Análisis de eficiencia de los jugadores de la NBA mediante la metodología DEA

1 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de Organización Industrial Análisis de eficiencia de los jugadores de la NBA mediante la metodología DEA Dep. Organización Industrial y Gestión de Empresas I Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 Autor: Sergio Ricor Collado Tutor: Antonio Plácido Moreno Beltrán 2 3 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de Organización Industrial Análisis de eficiencia de los jugadores de la NBA mediante la metodología DEA Autor: Sergio Ricor Collado Dep. Organización Industrial y Gestión de Empresas I Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 Tutor: Antonio Plácido Moreno Beltrán Profesor Contratado Doctor 4 5 Trabajo Fin de Grado: Análisis de eficiencia de los jugadores de la NBA mediante la metodología DEA Autor: Sergio Ricor Collado Tutor: Antonio Plácido Moreno Beltrán El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales : Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2019 El Secretario del Tribunal 6 7 Agradecimientos En primer lugar quiero agradecer a mi tutor a lo largo de este arduo proyecto, al Prof. Dr. D. Antonio Plácido Moreno Beltrán, si tengo algo claro, es que sin sus esfuerzos y al tiempo que ha invertido en mí, me habría resultado imposible completar esta investigación. Cuando este documento eran unas meras páginas en blanco resultaba imaginable como se podría convertir en algo de lo que me siento orgulloso a día de hoy. Deseo agradecer también a mis padres, más allá de la vida universitaria, por todo el impacto que han tenido en mi vida estudiantil. Cómo me han ayudado a superar todos mis defectos y cualquier piedra que he encontrado en el camino. Gracias también a todas aquellas personas que he tenido la suerte de poder conocer a lo largo de este periodo universitario, que me han formado cómo lo que soy actualmente. Gracias a todos mis amigos cercanos que sin su apoyo no habría llegado ni a la mitad de donde estoy ahora mismo. Este documento no ha sido un mero paso, lo considero un gran paso para un nuevo futuro. Gracias a él he podido adaptar mi forma de pensar y de actuar al enfrentarme a los múltiples problemas que surgen. 8 9 Resumen En este proyecto se pretende llevar a cabo una investigación de la eficiencia de los jugadores de la liga de baloncesto más famosa del mundo, la NBA. Para ello se tomaran jugadores de las tres diferentes posiciones y se analizaran mediante DEA, buscando los jugadores más eficientes para cada una de ellas y para aquéllos que no son tan eficientes qué aspectos tienen que mejorar para maximizar sus resultados. La NBA sigue asombrando con sus increíbles ingresos y resultados en audiencia a lo largo de la historia. No es de extrañar las grandes sumas monetarias que se mueven en el intercambio y compra de estos jugadores llegando a tener un gran papel el análisis de sus estadísticas a la hora de saber la calidad de un jugador. En la actualidad, muchas academias siguen apostando por sus jugadores más jóvenes y es el trabajo de los ojeadores analizar a los jugadores de los equipos más pequeños para introducirlos a las grandes ligas. Gracias a esta metodología se facilita el estudio de los jugadores y su análisis con sólo la aportación de sus datos de juego. Con este estudio no sólo se pretender dar una visión al lector de los mejores jugadores de la mejor liga de baloncesto, sino también se busca mostrar ciertos jugadores que sin tener unos resultados extraordinarios rinden a un nivel excelente y permitirles unas mayores oportunidades para lograr e incluso mejorar los resultados de los jugadores estrella. 16 17 ÍNDICE DE FIGURAS ILUSTRACIÓN 1. CONCEPTOS PREVIOS .................................................................................................................................................. 27 ILUSTRACIÓN 2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA CRSINPUT ............................................................................................................................ 29 ILUSTRACIÓN 3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA CRSOUTPUT ......................................................................................................................... 30 ILUSTRACIÓN 4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA BBCINPUT ............................................................................................................................ 31 ILUSTRACIÓN 5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA BBCOUTPUT ......................................................................................................................... 32 ILUSTRACIÓN 6. EVOLUCIÓN DE LOS ESPECTADORES ................................................................................................................................. 41 ILUSTRACIÓN 7. POSICIONES DE LOS JUGADORES ..................................................................................................................................... 46 18 19 ÍNDICE DE ECUACIONES ECUACIÓN 1. PRODUCTIVIDAD INDIVIDUAL ............................................................................................................................................ 23 ECUACIÓN 2. PRODUCTIVIDAD GLOBAL ................................................................................................................................................. 24 ECUACIÓN 3. ENTRADA Y SALIDA VIRTUAL ............................................................................................................................................. 25 ECUACIÓN 4. PRODUCTIVIDAD MÚLTIPLE .............................................................................................................................................. 25 ECUACIÓN 5. EFICIENCIA RELATIVA ...................................................................................................................................................... 25 ECUACIÓN 6. EFICIENCIA DESGLOSADA ................................................................................................................................................. 25 ECUACIÓN 7. EFICIENCIA GLOBAL ........................................................................................................................................................ 26 ECUACIÓN 8. CONJUNTO DMUS CRS.................................................................................................................................................. 26 ECUACIÓN 9. CONJUNTO DMUS VRS ................................................................................................................................................. 27 ECUACIÓN 10. MODELO RATIO ........................................................................................................................................................ 28 ECUACIÓN 11. RESTRICCIÓN DE LAS DMUS EFICIENTES ............................................................................................................................ 28 ECUACIÓN 12. MODELO CRSINPUT .................................................................................................................................................... 29 ECUACIÓN 13. MODELO CCROUTPUT ................................................................................................................................................. 30 ECUACIÓN 14. MODELO BCCINPUT .................................................................................................................................................... 31 ECUACIÓN 15. MODELO BBCOUTPUT ................................................................................................................................................. 32 ECUACIÓN 16. MODELO SBMINPUT ................................................................................................................................................... 33 ECUACIÓN 17. MODELO SMBOUTPUT ................................................................................................................................................ 33 ECUACIÓN 18. SALIDA NEGATIVA ........................................................................................................................................................ 34 ECUACIÓN 19. RESTRICCIÓN PARA VARIABLES NEGATIVAS ......................................................................................................................... 48 ECUACIÓN 20. FO GUARD................................................................................................................................................................. 51 ECUACIÓN 21. FO FORWARD............................................................................................................................................................. 52 ECUACIÓN 22. FO CENTER ................................................................................................................................................................ 52 ECUACIÓN 23. FO GLOBAL ................................................................................................................................................................ 52 ECUACIÓN 24. RESTRICCIONES DENTRO DE LA FO ................................................................................................................................... 52 ECUACIÓN 25. RESTRICCIONES GENÉRICAS ............................................................................................................................................ 53 ECUACIÓN 26. RESTRICCIONES GUARD ................................................................................................................................................. 53 ECUACIÓN 27. RESTRICCIONES FORWARD ............................................................................................................................................. 54 ECUACIÓN 28. RESTRICCIONES CENTER ................................................................................................................................................. 54 ECUACIÓN 29. RESTRICCIÓN VRS ....................................................................................................................................................... 54 20 21 1 OBJETO Y ALCANCE DE LA INVESTIGACIÓN 1.1 Introducción En este capítulo, una vez vistas unas ideas previas, se establecen las limitaciones del modelo a través del alcance del proyecto y se proporciona una introducción al formato y contenido que seguirá el documento. La estructura del documento sirve de guía para los distintos temas que se van a tratar más allá del objeto de investigación. 1.2 Alcance del proyecto Para este proyecto se ha optado por delimitar los jugadores analizados a aquéllos que cumplen una serie de restricciones, de manera que se pueda extraer una mayor cantidad de información por cada jugador y centrar el análisis. Las restricciones seguidas para limitar el proyecto han sido principalmente dos, un número de partidos jugados y el número de minutos jugados por partidos, eliminando aquellos jugadores que han tenido una baja participación en la liga. También se han limitado los datos obtenidos a la temporada 2017-2018, la cual resulta ser la última temporada que a día de hoy que puede ser analizada, dándole un mayor grado de interés al ser datos recientes. Por último cada modelo jugador cuenta con un total de una entrada y varias salidas que varían según la posición del jugador teniendo un mínimo de seis y un máximo de nueve. 1.3 Estructura del documento Tras haber definido los objetivos y el alcance de este documento, en los siguientes capítulos se realiza una introducción a la metodología utilizada para la realización de los modelos, el análisis por envoltura de datos (DEA). En este capítulo también se agregan una serie de conceptos previos para una mayor comprensión de los diferentes modelos y sus estructuras. En el tercer capítulo se da una breve introducción histórica al baloncesto americano y se hace un gran enfoque a la importancia que ha tenido la NBA en la economía. Se compara el valor del mercado de los diferentes equipos y su crecimiento a lo largo de la historia. Por último se hace una breve referencia a la estrategia de mercado seguida por la NBA para su crecimiento. En el cuarto capítulo se introduce el modelo utilizado y en él se muestran los distintos jugadores que componen cada posición sujetos de estudio. Las distintas entradas y salidas del modelo adjuntándole una explicación de las mismas. Por último, pero no menos importante, el modelo matemático, descompuesto para cada caso junto a las restricciones. En el quinto capítulo se encuentran los resultados del documento, donde se analizan de manera global todas las holguras obtenidas para las distintas posiciones. Se hace también un análisis de los mejores jugadores para cada posición quedando completado uno de los objetivos principales de este documento. En el sexto y último capítulo, tras haber realizado los resultados se realiza unas conclusiones sobre los datos obtenidos en el apartado anterior y una serie de sugerencias para una posible futura ampliación de este documento junto algunas propuestas. 22 23 2 ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS 2.1 Introducción En estos apartados se presenta la metodología DEA (Data Envelopment Analysis) o análisis por envoltura de datos, dándose los conceptos fundamentales para la comprensión de la metodología. También se introducirán los modelos básicos y los modelos DEA más usados. 2.2 Introducción histórica de la metodología El método DEA fue presentado originalmente por el inglés Farrell en el año 1957 y nos definía una frontera tecnológica empírica de producción en su trabajo “Measuring the efficiency of decisión making units”, pero no fue hasta el año 1978 cuando se aplicaron estas ideas por primera ocasión por parte de Charnes, Cooper y Rhodes. Éstos sentaron los fundamentos matemáticos de la teoría moderna del método de la frontera de DEA. Existen una serie de modelos principales, los cuales se desarrollarán con posterioridad. El primero, es el modelo CCR, definido por Charnes, Cooper y Rhodes. El segundo, el modelo BBC definido por Charnes, Cooper y Banker, en 1984. Éstos son los dos modelos principales. A raíz de los mismos surgen muchas derivaciones centradas en distintos criterios. 2.3 Conceptos básicos La metodología DEA es usada para la evaluación de unidades productivas o DMUs (Decision Making Unit) a través de una serie de entradas y salidas, dicho de otra manera, utiliza las entradas para obtener una serie de salidas. Es una forma de evaluar o medir cómo se están aprovechando los recursos (entradas). La expresión matemática que nos aporta Farrell en 1957 nos define esta relación como el siguiente cociente: 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑= 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎= 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 𝑅𝑒𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑠 Ecuación 1. Productividad individual En este proyecto, se tratará con los conceptos de productividad y eficiencia, ya que DEA, tiene como objetivo final la medida de la eficiencia de las diferentes DMUs, y aportar para cada una de ellas cual el objetivo a alcanzar para ser eficientes. Esta ecuación nos resulta útil cuando la unidad que queremos analizar tiene la capacidad de modificar los recursos que se implican en el proceso, bien la cantidad de producto creada o la cantidad de recursos consumidos. Por esto mismo se les llama a estas unidades productivas DMUs. Esta metodología ofrece información de cada unidad de decisión, dando la opción de explorar los orígenes de la eficiencia (o ineficiencia) de todas ellas. El objetivo principal es extraer cierta conclusión que permita mejorar la producción ya sea aumentando las salidas o reduciendo las entradas. Podemos destacar su enfoque no paramétrico, aportando mucha generalidad. Nos permite el estudio a pesar de desconocer ciertos parámetros de la población en estudio. 24 Este modelo nos aporta una gran flexibilidad a la hora de la toma de las variables de entrada y salida, nos permite comprar diferentes unidades productivas sin que éstas estén totalmente definidas y asociadas entre sí. Uno de los puntos débiles de esta metodología es la necesidad de un número concreto de DMUs y esto nos restringe el número de entradas y salidas, debiendo ser el triple de la suma de entradas y salidas. Otro inconveniente es la importancia de la decisión del modelo adecuado para el objeto de estudio, ya que tiene una gran sensibilidad sobre los resultados que se obtienen. Como se ha mencionado anteriormente, DEA puede funcionar sin definir al completo alguna unidad de decisión, de igual manera que nos aporta gran flexibilidad es un problema si se llega a una situación donde existen demasiadas estimaciones puntuales, éstas pueden llevar a la distorsión de los resultados. Al margen de lo comentado anteriormente las dificultades no están tanto en la hora de la elección de las unidades productivas, sino en las variables por las cuales se ven afectadas en mayor medida teniendo en cuenta la necesidad de un carácter cuantitativo y no cualitativo. Es decir, cuáles son los recursos de los que disponen estas unidades productivas y cuál es la producción que viene asociada a éstos. El primer paso de esta metodología consiste en la identificación de las unidades productivas a medir en el modelo, teniendo en cuenta todos los factores que afectan a esta unidad productiva. A continuación, una vez definida las unidades productivas se proceden al análisis de todas las entradas y salidas del modelo. Existe un alto grado de dificultad a la hora de la medición de las mismas y muchas de ellas no son fácilmente mensurables. Por lo tanto, se requiere un estudio previo de las causas por las cuales se elegirán estas entradas y salidas y no otras, definiendo de igual manera el criterio para la medición de las mismas. A la hora de analizar las DMUs, no resulta interesante separar las variables como vemos en la Ecuación 1. Productividad individual, ésta proporciona un resultado de la productividad de manera individual, una entrada una salida. Resulta obvio que la mayoría de las investigaciones requieren múltiples recursos, para ello utilizaremos la siguiente ecuación para el cálculo de la productividad: 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑= 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 Ecuación 2. Productividad global En la Ecuación 2. Productividad global, agregamos un concepto que no se ha mencionado anteriormente, el analista debe enfrentarse a la tesitura de agregar una serie de pesos a las diferentes entradas y salidas, dicho de otra manera, tendrá que aplicar cierta ponderación. El analista debe enfrentarse a la dificultad de agrupar ciertos recursos y resultados con distinta naturaleza. Para solucionar esta incidencia, aparecen los conceptos de entrada y salida virtual, entradas y salidas escalares que mediante el peso que se ha mencionado anteriormente para obtener un resultado adimensional y por tanto indiferente de la escala utilizada. Por lo tanto, definiendo la variable xij a la cantidad de recurso “i” usado por la unidad “j”, y como ykj a la cantidad resultado “k” que produce la misma unidad, se obtiene las siguientes ecuaciones: 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑗= ∑𝑢𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗 𝑚 𝑖=1 25 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑗= ∑𝑣𝑘𝑗𝑦𝑘𝑗 𝑝 𝑘=1 Ecuación 3. Entrada y salida virtual En la Ecuación 3. Entrada y salida virtual, “m” representa el número de entradas y “p” el de salidas para cada DMU analizada. Los términos que aparecen multiplicando a las variables uij y vkj son los pesos mencionados anteriormente, tanto para entradas como para salidas. Con estos conceptos recogidos en las anteriores ecuaciones podemos llegar a definir la productividad como: 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑗= ∑𝑣𝑘𝑗𝑦𝑘𝑗 𝑝 𝑘=1 ∑𝑢𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗 𝑚 𝑖=1 Ecuación 4. Productividad múltiple Cuando se procede al cálculo de la productividad de una determinada DMU, se obtienen unos resultados en los cuales no se ve reflejado el aprovechamiento de los recursos de los que se disponen y los resultados que se obtienen. Para ello cuando se calcula la productividad se compara con la de otras unidades semejantes, dando así un resultado de la productividad más útil. Al plantearse la opción de compararlo con las diferentes DMUs surge la ecuación de eficiencia relativa: 𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑗= 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑗 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜=𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑗𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑗 ⁄ 𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙𝑜𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙0 ⁄ Ecuación 5. Eficiencia relativa Donde el subíndice j indica la unidad objeto de estudio, y el subíndice o la unidad que se toma como valor de referencia para llevar a cabo el estudio. Aplicando lo visto anteriormente en la Ecuación 4. Productividad múltiple, quedará la ecuación de eficiencia de la siguiente manera: 𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑗= ∑𝑣𝑘𝑗𝑦𝑘𝑗 𝑝 𝑘=1 ∑𝑢𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗 𝑚 𝑖=1 ∑𝑣𝑘𝑗𝑜𝑦𝑘𝑗𝑜 𝑝 𝑘=1 ∑𝑢𝑖𝑗𝑜𝑥𝑖𝑗𝑜 𝑚 𝑖=1 Ecuación 6. Eficiencia desglosada Debido a esta ecuación podemos llegar a la conclusión que aquella unidad cuya eficiencia sea igual a la unidad se encontrará dentro del grupo de DMUs eficientes, mientras que aquellas cuya eficiencia sea inferior a la unidad serán ineficientes. Dependiendo de la unidad de referencia que tomemos se pueden distinguir distintos tipos de eficiencias:  Eficiencia global, cuando se toma como unidad de referencia, es decir, las variables con subíndice “o”, la mayor productividad entre todas las unidades posibles. Ésta debe ser siempre menor o igual a la unidad. 32 2.4.5 Modelo BBC-OUTPUT De igual manera que en el modelo anterior BBC-INPUT queda todo igualmente definido sólo que cambiando la orientación, siendo ésta de salida actualmente. Quedando definidas las ecuaciones matemáticas de la siguiente forma: MIN γ𝑗+𝜀[∑ℎ𝑘 ++ 𝑠 𝑘=1 ∑ℎ𝑖− 𝑚 𝑖=1 ] s.a ∑𝑥𝑖𝑗𝜆𝑗= 𝑛 𝑗=1 𝑥𝑖𝑗−ℎ𝑖− 𝑖=1,2,...,𝑚 ∑𝑦𝑘𝑗𝜆𝑗= 𝑛 𝑗=1 γ𝑗𝑦𝑘𝑗+ℎ𝑘 + 𝑘=1,2,...,𝑠 ∑𝜆𝑗=1 𝑛 𝑗=1 𝜆𝑗,ℎ𝑖−,ℎ𝑘 +≥0 γ𝑗 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 Ecuación 15. Modelo BBCOutput Gráficamente si suponemos una entrada y una salida, el modelo matemático queda definido de la siguiente forma: Ilustración 5. Representación gráfica BBCOutput La frontera eficiente en este modelo queda definida por las mismas DMUs que en el modelo anterior, b,d y f. La variación que sufre este modelo con respecto al anterior es que las unidades tienen a ser eficientes aumentando la salida y no disminuyendo la entrada. El peer group en este caso de la DMUa y la DMUc, son las DMUb y DMUd. 2.4.6 Modelo basado en holguras (SBM) El modelo basado en holguras o en inglés Slacks-Based model no radiales, dejan de lado el concepto de cambios 33 proporcionales en las entradas y salidas, tratando directamente con las holguras del modelo. Estos modelos están configurados para cumplir con una serie de condiciones. La primera condición es unidades invariables, es decir, las medidas que deben usarse en el modelo deben permanecer invariantes con respecto a las unidades de los datos del problema. La segunda condición que cumple es ser monótono, es decir, la medida que deben usarse en las unidades productivas debe ser constante y disminuir en cada holgura en la entrada y salida del modelo. De igual manera que se ha definido anteriormente, este modelo podemos verlo desde dos enfoques. Enfoque de entrada y de salida. Quedando definido cada modelo matemático en el primal para la entrada y salida por la siguiente notación: 𝑀𝐼𝑁 1 −1 𝑚∑𝑠𝑖− 𝑥𝑖𝑜 𝑚 𝑖=1 s.a ∑𝑥𝑖𝑗𝜆𝑗+ 𝑛 𝑗=1 𝑠𝑖−= 𝑥𝑖𝑜 𝑖=1,…,𝑚 ∑𝑦𝑟𝑗𝜆𝑗+ 𝑛 𝑗=1 𝑠𝑟+= 𝑦𝑖𝑜 𝑟=1,…,𝑠 𝜆𝑗,𝑠𝑟+,𝑠𝑖−≥0 Ecuación 16. Modelo SBMInput Se nota el resultado de la función objetivo como 𝜌1 ∗. Quedando definido para la salida de con la siguiente ecuación: 𝑀𝐴𝑋 1 + 1 𝑠∑𝑠𝑟+ 𝑦𝑟𝑜 𝑠 𝑟=1 s.a ∑𝑥𝑖𝑗𝜆𝑗+ 𝑛 𝑗=1 𝑠𝑖−= 𝑥𝑖𝑜 𝑖=1,…,𝑚 ∑𝑦𝑟𝑗𝜆𝑗+ 𝑛 𝑗=1 𝑠𝑟+= 𝑦𝑖𝑜 𝑟=1,…,𝑠 𝜆𝑗,𝑠𝑟+,𝑠𝑖−≥0 Ecuación 17. Modelo SMBOutput En este caso el resultado de la función objetivo es igual a la inversa de la eficiencia, es decir, el resultado es igual a 1 𝜌0 ∗. Tanto para entrada y salida una DMU es considerada eficiente si el valor de la 𝜌1 ∗ en el caso de entrada y 𝜌0 ∗ en el caso de salida igual a la unidad. 2.5 Tipos de salidas En DEA podemos encontrar varios tipos de variables pero en este apartado solo se hablará de las entradas y salidas no deseadas y las salidas negativas que son las que tienen un impacto directo en nuestro modelo. 34 2.5.1 Entradas y salidas no deseadas Las entradas y salidas no discrecionales son aquellas salidas que no permitimos que varíen en el modelo, es decir, ya porque no nos interesan que mejoren, porque nos afecta negativamente al modelo o porque son las que definen el tamaño de la variable. Estas variables tienen un trato diferente al resto y se puede optar por varias opciones a la hora de afrontarlas. La primera y la que se tomará posteriormente en el modelo es ignorarlas y no tenerlas en cuenta en la función objetivo. Una segunda opción sería tratarlas como variables normales e incluirlas en la función objetivo. 2.5.2 Salidas negativas Estas salidas deben ser tratadas de manera diferente al resto, hay varios métodos para poder usarlas sin ningún problema en nuestro modelo de los cuales se explicara el más significativo. Vamos a hacer la suposición que la variable puede tomar tanto valores negativos como positivos. Se procederá a crear una columna paralela, la cual será la que proporcione los datos que posteriormente serán utilizados en el modelo. Se tomará el mayor valor positivo que pueda alcanzar la variable y debemos restarle a este máximo el valor que tome la DMU en cada posición. La restricción matemática queda representada de la siguiente manera: 𝑃𝑟0 += 𝑚𝑎𝑥𝑗(𝑦𝑟𝑗)−𝑦𝑟0 𝑟=1,….,𝑠 Ecuación 18. Salida negativa De esta manera se obtiene una nueva lista de datos en la cual el que tenga valor cero es la de mayor valor y la que tome un valor mayor es aquélla que antiguamente era más negativa. 2.6 Aplicaciones del análisis por envoltura de datos En este apartado se puede observar las diferentes aplicaciones que han surgido a lo largo de los años desde la aparición de la metodología DEA. Ya sea para calcular la eficiencia relativa de las unidades productivas o para obtener una visión global de la comparativa entre las diferentes unidades productivas y ver cuál sería el camino a seguir. A continuación, se muestran distintas aplicaciones a lo largo del año en diferentes sectores, con esto se pretende dar al lector una visión ampliada de las distintas opciones que se disponen al usar la metodología en cuestión. 2.6.1 Sector educativo En el campo de la enseñanza se pueden encontrar entre otras muchas las siguientes aplicaciones:  Evaluación de la eficiencia del aprendizaje basado en la web en multinacionales: un estudio de caso sobre la industria financiera. Shieh y Yeh (2014)  Integración del proceso de jerarquía analítica y análisis de envolvimiento de datos para la evaluación y optimización de la productividad del personal en un gran banco industrial. Azadeh et al. (2009)  Estimación de la eficiencia bancaria en la República Checa: análisis dinámico por envoltura de datos. Řepková (2013) 35 2.6.2 Sector financiero En el campo financiero se pueden encontrar entre otras muchas las siguientes aplicaciones:  Análisis sobre la eficiencia de los bancos comerciales que cotizan en China basados en la DEA. Chen y Lui (2017).  Medición de la eficiencia de los bancos comerciales de China basados en el análisis por envoltura de datos. Ye (2012)  Eficiencia técnica en bancos saudíes. George et al. (2011) 2.6.3 Sector industrial privado En el campo industrial entre otras muchas se encuentran las siguientes aplicaciones:  Evaluación del efecto de nacionalización y privatización: un caso de la industria bancaria india. Babu y Ashok (2018)  Evaluación de las eficiencias de los bancos: un enfoque de análisis por envoltura de datos. Mishra et al. (2012)  Un estudio empírico para calcular la eficiencia de los bancos indios durante los períodos previos y posteriores a la recesión con la ayuda del análisis por envoltura de datos. Banerjee. (2018) 3.6.4 Sector público / sector servicios En el campo público entre otras muchas se encuentran las siguientes aplicaciones:  Servicios bancarios basados en TI: evaluación de la eficiencia operativa y de beneficios en las sucursales bancarias. Meepadung et al. (2009)  Un estudio de investigación del desempeño operacional y la calidad del servicio de los bancos del sector público de la India. George y Chattopadhyay (2012).  Evaluar el desempeño de las cajas de ahorros suecas según la eficiencia del servicio. Bergendahl y Lindblom (2008). 3.6.5 Sector deportivo En el campo deportivo entre otras muchas se encuentran las siguientes aplicaciones:  Midiendo el desempeño de los países en los Juegos Olímpicos de Verano en Río 2016). Flegl y Andrade (2018).  Midiendo la eficiencia de las universidades en Corea usando el enfoque dea y clustering. Choi y Ahn (2014).  Clasificación de sucursales bancarias utilizando DEA y modelos de regresión multivariante. Mavi et al.(2015). 36 37 3 SECTOR Y ÁREA DE INTERÉS 3.1 Introducción En estos apartados se quiere presentar los aspectos más característicos del baloncesto, desde sus comienzos, centrándolo en el sector económico. Esto servirá de base para el análisis de los datos en la hora de selección de los mismos. Con esta información se pretende abarcar todos los conceptos básicos de la temática del trabajo. La información que prosigue ha sido obtenida principalmente del siguiente sitio web: http://repositorio.upct.es/bitstream/handle//tfg-bou-mar.pdf 3.2 Introducción histórica del baloncesto y la NBA En 1891, James Naismith, el considerado el inventor del baloncesto, quería crear algún deporte para sus alumnos que pudieran entrenar durante la estación de invierno en interior. Todas las actividades existentes hasta la época eran monótonas y no resultaban atractivas para los jóvenes. James Naismith tenía claro que buscaba crear un deporte en el cual fuera necesaria la condición física, pero con la mínima violencia posible al tomar como referencia la agresividad de sus alumnos. A raíz de estos considero como norma principal que los jugadores no pudieran correr con el balón, tenía clara la idea del balón pero le faltaba un desarrollo mayor. Conforme con las declaraciones de James Naismith la idea del baloncesto le surgió del juego popular de su niñez “pato sobre una roca”, el cual consistía en derribar o golpear un objeto colocado sobre una roca lanzándole una piedra. Éste encargó unas cajas para practicar el juego pero solo consiguió unas cestas de melocotones, las cuales colgó a cierta altura, en concreto a 3.05 metros, en el interior del gimnasio. Dividió a sus alumnos en dos equipos de nueve jugadores cada uno. Este deporte llamó la atención de los mismos y a cada partido que jugaban asistían más interesados en la práctica del deporte. Al poco tiempo fue aprobado como juego y se publicaron las 13 reglas creadas por James extendiendo su práctica a lo largo de todo el país. Los comienzos de la NBA surgen en el año 1946 unos meses después de la terminación de la segunda guerra mundial, se buscaba una distracción para la población americana. Por aquella época sólo tenía como grandes deportes el hockey y el boxeo, pero ninguno de ellos conseguía una gran fama entre los aficionados. Surgió la idea que el baloncesto podría ser el deporte que capturaría a una mayor población, con esta idea se inicia el primer proyecto profesional, la asociación americana de baloncesto (BAA). En la cual sólo estaban incluidas 11 ciudades en un comienzo. Después de la inauguración de la BAA no se vieron los resultados esperados al tener los recursos requeridos pero no la perspicacia y talento deportivo para atraer al público. Por esta época ya habían muchas ligas consolidadas que contaban con talento como la liga nacional de baloncesto (NBL). Para mejorar la BAA los propietarios de la misma optan por alistar a los mejores jugadores universitarios. La primera temporada tomó un gran renombre, se dividió en tres etapas: temporada regular, playoffs y fase final. A raíz de este éxito muchos equipos fueron entrando en los sucesivos años a la liga. No fue hasta 1954 cuando se crea la regla referente a la posesión del balón por los equipos. Hasta entonces el deporte resultaba algo aburrido y monótono. Los equipos no conseguían pasar de los cien puntos. A partir de la implementación de la misma los resultados de los encuentros terminaban con muchos más puntos dándole un mayor 38 interés al juego. En 1956 los Boston Celtics ficharon de la universidad de San Francisco al jugador Bill Russel, jugador estrella gracias al cual empezó la etapa de los Celtics. Este equipo se volvió un ganador consiguiendo un total de 11 campeonatos en 13 años. 3.3 Importancia económica Los datos económicos que se mueven en la NBA aumentan año tras año, se tomarán como referencia los referentes a la temporada 2011-2012. Esta liga tiene un total de treinta equipos los cuales suman un valor total superior a los 11.700 millones de dólares y unos ingresos superiores a los 3.900 millones de dólares. En 2012 el valor e ingresos de los 19 equipos que actualmente tienen el mayor valor en mercado son los siguientes: Tabla 1. Valor de los equipos en 2012 Equipos Valor actual Ingresos 1 New York Knicks $780 Millones $244 Millones 2 Los Angeles Lakers $900 Millones $208 Millones 3 Golden State Warriors $450 Millones $139 Millones 4 Chicago Bulls $600 Millones $185 Millones 5 Boston Celtic $482 Millones $146 Millones 6 Brooklyn Nets $357 Millones $89 Millones 7 Houston Rockets $453 Millones $150 Millones 8 Los Angeles Clippers $324 Millones $108 Millones 9 Dallas Mavericks $497 Millones $166 Millones 10 Miami Heat $457 Millones $158 Millones 11 San Antonio Spurs $418 Millones $139 Millones 12 Sacramento Kings $300 Millones $104 Millones 13 Washington Wizards $328 Millones $109 Millones 14 Cleveland Cavaliers $329 Millones $149 Millones 15 Portland Trail Blazers $370 Millones $132 Millones 16 Phoenix Suns $395 Millones $136 Millones 17 Oklahoma City Thunder $348 Millones $126 Millones 18 Orlando Magic $385 Millones $136 Millones 19 Utah Jazz $335 Millones $120 Millones A lo largo de los años los equipos han ido aumentando el valor de los equipos y los ingresos obtenidos, en 2018 los 19 equipos con mayor valor vienen reflejados en la siguiente tabla: Tabla 2. Valor de los equipos en 2018 Equipos Valor actual Ingresos 1 New York Knicks $3600 Millones $426 Millones 2 Los Angeles Lakers $3300 Millones $371 Millones 3 Golden State Warriors $3100 Millones $359 Millones 4 Chicago Bulls $2600 Millones $359 Millones 5 Boston Celtic $2500 Millones $257 Millones 6 Brooklyn Nets $2300 Millones $273 Millones 39 7 Houston Rockets $2200 Millones $296 Millones 8 Los Angeles Clippers $2150 Millones $257 Millones 9 Dallas Mavericks $1900 Millones $233 Millones 10 Miami Heat $1700 Millones $253 Millones 11 San Antonio Spurs $1550 Millones $250 Millones 12 Sacramento Kings $1375 Millones $240 Millones 13 Washington Wizards $1350 Millones $222 Millones 14 Cleveland Cavaliers $1325 Millones $280 Millones 15 Portland Trail Blazers $1300 Millones $223 Millones 16 Phoenix Suns $1280 Millones $218 Millones 17 Oklahoma City Thunder $1250 Millones $222 Millones 18 Orlando Magic $1225 Millones $211 Millones 19 Utah Jazz $1200 Millones $221 Millones Como se puede apreciar sólo el valor de los 4 primeros equipos ya es superior al valor de la suma de todos los equipos en la temporada 2011-2012 . Estos ingresos son principalmente procedentes de cuatro fuentes:  Derechos televisivos: En la temporada 2016 se llegó a un acuerdo con Disney en un contrato que ronda los 24.000 millones, el cual durará hasta 2025. Este contrato ha supuesto una subida salarial en los jugadores de gran magnitud, se habla de manera genérica de un incremento en el tope salarial de unos 26 millones de dólares.  Mercado del equipo: Éste no supone un impacto tan notable como los derechos televisivos pero aún así, mueve grandes cantidades monetarias. Trata de los ingresos procedentes del mercado de cada equipo, estando limitado a la ciudad de procedencia y los seguidores a nivel global.  Ingresos por la gestión: Cuando se habla de la gestión económica, se hace referencia a la venta de entradas, publicidad, abonos, etc. Todos estos son ingresos referentes a la gestión del estadio.  Gestión de la marca: Consiste en buscar la máxima rentabilidad y valor para la marca. Uno de los limitantes que no permitían mover dinero hacia los jugadores era el límite salarial establecido en la temporada 1984. Este era de 3.6 millones de $, experimentando un crecimiento a lo largo de los años. A continuación se muestra una tabla con la evolución del tope salarial a lo largo de los años. Tabla 3. Tope salarial Temporada Tope Salarial 2011-2012 $58 Millones 2012-2013 $58 Millones 2013-2014 $58 Millones 2014-2015 $63 Millones 2015-2016 $70 Millones 2016-2017 $94 Millones 2017-2018 $99 Millones 2018-2019 $101 Millones 40 La fecha tope para establecer el tope salarial de cada temporada está establecida el 1 de julio de cada año. Este tope estuvo congelado durante muchos años hasta 2014 debido a la crisis económica global. Este límite está establecido por el Basketball Related Income (BRI). El limite salarial seguía una evolución lineal hasta el año 2016 donde se establecido el acuerdo con Disney ya mencionado anteriormente, el cual supuso un incremento de un 30%. A pesar de estos valores del tope salarial un equipo puede superar este límite ya que no es una limitación imperativa, para evitar que esto ocurra existe un impuesto llamado impuesto de lujo a los equipos que sobrepasen una cantidad variable cada año. En el caso del año 2017 el impuesto de lujo se estableció en 119.26 millones de $. En la temporada 2017-2018 se estableció un margen de maniobra de 5 millones de $ sobre el impuesto de lujo. Este impuesto esta invariable desde la temporada 2013-2014, el cual se establece de la siguiente manera:  Si un equipo supera con un gasto entre 0 y 5 millones de $ debe pagar 1,5$ por cada $ superado.  Si un equipo supera con un gasto entre 5 y 10 millones de $ debe pagar 1,75$ por cada $ superado.  Si un equipo supera con un gasto entre 10 y 15 millones de $ debe pagar 2,5$ por cada $ superado.  Si un equipo supera con un gasto entre 15 y 20 millones de $ debe pagar 3,25$ por cada $ superado.  De aquí en adelante por cada 5 millones de $ que se gasten ha de pagarse +0,5 $ por cada $ superado. Gracias a este impuesto se mantienen los equipos dentro de unos márgenes competitivos igualándose entre ellos lo más posible. 3.4 Marketing y tecnología El marketing representa un papel mucho más importante del que podemos establecer, gracias a él se ha podido difundir a lo largo de todo el mundo la NBA. La audiencia de la NBA tiene unos datos impresionantes, en el año 2017, 1 de cada 7 personas vio en algún momento un partido. De igual manera en redes sociales, la cual está siendo de los medios con más influencia en los jóvenes y personas de mediana edad es la liga con mayores seguidores, teniendo entre Facebook, Twitter, Instagram y otras muchas un total de 1,3 mil millones de followers. 41 Ilustración 6. Evolución de los espectadores En la ilustración se puede apreciar la evolución a lo largo de los espectadores de la NBA, cabe destacar que no ha sufrido unos incrementos exponenciales como muchos otros deportes. De manera contraria ésta se ha mantenido siempre constante gracias a los esfuerzos en convertirla en una liga internacional. Gracias a la inversión en tecnología se ha fomentado su crecimiento a nivel mundial, una gran implementación fue la NBA replay centre, lo cual está siendo implementado en la actualidad en el futbol con el nombre de BAR. Esta tecnología permitía procesar imágenes de una duración de 32 segundos aproximadamente y enviarlas a los árbitros de pista. En caso de jugadas dudosas podrían ser consultadas y juzgar de manera posterior, estas imágenes llegan desde un total de 15 perspectivas diferentes dando así un resultado totalmente justo salvo en escasas ocasiones. Entre otras innovaciones tecnológicas podemos encontrar la NBA InPlay, la cual consiste en un sistema donde los espectadores pueden seleccionar a un jugador durante un partido y obtener puntos según su rendimiento, repartiendo recompensas a aquellos que consigan un mayor número de puntos. Otra tecnología implementada es la NBA league pass, que permite ver cualquier partido en cualquier dispositivo pagando una cuota. 3.5 Estrategia de expansión global Esta estrategia se basa en dos puntos principales:  Presentación de jugadores con renombre internacional: La NBA apostó por introducir jugadores de otras ligas buscando captar una mayor audiencia, el mayor ejemplo se encuentra en la introducción del jugador chino Yao Mingo el cual ayudó a captar mucha atención del mercado asiático. Debido a esto los Rockets tuvieron un tercio de audiencia de la NBA por partido, no sólo por los espectadores. Los Houston Rockets sufrieron un aumento en el valor de mercado del equipo el cual le supuso un incremento de unos 350 millones de $. Paso de 85 millones de $ a 439 millones de $. Gracias a este evento muchos equipos fijaron sus miradas en otras ligas buscando imitar el ejemplo de los Rockets.  Retrasmisión a lo largo de todo el globo: Sobre la temporada 2005-2006, los partidos se emitieron en un total de 215 países y en 43 idiomas diferentes. No conformes con esto, la NBA llevó a cabo 48 Ecuación 19. Restricción para variables negativas Esta restricción aparece en el artículo de J A Sharp, W Meng & W Liu (2007). Esta restricción permite solventar el problema de valores negativos, quedando una nueva columna definida que tendrá un uso posterior en el modelo matemático. Forward  Variables de entrada:  Minutos por partido: es la única variable de entrada del sistema y como su nombre indica es el número de minutos que juega cada jugador de media por partido. La decisión de la variable de entrada ha sido complicada, esta variable permite dividir los distintos jugadores en distintos tamaños en el caso de estar con retorno de escala variable. Partimos de la base que esta variable no puede verse alterada ya que se realiza la suposición que los jugadores no están permitidos aumentar ni disminuir el número de minutos jugados.  Variables de salida:  Puntos por partido: son los puntos en promedio por partido que anota cada jugador. Es una variable con gran relevancia ya que en el juego el ganador se determina por el número de puntos anotados, siendo así la variable de salida más importante. Esta variable tiene permitido aumentar su valor manteniendo siempre los minutos jugados constantes.  Tiros de campo encestados: el número de tiros de campo anotados engloba tanto a los tiros de dos como los tiros de tres, esto ocurre cuando un jugador lanza la pelota a la canasta y anota. Esta variable ha sido seleccionada para darle un mayor peso a las anotaciones al no utilizar pesos en el modelo. De esta manera se valora más las anotaciones que cualquier otra estadística. Esta variable tiene permitido aumentar para aumentar la eficiencia del jugador.  Tiros libres encestados: los tiros libres no están contenido dentro de los tiros de campo ya que sólo se realizan cuando se comete una falta sobre el tirador, estos tienen una gran importancia en el juego. Son puntos sin ninguna defensa y los jugadores de la NBA son conocidos por su alto porcentaje de acierto en estos tipos de tiros. Esta variable tiene permitido aumentar su valor en el modelo.  Rebotes: se realiza un rebote cuando un jugador obtiene la pelota después de haber sido lanzada a canasta y no anotar. Notar la gran importancia que tiene los rebotes en un partido ya que permite al equipo atacante volver a formar la jugada y en el caso del equipo defensor evitar que el contrincante sume puntos. Al igual que las anteriores variables ésta tiene permitido aumentar su valor.  Asistencias: consiste en pasar el balón a un compañero y que anote en un breve periodo de tiempo. Esta variable tiene permitido aumentar su valor.  Faltas personales: una falta es cometida cuando se realiza un contacto ilegal con el rival, cada jugador puede acumular un máximo de cinco faltas por partidos. Se ha realizado la consideración que esta variable está directamente influenciada por el estilo de juego que tiene el jugador dando a entender que una reducción de la misma podría reducir los resultados obtenidos. Debido a esto esta variable no buscará reducirse a menos que sea totalmente necesario. 49  Plus minus: consiste en el impacto directo en el marcador que tiene el jugador cuando sale a la cancha, es decir, la diferencia en el marcador que se crea cuando está el jugador jugando. Se puede intuir que esta variable puede tomar valores negativos por lo que debemos tratarla como tal aplicándole un cambio para poder introducirla en la función objetivo. Esta variable al igual que el resto tiende a aumentar su valor. 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑗=max(𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑗)−𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑗 Ecuación 19. Restricción para variables negativas Esta restricción aparece en el artículo de J A Sharp, W Meng & W Liu (2007). Esta restricción permite solventar el problema de valores negativos, quedando una nueva columna definida que tendrá un uso posterior en el modelo matemático. Center  Variables de entrada:  Minutos por partido: es la única variable de entrada del sistema y como su nombre indica es el número de minutos que juega cada jugador de media por partido. La decisión de la variable de entrada ha sido complicada, esta variable permite dividir los distintos jugadores en distintos tamaños en el caso de estar con retorno de escala variable. Partimos de la base que esta variable no puede verse alterada ya que se realiza la suposición que los jugadores no están permitidos aumentar ni disminuir el número de minutos jugados.  Variables de salida:  Puntos por partido: son los puntos en promedio por partido que anota cada jugador. Es una variable con gran relevancia ya que en el juego el ganador se determina por el número de puntos anotados, siendo así la variable de salida más importante. Esta variable tiene permitido aumentar su valor manteniendo siempre los minutos jugados constantes.  Tiros de campo encestados: el número de tiros de campo anotados engloba tanto a los tiros de dos como los tiros de tres, esto ocurre cuando un jugador lanza la pelota a la canasta y anota. Esta variable ha sido seleccionada para darle un mayor peso a las anotaciones al no utilizar pesos en el modelo. De esta manera se valora más las anotaciones que cualquier otra estadística. Esta variable tiene permitido aumentar para aumentar la eficiencia del jugador.  Tiros libres encestados: los tiros libres no están contenido dentro de los tiros de campo ya que sólo se realizan cuando se comete una falta sobre el tirador, estos tienen una gran importancia en el juego. Son puntos sin ninguna defensa y los jugadores de la NBA son conocidos por su alto porcentaje de acierto en estos tipos de tiros. Esta variable tiene permitido aumentar su valor en el modelo.  Rebotes: se realiza un rebote cuando un jugador obtiene la pelota después de haber sido lanzada a canasta y no anotar. Notar la gran importancia que tiene los rebotes en un partido ya que permite al equipo atacante volver a formar la jugada y en el caso del equipo defensor evitar que el contrincante sume puntos. Al igual que las anteriores variables ésta tiene permitido aumentar su valor. 50  Bloqueos: consiste en evitar el tiro de un contrincante bloqueando el balón con las manos. Los jugadores que pertenecen a esta posición son reconocidos por su altura sobre todo los que ocupan la posición de debajo del aro, gracias a esto pueden realizar los bloqueos con más facilidad que el resto de jugadores. Esta variable tiene permitido aumentar su valor.  Faltas personales: una falta es cometida cuando se realiza un contacto ilegal con el rival, cada jugador puede acumular un máximo de cinco faltas por partidos. Se ha realizado la consideración que esta variable está directamente influenciada por el estilo de juego que tiene el jugador dando a entender que una reducción de la misma podría reducir los resultados obtenidos. Debido a esto esta variable no buscará reducirse a menos que sea totalmente necesario.  Plus minus: consiste en el impacto directo en el marcador que tiene el jugador cuando sale a la cancha, es decir, la diferencia en el marcador que se crea cuando está el jugador jugando. Se puede intuir que esta variable puede tomar valores negativos por lo que debemos tratarla como tal aplicándole un cambio para poder introducirla en la función objetivo. Esta variable al igual que el resto tiende a aumentar su valor. 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑗=max(𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑗)−𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑗 Ecuación 19. Restricción para variables negativas Esta restricción aparece en el artículo de J A Sharp, W Meng & W Liu (2007). Esta restricción permite solventar el problema de valores negativos, quedando una nueva columna definida que tendrá un uso posterior en el modelo matemático. 4.2.3 Modelo matemático Tras haber barajado las distintas opciones referentes a los modelos se ha llegado a la conclusión que el modelo SBM slack based model, se adapta de manera gratificante para los datos, éste nos proporciona unas holguras con las cuales pueden analizar los mismos y comparar los resultados de manera efectiva. Como se ha comentado anteriormente realizaremos seis simulaciones diferentes, todas ellas aplicando el modelo SBM donde tres de ellas se realizarán con retorno de escala variable y otras tres de ellas sin retorno de escala. Para la obtención de los datos se utiliza el programa Lingo el cual aportándole las variables necesarias, unas restricciones y la función objetivo, nos devuelve los resultados para saber qué jugador resulta más eficiente. Este programa tiene una serie de restricciones muy específicas a la hora de aportarle los datos directamente de un Excel, salvando este paso se realiza toda la resolución del modelo de manera directa. La programación realizada en Lingo viene reflejada en el anexo de programación, al final del documento, donde se puede ver todo lo que se refleja a continuación con un lenguaje matemático específico para el programa. Dependiendo del caso que estemos considerando el número de jugadores varía entre 50 y 100 jugadores. Siendo 50 en la posición de center y 100 en las posiciones de guard y forward. El modelo comienza con la definición de las distintas variables y sus correspondientes slack, todas aquellas variables que se han definido anteriormente con posibilidad de aumento tienen su correspondiente variable de slack que sigue la denotación de “slacknombrevariable”. Un ejemplo práctico es la variable “Asistencias” cuyo slack es “slackAsistencias”. Esta variable devuelve el valor el programa. También se define una variable lambda la cual nos devuelve una matriz de rango jugador por jugador. En la diagonal esta variable toma valor de unidad cuando el jugador es eficiente, en caso contrario el jugador se 51 proyectará en el resto, teniendo un cierto porcentaje de proyección sobre otros jugadores. Cuando un jugador se proyecta sobre otro toma valor cero en su diagonal y los datos en su fila deben sumar el valor de unidad. Multiplicando los porcentajes con los que se reflejan en los otros jugadores por sus estadísticas y sumando todos los resultados se obtienen los datos que debería tomar el jugador para ser eficaz.  Actores y restricciones Tabla 7. Actores del modelo y variables Jugadores Minutos slackMinutos Puntos slackPuntos TirosCampo slackTirosCampo TirosTriples slackTirosTriples TirosLibres slackTirosLibres Asistencias slackAsistencias Corte slackCorte Robos slackRobos Faltas slackRebotes Plusminus slackPlusminus Rebotes RangoPlusminus Bloqueos slackBloqueos Jugadores x Jugadores Lambda En este modelo existen dos tipos de actores, las pertenecientes al primer bloque en la ilustración anterior son de tamaño vector de dimensión jugadores mientras que el segundo bloque son variables de tamaño matriz y tiene tamaño jugador por jugador. Según qué posición se esté modelando se utilizarán las variables mencionadas en el apartado 4.2.2. De igual manera ocurre para la función objetivo, según qué caso se desee modelar, ésta variará sus componentes.  Función Objetivo Guard 1 𝜌0 ∗=max[1+1 8 𝑥(𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠𝑗 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜𝑗 𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠𝑗 𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝑇𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑠𝑗 𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝑇𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑠0 +𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝐴𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠𝑗 𝐴𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒𝑗 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑗 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑅𝑜𝑏𝑜𝑠𝑗 𝑅𝑜𝑏𝑜𝑠0)] Ecuación 20. FO guard Forward 1 𝜌0 ∗=max[1+1 6 𝑥(𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠𝑗 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜𝑗 𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠𝑗 𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝐴𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠𝑗 𝐴𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠0 +𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑗 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒𝑠𝑗 𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒𝑠0)] 52 Ecuación 21. FO forward Center 1 𝜌0 ∗=max[1+1 6 𝑥(𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠𝑗 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜𝑗 𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠𝑗 𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑜𝑠𝑗 𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑜𝑠0 +𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑗 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠0+𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒𝑠𝑗 𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒𝑠0)] Ecuación 22. FO center En cada modelo, como se ha comentado anteriormente, varía la función objetivo según las variables que se están evaluando. Destacar que estas ecuaciones devuelven el inverso del valor que se desea buscar, debido a esto en la hoja de resultados debemos invertirla. Estas funciones objetivos proporcionan el valor de un único jugador, siendo así, se realizará para todos los jugadores y posteriormente se maximizará la suma de los mismos. max( ∑1 𝜌𝑗∗) 𝑛 𝑗=1 Ecuación 23. FO global Donde n es el número de jugadores en cada caso. Dentro de la función objetivo existen una serie de restricciones que se comentan a continuación, evitando una función objetivo larga y engorrosa. Solo se tendrá en cuenta en las distintas funciones objetivos los siguientes dividendos cuando se cumpla la condición asignada. 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑗 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠0 𝑠𝑖 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑗>0 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝑇𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑠𝑗 𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝑇𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑠0 𝑠𝑖 𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝑇𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑠𝑗>0 Ecuación 24. Restricciones dentro de la FO Estas condiciones aparecen por motivos especiales, en la primera al poder la variable Plusminus tomar valores tanto negativos como positivos se ha tenido que realizar la conversión mencionada anteriormente en el apartado 4.2.2 en la definición de la variable Plus minus. Se puede apreciar que en el caso en el que el jugador tenga el máximo valor de la columna el resultado tomará valor cero. Siendo así, se estaría dividiendo en la función objetivo entre cero dando un error en el cálculo. Debido a esto aparece la restricción que sólo permite introducir este dividendo en el caso de RangoPlusminus >0. En la segunda restricción recordar lo mencionado anteriormente, la variable TirosTriples hace referencia al número aciertos en tiros triples, tras varias simulaciones obteniendo errores se detectó un dato que daba un error en la función objetivo debido a que un jugador no ha anotado ningún tiro de tres puntos en toda la temporada. Esto hacía que en la función objetivo hubiera un dividendo dividido entre cero. Debido a esto se ha creado una restricción para solventar este error. Por último queda definir las restricciones del modelo, muchas de ellas se repiten entre los diferentes casos y varían 53 un par de ellas, estas restricciones permiten acotar las soluciones del problema.  Restricciones Genéricas Estas restricciones aparecen en todos los modelos. 𝑀𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠𝑜≥∑𝑀𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠𝑜=∑𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 − 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜𝑜=∑𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 − 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠𝑜=∑𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 − 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝐿𝑖𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑜=∑𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 − 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑃𝑙𝑢𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑠 𝐹𝑎𝑙𝑡𝑎𝑠𝑜≤∑𝐹𝑎𝑙𝑡𝑎𝑠𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 Ecuación 25. Restricciones genéricas A continuación se definen las restricciones extra de cada caso agregándolas a las vistas anteriormente. Guard 𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝑇𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑠𝑜=∑𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝑇𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑠𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 − 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑇𝑖𝑟𝑜𝑠𝑇𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒𝑠 𝐴𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠𝑜=∑𝐴𝑠𝑖𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 − 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝐴𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑅𝑜𝑏𝑜𝑠𝑜=∑Robos𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 − 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑅𝑜𝑏𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒𝑜=∑𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 − 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝐶𝑜𝑟𝑡𝑒 Ecuación 26. Restricciones guard 54 Forward 𝐴𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠𝑜=∑𝐴𝑠𝑖𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 − 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝐴𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒𝑠𝑜=∑𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒𝑠𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 − 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒𝑠 Ecuación 27. Restricciones forward Center 𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒𝑠𝑜=∑𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒𝑠𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 − 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝑅𝑒𝑏𝑜𝑡𝑒𝑠 𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑜𝑠𝑜=∑𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑜𝑠𝑗𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 − 𝑠𝑙𝑎𝑐𝑘𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑜𝑠 Ecuación 28. Restricciones center Por último la restricción que nos permite introducir el retorno de escala variable. Esto permite al programa dividir a los jugadores en distintos tamaños según los minutos jugados por partidos pudiendo dar jugadores eficientes sin tener los mejores resultados de todos. ∑ 𝜆𝑗 𝑛 𝑗=1 =1 Ecuación 29. Restricción VRS 55 5 ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 5.1 Introducción En este apartado se reflejan los resultados obtenidos en las simulaciones y un análisis en profundidad de los mismos. Con esto se pretende explicar el motivo de los resultados y las posibles mejoras que deberían realizar los jugadores. 5.2 Resultados Para obtener los resultados primero se ha realizado una tabla de datos, el conjunto de tablas es demasiado grande para mostrarlo en este apartado por lo que se ilustrará una de ejemplo y el resto estarán reflejadas en el final del documento en el anexo de tablas. Tabla 8. Datos posición center Esta tabla pertenece a los datos de la posición de center, al ser un total de 50 DMUs es menos extensa que el resto y más fácil de representar. A partir de esta tabla se han obtenido un conjunto de holguras para cada variable de las DMUs no eficientes, siendo esta holgura la variación que debería sufrir esa variable para ser eficiente. 56 El software también devuelve una tabla donde aparecen las lambda, variable vista previamente. Esta variable tomará el valor de la unidad en su diagonal, en el caso de una DMU eficiente. En caso contrario, cero y la fila para esa DMU no eficiente, tendrá una suma de la unidad distribuida a lo largo de otros jugadores eficientes. En los siguientes apartados se explicará con más detalle los valores que toman las variables lambda y el porqué de los mismos. 5.2.1 Holguras A continuación se analizaran las holguras obtenidas para las distintas posiciones, de igual manera que en el apartado anterior, hay muchas tablas para analizarlas al detalle. Debido a esto se procede a mostrar una tabla ejemplo para comprender el formato en el cual se presentan los datos y posteriormente un análisis algo más genérico pero entrando en ciertos detalles importantes. En el apartado anterior están reflejados los datos para la posición de center, en la tabla que procede se reflejan los resultados para las holguras para la posición de center y con retorno de escala. El resto de tablas con las holgura están reflejadas en el anexo de tablas. Tabla 9. Holguras posición center En la tabla mostrada se pueden apreciar como las variables, minutos/partido y faltas personales toman valor cero para las holguras. Esto se debe a lo mencionado previamente en la definición de las variables, en el caso de los minutos es el tamaño de las DMUs y no se le permite variar. En el caso de las faltas no se busca mejora ya que podría afectar al estilo de juego de los jugadores. Otro detalle que comentar es en las dos últimas columnas, como se mencionó las restricciones, nos devuelve la inversa de la función objetivo tendiéndose que invertir para obtener valores entre cero y uno. En el resto de variables cuando una holgura toma valor cero significa que está en su valor eficiente no teniendo que aumentar. En el caso de tener un valor superior a cero implica que el jugador debería aumentar esa variable esa 57 cantidad para ser eficiente en esa variable. Por último en las dos últimas filas está el valor medio de las holguras de cada variable, con esto se puede apreciar la variable donde hay una mayor diferencia entre los jugadores y un contador del número de jugadores que tienen una holgura en la variable, esto nos ayuda a saber dónde se concentran el número de jugadores no eficientes y que estadística mejorar de manera global. Antes de analizar y observar los resultados se espera que el número de jugadores eficientes descienda de un modelo a otro. De igual manera los valores deben seguir una orientación inversa, deberían aumentar al pasar de VRS al modelo sin VRS. En todo momento se realizara un análisis de las holguras y el valor de la función objetivo para cada posición comprando el modelo con retorno de escala y el modelo sin retorno de escala. Guard A continuación se muestra una tabla resumen de los datos medios de las holguras para la posición de guard para los dos modelos obtenidos. Tabla 10.Resumen holguras guard Se puede apreciar a simple vista que los valores globales para el modelo sin retorno de escala son mayores, esto se debe a la aparición de menos jugadores eficientes. Otro enfoque que podemos aplicar para explicar los resultados es el siguiente, como consecuencia de haber menos jugadores eficientes, hay menos jugadores que toman cero como valor en sus holguras. De este modo hay más jugadores en un valor medio, siendo así se reduce la diferencia entre los jugadores con holguras muy altas y aquellos que son eficientes, como consecuencia directa se reduce este valor.  En el primero modelo, con restricción VRS, se puede observar que las variables con valores más altos, aquellas que sufren una mayor variación entre el mínimo y el máximo, son los puntos y el plus minus. Con estos datos podemos concluir, que en distintos tamaños hay muchos jugadores con unas puntuaciones altas en estas categorías destacando incluso en tamaños pequeños. En cambio si se mira el número de jugadores con holgura en cada variable, se puede apreciar como todos los jugadores no eficientes deben mejorar en sus puntos anotados y en los tiros libres. Como estadística menos representativa pueden ser considerados los robos que a pesar de tener un número algo superior de jugadores con holguras, es sin duda la que tiene unos valores medios muy inferiores al resto de estadísticas teniendo sólo 0.2 de holgura.  Para el segundo modelo, sin restricción VRS, hay un cambio significativo con respecto al caso anterior, tanto los puntos, tiros de campo, tiros libres, asistencias, corte de jugada y plus minus tienen casi el 100 por cien de los jugadores no eficientes, siendo estos un total de 83 jugadores no eficientes. De todas estas estadísticas donde todos los jugadores deben mejorar para llegar a ser eficientes, la más significativa es la referida a los puntos por partidos, duplicando el valor medio de la holgura de la segunda variable más alta. En media los jugadores deben aumentar sus puntos anotados en 8.5 unidades, esto se debe a las altas puntuaciones de jugadores estrellas, aumentando de manera significativa la holgura respecto al caso con VRS. 64 James Harden (Guard) Tabla 19. James Harden En la posición de guard encontramos al jugador James Harden, el cual tiene un total de 80 jugadores proyectándose sobre él. Al destacar sus estadísticas se puede apreciar que no es el jugador con el mayor tamaño, de hecho, es el octavo y a pesar de esto tiene el mayor número de puntos. Partimos de la base que sus estadísticas en media ocupan un lugar muy alto en la tabla, si se escalasen al jugador de mayor tamaño posiblemente se obtendrían valores muy superiores en cada salida. LeBron James (Forward) Tabla 20. LeBron James Para la posición de forward encontramos a LeBron James, el cual también tuvo su aparición para la posición de guard. En este caso se puede apreciar que tiene el mayor tamaño de todos, debido a esto se encuentra en posiciones mayores en cada salida que James Harden. LeBron tiene 84 jugadores proyectándose sobre él, se puede comprobar que todas sus estadísticas están al más alto nivel. La salida plus minus como se ha mencionado algunas veces a lo largo del documento, puede que la intervención del jugador no tenga un impacto directo sobre la misma pero de manera genérica sí lo tiene. Con esto no se pretende desprestigiar a esta estadística, simplemente para líneas futuras se le debería dar un menor peso. Anthony Davis (Center) Tabla 21. Anthony Davis Para la posición de center encontramos a Anthony Davis, el cual aparece también para la posición de forward, considerando que no es el mejor jugador para la posición de forward, se puede apreciar que la primera posición para todas las estadísticas están disputadas entre éste y LeBron James. Puede llegarse a la pregunta de: ¿Por qué no hay entonces dos jugadores eficientes con un alto número de proyecciones en la posición de forward? Esto se debe a que hay un jugador con unas estadísticas muy ligeramente superiores, haciendo que todos se enfoquen sobre éste y haciendo sombra al otro jugador. Anthony Davis tiene 34 jugadores proyectándose sobre él, es difícil mejorar sus estadísticas ya que ostenta casi la mejor posición para todo, esto también se puede deber a ocupar el mayor tamaño de la tabla. Habría que escalar el resto de jugadores y comprobar si alguno se pudiera acercar a sus estadísticas. 65 Una conclusión a la que podríamos llegar y estaríamos en error es, que el mejor jugador es aquel con mayor tamaño, la explicación detrás de esto es la siguiente, aquellos jugadores con mayor tamaño, es decir, mayor número de minutos, juegan más debido a su alto rendimiento teniendo las oportunidades que muchos otros soñarían. También se puede ver cómo no son los mejores en cada campo y aun así son eficientes, pudiendo contradecir la lógica implantada en nuestras mentes desde pequeños. Destacar algo que se ha mencionado de manera muy escasa en el documento, la interacción entre las diferentes posiciones, es decir, las estadísticas de estos jugadores son elevadas también gracias a los otros jugadores que tienen alrededor. 66 67 6 CONCLUSIONES Recapitulando, en este documento se ha realizado un análisis de los jugadores pertenecientes a la NBA (National Basketaball Asociation). Se ha tomado un tamaño de muestra de cien jugadores para las posiciones de guard y forward, y cincuenta jugadores para la posición de center. En el documento se ha empezado fijando unos objetivos y el alcance del proyecto, seguido por una explicación de la metodología que será usada a lo largo del proyecto. Se realiza también una introducción a la economía que rodea a la NBA para valorar la importancia de los jugadores y su liga. Se ha continuado con la explicación del modelo, sus variables, restricciones y la función objetivo. Donde se agrega una explicación a las distintas posiciones de los jugadores en el campo, esto será muy relevante a la hora de los resultados. Por último, se ha realizado el análisis de los resultados obtenidos por el modelo, cumpliendo los objetivos establecidos inicialmente, realizar un top tres para cada posición y analizando detalladamente aquellos jugadores estrella. Para la posición de guard hay un 30 % de jugadores eficientes para el caso con retorno de escala variable y un 17 % para el caso sin retorno de escala variable. Para la posición de forward hay un total de 20 % de jugadores eficientes en el modelo con retorno de escala variable y un 12 % para el caso sin retorno de escala variable. Por último, en la posición de center hay un 44 % de jugadores eficientes para el caso con retorno de escala variable y un 26 % para la situación sin retorno de escala variable. Se puede deducir lo que se expuso como idea en el inicio de los resultados, los jugadores eficientes disminuyen cuando pasan de compararse con aquellos de su tamaño a aquéllos que tienen los mejores resultados para su posición. Este documento surge por un interés personal en la mejor liga de baloncesto del mundo. Resultando interesante aplicar este método a los jugadores en las ligas universitarias para captar a los mejores. Sin embargo, este documento no proporciona unos datos realistas al cien por cien ya que se han tenido que omitir variables, limitando la dimensión del modelo. En cualquier caso, es posible que este proyecto sufra una ampliación, para ella se propone los siguientes puntos:  Aumentar el número de variables de entrada y salida  Aplicar el modelo a todos los jugadores existentes por cada posición  Incluir pesos a las variables, aumentando la importancia de ciertas variables  Realizar un estudio a largo plazo, es decir, evolución temporal de los jugadores a través de ciertos años  Aplicar este modelo a otras ligas buscando el mismo propósito.  Utilizar otros modelos y comparar los resultados obtenidos como medida de seguridad 68 69 REFERENCIAS Azadeh, A., Ghaderi, S. F., Mirjalili, M., & Moghaddam, M. (2011). Integration of analytic hierarchy process and data envelopment analysis for assessment and optimization of personnel productivity in a large industrial bank. Expert Systems with Applications, 38(5), 5212-5225. doi:10.1016/j.eswa.2010.10.038 Babu, M. R., & Ashok Kumar, M. (2018). Evaluating the nationalization & privatization effect: A case of indian banking industry. Banks and Bank Systems, 13(1), 11-21. doi:10.21511/bbs.13(1).2018.02 Banerjee, A. (2018). An empirical study to compute the efficiency of indian banks during the pre and post periods of recession with the help of data envelopment analysis. Indian Journal of Finance, 12(4), 37-53. doi:10.17010/ijf/2018/v12i4/122794 Bergendahl, G., & Lindblom, T. (2008). Evaluating the performance of swedish savings banks according to service efficiency. European Journal of Operational Research, 185(3), 1663-1673. doi:10.1016/j.ejor.2006.08.027 Charnes A, Cooper WW, Rhodes E. (1978) Measuring the efficiency of decision making units, European Journal of Operational Research 2, 429–444 Charnes, A., Cooper, W. W., & Rhodes, E. (1979). Measuring the efficiency of decision-making units. European Journal of Operational Research, 3(4), 339. doi:10.1016/0377-2217(79)90229-7 Chen, M., & Liu, S. (2017). Analysis on the efficiency of chinese listed commercial banks based on DEA. Paper presented at the 14th International Conference on Services Systems and Services Management, ICSSSM 2017 - Proceedings, doi:10.1109/ICSSSM.2017.7996214 Choi, K. H., & Ahn, J. Y. (2014). Measuring the efficiency of universities in korea using dea and clustering approach. ICIC Express Letters, Part B: Applications, 5(6), 1673-1679 Flegl, M., & Andrade, L. A. (2018). Measuring countries’ performance at the summer olympic games in rio 2016. OPSEARCH, 55(3-4), 823-846. doi:10.1007/s12597-018-0347-8 George Assaf, A., Barros, C. P., & Matousek, R. (2011). Technical efficiency in saudi banks. Expert Systems with Applications, 38(5), 5781-5786. doi:10.1016/j.eswa.2010.10.054 George, S. A., & Chattopadhyay, N. (2012). An investigative study of operational performance and service quality of indian public sector banks. International Journal of Business Performance Management, 13(3-4), 408-425. doi:10.1504/IJBPM.2012.047303 J A Sharp, W Meng & W Liu (2007) A modified slacks-based measure modelfor data envelopment analysis with ‘natural’ negative outputs and inputs, Journal of the OperationalResearch Society, 58:12, 1672-1677, Mavi, R. K., Saen, R. F., Mavi, N. K., Taleshi, S. S., & Majd, Z. R. (2015). Ranking bank branches using DEA and multivariate regression models. International Journal of Operational Research, 24(3), 245-261. doi:10.1504/IJOR.2015.072230 Meepadung, N., Tang, J. C. S., & Khang, D. B. (2009). IT-based banking services: Evaluating operating and profit efficiency at bank branches. Journal of High Technology Management Research, 20(2), 145-152. doi:10.1016/j.hitech.2009.09.003 Mishra, R. K., Nayak, M. R., & Saraf, R. K. (2012). Assessing efficiencies of banks: A data envelopment analysis approach. Singapore Management Review, 34(1), 52-60 70 Řepková, I. (2013). Estimation of banking efficiency in the czech republic: Dynamic data envelopment analysis. Danube, 2013(4), 261-275. doi:10.2478/danb-2013-0014 Shieh, C. -., & Yeh, S. -. (2014). Efficiency evaluation of web-based learning on multinational: A case study on financial industry. Anthropologist, 17(1), 75-79. doi:10.1080/09720073.2014.11891416 Villa, G. (2003) Análisis por Envoltura de Datos (DEA): Nuevos modelos y aplicaciones (Tesis doctoral); Universidad de Sevilla; Sevilla, 559 pp. Ye, Q. (2012). Measuring efficiency of chinese commercial listed banks based on data envelopment analysis. Advances in Information Sciences and Service Sciences, 4(16), 204-213. doi:10.4156/AISS.vol4.issue16.24 71 ANEXO DE TABLAS  GUARD DATOS Tabla 22. Datos guard Jugadores Minutos/Partido Puntos/Partido Tiros de campo encestados Tiros triples encestados Tiros libres encestados Asistencias Corte de jugada Robos Faltas personales Plus minus Dennis Schroder 31 19.4 7.5 1.1 3.4 6.2 2.7 1.1 2.2 -4.1 Kent Bazemore 27.5 12.9 4.4 1.7 2.5 3.5 2.4 1.5 2.3 -2.5 D'Angelo Russell 25.7 15.5 5.8 1.9 2 5.2 3.1 0.8 1.9 -3.8 Allen Crabbe 29.3 13.2 4.5 2.7 1.5 1.6 1 0.6 2.2 -1 Spencer Dinwiddie 28.8 12.6 4.1 1.8 2.7 6.6 1.6 0.9 2.3 -1.2 Caris LeVert 26.2 12.1 4.5 1.2 1.9 4.2 2.2 1.2 2.2 -3.7 Joe Harris 25.3 10.8 3.9 1.9 1.1 1.6 1.2 0.4 2 -1.5 Kyrie Irving 32.2 24.4 8.9 2.8 3.9 5.1 2.3 1.1 2 4.3 Jaylen Brown 30.7 14.5 5.3 1.7 2.1 1.6 1.8 1 2.6 4.9 Terry Rozier 25.9 11.3 4 1.9 1.4 2.9 1 1 1.5 1.5 Marcus Smart 29.9 10.2 3.5 1.4 1.8 4.8 2.4 1.3 2.5 3.9 Kemba Walker 34.2 22.1 7.4 2.9 4.5 5.6 2.2 1.1 1.2 2.6 Jeremy Lamb 24.6 12.9 4.8 1.2 2.2 2.3 1.2 0.8 1.7 1 Nicolas Batum 31 11.6 4.2 1.4 1.7 5.5 2 1 1.1 0.1 Kris Dunn 29.3 13.4 5.5 0.8 1.6 6 2.9 2 3.3 -5.3 Justin Holiday 31.5 12.2 4 2.2 1.9 2.1 1.3 1.1 1.9 -2.5 Jerian Grant 22.8 8.4 2.8 0.8 1.9 4.6 1.2 0.9 1.8 -3.4 LeBron James 36.9 27.5 10.5 1.8 4.7 9.1 4.2 1.4 1.7 1.3 Rodney Hood 26.9 14.7 5.4 2.1 1.9 1.6 1.2 0.8 1.8 -1.2 Jordan Clarkson 23.3 13.9 5.3 1.4 1.9 2.7 1.6 0.7 1.3 -0.5 George Hill 27 10 3.5 1.3 1.6 2.8 1.3 0.9 1.9 -1.8 Kyle Korver 21.6 9.2 3 2.2 0.9 1.2 0.8 0.4 1.8 3.8 JR Smith 28.1 8.3 3 1.8 0.5 1.8 1 0.9 2 -1.5 Dennis Smith Jr. 29.7 15.2 5.9 1.5 1.9 5.2 2.8 1 2.2 -4.7 Wesley Matthews 33.8 12.7 4.5 2.4 1.3 2.7 1.3 1.2 2.2 -5.1 J.J. Barea 23.2 11.6 4.4 1.7 1.2 6.3 2.1 0.5 1.2 0.3 Yogi Ferrell 27.8 10.2 3.8 1.6 1 2.5 1 0.8 1.9 0 Gary Harris 34.4 17.5 6.6 2.3 2 2.9 1.8 1.8 1.8 2.6 Jamal Murray 31.7 16.7 5.9 2 2.8 3.4 2.1 1 2.1 2.8 Will Barton 33.1 15.7 5.7 1.9 2.2 4.1 1.8 1 2.1 1.5 Devin Harris 18.9 8.4 2.6 1.1 2 2.1 1.1 0.7 2.2 1.5 Reggie Jackson 26.7 14.6 5.5 1.2 2.5 5.3 2.2 0.6 1.9 0.3 Reggie Bullock 27.9 11.3 4.3 2 0.6 1.5 0.8 0.8 1.1 0.4 Ish Smith 24.9 10.9 4.7 0.4 1 4.4 1.3 0.8 1.7 0.5 Stephen Curry 32 26.4 8.4 4.2 5.5 6.1 3 1.6 2.2 9.5 Klay Thompson 34.3 20 7.9 3.1 1.1 2.5 1.8 0.8 1.6 5.4 72 James Harden 35.4 30.4 9 3.7 8.7 8.8 4.4 1.8 2.3 7.3 Chris Paul 31.8 18.6 6.3 2.5 3.5 7.9 2.2 1.7 2.4 8.6 Eric Gordon 31.2 18 6 3.2 2.8 2.2 1.9 0.6 1.7 8.5 Gerald Green 22.7 12.1 4.1 2.7 1.2 0.6 0.8 0.6 2.1 2.3 Trevor Ariza 33.9 11.7 4 2.5 1.1 1.6 0.8 1.5 2 5.6 Victor Oladipo 34 23.1 8.5 2.1 3.9 4.3 2.9 2.4 2.3 4.5 Bojan Bogdanovic 30.8 14.3 5.1 1.9 2.2 1.5 1.3 0.7 1.6 1.1 Darren Collison 29.3 12.4 4.6 1.4 1.8 5.3 1.2 1.3 1.8 1.9 Lance Stephenson 22.6 9.2 3.7 0.8 1 2.9 1.6 0.6 2.2 -1.3 Lou Williams 32.8 22.6 7.4 2.4 5.5 5.3 3 1.1 1.3 1.5 Austin Rivers 33.7 15.1 5.6 2.2 1.7 4 1.8 1.2 2.5 -1 Avery Bradley 31.2 14.3 5.6 1.6 1.4 2 2.2 1.1 2 -2.7 Milos Teodosic 25.2 9.5 3.4 2 0.9 4.6 2.2 0.5 2.3 1.9 Brandon Ingram 33.5 16.1 6.1 0.7 3.3 3.9 2.5 0.8 2.8 -2.2 Kentavious Caldwell-Pope 33.2 13.4 4.6 2.1 2.1 2.2 1.3 1.4 2 -0.7 Lonzo Ball 34.2 10.2 3.9 1.7 0.6 7.2 2.6 1.7 2.3 -0.4 Tyreke Evans 30.9 19.4 7 2.2 3.2 5.2 2.3 1.1 1.8 0.5 Dillon Brooks 28.7 11 4.1 1.1 1.5 1.6 1.5 0.9 2.8 -3 Andrew Harrison 23.7 9.5 3.2 0.8 2.2 3.2 1.4 0.7 2.5 -3.6 Goran Dragic 31.7 17.3 6.5 1.5 2.9 4.8 2.2 0.8 2.4 0.3 Tyler Johnson 28.5 11.7 4.3 1.7 1.5 2.3 1.1 0.8 2.1 0.6 Dwyane Wade 22.9 11.4 4.5 0.5 2 3.4 2.1 0.9 1.9 0.4 Wayne Ellington 26.5 11.2 3.7 2.9 0.9 1 0.7 0.7 1.2 1.6 Eric Bledsoe 31.4 17.7 6.3 1.7 3.4 5 2.9 2 2.5 1.6 Malcolm Brogdon 29.9 13 5.1 1.3 1.6 3.2 1.4 0.9 2.7 -1.3 Jimmy Butler 36.7 22.2 7.4 1.2 6.2 4.9 1.8 2 1.3 6.3 Jeff Teague 33 14.2 5.1 1.2 2.9 7 2.5 1.5 2.4 2 Jamal Crawford 20.7 10.3 3.9 1.3 1.3 2.3 1.2 0.5 1.1 -1.9 Jrue Holiday 36.1 19 7.6 1.5 2.3 6 2.6 1.5 2.5 3.9 E'Twaun Moore 31.5 12.5 5.2 1.6 0.6 2.3 1.2 1 2.2 1.8 Rajon Rondo 26.2 8.3 3.6 0.8 0.4 8.2 2.3 1.1 1.8 0.3 Tim Hardaway Jr. 33.1 17.5 6.3 2.3 2.6 2.7 1.6 1.1 2.2 -1.3 Courtney Lee 30.4 12 4.5 1.5 1.5 2.4 1.1 1.1 1.4 -3.4 Emmanuel Mudiay 19.4 8.6 3.2 0.7 1.5 3.2 1.8 0.6 1.3 -4.2 Russell Westbrook 36.4 25.4 9.5 1.2 5.2 10.3 4.8 1.8 2.5 4.8 Evan Fournier 32.2 17.8 6.5 2.2 2.6 2.9 1.7 0.8 2.4 -2.1 D.J. Augustin 23.5 10.2 3.3 1.5 2.2 3.8 1.6 0.7 1.3 -1.7 Mario Hezonja 22.1 9.6 3.6 1.2 1.1 1.4 1.1 1.1 1.8 -2.7 JJ Redick 30.2 17.1 5.8 2.8 2.8 3 1.5 0.5 1.8 4.4 Ben Simmons 33.7 15.8 6.7 0 2.4 8.2 3.4 1.7 2.6 4.8 Marco Belinelli 24.3 12.1 4.2 1.9 1.9 1.9 1.2 0.8 1.1 -0.4 Devin Booker 34.5 24.9 8.4 2.7 5.4 4.7 3.6 0.9 3.1 -6.6 Josh Jackson 25.4 13.1 5.1 0.7 2.3 1.5 1.9 1 2.8 -6.9 Elfrid Payton 28.7 12.7 5.2 0.5 1.7 6.2 2.7 1.3 2.3 -7.3 Troy Daniels 20.5 8.9 2.9 2.3 0.7 0.6 0.7 0.3 1.7 -5.2 Damian Lillard 36.6 26.9 8.5 3.1 6.8 6.6 2.8 1.1 1.6 4.7 73 CJ McCollum 36.1 21.4 8.2 2.3 2.6 3.4 1.9 1 2.1 1.5 Shabazz Napier 20.7 8.7 3 1.1 1.6 2 1.2 1.1 1.1 1.1 Evan Turner 25.7 8.2 3.3 0.5 1.2 2.2 1.3 0.6 2.1 -0.6 Buddy Hield 25.3 13.5 5.2 2.2 0.9 1.9 1.6 1.1 1.9 -1.9 Bogdan Bogdanovic 27.9 11.8 4.4 1.7 1.3 3.3 1.6 0.9 2.2 -4.6 De'Aaron Fox 27.7 11.6 4.5 0.6 1.9 4.4 2.4 1 2.2 -5.7 Garrett Temple 24.8 8.4 3.1 1.4 0.9 1.9 1.2 0.9 2.1 -4 Patty Mills 25.7 10 3.4 1.9 1.3 2.8 1.3 0.7 1.6 1.4 Manu Ginobili 20 8.9 3.1 1 1.7 2.5 1.6 0.7 1.9 1.1 Danny Green 25.6 8.6 3.1 1.7 0.7 1.6 1.1 0.9 1.7 1.3 DeMar DeRozan 33.9 23 8.1 1.1 5.8 5.2 2.2 1.1 1.9 5.5 Kyle Lowry 32.2 16.2 5.2 3.1 2.9 6.9 2.3 1.1 2.5 5.1 CJ Miles 19.1 10 3.2 2.3 1.2 0.8 0.6 0.5 1.9 3.9 Fred VanVleet 20 8.6 3.1 1.4 1.1 3.2 1 0.9 1.7 4.6 Donovan Mitchell 33.4 20.5 7.5 2.4 3 3.7 2.7 1.5 2.7 4.5 Ricky Rubio 29.3 13.1 4.5 1.2 2.9 5.3 2.7 1.6 2.7 2.7 Bradley Beal 36.3 22.6 8.3 2.4 3.6 4.5 2.6 1.2 2 2.2 John Wall 34.4 19.4 6.8 1.5 4.3 9.6 3.9 1.4 2 3.1  GUARD CON VRS Tabla 23. Holgura para guard con VRS Jugadores /Holguras Puntos/ Partido Tiros de campo encestados Tiros triples encestados Tiros libres encestados Asistencias Corte de jugada Robos Plus minus FO* Dennis Schroder 5.602 0.195 2.560 2.577 0.000 0.415 0.379 11.725 0.627 Kent Bazemore 5.240 1.384 0.448 1.913 1.205 0.144 0.000 6.216 0.750 D'Angelo Russell 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Allen Crabbe 9.034 2.162 0.005 4.674 4.786 2.222 0.784 5.746 0.413 Spencer Dinwiddie 8.299 2.379 0.896 2.590 0.000 1.384 0.454 6.841 0.630 Caris LeVert 5.900 0.939 1.064 2.922 0.933 0.326 0.000 8.052 0.661 Joe Harris 6.010 1.290 0.082 3.313 3.336 1.339 0.691 3.696 0.465 Kyrie Irving 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Jaylen Brown 9.247 1.899 1.298 4.281 5.491 1.562 0.525 1.576 0.472 Terry Rozier 4.890 1.212 0.157 2.333 2.245 1.416 0.178 1.357 0.614 Marcus Smart 13.317 3.543 1.828 4.369 1.301 0.718 0.061 2.253 0.531 Kemba Walker 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Jeremy Lamb 2.616 0.219 0.597 1.501 2.677 1.259 0.243 0.269 0.668 Nicolas Batum 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Kris Dunn 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Justin Holiday 11.951 3.490 0.805 4.301 5.713 2.307 0.258 7.290 0.449 Jerian Grant 3.862 1.387 0.983 0.290 0.000 0.496 0.048 7.532 0.703 LeBron James 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Rodney Hood 4.135 0.505 0.023 2.999 4.194 1.798 0.367 2.594 0.541 Jordan Clarkson 0 0 0 0 0 0 0 0 1 George Hill 9.020 2.399 0.891 3.417 2.936 1.652 0.288 3.876 0.520 Kyle Korver 2.951 0.977 0.000 1.072 1.701 0.499 0.306 0.025 0.633 JR Smith 12.234 3.283 0.614 5.037 4.290 2.110 0.376 4.570 0.304 80 Al-Farouq Aminu 30 9.3 3.3 0.9 7.6 1.2 2 -2.7 Michael Kidd-Gilchrist 25 9.2 3.8 1.6 4.1 1 1.9 3.7 Anthony Tolliver 22.2 8.9 2.8 1.3 3.1 1.1 1.8 0.7 Mike Scott 18.5 8.8 3.6 0.7 3.3 1.1 1.9 -2.3 Larry Nance Jr. 21.5 8.7 3.6 1.4 6.8 1.2 2.6 -2.7 Stanley Johnson 27.4 8.7 3 1.6 3.7 1.6 2.4 0.3 Skal Labissiere 20.7 8.7 3.4 1.6 4.8 1.2 2.2 -1.7 Danny Green 25.6 8.6 3.1 0.7 3.6 1.6 1.7 0.3 Dwight Powell 21.2 8.5 3.2 1.7 5.6 1.2 2.4 -3.5 Jerami Grant 20.3 8.4 3 2 3.9 0.7 1.9 2.8 Garrett Temple 24.8 8.4 3.1 0.9 2.3 1.9 2.1 3.8 JR Smith 28.1 8.3 3 0.5 2.9 1.8 2 -4.3 Evan Turner 25.7 8.2 3.3 1.2 3.1 2.2 2.1 -1.7 David Nwaba 23.5 7.9 2.9 1.9 4.7 1.5 2.3 4.4 Kyle Anderson 26.7 7.9 3.1 1.4 5.4 2.7 1.5 -2.2 Doug McDermott 21.8 7.8 2.9 0.8 2.5 1 1.5 1.4  FORWARD CON VRS Tabla 26. Holguras para forward con VRS Jugadores/ Holguras Puntos/Partido Tiros de campo encestados Tiros libres encestados Rebotes Asistencias Plus minus FO* Anthony Davis 0 0 0 0 0 0 1 LeBron James 0 0 0 0 0 0 1 Giannis Antetokounmpo 0 0 0 0 0 0 1 Kevin Durant 0 0 0 0 0 0 1 LaMarcus Aldridge 0 0 0 0 0 0 1 Kristaps Porzingis 0.961 0.931 0.000 1.320 5.017 3.421 0.555 Paul George 5.287 3.087 0.345 2.869 5.675 3.638 0.643 Blake Griffin 3.810 2.146 0.000 0.825 1.375 3.894 0.839 Khris Middleton 6.985 3.152 0.727 3.284 4.896 6.442 0.643 T.J. Warren 4.666 1.244 1.132 2.598 6.213 0.665 0.494 Tyreke Evans 3.125 1.721 0.626 2.113 1.458 4.201 0.786 Harrison Barnes 0 0 0 0 0 0 1 Tobias Harris 4.256 1.870 1.662 2.711 5.241 0.000 0.604 Evan Fournier 4.801 2.234 1.245 4.916 4.235 4.932 0.572 Andrew Wiggins 9.303 3.422 2.113 4.061 6.856 5.110 0.474 Kevin Love 0 0 0 0 0 0 1 Aaron Gordon 6.210 2.675 1.354 0.000 5.152 2.127 0.617 Tim Hardaway Jr. 6.849 3.073 1.546 3.822 4.853 6.497 0.560 JJ Redick 3.416 2.182 0.682 5.410 3.298 0.119 0.594 Carmelo Anthony 7.320 2.977 2.101 1.690 5.846 2.880 0.458 Julius Randle 1.725 0.794 0.000 0.000 0.000 3.394 0.925 Kyle Kuzma 6.674 2.710 1.969 0.982 4.980 3.395 0.540 Brandon Ingram 6.653 2.749 0.535 2.925 3.841 0.000 0.701 Ben Simmons 0 0 0 0 0 0 1 Will Barton 8.649 3.673 1.946 2.722 3.453 2.497 0.618 81 Nikola Mirotic 2.122 1.379 0.993 0.000 3.561 1.528 0.638 Lauri Markkanen 0 0 0 0 0 0 1 Otto Porter Jr. 8.406 3.129 2.528 0.975 4.943 1.722 0.512 Dario Saric 6.847 3.136 1.336 0.213 3.529 0.889 0.657 Jaylen Brown 7.859 3.362 1.696 2.267 4.976 8.337 0.498 Zach Randolph 2.445 0.609 1.453 0.000 2.239 2.837 0.701 Bojan Bogdanovic 6.909 2.945 1.355 3.709 4.764 2.755 0.491 Taurean Prince 7.679 3.354 1.794 2.305 3.691 0.216 0.595 Rondae Hollis-Jefferson 0 0 0 0 0 0 1 Jayson Tatum 8.293 3.603 1.067 2.121 4.895 3.274 0.523 Jonathon Simmons 5.782 2.582 0.636 4.327 3.464 0.655 0.609 Marcus Morris 1.058 0.815 0.000 1.135 2.679 0.000 0.705 DeMarre Carroll 3.104 2.320 0.048 0.517 4.477 0.000 0.661 Allen Crabbe 7.998 3.747 2.092 2.543 4.407 6.394 0.476 Bobby Portis 0 0 0 0 0 0 1 Michael Beasley 1.207 0.326 0.693 0.000 1.442 0.000 0.810 Josh Jackson 4.865 1.990 0.724 1.342 2.919 2.059 0.633 Al Horford 10.550 3.845 3.298 0.864 0.000 2.152 0.576 Josh Richardson 11.532 4.503 2.661 4.245 4.694 8.629 0.463 Wesley Matthews 10.440 4.485 2.605 5.158 5.163 0.000 0.448 Robert Covington 10.506 4.629 2.428 1.975 4.943 9.022 0.465 Serge Ibaka 7.106 2.713 2.130 0.127 4.474 1.024 0.411 E'Twaun Moore 11.087 3.657 4.765 6.247 0.000 1.608 0.337 Derrick Favors 6.726 2.355 1.418 0.000 4.120 3.949 0.532 Justin Holiday 10.823 4.899 2.013 3.352 4.802 0.890 0.484 Taj Gibson 12.232 4.203 2.461 0.645 6.394 4.029 0.399 Caris LeVert 6.528 2.828 1.241 2.427 0.545 2.513 0.681 Gerald Green 3.626 2.190 1.431 2.118 2.720 0.305 0.453 Marco Belinelli 0 0 0 0 0 0 1 Dirk Nowitzki 5.384 2.383 1.622 0.080 2.534 1.238 0.604 Thaddeus Young 11.803 3.907 3.315 1.214 5.287 3.712 0.380 Kelly Oubre Jr. 7.906 3.813 0.930 1.927 4.074 2.024 0.498 Trevor Ariza 13.313 5.611 3.163 3.507 6.279 3.450 0.365 Nicolas Batum 0 0 0 0 0 0 1 Domantas Sabonis 2.188 0.956 0.258 0.000 0.939 0.000 0.860 Kelly Olynyk 2.999 1.711 0.576 0.000 0.956 0.000 0.817 Rudy Gay 1.769 0.796 0.115 0.313 1.281 0.000 0.807 Joe Ingles 11.453 4.624 3.874 3.882 0.000 0.463 0.431 Markieff Morris 3.172 1.609 0.921 0.834 3.376 0.000 0.651 Reggie Bullock 0 0 0 0 0 0 1 Frank Kaminsky 0 0 0 0 0 0 1 Draymond Green 13.031 5.255 2.215 0.065 0.000 2.723 0.604 Montrezl Harrell 0 0 0 0 0 0 1 Dillon Brooks 5.681 2.613 1.243 4.609 4.190 0.000 0.496 Ersan Ilyasova 5.535 2.598 1.221 0.006 3.054 0.000 0.581 Joe Harris 3.054 1.712 0.902 3.931 2.155 0.000 0.595 82 Jeff Green 5.507 2.697 0.133 2.279 2.305 2.426 0.603 James Johnson 8.160 3.246 1.699 1.319 1.108 1.639 0.640 John Collins 2.478 1.120 0.360 0.000 2.398 0.000 0.702 Greg Monroe 0 0 0 0 0 0 1 JaMychal Green 8.237 3.080 2.141 0.000 2.126 0.783 0.567 Denzel Valentine 3.971 1.338 2.712 1.090 0.000 0.000 0.485 Wilson Chandler 13.188 5.158 2.742 1.998 4.883 5.754 0.426 CJ Miles 0.041 0.856 0.620 2.792 0.540 0.000 0.687 Trey Lyles 0 0 0 0 0 0 1 Jae Crowder 8.845 3.898 1.626 2.704 3.504 1.081 0.463 Mario Hezonja 3.295 1.563 1.009 2.636 1.465 0.000 0.635 Marvin Williams 0 0.0 0 0 0 0 1 Ryan Anderson 5.969 3.000 1.411 2.273 3.695 0.000 0.446 Al-Farouq Aminu 11.488 4.786 2.627 0.000 5.040 4.729 0.371 Michael Kidd-Gilchrist 5.343 1.972 0.334 3.005 2.108 0.000 0.591 Anthony Tolliver 3.494 2.165 0.682 3.618 1.675 0.000 0.578 Mike Scott 3.444 1.445 1.319 1.047 0.511 0.175 0.633 Larry Nance Jr. 3.102 1.245 0.560 0.000 1.479 3.043 0.700 Stanley Johnson 10.923 4.683 1.716 2.704 3.633 0.392 0.464 Skal Labissiere 5.368 2.297 0.739 0.055 1.306 0.271 0.676 Danny Green 8.679 3.593 2.142 2.482 2.704 0.223 0.440 Dwight Powell 4.935 2.256 0.535 0.000 1.455 2.772 0.665 Jerami Grant 0 0 0 0 0 0 1 Garrett Temple 4.400 2.169 0.961 4.900 1.800 0.000 0.528 JR Smith 12.447 4.917 3.974 5.067 0.185 3.371 0.313 Evan Turner 10.014 3.879 1.868 2.911 2.341 1.854 0.495 David Nwaba 2.413 1.066 0.192 0.240 1.062 0.000 0.796 Kyle Anderson 8.810 3.166 1.369 0.510 1.523 3.784 0.595 Doug McDermott 3.500 1.340 0.819 2.641 0.699 0.000 0.619 VALOR MEDIO 5.118 2.188 1.155 1.575 2.459 1.639 0.662 CONTADOR DE JUGADORES 80 80 76 67 74 57 20  FORWARD SIN VRS Tabla 27. Holguras para forward sin VRS Jugadores/ Holguras Puntos/Partido Tiros de campo encestados Tiros libres encestados Rebotes Asistencias Plus minus FO* Anthony Davis 0 0 0 0 0 0 1 LeBron James 0 0 0 0 0 0 1 Giannis Antetokounmpo 0 0 0 0 0 0 1 Kevin Durant 0 0 0 0 0 0 1 LaMarcus Aldridge 1.328 0 0 0 4.693 0 0.713 Kristaps Porzingis 1.354 1.008 0.000 1.247 5.921 4.647 0.514 Paul George 5.376 3.115 0.362 2.830 5.726 3.670 0.641 Blake Griffin 4.023 2.178 0.000 0.750 2.009 4.603 0.819 Khris Middleton 7.027 3.158 0.736 3.283 4.977 6.550 0.641 T.J. Warren 4.993 1.290 1.203 2.591 6.838 1.509 0.470 83 Tyreke Evans 3.628 1.793 0.736 2.102 2.420 5.498 0.751 Harrison Barnes 0 0 0 0 0 0 1 Tobias Harris 5.709 2.318 1.938 2.274 5.806 0.000 0.580 Evan Fournier 6.197 2.663 1.501 4.305 5.041 5.429 0.552 Andrew Wiggins 9.353 3.429 2.124 4.060 6.952 5.240 0.472 Kevin Love 0 0 0 0 0 0 1 Aaron Gordon 7.005 2.866 1.665 0.000 5.221 2.484 0.601 Tim Hardaway Jr. 7.168 3.119 1.616 3.814 5.463 7.319 0.543 JJ Redick 5.407 2.793 1.047 4.538 4.448 0.828 0.567 Carmelo Anthony 7.723 3.034 2.189 1.681 6.616 3.919 0.433 Julius Randle 3.272 1.206 0.512 0.000 0.000 4.209 0.876 Kyle Kuzma 7.152 2.778 2.074 0.972 5.894 4.628 0.508 Brandon Ingram 7.964 3.153 0.784 2.531 4.351 0.000 0.679 Ben Simmons 0 0 0 0 0 0 1 Will Barton 8.968 3.719 2.016 2.714 4.063 3.319 0.600 Nikola Mirotic 5.065 2.157 2.261 0.000 2.501 1.288 0.623 Lauri Markkanen 0 0 0 0 0 0 1 Otto Porter Jr. 8.850 3.192 2.625 0.965 5.793 2.869 0.485 Dario Saric 7.460 3.223 1.470 0.199 4.700 2.468 0.608 Jaylen Brown 8.379 3.436 1.810 2.255 5.971 9.678 0.466 Zach Randolph 4.851 1.196 2.411 0.000 2.241 3.672 0.627 Bojan Bogdanovic 8.654 3.664 1.723 3.778 6.096 3.488 0.441 Taurean Prince 8.258 3.437 1.921 2.292 4.798 1.708 0.556 Rondae Hollis-Jefferson 0 0 0 0 0 0 1 Jayson Tatum 8.830 3.679 1.185 2.108 5.922 4.658 0.486 Jonathon Simmons 8.011 3.266 1.045 3.352 4.750 1.448 0.564 Marcus Morris 3.875 1.946 0.608 0.887 5.256 0.000 0.538 DeMarre Carroll 5.122 2.873 0.465 0.465 5.330 0.000 0.604 Allen Crabbe 8.636 3.837 2.232 2.529 5.626 8.038 0.440 Bobby Portis 0 0 0 0 0 0 1 Michael Beasley 3.569 0.852 1.443 0.000 2.772 1.990 0.660 Josh Jackson 5.830 2.128 0.935 1.320 4.764 4.547 0.540 Al Horford 11.101 3.911 3.635 1.177 0.000 2.824 0.554 Josh Richardson 11.843 4.547 2.729 4.238 5.288 9.429 0.452 Wesley Matthews 11.630 4.851 2.831 4.800 5.625 0.000 0.435 Robert Covington 10.950 4.692 2.525 1.965 5.793 10.169 0.444 Serge Ibaka 7.895 2.825 2.303 0.109 5.982 3.057 0.355 E'Twaun Moore 11.639 3.727 5.092 6.557 0.000 2.299 0.323 Derrick Favors 8.818 2.878 2.272 0.000 3.885 4.393 0.505 Justin Holiday 11.276 4.963 2.112 3.341 5.668 2.059 0.460 Taj Gibson 12.543 4.247 2.529 0.638 6.988 4.829 0.383 Caris LeVert 7.426 2.955 1.437 2.406 2.261 4.827 0.624 Gerald Green 4.817 2.359 1.691 2.091 4.998 3.376 0.340 Marco Belinelli 5.694 2.594 1.141 3.665 3.988 2.994 0.500 Dirk Nowitzki 6.408 2.528 1.846 0.057 4.491 3.877 0.514 Thaddeus Young 12.197 3.963 3.401 1.205 6.041 4.729 0.365 84 Kelly Oubre Jr. 8.695 3.925 1.103 1.909 5.582 4.057 0.440 Trevor Ariza 13.564 5.646 3.218 3.501 6.760 4.099 0.355 Nicolas Batum 0 0 0 0 0 0 1 Domantas Sabonis 2.240 0.969 0.285 0.000 0.907 0.000 0.859 Kelly Olynyk 6.031 2.463 1.365 0.000 2.442 1.212 0.674 Rudy Gay 4.447 1.700 0.724 0.000 3.940 2.512 0.577 Joe Ingles 11.798 4.570 4.351 4.163 0.000 0.383 0.411 Markieff Morris 6.381 2.488 1.584 0.752 4.732 0.000 0.552 Reggie Bullock 6.494 2.494 2.441 3.065 4.388 8.094 0.378 Frank Kaminsky 6.190 2.702 0.955 1.807 4.121 0.526 0.552 Draymond Green 13.481 5.310 2.490 0.321 0.000 3.273 0.587 Montrezl Harrell 1.583 0.211 0.349 0.000 3.142 4.274 0.608 Dillon Brooks 8.951 3.621 1.863 3.627 5.461 0.000 0.444 Ersan Ilyasova 7.825 3.143 1.735 0.000 4.762 1.449 0.481 Joe Harris 6.419 2.792 1.790 2.640 4.620 0.000 0.475 Jeff Green 6.639 2.859 0.380 2.254 4.471 5.346 0.497 James Johnson 9.024 3.369 1.888 1.299 2.760 3.867 0.586 John Collins 2.391 1.098 0.315 0.000 2.452 0.000 0.702 Greg Monroe 0 0 0 0 0 0 1 JaMychal Green 11.264 3.898 3.473 0.000 0.723 0.165 0.551 Denzel Valentine 7.858 3.154 2.515 1.298 3.482 0.000 0.430 Wilson Chandler 13.625 5.220 2.838 1.988 5.718 6.879 0.408 CJ Miles 4.234 2.235 1.233 2.251 3.910 2.015 0.421 Trey Lyles 4.464 1.741 1.294 0.000 2.621 2.042 0.587 Jae Crowder 9.751 4.027 1.824 2.683 5.237 3.417 0.403 Mario Hezonja 6.870 2.689 1.715 1.451 4.050 2.016 0.480 Marvin Williams 6.258 2.917 1.287 1.269 5.016 0.000 0.462 Ryan Anderson 10.151 4.327 2.224 1.083 5.537 0.317 0.355 Al-Farouq Aminu 13.284 5.246 3.378 0.000 4.647 4.883 0.352 Michael Kidd-Gilchrist 7.753 2.793 1.243 1.771 5.145 0.000 0.431 Anthony Tolliver 7.645 3.517 1.528 2.074 4.375 1.526 0.426 Mike Scott 4.987 1.664 1.656 1.012 3.462 4.155 0.455 Larry Nance Jr. 5.943 1.994 1.781 0.000 0.485 2.847 0.657 Stanley Johnson 11.720 4.797 1.890 2.686 5.157 2.447 0.419 Skal Labissiere 6.727 2.490 1.037 0.024 3.905 3.776 0.511 Danny Green 10.479 4.185 2.561 2.366 4.713 2.267 0.374 Dwight Powell 7.544 2.843 1.495 0.000 2.346 4.732 0.547 Jerami Grant 5.653 2.443 0.367 0.860 4.293 0.000 0.428 Garrett Temple 8.235 3.384 1.883 3.529 4.194 0.000 0.431 JR Smith 12.841 4.803 4.536 5.210 0.932 3.490 0.289 Evan Turner 10.953 4.013 2.073 2.890 4.138 4.277 0.446 David Nwaba 6.738 2.895 0.509 0.853 4.261 0.000 0.539 Kyle Anderson 11.998 4.498 2.001 0.823 3.885 4.877 0.484 Doug McDermott 8.447 3.303 1.977 2.581 4.376 0.786 0.371 VALOR MEDIO 6.708 2.681 1.533 1.561 3.711 2.646 0.573 CONTADOR DE JUGADORES 88 88 85 70 83 71 12 85  CENTER DATOS Tabla 28. Datos center Jugadores Minutos/Partido Puntos/Partido Tiros de campo encestados Tiros libres encestados Rebotes Bloqueos Faltas personales Plus minus John Collins 24.1 10.5 4.2 1.8 7.3 1.1 2.9 0 Dewayne Dedmon 24.9 10 4 1.1 7.9 0.8 2.6 -1.1 Mike Muscala 20 7.6 2.7 1.1 4.3 0.5 1.5 -2.2 Jarrett Allen 20 8.2 3.3 1.6 5.4 1.2 2 2.8 Al Horford 31.6 12.9 5.1 1.3 7.4 1.1 1.9 0 Greg Monroe 20.4 10.3 4.3 1.7 6.9 0.5 1.9 -2.6 Dwight Howard 30.4 16.6 6.2 4.1 12.5 1.6 3.1 -2.9 Frank Kaminsky 23.2 11.1 3.9 2 3.6 0.2 1.2 4.8 Robin Lopez 26.4 11.8 5.3 1.1 4.5 0.8 1.7 -1.7 Kevin Love 28 17.6 5.7 4 9.3 0.4 2 -4.3 Dirk Nowitzki 24.7 12 4.5 1.3 5.7 0.6 1.9 0.7 Dwight Powell 21.2 8.5 3.2 1.7 5.6 0.4 2.4 -4.2 Nikola Jokic 32.6 18.5 6.7 3.5 10.7 0.8 2.8 0.3 Mason Plumlee 19.5 7.1 3 1.1 5.4 1.1 2.5 4.7 Andre Drummond 33.7 15 6 3.1 16 1.6 3.2 1.1 Clint Capela 27.5 13.9 6 1.9 10.8 1.9 2.5 -0.7 Myles Turner 28.2 12.7 4.7 2.5 6.4 1.8 2.9 -1.3 Domantas Sabonis 24.5 11.6 4.6 2.3 7.7 0.4 3 -0.7 DeAndre Jordan 31.5 12 4.8 2.4 15.2 0.9 2.6 0 Montrezl Harrell 17 11 4.6 1.8 4 0.7 1.9 -1.2 Julius Randle 26.7 16.1 6.1 3.7 8 0.5 3.3 -3 Brook Lopez 23.4 13 5 1.5 4 1.3 2.6 1.5 Marc Gasol 33 17.2 5.9 3.8 8.1 1.4 2.5 2.8 Hassan Whiteside 25.3 14 5.8 2.4 11.4 1.7 2.4 0.4 Kelly Olynyk 23.4 11.5 4.2 1.8 5.7 0.5 2.9 3 Bam Adebayo 19.8 6.9 2.5 1.9 5.5 0.6 2 -8 John Henson 25.9 8.8 3.8 1.2 6.8 1.4 2.7 -0.7 Tyler Zeller 16.8 6.7 2.8 0.9 4.6 0.5 1.9 1.8 Karl-Anthony Towns 35.6 21.3 7.8 4.2 12.3 1.4 3.5 -2.5 Anthony Davis 36.4 28.1 10.4 6.6 11.1 2.6 2.1 2.1 DeMarcus Cousins 36.2 25.2 8.5 6.1 12.9 1.6 3.8 1.6 Kristaps Porzingis 32.4 22.7 8.1 4.5 6.6 2.4 2.9 0 Enes Kanter 25.8 14.1 5.9 2.2 11 0.5 2.6 5.1 Kyle O'Quinn 18 7.1 2.9 1.3 6.1 1.3 2.5 0.3 Steven Adams 32.7 13.9 5.9 2.1 9 1 2.8 0.1 Nikola Vucevic 29.5 16.5 7 1.4 9.2 1.1 2.5 -1.5 Marreese Speights 13 7.7 2.7 0.8 2.6 0.4 2 4.5 Joel Embiid 30.4 22.9 8.1 5.7 11 1.8 3.3 1.4 Alex Len 20.2 8.5 3.1 2.3 7.5 0.9 2.3 -1.5 Jusuf Nurkic 26.4 14.3 6.1 2.2 9 1.4 3.1 0 Willie Cauley-Stein 28 12.8 5.3 2.1 7 0.9 2.5 0.6 Skal Labissiere 20.7 8.7 3.4 1.6 4.8 0.8 2.2 -0.6 86 Kosta Koufos 19.6 6.7 3.1 0.5 6.6 0.5 2.1 5.1 Pau Gasol 23.5 10.1 3.7 2.1 8 1 1.6 -3.1 Jonas Valanciunas 22.4 12.7 5.1 2.2 8.6 0.9 2.5 -1.8 Serge Ibaka 27.5 12.6 5 1.2 6.3 1.3 2.8 -4 Jakob Poeltl 18.6 6.9 3.1 0.7 4.8 1.2 2.6 -2.9 Rudy Gobert 32.4 13.5 4.9 3.6 10.7 2.3 2.7 3.1 Derrick Favors 28 12.3 5.1 1.8 7.2 1.1 2.1 1.3 Marcin Gortat 25.3 8.4 3.5 1.3 7.6 0.7 2.1 -2  CENTER CON VRS Tabla 29. Holguras para center con VRS Jugadores/Holguras Puntos/Partido Tiros de campo encestados Tiros libres encestados Rebotes Bloqueos Plus minus FO* John Collins 6.897 1.945 2.126 0.659 0.193 2.522 0.662 Dewayne Dedmon 8.034 2.459 2.893 0.000 0.616 3.760 0.525 Mike Muscala 0 0 0 0 0 0 1 Jarrett Allen 0 0 0 0 0 0 1 Al Horford 9.847 3.262 3.828 1.381 0.802 2.879 0.507 Greg Monroe 0 0 0 0 0 0 1 Dwight Howard 2.395 0.876 0.243 0.000 0.126 4.029 0.866 Frank Kaminsky 0 0 0 0 0 0 1 Robin Lopez 5.256 0.896 2.459 1.822 0.369 5.396 0.571 Kevin Love 0 0 0 0 0 0 1 Dirk Nowitzki 4.923 1.667 2.164 0.669 0.694 2.839 0.579 Dwight Powell 6.349 2.195 1.139 0.000 0.769 7.845 0.552 Nikola Jokic 6.302 2.296 2.435 0.000 1.332 1.570 0.640 Mason Plumlee 0 0 0 0 0 0 1 Andre Drummond 0 0 0 0 0 0 1 Clint Capela 0 0 0 0 0 0 1 Myles Turner 8.255 2.962 2.140 1.978 0.000 4.079 0.661 Domantas Sabonis 6.139 1.740 1.611 0.000 0.977 3.437 0.564 DeAndre Jordan 0 0 0 0 0 0 1 Montrezl Harrell 0 0 0 0 0 0 1 Julius Randle 2.296 0.745 0.310 0.000 1.296 5.167 0.626 Brook Lopez 3.777 1.015 2.071 3.063 0.000 1.500 0.662 Marc Gasol 7.062 3.195 1.632 2.454 0.678 0.000 0.735 Hassan Whiteside 0 0 0 0 0 0 1 Kelly Olynyk 5.267 1.922 1.578 0.678 0.878 0.433 0.608 Bam Adebayo 6.153 2.666 0.437 0.000 0.412 8.523 0.630 John Henson 10.162 2.974 3.106 1.580 0.089 3.185 0.528 Tyler Zeller 2.191 0.403 0.411 0.000 0.150 0.314 0.819 Karl-Anthony Towns 3.467 1.468 1.521 0.000 0.936 4.339 0.754 Anthony Davis 0 0 0 0 0 0 1 DeMarcus Cousins 0 0 0 0 0 0 1 Kristaps Porzingis 0 0 0 0 0 0 1 Enes Kanter 0 0 0 0 0 0 1 87 Kyle O'Quinn 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 1 Steven Adams 10.974 3.282 3.583 0.756 1.252 2.379 0.552 Nikola Vucevic 5.595 1.015 3.696 0.122 0.769 3.847 0.576 Marreese Speights 0 0 0 0 0 0 1 Joel Embiid 0 0 0 0 0 0 1 Alex Len 0 0 0 0 0 0 1 Jusuf Nurkic 5.106 0.759 2.374 0.069 0.078 2.113 0.746 Willie Cauley-Stein 7.977 2.336 2.418 1.049 0.910 2.362 0.606 Skal Labissiere 5.717 1.789 1.189 0.881 0.292 4.131 0.652 Kosta Koufos 0 0 0 0 0 0 1 Pau Gasol 0 0 0 0 0 0 1 Jonas Valanciunas 0.941 0.151 0.295 0.000 0.415 3.650 0.830 Serge Ibaka 7.760 2.275 3.548 2.819 0.321 6.221 0.526 Jakob Poeltl 2.527 0.523 1.018 0.905 0.000 4.480 0.687 Rudy Gobert 0 0 0 0 0 0 1 Derrick Favors 8.477 2.536 2.718 0.849 0.710 1.662 0.606 Marcin Gortat 9.490 3.132 2.377 0.000 0.873 4.890 0.509 VALOR MEDIO 3.387 1.050 1.106 0.435 0.319 1.951 0.796 CONTADOR DE JUGADORES 28 28 28 17 25 27 22  CENTER SIN VRS Tabla 30. Holguras para center sin VRS Jugadores/Holguras Puntos/Partido Tiros de campo encestados Tiros libres encestados Rebotes Bloqueos Plus minus FO* John Collins 8.105 2.686 2.570 0.049 0.621 1.390 0.620 Dewayne Dedmon 9.121 3.010 3.448 0.000 0.913 2.474 0.486 Mike Muscala 7.840 3.014 2.526 1.799 0.929 3.354 0.455 Jarrett Allen 6 2 1 0 0 0 1 Al Horford 11.495 3.929 4.430 2.236 1.157 1.823 0.469 Greg Monroe 5 1 2 0 1 4 1 Dwight Howard 2.921 1.271 0.034 0.000 0.335 3.789 0.848 Frank Kaminsky 0 0 0 0 0 0 1 Robin Lopez 8.580 2.243 3.687 3.551 1.086 3.223 0.457 Kevin Love 3 2 1 0 2 6 1 Dirk Nowitzki 7.068 2.557 3.179 1.832 1.164 0.725 0.499 Dwight Powell 7.866 2.857 2.144 0.865 1.114 5.423 0.476 Nikola Jokic 6.417 2.357 2.493 0.000 1.366 1.426 0.637 Mason Plumlee 0 0 0 0 0 0 1 Andre Drummond 0 0 0 0 0 0 1 Clint Capela 2.623 0.552 1.358 0.000 0.000 1.489 0.827 Myles Turner 9.070 3.357 2.613 2.199 0.214 2.927 0.639 Domantas Sabonis 6.970 2.311 2.006 0.000 1.343 2.048 0.513 DeAndre Jordan 0 0 0 0 0 0 1 Montrezl Harrell 2.124 0.257 1.282 1.184 0.514 2.181 0.720 Julius Randle 4.512 1.529 1.141 0.142 1.407 4.540 0.586 Brook Lopez 4.971 1.645 2.681 3.081 0.350 0.000 0.629 88 Marc Gasol 7.161 3.045 1.441 1.313 0.705 0.892 0.717 Hassan Whiteside 0 0 0 0 0 0 1 Kelly Olynyk 5.537 2.039 1.758 0.835 0.939 0.000 0.602 Bam Adebayo 8.385 3.157 1.690 0.538 0.814 9.142 0.521 John Henson 11.194 3.600 3.496 1.098 0.450 2.194 0.500 Tyler Zeller 5.752 1.775 1.801 0.221 0.583 0.000 0.560 Karl-Anthony Towns 5.708 1.882 2.412 0.000 0.833 4.258 0.728 Anthony Davis 0 0 0 0 0 0 1 DeMarcus Cousins 1 1 0 0 0 1 1 Kristaps Porzingis 0 0 0 0 0 0 1 Enes Kanter 0 0 0 0 0 0 1 Kyle O'Quinn 0 0 0 0 0 0 1 Steven Adams 11.344 3.443 3.829 0.972 1.336 1.787 0.544 Nikola Vucevic 6.206 1.359 3.971 0.000 0.963 3.160 0.558 Marreese Speights 0 0 0 0 0 0 1 Joel Embiid 0 0 0 0 0 0 1 Alex Len 6.287 2.202 1.288 0.000 0.313 2.365 0.688 Jusuf Nurkic 5.768 1.121 2.690 0.000 0.282 1.329 0.725 Willie Cauley-Stein 8.815 2.700 2.977 1.538 1.100 1.015 0.583 Skal Labissiere 7.280 2.514 2.153 1.512 0.679 1.794 0.577 Kosta Koufos 0 0 0 0 0 0 1 Pau Gasol 6.848 2.693 1.701 0.000 0.645 4.220 0.640 Jonas Valanciunas 3.059 0.661 1.484 0.000 0.471 2.663 0.754 Serge Ibaka 8.629 2.857 3.786 2.086 0.664 5.587 0.506 Jakob Poeltl 7.262 2.012 2.738 1.471 0.000 3.851 0.484 Rudy Gobert 0 0 0 0 0 0 1 Derrick Favors 9.315 2.900 3.277 1.338 0.900 0.315 0.586 Marcin Gortat 11.131 3.729 3.287 0.115 1.107 3.460 0.461 VALOR MEDIO 5.012 1.673 1.708 0.602 0.562 1.906 0.707 CONTADOR DE JUGADORES 37 37 36 23 34 33 13 89 ANEXO DE PROGRAMACIÓN LINGO Modelo matemático para la posición de guard con la restricción, retorno es escala variable. SETS: JUGADORES: FO, Bloqueos, Rebotes, Faltas, Minutos, Plusminus, TirosCampo, slackFaltas, slackMinutos, slackPlusminus, slackTirosCampo, slackTirosLibres, slackPuntos, TirosLibres, Puntos, RangoPlusminus, slackBloqueos, slackRebotes; JJ(JUGADORES,JUGADORES): LAMBDA; ENDSETS DATA: JUGADORES = 1…50; Bloqueos, Faltas, Minutos, Plusminus, TirosCampo= @OLE('CenterL.xls'); TirosLibres, Puntos, Rebotes,RangoPlusminus= @OLE('CenterL.xls'); @OLE('CenterL.xls')=slackBloqueos, slackFaltas, slackMinutos; @OLE('CenterL.xls')=slackPlusminus, slackTirosCampo; @OLE('CenterL.xls')=slackTirosLibres, slackPuntos, slackRebotes; @OLE('CenterL.xls')=FO,LAMBDA; ENDDATA MAX= TFO; TFO=@SUM(JUGADORES(INDICEJ):FO(INDICEJ)); @FOR(JUGADORES(INDICEJ): FO(INDICEJ)=1+(1/6)*(slackBloqueos(INDICEJ)/Bloqueos(INDICEJ) + @IF(RangoPlusminus(INDICEJ) #GT# 0, slackPlusminus(INDICEJ)/RangoPlusminus(INDICEJ), 0) + slackTirosCampo(INDICEJ)/TirosCampo(INDICEJ) +slackTirosLibres(INDICEJ)/TirosLibres(INDICEJ) + slackPuntos(INDICEJ)/Puntos(INDICEJ)+ slackRebotes(INDICEJ)/Rebotes(INDICEJ)); ); !RESTRICTIONS; @FOR(JUGADORES(INDICEJ): !entradas @SUM(JUGADORES(J):Minutos(J)*LAMBDA(INDICEJ,J))<= Minutos(INDICEJ); !salidas @SUM(JUGADORES(J):Faltas(J)*LAMBDA(INDICEJ,J))<= Faltas(INDICEJ);