Perturbación y decaimiento en ecuaciones parabólicas no autónomas

XX Cong eso de Ecuaciones Di e enciales y Aplicaciones X Cong eso de Ma em´ a ica Aplicada Se illa, 24-28 sep iemb e 2007 (pp. 1–8) Pe u baci´on y decaimien o en ecuaciones pa ab´olicas no au ´onomas A.Rod ´ ıguez–Be nal Dp o. de Ma em´a ica Aplicada, Uni . Complu ense de Mad id E-mail [email p o ec ed] Palab as cla e: Es abilidad asin ´o ica, pe u baci´on, compo amien o asin ´o ico, ecuaciones no lineales Resumen Damos condiciones inas sob e el ama˜no y la o ma de una pe u baci´on que consigue que un p oblema lineal no au ´onomo pase de se neu almen e es able a exponencialmen e es able. Es os esul ados se aplican al es udio del compo amien o asin ´o ico de ecuaciones log´ıs icas no au ´onomas. 1. El p oblema y esul ados p elimina es Sea Ωun abie o aco ado de IRN,N≥1, con on e a egula ∂Ω. Conside emos la ecuaci´on lineal no au ´onoma    u −∆u=C( , x)uen Ω, > s Bu= 0 en ∂Ω u(s) = u0 (1) con condiciones de con o no Bu=u, caso Di ichle , o Bu=∂u ∂"n, caso Neumann, o Bu= ∂u ∂"n+b(x)ucaso Robin, donde "nes la no mal ex e io a ∂Ωyb(x) es una unci´on C1. Si C∈Cθ(IR, Lp(Ω)), con 0 <θ≤1 y p > N/2, en onces (1) de ine un ope ado de e oluci´on que conse a el o den en Lq(Ω), 1 ≤q≤ ∞,UC( , s), de mane a que u( , s;u0) = UC( , s)u0. Adem´as la soluci´on se egula iza de mane a que pa a cada u0∈Lq(Ω) y > s se iene que (s, ∞)& '−→ u( , s;u0) := UC( , s)u0∈$Cν B(Ω) si p > N/2 C1,ν B(Ω) si p > N 1 A.Rod ´ıguez–Be nal es con inuo pa a cie o ν>0, donde Cj,ν B(Ω) = $Cj,ν 0(Ω) caso Di ichle Cj,ν(Ω) caso Neumann o Robin, [4]. Mo i ado po las aplicaciones a ecuaciones no lineales y po simplicidad, supond emos que UC( , s) es ´a en el l´ımi e de es abilidad (o es neu almen e es able) en el sen ido de que exis en M0, M1>0 ales que 0< M0≤ )UC( , s))L(Lq(Ω)) ≤M1pa a odos > s (2) (una condici´on que es independien e de la elecci´on de q, [3, 5]). Que emos en onces analiza la cues i´on del m´ınimo ama˜no necesa io en una pe u - baci´on (y su o ma) P( , x) de mane a que a˜nadida a C( , x) haga a UC+P( , s)exponen- cialmen e es able es deci )UC+P( , s))L(Lq(Ω)) ≤Me−β( −s)pa a odos > s con β>0. En algunos casos busca emos es a p opiedad pa a sg ande y posi i o o pa a muy nega i o. Es as si uaciones se deno an po “exponencialmen e es able en ±∞” espec i amen e. Obse emos que en el caso au ´onomo, C=C(x), con C∈Lp(Ω), y p > N/2, en onces (2) es equi alen e a que el p ime au o alo del ope ado −∆+C(x)Icon condiciones de con o no Bu= 0, sea nulo. En ese caso, usando los cocien es de Rayleigh, es ´acil e que cualquie pe u baci´on no i ial no nega i a P(x) con ie e el p oblema en asin ´o ica- men e es able. Como e emos, pa a ecuaciones no au ´onomas, nues os esul ados dicen que pa a consegui la es abilidad exponencial necesi amos que la pa e a o able de la pe u baci´on sea posi i a y “sos enida” en in ini o, y la pa e des a o able no sea demasiado g ande. Es os esul ados se ´an u ilizados ambi´en pa a ecuaciones no lineales. En lo que sigue ha emos uso del siguien e lema, [3, 5]. Lema 1.1 Si (2) se e i ica, en onces dados 1≤q≤ ≤ ∞, pa a cada ε>0 )UC( , s))L(Lq(Ω),L (Ω)) ≤M(ε)eε( −s) ( −s) N 2“1 q−1 ”, > s (3) con M(ε) = K$%α e&αε−αsi 0<ε<ε0=α e 1si ε≥ε0=α e pa a cie a cons an e Kyα=N 2'1 q−1 (. 2. Soluciones posi i as no degene adas Obse emos que una soluci´on comple a de (1) (y despu´es pa a (9)) es una soluci´on u, de inida pa a odo ∈IR en el sen ido de que pa a cada s∈IR la soluci´on de (1) con da o inicial u0=u(s, ·) es u( , x) pa a cada > s. Como e emos aqu´ı la p opiedad (2) iene ga an izada po la exis encia de cie as soluciones posi i as especiales de (1). Pa a ello eco damos la siguien e de inici´on de [6]. De inici´on 2.1 Una unci´on posi i a con alo es en X=C(Ω)(que se anula en ∂Ωen el caso Di ichle ), es “no degene ada” (ND) en ∞( espec i amen e en −∞) si exis e 0∈IR 2 Decaimien o en ecuaciones pa abolicas no au ´onomas al que ues ´a de inida en [ 0,∞)( espec i amen e en (−∞, 0]) y exis e una unci´on C1(Ω), ϕ0(x)>0en Ω, (que se anula en ∂Ωen el caso Di ichle ), al que u( , x)≥ϕ0(x)pa a odo ≥ 0(4) ( espec i amen e, pa a odo ≤ 0). Obse emos que en el caso Neumann o Robin, ϕ0se puede oma cons an e en Ω. As´ı, enemos P oposici´on 2.2 Sea UC( , s)el ope ado de e oluci´on asociado a (1). i) Supongamos que pa a cie o 0∈IR,z( , x)es una soluci´on posi i a aco ada y no degene ada (PAND) en ∞, de (1), pa a > 0. En onces pa a odo ≥s≥ 0 enemos 0< M0≤ )UC( , s))L(Y)≤M1(5) con Y=L (Ω),1≤ < ∞oY=C(Ω). ii) Si z( , x)es una soluci´on comple a de (1) posi i a aco ada y no degene ada (CPAND) en −∞ pa a ≤ 0, en onces pa a s≤ ≤ 0 enemos (5). Demos aci´on Supongamos que u0∈C1(Ω) (que se anula en la on e a en el caso Di ichle ). En onces, exis e λ=λ(u0) al que |u0(x)|≤λϕ0(x) en Ω, donde ϕ0es como en la De inici´on 2.1. En onces, po compa aci´on, pa a cada s≤ |UC( , s)u0(x)|≤λUC( , s)ϕ0(x)≤λUC( , s)z(s)(x) = λz( , x) y en onces )UC( , s)u0)Y≤λsup )z( ))Y. As´ı, UC( , s) es ´a pun ualmen e aco ado sob e un conjun o denso de Yy po el P incipio de Aco aci´on Uni o me ob enemos la co a supe io de )UC( , s))L(Y). po o o lado, pa a s≤ , enemos 0 <ϕ0(x)≤z( , x) = UC( , s)z(s)(x) y en onces )ϕ0)Y≤ )UC( , s))L(Y))z(s))Y y ob enemos la co a in e io pa a )UC( , s))L(Y). 3. El esul ado de pe u baci´on Teo ema 3.1 Supongamos que U=UCes el ope ado de e oluci´on asociado a (1) y que e i ica (5). Supongamos que P∈Cθ(IR, Lp(Ω)) con 0<θ≤1yp > N/2, es una pe u baci´on de C. Supongamos que exis e una descomposici´on P( , x) = P1( , x)−P2( , x), Pi∈Cθ(IR, Lp(Ω)), i = 1,2 al que pa a odo x∈Ωy| |g ande, P2( , x)≥a( )>0con l´ım in | |→∞ a( )> a0>0. Tambi´en supongamos que P1∈Lσ(IR, Lp(Ω)) pa a σ, p, ales que o bien σ= 1 yp=∞, o1<σ<∞yp > Nσ! 2, o σ=∞yp > N/2. 3 A.Rod ´ıguez–Be nal En onces UC+P( , s)es exponencialmen e es able siemp e que i) a0>0si σ= 1 yp=∞o1<σ<∞yp > Nσ! 2. ii) a0> ac 0(P1)>0si σ=∞yp > N 2, donde la unci´on con inua ac 0(P1) iene dada po ac 0(P1) =    c0l´ım sup| |→∞ )P1( ))Lp(Ω),si 0≤l´ım sup| |→∞ )P1( ))Lp(Ω)≤s∗ c1+c2l´ım sup| |→∞ )P1( )) 1 1−α Lp(Ω),si l´ım sup| |→∞ )P1( ))Lp(Ω)≥s∗ (6) donde α=N 2p<1y las cons an es c0, c1, c2, s∗dependen de N, p. Demos aci´on. Obse emos p ime o que podemos abaja con > s con muy nega i o osmuy g ande. Conside amos soluciones de (1) en Lq(Ω), 1 ≤q≤ ∞ a elegi . En p ime luga , pa a cada u0∈Lq(Ω) la soluci´on u( , s, u0) = UC+P1( , s)u0 e i ica, pa a ≥s, u( , s;u0) = UC( , s)u0+) s UC( , τ)P1(τ)u(τ, s;u0)dτ. Usando es o, elegimos q al que p≥q%y en onces el ´e mino P1(τ)u(τ, s;u0) se puede es ima , usando la desigualdad de H¨olde , en L (Ω) con 1 =1 p+1 q. As´ı, deno ando z( ) = e−ε( −s))u( , s, u0))Lq(Ω), y a(τ) = M(ε))P1(τ))Lp(Ω), con M(ε) como en (3) (o M(0) = M1si ε= 0), ob enemos pa a ≥s, z( )≤M1)u0)Lq(Ω)+) s a(τ) ( −τ)N 2p z(τ)dτ. Usando el lema de G onwall singula , [1, 3, 5], ob enemos )u( , s, u0))Lq(Ω)≤M2eµ(ε)( −s))u0)Lq(Ω), ≥s(7) donde µ(ε) = 0 si σ= 1 y p=∞, o µ(ε) = ε, si 1 <σ<∞yp > Nσ! 2, o µ(ε) = ε+%M(ε)Γ(1 −α)LS(P1)&1 1−α, si σ=∞yp > N 2, con α=N 2p<1, donde LS(P1) = l´ım sup| |→∞ )P1( ))Lp(Ω). Aho a, p obamos que pa a ≥s, se iene )UC+P( , s))L(Lq(Ω)) ≤e−a0( −s))UC+P1( , s))L(Lq(Ω)) (8) y de aqu´ı se sigue el esul ado. Pa a es o obse emos que si u0≥0 en onces UC+P( , s)u0≥ 0 lo cual implica que |UC+P( , s)u0|≤UC+P( , s)|u0|. Po an o bas a p oba la a i maci´on pa a da os no nega i os. En al caso, sea u( , s;u0) = UC+P( , s)u0≥0 y en onces como P2( , x)≥a0, pa a | |g ande, enemos u −∆u=C( , x)u+P1( , x)u−P2( , x)u≤C( , x)u+P1( , x)u−a0u Sea aho a 0 ≤ ( , x) = u( , s;u0)ea0( −s), que e i ica −∆ ≤C( , x) +P1( , x) . En onces, [4], 0 ≤ ( , x)≤UC+P1( , s)u0y as´ı se iene (8). 4 Decaimien o en ecuaciones pa abolicas no au ´onomas Con (7) y (8) el caso i) es cla o. Pa a el caso ii), obse emos que de las exp esiones de µ(ε) y M(ε) como en (3), enemos que µ(0) = µ(∞) = ∞y pa a cie as cons an es A0, A1 que dependen de N, p, µ(ε) = $ε+A0LS(P1) 1 1−αε −α 1−αsi 0 <ε<ε0 ε+A1LS(P1) 1 1−αsi ε>ε0. Como la unci´on h(ε) = ε+A0LS(P1) 1 1−αε −α 1−α iene un ´unico m´ınimo en ε1=B0LS(P1), yh(ε1) = B1LS(P1) (donde B0, B1dependen de N, p), en onces compa ando ε0yε1, minimizando µ(ε) e imponiendo a0>´ın {ε>0}µ(ε) llegamos a (6). A con inuaci´on ilus amos el alcance de los esul ados con los siguien es dos ejemplos. P oposici´on 3.2 Con las no aciones e hip´o esis del Teo ema 3.1, supongamos que pa a | |g ande P( , x)≤ −ϕ(x),0≤ϕ∈Lp(Ω), p > N/2 y supongamos que pa a 0< a su icien emen e peque˜no µ({x∈Ω,0≤ϕ(x)≤a})≤Kaν con ν>0yK > 0. En onces UC+P( , s)es exponencialmen e es able. Demos aci´on. Obse emos p ime o que enemos, [4], |UC+P( , s)u0|≤UC+P( , s)|u0|≤UC−ϕ( , s)|u0|. As´ı bas a p oba que UC−ϕ( , s) es exponencialmen e es able. Aho a omamos ϕ(x) = ϕa 2(x)−ϕa 1(x) con ϕa 2(x) = m´ax{ϕ(x), a}≥ay en onces 0≤ϕa 1(x)≤acon )ϕa 1)Lp(Ω)≤Ka(1+ ν p). El esul ado se sigue omando P1( , x) = ϕa 1(x) y P2( , x) = ϕa 2(x) y a0=a > 0 peque˜no, ya que (1 + ν p)>1. Po ejemplo, si 0 ≤ϕ∈C1(Ω) y su g adien e es no nulo donde se anula ϕ, lo an e io se e i ica con ν= 1. M´as en gene al, si 0 ≤ϕ∈Cθ(Ω), “sin pa es planas” donde se anula, en onces ´ıpicamen e ν=1 θ. En cualquie caso se necesi a ϕ(x)>0 a.e. en Ω. El siguien e ejemplo es una a ian e dependien e del iempo del an e io en el que eliminamos la condici´on de signo en la pe u baci´on y pe mi imos pe u baciones muy g andes en egiones peque˜nas que se mue en po Ω. P oposici´on 3.3 Supongamos que pa a | |g ande enemos µ({x∈Ω, P( , x)≥ −a( )})≤K0a( )ν0 con ν0>0,K0>0y sup Ω P( , x)≤K1a( )−ν1 5 A.Rod ´ıguez–Be nal con ν1≥0. M´as a´un, supongamos que si K1= 0 en onces ν0>0, mien as que si K1>0 en onces ν0 p>1 + ν1. En onces UC+P( , s)es exponencialmen e es able si l´ım| |→∞ a( ) = a0>0es su icien- emen e peque˜no. Demos aci´on. Descomponemos P=P1−P2, con −P2( , x) = m´ın{P( , x),−a( )}. En onces P2( , x)≥a( ) y )P1( ))Lp(Ω)≤%K1a( )−ν1+a( )&%K0a( )ν0&1 p con C1≥0. De aqu´ı se sigue el esul ado ya que en cualquie caso pa a K1el ´e mino p incipal en la es imaci´on an e io iene exponen e mayo que 1 y a( ) es peque˜no. 4. El p oblema no lineal: ecuaci´on log´ıs ica Conside amos aho a la ecuaci´on log´ıs ica    u −∆u= ( , x, u) = m( , x)u−n( , x)uρen Ω, > s Bu= 0 en ∂Ω u(s) = u0≥0 (9) con ρ≥2 y m∈Cθ(IR, Lp(Ω)) pa a p > N/2 y 0 <θ≤1 y n( , x)≥0 es con inua y localmen e H¨olde en , no id´en icamen e nula y l´ım in →∞ n( , x)>0 a.e en Ω. Bajo cie as condiciones sob e m( , x) y n( , x), se ha p obado en [6] que exis e una ´unica soluci´on de (9) comple a posi i a aco ada y no degene ada (CPAND), ϕ( , x), que desc ibe el compo amien o asin ´o ico de las soluciones de (9) en sen ido “pullback” y que ambi´en e i ica que pa a cualquie o a soluci´on de (9) PAND en ∞se iene, con → ∞, u( , x)−ϕ( , x)→0 en X=C(Ω).(10) A con inuaci´on damos condiciones que p ueban que la con e gencia an e io es de hecho exponencial. De hecho, p ime o p obamos P oposici´on 4.1 i) Sea u( , x), pa a > s, una soluci´on de (9) PAND en ∞. Supongamos que P( , x) = (1 −ρ)n( , x)uρ−1( , x)≤(1 −ρ)n( , x)ϕρ−1 0(x)≤0 e i ica las condiciones de las P oposiciones 3.2 o 3.3, con → ∞. En onces la ecuaci´on linealizada en o no a u( , x), es deci , (1), con C( , x) = ∂ ∂u ( , x, u( , x)), es exponencialmen e es able en +∞. ii) Sea u( , x)una soluci´on de (9) CPAND en −∞. Supongamos que pa a << −1,P( , x) como en i) e i ica las condiciones de las P oposiciones 3.2 o 3.3. En onces la ecuaci´on linealizada en o no a u( , x), es exponencialmen e es able en −∞. 6 Decaimien o en ecuaciones pa abolicas no au ´onomas Demos aci´on. De hecho la ecuaci´on linealizada se puede esc ibi como η −∆η=∂ ∂u ( , x, u( , x))η='P( , x) + C0( , x)(η con condiciones de con o no Bη= 0, P( , x) como en el enunciado y C0( , x) = ( ,x,u( ,x)) u( ,x). Pe o como u( , x) es soluci´on de (9) PAND en +∞, po la P oposici´on 2.2 enemos que UC0( , s) e i ica (5). Po las hip´o esis sob e P( , x) y el Teo ema 3.1 enemos que UC0+P( , s) es exponen- cialmen e es able. El caso ii) se sigue de mane a simila . Aho a podemos aslada es e compo amien o a la ecuaci´on no lineal. En pa icula mejo amos (10). P oposici´on 4.2 Supongamos que 0≤u( , x)es una soluci´on de (9) PAND en ∞y se e i ican las condiciones de la P oposici´on 4.1 i). En onces oda o a soluci´on, ( , x), de (9) no i ial y no nega i a es PAND en ∞y con → ∞, u( , x)− ( , x)→0,exponencialmen e en C(Ω). Demos aci´on. En [6] se p ob´o que cualquie o a soluci´on no i ial no nega i a de (9) es PAND en ∞. Sea ( , x) al soluci´on y obse emos que bas a p oba el esul ado en los casos ( , x)≤u( , x) o u( , x)≤ ( , x). Supongamos p ime o que ( , x)≤u( , x) y sea w( , x) = u( , x)− ( , x)≥0, que e i ica w −∆w= ( , x, u( , x)) − ( , x, ( , x)) = C( , x)w con C( , x) = ∂ ∂u ( , x, ξ( , x)), y ( , x)≤ξ( , x)≤u( , x). En onces C( , x) = C0( , x) + P( , x), C0( , x) = ∂ ∂u ( , x, u( , x)) y po [6], e (10), enemos P( , x)→0 en L∞(Ω) con → ∞. Po la P oposici´on 4.1, UC0( , s) es exponencialmen e es able, y po la hip´o esis so- b e P( , x) y el Teo ema 3.1 ob enemos que UC0+P( , s) ambi´en lo es. Po an o w( , x) con e ge a ce o exponencialmen e. Po o o lado, si u( , x)≤ ( , x) en onces C1( , x) = ∂ ∂u ( , x, ( , x)) ≤C0( , x) = ∂ ∂u ( , x, u( , x)) lo cual implica que UC1( , s) ambi´en es exponencialmen e es able. Repi iendo el a gumen o an e io , in e cambiando los papeles de uy , concluimos. 7 A.Rod ´ıguez–Be nal Ag adecimien os T abajo pa cialmen e inanciado po el p oyec o MTM 2006–08262, DGES y el P og a- ma de Financiaci´on de G upos de In es igaci´on UCM-Comunidad de Mad id GR69/06. G upo 920894 CADEDIF. Re e encias [1] D. Hen y. Geome ic heo y o semilinea pa abolic equa ions, olumen 840 en Lec u e No es in Ma hema ics. Sp inge -Ve lag, Be lin, 1981. [2] J. A. Langa, J. C. Robinson, y A. Su´a ez. Bi u ca ion om ze o o a comple e ajec o y o nonau- onomous logis ic PDEs. In e na . J. Bi u . Chaos Appl. Sci. Eng g., 15(8):2663–2669, (2005). [3] J.C. Robinson, A. Rod ´ıguez-Be nal, and A. Vidal-L´opez. Pullback a ac o s and ex emal comple e ajec o ies o non-au onomous eac ion-di usion p oblems. Se ie de P epublicaciones del Depa a- men o de Ma em´a ica Aplicada, UCM, MA-UCM-2005-23. Apa ece ´a en J. Di e en ial Equa ions. [4] A. Rod ´ıguez-Be nal. On linea and nonlinea non–au onomous pa abolic equa ions. Se ie de P e- publicaciones del Depa amen o de Ma em´a ica Aplicada, UCM, MA-UCM-2006-15. [5] A. Rod ´ıguez-Be nal Pe uba ion o he exponen ial ype o pa abolic nonau onomous equa ions and applica ions o nonlinea equa ions. En p epa aci´on 2007. [6] A. Rod ´ıguez-Be nal y A. Vidal-L´opez. Exis ence, uniqueness and a ac i i y p ope ies o posi i- e comple e ajec o ies o non-au onomous eac ion-di usion p oblems. Disc e e and Con inuous Dynamical Sys ems, Se ie A, ol. 18, 537–567 (2007). 8