Conceptos básicos sobre isocriptografía siguiendo el modelo MCIM

Concep os b´asicos sob e isoc ip og a ´ıa siguiendo el modelo MCIM Falc´on Gan o nina, R.M. ∗N´u˜nez Vald´es, J. † Resumen Una de las aplicaciones p ´ac icas de la iso eo ´ıa de San illi que ha su gido en los ´ul imos a˜nos se e ie e al campo de la c ip og a ´ıa. Gene alizando la unidad u ilizada en los c ip og amas se o iginan una nue a clase de es os, denominada isoc ip og amas. Se p esen a ´an las nociones b´asicas necesa ias pa a o igina ales es uc u as, mos ando algunos ejemplos al espec o. Se a a ´an haciendo uso de los ´ul imos modelos de cons ucci´on de iso op´ıas, lo que pe mi i ´a es udia la isoc ip og a ´ıa de San illi como caso pa icula . 1 In oducci´on En 1978, San illi p opuso una gene alizaci´on de la eo ´ıa con encional de Lie ha- ciendo uso de iso op´ıas, dando luga a la iso eo ´ıa de Lie-San illi ( ´ease [3]). Pa a ello conside ´o que la unidad b´asica Ide oda es uc u a ma em´a ica puede su i dependencia en a ios ac o es ex e nos del sis ema en el que nos encon emos (coo denadas, elocidad, iempo, densidad, empe a u a, e c.), dando luga a una isounidad b I=b I(x, • x,•• x, ..., µ, τ, ...). Es a dependencia puede engloba a su ez el ca ´ac e no asocia i o o no lineal de cie as aplicaciones ´ısicas (en Din´amica de pa iculas o Mec´anica Cu´an ica - ´ease [6]), que con encionalmen e han hecho uso de la eo ´ıa de Lie, de ca ´ac e asocia i o y lineal. No obs an e, pa a que es a gene alizaci´on sea cohe en e, ∗Depa amen o de Geome ´ıa y Topolog´ıa (Facul ad de Ma em´a icas), Uni e sidad de Se illa, e-mail: [email p o ec ed] †Depa amen o de Geome ´ıa y Topolog´ıa (Facul ad de Ma em´a icas), Uni e sidad de Se illa, e-mail: jn [email p o ec ed] Ac as de las IV Jo nadas de Ma emá ica Disc e a y Algo í mica. Ce cedilla (Mad id), 2004, pp. 299 - 306. ISBN: 84 - 86189 - 98 - 5. San illi jun o a o os au o es han ealizado una cons ucci´on me ´odica que gene- aliza las es uc u as ma em´a icas m´as impo an es, dando luga a las denomi- nadas isoes uc u as ma em´a icas ( ´eanse [4], [5], [7])). Pese a que la l´ınea de in es igaci´on p e e en e en iso eo ´ıa ha sido la ela i a a sus aplicaciones p ´ac icas en F´ısica y Qu´ımica, ambi´en se han ido a ando a su ez o os campos de es udio. En conc e o, en el Ap´endice 2C de la se- gunda edici´on del monog ´a ico [6], se in oduce una nue a clase de c ip og a- mas, cuya idea p incipal es u iliza iso op´ıas de ipo I, pa a gene aliza cualquie c ip og ama num´e ico exis en e basado en la unidad con encional +1 o bien I=diag(+1, ..., +1) y en el p oduc o usual asocia i o a×b, dando luga de es a o ma a una nue a es uc u a basada en una isounidad b Iy en el isop oduc o ab ×b=a×T×b, donde b Ipuede se cualquie n´ume o no nulo del conjun o de pa ida. Pos e io men e en 2002, Jiang ha mos ado en [2] algunos undamen os b´asicos de lo que se conoce ya como eo ´ıa isoc ip og ´a ica de San illi, a ando a ios aspec os en isoc ip og a ´ıa de cla e sec e a y de cla e p´ublica, como ci ado en bloque, exponenciaci´on o esquema RSA. Las en ajas que indica espec o a la c ip og a ´ıa con encional son las siguien es: a) Inc emen o en la di icul ad pa a esol e c ip og amas, al dispone de una in inidad de unidades b´asicas a u iliza . b) Capacidad de compu e iza el cambio de unidad sin necesidad de al e a los c ip og amas de pa ida. c) Disminuci´on de cos es en e a aumen o de segu idad, incluso en c ip og a- mas simples. Jiang se basa en el modelo de iso op´ıa de 1978. Aho a bien, en 2001, se desa oll´o un modelo de cons ucci´on m´as gene al que en a iza las p opiedades de las ope aciones que in e ienen en la gene alizaci´on de las es uc u as de pa ida. Se a a del modelo de cons ucci´on del isop oduc o basado en la mul iplicaci´on (m.c.i.m.) dado en [1]. Po odo es o pa ece ecomendable la e isi´on del es udio de Jiang a pa i del m.c.i.m., analizando la posible gene alizaci´on de los esul ados ya ob enidos sob e isoc ip og a ´ıa de San illi. 2 P elimina es Se denomina iso op´ıa ole an amien o iso ´opico a oda co espondencia en e una es uc u a ma em´a ica ijada y o a del mismo ipo, es o es, al que e i ique sus mismas p opiedades. Obs´e ese que seg´un es a de inici´on, una iso op´ıa puede no se una aplicaci´on. La nue a es uc u a ob enida se denomina isoes uc u a. El modelo de iso op´ıa de San illi de 1978 se basa en la gene alizaci´on de la unidad de pa ida: I→b I=b I(x, • x,•• x, ..., µ, τ, ...). En pa icula , ijada una es uc u a ma em´a ica cualquie a E, do ada de un p oduc o in e no ×, se con- side a un conjun o V⊇E, do ado de una ope aci´on asocia i a ∗y al que exis en I, b I, T ∈V, donde I∈Ees la unidad de ∗en VyT=b I−I. A V, T eb Ise les conoce espec i amen e como conjun o gene al, elemen o iso ´opico e isounidad de la iso op´ıa en cues i´on. De es a o ma, se de inen los elemen os de la isoes uc u a ma em´a ica b Edo ada del isop oduc o b ×de unidad b Icomo : E→b E:x→bx=x∗b I , ab ×b=a∗T∗b, pa a odos a, b ∈b E. El m.c.i.m. de 2001 gene aliza la cons ucci´on an e io , haciendo uso de an as isounidades y ope aciones simila es a ∗, como ope aciones enga la es uc u a de pa ida. De una mane a esquem´a ica, oda iso op´ıa puede eni e lejada en onces a pa i del siguien e diag ama: Ni el con encional −−−−−−−−−−−−−−−−−→ Ni el gene al (V, ∗, ⋆, ...) ∪ (E, +,×, ...) (E, ∗, ⋆, ...) ↓♯↓I Ni el de P oyecci´on π ←−−−−−−−−−−−−−−−−−− Ni el iso ´opico (b E, b +,b ×, ...) ( b E, b +,b ×, ...) El m.c.i.m. impone que (E, ∗, ⋆, ...) sea una es uc u a del mismo ipo que la inicial (E, +,×, ...), lo que pe mi e en conc e o de e mina expl´ıci amen e los elemen os del conjun o gene al asociado a la iso op´ıa: V=E∪b E∪ {T} ∪ ET, donde ET=naT=a∗T:a∈b Eo. Adem´as, no ando po Fel conjun o de ac o es ex e nos de los que depende la isounidad b I, sal o aquellos que dependen del ac o coo denada (x, • x,•• x, ...), la ope aci´on b ×se de ine como: ³a∗b I(a, Fa)´b ׳b∗b I(b, Fb)´= (a∗b)∗b I(a∗b, Φ×(Fa, Fb)) . Donde la aplicaci´on Φ×:F×F→F: (Fα, Fβ)→Φ×(Fα, Fβ), debe es a p e ijada de an emano. 3 Isoc ip osis emas Fijemos un c ip osis ema (M, C, K, E, D), donde los espacios indicados se e ie en espec i amen e a los espacios de mensajes, ex os ci ados o c ip og amas, cla es, ans o maciones de ci ado y an o maciones de desci ado, co espondien es a al c ip osis ema. Pa a simpli ica nues o es udio, conside a emos la equi alencia num´e ica asociada a Men la o ma Z/Zndo ado de las ope aciones + y ×usuales, en caso de es a asociado a un al abe o de nle as. Basamos Mpo an o en el Z-m´odulo (Z,+,×), que es ´a incluido a su ez en el cue po eal (R,+,×). De al o ma, que si ealizamos un le an amien o iso ´opico del cue po se˜nalado, median e un cambio de unidad, es e hecho a ec a ´a a su ez a la es uc u a de Zy po an o a M. Pa a simpli ica , supond emos al iso op´ıa basada en un conjun o gene al V⊇R, do ado de un pa de leyes in e nas asocia i as ⋆y∗, de elemen os unidades espec i os S, I ∈Zy al que podemos elegi un elemen o T∈V, con in e sa b I=T−I∈V. Se de ine en onces el isoespacio de mensajes c M= nc Mi=Mi∗b I:Mi∈Mo⊆V, que es a ´a do ado del isop oduc o b ×, de inido como Ab ×B=A∗T∗B, pa a odos A, B ∈c M. P oposici´on 3.1. El isoespacio de mensajes c Mes de hecho un espacio de c ip- og amas asociado a M. Demos aci´on. Bas a ene en cuen a que ∗es asocia i a y que T=b I−I. De es a o ma enemos la ans o maci´on de ci ado Eb I=π◦I:M→c M:A→b A=A∗b I y la ans o maci´on de desci ado DT:c M→M:A→A∗T. La cla e de ci ado end ´ıa dada en onces po el pa (b I, ∗) y la de desci ado po el pa (T, ∗). Hay que ene en cuen a que la a i m´e ica del isoespacio de mensajes no es ya la usual. Veamos un ejemplo al espec o: Ejemplo 3.2. Sea la equi alencia num´e ica de un al abe o de 27 le as, M= Z/Z27 y ijemos T∈Rno nulo, siendo b I=T−1. Conside emos el le an amien o iso ´opico del cue po eal (R,+,×) e e en e a los elemen os de iso op´ıa p incipales ∗|R≡ × eb Iy secunda ios ⋆≡+ y b S= 0. Es o es, (b R,b +,b ×) = (R,+,b ×), donde ab ×b=a×T×b, pa a odos a, b ∈R. La a i m´e ica modula cambia en onces. En pa icula , (Z,+,b ×) no iene es uc u a de Z-m´odulo y debe emos abaja con (b Z,+,b ×), que iene es uc u a de b Z-m´odulo. Conside amos en onces ∗de inida de al o ma que pa a odo a∈Z: (a+Z27)∗b I=³a∗b I´+b Z27∗ b I. En es as condiciones, el isoespacio de mensajes esul a c M=b Z/b Z27 b I, que cons a de 27 elemen os, pues ijados a, b ∈Z, se iene que a∗b I+b Z27 b I=b∗b I+b Z27 b I si y s´olo si exis e k∗b I∈b Z al que a∗b I=b∗b I+(k∗b I)b ×(27b I). O equi alen emen e, (a−b)b I= 27kb I. No a emos po mod 27 y d mod 27b Ia la cong uencia usual en Zy la e e en e ab Z, espec i amen e. Di e encia emos con ello ambos concep os, esul ando que el isop oduc o b ×de unidad b I, es ´a de inido pa a odos a, b ∈Zcomo: a∗ b I(d mod 27b I)b ×b∗b I(d mod 27b I) = (a×b)∗b I(d mod 27b I). Adem´as, se iene que a∗b I=b∗b I(d mod 27b I) si y s´olo si a=b(mod 27). Con lo an e io queda p obado que c Mpuede conside a se como ci ado de M, habiendo cambiado pa a ello s´olamen e la unidad del espacio de pa ida. Obs´e ese que en caso de no a ende al p oduc o b ×, lo que se ha ealizado es una ans o maci´on a ´ın. No obs an e, una de las en ajas que iene la cons ucci´on de isoc ip og amas es que la isounidad b Ipuede su i dependencia en ac o es ex e nos a la es uc u a ma em´a ica en s´ı. En pa icula , podemos impone una dependencia en el ac o iempo. As´ı po ejemplo podemos conside a el isocue po asociado a (R,+,×) a pa i de una iso op´ıa asociada a b S= 0, ⋆ ≡+,∗|R≡ × e b I=b I(x, ). Log a emos de es a o ma que el isoespacio de mensajes a ´ıe en el iempo, al igual que las cla es co espondien es (b I(x, ),∗) y (T(x, ),∗), lo que aumen a conside ablemen e la di icul ad en esol e isoc ip osis emas asociados a es e ipo de iso op´ıas, en caso de no posee ninguna de ales cla es. Veamos un ejemplo conc e o: Ejemplo 3.3. Supongamos que en el le an amien o iso ´opico del cue po eal (R,+,×) u ilizamos como isounidad a b I=b I(x, ) = x2+5 x, con el iempo ∈F=N, como ac o ex e no. Supond emos adem´as ∗|R≡ ×,⋆≡+ y b S= 0. Se ´a en onces T=b I−1=T(x, ) = (x−5 )1/3 x. Pa a e i a singula idades, conside a emos que el p oduc o b ×se de ine en iempos pa alelos, usando pa a ello la aplicaci´on Φ×( 0, 0) = 0. Resul a en onces como es uc u a ma em´a ica la e na (b R,b +,b ×) = (R,+,b ×), donde ijado un ins an e 0, se de ine el p oduc o ab ×b= (a−5 0)1/3×b, pa a odos a, b ∈R. A la ho a de ob ene el isoc ip og ama asociado a es a iso op´ıa, debe emos abaja con la ans o maci´on de ci ado Eb I:x→bx=x3+ 5 , donde x∈M(el espacio de mensajes co espondien e) y se ´a a ado como el iempo pasado a pa i del ins an e inicial p e ijado 0en el que se manda el mensaje , ob eni´endose de es a mane a un ci ado cuyo con enido a ´ıa en el iempo. A a ´es de un canal segu o, el ecep o del mensaje debe ob ene po an o la cla e (b I, ∗). De es a o ma, ob end ´a como ans o maci´on de desci ado DT:x→DT(x) = (x−5 )1/3. O o aspec o a des aca en el uso de isoc ip og amas es la u ilizaci´on de una nue a a i m´e ica en cada caso conc e o, al cambia la es uc u a del cue po base con el que se abaja usualmen e. Es o puede ap o echa se si al isoespacio de mensajes c Mse le aplica a su ez cla es de K, que con inua ´ıan el p oceso de ci ado del mensaje inicial, si bien a endiendo a la de inici´on de b ×. As´ı po ejemplo podemos conside a : a) Ci ado en lujo: En pa icula , cualquie ci ado po sus i uci´on que se pueda usa en Z/Z27 e e en e a ×, puede usa se ambi´en en b Z/b Z27 b I es- pec o a b ×. As´ı, ijado b∈Z al que 0 < b < 27, end emos espec i amen e las ans o maciones de ci ado y desci ado siguien es: Mi∈M→Ci= (Mi+b)∗b I(d mod 27b I) Ci∈C→Mi= (Ci−b∗b I)∗T(mod 27) b) Ci ado en bloque: Puede abaja se en es e caso con ma ices no sin- gula es como isounidad, b I∈Mn(R), eniendo p esen e la a iaci´on que se p oduci ´a en la de inici´on del p oduc o usual en e ma ices: Ab ×B=A∗T∗B, A−I=b I∗A−1∗b I, Ab ÷B=A∗B−1∗b I, b In=b I, b I∗T=I c) Ci ado exponencial: T´engase en cuen a que pa a es e ipo de ci ado hace al a abaja con el concep o de p imo en el nue o cue po base y po an o debe es udia se la di isibilidad a endiendo a b ×. Aho a bien, obs´e ese que en b Z,ba=a∗b Idi ide a b b=b∗b Isi y s´olo si exis e k∈Z, al que b∗b I= (k∗a)∗b I. En pa icula , en caso de que el le an amien o iso ´opico u ilizado sea inyec i o, la di isibilidad (y con ello el concep o de se p imo) en b Zes equi alen e a la de Z. A endiendo a la cla e p i ada (b I, ∗) del emiso , siendo p∗b Ip imo en b Z, las ans o maciones de ci ado y desci ado exponencial ienen dadas po : Mi∈M→Ci=M b I i(d mod p ∗b I) Ci∈C→Mi=CT i(d mod p ∗b I) Indica po ´ul imo que el es udio de le an amien os iso ´opicos no inyec i os en los que se u ilizan isounidades dependien es de ac o es ex e nos, siendo Fno ac´ıo, esul a in e esan e a la ho a de es udia posibles gene alizaciones de esul- ados e e en es a a i m´e ica modula . As´ı po ejemplo, el ci ado exponencial gen´e ico de ipo RSA, se e in luido, pues en es e caso se oma el p oduc o de dos p imos en b Z,bn=bpb ×bq=d p∗q. Es necesa io po an o analiza esul ados como la unci´on de Eule en b Zy las consecuencias que conlle a la u ilizaci´on de la isounidad b Ien es e ipo de iso op´ıas. Ag adecimien os Los au o es quie en exp esa su ag adecimien o al p o eso Rugge o Ma ia San illi po la ´u il ayuda apo ada. Re e encias [1] R. M. Falc´on Gan o nina, J. N. Vald´es, La iso eo ´ıa de San illi, Ma hema ical Se ies, In e na ional Academic P ess, Ame ica - Eu ope - Asia, ISBN 1-57485- 055-5 (2001). [2] C. X. Jiang, Founda ions o San illi’s Isonumbe Theo y. Wi h Applica ions o New C yp og ams, Fe ma ’s Theo em and Goldbach’s Conjec u e, In e - na ional Academic P ess, Ame ica-Eu ope-Asia, ISBN 1-58485-056-3 (2002) [3] R. M. San illi, On a possible Lie-admissible co e ing o he Galilei Rela i i y in New onian Mechanics o nonconse a i e and Galilei nonin a ian sys ems, Had onic J. 1(1978), 223-423. Addendum, ibid, 1(1978), 1279-1342. [4] R. M. San illi, Iso opic li ings o con empo a y ma hema ical s uc u es, Had onic Jou nal Suppl. 4A (1988), 155-266. [5] R. M. San illi, Iso opies o con empo a y ma hema ical s uc u es, I: Iso opies o ields, ec o spaces, ans o ma ion heo y, Lie algeb as, analy ic mechan- ics ans space- ime symme ies, Algeb as, G oups and Geome ies 8(1991), 169-266. [6] R. M. 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