Una propuesta del área de Matemáticas para el Taller de Arquitectura: percepción del espacio mediante parámetros asociados a la visibilidad

Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL MSEL Modelling in Science Education and Learning Modelling in Science Education and Learning Volume 11 (2), 2018 doi: 10.4995/msel.2018.10088. Instituto Universitario de Matem´atica Pura y Aplicada Universitat Polit`ecnica de Val`encia Una propuesta del ´area de Matem´aticas para el Taller de Arquitectura: percepci´on del espacio mediante par´ametros asociados a la visibilidad Perception of the architectonic space using mathematics parameters associated to visibility Encarnaci´on Abajo Casado, Juan Manuel Delgado S´anchez Universidad de Sevilla eaba[email protected],[email protected] Abstract El objetivo de este art´ıculo es introducir al lector en el an´alisis de la percepci´on espacial y visual de una obra arquitect´onica utilizando para ello una metodolog´ıa desarrollada en las ´ultimas d´ecadas. Partiendo del concepto de isovista, regi´on plana visible para un individuo situado en una determinada localizaci´on de una planta arquitect´onica, esta metodolog´ıa se basa, por una parte, en la interpretaci´on de algunas medidas asociadas a la geometr´ıa de las isovistas; por otra parte, en el an´alisis de par´ametros asociados al denominado grafo de visibilidad o grafo de localizaciones intervisibles. El uso de esta metodolog´ıa permite la integraci´on de las Matem´aticas en asignaturas de car´acter transversal presentes en los planes de estudios en Arquitectura. The aim of this article is to introduce the reader to the analysis of the spatial and visual perception of an architectural work using for it a methodology developed in the last few decades. Starting from the concept of isovist, that is, the visible region from a given location of an architectural plan, this methodology is based, on one hand, on the interpretation of some measures associated with the geometry of isovists; and, on the other hand, on the analysis of specific parameters of the so-called visibility graph, that is, the graph of intervisible locations. The use of this methodology allows the integration of Mathematics in transversal nature subjects included in the plans of studies in Architecture. Palabras clave: percepci´on espacial, isovista, grafo de visibilidad, Capilla de la Universidad de Sevilla. Keywords: spatial perception, isovist, visibility graph, University of Seville Chapel. 39 Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL 40 Percepci´on del espacio mediante la visibilidad Encarnaci´ on Abajo Casado, Juan Manuel Delgado S´ anchez 1. Introducci´on Los actuales planes de estudios en las escuelas de Arquitectura asumen el perfil de arquitecto generalista como objetivo docente b´asico. Esto conlleva considerar la ense˜nanza de la arquitectura como un proceso que debe ser ra´ız y tronco com´un de una realidad amplia y diversa en la que es posible desarrollar otras arquitecturas m´as especializadas. Uno de los principios docentes que se deducen de dicho car´acter generalista es la concepci´on de la pr´actica arquitect´onica como una s´ıntesis de todas las materias y ´areas disciplinares necesarias en la formaci´on del graduado en arquitectura. As´ı, en muchos de esos planes de estudios, se programan asignaturas de tipo “taller” como instrumentos de integraci´on de todas las materias en torno a una intervenci´on arquitect´onica y urbana. En concreto, el Grado en Fundamentos de la Arquitectura de la Universidad de Sevilla consta de siete asignaturas de taller, del alto contenido proyectual, cada una bajo un ep´ıgrafe (“casa”, “bloque”, “barrio”, “equipamiento”,...) que orienta al equipo docente en el sentido de la propuesta a realizar por el estudiante. El ´area de Matem´atica Aplicada participa en el Taller de Arquitectura 1 (“casa”), junto con Proyectos Arquitect´onicos, Estructuras, Construcci´on, Expresi´on Gr´afica e Historia. No resulta sencillo la integraci´on de las Matem´aticas en el desarrollo de las propuestas de viviendas realizadas por los alumnos, m´as all´a de simples c´alculos planim´etricos o volum´etricos. Este art´ıculo pretende mostrar los fundamentos y herramientas matem´aticas que, desde hace un par de cursos, algunos profesores de Matem´aticas hemos puesto en pr´actica en el Taller de Arquitectura 1. Esta tem´atica supone una aportaci´on m´as interesante y compleja a dicha asignatura (y, por ello, de un mayor valor formativo para el estudiante) adem´as de potenciar la intervenci´on del ´area de Matem´aticas en muchas de las fases del proyecto arquitect´onico. 2. Isovistas y grafo de visibilidad Uno de los aspectos que m´as inter´es puede suscitar en la creaci´on de la obra de un arquitecto reside en conocer la naturaleza y la percepci´on del espacio. De una forma un tanto simple, puede entenderse la Arquitectura como el proceso de determinaci´on de l´ımites constructivos sobre un espacio concreto para un fin prefijado (viviendas, edificios, equipamiento,...) aunque tambi´en podr´ıamos pensar en arquitecturas a mayor escala (barrios o ciudades). Los l´ımites usados para definir espacios pueden ser din´amicos (puertas) o est´aticos (paredes); pueden ser transparentes (ventanas, cristaleras) u opacos (paredes de ladrillo). Una vez definidos, estos l´ımites proporcionan una estructura al espacio que permite no s´olo distinguir el exterior del interior sino, adem´as, determinar hacia d´onde podemos desplazarnos (accesibilidad) o qu´e podemos ver (visibilidad). Ambas caracter´ısticas, accesibilidad y visibilidad, influyen directamente en c´omo se percibe espacialmente la vivienda o el edificio, as´ı como en la experiencia que tendr´a un observador inmerso en dicho espacio, movi´endose a trav´es del mismo seg´un sus intereses. La metodolog´ıa que se presenta en las siguientes secciones permite obtener informaci´on f´acilmente cuantificable sobre la interrelaci´on existente entre percepci´on del espacio arquitect´onico, accesibilidad y visibilidad; capacitan, por tanto, para emitir conclusiones sobre la espacialidad de una obra arquitect´onica. En cualquier caso, tal metodolog´ıa debe ser considerada como una herramienta adicional, nunca exclusiva, para la descripci´on de cualquier espacio arquitect´onico, al no tener en cuenta factores tan determinantes para dicha descripci´on como pueden ser la luz o la materialidad. El primero de los conceptos claves que estudiamos es el de isovista. Partiendo de la planta de un espacio arquitect´onico y fijando una localizaci´on sobre la misma, la isovista correspondiente a dicha localizaci´on es la regi´on plana visible para un individuo situado en dicha localizaci´on que supuestamente est´a explorando el sistema (figura 1). Es natural pensar que el conocimiento de la geometr´ıa de las isovistas de las diferentes localizaciones de una planta puede proporcionar informaci´on sobre c´omo un observador, inmerso en dicho entorno, percibe el espacio que le rodea, c´omo interact´ua con ´el o incluso c´omo puede moverse a trav´es del mismo. Con el objetivo de traducir cuantitativamente dicha informaci´on, Benedikt utiliz´o una serie de medidas num´ericas asociadas a la forma y al tama˜no de cada isovista (Benedikt, M. L., 1979); en la secci´on 3, se mencionan algunas de estas medidas. ISSN 1988-3145 @MSEL Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL Volume 11 (2), doi: 10.4995/msel.2018.10088. 41 Figura 1 – Ejemplo de isovista generada desde una localizaci´on sobre una planta cuadrada con un obst´aculo central en forma de T A pesar de la elegancia de la metodolog´ıa introducida por Benedikt, su aplicaci´on al an´alisis del espacio se limita a unos cuantos estudios. Entre las razones principales, destaca el hecho de que dicha metodolog´ıa s´olo proporciona informaci´on “local” (es decir, del entorno m´as pr´oximo de la localizaci´on generadora), pero ignora tanto la relaci´on de cada localizaci´on con todo el espacio como las relaciones entre las diferentes localizaciones de una isovista. Para superar estas limitaciones, Turner y otros (Turner, A., Doxa, M., O’Sullivan, D., Penn, A., 2001) introducen una metodolog´ıa que, partiendo del concepto de isovista y utilizando un conjunto de t´ecnicas de representaci´on gr´afica basada en la Teor´ıa de Grafos denominada “Space Syntax” (v´ease Hillier, B. Hanson, J., 1984), desemboca en la representaci´on del espacio mediante el denominado grafo de visibilidad, esto es, el grafo de las localizaciones mutuamente visibles, cuya construcci´on describimos a continuaci´on. Un grafo se utiliza para representar de manera esquem´atica el conjunto de relaciones m´as o menos complejas que pueden darse entre diversos elementos. Para determinar un grafo, debemos precisar el conjunto de elementos que intentamos representar (puntos ov´ertices del grafo) y el conjunto de relaciones que existen entre dichos elementos seg´un el criterio que fijemos (aristas del grafo). Quiz´a la forma m´as sencilla de entender el concepto de grafo es asoci´andole una representaci´on gr´afica. Imaginemos una ciudad, dividida en cuatro zonas a,b,cydpor el paso de un r´ıo, algunas de ellas unidas por puentes como aparece en la figura 2. Si pretendemos esquematizar Figura 2 – Esquema de una ciudad atravesada por un r´ıo dicha configuraci´on atendiendo a las conexiones que existen entre las diferentes partes de la ciudad unidas por puentes, podemos construir un grafo de cuatro v´ertices (a,b,cyd) en el cual dos v´ertices est´an unidos por una arista (“est´an relacionados”) si existe un puente que une las respectivas zonas. Tenemos as´ı una representaci´on esquem´atica de la ciudad como la que se ilustra en la figura 3. Figura 3 – Grafo que esquematiza las conexiones de la ciudad anterior @MSEL ISSN 1988-3145 Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL 42 Percepci´on del espacio mediante la visibilidad Encarnaci´ on Abajo Casado, Juan Manuel Delgado S´ anchez As´ı pues, para determinar un grafo, es necesario precisar tanto el conjunto de v´ertices, que denotamos por V, como el conjunto de aristas (relaciones), que se denota por E. En un grafo, dos v´ertices unidos por una arista (es decir, relacionados) se dice que son adyacentes. Para construir el grafo de visibilidad de una planta arquitect´onica, el primer paso es la elecci´on de un conjunto de localizaciones que cubra uniformemente todo el espacio objeto de estudio; esto constituir´a el conjunto de v´ertices del grafo. Puesto que el objetivo es el estudio de la percepci´on del espacio arquitect´onico a trav´es de la intervisibilidad de las diferentes localizaciones, dos v´ertices del grafo se unen mediante una arista (est´an relacionados) si son mutuamente visibles. La figura 4 muestra un ejemplo de un grafo de visibilidad a partir de 36 localizaciones uniformemente distribuidas en una sencilla planta cuadrada con un obst´aculo central en forma de T. A partir de esta representaci´on, se han definido Figura 4 – Grafo de visibilidad de la configuraci´on en T diversas medidas para cada una de las localizaciones (v´ertices) del sistema, las cuales proporcionan informaci´on del dise˜no espacial tanto local como globalmente. Algunas de ellas se estudian en la secci´on 4. En la ´ultima secci´on, se muestra un ejemplo pr´actico utilizando para ello el software UCL Depthmap. Para cada medida, este programa proporciona un mapa de colores sobre la planta objeto de estudio, que informa sobre la distribuci´on de los valores de dicha medida a trav´es de la planta. Puesto que las traducciones al espa˜nol de los t´erminos de las medidas corresponden a los autores, se acompa˜na el t´ermino en ingl´es tal y como aparece en el programa UCL Depthmap cuando se introduce dicha medida por primera vez. 3. Medidas asociadas a isovistas 3.1. ´ Area (Isovist area) El ´area de una isovista informa sobre cu´anto se puede ver desde la localizaci´on que genera dicha isovista y, rec´ıprocamente, desde qu´e localizaciones se puede divisar la localizaci´on generadora. Como sugiere Benedikt (Benedikt, M. L., 1979), el estudio de la percepci´on del espacio a trav´es de la visibilidad requiere ir m´as all´a de la interpretaci´on de isovistas aisladas, siendo clave interrelacionar la informaci´on sobre diferentes localizaciones. En efecto, observemos la figura 5, en la que se muestra el mapa de colores relativo a esta medida para una planta en T, utilizando una escala que fluct´ua desde el azul (localizaciones con poca visibilidad), pasando por el verde, amarillo, naranja hasta el rojo (localizaciones con m´axima visibilidad). Un hipot´etico observador que se desplazara desde el punto Ahasta el Ctendr´ıa una experiencia en la que la informaci´on visual cambiar´ıa a mayor ritmo que otro observador que fuera desde Ahasta B, puesto que las ´areas de las isovistas del primero ir´ıan cambiando a gran velocidad con su desplazamiento (fluctuaci´on r´apida de colores a lo largo del recorrido). ISSN 1988-3145 @MSEL Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL Volume 11 (2), doi: 10.4995/msel.2018.10088. 43 Figura 5 – Distribuci´on del ´area de las isovistas de la configuraci´on en T 3.2. Per´ımetro/Oclusividad (Isovist Perimeter/Isovist Occlusivity) El per´ımetro de una isovista es la longitud total del contorno de ´esta. Al analizar el contorno de una isovista como elemento informativo para la percepci´on visual, es necesario distinguir entre contorno f´ısico, formado por paredes, puertas, etc., y contorno oclusivo (o contorno no f´ısico), resultante a partir de alg´un elemento constructivo que impide la visi´on de todo el espacio (v´ease figura 6). Un valor elevado de oclusividad en una localizaci´on puede sugerir una percepci´on incompleta del espacio arquitect´onico por parte del observador; la existencia de incertidumbre, de lugares escondidos o por descubrir (Rohloff, I. K., 2009, Yu, R., Gu, N., Ostwald, M., 2016). Figura 6 – Las l´ıneas con trazo punteado constituyen el per´ımetro oclusivo de la isovista mostrada 3.3. Longitud radial m´axima (Isovist Max Radial) Fijada una localizaci´on en un sistema, podemos comparar las longitudes de cada uno de los radios contenidos en su isovista, donde por radio entendemos “cualquier segmento que parte de la localizaci´on generadora hasta un punto cualquiera del per´ımetro (f´ısico) de la isovista”. La mayor de esas longitudes recibe el nombre de longitud radial m´axima. Las localizaciones con valores elevados de longitud radial m´axima indican la proximidad de grandes l´ıneas de visi´on, pasadizos de transparencia en los que el espacio tarda en encontrar obst´aculos. @MSEL ISSN 1988-3145 Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL 44 Percepci´on del espacio mediante la visibilidad Encarnaci´ on Abajo Casado, Juan Manuel Delgado S´ anchez 3.4. Circularidad (Isovist Compactness) La circularidad (o compacidad) de una isovista informa sobre cu´anto se parece la isovista a un c´ırculo. Para ello, se eval´ua la raz´on entre el ´area de la isovista y el ´area del c´ırculo cuya longitud coincide con el per´ımetro de la isovista. Ahora bien, si una isovista tiene ´area Ay per´ımetro P, entonces el radio del c´ırculo cuya longitud coincide con Pes r=P/2π. De esta forma, Circularidad = A πr2=A πP 2π2= 4πA P2. La desigualdad isoperim´etrica garantiza que la circularidad de cualquier isovista es menor o igual que 1 y que s´olo el c´ırculo alcanza este valor m´aximo (v´ease, por ejemplo, do Carmo, M. P., 1995). La figura 7muestra la circularidad de algunas formas. Figura 7 – Circularidad de algunas formas geom´etricas Entendiendo la naturaleza de las regiones planas que estamos tratando, el coeficiente de circularidad de las localizaciones de una planta est´a, en general, por debajo de 0.8. Las localizaciones con valores elevados (sensiblemente por encima de 0.7) se asemejan a cuadrados; las que generan isovistas alargadas o pol´ıgonos estrellados cuyos rayos son de cierta longitud poseen valores bajos de circularidad. Combinando ´esta con otras medidas, podemos obtener informaci´on sobre espacialidad-apertura o profundidad del entorno de un observador situado en el sistema. 3.5. Coeficiente de desplazamiento (Isovist Drift Magnitude) El coeficiente de desplazamiento de una localizaci´on es la distancia f´ısica entre dicha localizaci´on y el centro de gravedad (f´ısico) de su isovista. En un sistema, una localizaci´on con coeficiente de desplazamiento cercano ISSN 1988-3145 @MSEL Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL Volume 11 (2), doi: 10.4995/msel.2018.10088. 45 a cero (y que, por tanto, est´a muy pr´oxima al centro de su isovista) se sit´ua en el centro del espacio que la rodea, por lo que este tipo de puntos pueden considerarse como “centros relativos del sistema”. En la figura 8 se muestra el mapa de colores relativo al coeficiente de desplazamiento para la configuraci´on en T; se observan cuatro zonas azules constituidas por este tipo de puntos. Figura 8 – Coeficiente de desplazamiento de la configuraci´on en T Desde el punto de vista de la percepci´on espacial, algunos autores indican que tales centros relativos se identifican con las localizaciones hacia las que un observador hipot´etico, desplaz´andose por el sistema en una exploraci´on inicial, dirigir´ıa sus pasos (atravesando las curvas de nivel del mapa anterior) a fin de obtener una ´optima exploraci´on visual del espacio que le rodea y, una vez situado en alguno de estos centros, decidir su nuevo objetivo (Conroy, R. A., 2000) (v´ease tambi´en Mora, R., Astudillo, H., Bravo, S., 2014). 4. Medidas asociadas al grafo de visibilidad Una vez construido el grafo de visibilidad de una planta tal y como se ha indicado en la secci´on 2(es decir, determinado el conjunto de v´ertices o localizaciones generadoras y el conjunto de aristas entre dichos v´ertices), es posible llevar a cabo el an´alisis del mismo. Para ello, a cada localizaci´on o v´ertice del grafo podemos asociarle varias medidas. Como vamos a ver, algunas son medidas locales, pues su definici´on se basa en las relaciones existentes entre el v´ertice fijado y los v´ertices conectados a ´el (tama˜no del entorno ycoeficiente de agrupamiento); otras tienen un car´acter global, pues se construyen a partir de las relaciones del v´ertice fijado con los restantes v´ertices del grafo (profundidad media ygrado de integraci´on). Recordemos que, fijado un v´ertice vde un grafo, el entorno de ves el conjunto de v´ertices del grafo que est´an conectados a vmediante una arista. En t´erminos del grafo de visibilidad, el entorno de una localizaci´on es el conjunto de localizaciones visibles desde aquella (o, a la inversa, el conjunto de localizaciones que ven a la localizaci´on de partida). Si denotamos por Vel conjunto de v´ertices del grafo y Ees el conjunto de aristas, el entorno de v∈Ves N(v) = {u∈V:uv ∈E}, donde uv designa la arista entre los v´ertices uyv. Obs´ervese que, seg´un la definici´on anterior, el v´ertice vno pertenece a su entorno N(v). @MSEL ISSN 1988-3145 Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL 46 Percepci´on del espacio mediante la visibilidad Encarnaci´ on Abajo Casado, Juan Manuel Delgado S´ anchez Figura 9 – Los v´ertices unidos a vmediante una arista conforman su entorno. Desde el punto de vista de la visibilidad, el entorno correspondiente a una localizaci´on es el conjunto de localizaciones que se ve desde la misma Si el conjunto de localizaciones generadoras (v´ertices del grafo de visibilidad) es suficientemente numeroso y cubre todo el espacio de la planta de manera uniforme, entonces el entorno de un v´ertice puede ser identificado con la discretizaci´on de la isovista generada por dicho v´ertice (figura 10). Figura 10 – El entorno de un v´ertice puede verse como la discretizaci´on de la isovista generada por la localizaci´on correspondiente 4.1. Tama˜no del entorno o conectividad (Connectivity) El tama˜no del entorno del v´ertice ves el cardinal del conjunto N(v) (esto es, el n´umero de v´ertices adyacentes av). Se denota por k(v). A la vista de la identificaci´on ilustrada en la figura 10, puede afirmarse que el tama˜no del entorno de un v´ertice est´a directamente relacionado con el ´area de la isovista generada por dicho v´ertice. 4.2. Coeficiente de agrupamiento (Visual Clustering Coefficient) El coeficiente de agrupamiento de un v´ertice vse define como el cociente entre el n´umero de aristas del grafo existentes entre los distintos v´ertices del entorno de v(es decir, el n´umero de l´ıneas de visi´on entre las diferentes localizaciones que conforman la isovista de la localizaci´on generadora) y el n´umero m´aximo de aristas posibles entre los distintos v´ertices del entorno de v. Si denotamos por Clus(v) el coeficiente de agrupamiento del v´ertice ISSN 1988-3145 @MSEL Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL Volume 11 (2), doi: 10.4995/msel.2018.10088. 47 v, se tiene: Clus(v) = n´umero de aristas del grafo entre los v´ertices del entorno de v n´umero de aristas posibles entre los v´ertices del entorno de v =cardinal{uw ∈E:u, w ∈N(v)} k(v) 2=cardinal{uw ∈E:u, w ∈N(v)} k(v) (k(v)−1) 2 Para entender esta medida, comparemos el coeficiente de agrupamiento de un v´ertice ven los dos grafos de la figura 11. El coeficiente de agrupamiento del v´ertice ven el grafo de la izquierda es nulo, puesto que no existen aristas entre los v´ertices adyacentes a ´el (el numerador en la fracci´on anterior es 0). Por el contrario, el coeficiente de agrupamiento del v´ertice ven el grafo de la derecha es 2/3 (hay 2 aristas entre los v´ertices adyacentes a v, siendo 3 el n´umero m´aximo de aristas posibles entre los v´ertices de su entorno). Obs´ervese que Figura 11 el numerador de la fracci´on que define dicho coeficiente siempre es menor o igual que el denominador, por lo que el coeficiente de agrupamiento de cualquier v´ertice es un n´umero real entre 0 y 1. Figura 12 – Coeficiente de agrupamiento de la configuraci´on en T El coeficiente de agrupamiento de un v´ertice es una medida de la cantidad de espacio intervisible en la isovista generada desde dicho v´ertice. Si una localizaci´on tiene coeficiente de agrupamiento cercano a 1, entonces su entorno est´a compuesto por localizaciones mutuamente visibles. As´ı, una localizaci´on cuya isovista sea un pol´ıgono (“casi”) convexo tendr´a coeficiente de agrupamiento (“muy pr´oximo a”) 1 (imagen izquierda de la figura 13); esto indica cierta estabilidad en la percepci´on visual, de forma que peque˜nos desplazamientos de un hipot´etico observador situado en la localizaci´on generadora de la isovista tendr´ıan poca repercusi´on en cuanto a la variaci´on de la informaci´on visual obtenida. Por el contrario, una localizaci´on cuya isovista se corresponda con una escuadra cuyos brazos est´an constituidos por localizaciones no intervisibles tiene coeficiente de agrupamiento alejado de 1 (imagen derecha de la figura 13); en este caso, el desplazamiento desde tal punto puede suponer una considerable variaci´on de informaci´on visual (por ejemplo, movimiento de un individuo en una intersecci´on). @MSEL ISSN 1988-3145 Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL 54 Percepci´on del espacio mediante la visibilidad Encarnaci´ on Abajo Casado, Juan Manuel Delgado S´ anchez Figura 23 – Comparativa del grado de agrupamiento en la capilla con y sin tabiquer´ıa intermedia Figura 24 – Sucesi´on de isovistas para un observador que se desplaza por la planta sin pilares Por el contrario, el coeficiente de agrupamiento medio de la planta real de la capilla es 0.67, existiendo casi un 90 % de localizaciones cuyo coeficiente es menor que 0.75. As´ı, si excluimos el brazo de entrada y las zonas junto a los pilares en las naves laterales, las isovistas desde la mayor parte de localizaciones son pol´ıgonos estrellados con rayos multidireccionales. Un observador que se desplace desde cualquier localizaci´on percibir´a cambios sensibles en su campo visual (figura 25). El balance de p´erdida/ganancia de informaci´on visual a medida que el observador se desplaza confiere un car´acter din´amico a la experiencia de la percepci´on del espacio arquitect´onico objeto de estudio. ISSN 1988-3145 @MSEL Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL Volume 11 (2), doi: 10.4995/msel.2018.10088. 55 Figura 25 – Sucesi´on de isovistas para un observador que se desplaza por la capilla Si bien el coeficiente de agrupamiento medio en la capilla es sensiblemente inferior al que se tendr´ıa en ausencia de tabiquer´ıa intermedia, los valores de dicho coeficiente no son bajos en t´erminos absolutos (fluct´ua entre 0.6 y 0.7 en m´as del 80 % de las localizaciones). Teniendo en cuenta que el coeficiente de agrupamiento es una medida de la intervisibilidad entre las localizaciones de una isovista, la observaci´on anterior aporta informaci´on sobre c´omo dichos pilares interrumpen el espacio y afectan a la percepci´on del mismo. En efecto, la figura 26 pone de manifiesto que son estos pilares los causantes de que la isovista generada sea un pol´ıgono estrellado con rayos multidireccionales. Sin embargo, puede advertirse que los rayos “envuelven” a estos elementos intermedios; as´ı, muchas de las localizaciones de rayos “adyacentes” son intervisibles lo cual hace que aumente el valor del coeficiente de agrupamiento de la localizaci´on generadora de la isovista. Por tanto, para muchas localizaciones, la existencia de la tabiquer´ıa intermedia en la capilla no impide percibir el espacio como un todo. Figura 26 – Isovista estrellada cuyos rayos “envuelven” al elemento que los origina Finalmente, el mapa del coeficiente de desplazamiento muestra que el centro de la cruz griega como ´unico centro relativo del sistema (figura 27). Seg´un se ha comentado al final de la secci´on 3, es muy probable que un visitante que explora por primera vez la capilla dirija sus pasos, en primera instancia, hacia este centro (atravesando las curvas de nivel que determina el coeficiente de desplazamiento), a pesar de que existen accesos a las naves laterales al principio de la nave central. @MSEL ISSN 1988-3145 Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL 56 Percepci´on del espacio mediante la visibilidad Encarnaci´ on Abajo Casado, Juan Manuel Delgado S´ anchez Figura 27 – Coeficiente de desplazamiento 6. Conclusiones El an´alisis espacial a trav´es de las medidas asociadas a las isovistas y al grafo de visibilidad constituye una interesante tem´atica a tratar en los estudios en Arquitectura y puede utilizarse como veh´ıculo integrador de las Matem´aticas en asignaturas de car´acter proyectual. La r´apida adquisici´on de los fundamentos de esta tem´atica y su c´omodo tratamiento a trav´es del programa UCL Depthmap habilita al estudiante a emitir conclusiones sobre la espacialidad de una obra arquitect´onica sin excesivo esfuerzo previo. Queda pendiente como posible ampliaci´on de esta tem´atica la descripci´on del espacio mediante otro tipo de representaciones como los mapas axiales o los mapas convexos. Como hemos visto en la secci´on 5, se pueden utilizar medidas como la conectividad para diferenciar las zonas p´ublico-privadas de un sistema; o como el grado de integraci´on, para dilucidar el centro desde el punto de vista de la visibilidad y c´omo peque˜nos cambios en la configuraci´on de la planta pueden desplazar dicho centro. Por tanto, entendemos que puede ser una herramienta ´util a la hora de proyectar, pues el an´alisis de diferentes configuraciones de plantas puede arrojar informaci´on de inter´es en la b´usqueda y consecuci´on de los objetivos. ISSN 1988-3145 @MSEL Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL Volume 11 (2), doi: 10.4995/msel.2018.10088. 57 Referencias Benedikt, M. L. (1979). To take hold of space: isovist and isovist fields. Environment and Planning B, Vol. 6, 47–65. Conroy, R. A. (2000). Spatial navigation in immersive virtual environments. University College London, London. http://www.thepurehands.org/phdpdf/thesis.pdf. do Carmo, M. P. (1995). Geometr´ıa diferencial de curvas y superficies. Alianza Editorial. Madrid. Hillier, B., Hanson, J. (1984). The social logic of space. Cambridge University Press. Cambridge. Mora, R., Astudillo, H., Bravo, S. (2014). Looking ahead: a vision-based software for predicting pedestrian movement. Ingenier´ıa e Investigaci´on, Vol. 34, 79–82. Rohloff, I. K. (2009). From academic research on museum buildings to practice-based research for planning shopping malls. 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