Aplicación del modelo de Ichimura-Austern-Vincent a la interpretación de medidas inclusivas de 197Au( 9Be,8Be)
Abstract
El estudio de reacciones nucleares de ruptura de un núcleo débilmente ligado en dos o más fragmentos es un proceso de gran interés en la rama de la Física Nuclear. En este trabajo, consideraremos una reacción nuclear que puede describirse como: a(b+x)+A → b + B∗, donde B∗ representa todos los canales de salida posibles que puede formar el sistema x + A. En un experimento, cuando los estados finales no están completamente determinados, es decir, no se detectan todas las partículas salientes, se dice que la reacción es inclusiva. La interpretación teórica de este tipo de reacciones es complicada, puesto que existen muchos procesos que pueden contribuir a la producción del fragmento b. Los procesos de ruptura inclusiva los separaremos en tres contribuciones: la ruptura elástica (EBU), la ruptura no elástica (NEB) (que incluye los procesos de INBU, Transferencia y ICF) y la fusión completa (CF). Para el estudio teórico de reacciones nucleares de este tipo, nos valemos del formalismo de Ichimura-Austern-Vincent (IAV) [Phys. Rev. C 32, 431 (1985)] en su versión prior. Dicho formalismo está implementado en el código computacional “Smoothie”, desarrollado por el Dr. Jin Lei junto con el tutor de este trabajo D. Antonio M. Moro, que por lo tanto, utilizaremos para encontrar la sección eficaz total de transferencia para la reacción objeto de estudio. La motivación para la realización de este trabajo reside en extender el método de IAV a situaciones en las que el eyectil b es un sistema no ligado, que por lo tanto puede formarse en varias configuraciones de energía y momento relativos, y además decaerá tras la colisión en sus constituyentes. Precisamente por esto y porque disponemos de datos experimentales [Phys. Rev. C 104, 024609 (2021)] con los que comparar los datos teóricos que obtengamos, escogemos la reacción 197Au(9Be,8Be) en las que el proyectil a es el 9Be, que es un núcleo borromeo formado por dos partículas alfa y un neutrón, y el eyectil b es el 8Be (α + α), que efectivamente es un núcleo que no forma estados ligados. Incluiremos esto en nuestros cálculos teóricos mediante los solapamientos de 9Be en su estado fundamental, con 8Be en cada uno de sus estados representativos. Estos solapamientos se calculan dentro del formalismo de armónicos hiperesféricos, que permite construir la función de onda de tres cuerpos para el núcleo de 9Be. De esta forma, se incorpora la estructura del proyectil de tres cuerpos dentro del formalismo IAV, desarrollo que resulta novedoso. El cálculo de los solapamientos ha sido realizado por el tutor D. Jesús Casal. El objetivo final del trabajo será comparar los cálculos de sección eficaz total de transferencia obtenidos para diferentes valores de energía incidente de 9Be cercanas a la barrera de Coulomb, con los datos experimentales que disponemos, además de con los cálculos teóricos siguiendo el método CRC desarrollados por F. Gollan et al. para la reacción nuclear 197Au(9Be,8Be)198Au [Phys. Rev. C 104, 024609 (2021)].
Full text
Uni e sidad de Se illa
Más e in e uni e si a io en Física Nuclea
Aplicación del modelo de
Ichimu a-Aus e n-Vincen a la
in e p e ación de medidas
inclusi as de 197Au(9Be,8Be)
T abajo de Fin de Más e
Guadalupe Villanue a Cosme
Tu o es:
An onio M. Mo o Muñoz
Jesús Casal Be bel
3 de no iemb e de 2023
Resumen
El es udio de eacciones nuclea es de up u a de un núcleo débilmen e ligado en dos
o más agmen os es un p oceso de g an in e és en la ama de la Física Nuclea . En es e
abajo, conside a emos una eacción nuclea que puede desc ibi se como: a(b+x) +A→
b+B∗, donde B∗ ep esen a odos los canales de salida posibles que puede o ma el
sis ema x+A. En un expe imen o, cuando los es ados inales no es án comple amen e
de e minados, es deci , no se de ec an odas las pa ículas salien es, se dice que la eacción
es inclusi a. La in e p e ación eó ica de es e ipo de eacciones es complicada, pues o
que exis en muchos p ocesos que pueden con ibui a la p oducción del agmen o b. Los
p ocesos de up u a inclusi a los sepa a emos en es con ibuciones: la up u a elás ica
(EBU), la up u a no elás ica (NEB) (que incluye los p ocesos de INBU, T ans e encia y
ICF) y la usión comple a (CF).
Pa a el es udio eó ico de eacciones nuclea es de es e ipo, nos alemos del o malismo
de Ichimu a-Aus e n-Vincen (IAV) [Phys. Re . C 32, 431 (1985)] en su e sión p io .
Dicho o malismo es á implemen ado en el código compu acional “Smoo hie”, desa ollado
po el D . Jin Lei jun o con el u o de es e abajo D. An onio M. Mo o, que po lo an o,
u iliza emos pa a encon a la sección e icaz o al de ans e encia pa a la eacción obje o
de es udio. La mo i ación pa a la ealización de es e abajo eside en ex ende el mé odo
de IAV a si uaciones en las que el eyec il bes un sis ema no ligado, que po lo an o puede
o ma se en a ias con igu aciones de ene gía y momen o ela i os, y además decae á as
la colisión en sus cons i uyen es.
P ecisamen e po es o y po que disponemos de da os expe imen ales [Phys. Re . C
104, 024609 (2021)] con los que compa a los da os eó icos que ob engamos, escogemos
la eacción 197Au(9Be,8Be) en las que el p oyec il aes el 9Be, que es un núcleo bo omeo
o mado po dos pa ículas al a y un neu ón, y el eyec il bes el 8Be (α+α), que e ec i-
amen e es un núcleo que no o ma es ados ligados. Inclui emos es o en nues os cálculos
eó icos median e los solapamien os de 9Be en su es ado undamen al, con 8Be en cada uno
de sus es ados ep esen a i os. Es os solapamien os se calculan den o del o malismo de
a mónicos hipe es é icos, que pe mi e cons ui la unción de onda de es cue pos pa a el
núcleo de 9Be. De es a o ma, se inco po a la es uc u a del p oyec il de es cue pos den-
o del o malismo IAV, desa ollo que esul a no edoso. El cálculo de los solapamien os
ha sido ealizado po el u o D. Jesús Casal.
El obje i o inal del abajo se á compa a los cálculos de sección e icaz o al de
ans e encia ob enidos pa a di e en es alo es de ene gía inciden e de 9Be ce canas a
la ba e a de Coulomb, con los da os expe imen ales que disponemos, además de con
los cálculos eó icos siguiendo el mé odo CRC desa ollados po F. Gollan e al. pa a la
eacción nuclea 197Au(9Be,8Be)198Au [Phys. Re . C 104, 024609 (2021)].
i
Abs ac
Nuclea eac ions, in which a weakly bound nucleus b eaks in o wo o mo e agmen s,
a e ele an p ocess o s udy in nuclea physics. In his wo k, we will conside a nuclea
eac ion ha can be desc ibed as: a(b+x) + A→b+B∗, whe e B∗is any possible
con igu a ion o he x+Asys em. In an expe imen , i he inal s a es a e no comple ely
de e mined, ha is, no all ou going pa icles a e de ec ed, he eac ion is called inclusi e.
The heo e ical in e p e a ion o hese eac ions is complica ed due o he ac ha he e
a e many p ocesses ha can con ibu e o he p oduc ion o he agmen b. Inclusi e
b eakup p ocesses a e di ided in o h ee con ibu ions: elas ic b eakup (EBU), non-elas ic
b eakup (NEB) ( he INBU, ans e , and ICF p ocesses a e included) and comple e usion
(CF).
Fo he heo e ical s udy o his ype o nuclea eac ions, we use he Ichimu a-Aus e n-
Vincen (IAV) o malism [Phys. Re . C 32, 431 (1985)] in i s p io e sion. This o malism
is implemen ed in he compu a ional code “Smoo hie”, de eloped by D . Jin Lei in colla-
bo a ion wi h he supe iso An onio M. Mo o. We use his code o de e mine he o al
ans e c oss sec ion o he eac ion we a e wo king on. The aim o his wo k is o ex-
end he IAV me hod o si ua ions whe e he p ojec ile bis an unbound sys em ha can
be o med in di e en ene gy and ela i e momen um con igu a ions, and decays in o i s
cons i uen pa s a e he collision.
To do his, and because expe imen al da a a e a ailable [Phys. Re . C 104, 024609
(2021)] o compa e wi h he heo e ical calcula ions, we choose he eac ion 197Au(9Be,8Be)
whe e he p ojec ile ais 9Be, which is a bo omean nucleus composed o wo alpha pa i-
cles and one neu on, and he ejec ile bis 8Be (α+α), which is indeed a sys em ha does
no o m bound s a es. We will accoun o his in ou heo e ical calcula ions by means o
he o e laps o 9Be in i s g ound s a e wi h 8Be in each o i s ep esen a i e s a es. These
he o e laps a e compu ed in he hype sphe ical ha monics amewo k, which allows us o
cons uc he h ee-body wa e unc ion o he 9Be nucleus. In his way, he h ee-body
p ojec ile s uc u e is in eg a ed in o he IAV o malism, which is he inno a i e app oach
o his wo k. The calcula ion o he o e laps was ca ied ou by he supe iso D. Jesús
Casal.
The ul ima e goal o his wo k is o compa e he calcula ed o al ans e c oss sec ions
o di e en inciden ene gies o 9Be nea he Coulomb ba ie , wi h he expe imen al da a
a ailable, and wi h heo e ical calcula ions using he CRC me hod, bo h acqui ed om
Gollan e al. o he nuclea eac ion 197Au(9Be,8Be)198Au [Phys. Re . C 104, 024609
(2021)].
ii
Índice gene al
1. In oducción 1
2. Fo malismo Teó ico 10
2.1. Modelo de Ichimu a-Aus e n-Vincen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Relación en e la o ma pos yp io ...................... 17
2.2.1. Modelo de Udagawa y Tamu a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2. Modelo de Hussein y McVoy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.3. Relación en e eo ías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3. Modelo de es cue pos pa a 9Be........................ 19
2.4. Modelo de dos cue pos pa a 8Be........................ 22
2.5. Solapamien o en e 9Be y 8Be ......................... 24
3. Es udio de la eacción nuclea inclusi a 197Au(9Be,8Be) 26
3.1. Cálculos de es uc u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Cálculosde eacción .............................. 33
4. Conclusiones 41
Apéndices 44
A. Po encial Double Folding São Paulo 44
B. Po encial Koning-Dela oche 46
C. Mé odos de in e polación pa a el cálculo de la sección e icaz o al de
ans e encia inclusi a 48
Bibliog a ía 57
iii
Índice de igu as
1.1. Esquema de ni eles de 9Be. Las líneas pun eadas ma can la ene gía umb al
de up u a pa a las di e en es agmen aciones posibles [9]. . . . . . . . . . 3
1.2. Espec o ene gé ico del p o ón esul an e en la eacción nuclea A(d, p)X. . 5
1.3. Mecanismos de dispe sión de la eacción nuclea 9Be +197Au. ....... 6
1.4. Esquema de ni eles ene gé icos pa a el 8Be[9]................. 9
2.1. Coo denadas u ilizadas en la eacción de up u a. . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Los es conjun os de coo denadas de Jacobi escaladas. . . . . . . . . . . . 20
2.3. Coo denadas de Jacobi ipo Tdel sis ema a es cue pos pa a el 9Be. . . . 21
2.4. Coo denadas u ilizadas pa a desc ibi el 8Be.................. 23
3.1. Esquema de la eacción nuclea 197Au(9Be,8Be). ............... 26
3.2. Esquema de desin eg ación del 198Au[6]. ................... 27
3.3. Rep esen ación de los solapamien os en unción de bx. En e el es ado
undamen al de 9Be con el es ado undamen al 0+de 8Be (ene gía nominal
de la esonancia a Eαα ≈0.1MeV) y en e el es ado undamen al de 9Be
y el es ado exci ado 2+de 8Be (ene gía nominal de la esonancia a E≈3
MeV). ...................................... 30
3.4. In ensidad de cada pseudoes ado pa a el 8Be. Los alo es edondeados e-
p esen an los pseudoes ados pa a los cuales hemos ealizado los cálculos de
la sección e icaz de ans e encia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5. Compa ación en e los solapamien os adiales de 9Be con el 8Be, ambos en
su es ado undamen al, con la unción adial solución de un po encial de
WS enomenológico. .............................. 32
3.6. Sección e icaz elás ica ela i a a la sección e icaz de Ru he o d pa a di e-
en es alo es de Elab del p oyec il 9Be cuando el blanco es 197Au. Compa-
ación de los da os expe imen ales de la Re . [69] con lo ob enido median e
el código de canales acoplados FRESCO u ilizando el po encial SPP. . . . 34
3.7. Secciones e icaces di e enciales de ans e encia inclusi a en unción de la
ene gía ciné ica inal o al, con el 8Be en di e en es con igu aciones, pa a
las ene gías inciden es de 9Be Ei
cm(9Be) = 36 y48 MeV. . . . . . . . . . . 36
3.8. Rep esen ación esquemá ica de las ene gías ele an es pa a la eacción nu-
clea inclusi a 197Au(9Be,8Be).......................... 37
3.9. Sección e icaz de ans e encia inclusi a en unción de la ene gía del sis ema
α-αpa a una ene gía ciné ica inciden e de 9Be igual a 36 MeV. . . . . . . . 38
i
3.10. Rep esen ación g á ica de la sección e icaz di e encial de ans e encia, en
unción de la ene gía del sis ema α-αpa a una ene gía ciné ica inciden e
de 9Be igual a 36 MeV. Ob enido median e el Mé odo 2. El á ea somb eada
en g is bajo la cu a 2+ ep esen a de o ma ap oximada la anchu a de la
esonancia de 8Be en el es ado Jπ= 2+.................... 39
3.11. Rep esen ación de la sección e icaz de an e encia pa a la eacción nuclea
197Au(9Be,8Be)198Au, pa a di e en es alo es de ene gía inciden e de 9Be.
Compa amos los da os eó icos ob enidos con los da os expe imen ales del
a ículodelaRe .[4]............................... 40
3.12. Rep esen ación de la sección e icaz de ans e encia pa a la eacción nuclea
197Au(9Be,8Be)198Au, pa a di e en es alo es de ene gía inciden e de 9Be
escalando po los ac o es espec oscópicos del cálculo VMC de la Re . [72].
Compa amos los cálculos eó icos ob enidos median e el modelo de IAV,
con los da os expe imen ales y los cálculos eó icos ob enidos median e el
mé odo CRC de la Re . [4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.1. Coo denadas necesa ias pa a de ini la in e acción en e dos núcleos me-
dian e un po encial de ipo “Double Folding” [73]. . . . . . . . . . . . . . . 44
C.1. Rep esen ación esquemá ica de ∆εi....................... 49
C.2. Di isiones en in e alos pa a lle a a cabo el Mé odo 2 pa a Ei
c.m.(9Be) = 36
MeV pa a Jπ= 2+................................ 49
C.3. Rep esen ación g á ica de la las secciones e icaces de ans e encia (Mé o-
do 1) y secciones e icaces di e enciales de ans e encia (Mé odo 2) pa a la
eacción nuclea 197Au(9Be,8Be), en unción de la ene gía Eαα pa a di e en-
es alo es de ene gía inciden e de 9Be. .................... 51
Índice de ablas
1.1. Ene gía de enlace po nucleón, ene gía de sepa ación de un p o ón y un
neu ón, posibles o mas de up u a del núcleo y alo es de Q co espon-
dien es pa a di e en es ipos de núcleos. (d ep esen a al deu e ón, núcleo
del á omo de deu e io, que es á o mado po un p o ón y un neu ón.
ep esen a al i ón, núcleo del á omo de i io, que es á o mado po un
p o ón y dos neu ones.) [6, 7]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.1. Ca ac e ís icas ele an es del canal de eacción (9Be,8Be)que su ge de la
eacción de ans e encia de un neu ón del sis ema 9Be +197Au. [4, 6] . . 27
3.2. No ma de los solapamien os en e el es ado undamen al de 9Be con cada
pseudoes ado de 8Be seleccionado pa a calcula la sección e icaz de ans e-
encia. Los alo es esal ados son los ela i os a los solapamien os adiales
ep esen a i os que se mues an en la igu a 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3. Po enciales u ilizados pa a el cálculo de la sección e icaz di e encial de
ans e encia inclusi a siguiendo el o malismo de IAV en su o ma p io
pa a la eacción nuclea inclusi a 197Au(9Be,8Be). (SPP ep esen a el po-
encial ipo “Double Folding: São Paulo” y KD ep esen a el po encial ipo
“Koning-Dela oche”.) [66, 67, 68] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i
Capí ulo 1
In oducción
El núcleo a ómico es un sis ema compac o o mado po p o ones y neu ones, conocidos
gené icamen e como nucleones, ya que se compo an de o ma simila bajo la acción de
la ue za nuclea ue e. El es udio de eacciones nuclea es de up u a de un núcleo en
dos o más agmen os es un p oceso de g an in e és en la ama de la Física Nuclea .
En conc e o, una eacción de es e ipo de especial in e és es aquella en la que alguno
de los núcleos que in e iene es un núcleo débilmen e ligado, ya sean núcleos débilmen e
ligados es ables (6,7Li,9Be), como ines ables (6,8He,7,10,11 Be) [1, 2, 3]. Son de especial
in e és ya que p esen an p opiedades pa icula es que pe mi en u iliza los como núcleos
“p ueba” pa a desa olla modelos eó icos capaces de desc ibi su es uc u a singula y
sus mecanismos de eacción complejos. Además, juegan un papel impo an e en la ama
de la as o ísica nuclea debido a que in e ienen en la nucleosín esis p imo dial, en las
cadenas de eacciones de cap u a en es ellas masi as y en la sín esis de elemen os pesados
[4].
Núcleos de ipo lige os, es ables y débilmen e ligados son los que nos in e esa es udia
en es e abajo, y se de inen como aquellos que no su en ningún ipo de decaimien o
adiac i o, su núme o másico es ela i amen e pequeño (del o den de la decena), su ene gía
de ligadu a po nucleón es meno que la de sus ecinos en la abla pe iódica, po lo que
p esen an un umb al de up u a bajo, y poseen una es uc u a de acimo (en inglés, de
clus e ) [5].
Una de las p opiedades dis in i as que hace que es e ipo de núcleos sean obje o de
es udio es la al a p obabilidad de up u a que p esen an al in e acciona con o os núcleos.
Es o es debido a que poseen un p ime umb al de up u a a una ene gía ela i amen e
pequeña. La in luencia de es e p oceso en o os canales de eacción como la dispe sión
elás ica, la ans e encia o la usión, modi ica la dinámica gene al de la eacción en com-
pa ación con p oyec iles ue emen e ligados [4].
Ya que exis e una al a p obabilidad de que se p oduzca una eacción nuclea de up u a
cuando un núcleo débilmen e ligado in e accione con o o, pod emos ob ene in o mación
ace ca de la es uc u a de los núcleos que se han agmen ado, así como su ene gía de
enlace, ac o es espec oscópicos y momen os angula es, en e o as p opiedades, lo que
nos pe mi i á en ende mejo la dinámica de las eacciones en e sis emas compues os [5].
Es p ecisamen e po es o, po lo que an e io men e dijimos que suelen escoge se como
núcleos “p ueba” en desa ollos eó icos en es e ámbi o cien í ico. Ejemplos de es e ipo
de núcleos son, como ya apun amos an e io men e, el 6Li, 7Li y 9Be, en e o os. Algunas
de sus p opiedades se mues an en la abla 1.1.
En es e con ex o, nos cen a emos conc e amen e en el núcleo 9Be, ya que es el p o-
1
Núcleo BE/A (MeV) Sp(MeV) Sn(MeV) Clús e Q (MeV)
6Li 5.33 4.43 5.66 α+d-1.47
7Li 5.61 9.97 7.25 α+ -2.47
9Be 6.46 16.89 1.66 α+α+n-1.57
Tabla 1.1: Ene gía de enlace po nucleón, ene gía de sepa ación de un p o ón y un neu ón,
posibles o mas de up u a del núcleo y alo es de Q co espondien es pa a di e en es ipos
de núcleos. (d ep esen a al deu e ón, núcleo del á omo de deu e io, que es á o mado po
un p o ón y un neu ón. ep esen a al i ón, núcleo del á omo de i io, que es á o mado
po un p o ón y dos neu ones.) [6, 7].
yec il u ilizado en la eacción nuclea que es udia emos en es e abajo. La es uc u a de
es e núcleo se puede ep esen a median e una es uc u a ipo bo omeo de es cue pos,
compues o po dos pa ículas αy un neu ón débilmen e ligado, al y como podemos
obse a en la abla 1.1. Si a endemos a dicha abla nue amen e emos que, aunque se
a a de un núcleo es able, la ene gía de sepa ación es muy pequeña y, po lo an o, como
ya ad e imos an e io men e, cuando colisione con un núcleo blanco podemos espe a que
los e ec os de up u a sean muy ele an es [4, 5, 2]. En el caso conc e o de nues o abajo
el núcleo blanco se á el 197Au.
A di e encia de o os casos como el 6Li y el 7Li, que se agmen an en dos cue pos
p edominan emen e(1) ( abla 1.1), en el caso de 9Be, al se un modelo de es cue pos,
hay di e sos p ocesos de up u a que pueden da se simul áneamen e du an e la eacción.
Hay es opciones más p obables en las que el núcleo 9Be puede di idi se en agmen os
di e en es [8, 9, 7]:
1. F agmen ación ápida (“p omp ”) en α+n+n. Es e mecanismo p esen a una ene gía
umb al de up u a EBU = 1.57 MeV.
2. Rup u a esonan e en 8Be +n.EBU = 1.66 MeV.
3. Rup u a esonan e en 5He +α.EBU = 2.47 MeV.
Los núcleos 8Be y 5He son núcleos no ligados con iempo de ida media de ≈10−17 s
y≈10−21 s, espec i amen e. En ambos casos, debido a que se a a de núcleos que no
llegan a o ma es ados ligados, se ha obse ado que esul an igualmen e en la emisión
de dos pa ículas αy un neu ón [8]. En eacciones en las que es á p esen e el 9Be, a
ene gías al ededo de la ba e a de Coulomb, se ha obse ado que la con igu ación del
clus e 8Be +nes p edominan e en compa ación con la con igu ación 5He +α[10, 4].
Podemos obse a el esquema de ni eles de 9Be, así como el alo de las dis in as ene gías
umb ales pa a cada posible agmen ación en la igu a 1.1.
Los di e en es mecanismos gené icos en los que un núcleo de es e ipo puede ag-
men a se cuando in e acciona con o o núcleo son a ios. El caso más simple es aquel
en el que uno de los agmen os in e ac uan es se ompe en o os dos, pe maneciendo
el núcleo blanco en su es ado o iginal. Podemos e lo de una o ma más in ui i a como
(1) El 6Li ealmen e ambién p esen a una es uc u a de es cue pos, pe o gene almen e se ompen en
α+d, al y como apun amos en la abla 1.1.
2
Figu a 1.4: Esquema de ni eles ene gé icos pa a el 8Be [9].
desa ollado po el D . Jin Lei jun o con el u o de es e abajo D. An onio M. Mo o [53].
Es e código es á basado en el código desa ollado po el D . Jin Lei en su esis doc o al [1],
en la que u iliza el o malismo IAV pa a desc ibi di e en es eacciones nuclea es de NEB
en las que in e ienen núcleos débilmen e ligados. Además, compa a emos los cálculos
eó icos que ob engamos pa a la eacción nuclea obje o de es udio en es e abajo, con
los da os expe imen ales que ob u ie on F. Gollan e al. en el a ículo de la Re . [4] pa a
dicha eacción.
La mo i ación de es e abajo eside en ex ende el mé odo de IAV a si uaciones en
las que el sis ema bes no ligado. P ecisamen e po es o, y po que disponemos de da os
expe imen ales [4] con los que compa a los da os eó icos que ob engamos, escogemos
la eacción 197Au(9Be,8Be), en la que b=8Be, que e ec i amen e es un núcleo que no
o ma es ados ligados. Podemos desc ibi su es uc u a in e na ( igu a 1.4) median e un
conjun o de es ados ep esen a i os pa a cada Jπ= 0+,2+,4+, de o ma que, dependiendo
de en qué es ado se encuen e el 8Be una ez ocu a la eacción, ob end emos un alo
de sección e icaz di e en e. Inclui emos es o en nues os cálculos eó icos median e los
solapamien os de 9Be en su es ado undamen al, con el 8Be en cada es ado conc e o.
Es os solapamien os se calculan den o del o malismo de a mónicos hipe es é icos [54,
55], que pe mi e cons ui la unción de onda de es cue pos pa a el núcleo de 9Be. De
es a o ma, se inco po a la es uc u a del p oyec il de es cue pos den o del o malismo
IAV, desa ollo que esul a no edoso. El cálculo de los solapamien os ha sido ealizado
po el u o D. Jesús Casal.
En el capí ulo 2 desa olla emos el o malismo de IAV, y mos a emos b e emen e los
esul ados p incipales de los modelos de UT y HM necesa ios pa a encon a la elación
en e el o malismo DWBA en o ma p io y el o malismo DWBA en o ma pos , pues o
que pa a ealiza los cálculos de la sección e icaz de NEB, u iliza emos el o malismo
de IAV en la o ma p io equi alen e. También desa olla emos el o malismo eó ico
seguido pa a encon a los solapamien os en e el 9Be y el 8Be. En el capí ulo 3 nos
cen amos en la eacción nuclea 197Au(9Be,8Be), desa ollando la me odología seguida
pa a ob ene la sección e icaz de ans e encia (que ep esen a una po ción de la sección
e icaz de NEB), cen ándonos an o en los cálculos de es uc u a, como en los cálculos de
eacción. Finalmen e, compa a emos los esul ados ob enidos con los da os expe imen ales
y los cálculos eó icos (mé odo CRC) p esen ados en la Re . [4] pa a la eacción nuclea
197Au(9Be,8Be)198Au.
9
Capí ulo 2
Fo malismo Teó ico
An es de p osegui con el análisis de los da os ob enidos median e el código compu-
acional “Smoo hie” [53] pa a la eacción nuclea inclusi a 197Au(9Be,8Be), es impo an e
en ende el o malismo de IAV de o ma gene al, ya que es el que u iliza dicho código
pa a calcula la sección e icaz de NEB. También, desc ibi emos b e emen e los o malis-
mo de UT y de HM pa a encon a la elación exis en e en e la o ma pos yp io del
o malismo DWBA, pues o que ealmen e los cálculos se ealiza án con el modelo de IAV
en su o ma p io equi alen e. Pa a pode ob ene la sección e icaz de NEB pa a es a
eacción, necesi a emos las unciones de solapamien o en e el es ado undamen al de 9Be
y los es ados de 8Be conside ados en los cálculos de eacción. Pa a ello, desc ibi emos la
es uc u a in e na de 9Be siguiendo el modelo de es cue pos en coo denadas hipe es é-
icas y de 8Be en el modelo de dos cue pos. Es e úl imo paso es la pa e no edosa de es e
abajo.
2.1. Modelo de Ichimu a-Aus e n-Vincen
Pasamos aho a a desa olla el modelo p opues o po Ichimu a, Aus e n y Vincen
[45]. Es os au o es conside an una eacción nuclea que puede desc ibi se de la o ma,
a+A−→ b+B∗,(2.1)
donde a=b+x, siendo bun agmen o bien de inido del p oyec il inciden e, que en
nues o caso, no se á una pa ícula como ocu e en el desa ollo o iginal del modelo de
IAV [43, 45, 48], sino que es un núcleo que p esen a una es uc u a in e na. Po o o lado,
B∗ ep esen a odos los canales de salida posibles que puede o ma el sis ema x+A
(EBU, INBU, T ans e encia o ICF).
En es e modelo, el p oceso se puede desc ibi median e el Hamil oniano,
H=Kb+Kx+Vbx(ξb, bx) + HA(ξA) + Hb(ξb) + VxA(ξA, x) + UbA(ξb, bA),(2.2)
donde, KbyKx ep esen an los ope ado es de ene gía ciné ica en e byBy en e xy
A, espec i amen e, Vbx(ξb, bx) ep esen a la in e acción que une los agmen os byxen
el p oyec il a(con ξblas coo denadas in e nas del núcleo b), HA(ξA)es el Hamil oniano
10
Figu a 2.1: Coo denadas u ilizadas en la eacción de up u a. Nó ese que la coo denada
bconec a a bcon el cen o de masas del sis ema x+A.
ep esen a i o del núcleo blanco cuyas coo denadas in e nas ienen dadas po ξA,Hb(ξb)
es el Hamil oniano ep esen a i o del núcleo bcuyas coo denadas in e nas ienen dadas
po ξb,VxA(ξA, x)es la in e acción en e el agmen o xy el blanco Aque, como po-
demos obse a , conse a la dependencia con los g ados de libe ad in e nos, ξA, y po
úl imo, UbA(ξb, bA)es el po encial óp ico que desc ibe la in e acción en e el núcleo b, y
el blanco, A, que conse a la dependencia con las coo denadas in e nas del núcleo b,ξb.
Las coo denadas ele an es se encuen an en la igu a 2.1.
Tal y como se ha desc i o el Hamil oniano del sis ema en la ecuación (2.2), se puede
ap ecia una cla a dis inción en e los dos agmen os que cons i uyen a a. Se conside a á
al núcleo bcomo un espec ado espec o al sis ema x+A, lo que signi ica que el p oceso
de up u a se p oduci á debido a cualquie dispe sión no elás ica de la pa ícula xcon el
blanco A, y po lo an o, bno pa icipa á en dicho p oceso di ec amen e. Las in e acciones
de bcon el núcleo blanco que p o ocan exci aciones de es e úl imo, se con empla án en
la pa e imagina ia del po encial óp ico UbA. Teniendo es o en cuen a, asumimos que un
expe imen o de es e ipo se á inclusi o espec o a la pa ícula x, de o ma que, solo se
de ec a á a b. Además, se conside a el núcleo blanco lo su icien emen e masi o como pa a
de que sea posible igno a e ec os de e oceso o ecoil y así supone que la coo denada b
conec a simplemen e bcon A[45, 1].
Asumiendo un modelo de es cue pos en el que la unción de onda o al debe á
sa is ace la ecuación de Lippman-Schwinge , y u ilizando la ep esen ación del o malismo
en su o ma pos , se puede esc ibi dicha unción de onda como
Ψ(ξA, ξb, x, b)=[E+−Kb−UbB −Hb−HB]−1Vpos Ψ(ξA, ξb, x, b),(2.3)
donde E+=E+iη con η→0, siendo Ela ene gía o al del sis ema [43], y UbB es
un po encial óp ico auxilia , y en p incipio a bi a io, en e by el sis ema compues o B
(x+A). Inclui es e po encial óp ico en el desa ollo p o oca una educción de los g ados
de libe ad, es deci , pasamos de desc ibi la in e acción en e es os dos sis emas como
VbB( b, x, ξA, ξb)a desc ibi la como UbB( b). Se incluye como
11
VFinal =UbB
|{z}
Po encial Auxilia
+ [Vbx +UbA −UbB]
| {z }
Vpos
=UbB +Vpos ,(2.4)
con HBel Hamil oniano del pa o mado po x+A, que se desc ibe como
HB(ξA, x)≡HA(ξA) + Kx+VxA(ξA, x).(2.5)
Los au oes ados del Hamil oniano del núcleo blanco se deno a án como ϕc
A(ξA), de o ma
que, la ecuación de Sch ödinge independien e del iempo pa a es e caso puede desc ibi se
como
HAϕc
A=Ec
Aϕc
A,(2.6)
donde c= 0 ep esen a el es ado undamen al del núcleo blanco, pa a el cual se asume
una ene gía Ec
A= 0.
También, denomina emos a los au oes ados del Hamil oniano del sis ema compues-
o Bcomo ϕB(ξA, x). La ecuación de Sch ödinge independien e del iempo pa a los
au oes ados del Hamil oniano HBpuede desc ibi se como
HBϕB=EBϕB.(2.7)
De mane a análoga, llama emos ϕb(ξb)a los au oes ados del Hamil oniano de b. En es e
caso, la ecuación de Sch ödinge independien e del iempo se puede desc ibi como
Hbϕb=Eααϕb.(2.8)
En es e pun o, se conside a un es ado conc e o pa a el núcleo bde odos los posibles,
que es a á ca ac e izado po un momen o inal
kby un cie o es ado in e no. El mo imien o
de b ela i o a Bse pod á desc ibi median e una onda dis o sionada con momen o igual
a
kb, ob enida como solución a la ecuación monocanal
[Kb+U†
bB −Eb]χ(−)
b(
kb, b) = 0,(2.9)
donde Eb=E−EB−Eαα.
La p oyección de la unción de onda o al, dada en la ecuación (2.3), sob e el es ado
conc e o de la pa ícula b, da como esul ado la unción de onda que desc ibe el mo imien o
de xuna ez se p oduzca la up u a de a(1)
Zx(
kb, ξA, x)≡(χ(−)
bϕbΨ= [E+−HB−Eb]−1(χ(−)
bϕbVpos Ψ,(2.10)
El pa én esis (en la ecuación ep esen a que la in eg ación se da únicamen e sob e la
coo denada by los g ados in e nos de b,ξb.
(1) Nó ese que es a unción ambién depende á de
ka, que indica la di ección del haz inciden e. Pe o,
pues o que dicha di ección es ija, es a dependencia se ha omi ido po simplicidad en la no ación.
12
La ecuación an e io se puede eesc ibi a su o ma di e encial,
[E+−HB−Eb]Zx(
kb, ξA, x) = (χ(−)
bϕbVpos Ψ.(2.11)
El é mino uen e de es a ecuación in oluc a la unción de onda exac a, Ψ(ξA, ξb, x, b),
la cual es desconocida. Po lo an o, pa a a anza con el desa ollo, necesi amos encon a
una o ma de desc ibi la. Una mane a de log a lo es a a és del o malismo DWBA,
donde se ap oxima la unción de onda o al como el p oduc o de las unciones de onda de
los canales de en ada. Es deci ,
Ψ(ξA, ξb, x, b)≈ϕ0
A(ξA)φa( bx, ξb)χ+
a(
ka, a),(2.12)
donde φa( bx, ξb) ep esen a la unción de onda del es ado undamen al del p oyec il a,(2)
yχ+
a(
ka, a) ep esen a una onda dis o sionada que desc ibe el mo imien o del sis ema
inicial o mado po a+Aen el canal inciden e y se desc ibe como [43]
[Ka+Ua( a)−E+EA+Ea]χ(+)
a(
ka, a)=0,(2.13)
donde Ua ep esen a el po encial óp ico que desc ibe la dispe sión elás ica del sis ema
a+A. Además, pues o que en nues o caso inicialmen e ayAse encuen an en su es ado
undamen al, suponemos que Ea= 0 yEA= 0.
Una posible o ma de p ocede a esol e la ecuación (2.11) es desa olla la unción
Zxen un conjun o comple o que incluya odos los es ados en los que se puede encon a
el sis ema x+A, es deci
Zx(
kb, ξA, x) = X
c
ψc
x(
kb, x)ϕc
A(ξA),(2.14)
donde ψc
x(
kb, x)desc ibe el mo imien o ela i o en e xyAcuando el núcleo blanco es á
en el es ado c. De o ma que, incluyendo el desa ollo (2.14) en la ecuación (2.11), se
ob end án una se ie de ecuaciones acopladas pa a las unciones desconocidas ψc
x(
kb, x).
Es e p ocedimien o, apa e de edioso, es imp ac icable en gene al ya que el desa ollo
(2.14) incluye una g an can idad de es ados inales. Pues o que lo que se busca es la
con ibución o al de odos los es ados en los que puede encon a se el sis ema x+A, y no
in e esa la desc ipción especí ica de cada uno de ellos, o a opción a segui pa a esol e
la ecuación (2.11) es descompone Zx(
kb, ξA, x)median e el o malismo de Feshbach [56,
57], como
Zx(
kb, ξA, x) = PZx+QZx,(2.15)
donde P=ϕ0
Aϕ0
A, es el ope ado de p oyección sob e el es ado undamen al del núcleo
blanco y Q= 1 − P, es deci , PZxincluye los p ocesos elás icos, mien as que QZx
incluye los no elás icos. A endiendo a la ecuación (2.14) y a la ecuación (2.15) se cumpli á
que PZx=ψ0
x(
kb, x), donde ψ0
x(
kb, x), ep esen a el mo imien o ela i o en e el sis ema
x+Acuando el núcleo blanco se encuen a en el es ado undamen al y e i ica la ecuación
(2) Podemos obse a qué ep esen a bx en la igu a 2.1, es deci , se cumpli á que bx = b− x.
13
(E+
x−Kx− Ux)ψ0
x(
kb, x) = ρ(
kb, x),(2.16)
con Ex=E−Eb,ρ(
kb, x)≡(χ(−)
bϕbVbxχ+
aφaes el conocido como é mino uen e, y
Uxes el po encial o mal del modelo óp ico que desc ibe la dispe sión elás ica del sis ema
x+A. Explíci amen e se de ine como
Ux=ϕ0
AVxA +VxAQ[E+−Eb−HQQ]−1VxAϕ0
A,(2.17)
donde HQQ ≡ QHBQ. El po encial o mal desc i o en la ecuación (2.17) es un po encial
no local dependien e de la ene gía y del momen o angula que, po lo an o, es complicado
de a a . Sin emba go, al y como se abaja en los p oblemas de dispe sión de dos cue -
pos, puede se ap oximado a po enciales p omediados en ene gía o median e po enciales
enomenológicos (se deno a á como Uxde aho a en adelan e) con pa áme os que pueden
ajus a se pa a desc ibi co ec amen e la dispe sión elás ica de x+A.
Una ez desc i o es o, pa a encon a la sección e icaz o al inclusi a, segui emos el
desa ollo ealizado po el D . Jin Lei en su esis doc o al [1]. En dicha esis, se p esen a
una de i ación al e na i a a la p opues a po Kasano e Ichimu a [44] pa a sepa a la
sección e icaz co espondien e a la up u a elás ica (EBU) y a la co espondien e a la
up u a no elás ica (NEB), en la que ap o echa la analogía exis en e en e la ecuación
(2.16) y la ecuación inhomogénea que su ge al desa olla los o malismos DWBA y CCBA
en e es ados ligados.
Pa a esol e la ecuación (2.16), el p ime paso a segui es inclui en dicha ecuación
las condiciones de con o no de la onda salien e (ya que el canal x−Ano p esen a ondas
inciden es),
ψ0
x(
kb, x)→ (
kb,b x)eikx x
x
,(2.18)
donde (
kb,b x)depende, de la di ección de
kby de la pa e angula de x. Asin ó icamen e,
cuando xes g ande, el ec o de posición xy el momen o
kxse uel en pa alelos y, po
lo an o, se cumple que (
kb,b x)→ (
kb,
kx). Po consiguien e, podemos iden i ica a
(
kb,
kx)como la ampli ud de dispe sión pa a los p ocesos de up u a elás ica, de o ma
que su cuad ado se á p opo cional a la sección e icaz di e encial pa a la de ección de la
pa ícula xen la di ección de
kx, y de ben la di ección
kb. Pa a encon a la sección e icaz
di e encial, po lo an o, p ime o necesi amos ob ene es a ampli ud.
Pa a encon a el alo de (
kb,
kx), se puede p ocede de dos o mas di e en es. Po
un lado, in eg ando la ecuación di e encial (2.16) e igualando la solución a la o ma asin-
ó ica, ecuación (2.18). Es o puede hace se siemp e y cuando se haga a una dis ancia lo
su icien emen e g ande, más allá del ango de los po enciales de co o alcance. Po o o
lado, ambién se puede esol e la ecuación (2.16) usando mé odos in eg ales, como po
ejemplo, el mé odo de las unciones de G een. Median e es e úl imo p ocedimien o se
ob iene la exp esión siguien e pa a la ampli ud de dispe sión
(
kb,
kx) = −µx
2πℏ2χ(−)
xχ(−)
bϕbVpos Ψ,(2.19)
14
donde µxes la masa educida del sis ema x+Ayχ(−)
xes la onda dis o sionada, χ(−)
x(
kx, x),
que es solución de la pa e homogénea de la ecuación (2.16),
[Kx+U†
x−Ex]χ(−)
x(
kx, x)=0,(2.20)
cuya solución consis e en una onda plana de momen o
kxmás una onda es é ica en an e.
La sección e icaz di e encial co espondien e, pa a un olumen di e encial inal dado
en el espacio de momen os, se de ine como (ecuación (5.36) de Re . [58])
dσ =(2π)−5
ℏ aZd
kxd
kbd
kAδ(E −Ei)δ(
P −
Pi)T i2,(2.21)
donde aes la elocidad ela i a en e el p oyec il y el blanco y T i es la ampli ud de
ansición, ambién conocida como ma iz T, que es á elacionada con la ampli ud de
dispe sión como =−(µx/2πℏ2)T i (3). En el sis ema de e e encia del cen o de masas
se cumple que
Pi= 0. Además, el momen o del núcleo blanco,
kA, no se ha medido, po
lo an o, se puede in eg a espec o a él haciendo uso del hecho de que la unción del a se
conse a sob e el momen o,
dσ =(2π)−5
ℏ aZd
kxd
kbδ(E −Ei)T i2.(2.22)
El elemen o d
kbse puede exp esa en é minos de ene gía y ángulo sólido como d
kb=
(2π)3ρb(Eb)dΩbdEb, donde ρb(Eb) = kbµb/((2π)3ℏ2), es la densidad de es ados. (4) Si in-
cluimos es o en la ecuación (2.22), se ob iene
dσ =(2π)−2
ℏ aZδ(E −Ei)T i2ρb(Eb)dΩbdEbd
kx.(2.23)
La sección e icaz di e encial con espec o a la ene gía y el ángulo de dispe sión de bse
de ine, po lo an o, como
d2σ
dΩbdEbEBU
=(2π)−2
ℏ a
ρb(Eb)Zδ(E −Ei)T i2d
kx,(2.24)
que coincide con el esul ado ob enido po Aus e n e al. (ecuación (8.15) de Re . [18]),
si enemos en cuen a que Rd
kx→(2π)3P
kx.
Se obse a, además, que la exp esión an e io puede u iliza se pa a calcula la sección
e icaz de EBU con espec o a los ángulos y ene gías de byx. Pa a ello, se iene en cuen a
(3) Nó ese que si compa amos la ecuación (5.36) de la Re [58] con la ecuación (2.21) del desa ollo
seguido, no concue dan, se ha sus i uido un ac o (2π)4po (2π)−5. Es o se ha hecho pa a que haya
consis encia con la de inición de ampli ud pa a las ondas planas u ilizada, ei
k .
(4) Es as exp esiones son esul ado de N(k)d
kb=ρb(Eb)dΩbdEb, donde N(k) ep esen a el núme o de
es ados en el olumen di e encial d
kb, que se de ine como
k
k′=δ(
k−
k′)/N(k). En es e caso,
k
k′= (2π)3δ(
k−
k′), po lo an o N(k) = (2π)3.
15
nue amen e que se puede exp esa d
kx= (2π)3ρx(Ex)dΩxdEx, y que la unción del a
asegu a la conse ación de la ene gía. Se ob iene (5)
d2σ
dΩbdEbdΩxEBU
=2π
ℏ a
ρb(Eb)ρx(Eb)T i2,(2.25)
Po o o lado, pa a ob ene la exp esión de la sección e icaz di e encial de NEB, se
u iliza el Teo ema óp ico de canales acoplados (coupled-channels op ical heo em) o mu-
lado po Co anch [59], gene alizándolo al caso mul icanal. Si llamamos χia la unción de
onda del canal y Wia la pa e diagonal imagina ia de dicho canal, la con ibución a la
abso ción en es e canal pa icula end á dada po [59]
σi
abs =−2
ℏ el χiWiχi,(2.26)
donde el es la elocidad ela i a en e el p oyec il y el blanco en el canal inciden e, que
en es e caso, es el canal elás ico.
Se puede u iliza es e esul ado pa a calcula la con ibución de NEB a la sección e icaz,
ya que no ep esen a o a cosa que la abso ción que se da en el canal x+A. La unción de
onda del canal es ψ0
x(
kb, x), que es una solución de la ecuación (2.16). Reco demos que
la ecuación (2.16) es aba dada pa a una ene gía y di ección conc e as del núcleo b, po lo
an o, se conside a á la ecuación (2.26) pa a una sección e icaz di e encial co espondien e
a un ango de
kb, es deci ,
d2σ=−2
ℏ aψ0
xWxψ0
xN(kb)d
kb,(2.27)
donde Wx ep esen a la pa e imagina ia del po encial Ux. T ans o mando el elemen o de
momen o a elemen os de ene gías y ángulo sólido, ob enemos la sección e icaz di e encial
doble de NEB
d2σ
dΩbdEbNEB
=−2
ℏ a
ρb(Eb)ψ0
xWxψ0
x.(2.28)
Es a úl ima exp esión cons i uye el esul ado cen al del modelo de IAV. Es e mismo
esul ado se ob iene siguiendo un desa ollo di e en e po Ichimu a-Aus e n-Vincen en
[45, 43, 48] y po Kasano e Ichimu a [44]. Se ob iene, ambién, un esul ado simila po
Hussein y McVoy [46]. El desa ollo seguido en es e abajo, al y como ya apun amos, ue
ealizado po el D . Jin Lei en su esis doc o al [1] y nos p opo ciona una in e p e ación
muy in ui i a de la ob ención de la sección e icaz de NEB, en endiendo los canales de
NEB como pa e del lujo que abandona los canales de EBU hacia con igu aciones más
complejas del sis ema x+A.
Podemos esc ibi la ecuación (2.30) pa a que concue de exac amen e con la no ación
empleada en el modelo de IAV (ecuación (2.21) Re . [45]). Pa a ello, debemos ene en
cuen a la de inición de la unción de G een de onda dis o sionada,
(5) El desa ollo en ondas pa ciales que se ha ealizado pa a ob ene es e esul ado se puede encon a
en el Apéndice B de la Tesis del D . Jin Lei (Re . [1]).
16
Gx≡(ϕ0
A(E+−HB−Eb)−1ϕ0
A)=(E+
x−Kx−Ux)−1,(2.29)
de o ma que se ob iene,
d2σ
dΩbdEb
IAV
NEB
=−2
ℏ a
ρb(Eb)ψIAV
xWxψIAV
x,(2.30)
con
ψIAV
x(
kb, x) = Gx(χ(−)
bϕbVpos χ(+)
aφa.(2.31)
En los abajos p e ios a es e suponen que bpuede se una pa ícula (un p o ón o un
neu ón, po ejemplo) o un núcleo (una pa ícula α, po ejemplo), en endiéndolo como
un sis ema ligado que no decae as la colisión, mien as que en es e abajo bes un
sis ema no ligado, que po an o pod á o ma se en a ias con igu aciones de ene gía y
momen o ela i os, y además decae á as la colisión en sus cons i uyen es. Po es a azón,
en nues o desa ollo, a di e encia de en los desa ollos seguidos po IAV [43, 45] y el D .
Jin Lei en su esis doc o al [1], apa ece la unción de onda de b,ϕb, en la ecuación que
desc ibe la unción de onda de la pa ícula x(ecuación (2.31)). Teniendo es o p esen e,
pa a encon a el alo de la sección e icaz de NEB (ecuación (2.30)) necesi a emos la
unción de solapamien o en e la unción de onda del p oyec il ay del eyec il b, que
ienen dada po
Eαα ( bx)≡Zdξbϕb(ξb)φa( bx, ξb).(2.32)
Vol e emos a es os solapamien os una ez hayamos desc i o los modelos de es uc u a
empleados en es e abajo.
2.2. Relación en e la o ma pos yp io
Debido a que pa a pode calcula la sección e icaz de NEB amos a necesi a abaja
con el o malismo de IAV en su o ma p io equi alen e, es impo an e encon a la
elación en e la sección e icaz de NEB en o malismo DWBA en su o ma pos y en su
o ma p io . Explica emos más a ondo el mo i o de es a elección en es e capí ulo 3.2.
Pa a encon a dicha elación p ocede emos a desc ibi muy b e emen e los esul ados
ob enidos po Udagawa y Tamu a [39, 40] y po Hussein y McVoy [47] en sus modelos.
2.2.1. Modelo de Udagawa y Tamu a
En es e modelo, Udagawa y Tamu a encon a on la exp esión pa a la sección e icaz
di e encial doble no elás ica de o ma simila a como ue desa ollada en el o malismo de
IAV, pe o en es e caso aliéndose de la desc ipción DWBA en su o ma p io .
En es e con ex o, la exp esión pa a la sección e icaz de NEB se desc ibe como
17
d2σ
dΩbdEb
UT
NEB
=−2
ℏ a
ρ(Eb)ΨUT
xWxΨUT
x,(2.33)
donde ΨUT
xes la solución de la ecuación inhomogénea pa a el sis ema x−Asimila a la
ecuación (2.31), pe o eemplazando en el desa ollo, Vpos po Vp io , es deci
ψUT
x(
kb, x) = Gx(χ(−)
bϕbVp io χ(+)
aφa.(2.34)
con
Vp io =Ux+UbA −Ua.(2.35)
Reco demos que en es a desc ipción, Ua ep esen a el po encial óp ico que desc ibe la
dispe sión elás ica del sis ema a+AyUbA ep esen a el po encial óp ico del sis ema
b+A. Además, si obse amos la ecuación (2.34) podemos e que ambién necesi amos
ob ene los solapamien os desc i os en la ecuación (2.32) pa a encon a el alo de la
sección e icaz de NEB siguiendo es e o malismo.
2.2.2. Modelo de Hussein y McVoy
En el modelo desa ollado po Hussein y McVoy, se hace uso de la hipó esis del espec-
ado pa a la pa ícula de ec ada b. Es deci , conside an que dicha pa ícula no pa icipa
di ec amen e en la up u a y, po lo an o, la up u a se p oduce debido a cualquie dis-
pe sión no elás ica de la pa ícula xcon el blanco A, de o ma que los es ados del sis ema
x+Aque se incluyen en la suma se án aquellos que dejen a Aen un es ado exci ado.
Ob ienen la siguien e exp esión pa a la sección e icaz de NEB:
d2σ
dΩbdEb
HM
NEB
=−2
ℏ a
ρ(Eb)ΨHM
xWxΨHM
x,(2.36)
donde ΨHM
xse conocen como los solapamien os de no o ogonalidad, que se de inen como
ΨHM
x(
kb, x) = (χ(−)
bϕbχ(+)
aφa.(2.37)
Podemos obse a que nue amen e necesi a emos ob ene los solapamien os desc i os en
la ecuación (2.32) pa a encon a el alo de la sección e icaz de NEB siguiendo es e
o malismo.
2.2.3. Relación en e eo ías
Una ez hemos de inido es os o malismos, pasamos a elaciona el modelo UT con
el de IAV, es deci , la desc ipción en o ma p io con la pos . Como ya apun amos en el
capí ulo in oduc o io, aunque en ambos casos se abaja siguiendo la misma es uc u a
o mal, no se ob iene el mismo esul ado pa a la sección e icaz de NEB en la ecuación
(2.30) y en la ecuación (2.33). Pa a encon a la elación en e la o ma p io y la o ma
pos del o malismo DWBA debemos ans o ma la ecuación (2.28) en su o ma p io
18
dados en la ecuación (2.32), iden i icando ψjµ
9Be(
x′,
y′) = φa( bx, ξb)y a ΦLEαα
8Be (
x′) = ϕb(ξb).
En la eacción obje o de es udio, 197Au(9Be,8Be), el p oyec il 9Be se encuen a ini-
cialmen e en su es ado undamen al, mien as que el 8Be se puede p oduci en cualquie a
de los di e en es es ados del con inuo accesibles ( ep esen ados median e pseudoes ados,
como ya se ha mencionado an e io men e). Se nos p opo ciona á, po pa e del u o D.
Jesús Casal, la unción de solapamien o pa a cada uno de es os es ados, que in oduci e-
mos en el o malismo de IAV en su o ma p io equi alen e. Así, de e mina emos el alo
de la sección e icaz di e encial de NEB pa a cada escena io, y a pa i de es os esul ados,
calcula emos la sección e icaz de NEB o al.
25
Capí ulo 3
Es udio de la eacción nuclea inclusi a
197Au(9Be,8Be)
En es e abajo nos cen amos en el es udio de la eacción nuclea inclusi a 197Au(9Be,8Be).
Si a endemos a la no ación u ilizada en el capí ulo 2, pa a es e caso conc e o enemos, el
p oyec il a=9Be, el núcleo blanco A=197Au, el eyec il b=8Be y B∗, que ep esen a
odas las posibles con igu aciones en las que puede encon a se el sis ema o mado po la
pa ícula x=ny el núcleo blanco una ez se p oduzca la eacción. Podemos obse a un
esquema de dicha eacción en la igu a 3.1.
Como apun amos en la sección in oduc o ia 1, es a eacción se ha es udiado de o ma
expe imen al ecien emen e po F. Gollan e al. en la Re . [4]. Po ende, podemos compa-
a las secciones e icaces ob enidas expe imen almen e p esen adas en es e a ículo, con
cálculos eó icos basados en los modelos desa ollados en es e abajo.
En dicho a ículo, ob u ie on alo es de la sección e icaz de NEB pa a la ans e encia
de un neu ón, la CF y la ICF, pa a el sis ema 197Au+9Be. El mo i o po el cual escogie on
el 197Au como núcleo blanco es que p esen a ca ac e ís icas ele an es pa a el es udio de
los mecanismos de ans e encia y de usión, es deci , se cumple que la semi ida de los
p oduc os de e apo ación esul an es son del o den de las ho as y p esen a un núme o
a ómico al o (Z=79), lo que es inge los canales de e apo ación a la emisión casi exclusi a
de neu ones y acili a el análisis de los da os. Es udian dicho sis ema en un ango de
ene gía inciden e de 9Be comp endido en e 21.9≤Elab ≤50.6MeV, co espondien e a
alo es en e 0.54 y1.25 eces la ene gía de la ba e a de Coulomb (VC), es imada como
Vlab
C= 40.5MeV (Vc.m.
C= 38.7MeV) [4].
Figu a 3.1: Esquema de la eacción nuclea 197Au(9Be,8Be).
26
De es e a ículo nos in e esan los da os ela i os a la eacción de ans e encia de un
neu ón. Las eacciones de ans e encia de un neu ón pa a el sis ema 197Au+9Be puede
p oduci an o 198Au (neu on s ipping) como 196Au (neu on pickup). Cuando se p oduce
198Au, és e decae median e emisiones β−al 198Hg. Mien as que, po o o lado, cuando se
p oduce 196Au, és e decae median e emisiones β−al 196P . La eacción de ans e encia
que nos in e esa es la p ime a, ya que es el p oceso que da como esul ado la eacción
nuclea que es udiamos, 197Au(9Be,8Be), en la que apa ece el 8Be. Es impo an e des aca
que cuando se p oduce la up u a del p oyec il 9Be, seguido de la cap u a de un neu ón
po pa e del blanco, ambién se con ibuye a la o mación de 198Au.
Pa a el caso que nos a añe en la Re . [4], ealizan mediciones de los ayos γ esul ado
del decaimien o β−del 198Au en 198Hg. El esquema de decaimien o del 198Au y las ca ac-
e ís icas impo an es del canal de eacción que nos in e esa los podemos obse a en la
igu a 3.2 y en la abla 3.1, espec i amen e.
Figu a 3.2: Esquema de desin eg ación del 198Au [6].
Channel Q (MeV) Decay T1/2(d) Eγ(keV) I ( %)
(9Be,8Be)4.8 198Au −→ 198Hg 2.69 411.8 95.6
Tabla 3.1: Ca ac e ís icas ele an es del canal de eacción (9Be,8Be)que su ge de la
eacción de ans e encia de un neu ón del sis ema 9Be +197Au. [4, 6]
27
Una ez miden los ayos γ, que en nues o caso es el ayo γ esul ado del decaimien o
del 198Hg a su es ado undamen al, calculan la sección e icaz o al median e la elación (1)
σ=ND
I ε (ϵ)
σRu h
(e−λ i−e−λ )
1
R i
0e−λ ′NM( ′)d ′,(3.1)
donde σRu h ag upa la sección e icaz di e encial de Ru he o d, además de una se ie de é -
minos ales como el ángulo sólido ele an e en el mon aje expe imen al conc e o u ilizado
en la Re . [4], λ=ln(2)/T1/2,NDes el núme o de e en os γen cada o opico, NM( ′)es el
núme o de núcleos de 9Be dispe sados po unidad de iempo, I ep esen a la in ensidad
ela i a del γconc e o, ε (ϵ)es la e iciencia del de ec o u ilizado en el expe imen o pa a
una ene gía dada, i es el iempo de i adiación y iy son los iempos iniciales y inales
de medida, espec i amen e.
Después de una se ie de conside aciones elacionadas con el mon aje expe imen al [4],
ob ienen los da os pa a la eacción 197Au(9Be,8Be)198Au, que son los que u iliza emos pa a
compa a con los cálculos eó icos que ob engamos. De o ma que, pa a ealiza nues os
cálculos, de ca a a compa a sa is ac o iamen e es os con los da os expe imen ales, debe-
mos ene en cuen a las conside aciones que han omado pa a ob ene los.
Pasamos aho a a desa olla las conside aciones lle adas a cabo pa a el cálculo eó ico
de la sección e icaz de ans e encia (que ep esen a una po ción de la sección e icaz de
NEB) pa a la eacción a es udia . Dis ingui emos en e los cálculos de es uc u a y de
eacción y inalmen e mos a emos los esul ados ob enidos en compa ación con los da os
expe imen ales de la Re . [4].
3.1. Cálculos de es uc u a
En es a sección p o undizamos en los pasos seguidos pa a ob ene los solapamien os
en e el 8Be y el 9Be que de allamos en la sección 2.5. En p ime luga , desc ibi emos los
po enciales necesa ios pa a ob ene las unciones de onda de es y dos cue pos pa a el 9Be
y el 8Be, espec i amen e. Después, mos a emos como ejemplo dos de las unciones de
solapamien o ele an es, discu i emos ace ca de la no ma que p esen a cada uno de ellos
y, po úl imo, compa a emos la unción adial esul ado del solapamien o que se ob iene
si desc ibimos el 9Be como 8Be+nmedian e un po encial de Woods-Saxon enomenológico.
Pa a de alla los po enciales necesa ios pa a desc ibi el 9Be y el 8Be seguimos el
modelo empleado en la Re . [54]. Pa a a a la in e acción α-nse u iliza el po encial de
la Re . [65]. Se a a de un po encial de Woods-Saxon (WS) más un é mino de espín-
ó bi a, cuya dependencia adial se pa ame iza median e la de i ada de un po encial de
WS. Es e po encial es:
Vαn =V0
1 + exp[( −Rα−n)/a]+
l·s
d
d
VSO
1 + exp[( −RSO)/aSO],(3.2)
donde V0=−43.0MeV, VSO = 40.0MeV· m2,Rα−n= 2.0 m, RSO = 1.5 m, a= 0.7
m, y aSO = 0.35 m. Es a elección pa icula de alo es esul a demasiado a ac i a pa a
(1) No buscamos en a en de alle ace ca de la ob ención de las secciones e icaces en la Re . [4], ya que
se aleja del obje i o de es e abajo.
28
las ondas d, po lo an o, se u iliza el alo −21.5MeV pa a la pa e cen al de las on-
das dy ce o pa a las ondas pa ciales l≥3. Pa a desc ibi es a in e acción, además, se
in oduce un é mino epulsi o pa a ene en cuen a el p incipio de exclusión de Pauli [54].
Po o o lado, pa a a a la in e acción nuclea α-αse incluye el po encial:
Vαα = (125 b
Pl=0 + 20 b
Pl=2)e−( /1.53)2−30e−( /2.85)2.(3.3)
En es a exp esión, al igual que ocu e pa a la in e acción α−n, se incluyen é minos
epulsi os pa a desc ibi de o ma ap oximada los es ados de Pauli. Es e po encial, jun o
con la in e acción coulombiana con Coul = 2.94 m,
VCoul
αα ( ) = Z2e2×(3
2− 2
2 2
Coul 1
Coul , ≤ Coul,
1
> Coul,(3.4)
ep oduce la posición exac a de la esonancia de la onda sy de la onda ddel sis ema de
dos cue pos 8Be, a unas ene gías Eαα ≈0.1MeV y Eαα ≈3MeV, espec i amen e [54].
Es as in e acciones bina ias (Vαn yVαα) se ajus an pa a ep oduci los compo amien-
os de los sis emas de dos cue pos, es deci , ep oducen en buena ap oximación los es ados
de baja ene gía pa a 8Be =α+αy5He =α+n. Sin emba go, ya que los modelos de
es cue pos son una ap oximación al sis ema comple o de muchos cue pos, limi a se a
conside a únicamen e in e acciones de dos cue pos puede lle a a esul ados que se des-
ían de las ene gías ob enidas expe imen almen e pa a es e ipo de sis emas. Po lo an o,
pa a desc ibi co ec amen e el núcleo de 9Be es común inclui un po encial a es cue pos
hipe adial (V3b) que puede ajus a se pa a modi ica la ene gía del sis ema sin dis o siona
su es uc u a. Su desc ipción puede encon a se en las Re s. [54, 63].
Una ez se han desc i o los po enciales Vαα,Vαn yV3b, se pueden ob ene los solapa-
mien os en e 8Be y 9Be. Reco demos que dichos solapamien os en e el es ado undamen-
al de 9Be y los pseudoes ados de 8Be han sido p opo cionados po el u o D. Jesús Casal.
Como ejemplo, podemos obse a la ep esen ación de los solapamien os adiales en e el
es ado undamen al de 9Be con el es ado undamen al 0+de 8Be (ene gía nominal de la
esonancia a Eαα ≈0.1MeV) y con el es ado exci ado 2+de 8Be (ene gía nominal de la
esonancia a Eαα ≈3MeV) en la igu a 3.3 (2). Si compa amos ambas g á icas, obse amos
que el solapamien o con el es ado 0+p esen a alo es mayo es que el solapamien o con
el es ado 2+, indicando que el p ime o ep esen a un peso mayo den o de la unción de
es cue pos. Además, el solapamien o con el es ado 0+es más ex enso, es deci , explo a
dis ancias mayo es. Es o es de espe a ya que la ene gía ela i a en e las dos pa ículas
al a es meno pa a el es ado 0+.
(2) Reco demos que pod ía habe exp esado las g á icas de la igu a 3.3 en unción de y′en ez de bx,
ya que ep esen an la misma a iable.
29
Figu a 3.3: Rep esen ación de los solapamien os en unción de bx. En e el es ado un-
damen al de 9Be con el es ado undamen al 0+de 8Be (ene gía nominal de la esonancia
aEαα ≈0.1MeV) y en e el es ado undamen al de 9Be y el es ado exci ado 2+de 8Be
(ene gía nominal de la esonancia a E≈3MeV).
Se nos p opo cionan an os solapamien os como pseudoes ados se calculen de 8Be
pa a cada momen o angula (Jπ= 0+,2+,4+)(3), y cada uno de ellos p esen a á una
in ensidad (en inglés s eng h) di e en e. En es e con ex o, la in ensidad ep esen a la
no ma del solapamien o adial, es deci , la in eg al del cuad ado de cada solapamien o.
Obse amos la no ma de es os solapamien os en unción de la ene gía ela i a α-αen la
igu a 3.4. Vemos que concue da con el esquema de ni eles ene gé icos del núcleo de 8Be
dado en la igu a 1.4.
En la igu a 3.4 los alo es señalados con un cí culo son los solapamien os que hemos
u ilizado pa a calcula las secciones e icaces de ans e encia, como e emos en la siguien e
sección. Los odeados con un cí culo en azul oscu o ep esen an los solapamien os en e el
es ado undamen al de 9Be con 8Be en los pseudoes ados ca ac e ís icos de las esonancias
0+y2+, que son los ep esen ados en la igu a 3.3.
A endiendo a la igu a 3.4, si nos ijamos en el caso Jπ= 0+, podemos obse a que la
dis ibución de in ensidad a o ece con igu aciones en las que el núcleo de 8Be se encuen a
a la ene gía Eαα ≈0.1MeV, y el es o de pseudoes ados pa a es e momen o angula
p esen an una no ma muy pequeña. Pa a el caso Jπ= 2+, sin emba go, se obse a que la
dis ibución epa e la in ensidad en e a ios pseudoes ados al ededo de Eαα ≈3MeV.
Po úl imo, pa a el caso Jπ= 4+obse amos una dis ibución que p esen a un máximo
en o no a Eαα ≈11 MeV. De mane a simila al caso 2+, la in ensidad se dis ibuye en e
a ios pseudoes ados ce canos a dicho máximo, aunque en compa ación es a in ensidad es
mucho meno que la ob enida pa a Jπ= 0+,2+. Las dis ibuciones ob enidas pa a cada
(3) La base de pseudoes ados que conside amos cons a de 40 es ados.
30
Figu a 3.4: In ensidad de cada pseudoes ado pa a el 8Be. Los alo es edondeados ep e-
sen an los pseudoes ados pa a los cuales hemos ealizado los cálculos de la sección e icaz
de ans e encia.
alo de momen o angula e lejan en buena ap oximación la anchu a de las esonancias
de 8Be que se mues an en la igu a 1.4.
En es e con ex o, los solapamien os en e 9Be con 8Be con Jπ= 0+ ep esen an un
53 % de la no ma o al, pa a Jπ= 2+un 46 % y pa a Jπ= 4+un 1 %. Si ol emos a
obse a la igu a 3.4, podemos ad e i que no amos a calcula la sección e icaz de ans-
e encia pa a ningún solapamien o con 8Be con Jπ= 4+, ya que ep esen a sólo un 1 %
de la no ma o al, po lo an o, su con ibución se á desp eciable. Escogemos los alo es
seleccionados ya que pensamos que ep esen an adecuadamen e la dis ibución de odo el
sis ema. Las no mas co espondien es al solapamien o con cada pseudoes ado escogido se
e lejan en la abla 3.2.(4)
Ins uc i amen e, podemos compa a la unción adial dada po el solapamien o en e
9Be con 8Be en su es ado 0+de esonancia, con la unción adial que se ob end á si
gene amos es a unción con un po encial de WS enomenológico con pa áme os 0=
1.25 m y a= 0.65 m (5) y p o undidad ajus ada pa a da la ene gía de sepa ación
expe imen al pa a el es ado conside ado de 8Be. Lo emos en la igu a 3.5. Pa a pode
compa a es as unciones adiales, debemos ene en cuen a la in ensidad de cada uno.
La unción enomenológica es á no malizada a 1, mien as que el solapamien o adial
ob enido con el modelo de es cue pos iene una no ma meno , ≈0.38 ( abla 3.2). Pa a
pode ealiza la compa ación debemos iguala los en peso. Si eescalamos la unción de
solapamien o adial pa a que ep esen e el o al de la no ma, emos que ambas unciones
(4) Es os alo es ambién se e lejan en la igu a 3.4.
(5) Escogemos es os alo es ya que son los adop ados de o ma es ánda en muchos cálculos de eacción.
31
0+2+
Eαα (MeV) No ma ( %)Eαα (MeV) No ma ( %)
0.10 37.68 0.11 ≈0.00
0.14 0.03 1.01 0.03
1.01 0.56 2.05 1.48
2.17 0.77 3.06 6.76
2.98 0.84 4.10 4.69
4.18 0.87 5.74 2.88
6.06 0.85 6.91 2.32
7.42 0.81 8.42 1.86
9.24 0.73 10.43 1.43
11.76 0.62 13.17 1.00
15.35 0.47 17.03 0.60
Tabla 3.2: No ma de los solapamien os en e el es ado undamen al de 9Be con cada
pseudoes ado de 8Be seleccionado pa a calcula la sección e icaz de ans e encia. Los
alo es esal ados son los ela i os a los solapamien os adiales ep esen a i os que se
mues an en la igu a 3.3.
adiales son azonablemen e simila es, po lo que nos da ían esul ados pa ecidos pa a
la sección e icaz. El in e és en ealiza los cálculos conside ando los es ados de 8Be con
di e en e ene gía ela i a adica en que la agmen ación en in ensidad iene un e ec o
sob e la sección e icaz de ans e encia, al y como e emos en la siguien e sección.
Figu a 3.5: Compa ación en e los solapamien os adiales de 9Be con el 8Be, ambos en su
es ado undamen al, con la unción adial solución de un po encial de WS enomenológico.
32
3.2. Cálculos de eacción
En es a sección de alla emos los pasos seguidos pa a ob ene la sección e icaz de ans-
e encia (que ep esen a una po ción de la sección e icaz de NEB) a es ados ligados de
198Au pa a la eacción nuclea inclusi a que es udiamos, 197Au(9Be,8Be). Una o ma de
ob ene dicha sección e icaz, es conside ando odos los es ados ísicos de 198Au. Pa a ea-
liza los cálculos de es a o ma se debe ene mucha in o mación sob e dichos es ados
(ene gías de los es ados, ac o es espec oscópicos, momen os angula es, e c), además, en
es e caso esul a in iable debido a su g an can idad. En luga de p osegui de es a o ma,
en es e abajo u ilizamos el o malismo de IAV, que pe mi e desc ibi dichas con ibu-
ciones median e un po encial óp ico que da cuen a de la in e acción n-198Au. Además
de es e po encial, desc ibi emos el es o de po enciales óp icos necesa ios pa a ealiza los
cálculos de las secciones e icaces di e enciales de ans e encia. Una ez de inidos, ob en-
d emos dichas secciones e icaces pa a cada solapamien o en e el es ado undamen al de
9Be y los es ados ep esen a i os de 8Be seleccionados. Pa a ello, u ilizamos del código
compu acional “Smoo hie” [53]. Po úl imo, a pa i de las secciones e icaces di e enciales
calculadas, podemos ob ene la sección e icaz o al pa a cada alo de ene gía inciden e
de 9Be. Compa a emos los esul ados ob enidos con los da os expe imen ales de la Re . [4].
Ra a encon a el alo de la sección e icaz de ans e encia abaja emos en el o ma-
lismo IAV en su o ma p io equi alen e. El mo i o po el cual ealizamos los cálculos en
la o ma p io y no en la o ma pos se puede ap ecia cla amen e si de allamos Vpos pa a
la eacción que es udiamos. En nues o caso, la ecuación (2.4) implica:
Vpos =V8Be -n+U8Be -197Au −U8Be -198Au.(3.5)
El p oblema es que el é mino V8Be-nno lo enemos. En el modelo eó ico de es cue pos
que u ilizamos pa a desc ibi la es uc u a de 9Be, apa ecen las in e acciones de dos
cue pos α-αyα-n, pe o no la in e acción n-8Be. Es a úl ima in e acción es di ícil de
desc ibi , ya que, eco demos, que el 8Be es un núcleo que no o ma es ados ligados y
que puede en ende se como dos pa ículas al a. (6) Es e é mino que nos da p oblemas
no apa ece el po encial en la o ma p io y es po ello po lo que abaja emos con es a
desc ipción. Podemos de ini Vp io eniendo p esen e la ecuación (2.35) como:
Vp io =Vn-197Au +U8Be -197Au −U9Be -197Au.(3.6)
Pa a abaja con el código compu acional “Smoo hie” el p ime paso a segui es, apa e
de desc ibi el p oyec il, el blanco y los p oduc os esul an es de la eacción, de alla
cada po encial desc i o en la ecuación (3.6). Pa a cada in e acción se escoge á un ipo
de po encial ap opiado que nos pe mi i á desc ibi el p oblema co ec amen e. El ipo de
po encial que hemos u ilizado en cada caso se especi ica en la abla 3.3. Las desc ipciones
de alladas del po encial ipo “Double Folding: São Paulo” y del po encial ipo “Koning-
Dela oche” se encuen an en el Apéndice A y el Apéndice B, espec i amen e (7).
(6) Si es udiásemos es a eacción expe imen almen e pod íamos medi dichas pa ículas αy po cine-
má ica econs ui el momen o de 8Be.
(7) Des aca que el po encial ipo “Double Folding: São Paulo” en sí sólo incluye la pa e eal del
po encial. Pa a la pa e imagina ia hemos omado la misma geome ía de la pa e eal, escalada po
un cie o ac o (Ni= 0.78). Todo es o es á explicado a ondo en el Apéndice A.
33
Figu a 3.6: Sección e icaz elás ica ela i a a la sección e icaz de Ru he o d pa a di e en es
alo es de Elab del p oyec il 9Be cuando el blanco es 197Au. Compa ación de los da os
expe imen ales de la Re . [69] con lo ob enido median e el código de canales acoplados
FRESCO u ilizando el po encial SPP.
34
Capí ulo 4
Conclusiones
En es e abajo, abo damos el p oblema del cálculo de secciones e icaces de up u a
inclusi a en eacciones inducidas po p oyec iles débilmen e ligados, den o del ma co de
la eo ía p opues a po Ichimu a, Aus e n y Vincen en la década de 1980 [43, 45, 18].
Hemos p esen ado una de i ación al e na i a de la ó mula de IAV desa ollada po el D .
Jin Lei en su esis doc o al [1], que combina la de i ación o iginal de Aus e n y Vincen
[43] con el Teo ema óp ico de canales acoplados [59]. Dicha de i ación al e na i a nos
ha pe mi ido ob ene las con ibuciones de EBU y de NEB de la sección e icaz inclusi a
o al de una mane a muy di ec a, di e en e a la p opues a po Kasano e Ichimu a [44].
Además, p esen amos las exp esiones ob enidas pa a la sección e icaz de NEB siguiendo los
modelos de UT y HM pa a encon a la equi alencia en e los o malismos desa ollados
en o ma pos y en o ma p io , pues o que los cálculos p esen ados en es e abajo siguen
el o malismo de IAV en su o ma p io equi alen e.
La no edad de es e abajo espec o a los an e io es es que hemos ex endido es os
desa ollos eó icos a si uaciones en las que el eyec il esul an e de la eacción es un núcleo
que no p esen a es ados ligados, y po lo an o puede o ma se en a ias con igu aciones
de ene gía y momen o ela i os. Al inco po a es o en el o malismo de IAV, apa ece en el
desa ollo una unción de solapamien o en e la unción de onda del p oyec il y la unción
de onda del eyec il esul an e. Dichos solapamien os han sido, po lo an o, un ing edien e
undamen al pa a el cálculo de la sección e icaz de NEB.
Aplicamos es e o malismo a la eacción nuclea inclusi a 197Au(9Be,8Be) median e el
código compu acional “Smoo hie” desa ollado po el D . Jin Lei [53]. En es a eacción el
p oyec il es el núcleo de 9Be y el eyec il es 8Be, núcleo que e ec i amen e no o ma es ados
ligados. Pa a desc ibi la es uc u a in e na de 9Be, hemos enido en conside ación que
es un núcleo de ipo bo omeo o mado po dos pa ículas al a y un neu ón (α+α+n)
que, po lo an o, puede es udia se median e un modelo de es cue pos en el o malismo
de a mónicos hipe es é icos [54, 63, 55]. Po o o lado, pa a desc ibi el núcleo de 8Be
(α+α) op amos po un modelo de dos cue pos. Pa a ob ene la sección e icaz de NEB
pa a la eacción obje o de es udio, necesi amos los solapamien os en e el núcleo de 9Be
en su es ado undamen al y 8Be, que se puede p oduci en cualquie a de los di e en es
es ados del con inuo accesibles ( ep esen ados median e pseudoes ados). El cálculo de
es os solapamien os ue ealizado po el u o D. Jesús Casal.
La eacción conside ada ha sido es udiada ecien emen e en el abajo expe imen al de
F. Gollan e al. [4], po lo que disponemos de da os expe imen ales con los que compa a
nues os esul ados eó icos. Los da os que se p esen an en es e a ículo son pa a la eac-
ción de ans e encia a es ados ligados de 198Au, es deci , la eacción 197Au(9Be,8Be)198Au
41
(que ep esen a una po ción de la sección e icaz de NEB), pa a ene gías ciné icas inciden-
es p óximas a la ba e a de Coulomb (Vc.m.
C= 38.7MeV). En es e a ículo se p esen a
un cálculo pa a la sección e icaz de ans e encia u ilizando el mé odo CRC conside ando
odos los es ados ísicos disponibles del 198Au (has a una cie a ene gía de exci ación,
ya que el ápido aumen o en la densidad de es ados con la ene gía de exci ación impide
inclui odos los es ados ísicos), que no se ajus a sa is ac o iamen e con los da os expe-
imen ales que ob ienen. Es e hecho nos mo i ó a emplea el o malismo de IAV, en el
cual el conjun o de es ados ísicos se sus i uye po un po encial complejo p omedio y no
equi e po an o de una desc ipción de allada de dichos es ados ísicos.
Pa a encon a la sección e icaz de ans e encia inclusi a pa a una ene gía ciné ica
inciden e dada, p ime o ob u imos la sección e icaz co espondien e al solapamien o con
los di e en es es ados ep esen a i os en los que puede encon a se el núcleo de 8Be pa a
Jπ= 0+,2+y4+. Cada uno de es os es ados p esen a una no ma di e en e, de o ma que
la suma de las con ibuciones de odos ellos es á no malizada a 1. En es e abajo, no
calculamos las secciones e icaces di e enciales co espondien es a odos los solapamien os
que se nos p opo cionan. Es o es debido a que esul a un abajo compu acionalmen e
muy exigen e, ya que el cálculo implica ob ene la sección e icaz di e encial pa a cada
es ado inal de 8Be y pa a cada ene gía inciden e de 9Be.
Una ez de inimos los po enciales óp icos necesa ios lle a a cabo el o malismo de IAV
en su o ma p io , ob u imos las secciones e icaces di e enciales de ans e encia co es-
pondien es al solapamien o con cada es ado ep esen a i o de 8Be, pa a di e en es alo es
de ene gía ciné ica inciden e comp endidos en e 20 y50 MeV (en o no a la ba e a de
Coulomb). Tu imos p esen e que, ca a a compa a los esul ados con los da os expe i-
men ales de la Re . [4], debíamos inclui únicamen e la con ibución de la sección e icaz
a pa i del alo de la ene gía umb al (“Th eshold”), que ep esen a el alo de ene gía
ciné ica inal o al a pa i del cual apa ecen los es ados ligados del sis ema n+197Au. Ade-
más, la sección e icaz di e encial se ex iende has a un alo máximo de ene gía ísicamen e
accesible. Teniendo es o p esen e, in eg amos la dis ibución ob enida pa a encon a la
con ibución de la sección e icaz de ans e encia pa a cada es ado ep esen a i o de 8Be.
Obse amos que la agmen ación en in ensidad que p esen an los pseudoes ados de 8Be
iene un e ec o sob e la sección e icaz de ans e encia, de o ma que, pa a encon a el
alo de la sección e icaz de ans e encia o al co espondien e a cada ene gía inciden e,
u imos en cuen a que no incluimos las con ibuciones de odos los es ados ep esen a-
i os de 8Be. Pa a ello, u ilizamos dos mé odos de in e polación que ienen en cuen a la
con ibución de odos los pseudoes ados conside amos en la desc ipción de 8Be y que nos
de ol ie on esul ados simila es. Ob u imos dichos alo es de sección e icaz y los com-
pa amos con los da os expe imen ales. Obse amos una conco dancia bas an e buena de
nues os esul ados con los da os expe imen ales pa a ene gías ciné icas inciden es po
debajo de la ba e a de Coulomb, aunque ambién una subes imación pa a ene gías po
encima de ese alo . Es o puede se debido a a ios mo i os.
Po un lado, a di e encia de en la Re . [4], donde u ilizan el mé odo CRC conside ando
odos los es ados ísicos disponibles del 198Au has a ene gías de 703 keV pa a encon a el
alo de la sección e icaz de ans e encia, noso os u ilizamos el o malismo de IAV, que
pe mi e desc ibi dichas con ibuciones median e un po encial óp ico que da cuen a de la
in e acción n-198Au. Hemos escogido pa a es e caso un po encial ipo Koning-Deka oche,
que es un po encial no dispe si o y, po an o, puede que no con enga la dependencia con
la ene gía adecuada, que ha ía que su pa e imagina ia se ue a a ce o pa a alo es de
la ene gía ela i a n-198Au que no sean ísicamen e accesibles. Es e po encial desempeña
42
un papel c ucial en la desc ipción de nues o p oblema, ya que, como hemos señalado,
desc ibe la dis ibución de es ados en el núcleo esidual. Po lo an o, si escogemos es e
ipo de po encial pa a es e sis ema, es posible que la dis ibución de es ados ligados que
o man el 198Au no es é desc i a sa is ac o iamen e. Po o o lado, pa a ealiza los cálculos
necesi amos de ini el po encial óp ico pa a el sis ema 8Be -197Au. Es e po encial no se
hab á de inido co ec amen e pues o que in e iene el 8Be y, como ya apun amos, és e es
un sis ema no ligado. En gene al, la elección de los po enciales óp icos que hemos hecho
puede p o oca a iaciones en la sección e icaz ob enida.
O o mo i o que puede p o oca la disc epancia que ob enemos espec o a los da os
expe imen ales es el hecho de que el o malismo es ic o de es cue pos que hemos u ili-
zado pa a desc ibi la unción de onda de 9Be (α+α+n) no iene en cuen a e ec os de
an isime ización en e el neu ón conside ado de alencia y los neu ones de 8Be, po lo
an o puede subes ima la no ma (en es e con ex o, análoga a ac o es espec oscópicos)
de cada solapamien o. Es o puede hace se más no able a medida que la ene gía inciden e
aumen a, que es p ecisamen e la egión de ene gías en las que ob enemos disc epancia es-
pec o a los da os expe imen ales. Pa a es ima es e e ec o, hemos conside ado los ac o es
espec oscópicos ex aídos de un cálculo mic oscópico, conc e amen e el mé odo ab-ini io
denominado Cálculo Va iacional de Mon e Ca lo (VMC) [72].
Escalando con es os ac o es espec oscópicos, ob u imos un acue do mucho mejo
con los da os expe imen ales [4] pa a ene gías inciden es po encima de la ba e a de
Coulomb. En es a zona es p ecisamen e donde la con ibución de los es ados 2+de 8Be
es más ele an e. Además, ambién compa amos con los esul ados eó icos ob enidos
en el a ículo de la Re . [4], que eco demos los ealizaban median e el mé odo CRC
conside ando odos los es ados ísicos disponibles del 198Au. La compa ación en e ambos
modelos eó icos con los da os expe imen ales nos indica que los desa ollos ealizados en
es e abajo p esen an un mejo acue do, an o pa a ene gías po encima de la ba e a de
Coulomb, como pa a ene gías po debajo de és a. A endiendo a los esul ados ob enidos,
podemos a i ma que los desa ollos eó icos lle ados a cabo en es e abajo (siguiendo el
o malismo de IAV, que incluye la desc ipción de es cue pos del p oyec il 9Be) nos o ecen
un mé odo iable pa a es udia las secciones e icaces de ans e encia pa a eacciones
nuclea es inducidas po un p oyec il débilmen e ligado cuyo eyec il esul an e es un núcleo
que no o ma es ados ligados.
Se pueden implemen a posibles mejo as con el in de pe ecciona los esul ados ob e-
nidos de ca a a p óximos abajos. Po un lado, una mejo a signi ica i a de los esul ados
pod ía da se si cambiamos el po encial que desc ibe el sis ema n-197Au po un po encial
dispe si o, dependien e po lo an o de la ene gía, que desc iba adecuadamen e la dis i-
bución de ene gía nega i a (zona que p esen a es ados ligados 198Au). Así, espe a emos
log a una mejo coincidencia con los da os expe imen ales p opo cionados pa a ene gías
inciden es po encima de la ba e a de Coulomb. Además, ambién podemos p oba di e-
en es po enciales pa a el sis ema 8Be -197Au, que no es á bien de inido. Incluso p oba
con di e en es po enciales óp icos que de inan el es o de sis emas pa a pe ecciona los
esul ados o, al menos, cuan i ica la ince didumb e de los cálculos asociada a la elección
de es os po enciales. Po o o lado, es impo an e des aca que median e el código compu-
acional “Smoo hie” no solo ob enemos los esul ados mos ados en es e abajo, sino que
ambién nos de uel e, po ejemplo, las dis ibuciones angula es de 8Be, que pueden se
obje o de es udio pa a p óximos abajos. Además, un posible es udio que pod ía lle a se
a cabo es compa a los cálculos eó icos ob enidos pa a la ene gía ela i a Eαα, con da os
expe imen ales esul ado de medi es as dos pa ículas en el labo a o io.
43
Apéndice A
Po encial Double Folding São Paulo
Pa a desc ibi la in e acción nuclea nos alemos de di e en es ipos de po enciales,
en e ellos el po encial ipo: “Double Folding po en ial: São Paulo”. El é mino en inglés
“Double” se e ie e a que son po enciales que p esen an doble con olución de las densidades
de ma e ia. Dichos po enciales se de inen a pa i de in e acciones mic oscópicas nucleón-
nucleón y poseen mayo sen ido ísico que los po enciales enomenológicos.
Pa a desc ibi es e ipo de po encial, an es de nada, es impo an e de ini el concep o
de densidad de ma e ia ya que es án asociados con la dis ibución de los nucleones den o
del núcleo a ómico. Pa a un núcleo dado, la dis ibución de p o ones pa a cie o adio
mul iplicado po el é mino de olumen ρp( )×d , nos da la p obabilidad de encon a a
un p o ón den o de dicho olumen. Análogamen e, pod emos encon a la p obabilidad
de que un neu ón se encuen e den o de un cie o olumen, ela i o a la dis ibución del
neu ón, ρn( ). De o ma que, pa a encon a la dis ibución de nucleones o al sumamos
ambas con ibuciones, ρN( ) = ρp( )+ρn( ). Po lo an o, al y como se dijo an e io men e,
pa a encon a la p obabilidad de que un nucleón se encuen e den o de cie o olumen
debemos mul iplica la dis ibución de nucleón, ρN( ), po d [67].
Pa a desc ibi las densidades de ma e ia podemos asumi una unción de Fe mi de dos
pa áme os desc i a como
ρN( ) = ρ0
1 + e −R0
a
,(A.1)
donde ρ0es la densidad cen al del núcleo, R0es el adio de la dis ibución de densidad
de ma e ia y a ep esen a la di usi idad de la densidad de ma e ia en el núcleo. La
dis ibución de nucleones se no maliza como
Figu a A.1: Coo denadas necesa ias pa a de ini la in e acción en e dos núcleos median e
un po encial de ipo “Double Folding” [73].
44
ZρN( )d =A, (A.2)
siendo Ael núme o másico del núcleo con el que abajemos.
Teniendo en cuen a es o, podemos desc ibi po enciales de doble con olución
VF(
R) = Z Z ρN1( 1)ρN2( 2) NN (
R− 1+ 2)d 1d 2,(A.3)
donde las coo denadas se han de inido en la igu a A.1 y NN ep esen a la in e acción
e ec i a nucleón-nucleón. Es p ecisamen e debido al hecho de que la in eg ación se ealiza
sob e dos densidades po lo que es e modelo es comúnmen e conocido como el modelo de
doble con olución (en inglés, Double Folding model).
A la ho a de elegi la in e acción nucleón-nucleón, debemos ene en cuen a el enómeno
de no localidad de Pauli, que consis e en un e ec o cuán ico no local asociado al in e cambio
de nucleones en e ambos núcleos debido a la na u aleza e miónica de los p ime os [68].
Pa a inclui es e enómeno se de ine lo que se conoce como un po encial local equi alen e,
que en es e caso, es el po encial de São Paulo (SPP) de la o ma
VSP P (
R) = VF(
R)e−4 4/c2,(A.4)
donde ces la elocidad de la luz en el acío y es la elocidad ela i a local en e los dos
núcleos. Po lo an o, la exp esión comple a pa a el po encial ipo SPP es
VSP P (
R) = Z Z ρN1( 1)ρN2( 2)V0δ(
R− 1+ 2)d 1d 2e−4 4/c2,(A.5)
donde V0δ(
R− 1+ 2)es la in e acción e ec i a de ango ce o nucleón-nucleón desc i a
como una in e acción de con ac o. El alo de V0es V0=−456 MeV· m3, alo que
se ha ob enido a a és de un amplio es udio sis emá ico que in oluc a po enciales de
ipo enomenológicos de i ados del análisis de da os de dispe sión elás ica pa a muchos
sis emas. Pa a di e encia el alo de es e po encial pa a un núcleo especí ico u o o, nos
alemos de la densidad de ma e ia conc e a de cada uno [7].
Teniendo en cuen a es o, si quisiésemos desc ibi un po encial óp ico lo ha emos como
UN(
R) = N VSP P (
R) + i NiVSP P (
R),(A.6)
donde, N yNison núme os eales que desempeñan el papel de coe icien es mul iplica i os
que de e minan la magni ud, an o de la pa e eal como de la imagina ia, del po encial
óp ico. Además, simulan de o ma simpli icada los e ec os del po encial de pola ización.
Donde, dicha pola ización se o igina a pa i de acoplamien os no elás icos, es dependien e
de la ene gía y es de na u aleza compleja.
Po un lado, la pa e imagina ia del po encial p o iene de ansiciones hacia canales no
elás icos disponibles que abso ben lujo del canal elás ico, mien as que la pa e eal p o-
iene de ansiciones i uales a es ados in e medios como son las exci aciones inelás icas
o la ans e encia de nucleones en e o os. Los alo es es ánda de es os pa áme os son
N = 1.00 yNi= 0.78 [7]. Es e alo pa a la pa e imagina ia p o iene de una sis emá ica
ealizada po los au o es de es e po encial sob e muchos sis emas.
45
Apéndice B
Po encial Koning-Dela oche
Pa a desc ibi la in e acción neu ón-núcleo podemos u iliza un po encial de ipo
Koning-Dela oche (KD). Es e ipo de po encial es un po encial óp ico enomenológico
que es álido pa a neu ones y pa a p o ones pa a ene gías en e 1keV has a 200 MeV
pa a núcleos cuyo núme o de p o ones o de neu ones es án muy ce ca de capas ce adas,
po lo an o son es é icos, y cuyo núme o másico se encuen a en e 24 ≤A≤209 [66].
Es e po encial es á desc i o median e un uncional sua e y de ca ác e único, que
ep esen a la dependencia ene gé ica de las p o undidades del po encial, además de me-
dian e pa áme os geomé icos ísicamen e es ingidos [66]. Es un po encial de ipo no
dispe si o.
A pa i de pa ame izaciones ob enidas median e una écnicas compu acionales, se
han conseguido desa olla po enciales óp icos globales dependien es de la asime ía pa a
el caso de neu ones y de p o ones que se conside an supe io es a odos los demás modelos
enomenológicos exis en es has a en onces, no solo en lo que espec a a la desc ipción de
obse ables, sino ambién po que aba can un mayo ango de masas y ene gías. En nues o
caso conc e o, necesi amos es e ipo de po encial únicamen e pa a el caso de neu ones,
es po ello po lo que desa olla emos b e emen e únicamen e es e caso.
El po encial enomenológico pa a la in e acción nucleón-núcleo se de ine gené icamen e
como
U( , E) = −VV(E) ( , RV, aV)−iWV(E) ( , RV, aV)
+i4aDWD(E)d
d ( , RD, aD)+
VSO(E)ℏ
mπc21
d
d ( , RSO, aSO)
l·σ+
iWSO(E)ℏ
mπc21
d
d ( , RSO, aSO)
l·σ+VC( ),
(B.1)
donde los é minos que con ienen VV,SO yWV,D,SO ep esen an las componen es del po-
encial eales e imagina ias, espec i amen e, de los é minos de olumen cen al (V),
supe icie cen al (D) y spin-ó bi a (SO). El úl imo é mino, VC ep esen a el é mino de
Coulomb, que se de ine como
46
VC( ) =
Zze2
2RC3− 2
R2
Cpa a ≤RC
Zze2
pa a ≥RC,
(B.2)
con Zla ca ga del blanco, zla ca ga del p oyec il, RC= CA1/3. Como en nues o
caso nos cen amos en el caso de in e acción neu ón-núcleo es e é mino no in e iene al
p esen a el neu ón una ca ga igual a ce o. Además, ( , Ri, ai)es el ac o de o ma que
se de inimos como
( , Ri, ai) = (1 + exp[ −Ri/ai])−1,(B.3)
siendo Ael núme o másico, Ri= iA1/3yaies el pa áme o de di usi idad.
En es e pun o, an es de de ini la exp esión pa a dicho po encial conc e amen e necesi a-
mos de ini la ene gía de Fe mi, en MeV, pa a los neu ones inciden es en nues o caso,
es deci , En
.(1) Necesi amos ene en cuen a es e é mino ya que la o ma uncional pa a
la p o undidad del po encial depende del pa áme o E−En
(En gene al pa a cualquie a
de los dos nucleones E−E ). Po lo que, de inimos
En
=−1
2[Sn(Z, N) + Sn(Z, N + 1)],(B.4)
donde Sn ep esen a la ene gía de sepa ación de un neu ón del núcleo con un núme o
a ómico, Zy núme o de neu ones igual a N.
El po encial global de es e ipo pa a neu ones se de ine como
VV(E) = n
1[1 − n
2(E−En
) + n
3(E−En
)2− n
4(E−En
)3],
WV(E) = wn
1
(E−En
)2
(E−En
)2+ (wn
2)2,
V= 1.3039 −0.4054 A−1/3,
aV= 0.6778 −1.487x10−4,
WD(E) = dn
1
(E−En
)2
(E−En
)2+ (dn
3)2exp[−dn
2(E−En
)],
D= 1.3424 −0.01585 A1/3,
aD= 0.5446 −1.656x10−4A,
VSO(E) = n
SO1exp[− n
SO2(E−En
)],
WSO(E) = wn
SO1
(E−En
)2
(E−En
)2+ (wn
SO2)2,
SO = 1.1854 −0.647 A−1/3,
aSO = 0.59,
(B.5)
donde las unidades son MeV y m y los pa áme os no de inidos se encuen an en la Re .
[66].
(1) La ene gía de Fe mi se de ine como la ene gía que se encuen a a medio camino en e la ul ima capa
ocupada y la p ime a desocupada en un núcleo.
47
Apéndice C
Mé odos de in e polación pa a el
cálculo de la sección e icaz o al de
ans e encia inclusi a
Pa a encon a el alo o al de la sección e icaz de ans e encia inclusi a pa a la
eacción 197Au(9Be,8Be), pa a cada ene gía inciden e de 9Be, debemos ene en cuen a la
no ma de cada es ado ep esen a i o del con inuo de 8Be (desc i o median e pseudoes a-
dos). Debido a que no ealizamos el cálculo pa a odos los pseudoes ados p opo cionados,
es necesa io ecu i a un mé odo de in e polación de la sección e icaz. Aquí p esen amos
dos posibilidades que de uel en esul ados simila es.
Po un lado, median e el Mé odo 1, in e polamos los alo es ob enidos de sección e i-
caz de ans e encia co espondien e al solapamien o con cada es ado ep esen a i o de
8Be escogido, pa a una ene gía inciden e especí ica. No obs an e, in e pola emos conc e-
amen e en los alo es exac os de ene gía de los es ados ep esen a i os de 8Be que nos
p opo ciona el u o D. Jesús Casal ( igu a 3.4). De es a o ma, es amos eniendo en cuen-
a la no ma o al de los solapamien os (que deben suma 1 esul ado de la no malización
de la unción de onda de es cue pos), po lo an o, si sumamos la con ibución de cada
pseudoes ado de 8Be, encon a emos el alo de la sección e icaz de ans e encia o al.
Repe i emos los mismos pasos pa a cada ene gía inciden e de 9Be.
Po o o lado, el Mé odo 2 consis e en pasa de los alo es disc e os que ob enemos
de la sección e icaz de ans e encia pa a cada pseudoes ado ep esen a i o de 8Be a una
dis ibución con inua, eniendo en cuen a la elación
dσ
dE ≈σi
∆εi
.(C.1)
Po lo an o, pa a ob ene la dis ibución con inua, di idimos el alo de la sección e icaz
de ans e encia que ob enemos pa a cada caso po los in e alos ene gé icos ∆εi, que se
de inen eniendo en cuen a la igu a C.1, como:
∆εi=εi+1 −εi
2+εi−εi−1
2=εi+1 −εi−1
2,(C.2)
siendo εila ene gía de cie o pseudoes ado ep esen a i o ide 8Be.
48
Figu a C.1: Rep esen ación esquemá ica de ∆εi.
Figu a C.2: Di isiones en in e alos pa a lle a a cabo el Mé odo 2 pa a Ei
c.m.(9Be) = 36
MeV pa a Jπ= 2+.
49
Como ejemplo, podemos obse a en la igu a C.2 los in e alos que se gene an pa a
la ene gía inciden e de 9Be igual a 36 MeV, cuando el núcleo de 8Be se encuen a en un
es ado Jπ= 2+. Una ez di idimos los alo es de la sección e icaz en e los in e alos,
∆εi, in e polamos los nue os alo es ob enidos e in eg amos. De es a o ma, al igual que
ocu e en el Mé odo 1, ambién es amos conside ando la no ma comple a.
Podemos compa a lo ob enido median e ambos mé odos en la igu a C.3. En dicha
igu a ep esen amos lo ob enido an es de suma (Mé odo 1) o in eg a (Mé odo 2) las
con ibuciones de Jπ= 0+yJπ= 2+, pa a es ene gías inciden es de 9Be ep esen a i as.
En las g á icas del Mé odo 1 ( igu a C.3) hemos ep esen ado odos los alo es disc e os
que sumamos pa a encon a el alo de la sección e icaz o al. Pa a cie as ene gías in-
ciden es (sob e odo in e io es a 24 MeV) las cu as pa a Jπ= 0+yJπ= 2+no siguen
una dis ibución dec ecien e. Es e úl imo hecho puede se debido a de iciencias numé i-
cas en la in e polación, que pueden p o oca que ocu an es e ipo de compo amien os.
Des aca que el á ea somb eada en g is bajo las cu as pa a el 8Be en el es ado exci ado
Jπ= 2+ ep esen a de o ma ap oximada la anchu a de la esonancia de 8Be en Jπ= 2+,
en conco dancia con la ep esen ación de es as mos ada en la igu a 1.4.
Al compa a los alo es de sección e icaz de ans e encia o al que ob enemos lle ando
ambos mé odos, ob enemos esul ados muy simila es. En la sección 3.2 exponemos los
ob enidos median e el Mé odo 1, aunque es impo an e des aca que ambos son igual de
álidos.
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