Aspectos numéricos del cálculo fotoelástico de factores de intensidad de tensiones mediante desarrollos en serie

ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. S (1991) ASPECTOS NUI1ERICOS DEL CALCULO FOTOELASTICO DE FACTORES DE INTENSIDAD DE TENSIONES MEDIANTE DESARROLLOS EN SERIE RESUMEN: R. Picón. F. París y C. Rivas. Dpto. de Mecánica de Medios Continuos. E. T. S. Ingenieros Industriales de Sevilla. Avda. Reina Mercedes s/n. 41 O 12 Sevilla. En un trabajo previo [ 1) se expuso la metodología general del cálculo fotoelástíco de los factores de intensidad de tensiones mediante desarrollos en serie del campo general de tensiones y posterior ajuste de lo5 coeficientes de dichos desarrollos a los datos experimentales obtenidos del campo de isocrómaticas. En dicho trabajo se estudió la influencia de un cierto número de factores en los resultados numéricos obtenidos. En este trabajo se completa el estudio numérico propuesto, analizándose la influencia en los resultados de una serie de factores, como son la solución inicial escogida, los errores de medida, la distribución y número de los puntos utilizados y la relación puntos-coeficientes. A partir de los resultados obtenidos se dan una serie de recomendaciones para el uso eficiente de este tipo de métodos. ABSTRACT: In a previous work [ 1]. the general methodology to obtain stress intensity factors photoelastically by the use of stressfunctions series expansions and subsequent fitting of the coefficients to the experimental isochromatic pattern was presented, analysing the influence of several parameters on the numerical results. In this paper. that numerical study is completed, taking into account a number of factors: initial estimations, error measures, distribution and number of points used and the ratio points-coefficients. From the results obtained, sorne recommendations for the efficient use of this type of methods are made. 1.- INTRODUCCION 231 En un trabajo previo [ 1] se expuso el método general de calculo fotoelástico de los factores de intensificación de tensiones KI y Kn mediante desarrollos en serie de las funciones de tensión. En esencia, el procedimiento propuesto es el siguiente: en primer lugar, el tensor de tensiones plano se expresa [ 1] a partir de cuatro funciones de la variable eje de la grieta (y=O), y pueden ser expresadas mediante desarrollos en serie que satisfagan las condiciones de contorno en dicha línea y= O, en la que existe una grieta semidefinida en x <O. En forma simbólica, se tiene: compleja z = x + iy = r ei9 (r,e :coordenadas polares medidas desde el borde de grieta): Ojk (x,y) = fSjk [ZI(z),fli(z)] + f8 jk [Zn(z).T)n(z)] j,k =X ,y ( 1) Las funciones complejas ZI , 11I (Zn , T)n) están asociadas al campo simétrico (antisimétrico) de tensiones, respecto al ( 2) representando An. Bm, Cp. Dq. genéricamente, los N, M, P, Q términos de los desarrollos en serie de ZI, fli, ZII y T)n. Los valores de KI y KII se obtienen según: KI = -Vsñ. Ao y KII = -Vañ. B 0. Sustituyendo los desarrollos (2) en ( 1) y usando las expresiones de las tensiones en la ecuación de una isocromática de orden N, para un material de factor de franja A. y espesor e [2]: 232 ANALES DE MECANICA DE LA FRACI'URA Vol.8 (1991) F( Oxx .oyy ,Oxy.N)=( e/NA)~ ( Oxx-Oyy) 2+( 20xy)2]-1 =O ( 3) se obtiene la ecuación de una isocromática de orden N en función de los coeficientes del desarrollo: ( 4) La función utilizada en ( 3) es la denominada F0 en [ 1]. La dificultad de situar con precisión el extremo de grieta hace aconsejable incluir las coordenadas de este extremo, r0, e0. como variables del ajuste. Las variables r y e reales se expresan a partir de re. e e y de r*. e*. (valores medidos) según ( Fig. 1 ). r2=(r"J2+ r2 0 -2r*recos(e"-ee) (Sa) tg9 = (r* sen e"- re sen ee) 1 (r* cose" -re cos ee) ( Sb) Fig. 1.- Relación geométrica entre r, e. r0, e0y r*, e* La ec. ( 4) se generaliza entonces en la forma: Los coeficientes de la ec ( 6), en número N + M + P + Q + 2 = T se calculan particularizando dicha ecuación en S puntos de distintas isocromáticas, cada uno con unos valores r*s· e*s· Ns. (s = 1, S). Para minimizar el efecto de los errores de medida es conveniente adoptar S > T, lo que dá un sistema sobredeterminado no lineal de ecuaciones, que en general no tendrá ninguna solución. Si denominamos vector residuo al conjunto de valores Fs (s = 1, S)., O, en cade punto, se busca la solución que minimice el módulo del vector residuo. Dicha solución se obtiene mediante un procedimiento iterativo que combina el método de NewtonRaphson generalizado [ 1] con el de mínimos cuadrados. Una vez calculados los coeficientes se representan las iscromáticas obtenidas para evaluar visualmente la bondad del ajuste obtenido. 2.- ANALISIS NUMERICO E 1 caso a na 1 izado consiste en una placa traccionada que contiene una grieta inclinada, de grandes dimensiones comparada con el ancho de la placa, para que aparezca una perturbación debida al borde libre. Las dimensiones exactas y las propiedades del material fotoelástico, así como una fotografía del campo de isocromáticas, puede verse en [ 1]. En la Fig. 2 puede verse el conjunto de puntos utilizado (signo +),estando la zona de medida caracterizada por 0'0 1 < r /a < 0'3. La posible invalidez de la solución elástica en los puntos CPPBL/T-443-1.8 .+-·+.+- +-+ ... + + + + + a) K1= 1.913 K2• 0.852 + CPPBL/T-443-18 .... Fig. 2.- Caso óptimo: T-443-18. a)vistaglobal; b) vista cercana. más cercanos al borde de grieta se comprobará mediante la bondad de los ajustes. A continuación se analizan una serie de factores numéricos, que completan el estudio iniciado en [ 1). ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol.8 (1991) 2.1. ESTIMACIOH INICIAl La solución inicial que se proponía en [ 1] era KI = KII = 1 y el resto de los coeficientes nulos. Por un error , sin embargo, el coeficiente A3 era igual a 0'006. Al recalcular los casos analizados en [ 1) usando una nueva solución inicial con A3 =o se encontró que los valores de KI = Kn obtenidos no sufrían excesivas variaciones pero, en algunos casos, e 1 ajuste de las isocromáticas más lejanas (las de orden menor) variaba sensíb lamente. Esto hizo aconsejable proceder a una nueva búsqueda del ajuste que se vá a usar como óptimo, para lo que se manejó el número total de puntos ( 443). En todos los casos se usó ya la solución inicial KI = Kn = 1 y el resto de los coeficientes nulos. En la Fig. 3 se muestra la evolución del residuo con el número de coeficientes usado; de este número, dos coeficientes son las coordenadas del borde de grieta y el resto son los términos de los desarrollos de las cuatro funciones complejas (ec. (2)), a partes iguales entre cada una de ellas. La inspección visua 1 revela un ajuste correcto de todo e 1 campo para 18 coeficientes, Fig. 2, lo que está asociado a une 1.600 1.371 .. 1.143 "' " 1! 0.914 a: 0.666 0.457 0.229 0.000 Caso T-443Coeficientes 6.0 10.0 14.0 16.0 22.0 26.0 30.0 34.0 36.042.0 Fig. 3.- Residuo frente a número de coeficientes. Caso T -443-COEFICIENTES. estabilización del residuo. (La letra T, Fig. 2., indica que se usan todos los puntos, y las dos siguientes cifras indican el número de puntos y el número de coeficientes utilizados). El residuo, sin embargo, no es un indicador absoluto, en el sentido de que aparecen perturbaciones del ajuste cuando aún el residuo se comporta monótonamente, como se muestra en la Fig. 4, en la que se ha representado el caso T -443-34. Una vez escogido el caso óptimo de referencia T -443-18 se procedió a resolver este caso variando la estimación inicial de las siguientes formas: a) se usó como solución inicial la obtenida en el caso T -443-18 multiplicada por 0.2; b) ldem 3.5; e) se usó como solución inicial para los valores de A 0 y B 0 (asociados a KI = Kn ) los del óptimo multiplicados por 0.2, manteniendo nulas el resto de las variables; y d) ldem CPPBL/T-443-34 K1= 1.936 .+ + ..... +_.;. . .:t',: Fig. 4.- Caso T -443-34. Vista global. 3.5. En todos los casos el método convergió a la solución óptima, lo que parece indicar robustez ante cambios homogéneos y cierta sensibilidad ante pequeños cambios aleatorios. En todo caso, conviene realizar algunas pruebas con la estimación inicial antes de dar un ajuste por malo. 2.2. ERRORES DE MEDIDA Las isocromáticas de orden bajo tienen una banda muy ancha, por lo que es fácil cometer errores al medir el radio de los puntos. Para estimar como influirían estos errores se resolvió el caso óptimo variando los radíos de las isocromátícas de orden 1.5 y 2 (las de radios mayores), que se aumentaron en un 1 O y 5~, respectivamente; posteriormente se repitió el analisis pero disminuyendo los radios en los mismo porcentajes. Los factor·es de intensidad de tensiones obtenidos fueron KI = 1 '883, Kn = 0'855, para el caso de radios aumentados, y KI = 1'95, Kn = 0'847 para el caso de radios disminuidos. En conjunto, la máxima variación de KI fué del 1 ·g~ y la de Kn del 0'6%, por lo que parece que estos errores no tienen una influencia sensible. 2.3. DISTRIBUCION DE lOS PUNTOS Usando aproximadamente la mitad del número total de puntos estos se dispusieron: a) sobre las zonas laterales (es decir de menor radio) de cada isocromática (clave LAT); b) sobre las zonas extremas (es decir, las de mayor radio de cada isocromática (clave MAX); y e) repartidos uniformemente por todas las isocromáticas (clave MIT). El tanto por ciento de variación de los valores obtenidos de K 1 y 233 234 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. S (1991) Ku respecto a los del óptimo (dK¡ dK¡¡) se muestran en la Tabla 1. Como además el ajuste fué mejor en el caso MIT, concluimos que es conveniente distribuir los puntos uniformemente sobre todo el campo. Tabla 1: Distribución de puntos CASO dK1 dKz I LAT22118 1.4 -1.3 MAX22218 -1.2 0.87 MIT -220-18 -o.2 0.11 2.4 NUMERO DE PUNTOS NECESARIOS El número total de puntos se obtuvo trazando radios de 5 en 5 grados e i ntersectando estas rectas con las isocromáticas. Para generar una serie decreciente de puntos se trazaron los radios con intervalos de 1 O, 1 5, 20, 25 y 30 grados, lo que dió un número de puntos de aproximadamente la mitad del total, un tercio del total , etc ... , hasta un sexto del total (claves MIT, TER, CUA, QUI, SEX). Los valores obtenidos de ~K¡ y dKu (definidos en el apartado anterior) se muestran en la Tabla 2. En cuanto al aspecto de los ajustes obtenidos, son prácticamente idénticos al óptimo hasta el caso QUI-88-18. En el caso SEX72-18 se produce ya una perturbación evidente en las zonas más alejadas del borde de grieta, como se aprecia en la vista global de la Fig. 5. En ésta, los puntos representados con el símbolo "*" son aquellos que no han sido utilizados en el ajuste. '"·"·"''"'""'""""'""";t''"""' * ;" * ! i .,+· * .... . * *,.¡:··* * * K1• 1.956 K2• El.ll41J Fig. 5.- Caso SEX-72-18. Vista global Es interesante mencionar que la forma utilizada de ir reduciendo los puntos no los reparte uniformemente entre todas las isocromáticas. Como ejemplo se muestran en la Tabla 2· Número de puntos necesarios CASO dK 1 d K¡ I MIT22018 -.18 .11 TER14718 -.11 .23 CUA10818 -.83 .65 QUI8818 .15 -.16 SEX -7218 2.0 2.3 Tabla 3 los puntos adoptados en cada isocromática en los casos QUI-88-18 y SEX-72-18. Para estimar la influencia de esta disposición de los puntos se resolvió un nuevo caso adoptando 6 puntos por isocromática, 3 por cada lazo cerrado; de estos 3 puntos, uno tenía el radio máximo y los otr-os dos los r-adios mínimos. Esto dá un total de 72 puntos, Igual que en el caso SEX-72-18, que aún daba valores aceptables de K¡ y Ku. Tabla 3: Puntos por isocromát ica IS~ QUI-88 -le SEX-72 -18 CROMA TIC 1.5 11 9 2 11 8 2.5 9 7 3 8 7 3.5 8 6 4 8 6 4.5 7 6 5 7 6 5.5 6 6 6 5 5 6.5 4 4 7 4 2 Los resultados obtenidos fueron pésimos, debido a una mala convergencia del proceso iterativo. Parece pues recomendable graduar el número de puntos por isocromátíca, en la línea descrita anteriormente. En cuanto al número de puntos a utilizar, los resultados obtenidos parecen indicar que 5 ó 6 puntos, por cada lazo cerrado, en las isocromáticas más externas, son suficientes, lo que, en nuestro ejemplo, está asociado al c-aso QUI-88-18. Este número de puntos ( 88) es razonablemente pequeño como para ser manejado con comodidad en los casos reales que pueden presentarse. 2.5. RElACION PUNTOS-COEFICIENTES Las ideas anteriores son una orientación respecto al número de puntos que es conveniente utilizar. Respecto al número de coeficientes, es obvio que debe ser el suficiente para poder ajustar correctamente en la zona de medida utilizada. Sin embargo, no es una buena estrategia utilizar un número excesivo de coeficientes, pues para un cierto valor de ANALES DE MECAJ\TJ:CA DE LA FRACfURA Vol.8 (1991) 235 la relación puntos/coeficientes empiezan a producirse inestabilidades numéricas, aparentemente debidas a que los coeficientes de las matrices que intervienen en el proceso toman valores de órdenes de magnitud muy diferentes. En la Tabla 4 se muestran los resultados obtenidos para el caso de clave QUI, al aumentar el número de coeficientes. R y P /C representan el residuo obtenido y la relación entre puntos y coeficientes. Las columnas AC y AL reflejan la impresión visual de los ajustes en las zonas cercanas (AC) y lejanas (AL), según B(bueno), R(regular) y M (malo). La nomenclatura B-n indica que el ajuste es bueno excepto en las n isocromáticas más externas, en que es malo, por haberse producido una perturbación de la so lución. Tabla 4: Serie creciente de coeficientes, para el caso QUI-88-COEF. . COEF. t.Kr t.Krr R AC AL P/C 6 -14.3 10.6 .7 M M 15. 10 -7.7 3.9 .5 M M 8.8 14 -2.1 3.0 .25 B B-1 6.3 18 .15 -.16 .20 B ¡; 4.9 22 1.2 -1.0 .17 B B-2 4.0 26 .9 -1.1 1.1 B B-3 3.4 30 NO \-\I!WtK\ "L.Y La tendencia que se observa en dicha tabla es general, y se presenta siempre que intentemos ajustar un campo amplio de isocromáticas. Aparecen en principio malos ajustes debido a que un bajo número de coeficientes no puede ajustar un campo amplio, se pasa por una etapa de buen ajuste y finalmente empiezan a aparecer perturbaciones de la solución. Al final el método no converge, tendiendo a permanecer en la solución inicial proporcionada. Aunque el residuo, como ya se comentó anteriormente, no es un indicador absoluto, sí que puede decirse: a) que cuando el residuo empieza a estabilizarse estamos en las proximidades del número óptimo de coeficientes;y b) que saltos bruscos del residuo indican un número excesivo de coeficientes (obsérvese esto en la Tabla 4, para 26 coeficientes y en la F ig. 3, para 38 coeficientes). Como conclusión, no se debe ir de entrada a un alto número de coeficientes, siendo preferible un aumento progresivo de éstos. Aunque en la Tabla 4 el ajuste empieza a perturbarse para P /C ñ 4y el método no converge para P /C ñ 3, estos factores no parecen poderse generalizar, estrictamente, a otros casos en que varíe la zona de toma de puntos, ó el número de éstos. 2.6. OTRAS POSIBILIDADES Aunque la metodología general que se recomienda es la descrita en apartados anteriores, se incluyen aquí algunas otras posibilidades que manejan un menor número de puntos. 2.6.1. SIMULACION DEL CAMPO CERCANO En la Tabla 5 se muestran los resultados obtenidos usando todos los puntos de las dos isocromáticas más cercanas ( 6.5 y 7) clave C657-44-COEF , al incrementar el número de coeficientes. La nueva columna PAC indica, mediante los símbolos S(si), R(regular) y N(no), si el ajuste está perturbado, es decir si el aspecto del campo obtenido es análogo al real. Tabla 5: Serie creciente de coeficientes, para e 1 caso C657-44-COEF. COEF. t.Kr t.Kn R AC PAC P/C 6 2. -4.7 .07 B N 7.3 10 15.4 -19. .05 B R 4.4 14 3. -10.3 .27 M S 3.1 18 42 -42. .03 B S 2.4 Se abserva que con 6 coeficientes los resu Hados son aceptables pero a partir de ahí el comportamiento es errático. El ajuste del campo cercano sería, aún utilizando un método que permite el ajuste en todo el dominio, la idea más inmediata , pues mientras más cercana al borde de grieta sea la zona de toma de puntos, más controlado está ese campo de tensiones por los términos singulares del desarrollo en serie. Sin embargo hay diversos problemas asociados a tomar medidas en dicha zona, entre los que cabe mencionar los siguientes: a) las tensiones en la zona de medida pueden estar alteradas por diversas no-linealidades; b)Pueden no existir isocromáticas cercanas, por falta de sensibilidad del material, ó aquellas pueden estar· ocultas por la presencia de una cáustica (hecho frecuente en fotoelasticidad dinámica); y e) el valor obtenido para KI y Kn depende no sólo del .buen ajuste obtenido en los puntos utilizados, sino del aspecto local del campo de tensiones. En las figuras 6a y b se muestra el ajuste cercano de los casos C657-44-06 y C657-44-1 O, observándose en este último que, aunque el ajuste de los puntos utilizados es bueno, la solución está perturbada, lo que origina sensibles diferencias entre los valores de KI y Kn en uno y otro caso. Parece mejor conseguir ajustes de zonas más amplias según las recomendaciones de los apartados anteriores ó siguiendo las líneas del apartado siguiente. que intentar estimar subjetivamente en cuanto alterará los resultados una cierta perturbación del ajuste. 2.6.2. SIMULACION DEL CAMPO CERCANO Y LEJANO En la Tabla 6 se muestran los resultados obtenidos usando: a) 48 puntos dispuestos en las isocromáticas 1.5, 2, 6.5 y 7, obtenidos usando radios separados 15 grados (clave 236 ANALES DE MECANICA DE LA FRACfURA Vol. S (1991) TER152657); y b) 35 puntos dispuestos 'sobre las isocromáticas 1.5 y 7. obtenidos usando radios separados 1 O CPPBL/T657-44-06 .. CPPBL/T657-44-H~ . ·. *· ', * ' . .. . . . .··• ' • Fig. 6.- a) Caso C657-44-06. Vista cercana; b) Caso C657-44-1 O. Vista cercana. grados (clave MIT15Y7). En ambos casos se han usado 18 coeficientes. Como puede observarse, pueden obtenerse resultados muy aceptables ajustando a la vez puntos de isocromáticas de Tabla 6: Casos TER152657-48-18 y MIT15Y7-35-18. CASO 6KI 6Kn R AC AL P/C TER1526572.7 -2.3 .17 B B 2.7 -48-18 MIT15Y73.2 -3.4 .06 B B 1.9 -35-18 orden alto y bajo. El ajuste en los puntos de isocromáticas intermedias, no utilizadas, viene forzado por las de ordenes más extremos . 3. CONCLUSIONES Del estudio del comportamiento numérico de los métodos fotoe lást icos de cálculo de factores de intensidad de tensiones mediante desarrollos en serie pueden extraerse algunas conclusiones, que deberían añadirse a las establecidas en [ 1 ): a) El método parece robusto respecto a variaciones regulares de la estimación inicial, aunque cambios aislados en algún coeficiente pueden alterar la solución. Se recomienda probar varias soluciones iniciales antes de dar por malo un ajuste. Asimismo, se observa que la solución no varia sensiblemente con variaciones del orden del 5 al 10% en los radios mayores . b) Se recomienda usar todo el campo de medida, disponiendo puntos uniformemente distribuidos en cada isocromática, y usando más puntos en las de orden menor. En estas, un número de puntos, por cada lazo cerrado, aproximadamente igua 1 a 5 ó 6. parece ser suficiente. e) Escogido un número de puntos, el número de coeficientes necesario coincide aproximadamente con la estabilización del residuo, y debe ser validado visualmente. Un número de coeficientes excesivo provoca problemas numéricos. d) Pueden obtenerse estimaciones fiables ajustando a la vez zonas cercanas y lejanas, lo que fuerza el ajuste en las zonas intermedias. 4.AGRADECIMIENTOS -Los autores agradecen el imprescindible trabajo de Antonio Cañas en e 1 Laboratorio. - Este trabajo ha sido financiado mediante el Proyecto 5853 de la Junta de Andalucía, "Caracterización de Grietas en Régimen Elastodinámico". 5. REFERENCIAS [ 1] Picón, R.; París, F. y Rivas C. ( 1990) "Cálculo fotoelástico de factores de intensidad de tensiones mediante desarrollos en serie. Estudio numérico". Anales de Mecánica de la Fractura, Vol. 7 pgs. 218-224. [2) Dally, J.W. y Riley, W.F. ( 1978) "Experimental stress analysis". McGraw-Hill.