Análisis del conocimiento geométrico de estudiantes de tercero de primaria a través de su percepción de las figuras

Trabajo Fin de Grado Sevilla, a 3 de Septiembre de 2018 ANÁLISIS DEL CONOCIMIENTO GEOMÉTRICO DE ESTUDIANTES DE TERCERO DE PRIMARIA A TRAVÉS DE SU PERCEPCIÓN DE LAS FIGURAS. Titulación: Grado en Educación Primaria Departamento: Didáctica de las matemáticas Curso académico: 20172018 Tutelado por: Dra. María del Mar Liñán García Autora: Claudia Ramos Sánchez 2 3 Declaración personal de no plagio Dña.: Claudia Ramos Sánchez NIF: 28825004-R Estudiante del Grado de Educación Primaria de la Universidad de Sevilla, curso 20172018, como autora de este documento académico titulado: ANÁLISIS DEL CONOCIMIENTO GEOMÉTRICO DE ESTUDIANTES DE TERCERO DE PRIMARIA A TRAVÉS DE SU PERCEPCIÓN DE LAS FIGURAS. Y presentado como Trabajo de Fin de Grado, para la obtención del título correspondiente, DECLARO QUE es fruto de mi trabajo personal, que no copio, que no utilizo ideas, formulaciones, citas integrales e ilustraciones diversas, sacadas de cualquier obra, artículo, memoria, etc., (en versión impresa o electrónica), sin mencionar de forma clara y estricta su origen, tanto en el cuerpo del texto como en la bibliografía. Así mismo soy plenamente consciente de que el hecho de no respetar estos extremos es objeto de sanciones universitarias y/o de otro orden. En Sevilla a 3 de Septiembre de 2018. Fdo: Claudia Ramos Sánchez 4 AGRADECIMIENTOS A mi familia, por ser el motor que me ha permitido cumplir el sueño, porque las segundas oportunidades existen y hay que saber aprovecharlas. A mis compañeras, hoy amigas, de esta carrera, porque han hecho el proceso más sencillo e inolvidable. A aquellos que, desde fuera, no han dejado de empujar conmigo de alguna forma, porque el calor de las personas también ayuda. A mi compañero que entiende que los sacrificios valen, cuando se hacen de corazón. Ha merecido la pena. Al profesorado que ha servido de ejemplo durante todo este tiempo, porque aún existen las utopías y ha sido un placer. Al colegio y esos niños y niñas tan dispuestos, pues sin ellos nada hubiera sido posible. Muy especialmente a mi tutora, Mar, por ofrecerme la oportunidad, por no dejar de alentarme, por su sencillez y su calidez, por mostrar esa sonrisa en cualquier momento; pero sobre todo, por abrirme esta ventana. Los viajes que inicias con miedo, son aquellos que más te permiten crecer. Este viaje no hubiera sido posible sin muchos hombros y muchas alas que me han permitido elevarme y mirar más arriba, mirar más allá. Cierro lo que ha sido una de las más bonitas y duras etapas con el corazón lleno y la mochila cargada de sueños. GRACIAS 5 6 RESUMEN El presente proyecto parte de la inquietud que siempre me ha suscitado la matemática. Si nos centramos en la enseñanza de la geometría, la jurisprudencia actual, los principios y estándares enunciados en el NCTM (2003) y el conocimiento aportado por expertos como Hoffer (1981) y Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013); proponen un orden ideal para la enseñanza de este bloque. Sin embargo, es sorprendente que la mayoría de los libros de texto escolares estructuran los contenidos de forma diferente. Por ello, este Trabajo de Fin de Grado presenta el diseño de una propuesta de intervención educativa en el ámbito escolar dirigida al alumnado de tercer curso de Educación Primaria. Dicha propuesta contempla un orden que parte de la realidad tridimensional, para llegar a objetos de dos dimensiones. La implementación de la misma se realiza en dos sesiones diferentes, y permitirá obtener información sobre el conocimiento geométrico que el alumnado tiene, así como del nivel de razonamiento de Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013) en el que cada uno se encuentra. Los datos obtenidos señalan que las nociones geométricas deben trabajarse más profundamente, además permiten mejorar el diseño de actividades futuras para ayudar al alumnado a avanzar en su aprendizaje. Palabras clave: geometría, Niveles de Van Hiele, figuras planas, cuerpos geométricos, aprendizaje de matemáticas. 7 ABSTRACT The starter point of this Project has been my personal interest on Mathematics. Focusing of the teaching of geometry, the current laws, the principles and standards from the NCTM (2003) and the knowledge provided by experts such as Hoffer (1981) and Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013); propose the ideal order for teaching geometry at school. However, surprisingly, the majority of school textbooks have organised the content differently. Therefore, this Final Degree Project presents an educational design to third year students of Primary Education. This design follows an order which moves from three dimensional objects to two dimensional objects. The activities will be done in two different days. The information obtained will allow knowing what geometrical knowledge students have; and in which level of Van Hiele’s reasoning are they situated. The outcomes of this project suggest the need to work in the geometrical content deeply at school, and also allow us to develop new activities to improve students’ learning. Key words: geometry, Van Hiele’s levels, plane figures, solid figures, mathematic learning. 8 9 Contenido 1. Introducción y justificación. ................................................................................................ 10 2. Objetivos. ............................................................................................................................ 13 3. Marco teórico. ..................................................................................................................... 14 3.1. Currículo de Educación Primaria en Andalucía ........................................................... 14 3.2. Principios y estándares para la educación matemática. ............................................. 15 3.3. Hoffer y Van Hiele: conocimiento de los expertos. ..................................................... 18 4. Metodología ........................................................................................................................ 22 4.1. Lugar de acción: el colegio. ......................................................................................... 22 4.2. Consideraciones para elaborar la secuencia de actividades. ...................................... 23 4.3. Propuesta didáctica de actividades. ............................................................................ 24 4.3.1. Actividades. ......................................................................................................... 25 4.4. ¿Cómo se va a hacer? .................................................................................................. 34 4.4.1. Tablas de análisis de datos .................................................................................. 35 4.5. Fases del proceso ........................................................................................................ 36 5. Resultados ........................................................................................................................... 37 5.1. Resultados individuales. ................................................................................................... 37 5.2. Resultados grupales ......................................................................................................... 60 6. Conclusiones, implicaciones y limitaciones......................................................................... 62 7. Referencias Bibliográficas ................................................................................................... 67 8. Anexos. .................................................................................................................................... 70 8.1. Anexo I: Material usado en las actividades. ..................................................................... 70 8.2. Anexo II: Actividades resueltas por el alumnado ............................................................. 73 16 pretenden ser una guía profesional sólida para una educación matemática de gran calidad, es por eso por lo que paso a describirlos brevemente a continuación (pp. 10-28).  Igualdad: todo el alumnado deben tener oportunidades para estudiar matemáticas y apoyo para aprenderlas. Esto no implica una instrucción idéntica sino la posibilidad de que todos/as obtengan logros, mediante las adaptaciones necesarias. Para una igualdad real se requiere tener en cuenta las diferencias del alumnado para prestar ayuda distinta a cada uno/a en función de sus habilidades y necesidades.  Currículo: el currículo debe permitir que el alumnado avance en matemáticas construyendo y enlazando ideas y principios unos con otros. El currículo por ello debe aportar aspectos útiles de las matemáticas que favorezcan en el alumnado el gusto por la misma.  Enseñanza: este principio recoge la idea de que la enseñanza de matemáticas se haga de forma eficaz por parte del profesorado y efectiva para cada discente en cada aula. Un profesorado eficaz es aquel que posee el conocimiento matemático, sabe cómo transmitirlo según a qué alumnado y es consciente del complejo proceso que requiere la enseñanza atendiendo a flexibilidad que hay en las aulas, además de anticipar posibles problemas y de tener una propuesta de evaluación rica.  Aprendizaje: la matemática requiere de un aprendizaje comprensivo que permita construir nuevos conocimientos en base a los que ya se tienen, de forma significativa. Aprender de forma comprensiva genera mayor seguridad en los estudiantes porque entienden lo que estudian y saben cómo y dónde aplicarlo; además, las matemáticas cobran más sentido para el discente.  Evaluación: la forma de evaluar debe contribuir al aprendizaje de los estudiantes, es decir, debe servir para que el docente conozca los avances, logros y debilidades de su alumnado, pero también, para que el propio alumnado pueda mejorar su aprendizaje.  Tecnología: como facilitadora en el proceso de aprendizaje de las matemáticas, además de ser una herramienta que permita adaptar la enseñanza a las necesidades del alumnado. De otro lado, la tecnología también influye en qué se enseña, no solo en el cómo, ya que puede suponer variaciones en el currículo, al hacer cálculos con número más elevados o usar programas a la hora de ver cuerpos geométricos. Los estándares pretenden asegurar la calidad, señalar metas y promover cambios. Esto puede cumplirse siempre que se asegure el debate entre los profesionales que participan en la educación. Por ello, los estándares son exposiciones acerca de lo que los estudiantes de matemáticas deberían conocer y lograr durante cada etapa. Estos estándares se refieren a niveles o etapas escolares que tienen sus equivalentes en nuestro sistema educativo. A continuación se añade un cuadro que clarifica y compara estos 17 niveles educativos de Estados Unidos con España, sobretodo en términos de nomenclatura. EDAD ESTADOS UNIDOS ESPAÑA 5 años Kindergaten (K) Etapa P-K-2 Prekindergarten, kindergarten, niveles 1-2 Infantil [3-5 años] 6 años Niveles 1 y 2 1º EPO 1er ciclo primaria 7 años 2º EPO 8 años Niveles 3, 4 y 5 Etapa 3-5 Elementary School 5 a 11 años 3º EPO 2º ciclo primaria 9 años 4º EPO 10 años 5º EPO 3er ciclo primaria 11 años 6º EPO 12 años Niveles 6, 7 y 8 Etapa 6-8 Junior High School Middle School 1º ESO Educación Secundaria Obligatoria 13 años 2º ESO 14 años 3º ESO 15 años Niveles 9, 10, 11 y 12 Etapa 9-12 High School 4º ESO 16 años 1º Bachiller Bachillerato 17 años 2º Bachiller 18 años Tabla 1. Comparativa del el sistema educativo de Estados Unidos y el sistema educativo de España, por edades1. La etapa 3-5 es la que correspondería con la edad de 8-9 años de tercero EPO de nuestro sistema, por tanto, pasamos a mencionar los estándares que se prevén para dicha etapa en geometría. Los estudiantes deberían estar capacitados para (p. 168): analizar las características y propiedades de figuras geométricas de dos y tres dimensiones y desarrollar razonamientos matemáticos sobre relaciones geométricas; localizar y describir relaciones espaciales mediante coordenadas geométricas y otros sistemas de representación; aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas; utilizar la visualización, el razonamiento matemático y la modelización para resolver problemas. Aunque no podemos entender que la geometría sea una serie de contenidos estancos y no conectados entre sí, es cierto que siguiendo la línea de objetivos de este proyecto, el foco de interés va a estar en el análisis de las características de figuras, que se desglosaría en los siguientes puntos (p. 168): 1 Nótese que las edades no son exactas según niveles y ciclos y pueden presentar variaciones ya que no son años naturales sino académicos. Fuente: Elaboración propia con la información obtenida en el NCTM 18  Identificar, comparar y analizar atributos de figuras de dos y tres dimensiones y desarrollar el vocabulario para describirlos.  Clasificar figuras de dos y tres dimensiones de acuerdo con sus propiedades y desarrollar las definiciones de algunas clases de figuras, como los triángulos y las pirámides.  Investigar, describir y razonar los resultados de subdividir, combinar y transformar figuras.  Explorar la congruencia y la semejanza.  Formular y comprobar conjeturas sobre las propiedades geométricas y las relaciones, y desarrollar argumentos lógicos para justificar las conclusiones Entienden que estos puntos deben consistir en que conozcan un vocabulario matemático adecuado que permita referir atributos, ideas o nociones de forma exacta; que dibujen y construyan figuras; que comparen y discutan los atributos de distintas figuras; que clasifiquen y elaboren definiciones basadas en propiedades. 3.3. Hoffer y Van Hiele: conocimiento de los expertos. Hoffer (1981) y Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013), aportan un conocimiento para la geometría que permite identificar en qué momento del aprendizaje se encuentra el alumnado, ayudar mejorar la comprensión de la geometría por los estudiantes y realizar un análisis de la práctica de aula atendiendo al nivel del alumnado. Es importante mencionar que pese a que ambos autores presentasen sus estudios en este campo hace tiempo, los expertos en la materia consideran que son los pilares en dicho ámbito y que nada posterior se ha hecho que no esté basado en sus consideraciones. Tanto es así, que en la LOMCE también se menciona que se tenga en cuenta lo dicho por Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013) para la programación de este bloque en las aulas. De un lado, según Hoffer (1981), en geometría se deben fomentar unas habilidades o estrategias de carácter más práctico pero de naturaleza geométrica, en lugar de demostraciones que supongan un alto nivel de abstracción mental. Estas estrategias proporcionan al alumnado distintas formas de acercarse a la geometría, complementándose unas con otras. Estas habilidades, que a continuación se presentan, se desglosan en cinco áreas que son: visual, verbal, de dibujo, lógica y aplicada. Las estrategias visuales permiten que el alumnado explore y experimente las figuras de forma manipulativa ya que, la geometría, es eminentemente visual; además facilitan el desarrollo de los dos hemisferios cerebrales, yuxtaponiendo funciones lógicas y analíticas con otras espaciales y holísticas. Las estrategias verbales son especialmente interesantes en este bloque ya que hay un gran número de definiciones y conceptos matemáticos que deben enunciar de forma adecuada; si se potencian dichas estrategias se conseguirá un doble objetivo: que el alumnado sepa describir de forma exacta los 19 conceptos y que sean capaces de reconocer sus propias carencias. Las estrategias de dibujo son esenciales porque los/as estudiantes deben dibujar figuras y cuerpos para desarrollar proporciones o comprender propiedades; al dibujar deben hacer explícitos los atributos de las figuras, además de promover en ellos/as el uso de la regla, el transportador o la rejilla. Las estrategias lógicas potencian el desarrollo de la comprensión y de la elaboración de argumentos válidos o no. Ha existido una tendencia a memorizar en lugar de comprender, lo cual ha hecho que esa naturaleza lógica de la geometría no se llegue a poner en juego. Finalmente las estrategias aplicadas consisten en llevar la matemática hasta el contexto cotidiano, haciéndonos conscientes de que la matemática está presente en numerosos fenómenos físicos y desarrollados en muchas disciplinas. De otro lado, según Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013), el alumnado no presenta la misma capacidad de razonamiento, comprensión y expresión a lo largo de los diferentes cursos académicos, por ello, cree evidente que existan distintos niveles de razonamiento del estudiante. Si bien es cierto que se habla de cinco niveles, mencionaremos los cuatro primeros, dado que el último solo será alcanzable por determinados cursos universitarios. A lo largo de los mismos el razonamiento matemático de los estudiantes va progresando y perfeccionándose. Además también se habla de “fases de aprendizaje”, que sirven a los docentes como guías que les ayudan a promover entre su alumnado la promoción de un nivel a otro superior. A continuación se describen brevemente las características que pueden observarse para cada nivel. Nivel 1, de reconocimiento.  Perciben las figuras geométricas de forma total como una unidad, pudiendo incluir atributos irrelevantes.  Incapaces de hacer generalizaciones; percibiendo las figuras como individuales.  Las semejanzas o diferencias entre figuras se basan en el aspecto físico de las mismas.  El contexto cercano ayuda a describir figuras basándose en semejanza con otros de su realidad. Por ejemplo “se parece a…” “tiene forma de…”  No se reconocen propiedades matemáticas ni las partes que conforman la figura. Este nivel es característico de los primeros cursos. Especial importancia cobra el tamaño, forma o color de las figuras para sus descripciones y valoraciones. De este nivel podemos esperar que nombren elementos matemáticos de la forma de: “redondez, puntas o picos, etc.” Nivel 2, de análisis.  Describen partes que integran las figuras y enuncian propiedades de manera informal.  Deducen propiedades en base a generalizaciones por experimentación.  Incapaces de hacer clasificaciones, pues no relacionan unas figuras con otras basándose en sus elementos. 20 En este nivel tiene más relevancia las diferencias que hacen que unas figuras no sean otras, que las semejanzas que agruparían dichas figuras por clases. Además empiezan a hacer razonamientos “matemáticos” lo cual es el paso previo necesario para hacer ordenaciones. Nivel 3, de clasificación.  Reconocen que de unas propiedades se deducen otras, lo que empieza a llevarles a razonamientos formales; sin embargo, aún dependen de la manipulación.  Son capaces de hacer definiciones matemáticamente correctas.  Pueden comprender una demostración pero no pueden elaborarla por sí mismos. Nivel 4, de deducción.  Entienden y realizan razonamientos lógicos formales.  Comprenden la estructura axiomática de la matemática.  Entienden que se puede llegar al mismo resultado por diferentes premisas. De estos niveles se debe tener en cuenta que presentan las siguientes características:  Los niveles presentan una jerarquización y secuencialidad, pues el paso a un nivel superior no puede darse sin antes haber estado en el inferior, es decir hablamos de una estructura recursiva ya que lo que en un nivel previo es implícito, en un nivel superior se hace explícito.  Se produce una especificidad en el lenguaje, esto es que a medida que la complejidad de sus expresiones y deducciones aumenta, también su vocabulario y lenguaje. Cada nivel presenta un vocabulario simbólico y una relación entre ese vocabulario simbólico y el vocabulario matemático apropiado. Es cierto que el lenguaje utilizado por el docente puede ser una barrera con el discente si no conecta con el nivel que tenga el mismo.  Existe una continuidad entre un nivel y el siguiente. Esto ha sido rebatido por quienes creen que se produce un salto de nivel a nivel, pero la realidad ha mostrado que es progresivo y que las destrezas se adquieren gradualmente. Por último, Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013) identifica cinco “fases de aprendizaje” a través de las cuales un profesor puede ayudar a promocionar de un nivel a otro a sus discentes mediante secuencias de actividades concretas.  1ª fase, información. Sirve de toma de contacto del alumnado y el profesor. Estos deben situarse en la temática a trabajar y aprender a manejar materiales. El docente indaga en los conocimientos previos que tengan estos.  2ª fase, orientación dirigida. Fundamental que los estudiantes descubran, comprendan y aprendan conceptos y propiedades de figuras. Esta fase sentará la base que permita que el alumnado haga futuras relaciones. 21  3ª fase, explicitación. Deben formarse grupos de debate entre los estudiantes en los que haya posibilidad de que surjan ideas diversas que tengan que defender, lo cual les obligará a cerciorarse de lo que saben, de organizarlo y de cómo lo expresan. En esta fase no se aprende nada nuevo, pero se revisa todo y se asienta el conocimiento.  4ª fase, orientación libre. La clave de esta fase está en buscar problemas que puedan solucionarse por más de un camino y que el alumnado pueda combinar los conceptos aprendidos. Esto permitirá establecer relaciones más complejas.  5ª fase, integración. Deben establecer conexiones más generales entre los contenidos estudiados y otros campos de estudio. Se trata de condensar en un todo lo adquirido. 22 4. Metodología El trabajo ha partido con una inquietud propia acerca de la geometría, la cual ha aumentado a medida que realizaba búsquedas y lecturas e indagaba en lo que otros ya habían pensado. Un primer paso fundamental ha sido la búsqueda previa de información, para saber qué se había dicho y hecho. Esta búsqueda me permitió, en primer lugar, saber qué decía la ley acerca de la geometría; en segundo lugar, ser consciente de qué principios y estándares proponía el National Council of Teachers of Mathematics; y en tercer lugar, qué nociones de la enseñanza y el aprendizaje de los expertos como Hoffer (1981) y Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013) podían servirme. Tras este primer paso, aclaré mis objetivos y definí mi pregunta de investigación. Si bien es cierto que el objetivo inicial era más amplio, pero como ya expliqué anteriormente queda abierto a una futura línea de investigación para continuar este proyecto. El instrumento de recogida de datos que se plantea en este trabajo es una secuencia didáctica breve, formada por nueve actividades planteadas a un grupo de seis niños y niñas de tercero de primaria, que nos aportarán información para, en un análisis posterior, dar respuesta a los objetivos de investigación planteados. 4.1. Lugar de acción: el colegio. El centro donde se implementa la secuencia didáctica, es un centro concertado en la provincia de Sevilla, situado en el distrito Macarena. Pertenece a un entorno residencial cuya clase, en cuanto al nivel socio-económico, es media-baja. Precisamente es la condición social, cultural y económica de las familias del centro, lo que condiciona que en el mismo los logros escolares llegan a tener más peso que el currículo o los recursos con los que se cuenta. El colegio cuenta con una línea de infantil, otra en primaria y dos en secundaria, sin tener bachillerato. El grupo de alumnos/as con el que se desarrolla la propuesta didáctica pertenece al segundo ciclo de Educación Primaria, concretamente el tercer curso. La clase está compuesta por veinticinco alumnos y alumnas, dieciséis niños y nueve niñas. Creando un grupo bastante heterogéneo donde encontramos diferentes alumnos que acuden al aula de apoyo e integración. Así como distintos niveles de adquisición de contenidos. Es una clase cohesionada como grupo ya que tiene un fuerte trabajo en valores desde el centro educativo y el tutor. La propuesta de actividades se realiza con un grupo paritario de seis alumnos y alumnas, tres niños y tres niñas2. Para llevar a cabo la implementación de la propuesta y 2 Para llevar a cabo las grabaciones e implementar las sesiones se firmó previamente un compromiso de confidencialidad; además se informó a las familias de los niños y niñas de la actividad que se realizó. 23 la grabación, el colegio ofrece una sala donde habitualmente se reúne el profesorado para poder trabajar con el grupo de niños y niñas de una forma más cómoda. En relación al nivel de desarrollo cognitivo del grupo de seis alumnos y alumnas cabe destacar que no es del todo homogéneo, ya que aunque hay un niño que tiene un mayor dominio y conocimiento, hay otros cuatro que situaríamos en un nivel medio, y el otro en un nivel bajo3. Considero importante y enriquecedora la diversidad en el grupo porque realmente casa con las aulas, donde la diversidad, la complejidad y los distintos niveles son las características habituales de cualquier grupo-clase. La implementación se realiza en dos días separados en dos sesiones de cuarenta y cinco minutos cada una, una cada día. Las sesiones son grabadas para poder realizar un análisis posterior más rico y no perder minutos de la sesión en ir anotando incidencias, comentarios o situaciones que se produzcan durante la misma. Para poder poner en marcha las sesiones es necesaria la coordinación con el tutor y el centro para disponer del espacio y contar con el alumnado sin interferir en el resto de asignaturas del horario lectivo de ellos. Por ello, cabe destacar las facilidades mostradas por parte del tutor y el colegio. 4.2. Consideraciones para elaborar la secuencia de actividades. Quiero dejar constancia en este punto que elaborar la propuesta didáctica ha requerido que me plantee y replantee mis propias nociones geométricas. Este trabajo me ha brindado la oportunidad de asentar mi conocimiento y de poner en tela de juicio qué sabía y qué creía saber. En relación a esto ha sido importante la lectura de Puig (1986), aunque es una lectura extensa quiero poner el foco de atención en la definición axiomática que ofrece del término punto. Para completar y aclarar ese término incluye una nota a pie de página. La definición y la nota a pie de página siguen así: Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados ‘puntos’, cuyo conjunto llamaremos ‘espacio’ (*) (*) Esta ‘denominación’ no implica una ‘definición’ de espacio como simple conjunto de infinitos puntos. Sólo cuando éstos cumplen ciertas relaciones llámase a su conjunto ‘espacio’. Ya hemos dicho que son todos los axiomas admitidos los que, en definitiva, ‘definen’ los conceptos en ellos enunciados. Huelga, pues, hacer idéntica observación con los conceptos ‘recta’, ‘plano’. (Puig, 1986, p. 4) Siguiendo a Puig (1986), los axiomas que definen los elementos de la geometría euclídea, punto, recta, plano o espacio, no son en sí mismos definiciones porque necesitamos del uno para definir el otro. Por ejemplo, para definir el punto, necesitamos 3 Conocer el nivel cognitivo del alumnado con el que se ha trabajado ha sido posible gracias a las nociones que el tutor ha facilitado acerca de los niños y niñas, los cuales fueron elegidos por él. 24 de la recta y viceversa; así entendemos que un punto es un lugar geométrico donde se cortan dos rectas, y que una recta es una sucesión de infinitos puntos con igual dirección. Por ello, todas juntas son una definición de los elementos de la geometría euclídea, sin embargo, por separado son denominaciones, ya que matemáticamente no tendrían validez. Sin embargo, en los colegios se hace frecuente que estos términos se enseñen como definiciones per se sin entender la complejidad y dificultad que estas entrañan, y sin saber que no son definiciones por sí solas. Dos ideas fundamentales que también he tenido en cuenta en la elaboración de las actividades han sido: de un lado, que mi enfoque tenía que partir de la realidad conocida por el alumnado, de objetos que tuvieran formas tridimensionales, y desde ahí llegar a una realidad plana y bidimensional; de otro lado, considerando las dificultades referidas por la profesora Muñoz-Catalán (2015) durante segundo curso, donde apuntó que las figuras no debían presentarse de forma estática, ya que esto implica errores en el alumnado como pensar que en el rectángulo su base es mayor que su altura, intentar no presentarlas cayendo en ese error. En último lugar, también hay que tener en cuenta el tiempo del que se dispone para llevar a cabo la implementación, la altura del curso en la que se realiza, y que el clima que se genere con el alumnado sea relajado y distendido para que puedan expresarse de una forma más segura y tranquila. Por supuesto desarrollar actividades para un nivel cognitivo determinado, en este caso tercero de primaria (8-9 años). 4.3. Propuesta didáctica de actividades. Para la propuesta de actividades me han servido de inspiración, de forma más directa o indirecta, ciertas lecturas: Chamorro (2005), Alsina (2004), Puig (1986), además de ciertas experiencias didácticas de Badillo (2015) y recursos web. Aunque quiero mencionar que las actividades que se presentan a continuación son de elaboración propia. Se propone una batería de actividades sencilla, llevada a cabo en dos sesiones, con la que se pretende recoger información de cada alumno y alumna que permita responder a los objetivos planteados en este trabajo e identificar, siempre que sea posible, en qué nivel de razonamiento se encuentran. Las nueve actividades planteadas pretenden principalmente fomentar la discusión entre los niños y niñas y que a través de preguntas, imágenes y dibujos se replanteen sus propias ideas. Las actividades han sido planificadas de forma que solo se trabajan algunas figuras y cuerpos geométricos, ya que resulta imposible en tan poco tiempo abarcar más tipos de figuras. Por ello, siendo aconsejada por mi tutora se trabajan en cuerpos geométricos, dos poliedros: prisma y pirámide (con bases triangulares y cuadrangulares). Mientras que en figuras planas: cuadriláteros paralelogramos como el cuadrado, rectángulo y 25 rombo y, de otro lado, el triángulo. Así mismo, tal como Hoffer (1981) señala la importancia de trabajar la geometría usando diferentes estrategias, en las actividades se han querido poner de manifiesto las mismas, porque la experiencia de aprendizaje del alumnado será más enriquecedora si hacemos un material que permita acceder al contenido a través de diferentes canales. Estas actividades requieren que el contenido geométrico se trabaje desde lo visual, verbal, el dibujo y la lógica de forma yuxtapuesta. Para reflejar de una forma más clara y práctica la secuencia de actividades que sigue, he creado una tabla para cada actividad donde se detallan los siguientes puntos:  Número de la actividad.  Objetivo u objetivos que se persigue con la actividad.  Material y/o recursos usados para llevar a cabo la misma.  Desarrollo, donde se enumeran los enunciados, preguntas o comandos usados en cada una, para conocer de qué forma se lleva a cabo la actividad.  Explicación de la propuesta, para comprender el porqué de las preguntas elegidas.  Aclaraciones, por si son necesarias. 4.3.1. Actividades. 32 ACTIVIDAD 6 OBJETIVOS MATERIAL-RECURSOS - Reconocer figuras planas. - Enumerar y nombrar las figuras. - Diferenciar unas figuras de otras. - Clasificar o categorizar las figuras. Ordenador u hoja impresa. Composición de imágenes con diferentes formas. Para la composición de imágenes de esta actividad véase anexo I, ilustración 5. DESARROLLO Se proyecta una composición de imágenes de figuras planas y se les pide que respondan a las siguientes cuestiones de forma ordenada en voz alta: 1. ¿Cuántas figuras hay en la siguiente imagen? 2. ¿Cuáles sabemos nombrar? 3. ¿Cuántas hay del mismo tipo o grupo? 4. ¿Cuántos grupos formaríamos? EXPLICACIÓN DE LA PROPUESTA De forma similar a cuando se empezó a enseñar los cuerpos geométricos, en esta actividad con las figuras planas se quiere que hagan un reconocimiento, diferencien unas figuras de otras y las agrupen en triángulos y cuadriláteros; o bien en triángulos, rectángulos, cuadrados y rombos. ACLARACIONES Una vez más se guiará al alumnado si durante sus intervenciones no se acercan al objetivo esperado, pudiéndoles hacer sugerencias o preguntas en forma de pistas para ayudarles. Generalmente las figuras planas son más trabajadas en el colegio, por lo que puede que no necesiten tanta ayuda como en los cuerpos geométricos. Tabla 7. Actividad 6 33 ACTIVIDAD 7 OBJETIVOS MATERIAL-RECURSOS - Trabajar la modelización y experimentación. - Exponer sus conocimientos en una realidad tridimensional. Palitos de madera de diferentes colores. Plastilina. Folios y lápices. DESARROLLO A cada niño y niña se le entrega un folio para que sirva de base para construir las figuras y además puedan escribir en él las características de las mismas. Luego se ponen palitos de madera en el centro para que puedan coger según necesiten y a cada uno se le da un trozo de plastilina. Una vez todo está preparado se les pide: A. A tres de los niños que formen un triángulo. A los otros tres un cuadrado. B. Una vez formado, se pide que le pongan el nombre y señalen sus ángulos internos. C. Sobre la base de la figura plana se pide que hagan: prisma de base cuadrangular, prisma de base triangular, pirámide de base cuadrangular y pirámide de base triangular. D. Una vez formados, se les pide que anoten sus elementos como vértices, lados, caras laterales o ángulos. EXPLICACIÓN DE LA PROPUESTA A través de las diferentes actividades se ha ido pasando por trabajar principalmente lo visual con composiciones de imágenes pero que no podían experimentar o modelizar por ellos mismos las figuras. Es importante que se permita trabajar una realidad tridimensional de otra forma que no sea en el papel (bidimensional). También ayuda a pensar y replantearse sus propios conocimientos. Destacar que considero esta actividad con una carga importante de motivación, pues tener que formar las figuras suele ser algo diferente y atrayente. Para las figuras que se formaron véase anexo II, actividad 7, ilustraciones 21 a 38 incluidas. ACLARACIONES La idea de que escriban algunas características de las figuras una vez que las han formado pretende seguir afianzando sus conocimientos. Tabla 8. Actividad 7 34 ACTIVIDAD 8 OBJETIVOS MATERIAL-RECURSOS - Sintetizar algunas ideas. - Revisar dudas o errores. - Reforzar el conocimiento adquirido. Tabla en papel, formato A5. Lápices. Para ver la plantilla de la tabla véase anexo I, tabla 11. DESARROLLO Se entrega a cada niño y niña una tabla en papel que deben rellenar a mano. Se explica cada una de las columnas y se resuelven dudas. Se le dice a cada niño o niña de forma aleatoria que completen las información para las siguientes figuras y cuerpos: - Rectángulo, triángulo, cuadrado, rombo, pirámide triangular, pirámide cuadrangular, prisma triangular y prisma cuadrangular. EXPLICACIÓN DE LA PROPUESTA Se asignará a cada alumno y alumna diferentes figuras para intentar que lo realicen por sí mismos y no con el compañero que tengan al lado. Esta actividad es la última y se pretende recopilar las ideas vistas y afianzar el contenido. También se consigue que enumeren los atributos de las figuras y que piensen una vez más sobre ellas. Para los resultados de las tablas del alumnado véase anexo II, actividad 8, ilustraciones 39 a 44 incluidas. ACLARACIONES En la tabla que se le entrega a cada alumno y alumna, una de las columnas pide el número de lados; se usa la nomenclatura lado, para denominar las aristas de las figuras. Tabla 9. Actividad 8 4.4. ¿Cómo se va a hacer? Una vez que el instrumento de recogida de información se implementa el siguiente paso consiste en analizar la información recogida, es decir, exponer los resultados. El análisis que se plantea en este trabajo tiene carácter cualitativo, ya que pretende arrojar unos resultados que acerca de las características del alumnado objeto de estudio, y no cuantificar de ningún modo la actividad realizada. Para este punto del trabajo se analizará a cada alumno y alumna de forma individual; se responderá a los objetivos planteados y se determinará en qué nivel de Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013) se encuentran. Para ello, he elaborado dos tablas que se emplearán para cada alumno y alumna y servirán para mostrar de forma sintetizada la información recopilada en las actividades; a dichas tablas proseguirán unos comentarios que analizan las respuestas dadas por el alumnado detalladamente. 35 Por último, se exponen las conclusiones donde se incluyen las limitaciones del trabajo, la valoración sobre la validez de la propuesta, la propuesta de mejora, y el resultado obtenido. 4.4.1. Tablas de análisis de datos Las dos tablas que nos permitirán sintetizar la información recogida por el instrumento de recogida de información, son las siguientes: ALUMNO X OBJETIVO SÍ CON BASTANTE FRECUENCIA(*) POCAS VECES (**) NO Reconoce figuras planas Compone y descompone figuras planas Nombra atributos irrelevantes Nombra atributos relevantes Hace clasificaciones Hace categorizaciones Utiliza vocabulario matemático Tabla 10. Análisis objetivos. Fuente: Elaboración propia (*) Al ser una tabla general que engloba las respuestas mostradas por el alumnado a lo largo de 9 actividades, la consideración del ítem “con bastante frecuencia” se entenderá si cumple el objetivo en al menos 6 de las actividades. (**) La consideración del ítem “pocas veces” se entenderá si el alumno o alumna cumple el objetivo en hasta 4 actividades, del total de 9. Esta tabla permite ver para cada alumno y alumna si los objetivos planteados en el trabajo se cumplen de manera general o no. Alumno X Observaciones y comentarios más relevantes Actividad 1 Actividad 2 Actividad 3 Actividad 4 Actividad 5 Actividad 6 Actividad 7 Actividad 8 Tabla 11. Comentarios del alumnado por actividades. Fuente: Elaboración propia 36 A diferencia de la tabla 11, esta tabla permite recabar los comentarios y observaciones más relevantes o significativos realizados por los alumnos y alumnas en cada actividad. Nos acerca a un análisis más detallado y es el paso anterior a determinar en qué nivel de razonamiento se encuentran. 4.5. Fases del proceso Para dejar reflejada de una forma más clara, ordenada y visual las fases por las que se ha avanzado a lo largo del trabajo, incluyo la siguiente imagen. Ilustración 1. Fases del proceso. Fuente: Elaboración propia Interés personal en el área de matemáticas Búsqueda exploratoria inicial Elección temática Problema de investigación Revisión bibliográfica Definición de objetivos Elección del lugar de implementación Desarrollo marco teórico Elección grupo objeto estudio Diseño instrumento recogida datos Implementación de la propuesta didáctica Análisis de la información Interpretación de los datos obtenidos Elaboración de conclusiones 37 5. Resultados Para analizar la información obtenida se describirá brevemente al alumnado de forma individual, a continuación, se resumirá la información recabada en dos tablas que ofrecen una visión general, y por último se analizarán de forma detallada sus respuestas. Para garantizar la privacidad del alumnado se van a utilizar las denominaciones de “Alumno/Alumna” seguido de una letra en orden alfabético. La breve descripción inicial es posible gracias a los datos aportados por el tutor. Seguida de la descripción añado una breve anotación describiendo cómo fue el interés, actitud y/o comportamiento de cada uno durante las sesiones. Se podrá observar que las actividades 5 y 6 no aparecen mencionadas en el apartado siguiente, ya que no aportaron demasiada información, se hicieron de forma rápida. No obstante, se mencionan en el apartado 5.2. Resultados grupales, donde he querido significar comentarios generales de ambas. 5.1. Resultados individuales.  Alumno A Alumno de 9 años, con un nivel cognitivo, un desarrollo del lenguaje y una capacidad de aprendizaje altos. Es un alumno bien integrado en el grupo-clase, no presenta problemas en las relaciones con los compañeros. Muestra una madurez y capacidad de razonamiento por encima de su nivel de referencia, presenta inquietudes impropias de su edad. Se muestra muy motivado frente a las tareas escolares con un alto grado de responsabilidad. Este alumno se mostró muy participativo y activo durante las dos sesiones. ALUMNO A OBJETIVO SÍ CON BASTANTE FRECUENCIA(*) POCAS VECES (**) NO Reconoce figuras planas X Compone y descompone figuras planas X Nombra atributos irrelevantes X Nombra atributos relevantes X Hace clasificaciones X Hace categorizaciones X Utiliza vocabulario matemático X Tabla 12. Análisis objetivos, ALUMNO A 38 Hay que considerar de aquí en adelante para todos los alumnos lo siguiente: En el objetivo “hace clasificaciones”, hay que considerar que al alumnado se le pide que agrupe, ordene o clasifique de alguna forma las figuras, por tanto, todos van a elaborar una clasificación más o menos correcta o rudimentaria. Por tanto, aunque esta columna aparezca marcada para todos, se especifica en el ejercicio correspondiente, para cada alumno y alumna de qué clasificación estamos hablando. Véase conclusiones. Alumno A Observaciones y comentarios más relevantes Actividad 1 “Estos son dados” (señalando los dados de la imagen) “Son figuras en 3D” “La leche con los edificios se parecen” El alumno A, aporta muchos comentarios y observaciones durante la primera actividad. Algunos con mayor relevancia. Actividad 2 “La pirámide (de Rubik) parece que es equilátera. Que tiene los tres lados iguales. Tiene muchos colores, tiene forma piramidal. La parte de abajo tendría forma de cuadrado y todas se juntan en una punta.” Es la descripción que hace de la pirámide de Rubik. En la lluvia de ideas empieza diciendo del chocolate “se puede comer, luego aporta término como “largo, triangular, ancho” Actividad 3 Hace tres agrupaciones diferentes. Diferencia el edificio y prisma; y de otro lado, dados, cajas, ladrillo y cubo. Véase anexo II, actividad 3, ilustración 8. Actividad 4 Hace dibujos estáticos y prototípicos. Describe las figuras de la siguiente forma: - “Rombo: tiene ángulos iguales dos a dos, todos los lados iguales. - Triángulo: tres ángulos, tres lados, puede ser isósceles, equilátero y escaleno. - Cuadrado: tiene cuatro ángulos iguales, cuatro lados. - Rectángulo: lados iguales dos a dos, cuatro ángulos iguales.” Véase anexo II, actividad 4, ilustración 14. Actividades 5 y 6 Véase apartado 5.2. Resultados grupales, actividades 5 y 6. Véase anexo II, actividad 5, ilustración 20. Actividad 7 Véase anexo II, actividad 7, ilustraciones 21, 22 y 23. Actividad 8 Véase anexo II, actividad 8, ilustración 39. Tabla 13. Observaciones, ALUMNO A 39 El alumno A ha aportado muchas ideas durante las sesiones. Ha expresado vocabulario matemático, ha nombrado atributos relevantes e irrelevantes avanzando progresivamente según las actividades lo pedían. Ha lanzado ideas que han servido a sus compañeros como puente a desarrollar las suyas propias. En la actividad 1, dice que las figuras son tridimensionales, por lo tanto se refleja que diferencia entre la tridimensionalidad y la bidimensionalidad. También apunta la similitud que hay entre el tetrabrik de leche y los edificios, encontrando en ellos figuras idénticas o con características comunes. En la actividad 2, describe la pirámide de Rubik. Describe a la vez atributos relevantes e irrelevantes, tales como los colores. No obstante, señala elementos importantes y otros que, personalmente, no esperaba escuchar; dice que es equilátera, y continúa diciendo que tiene los tres lados iguales. También apunta a que se une en una punta, elemento que deberíamos incluir en la definición matemática. Por el contrario dice que la base sería cuadrangular y esta afirmación es errónea. En la lluvia de ideas de la actividad 2, empieza dando una característica que matemáticamente no es relevante, aunque sí serviría para diferenciarlo del resto de imágenes. Luego, cuando pido que se usen términos matemáticos incluye, largo y ancho y además triangular. En la actividad 3, las respuestas del alumno fueron las que pueden verse en el anexo II, actividad 3. Parece observarse que realiza tres agrupamientos diferentes. En primer lugar, habla de la pirámide de Rubik y describe características de la misma. La principal es que “se juntan en una punta”, siendo está una característica de la pirámide. Luego menciona edificio y prisma juntos, pero aclara “tiene forma de triángulo; tiene forma de prisma” por esta aclaración puede apreciarse que tiene una imagen de prisma estática e incompleta, que encaja con algunas de las imágenes propuestas pero que no acepta incluir otra; no tiene claro, por tanto, cuáles son los atributos que definen un prisma puesto que realiza una categorización exclusiva, o clasificación, fijándose en sus diferencias en lugar de sus elementos comunes. Por ello, a continuación, agrupa los dados, las cajas, el ladrillo y cubo y añade que “tiene forma de cubo”; puede verse de nuevo que no es capaz de asociar distintas imágenes de prisma, la imagen del concepto prisma no encaja con la definición del concepto, Vinner (1983). Esto puede deberse a que las experiencias del alumno y los ejemplos y contraejemplos no han sido suficientes. En la primera parte de la actividad 4, al dibujar se observa que el alumno realiza representaciones prototípicas de las figuras propuestas; en el triángulo cambia la longitud de sus lados, en el rombo su proporcionalidad y en el rectángulo si cambia la base sobre la que este se apoya. En la segunda parte de la actividad, en la que describe las cuatro figuras propuestas, por sus descripciones se puede entender que clasifica las figuras mentalmente haciendo una categorización exclusiva ya que no menciona que el cuadrado pueda ser un tipo de rectángulo o de rombo. Para este alumno son cuatro 40 figuras diferenciadas. Define al rombo de forma correcta, “tiene ángulos iguales dos a dos, todos los lados iguales”, aunque no menciona que tenga cuatro lados, si considero que lo da por hecho; no habla de las diagonales, pero es un concepto que me consta no ha trabajado ni intuye. El triángulo queda definido bien, probablemente sea una figura más sencilla, “tres ángulos, tres lados, puede ser isósceles, equilátero y escaleno”. El cuadrado tiene lados y ángulos iguales según comenta, “tiene cuatro ángulos iguales, cuatro lados”, por lo que entiende bien la figura. Por último el rectángulo también está bien definido, “lados iguales dos a dos, cuatro ángulos iguales”. Como ya he referido al separar las figuras y no mencionar nada de sus atributos comunes, vemos que no es capaz de categorizar cuadriláteros, paralelogramos y equiláteros, entendiendo al rombo y cuadrado; ni tampoco, cuadriláteros, paralelogramos con cuatro ángulos rectos, entendiendo al rectángulo y al cuadrado. La actividad 7, no supuso ningún problema para elaborar las figuras que se le pidieron, cuadrado, prisma cuadrangular y pirámide cuadrangular. Supo hacerlas de forma correcta y nombró, en su mayoría los atributos bien. La actividad 8, no parece tener mucha complicación para el alumno ya que la resuelve casi perfecta; excepto por los vértices de los dos prismas. Parece que después de verlos en diferentes imágenes, discutir sobre ello y finalmente hacer las figuras con plastilina y palitos, se consiguen afianzar las ideas. Según todo lo mencionado, las intervenciones que realizó durante las actividades, sus comentarios y razonamientos, se puede determinar que el alumno A está en el nivel I de Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013), nivel de reconocimiento. Es característico de este nivel que se reconozcan las figuras como un todo y se mencionen atributos irrelevantes, además sus agrupaciones o clasificaciones de las figuras están basadas en similitudes o diferencias globales, sin ahondar en sus atributos matemáticos. Esto ocurre sobretodo en los cuerpos geométricos. Aunque es capaz de mencionar que la pirámide acaba en punta, lo hace de una forma más rudimentaria. Sí es cierto que se puede apreciar como en las figuras planas su conocimiento y las descripciones de las mismas son más elaboradas y precisas, siendo capaz de entender que las figuras tienen elementos que las integran; a pesar de ello, no hace clasificaciones en las que se observe, por ejemplo, que agrupe el rombo, cuadrado y rectángulo como cuadriláteros o paralelogramos. Esto aún es propio del nivel I, pues aunque tenga ese conocimiento no es capaz de hacer generalizaciones con el mismo. 41  Alumno B Alumno de 8 años con una gran sensibilidad y empatía hacia sus compañeros y compañeras. Aunque es introvertido, esto no le perjudica para llevar relaciones sociales óptimas y estables. Académicamente no presenta dificultades llamativas en ningún área, siendo la lectura uno de sus puntos fuertes. Este alumno presentó un interés grande durante las dos sesiones y participó mucho en las actividades. ALUMNO B OBJETIVO SÍ CON BASTANTE FRECUENCIA(*) POCAS VECES (**) NO Reconoce figuras planas X Compone y descompone figuras planas X Nombra atributos irrelevantes X Nombra atributos relevantes X Hace clasificaciones X Hace categorizaciones X Utiliza vocabulario matemático X Tabla 14. Análisis objetivos, ALUMNO B 48 tomase su tiempo para enumerar las características, si no lo hace difícilmente podrá resolver la tarea propuesta. En la actividad 8, el alumno parece estar algo más disperso, a priori considero que al ser la última actividad y estar más nerviosos por el intercambio de clase e ir un poco más rápido al hacerla, ha podido influir en los resultados. Según sus respuestas el prisma cuadrangular no estaría nada claro, ya que no es correcto en sus vértices, lados ni bases. El nivel de razonamiento de Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013) del alumno es el I, de reconocimiento. Este alumno presenta unas nociones geométricas poco elaboradas y trabajadas. Domina mejor las figuras planas, de las que es capaz de dar información y enumerar algunas características, no obstante, es un proceso que realiza de forma guiada. Su trabajo autónomo no demuestra el mismo nivel de conocimiento, mostrándose disperso en algunos momentos y menos activo en la actividad. Para sus razonamientos entiende las figuras como un todo sin ser capaz de hacer una clasificación de las mismas. 49  Alumna D Alumna de 9 años, con una sensibilidad especial, tiene buenas dotes comunicativas y unas aptitudes formidables hacia el trabajo de la escuela. Presenta una comprensión social muy por encima de su edad natural, analiza situaciones y problemáticas cotidianas de manera concreta. Socialmente se encuentra muy integrada en el aula y sus compañeros confían plenamente en ella, tanto es así que es la delegada del aula. Esta alumna fue prudente, amable y colaborativa, participó en las actividades y aportó muchas ideas. ALUMNA D OBJETIVO SÍ CON BASTANTE FRECUENCIA(*) POCAS VECES (**) NO Reconoce figuras planas X Compone y descompone figuras planas X Nombra atributos irrelevantes X Nombra atributos relevantes X Hace clasificaciones X Hace categorizaciones X Utiliza vocabulario matemático X Tabla 18. Análisis objetivos, ALUMNA D 50 Alumna D Observaciones y comentarios más relevantes Actividad 1 “Hay un cubo” refiriéndose a qué vemos en la imagen. “Son figuras planas” a lo que su compañero, alumno A, aclara “son figuras en 3D” “Es un prisma” refiriéndose al edificio azul que aparece solo Hace dos comparaciones: “el ladrillo y la caja se parecen” y “la torre de arriba con el Toblerone” por último añade “un lado de la pirámide a uno de los piquitos del Toblerone” Actividad 2 Describe el ladrillo “Yo el ladrillo. Es rectangular tridimensional, tiene agujeritos. Sirve para construir. Es de color naranja.” En la lluvia de ideas empieza diciendo “se construyen en Egipto y es triangular tridimensional” habla de “lado” Actividad 3 Hace 4 grupos diferentes: - Ladrillo, dados y caja. Les llama cubos - Edificio. Le llama prisma y triángulo (refiere al edificio azul ilustración 2) - Pirámide egipcia, triángulo de Rubik, Toblerone, pirámide rosa. Les llama pirámides - Leche y edificio. Rectángulo azul (prisma azul ilustración 3). Les llama rectángulo. Véase anexo II, actividad 3, ilustración 11. Actividad 4 Los dibujos que hace no son muy exactos al igual que sus compañeros. Dibuja al rectángulo apoyado sobre dos bases diferentes y al triángulo también. Sus descripciones de las figuras son: - “Rombo: tiene cuatro lados iguales y los ángulos dos a dos. - Triángulo: tiene tres lados y tiene muchos tipos de triángulos. Unos de ellos son: isósceles, escaleno y equilátero. - Cuadrado: tiene cuatro ángulos iguales y cuatro lados iguales. - Rectángulo: tiene cuatro lados dos a dos y también tiene los ángulos dos a dos.” Véase anexo II, actividad 4, ilustración 17. Actividades 5 y 6 Véase apartado 5.2. Resultados grupales, actividades 5 y 6. Véase anexo II, actividad 4, ilustración 20. Actividad 7 Véase anexo II, actividad 7, ilustraciones 30, 31 y 32. Actividad 8 Véase anexo II, actividad 8, ilustración 42. Tabla 19. Observaciones, ALUMNA D 51 La alumna ha mostrado una actitud muy positiva hacia las actividades propuestas. Con ganas de participar y expresar sus ideas. Aunque hay conceptos que no tiene claros y les han resultado más confusos, ha intentado resolver todas las actividades. En la actividad 1, empieza señalando que en la imagen podemos ver un cubo, probablemente pensando en la caja. La alumna indica que la imagen tiene figuras planas, aunque luego utiliza correctamente el término prisma al referirse al edificio azul. Esto hace pensar que tiene nociones en la cabeza que no domina totalmente, pues no entiende que todas son figuras tridimensionales, al menos no es capaz de verlo en un primer momento; de otro lado, hay imágenes que sí parece dominar asociando al edificio la categoría prisma. En la actividad 2, describe el ladrillo con características que pueden tener más relevancia como rectangular o tridimensional, aunque esta figura no es reconocida como prisma, o al menos no lo hace explícito; de otro lado, menciona características irrelevantes como el color o la utilidad. En la lluvia de ideas hace referencia a la pirámide del desierto, aunque no se refiere a tal como pirámide, o al menos no lo hace explícito. Sí asemeja triangular porque sus caras sean triángulos, pero no hace mención a que la base sea cuadrangular. En la actividad 3, la alumna hace 4 grupos diferentes. El grupo que mejor trabaja y que parece estar más claro es el que cataloga como “pirámides” donde engloba la pirámide egipcia, la de Rubik, la chocolatina y la pirámide rosa. Aunque no menciona la multicolor, parece que su imagen del concepto pirámide coincide con la definición del concepto, Vinner (1983). Los otros 3 grupos que hace, se aprecia como los cubos u ortoedros como son, los dados el ladrillo o la caja, están en un lugar diferente al resto de los prismas. Así mismo, el edificio azul (ilustración 2) le llama prisma y añade triángulo por diferenciar su base; de igual modo, parece que para esta alumna este tipo de prismas podrían formar un grupo diferenciado. Por eso la alumna realiza clasificaciones y no categorizaciones. Por último, la leche, el edificio de las torres inclinadas y el prisma azul, están en su último grupo, a los que llama rectángulos. No apunta a que estos sean prismas, ni parece que distinga de figura plana o tridimensional. Los dibujos que hace esta alumna en la actividad 4 no son muy cuidadosos, aunque apoya al rectángulo y triángulo sobre otra base, no dejan de ser representaciones estáticas y prototípicas. En relación a sus definiciones, se puede apreciar que el rombo y el cuadrado sin son correctas, diciendo que “tiene cuatro lados iguales y los ángulos dos a dos” y que “tiene cuatro ángulos iguales y cuatro lados iguales”, respectivamente. Mientras que el triángulo no aporta datos suficientes para describirlo, obviando los ángulos, “tiene tres lados y tiene muchos tipos [...].” Y en el rectángulo ocurre que al decir que sus ángulos son iguales dos a dos, no explica bien las características de este, “tiene cuatro lados dos a dos y también tiene los ángulos dos a dos.” 52 En la actividad 7, construye las figuras de triángulo, prisma triangular y pirámide triangular. Las elabora sin ningún problema y nombra sus atributos de forma correcta. La alumna D, presenta problemas al resolver la actividad 8, sobretodo en la figura de la pirámide cuadrangular. De igual forma que su compañero, el alumno C, creo que la prisa por acabar e irse a la siguiente clase pudo influir en que no tomase más tiempo para pensar la respuesta. Además puede verse como en la pirámide triangular, por ejemplo, no tiene ningún error, cuando al ser pirámides ambas, el número de bases es común y no tiene en cuenta. La alumna D está en el nivel I de Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013), de reconocimiento. Entiende las figuras de una manera global, sin analizar o enumerar completamente sus atributos. Es capaz de agrupar figuras por la imagen que tiene de estas, su parecido en la forma; pero no porque pertenezcan a la misma familia. Las diferencias entre figuras no las hace teniendo en cuenta sus vértices, o ángulos. Y las características que nombra de algunas figuras son conocimientos aprendidos que no le sirven, aún, para conectarlos entre ellos y hacer generalizaciones a partir de los mismos. 53  Alumna E Alumna de 9 años con una educación en valores impropia del alumnado de su edad. Empática, atenta e impregnada de buenos gestos hacia los demás. De las alumnas más queridas dentro del grupo clase. Su nivel académico es alto con buen razonamiento lógico matemático y una caligrafía muy clara y legible. Sin embargo este año ha rendido por debajo de sus posibilidades debido a su conformismo. Esta alumna muy jovial, mostró interés por las actividades y participó de forma activa durante las sesiones. ALUMNA E OBJETIVO SÍ CON BASTANTE FRECUENCIA(*) POCAS VECES (**) NO Reconoce figuras planas X Compone y descompone figuras planas X Nombra atributos irrelevantes X Nombra atributos relevantes X Hace clasificaciones X Hace categorizaciones X Utiliza vocabulario matemático X Tabla 20. Análisis objetivos, ALUMNA E 54 Alumna E Observaciones y comentarios más relevantes Actividad 1 A la pregunta que vemos su respuesta inicial es “un ladrillo” Luego añade que “la caja es un cubo” Indica que son parecidas “la pirámide, el Rubik y el Toblerone” Actividad 2 “No, no, no, es un romboide” indica al describir uno de los lados del edificio azul que aparece solo. En lluvia de ideas menciona “se pueden meter cosas dentro” (refiriéndose a la caja) y “ángulo” Actividad 3 Hace dos grupos, quedando así: - Pirámides, Toblerone, cubo Rubik, pirámide egipcia, edificio (torres inclinadas), naranja (prisma naranja), colores (pirámide multicolor) y rosa (pirámide rosa). - Cubo, dados, caja, ladrillo, caja, leche, torre azul. Véase anexo II, actividad 3, ilustración 12. Actividad 4 Sus dibujos parecen estar más cuidados. Intenta cambiar de posición todas las figuras manteniendo sus proporciones, aunque se equivoca en el cuadrado, lo intenta. Sus descripciones de las figuras son: - “Rombo: ángulos dos a dos, tiene cuatro lados iguales. - Triángulo: tienen tres lados. Isósceles, equilátero y escaleno. - Cuadrado: sus lados son todos iguales. - Rectángulo: sus lados son iguales dos a dos.” Véase anexo II, actividad 4, ilustración 18. Actividades 5 y 6 Véase apartado 5.2. Resultados grupales, actividades 5 y 6. Véase anexo II, actividad 4, ilustración 20. Actividad 7 Véase anexo II, actividad 7, ilustraciones 33, 34 y 35. Actividad 8 Véase anexo II, actividad 8, ilustración 43. Tabla 21. Observaciones, ALUMNA E La alumna aporta ciertas ideas que me llaman la atención y hace algunas asociaciones de forma correcta entre figuras y conceptos. No obstante, tiene más dificultades en la actividad final de las esperadas. En la actividad 1, participa indicando una aclaración diciendo que la caja es un cubo. Aunque la caja sea realmente un ortoedro, y el cubo un caso especial de los ortoedros. Sí que es cierto que considero que tener esa idea es una base correcta que puede ir desarrollando en cursos posteriores; sin embargo, no habla de prisma con lo que no puedo considerar si entienden que esas figuras pertenecerían, por sus características, a los prismas. Además asemeja a la pirámide, el Rubik y el Toblerone. Quizás la imagen del chocolate y su envoltorio pueden crear confusión por eso entiendo que den diversas respuestas, dependiendo de si observan la caja o bien el chocolate, y dentro del chocolate si lo analizan como un todo o por partes diferenciadas. Por ello, la 55 pirámide y el Rubik estarían bien emparejados, aunque no el Toblerone, pero no se aleja del todo de la idea de pirámide. Esto también puede ocurrir que aún no haya trabajado suficientes ejemplos y contraejemplos de pirámides y prismas. Como he mencionado anteriormente, en la actividad 2, mientras que el compañero describe el edificio azul que aparece solo, ella refiere que el lado tiene forma de romboide. Quiero apuntar esta idea porque no esperaba que surgiera, quizás ni siquiera a lo largo de todas las actividades, pero menos al principio. El término es erróneo porque en este caso el romboide es un paralelogramo y esa figura sólo tiene un par de lados paralelos, además sus lados miden distinto, por ello es un trapezoide. Destaco que al mencionar en la lluvia de ideas el término ángulo, es la única que habla de ese elemento hasta el momento. En la actividad 3, la alumna hace dos grupos diferenciados. El primero de ellos, el que llama “pirámides” incluye erróneamente el edificio azul y los dos prismas naranjas, también la chocolatina pero no valoro eso. Considero que hace esta agrupación errónea porque su concepto de pirámide está muy ligado a los triángulos y al ser prismas de base triangulares se confunde y no es capaz de diferenciar según los atributos relevantes del concepto pirámide. Probablemente pueda afianzar los términos si recibe más ejemplos de prismas y se trabajan distintas bases para que entienda que la forma de esta no determina que sea prisma o no. El segundo grupo, es interesante que parezca ser la única que ha determinado un grupo de prismas mayor e inclusivo considerando a todos los prismas excepto los de base triangular que erróneamente coloca en el otro grupo. Pese a nombrar al grupo como “cubos” entiende características comunes de estos, siempre que la forma predominante sea la del grupo de cuadriláteros. La alumna cuida un poco más sus dibujos que sus compañeros y elabora, en la actividad 4, unas representaciones claras. Sin embargo, son similares a las de los otros, aunque mejor presentadas. Quiero destacar que intenta mover el cuadrado, aunque no lo consigue pero guarda mejor la proporción de este que sus compañeros al intentar hacer lo mismo. De igual forma presenta algunas figuras apoyadas sobre distintas bases. Por otro lado sus definiciones son muy escuetas y algunas están incompletas. Define bien el rombo, “ángulos dos a dos, tiene cuatro lados iguales”, dando información de ángulos y lados. Pero no ocurre lo mismo con las otras tres figuras en las que algo falta en cada definición; el triángulo “tienen tres lados. Isósceles, equilátero y escaleno”, para el cuadrado “sus lados son todos iguales” y para el rectángulo “sus lados son iguales dos a dos”; como se puede observar no habla de ángulos en ninguna de las tres figuras, mientras que en la primera sí. Las figuras que realiza en la actividad 7 son adecuadas, correctas y resueltas sin problemas. La alumna desarrolla buenas respuestas y participación durante las dos sesiones, sin embargo en la actividad 8, no parece que los conceptos estén claros, ya que las figuras de pirámide triangular y prisma cuadrangular no se completan de forma correcta. 56 Esta alumna y su compañera, la alumna F, fueron las últimas en acabar y demostraron estar más apuradas ya que sus compañeros ya se habían ido, pero se habían retrasado en montar las figuras y eso las retrasó. Creo que esto afectó a ambas en la resolución de la actividad final. No obstante, esta alumna demuestra que hay elementos que no quedan claros, aunque sea capaz de dibujarlos, no los distingue. Esta alumna es una de las que mejor ha podido clasificar figuras, no obstante, su clasificación nos indica, que aunque quizás, un poco más cuidadosa que sus compañeros, se apoya en las figuras de forma global para diferenciarlas y agruparlas. Por ello, no considera los prismas triangulares en el mismo grupo que el resto de prismas. Su razonamiento se identifica con el nivel I de Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013), de reconocimiento. Aun no es capaz de desarrollar nociones y definiciones matemáticas de las figuras que hemos trabajado. Aunque reconoce que las figuras tienen elementos que pueden variar de una a otra, no le sirve, ese conocimiento, para entender que deben pertenecer a la misma familia, por ejemplo. Sus definiciones no son completas y exactas del todo, faltando elementos para completar las mismas. 57  Alumna F Alumna de 9 años cuya característica más notable es su creatividad. Presenta una gran disposición al trabajo por proyectos y de manera cooperativa. Conceptualmente puede cometer ciertos errores tanto en cálculo como en ortografía ya que presenta una dislexia en grado I diagnosticada recientemente. Socialmente integrada y feliz con su grupo clase. Esta alumna se mostró muy proactiva al principio y perdió un poco el interés sobre todo durante el segundo día al final de la sesión, pese a eso su participación en las tareas fue adecuada. ALUMNA F OBJETIVO SÍ CON BASTANTE FRECUENCIA(*) POCAS VECES (**) NO Reconoce figuras planas X Compone y descompone figuras planas X Nombra atributos irrelevantes X Nombra atributos relevantes X Hace clasificaciones X Hace categorizaciones X Utiliza vocabulario matemático X Tabla 22. Análisis objetivos, ALUMNA F 64 Por último, esperaba que fueran capaces de distinguir en primas y pirámides, las figuras planas que forman sus bases o caras laterales; sin embargo, han llegado a reconocer alguna, como el triángulo de base de algún prisma, escasas veces. Entiendo que no contemplan que una figura tridimensional, se forme por diferentes figuras planas.  Consideraciones generales Uno de los factores determinantes en este proyecto ha sido el tiempo y los medios disponibles. En la planificación y desarrollo del trabajo se hace esencial considerar qué cantidad de tiempo se dispone realmente para llevar a cabo el proyecto. De una parte, el tiempo personal de trabajo y de otra, el tiempo que disponemos en el colegio para llevar a cabo la experiencia. Sumado a este factor, los medios que se tienen al alcance condicionan el tipo de propuesta que se puede implementar y el alcance de la misma. Como mencionaba al principio del proyecto, este pretendía ser una investigación más amplia desarrollada en dos fases, sin embargo, por falta de medios y tiempo solo se ha podido desarrollar la primera, sin llegar a analizar mi propia práctica, quedando abierta a una futura investigación. Las actividades planteadas no contemplan el uso de las TICs, recurso que, personalmente, considero muy importante en el aprendizaje. La razón principal de que no se hayan contemplado es que elaboré actividades sencillas, cuya resolución fuera más o menos rápida y que permitiera aprovechar el mayor tiempo de la sesión posible. Con mucha seguridad, el uso de alguna aplicación o herramienta TIC habría hecho que el ritmo de la sesión fuera más lento y una mayor distracción en el alumnado. Por tanto, aunque recomiendo que se empleen actividades que permitan este tipo de herramientas, también insto a considerar que cuando el grupo de alumnos no se conoce y el tiempo disponible es poco, es más práctico optar por otras de corte más sencillo.  Limitaciones La principal limitación de este proyecto radica en la circunstancia de que los datos recogidos y el análisis obtenido, es solo extrapolable a un grupo de alumnos reducido, de un colegio concreto, en una zona y una ciudad determinadas. Dicho de otro modo, los resultados aquí reflejados no se pueden generalizar. No resulta posible, sin haber podido comparar si quiera con más respuestas de otros compañeros y compañeras de su aula, o de otro grupo de alumnos y alumnas de otro colegio, o hasta de otra ciudad; si los resultados reflejan una tendencia general en el alumnado de tercero de primaria, o un caso particular de estos. Es obvio que las circunstancias personales, el contexto, la implicación del profesorado, los conocimientos de este o la motivación en la familia, entre otros, también forman parte de ese resultado; pero todos estos factores escapan a dicho análisis. Sin embargo, pese a que no se pueda generalizar el resultado, este 65 proyecto sí permite ser un apoyo para otros maestros y maestras, ya que de las respuestas dadas por los niños y niñas, y la reflexión posterior de las mismas, se pueden obtener referencias que ayuden a preparar su práctica docente, que ayuden a mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje. Como sabemos el aprendizaje también sucede cuando ves a otros, por ello espero que este proyecto sirva además para ayudar a que otros mejoren. En el ámbito personal, este proyecto me ha permitido mejorar mi futura praxis, para la que consideraré las nociones aprendidas en este camino.  Aprendizajes adquiridos Enfrentarme a este proyecto suponía adentrarme en un terreno en el que, a pesar de encantarme, me sentía insegura. Quizás esto determinó mis ganas por hacerlo, el saber que tendría la posibilidad de aprender mucho más. Al acabar este proyecto me doy cuenta de que mis conocimientos en el bloque de geometría han crecido, se han renovado. Las diferentes lecturas y sesiones de tutoría me han ayudado a entender mejor e intentar mejorar, por los futuros ellos, por mí. A la finalización de este proyecto lo más importante de lo que he adquirido, o lo que de alguna forma más me ha marcado, ha sido entender que la secuencia que se ha seguido en la escuela años atrás, la secuencia con la que yo aprendí, no es el orden idóneo para que el aprendizaje sea significativo. Por tanto, mis esfuerzos deben ir encaminados a pensar caminos alternativos que me permitan mostrarles un camino más sencillo, quizás, o más claro hacía la realidad que les rodea.  Conclusión final Para finalizar, entiendo que debo cerrar este proyecto retomando la pregunta de investigación de la que deriva todo. ¿Entienden las figuras como un todo o reconocen sus elementos? Esta pregunta, a simple vista podría parecernos simple, pero permite ver en qué nivel de razonamiento geométrico está el alumnado, qué pensamiento y nociones geométricas tienen y cuáles no dominan realmente. De esta pregunta termino concluyendo que el alumnado reconoce vagamente los elementos de las figuras de forma espontánea; aunque sí es capaz de entender algunos de sus elementos (como por ejemplo, lado, vértice o número de caras) si se les insiste a que los consideren. Del mismo modo, la mayoría entiende las figuras como un todo, hacen descripciones de las mismas no analíticas, y cuando así lo intentan son erróneas o inacabadas. Esto ha determinado que su nivel de Van Hiele (Muñoz-Catalán et al, 2013), en todos, sea el nivel I de reconocimiento. 66 Por último, también he observado que aunque puedan nombrar elementos o figuras de forma correcta, no llegan a entender realmente las características de estas, por lo que no son conceptos que realmente dominen o hayan llegado a interiorizar. Para finalizar quiero dejar constancia de que al haber tenido la posibilidad de llevar a cabo un proyecto tan enriquecedor, además de permitirme crecer profesionalmente, pues mi conocimiento ha mejorado; me ha permitido reafirmarme en mi decisión tomada hace cuatro años. La educación no es algo fácil, ni puede ser evaluada como un producto final. Es la decisión de intentar ayudar un poco cada día y de hacer lo mejor que podamos con lo que tengamos. 67 7. Referencias Bibliográficas Hoffer, A. (1981). Geometry is more than proof. Mathematics teacher, 74(1), 11-18. Pastor, A. J.; Rodríguez, Á. G. (1990). Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la geometría: El modelo de Van Hiele. En Teoría y práctica en educación matemática. Ediciones Alfar (pp. 206-240; 362-383) Vinner, S. (2011). The role of examples in the learning of mathematics and in everyday thought processes. ZDM, 43(2), 247-256. Moratalla, P. T. (2006). Una interpretación de la formación de conceptos y su aplicación en el aula. Ensayos: Revista de la Facultad de Educación de Albacete, (21), 35-50. Gutiérrez, A., & Jaime, A. (1998). On the assessment of the Van Hiele levels of reasoning. Focus on learning problems in mathematics, (20), 27-46. NCTM (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Traducción SAEM Thales (2003). Principios y Estándares para la Educación Matemática. Sevilla: SAEM Thales Puig Adam, P. (1980). Curso de geometría métrica I: Fundamentos. Madrid: Euler. (1), 4. Pastells, Á. A. (2004). Desarrollo de competencias matemáticas con recursos lúdicomanipulativos: para niños y niñas de 6 a 12 años (Vol. 2). Narcea Ediciones. (3), 73104. Chamorro, M.C., Gómez, J. M. B., Linares, S., Higueras, M. L. R., & Rubio, F. V. (2003). Didáctica de las matemáticas para primaria. Pearson Educación. 68 Muñoz-Catalán, M.C. (2015). Didáctica de las matemáticas. Segundo de Educación Primaria. Universidad de Sevilla. Liñán, M.M. (2018). Trabajo Fin de Grado. Cuarto de Educación Primaria. Universidad de Sevilla. Muñoz-Catalán, M. C., Montes, M. A., Carrillo, J., Climent, N., Contreras, L. C., & Aguilar, A. (2013). La Clasificación de las Figuras Planas en Primaria: Una Visión de Progresión entre Etapas y Ciclos. Huelva, España: Universidad de Huelva Publicaciones. Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa. Boletín Oficial del Estado, 10 de diciembre de 2013, núm. 295, pp. 12-15. https://www.boe.es/buscar/act.php?id=BOE-A-2013-12886 Decreto 97/2015, de 3 de marzo, por el que se establece la ordenación y el currículo de la Educación Primaria en la Comunidad Autónoma de Andalucía. Boletín Oficial de la Junta de Andalucía, 13 de marzo de 2015, núm. 50, pp. 11-22. https://www.juntadeandalucia.es/boja/2015/50/1 Orden de 17 de marzo de 2015, por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la Educación Primaria en Andalucía. Boletín Oficial de la Junta de Andalucía, 27 de marzo de 2015, núm. 60, pp. 9-142. https://www.juntadeandalucia.es/eboja/2015/60/BOJA15-060-00134-524301_00066439.pdf Edo, M. (2003). Intuir y construir nociones geométricas desarrollando sentimientos y emociones estéticas. Actas de las XI JAEM, 233-249. 69 Jofre Moreno, M., Soto Torres, A., Badillo Jiménez, E. R., & Prat, M. (2016). La reflexión sobre la práctica de aula: una oportunidad de aprendizaje pedagógico para los maestros y maestras. Aula de innovación educativa, (252), 0040-45. 70 8. Anexos. 8.1. Anexo I: Material usado en las actividades. Ilustración 2. Composición de imágenes, actividades 1, 2 y 3. Fuente: Elaboración propia 71 Ilustración 3. Composición imágenes, prismas y pirámides, actividad 3. Fuente: Elaboración propia Ilustración 4. Tarjetas con características de cuerpos geométricos y figuras planas, actividad 5. Fuente: Elaboración propia 72 Ilustración 5. Composición figuras planas, actividad 6. Fuente: Elaboración propia NOMBRE TIPO Nº VÉRTICES Nº LADOS Nº BASES Nº CARAS Tabla 24. Plantilla actividad 8. Fuente: Elaboración propia 73 8.2. Anexo II: Actividades resueltas por el alumnado  Actividad 2 Ilustración 6. Lluvia ideas inicial 80 Ilustración 13. Respuesta alumna F  Actividad 4 Alumno A Ilustración 14. Respuestas, alumno A 2 Alumno B Ilustración 15. Respuestas, alumno B 3 Alumno C Ilustración 16. Respuestas, alumno C 4 Alumna D Ilustración 17. Respuestas, alumna D 5 Alumna E Ilustración 18. Respuestas, alumna E 6 Alumna F Ilustración 19. Respuestas, alumna F  Actividad 5 Ilustración 20. Mapa ideas grupal 2  Actividad 7 Alumno A Ilustración 21. Figura plana, alumno A 3 Ilustración 22. Pirámide, alumno A 10 Ilustración 31. Pirámide, alumna D Ilustración 32. Prisma, alumna D 11 Alumna E Ilustración 33. Cuadrado, alumna E 12 Ilustración 34. Pirámide, alumna E Ilustración 35. Prisma, alumna E 13 Alumna F Ilustración 36. Triángulo, alumna F Ilustración 37. Pirámide, alumna F 14 Ilustración 38. Prisma, alumna F 15  Actividad 8 Ilustración 39. Respuesta, alumno A 16 Ilustración 40. Respuesta, alumno B 17 Ilustración 41. Respuesta, alumno C 18 Ilustración 42. Respuesta, alumna D 19 Ilustración 43. Respuesta, alumna E