Représentations lisses modulo ℓ de GLm(D)

arXiv:1110.1467v2 [math.RT] 2 Apr 2014 REPR ´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) par Alberto M´ınguez & Vincent S´echerre Abstract. — Let F be a non-Archimedean locally compact field of residue characteristic p, let D be a finite dimensional central division F-algebra and R be an algebraically closed field of characteristic different from p. We classify all smooth irreducible representations of GLm(D) for m⩾1, with coefficients in R, in terms of multisegments, generalizing works by Zelevinski, Tadi´c and Vign´eras. We prove that any irreducible R-representation of GLm(D) has a unique supercuspidal support, and thus get two classifications: one by supercuspidal multisegments, classifying representations with a given supercuspidal support, and one by aperiodic multisegments, classifying representations with a given cuspidal support. These constructions are made in a purely local way, with a substantial use of type theory. Table des mati`eres Introduction.................................................................... 2 Remerciements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Notations et conventions. . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 7 1. Pr´eliminaires. . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . 8 1.1. Induction et restriction paraboliques. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 8 1.2. Repr´esentations enti`eres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Formes int´erieures de GLn(F)........................................... 10 2. Compl´ements sur l’induction parabolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. Support cuspidal et ´equivalence inertielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Sous-quotients irr´eductibles d’une induite parabolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Deux lemmes sur l’irr´eductibilit´e d’une induite parabolique. . . . . . .. . . . . . 14 2.4. Le cas de GLm(D)....................................................... 15 3. Repr´esentations modulaires de GLnsur un corps fini........................ 16 3.1. Pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. Repr´esentations non d´eg´en´er´ees. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . 17 3.3. Classification de James. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4. Repr´esentations modulaires des alg`ebres de Hecke affines.. . . . . . . . . . . . . . .. . . . 20 Ce travail a b´en´efici´e de financements de l’EPSRC (GR/T21714/01, EP/G001480/1) et de l’Agence Nationale de la Recherche (ANR-08-BLAN-0259-01, ANR-10-BLANC-0114). Le premier auteur est aussi financ´e en partie par FEDER, MTM2007-66929 et MTM2010-19298. 2ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE 4.1. L’alg`ebre de Hecke affine. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . 20 4.2. L’alg`ebre de Hecke-Iwahori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.3. Classification des modules irr´eductibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5. Rappels sur les repr´esentations cuspidales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.1. Types simples maximaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5.2. Invariants associ´es `a une repr´esentation cuspidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.3. Le foncteur K........................................................... 26 5.4. Rel`evement des repr´esentations supercuspidales.. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 27 6. Classification des repr´esentations cuspidales par les supercuspidales. . . . . . . . . 27 6.1. Classification des repr´esentations cuspidales par les supercuspidales. . . . . 27 6.2. Unicit´e du support supercuspidal `a inertie pr`es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 7. La th´eorie des segments..................................................... 33 7.1. Segments................................................................ 33 7.2. Repr´esentations associ´ees `a un segment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.3. Crit`ere d’irr´eductibilit´e pour un produit de segments non li´es. . . . . . . . . . . 39 8. Repr´esentations r´esiduellement non d´eg´en´er´ees de GLm(D).................. 45 8.1. Repr´esentations r´esiduellement non d´eg´en´er´ees. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . 45 8.2. Conditions d’apparition d’un facteur cuspidal dans une induite. . . . . . . . . 47 8.3. Unicit´e du support supercuspidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 9. Classification des repr´esentations irr´eductibles de GLm(D).................. 50 9.1. Multisegments........................................................... 50 9.2. Multisegments supercuspidaux et ap´eriodiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 9.3. Classification des repr´esentations r´esiduellement non d´eg´en´er´ees. . . . . . . . 53 9.4. La partition µmet la repr´esentation Stµm(m)............................ 54 9.5. La repr´esentation Z(m).................................................. 57 9.6. Classification des repr´esentations irr´eductibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 9.7. R´eduction modulo ℓ..................................................... 62 R´ef´erences...................................................................... 64 Introduction Soit F un corps commutatif localement compact non archim´edien de caract´eristique r´esiduelle pet soit D une alg`ebre `a division centrale de dimension finie sur F dont le degr´e r´eduit est not´e d. Pour tout entier m⩾1, on pose Gm= GLm(D), qui est une forme int´erieure de GLmd(F). Les repr´esentations lisses irr´eductibles complexes de GLmd(F) ont ´et´e class´ees par Zelevinski [39] en termes de param`etres appel´es multisegments. Dans le cas o`u F est de caract´eristique nulle, Tadi´c [33] a donn´e une classification des repr´esentations lisses irr´eductibles complexes de Gmen termes de multisegments. La m´ethode qu’il utilise repose sur les r´esultats de [16] (eux-mˆemes reposant sur la formule des traces) et en particulier sur la correspondance de Jacquet-Langlands locale et la classification des repr´esentations temp´er´ees en fonction de la s´erie discr`ete (ibid., th´eor`eme B.2.d). Dans [5], Badulescu ´etend ces deux r´esultats au cas o`u F est de caract´eristique p, et on trouve dans [4] la classification des repr´esentations lisses irr´eductibles complexes de Gm sans restriction sur la caract´eristique de F. Dans cet article, on s’int´eresse au probl`eme de la classification des repr´esentations lisses irr´eductibles de Gm`a coefficients dans un corps R alg´ebriquement clos de caract´eristique diff´erente REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 3 de p. Dans le cas o`u cette caract´eristique est un nombre premier ℓ, ces repr´esentations seront dites modulaires. L’int´erˆet de comprendre et classer les repr´esentations modulaires provient de l’´etude des congruences de formes automorphes. La th´eorie des repr´esentations modulaires des groupes r´eductifs p-adiques a ´et´e d´evelopp´ee par Vign´eras dans [34, 35]. En particulier, les repr´esentations modulaires du groupe GLn(F) y sont ´etudi´ees en d´etail. Compar´ee `a la th´eorie complexe, la th´eorie modulaire pr´esente de grandes similarit´es, mais aussi des diff´erences importantes, `a la fois dans les r´esultats et les m´ethodes. Les repr´esentations modulaires d’un groupe compact ne sont pas toujours semi-simples. Le fait que ℓsoit diff´erent de p´equivaut `a l’existence d’une mesure de Haar `a valeurs dans R sur le groupe p-adique, mais la mesure d’un sous-groupe ouvert compact peut ˆetre nulle. Il faut distinguer dans le cas modulaire entre les deux notions de repr´esentation irr´eductible cuspidale (c’est-`a-dire dont tous les modules de Jacquet relativement `a un sous-groupe parabolique propre sont nuls) et supercuspidale (c’est-`a-dire qui n’est sous-quotient d’aucune induite parabolique d’une repr´esentation irr´eductible d’un sous-groupe de Levi propre). Si l’on essaie d’´etendre aux repr´esentations modulaires du groupe non d´eploy´e Gmles techniques employ´ees par Zelevinski [39], Tadi´c [33] et Vign´eras [34, 35], on est confront´e aux probl`emes suivants. Il n’y a pas de version modulaire de la formule des traces et du th´eor`eme de Paley-Wiener (qui servent `a prouver que l’induite normalis´ee d’une repr´esentation de carr´e int´egrable d’un sous-groupe de Levi est irr´eductible et `a ´etablir la correspondance de JacquetLanglands). Il n’y a pas non plus de version modulaire du th´eor`eme du quotient de Langlands, qui permet dans [33] de d´ecrire les repr´esentations irr´eductibles en fonction des temp´er´ees. Les foncteurs de Jacquet ne suffisent pas `a d´eterminer les repr´esentations, c’est-`a-dire qu’il y a des repr´esentations irr´eductibles non isomorphes d’un mˆeme groupe Gmdont tous les modules de Jacquet propres sont isomorphes. La diff´erence entre repr´esentations cuspidales et supercuspidales joue ´egalement un rˆole important. On a naturellement une notion de support supercuspidal (voir le §2.1.2) mais on ignore en g´en´eral si une repr´esentation irr´eductible modulaire d’un groupe r´eductif p-adique poss`ede un unique support supercuspidal (contrairement `a ce qui se passe pour le support cuspidal : voir le th´eor`eme 2.1). L’un des principaux r´esultats de cet article est la preuve de l’unicit´e du support supercuspidal pour les repr´esentations irr´eductibles de Gm(voir plus bas dans cette introduction et le th´eor`eme 8.16). Th´eor`eme A. — Toute repr´esentation irr´eductible de Gma un unique support supercuspidal. ` A ceci s’ajoutent les probl`emes suivants, sp´ecifiques au cas o`u D est non commutative : les repr´esentations cuspidales de Gmn’ont pas de mod`ele de Whittaker et il n’y a pas de th´eorie des d´eriv´ees pour les repr´esentations irr´eductibles de Gm, dont l’usage est crucial dans [35] ; la r´eduction modulo ℓd’une Qℓ-repr´esentation irr´eductible cuspidale enti`ere de Gmn’est pas toujours irr´eductible et il y a des Fℓ-repr´esentations irr´eductibles cuspidales non supercuspidales qui ne se rel`event pas en des Qℓ-repr´esentations (voir [26]). L’un des principaux outils employ´es dans cet article est une version modulaire de la th´eorie des types de Bushnell et Kutzko pour Gm, qui a ´et´e d´evelopp´ee dans un pr´ec´edent article [26]. Elle permet de comparer la th´eorie des repr´esentations lisses de Gm`a celle de certaines alg`ebres de Hecke affines. L’un des principaux r´esultats de [26] est la d´efinition, pour toute repr´esentation irr´eductible cuspidale ρde Gm, d’un caract`ere non ramifi´e νρde ce groupe poss´edant la propri´et´e suivante : si ρ′est une repr´esentation irr´eductible cuspidale de Gm′, avec m′⩾1, alors l’induite parabolique normalis´ee ρ×ρ′(voir (1.3)) est r´eductible si et seulement si m′=met si ρ′est 4ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE isomorphe `a ρνρou `a ρν−1 ρ. Ceci est le point de d´epart de la classification des repr´esentations irr´eductibles puisque, une fois d´efini ce caract`ere, on peut d´efinir la notion de segment (voir la d´efinition 7.1). D´efinition . — Un segment est une suite finie de la forme : [a, b]ρ= (ρνa ρ, ρνa+1 ρ,...,ρνb ρ), o`u a, b ∈Zsont des entiers tels que a⩽bet o`u ρest une repr´esentation irr´eductible cuspidale de Gm. Grˆace `a la propri´et´e de quasi-projectivit´e des types construits dans [26], il existe une bijection explicite entre les repr´esentations irr´eductibles dont le support cuspidal est inertiellement ´equivalent `a ρ⊗ ··· ⊗ ρ(o`u ρapparaˆıt nfois) et les modules simples sur une certaine alg`ebre de Hecke affine H(n, q(ρ)) de type An−1et de param`etre q(ρ), une puissance de passoci´ee `a ρ. Par ce biais, on associe `a un segment ∆ = [a, b]ρde longueur n=b−a+ 1 deux repr´esentations irr´eductibles : Z(∆) et L(∆) de Gmn, respectivement sous-repr´esentation et quotient de l’induite ρνa ρ×ρνa+1 ρ×···×ρνb ρet correspondant respectivement au caract`ere trivial et au caract`ere signe de H(n, q(ρ)). Tant que q(ρ) n’est pas congru `a 1 modulo ℓ, il est possible de d´efinir les repr´esentations Z(∆) et L(∆) sans passer par la th´eorie des types et les alg`ebres de Hecke affines (voir la proposition 7.17), mais cette approche est n´ecessaire si l’on veut inclure le cas o`u q(ρ) est congru `a 1 modulo ℓ. Dans le cas o`u R est le corps des nombres complexes, Z(∆) est une repr´esentation de Speh g´en´eralis´ee et L(∆) une repr´esentation de Steinberg g´en´eralis´ee, c’est `a dire une repr´esentation essentiellement de carr´e int´egrable. Ces repr´esentations jouissent d’un certain nombre de propri´et´es qui sont ´etablies dans la section 7. Elles permettent de prouver le r´esultat suivant, qui prouve le bienfond´e de notre d´efinition des segments li´es (voir la d´efinition 7.3, ainsi que le th´eor`eme 7.24). Th´eor`eme B. — Soit r⩾1et soient ∆1,...,∆rdes segments. Les conditions suivantes sont ´equivalentes : (1) Pour tous i, j ∈ {1,...,r}tels que i6=j, les segments ∆iet ∆jsont non li´es. (2) L’induite Z(∆1)×···×Z(∆r)est irr´eductible. (3) L’induite L(∆1)×···×L(∆r)est irr´eductible. Ce th´eor`eme est une version purement alg´ebrique, valable pour des repr´esentations modulaires, du r´esultat selon lequel l’induite parabolique normalis´ee d’une repr´esentation complexe de carr´e int´egrable est irr´eductible. Un des principaux r´esultats de [26] est la construction de foncteurs Kpermettant de faire un lien entre repr´esentations de Gmet repr´esentations des groupes lin´eaires GL sur une extension finie kdu corps r´esiduel de F. Ils constituent un outil technique important et peuvent ˆetre vus comme la g´en´eralisation du foncteur associant `a une repr´esentation lisse de Gmla repr´esentation de GLm(kD) (o`u kDest le corps r´esiduel de D) sur l’espace de ses invariants sous le radical prounipotent du sous-groupe compact maximal GLm(OD), o`u ODest l’anneau des entiers de D. ´ Etant donn´es un entier f⩾1 et une extension finie kdu corps r´esiduel de F, les repr´esentations irr´eductibles modulaires de GLf(k) ont ´et´e ´etudi´ees et class´ees par Dipper et James [22, 18], et une th´eorie des d´eriv´ees a ´et´e d´evelopp´ee par Vign´eras dans [34]. On notera en particulier les r´esultats suivants (voir la section 3) : REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 5 (1) toute repr´esentation irr´eductible de GLf(k) poss`ede un unique support supercuspidal ; (2) on a une notion de repr´esentation irr´eductible non d´eg´en´er´ee de GLf(k) ; (3) on a une classification des repr´esentations irr´eductibles cuspidales de GLf(k) en fonction des repr´esentations irr´eductibles supercuspidales de GLf′(k) pour f′divisant f. Grˆace aux foncteurs ´evoqu´es plus haut, ces trois assertions vont permettre de prouver plusieurs r´esultats importants qui aboutissent `a l’unicit´e du support supercuspidal (th´eor`eme A ci-dessus). D’abord (1) permet de prouver l’unicit´e du support supercuspidal `a inertie pr`es (voir la proposition 6.17). Ensuite (2) permet d’associer `a tout entier n⩾1 et `a toute repr´esentation irr´eductible cuspidale ρde Gmune repr´esentation irr´eductible : St(ρ, n) d´efinie comme l’unique sous-quotient irr´eductible de l’induite ρ×ρνρ×···×ρνn−1 ρdont l’image par un foncteur Kconvenable, d´efini `a partir de ρ, contienne une certaine repr´esentation irr´eductible non d´eg´en´er´ee. Dans le cas o`u R est le corps des nombres complexes, St(ρ, n) est la repr´esentation de Steinberg g´en´eralis´ee L([0, n −1]ρ), mais dans le cas modulaire ces deux repr´esentations diff`erent d`es que nest assez grand (voir la remarque 8.14). Enfin (3) permet de prouver le r´esultat suivant, qui fournit une classification des repr´esentations irr´eductibles cuspidales en fonction des repr´esentations supercuspidales, dans le cas o`u le corps R est de caract´eristique non nulle ℓ(voir le th´eor`eme 6.14). Th´eor`eme C. — (1) ´ Etant donn´ee une repr´esentation irr´eductible cuspidale ρ, il existe un entier e(ρ)tel que St(ρ, n)soit cuspidale si et seulement si n= 1 ou n=e(ρ)ℓravec r⩾0. (2) Pour toute repr´esentation irr´eductible cuspidale non supercuspidale π, il y a une repr´esentation irr´eductible supercuspidale ρet un unique r⩾0tels que πsoit isomorphe `a la repr´esentation Str(ρ) = St(ρ, e(ρ)ℓr). (3) Si ρ′est une repr´esentation irr´eductible supercuspidale telle que les repr´esentations Str(ρ′) et Str(ρ)soient isomorphes, alors il existe i∈Ztel que ρ′soit isomorphe `a ρνi ρ. La derni`ere ´etape de la preuve de l’unicit´e du support supercuspidal est la proposition cruciale 8.9, qui contrˆole l’apparition de facteurs cuspidaux dans des induites paraboliques. On est alors en mesure de prouver le th´eor`eme 8.16. On arrive maintenant au probl`eme de la classification des repr´esentations irr´eductibles de Gm. On a une notion naturelle d’´equivalence entre segments (voir la d´efinition 7.2), ce qui permet d’introduire la d´efinition suivante. D´efinition . — Un multisegment est une application m`a support fini de l’ensemble des classes d’´equivalence de segments `a valeurs dans N, qu’on repr´esente sous la forme d’une somme finie : m= ∆1+···+ ∆r= [a1, b1]ρ1+···+ [ar, br]ρr, o`u ∆1,...,∆rsont des segments. Si l’on note mil’entier tel que ρisoit une repr´esentation de Gmi, la somme des (bi−ai+1)miest appel´ee le degr´e de met la somme formelle des classe d’´equivalence des ρiνj ρipour i∈ {1,...,r} et j∈ {ai,...,bi}est appel´ee le support de m. Un multisegment est dit supercuspidal si toutes les repr´esentations ρ1,...,ρrsont supercuspidales et ap´eriodique si, pour tout entier n⩾0 et toute repr´esentation irr´eductible cuspidale ρ, il existe a∈Ztel que la classe d’´equivalence du segment [a, a +n]ρn’apparaisse pas dans m. Ces deux sortes de multisegments vont permettre une classification des repr´esentations irr´eductibles 6ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE en fonction de leurs supports supercuspidal et cuspidal respectivement. Ces deux sortes de multisegments se correspondent bijectivement : grˆace `a la classification des repr´esentations cuspidales en fonction des supercuspidales, on d´efinit une application : m7→ msc associant `a un multisegment un multisegment supercuspidal. On v´erifie (voir le lemme 9.8) qu’il existe un unique multisegment ap´eriodique atel que asc =msc ; on le note map. La d´efinition de St(ρ, n) et la preuve de la proposition 8.9 reposent toutes deux sur une id´ee commune donnant lieu `a la notion de repr´esentation irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´ee (voir le §8.1). Dans le cas o`u D = F, cette notion co¨ıncide avec celle de repr´esentation irr´eductible non d´eg´en´er´ee de GLn(F) d´efinie par Vign´eras (voir le corollaire 9.12). Grossi`erement, il s’agit, par l’interm´ediaire des foncteurs Kintroduits ci-dessus, de transporter aux repr´esentations de Gmla notion de repr´esentation non d´eg´en´er´ee qui existe pour les repr´esentations de GL sur un corps fini de caract´eristique p. Cette id´ee culmine dans la d´efinition suivante : `a tout multisegment mon fait correspondre un sous-groupe de Levi standard Mmde G (dont les tailles des blocs sont donn´es par les degr´es des segments apparaissant dans m) puis une repr´esentation irr´eductible : Σ(m) de Mm(not´ee Stµm(m) au paragraphe 9.4) d´efinie comme l’unique sous-quotient irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´e du module de Jacquet de Z(∆1)×···×Z(∆r) relatif au sous-groupe parabolique standard Pmde facteur de Levi Mm. Cette induite poss`ede un unique sous-quotient irr´eductible : Z(m) dont le module de Jacquet relatif `a Pmposs`ede un sous-quotient isomorphe `a Σ(m). L’int´erˆet d’introduire la repr´esentation Σ(m) est qu’il n’est pas difficile de montrer qu’elle ne d´epend que de msc, et que l’application m7→ Σ(m) est injective sur l’ensemble des multisegments supercuspidaux (voir le §9.4.2). Il s’ensuit que la restriction Zsc de m7→ Z(m) `a l’ensemble des multisegments supercuspidaux est injective (voir le th´eor`eme 9.30). La preuve de la surjectivit´e de l’application Zsc et le calcul des supports cuspidal et supercuspidal de Z(m) pour un multisegment mquelconque sont plus difficiles. Nous traitons tous ces probl`eme en mˆeme temps dans un raisonnement par r´ecurrence sur le degr´e de m(voir les propositions 9.32 et 9.34). C’est l`a que nous utilisons de fa¸con cruciale un argument de comptage (voir le lemme 9.33) reposant sur la classification des modules irr´eductibles sur une alg`ebre de Hecke affine en une racine de l’unit´e (Ariki [1, 2], Chriss-Ginzburg [11]). De fa¸con pr´ecise, cet argument (voir le §4.3) permet de conclure que l’application injective (9.16) est bijective. Nous obtenons finalement le th´eor`eme de classification (voir le th´eor`eme 9.36). Th´eor`eme D. — (1) L’application m7→ Z(m)induit une surjection de l’ensemble des multisegments de degr´e msur l’ensemble des repr´esentations irr´eductibles de Gm. (2) ´ Etant donn´es deux multisegments m,m′, les repr´esentations Z(m),Z(m′)sont isomorphes si et seulement si msc =m′ sc (ou, de fa¸con ´equivalente, si map =m′ ap). (3) Pour tout multisegment m, le support cuspidal de Z(m)est ´egal au support de map et son support supercuspidal est ´egal au support de msc. Enfin, dans le paragraphe 9.7, nous ´etudions le probl`eme de la r´eduction mod ℓdes Qℓ-repr´esentations irr´eductibles enti`eres de Gm. Nous prouvons (voir le th´eor`eme 9.40) que le morphisme REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 7 de r´eduction mod ℓest surjectif, c’est-`a-dire que toute Fℓ-repr´esentation irr´eductible de Gmest la r´eduction mod ℓd’une Qℓ-repr´esentation virtuelle enti`ere de longueur finie. Nous insistons sur le fait que ce travail fournit une classification des repr´esentations irr´eductibles de Gmne reposant pas sur les r´esultats ant´erieurs de Zelevinski, Tadi´c et Vign´eras. Par contre, il s’appuie sur la classifications des repr´esentations irr´eductibles modulaires de GLnsur un corps fini de caract´eristique p(Dipper-James) et sur la classification des modules irr´eductibles sur une alg`ebre de Hecke affine en une racine de l’unit´e (Ariki, Chriss-Ginzburg). Dans la section 2, on ´etablit des r´esultats g´en´eraux concernant l’induction parabolique dans un groupe r´eductif p-adique quelconque : on prouve que la semi-simplifi´ee de l’induite parabolique d’une repr´esentation irr´eductible d’un sous-groupe de Levi ne d´epend pas du sous-groupe parabolique choisi (proposition 2.2), et on prouve au paragraphe 2.3 des crit`eres d’irr´eductibilit´e et d’unicit´e d’un quotient irr´eductible d’une induite parabolique. Les sections 3, 4 et 5 ne contiennent pas de r´esultat nouveau. Dans la section 3, on r´esume la th´eorie des repr´esentations modulaires de GLnsur un corps fini de caract´eristique p. Dans la section 4, on r´esume la classification des modules simples sur une R-alg`ebre de Hecke affine de type A en termes de multisegments ap´eriodiques. Dans la section 5, on r´esume les r´esultats et les outils de th´eorie des types obtenus dans [26] dont nous aurons besoin. Dans la section 6, on prouve l’unicit´e du support supercuspidal `a inertie pr`es et on classe les repr´esentations cuspidales de Gmen fonction des repr´esentations supercuspidales de Gm′ avec m′divisant m. Dans la section 7, on d´efinit la notion de segment et on associe `a tout segment deux repr´esentations irr´eductibles dont on ´etudie les propri´et´es. Dans la section 8, on d´efinit la notion de repr´esentation r´esiduellement non d´eg´en´er´ee de Gm. Dans la section 9 enfin, on classe les repr´esentations irr´eductibles de Gmen termes de multisegments ap´eriodiques et supercuspidaux. Remerciements Nous remercions Jean-Fran¸cois Dat, Guy Henniart, Vanessa Miemietz, Shaun Stevens et Marie-France Vign´eras pour de nombreuses discussions `a propos de ce travail. Une partie de ce travail a ´et´e r´ealis´ee lors du s´ejour des auteurs `a l’Erwin Schr¨odinger Institute en janvier-f´evrier 2009 et du second auteur `a l’Institut Henri Poincar´e de janvier `a mars 2010 ; que ces deux institutions soient remerci´ees pour leur accueil et leur soutien financier. Une autre partie en a ´et´e r´ealis´ee lors de plusieurs s´ejours `a l’University of East Anglia : nous remercions celle-ci pour son accueil et Shaun Stevens pour ses nombreuses invitations. Alberto M´ınguez remercie le CNRS pour les six mois de d´el´egation dont il a b´en´efici´e en 2011. Vincent S´echerre remercie l’Institut de Math´ematiques de Luminy et l’Universit´e de la M´editerran´ee Aix-Marseille 2, o`u il ´etait en poste durant la majeure partie de ce travail. Notations et conventions 1. On note Nl’ensemble des entiers naturels, Zl’anneau des entiers relatifs et Cle corps des nombres complexes. 2. Si X est un ensemble, on note Z(X) le groupe ab´elien libre de base X constitu´e des applications de X dans Z`a support fini et N(X) le sous-mono¨ıde constitu´e des applications `a valeurs dans 8ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE N.´ Etant donn´es f, g ∈Z(X), on note f⩽gsi g−f∈N(X), ce qui d´efinit une relation d’ordre partiel sur Z(X). 3. Dans cet article, F est un corps commutatif localement compact non archim´edien de caract´eristique r´esiduelle not´ee pet R est un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique diff´erente de p. 4. Toutes les F-alg`ebres sont suppos´ees unitaires et de dimension finie. Par F-alg`ebre `a division on entend F-alg`ebre centrale dont l’anneau sous-jacent est un corps, pas n´ecessairement commutatif. Si K est une extension finie de F, ou une alg`ebre `a division sur une extension finie de F, on note OKson anneau d’entiers, pKson id´eal maximal, kKson corps r´esiduel et qKle cardinal de kK. En particulier, on pose q=qFune fois pour toutes. 5. Une R-repr´esentation lisse d’un groupe topologique G est la donn´ee d’un R-espace vectoriel V et d’un homomorphisme de G dans AutR(V) tel que le stabilisateur dans G de tout vecteur de V soit ouvert. Dans cet article, toutes les repr´esentations sont des R-repr´esentations lisses. Une repr´esentation de G sur un R-espace vectoriel V est admissible si, pour tout sous-groupe ouvert H de G, l’espace VHde ses vecteurs H-invariants est de dimension finie. Un R-caract`ere de G est un homomorphisme de G dans R×de noyau ouvert. Si πest une R-repr´esentation de G, on d´esigne par π∨sa contragr´ediente. Si en outre χest un R-caract`ere de G, on note χπ ou πχ la repr´esentation tordue g7→ χ(g)π(g). Si aucune confusion n’est `a craindre, on ´ecrira caract`ere et repr´esentation plutˆot que R-caract`ere et R-repr´esentation. 6. On d´esigne par RR(G) la cat´egorie des R-repr´esentations lisses de G, par IrrR(G) l’ensemble des classes d’isomorphisme de ses repr´esentations irr´eductibles et par GR(G) le groupe de Grothendieck de ses repr´esentations de longueur finie. On omettra souvent R dans les notations. Si σest une repr´esentation de longueur finie de G, on d´esigne par [σ]son image dans G(G). En particulier, si σest irr´eductible, [σ]d´esigne sa classe d’isomorphisme. Lorsqu’aucune confusion ne sera possible, il nous arrivera d’identifier une repr´esentation avec sa classe d’isomorphisme. Le Z-module G(G) s’identifie `a Z(Irr(G)), qui est muni d’une relation d’ordre not´ee ⩽, tandis que N(Irr(G)) est l’ensemble des [σ]o`u σd´ecrit les repr´esentations de longueur finie de G. 1. Pr´eliminaires 1.1. Induction et restriction paraboliques On suppose dans tout ce paragraphe que G est le groupe des points sur F d’un groupe r´eductif connexe d´efini sur F. On renvoie `a [34, II.2] pour plus de pr´ecisions. Toute repr´esentation irr´eductible de G est admissible et admet un caract`ere central d’apr`es [34, II.2.8]. 1.1.1. On choisit une fois pour toutes une racine carr´ee de qdans R, not´ee √q. Si P = MN est un sous-groupe parabolique de G muni d’une d´ecomposition de Levi, son module δPest un caract`ere de M dans C×de la forme m7→ qvP(m)o`u vPest un homomorphisme de groupes de M dans Z. On d´efinit un R-caract`ere : m7→ (√q)vP(m) qui est un caract`ere non ramifi´e de M dont le carr´e est le module de P `a valeurs dans R×. On note rG Ple foncteur de restriction parabolique normalis´e (relativement `a ce caract`ere) de R(G) REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 9 dans R(M) et iG Pson adjoint `a droite, c’est-`a-dire le foncteur d’induction parabolique normalis´e qui lui correspond. Ces foncteurs sont exacts, et ils pr´eservent l’admissibilit´e et le fait d’ˆetre de longueur finie (voir [34, II], paragraphes 2.1, 3.8 et 5.13). Remarque 1.1. — Lorsque pest impair, remplacer la racine carr´ee choisie plus haut par son oppos´ee a pour effet de tordre les foncteurs iG Pet rG Ppar un caract`ere non ramifi´e d’ordre 2. Soit P−le sous-groupe parabolique de G oppos´e `a P relativement `a M. Proposition 1.2. — Si πet σsont des repr´esentations admissibles de Get de Mrespectivement, on a un isomorphisme de R-espaces vectoriels : HomG(iG P−(σ), π)≃HomM(σ, rG P(π)) dit de seconde adjonction (voir [34, II.3.8]). 1.1.2. On fixe un tore d´eploy´e maximal A de G et un sous-groupe parabolique minimal P de G contenant A. On note respectivement W = W(G,A) et Φ = Φ(G,A) le groupe de Weyl et l’ensemble des racines r´eduites de G relativement `a A. Le choix de P d´etermine une base S de Φ ainsi qu’un ensemble Φ+de racine positives dans Φ. Pour toute partie I ⊆S, on note PIle sous-groupe parabolique de G contenant P d´etermin´e par I et MIle sous-groupe de Levi contenant A lui correspondant. Pour I,J⊆S, on pose : D(I,J) = D(MI,MJ) = {w∈W|w−1(I) ⊆Φ+et w(J) ⊆Φ+}. ´ Etant donn´ee une repr´esentation σde MJ, on a le lemme g´eom´etrique de Bernstein et Zelevinski : (1.1) [rG PI(iG PJ(σ))]=X w∈D(I,J) [iMI MI∩Pw−1 J (w·rMJ MJ∩Pw I(σ))], qui est une ´egalit´e dans le groupe de Grothendieck G(MI), et o`u w·d´esigne la conjugaison par w. On renvoie `a [12, 2.8] pour plus de pr´ecisions. 1.1.3. Une repr´esentation irr´eductible de G est cuspidale si son image par rG Pest nulle pour tout sous-groupe parabolique propre P de G, c’est-`a-dire si elle n’est isomorphe `a aucun quotient (ou, de fa¸con ´equivalente, `a aucune sous-repr´esentation) d’une induite parabolique d’une repr´esentation d’un sous-groupe de Levi propre. Elle est supercuspidale si elle n’est isomorphe `a aucun sous-quotient d’une induite parabolique d’une repr´esentation irr´eductible d’un sous-groupe de Levi propre. On note CR(G) et SR(G) les ensembles form´es respectivement des classes d’isomorphisme de repr´esentations irr´eductibles cuspidales et supercuspidales de G. 1.2. Repr´esentations enti`eres Soit ℓun nombre premier diff´erent de p. On note Qℓle corps des nombres ℓ-adiques, Zℓson anneau d’entiers et Fℓle corps r´esiduel de Zℓ. On fixe une clˆoture alg´ebrique Qℓde Qℓ. On note Zℓson anneau d’entiers et Fℓle corps r´esiduel de Zℓ, qui est une clˆoture alg´ebrique de Fℓ. On suppose, `a l’exception du paragraphe 1.2.1 o`u G est un groupe localement profini quelconque, que G est le groupe des points sur F d’un groupe r´eductif connexe d´efini sur F. 1.2.1. Soit G un groupe topologique localement profini. Une repr´esentation de G sur un Qℓ-espace vectoriel V est dite enti`ere si elle est admissible et si elle admet une structure enti`ere, c’est-`a-dire un sous-Zℓ-module de V stable par G et engendr´e par une base de V sur Qℓ([34, 37]). 16 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE B = (bi,j) compos´ees d’entiers positifs tels que : s X j=1 bi,j =mi, i ∈ {1,...,r}, r X i=1 bi,j =nj, j ∈ {1,...,s}. Fixons B ∈Mα,β et notons αi= (bi,1,...,bi,s) et βj= (b1,j,...,br,j), qui sont des familles de somme miet de njrespectivement. Pour chaque i∈ {1,...,r}, on ´ecrit : σ(k) i=σ(k) i,1⊗···⊗σ(k) i,s , σ(k) i,j ∈Irr(Gbi,j ), k ∈ {1,...,ri}, les diff´erents sous-quotients irr´eductibles de rαi(πi). Pour tout j∈ {1,...,s}et toute famille d’entiers (k1,...,kr) tels que 1 ⩽ki⩽ri, on d´efinit une repr´esentation σjde Gnjpar : σj=iβjσ(k1) 1,j ⊗···⊗σ(kr) r,j . Alors les repr´esentations : σ1⊗···⊗σs,B∈Mα,β,1⩽ki⩽ri, sont les sous-quotients irr´eductibles de rβ(iα(π)). Voir Zelevinski [39,§1.6], la preuve ´etant valable pour R alg´ebriquement clos de caract´eristique diff´erente de pet pour D quelconque. La proposition suivante est la combinaison du lemme 2.4 et de [25, Corollaire 2.2] dont la preuve est valable pour un corps alg´ebriquement clos quelconque de caract´eristique diff´erente de p. On reprend les notations ci-dessus avec s= 2. Proposition 2.8. — On suppose que, pour tout i∈ {1,...,r}, toute famille d’entiers αide somme miet tout sous-quotient σ(k) i=σ(k) i,1⊗σ(k) i,2de rαi(πi), on a : cusp(σ(k) i,2)X i<j⩽r cusp(πj). Alors πapparaˆıt avec multiplicit´e 1dans [rα(iα(π))]. Ainsi iα(π)a une unique sous-repr´esentation irr´eductible, dont la multiplicit´e dans [iα(π)]est ´egale `a 1. 3. Repr´esentations modulaires de GLnsur un corps fini Sont r´eunis dans cette section les r´esultats de la th´eorie des repr´esentations modulaires de GLnsur un corps fini dont nous avons besoin. On fixe un corps fini kde caract´eristique pet de cardinal q. La r´ef´erence principale est l’article de James [22] (voir aussi [18, 21]). 3.1. Pr´eliminaires Pour m⩾1, on pose ¯ Gm= GLm(k), et on note ¯ G0le groupe trivial. On note Irr l’ensemble des classes d’isomorphisme de repr´esentations irr´eductibles des ¯ Gm,m⩾0, et Gle Z-module libre de base Irr. On note Cet Sles sous-ensembles de Irr constitu´es respectivement des classes de repr´esentations cuspidales et supercuspidales. Si α= (m1,...,mr) est une famille d’entiers ⩾0 de somme m, il lui correspond le sous-groupe de Levi standard ¯ Mαde ¯ Gmconstitu´e des matrices diagonales par blocs de tailles m1,...,mr respectivement, que l’on identifie naturellement au produit ¯ Gm1×···×¯ Gmr. On note ¯ Pαle sousgroupe parabolique de ¯ Gmde facteur de Levi ¯ Mαform´e des matrices triangulaires sup´erieures par blocs de tailles m1,...,mrrespectivement, et on note ¯ Nαson radical unipotent. On note iα REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 17 le foncteur d’induction parabolique de ¯ Mαdans ¯ Gmle long de ¯ Pα. Si, pour chaque i∈ {1,...,r}, on a une repr´esentation πide ¯ Gmi, on notera : (3.1) π1×···×πr=iα(π1⊗···⊗πr). Si πest une repr´esentation de longueur finie de ¯ Gmpour un m⩾0, on note [π]son image dans Get deg(π) = mson degr´e. L’application degr´e et la formule (3.1) font de Gune Z-alg`ebre associative commutative gradu´ee. La commutativit´e de Gse d´eduit par exemple de [20], o`u Howlett et Lehrer prouvent que l’induction parabolique ne d´epend pas du sous-groupe parabolique quand le facteur de Levi est fix´e. Toute repr´esentation irr´eductible a un support cuspidal et un support supercuspidal, c’est-`adire qu’on a une application surjective `a fibres finies : cusp : Irr →N(C) telle que, ´etant donn´ees des repr´esentations irr´eductibles cuspidales σ1,...,σn, on ait : cusp−1([σ1]+···+[σn]) = {classes de quotients irr´eductibles de σ1×···×σn} et on a une application surjective `a fibres finies : scusp : Irr →N(S) telle que, ´etant donn´ees des repr´esentations irr´eductibles supercuspidales σ1,...,σn, on ait : scusp−1([σ1]+···+[σn]) = {classes de sous-quotients irr´eductibles de σ1×···×σn} (voir [34, III.2.5]). 3.2. Repr´esentations non d´eg´en´er´ees On rappelle quelques d´efinitions concernant les partitions (voir Macdonald [23, I.1] pour plus de pr´ecisions). Une partition d’un entier m⩾1 est une suite d´ecroissante : µ= (µ1⩾µ2⩾...⩾µr) d’entiers strictement positifs dont la somme est ´egale `a m. Sa partition conjugu´ee est la partition µ′= (µ′ 1⩾µ′ 2⩾...⩾µ′ s) de mo`u µ′ jest le nombre d’entiers i∈ {1,...,r}tels que µi⩾j. Si µ, ν sont des partitions de m, on ´ecrit µEνlorsque : X i⩽k µi⩽X i⩽k νi pour tout k⩾1. On a µEνsi et seulement si ν′Eµ′, c’est-`a-dire que l’application µ7→ µ′est d´ecroissante pour E. Pour cette relation, la plus grande partition de mest (m), tandis que la plus petite est (1,...,1). Si µ= (µ1⩾µ2⩾...) est une partition d’un entier met ν= (ν1⩾ν2⩾...) une partition d’un entier n, on note µ+νla partition (µ1+ν1⩾µ2+ν2⩾...) de l’entier m+n. Remarque 3.1. — On peut penser `a une partition comme `a un ´el´ement de N(N∗). Soit ¯ G = ¯ Gmpour un m⩾1. On note ¯ N = ¯ N(1,...,1) le sous-groupe des matrices unipotentes triangulaires sup´erieures de ¯ G. On fixe un R-caract`ere non trivial ψde k. Pour ce qui suit, on renvoie plus sp´ecifiquement `a [34, III.1-2]. 18 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE Pour toute partition µ= (µ1⩾µ2⩾...⩾µr) de m, on note ψµle caract`ere de ¯ N d´efini par : ψµ:u7→ ψX i∈Jµ ui,i+1, la somme portant sur l’ensemble Jµde tous les entiers i∈ {1,...,m−1}qui ne sont de la forme µ1+···+µkpour aucun k∈ {1,...,r}. D´efinition 3.2. — Une repr´esentation πde ¯ G est µ-d´eg´en´er´ee si Hom¯ N(π, ψµ) est non nul. Si µest la partition maximale (m), le caract`ere ψ(m)est non d´eg´en´er´e et on retrouve la notion classique de mod`ele de Whittaker par r´eciprocit´e de Frobenius. On dit que πest non d´eg´en´er´ee si elle est (m)-d´eg´en´er´ee. Le r´esultat suivant est une cons´equence de [34, III.1.10]. Proposition 3.3. — Soient σ1,...,σrdes repr´esentations irr´eductibles. Les conditions suivantes sont ´equivalentes : (1) L’induite σ1×···×σrposs`ede un sous-quotient irr´eductible non d´eg´en´er´e. (2) Pour tout 1⩽i⩽r, la repr´esentation σiest non d´eg´en´er´ee. Si elles son satisfaites, ce sous-quotient irr´eductible non d´eg´en´er´e est unique et sa multiplicit´e dans l’induite est 1. 3.3. Classification de James Soient m, n ⩾1 et soit σune repr´esentation irr´eductible cuspidale de ¯ Gm. On d´ecrit dans ce paragraphe la classification par James [22] des repr´esentations irr´eductibles de ¯ Gmn isomorphes `a un sous-quotient de σ×···×σen fonction des partitions de n. Soit H=H(σ, n) l’alg`ebre des endomorphismes de σ×···×σ, qui est une alg`ebre de Hecke de type An−1et de param`etre qm. Cette repr´esentation induite est presque-projective au sens de Dipper [17] (voir aussi [26, 4.1]), On a ainsi une bijection entre classes de repr´esentations irr´eductibles isomorphes `a un quotient de σ×···×σet classes de H-modules irr´eductibles. Remarque 3.4. — Si R est de caract´eristique non nulle ℓ, et si qmn’est pas congru `a 1 modulo ℓ, alors σest une repr´esentation projective (voir [34, III.2.9]). D’apr`es [22, 6], il existe une unique sous-repr´esentation irr´eductible de σ×···×σ, not´ee : (3.2) z(σ, n), dont le H-module associ´e soit le caract`ere trivial de H. Th´eor`eme 3.5 (James [22]). — Soit µ= (µ1⩾µ2⩾...⩾µr)une partition de n. (1) La repr´esentation z(σ, µ1)×···×z(σ, µr)admet un unique sous-quotient irr´eductible : z(σ, µ) d´eg´en´er´e relativement `a la partition mµ′= (mµ′ 1⩾mµ′ 2⩾...). (2) Les sous-quotients irr´eductibles de l’induite z(σ, µ1)×···×z(σ, µr)sont de la forme z(σ, ν) avec µEν, et z(σ, µ)apparaˆıt dans cette induite avec multiplicit´e 1. (3) L’application : µ7→ z(σ, µ) est une bijection entre partitions de net classes de repr´esentations irr´eductibles de ¯ Gmn isomorphes `a un sous-quotient de σ×···×σ. REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 19 Remarque 3.6. — (1) On note e(σ) le plus petit entier k⩾1 tel que : 1 + qm+···+qm(k−1) = 0 dans R. (Si R est de caract´eristique nulle, on convient que e(σ) = +∞.) Alors z(σ, µ) est isomorphe `a un quotient de σ× ··· × σsi et seulement si µest e(σ)-r´eguli`ere, c’est-`a-dire si aucun µin’est r´ep´et´e plus de e(σ) fois, ou encore si µ′ j< e(σ) pour tout j. (2) Si σest supercuspidale, l’application µ7→ z(σ, µ) est une bijection entre partitions de net classes de repr´esentations irr´eductibles de ¯ Gmn de support supercuspidal n·[σ]=[σ]+···+[σ]. La repr´esentation : st(σ, n) = z(σ, (1,...,1)) est l’unique sous-quotient non d´eg´en´er´e de l’induite σ×···×σ, dans laquelle elle est de multiplicit´e 1. Le r´esultat suivant fournit une classification de Cen fonction de S. Proposition 3.7. — On a les propri´et´es suivantes : (1) st(σ, n)est cuspidale si et seulement si n= 1 ou n=e(σ)ℓr, avec r⩾0. (2) L’application : (σ, r)7→ str(σ) = st(σ, e(σ)ℓr) d´efinit une bijection entre S×Net l’ensemble des classes de repr´esentations irr´eductibles cuspidales non supercuspidales. On a le r´esultat suivant. Voir le paragraphe 1.2 pour la d´efinition de rℓ. Proposition 3.8. — Soit σune Fℓ-repr´esentation irr´eductible cuspidale de ¯ Gm, et soit ˜σune Qℓ-repr´esentation cuspidale relevant σ(c’est-`a-dire que rℓ(˜σ) = σ). Soit n⩾1. (1) On a rℓ(z(˜σ, n)) = z(σ, n). (2) La repr´esentation rℓ(st(˜σ, n)) est irr´eductible si et seulement si n < e(σ). (3) Il existe une structure enti`ere vde st(˜σ, n)telle que st(σ, n)soit une sous-repr´esentation de v⊗Fℓ. D´emonstration. — D’apr`es [22], les sous-quotients irr´eductibles de rℓ(st(˜σ, n)) sont de la forme z(σ, µ) avec (n)Eµet z(σ, n) apparaˆıt avec multiplicit´e 1. Donc rℓ(st(˜σ, n)) est irr´eductible. Pour les deux autres assertions, voir [34, III.2.8] et [34, III.2.4, Remarque 3]. De fa¸con analogue `a (3.2), l’induite σ×···×σa un unique quotient irr´eductible : (3.3) l(σ, n), dont le H-module associ´e soit le caract`ere signe de H. Proposition 3.9. — On a l(σ, n) = st(σ, n)si et seulement si n < e(σ). D´emonstration. — L’une des implications provient du fait que st(σ, n) correspond `a un module simple de Hsi et seulement si la partition (1,...,1) est e(σ)-r´eguli`ere, c’est-`a-dire si n < e(σ). Inversement, supposons que n < e(σ). Comme le groupe ¯ G est fini et comme le r´esultat est connu quand R est de caract´eristique nulle, on peut supposer que R = Fℓ. Soit ˜σune Qℓ-repr´esentation cuspidale relevant σ. D’apr`es la proposition 3.8, st(σ, n) est la r´eduction mod ℓde st(˜σ, n). Le H(˜σ, n)-module correspondant `a st(˜σ, n) est le Qℓ-caract`ere signe. Par cons´equent, le H(σ, n)-module correspondant `a st(σ, n) est le Fℓ-caract`ere signe. 20 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE 4. Repr´esentations modulaires des alg`ebres de Hecke affines Dans cette section, on a r´euni les r´esultats de la th´eorie des repr´esentations modulaires des alg`ebres de Hecke affines dont nous aurons besoin. Il s’agit de R-alg`ebres de Hecke affines de type A en un param`etre non nul qui peut ˆetre une racine de l’unit´e. Le r´esultat principal est le th´eor`eme 4.8 de classification des modules simples en termes de multisegments ap´eriodiques d’apr`es [39, 30, 1, 11, 3, 24]. On d´efinit aussi des caract`eres (d´efinition 4.1) qui serviront dans la section 7 pour d´efinir les r´epr´esentations irr´eductibles attach´ees `a un segment. 4.1. L’alg`ebre de Hecke affine Soient n⩾1 et ξ∈R×. On note Hn=HR(n, ξ) la R-alg`ebre de Hecke affine engendr´ee par les symboles S1,...,Sn−1et X1,...,Xnet leurs inverses (X1)−1,...,(Xn)−1avec les relations : (Si+ 1)(Si−ξ) = 0, i ∈ {1,...n−1},(4.1) SiSj= SjSi,|i−j|⩾2,(4.2) SiSi+1Si= Si+1SiSi+1, i ∈ {1,...n−2},(4.3) XiXj= XjXi, i, j ∈ {1,...,n},(4.4) XjSi= SiXj, i /∈ {j, j −1},(4.5) SiXiSi=ξXi+1, i ∈ {1,...,n−1},(4.6) auxquelles s’ajoutent les relations Xj(Xj)−1= (Xj)−1Xj= 1 pour j∈ {1,...,n}. Compte tenu de ces relations, on peut d´efinir deux familles de caract`eres de Hn. D´efinition 4.1. — Soient a, b ∈Ztels que a⩽b, et soit n=b−a+ 1. (1) On note Z(a, b) le caract`ere de Hnd´efini par : Si7→ ξ, i ∈ {1,...,n−1},Xj7→ ξa+j−1, j ∈ {1,...,n}. (2) On note L(a, b) le caract`ere de Hnd´efini par : Si7→ −1, i ∈ {1,...,n−1},Xj7→ ξb−j+1, j ∈ {1,...,n}. Soit α= (n1,...,nr) une famille d’entiers ⩾1 de somme n. Notons Hαla sous-alg`ebre de Hnengendr´ee par les Xiet leurs inverses et les Siavec idiff´erent de n1+···+nkpour tout k∈ {1,...,r}. Elle est canoniquement isomorphe `a Hn1⊗···⊗Hnr. Exemple 4.2. — Dans le cas o`u α= (1,...,1), la sous-alg`ebre H(1,...,1) est commutative et ´egale `a R[X±1 1,...,X±1 n]. On note : (4.7) I(a, b) le Hn-module des H(1,...,1)-homomorphismes de Hndans la restriction de Z(a, b) `a H(1,...,1). Les caract`eres Z(a, b), L(a, b) apparaissent respectivement comme sous-module et quotient de I(a, b), tous deux avec multiplicit´e 1. On note Zn=ZR(n, ξ) le centre de Hn. C’est la sous-alg`ebre de R[X±1 1,...,X±1 n] constitu´ee des ´el´ements invariants sous l’action du groupe sym´etrique Snsur les Xi. D´efinition 4.3. — Le caract`ere central d’un Hn-module irr´eductible est le caract`ere de Znpar lequel celui-ci agit sur ce module. REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 21 Le caract`ere central d’un Hn-module irr´eductible est caract´eris´e par nscalaires non nuls et non ordonn´es, c’est-`a-dire par un multi-ensemble de longueur ndans N(R×). On a une application : cent : Irr(Hn)→N(R×) surjective et `a fibres finies, associant `a un Hn-module irr´eductible son caract`ere central. Le caract`ere central joue pour les modules un rˆole analogue `a celui du support cuspidal pour les repr´esentations. Pour un Ξ ∈N(R×) de longueur n, on note Irr(Hn,Ξ) l’ensemble des classes d’isomorphisme de Hn-modules irr´eductibles de caract`ere central Ξ. Th´eor`eme 4.4. — Soit r⩾1un entier et soient z1,...,zr∈R×tels que zi/zj/∈ξZpour tous i6=j. Pour chaque i, soit ni⩾1un entier et soit Ξi∈N(ziξZ). On note Ξla somme des Ξi, qu’on suppose de longueur n, et on pose α= (n1,...,nr). (1) Pour chaque i, soit mi∈Irr(Hni,Ξi). Alors HomHα(Hn,m1⊗···⊗mr)est un Hn-module irr´eductible de caract`ere central Ξ. (2) L’application ainsi d´efinie : Irr(Hn1,Ξ1)×···×Irr(Hnr,Ξr)→Irr(Hn,Ξ) est bijective. D´emonstration. — La m´ethode de Rogawski [30, 4.1] est encore valable ici. 4.2. L’alg`ebre de Hecke-Iwahori On rappelle que qd´esigne le cardinal du corps r´esiduel de F ; on note ξson image dans R. Soit n⩾1 un entier et soit I le sous-groupe d’Iwahori standard de G = GLn(F). On note e1,...,en les vecteurs de la base canonique du F-espace vectoriel Fn. Pour i∈ {1,...,n−1}, on note sila matrice de permutation transposant eiet ei+1 et laissant invariants les autres vecteurs de la base, et on note Sila fonction caract´eristique de IsiI. Pour j∈ {0,...,n}, on note tjla matrice diagonale de G agissant par ek7→ ekpour chaque k∈ {1,...,j}et laissant invariants les autres vecteurs de la base, et Tjla fonction caract´eristique de ItjI, qui est inversible. Pour tout j∈ {1,...,n}, on pose : Xj=ξ−j+(n+1)/2Tj−1(Tj)−1. Alors les ´el´ements S1,...,Sn−1et X1,...,Xnet leurs inverses (X1)−1,...,(Xn)−1engendrent l’alg`ebre HR(G,I) des fonctions de G dans R `a support compact et bi-invariantes par I, avec les relations (4.1) `a (4.6) ci-dessus. On a ainsi un isomorphisme : Υ : HR(G,I) →HR(n, ξ) = Hn de R-alg`ebres. Remarque 4.5. — La description par g´en´erateurs et relations ci-dessus se d´eduit de celle donn´ee dans [29] en appliquant l’involution ♭de HR(G,I) d´efinie par : S♭ i= Sn−i, i ∈ {1,...,n−1},X♭ j= X−1 n+1−j, j ∈ {1,...,n}. Soit α= (n1,...,nr) une famille d’entiers ⩾1 de somme ´egale `a n. L’intersection I ∩Mαest le sous-groupe d’Iwahori standard du sous-groupe de Levi Mα. L’alg`ebre HR(Mα,I∩Mα) a des g´en´erateurs : Si,j,Xi,k,(Xi,k)−1, i ∈ {1,...,r}, j ∈ {1,...,ni−1}, k ∈ {1,...,ni}, 22 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE et on a un isomorphisme de R-alg`ebres : Υα:HR(Mα,I∩Mα)→HR(n1, ξ)⊗···⊗HR(nr, ξ) = Hα. Il existe un unique morphisme de R-alg`ebres jαde HR(Mα,I∩Mα) dans HR(G,I) tel que : jα(Si,j) = Sn1+···+ni−1+j, jα(Xi,k) = Xn1+···+ni−1+k, pour i∈ {1,...,r},j∈ {1,...,ni−1},k∈ {1,...,ni}, et le morphisme compos´e Υ ◦jαest ´egal `a Υα. 4.3. Classification des modules irr´eductibles Rappelons que ξd´esigne l’image de qdans R. Si R est de caract´eristique non nulle, on note ele plus petit entier ⩾1 tel que : 1 + ξ+···+ξe−1= 0 dans R. Sinon, on pose e= +∞. D´efinition 4.6. — (1) Un segment est une suite finie de la forme : [a, b] = (ξa, ξa+1,...,ξb) o`u a, b ∈Zsont des entiers tels que a⩽b. (2) Un multisegment est un multi-ensemble de segments. Si mest fini, un multisegment est dit ap´eriodique s’il ne contient aucun multisegment de la forme : [a, b] + [a+ 1, b + 1] + ···+ [a+e−1, b +e−1]. Si e= +∞, on convient que tout multisegment est ap´eriodique. D´esignons par Ψ l’ensemble des multisegments ap´eriodiques. ´ Etant donn´e un multisegment ap´eriodique : ψ= [a1, b1] + ···+ [ar, br]∈Ψ, on note supp(ψ) la somme formelle des [ξj]pour i∈ {1,...,r}et j∈ {ai,...,bi}, qu’on appelle le support de ψ.´ Etant donn´e Ξ ∈N(ξZ), on note Ψ(Ξ) l’ensemble des multisegments ap´eriodiques de support Ξ. Remarque 4.7. — On suppose que R est de caract´eristique ℓnon nulle et que ξvaut 1. Un multisegment s’identifie `a une partition et Ψ `a l’ensemble des partitions ℓ-r´eguli`eres. Le th´eor`eme suivant donne la classification des Hn-modules irr´eductibles en termes de multisegments ap´eriodiques. Th´eor`eme 4.8. — Il existe une bijection : ψ7→ Zψ entre les multisegments ap´eriodiques de longueur net les classes d’isomorphisme de Hn-modules irr´eductibles `a caract`ere central dans N(ξZ)telle que le caract`ere central de Zψsoit supp(ψ). REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 23 D´emonstration. — Si R est de caract´eristique 0, le r´esultat est une cons´equence de la classification de Zelevinski [39] (voir aussi Rogawski [30]). Si R est de caract´eristique ℓnon nulle et si ξ6= 1, il est dˆu `a Ariki et Mathas [3, Theorem B] et s’appuie sur [1] et les travaux de Chriss-Ginzburg [11]. Si R est de caract´eristique ℓnon nulle et si ξ= 1, alors Ψ est (remarque 4.7) l’ensemble des partitions ℓ-r´eguli`eres. D’apr`es Mathas [24, Theorem 3.7], il existe une bijection entre partitions ℓ-r´eguli`eres de net classes de H-modules irr´eductibles de caract`ere central [1]+···+[1]=n·[1]. (Mathas utilise la notion de partition ℓ-restreinte ; on se ram`ene `a celle de partition ℓ-r´eguli`ere par conjugaison.) On en tire le corollaire suivant. Corollaire 4.9. — Pour Ξ∈N(ξZ)de longueur n, les ensembles finis Ψ(Ξ) et Irr(Hn,Ξ) ont le mˆeme cardinal. 5. Rappels sur les repr´esentations cuspidales Dans cette section, on rappelle certains r´esultats obtenus dans [26] dont nous aurons besoin par la suite. Dans le paragraphe 5.1, on rappelle un peu du vocabulaire de la th´eorie des types qui nous sera n´ecessaire. Dans le paragraphe 5.2, on rappelle la d´efinition de certains invariants associ´es `a une repr´esentation irr´eductible cuspidale. Dans le paragraphe 5.3, on rappelle les principales propri´et´es du foncteur Kd´efini et ´etudi´e dans [26,§5]. 5.1. Types simples maximaux Soient m⩾1 un entier et G = Gm. Dans [26], nous prouvons que toute repr´esentation irr´eductible cuspidale de G s’obtient par induction compacte d’une repr´esentation irr´eductible d’un sous-groupe ouvert compact modulo le centre de G (ibid., th´eor`eme 3.11). Plus pr´ecis´ement, nous construisons une famille de paires (J, λ) form´ees d’un sous-groupe ouvert compact J de G et d’une repr´esentation irr´eductible λde J poss´edant les propri´et´es suivantes : (1) pour toute repr´esentation irr´eductible cuspidale ρde G, il existe une paire (J, λ), unique `a conjugaison pr`es, telle que la restriction de ρ`a J ait une sous-repr´esentation isomorphe `a λ; (2) deux repr´esentations irr´eductibles cuspidales de G contiennent une mˆeme paire (J, λ) si et seulement si elles sont inertiellement ´equivalentes ; (3) ´etant donn´es une repr´esentation irr´eductible cuspidale ρde G et une paire (J, λ) contenue dans ρ, il existe une unique repr´esentation irr´eductible prolongeant λ`a son normalisateur dont l’induite compacte `a G soit isomorphe `a ρ. De telles paires sont appel´ees des types simples maximaux de G. Leur construction est technique et implique de nombreux param`etres. Nous renvoyons `a [26] pour un expos´e d´etaill´e, que nous r´esumons ci-dessous. ´ Etant donn´e un type simple maximal (J, λ) de G, il lui correspond : (1) des sous-groupes ouverts distingu´es H1⊆J1de J ; (2) un caract`ere θde H1, appel´e caract`ere simple ; (3) une extension finie E de F contenue dans Mm(D) ; (4) un entier m′⩾1 et une extension finie kde kE. Ces objets poss`edent les propri´et´es suivantes : (1) le centralisateur de E dans J est un sous-groupe compact maximal du centralisateur de E dans G ; 24 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE (2) le quotient J/J1est isomorphe au groupe GLm′(k) ; (3) la repr´esentation λse d´ecompose sous la forme κ⊗σ, o`u σest une repr´esentation irr´eductible de J triviale sur J1s’identifiant `a une repr´esentation cuspidale de GLm′(k), et o`u κest une repr´esentation irr´eductible de J dont la restriction `a J1est l’unique repr´esentation irr´eductible de J1dont la restriction `a H1contient θ. (4) la repr´esentation κn’est pas unique — elle ne l’est qu’`a torsion pr`es par un caract`ere de J trivial sur J1— mais elle peut ˆetre choisie de fa¸con `a avoir le mˆeme ensemble d’entrelacement que θdans G, auquel cas on dit que c’est une β-extension de θ. 5.2. Invariants associ´es `a une repr´esentation cuspidale Dans [26], on associe `a toute repr´esentation irr´eductible cuspidale ρde G un caract`ere non ramifi´e νρde G et des entiers n(ρ), f(ρ), q(ρ), o(ρ), b(ρ), s(ρ) (ibid., 3.4,4.5) qui ne d´ependent que de la classe d’inertie de ρ. Rappelons que : n(ρ) = nombre de χ: G →R×non ramifi´es tels que ρχ ≃ρ,(5.1) f(ρ) = md/e(E/F), e(E/F) = indice de ramification de E/F,(5.2) q(ρ) = qf(ρ)= cardinal d’une extension de degr´e m′de k,(5.3) o(ρ) = ordre (´eventuellement infini) de q(ρ) dans R×.(5.4) Puis, si (J, κ ⊗σ) est un type simple maximal de G contenu dans ρ, alors : b(ρ) = cardinal de la Gal(k/kE)-orbite de σ,(5.5) s(ρ) = ordre du stabilisateur de σdans Gal(k/kE),(5.6) νρ=νs(ρ).(5.7) Rappelons (voir [26, 4.5]) la propri´et´e importante suivante du caract`ere non ramifi´e νρ. Proposition 5.1. — Soit ρ′une repr´esentation irr´eductible cuspidale de Gm′,m′⩾1. Alors l’induite ρ×ρ′est r´eductible si et seulement si m′=met ρ′est isomorphe `a ρνρou ρν−1 ρ. On pose maintenant : (5.8) Zρ={[ρνi ρ]|i∈Z}. Si R est de caract´eristique ℓnon nulle, on note : (5.9) e(ρ) le plus petit k⩾1 tel que 1+ q(ρ) + ···+q(ρ)k−1soit congru `a 0 modulo ℓ. Il vaut ℓsi o(ρ) = 1, et il vaut o(ρ) sinon. Si R est de caract´eristique nulle, on convient que e(ρ) = o(ρ) = +∞. Remarque 5.2. — L’entier e(ρ) est ´egal `a l’entier e(σ) d´efini `a la remarque 3.6. On a la propri´et´e importante suivante. Lemme 5.3 ([26], lemme 4.41). — On a o(ρ) = card Zρ. Enfin, on associe `a ρune endo-classe : Θρ qui est l’endo-classe commune aux caract`eres simples contenus dans ρ. Ce processus est d´ecrit dans [10, 9.2] pour les repr´esentations complexes et fonctionne de fa¸con similaire pour les repr´esentations modulaires. REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 25 Notons indG J(λ) l’induite compacte de λ`a G. Proposition 5.4. — Pour tout n⩾1, il y a un isomorphisme canonique de R-alg`ebres : (5.10) Ψρ,n :HR(n, q(ρ)) →EndG(indG J(λ)×···×indG J(λ)) o`u indG J(λ)est r´ep´et´e nfois. D´emonstration. — Voir le paragraphe 4.2 et [26, Proposition 4.30]. Remarque 5.5. — Ces deux alg`ebres ne d´ependent que de la classe d’inertie de ρ, mais ce n’est pas vrai de l’isomorphisme Ψρ,n entre les deux, qui d´epend de ρ. Remarque 5.6. — Soit J♯le normalisateur de J dans G. D’apr`es [26, 3.1], il existe une unique repr´esentation λ♯de J♯prolongeant λet dont l’induite `a G soit isomorphe `a ρ. Alors Ψρ,1est l’isomorphisme de R[X,X−1] dans EndG(indG J(λ)) tel que Ψρ,1(X) correspond par r´eciprocit´e de Frobenius au J-homomorphisme fde λdans l’induite de λ`a G d´efini par : f(v)(g) = λ♯(g)vsi g∈J♯, 0 sinon, pour vdans l’espace de λet pour g∈G. Pour n⩾1, l’isomorphisme Ψρ,n est caract´eris´e par une condition de compatibilit´e `a l’induction (voir [26, 4.4]). Dor´enavant, les deux alg`ebres de (5.10) seront identifi´ees. Pour tout entier n⩾1, on note Ωρ,n la classe inertielle de n·[ρ]=[ρ]+···+[ρ]. On rappelle que Irr(Ωρ,n)⋆est l’ensemble des classes de repr´esentations irr´eductibles dont le support cuspidal est dans Ωρ,n. Proposition 5.7 ([26],§4.4). — On a une bijection : ξρ,n : Irr(Ωρ,n)⋆→ {classes d’isomorphisme de H(n, q(ρ))-modules simples}. Fixons une extension finie F′/F comme dans [26, 4.4]. En particulier, son corps r´esiduel est de cardinal q(ρ). Si l’on applique ce qui pr´ec`ede au caract`ere trivial de F′×, on obtient pour tout entier n⩾1 une bijection ξ1F′× ,n entre Irr(Ω1F′× ,n)⋆et l’ensemble des classes d’isomorphisme de H(n, q(ρ))-modules simples. La compos´ee : (5.11) Φρ,n =ξ−1 1F′× ,n ◦ξρ,n : Irr(Ωρ,n)⋆→Irr(Ω1F′× ,n)⋆ est une bijection entre les ensembles Irr(Ωρ,n)⋆et Irr(Ω1F′× ,n)⋆compatible au support cuspidal d’apr`es [26, Proposition 4.33]. Th´eor`eme 5.8 ([26], th´eor`eme 4.18). — Soient r⩾1un entier et ρ1,...,ρrdes repr´esentations irr´eductibles cuspidales deux `a deux non inertiellement ´equivalentes. Pour chaque entier i∈ {1,...,r}, on fixe un support cuspidal siform´e de repr´esentations inertiellement ´equivalentes `a ρi. (1) Pour chaque entier i, soit πiune repr´esentation irr´eductible de support cuspidal si. Alors l’induite π1×···×πrest irr´eductible. (2) Soit πune repr´esentation irr´eductible de support cuspidal s1+···+sr. Alors il existe des repr´esentations π1,...,πr, uniques `a isomorphisme pr`es, telles que πisoit de support cuspidal sipour chaque iet telles que π1×···×πrsoit isomorphe `a π. Le r´esultat suivant affine le th´eor`eme 5.8. Soient m, m′⩾1 des entiers. 32 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE D´emonstration. — On peut supposer que les sous-groupes de Levi sont standards, c’est-`a-dire que M = Mαet M′= Mα′o`u αet α′sont chacunes des familles d’entiers de somme m, et on ´ecrit =ρ1⊗ ··· ⊗ ρnet ′=ρ′ 1⊗ ··· ⊗ ρ′ n′. Soit πun sous-quotient irr´eductible commun. En fixant une famille d’entiers γde somme mtelle que rγ(π) soit cuspidale et en appliquant le lemme g´eom´etrique, on se ram`ene au cas o`u πest cuspidale. En raisonnant comme dans la preuve du lemme 6.1, on voit que ρ1,...,ρnsont inertiellement ´equivalentes et ont toutes la mˆeme endo-classe que π. D’apr`es la proposition 5.12, dont on reprend les notations, on a : K(ρ1×···×ρn) = M (i1,...,in) σφi1 1×···×σφin n et on peut mˆeme supposer que σ1=···=σn=σcar ρ1,...,ρnsont inertiellement ´equivalentes. De fa¸con analogue, ρ′ 1,...,ρ′ n′sont inertiellement ´equivalentes et ont toutes la mˆeme endo-classe que π, et on a : K(ρ′ 1×···×ρ′ n′) = M (i′ 1,...,i′ n′) σ′φi′ 1×···×σ′φi′ n′ o`u chaque ρ′ jcontient un type simple maximal de la forme (J′, κ′⊗σ′). Il existe donc des entiers i1,...,inet i′ 1,...,i′ n′tels que : σφi1×···×σφinet σ′φi′ 1×···×σ′φi′ n′ ont un sous-quotient irr´eductible en commun. D’apr`es la proposition 6.10, les repr´esentations σet σ′sont supercuspidales. De l’unicit´e du support supercuspidal pour les repr´esentations irr´eductibles de ¯ G (voir le paragraphe 3.1) on d´eduit que n=n′et que : [σφi1]+···+[σφin]=[σ′φi′ 1]+···+[σ′φi′ n]. Quitte `a r´eordonner ρ1,...,ρn(c’est-`a-dire, `a conjuguer ), on peut supposer que : [σφij]=[σ′φi′ j], j = 1,...,n. Puisque σet σ′ont mˆeme degr´e et que ρjet ρ′ jont la mˆeme endo-classe, on a deg(ρj) = deg(ρ′ j). On d´eduit de [26, Corollaire 5.5] que ρjet ρ′ jsont inertiellement ´equivalentes. Ainsi les paires supercuspidales (M, ) et (M′, ′) sont inertiellement ´equivalentes. ` A l’aide de la proposition 6.17, on prouve une variante inertielle du th´eor`eme 5.8. On utilise les notations du paragraphe 2.1.3. Si ρest une repr´esentation irr´eductible cuspidale, on note Ωρ sa classe d’inertie. Th´eor`eme 6.18. — Soit r⩾1un entier et soient ρ1,...,ρrdes repr´esentations irr´eductibles supercuspidales deux `a deux non inertiellement ´equivalentes. Pour chaque entier i∈ {1,...,r}, soit une classe inertielle Ωi⊆N(Ωρi)de Gmi,mi⩾1, et soit Ωla classe inertielle de Gm, avec m=m1+···+mr, d´efinie par Ω1,...,Ωr. (1) Pour chaque entier i∈ {1,...,r}, soit πi∈Irr(Ωi)une repr´esentation irr´eductible. Alors l’induite π1×···×πrest irr´eductible. (2) L’application : (π1,...,πr)→π1×···×πr induit une bijection de Irr(Ω1)×···×Irr(Ωr)dans Irr(Ω). REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 33 D´emonstration. — D´ecomposons chaque repr´esentation πisous la forme πi=πi,1×πi,2×... donn´ee par le th´eor`eme 5.8. Supposons qu’il existe deux couples (i, j)6= (i′, j′) tels qu’un terme [ρi,j]de cusp(πi,j) soit inertiellement in´equivalent `a un terme [ρi′,j′]de cusp(πi′,j′). Alors on ai6=i′. En appliquant un foncteur de Jacquet convenable, on fait apparaˆıtre que ρi,j est un sous-quotient irr´eductible d’une induite d’un ´el´ement de N(Ωρi) et que ρi′,j′est un sous-quotient irr´eductible d’une induite d’un ´el´ement de N(Ωρi′). D’apr`es la proposition 6.17, cela entraˆıne que ρiet ρi′sont inertiellement ´equivalentes, ce qui donne une contradiction puisque i6=i′. Le point (1) est alors une cons´equence du th´eor`eme 5.8(1). Le point (2) s’obtient par un appauvrissement du th´eor`eme 5.8(2). 7. La th´eorie des segments Dans cette section, on d´efinit la notion de segment (§7.1), puis on associe `a tout segment deux repr´esentations irr´eductibles, dont on ´etudie les propri´et´es (§7.2). On montre ensuite (th´eor`eme 7.24) que la repr´esentation induite `a partir de repr´esentations associ´ees `a des segments non li´es (d´efinition 7.3) est irr´eductible. 7.1. Segments Soit un entier m⩾1, et soit ρune repr´esentation irr´eductible cuspidale de Gm. D´efinition 7.1. — Un segment est une suite finie de la forme : (7.1) [a, b]ρ= (ρνa ρ, ρνa+1 ρ,...,ρνb ρ), o`u a, b ∈Zsont des entiers tels que a⩽b. Le segment [a, b]ρpeut ˆetre interpr´et´e comme la paire cuspidale : (7.2) (M(m,...,m), ρνa ρ⊗ρνa+1 ρ⊗···⊗ρνb ρ), o`u M(m,...,m)est le sous-groupe de Levi standard de Gm(b−a+1) correspondant `a la famille d’entiers (m,...,m). D´efinition 7.2. — Deux segments [a, b]ρet [a′, b′]ρ′sont ´equivalents s’ils ont la mˆeme longueur net si [ρνa+i ρ]=[ρ′νa′+i ρ′]pour tout i∈ {0,...,n−1}. Si c’est le cas, on voit que ρ′est inertiellement ´equivalent `a ρ, ce qui implique νρ′=νρ. Par cons´equent, pour que deux segments soient ´equivalents, il suffit qu’ils aient la mˆeme longueur et que leurs extr´emit´es initiales ρνa ρet ρ′νa′ ρ′soient isomorphes. Si ∆ = [a, b]ρest un segment, on pose : n(∆) = b−a+ 1,(7.3) deg(∆) = n(∆)m,(7.4) supp(∆) = [ρνa ρ]+[ρνa+1 ρ]+···+[ρνb ρ],(7.5) qu’on appelle respectivement la longueur, le degr´e et le support de ∆. Celui-ci est ´egal `a la classe de Gdeg(∆)-conjugaison de la paire cuspidale (7.2) associ´ee `a ∆. On note aussi : a(∆) = ρνa ρ,(7.6) b(∆) = ρνb ρ,(7.7) 34 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE les extr´emit´es initiale et finale de ∆, et on note : (7.8) ∆∨= [−b, −a]ρ∨ le segment contragr´edient de ∆. Si a+ 1 ⩽b, on pose : −∆ = [a+ 1, b]ρ,(7.9) ∆−= [a, b −1]ρ.(7.10) Les d´efinitions suivantes g´en´eralisent celles de Zelevinski [39, 4.1]. Remarquons qu’elles diff`erent de celles de Vign´eras [34, V.3]. D´efinition 7.3. — Soient ∆ = [a, b]ρet ∆′= [a′, b′]ρ′des segments. (1) On dit que ∆ pr´ec`ede ∆′si l’on peut extraire de la suite : (ρνa ρ,...,ρνb ρ, ρ′νa′ ρ′,...,ρ′νb′ ρ′) une sous-suite qui soit un segment de longueur strictement sup´erieure `a n(∆) et n(∆′). (2) On dit que ∆ et ∆′sont li´es si ∆ pr´ec`ede ∆′ou si ∆′pr´ec`ede ∆. Ces conditions sont traduites en termes combinatoires en [28, Lemme 3.4 et Corollaire 3.6] Remarque 7.4. — Soient ∆ et ∆′des segments. Les propri´et´es suivantes d´ecoulent directement des d´efinitions : (1) On suppose que ∆ et ∆′ne sont pas li´es, que n(∆) ⩾n(∆′) et que b(∆) et b(∆′) ne sont pas isomorphes. Alors b(∆) n’apparaˆıt pas dans ∆′. Cette propri´et´e sera utilis´ee dans la preuve du th´eor`eme 7.24. (2) On suppose que ∆ et ∆′ne sont pas li´es et que n(∆) ⩾n(∆′). Alors ∆ et −∆′ne sont pas li´es. Cette propri´et´e sera utilis´ee dans la preuve de la proposition 7.27. 7.2. Repr´esentations associ´ees `a un segment Soit ρune repr´esentation cuspidale de Gm, et soit ∆ = [a, b]ρun segment. On pose : (7.11) Π(∆) = ρνa ρ×···×ρνb ρ et n=b−a+ 1. On renvoie aux notations du paragraphe 5.2. On pose G = Gmn et on note H l’alg`ebre de Hecke-Iwahori H(n, q(ρ)). D’apr`es la proposition 5.7, on a une bijection ξρ,n entre Irr(Ωρ,n)⋆et l’ensemble des classes d’isomorphisme de H-modules simples. Compte tenu de la d´efinition du H-module I(a, b) en (4.7) et de [26, Corollaire 4.38], elle induit des bijections : (1) entre sous-repr´esentations irr´eductibles de Π(∆) et sous-modules simples de I(a, b) ; (2) entre quotients irr´eductibles de Π(∆) et quotients simples de I(a, b). De ceci on tire la d´efinition suivante, qui associe au segment ∆ deux repr´esentations irr´eductibles Z(∆) et L(∆) de G (voir la d´efinition 4.1 pour les notations). D´efinition 7.5. — (1) La repr´esentation Π(∆) poss`ede une unique sous-repr´esentation irr´eductible, not´ee Z(∆), telle que ξρ,n(Z(∆)) soit le caract`ere Z(a, b). (2) Π(∆) poss`ede un unique quotient irr´eductible, not´e L(∆), tel que ξρ,n(L(∆)) soit le caract`ere L(a, b). Remarque 7.6. — (1) Les repr´esentations Z(∆) et L(∆) peuvent ˆetre de multiplicit´e ⩾2 comme sous-quotients de Π(∆). (2) Les repr´esentations Z(∆) et L(∆) sont cuspidales si et seulement si n(∆) = 1. REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 35 (3) La proposition 7.17 donne, dans le cas o`u o(ρ)6= 1, une d´efinition de Z(∆) et de L(∆) n’utilisant pas la th´eorie des types, c’est-`a-dire n’utilisant pas ξρ,n. Remarque 7.7. — On suppose que R est le corps des nombres complexes. (1) La repr´esentation Z(∆) est la repr´esentation not´ee de la mˆeme fa¸con dans [33]. Si en outre D = F, c’est la repr´esentation not´ee h∆idans [39] et [34]. (2) La repr´esentation L(∆) est la repr´esentation not´ee de la mˆeme fa¸con dans [33]. Si en outre D = F, c’est la repr´esentation not´ee h∆itdans [39]. Le r´esultat suivant sera utile au paragraphe 7.3. Proposition 7.8. — Les repr´esentations Z(∆) et L(∆) sont isomorphes si et seulement si R est de caract´eristique non nulle ℓet si q(ρ)et (−1)nsont congrus `a −1modulo ℓ, c’est-`a-dire que, ou bien q(ρ)est congru `a −1modulo ℓet nest impair, ou bien ℓ= 2. D´emonstration. — Ces repr´esentations sont isomorphes si et seulement si les caract`eres Z(a, b) et L(a, b) sont ´egaux. Le r´esultat est une cons´equence de la d´efinition 4.1. Remarque 7.9. — ` A noter que, dans ce cas, les repr´esentations Z(∆) et L(∆) sont isomorphes mais pas forc´ement ´egales comme sous-quotients de Π(∆). Le r´esultat suivant est une cons´equence de la d´efinition de Z(∆). Il sera utile au paragraphe 7.3 et dans la section 9. Proposition 7.10. — Soit Φρ,n la bijection d´efinie par (5.11). Alors on a : Φρ,n(Z([a, b]ρ)) = Z([a, b]1F′× ). On va maintenant calculer les modules de Jacquet des repr´esentations Z(∆) et L(∆). Pour ¸ca, on utilise les notations des paragraphes 3.1 et 3.3, auxquels on renvoie le lecteur. On rappelle que Irr(Ωρ,n) est l’ensemble des classes de repr´esentations irr´eductibles qui sont sous-quotients irr´eductibles d’une induite de la forme ρχ1× ··· × ρχn, o`u χ1,...,χnsont des caract`eres non ramifi´es de Gm. Compte tenu de (5.14), on introduit la d´efinition suivante. D´efinition 7.11. — Pour tout π∈Irr(Ωρ,n), on note Sn(π) la plus grande sous-repr´esentation de [Kn(π)](dans le groupe de Grothendieck de GLm′n(k)) contenue dans [σ×···×σ]. Remarque 7.12. — Si D = F, alors Sn(π) est simplement la semisimplifi´ee de Kn(π). Ceci d´efinit par lin´earit´e un morphisme de Z-modules : (7.12) Sn:Z(Irr(Ωρ,n)) →G(GLm′n(k)) ⊆G. Si α= (n1,...,nr) est une famille d’entiers ⩾1 de somme n, on d´efinit Sαde fa¸con analogue `a partir de Kα. On a les propri´et´es suivantes. Proposition 7.13. — (1) Si χ1,...,χnsont des caract`eres non ramifi´es de G, alors on a : (7.13) Sn(ρχ1×···×ρχn) = σ×···×σ dans G. (2) Si π1,...,πrsont des repr´esentations de Irr(Ωρ,n1),...,Irr(Ωρ,nr)respectivement, on a : Sn(π1×···×πr) = Sn1(π1)×···×Snr(πr) dans G. 36 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE (3) Si πest dans Irr(Ωρ,n), on a : Sn(π)¯ N(m′n1,...,m′nr)=Sα(r(mn1,...,mnr)(π)) dans G(¯ M(m′n1,...,m′nr)). On commence par traiter le cas d’un sous-groupe parabolique minimal. Lemme 7.14. — On a : r(m,...,m)(Z([a, b]ρ)) = ρνa ρ⊗···⊗ρνb ρ,(7.14) r(m,...,m)(L([a, b]ρ)) = ρνb ρ⊗···⊗ρνa ρ,(7.15) r− (m,...,m)(Z([a, b]ρ)) = ρνb ρ⊗···⊗ρνa ρ,(7.16) r− (m,...,m)(L([a, b]ρ)) = ρνa ρ⊗···⊗ρνb ρ.(7.17) D´emonstration. — Nous prouvons la premi`ere assertion ; la seconde se prouve de fa¸con analogue et les deux derni`eres se d´eduisent des deux premi`eres par conjugaison. On pose Z = Z([a, b]ρ). Par r´eciprocit´e de Frobenius, on a un morphisme surjectif : r(m,...,m)(Z) →ρνa ρ⊗···⊗ρνb ρ. D’apr`es le lemme g´eom´etrique et la d´efinition de Z, le membre de gauche est compos´e de sousquotients irr´eductibles de la forme ρχ1⊗···⊗ρχno`u χ1...,χnsont des caract`eres non ramifi´es de Gm. D’apr`es la proposition 5.11 par exemple, aucun de ces sous-quotients n’est annul´e par le foncteur K(1,...,1). D’apr`es la proposition 5.13, on a : (7.18) K(1,...,1)(r(m,...,m)(Z)) ≃Kn(Z)¯ N(m′,...,m′). D’apr`es (5.14), Kn(Z) est une sous-repr´esentation de : (7.19) Kn(ρνa ρ×···×ρνb ρ)≃M (i1,...,in) σφi1×···×σφin, o`u i1,...,invarient entre 1 et b(ρ). Le membre de droite de (7.18) est donc une sous-repr´esentation de la somme directe finie : n!·M (i1,...,in) σφi1⊗···⊗σφin, o`u n! est une multiplicit´e. On en d´eduit que : (7.20) S(1,...,1)(r(m,...,m)(Z)) = Sn(Z)¯ N(m′,...,m′) est une somme directe finie de copies de σ⊗···⊗σ. On utilise maintenant la R-alg`ebre H(σ, n) d´efinie au paragraphe 3.3. D’apr`es [26, Proposition 5.17], le H(σ, n)-module : Hom¯ G(σ×···×σ, Kn(Z)) ≃Hom ¯ M(m′,...,m′)(σ⊗···⊗σ, Kn(Z)¯ N(m′,...,m′)) est de dimension 1. On en d´eduit que la repr´esentation (7.20) est isomorphe `a σ⊗···⊗σ. Comme (7.20) et r(m,...,m)(Z) ont la mˆeme longueur, cette derni`ere est irr´eductible, donc isomorphe `a ρνa ρ⊗···⊗ρνb ρ. Remarque 7.15. — On en d´eduit que Z(∆) est aussi un quotient de ρνb ρ× ··· × ρνa ρet que L(∆) est aussi une sous-repr´esentation de ρνb ρ×···×ρνa ρ. REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 37 Proposition 7.16. — On a les propri´et´es suivantes. (1) Si kest un entier tel que a < k ⩽b, alors : r((k−a)m,(b−k+1)m)(Z([a, b]ρ)) = Z([a, k −1]ρ)⊗Z([k, b]ρ), r((b−k+1)m,(k−a)m)(L([a, b]ρ)) = L([k, b]ρ)⊗L([a, k −1]ρ). (2) Si kest un entier tel que a < k ⩽b, alors : r− ((b−k+1)m,(k−a)m)(Z([a, b]ρ)) = Z([k, b]ρ)⊗Z([a, k −1]ρ), r− ((k−a)m,(b−k+1)m)(L([a, b]ρ)) = L([a, k −1]ρ)⊗L([k, b]ρ). D´emonstration. — D’apr`es [26, Propositions 4.5 et 4.20], la bijection ξρ,n induit une bijection entre sous-repr´esentations irr´eductibles de Z([a, k−1]ρ)×Z([k, b]ρ) et sous-modules irr´eductibles de : (7.21) HomH((k−a)m,(b−k+1)m)(H,Z(a, k −1) ⊗Z(k, b)) avec les notations du paragraphe 4.2. Comme Z(a, b) est un sous-module de (7.21), on en d´eduit que Z([a, b]ρ) est une sous-repr´esentation de Z([a, k −1]ρ)×Z([k, b]ρ). Par adjonction, on en d´eduit un morphisme surjectif : r((k−a)m,(b−k+1)m)(Z([a, b]ρ)) →Z ([a, k −1]ρ)⊗Z ([k, b]ρ). Posons r=r((k−a)m,(b−k+1)m)pour all´eger les notations et supposons que le membre de gauche ci-dessus ne soit pas irr´eductible. Il contient un autre sous-quotient irr´eductible Y, qu’on peut supposer ˆetre une sous-repr´esentation ou un quotient. Supposons que Y soit un quotient, l’autre cas se traitant de fa¸con analogue. On fixe une paire cuspidale (M′, ′) du sous-groupe de Levi M = M((k−a)m,(b−k+1)m)et un sous-groupe parabolique P′de M de facteur de Levi M′tels que Y soit une sous-repr´esentation de iM P′(′). On suppose que M′est standard. Alors : HomM(r(Z[a, b]ρ),iM P′(′)) 6= 0. On en d´eduit que le support cuspidal de Z[a, b]ρest la classe de G-conjugaison de (M′, ′). Par cons´equent, on a M′= M(m,...,m)et ′est G-conjugu´ee `a ρνa ρ⊗···⊗ρνb ρ, ce qui contredit le fait que, d’apr`es le lemme 7.14, on a r(m,...,m)(Y) = 0. Dans le cas o`u o(ρ)6= 1, c’est-`a-dire quand q(ρ) n’est pas congru `a 1 modulo ℓ, les repr´esentations Z(∆) et L(∆) peuvent ˆetre d´efinies par r´ecurrence sur la longueur de ∆. Proposition 7.17. — On suppose que o(ρ)6= 1 et que b−a⩾1. (1) Z([a, b]ρ)est l’unique sous-repr´esentation irr´eductible de Z([a, b −1]ρ)×ρνb ρ. (2) Z([a, b]ρ)est l’unique quotient irr´eductible de Z([a+ 1, b]ρ)×ρνa ρ. (3) L([a, b]ρ)est l’unique quotient irr´eductible de L([a, b −1]ρ)×ρνb ρ. (4) L([a, b]ρ)est l’unique sous-repr´esentation irr´eductible de L([a+ 1, b]ρ)×ρνa ρ. D´emonstration. — On prouve la premi`ere assertion, les autres se prouvant de fa¸con analogue. On pose n=b−a+ 1 et r=r((n−1)m,m). Compte tenu de la proposition 7.16, on a : [r(Z([a, b −1]ρ)×ρνb ρ)]=[Z([a, b −1]ρ)⊗ρνb ρ]+[(Z([a, b −2]ρ)×ρνb ρ)⊗ρνb−1 ρ]. Si n= 2, on interpr`ete Z([a, b −2]ρ) comme la repr´esentation (triviale) du groupe trivial G0. Comme o(ρ)6= 1, les repr´esentations ρνb ρet ρνb−1 ρne sont pas isomorphes : le sous-quotient 38 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE irr´eductible Z([a, b −1]ρ)⊗ρνb ρest donc de multiplicit´e 1 dans le membre de gauche. Le r´esultat se d´eduit alors du lemme 2.4. Remarque 7.18. — Cette proposition permet de d´efinir, dans le cas o`u o(ρ)6= 1, les repr´esentations Z([a, b]ρ) et L([a, b]ρ) par r´ecurrence, sans faire recours `a la th´eorie de types. La proposition suivante d´ecrit le comportement de ∆ 7→ Z(∆) et ∆ 7→ L(∆) par passage `a la contragr´ediente (voir (7.8) pour la d´efinition de la notation ∆∨). Proposition 7.19. — On a Z(∆∨)≃Z(∆)∨et L(∆∨)≃L(∆)∨. D´emonstration. — Nous proposons deux preuves de ce r´esultat, la premi`ere ne fonctionnant que dans le cas o`u o(ρ)6= 1. On suppose d’abord que o(ρ)6= 1 et on prouve le r´esultat par r´ecurrence sur n=b−a+1, le cas n= 1 ´etant imm´ediat. On suppose que n⩾2 et on utilise les notations (7.9) et (7.10). D’apr`es la proposition 7.17, l’induite Z(∆−)×ρνb ρadmet Z(∆) pour sous-repr´esentation irr´eductible, donc Z(∆−)∨×ρ∨ν−b ρadmet Z(∆)∨pour quotient irr´eductible. Par hypoth`ese de r´ecurrence, Z(∆−)∨et Z((∆−)∨) sont isomorphes. Comme (∆−)∨est ´egal `a −(∆∨) et d’apr`es la proposition 7.17(2), le quotient irr´eductible Z(∆)∨est isomorphe `a Z(∆∨). Le cas de L(∆) se traite de fa¸con analogue. Voici maintenant une preuve fonctionnant sans hypoth`ese sur o(ρ), s’appuyant sur [19]. Il s’agit de prouver que la repr´esentation Z(∆)∨poss`ede les deux propri´et´es de la d´efinition 7.5 qui caract´erisent Z(∆∨). D’abord, d’apr`es la remarque 7.15 et par passage `a la contragr´ediente, Z(∆)∨est une sous-repr´esentation irr´eductible de Π(∆∨). Ensuite, si (J, λ) est le type simple maximal contenu dans ρfix´e au paragraphe 5.2, alors le type simple maximal (J, λ∨) est contenu dans la contragr´ediente ρ∨(voir [19, Th´eor`eme 4.1] appliqu´e au type simple (J, λ)). On a ainsi une bijection ξρ∨,n entre Irr(Ωρ∨,n)⋆et l’ensemble des classes de H-modules simples, et il faut v´erifier que Z(∆)∨correspond au caract`ere Z(−b, −a) par cette bijection. D’apr`es [26, 4.4], il y a un type simple (K,W) de G tel que : (1) l’induite compacte indG K(W) est isomorphe `a indGm J(λ)×···×indGm J(λ) (nfois) ; (2) pour toute repr´esentation V dans Irr(Ωρ,n)⋆, son image ξρ,n(V) est HomK(W,V) consid´er´e comme un H-module grˆace `a la proposition 5.4 ; (3) de fa¸con analogue, si V est une repr´esentation dans Irr(Ωρ∨,n)⋆, alors son image ξρ∨,n(V) est HomK(W∨,V) consid´er´e comme un H-module. La repr´esentation Z(∆)∨est dans Irr(Ωρ∨,n)⋆. D’apr`es (3) ci-dessus et d’apr`es [19, Th´eor`eme 4.1] appliqu´e au type simple (K,W), le H-module ξρ∨,n(Z(∆)∨) est le dual de ξρ,n(Z(∆)) = Z(a, b), c’est-`a-dire Z(−b, −a) comme voulu. On en d´eduit donc que Z(∆∨)≃Z(∆)∨. La preuve pour L(∆∨) est similaire. Remarque 7.20. — ` A noter que Π(∆)∨n’est pas isomorphe `a Π(∆∨) en g´en´eral. Pour finir ce paragraphe, on prouve le r´esultat suivant (voir (3.3) pour la d´efinition de l(σ, n)). Proposition 7.21. — Soit ∆ = [a, b]ρun segment de longueur n. (1) On a Sn(Z([a, b]ρ)) = z(σ, n). (2) On a Sn(L([a, b]ρ)) = l(σ, n). (3) On a Sn(L([a, b]ρ)) = st(σ, n)si et seulement si n < e(ρ). REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 39 D´emonstration. — On proc`ede par r´ecurrence sur n. On pose Z = Z([a, b]ρ). On sait que z(σ, n) est un sous-quotient de Sn(Z). Supposons que Sn(Z) n’est pas irr´eductible : elle contient donc un autre facteur irr´eductible, not´e v. Soit un entier k∈ {1,...,n−1}, soit α= (km, (n−k)m) et posons ¯ N = ¯ Nαet ¯ M = ¯ Mα. D’apr`es la proposition 7.16, on a : rα(Z) = Z([a, c]ρ)⊗Z([c+ 1, b]), avec c=a+k−1. Par hypoth`ese de r´ecurrence, on a : S(k,n−k)(rα(Z)) = z(σ, k)⊗z(σ, n −k), qui est aussi ´egal `a Sn(Z)¯ Nd’apr`es la proposition 7.13. Lemme 7.22. — On a [z(σ, n)¯ N]⩾[z(σ, k)⊗z(σ, n −k)]. D´emonstration. — Notons σ×nl’induite σ×··· ×σo`u σapparaˆıt nfois. Par d´efinition de la repr´esentation z(σ, n), on a : Hom¯ G(σ×n, z(σ, n)) ≃Hom ¯ M(σ×k⊗σ×(n−k), z(σ, n)¯ N) qui est de dimension 1, isomorphe au caract`ere trivial de H(σ, k)⊗H(σ, n−k) consid´er´e comme sous-alg`ebre de H(σ, n). Comme Sn(Z)¯ Ncontient [z(σ, n)¯ N]et [v¯ N], on d´eduit du lemme 7.22 d’une part que : z(σ, n)¯ N=z(σ, k)⊗z(σ, n −k) et d’autre part que v¯ N= 0, et ce pour tout k. On en d´eduit que vest cuspidale, et donc de la forme st(σ, n) avec n= 1 ou n=e(σ)ℓr. Par cons´equent, Z = St(ρ, n) d’apr`es la d´efinition 6.3. Mais pour ces valeurs de n, la repr´esentation St(ρ, n) est cuspidale d’apr`es la proposition 6.4. Comme Z ne peut pas ˆetre cuspidale `a moins que n= 1, on obtient une contradiction. L’assertion (2) se d´emontre de fa¸con analogue. Pour prouver l’assertion (3), il suffit de prouver que st(σ, n) correspond au caract`ere signe de H(σ, n) si et seulement si on a n < e(σ), ce qui est donn´e par la proposition 3.9. Remarque 7.23. — On renvoie `a la remarque 8.14 pour une pr´ecision suppl´ementaire. 7.3. Crit`ere d’irr´eductibilit´e pour un produit de segments non li´es Le but de cette section est de montrer le th´eor`eme suivant. Th´eor`eme 7.24. — Soit un entier r⩾1et soient ∆1,...,∆rdes segments. Les conditions suivantes sont ´equivalentes : (1) Pour tous i, j ∈ {1,...,r}avec i6=j, les segments ∆iet ∆jsont non li´es. (2) La repr´esentation Z(∆1)×···×Z(∆r)est irr´eductible. (3) La repr´esentation L(∆1)×···×L(∆r)est irr´eductible. Ce th´eor`eme g´en´eralise [39, 4] et [33, Lemmas 2.5, 4.2] au cas modulaire. Il justifie le bienfond´e de notre d´efinition 7.3. 40 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE 7.3.1. ´ Etant donn´e un segment ∆ = [a, b]ρ, on note : (7.22) h∆i=ha, biρ l’une des deux repr´esentations Z([a, b]ρ) ou L([−b, −a]ρ), et on pose : (7.23) µρ=νρsi h∆i= Z(∆) ; ν−1 ρsi h∆i= L([−b, −a]ρ). La proposition suivante, qui synth´etise les r´esultats de la proposition 7.16, montre l’utilit´e des notations (7.22) et (7.23). Proposition 7.25. — Soient ρune repr´esentation irr´eductible cuspidale de Gmet ∆ = [a, b]ρ. (1) Si kest un entier tel que a < k ⩽b, on a : r(k−a)m,(b−k+1)m(ha, biρ) = ha, k −1iρ⊗hk, biρ. (2) Si kest un entier tel que a < k ⩽b, on a : r− (b−k+1)m,(k−a)m(ha, biρ) = hk, biρ⊗ha, k −1iρ. (3) On a : r(m,...,m)(h∆i) = ρµa ρ⊗ρµa+1 ρ⊗···⊗ρµb ρ et : r− (m,...,m)(h∆i) = ρµb ρ⊗ρµb−1 ρ⊗···⊗ρµa ρ. (4) On a h∆∨i=h∆i∨, c’est-`a-dire que h−b, −aiρ∨=ha, bi∨ ρ. Pour montrer le th´eor`eme 7.24, il suffira donc de montrer le th´eor`eme suivant. Th´eor`eme 7.26. — Soit un entier r⩾1et soient ∆1,...,∆rdes segments. Alors : h∆1i×···×h∆ri est irr´eductible si et seulement si ∆iet ∆jsont non li´es pour tous i, j ∈ {1,...,r}avec i6=j. On montre d’abord le r´esultat suivant. Proposition 7.27. — Soient ∆et ∆′des segments non li´es. Alors h∆i×h∆′iest irr´eductible. Remarque 7.28. — D’apr`es la proposition 2.2, cette proposition implique que, si ∆ et ∆′sont deux segments non li´es, alors h∆i×h∆′iet h∆′i×h∆isont isomorphes. On ´ecrit ∆ et ∆′respectivement sous la forme [a, b]ρet [a′, b′]ρ′, o`u ρet ρ′sont irr´eductibles cuspidales. On note n=b−a+ 1 et n′=b′−a′+ 1. On fait d’abord quelques r´eductions : elles ne sont pas n´ecessaires dans notre preuve mais permettent de simplifier les notations. R1 D’apr`es la proposition 2.2, on peut supposer que n⩽n′. R2 D’apr`es la proposition 5.9, et quitte `a modifier a,b,a′et b′, on peut supposer que ρet ρ′ sont isomorphes. R3 Quitte `a tordre ρpar un caract`ere non ramifi´e, on peut supposer que a= 0. R4 Par la m´ethode du changement de groupe (voir la proposition 7.10 et [26, 4.4]), on peut supposer que ρest le caract`ere trivial de F×, que l’on notera h0i. Aussi peut-on supposer que ∆ = [0, b] et ∆′= [a′, b′] avec b+a′⩽b′. REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 41 Remarque 7.29. — Si R est de caract´eristique non nulle ℓ, on note el’ordre de qdans F× ℓ. Puisque ∆ et ∆′ne sont pas li´es et que n⩽n′, on a n⩽e−1, ce qui implique qu’on a e⩾2. Si R est de caract´eristique nulle, on convient que eest infini et une congruence de la forme a≡a′ mod evoudra juste dire que a=a′. Nous utilisons la m´ethode des foncteurs de Jacquet et le lemme 2.5. Malheureusement, nous ne pouvons ´eviter de traiter plusieurs cas en petite dimension (o`u les foncteurs de Jacquet ne sont pas de grande aide). On distingue les cas suivants : 1. n=n′= 1. 2. e⩾3 et n= 1. 3. e⩾3 et n, n′⩾2. 4. e= 2 et n′= 3. 5. e= 2 et n′⩾4. On remarque que, dans les deux derniers cas, on a n= 1. Dans le cas o`u n=n′= 1, la proposition est une cons´equence de [26, Proposition 4.35]. On passe maintenant aux cas suivants. 7.3.2. On suppose que e⩾3 et n= 1. On proc`ede par r´ecurrence sur n′, le cas n′= 1 ´etant d´ej`a prouv´e. Remarquons que l’hypoth`ese sur ∆ et ∆′se traduit par a′6≡ 1 mod eet b′6≡ −1 mod e. Il faut encore diff´erencier les sept cas suivants : 2.1. ∆′= [0,1]. 2.2. b′6≡ −1,0,1 mod e. 2.3. a′= 0, b′≡0,1 mod eet n′⩾3. 2.4. a′=−1 et b′≡1 mod e. 2.1′. ∆′= [−1,0]. 2.2′.a′6≡ −1,0,1 mod e. 2.3′.b′= 0, a′≡0,−1 mod eet n′⩾3. Les cas 2.1′, 2.2′et 2.3′d´ecoulent respectivement des cas 2.1, 2.2 et 2.3 par passage `a la contragr´ediente (ce que nous pouvons faire puisque e6= 1). Traitons les cas 2.1, 2.2, 2.3 et 2.4. Lemme 7.30. — L’induite h0i×h0,1iest irr´eductible. D´emonstration. — Comme dans Rogawski [30], ce cas est particulier et il faut le traiter `a part. On pose M = M(1,2) et on note χle caract`ere form´e des vecteurs de h0,1iqui sont invariants par le sous-groupe d’Iwahori de GL2(F) (il s’agit donc de Z(0,1) ou de L(0,1) selon les cas). D’apr`es [26, Proposition 4.13], l’induite est irr´eductible si et seulement si HomHM(H,1⊗χ) est irr´eductible. L’irr´eductibilit´e de ce H-module se montre comme dans [30, Lemma 5.1]. Traitons le cas 2.2. D’apr`es la proposition 7.25(1), la repr´esentation h0i×ha′, b′iest une sousrepr´esentation de h0i×ha′, b′−1i×hb′i. Par hypoth`ese de r´ecurrence (puisqu’on a b′6≡ 0 mod e) et d’apr`es la remarque 7.28, celle-ci est isomorphe `a π1×π2, o`u l’on a pos´e π1=ha′, b′−1iet π2=h0i×hb′i(remarquons que π2est irr´eductible par hypoth`ese de r´ecurrence puisque b′6≡ ±1 mod e). De mˆeme, par la proposition 7.25(2), c’est un quotient de π2×π1. D’apr`es le lemme g´eom´etrique, on a : [r(n′−1,2)(π1×π2)]=ha′, b′−1i⊗(h0i×hb′i) + (ha′, b′−2i×h0i)⊗(hb′−1i×hb′i) + (ha′, b′−2i×hb′i)⊗(hb′−1i×h0i) + (ha′, b′−3i×hb′i×h0i)⊗hb′−2, b′−1i et donc la repr´esentation π1⊗π2apparaˆıt avec multiplicit´e 1 dans r(n′−1,2)(π1×π2). On d´eduit du lemme 2.5 que h0i×ha′, b′iest irr´eductible. 48 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE Ces segments sont uniques `a l’ordre pr`es. D’apr`es le th´eor`eme 7.24, la repr´esentation : (8.2) Π = L(∆1)×···×L(∆r) est irr´eductible. Lemme 8.10. — La repr´esentation Πest l’unique sous-quotient irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´e de l’induite ρ1×···×ρn, o`u elle apparaˆıt avec multiplicit´e 1. D´emonstration. — D’abord, Π est un sous-quotient irr´eductible de ρ1× ··· × ρn. D’apr`es la proposition 8.4, cette induite contient un unique facteur irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´e. D’apr`es la proposition 8.4 encore, Π est r´esiduellement non d´eg´en´er´ee si et seulement si chaque L(∆i) est r´esiduellement non d´eg´en´er´e, ce qui suit de la proposition 7.21. Lemme 8.11. — La repr´esentation Πn’est pas cuspidale. D´emonstration. — Le r´esultat est imm´ediat si r⩾2. Si r= 1, Π est une repr´esentation associ´ee `a un segment, qui est par d´efinition quotient d’une induite parabolique propre (car n⩾2). La conjonction des lemmes 8.10 et 8.11 et du fait que toute repr´esentation irr´eductible cuspidale est r´esiduellement non d´eg´en´er´ee entraˆıne que l’induite ne poss`ede pas de sous-quotient irr´eductible cuspidal. Exemple 8.12. — Si R est de caract´eristique nulle, (8.1) est toujours v´erifi´ee. Soient m, n ⩾1 et soit ρune repr´esentation cuspidale de Gm. Proposition 8.13. — Soient χ1,...,χndes caract`eres non ramifi´es de Gmtels que : (8.3) ρχ1×···×ρχn poss`ede un sous-quotient cuspidal. Alors : [ρχ1]+···+[ρχn]=[ρχ1]+[ρχ1νρ]+···+[ρχ1νn−1 ρ]. D´emonstration. — Quitte `a remplacer ρpar ρχ1, on peut supposer que χ1est trivial. On ´ecarte le cas trivial o`u n= 1, de sorte que, d’apr`es le corollaire 6.13, il existe r⩾0 tel que n=e(ρ)ℓr. Ensuite, d’apr`es la proposition 5.9, on peut supposer que χi=νki ρavec ki∈Z. Si o(ρ) = 1, chaque χiest trivial et le r´esultat est imm´ediat. On suppose donc dor´enavant que o(ρ)⩾2, de sorte que e(ρ) = o(ρ). D’apr`es la proposition 8.9, il existe un entier t⩾1 tel que, quitte `a r´eordonner les χi, on ait : (1) pour tout i⩽te(ρ), on a [ρχi]=[ρνi−1 ρ]; (2) la condition (8.1) est v´erifi´ee par les repr´esentations ρχte(ρ)+1,...,ρχn. On ´ecrit n=te(ρ) + ket on suppose que k⩾1. Soit πun sous-quotient irr´eductible cuspidal de (8.3). Soit π1un sous-quotient irr´eductible de ρχ1× ··· × ρχte(ρ)et π2un sous-quotient irr´eductible de ρχte(ρ)+1 × ··· × ρχntels que πsoit un sous-quotient irr´eductible de π1×π2. Comme πest r´esiduellement non d´eg´en´er´ee, c’est vrai aussi de π1et de π2. En particulier, π1 est ´egal `a St(ρ, e(ρ)t). Si l’on ´ecrit t=t′ℓravec t′⩾1 premier `a ℓet r⩾0, et si l’on pose τ= St(ρ, e(ρ)ℓr), alors τest cuspidale non supercuspidale et π1est ´egale `a St(τ, t′) d’apr`es la proposition 6.4 et le lemme 6.9. En particulier, le support cuspidal de π1est dans N(Zτ). D’autre part, d’apr`es la proposition 8.9, le support cuspidal de π2est dans N(Zρ). D’apr`es le th´eor`eme 5.8, l’induite REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 49 π1×π2est irr´eductible, ce qui contredit le fait que πest cuspidale. On en d´eduit que k= 0, ce qui met fin `a la d´emonstration. Remarque 8.14. — D’apr`es la proposition 7.21, les repr´esentations L([0, n −1]ρ) et St(ρ, n) sont isomorphes si et seulement si n < e(ρ). Si n⩾e(ρ), la repr´esentation L([0, n −1]ρ) n’est jamais r´esiduellement non d´eg´en´er´ee. Par exemple, si ρest le caract`ere trivial de F×et si qest d’ordre 2 dans R×, alors la repr´esentation L([0,1]ρ) est un caract`ere de GL2(F). Remarque 8.15. — Une repr´esentation irr´eductible dont le support cuspidal [ρ1]+···+[ρn] v´erifie la condition (8.1) est dite banale. Les repr´esentations banales sont ´etudi´ees en d´etail dans [27]. 8.3. Unicit´e du support supercuspidal Le but de ce paragraphe est de montrer le th´eor`eme suivant. Th´eor`eme 8.16. — Soient ρ1,...,ρnet ρ′ 1,...,ρ′ n′des repr´esentations irr´eductibles supercuspidales. Alors ρ1×···×ρnet ρ′ 1×···×ρ′ n′ont un sous-quotient irr´eductible en commun si et seulement si n′=net : (8.4) [ρ1]+···+[ρn]=[ρ′ 1]+···+[ρ′ n′]. Remarque 8.17. — Voir [35] page 598 dans le cas o`u D = F. D´emonstration. — Si (8.4) est v´erifi´e, alors n=n′et, d’apr`es la proposition 2.2, les repr´esentations ρ1×···×ρnet ρ′ 1×···×ρ′ n′ont les mˆemes sous-quotients irr´eductibles. Pour prouver la r´eciproque, on fixe un sous-quotient irr´eductible πcommun `a ρ1×···×ρnet ρ′ 1×···×ρ′ n′, et on commence par traiter le cas o`u πest cuspidal. D’apr`es le th´eor`eme 5.8, il existe des repr´esentations irr´eductibles supercuspidales ρet ρ′telle que les ρi(les ρ′ i) soient inertiellement ´equivalentes `a ρ(`a ρ′). D’apr`es la proposition 8.13, on peut mˆeme supposer que : [ρ1]+···+[ρn]=[ρ]+[ρνρ]+···+[ρνn−1 ρ]. Comme πest cuspidal, c’est l’unique sous-quotient irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´e de ρ1× ··· × ρn. Il est donc isomorphe `a St(ρ, n). On a quelque chose d’analogue pour ρ′, ce dont on d´eduit que St(ρ, n) et St(ρ′, n′) sont tous les deux isomorphes `a π. Le r´esultat est une cons´equence de la proposition 6.14. On traite maintenant le cas g´en´eral. Soit αune famille d’entiers de somme deg(π) telle que rα(π) soit cuspidale, et ´ecrivons [τ1]+···+[τr]son support cuspidal. Par exactitude du foncteur de Jacquet, la repr´esentation τ1⊗···⊗τrest un sous-quotient irr´eductible de rα(ρ1×···×ρn) et de rα(ρ′ 1×···×ρ′ n′), o`u αest la famille d’entiers (deg(τ1),...,deg(τr)). Ces repr´esentations ont chacune une filtration dont les sous-quotients irr´eductibles sont de la forme (1.1). Le r´esultat ´etant vrai pour les repr´esentations τion d´eduit alors (8.4). D´efinition 8.18. — ´ Etant donn´ee une repr´esentation irr´eductible π∈Irr, il existe une unique somme [ρ1]+···+[ρn]∈N(S) telle que πsoit un sous-quotient irr´eductible de ρ1× ··· × ρn. On l’appelle le support supercuspidal de π, que l’on note scusp(π). Pour s∈N(S), on note Irr(s) l’ensemble des classes de repr´esentations irr´eductibles de support supercuspidal s. On en d´eduit une variante supercuspidale du th´eor`eme 5.8. 50 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE Th´eor`eme 8.19. — Soit r⩾1un entier et soient ρ1,...,ρrdes repr´esentations irr´eductibles supercuspidales deux `a deux non inertiellement ´equivalentes. Pour chaque i, on fixe un support supercuspidal si∈N(Ωρi). (1) Pour chaque i, soit πiune repr´esentation irr´eductible de support supercuspidal si. Alors π1×···×πrest irr´eductible. (2) On pose s=s1+···+sr. L’application : (π1,...,πr)→π1×···×πr induit une bijection de Irr(s1)×···×Irr(sr)dans Irr(s). La proposition suivante d´ecoule de l’unicit´e du support supercuspidal et de la proposition 8.4. Proposition 8.20. — L’application (ρ1,...,ρr)7→ St(ρ1,...,ρr)de N(S)dans Rnd est une bijection, et sa r´eciproque est donn´ee par π7→ scusp(π). 9. Classification des repr´esentations irr´eductibles de GLm(D) L’objectif de cette section est le th´eor`eme 9.36, qui fournit une classification `a la Zelevinski des repr´esentations irr´eductibles de GLm(D), m⩾1, en termes de multisegments. Les multisegments sont d´efinis au paragraphe 9.1. Dans le paragraphe 9.2, on d´efinit les multisegments supercuspidaux et les multisegments ap´eriodiques, et on montre comment passer bijectivement des uns aux autres. On donne au paragraphe 9.3 une classification des repr´esentations r´esiduellement non d´eg´en´er´ees en fonction de leur support cuspidal. Dans le paragraphe 9.5, on associe `a tout multisegment mune repr´esentation irr´eductible Z(m). Dans le paragraphe 9.6, on montre que l’application m7→ Z(m) est surjective et on calcule ses fibres. Dans le paragraphe 9.7, on ´etudie la r´eduction modulo ℓdes Qℓ-repr´esentations irr´eductibles. 9.1. Multisegments Dans ce paragraphe, on d´efinit la notion de multisegment. On note Seg l’ensemble des classes d’´equivalence de segments (d´efinition 7.2). Le degr´e, la longueur, le support d’un segment ∆ ne d´ependent que de la classe d’´equivalence de ce segment, ainsi que les classes de repr´esentations [Z(∆)]et [L(∆)]. D´efinition 9.1. — Un multisegment est un multi-ensemble de classes de segments, c’est-`a-dire un ´el´ement de N(Seg). On note : (9.1) Mult = N(Seg) l’ensemble des multisegments. Un multisegment non nul s’´ecrit sous la forme : (9.2) m= ∆1+···+ ∆r= [a1, b1]ρ1+···+ [ar, br]ρr, o`u chaque ∆i= [ai, bi]ρiest une classe de segments. La longueur, le degr´e et le support, d´efinis pour les segments en (7.3), sont d´efinis pour les multisegments par additivit´e : n(m) = r X i=1 n(∆i),deg (m) = r X i=1 deg (∆i),supp(m) = r X i=1 supp (∆i) REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 51 d´esignent respectivement la longueur, le degr´e et le support de m. On d´efinit aussi par additivit´e les applications m7→ m∨et m7→ m−de Mult dans Mult (voir (7.8) et (7.9)). Pour la seconde, on convient que, si ∆ est un segment de longueur 1, alors ∆−est le multisegment nul. Voici une s´erie de lemmes qui seront utiles par la suite. Lemme 9.2. — Soient m,m′des multisegments tels que m−=m′−. Il existe alors des multisegments net n′qui sont sommes de segments de longueur 1et tels qu’on ait m+n=m′+n′. D´emonstration. — Si l’on ´etend l’op´eration m7→ m−en un endomorphisme de groupe de Z(Seg), il suffit de prouver que le noyau de cet endomorphisme est r´eduit au sous-groupe engendr´e par les segments de longueur 1, ce qui est imm´ediat. Soit mun multisegment, qu’on ´ecrit sous la forme (9.2). On pose : m(1) =[ρ1νb1 ρ1]+[ρ2νb2 ρ2]+···+[ρrνbr ρr] la somme des extr´emit´es finales des segments composant m. Ceci d´efinit une application m7→ m(1) de Mult dans N(C). Le lemme suivant est imm´ediat. Lemme 9.3. — On a m(1) =msi et seulement si m−= 0, c’est-`a-dire si et seulement si mest une somme de segments de longueur 1. On d´efinit maintenant par r´ecurrence des multisegments m(1),m(2),... associ´es `a men posant m(i+1) = (m−)(i)pour tout i⩾1. Lemme 9.4. — L’application m7→ (m(1),m(2),...)est injective. D´emonstration. — Soient met m′des multisegments tels que m(i)=m′(i)pour tout i⩾1. Alors les multisegments met m′ont la mˆeme longueur, not´ee n. On remarque aussi qu’ils poss`edent le mˆeme nombre de segments, not´e r. On proc`ede par r´ecurrence sur n, le cas o`u n= 1 ´etant imm´ediat. En consid´erant les ´egalit´es m(i)=m′(i)pour tout i⩾2, on obtient m−=m′− par hypoth`ese de r´ecurrence. On d´eduit du lemme 9.2 qu’il existe net n′des multisegments sommes de segments de longueur 1 tels que m+n=m′+n′. On en d´eduit que m(1) +n(1) =m′(1) +n′(1). Mais on a aussi m(1) =m′(1), ce dont on d´eduit que n=n′, puis que m=m′. On introduit maintenant une relation ⊢sur Mult. Que le lecteur prenne garde au fait que ce n’est pas une relation d’ordre. D´efinition 9.5. — Soit mun multisegment, qu’on ´ecrit sous la forme (9.2), et soit nun autre multisegment. Si nest de la forme : [a1, c1]ρ1+···+ [ar, cr]ρr avec ci∈ {bi−1, bi}pour tout i, on ´ecrit m⊢net on pose δ(m,n) = deg(m)−deg(n). Remarque 9.6. — (1) Pour tout m∈Mult, on a m⊢m−et δ(m,m−) = deg(m(1)). (2) Si m⊢n, alors on a m−⊢n−et δ(m,n)−δ(m−,n−) = deg(m(1))−deg(n(1)). 52 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE 9.2. Multisegments supercuspidaux et ap´eriodiques Dans ce paragraphe on ´etend au cas non deploy´e les d´efinitions de [35, V.6]. Un multisegment mest une p´eriode s’il est de la forme : (9.3) m= [a, b]ρ+ [a+ 1, b + 1]ρ+···+ [a+n−1, b +n−1]ρ, avec ρune repr´esentation irr´eductible cuspidale, a, b ∈Zet n=e(ρ)ℓrpour r⩾0. D´efinition 9.7. — Un multisegment est dit ap´eriodique s’il ne contient pas de p´eriode et supercuspidal si son support est form´e de repr´esentations supercuspidales. Soit ∆ un segment. D’apr`es le th´eor`eme 6.14, on peut l’´ecrire ∆ = [a, b]St(ρ,n), o`u ρest une repr´esentation irr´eductible supercuspidale et n= 1 ou n=e(ρ)ℓrpour r⩾0. La repr´esentation ρn’est pas unique, mais le multisegment : ∆sc = [a, b]ρ+ [a+ 1, b + 1]ρ+···+ [a+n−1, b +n−1]ρ ne d´epend pas du choix de ρ. Ce proc´ed´e d´efinit par additivit´e une application : (9.4) m7→ msc de Mult vers l’ensemble Multsc des multisegments supercuspidaux, qui est l’indentit´e sur Multsc. Elle est donc surjective, mais pas injective en g´en´eral. Cependant, on a le r´esultat suivant. Lemme 9.8. — Soit mun multisegment supercuspidal. Il y a un unique multisegment ap´eriodique atel que asc =m. D´emonstration. — On peut se ramener au cas de multisegments dont l’image par (9.4) a un support dans N(Zρ) avec ρsupercuspidale. Pour all´eger les notations, on pose Str(ρ) = St(ρ, e(ρ)ℓr) pour r⩾0. Un multisegment ap´eriodique s’´ecrit : a=X r⩾0X n⩾1 ur,n ·[1, n]Str(ρ)+a0 o`u a0est la partie supercuspidale de a, c’est-`a-dire le plus grand multisegment ⩽adont le support soit supercuspidal, et o`u ur,n ⩾0 est la multiplicit´e du segment [1, n]Str(ρ)dans a1=a−a0. (On remarque que pour r⩾0 la repr´esentation cuspidale Str(ρ) n’est pas supercuspidale. Ceci implique que o(Str(ρ)) = 1, donc que tout segment de longueur n⩾1 de la forme [a, b]Str(ρ)est ´equivalent `a [1, n]Str(ρ).) L’hypoth`ese d’ap´eriodicit´e implique que, pour chaque r⩾0 et chaque n⩾1, on a ur,n < ℓ. On ´ecrit maintenant : m=asc =X r⩾0X n⩾1ℓrur,n · e(ρ)−1 X j=0 [j, j +n−1]ρ+a0. Pour n⩾1 et a∈Z, soient vn,a et wn,a les multiplicit´es du segment [a, a +n−1]ρdans met dans a0respectivement. Si o(ρ) = 1, alors pour n⩾1 et a∈Zon trouve : vn,a =wn,a +X r⩾0 ℓr+1ur,n avec la condition wn,a < ℓ provenant de l’ap´eriodicit´e du multisegment a0. Par unicit´e du d´eveloppement ℓ-adique de vn,a, on retrouve les wn,a et les ur,n `a partir de m. Si o(ρ)>1, alors pour REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 53 n⩾1 et a∈Zon trouve : vn,a =wn,a +X r⩾0 ℓrur,n, avec la condition wn,b = 0 pour au moins un b∈Z, provenant de l’ap´eriodicit´e de a0. Pour un tel b, l’unicit´e du d´eveloppement ℓ-adique de vn,b permet de retrouver les ur,n `a partir de m. Puis on en d´eduit la valeur de wn,a pour tout a∈Z. En d’autres termes, la restriction de l’application (9.4) `a l’ensemble Multap des multisegments ap´eriodiques induit une bijection de Multap vers Multsc. On note map l’ap´eriodis´e d’un multisegment m, c’est-`a-dire l’ant´ec´edent de msc par cette bijection. Les applications m7→ msc et m7→ map sont des bijections r´eciproques l’une de l’autre entre les ensembles Multap et Multsc. ´ Etant donn´e s∈N(C), on pose : (9.5) Mult(s) = {m∈Mult |supp(m) = s} et on note Mult(s)ap l’intersection Multap ∩Mult(s). On a le lemme suivant. Lemme 9.9. — On a les propri´et´es suivantes. (1) Pour tout m∈Multsc, on a supp(m)ap = supp(map). (2) Pour tout m∈Multap, on a supp(m)sc = supp(msc). (3) Pour tout support supercuspidal s∈N(S), l’application m7→ map induit une bijection : (9.6) Mult(s)→a t Mult(t)ap o`u td´ecrit les t∈N(C)tels que tsc =s. D´emonstration. — On passe de (1) `a (2) en appliquant les bijections m7→ msc et m7→ map entre Multap et Multsc. Il suffit donc de prouver (1). Il suffit de le prouver lorsque mest une p´eriode, auquel cas le r´esultat est imm´ediat. Pour prouver (3), il suffit de prouver que l’application (9.6) est bien d´efinie, ce qui d´ecoule de (1). 9.3. Classification des repr´esentations r´esiduellement non d´eg´en´er´ees Dans ce paragraphe, on classe les repr´esentations r´esiduellement non d´eg´en´er´ees (voir aussi la proposition 8.20) en termes de multisegment ap´eriodiques. Ceci permet de donner quelques propri´et´es de ces repr´esentations, qui seront utiles par la suite. On note N(C)ap l’image de N(S) par la bijection m7→ map de Multsc dans Multap, c’est-`a-dire l’ensemble des supports cuspidaux ap´eriodiques. Th´eor`eme 9.10. — Soit πune repr´esentation r´esiduellement non d´eg´en´er´ee. Il y a un unique multisegment m= ∆1+···+ ∆rtel que, pour tous i6=j, les segments ∆i,∆jne soient pas li´es et tel que πsoit isomorphe `a L(∆1)×···×L(∆r). D´emonstration. — Soit s=[τ1]+···+[τn]∈N(S) le support supercuspidal de πet soit t=sap le support cuspidal ap´eriodique lui correspondant, qu’on ´ecrit [ρ1]+···+[ρt]avec t⩾1. Grˆace `a la condition d’ap´eriodicit´e, il existe des segments ∆1,...,∆rde la forme ∆i= [ai, bi]ρisatisfaisant aux conditions suivantes : (1) on a t= supp(∆1) + ···+ supp(∆r) ; (2) pour tous i6=j, les segments ∆iet ∆jne sont pas li´es ; (3) pour tout i, la longueur de ∆iest strictement inf´erieure `a e(ρi). 54 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE (On raisonne par r´ecurrence sur t, le cas o`u t= 1 ´etant imm´ediat. On choisit un segment ∆1 dont le support est inclus dans t=[ρ1]+···+[ρt]et de longueur maximale pour cette propri´et´e. Puis on applique l’hypoth`ese de r´ecurrence `a t−supp(∆1).) Ces segments sont uniques `a l’ordre pr`es. D’apr`es le th´eor`eme 7.24, la repr´esentation : Π = L(∆1)×···×L(∆r) est irr´eductible, et elle est r´esiduellement non d´eg´en´er´ee d’apr`es la proposition 7.21(3). Comme ρ1× ··· × ρrest un sous-quotient de τ1× ··· × τn, on d´eduit de la proposition 8.4 que πest isomorphe `a Π. On en d´eduit le r´esultat suivant. Proposition 9.11. — L’application (ρ1,...,ρr)7→ St(ρ1,...,ρr)est une bijection de N(C)ap dans Rnd, not´ee t7→ St(t), et sa r´eciproque est donn´ee par π7→ cusp(π). D´emonstration. — Si πest une repr´esentation irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´ee, on pose t= scusp(π)ap et on note mle mutisegment donn´e par le th´eor`eme 9.10, de sorte que test ´egal au support de m. Par construction, πest ´egale `a St(t). Par d´efinition, le support cuspidal de L(∆i) est ´egal au support de ∆i. Le th´eor`eme 9.10 implique donc que le support cuspidal de πest ´egal `a supp(m) = t. En comparant [35, Theorem V.7] `a la proposition 9.11, on obtient le r´esultat suivant. Corollaire 9.12. — Soit πune repr´esentation irr´eductible de GLn(F). Alors : (1) πest non d´eg´en´er´ee si et seulement si πest r´esiduellement non d´eg´en´er´ee. (2) Si µest une partition de n, alors πest µ-d´eg´en´er´ee [35, V.5] si et seulement si elle est r´esiduellement µ-d´eg´en´er´ee. D´emonstration. — Compte tenu de [35, V.7] et de la remarque 8.14, il suffit de prouver que, pour toute repr´esentation irr´eductible cuspidale ρet pour tout entier n⩽e(ρ)−1, la repr´esentation St(ρ, n) est isomorphe `a l’unique sous-quotient irr´eductible non d´eg´en´er´e de l’induite : ρ×ρνρ×···×ρνn−1 ρ. Ceci d´ecoule de [34, III.5.13]. Le corollaire suivant est une cons´equence de la proposition 7.19. Corollaire 9.13. — (1) Pour tout support cuspidal t∈N(C), on a St(t∨)≃St(t)∨. (2) Soit µune partition de n. Alors une repr´esentation est r´esiduellement µ-d´eg´en´er´ee si et seulement si sa contragr´ediente est r´esiduellement µ-d´eg´en´er´ee. En particulier, une repr´esentation irr´eductible est non d´eg´en´er´ee si et seulement si sa contragr´ediente est r´esiduellement non d´eg´en´er´ee. 9.4. La partition µmet la repr´esentation Stµm(m) Dans ce paragraphe, on associe `a tout multisegment mune famille croissante d’entiers µmde somme deg(m) et une repr´esentation irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´ee du sous-groupe de Levi Mµm, que l’on note Stµm(m). REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 55 9.4.1. Soit mun multisegment de degr´e not´e m. On note Part(m) l’ensemble des partitions µde mtelles que l’induite : (9.7) I(m) = Z(∆1)×···×Z(∆r) poss`ede un sous-quotient irr´eductible µ-d´eg´en´er´e (d´efinition 8.7). Il n’est pas vide, parce qu’on peut choisir µde sorte que rµ(I(m)) contienne un sous-quotient irr´eductible cuspidal, qui est r´esiduellement non d´eg´en´er´e d’apr`es le lemme 8.4. D´efinition 9.14. — On pose : (9.8) µm= (deg(m(1))⩾deg(m(2))⩾...). C’est une partition de mdont la conjugu´ee est la partition associ´ee `a (deg(∆1),deg(∆2),...), la famille des degr´es des segments composant m. Remarque 9.15. — Par construction, on a µm∨=µmpour tout multisegment m. On remarque que tous les multisegments m(i)sont des sommes de segments de longueur 1, de sorte que, d’apr`es la proposition 8.4, chacune des induites I(m(i)) contient le sous-quotient irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´e St(m(i)). D´efinition 9.16. — Soit tle plus grand entier tel que m(t)6= 0. On note µmla famille croissante d’entiers associ´ee `a la partition µm, c’est-`a-dire : (9.9) µm= (deg(m(t))⩽deg(m(t−1))⩽...⩽deg(m(1))), et on note : (9.10) Stµm(m) = St(m(t))⊗St(m(t−1))⊗···⊗St(m(1)), qui est une repr´esentation irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´ee de Mµm. Lemme 9.17. — La repr´esentation Stµm(m)est l’unique sous-quotient irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´e de rµm(I(m)). D´emonstration. — On va le prouver par r´ecurrence sur la longueur nde m. Si n= 1, le r´esultat est imm´ediat puisqu’alors I(m) est irr´eductible cuspidale. On suppose maintenant que n⩾2 et on pose α= (m−deg(m(1)),deg(m(1))). D’apr`es le lemme g´eom´etrique (§2.4.3) et la proposition 7.16, le module de Jacquet rα(I(m)) est compos´e de repr´esentations de la forme : I(m1)⊗I(m2) avec m1,m2des multisegments de la forme : m1= r X i=1 [ai, ci]ρi,m2= r X i=1 [ci+ 1, bi]ρi, ai−1⩽ci⩽bi,deg(m2) = deg(m(1)). D’apr`es le corollaire 8.5, I(m2) contient une repr´esentation r´esiduellement non d´eg´en´er´ee si et seulement si pour tout i, on a ci=bi−1, c’est-`a-dire si m1=m−et m2=m(1). Par hypoth`ese de r´ecurrence, la repr´esentation Stµm−(m−) est l’unique sous-quotient r´esiduellement non d´eg´en´en´e de rµm−(I(m−)). On remarque que : µm−= (deg(m(t))⩽deg(m(t−1))⩽...⩽deg(m(2))), Stµm−(m−) = St(m(t))⊗St(m(t−1))⊗···⊗St(m(2)). 56 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE On d´eduit le r´esultat par transitivit´e des foncteurs de Jacquet. On renvoie `a la d´efinition 9.5 et au paragraphe 3.2 pour les d´efinitions de ⊢et de la relations d’ordre Esur l’ensemble des partitions. Lemme 9.18. — Soient m,ndeux multisegments tels que m⊢n. Alors la partition µmest plus grande que la partition associ´ee `a la famille (δ(m,n), µn). D´emonstration. — On veut montrer que, pour tout k⩾1, on a : k X i=1 deg n(i)⩽ k X i=1 deg m(i)si δ(m,n)⩽deg n(k),(9.11) δ(m,n) + k−1 X i=1 deg n(i)⩽ k X i=1 deg m(i)si δ(m,n)>deg n(k).(9.12) La premi`ere in´egalit´e d´ecoule du fait que, pour tout i⩾1, on a deg(m(i))⩾deg(n(i)). Prouvons la seconde in´egalit´e par r´ecurrence sur la longueur nde m. Si k= 1, on a deg(m(1))⩾δ(m,n). Si k⩾2, d’apr`es la remarque 9.6, l’in´egalit´e (9.11) ´equivaut `a : k X i=2 deg(m(i))⩾δ(m,n) + k−1 X i=2 deg(n(i)), c’est-`a-dire : k−1 X i=1 deg(m−(i))⩾δ(m,n) + k−2 X i=1 deg(n−(i)), ce qui est vrai par hypoth`ese de r´ecurrence. Proposition 9.19. — La partition µmest le plus grand ´el´ement de Part(m), et I(m)poss`ede un unique sous-quotient irr´eductible r´esiduellement µm-d´eg´en´er´e. Il apparaˆıt avec multiplicit´e 1 comme sous-quotient dans I(m). Remarque 9.20. — L’ordre Esur les partitions n’´etant pas total, il n’est pas ´evident a priori que Part(m) poss`ede un plus grand ´el´ement. Ainsi l’assertion de la proposition 9.19 est triple : (1) l’ensemble Part(m) admet un plus grand ´el´ement (automatiquement unique) ; (2) ce plus grand ´el´ement est µm(ce qui implique en particulier que µm∈Part(m)) ; (3) le module de Jacquet rµm(I(m)) poss`ede un unique sous-quotient irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´e avec multiplicit´e 1. D´emonstration. — La partition µmappartient `a Part(m) d’apr`es le lemme 9.17 et la d´efinition 8.7. Ce lemme implique aussi que rµm(I(m)) a un unique sous-quotient irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´e avec multiplicit´e 1. Soit maintenant ν= (ν1⩾ν2⩾...)∈Part(m). On va montrer, par r´ecurrence sur m, que l’on a νEµm. D’apr`es le lemme g´eom´etrique et la proposition 7.16, la repr´esentation r(m−ν1,ν1)(I(m)) est soit nulle, soit compos´ee de repr´esentations de la forme : I(m1)⊗I(m2) REPR´ ESENTATIONS LISSES MODULO ℓDE GLm(D) 57 avec m1,m2des multisegments de la forme : m1= r X i=1 [ai, ci]ρi,m2= r X i=1 [ci+ 1, bi]ρi, ai−1⩽ci⩽bi,deg(m2) = ν1. D’apr`es le corollaire 8.5, l’induite I(m2) contient une repr´esentation r´esiduellement non d´eg´en´er´ee si et seulement si pour tout i, on a ci=biou ci=bi−1, c’est-`a-dire si m⊢m1. Puisque ν∈Π(m), en ´ecrivant ν−= (ν2⩾...), il existe (par transitivit´e du foncteur de Jacquet) un sous-quotient irr´eductible de r(m−ν1,ν1)(I(m)) de la forme I(m1)⊗I(m2) o`u I(m2) contient un sous-quotient irr´eductible r´esiduellement non d´eg´en´er´e et o`u I(m1) contient un sous-quotient irr´eductible r´esiduellement ν−-d´eg´en´er´e. La condition sur I(m1) entraˆıne par hypoth`ese de r´ecurrence qu’on a ν−Eµm1. Comme ν1=δ(m,m1), on en d´eduit que νest plus petite que la partition associ´ee `a (δ(m,m1), µm1). Finalement, on d´eduit du lemme 9.18 que νEµm. 9.4.2. ´ Etant donn´es deux multisegments m,m′, on va donner dans ce paragraphe des conditions n´ecessaires et suffisantes pour que Stµm(m) et Stµm′(m′) soient isomorphes. Lemme 9.21. — Soient m,m′deux multisegments supercuspidaux. Si Stµm(m)et Stµm′(m′) sont isomorphes, alors m=m′. D´emonstration. — L’hypoth`ese implique d’une part que µm=µm′, d’autre part que St(m(i)) et St(m′(i)) sont isomorphes pour tout i⩾1. D’apr`es la proposition 8.20, ceci entraˆıne que m(i)=m′(i)pour tout i⩾1. Le lemme 9.4 implique alors que m=m′. Lemme 9.22. — Pour tout multisegment m, on a µm=µmsc et Stµm(m)≃Stµmsc (msc). D´emonstration. — Remarquons que, par additivit´e de l’application m7→ m(i), on a : (9.13) µm+n=µm+µn pour tous multisegments met n. D’apr`es la proposition 8.8, il suffit de prouver le lemme lorsque mest une p´eriode, auquel cas le r´esultat est imm´ediat. On en d´eduit la proposition suivante. Proposition 9.23. — Soient m,m′deux multisegments. Alors Stµm(m)et Stµm′(m′)sont isomorphes si et seulement si msc =m′ sc. 9.5. La repr´esentation Z(m) Dans cette section, on associe `a tout m∈Mult une repr´esentation irr´eductible Z(m). 9.5.1. La proposition 9.19 nous permet de donner la d´efinition suivante. D´efinition 9.24. — Soit m= ∆1+···+ ∆run multisegment. Il y a un unique sous-quotient irr´eductible de : (9.14) I(m) = Z(∆1)×···×Z(∆r), not´e Z(m), qui soit r´esiduellement µm-d´eg´en´er´e (voir (9.8) et la d´efinition 8.7). Il apparaˆıt avec multiplicit´e 1 dans I(m) et l’unique sous-quotient r´esiduellement non d´eg´en´er´e de rµm(Z(m)) est Stµm(m). Ceci d´ecoule de l’exactitude du foncteur de Jacquet et de la propri´et´e de multiplicit´e 1 de la proposition 9.19. 64 ALBERTO M´ INGUEZ & VINCENT S´ ECHERRE (4) Si rℓ(˜ρ) n’est pas irr´eductible, alors rℓ(Z( ˜ ∆)) ne l’est pas non plus. Par exemple, si ˜ρest une Qℓ-repr´esentation cuspidale enti`ere telle que rℓ(˜ρ) = [ρ]+[ρ′]avec ρet ρ′irr´eductibles non isomorphes, on a : rℓ(Z([0,1]˜ρ)) = Z([0,1]ρ) + Z([0,1]ρ′) + [ρ×ρ′]. (5) Si ρest une Fℓ-repr´esentation cuspidale telle qu’il existe une Qℓ-repr´esentation cuspidale irr´eductible ˜ρqui rel`eve ρ, alors Z([a, b]ρ) peut ˆetre aussi caract´eris´e comme la r´eduction modulo ℓde Z([a, b]˜ρ). Cette d´efinition ne d´epend pas du choix de ˜ρ(voir [14, Proposition 2.2.3]). R´ef´erences [1] S. Ariki – “On the decomposition numbers of the Hecke algebra of G(m, 1, n)”, J. Math. Kyoto Univ. 36 (1996), no. 4, p. 789–808. 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