. Il s’agit d’avoir le polygone veut cracet fur le terrein, exacte deffiné fur le papier, comme remarque précédente , par le m d’une échelle : il-faut l’atracher fe planchette, &la mettre au point U> doit être le centre du polygone; mis enfuite une épingle bien perpen Me airement fur la planchette au centré du polygone , & de même à trous fes angles À ,B, D, &c, “Cela fait, il faut faire planter dé Piquets dans la campagne , dans lai Snement des deux épingles qui donne? les rayons obliques du polypore? 113 faire mefurer fur ces alignermens les 4 gnes Ca, .C,:Cd nc égales, nombre de toifes que Îles rayons ces ques doivent avoir fur le rerreut dans | 4 dieu LrLs. * , 3 a lignes | DE Cet 325 es extrê mme ab, bd, &c. tirées par es côté mités de ces rayons, donneront : S du polygone. 11T Re Si une ligne comme À B étoic Fig. 473 de Ce fur le terrein pour le côté d ur ù Ygone régulier, & que le milieu de ma BONE fe trouvait embarrallé de Cu, on ou autrement ; ON pourroit cir- Dee , pour ainfi dire; le polygone Our de cer efpace, en faifant au point noce la ligne AB, l'angle ABD égal: angle de la circonférence du poly- Bone, & enfuire BD égal à AB; puis % point D, un autre angle égal encore U précédent, & continuer ainfi l’opéraoù jufqu'à ce que le dernier côté du Mlysone fe réuniffe avec le premier au Olnt À. : È LL opération demande une Bt el itude dans la mefure des ang es : 5 ne peut fe faire avec précifion fur le ein qu'avec un infirument dont les vit, foient affez grands pour être Moins d cmq en cinq minutes » OÙ 4 € 1O en 10. PROBLÈME Xl 307, Faire une sure égale & fembla- Fig. 149> CS EE grande SR . | 926 ABREGÉ D'ARTTHMETIQUE, ble à une figure donnée ABC DE z 5 2 ce qui eft la même chofe ,; qui 4 même nombre de côtés, & le mêm bre d’angles égaux ; chacun 4 pes enforte que ces deux figures écant PYE"". 1 tr CXGE* Pune fur autre ; puiffent fe couvrir CNE LENENLe | RESOLUTION: Il faut partager en triangles la 18% donnée, & cela, par des lignes d’un de fes angles D aux autres À & B. | On tirera après cela une ligne 4 à À B, fur laquelle on conftruira le _bdletriangle deb égalà DCB, & € fin furad le triangle aed égal au rrian _gle AED; ce qui étant fait, ileft ES #N, 190, dent que les troistriangles, qui comp0" fent le polygone abcde , font aux trois qui compofent le propofé À ” CDE*, & qu'ainfi ces deux figures ? ces deux polygones , font égaux: PROBLÈME XI 308. Faire le plan d'un polyg01€ auf gonque , donné fur le serrein. # On appelle le plan d'une figure © ême nom / hacut >. b égale rrian* adb égal à ADB:on fera enfuite #4 Lgautf 1 ÊT DE GEOMETRIÉ 527 d Un polygone tracé fur le terrein, un + Geffein qui le repréfente en petit > (a si en fait connoitre toutes les dimen- FR ElONS.. . 5 : + , ri Soit le polygone AB CD E un terrein Fig. 158% plelconque : dont on veut faire ou /ever RpAc * c'eft-À -dire . prendre toutes les l Efures néceffaires pour le defliner fur RESOLUTION- 1 On le partagera en triangles par des Bnes imaginaires tirées d’un de fes an- SD, auxautres angles, comme dans É problème précédent. His fera à vue fur un papier, une | Quiffe ou brouillon de la figure; on ÿ | Marquera toutes Les lignes imaginées ti= %S dans le polygone , & qui le par-: | ‘gent en plufieurs triangles. On mefu- a toutes ces lignes fur le rerrein, de me que celles qui forment le contour QU A circonférence du polygone , &l on ira leur valeur {ur chacune des mé Sslignes marquées dans le brouillon. oùt mettre ce brouillon où mémorial A net, on fera d'abord une échelle, AE grandeur fera relative à celle | dt On veut donner au plan; on conftrui- À avec cetre échelle des trangles fur le . #18 ABREGE D'ARITHMETIQU 4 papier, dont les côtés auront autant k toiles, pieds & pouces de l'échelle » °° les côtés de ceux qu'ils repréfenteront? L ront éré trouvés en avoir du terfein * î femblage de tous ces triangles donnel# S plan du terrein ou fa figure réduit a petit. Par exemple, fuppofons qu'ayant Men furé le côté A B, on l'ait trouvé de re toifes , le côté À D de 60, & B de rootoifes.: Es . Pour rapporter ce triangle fur le PY pier , on feraune échelle fur laqueli® as prendra 100 toifes , qu’on porté a 10 une ligne indéfinie de aen #:0n prendre après cela 60 toifes de la même échel ;, pour le côté À D; puis du point a» pe | pour centre , & de l'intervalle dé », toiles, on décriraun arc indéfini vers d5 & comme le côté B D du triangle À B eft auf de 100 toifes, on prendra 19e toifes fur l'échelle du point 4 pris P£ centre, & de cet intervalle on écrit un fecond arc qui coupera le premiée dans un point d, duquel tirant les Jign. | da, db, on aura le triangle 4 B papier, qui répondra. au triangle du terrein. # Les On rapportera de la mème maniere” deux autres triangles À ED; BL +2 2 P ET pE GEOMETRIÉ 325 OR aura le plan acd ea du polygone Propofé A BCDE A. REMARQUE: 309, Si l'en ne peut pas entrer dans le Fig. 158% Polygone ABCDÉA pour €n lever € plan, on pourra le prendre en dehors, €n mefurant tous fes côtés À B ; BC; C. & tous les angles ABC, B CD, C. qu'ils font entr'eux: , Pour rapporter fur le papier le mémo al ou Je brouillon de l'opération ; on Urera une ligne ab à laquelle on don- Aera la mêmé quantité de toifes de l’é- Chelle, que la ligne À B a érétrouvée ef dVOir fur le rerrein : à fes extrémités | a& bon fera desanglesabc, bac égaux jrangls AB C, BAE duterrein, & | Se donnera aux lignes 4€ D c la quan- | des toifes , des lignes À Ë , BC. Au | Point con feral'anglebcd égalaBCD, . Puslecôtécd égal à CD; érant parve- _ en 7 onferal'anglecde égal à CDE, e côté de, égal au côté DE du terpee & enfin en tirant ea ON aufa le Plan abcdea pris où levé extérieure a Ent, & rapporté fur le papier. | , Ceft ainfi qu'on peut lever le plan Un bois on de quelqu'autre figure dans UE Quelle où ne peut entrer. - « SSSR 330 Arxsct D'ARITHMETIQU, 4 Maniere d'examiner Ji l'on ne sf 4 point trompé dans la mefure des angle de La circonférence d'une figure dont 01 leve le plan. Pour. vérifier fi l'on ne s'ef trompé en mefurant les angles du gone : Il faut les additionner tous € émble s & voir fi leur fomme donne deu* pe autant d’angles droits que Le polygoné ' RN. 200. de côtés ; moins deux. * | Fig. 150. Par exemple, dans le polygone ABCDEA quia cinq côtés, la fomme de fes angles doit valoir fix angles droits » on $40 degrés ; de forte que fi, enles ditionnant , on trouve une quantité plus ou moins grande de degrés , c'eft une marque qu'il y a de l'erreur dans let mefure : alors il faut les mefurer de n0 veau , jufqu'à ce qu'on foit parveñ® trouver pour leur fomme le nombfé 540, qu'ils doivent donner. 1 poin£ poly” REMARQUE. Fig. 151, 310. Il faut obferver que cette véti fication ne peut ainfi fe faire, que lorfr | que les angles du polygone font tous faillans, Lorfqu'il y en a de rentrans » comme l'angle À BC dans le polygons 721 sa DE GEOMETRIE: 323$ > Es A lieu de Pangle ABC, Mbrendre dans la fomme des angles rep la quantité des degrés Cu BC differe dela circonférence 360 degrés. , Uppofant, par exemple, que l'angle ir été mefuré de 80 Due 7 ce 360 , & on ajoutera le FEite © à la fomme de rous les autres anva du polygone ; alors tous fes angles Olvent valoir deux fois autant d’angles foits qu'il a de côtés , moins deux. S'il y avoit pluñeurs angles rentrans ans le polygone, on feroit pour cha- Cun d'eux ce que l'on vient de prefcrire Pour langle ABC. ais | ° 3rr. Comme il eft fort aifé de fe | Homper en voulant lever le plan d'une figure par le moyen de fes angles, on ne € fait guere que lorfqu'on ne peut elr Fer dans la figure : quand on le peut, VOïci Ja maniere dont on ÿ procede o1- | Inairement. Soit le polygone irrégulier ABCD, &. dont on veur lever le plan, & dans fquel on fuppofe qu'en peut entref. ER À htitera dans le polygone | felon fa plus grande dimenfion , élle S'appellera Za bafe. e tous les angles faillans & rentrans e uneligne Fig. 192% 33$ ABREGÉ D'ARITHMETIQU", infiniment petite, & qui ONE tous Ne bafe des lignes égales & paralleles à ; ? il faur concevoir qu'ils fe touchent aucun intervalle; alors on verra qu »f en peut feulement imaginer autant sis y a de points dans la haute © © on BD du rectangle AB DC. Ainh rats fuppofe, par exemple, cent mile Pont « RE 0 QI ê 0 ajoutée cent mille fois à elle-même pts prife autant de fois qu'il y 2 P AE en multipliant ‘ 2 produit du rectangle À D: donc la ui face d’un rectangle eft égale au Pre te ge, d’un de fes côtés par l'autre. Ci THEORÊME Il { RS ART | , Fig 1570 326. Si lon mudkiplie les coifes a ? ‘© bafe d’un reétargle AC'par celles, en hauteur BC où À D, le produit ee la quantité de ‘toifes quarrées 4uf 2 tiendra le rettangles e. ÊTDE GÉOMETRIE 339 _ S0it le côté A B de fept toifes, on le “divifera en toifes, c’eft-à-dire en fept | Parties éoiles, & par l’extrèmité de cha- SUne de ces parties, on menéra des paralleles à A DouBC, elles feront tou- Fes per pendiculaires fur À B*,; ainfi elles Pimeront fepr réctangles qui auront Chacun une roife pour bafe, & pout Uteur celle du rectangle, c’eft-i-dire AD ou AC. Fe Soit fuppofé aufli que BC eft dé fix ot es, & que par l'extrémité de chacu- 1€ de ces roifes, on mene des paralleles Ÿ là bafe AB du rectangle AC ; ileftévident que ces paralleles diviferont les Pt premiers rectangles en fix partiés pales, c’eft-à-dire, en fix oies quat- Ces s car chacune de ces parties a une fe de bafe, & une toife de hauteur: | a aura donc dans le rectangle AC fept fois fix toifes quarrées, c’eft-à-dire , quasite deux : mais ce nombre eft le pro- Lit des toifes de la bafe du rectangle par cellës de fa haureur BC: Donc, * N. 134r COROLLAIRE,: 327. I fuit delà, que pour avoir la Jürface d'un DRAP faut mul iplier [a Le cu ün de fes côtés par lui-mêine. Pij D. 340 ABREGÉ D'ARITHMET? Édéré Car le quarré PE étre cons comme un rectangle’ qui à fes côtés égaux. Or, pour avoir Ja fu: de ce rectangle, il Ée mulriplier ones * N, 35, par fa hauteur *; mais ces eux BC à font égales dans le quarré : Donc» 7. REMARQUE Ste ; ; | 328. Lorfque l’on multiplie des à _gnes, qui font enfemble un angle fque ou, ce qui eft la même chofe; Jof en£ Ton multiplie les nombres qui espamee la valeur de ces lignes, leur produt it. ne la furface d'un rectangle qui “joe ces lignes pour côtés; & de mere de qu'on multiplie un nombre par lu An me, fon produit donne la ire hé | quarré qui auroit ce nombre PO ré D'où il fuir, qu'une toile da de ayant fix pieds de bafe, & St ar À hauteur , contient fix fois fix plec sq ed à rés , c’eft-à-dire trente-fix, & qu “Es 860 quarfé ayant douze pouces CP ee fois u autant de hauteur, contient ae 1443 À douze pouces quartés, c'eft-à-dire r des L &c. Ainf pour réduire ou change eut toifes quarrées en pieds dé . fc” les multiplier partrente-fix & p° | Voir le Lu DE GEOMETRIÉ 34E _ Yalenrd ombre ide roifes quarrées que Vifer €S pieds quarrés , il faut les de Pour Le trente-fix : il en eft de même | Pieds ° Pouces quartés qu'on change en: 1 Quartés, en les divifant par 144» He POUE les pieds quarrés qu'on réduit À plisPouces aufli quarrés, en les multi- "par le même nombre 144. J I 16 22: La toife quarrée, le pied quar- - Mêtm c. fe divifent, dans le calcul, en né. nombre de parties que la toife li- Ln €, c’eftà-dire, qui n'a que de la # Sleur, le pied linéaire, &c. | + p “nf la roife linéaire fe divifant en ff Parties égales ; appelées pieds, la oigirrrée fe divife aufh en fix parties we » qu'on appelle piëds courant Jur l tance Pied courant fur toife eft un rec- | de € Qui a une toife de bafe, &un pied | Qu : hteur : Ainfi il contient fix pieds ÿ à Le Il eft évident que la toife quarb y. Atenr fix de ces pieds. < À con Pied courant fur toife fe divife ar € pied linéaire, en douze parjp es, appellées pouces courant Jr Lits font des rectangles d'une roife RU 85 & d'un pouce de hauteur, dont | P ii) DS 342 À BREGÉ D'ARITHMETIQU par coesuqns douze font le pie 5" rant fur toife. da Le pouce courant fur toife fe divife | aufi en douxe lignes courant fur RARE ce fonc des reétangles d'une tolé bafe, & d’une ligne de hauteurr . Le pied quarré fe divife com? fade pied linéaire en douze parties ER? à appellées pouces courant fur PE font des rectangles d’un pied ou pouces de bafe, & d'un poucé ©% DE A / teur. +. ge . Le pouce quarré fé divife. a ont douze lignés courant fur pouces qui & des rectangles d'un pouce de ae, © d'une ligne de hauteur. 4% Cette divifion des mefures quaff je en mème nombre de parties égales de les mefures linéaires, donne une gra à facilité dans le calcul des faperioe lorfque Les toifes font accompagnéé On ieds, pouces, &c. On va le vof ur Perle qu’on va donner ici de la p0* ‘tiplication de deux dimenfions. CO fées de toifes, pieds & pouces __ 330. Maniere de mulciplier des t0! des pieds & des pouces, par & des pieds & des pouces. LI aie Fig. 158, Soit le reangle ABCD, dont 12° Arai \ CET DE GEOMETRIE. 343 AB foir de 14 toifes cinq pieds fèpe Pouces, & la haureur BC de 13 toifes atre pieds dix pouces, pour en avoir ï Uperficie ; il faut multiplier ces deux 8%6s l'une par l'autre. ! ce u' Cela on pofera d’abord celui de si deux nombres qu'on voudra, par Kemple, celui qui exprime la valeur AB, & l'on écrira deflous celui de la Valeur de BC. | | n enfermera les cinq pieds fept ue Ss du mulriplicande par une efpece de cher, comme on le voit dans l'exemç Éguré ; & l’on fera la DORE dE | à à 15 toifes reftant par le multiphcafür 7 3 toifes 4 pieds 10 pouces, F0Mme on d'a enfeigné dans l'article de nulriplication ,n. 48,6 fuivans, du faité d'Arithmérique. EE AB. 1çt.[ $ pieds 7 pouces, BC. r3— 4 — 10 45 Dour » ; ES Dour 3 Pieds du Mulriplicar. 7 3 P,, Pied du même. . . : + 2—3 Fe Dou 8 Pouces du même. + + 121 2 6 Pour 4 Pouces du même... 0—$—% : D Oùy Bfat axe, ae" | Pour à Pouces du même, 4 1201010. à M POucE du même. se 20 D LE Pen Di nn cet del Totaux. DRE re Gp.irk 8. FA1Y 344 ABREGE D'ARITHMETIQUE Pour cet effet on dira d’abord, trois fois s font 15, on pofera $ à la colonne des unités, & l’on retiendra une pouf h fuivante, on dira enfuite, trois fois 5. font 3, & 1 de retenu font 4, & l'on. pofera 4 à la feconde colonne. Puis paffant au fecond chiffre 1 du multiplicateur, on dira, une fois $ € $, qu'on pofera à la feconde colonnes & après cela, une fois 1 eft 1, quon pofera à la troifieme. Pour les quatre pieds du multiplicä® teur, on prendra d’abord pour tro pieds la moitié des 1 5 toifes du multi plicande, endifant, la moitié de 15 € 7 , qu’on pofera à la colonne des unitési il refte une toife, dont la moitié et 3 pieds courant fur toife, qu’on pofers aux pieds, c’eft-à-dire, dans la colonn® des pieds du multiplicande & du multi plicateur. rs Pour le pied qui refte, on prendfa le tiers de ce que les trois pieds précéd viennent de donner : Ainfi on difa»” tiers de 7 eft 2, qu’on pofera fous Je 7» il refte une toife qui vaut 6 pieds on. rans, lefquels joints. avec les trois plé®. qui font à la colonne des pieds & À viennent du produit précédent, fon? 4 pieds, dont le tiers eft 3, qu'on poser : | | | a ET DE GÉOMETRIE. 345 aufi à la même colonne des pieds. Il refte’à prendre le produit des dix Pouces du muluplicateur. Pour fix pouces, on prendra la moi- UE du produit du pied précédent. On E donc, la moirié de 2eftr, Qu'on pofera fous le 2; puis, la moitié de trois pieds eftun pied, qu'on pofera aux hé: il refte un pied dont la moi- UE eft fix pouces courans fur toife. Pour les quatre pouces qui reftenr, On prendra le tiers du même produit Æun pied, c'eft-à-dire, de deux roifes 3 pieds, qui:eft cinq pieds courant fur Wife ; alors on a tous les différens pro- : Suts qui formeront celui de r5 toifes _ Par ;; toifes 4 pieds dix pouces. 1 {F s’agit préfentement d'opérer pour 2 cinq pieds fept pouces du muhlriplifande, qu'on a La qu'à ptéfenc laiflé à’ Cart, où qu'on n’a point confidéré. … Leur produit doit Le tendre fur tout Fig. 158. $ Mulriplicareur; cat Pet clair que fi: On à une ligne B C de 13 toifes 4 pieds 1 Poucès à multiplier par une toife, © Ptôduit donnera! 13 roifes quarrées, | #æ & pieds courans fur toile, & plus A. Dons courans fur toife : Or, fiaur ,,,. “une toife il faut mulriplier certe _ Mme ligne BC par des parties aliquotes io 1 # ; | 346 ÂBREGÉ D'ARITHMÉTIQUE de la toife, comme par la moitié ou le tiers, &C. 1l eft évident que ces parties doivent produire la moitié ou le tiers, &c. de treize toifes 4 pieds 10 $ pouces. 47503 Les cinq pieds du multiplicande né tanë point partie aliquote de la toife,ne euvent fe prendre tout d'un coup fur e multiplicateur : on commencera donc par prendre la moitié de ce mulriplica teur pour grois pieds, & pour cela om dira, | M : . La moitié de 13 eft 6, & on poferæ 6 à la colonne des unités de la toife: il refte une toife qui vaut 6 pieds, qu'on joindra avec les 4 pieds du multiplicaæm teur, ce qui donnera dix pieds , dont la" moitie eft cinq pieds courans fur toife on prendra aufli de fuite la moitié des 10 pouces du multiplicateur , qui eft gs: qu'on pofera à la colonne des pouces Pour les deux. pieds reftant du multi+ plicande, on prendra letiers du multis plicareur aufli tout entier. . Ainfi on dira, le tiers de z3 ef 4» qu'on pofera aux unités des roifes : il refte une roifequt ;Mointe avec les quas te pieds du multiplicateur, fait 10 pe | dont le tiers eft 3 pouces pour 95i refte ri un pied qui vaut douze pouces, qu'a ‘ 1 L . GEOMETRI® 347 ajoute avec les 10 pouces du multipli- Cateur, ce qui donne 22 pouces, done le tiers eft 7; il refte un pouce qui vaut 12 lignes courantes fur toife, & dont le . tiers eft quatre lignes de cette efpece. Pour les 7 pouces qui reftent au mul. tiplicande, on prendra pour 6, le quarr de ce que le produit précédent de deux. Pouces. a donné. On dira donc, le quart de 4 roifes eft ue toife, qu'on pofera aux unirés. des toifes; puis, le quart de trois pieds eft:zero à Ja +colonne des pieds; mais: ces pieds. valent 36 pouces courans fur toife, qui. joints avec les 7 pouces .duw même produit de: deux pieds, fonc 43 pouces, dont le quart eft ro; il refte'z Pouces qui valent 36 lignes, qui jointes: aux 4 lignes du produit de deux pieds. Ont 40-lignes,,, dont le quart eft 10. Quon pofera à la colonne des lignes, AL refte. à opérer feulemenr pour r Pouce, ce qui doit donner la fxieme Partie du produire de 6 pouces. « Ainfion dira , la fixieme partie d’une: Qife eft zero, qu'on pofera aux toifess Mas, certe toile vaut fx pieds courans., Ont la, fixieme partie eft un piedcou- * nt fur toile, qu'on poferæanx pieds :: CT + . ps : … Le üy rien à lui ajouter, parce qu'il D: . EE V1) Fig. 161. , f54 ABREëGÉ D'ARITHMETIQUE point la longueur feule des côtés du parallélogramme oblique gi décide de f& fuperficie | mais qu'il faut y ajouter auflt la confidérarion des angles ; car fes cz tés reftant les mêmes, fa fuperfcie va“ rie, s'il arrive du changement dans {es angles. à 337. 2% Que les côtes d'un: parallélogramme étant déterminés, il aura plus de faperficie lorfqu'ils feront perpendis culaires kes uns aux autres, c’eft-a-dires lorfqu'il fera rectangle, que lorfqu'il fera oblique; caf alors il fera égal at roduït de fes deux côtés différens , 44 ES qu'érant oblique, iln'eft que le pros duit d’un de fes côtés par la perpendis. culaire abaiffée de celui qui lui eft ops pofé, laquelle eft tonjours plus petité ue le côté. du parallélogramme inclin ur la bafe, mr, 338. 3°. Que quandon fçauroirqu'u” parallélogramme oblique contien | un certain nombre de lozanges, donE chaque côté feroit d’une mt ; ON connoîtroit pas pour cela fa fuperfcier se qu'il PA encore connoit7 ‘angle que font les côtés pour éva uef la perpendiculaire qui donneroit la ha” teur du lozange, & qui en feroit enfuite wouver Ja fuperficie. Le quarté n'ayà SE RAT OP ZT DE GEOMETRIE à x … Pas cet inconvénient, fa mefure eft fixe: & déterminée 8& c'eft par certe raifon. Qu'on l’emploie à dérerminer celle des. Autres figures. 339. 4°. Que comme toures les figus tes fe mefurenc avéc le quarré, les li- 8hes que l'on multiplie enfemble pour ew Avoir la fuperfcie , doivent être perpen-- diculaires l'une à l'autre s car fans cela t produit ne donneroit point des, Quatrés, mais des lozanges, done la vaur neft pas déterminée par celle du: Côté; ainfi-qu'on vient-de le démontrer. IL. 340. Commeil n’y a que les re&an-. es &les quarrés qui puiflent être divi-- en quarrés. égaux par des paralleles: Menées à leur côtés , pour. avoir la fuferficie des autres figures, il faur qu'el- $S puiffent fe trouver égales à un quarré à un rectangle de lz même maniere * Que le parallélogramme oblique a été - trouvé égal au rectangle de mème bafe de même hauteur ; car alors en trount celle de ces rectangles, on a la fu- J Tlcie des figures qui leur font égales: | FER h 441: Les parallélogrammes qui font _SS ee ei A 356 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE | entre les mêmes paralleles, ont la mème hauteur ; car elle n’eft autre chofe que’ | la perpendicuhire abaiffée entre leurs * N. 235. COtés paralleles *; mais entre les mêmes aralleles, les perpendiculaires font éga- * N. 127. fé *:; d’où il fuit, que c’eft la mème chofe de dire que des parallélogrammess " ont La même hauteur , ou qu’ils font entré les mêmes paralleles. I V. 342. Lorfqu'on dit que deux figures font égales, il né s'enfuit pas pour cel4: qu'elles foient terminées de A même maniere , inais feulement qu’elles ont la même fuperfcie. Ainfi un triangle ef égalà un quarré, s’il a autant de fupef= ficie que le quarré. On dit qu’elles fon égales & femblables , lor{qu'étant ag nées pofées les unes fur les autres, elles fe couvrent exaétement. THEORÈME IV. 343. Les parallélosrammes qui onf des bafes égales, & qui font entre les: mêmes paralleles ; font égaux. mes DEMONSTRATION. RL Fig. 162 Soienç les parallélogrammes. X &Y ET DE GEOMETRIE." -3ç7 tenfermés entre les mêmes paralleles AB, CD, dont les bafes EF, GH, {ont égales; il faut démontrer qu'ils … dont égaux. Pour eela , confidérez qu'ils font égaux . Shacun à un rectangle de inèême bafe & se même hauteur*, & qu'à caufe de * N. 333, égalité des bafes & de la hauteur de fes parallélogrammes , ce rectangle eft € même pour l’un & pour l’autre. Donc Als font égaux chacun à des rectangles gaux. Donc ils font.égaux entr'eux *. * x. ,9; .q.f.d THEORÈME y. h 344. Les triangles qui ont la même QUe, & qui font renfermés entre Les _ Mêmes Paralleles , font égaux. Soient les triangles A CB, À DB qui Fig. 169: tla même bafe AB, & qui font ren- | “Més entre les mêmes paralleles AE, ©: je dis qu'ils fonc cgaux. € DEMONSTRATION. @nfidérez que ces deux triangles de Chacun la moitié des parallélogram- -° de même bafe & de même haut "A; Lefquels font égaux par la propos * M.359: E , ë 1] oi bus . 338 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE || | fiion précédente : or, les moirés dé | chofes cgales, font égales. Donc, &C 345. On démontrera de la mên maniere que les triangles qui ont bafes égales, & qui font entre les mème paralleles , font égaux. COROLLATRE. - I , 346. Puifqu'un triangle eft la m d'un parallélogramme de mème bale de même hauteur , & que pour avo ” fuperficie d'un parallélogramme, il ir ! mulriplier fa bafe par fa hauteuf » s’en fuir que pouravoir celle du ia ilfaut multiplier fa bafe par la moitl i fa hauteur, ou fa hauteur par la mobs de fa bafe, ceux deux produits crant és a demment égaux. KL? Fig164 Sidonc on fuppofe la bafe du Let gle A CB de 13 toifes 4 pieds » 2 hauteur CD de 18 toifes 9 pop: multipliant À B par la moitié de A ou par C D tout entier, & prenale | fuite la moitié du produit, cette k fa fera la farface du triangle À 2 trouvera de, 123 toifes$ pieds 1 PS £ lignes. | | oitié fab \ # s Te Gromerri 3% à RP AE " ] S me Dee y pouc. | 104 % 13. ‘ NÉ 1 — O —6. . À Qi 3 — 3 9—0— 4 —6 3—0—1—6 TotaAL CRUE 247% 4 8: EE O Ve La moitié DVD PT TO $—1—6 | | à Er un CoRoLIBIRE. LT IS | port? Il fuit encore de la même pro- | wiltion , qu’un triangle eft égal a ur dos “logramme de même bafe , mais pee ta hauteur e moitié d pat om angle ef? la moitié de cel e du par en mulripliant la bafe du triangle dur: Moitié de fa hauteur, on à le proî bag, Lun parallélogramme » Qui a pour k, Celle du triangle, & pour hauteur ot NS de la hauteur du même trianole: ex, PTOduit donne la farface du trianbn” celle de ce parallélogrammie : * x. 343 ARE Bee. | On dé | “montrera de la même maniere, I 360 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE 48. Qu'un triangle ef égal à un PA rallélogramme l’orfqu'ayant fa baft té fois plus grande que celle du parallé#® gramme ; ila La même hauteur. THEORÊME V1: 349. Un crapeze eft égal a un parallé _logramme ; qui a pour bafe une ligne pl à La moitié de fes deux côtés paralle A & pour hauteur la perpendiculairé ciréé tre Les mêmes côtés. Préparation pour La démonftratiol". gig.165. Soir le trapeze ABCD, dont | & C D font les deuxfôrés paralleles: "| menera du point C , CE paralleleà | on coupera E B en deux également en "2 | & l'on menera FG parallele à EC» “cl mince en G par le prolongement deD f On auta alors le parallélogramméx dé GD qui a pour bafe AF, moitie ge deux cotés paralleles AB, DC du fe | peze; car A Ë eft égale à DC, À Gel | * N,236. du parallélogranme A ECD *; E LP de EB qui eftla différente deux côtés paralleles. Donc Ce: | moitié de la fomme de ces eux 4 h. ce parallélogramme a ponr autos j perpendiculaire tirée entre les deux ouf paralleles du trapeze ; puifqu il as \ , a et BépvET pe G£OMETRIE 361 cotés oppofés ces deux mêmes cotés. /Il ut prouver qu'il eft égal au trapeze. DEMONSTRATION. Confidérez que pour former le paral- Lélogramme AF GC, on retranche du trapeze le triangle F 1 B , qui eft égal au iangle C GI; car CG eftégal à E EE Qui eft aufli égal à FB ; l'angle BFT g gle1GC, parce qu'ils font alternes * ; les angles IB F&I1CG font gaux par la même faifon : donc ces deux triangles ont chacun un côté égal, &les angles fur ce côté égaux chacun À chacun : donc ils font égaux * : donc Ce qu’on ajoute , pour former le parallé- Ogramme À G eft égal à ce.qu'on rétranne du trapeze : donc ce parallélogräm- €ft éoal à l’ane Me eft égal au trapeze : donc ; &c. M:.-Co'r 0 LL'ATRES … 350 Il fuit decette propoñtion que, Ut avoir la fuperficie d'un trapeze ; il “au additionner enfemble fes deux côtés atalleles , prendre la moitié de leur Omme, & la multiplier pat la perpendi- Le Mhire tirée entre ces mêmes COTES. THEORÊME VIL. Mix Le fic perficie de tout quadrilatere | Q * NV. 236. XN. 13$e : * N. 193e 362 ABREGÉ B'ÂARITHMETIQUE eft égale à celle des deux triangles , dans Lefquels fa diagonale le partage. 4 Fig. 166. Cette propofñition eftévidente; caf f l'onale bite irrégulier À BCD» pour en avoir la fuperficie , on tirera 4 diagonale À C, & enfuite des points B& D on abaïffera fur cette ligne les pei pendiculaires ED, BF, qui feront es hauteurs des triangles ADC, ABC On multipliera après cela AC cr Be a moitié de DE, ce qui donnera fui face du triangle D'AC; puis À C paf le moitié de BF;ce quidonnera laut triangle À CB ; la fomme de la fupeir ficie de ces deux triangles fera celle du quadrilatere. l THEORÊMEVIIL 352. Tout polygone régulier efl 4 | Ar triangle, qui cnouc: bo/A UE rence, & pour hauteur fon rayon 4" en | ou la perpendiculaire abaiffée du cent du polygone fur un de fes côtés. Fig. 167: Soit le pentagone régulier XSLT A H eft fuppo ce du pentagone, & qui a pour ETDE GEOMETRIE 36% CD » qui eft le rayon droit du penta- Bone. DEMONSTRATION. Tirez les rayons obliques de ce poly- Bone; ils le partageront en autant de “Hangles qu'il a de côtés , lefquels feront gaux entr'eux , & au triangle À CB *: Portez A B fur. À H autant de fois que le Polygone a de côtés , c’efl-à-dire , dans Két exemple, cinq fois, ou quatre fois de En H ; par chaque point. de divifion, » F, &c. tirezles lignes CE, CF, &c. lorse triangle À C H contiendra autant 6 triangles que le polfgone X ; mais Qus cestriangles font chacun égaux au Manole A C qui appartient en mêmeps au polygone , & au triangle A C- ) Car toutes leurs bafes font égales à de À ils ont pour hauteur la perpen- ICulaire CD, abaiflée de leur fom- SE commun C fur leur bafe, ou le à “Olongement de leurs bafes * : donc le png A CH eft compofé d'autant de ip Pêles égaux que le polygone X ; mais e- MEtous égaux à ceux de ce polygofie Plifqu'ils le fonc à A CB : donc fa Perfiei À Iygon x, 14e eft égale à celle du polygone ‘ onc $ &c, . ’ Left clair que cette démonftration eft Qi) X N. 268. * N. 345 || 370 À BREGÉ D'AÂRITHMETIQUE regle qui repréfente la circonférence du , cercle dont ils’agit, 88 voifes. Ainfi on aura la fuperficie de ce cercle en multipliant 88 par la moitié’ du. rayon, ou le quart du diametre 18 qui *N.355. eft 7 *. | f: 361. Si on connoît la circonférence d’un cercle, & quon veuille déterminer” par fon moyen le diametre, il eft évident qu'il ne faut que renverfer la regle de trois. Par exemple, fuppofant que la circon férence du cercle précédent qu’on a trous vée de BStoifes, foit connue , & que € foir le diametre de ce cercle qu'il faille trouver; on mettra 22 pour le premié£ terme de la regle ; 7, pour le fecond, & la circonférence 88 le troifieme ; le quatri®” me terme qu'on trouvera, fera le diame” tre demandé. | x | 27: : 88. x. ; Faifant la regle, on trouvera 28 pouf Ja valeur de x, ou pour le diametre du cercle dont il s’agit. Sion fuppofe que la terre foie fenf” blement ronde , comme Les expérien eo le font voir, & que la valeur d’un de du cercle qui en détermine le tour 12 des lieues, on aura pour fa circoni® [a ï ET DE GEÔMETRIE, 391 rence 360 fois 2ç lieues ; c'eft-ä-dire 9000. Suppofons qu'on veuille , parle moyen de cette connoiffance ; dérerminer le diametre de la terre ou celui du cercle dont nous venons de parler, on le fera par cette regle de trois. . 22. 7 : : 9000. Xe . Faifant cette regle on trouvera 2863; lieues pour fon quatrieme terme,ou pour le diametre de la terre. 361. On appelle Seéfeur une païtie Fig. 169. de cercle ACB comprife entre deux tayons CA, CB, &un arc AB. THEORÈME IX. : 363. Tour feëteur eft égal & un triangle qui a pour bafe une ligne égale à Parc du feéteur | & pour hauteur Le raÿon du cercle dont le feéteur fait partie. DEMONSTRATION. Soit le fecteur À CB : il faut démontrer qu’il eft égal au HriRnEe DEF, qui a pour bafe une ligne E égale à Pare du fecteur , & pour hauteur la ligne E égale au rayon du même arc. . Pour cela, confidérez que le fecteur Peut être conçu comme compofé d'une Q\) XN. 315. 2N, 316, 37% ABREGÉ D'ARITRMETIQUE infinité de petits triangles égaux À C a ;: a CB ,.&c: donrles bafes Aa, ab, &cs font infiniment petites, & qui onc pour . hauteur commune, lerayon C A du fecteur ; confidérez de mème que le triangleE D F peutêtre partagéen autant de triangles E De, c D d, &c. quily ena dans * feéteur , en imaginant fabafe EF divifée dans le: même nombre de parties égales que l'arc fecteur. Or tous ces petirs triangles ayant des bafes & des hauteurs’ égales, font égaux entr'eux*, & àceux dont:le fecteur eft compofe. Dans cet érat , le triangle & le fecteur font com-" pofés de mème nombre de triangles: # égaux : donc ils font égaux : donc , &c: C'OROLLAIRE. IL fuit delà , 364. Que pour avoir la füperficie d'un feëteur, ‘il faut mulriplier Parc quë lui fert de bafe par la moitié de fon.rayon- Car pour avoir Ja noce du triangle DEF qui eft égal aû fecteur , il aut multiplier fà bafe E F par la moitie de DE*:orEE eft égale à Parc du fecteur par la fuppofition, & D'El'eft à fon. rayon : donc, &c, ÉTIDE GEOMETRIE. À 373 REMARQUE: 0 # 265: Pour trouver la fuperficie du fecteur , fi fon arc eft donné en degrés, Ou, ce qui eft la même chofe, fon angle A CP, il fauc réduire d'abord cet arcen toifes, TS AGAT AL Pour cela , il faut que le rayon AC Oit connu ; alors le diametre du cercle s dont le fecteur fait partie, fera aufli con- È Au, puifqu'il vaut deux rayons. … On trouvera la circonférence du cer de du fecteur par la connoiffance de fon metre, ainfi qu'on vient de l’enfei- 8er *, A près quoi on fera , pour trou- * N. 266; Yet l'arc du feéteur, une regle de trois, | Ont les deux premiers termes feront les grés de la circonférence | & ceux. de arc du fecteur ; le troifieme ferxla cir- Conférence en toifes ; le quatrieme ter- Ë Le de cette regle donnera les toifes de AC du feéteur : car il eftévident que Mme Ja circonférence en deprés eft à TC du feéteur én degrés , ainfi les toine de 360 degrés de la circonférence A auxroifes-de l'arc du fecteur. pu te $ fuppofons l'arc du fec- 1," de Go degrés, &le rayon À C de Fos, Le diamerre du cercle-du fecne 374 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE teur vaudra 28 toifes; on aura la circonférence de ce cercle par cette regle de trois ; 7.22::28. x: ce terme fera trouvé de 88 toifes. intl A préfent on fera cette feconde regle de trois, 370 degrés eft à Go degrés comme 88, AstÈce des toifes de la cif* conférence, eftaux toifes de l’arc de 69 degrés s: Or 360. 6o :: 88. x. F Faifant certe regle, on trouvera poil le quatrieme terme , où pour les toifes Fa AB, ratoifes 4 pieds. ” Préfentement pour avoir la fu erficie du même fecteur , il faut multiplier # toifes 4 pieds par la moitié de fon ray0hs c'eft-à-dire par 7; le produit fera la fu perficie demandée. #2 Fig. 170. 366. Onappelle/ëgment, une partié de cercle comprife entre un arc & fo corde. Telle eft la partie ACBA com” prife entrel'arc ACB & fa corde À B 367. On a la fuperficie d'un fegments lorfque l'on connoît le rayon À 50 cercle auquel il appartient, & le nombre des degrés de fon arc, en trouvant d'a bord celle du feéteur DA CB; & tranchant enfuite de ce feéteur la fu LE ficie du triangle ACB ; il eft éviee” ET DE GEOMETRIE à 37$ que le refte fera la fuperficie du fegment. | Soit par exemple le rayon À D de 21 toifes , la corde AB de 30, & la per- Pendiculaire D E de 14 toifes 4 pieds 2 Pouces; enfin foit l'angle A DB de 100 egrés. * On cherchera d’abord la fuperficie du fe&eur A CB D: Pour cela , on éterminera la circonférence du cercle Qui a pour rayon celui du feéteur. On louvera 132 toifes pour cette circonrence. . On cherchera auffi la valeur de l’are CB de 100 degrés. On la trouvera de 36 toifes 4 pieds. - era | On multipliera cet arc par le rayon D, & l’on prendrala moitié du prodüit 370 ; qui donnera 385 toifes pour k füperficie du fecteur. Arc ACB.;: 3 Groif. 4 pieds. Rayon 21. 36 72e Pour 3 pieds 10— 3 Ponrrpied 3— 3 er ue ME EU EX To TATL.: “HS ee Des cz Moitié... 38 5 ‘oies: | 3716 AnnEecé D'ARITHMETIQUÉ # Le fecteur ACB D étant ainficonsus | on cherchera la fuperficie du triangle | | ABD , en multipliant AB par DES fi & prenantlamoitié du produit, onaufé | | - 120 toifes, 2 pieds, 6 pouces pour € | triangle. CONTE AB RTE TR Ego Es DE... 'ratis Jovi 3 0 4°. À 120 | 30e j Pour 3 pieds ...s..s 15 ll Pour xpitd ss. S | Ponr Z POUCES à e:»! à » “5 O——.$. ; | Produit total..." 440 — $ — 0" © 1 Dont la moitie eff... 220% 2P" G pou Du fecteur ACBD ch 33 $ tof Pi © 1% Otant le triangle ABD 220—- 2 — 6 4 ; Il refte pour le fegment CR | Ke ACBA.:,:.. 164118 3.1 6 F0 | : 104 3.0: De la mefure des figures irrégulieres" 368. On mefure les figures irrégule” L res en les partageant .en péalléost 2 | mes , triangles, trapezes , &c Pouf Je faire plus commodément, on peut lever le plan de la figure que l'on veut mé je ter, & la partager après cela en parti Î 14 Int (1 ! / Î 41 1h (Î 1 (l «à A ET DE GEOMETRIE 3% Qui puiffent être mefurées. La fomme de Toutes les figures dans laquelle la figure Propofce aura été divifée , donnera évi- : demment fa fuperficie. Mais pour opérer Avec jufteffe de cette maniere, il faut Que le plan foit levé très-exaétement, & Qu'il foit conftruit fur une échelle affez 8tande pour que les pieds y foient au Moins des grandeurs fenfibles. REMARQUE. L. ,. 369. On fçait en général que l'arpen- | lage n’eft autre chofe que l’art de mefu- Ter les terres, bois, &c. Or, avec les Principes qu’on vient de donner, on Peut mefurer toutes fortes de fuperficies Plnes ; on peut donc ainfi arpenter où Mefürer tous les terreins différens qu'on Pourra propofer. y, 370. On donne le nom d’arpentageà ga't de mefurer les terres , parce qu’elles $mefurent ordinairement avec l'arpent. 371. L'arpent eftune mefure quarrée M contient toujours cent perches qua= ‘8; mais la valeur de la perche n’eft pas Eftour la même. Dans # environs de 1; elle a 18 pieds de long; dans les Aux & forêts, elle en a 22, &c. 378 ABR£EGÉ D'ARITHMETIQUE La perche quarrée de 18 pieds de long, a 324 pieds quarrés , celle qui a 22 pied de longueur a 489 pieds de fuperficie. 372. Lorfque l'on n’a point de perche pour mefurer un terrein qu’on veuf évaluer en arpent, on peut Le mefuref avec la toife, & fçachant ce que fa fu perficie contient de toifes quarrées, 08 trouvera aifément ce qu’elle contient d’arpens, en divifant les toifes quarrées du terrein , par le nombre des toifes quarrées que contient l’arpent. ï 373. Par exemple , fuppofant que dans un lieu où la fuperficie a 18-picc delong , on ait pour la fuperficie d'uñ terrein $7800 toifes quarrées. 11 faut fçavoir combien larpent co®” tient de toifes quarrées lorfque la perch® a 18 pieds. ” La perche ayant dix-huit pieds , elle trois toifes de longueur, ainfi elle con tient neuf toifes quarrées. L'arpent dut contient cent perches quarrées contient donc 900 toifes res : donc en di” vifant 67800 toiles par 900, le qu0” tient donnera lenombre d’arpens conte” nus dans ce nombre de toifes. On € trouvera 64. ET DE GEOMETRIE 39 rr 374: Dans tout ce qu'on a dit fur la Planimétrie | on a fuppofé les fupercles abfolument planes ; mais comme 1 y.en a peu de cetre efpece, il faut _ Cbferver que lorfqu’on eft obligé de me- Urer des terreins inégaux, on rapporte ordinairement au terrein horizontal les gnes qu'on mefure {ur ces fortes de . Mperficies. % à Par exemple, fi dans le terrein AB Fig. 71e Ufe trouve l'élévation X, il eft évident en mefurant la ligne courbe CLB, h aura une ligne plus grande que l’ho- “ontale CB qu'on veut avoir; c'eft Pourquoi pout avoir cette ligne CB Skaétement , il faut planter des piquets Pérpendiculairement le long de la mon- Qgne, comme CD , EF, &c. de ma- Mere que l'extrèmité D du premier pi- et réponde perpendiculairement au Pled E de l’autre, ainfi de fuite. Alors je évident que la fomme de toutes les Btes horizontales DE, FH, &c. donde la longueur de CB , qu'on mefurera " Cette maniere horizontalement, fans (6 l'élévarion X çaufe aucune erreur 45 fa mefure. n obfervera à l’occafon de la remar- Ne précédente j 356 ABREGÉ D'ARITEMETIQUE entouré des triangles ABE, ABC ,18cr | donritous les fommets fe rencontrent Al point À, & dont les bafes forment 18, quadrilarere BCDE, qui eft la bafe de Ja pyramide, | 4:00 387. L'angle folide A dela pyra@iit de , {e nomme fon Jommer , & la Hig99 AF, sabaïflée perpendiculairement € fommet de la pyramide fur le-plan defe bafe, exprime la hauteur de cerre ph. mide. 45e 388. Lorfque la pyramide a pouf pafe un triangle, elle fe nomme sriangulall gi” quadrilatere, fi elle a pour bafe un que drilatere, & ainfi de fuite, felonla figure de fa bafe, 389. La pyramide eft droite où obli que. Elle eft droite fi la perpendiculalf K: 1 abaiflée de fon fommet fur fa baler pale par le centre de cette bafe ; auf ment elle eft oblique. FE Il fuit delà que la pyramide droite * toujours pour bafe un polygone que car il n'y a que cette efpece de po JE | qui ait un centre, & que route pre, 1h mide qui a pour bafe un polygone s gulier , n’eft pas droite pour cel a a feuke” El ment, mais qu'il faut encore que la pe, pendiculaire abaiflée du fommet ds pyramide fur fa bafe , pafle pat le cen de cette bafe, | T 2T be GroMethre. 357 | _ 390. Si la bafe de la pyramide eft un ercle , elle peut être confidérée comme Fntourée d’une infiniré dé petits trian- $, qui tous enfemble font une fupersie courbe BAC, & cette pyramide fi arrondie ; {e nommé cône. n391. Le point A eftle fommet. du aa Comme celui de la pyramide, & la ne A D , tirée du fommet À , au cen- 2€ D de la bafe du côe , fe nomme fon Le Lorfque cette ligne eft perpendicuee te à Ja bafe du cône, il eft appellé te droit ; ‘finon il eft oblique , & fa teur fe mefure comme celle de la pygi > Par une perpendiculaire abaif- À de fon fomimer fur fa bafe. "122. La ligne AB, mence du fom. AU A du cône, à un point B de la cir- Dférence de fa bafe ; e nomme Le côté 2. | eg lOnt égaux, parce que le fommet | éBtlement diftänt alors de tous les Points de la circonférence dela bafe, 0223: Si la partie de la pyramide ou pene vers le fommet , eft abattue , la le “ fe UE res tronquée., gt Le prifme eft un folide ter- TS des furfaces planes, parmi lef- “Ulyen a deux oppofces ; égales, R 1} Fig. 176% | We * Torfquelle cône eft droit tous fes "Fig. 177: Fig. 178. gle, on le nomme prifme triangulailé 338 ABREGÉ D'ARITHMETIQUE femblables & paralleles, qui fe nom” Ë ment Les bafes du prifme , parce qu Gi: peut le confidérer également polé 2e l'une ou fur l’autre. Ces deux bafes font: jointes enfemble par des parallélogräls mes qui entourent le prifme de PS M côtés. A 30$- Sila bafe du prifme-eftun LEE x Lln à D de lorfqu’elle eft quadrilatere, prifmné ge e drilatere , &ainfi de fuite, fuivañlus,, olygone de fa bafe. 4 ? À 2 Lorfque la bafe du prifmé LAN parallélogramme , il fe trouve term 4 4 de toutes parts par des parallélogE mes, &il fe nomme parallélipipét#eg 397. Si la bafe du prifme eft un& cle, lecercle fupérieur & celui De bafe fe trouvent joints enfemble pal . infinité de petits rallélogrammésfs forment une farhac ace coutbe , 210B" prifime eft appellé cylindre. QE È On peut fe de le qi) A une colonne également groffè ans 0 f hauteur ,.ou bien par une OU pluf ant dames à jouër , pofées également Less ie fur les autres. ere dt J 398. La ligne AB , tirée par NE tre À , du cercle fupérieur duc} je AR & par le centre B à fa bale; LC gb: me Paxe du cylindre, HT LA …, Tor GroMetriE 89 ée à 399. Les prifmes, les parallélipipe- 3. & les cylindres ;: peuvent être 'oës ou obliques. {ls font droits, lon. . Ue les plans qui joignent leur bafe font F ob Bles droitsavecelle, finon ils font RSS : ‘alors leur hauteur fe mefure ph. 9€ perpendiculaire abaiflée du in Parallele à la bafe far celui de cette *» prolongé s'il eft néceflaire, | 1 La fphere ou le globe, eft un Lo- Fe. 170. ba EfMiné par une feule furface cour : ip, nt tous les points font Cgalement HS d'un point C de ce folide lequel | Mine fon centre. ë ; L. On peut concevoir la fpherëou Fig: 180. à $lobe formé par le mouvement d'un mar cercle ADB, autour de fon dia- N K AB, & alors il eft évident ; 435 Que Je centre C du demi-cercle "> l’eft auffide la fphere.” "1%", 5 L'TÈR ue toutes les lignescommeCD, Àp girées du centre C, de la fphere Vo P STAGE ; font égales; elles font ai ñ ES rayons où dermni-diametres de “ere, RP * Que toutes celles comme AB, de AU paffent par le centre C dela au & qui fe terminent de part &c Le fa furperficie , font égales ; Mpofées de deux rayons Coaux, R tj un À À ' \ 4 d \ ' * 390 ABREGÉ D'ARITHM ETIQUE Ces lignes font Les diametres de la JPh#® resLe diametre AB, fur lequel 9 … imagine que le demi-cercle À D BIS“ mu pour décrire la fphere, fe nome fon axe. Ainfi l'axe d’un globe où du” ne {phere, eft toujours un de fes diamé” tres. Les extrèmités À & B de l'axe del fphere fe nomment /es poles. 5 4°. Que toutes les lignes , comié GH , perpendiculairesà l'axe À B 46 crivent. dans le mouvement du den cercle ADB, des cercles parallele Eu tr'eux, & perpendiculaires à Paxe é. on lès nomme cercles paralleles. Le P PA grand de ces cercles eft celui qui €! tél crit par le rayon DC, qui eft 6% ment diftant des poles À & B. dé 5°. Que rousles cercles parallelés » crits par des lignes GH, KE, chat | * également éloignée des poles. Atë® 140 font égaux. nE 6°. Enfin, que tout cercle, come : ADBFA, qui palle par le centf?#s, la fphere, la congé en deux parc Poe ae np cé Car fi, au lieu d'imaginer la PRE ce à mée par le mouvement du demi” A DB, on la conçoit formée par le IP 4 vement du cercle entier À DB FA “æ : tour de fon diametre: A B,on OP pe | fort aifément qu’à mefure que le de ne \ JO ËT be GEOMETRIÉ 3o» à tércle À D Bavancera du côté de B F À Ne à demi-cercle BF À'avañcera de mème côté de À D B; & que lorfque le de p'icérele À DB aura décrit la moitié de os Se; ‘le demi-cercle BF A en aura dé ss l'autre moitié ; donc la fphere fe Vera. conpiée-en deux partiès égales le cercle À D BFA3 donc, &ce 1 #02 Tous les céréles qüi paffent pat à Æntre de fphere, & qui par confe= PA Ot larcoupenten deuxipartiès égales , get Nommés grands cercles de‘la’{phere} US {ont tOUSÉpAUX: e- Bon Ed des autres cerclesqui cou Lo phere fans paffer: par fon centre, ; ve noînme pertes’ cercles: il eft clair, Va ce qu'on vientde dire, quelespene ctcles coupent la fphere en deux par “inéoales.: k #03: On norime zone’, unepartie de: Pheré comprife entre deux cercles: we les. C’eftune: efpece de ceinture: une autour d’une partie dela 1494! Outre les corps qu'on vient de belle? il y'eña cinq autres. qu'on ap- W. uliers ; parce qu'ils: font com te, terminés par dés figures régulie- Gales & femblables. A ET “Cofps font : : Riv Ÿ 302 ABREGÉ D'ARTTHMETIOUE.. 19, Le Tétraedre où la pyramide Te" guliere ; terminé par quatre triang équilatéraux. tr ni 2°, L'Exaëdre ou le cube, términé Pa fix quarrés. On peutife le repréféntés, par un dez à jouer. * er | 3°. L'Oéfaedre | terminée par pur triangles équilatéraux. sw.” À 4°. Le Dodécaëdre:, verminé Pal | douze pentagones. LUE é 5°. Et l’Zcofaëdre ; terminé par vins triangles équilatéraux. UE 405. Il n’y a que ces cinq cor guhiers , & voici comme on dem qu'il ne peut y en avoir d'autres: Les Il faut au moins trois angles bre pour former un angle {olide, & 4 | angles plans qui forment un nee L 6 oivent, étant ajoutés enfemble, Lu moins que 4 angles droits ou 364% grés:car pour peu qu'on y:fafle ae. tion , on verra clairement, que fi ces, de les devenoient égaux à 4 angles dro’ of eu folide difparoîtroit. Pour f0f À donc dés corps réguliers avec les Nes régulieres , il faut que les angles. 2 de figures , pris au moins 3à 3; 20! moindre valeur que quatre angles \ ya Or les angles du triangle équilatér eut é ontfé lent chacun 6Q degrés ; donc on P*. = pu. TE GEOMETRIE 393 | re un angle folide avec trois de ces Mangles , & c’eft celui du tétraëdre. On Fe Peut faire aufli avec quatre, c’eft ce- M de l’octaëdre, & avec cinq , c'eft- Œlui de l'icofacdre ; mais fix angles £ Ces triangles valent 360 degrés ow Alatre angles droits ; donc on ne peut Point faire d'angle folide avec fix trian- 8eS équilatéraux ; ainfi on ne peut for- : Mer avec ces triangles , que ke tétrac- 16, l’octacdre, & l’icofacdre. Quatre angles du quarré ne peuvent. Point faire d'angle folide : on n’en peut que faire qu'avec trois , qui eft celui & l’exaëdre ou du cube. L’angle de la circonférence du penta- Mples font 324 degrés : ainfi ils valent AOins que quatre angles droits ; par con- Quent ils peuvent former un angle foliù de & en effet ils forment celui du dojeatdre ; mais quatre de ces mêmes an- $S valent plus de 360 degrés. Donc QE peut point faire d'autre angle … Dlide avec le pentagone, que celui du À écaëdre. Lo angle de la circonférence de l’exane valent donc 360 , où quatre androits : donc ils ne fonr point fu£- | R y Sone eft de 108 degrés * ; trois de ces * A. 276, ». . »* Ld Pre 1e eft de. 20: degrés * : rrois de ces N. 276. , fé 4 > ñ à + nt L 394. ABREGÉ D'ÂARITHMETIQUÉ cépribles d’angle folide. L'angle de circonférence des polygones. réguliers au deffus de l’exasone, eit plus grand qué: celui de l'exagone. Donc on pourra eñs core moins faire d'angle Élide avec les angles de ces polygones : donc, &£* \ PROBLEMES. I. 406. D'un point donné horsun plats % abaiffer une perpendiculaire fur ce plans Eg. 181. . Soit le point À donné hors du plañ FG, fur lequel il faut abaiffer une pers pendiculaire. | $ On prendra un compas, &‘on lou“ vtira de maniere qu’en pofant une de {es pointes fur le point donné À ,on puiffe» avec l’autre pointe , marquer trois points, B, D, E, fur le plan FG , on chercher## enfuite le centre C du cercle qui palleræ\ par ces trois points, & tirant la liguë” AC, elle fera la perpendiculaire de” mandée. LA Car, pat la conftruction , le point À #6» le point C font chacun également di Sn tans des points B, D, E. Donc la lign® AC ne penche pas plus d'un côté que d'un autre fur le plan F G : donc elle fer# des angles droits avec toutes les lignes ; Urées fur ce plan, & qui pañleront par le | Point C : donc, &c.: LI. | je: 407. D'un point donné fur un plan ; | élever une pérpendiculaire a ce plan. | s Pour réfoudre ce préblème , on peut © fervir d’unéefpece d'équerre à trois : fanches, dont lure foit perpendicu- Are aux deux autres brañches , qui font nfemble un angle quelconque à l'extrè- Mté de La premiere: On pofera fur le Point donné le fommet de Yangle droit Que fair une des: branches de’ l'équerre déc chacuné des deux autres ; ka Higme Menée de ce point le long de l'autre re- BK, fera la perpendiculaire cherché,” L' par certe conftruction, cette ligne a perpendiculaire à deux lignés ‘du : eut elle né penchera pas, par cette rai-” n,plus d’un côté que d’un autre: Donc, &c AS ee \ R v}