Aplicaciones de técnicas de análisis de redes complejas a redes de dominación en eficiencia

bbc Equa ion Chap e 1 Sec ion 1 T abajo Fin de Más e Más e en O ganización Indus ial y Ges ión Emp esa ial Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia Au o a: Lau a Calzada In an e Tu o : Sebas ián Lozano Segu a Dep. O ganización Indus ial y Ges ión de Emp esas I Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía Uni e sidad de Se illa Se illa, 201 6 iii T abajo Fin de Más e Más e en O ganización Indus ial y Ges ión de Emp esas Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia Au o a: Lau a Calzada In an e Tu o : Sebas ián Lozano Segu a Dep. O ganización Indus ial y Ges ión de Emp esas I Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía Uni e sidad de Se illa Se illa, 2016 T abajo Fin de Más e : Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia Au o a: Lau a Calzada In an e Tu o : Sebas ián Lozano Segu a El ibunal nomb ado pa a juzga el P oyec o a iba indicado, compues o po los siguien es miemb os: P esiden e: Vocales: Sec e a io: Acue dan o o ga le la cali icación de: Se illa, 2016 El Sec e a io del T ibunal A mi amilia Ag adecimien os En p ime luga me gus a ía ag adece a mi u o de T abajo Fin de Más e , Sebas ián Lozano, po oda su ayuda, comp ensión y paciencia. Desde el momen o en que le conocí, no ha dejado de so p ende me y de ompe me odos los esquemas, con un despliegue de ase i idad, e iciencia y en usiasmo en idiable, ayudándome a amplia mi isión de la ida y de la p o esión. Quisie a da ambién las g acias a Adenso, po su paciencia y po da me la opo unidad de aden a me en el mundo de la o ganización y la e iciencia. La ida es á llena de so p esas y nunca sabes dónde e puede lle a . Quisie a da las g acias a San iago, po sus enseñanzas, sus consejos, su a ención y su amis ad, no hay día que no me acue de de nues as cha las y espe o se p oduzcan muchas más. Quisie a da las g acias a mi amilia, po es a siemp e an ce ca. G acias a ues o apoyo y consejos. No hay día que no os dedique una son isa. G acias a Fe nando, po su apoyo y comp ensión in ini a. Sin i, no hubie a llegado an lejos. G acias po cam- bia me el p isma. Y po úl imo y no menos impo an e g acias a mis amigos po apoya me, po los buenos y malos momen os que hemos pasado y po los que es án po llega . G acias po enseña me an o. Lau a Calzada In an e Se illa, 2016 1 Í NDICE DE F IGURAS Figu a 2.1. Esquema de una DMU 1 Figu a 2.2. Tecnología FDH en un modelo con una en ada y una salida 4 Figu a 2.3. Tecnología VRS y CRS en un modelo con una en ada y una salida 5 Figu a 2.4 Modelo CCR-Inpu con una en ada y una salida 8 Figu a 2.5: Modelo CCR-Inpu con dos en adas y una salida 8 Figu a 2.6 Modelo CCR-Ou pu con una en ada y una salida 11 Figu a 2.7 Modelo CCR-Ou pu con una en ada y dos salidas 11 Figu a 2.8 Modelo BCC-Inpu pa a el caso de una en ada y una salida 12 Figu a 2.9 Compa ación del modelo CCR-Inpu y el modelo BCC-Inpu 13 Figu a 2.10: Modelo FDH con o ien ación de en ada en el caso de un modelo con dos en adas y una salida15 Figu a 2.11 Modelo Adi i o con ecnología VRS, caso de 2 en adas y 1 salida 19 Figu a 2.12: Visualización de los pasos in e medios gene ados po los modelos TEIP y SEIP en un caso con 6 DMUs con una en ada y una salida 21 Figu a 2.13 Iden i icación de los di e en es ni eles de on e a e icien e en un conjun o de da os con dos en adas y una salida cons an e. 23 Figu a 2.14: Obje i os eales p opues os pa a la DMU L que le pe mi en llega a la on e a e icien e. 25 Figu a 2.15: Caminos posibles que puede oma L has a la on e a e icien e, en el juego de da os de los supe me cados 25 Figu a 3.1: Tipos p incipales de edes complejas y sus ans o maciones 28 Figu a 3.2 Gene ación de edes de mundos pequeños 35 Figu a 3.3: Rep esen ación de la a iación de la media de la longi ud geodésica y el clus e ing en unción de la p obabilidad p 35 Figu a 4.1 Dis ibución del PageRank de o ma simpli icada 43 Figu a 5.1 Visualización de la ed de dominancia del juego de da os de CST 50 Figu a 5.2 Subg a o de esquele o en la ed CST 50 Figu a 5.3 Dis ibución de las dis ancias máximas a la on e a e icien e del caso CST 51 Figu a 5.4 Dis ibución de los enlaces del caso CST 51 Figu a 5.5 Visualización del g ado de en ada y de salida en unción de las capas en el caso CST 52 Figu a 5.6 Visualización de la ed de dominancia en el caso Lim 54 Figu a 5.7 Dis ibución de las dis ancias máximas a la on e a e icien e en el caso Lim 55 Figu a 5.8 Subg a o de esquele o en el caso Lim 55 Figu a 5.9 Dis ibución de los enlaces en el caso Lim 56 Índice de Figu as 2 Figu a 5.10 Visualización del g ado de en ada y de salida en unción de las capas en el caso Lim 57 Figu a 5.11 Visualización de la ed de dominancia del juego de da os de Pa k 59 Figu a 5.12 Subg a o de esquele o en el caso Pa k 59 Figu a 5.13 Dis ibución de las dis ancias máximas a la on e a e icien e en el caso Pa k 60 Figu a 5.14 Dis ibución de los enlaces en el caso Pa k 60 Figu a 5.15 Visualización del g ado de en ada y de salida en unción de las capas en el caso Pa k 61 1 1 O BJETIVO l Análisis de Redes Complejas ha enido una g an aplicación en di e en es ciencias. Se basa en la ca ac e- ización de un sis ema, en endiendo como sis ema, a una se ie de en es, llamados nodos, que es á elacio- nados en e sí po enlaces y que simbolizan la in e acción exis en e en e dichos nodos. La ca ac e ización, pe mi e comp ende como unciona la ag upación, analiza su es uc u a pa a de e mina cuáles son los elemen- os más de e minan es en una ed, cuáles son los p incipios que pe mi en a una ed c ece has a con e i se en una ed obus a y e icien e e incluso p edeci cuál se á el u u o de ese sis ema. Po o o lado, la me odología de Análisis po En ol u a de Da os, pe mi e compa a una se ie de unidades, con el in de de e mina la e iciencia ela i a en e dichas unidades, conside ando como e iciencia el cocien e en e p oducción y ecu sos. Los múl iples modelos de p og amación lineal que se han desa ollado pe mi en compa- a odas las unidades en e sí, de e mina cuáles son las unidades no e icien es y cuáles son sus obje i os a segui eniendo en cuen a su amaño. El Análisis po En ol u a de Da os es una he amien a muy u ilizada; sin emba go, es compleja la isualización de sus esul ados cuando se analizan múl iples en adas y/o salidas. Po ello, el obje i o de es e abajo es u iliza las he amien as de ca ac e ización y isualización del Análisis de Redes Complejas, pa a es udia es os esul- ados. Pa a ello se es ablece án como nodos las unidades analizadas, y los enlaces pa i án de aquellas unidades que no son e icien es y señala an a las que son de su mismo amaño y las dominan po se más e icien es que ellas. G acias a es as elaciones de dominancia se ob end á una ed di igida, debido a que los enlaces o a cos ienen una di ección. En el capí ulo 2 se explica án odos los concep os necesa ios del Análisis po En ol u a de Da os y en el capí ulo 3 los del Análisis de Redes Complejas pa a pode desa olla la me odología plan eada en el capí ulo 4. Final- men e en el capí ulo 5 se aplica á la me odología a a ios juegos de da os, as la cual se desa olla án las con- clusiones del p esen e abajo. E “Una imagen ale más que mil palab as” P o e bio chino 1 2 A NÁLISIS P OR E NVOLTURA D E D ATOS n es e apa ado se p e ende explica los p incipales concep os de la me odología conocida como En ol u a de Análisis de Da os, (Da a En elopemen Analysis, DEA). Con el in de desa olla la base que se á necesa ia pa a comp ende la écnica que se desa olla á en es e abajo. El Análisis de En ol u a de da os iene como obje i o de e mina la e iciencia ela i a de las unidades que se es án es udiando. Es e es udio pe mi i ía analiza cuáles son aquellas unidades que ealizan una mejo ges ión de sus ecu sos, y que po ello, se conside an modelos a segui po las unidades de la mues a que poseen un amaño simila . El o igen de es a he amien a no pa amé ica se emon a a 1978, donde Cha nes, Coope y Rhodes publica on (Cha nes e al. 1978), basándose en el concep o de e iciencia desa ollado po Fa ell en 1957. El in de su in es igación e a analiza la e iciencia del p og ama de educación “Follow Th ough” en escuelas públicas de Es ados Unidos. Fa ell plan eaba en (Fa ell 1957) como se pod ía aumen a la p oducción de una emp esa, haciéndola más e icien e sin ene que aumen a sus ecu sos. Desa olló un mé odo que medía la e iciencia écnica de una em- p esa compa ándola con o a hipo é ica que usaba la misma p opo ción de ecu sos y que había sido gene ada a pa i de la media ponde ada de o as dos emp esas exis en es. 2.1 Concep os undamen ales La écnica DEA se puede aplica a cualquie unidad que ealice un p oceso p oduc i o que consuma unos ecu - sos (inpu s o en adas) y ob enga unos esul ados (ou pu s o salidas). Es as unidades homogéneas se denominan Unidades de Decisión (Decision Making Uni s, DMUs), debido a que cada unidad decide cómo ges iona sus ecu sos y es esponsable de su p oduc i idad, al se capaz de modi ica su p oceso p oduc i o. Figu a 2.1. Esquema de una DMU E Las pe sonas debemos el p og eso a los insa is echos. -Aldous Huxley - Análisis Po En ol u a De Da os 2 Como consecuencia de la amplia a iedad de ac o es que a ec an a un sis ema p oduc i o, se deben analiza cuáles son las salidas que se p e enden medi y cuáles son las en adas que se ían de e minan es en el p oceso p oduc i o y que a ec an di ec amen e a esas salidas. A con inuación se mues an las p incipales a iables que se ienen en cuen a en un modelo DEA: o n obse aciones o DMUs con j=1,..,n, con m en adas y s salidas cada una. o x ij : En ada i consumida po la unidad j con i=1,..,m Siendo X la ma iz de en adas de dimensiones nxm o y kj : Salida k co espondien e a la unidad j con k=1,..,s Siendo Y la ma iz de salidas de dimensiones nxs Pa a pode ejecu a un modelo DEA, la elación que debe exis i en e el núme o de DMUs y el núme o de en adas y salidas que se analizan es:  > 3 (  +  ) (2.1) 2.1.1 P oduc i idad y E iciencia Según (Fa ell 1957) se en iende como p oduc i idad la elación en e los esul ados ob enidos y los ecu sos consumidos en el p oceso p oduc i o. De o ma ma emá ica se exp esa ía como el a io en e las unidades p o- ducidas y las unidades consumidas.  =    =   =   (2.2) Es a exp esión ep esen a la e iciencia absolu a, dado que mues a la p opo ción de ecu sos necesa ios eniendo en cuen a únicamen e los da os del p oceso p oduc i o de la unidad que se es á analizando. Sin emba go, una ez escogido los p incipales ac o es que ep esen a ían los esul ados y los ecu sos de los p ocesos p oduc i os, pa a pode ag ega los esul ados po una pa e y los ecu sos po o o, se les debe asigna un peso a cada uno, que ep esen e su impo ancia y pe mi a que el a io sea adimensional. Siendo   y   los pesos co espondien es a cada en ada y salida espec i amen e. La ag egación de las en- adas y las salidas de la unidad j se exp esa ía de la siguien e o ma. En adas = &   '  ( ) * + (2.4)  = &   ,  -  * + (2.5) Sin emba go, esul a in e esan e dispone de un índice que pe mi a e alua la p oduc i idad de una unidad es- pec o de las demás unidades semejan es. Po ello su gió el concep o de e iciencia ela i a, donde se oma como e e encia una unidad homogénea. En es e documen o siemp e que se hable de e iciencia, se e e i á a la e i- ciencia ela i a.     =      . (2.6)  =  /    /   (2.3) 3 3 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia Dependiendo de qué unidad se ome como e e encia se e e i á a di e en es ipos de e iciencia ela i a: o Si se oma como e e encia la unidad con la máxima e iciencia absolu a, se u iliza el concep o de e i- ciencia global. o Se habla de e iciencia écnica si se conside a como e e encia la unidad de amaño simila con la mayo e iciencia absolu a. Se dicen de dos unidades de amaño simila cuando ambas ienen el mismo o den de magni ud. o Se habla de e iciencia de escala cuando se e alúa el a io en e la e iciencia global y la e iciencia écnica de una de e minada unidad. Hay que ene en cuen a que la e iciencia ela i a depende de la o ien ación. Se conside a o ien ación de en ada, cuando el obje i o de la unidad que se es á analizando es disminui el núme o de ecu sos empleados, sin dis- minui la p oducción y se habla de o ien ación de salida si p e ende aumen a los esul ados del p oceso p o- duc i o sin a ia los ecu sos que emplea en él. Po lo an o cuando se analice la e iciencia écnica, si se ob iene un a io de 1, se conside a que la unidad es e icien e y po ello o ma á pa e de la on e a e icien e, que se compone de las unidades más e icien es de la mues a analizada. Las unidades que no engan un adio 1, siemp e se án in e io es a la unidad y se denominan unidades no e icien es. En el caso de la e iciencia de escala, si la unidad analizada iene un a io 1, en onces coincide la e iciencia global con la e iciencia écnica. Po lo que, dicha unidad iene el amaño de escala más p oduc i o (Mos P oduc i e Scale Size, MPSS) G acias a que la unidad de e e encia a a se siemp e una unidad e icien e, el a io de e iciencia absolu a se á igual a la unidad. Po lo que la exp esión de e iciencia se exp esa inalmen e de la siguien e o ma:    = ∑   ,  -  * + ∑   '  1  * + (2.7) 2.1.2 Tecnología El concep o de ecnología hace e e encia al conjun o de p ocesos p oduc i os ecnológicamen e ac ibles que se e alúan en el modelo DEA. Exis en cua o hipó esis que pe mi en de ini la ecnología: 1. En ol u a: Las obse aciones pe enecen al conjun o de posibilidades de p oducción (T) { ( '  , ,  ) ∈ 5 } (2.8) 2. F ee disposabili y o lib e disponibilidad: Lib e pa a desecha o de ocha . Se conside a que una unidad puede usa más ecu sos de los que en e dad necesi a y que puede p oduci menos de lo que puede llega a p oduci . { ( ' , , ) ∈ 5 ∀ ' ≥ ' , , ≤ , } (2.9) 3. Hipó esis de con exidad: Conside a que es ac ible cualquie combinación con exa de las unidades exis en es.  ( ' + , , + ) ∈ 5 & ( ' ; , , ; ) ∈ 5 → = ( ' + , , + ) + ( 1 − = ) ( ' ; , , ; ) ∈ 5 (2.10) 4. Escalabilidad: Se puede escala cualquie p oceso p oduc i o pe enecien e al conjun o de posibilida- des de p oducción.  ( ' + , , + ) ∈ 5 & ( ' ; , , ; ) ∈ 5 → ( =' , =, ) ∈ 5 ∀ = ≥ 0 (2.11) Exis en es ipos de ecnología FDH (F ee Disposabili y Hull), VRS (Va iable Re u n o Scale) y CRS (Cons- an e Re u n o Scale) y cada una cumple una se ie de hipó esis. o La ecnología FDH cumple las hipó esis de en ol u a y lib e disponibilidad Análisis Po En ol u a De Da os 4 o La ecnología VRS cumple las hipó esis de con exidad, en ol u a y lib e disponibilidad o La ecnología CRS cumple las hipó esis de escalabilidad, con exidad, en ol u a y lib e disponibilidad. La ecnología FDH cumple las p opiedades de en ol u a y de lib e disponibilidad, es deci , es á compues a po las unidades obse adas más odos aquellos p ocesos p oduc i os que consumen más ecu sos que los exis en es o consiguen ni eles de p oducción in e io es. Se de ine de con la siguien e exp esión. 5 ABC = D ( ' E , , E ) : ∃ = E ≥ 0 , & =  = 1 ; I  * + = E J ≤ ' K K K E ; = E L ≥ , E ; =  ∈ { 0 , 1 } M (2.12) Las unidades únicamen e se pueden p oyec a sob e una DMU exis en e, debido a que la a iable = es bina ia y el suma o io debe se 1. En la Figu a 2.2 que se mues a a con inuación, se ap ecia la p oyección de una DMU ine icien e sob e una DMU que o ma pa e de la on e a e icien e. Cabe des aca que los segmen os que unen las DMUs e icien es, no o man pa e de la on e a e icien e. Figu a 2.2. Tecnología FDH en un modelo con una en ada y una salida Fuen e: (Fe nández 2015) La ecnología VRS pe mi e la combinación con exa de las unidades exis en es, como se puede isualiza en la Figu a 2.3. Po lo an o odas las unidades ac ibles se encuen an po debajo de la línea con inua. La on e a e icien e en es a compues a po las unidades e icien es y los segmen os que las unen, sin emba go los amos pa alelos a los ejes únicamen e o man pa e de la on e a de p oducción admisible. En es a ecnología se puede ap ecia es ipos de endimien o de escala di e en es: o Re o nos de escala c ecien es (Inc easing Re u n Scale, IRS): se ap ecia cuando el inc emen o po cen- ual de ou pu s es mucho mayo que el inc emen o po cen ual de los inpu s. En la Figu a 2.3 se co es- ponde ía con el amo AB. o Re o nos de escala cons an es (Cons an Re u n Scale, CRS): el inc emen o po cen ual de ou pu s es igual al inc emen o po cen ual de inpu s. Las unidades que se encuen an en es e amo de la on e a poseen el amaño de escala más p oduc i o (MPSS). En la Figu a 2.3 se co esponde ía con los amos BC y CD. o Re o nos de escala dec ecien es (Dec easing Re u n Scale, DRS): el inc emen o po cen ual de ou pu s es mucho meno que el inc emen o po cen ual de los inpu s. 5 5 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia Figu a 2.3. Tecnología VRS y CRS en un modelo con una en ada y una salida Fuen e: (Fe nández 2015) La ecnología VRS, se exp esa ma emá icamen e con la siguien e exp esión: 5 NOP = D ( ' E , , E ) : ∃ = E ≥ 0 , & =  = 1 ; I  * + = E J ≤ ' K K K E ; = E L ≥ , E M (2.13) En la on e a e icien e de la ecnología CRS, se encuen an las unidades con la máxima p oduc i idad posible al u iliza se como e e encia la e iciencia global máxima de las DMUs exis en es. Es a on e a e icien e apa ece ep esen ada con una línea discon inua en la Figu a 2.3. La exp esión ma emá ica que de ine la ecnología CRS es: 5 QOP = { ( ' E , , E ) : ∃ = E ≥ 0 , = E J ≤ ' K K K E ; = E L ≥ , E } (2.14) 2.2 Modelos Exis en múl iples modelos DEA dependiendo de qué aspec os se p e enden en a iza , debido a que depende de ello la e iciencia ela i a. 2.2.1 Modelos de Re o nos de Escala Cons an e A con inuación se p esen an los modelos básicos en los que se conside a como ecnología admisible, la ecno- logía CRS. Po lo que se conside an ac ibles como unidades de e e encias, la unidad con mayo p oduc i idad escalada. Los modelos que se p esen an son: Modelo Ra io, Modelo CCR-Inpu y Modelo CCR-Ou pu , desa- ollados po (Cha nes e al. 1978) 2.2.1.1 Modelo Ra io Calcula la e iciencia ela i a de cada unidad al compa a la con el es o de las unidades que o man pa e de la ecnología. Pa e de la de inición de e iciencia ela i a, debido a su obje i o es maximiza la e iciencia absolu a de la unidad que se es á analizando (J). Es e obje i o equi ale a maximiza la e iciencia ela i a de la unidad J, po que al oma como e e encia la unidad más e icien e el denominado se á cons an e e igual a la unidad. ' ∑  R , R -  * + ∑  R ' R 1  * + (2.15) Análisis Po En ol u a De Da os 12 De es a o ma cada unidad i ual e icien e se si ua á en e dos unidades e icien es obse adas, donde =  indica á el % de simili ud que iene con cada una de ellas. A con inuación se exp esa el Modelo BCC-Inpu en o ma en ol en e, se ap ecia que es simila al Modelo CCR- Inpu , sal o po el hecho de que la on e a es con exa. XY Z R − V [ & ℎ  ] - *+ + & ℎ  ^ 1 *+ _ .. &=  '  =Z R ' R −ℎ ^ I *+ =1,2,.., &=  ,  =, R +ℎ  ] I *+ W=1,2,.., &=  =1 I *+ =  ≥0 ∀T; ℎ ^ ,ℎ  ] ≥0 ∀,W Z R  (2.27) A con inuación en la Figu a 2.8 se mues a la solución de un caso en el que se analizan las unidades p oduc i as con una en ada y una salida. Figu a 2.8 Modelo BCC-Inpu pa a el caso de una en ada y una salida Fuen e: (Villa 2003) Como se puede ap ecia la on e a e icien e es á compues a po es amos en e las unidades A y D. Al igual que en el caso de los modelos de e o nos de escala cons an e las unidades e icien es se p oyec an sob e sí mis- mas, po lo que las únicas p oyecciones que se ap ecian se co esponden a las de las unidades ine icien es. Las unidades F y G, no ienen holgu a po que se p oyec an di ec amen e sob e la on e a e icien e, es e no es el caso de la unidad E, debido a que se p oyec a sob e la on e a admisible. Si compa amos las di e en es soluciones que se ob ienen a la ho a de aplica dos modelos di e en es con la 13 13 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia misma o ien ación, uno con e o no de escala cons an e y el o o con e o no de escala a iable. Se ap ecia como en el CCR-Inpu iene menos unidades e icien es que el modelo BCC-Inpu , como se puede ap ecia en la Figu a 2.9. Figu a 2.9 Compa ación del modelo CCR-Inpu y el modelo BCC-Inpu Fuen e: (Villa 2003) Po o a pa e la e iciencia calculada en el modelo BCC-Inpu se á supe io a la del modelo CCR-Inpu , debido a que la on e a e icien e en es e úl imo se encuen a más alejado de las unidades ine icien es, al compa a se con las unidades de mayo p oduc i idad del p oblema. Muchas unidades que son e icien es, ya sean i uales u obse adas del modelo BCC-Inpu se ían ine icien es pa a el modelo CCR-Inpu s, siemp e que no se encon a an dichas unidades en la pa e de la on e a con el amaño de escala más p oduc i o (MPSS), línea BC. Las unidades que se encuen an en la zona AB, se encuen an en la zona con e o no de escala c ecien e (Inc ea- sing Re u n Scale, IRS) son unidades e icien es pa a las unidades de amaño simila ; sin emba go debe ían in- c emen a sus inpu s si quie en alcanza el amaño de mayo p oduc i idad del p oblema. Lo mismo ocu e con las unidades de la zona CD, son unidades e icien es cuando se compa a an con unidades de amaño simila pe o si quie en alcanza el amaño de mayo p oduc i idad obse ada en el p oblema debe ían educi sus ecu sos, es as unidades ope an con e o nos de escala dec ecien es (Dec easing Re u n Scale, DRS) 2.2.2.2 Modelo BCC-OUTPUT De o ma análoga al modelo BCC-Inpu se cons uye el modelo de Re o no de Escala Va iable con o ien ación de salida, pa iendo del modelo CCR-Ou pu . La exp esión del modelo BCC-Ou pu en o ma en ol en e es: X'Y c R + V [ & ℎ  ] - *+ + & ℎ  ^ 1 *+ _ .. &=  '  =' R −ℎ ^ I *+ =1,2,.., & =  ,  = c R , R + ℎ  ] I  * + W = 1 , 2 , . . ,  (2.28) Análisis Po En ol u a De Da os 14 & =  = 1 I *+ =  ≥0 ∀T; ℎ ^ ,ℎ  ] ≥0 ∀,W c R  Las ap eciaciones ealizadas en el ejemplo del modelo BCC-Inpu y su compa a i a con el modelo CCR-Inpu , se pueden ex apola al modelo BCC-Ou pu , con la sal edad de que la o ien ación, de es e úl imo, es de salida. 2.2.3 Modelos FDH (F ee Disposal Hull) Es os modelos u ilizan la ecnología FDH, se di e encian en la ecnología VRS en que no pe mi en la combina- ción con exa de dos unidades exis en es, únicamen e se conside a la exis encia de las unidades obse adas y de o as unidades i uales que consumen más ecu sos o p oducen menos que es as. La ecnología FDH, como se había is o el apa ado 2.1.2 iene las p opiedades de en ol u a y lib e disponibilidad. A con inuación se p esen an a ios modelos con ecnología FDH: Modelo FDH con o ien ación de en ada, Modelo FDH con o ien ación de salida, Modelo Adi i o, Measu e o Ine iciency P opo ions y Range-Adjus ed Measu e. 2.2.3.1 Modelo FDH con o ien ación de en ada A pa i de un modelo que conside a la ecnología VRS, es sencillo impone la condición de ecnología FDH, ya que la única condición que hab ía que impone es que una unidad ome como e e encia una única unidad e icien e exis en e. Es deci que la a iable =  sea bina ia. La exp esión ma emá ica del Modelo FDH con o ien- ación de en ada es: XY Z R .. &=  '  =Z R ' R −ℎ ^ I *+ =1,2,.., &=  ,  =, R +ℎ  ] I *+ W=1,2,.., &=  =1 I *+ =  ={0,1} ∀T; ℎ ^ ,ℎ  ] ≥0 ∀,W Z R  (2.29) Las holgu as no pa icipan en la unción obje i o, debido a que con la p oyección es adial, una ez que la DMU se p oyec a sob e la on e a admisible u iliza las holgu as pa a p oyec a se sob e la on e a e icien e. Se puede da el caso en el que una unidad se p oyec e di ec amen e sob e la on e a e icien e, en es e caso las holgu as se ían nulas. 15 15 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia Figu a 2.10: Modelo FDH con o ien ación de en ada en el caso de un modelo con dos en adas y una salida Fuen e: (Villa 2003) En la Figu a 2.10, se mues a la solución de un Modelo FDH con o ien ación de en ada en un caso con dos en adas y una salida. Es in e esan e des aca el caso de la unidad ine icien e E, en el que as choca con la on e a e icien e puede oma indis in amen e como unidad de e e encia la unidad C o D. Todas las a iables =  end án alo ce o sal o una que end á alo 1. Al ene a iables bina ias, no se puede esol e po el mé odo simplex; sin emba go se puede u iliza el siguien e algo i mo: Z R ∗ = min  ∈ B ( R ) max  * + , . . , 1 '  ' R h h (2.30) Siendo: i(j)={T.'  ≤' R ,∀;,  ≤, R ,∀W } Es deci , las unidades que dominan a J. 2.2.3.2 Modelo FDH con o ien ación de salida Si se aplican las mismas conside aciones que se han enido en cuen a en el apa ado 2.2.3.1, el modelo que conside a la o ien ación de salida con ecnología FDH iene la siguien e exp esión ma emá ica: X'Y c R .. &=  '  =' R −ℎ ^ I *+ =1,2,.., &=  ,  =c R , R +ℎ  ] I *+ W=1,2,.., &=  =1 I *+ =  ={0,1} ∀T; ℎ ^ ,ℎ  ] ≥0 ∀,W (2.31) Análisis Po En ol u a De Da os 16 c R  Siendo el algo i mo que lo esuel e: c R ∗ = max  ∈ B ( R ) min  * + , . . , k ,  , R h h (2.32) 2.2.3.3 Modelo Adi i o El modelo adi i o ue desa ollado inicialmen e po (Cha nes e al. 1985) y más a de po (Ba dhan e al. 1996) Es e modelo se ca ac e iza po que no iene o ien ación, no dispone de ase adial, únicamen e iene ase ec an- gula como la ase 2 del modelo CCR y BCC. Es e modelo se puede u iliza en ecnología CRS y VRS con las es icciones de la egión admisible que se emplea on en los apa ados 2.2.1 y 2.2.2. A con inuación se exp esa el modelo en o ma en ol en e: X'Y & ℎ  ] - *+ + & ℎ  ^ 1 *+ .. &=  '  =' R −ℎ ^ I *+ =1,2,.., &=  ,  =, R +ℎ  ] I *+ W=1,2,.., &=  =1 I *+ =  = { 0 , 1 } ∀ T ; ℎ  ^ , ℎ  ] ≥ 0 ∀  , W (2.33) El hecho de que no enga o ien ación, pe mi e que la unidad p oduc i a se compa e con más unidades e icien es de la on e a e icien e y ome como e e encia aquella que maximice las holgu as. Una ca ac e ís ica de es e modelo, descubie a po (Ali & Sei o d 1990) que ambién posee el modelo BCC, es que es in a ian e an e las anslaciones, es deci , se puede añadi una cons an e a bi a ia an o a los ecu sos como a las salidas y no a ia án los alo es óp imos del modelo, ni la ecnología, ni la o denación de las unidades analizadas. 2.2.3.4 Measu e o Ine iciency P opo ions En el a ículo (Coope , W. W., Pa k, K. S. Pas o 1999), se desa olló el modelo Measu e o Ine iciency P o- po ions (MIP), es un modelo adi i o, po lo que no iene o ien ación. Es a medida ag ega la p opo ción de las holgu as espec o de la unidad analizada; e in en a encon a aquellas unidades de e e encia que maximice la suma de dichas p opo ciones. Se ige po la siguien e exp esión: X'Y Xl = & ℎ  ^ ' R 1 *+ + & ℎ  ] , R - *+ .. & =  '  = ' R − ℎ  ^ I  * +  = 1 , 2 , . . ,  (2.34) 17 17 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia & =  ,  = , R + ℎ  ] I *+ W = 1 , 2 , . . ,  &=  =1 I *+ =  = { 0 , 1 } ∀ T ; ℎ  ^ , ℎ  ] ≥ 0 ∀  , W 2.2.3.5 Range-Adjus ed Measu e Range-Adjus ed Measu e (RAM) ue desa ollado en (Coope , W. W., Pa k, K. S. Pas o 1999), y al igual que el modelo MIP es un modelo adi i o y no iene o ien ación. Como consecuencia, pe mi e de e mina cuál es la p opo ción de la holgu a espec o de la máxima holgu a que se da en la mues a. Pa a ello de ine dos pa áme os denominados ango que ienen como alo la holgu a máxima de cada a iable.   ^ = max  { '  } − min  { '  }   ] = max  { ,  } − min  { ,   } (2.35) Si se ag egan las p opo ciones de las holgu as espec o de su ango, se ob iene la siguien e exp esión: 0 ≤ 1  +  m & ℎ  ^   ^ 1  * + + & ℎ  ]   ] -  * + n ≤ 1 (2.36) Al ene un alo en e 0 y 1, la medida de e iciencia se calcula es ándole a la unidad la ine iciencia, dejando la siguien e exp esión 0 ≤ 1 − 1  +  m & ℎ  ^   ^ 1  * + + & ℎ  ]   ] -  * + n ≤ 1 (2.37) Po lo an o el modelo se exp esa con la siguien e o mulación: X'Y 1 + m & ℎ  ^  ^ 1 *+ + & ℎ  ]  ] - *+ n .. &=  '  =' R −ℎ ^ I *+ =1,2,.., &=  ,  =, R +ℎ  ] I *+ W=1,2,.., &=  =1 I *+  ^ =max  {'  }−min  o'  p =1,2,..,   ] = max  { ,  } − min  o ,  p W = 1 , 2 , . . ,  (2.38) Análisis Po En ol u a De Da os 18 =  = { 0 , 1 } ∀ T ; ℎ  ^ , ℎ  ] ≥ 0 ∀  , W 2.3 Medidas de e iciencia En (Cha nes e al. 1978) se de ine que la unidad e icien e que se usaba como e e encia se nomb aba con un as e isco (' ∗ ,, ∗ ) pa a odos los ecu sos i y odas las salidas k de esa unidad e icien e, así como odas las a iables que se u ilizaban pa a e e i se a ella. Siendo una unidad e icien e, aquella que no pueda mejo a sus en adas o salidas sin empeo a o as en adas o salidas. La medida que analice la e iciencia de una unidad ine icien e (Γ)a pa i de los esul ados de los modelos an e- io es debe ene las siguien es ca ac e ís icas: A. 0≤Γ≤1 B. Γ= 1⟺iX w   0 ⟺iX x   C. Γ es in a ian e independien emen e de cual sea el óp imo y de las unidades que de inan las a iables de en ada y de salida D. Γes mono onica, siendo una unción mono ónica aquella cuya p ime a de i ada no cam- bia de signo. Measu e E iciency Dominance (MED) ue desa ollada po (Ba dhan e al. 1996) en el que pa ía de las es ic- ciones de la ecnología del modelo adi i o pa a ep esen a la ine iciencia de las unidades p oyec adas, apoyán- dose en la p opiedad de la aslación in a ian e del modelo adi i o. Se gene a la p opo ción ine icien e de la en ada i de la unidad J. & =  '  = '  ∗ = ' R − ℎ  ^ I *+  = 1 , 2 , . . ,  0≤ℎ ^ =' R −' ∗ ≤' R 0 ≤ ℎ ^ ' R = ' R − ' ∗ ' R ≤ 1 (2.39) Y de la misma o ma se gene a la p opo ción ine icien e de la salida k de la unidad J: Es as p opo ciones son adimensionales po lo que se pueden ag ega en la siguien e exp esión, denominada Measu e o Ine iciency Dominance (MID). Au omá icamen e, al ene la medida de ine iciencia alo es en e 0 y 1, al es a le a la unidad se ob iene la llamada Measu e o E iciency Dominance (MED): & =  ,  = ,  ∗ = , R + ℎ  ] I *+ W = 1 , 2 , . . ,  0≤ℎ  ] =, ∗ −, R ≤, ∗ 0 ≤ ℎ  ] ,  ∗ = , ∗ − , R ,  ∗ ≤ 1 (2.40) 0 ≤ ∑ ' R − '  ∗ ' R 1 *+ + ∑ ,  ∗ − , R ,  ∗ - *+  +  ≤ 1 (2.41) 19 19 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia Es a medida se á igual a la unidad cuando no exis an holgu as, es deci cuando la unidad sea e icien e y se á ce o cuando sea ine icien e. 2.4 Secuencia de a ge s in e medios Una DMU ine icien e debe es ablece unos a ge s in e medios an es de llega a la on e a e icien e bien po que la unidad p oyec ada es una unidad i ual, ejecu a a la ez múl iples es a egias que mejo en la e iciencia esul a complejo y po que es complicado alcanza la e iciencia en un solo paso. A con inuación se mues a un ejemplo de la di icul ad de p oyec a se sob e la on e a e icien e en una ecnología VRS en el caso de dos en adas y 1 salida con alo es cons an es. La unidad L iene como obje i o la unidad i ual L`, al no exis i es a unidad es complejo ma e ializa la como obje i o así como alcanza lo en un solo paso. Figu a 2.11 Modelo Adi i o con ecnología VRS, caso de 2 en adas y 1 salida Fuen e: (Lim e al. 2011) Una unidad ine icien e puede es a dominada po o as unidades son ine icien es, po lo an o no odas las uni- dades ine icien es son igual de impo an es. Si una ez analizada la ecnología, se elimina la on e a e icien e las DMUs que o men la nue a on e a e icien e pe enece án a F on e a E icien e de segundo ni el. Si se epi e el p oceso, se ob end á la F on e a E icien e de e ce ni el, así sucesi amen e has a que no queden más DMUs. Es e p oceso ue expues o po (Sei o d & Zhu 2003) y p opo ciona una media ela i a del a ac i o de una DMU y su p og eso hacia la on e a e icien e. 2.4.1 Technical E iciency Imp o emen P og am y Scale E iciency Imp o emen P og am Las unidades in e medias se con ie en en obje i os especí icos que pueden moni o iza y medi el g ado de mejo a de la unidad analizada. Po o a pa e aquellas unidades que son e icien es écnicamen e, deben in en a alcanza la e iciencia global y si ua se en la zona de máxima p oduc i idad (Mos P oduc i e Scale Size). (Lozano & Villa 2010) de inie on dos modelos basados en el modelo MIP pa a ecnología VRS. El p ime o 0 ≤ 1 − ∑ ' R − '  ∗ ' R 1 *+ + ∑ ,  ∗ − , R ,  ∗ - *+  +  ≤ 1 (2.42) Análisis Po En ol u a De Da os 20 de e minaba las unidades in e medias que no pe enecían a la on e a e icien e como Technical E iciency Im- p o emen P og am (TEIP) y ma caban el camino a la on e a e icien e, mien as que el segundo, llamado Scale E iciency Imp o emen P og am (SEIP), enía como obje i o de e mina los pasos in e medios pa a que una unidad écnicamen e e icien e alcanza a la zona MPSS. El modelo TEIP impone unos lími es de mejo a que gene an unas unidades i uales que ma can el camino hacia la on e a e icien e. Pa a ello el deciso de e mina las siguien es a iables: o ‰ . ^ Máximo educción ela i a del ecu so i pa a la unidad 0 o Š . ] Máximo aumen o ela i o de la salidas k pa a la unidad 0 El modelo que desa olla on, en el que se analiza el obje i o pa a la unidad DMU0 en el paso es el siguien e: X' Y ‹ .Œ = & ℎ Œ ^ ' R 1 *+ + & ℎ Œ ] , R - *+ .. &=  '  =' R Œ^+ −ℎ Œ ^ I *+ =1,2,.., &=  ,  =, R Œ^+ +ℎ Œ ] I *+ W=1,2,.., &=  =1 I *+ ℎ Œ ^ ≤‰ . ^ ' R Œ^+ =1,2,.., ℎ Œ ] ≤Š . ] , R Œ^+ W=1,2,.., = Œ > 0 ∀ T ; ℎ  ^ , ℎ  ] ≥ 0 ∀  , W (2.43) Siendo: o  el índice de los a ge s in e medios o ‹ .Œ Inc emen o de la e iciencia écnica en el paso La solución óp ima que gene a el modelo pa a el paso pa a la unidad 0 ' . Œ =&=  '  =' R Œ^+ −(ℎ Œ ^ ) ∗ I *+ , . Œ =&=  ,  =, R Œ^+ +(ℎ Œ ] ) ∗ I *+ El modelo SEIP gene ado pa a que las unidades e icien es ob engan la e iciencia global, no debe p esen a la es icción de con exidad de la ecnología VRS, pa a u iliza la ecnología CRS. La siguien e exp esión, de e - mina el modelo con paso de la unidad 0 has a la unidad con e iciencia global 0’. XY = . Œ .. = .Œ ' . += .•Œ ' .• =' . Œ^+ +ℎ Œ ] +ℎ Œ ^ = . Œ ,  . + = .• Œ ,  .• = ,  . Œ ^ + + ℎ Œ ] + ℎ Œ ^ (2.44) 21 21 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia = . Œ + = . • Œ = 1 ℎ Œ ] ≤ ‰ . ] ' . Œ^+  = 1 , 2 , . . ,  ℎ Œ ^ ≤ ‰ . ] ' . Œ^+ =1,2,.., ℎ Œ ] ≤Š . ] , . Œ^+ W=1,2,.., ℎ Œ ^ ≤Š . ] , . Œ^+ W=1,2,.., = . Œ , = .• Œ , ℎ Œ ] , ℎ Œ ^ , ℎ Œ ] , ℎ Œ ^ ≥ 0 ∀  , W La unidad que se p e ende alcanza 0’ se ha de e minado a a és del modelo CRS MIP y pe mi e de e mina que unidades pe enecen a la zona MPSS así como qué unidades de dicha zona se con ie en en los obje i os de las unidades e icien es que no ienen e iciencia global. En la Figu a 2.12 se mues a el análisis de 6 DMUs con una en ada y una salida, en una ecnología VRS y los pasos que debe ían segui las unidades e icien es E y F has a la on e a e icien e con el modelo TEIP, así como los pasos que debe ían da las unidades e icien es A, D y la unidad E cuando llega a la on e a e icien e, pa a alcanza la e iciencia global. Figu a 2.12: Visualización de los pasos in e medios gene ados po los modelos TEIP y SEIP en un caso con 6 DMUs con una en ada y una salida Fuen e: (Lozano & Villa 2010) 2.4.2 Selección de a ge s in e medios En el a ículo (Lim e al. 2011) se buscan aquellas unidades in e medias que pe mi an diseña un camino hacia la on e a e icien e pa a odas las unidades que no pe enecen a ella. Se án a ge s in e medios aquellas unidades que engan más a ac i o pa a la unidad analizada, que no se encuen en muy alejadas y sean ac ibles pa a dicha unidad. La selección de la unidad obje i o se basa en es c i e ios que se ponde an con unos pesos (• + ,• ; ,• ‘ ) esco- gidos po el deciso : ’ ℎ  W  ∗ = a g max {  k = • + “ k ∗ − • ;  k ∗ − • ‘ ” k : / ∈  Œ ^ + } (2.45) Siendo: o  • la on e a e icien e del ni el l ∈[1,—] o T∈”(j • ) el conjun o de iX  ∈j • , donde j •]+ =j • − • . j + es á o mado po odas las unidades obse adas en el p oblema Análisis de Redes Complejas 28 o Ma iz de adyaciencia, es una ma iz nxn, siendo n el núme o de nodos, en las que el elemen o ij es igual a la unidad si exis e un a co que con o igen en i y des ino en j. Es a ma iz se á simé ica si se a a de una ed no di igida. o Ma iz de incidencia pa a g a os no di igidos, es una ma iz nxm, siendo m el núme o de a cos, en la que el elemen o ij es igual a 1 si el é ice i es uno de los dos ex emos del a co j. o Ma iz de incidencia pa a g a os di igidos, es una ma iz nxm en la que el elemen o ij es igual a 1 si el é ice i es des ino del a co j, o se á igual a -1 si el é ice i es el o igen del a co j. o Ma iz de incidencia pa a g a os bipa i os, es una ma iz n 1 xn 2 , siendo n 1 el núme o de nodos de ipo 1 y n 2 el núme o de nodos de ipo 2, en la que el elemen o ij es igual a 1 si exis e un enlace en e el nodo i es un nodo de ipo 1 y el nodo j que es un nodo de ipo 2. Es as ma ices ambién se usan pa a de ini las edes con pesos, la única di e encia es que sus elemen os no son iguales a la unidad, sino al peso del a co que se es á conside ando. Como consecuencia, una ed sin pesos es equi alen e a una ed con pesos iguales a la unidad. Una ez se dispone de una ed di igida con pesos, se puede con e i en una ed no di igida si se aplica la he amien a de sime ía, según (Cos a e al. 2007) la ma iz que se gene a pa e de la suma de la ma iz de adyaciencia o iginal y su aspues a. También se puede con e i en una ed sin pesos conside ando que exis en odos los a cos de la ed o iginal cuyo peso supe e un cie o umb al. Figu a 3.1: Tipos p incipales de edes complejas y sus ans o maciones Fuen e: (Cos a e al. 2007) A con inuación se mues an los concep os de paseo, camino, sende o, ciclo y componen es con el in de mos a los di e en es ipos de conjun os exis en es en una ed según el c i e io de ag upación. Una sucesión de nodos conec ados en e sí cons i uyen un paseo, mien as que en un paseo si ninguno de los nodos se ha eco ido más de una ez se denomina camino. La longi ud de un camino iene de e minada po la suma de los pesos de los a cos que componen el camino, siendo el camino más co o en e un pa de nodos el camino geodésico. Un paseo en el que ningún a co se eco e más de una ez se denomina un sende o, mien as que un sende o ce ado, es deci que se inicia y inaliza en el mismo nodo, se denomina ciclo. Como consecuencia, una ed acíclica es una ed que no iene ciclos. Po o a pa e, el a co que iene como o igen y des ino el mismo nodo se denomina loop. 29 29 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia Den o de una ed se de ine como componen e, al mayo subg a o conec ado. De o ma que odos é ices pe - enecen a una única componen e, po lo que dos é ices conec ados en e sí pe enecen a la misma componen e. En el caso de los é ices aislados, cada é ice o ma una única componen e. La componen e con el mayo núme o de nodos se denomina, componen e gigan e. Ma emá icamen e se de ine con la siguien e exp esión: ( ® • , “ • ) : D ® • ⊆ ® ∧ “ ′ ⊆ “  ∈ ® • ∧ T ∈ ® • ⟹ T  á       é   “ ′  ∈ ® • ∧ (  , T ) ∈ “ ⟹ T ∈ ® ′ (  , T ) ∈ “ ′ (3.1) En el caso de una ed di igida exis en dos ipos de componen es: las componen es débilmen e conec adas que no ienen en cuen a el sen ido de los a cos y se calculan como si la ed uese no di igida y las componen es ue emen e conec adas que ienen en cuen a el sen ido de los a cos, po lo que den o de una componen e exis e un camino en e cada pa de nodos del subg a o. Den o de una ed di igida se conside a la componen e de salida de un nodo, como el conjun o de nodos que pueden se alcanzados po él, mien as que la componen e de en ada de un nodo es el conjun o de nodos que pueden alcanza lo. 3.2 Ca ac e ización de las edes An es de de ini los modelos básicos de edes es necesa io conoce algunas mé icas que pe mi an ca ac e iza - las. La nomencla u a que se u iliza á en las o mulaciones son: ⋅  : Núme o de nodos en una ed ⋅  Núme o de a cos en una ed ⋅ “: Ma iz de adyaciencia que de ine la ed con elemen os bina ios ⋅ ´: Ma iz de adyaciencia que de ine los pesos de los a cos de la ed ⋅   : Camino geodésico en e el nodo i y el nodo j A con inuación se de inen las mé icas básicas que ca ac e izan una ed: o Densidad: Mues a el a io en e el núme o de enlaces exis en es en una ed y el núme o posible de enlaces. En una ed no di igida el núme o de posibles enlaces exis en es en una ed es la mi ad que en una ed di igida pa a el mismo núme o de nodos. Tabla 3.1. Densidad Red no di igida Red di igida µ =   (  − 1 ) / 2 µ =   (  − 1 ) o G ado del nodo i: Exis en a ios ipos de g ado, en caso de las edes no di igidas se habla de g ado (W  ) al núme o de nodos que es án conec ados con el nodo i. En el caso de las edes di igidas se habla de g ado de en ada (W I ) al núme o de a cos que ienen como des ino el nodo i, mien as que el g ado de salida (W x·Œ ) es el núme o de a cos que Análisis de Redes Complejas 30 ienen como o igen el nodo i. El g ado o al ep esen a el núme o de conexiones que iene el g ado i y se calcula como la suma del g ado de en ada y el g ado de salida. Tabla 3.2. G ado Red no di igida Red di igida W  =&“   W  I = & “   W x·Œ =&“   W  = W  x·Œ + W  I o Fue za del nodo i (  ). En el caso de las edes no di igidas ep esen a la longi ud o al de los a cos que conec an al nodo i con la ed. Si se conside a el caso de las edes di igidas, se hace la misma dis inción que se ha ealizado en la mé ica del g ado. El suma o io de las longi udes de los a cos que ienen como o igen el nodo i es el g ado de en ada ( I ), mien as que el g ado de salida ( x·Œ ) es el suma o io de las longi udes de los a cos que llegan al nodo i. Siendo el suma o io de ambos la ue za o al del nodo i (  ). Tabla 3.3. Fue za Red no di igida Red di igida   =&´     I = & ´    x·Œ =&´     =   x·Œ +   I o Camino medio: De e mina la longi ud media de los caminos más co os en e cualquie pa de nodos. En caso de que se conside e que la ma iz en e dos nodos que no es án conec ados es ∞, se debe conside a únicamen e en la siguien e o mulación los caminos en e los nodos que sí es án conec ados. Tabla 3.4. Camino medio Red no di igida Red di igida 〈  〉 = ∑    »   (  − 1 ) 〈  〉 = ∑    »   (  − 1 ) / 2 o Diáme o El diáme o ep esen a la máxima dis ancia geodésica que se obse a en oda la ed pa a cada pa de nodos. Al igual que en el cálculo del camino medio, si se conside a que la dis ancia en e dos nodos conec ados es ∞, sólo se conside a án los caminos en e nodos que sí es án conec ados. 31 31 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia Tabla 3.5. Diáme o Red no di igida Red di igida i = max  ¼    i = max  »    o E iciencia: Es a medida de e mina que la e iciencia con la que manda in o mación el nodo i al nodo j es in e samen e p opo cional a la dis ancia que hay en e ellos Tabla 3.6. E iciencia Red no di igida Red di igida ½ = ∑    »   (  − 1 ) ½ = ∑     »   (  − 1 ) / 2 Es a mé ica se co esponde con la in e sa de la media a mónica. o Coe icien e de clus e ing del nodo i: Es una mé ica que pe mi e analiza si los nodos ecinos del nodo i es án conec ados en e sí, dependiendo del ipo de ed que se es é analizando en la li e a u a exis en múl iples a iaciones como se puede e en (Sa amäki e al. 2007), en es e apa ado se an a desa olla los coe icien es de clus e ing ecogidos po (Fagiolo 2007). Tabla 3.7. Coe icien e de Clus e ing ed sin pesos Red no di igida Red di igida ¾  = 1 2 ∑ ∑     ¿   ¿ ¿ » (  ,  )  »  1 2W  (W  −1) = ( “ ‘ )  W  ( W  − 1 ) ¾  = 1 2 ∑ ∑ a   +   b (   ¿ +  ¿  ) (   ¿ +  ¿  ) ¿  W ŒxŒ aW ŒxŒ −1b−2 ↔ = = ( “ + “ Á )  ‘ 2 [ W  ŒxŒ a W  ŒxŒ − 1 b − 2   ↔ ] Siendo: ⋅ (“ ‘ )  el elemen o de la diagonal i en la ma iz “ ‘ ⋅ “ Á la aspues a de la ma iz “ ⋅ + ; W  (W  −1) el núme o de posibles iángulos que pueden exis i como máximo ⋅  ↔ el núme o de enlaces que son bidi eccionales (hay que ene los en cuen a pa a elimina los al- sos iángulos que se ob end ían en caso de no conside a los. El nodo i iene la posibilidad de o ma dos iángulos con cada pa eja de ecinos, eniendo como mucho  ÂÃÄà a ÂÃÄà ^+b ; pa ejas con las que gene a un iángulo. Los alsos iángulos se gene an po la pa eja de enlaces que gene an el enlace bidi eccional, po esa azón se eliminan 2 posibles iángulos po enlace bidi eccional. En el caso de que se conside en que los enlaces de la ed engan pesos, con el in de de e mina cuál es el peso de cada ecindad, basándose en el concep o de in ensidad de subg a o, de inido como la media geomé ica de los pesos de los enlaces del subg a o. Análisis de Redes Complejas 32 Tabla 3.8. Coe icien e de Clus e ing ed con pesos Red no di igida Red di igida ¾  = 1 2 ∑ ∑ • Å  + ‘ Æ • Å  + ‘ Æ • Å  ¿ + ‘ Æ ¿ » (  ,  )  »  1 2 W  ( W  − 1 ) = ´ Ç + ‘ Æ ¡  ‘ W  ( W  − 1 ) ¾  = ´ Ç + ‘ Æ + ( ´ Ç Á ) + ‘ Æ ¡  ‘ 2 [ W  ŒxŒ a W  ŒxŒ − 1 b − 2   ↔ ] Siendo ⋅ •Å la ma iz • no malizada, •  ∈[0,1] ⋅ •Å +‘ Æ la ma iz •Å a cuyos elemen os se les ha aplicado la cúbica. o T ansi i idad: Una o ma de analiza los ciclos de g ado 3 de o ma global es a a és del a io en e núme o de núme o de iángulos exis en es (ciclos compues os po es a cos) y el núme o de iple as, siendo una iple a un conjun o o mado po dos a cos que conec an al mismo nodo. Tabla 3.9. T ansi i idad Red no di igida Red di igida 5 = 3 ⋅ ∑ “  “  “   ¼  ¼  ∑ ( “  “  + “  “  + “  “  )  ¼  ¼  5 = ∑ “  “  “   »  »  ∑ “  “   »  »  o Cen alidad: La posición de un nodo espec o de los demás nodos de la ed, esul a de e minan e pa a el con ol de la in o - mación y dependiendo del pun o de is a con que se mi e, un nodo se á más cen al que o o. A con inuación se mues an algunos de los más ele an es:  Cen alidad según el g ado: Se conside a que un nodo es cen al cuan as más conexiones enga, po que es capaz de ecibi y ansmi i in o mación ácilmen e. Sin emba go no se iene en cuen a como son los nodos a los que es á conec ado. Tabla 3.10. Cen alidad según el g ado Red no di igida Red di igida i ¾  = W   − 1 i ¾  = W  I + W  x·Œ  − 1 = W   − 1  Cen alidad eigen ec o : A di e encia de la cen alidad según el g ado iene en cuen a con quién es á conec ado el nodo, cuan o más impo an e sean sus conexiones, más impo an e se á. De o ma ma e- má ica la cen alidad del nodo i se exp esa ía de la siguien e o ma: '  = + É ∑“  '  , siendo = el au o- alo máximo de “.  Cen alidad de in e mediación: De e mina con qué ecuencia se encuen a un nodo en el camino más co o en e cada pa de nodos. Siendo Ê(T,/) el núme o de caminos más co os en e j y p y Ê(T,/|) el núme o de caminos más co os en e j y p que pasan po . 33 33 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia Tabla 3.11. Cen alidad de in e mediación Red no di igida Red di igida Š © = 1 (  − 1 ) (  − 2 ) & Ê ( T , / |  ) Ê ( T , / )  ¼ k  » © » k Š © = 2 (  − 1 ) (  − 2 ) & Ê ( T , / |  ) Ê ( T , / )  » k  » © » k o Vulne abilidad An e la desapa ición de un nodo, no odas las edes se compo an de la misma o ma, en unas la desapa ición de unos pocos nodos puede supone la desconexión de la ed, mien as que o as son más obus as. Po o a pa e, algunas edes p esen an p opiedades je á quicas, es deci los nodos más c uciales se encuen an en las posiciones de la je a quía más ele adas. Con el in de de e mina que nodos son más c í icos se de ine en (Gol’dsh ein e al. 2004) como la ulne abilidad de un nodo i al a io que de e mina la pé dida de e iciencia de la ed cuando desapa ece el nodo i y los enlaces que lo conec an. ®  =  −  ^   (3.2) Siendo la dis ibución máxima de odos los é ices, la ulne abilidad de la ed. Po o a pa e, la dis ibución de la ulne abilidad de e mina si una es uc u a es je á quica, si odos los é ices ienen la misma ulne abilidad es amos an e una es uc u a no je á quica. Además Gol’dsh ein a i ma que exis e una elación en e las es uc- u as simé icas y las es uc u as je á quicas; sin emba go no es di ec a. o Aso a i idad: Una ed es aso a i a si se p oduce un mayo núme o de conexiones en e nodos del mismo ipo, en las edes sociales al hecho de que dos pe sonas con ca ac e ís icas a ines ( eligión, educación….) se le denomina homo- ilia. Pa a ello se gene a una ma iz  en la que cada elemen o ( -Œ ) ep esen a el núme o de a cos que conec an los é ices de ipo  con é ices del ipo . Ê =  ‖  ‖ (3.3) Siendo ‖‖ la suma de los elemen os de la ma iz , po lo que Ê es la ma iz  no malizada. Po lo que la p obabilidad de que un é ice  enga como ecino un é ice , se ige po la siguien e exp esión.  (  |  ) = ê -Œ ∑ ê -·· &  (  |  ) Œ = 1 (3.4) De o ma que la aso a i idad se de ine con el siguien e a io, si se quie e da el mismo peso a cada g upo, siendo Î Œ el núme o de g upos exis en es en la ed. 0 ≤ ℚ Ç = ∑  (  |  ) − 1 - Î Œ − 1 ≤ 1 (3.5) Siendo ℚ Ç=1 en caso de edes comple amen e aso a i as y ℚ Ç=0 en el caso de edes alea o ias. Sin emba go, si el amaño de los g upos es signi ica i o, se u iliza la siguien e exp esión, que asigna el mismo peso a odos los nodos. Análisis de Redes Complejas 34 0 ≤ ℚ = 5Y (  ) − ‖  ; ‖ 1 − ‖  ; ‖ ≤ 1 (3.6) Siendo ℚ=1 en el caso de se una ed aso a i a y ℚ=0 en caso de se una ed alea o ia. 3.3 Modelos de edes Con el in de es udia las p opiedades opológicas de las edes eales se han gene ados múl iples modelos; sin emba go en es e apa ado se an a p esen a los más básicos e lejados en (Newman 2003). 3.3.1 Redes alea o ias Las edes alea o ias son el modelo más básico de las edes complejas, ue o mulada en (E dös & Rényi 1959), donde de inen una ed a a és n é ices desconec ados que se an conec ando con m enlaces que se añaden e i ando los loops. O os modelos conside an que se pa en de n é ices no conec ados en e los que se gene a un enlace en e cada pa de nodos con una p obabilidad p. Es e úl imo se conoce como el modelo de E dös- Rényi (ER) y sus enlaces se gene an según dis ibución binomial ’( I(I^+) ; ,/), de o ma que la dis ibución del g ado de los nodos sigue una binomial ’(−1,/). Sin emba go, cuando el núme o de nodos iende a ∞ los enlaces se dis ibuyen según una Poisson de media 〈W〉=/(−1). En unción de la p obabilidad que se emplee la ed es a á más o menos conec ada. Si /=1/ el g ado medio es 1 gene ándose una g an componen e, si la p obabilidad es mucho más in e io se ob iene una ed con muchos nodos aislados. Si /=ln()/, en onces el g ado medio de la ed es 〈W〉≈ln () desa ollando una ed com- ple amen e conec ada. Como ca ac e ís icas p incipales de la ed, cabe deci que la aso a i idad es nula y al igual que el g ado medio, el camino medio y el clus e ing medio dependen de la p obabilidad con la que se gene an los a cos, igiéndose po la siguien e exp esión. 〈  〉 ≈ log (  ) log ( W ) /  → ∞ ¾¾ ≅ / = 〈 W 〉  − 1 ,   /  → ∞ (3.7) 3.3.2 Redes de mundo pequeño Muchas de las edes eales es udiadas p esen an una media de caminos geodésicos baja, el hecho de que un nodo pueda alcanza o o a a és de un núme o pequeño de a cos ue descubie o po Milg am en 1967 que a i mo que los ciudadanos de EEUU es aban conec ados de media po 6 conocidos. También se ha obse ado que es as edes ienen un núme o ele ado de ciclos compues os po es a cos, es deci ienen un al o clus e ing. En el a ículo (Wa s & S oga z 1998), se de inie on las edes de mundo pequeño con el in de gene a una ed que pudie a ep esen a las p opiedades desc i as an e io men e, sin emba go has a 1998 se analizaban edes o comple amen e alea o ias o comple amen e egula es, siendo es as úl imas aquellas cuyos nodos ienen el mismo g ado cuyo alo es mucho más pequeño que el núme o de nodos de la ed. Las edes alea o ias ienen la media de los caminos geodésicos pequeña pe o no ienen un ele ado clus e ing, mien as que las edes egula es p e- sen an un al o clus e ing y una media de caminos geodésicos ele ada. Pa a gene a es as edes, pa ían de un en amado egula con  é ices, donde cada é ice es aba conec ado con sus W ecinos más ce canos en cada di ección, con abilizando un g ado o al de alo 2W, siendo Î≫W≫ log(Î)≫1. Cada enlace de la ed e a eo denado con una p obabilidad /, de o ma que si /=0 no se p oducía ninguna eo denación y si /=1 se gene aba una ed alea o ia. 35 35 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia Figu a 3.2 Gene ación de edes de mundos pequeños Fuen e: (Wa s & S oga z 1998) En la siguien e igu a se mues a como se p oduce la a iación de las mé icas de la media de la dis ancia geo- désica y el clus e ing al ep esen a el a io en e una ed que ha su ido una eo denación de sus enlaces con una p obabilidad / y una ed que no ha su ido ninguna eo denación. Figu a 3.3: Rep esen ación de la a iación de la media de la longi ud geodésica y el clus e ing en unción de la p obabilidad p Fuen e: (Wa s & S oga z 1998) 3.3.3 Modelos de con igu ación Una o ma de es udia las edes eales es compa ando sus ca ac e ís icas con las de edes alea o ias simila es, buscando que engan el mismo g ado de dis ibución. El mé odo más común es gene a el núme o de nodos con el g ado deseado pa a ob ene la dis ibución del g ado deseada. Pa a gene a ese g ado se u ilizan unos ipos de enlaces, llamados s ubs que no unen al nodo que es án asociados con ningún o o. Alea o iamen e, se seleccionan un pa de s ubs y se unen pa a o ma un enlace. O a o ma pa a gene a una ed alea o ia di igida, es pa iendo de la ed eal y seleccionando un pa de enlaces que in e cambian los nodos que conec an. Sin emba go, cuando se gene a una ed alea o ia no di igida se coge un a co y se cambia uno de los ex emos con o o. 3.3.4 Modelo lib e de escala Como ca ac e ís ica común en muchas de las edes eales con un g an núme o de nodos, se obse a que la dis ibución del g ado de los nodos sigue una dis ibución de leyes de po encia (W)~W ^Ô . Es a dis ibución mues a que un g an núme o de nodos iene pocos enlaces, mien as que un pequeño núme o de nodos ienen un g an núme o de enlaces que ac úan como hubs. A es as edes se las denomina edes lib e de escala. Análisis de Redes Complejas 36 En el a ículo (Ba abási & Albe 1999), se a i ma que es e compo amien o se debe a dos ca ac e ís icas: el c ecimien o con inuo de la ed con nue os é ices y que los nue os é ices ienden a conec a se con nodos que ya es án bien conec ados. Con es as dos ca ac e ís icas se gene ó el modelo de ed de Ba abasi-Albe . Pa a ob ene es a ed se pa e de un conjun o de  . é ices y a cada paso se gene a un nue o é ice con m enlaces que le conec an con los é ices exis en es según una p obabilidad p opo cional al g ado que engan. Como po ejemplo (→T)=  Õ ∑ ÖÖ . Siguiendo es a egla conocida como “p e e en ial a achmen ” se obse a el pa a- digma que aquellos nodos que es án más conec ados consiguen más conexiones y po ello ienen más p obabi- lidad de consegui más. A es e pa adigma se le denomina “ ich ge iche ”. 37 4 M ETODOLOGÍA DE ANÁLISIS DE REDES DE DOMINANCIA l análisis de edes complejas o ece una he amien a muy e sá il pa a analiza un sis ema. En es e abajo se p e ende implemen a es a he amien a pa a analiza los esul ados ob enidos con el análisis de en ol- u a de da os. Se pod án implemen a di e en es índices y il os p opios de la écnica de análisis de edes y desa olla o os nue os. Pa a ello se gene a á una ed o mada po las DMUs que es a án elacionadas en e sí según la e iciencia ela i a exis en e en e ellas. Es a ed pe mi i á comp ende las elaciones en e las unidades 4.1 Técnicas que emplean el Análisis de Redes Complejas y Análisis de En ol u a de Da os En la li e a u a se pueden encon a es udios que u ilizan an o el Análisis de Redes Complejas, como el Análisis de En ol u a de Da os, desa ollando no edosos pun os de is a que pe mi en amplia la o ma de e los con- cep os den o de sus p opias disciplinas. A con inuación se exponen di e en es écnicas que emplean ambas écnicas. 4.1.1 Análisis de edes de colabo ación En el a ículo (Lee e al. 2012), se ealiza un es udio ace ca de las Ins i uciones de In es igación Públicas (Public Resea ch Ins i u ions, PRI) en Co ea en el ámbi o de la ciencia y la ingenie ía. Su obje i o es de e mina cuál es el impac o de las es uc u as de colabo ación en e las di e en es ins i uciones, en la p oducción de dichas ins i- uciones. Pa a ello ealizan una co elación en e las edes de colabo ación y la p oduc i idad en e los años 2000 y 2010 Pa a iden i ica las coope aciones en e ins i uciones se basan en la au o ía de los a ículos cien í icos que publi- caban y es aban egis ados en Scopus. Con es os da os gene an la ed con el in de analiza la posición de cada ins i ución espec o a las demás. Con las he amien as de CNA, como la densidad, la e iciencia y el coe icien e de in e mediación, de e minan como se compo a la ed desde el pun o de is a es uc u al. A mayo densidad, la in o mación se ansmi e mejo ; a mayo e iciencia la in o mación se ansmi e a muchas ins i uciones con un núme o limi ado de enlaces y a mayo coe icien e de in e mediación, mayo con ol iene una ins i ución sob e la in o mación que posee. Po o a pa e, analizan como son las elaciones a a és del eigen ec o y la cen ali- dad po ce canía. A mayo eigen ec o , mayo capacidad de coo dinación en e las ins i uciones y a mayo la E “Sabe dónde encon a la in o mación y cómo usa la, és e es el sec e o del éxi o.” Albe Eins ein Me odología de análisis de edes de dominancia 44 conec ados en e sí, mien as que con una p obabilidad de 0.15 se elige un des ino alea o iamen e. La mul iplicación del pa én esis se debe a que la media del PageRank en caso de no mul iplica lo es 1/. De o ma que según la ó mula p opues a odos los nodos que engan un >1 es a án po encima de la media. 4.2.2.2 Medidas a ni el de capa o Po cen aje de nodos de la componen e c que se encuen a en la capa q: Se de ine como el a io en e los nodos que pe enecen a la capa q den o de la componen e c ù— ãê ùy los nodos que pe enecen a la componen e c |i ã | ü ãê = ù — ãê ù | i ã | (4.23) o G ado medio de en ada de los nodos que pe enecen a la capa q de la componen e c:  ãê ÝÞß © Âý = 1 ù — ãê ù &  © I © ∈ þ è (4.24) o G ado medio de salida de los nodos que pe enecen a la capa q de la componen e c:  ãê ÝÞß © ÄÖà = 1 ù — ãê ù &  © x·Œ © ∈ þ è (4.25) o Dis ancia mínima y máxima de la capa a la on e a e icien e: Con el in de es ablece un ango en el cual se encuen a la dis ancia en e la capa q y la on e a e icien e, se de e minan los angos de dis ancia máxima y mínima. Fo mulándose espec i amen e Z ãê 1Ýë ∈ £ min ©∈þ è  © 1Ýë , max ©∈þ è  © 1 Ýë ¤ ì ãê 1I ∈ § min © ∈ þ è ì © 1Ýë , max © ∈ þ è ì © 1I « (4.26) 4.2.2.3 Medidas a ni el de compon e o Po cen aje de nodos que se encuen an en la componen e c Mues a a io de los nodos de la ed que pe enece a la componen e c ‰ ã = | i ã | | i | (4.27) o Po cen aje de enlaces que se encuen a en la componen e c De e mina el núme o de enlaces que pe enecen a la componen e c, siendo Î ã el núme o de enlaces que se encuen an en la componen e c y Î el núme o de enlaces exis en es en la ed. ‰  ã = | Î ã | | Î | (4.28) Resul a signi ica i o cuando la ed es á compues o po una componen e gigan e y a ias componen es compues- as únicamen e po un nodo aislado, po que en ese caso el a io se á igual a la unidad en el caso de la componen e gigan e. o Po cen aje de nodos e icien es de la componen e c 45 45 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia El obje i o de es e índice es calcula el a io que mues e, de los nodos e icien es cuán os pe enecen a la com- ponen e c.  ã = | i ã ∗ | | i ∗ | (4.29) o Po cen aje de nodos e icien es en la componen e c Es e índice busca calcula den o de una componen e, cuán os nodos son e icien es.  ã  = | i ã ∗ | | i ã | (4.30) o La media del g ado de los nodos pe enecien es a la componen e c Al analiza se odos los nodos de la componen e, a la ho a de calcula la media esul a indi e en e usa el g ado de en ada o el g ado de salida.  ã ÝÞß© = 1 | i ã | &  © I = © ∈ B è 1 | i ã | &  © x·Œ © ∈ B è (4.31) o Densidad de la componen e c Como se explicó en el apa ado 3.2 la densidad se de ine como el núme o de enlaces en e el núme o de posibles enlaces µ ã = D 1  | i ã | = 1  ( | i ã | − 1 ) | i ã | =  ãÝÞß© | i ã | − 1  | i ã | > 1 (4.32) o Diáme o de la componen e c Calcula cuál es la longi ud máxima de un nodo ine icien e a la on e a e icien e. G acias a las p opiedades de ansi i idad y adi i idad el a co ij iene como longi ud la dis ancia del camino geodésicos en e i y j. Δ  = max © ,  ∈ B è  © (4.33) o Dis ancia media de la componen e c a la on e a e icien e Z ã ÝÞß© = 1 | i ã | &  © 1Ýë © ∈ B è (4.34) o Mínima e iciencia de mejo a o al de la componen e c De e mina cuál es la dis ancia mínima que debe ía eco e los nodos ine icien es de la componen e c en o al pa a pode alcanza la on e a e icien e. ì ã = & ì © 1I © ∈ B è B è ∗ (4.35) 4.2.2.4 Medidas a ni el de ed En el caso de que la ed es é compues a po una componen e gigan e y nodos aislados algunos índices que se de allan a con inuación end án el mismo alo que sus homólogos en los índices de las componen es. o Po cen aje de nodos e icien es Me odología de análisis de edes de dominancia 46   = | i ∗ | | i | (4.36) o Diáme o de la ed Δ = max © ,  ∈ B  © = max © ∈ B  © 1Ýë = max  ∈ B ∗ î  (4.37) o Dis ancia media a la on e a e icien e Z ÝÞß© = ∑ | i ã | Z ã ÝÞß© ã | i | = 1  &  © 1Ýë © ∈ B (4.38) 4.2.3 Fil os Las edes de dominancia p opo cionan un ma co en el que se puede isualiza g á icamen e quién domina a quién y cuál es la e iciencia ela i a exis en e en e ellos. Una he amien a muy ú il sob e odo cuando los da os de las unidades a analiza ienen múl iples dimensiones, que impiden su ep esen ación g á ica en 2 o 3 dimen- siones. Po o a pa e, den o del Análisis de Redes Complejas, exis en múl iples écnicas que pe mi en gene a subg a os den o de la ed, que poseen ca ac e ís icas conc e as con el in de segmen a la in o mación p opo - cionada po la ed. A con inuación se de allan algunos de los posibles il os que se pueden aplica o Fil o de umb al supe io Gene a un subg a o en el que se eliminan odos aquellos a cos que ienen un alo mayo a un umb al () de e - minado. Siendo el subg a o esul an e (i,`), donde  • ={(,T)∈:0< © ≤ }. o Fil o de umb al in e io Es e il o al igual que el il o de umb al supe io man iene en el subg a o gene ado odos los nodos de la ed, pe o elimina aquellos a cos que engan un alo in e io al ma cado po un de e minado umb al ( • ). Siendo el subg a o esul an e (i,`), donde  • ={(,T)∈:  • ≤  © }. o Fil o de g a o bipa i o Si se oman 2 ipos de nodos den o de la ed: los nodos e icien es y los nodos ine icien es. Y únicamen e se mues an los enlaces exis en es en e los dos ipos de nodos, sin isualiza los a cos que se encuen en en e los nodos ine icien es, se ob iene un g a o bipa i o de inido como (i, • ). Siendo  • ={(,T)∈:∈i i ∗ ∧ T∈i ∗ ()} o Fil o de los obje i os e icien es más ce canos Es e il o es una combinación del il o de g a o bipa i o y el il o de umb al supe io aplicando un umb al dinámico. El obje i o de es e il o es isualiza únicamen e aquellos enlaces que ma can la mínima dis ancia a la on e a e icien e. El subg a o se de ine con la siguien e exp esión (i, • )siendo  • =o(,T)∈:T∈i ∗ ∧  © =ì ©1I p={(,T)∈:∈i i ∗ ∧T∈i ∗ ()} o Fil o de obje i os e icien es Es e il o se aplica sob e cada unidad ine icien e, mos ando únicamen e los nodos e icien es sob e los que se p oyec a y los a cos exis en es en e ellos. Si aplicamos el il o de obje i os e icien es al nodo , ob end íamos el siguien e subg a o (i ∗ (), ∗ ()) o Fil o de nodos dominados Es e se aplica a cualquie nodo e icien e de la ed y isualiza aquellos nodos que domina y su elación con ellos. De o ma que el subg a o esul an e al aplica el il o de nodos dominados sob e el nodo j es (i ^+ (T), ^+ (T)) o Fil o de egone wo k Al aplica es e il o sob e un nodo p, se isualizan odos los nodos que dominan y son dominados po el nodo p, así como los a cos exis en es en e odos los nodos isualizados. De iniéndose con la siguien e exp esión 47 47 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia (i ßx (/), ßx (/)) siendo i ßx (/)={/}∪i(/)∪i ^+ (/) y  ßx (/)= ^+ (/)∪(/) o Fil o de esquele o Es e il o se aplica sob e oda la ed eliminando los a cos ansi i os, de inidos como {(,T): ∃ /∈i()∩ i ^+ (T)}. G acias a la p opiedad de ansi i idad, se puede educi el núme o de enlaces sin pe de in o mación en la isualización. El subg a o esul an e as la aplicación de es e il o es (i, P ) siendo  P = {(,T):i() ∩i ^+ (T)=∅} 49 5 I LUSTRACIÓN DE LA METODOLOGÍA E n es e apa ado se a a aplica la me odología desa ollada a una se ie de juegos de da os de la li e a u a, con el in de mos a las en ajas que se adquie en a la ho a de isualiza y analiza los esul ados ob enidos as el análisis de la e iciencia en o ma de ed. A la ho a de ealiza el análisis de e iciencia en los juegos de da os, se a a u iliza la ecnología FDH, po lo que la on e a e icien e es a á compues a po unidades exis en es que se p oyec an sob e sí mismas y se án a ge s pa a las unidades ine icien es. La e iciencia ela i a en e es as unidades se mide con la siguien e mé ica adi i a, po lo que el modelo DEA no iene o ien ación de en ada, ni de salida.  © = D 0  T ∉ i (  ) & ' © − '  '  ÝÞß©  + & ,  − W © , © ÝÞß©   T ∈ i (  ) (4.4) La ed se cons uye con la me odología desc i a en el apa ado 4.2.1, po ello y g acias a la mé ica empleada los enlaces ienen las p opiedades de adi i idad y de ansi i idad. 5.1 Juego de da os de CST El p ime juego de da os que se analiza en es e capí ulo se encuen a en el lib o (Coope , W. W., Sei o d, L. M., Zhu 2004), cons a de 8 unidades p oduc i as, un ac o de en ada y un ac o de salida. No iene dimensiones al se no ep esen a las DMUs unos p ocesos eales. Juego de da os de LIM Tabla 5–2. Ejemplo de Coope , Sei o d y Tone (CST) A B C D E F G H x1 2 3 3 4 5 5 6 8 y1 1 3 2 3 4 2 3 5 G acias a los índices a ni el de ed y de componen e se puede es ablece que en es e caso, sin necesidad de ep esen a g á icamen e las elaciones, que la ed es á compues a po 3 componen es. Dos componen es o ma- das po nodos aislados y la e ce a es una componen e gigan e, cuyas mé icas se ep esen an en la Tabla 5.11. “El genio se compone del dos po cien o de alen o y del no en a y ocho po cien o de pe se e an e aplicación.” - Ludwig an Bee ho en - Ilus ación de la me odología 50 50 Todos los enlaces de es a ed se encuen an den o de la componen e gigan e, que posee la mi ad de las DMUs e icien es que componen la on e a e icien e y el 75% de los nodos de la ed. Es os nodos e icien es ep esen an el 33.33% de los nodos que o man la componen e gigan e. La componen e iene una densidad muy baja (30%) y es á compues a po 9 a cos, dos de los cuales son ansi i os. Tabla 5.1. Índices a ni el de ed y de componen e en la ed CST Δ Z ÝÞß©   ‰ +  ξ ¾ ¾ + ÝÞß© ì + 0.79 0.25 0.50 1 3 0.47 1.84 Δ + Z + ÝÞß©  +  ‰ + µ +  +  + ÝÞß© 0.79 0.34 0.33 0.75 0.30 0.50 1.50 La dis ancia del nodo más ine icien e a la on e a e icien e es de 0.79 y la dis ancia mínima que debe ían eco e en o al odos los nodos ine icien es de la componen e gigan e pa a pe enece a la on e a e icien e es de 1.84. No obs an e, la dis ancia media de los nodos a la on e a e icien e es más baja que la media, po lo que hay nodos muy p óximos a la on e a e icien e. El g ado medio den o de la componen e gigan es es de 1.50. El coe icien e clus e ing es muy bajo, debido a la poca ansi i idad de la ed y al núme o educido de capas, ya que no pueden exis i a cos en e nodos que pe enezcan a la misma capa. A con inuación se ep esen a la ed comple a y el subg a o esquele o, donde no se encuen an los a cos ansi i- os. Hay que ene en cuen a que en la Figu a 5.1exis e un a co exis e un a co en e G y B que no se isualiza po que es án supe pues os los a cos GD y BD. Es e a co no exis e en la Figu a 5.2 Figu a 5.1 Visualización de la ed de dominancia del juego de da os de CST Figu a 5.2 Subg a o de esquele o en la ed CST Fuen e: P opia Como se puede ap ecia que la on e a e icien e es á compues a po 4 DMUs, es a ap eciación se encon aba implíci a den o de los índices an e io men e mencionados, po que odos los nodos aislados pe enecen a la on e a e icien e. Den o de la Figu a 5.3 se ap ecia el diáme o de la ed de 0.79 y cómo la mi ad de los a cos son meno es o iguales a 0.35. El hecho de que haya pocos a cos ansi i os hace que la dis ibución de los enlaces del esquele o 51 51 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia y de la ed comple a, que se obse an en la Figu a 5.4, es én muy p óximas. El peso máximo de un a co no ansi i o es de 0.70 y casi el 60% de es os enlaces son meno es o iguales a 0.45. Figu a 5.3 Dis ibución de las dis ancias máximas a la on e a e icien e del caso CST Figu a 5.4 Dis ibución de los enlaces del caso CST Fuen e: P opia La componen e gigan e es á compues a po 3 capas, que es án o madas cada una po 2 nodos. En es e caso el g ado medio de en ada es cons an e en la capa 1 y en la capa 0, pe o el g ado a a se siemp e mayo cuan o más ce ca es é el nodo de la on e a e icien e. Tabla 5.2. Dis ibución de los nodos según su capa en el caso CST Capa Nº nodos en la capa % de nodos de la componen e c en la capa Z ãê 1Ýë ì ãê 1I  ãê ÝÞß © Âý  ãê ÝÞß © ÄÖà 0 2 33.33 [0,0] [0,0] 1.50 0.00 1 2 33.33 [0.22,0.35] [0.22,0.35] 1.50 1.00 2 2 33.33 [0.67,0.79] [0.57,0.70] 0.00 3.50 El g ado medio de salida de la úl ima capa es el más ele ado de odas, al se donde se encuen an los nodos ine icien es con más a ge s in e medios. En es a abla se puede ap ecia como la capa 1 se encuen a muy p ó- xima a la on e a e icien e. En la Figu a 5.5 se ap ecia como el g ado de en ada es mayo ce ca de la on e a e icien e y como a medida que los nodos pe enecen a capas más alejadas de la on e a e icien e a disminuyendo, mien as aumen a el g ado de salida debido a que ienen más a ge s in e medios. Den o de la especi icidad de un nodo coincide con el g ado o al del nodo y ep esen a el núme o de a cos que llegan o salen de la ed, mien as que el índice hub no solo mues a la p opo ción de enlaces, sino ambién cuáles son los nodos ex emos. En es e caso los únicos nodos que no son ex emos son los nodos C y D po que ienen un índice hub dis in o de ce o. Po lo que son los únicos nodos que apa ecen en el camino in e medio en e los nodos ex emos, po ello son los únicos con un coe icien e de in e mediación dis in o de ce o Tabla 5.3 se obse an las ca ac e ís icas de los nodos, a que componen e y capa pe enece cada una así como odos los índices desc i os en la me odología. Los nodos pe enecien es a la capa 1, es án dominados po un Ilus ación de la me odología 52 52 único nodo, luego la necesidad del benchma k de los nodos e icien es a los que se e ie e aumen a á. Es o am- bién se ap ecia den o de los nodos e icien es y los nodos aislados, po que odos los nodos que pe enecen a la on e a e icien e se p oyec an sob e sí mismos. .La dis ancia máxima y mínima de los nodos ine icien es coin- cidi án si sólo son dominados po un único nodo, al solo habe una medida a la on e a e icien e. Figu a 5.5 Visualización del g ado de en ada y de salida en unción de las capas en el caso CST Fuen e: P opia La especi icidad de un nodo coincide con el g ado o al del nodo y ep esen a el núme o de a cos que llegan o salen de la ed, mien as que el índice hub no solo mues a la p opo ción de enlaces, sino ambién cuáles son los nodos ex emos. En es e caso los únicos nodos que no son ex emos son los nodos C y D po que ienen un índice hub dis in o de ce o. Po lo que son los únicos nodos que apa ecen en el camino in e medio en e los nodos ex emos, po ello son los únicos con un coe icien e de in e mediación dis in o de ce o Tabla 5.3. Índices a ni el de nodo en el caso CST iX © Componen e Capa | i ∗ (  ) |  © 1Ýë ì © 1I  © I  © x·Œ ½ © c © Š © ¾ ¾ ©   © B 1 0 1 0.00 0.00 4 0 4 0 0.00 0.50 2.55 E 1 0.00 0.00 2 0 2 0 0.00 0.00 1.03 C 1 1 0.35 0.35 1 1 2 1 0.33 1.00 0.77 D 1 0.22 0.22 2 1 3 2 0.33 0.67 0.95 F 2 2 0.79 0.70 0 4 4 0 0.00 0.33 0.67 G 2 0.67 0.57 0 3 3 0 0.00 0.33 0.673 A 2 0 1 0.00 0.00 0 0 0 0 0.00 0.00 0.67 H 3 0 1 0.00 0.00 0 0 0 0 0.00 0.00 0.673 53 53 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia Resul a so p enden e encon a que la DMU C iene un coe icien e de clus e ing 1, es o se debe a que domina a un nodo y sólo es á dominada po nodo, po lo que el único a co exis en e en e sus ecinos es un a co ansi i o. El nodo D po su pa e, se encuen a en la misma capa que el nodo C y su coe icien e clus e ing es meno debido a que domina a dos nodos de la capa 2 que nunca pod án es a dominados po su pe enencia a la misma capa. El coe icien e PageRank pe mi e o dena los nodos de la ed según su impo ancia, el nodo que más enlaces iene y cuyos ecinos son más impo an es es el nodo B, seguido po el nodo E con un PR muy ce cano al nodo D es o se debe a que ambos dominan a los mismos nodos. Sin emba go, el nodo E pe enece a la on e a e i- cien e. Tabla 5.4. Índices a ni el de nodos e icien es en el caso CST iX © | i ^ + ( T ) | | i ^ ^ + ( T ) | í  î  ï  A 0 0 0.00 0.00 0 B 4 2 2.03 0.79 2 E 2 0 1.27 0.70 0 H 0 0 0.00 0.00 0 Si se analizan los nodos e icien es, se obse a como B es la DMU más impo an e al se un a ge pa a la mayo pa e de los nodos de la ed. Además, es el único nodo e icien e pa a dos nodos de la ed, mien as el es o de la on e a no los iene. El adio de ine iciencia es simila pa a los nodos e icien es de la ed. El po encial del benchma king es supe io en el nodo B debido a que domina a más nodos y es el único que domina a nodos que se encuen an en la p ime a capa. 5.2 Juego de da os de Lim A con inuación se usa el juego de da os del supe me cado u ilizado en (Lim e al. 2011) compues o po 12 DMUs con 2 en adas y 1 salida. Las dimensiones de las unidades de las en adas son: 10 empleados y 1000 m 2 de supe icie, mien as que las dimensiones de las salidas son 100.000 dóla es. A con inuación se mues an los da os del p oblema. Tabla 5.5. Da os del caso Lim Tiendas A B C D E F G H I J K L Empleados x1 2 6 9 3 4 8 5 7 8 7 7 8 Supe icie x2 7 2 1 7 5 2 5 3 3 9 4 7 Ven as Y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Todas las unidades, al ene salidas cons an es, pe mi e que se pueda ep esen a el conjun o de da os en un g á ico de dos dimensiones y isualiza donde se encen a la on e a e icien e, así como las elaciones en e las di e en es DMUs. Una ez gene ada la ed de dominancia, se mues a g á icamen e en la siguien e igu a. Ilus ación de la me odología 60 60 Δ + Z + ÝÞß©  +  ‰ + µ +  +  + ÝÞß© 2.06 0.76 0.18 0.92 0.34 0.67 3.36 Si se obse a la Figu a 5.14 poco más del 80% de las dis ancias máximas a la on e a e icien e es meno o igual que 1.5 Siendo la mínima dis ancia que debe ían eco e las DMUs ine icien es en la componen e 1 pa a pe e- nece a la on e a e icien e 7.98. La dis ancia media de las DMUs a la on e a e icien e iene un alo de 0.70 Figu a 5.13 Dis ibución de las dis ancias máximas a la on e a e icien e en el caso Pa k Figu a 5.14 Dis ibución de los enlaces en el caso Pa k Fuen e: P opia El g ado medio den o de la componen e es 3.36, pe o si a endemos al g ado medio de en ada y de salida de cada capa emos como el g ado de en ada es más ele ado en la capa 0 y disminuye a medida que la capa se aleja de la on e a e icien e. Todas las capas es án compues as po 2 nodos, sal o la capa 1 que es á compues a po 3. Po lo que los in e alos en e los que se encuen an las dis ancias máximas y mínimas a la on e a e icien e desde dichas capas, no son en e dad un in e alo en es e caso, sal o en la capa1. Tabla 5.12. Dis ibución de los nodos según su capa en el caso Pa k Capa Nº nodos en la capa % de nodos de la componen e c en la capa Z ãê 1Ýë ì ãê 1I  ãê ÝÞß © Âý  ãê ÝÞß © ÄÖà 0 2 18.18 [0,0] [0,0] 4.33 0 1 3 27.27 [0.19,0.67] [0.19,0.67] 5 1 2 2 18.18 [0.62,1.15] [0.62,1.05] 3 4 3 2 18.18 [0.81,0.86] [0.76,0.81] 1.5 4.5 4 2 18.18 [1.77,2.06] [1.67,1.96] 0 8.5 En la Figu a 5.15 se puede obse a una co elación nega i a en e el g ado de en ada y las capas y una co e- lación posi i a en e el g ado de salida y las capas. En caso de que e calcula se es a co elación se debe ía no 61 61 Aplicaciones de écnicas de análisis de edes complejas a edes de dominación en e iciencia ene en cuen a las componen es o madas po nodos aislados. Figu a 5.15 Visualización del g ado de en ada y de salida en unción de las capas en el caso Pa k Fuen e: P opia Si obse amos la Tabla 5.8 se ap ecia que la dis ancia máxima y la dis ancia mínima de cada nodo a la on e a e icien e coindicen, sal o en las DMUs G,J,K,L. Es o se debe a que el es o de los nodos sólo ienen un nodo de e e encia como mues a |i ∗ ()|. Den o de la componen e gigan e se ap ecian 4 nodos en los ex emos, el 66.67% de los nodos iene una especi- idad en el ango en e 7 y 8 y se ap ecia mucha más a iación den o del hub, donde el máximo alo lo alcanza el alo H, que alcanza ambién el mayo coe icien e de in e mediación. El coe icien e clus e ing es muy ele ado, debido a la ansi i idad mencionada p e iamen e, siendo mayo en las capas in e medias 2 y 3. El nodo B es el más impo an e de odos los nodos e icien es, debido a su ele ado g ado de en ada y a la impo ancia de sus ecinos. Mien as que el nodo B iene a los dos nodos más impo an es de la capa 1 (Los nodos E y F), el nodo A sólo domina al nodo D en es a capa. De hecho el es o de los nodos que domina el nodo A, son 4 de los 6 nodos menos impo an es de oda la ed. Tabla 5.13. Índices a ni el de nodo en el caso Pa k iX © Componen e Capa | i ∗ (  ) |  © 1Ýë ì © 1I  © I  © x·Œ ½ © c © Š © ¾ ¾ ©   © A 1 0 1 0.00 0.00 5 0 5 0 0.00 0.70 1.48 B 1 0.00 0.00 8 0 8 0 0.00 0.75 3.40 D 1 1 0.67 0.67 3 1 4 3 2.25 0.83 0.66 E 1 0.24 0.24 6 1 7 6 1.48 0.71 1.16 F 1 0.19 0.19 6 1 7 6 2.48 0.71 1.20 Ilus ación de la me odología 62 62 iX © Componen e Capa | i ∗ (  ) |  © 1Ýë ì © 1I  © I  © x·Œ ½ © c © Š © ¾ ¾ ©   © G 1 2 2 1.15 1.05 2 5 7 10 3.24 0.62 0.59 H 1 0.62 0.62 4 3 7 12 4.34 0.81 0.71 I 3 1 0.81 0.81 1 4 5 4 1.29 0.90 0.57 K 2 0.86 0.76 2 5 7 10 2.09 0.71 0.61 J 4 2 2.06 1.96 0 8 8 0 0.00 0.57 0.53 L 2 1.77 1.67 0 9 9 0 0.00 0.56 0.53 C 2 0 1 0.00 0.00 0 0 0 0 0.00 0.00 0.53 Si se a iende a los índices e e en es a los nodos e icien es, se obse a como ya se ha comen ado p e iamen e, que el nodo B iene más nodos den o de la capa 1 que el nodo A. La dis ancia máxima a los nodos que dominan es simila an o en ambos nodos así como el po encial benchma king aunque el nodo b domine a 3 nodos más que el nodo A. Po o a pa e el nodo B cuen a con una necesidad de Benchma king mucho mayo que el nodo A al se el único nodo e icien e pa a 4 nodos de la ed en e a 1 en el caso del nodo A. Tabla 5.14. Índices a ni el de nodos e icien es en el caso Pa k iX © | i ^ + ( T ) | | i ^ ^ + ( T ) | í  î  ï  A 5 1 6.12 1.96 1 B 8 4 7.71 2.06 2 C 0 0 0.00 0.00 0 63 6 C ONCLUSIONES as edes de dominancia pe mi en ene una mayo comp ensión de los esul ados ob enidos con el Análisis de En ol u a de Da os. Pe mi e isualiza g á icamen e los caminos de las DMUs dominadas hacia la on e a e icien e a a és de la ed, siendo de g an u ilidad en caso de que sea imposible g a ica las DMUs debido a la mul idimensionalidad de los da os. En es e abajo, as ealiza un pequeño es ado del a e, se ha desa ollado una me odología que pe mi e la c eación de una ed de dominancia en el caso de que el análisis de DEA emplee una mé ica adi i a en una ecnología FDH. Po o a pa e se han de inido di e en es índices que pe mi en analiza la posición de cada DMU den o de la ed, su posición espec o de la on e a e icien e, a a és sus caminos más ce canos y la es a i ica- ción de las unidades dominadas. Es os índices pe mi en ca ac e iza la ed a di e en es ni eles: a ni el de ed, de componen e, de capa y de nodo. Una ez c eada y ca ac e izada la ed se puede isualiza y aplica una se ie de il os en caso de que esul e complicada la isualización y se quie a únicamen e obse a los nodos y las elaciones que a iendan a un c i e io de e minado. Pa a explica mejo el alcance de es a ca ac e ización se ha aplicado la me odología a es conjun os de da os. No obs an e la aplicación de los il os de inidos no se ha aplicado a los conjun os de da os expues os en es e abajo, debido al pequeño amaño de la ed. Sin emba go, esul an muy ú iles en el caso de edes g andes. Den o de los índices que se han aplicado cabe des aca el PageRank que pe mi e o dena las DMUs según su impo ancia que es a ibuida en unción del núme o y la impo ancia de sus ecinos. El coe icien e de in e me- diación que de e mina la impo ancia de un nodo según el núme o de eces que se encuen e en los caminos más co os en e cada pa de nodos, debido a que su in o mación esul a á más e icien e pa a los nodos que domina cuan o mayo sea el coe icien e. En el u u o se pod ía ealiza un análisis que pe mi ie a ealiza la ed de dominancia pa a modelos de DEA que conside a an una ecnología VRS y/o CRS. Así como el desa ollo de nue as mé icas que pe mi an ca ac- e iza o os aspec os de la ed. L “Los momen os inales de una expe iencia de e minan el ecue do que conse a emos de la misma.” - Daniel Kahneman - 65 R EFERENCIAS Ali, A.I. & Sei o d, L.M., 1990. T ansla ion in a iance in da a en elopmen analysis. Ope a ion Resea ch Le - e s, 9(6), pp.403–405. Banke , R.D., Cha nes, A. Coope , W.W., 1984. Some Models o Es ima ing Technical and Scale Ine iciencies in Da a En elopmen Analysis. Managemen Science, 30(9), pp.1078–1092. Ba abási, A.-L. & Albe , R., 1999. Eme gence o Scaling in Random Ne wo ks. Science, 286, pp.509–512. Ba dhan, I. e al., 1996. Models o E alua ing and Measu ing E iciency and Dominance in DEA. Jou nal o he Ope a ion Resea h Socie y o Japan, 39(3), pp.322–332. Cha nes, A. e al., 1985. Founda ions o da a en elopmen analysis o Pa e o-Koopmans e icien empi ical p oduc ion unc ions. Jou nal o Econome ics, 30(1–2), pp.91–107 Cha nes, A., Coope , W.W. & Rhodes, E., 1978. Measu ing he e iciency o decision making uni s. 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