Analisis dinámico inverso de la marcha humana

P oyec o Fin de Ca e a Ingenie ía de Telecomunicación Fo ma o de Publicación de la Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía Au o : F. Ja ie Payán Some Tu o : Juan José Mu illo Fuen es Dep. Teo ía de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía Uni e sidad de Se illa Se illa, 2013 P oyec o Fin de Más e Más e en Ingenie ía Indus ial Analisis Dinámico In e so de la Ma cha Humana Au o : Edua do Maza O ega Tu o : Joaquín Ojeda G anja Dep. Ingenie ía Mecánica y Fab icación Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía Uni e sidad de Se illa Se illa, 2019 P oyec o Fin de Más e Más e en Ingenie ía Indus ial Analisis Dinámico In e so de la Ma cha Humana Au o : Edua do Maza O ega Tu o : Joaquín Ojeda G anja P o eso Con a ado Doc o In e ino Dep. Ingenie ía Mecánica y Fab icación Escuela Técnica Supe io de Ingenie ía Uni e sidad de Se illa Se illa, 2019 P oyec o Fin de Más e : Analisis Dinámico In e so de la Ma cha Humana Au o : Edua do Maza O ega Tu o : Joaquín Ojeda G anja El ibunal nomb ado pa a juzga el abajo a iba indicado, compues o po los siguien es p o eso es: P esiden e: Vocal/es: Sec e a io: acue dan o o ga le la cali icación de: El Sec e a io del T ibunal Fecha: Ag adecimien os Es e abajo no ha sido ácil y no hubie a sido posible comple a lo sin el apoyo de mi amilia y mis amigos. A odos ellos, g acias. I Resumen En el p esen e abajo se desa olla un p og ama en Ma lab pa a esol e un p oblema dinámico in e so aplicado a la ma cha humana. El obje i o de es e p oblema es ob ene el alo de los momen os en cade a, odilla y obillo du an e la ma cha. Pa a ello se oma como e e encia el so wa e de OpenSim pe o in en ando lle a a cabo un código mas sencillo y que pe mi a al usua io libe ad pa a modi ica lo sin necesidad de amplios conocimien os de p og amación. Des acan el uso de calculo simbólico en Ma lab y de un conjun o mínimo de coo denadas de mane a que no exis an es icciones algeb aicas sob e ellas [18]. En los dos p ime os capí ulos se desa olla el as ondo eó ico necesa io pa a comp ende el p oblema. En el e ce capí ulo se explica el modelo dinámico u ilizado. Los capí ulos cua o y quin o suponen el núcleo del abajo ya que desa ollan el p oblema cinemá ico y dinámico in e so p esen ando los esul ados ob enidos en Ma lab y su compa ación con OpenSim. Po úl imo, en el sex o capi ulo se ob ienen conclusiones y se comen an aspec os a mejo a . III 2Capí ulo 1. In oducción New on-Eule pa a esol e el p oblema dinámico in e so. La p incipal inno ación de es e abajo adica en que p esen a una écnica gene al que pe mi e no ene que de i a manualmen e las ecuaciones del mo imien o como se había hecho has a aho a, po ejemplo, en el abajo de Win e [ 20 ]. En es e sen ido ambién hay que des aca el a ículo de Rieme e al. [ 15 ], en el que se modela el cue po humano como un conjun o de ece segmen os a iculados en e sí pa a calcula los momen os en el plano sagi al de las di e en es a iculaciones. Pa a ello se esuel en las ecuaciones de equilib io de cada segmen o de o ma sucesi a, empezando po el pie, po lo que es necesa io conoce las ue zas de eacción con el suelo. Una de las p incipales limi aciones de es e modelo es que es bidimensional y po an o solo pe mi e calcula los momen os de lexión-ex ensión. En el abajo de Damsgaa d e al. [ 4 ] se hace una e isión del so wa e de simulación AnyBody Modeling Sys em, el cual se u iliza pa a esol e el p oblema dinámico in e so de modelos muscu- loesquelé icos del cue po humano. Pa a ello se hace uso de una o mulación gene al basada en la dinámica de sis emas mul icue po en la que se usan coo denadas ca esianas y pa áme os de Eule como coo denadas gene alizadas. Dichas coo denadas es án suje as a ecuaciones de es icción que es necesa io esol e an es de plan ea las ecuaciones de equilib io. El a ículo de Delp e al. [ 6 ] p esen a un modelo g á ico del miemb o in e io y se puede conside a el an eceso de OpenSim. En el se modela el miemb o in e io como un sis ema mul icue po o mado po sie e segmen os. Es más a de, en 2007, cuando Delp e al. [ 5 ] p esen a p opiamen e OpenSim en o o a ículo. OpenSim es una pla a o ma de so wa e pa a modela humanos, animales, obo s y el ambien e, y simula su in e acción y mo imien o. OpenSim dispone de una in e az g á ica de usua io (GUI po sus siglas en ingles) pa a isualiza modelos y gene a y analiza simulaciones. Una cap u a del aspec o de es a GUI se puede obse a en la Figu a 1.1. De es a mane a, OpenSim cons i uye una he amien a de ácil manejo pa a ealiza análisis dinámicos in e sos de modelos del cue po humano. Simbody es el código de ás de OpenSim y su ge de la necesidad de la in es igación biomédica de ene un so wa e de dinámica mul icue po o ien ado especí icamen e a la simulación de sis emas biomecánicos como el cue po humano. Se a a de un mo o dinámico pensado pa a p og amado es o desa ollado es de aplicaciones que no necesa iamen e ienen que se expe os en dinámica [ 19 ]. El código es de acceso lib e y se puede encon a en h ps://sim k.o g/home/simbody. Con es e úl imo abajo se llega a la apa ición de es e so wa e, que supone el pun o de pa ida del p esen e abajo. Figu a 1.1 Aspec o de la GUI de OpenSim. F en e a es os abajos, el p esen e u iliza un modelo idimensional del apa a o locomo o humano basado en el uso de un conjun o mínimo de coo denadas ela i as. Es o pe mi e que es as coo denadas no es én suje as a ecuaciones de es icción, lo que p o oca un aho o compu acional ya que no hay que esol e las. Po o a pa e, al plan ea el p oblema de o ma gene al, es deci , 1.2 Obje i os 3 aplicando las ecuaciones de equilib io sob e el conjun o de sólidos que con o man el sis ema no es necesa io conoce el alo de las ue zas de eacción con el suelo. Los dos códigos de Ma lab p og amados esuel en el p oblema dinámico in e so emulando a OpenSim pe o median e un código mas sencillo y que pe mi e una mayo pe sonalización po pa e del usua io. Aunque el código de OpenSim es á publicado y se puede accede a el pa a modi ica lo, es á esc i o usando lenguaje C++, que es a muy op imizado pa a mejo a el endimien o pe o puede esul a di ícil pa a un ingenie o que no es e especializado en el. Po ello el p esen e abajo se plan ea el obje i o de emula a OpenSim pe o esc ibiendo el código en Ma lab, un lenguaje de p og amación mas o ien ado a la ingenie ía y que se impa e y u iliza ampliamen e en la ESI. Uno de los e os que se plan ean es hace compa able la elocidad de ejecución del código en Ma lab con el código en C++ que u iliza OpenSim y que a p io i es mas ápido Es o se debe a que C++ es un lenguaje de p og amación compilado en e a M (el lenguaje de p og amación de Ma lab), que es un lenguaje in e p e ado. La di e encia en e ambos es que en el lenguaje compilado el código se aduce a lenguaje maquina en un paso p e io, mien as que en el in e p e ado es e paso se a haciendo a medida que se ejecu a el código. La en aja del lenguaje compilado es que cuando se ejecu a el código ya es a en lenguaje maquina, po lo que la ejecución es mucho mas ápida. La des en aja del uso de lenguaje compilado es que hay que compila el código cada ez que es e cambia. 1.2 Obje i os El obje i o p incipal de es e abajo es esol e un p oblema dinámico in e so de la ma cha humana. Pa a ello se gene an dos códigos de Ma lab que esuel en la cinemá ica y la dinámica in e sa. En el p ime o de ellos se ob iene el alo de los ángulos en las a iculaciones; los esul ados ob enidos se usan en el segundo pa a ob ene el alo de los momen os en ellas. El esquema gene al del abajo se mues a en la Figu a 1.2. Desde el pun o de is a compu acional, la esolución del p oblema cinemá ico in e so usa calculo numé ico pa a esol e un p oblema de op imización. Po su pa e, el p oblema dinámico in e so consis e en úl ima ins ancia en la esolución de un sis ema de ecuaciones lineal (mas sencillo que una op imización) pe o con la di icul ad añadida del uso de calculo simbólico pa a la ob ención de las ma ices dinámicas. El modelo biomecánico u ilizado es el conocido como gai 2392 y se p esen a á en el e ce capí ulo. Es e modelo se encuen a den o del paque e de desca gas de OpenSim. Como da os de pa ida se ienen odos los pa áme os del modelo y un iche o ambién p esen e en el paque e de desca gas de OpenSim con los esul ados de un expe imen o de análisis de la ma cha humana. CINEMÁTICA INVERSA DINÁMICA INVERSA 𝑞 𝑇 pa áme os del modelo coo denadas de los ma cado es Figu a 1.2 Esquema global. 2 Concep os Teó icos En es e capi ulo se explican algunos concep os impo an es de los que se ha á uso a lo la go de es e abajo y que con iene ene cla os pa a una buena comp ensión del mismo. 2.1 Ejes y planos ana ómicos An es de nada, al hace e e encia con inua al mo imien o del cue po humano y pun os ana ómicos de es e, es con enien e in oduci los ejes y planos ana ómicos que es ablecen una base pa a pode habla de la disposición de los miemb os del cue po. En la Figu a 2.1 se obse an los ejes y planos ana ómicos que de inen la geome ía del cue po, así como los ejes de coo denadas globales ( ijos en el espacio) que se an a u iliza a lo la go de odo el abajo: •Eje X: en la di ección de la ma cha. •Eje Y: eje e ical hacia a iba. •Eje Z: p oduc o ec o ial de los an e io es. Los es planos ana ómicos p incipales son: •Plano co onal o on al: di ide al cue po en las mi ades pos e io y an e io . • Plano sagi al: di ide al cue po en las mi ades de echa e izquie da. En es e plano se dan los mo imien os p incipales elacionados con la ma cha. •Plano ans e sal o axial: di ide al cue po en las mi ades c aneal y caudal. Es os planos se co an en e si dando luga a los ejes p incipales. Las di ecciones de es os ejes se i án pa a desc ibi las o aciones que se p oducen en las di e en es a iculaciones del cue po. •Eje an e opos e io : es el co e de los planos sagi al y ans e sal. •Eje c aneocaudal: es el co e de los planos sagi al y co onal. •Eje la e o-la e al: es el co e de los planos co onal y ans e sal. En la Figu a 2.2 se p esen an algunos é minos que de inen las posiciones de los pun os ana ómicos espec o a los planos ana ómicos Así, a lo la go del eje c aneocaudal un pun o es p oximal en e a uno dis al po es a mas ce ca del cen o del cue po, es deci , del plano ans e sal al y como es a ep esen ado en la igu a Figu a 2.1. Así, la ibia es un hueso mas dis al que el ému , po ejemplo. Si nos e e imos aho a al eje la e o-la e al, un pun o es medial en e a uno la e al si es a mas ce ca del plano sagi al. Así, el dedo go do del pie es á en una posición medial en e al pequeño, que es a en una posición la e al. Po ul imo, pa a la pa eja an e io -pos e io nos enemos que ija en si el 5 6Capí ulo 2. Concep os Teó icos Figu a 2.1 Ejes ana ómicos. Figu a 2.2 Té minos ana ómicos. pun o ana ómico es a delan e o de ás del plano co onal. Si es á delan e, como el pecho, la posición es an e io . Po el con a io, si se encuen a de ás, como la espalda, la posición es pos e io . O a pa eja de é minos que se a a u iliza a lo la go del abajo es la de do sal/ plan a . Do sal hace e e encia al empeine del pie en e a plan a que hace e e encia a la plan a del pie. 2.2 Ecuaciones cinemá icas 7 X Y Z ≡z x y z x ≡ x' y z' y' x' x'' z' y'≡ y'' z'' Figu a 2.3 Secuencia de o aciones. 2.2 Ecuaciones cinemá icas 2.2.1 Mo imien o de un sólido En cinemá ica se de ine un sis ema de coo denadas global, ijo en el espacio, que si e como e e encia. A cada solido se le acopla un sis ema de coo denadas que se denomina local. La posición y o ien ación de dicho sis ema local en e al global es lo que pe mi e desc ibi el mo imien o del solido. Todo mo imien o esul a de una combinación de un mo imien o de aslación con uno de o ación. El mo imien o de aslación hace e e encia a como cambia la posición del o igen de coo denadas local espec o al global. El de o ación, po su pa e, hace e e encia a como a ia la o ien ación de los ejes locales espec o a los globales. Si se piensa en dos dimensiones, desc ibi el mo imien o esul a sencillo: la aslación iene luga en un plano y la o ación consis e en un gi o al ededo de un eje pe pendicula al plano. Si bien el mo imien o de aslación en es dimensiones es homologo al caso idimensional, la de inición de la o ien ación es algo mas complicado. Aunque exis en di e en es mé odos pa a es a de inición, a lo la go de es e abajo se han u ilizado dos de ellos: ángulos de Tai -B yan y pa áme os de Eule . Ángulos de Tai -B yan Los ángulos de Tai -B yan desc iben es gi os sucesi os que pe mi en pasa de la o ien ación del sis ema global a la del sis ema local. El p ime gi o se ealiza a lo la go del eje Z global, como se ap ecia en la Figu a 2.3 Realizando es e gi o se ob iene un sis ema de coo denadas in e medio x0−y0−z0 . El siguien e gi o se p oduce al ededo del eje x0, como se ap ecia en la Figu a 2.3 El ul imo gi o se p oduce al ededo del eje y00 , como se ap ecia en la Figu a 2.3 Es e ipo de o aciones se denominan in ínsecas ya que se p oducen de o ma sucesi a al ededo de los ejes que ya se han o ado p e iamen e. En el modelo u ilizado odas las o aciones desc i as con ángulos de Tai -B yan se ealizan de la mane a desc i a, es deci , al ededo de los ejes z−x0−y00 . En ningún caso las o aciones se p oducen al ededo de los ejes sin gi a del sis ema de coo denadas o iginal. Pa áme os de Eule O o de los mé odos u ilizados pa a halla la o ien ación de un solido en es e abajo es a basado en los pa áme os de Eule . En es e caso el paso de un sis ema de coo denadas a o o se lle a a cabo median e la o ación al ededo de un único eje. Pa a desc ibi es a o ación es necesa io conoce la 8Capí ulo 2. Concep os Teó icos di ección de dicho eje: 1, 2, 3 son las coo denadas de un ec o uni a io en la di ección de dicho eje; po o a pa e, el angulo de o ación se deno a como α . Con es os alo es se cons uyen los cua o pa áme os de Eule : θ=    θ1 θ2 θ3 θ4    =    cos(α 2) 1sin(α 2) 2sin(α 2) 3sin(α 2)    (2.1) Figu a 2.4 Pa áme os de Eule . Ecuación cinemá ica undamen al A pa i de los ángulos de Tai -B yan o de los pa áme os de Eule se cons uye la ma iz de o ien ación del sólido. Pa a ob ene el ec o con las coo denadas de un pun o cualquie a del solido exp esadas en el sis ema global hace al a conoce es a ma iz de o ien ación y la posición del o igen de coo denadas locales exp esado en el sis ema de coo denadas global: =R+Au (2.2) Siendo u el ec o de posición del pun o exp esado en el sis ema de coo denadas locales, A la ma iz de o ien ación del solido, R la posición del o igen de coo denadas locales exp esado en coo denadas globales y el ec o de posición de dicho pun o exp esado en el sis ema de e e encia ine cial (coo denadas globales). 2.2.2 Mo imien o de un conjun o de sólidos Has a aho a se ha es ado cen ado en conoce la posición y o ien ación de un solido en pa icula , sin emba go, el apa a o locomo o humano se a a como un conjun o de sólidos a iculados en e sí. Pa a pode ob ene la posición de cada uno de es os sólidos se u iliza á un conjun o de coo denadas ela i as. Es e ipo de coo denadas desc iben la posición y o ien ación de cada cue po espec o al cue po que le p ecede en la cadena cinemá ica. La en aja del uso de es as coo denadas adica en que no se imponen es icciones sob e ellas, lo que pe mi e no ene que esol e ningún ipo de ecuaciones de es icción. 2.3 Ecuaciones dinámicas 9 En el modelo u ilizado en es e abajo el o igen de la cadena cinemá ica es la pel is. La cinemá ica de es e cue po se de ine a pa i de la posición del o igen del sis ema de coo denadas asociado a él y de los es ángulos de Tai -B yan que de inen su ma iz de o ación asociada. A pa i de es os da os se puede ob ene la posición de cualquie pun o que se encuen e en la pel is: pel is =Rpel is +Apel isupel is (2.3) Como se ha dicho, la exp esión de Rpel is y Apel is se ob ienen a pa i de la posición del o igen del sis ema de coo denadas asociado a él y de los es ángulos de Tai -B yan, que cons i uyen las coo denadas gene alizadas asociadas a la pel is. Po an o, la ecuación (2.3) se esc ibe como: pel is(q) = Rpel is(q)+Apel is(q)upel is (2.4) La ma iz de o ación del ému , el siguien e en la cadena cinemá ica, se de ine a pa i de la o ien ación ela i a de es e solido espec o a la pel is. Es a o ien ación se de ine a pa i de la ma iz de gi o de la cade a, que es la a iculación en e ambos sólidos. Po an o la ma iz de o ación del ému se calcula de la siguien e mane a: A emu =Apel isAcade a (2.5) El o igen del sis ema de coo denadas asociado al ému ambién se de ine de mane a ela i a al de la pel is, ya que se encuen a en la cade a, la a iculación que une ambos sólidos. Con la posición y la ma iz de o ación asociada se puede calcula la posición de cualquie pun o pe enecien e al ému : emu =R emu +A emu u emu (2.6) Es o se a haciendo sucesi amen e pa a cada solido del modelo, desde el más p oximal al más dis al. Es e esul a el p incipal incon enien e del uso de coo denadas ela i as, ya que la posición de los segmen os mas dis ales se de ine en unción de la posición de odos los segmen os que le an eceden en la cadena cinemá ica. De es a mane a se complican las exp esiones de las ma ices de o ación de es os segmen os más dis ales, ya que dependen de un g an nume o de coo denadas gene alizadas. 2.3 Ecuaciones dinámicas Si en el apa ado an e io se explicó la cinemá ica del modelo, es deci , como se desc iben los mo imien os del mismo, en el p esen e se explica como se hallan las ue zas que p oducen dicho mo imien o. La dinámica del modelo se esuel e aplicando las ecuaciones de New on-Eule al conjun o de sólidos que componen el modelo, como se mues a en la ecuación (2.7)           mi1 ... mi1 ¯ Ii ... ¯ Ii           | {z } ˆ M           ai G . . . ai G ¯ αi . . . ¯ αi           =           Fi . . . Fi ¯ Mi . . . ¯ Mi           | {z } ˆ Q +           0 . . . 0 −¯ ωi∧¯ Ii¯ ωi . . . −¯ ωi∧¯ Ii¯ ωi           | {z } ˆ Q (2.7) 10 Capí ulo 2. Concep os Teó icos A con inuación se explica el desa ollo ma emá ico que pe mi e esc ibi la ecuación (2.7) en unción de las coo denadas gene alizadas del modelo al y como explica en el documen o del p o eso Escalona [ 7 ]. El p ime paso consis e en exp esa el ec o de acele aciones lineales y angula es en unción de las coo denadas gene alizadas, como mues a la ecuación (2.8).           ai G . . . ai G ¯ αi . . . ¯ αi           =           Hi . . . Hi ¯ Gi . . . ¯ Gi           |{z} L ¨ q+           hi . . . hi ¯ gi . . . ¯ gi           |{z} l ˙ q(2.8) Pa a pode esc ibi es a ecuación los alo es de las coo denadas gene alizadas ob enidos en la cinemá ica in e sa se de i an de o ma numé ica pa a ob ene ˙ q y ¨ q . La cons ucción de las ma ices L y l equie e de los alo es de Ri G y de ωi . La posición del cen o de g a edad de los segmen os del modelo se ex ae del modelo de cinemá ica in e sa. Pa a las elocidades angula es, en un p incipio se siguió el documen o del p o eso Escalona [ 7 ], que p esen a una o ma gene al pa a ealiza es e cálculo a pa i de las ma ices de o ación: ˜ ¯ ωi=AiT˙ Ai(2.9) Sin emba go, al usa coo denadas ela i as, la exp esión de las ma ices de o ación de los segmen os dis ales puede complica se bas an e. Po ejemplo: A ibia =Apel isAcade aA odilla (2.10) Es ácil en ende la di icul ad de ene que de i a una ma iz de es e ipo. La solución pasa po u iliza es a o mulación an solo pa a la pel is y la combinación de elocidades angula es pa a el es os de segmen os. De es a mane a se calcula la elocidad angula de cada segmen o a pa i de la elocidad angula del segmen o an e io : ωi1=ωi i−1+ωi−1 1 (2.11) Donde ωi1 es la elocidad angula absolu a del sólido i, ωi−1 1 la elocidad angula absolu a del sólido i-1 y ωi i−1 es la elocidad angula ela i a del sólido i espec o al sólido i-1. Es a elocidad angula es la asociada a la a iculación que une los dos segmen os consecu i os. Su exp esión es ácil de consegui debido al uso de coo denadas ela i as en el modelo. De es a mane a, una ez ob enida la elocidad angula de la pel is, la exp esión de las elocidades angula es asociadas a espalda y cade a es inmedia a ya que ienen la misma exp esión pe o con el conjun o de coo denadas gene alizadas asociado a la a iculación. A pa i de Ri Gyωise ob ienen las siguien es ma ices: Hi=∂Ri G ∂q, ¯ Gi=∂¯ ωi ∂˙ q(2.12) hi=∂Hi˙ q ∂q, ¯ gi=∂¯ ωi ∂q(2.13) Con es as ecuaciones ya se pueden cons ui las ma ices Lylde la ecuación (2.8) Sus i uyendo la ecuación 2.8 en la (2.7) queda ˆ M(L¨ q+l˙ q) = ˆ Q+ˆ Q (2.14) 2.4 El ciclo de ma cha 11 P emul iplicando po LT M¨ q=Q+Q (2.15) Donde M=LTˆ ML,Q=LTˆ Q,Q=LTˆ Q,Q =LT(ˆ Q −ˆ Ml˙ q)(2.16) De la o ma en que es a de inido el p oblema no exis en ue zas de eacción como al ya que no se de inen ecuaciones de es icción sob e las coo denadas gene alizadas. Po an o, las únicas ue zas exis en es son las asociadas a las coo denadas gene alizadas y las g a i a o ias: Q=Qgdl +Qg a (2.17) Po an o, la ecuación (2.15) se puede esc ibi de la siguien e mane a: M¨ q=Qgdl +Qg a +Q (2.18) Despejando Qgdl en la an e io ecuación se llega a la ecuación (2.19) Qgdl =M(q)¨ q−Q (q,˙ q)−Qg a (q)(2.19) Donde: •Qgdl es el ec o de ue zas gene alizadas asociadas a las coo denadas gene alizadas •M(q)es la ma iz de masas del sis ema •¨ qes la de i ada segunda de las coo denadas gene alizadas •Q (q,˙ q)es el ec o de ue zas cuad á icas en elocidad •Qg a (q)es el ec o de ue zas g a i a o ias En la ecuación (2.19) odos los é minos del segundo miemb o son conocidos ya que el mo imien- o es conocido y se a a de ob ene Qgdl. Al exis i una ue za gene alizadas po cada coo denada gene alizada ( ¨q y Qgdl ienen en mismo amaño) se ienen el mismo nume o de ecuaciones que de incógni as. Una ez ob enido Qgdl no queda mas que calcula la ma iz con los ec o es de posición de los pun os de aplicación de las ue zas S pa a ob ene el ec o de momen os en las a iculaciones T: T=S Qgdl (2.20) 2.4 El ciclo de ma cha La ma cha humana se di ide en dos ases p incipales: •Fase de apoyo, en la que el pie de e e encia es á en con ac o con el suelo. Ocupa ap oxima- damen e el 60% del iempo de un ciclo. 18 Capí ulo 3. Modelo U ilizado Figu a 3.5 Mo imien o del obillo. pa a cada a iculación se es ablece un nume o de coo denadas gene alizadas igual al núme o de g ados de libe ad que pe mi e la a iculación. Es as coo denadas, po an o, desc iben el mo imien o ela i o en e los sólidos. Las coo denadas cons i uyen una o ma ma emá ica de ca ac e iza los mo imien os de las a iculaciones desc i os en el apa ado an e io . En o al se iene un conjun o de 23 coo denadas gene alizadas se deno a po q q q q=                                            pel is_ x pel is_ y pel is_ z pel is_ il pel is_lis pel is_ o a ion hip_ lexion_ hip_adduc ion_ hip_ o a ion_ knee_angle_ ankle_angle_ sub ala _angle_ m p_angle_ hip_ lexion_l hip_adduc ion_l hip_ o a ion_l knee_angle_l ankle_angle_l sub ala _angle_l m p_angle_l lumba _ex ension lumba _bending lumba _ o a ion                                            (3.1) • Pel is: las coo denadas pel is x, pel is y y pel is z desc iben la aslación en los ejes X, Y y Z globales, espec i amen e. Se miden en me os. Las coo denadas pel is il , pel is lis y pel is o a ion son los es ángulos de Tai -B yan que pe mi en pasa del sis ema de coo denadas global al sis ema de coo denadas local de la pel is. 3.1 Modelo O iginal 19 • Espalda: es a a iculación se modela como un pa es é ico, po lo que pe mi e es o aciones y las es coo denadas gene alizadas son lumba ex ensión, lumba bending y lumba o a ion, que cons i uyen los es ángulos de Tai -B yan con los que se puede cons ui la ma iz de o ación de es a a iculación. Es a ma iz de o ación pe mi e pasa del sis ema de coo denadas de la pel is al del o so. • Cade a: se es ablece un pa es é ico, que pe mi e es o aciones y al que se le asocian las es coo denadas gene alizadas hip lexion, hip adduc ion y hip o a ion, que cons i uyen los es ángulos de Tai -B yan con los que se puede cons ui la ma iz de o ación de es a a iculación. Es a ma iz de o ación pe mi e pasa del sis ema de coo denadas de la pel is al del ému . • Rodilla: en ella se p oduce una o ación en e ému y ibia, pe o el cen o de o ación ins an áneo no se man iene ijo du an e el mo imien o. Se a a de un mo imien o plano (en el plano que o man los ejes x y locales de la ibia) del cen o de o ación ins an áneo que depende del alo de la coo denada knee angle, como se mues a en la Figu a 3.6. Más conc e amen e se u ilizan splines que en unción del alo de la coo denada knee angle dan los alo es del mo imien o en el plano. La o ación se p oduce al ededo del eje z del ému . Es a a iculación pe mi e un g ado de libe ad, ya que conociendo el alo de la coo denada gene alizada asociada (knee angle) se conoce an o el mo imien o del eje ins an áneo de o ación como la o ación en sí. -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 cm -48 -47.5 -47 -46.5 -46 -45.5 cm O igen de la ibia Con spline Sin spline Figu a 3.6 O igen de la ibia en el plano sagi al. • Tobillo: es a a iculación se modela como un pa de e olución en e ibia y alón cuya coo denada gene alizada asociada es ankle angle. La ma iz de o ación de es a a iculación se cons uye a pa i de pa áme os de Eule donde la di ección del eje de e olución es un pa áme o omado del modelo y el ángulo de o ación es la coo denada gene alizada ankle angle. • A iculación sub ala : simila a la a iculación del obillo pe o en e alón y calcáneo. La coo denada gene alizada asociada es sub ala angle. 20 Capí ulo 3. Modelo U ilizado • A iculación me a a so- alángica: simila a la a iculación del obillo pe o en e calcáneo y dedos. La coo denada gene alizada asociada es m p angle. Las o aciones asociadas a las coo denadas gene alizadas ankle angle, sub ala angle y m p angle (me a a sophalangeal angle) son al ededo de unos ejes que especi ica el modelo y que se ap ecian en la igu a 3.7 Figu a 3.7 Ejes a iculaciones del pie. Conociendo el alo de las 23 coo denadas gene alizadas queda de inido la posición de cualquie pun o del modelo. Ademas es as 23 coo denadas son independien es en e si, no es án suje as a ninguna es icción. Po an o se iene un modelo de 23 g ados de libe ad. Como se ha is o en el apa ado de o ien ación de sólidos en el espacio, la p incipal des en aja del uso de es as coo denadas es la exp esión di ícil de los úl imos segmen os de la cadena cinemá ica; sin emba go, es as coo denadas pe mi en desc ibi de mane a uni oca la posición de un sis ema mul icue po y son independien es en e sí. Como se e a en el capi ulo dedicado a la cinemá ica in e sa, es o pe mi e esol e el p oblema sin ene que impone ninguna es icción sob e ellas. 3.1.4 Da os de en ada del modelo Ma cado es Se iene un o al de 31 ma cado es que se u iliza an en la esolución de la cinemá ica y la dinámica in e sa. •To so –S e num –R.Ac onium –L.Ac onium –TopHead •Pel is –R.ASIS –L.ASIS 3.1 Modelo O iginal 21 –V.Sac al •Fému –Thigh.Uppe –Thigh.F on –Thigh.Rea •Tibia –Shank.Uppe –Shank.F on –Shank.Rea •Calcáneo –Heel –Mid oo .Sup –Mid oo .La –Toe.La –Toe.Med –Toe.Tip Figu a 3.8 Posición de los ma cado es: is a an e io . Con iene acla a que es os son los ma cado es cuya posición se u iliza pa a esol e la cinemá ica in e sa. La posición de es os ma cado es apa ece ecogida en un iche o que cons i uye un da o de pa ida pa a el modelo. Sin emba go, pa a la cons ucción del modelo se en iende que se u ilizo un meno núme o de ellos, como se explica en el siguien e apa ado. 22 Capí ulo 3. Modelo U ilizado Pa áme os cinemá icos Los da os expe imen ales incluidos en el modelo se oma on siguiendo las pau as dispues as en el abajo de Chand [ 9 ] pe o usando un suje o di e en e al que se desc ibe en dicho abajo. El modelo gene al de OpenSim co esponde a un suje o de unos 1.8 me os de al u a y 75.16 kilog amos de peso. En el abajo de Chand se ealiza on mediciones sob e 8 suje os sanos caminando a 4 elocidades di e en es, siguiendo el abajo de Liu [ 10 ]. Las a iculaciones sub ala y me a a so- alángica se bloquea on en ángulos ana ómicos neu os. El p o ocolo de oma de da os ue el mismo de inido en el abajo de Schwa z [ 16 ]. En el se sigue un p o ocolo Plug-in-Gai usando cáma as Vicon. Es e p o ocolo ue desa ollado en la Uni e sidad de Ox o d y se basa en el modelo Newing on de ma cha [ 11 ]. En el se usan de un nume o mínimo de ma cado es pa a econs ui el mo imien o del suje o. Se a a de un modelo p edic i o, lo que quie e deci que se u ilizan ecuaciones de eg esión pa a ob ene las coo denadas de los cen os de a iculaciones en el sis ema de coo denadas local como unción de pa áme os an opomé icos. La p incipal en aja de es e p o ocolo es que es mínimamen e in asi o [ 11 ]. Se asume que median e el uso de es e p o ocolo se ob u ie on los o ígenes de los sis emas de coo denadas asociados a cada segmen o y las coo denadas de los cen os de las a iculaciones, que cons i uyen los pa áme os cinemá icos del modelo. Pa áme os dinámicos Los pa áme os dinámicos del modelo son necesa ios pa a la esolución de la dinámica in e sa. Los da os necesa ios son las masas y momen os de ine cia de cada segmen o del modelo. Con es os da os se cons uye la ma iz de masa que apa ece en la ecuación dinamica. En es e abajo es os pa áme os se han omado del código de OpenSim. Es os pa áme os es án basados en da os medios an opomé icos ob enidos de cinco suje os pa a odos los segmen os excep o pa a calcáneo y dedos. Pa a es os úl imos los da os se ob ienen de ep esen a su olumen a pa i de la medida de una zapa illa de enis [2]. 3.2 Modelos simpli icados La p ime a simpli icación ealizada consis e en conside a el pie como monosegmen o. Aunque, como se ha is o, en el modelo o iginal el pie es a o mado po es cue pos ( alón, calcáneo y oes) unidos po dos a iculaciones (sub ala y me a a so- alángica) en las opciones po de ec o de OpenSim es as a iculaciones se ue zan a ce o, po lo que en ealidad el pie se modela como un segmen o único. Es a simpli icación se en ende á mucho mejo as habe leído el capi ulo dedicado a la cinemá ica in e sa. La segunda simpli icación se omo du an e el desa ollo del modulo de dinámica in e sa debido a la di icul ad del a amien o del spline de la odilla. De es a mane a, se elimino el desplazamien o ela i o en e ibia y ému con i iéndose la a iculación de la odilla en un pa de o ación sencillo. La posición de es e cen o de o ación se hizo ija y se omo como la media de las posiciones pa a cada uno de los alo es del spline. En la Figu a 3.6 se ep esen a el mo imien o que ealiza el o igen de la ibia en el plano sagi al conside ando el spline pa a odos los alo es posibles de angulo de lexión de la odilla compa ado con el eje ijo que se oma al elimina el spline. 4 Cinemá ica In e sa En el p esen e capí ulo se explica cómo se ha esuel o el p oblema cinemá ico in e so. El obje i o de es e p oblema es calcula el alo de las coo denadas gene alizadas a pa i de las coo denadas de los ma cado es del modelo. La ob ención del alo de es as coo denadas se ha explicado en el apa ado de medidas expe imen ales y como se u ilizan pa a ob ene los pa áme os cinemá icos del modelo se ha explicado en el apa ado co espondien e del segundo capi ulo. Con es os da os de pa ida ya se puede plan ea el p oblema cinemá ico in e so. En es e capi ulo se explica en p ime luga como se o mula, pa a pos e io men e desc ibi como se ha implemen ado en Ma lab y inalmen e p esen a los esul ados ob enidos y su compa ación con los de OpenSim. 4.1 Fo mulación De la mane a en que es á plan eado el p oblema se iene una mayo nume o de ecuaciones que incógni as. Las ecuaciones son la posición de 31 ma cado es (de alo conocido) en unción de las coo denadas gene alizadas. Po an o se ienen 93 ecuaciones (3 po cada ma cado ) en e a 23 incógni as (el alo de las coo denadas gene alizadas). Se es a po an o en e a un sis ema de ecuaciones sob ede e minado. La solución pasa po an o po encon a el alo de las coo denadas gene alizadas no que cumplan las 93 ecuaciones si no que p oduzcan el meno e o posible. Tenemos po an o una op imizacion numé ica en la que la unción a minimiza es el e o come ido y se de ine de la siguien e mane a [5]. min"∑ iεma cado es ωi||xexp i−xi(q)||2+∑ jεcoo denadas p esc i as ωj(qexp j−qj)2#(4.1) Donde: •ωies un peso asociado al ma cado i •ωjes un peso asociado a la coo denada gene alizada j •xexp ies la posición en globales del ma cado i egis ada en el labo a o io •xi(q) es la posición en globales del ma cado i calculada analí icamen e a pa i de los alo es de las coo denadas gene alizadas, como se ha explicado en el capí ulo dedicado a los concep os eó icos. •qexp j es el alo de la coo denada gene alizada j que el usua io puede o za a que enga un alo de e minado (coo denada de alo p esc i o) •qjes el alo de la coo denada gene alizada j ob enida de mane a analí ica 23 24 Capí ulo 4. Cinemá ica In e sa Se ap ecia que es e e o iene una componen e asociada a la posición de los ma cado es y o a asociada a las coo denadas gene alizadas. La componen e asociada a la posición de los ma cado es es la ob ia, ya que se p e ende que la posición calculada de los ma cado es se pa ezca lo máximo posible a la ob enida de mane a expe imen al. La con ibución del e o de cada ma cado se con ola median e el peso asociado. En es e abajo se han u ilizado los ec o es de pesos po de ec o de OpenSim. En cuan o al ec o de pesos ωi es e con iene pesos mas al os pa a los ma cado es mas ce canos al hueso y mas bajos pa a aquellos que pueden mo e se debido al mo imien o del ejido blando. Es o se debe a que es e mo imien o de ejido blando des i úa la hipó esis omada de que cada cue po es un solido ígido e in oduce e o es en la econs ucción del mo imien o muy impo an es. De es a mane a, pa a los ma cado es R.ASIS y L.ASIS, colocados en el pun o mas an e o-supe io de la c es a iliaca (un pun o ana ómico ácilmen e econocible y muy ce cano al hueso de la pel is), se ienen unos pesos de 10 en e a los ma cado es colocados en el muslo, que ienen un peso asociado unidad ya que es a án some idos al mo imien o de odo la muscula u a del muslo. Figu a 4.1 Ma cado es de la pel is y del muslo. En la Tabla 4.1 se ap ecia el peso ωiasociado a cada ma cado . Po su pa e, la segunda componen e del e o an solo si e si hay alguna coo denada de alo p esc i o. En las opciones po de ec o de OpenSim las únicas coo denadas de alo p esc i o han sido las asociadas al mo imien o del pie, es deci , sub ala _angle y m p_angle. Ambas se ue zan a ce o con un peso asociado de 1000. De es a mane a, aunque o iginalmen e el modelo conside a el pie o mado po es segmen os, en la p ac ica se iene un pie monosegemen o. En odo momen o se sigue el p o ocolo de econs ucción del mo imien o conocido como LOM (Local Op imiza ion Me hod). Es e mé odo se cen a en minimiza el e o come ido al ob ene la posición de los ma cado es en unción de las coo denadas gene alizadas sin impone ninguna es icción cinemá ica sob e ellas. Es e mé odo se con apone al mé odo AM (Adap a ion Me hod), el cual desp ecia el e o come ido limi ándose a impone sob e las posiciones de los ma cado es las es icciones cinemá icas del modelo. [11] En un p incipio se u ilizo la o mula p esen ada en la ecuación (4.1) pa a calcula el e o . Los esul ados ob enidos usando es a o mulación se p esen an como “modelo o iginal Delp” en la sección de esul ados. Pos e io men e, se elimino la pa e del e o asociada al alo de las coo denadas gene alizadas y se u ilizo la es icción que pe mi e mincon Aeqx=beq pa a o za las 4.1 Fo mulación 25 Tabla 4.1 Peso asociado a cada ma cado . Ma cado ωi S e num 1 R.Ac onium 0.5 L.Ac onium 0.5 TopHead 0.1 R.ASIS 10 L.ASIS 10 V.Sac al 10 R.Thigh.Uppe 1 R.Thigh.F on 1 R.Thigh.Rea 1 R.Shank.Uppe 1 R.Shank.F on 1 R.Shank.Rea 1 R.Heel 10 R.Mid oo .Sup 1 R.Mid oo .La 1 R.Toe.La 1 R.Toe.Med 1 R.Toe.Tip 10 L.Thigh.Uppe 1 L.Thigh.F on 1 L.Thigh.Rea 1 L.Shank.Uppe 1 L.Shank.F on 1 L.Shank.Rea 1 L.Heel 10 L.Mid oo .Sup 1 L.Mid oo .La 1 L.Toe.La 1 L.Toe.Med 1 L.Toe.Tip 10 coo denadas a ce o. La unción obje i o queda como sigue: min"∑ iεma cado es ωi||xexp i−xi(q)||2#(4.2) Donde: •ωies un peso asociado al ma cado i •xexp ies la posición en globales del ma cado i egis ada en el labo a o io •xi(q)es la posición en globales del ma cado i calculada analí icamen e Los esul ados ob enidos usando es a o mulación se p esen an como “modelo o iginal con bloqueo” en la sección de esul ados. Tan o en es os esul ados como los siguien es que se p esen an se ha seguido es a o mulación, ya que se consigue un meno iempo de ejecución. 26 Capí ulo 4. Cinemá ica In e sa Una segunda mejo a en la ejecución del código se desa ollo cuando se descub e que la pa e mas cos osa compu acionalmen e es la que co esponde a la cons ucción de los splines pa a halla la posición del o igen de la ibia. Así, se cons uyó un modelo simila al o iginal pe o no conside ando el desplazamien o ela i o en e ému y ibia, po lo que la odilla se modela como un pa de o ación. Es e modelo p odujo una educción del iempo de ejecución bas an e impo an e y se p esen a en la sección de esul ados como “modelo sin splines”. La ul ima mejo a consis ió en elimina del modelo sin splines las coo denadas gene alizadas asociadas a los g ados de libe ad del pie. De es a mane a, los segmen os alón, calcáneo y dedos pasan a combina se en uno solo denominado pie. Es asumible ealiza es a simpli icación ya que aunque el modelo o iginal del pie es mul isegmen o, en la p ác ica los g ados de libe ad asociados a dichos segmen os se es ingen. Con es a simpli icación, al elimina se los dos úl imos segmen os de la cadena cinemá ica, que gene an exp esiones mas complicadas, la esolución del p oblema se uel e más sencilla. Los esul ados cinemá icos de es e modelo se p esen an en la sección de esul ados como “modelo monosegmen o sin splines”. 4.2 Modelado en Ma lab La op imización numé ica se ha lle ado a cabo usando la unción de Ma lab mincon , un algo i mo que busca el mínimo de una unción de a ias a iables no lineal y es ingida [ 1 ]. Es e algo i mo plan ea el p oblema de minimización de la siguien e o ma. m´ ın x (x) al que           c(x)≤0 ceq =0 Ax ≤b Aeqx=beq lb≤x≤ub (4.3) En un p ime momen o, los únicos pa áme os que se u iliza on ue on los limi es supe io e in e io lb y ub con los mismos alo es que oma OpenSim po de ec o. Pos e io men e se uso la es icción Aeqx=beq. En un p ime momen o se u ilizo lenguaje simbólico pa a de ini la o mula del e o a minimiza en el modulo. El obje i o e a calcula el g adien e del e o de o ma simbólica pa a pasa lo a la unción mincon, mejo ando de es a mane a su endimien o. Sin emba go, aunque se consiguió halla de o ma simbólica la o mula del e o , la ex ensión del g adien e hacia muy poco p ac ico su uso. Los esul ados ac uales su gen de habe usado calculo numé ico en MATLAB, después de habe ealizado una op imización del código pa a mejo a el endimien o, ya que en un p ime momen o el modulo empleaba un iempo de unos 30 minu os, un iempo p ohibi i o. La op imización del código se lle o a cabo usando cuando e a posible ec o ización, al se el modo en el que es a pensado Ma lab pa a unciona y minimizando el nume o de ope aciones a ealiza . Po o a pa e se ha u ilizado una unción ecu en e siemp e que ha sido posible. Es o consis e en ap o echa los cálculos ya ealizados y supone una en aja cuando se hace uso de coo denadas ela i as. En cuan o al algo i mo u ilizado, el que mejo esul ados ha dado ha sido el sqp (sequen ial quad a ic p og amming) en e al in e io poin . Los c i e ios de con e gencia han sido TolFun 1e-4 (como OpenSim) y máximo nume o de i e aciones 400 ( en e a 1000 de OpenSim). A con inuación se desc ibe de mane a ab e iada la es uc u a del código: • o _ma , o _pie , o _ odilla : es as unciones si en pa a calcula las ma ices de o ación empleadas en el modelo. La unción o _ma de uel e la ma iz de o ación asociada a pel is, cade a y espalda dados los es ángulos de Eule en adianes; la ma iz o _pie de uel e la ma iz de o ación asociada a obillo, a iculación sub ala o me a a so- alángica en unción de la coo denada gene alizada asociada; la unción o _ odilla de uel e la 4.3 P esen ación de esul ados 27 ma iz de o ación asociada a la odilla dado el alo de la coo denada gene alizada knee angle. • calcula_globales : es a unción de uel e la posición en coo denadas globales de un pun o dados su posición en el sis ema de coo denadas local así como el o igen y la ma iz de o ien ación asociados a es e. • cinema ica2392 : es a unción de uel e las posiciones de los ma cado es del modelo dado el ec o de coo denadas gene alizadas q. En es a unción se llama an o a las unciones o _ma , o _pie y o _ odilla como a la unción calcula_globales . • sq_e : es a unción calcula el alo de la unción obje i o pa a un ins an e de iempo dados el ec o de coo denadas gene alizadas y las posiciones de los ma cado es medidas de o ma expe imen al. Es a unción llama a la unción cinema ica2392 . • ik_main : es el código p incipal en el que se esuel e el p oblema cinemá ico in e so eali- zando la op imización desc i a al p incipio del capi ulo. En es a unción se ealiza un bucle en el que se llama a mincon pa a minimiza la unción sq_e pa a cada ins an e de iempo. Una ez ejecu ado es e código se ob iene el alo de las coo denadas gene alizadas pa a cada ins an e de iempo, que se analizan en el siguien e apa ado. 4.3 P esen ación de esul ados 4.3.1 Modelo o iginal Delp De la Figu a 4.2 a la Figu a 4.5 se ep esen an los alo es ob enidos de las coo denadas gene alizadas en e al po cen aje del ciclo de ma cha usando es a o mulación compa ados con los de OpenSim. Se obse a que los esul ados ob enidos son casi idén icos a los de OpenSim pe o con un iempo de ejecución mucho mayo , 73 segundos en e a an solo 2. En la Figu a 4.3 y la Figu a 4.4 se obse a que se ob ienen alo es ce canos a ce o pa a las coo denadas sub ala angle y m p angle, pe o con mucho uido. El e o se ha calculado usando la ó mula p opues a po [ 12 ] pa a halla el e o esidual asociado a la posición de cada ma cado : ei=1 n ∑ j ||xexp ij −xij(q)|| (4.4) Donde xexp ij es la posición en el ins an e j del ma cado i egis ada en el labo a o io , xi(q) es la posición en el ins an e j del ma cado i calculada analí icamen e y n el núme o de ins an es de iempo conside ados. Pos e io men e se calcula una media ponde ada de los e o es de cada ma cado : e o =∑iωiei ∑iωi (4.5) Donde ωies un peso asociado al ma cado i Tabla 4.2 Compa ación de mé odos IK. Modelo E o (cm) Tiempo de ejecución (s) OpenSim 0.7797 2 Modelo o iginal Delp 0.7795 73 34 Capí ulo 4. Cinemá ica In e sa Tabla 4.6 E o asociado a cada ma cado . Ma cado Modelo o iginal Delp Modelo o iginal con bloqueo Modelo sin splines Modelo sin splines monosegmen o S e num 2.04 2.04 2.19 2.19 R.Ac onium 7.75 7.75 7.95 7.95 L.Ac onium 6.19 6.19 6.36 6.36 TopHead 3.26 3.26 3.23 3.23 R.ASIS 0.58 0.58 0.65 0.65 L.ASIS 0.72 0.72 0.77 0.77 V.Sac al 0.93 0.93 0.69 0.69 R.Thigh.Uppe 1.49 1.49 1.47 1.47 R.Thigh.F on 1.80 1.80 1.85 1.85 R.Thigh.Rea 1.31 1.31 1.36 1.36 R.Shank.Uppe 0.80 0.80 0.89 0.89 R.Shank.F on 0.95 0.95 1.14 1.14 R.Shank.Rea 0.63 0.63 0.64 0.64 R.Heel 0.46 0.46 0.56 0.56 R.Mid oo .Sup 0.71 0.71 0.58 0.58 R.Mid oo .La 0.67 0.67 0.75 0.75 R.Toe.La 0.93 0.93 0.95 0.95 R.Toe.Med 0.80 0.80 0.73 0.73 R.Toe.Tip 0.36 0.36 0.34 0.34 L.Thigh.Uppe 1.74 1.75 1.73 1.73 L.Thigh.F on 2.18 2.18 2.16 2.16 L.Thigh.Rea 1.69 1.69 1.67 1.67 L.Shank.Uppe 0.93 0.93 0.98 0.98 L.Shank.F on 0.94 0.94 0.98 0.98 L.Shank.Rea 0.78 0.78 0.79 0.79 L.Heel 0.58 0.58 0.62 0.62 L.Mid oo .Sup 1.09 1.09 0.99 0.99 L.Mid oo .La 0.62 0.62 0.69 0.69 L.Toe.La 0.72 0.72 0.78 0.78 L.Toe.Med 0.74 0.74 0.65 0.65 L.Toe.Tip 0.46 0.46 0.45 0.45 5 Dinámica In e sa En el p esen e capí ulo se explica cómo se ha esuel o el p oblema dinámico in e so. El obje i o de es e p oblema es calcula el alo de las ue zas y momen os en las a iculaciones a pa i del alo de las coo denadas gene alizadas ob enidas en la esolución del p oblema cinemá ico in e so. En es e capi ulo se explica en p ime luga como se o mula, pa a pos e io men e desc ibi como se ha implemen ado en Ma lab y inalmen e p esen a los esul ados ob enidos y su compa ación con los de OpenSim. 5.1 Fo mulación Pa a es e módulo la o mulación se educe a esol e el conjun o de ecuaciones de New on-Eule que se han desc i o en el capí ulo dedicado a los concep os eó icos. Qgdl =M(q)¨ q−Q (q,˙ q)−Qg a (q)(5.1) 5.2 Modelado en Ma lab A con inuación se p esen a un ex ac o del código en el que se ap ecia que la elocidad angula de la pel is se calcula siguiendo la o mulación del p o eso Escalona, mien as que las elocidades angula es de espalda y cade a se de inen di ec amen e ya que su exp esión es análoga a la de la pel is. Código 5.1 Codigo de gene acion de ma ices simbolicas. %% De i adas de las ma ices de o acion dA_pel is = de i a_ma iz_op imizado(A_pel is,dq); w_pel is_sk = simpli y(A_pel is' * dA_pel is); w_pel is = an i_skew (w_pel is_sk); % aqui empieza lo in e esan e w_back = [dq18*cos(q19) - dq17*cos(q18)*sin(q19); dq19 + dq17*sin(q18); dq18*sin(q19) + dq17*cos(q18)*cos(q19)]; % misma exp esion que w_pel is pe o con q17,q18,q19 35 36 Capí ulo 5. Dinámica In e sa w_hip_ = [dq8*cos(q9) - dq7*cos(q8)*sin(q9); dq9 + dq7*sin(q8); dq8*sin(q9) + dq7*cos(q8)*cos(q9)]; % misma exp esion que w_pel is pe o con q7,q8,q9 w_hip_l = [dq13*cos(q14) - dq12*cos(q13)*sin(q14); dq14 + dq12*sin(q13); dq13*sin(q14) + dq12*cos(q13)*cos(q14)]; % misma exp esion que w_pel is pe o con q12,q13,q14 El p oceso de c eación de las ma ices dinámicas es el siguien e: en p ime luga uso de calculo simbólico pa a ob ene las exp esiones de odas las ma ices necesa ias. En ese mismo código, uso de la unción ma labFunc ion pa a con e i odas las exp esiones en unciones de Ma lab. Pos e- io men e y en o o código, llamada a dichas unciones pa a esol e el p oblema de o ma numé ica. Código 5.2 Codigo de gene acion de ma ices simbolicas. q = sym('q',[19 1],' eal') ; dq = sym('dq', [19 1],' eal'); syms q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 q10 q11 q12 q13 q14 q15 q16 q17 q18 q19 eal syms dq1 dq2 dq3 dq4 dq5 dq6 dq7 dq8 dq9 dq10 dq11 dq12 dq13 dq14 dq15 dq16 dq17 dq18 dq19 eal G_pel is = jacobian(w_pel is,dq); ma labFunc ion(G_pel is,'File','G_pel is_maza','Va s', {q,dq}) Código 5.3 Uso de ma ices simbolicas. clea all close all clc load('qop _sin_spline') o i= 1:119 G_pel is_modelo = G_pel is_maza (q(:,i),dq(:,i)); T(:,i) = S Q_accion; end Con iene acla a que las coo denadas gene alizadas se han il ado u ilizando un il o pasobajo IIR omado de OpenSim y aducido a Ma lab. La ecuencia de co e escogida han sido 6 Hz, como hace OpenSim de mane a p ede e minada. Sin es e il o las ue zas gene alizadas ienen mucho uido ya que son p opo cionales a la de i ada segunda de las coo denadas gene alizadas. El iempo de ejecución del código que esc ibe las unciones es bas an e ele ado, debido a que se hace uso de calculo simbólico. Una de las a eas mas cos osas compu acionalmen e es cuando se ejecu a ma labFunc ion. En los casos de ma ices con una exp esión mas compleja es necesa io 5.3 P esen ación de esul ados 37 0.5 1 1.5 2 2.5 (s) 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 deg pel is il o iginal il ado Figu a 5.1 Fil ado. 0.5 1 1.5 2 2.5 (s) -30 -20 -10 0 10 20 30 deg/s de i ada de pel is il o iginal il ado Figu a 5.2 Fil ado. desac i a la op imización que Ma lab hace po de ec o al c ea la unción. Es o se lle a a cabo u ilizando la opción Óp imize’, alse. Po su pa e, el iempo de ejecución del código que e alúa numé icamen e las ma ices y ob iene el alo de los momen os pa a cada ins an e de iempo es de unos 10 segundos. 5.3 P esen ación de esul ados El alo de las coo denadas gene alizadas u ilizado como da o de pa ida ha sido el ob enido con el modelo monosegmen o sin splines. De la Figu a 5.3 a la Figu a 5.6 se p esen an los esul ados ob enidos y su compa ación con los de OpenSim. Se ap ecia que se ob ienen esul ados ap oximados a los de OpenSim excep o pa a los momen os en la pel is y el momen o de lexión del obillo. En ambos casos se desconoce el mo i o po el que no se ob ienen unos buenos esul ados. En la Tabla 5.1 se p esen a el e o cuad á ico medio come ido pa a cada ue za gene alizada. 38 Capí ulo 5. Dinámica In e sa 0 50 100 % ciclo ma cha 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 N pel is y o ce calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -150 -100 -50 0 50 100 150 N pel is x o ce calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -150 -100 -50 0 50 100 N pel is z o ce calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Nm pel is il momen calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Nm pel is lis momen calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Nm pel is o a ion momen calculado opensim Figu a 5.3 Resul ados dinámicos pa a la pel is. 0 50 100 % ciclo ma cha -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 Nm hip lexion momen calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -15 -10 -5 0 5 10 15 Nm hip adduc ion momen calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Nm hip o a ion momen calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 Nm knee lexion momen calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Nm ankle lexion momen calculado opensim Figu a 5.4 Resul ados dinámicos pa a la pie na de echa. 0 50 100 % ciclo ma cha -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Nm hip l lexion momen calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -15 -10 -5 0 5 10 15 Nm hip l adduc ion momen calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Nm hip l o a ion momen calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 Nm knee l lexion momen calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Nm ankle l lexion momen calculado opensim Figu a 5.5 Resul ados dinámicos pa a la pie na izquie da. 5.3 P esen ación de esul ados 39 0 50 100 % ciclo ma cha -5 0 5 10 15 20 25 30 Nm lumba ex ension momen calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Nm lumba bending momen calculado opensim 0 50 100 % ciclo ma cha -6 -4 -2 0 2 4 6 Nm lumba o a ion momen calculado opensim Figu a 5.6 Resul ados dinámicos pa a la espalda. Tabla 5.1 E o asociado a cada ue za gene alizada. Fue za gene alizada E o (N o Nm) pel is_ y_ o ce 63.38 pel is_ x_ o ce 31.33 pel is_ z_ o ce 26.82 pel is_ il _momen 42.11 pel is_lis _momen 15.97 pel is_ o a ion_momen 5.55 hip_ _ lexion_momen 14.47 hip_ _adduc ion_momen 3.08 hip_ _ o a ion_momen 1.52 knee_ _ lexion_momen 5.59 ankle_ _ lexion_momen 1.96 hip_l_ lexion_momen 10.29 hip_l_adduc ion_momen 3.46 hip_l_ o a ion_momen 1.28 knee_l_ lexion_momen 5.55 ankle_l_ lexion_momen 0.36 lumba _ex ension_momen 4.06 lumba _bending_momen 9.44 lumba _ o a ion_momen 1.55 6 Conclusiones La s conclusiones gene ales que se pueden ex ae de la ealización de es e abajo es que se ob ienen unos esul ados muy simila es a los ob enidos po OpenSim pe o con un iempo de ejecución mucho mayo . Es o se debe a que OpenSim es a p og amado en C++, un lenguaje de p og amación compilado. Ma lab mas que un lenguaje de p og amación es una he amien a de calculo, muy po en e, pe o que no se puede en en a a o os lenguajes de p og amación. También hay que ene en cuen a que el p og ama de OpenSim ha sido desa ollado po un equipo con ingenie os de so wa e, lo que da una idea de la impo ancia que iene un código bien esc i o y op imizado pa a las simulaciones cinemá icas y dinámicas. En cuan o a los di e en es modelos plan eados, se conside a que el modelo monosegmen o sin splines es adecuado pa a el obje i o p opues o de emula a OpenSim ya que con el se ob ienen alo es muy simila es a los del p og ama y además pe mi e lle a a cabo el módulo de dinámica in e sa en Ma lab. En cuan o a los esul ados ob enidos en es e úl imo módulo pa a los momen os en la pel is y el momen o de lexión del obillo no se ob ienen alo es simila es a los de OpenSim po alguna azón desconocida. Una posible mejo a de es e abajo pasa ía po ob ene los esiduales dinámicos pa a e alua el e o come ido en los esul ados dinámicos en luga del e o cuad á ico medio. O a pasa ía po aba ca no solo el modelo gai 2392, si no muchos más y que al comienzo del p og ama se le p egun a a al usua io que modelo quie e usa y con qué opciones. Es o pe mi i ía que usua ios sin muchos conocimien os de p og amación pudiesen usa el p og ama y a la ez, al es a p og amado en Ma lab, un lenguaje mas sencillo que C++, que usua ios con mayo es conocimien os de p og a- mación pudiesen modi ica el código. O a posible mejo a de es e abajo pasa ía po hace uso de Py hon, un lenguaje de p og amación o ien ado a obje os que dispone de lib e ías muy in e esan es de álgeb a ma icial. Los p incipales e os a los que se ha enido que hace en e en el desa ollo de es e abajo han sido en p ime luga la necesa ia comp ensión del modelo gai 2392 pa a p og ama su cinemá ica. Pos e io men e, en el modulo de dinámica in e sa Ma lab se quedaba sin memo ia al halla las ma- ices dinámicas u ilizando los p ocedimien os desc i os en el documen o del p o eso JL Escalona. Es e p oblema quedo sol en ado al calcula las elocidades angula es de mane a di ec a como se explica en el capi ulo dedicado a la dinámica in e sa. La con inuación na u al de es e abajo pasa en p ime luga po la p og amación en Ma lab del modulo de Op imización es á ica. Es e modulo consis e en, a pa i de los alo es de los momen os 41 42 Capí ulo 6. Conclusiones en las a iculaciones ob ene el alo de las ue zas p oducidas po cada musculo en cada ins an e de iempo. Es as ue zas se ob ienen de una minimización de la suma de las ac i aciones de los músculos al cuad ado. El hecho de que sea necesa ia una op imización se debe a que po cada momen o exis e mas de un musculo que con ibuye a ealiza lo, po lo an o es necesa io un c i e io pa a de alguna mane a epa i que musculo hace mas o menos ue za. En es e caso el c i e io es la minimización de las ac i aciones muscula es, lo cual es una mane a de minimiza la po encia muscula necesa ia pa a ealiza el mo imien o. El o o p oblema de es e modulo se p oduce al de i a numé icamen e el alo de las coo denadas gene alizadas pa a ob ene elocidades y acele aciones, ya que, como es conocido, la de i ación hace se p oduzca uido en las señales de elocidad y acele ación. Bibliog a ía [1] mincon doc page,h ps:// es.ma hwo ks.com/ help/ op im/ ug/ mincon.h ml. [2] Gai 2392 and 2354 models,h ps:// sim k-con luence.s an o d.edu/ display/ OpenSim/ Gai + 2392+y+2354+Models. [3] B. B esle and J.P. F ankel, The o ces and momen s in he leg du ing le el walking, T ansac- ions o he Ame ican Socie y o Mechanical Enginee s 72 (1950), 27–36. [4] M. Damsgaa d, J. Rasmussen, S.T. Ch is ensen, E. Su ma, and M. de Zee, Analysis o muscu- loskele al sys ems in he AnyBody Modeling Sys em, Simula ion Modelling P ac ice and Theo y 14 (2006), no. 8, 1100–1111. 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