Las investigaciones sobre las proporciones para el control formal de la arquitectura

Las in es igaciones sob e las p opo ciones pa a el con ol o mal de la a qui ec u a Las in es igaciones sob e los p ocesos composi i os del pasado log an e ela , aún hoy, in e esan es no i- cias sob e los conocimien os y p ocedimien os de cons ucción adop ados en el cu so de los siglos po nues os p edeceso es. Es signi ica i o obse a que en el umb al del e ce milenio las a qui ec u as an i- guas oda ía log an so p endemos y hacen que nos p egun emos sob e el modo en el que han sido con- cebidas, diseñadas y ealizadas. Es as cues iones nos hacen examina la e olución de los p oyec os, analizando en el pasado aquellos aspec os des acados, con el in de ol e a encon a , en el in e io de la compleja es a i icación que com- pone los edi icios, las azones écnicas y cul u ales que han de e minado sus elecciones composi i as. Una de las posibles cla es de lec u a es á ep esen a- da po la búsqueda de las ma ices geomé icas que subyacen en la cons ucción. El análisis o mal pe - mi e, en e ec o, comp ende el sis ema adop ado pa a modula los di e sos elemen os, y encon a y en en- de las eglas composi i as sob e las cuales se ha plan eado la cons ucción. Lo que es a comunicación se p opone in es iga es el papel desa ollado po la geome ía que, en las dis- in as épocas, aunque sea con elecciones y p incipios di e en es, ha sido el hilo conduc o de la e olución, como ins umen o básico de sopo e en la elabo a- ción del p oyec o. El uso de la geome ía en la delimi ación de espa- cios y supe icies iene su o igen en exigencias de ca- ác e p ác ico, ligadas a p oblemas mé icos ela i- Ca e ina Pales ini os a la ag imensu a, aunque p on o se con i ió en un medio álido pa a la de inición y con ol o mal de la pues a en ob a del conjun o a qui ec ónico. De hecho, la p esencia de azados egulado es, cons i uidos po igu as elemen ales se e i ica en la ealización de muchos de los g andes edi icios del pasado, donde las elaciones de la dimensión, ela i- as al conjun o y a las pa es indi iduales, es án ba- sadas en p opo ciones simples deducidas de la geo- me ía p ác ica. Po o a pa e, el concep o de p opo ción es á p e- sen e en odas las épocas con elaciones dis in as, con meno o mayo impo ancia, pe o p esen e de o- dos modos. Innume ables au o es han de inido su signi icado. En e ellos, Violle -le-Duc dedica a ello un no able espacio en su céleb e Dic ionna ie d' a - chi ec u e, Icompa ándolo con el de sime ía ydi- mensión, p ecisando además la desc ipción b indada po Qua emé e de Quincy.2 La palab a p opo ción se desc ibe así: «Los g iegos enían una palab a pa a designa aquello que noso os en endemos po p o- po ción (oO.)de la que noso os hemos ex aido Sime- ía que no equi ale pa a nada al énnino p opo ción. De hecho, un edi icio puede se simé ico y no habe sido cons uido según unas p opo ciones con enien- es o adecuadas, (oO.).Se deben en ende como p o- po ciones las elaciones en e las pa es y el odo, e- laciones lógicas, necesa ias y capaces de sa is ace al mismo iempo a la azón y a los ojos (oO.) se hace ne- cesa io es ablece una dis inción en e las p opo cio- nes y las dimensiones. Las dimensiones indican sim- Ac as del Te ce Cong eso Nacional de His o ia de la Cons ucción, Se illa, 26-28 oc ub e 2000, eds. A. G aciani, S. Hue a, E. Rabasa, M. Tabales, Mad id: I. Juan de He e a, SEdHC, U. Se illa, Jun a Andalucía, COAAT G anada, CEHOPU, 2000. 772 plemen e al u a, longi ud y supe icie, mien as que las p opo ciones son elaciones ela i as en e las pa es según una ley (...). Que los a qui ec os g iegos hayan adop ado un sis ema de p opo ciones es cie a- men e e dade o, pe o (...) no quie e deci que los ambién los egipcios y los gó icos no hayan adop ado uno, cada uno el suyo». Según lo que se ha ci ado es e iden e que el au o se e ie e a sis emas dis in os, pe o odos esencial- men e undados sob e conocimien os geomé icos aplicados a los p ocesos cons uc i os. El concep o ma emá ico de p opo ción' ha in 1uido no ablemen e en el abajo de los a is as del pasado, en la búsqueda de las elaciones geomé icas muchos de ellos han asignado un papel undamen al a la sec- ción áu ea, elación que en su o igen his ó ico enía ambién un signi icado mís ico y ilosó ico, pues e a al mismo iempo medida y eligión. El núme o 1,618 que esul aba del desa oIJo en acción del núme o i acional (] + 1/5)/2, no es o a cosa que la elación conocida con el nomb e de sec- ción áu ea, que u o una pa e an impo an e en los in en os de educi a ó mula ma emá ica la beIJeza de las p opo ciones. Un ejemplo e iden e de pu ísimo es ilo geomé i- co es el que es á cons i uido po la concepción cons- uc i a egipcia. Las pi ámides son simples sólidos, con base cuad ada y ca as iangula es, en las que se de e minan secciones iangula es con de inidas ela- ciones basadas sob e el iángulo equilá e o e isósce- les egipcio.4 La g an pi ámide de Keops ep esen a, más que ninguna o a, la ob a que sin e iza los conocimien os de esa ci ilización. Muchos es udiosos sos ienen que hab ía sido e igida no sólo como umba,' sino más bien pa a ansmi i a la pos e idad con un lenguaje simbólico y he mé ico, un conjun o de nociones ilo- só icas y cien í icas. En e ec o, según las mediciones ealizadas la cons ucción con iene muchos núme os impo an es, la elación áu ea ha sido aplicada en la edi icación del olumen ex e no y es á p esen e am- bién en e amen e en las medidas de la denominada sala del ey, la o ien ación e leja además la concep- ción cosmológica.ó Po lo an o, se e i ica que hay abajos que em- plean los azados geomé icos desde épocas emo- as. Sin emba go es con los g iegos cuando el es udio de la geome ía asume ca ac e ís icas abs ac as y de igo , alcanzando un ni el eó ico ele ado. C. Pa1es ini A pesa de que los comienzos ins i ucionales se si- úan en los esc i os de Euclides (300 a. C.), ya desde el siglo VI a. C. la geome ía u o un desa olJo de impo ancia: de las in uiciones p ác icas y eó icas de Tales de Mile 07 al descub imien o pi agó ico de la inconmensu abilidad en e el lado y la diagonal del cuad ado; de la cuad a u a del lunale de Hipóc a es de Quío" a los es udios sob es las p opo ciones de Eudoxio de Cnido.') Los Elemen os de Euclides cons i uyen una sín e- sis de ce ca de es siglos de in es igaciones geomé- icas, en e ec o, las ma emá icas en la an igüedad ue on sob e odo geome ía, an o po mo i os de o den p ác ico como ideológicos y iJosó icos. La p eocupación p incipal de los p ime os ilóso- os g iegos había sido la búsqueda de un p incipio u o den en un uni e so que apa ecía absolu amen e ca- ó ico. El descub imien o de la elación exis en e en- e las consonancias musicales y los núme os'o pa e- cía e ela el sec e o de la a monía del mundo. Pla ón, en el Timeo, explicó que los p incipios o de- nado es en el cosmos es án con enidos en e amen e en algunos núme os, en los cuad ados y en los cubos en elación doble y iple pa iendo de la unidad. Iden i icó pues, con al obje i o, dos p og esiones geomé icas (1,2,4,8 y 1,3,9,27) cons i uidas po sie- e núme os undamen ales. A pa i de es as eo ías ilosó icas se desa olla on el simbolismo y el mis i- cismo de los núme os y la p e e encia de algunas o - mas conside adas pe ec as. Como con i mación de odo lo dicho encon amos que las p opiedades mís icas" cons i uían la base de la a i mé ica pi agó ica. Se conside aban esenciales los núme os de] ]al 10 (después del diez no se hace más que ol e a ás). El diez ep esen a e] núme o sag ado po excelencia, e] símbolo de la salud y de la a monía, g acias ambién a su pe ección es é ica a] se un núme o iangula ,'2 además es gene ado po la suma de los p ime os cua o núme os esenciales (1+2+3+4=10). El núme o I e a asociado al pun o; el 2 a ]a línea; el 3 a] iangulo que ep esen a la supe - icie; el 4 ep esen a el espacio, sólo ag egando un pun o sob e el iángulo se ob iene el sólido geomé- ico: el e aed o, la pi ámide con base iangula . Además los pi agó icos" se dedica on al es udio de los sólidos ec angula es, de los que inicialmen e conocie on es: el e aed o, el cubo, el oc aed o, y luego descub ie on el icosaed o y el dodecaed o o - mado po doce ca as pen agonales, comple ando la Las in es igaciones sob e las p opo ciones se ie de 5 polied os egu]a es que ep esen aban los elemen os del uni e so en e o. Se a ibuyó al iángulo ec ángulo una eno me impo ancia, que los egipcios de inen como sag ado, cuyos lados son p opo cionales a los núme os 3, 4 Y 5, sob e los cuales se pueden cons ui las igu as del iángulo, del cuad ado y del pen ágono. La igu a de la es eIJa de cinco pun as, ob enida azando las dia~ gonales del pen ágono, ep esen aba además el sím~ bolo de ]a escue]a pi agó ica, elemen o que nos de~ mues a el conocimien o de las p opiedades áu eas, ine i ablemen e empleadas ambién en ]a cons uc~ ción de los polied os. Euclides,14 en e o as cosas, explica en los Elemen os el mé odo pa a di idi un segmen o en mediana y ex ema azón, de modo al que el ec ángulo o mado po el segmen o y po una de sus pa es sea igual al cuad ado de la o a pa e. Po lo an o, no hay duda de que los a qui ec os y escul o es g iegos usaban p opo ciones geomé icas basadas sob e la p opo ción áu ea y, con el in de c ea una ealidad es é ica ideal, adop aban so is ica~ das co ecciones óp icas como demues an los nume~ osos es udios ealizados sob e el Pa enón.15 Así pues, al pe íodo g iego se debe a ibui el mé~ i o de ]a de inición de ]os conocimien os p eceden~ es y de la colocación en di e sas ca ego ías, de las que es son las que se a ibuyen a Pi ágo as, sin las cuales como dice Wi kowe ,16 «(...) no es imagina~ ble ninguna eo ía p opo cional aciona!>,. Se a a de la p opo ción a i mé ica, de aqueIJa geomé ica y de ]a a mónica e i icadas espec i amen e cuando la suma de los medios es igual a la de los ex emos; el p oduc o de los medios iguala al de los ex emos y los ecíp ocos de es núme os esul an en p opo ción a i mé ica.l? Todas es as eo ías ue on e o nadas y codi ica~ das po los a adis as del pe íodo enacen is a. En e es os PaIJadio IN o ece un mé odo pa a es ablece las es dimensiones que de e minan la o ma de un es~ pacio, basándose en las ci adas elaciones, aunque eelabo adas de mane a o iginal. León Ba is a AI~ be i,IY siemp e e i iéndose a ]os descub imien os pi agó icos, examina sin emba go las co esponden~ cias en e los in e alos musicales y las p opo cio~ nes a qui ec ónicas. Se li02° además de anaJiza sin~ gula men e las o mas y sus cons ucciones e]a i as a on a las posibles a iaciones sob e el ema del cuad ado ( igu a 1). Cesa ian021 e o na, po su pa ~ e, los azados de los ec ángulos a mónicos y su 773 L I 11 ROl' R I M o; '9 .' J". iI( Wmd ;m4~pn ~(¡ c upñmi J4lí.d Jkqu4lí 1i:Wi~ mZ:lZa-j{: l:1 # »"4[Uilí ,&4C(~4 [ Kmp¡¡¡ M idm i;>&1ucladxm1ll{a a[Id' w/li l!l ,~ .i &Jij "IU¡'~ o. (I»I 4'P - A Iu. w}ia pimi 4{M1P.' ~uI1'l'Md o p n() di l lh':IITC [Mi 'Vgl .:íi,& .¡u~ olmgllmu. J(YdJa wim« ,d 71 im4 p O l'. knc ,"J¿~P?i: . widi ' U~JW:7 [J [] o ~ ~ []] ITJ [TI e Diuc p Figu a 1 P opo ciÓn basada sob e el cuad ado. S. Se lio lib o l, 1584 posible uso en el in e io de espacios a qui ec ónicos ( igu a 2). Las e]aciones es á icas, es deci las ob enidas con núme os en e os, y las dinámicas, exp esadas po nú~ me os i acional es, se explo an y di unden en los a~ ados del pe íodo, con i iéndose en una e dade a p ác ica cons uc i a. Además, en el siglo XVI, se pubJican a ados que examinan especí icamen e las elaciones áu eas. Luca Pacioli22 dedica a la sección áu ea su De Di ina P o~ po ione analizando los ece e ec os di e en es de la p opo ción di ina. De o ma pa ecida, F ancesco Gio giD publica un amplio 'in~ olio' sob e la a monía del uni e so con ]a in ención de econcilia las doc i~ nas c is ianas con el pensamien o neopla ónico. Así, en e] Renacimien o se di ulgan las eg]as de~ ducidas de la an igüedad ea i madas a a és de su cons an e e e encia al cue po humano, de las que b o an compa aciones y analogías con la a qui ec u a. De las co espondencias que de i an de ]a es uc~ u a o mal del cue po humano, se deduce, en e 774 ÁT1UORVM:EXTl IBIl~ COFO:R.MAT. .$ GEN::! FAVC V:: MI'J:VVI O&;: PWSTYD.Q&.Qyoq¿..8I 1. 1:: I. 1 '1 z ¿1< !2!, ~. LZ ' li :RIA.S EXEDRA:&: l'INACo'I'lE'CJUY G H l~~É:J F. o~H F, Q. .Al. TITll.DO. A" RICl.mil..: AR:1::A Figu a 2 Es udios de p opo cionalidad de Vi u io, edición del Cesa- iano, 152] o as ]a ex ao dina ia egla composi i a de ]os ó de- nes a qui ec ónicos, basada sob e un c i e io in ínse- co de la composición. Un sis ema p opo ciona] que, a pa i del módulo de base de la columna, pe mi e sepa a se de los sis emas de medida man eniendo, ijo en e] iempo, un pe ec o equilib io en e las pa - es ( igu a 3). Sin emba go, la concepción p opo cional del me- die o se exp esa en una elación dis in a con espec- o al pe íodo clásico y con un sen imien o que iende a la exage ación y a la ascendencia. Las o mas a qui ec ónicas se cons uyen a a és de la ans e encia a la p ác ica de la ob a de eglas más simples, deducidas de la geome ía. És as nos e elan ]a p esencia de esquemas basados sob e iángulos y polígonos, de los que esuJ an de e mi- nados de o ma modu]a no sólo los azados p inci- pajes, sino ambién los que de inen ]os elemen os de- co a i os y de de alle. Aunque al an a ados especí icos de] medie o, quedan algunos es imonios undamen ales de es u- dios basados sob e eglas a i mé icas y geomé icas C. Pa1es ini ,o/" Figu a 3 Es udios p opo cionales del o den dó ico de G. D'Amico, A chi e u a p a ica, 1726 simples, como la céleb e lib e a de apun es de Vi- l1a d de Honnecou ,24 donde se en igu as geomé- icas insc i as en igu as humanas, de animales y de edi icios. E] pen ag ama, el iángulo, ec ángulos áu eos y ec ángulos ob enidos sob e la aíz cuad ada de dos apa ecen innume ables eces ( igu a 4). De modo semejan e, los es udios de ViolJe -le-Duc25 sob e las ca ed ales gó icas, e idencian las p incipa- les igu as usadas po los cons uc o es medie ales como gene ado as de p opo ciones: como los ián- gulos equilá e o, isósceles, pe ec o o sag ado, isós- celes egipcio, y el cuad ado ( igu a 5). Muchísimas iglesias medie a]es ue on cons ui- das en quad a u n y en iangulu n como es imonian los diseños de la ca ed al de MiJán de Cesa ian026 ( i- gu as 6 y 7). La igu a pen agonal, además, apa ece en muchas iglesias ancesas, en los aJzados in e io es, como en el caso de la ca ed al de Pa ís y en las id ie as de Amiens, de Cha es y de No e Dame; la es el1a de Las in es igaciones sob e las p opo ciones Figu a 4 Relación p opo cional de Villa d de Honnecou (siglo XIII) cinco pun as ep esen a, en e o as cosas, una de en- sa especí ica con a el demonio. Sob e la base de es as conside aciones, di igidas a econs ui los p ocesos de ideación y los medios ló- gicos y me odológicos que han de e minado el uso de azados geomé icos en algunas épocas signi ica- i as, se han esumido y analizado en ablas emá i- cas especiales las p incipales igu as gene ado as de p opo ciones ( igu as 8-11). Los ec ángulos a mónicos ob enidos en la bús- queda de la o ma ideal pa a un ec ángulo que es é comp endido en e el cuad ado, como o ma pe ec- a, y el ec ángulo ob enido de la unión de los dos cuad ados conside ados en las a ias soluciones in- e medias ob enidas sob e núme os i acionales aíz cuad ada de 2, 3 Y 5, has a el ec ángulo áu eo 1+ aíz cuad ada de 5 sob e dos. Las igu as del pen á- 775 P opo :'.Íonc L;~~,~~~ :~~:: ;~,,~~: Z ,~~~{)~;;410 .. applicnilmi da V¡oUe -Ie.P!lc,~:~ - ' Sc .ionc ddla C'''cd ,k di Amicn' SezlOnediNm cJ)an)('d;l'a i~j Figu a 5 T iángulos gene ado es de p opo ciones y su aplicación de E. Violle -le-Duc gono y del decágono gene ado as de elaciones áu e- as, en las di e sas cons ucciones, desde la de Hipó- c a es de QUÍo, que esume en sí odas las p incipales o mas geomé icas, a la de Se lio y de Dü e ob eni- da con una sola abe u a de compás, que de e mina un pen ágono equilá e o pe o no equiángulo. Y, inalmen e, las elaciones p opo cionales basa- das en la sección áu ea o di ina p opo ción, que ie- ne como p opiedad undamen al la de au o ep odu- ci se ob eniendo una secuencia inin e umpida de ec ángulos semejan es insc i os los unos en los o os que gene an la espi alloga í mica. Pa a conclui es a b e e exposición sob e las p o- po ciones y sob e el papel de la geome ía en la his- o ia de las cons ucciones se debe señala que es os sis emas nunca han sido abandonados. En la época mode na dicho in e és se uel e a encon a en mo- 776 LIDER. PRIMVS IDEA G OMETR/CA JlJ cH1TI! AJI TCHNOG1'..AJ'HIA ~ M TA'VTPERAMV5$'N[I>.5 l'QSHNT 1 pn. o~ HO(jRAJ'H IAM PU.oVCERE Ol'1N!:5 <:: ::/ASCVNQy¡..¡UN8 S<NQN: :~~~;.ll}.~ ,IINT s~i:~ .~~"i?i T~:0~H1 lX~' "~; ¿V'W~~ TIONATAM Qy.3.NTVM ETRLU; QVJ NTITATE M ORDINAR1AM AC PEIl.. OPlRH'PECoRAnoN'EM. OST NDE~.VTI ETlAM HEC QVAJ::A GEJl..MI'.NICO HOR:EJ' .RVl" NTVNT DIS'1'RUlVENTVRJ' NE ~VE.M_~DMODV1' SACRA CATH<ORAl.!~ AlDE$ M' :DI01.i Nl PAIET".'EJ:.. ?"...l I''''M~C''(;''ÁAP..VI..ql.C,J .C A .OA ,l. .1 í Figu a 6 Es udios p opo cionales sob e el Duomo de Milán de Vi u- io, edición del Cesa iano, 1521 imien os a ís icos de angua dia y del pos cubis- mo. Los es udios sob e las p opo ciones y sob e los p ocedimien os de ]a mís ica geomé ica medie ales ue on e o nados, en e o os, po Jacques Villon, undado en ]9]] del mo imien o de la sec ion d' o o Es ambién impo an e, en e] ma co de] cubismo, la ob a de Gino Se e ini,27 que in en ando encon a nue amen e el signi icado que los g iegos habían dado a] núme o y a la geome ía, elabo a una e da- de a y p opia es é ica del núme o y del compás. La es é ica de] núme o ue po enciada luego po los a is as del g upo De S ijl; Osca Sch]emme en e] ámbi o de Bauhaus analiza ]a descomposición del cue po humano en base a la elación áu ea, p opo - ción ul e io men e desa ollada po Le Co busie pa a su Modula , que consis e en dos se ies de Fibo- nacci2x in e elacionadas en e sí. C. Pales ini Lm~_- __~.~I!_'~_~~-,--~--~':I¡:~ ORTHOO"-AN{IAE,AII ICHNOCiRA H'A !'XORTA ~F-~"I"""l-.l"O ,,,c ,,"'."'; "-1) "w,~ UAJ.J...i!.~,~~~~~ I' : iJc~ '!i~i~lJ,,7 ¿~L,$~:'~~MA2::'Po~~~¡ ,J~:. i~0~~~~;:;iN:i. ¿~1 ~~ I 6. Figu a 7 Es udios p opo cionales sob e el Duomo dc Milán de Vi u- io, edición del Cesa iano, 1521 Se con i ma pues la impo ancia de la geome ía, como ins, uTlen o g á ico de p oyec o y con ol o - mal, ambiéll en la e a ac ual de la denominada des- ma e ialización. Supe ado el apa en e abismo, en e- alidad e] ac o del p oyec a equie e siemp e un p oceso men al que pa e de las geome ías habi ua- les pa a llega a su descomposición. NOTAS 1. C . E. Violle -Ic-Duc, E.: L'a chi e u a agiona a s. '. "pl'Opo zione)), Milano, 1984, pp. 211-245. 2. Violle -lc-Duc no pa ece conco da con la de inición que Qua emé e de Quincy p esen a en el Dic ionnai e d' a chi ec u e. De hecho, a inna ci ándolo a su ez que: « ...La idea de p opo ción, dice Qua emé e de Quincy Las in es igaciones sob e las p opo ciones TRJANGOLOEQUILATERO TI:I.!ANC.oLO ISOSCELE RETI ANC,oW TRéANGOLOPER CnO o SACRO Figu a X T iángulos gene ado es dc p opo ciones en su Dic ionnai e d' a chi ee u e, encie a la dc las ela- ciones ijas, necesa ias ycons an emen e las mismos y ecíp ocas en e las pa es que ienen un obje i o de e - minado». El céleb e académico según nos pa ecc no cap a aquí comple amen e el alo de la palab a p opo - ción. «En a qui ec u a las p opo ciones no implican en absolu o elaciones ijas, cons an emen e las mismas (...) sino po el con a io, elaciones a iables, con is as a ob ene una escala a mónica (...)>>, U sup a , pp. 211- 12. 3. C .: Ga dne , Ma in: Enigmi e giochi ma ema ici, pp. 222-232. 4. C .: Ba oli. M.T.: Cuhi o, pe ica, call1la e a a en «disegna e idee e immagini», n. 2, 1991, pp. 81-82. 5. La g an pi Úmide ue mandada cons ui po el a aón Queopes en el 2575 a. C. En lo que se c ie e a su al u a, an es que se pe die a el ma e ial que o maba su cum- b e, alcanzaba 14X me os y sus lados de base medían 232 me os ap oximadamen e. 6. C . Mezze i. c.: 1Ilaz:a e o di Ancona, pp. 49-51. 7. C . Boye , c.: .'> o ia del a ma ema ica, Milán 19XO, pp. 53-56. L1 ¿- L~ 777 PROCEDIMENTI GRAFlClI'ER DJMEZZARE o RADDOPPIARE IL QUADRATO Figu a 9 Rec Úngulos a mónicos ob enidos del cuad ado 7. V sup a, pp. 77-XI. 9. V sup a, pp. 105- J J 1. 10. Pi ágo as con el auxilio de una caja de esonancia de e - minó expe imen almen e las elaciones numé icas en e los sonidos, en las medidas de 1:2 pa a la oc a a (diapa- són) co espondien e a la elación de oda la cue da ysu mi ad: 2:3 pa a la quin a (diapen e) y de 3:4 pa a la cua a (di a e se ón) co espondien es a la elación de oda la cue da espec i amen e con los dos e cios ycon los es cua os de la misma. Obse ó pues que los in e - alos musicales más placen e os co espondían a ela- ciones exp csables con núme os en e os. 11. Mezze i, c.: 1I Lazza e o..., 01'. ci . pp. 3-19. 12. Los pi agó icos es udia on las disposiciones geomé i- cas de los núme os de eniéndose pa icula men e en aquellos que dcnominaban iangula es (1,3,6,10,15...) Y cuad ados (1,4,9,16,25..,), los ep esen aban con boli as dispues as en o ma de cuad ado o iángulo descub ien- do impo an es p opiedades como el céleb e eo ema. 778 - !IJ ..' : . ," ,, > " .... " ~'- - - - ~- .: -. " " , '/"1 :>. .. ," PENT AORAMMA" PENT AOONO STELLATO 1A~¡~i u l w <>allo ,,;n!en¡oullal o pcn"''' legpla o e si dAAdono ;n "",.odia <Id ~"'n agionc' PENTAGRAMMA di JPPQCRATE di Ch;o (430 "-e.) ~ (iJp COST.l UZ1oNE dOlPENTAGONO!JOWI>d(> S:ERUO D AGRAMMAdiDÜRER @ :.> : /---;~-" ~ , :..-: ' - , :--nM+:. . --~~~- , //":?~'¡,,' .''x /',:.i,)<0 //?;'/:;,~~[) ; u_-.:';~'<' ;-' DECA.GONO COJ1M:icne dd PENTAGONO ~ Dii e ()lleno"" "" una olaapo u adic<>mpao.~. Figu a 10 Figu as gene ado as de p opo ciones: el pen ágono y el de- cágono 13, C .: Boye , c,: Op, ei " pp, 59-66. ]4, D sup a, pp. 119-136, 15, C . Moe, CJ,: [nume i di Vi u io, Milán, 1945. 16. C . Wi kowe , R.: P ineipi del!' e á dell' Umanesimo, Roma 1964, pp, 106-135. 17, T es núme os en e os a, b, c son en p opo ción a i mé i- ca, geomé ica o a mónica cuando sa is acen espec i a- men e las elaciones: 11) b-a =c-b 2) a:b =b:c 3) (b-a): a= (c-b): c Los co espondien es medianos p opo cionales son:, 1) b =(a+c)/2 2) b =ac 3) b =2ac/a+c 18. C . Pal1adio, A,: [qua o lib i dell' a ehi e u a, Milán, 199O, lib o 1, pp, 46-55. ]9. C . Albe i, L.B.: De e Aedijica o ie, Milán, 1966, 2°. C ..Se lio, S,: [se e lib i dell' a ehi e u a, Vcnecia, 1584, lib o 1. 21. C . Vi u io: op, ei , 22. Luca Pacioli de ine la sección áu ea en ece e ec os. El p ime o la desc ibe con p ecisión: es una p oposición i a- C, Pales ini DqjE; "",,,,. 'O .' Ac> A~.-// 1'> ,.."., J)' i~' A~:""..."- A.C / ~~:AH~~~.:>'~ e :.: ~ ::~ > A OC AE. "><:2.1<>"'"""'''''... do,,~ Sd,.m.a ""!la oo, "'.,,;o,* geome1nca 001 e a~Jo il<l OO 0°' 1'~",;Ij"d.1 decogoI C egola e YTI . ' . /' ~--~~ ,,~ 1;,. !> Figu a II Relaciones basadas en la sección áu ea cional en e dos é minos, siguen los o os doce que la de- inen esencial, singula , admi able",en la sép ima explica que los lados de hexágono y de decágono se co an según es a p opo ción y, en la decimo e ce a, ei e a que sin es a p opo ción no es posible cons ui el pen ágono egula . En la úl ima pa e del a ado expone los polied os ilus a- dos po Leona do de Vinci, conside ados como unda- men ales pa a los mé odos cons uc i os del enacimien o, 23. C . Gio gi, F.: De Ha monia mundi o us, Venecia, 1525, 24, C . Bechmann, R.: op, ('i " pp. 305-312, 25, C . Viollc -le-Duc, E.: Con e saÚoni sulla a chi e u a, Milán, 1990, pp, 45-ll5. 26, C . Vi u io: De A chi ec u a, asla o e commen a o da Caesa e Caesa iano, Milán, 1981. 27.C . Se e ini, G,: La di ina p opo zione, 1991. 28, Fibonacci (117O-125O, ap oximadamen e) es el seudóni- mo de Leona do de Pisa, au o del Libe Abaci, conside- ado como uno de los ma emá icos más au o izados del medie o, La se ie elabo ada po él consis e en una se- cuencia de núme os en los que el é mino sucesi o al se- gundo se puede ob ene sumando los dos p eceden es (1,2,3,5,8,13, ",).