Ecuaciones diferenciales estocásticas con aplicaciones en finanzas

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y AN´ ALISIS NUM´ ERICO TRABAJO FIN DE GRADO: ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOC ´ ASTICAS CON APLICACIONES EN FINANZAS Luc´ıa Baqueiro Vidal Sevilla, 2017-2018 Tutor: Mar´ıa Jos´e Garrido Atienza ´ Indice general Resumen IV Introducci´on VI 1. Preliminares 1 1.1. Probabilidad ............................... 1 1.1.1. Espacios L2y convergencia en media cuadr´atica . . . . . . . 2 1.2. Procesos estoc´asticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Movimiento Browniano 5 2.1. Introducci´on hist´orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2. Movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Integrales de Itˆo 9 3.1. Ruido ................................... 9 3.2. IntegraldeItˆo............................... 11 3.2.1. Construcci´on de la Integral de Itˆo . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2.2. Integral de Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3. F´ormuladeItˆo .............................. 20 4. Ecuaciones Diferenciales Estoc´asticas 25 4.1. Existencia y Unicidad de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5. Aplicaci´on a la Matem´atica Financiera 33 5.1. Introducci´on hist´orica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2. Conceptos financieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3. Formulaci´on Matem´atica del problema Precio Opci´on . . . . . . . . 39 5.4. F´ormula de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ii Resumen En este trabajo vamos a ver como se comporta, a diferencia de una integral de Riemann-Stieljes, una integral estoc´astica. Desarrollaremos el c´alculo estoc´astico y lo emplearemos para estudiar las ecuaciones diferenciales estoc´asticas, dando un teorema de existencia y unicidad de soluciones. Finalmente, estudiaremos c´omo se aplican estas ecuaciones en Finanzas, exponiendo el modelo de Black&Scholes muy recurrido en el mercado financiero. Modelaremos un problema de mercado mediante ecuaciones diferenciales estoc´asticas y daremos una soluci´on expl´ıcita mediante la f´ormula de Black-Scholes. Abstract In this document we are going to discusse how it behaves, in contrast to a RiemannStieljes integral, a stochastic integral. We will develop the stochastic calculus and we will use it to study the stochastic differential equations giving a theorem of existence and uniqueness of solutions. Finally, we will study how these equations are applied in finance, exposing the Black&Scholes model very resorted in the financial market. We will model a problem of market through stochastic differential equations, and give an explicit solution using the Black-Scholes formula. iv Introducci´on La motivaci´on para la realizaci´on de este trabajo ha sido adentrarme en el campo de la Matem´atica Financiera, donde pretendo desarrollar mi futura carrera laboral. Ha sido un ´arduo trabajo personal, pero a la vez muy enriquecedor. Empleando los conocimientos adquiridos en el Grado en Matem´aticas, he investigado nuevas ´areas de la matem´atica que desconoc´ıa, bas´andome en los libros [10] y [8] y complement´andolo con la b´usqueda de art´ıculos y tesis doctorales que me dieran una mayor visi´on del tema a tratar. El transcurso del trabajo que se va a exponer ser´a guiado por la b´usqueda de la resoluci´on al siguiente problema: Problema 1 Supongamos que una persona tiene un bien o activo. El precio Xtde su activo en el tiempo tvar´ıa en el mercado de acuerdo a la siguiente ecuaci´on diferencial estoc´astica, dXt dt =cXt+σXt·“ruido” , donde cyσson constantes. L´ogicamente, esa persona est´a interesada en predecir el valor de su activo en un futuro, conociendo el comportamiento que este ha tenido hasta el presente, para tomar las decisiones financieras que m´as le convengan. Esta ecuaci´on tiene una parte determinista, f´acil de interpretar. El problema surge con el t´ermino que introduce la aleatoriedad en la ecuaci´on, lo que llamamos ruido. Por tanto, nuestro objetivo ser´a interpretar todos los t´erminos de la ecuaci´on y buscar posibles soluciones. En el Cap´ıtulo 1 se enuncian conceptos previos de probabilidad que ser´an empleados posteriormente, as´ı como la exposici´on de procesos estoc´asticos, presentes en todo el trabajo. En el Cap´ıtulo 2 nos centraremos en un proceso estoc´astico en particular, el movimiento browniano. En este cap´ıtulo se puede encontrar una breve introducci´on hist´orica de c´omo fue descubierto, su definici´on, caracter´ısticas y algunos resultados a destacar. El Cap´ıtulo 3 es un bloque m´as extenso donde se interpreta el t´ermino que introduce aleatoriedad en la ecuaci´on estoc´astica del problema planteado, es decir, el ruido. Haremos una primera aproximaci´on interpretando el ruido como un proceso estoc´astico pero veremos que no es suficiente, por lo que debemos exigirle el cumplimiento de algunas condiciones m´as, definiendo as´ı el proceso de ruido blanco. Ahora bien, al sustituir el ruido por el proceso de ruido blanco en la ecuaci´on del problema vi planteado llegaremos a otra encrucijada: probar la existencia de la integral resultante respecto al movimiento browniano, el cual tiene variaci´on no acotada y es no diferenciable en (casi) ning´un punto por lo que no sigue el c´alculo integral cl´asico, y como resolver dicha integral. La soluci´on a este dilema la encontraremos mediante el c´alculo estoc´astico con la construcci´on de la Integral de Itˆo y la F´ormula o Lema de Itˆo. Una vez solucionado el problema de la integral de Itˆo, en el Cap´ıtulo 4 ya estamos en disposici´on de estudiar la Ecuaci´on Diferencial Estoc´astica, pues conocemos todos los t´erminos que la componen. Pero ahora debemos dar un resultado para garantizar que tenga soluci´on y esta sea ´unica, por lo que exponemos el Teorema de Existencia y Unicidad de Soluciones. Por ´ultimo, en el Cap´ıtulo 5 damos soluci´on al problema planteado, adentr´andonos en la Matem´atica Financiera. En esta ´ultima parte, empezamos dando una introducci´on hist´orica para contextualizar de d´onde y por qu´e ha surgido esta nueva ´area de la matem´atica. Posteriormente, definiremos unos conceptos b´asicos en finanzas, necesarios para el buen entendimiento del problema que nos ocupa. Y, por ´ultimo, veremos una aplicaci´on de todo lo estudiado en los cap´ıtulos anteriores mediante el modelado del precio de opciones en el mercado. Esto ser´a posible gracias a la F´ormula precio opci´on de Black-Scholes descubierta por Fishcher Black y Myron Scholes en 1973, gracias a la cual fueron galardonados con el Premio Nobel de Econom´ıa en 1997, pues supuso una herramienta indispensable hoy d´ıa en las transacciones de opciones y otros derivados financieros. vii Cap´ıtulo 1 Preliminares 1.1. Probabilidad Vamos a repasar unos conceptos b´asicos de probabilidad presentes en este trabajo. De aqu´ı en adelante consideramos el espacio de probabilidad que consta de una terna ordenada (Ω,F,P). Ω , llamado espacio muestral y cuyo elemento t´ıpico es ω, es un conjunto arbitrario que en nuestro caso representa el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. F, llamada σ-´algebra, es una colecci´on no vacia de subconjuntos de Ω cerrada bajo las operaciones de complementos y uniones numerables, y cuyos elementos se les llama eventos o conjuntos medibles. La pareja de estos dos (Ω,F) se le denomina espacio medible (en particular, si B(R) es la σ-´algebra m´as peque˜na que contiene a todos los intervalos abiertos de R, entonces se tiene el espacio medible (R,B(R)) y los elementos de B(R) se denominan Borelianos oconjuntos de Borel medibles. Por ´ultimo, P, llamada medida de la probabilidad, es una funci´on P:F → [0,1] que cumple los siguientes axiomas (Kolmogorov, 1993): P(Ω) = 1 σ-aditiva: si A1,A2,... es una sucesi´on de eventos, disjuntos dos a dos =⇒ P(∪∞ n=1 An) = P∞ n=1 P(An). Las medidas de probablididad nos permiten representar las leyes del azar. As´ı, el n´umero P(A) es una medida de la frecuencia con la que se observa el evento Aal realizar un experimento aleatorio. Definici´on 1.1.1 (Variable aleatoria) Una variable aleatoria es una funci´on X: Ω→Rtal que para cualquier B∈ B(R), el conjunto X−1B={ω∈Ω : X(ω)∈B} es un elemento de F. AXse le denomina funci´on medible entre los espacios medibles (Ω,F)y(R,B(R)) o funci´on F-medible 1 8 Cap´ıtulo 3 Integrales de Itˆo Retomando nuestro objetivo de interpretar todos los t´erminos y estudiar posibles soluciones de las ecuaciones con forma dX dt =b(t, Xt) + σ(t, Xt)·“ruido” ,(3.1) donde byσson funciones dadas y vamos ahora a buscar una interpretaci´on matem´atica para el “ruido”. 3.1. Ruido Veamos brevemente que es esto del “ruido”, que es utilizado en todas las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales estoc´asticas para modelar la din´amica del sistema sometido a influencias externas. El ruido es una se˜nal aleatoria que tiene caracter´ısticas y propiedades estad´ısticas. Una de ellas, la densidad espectral (potencia y distribuci´on en el espectro de frecuencia), es la que se utiliza para diferenciar los tipos de ruidos y su clasificaci´on se hace por colores. Al tipo de procesos en los que la funci´on espectral no es una constante se les denomina ruido de color, por el contrario, en los que s´ı lo son se les denomina ruido blanco. Este ´ultimo es el tipo de ruido que nos interesa para nuestro problema. Nos centraremos en el caso del ruido 1-dimensional. Es razonable pensar en un proceso estoc´astico Wtpara representar el ruido, quedando la ecuaci´on (3.1) de la forma, dX dt =b(t, Xt) + σ(t, Xt)Wt.(3.2) Adem´as, bas´andonos en situaciones reales de diversos campos como por ejemplo en Ingenier´ıa, Wtdeberia cumplir al menos las siguientes propiedades: i) Si t16=t2entonces Wt1yWt2son independientes. ii) {Wt}esestacionario, es decir, la distribuci´on conjunta de {Wt1+t,··· , Wtk+t} no depende de t. iii) E[Wt] = 0 para todo t. 9 Problema:No existe ning´un proceso estoc´astico “razonable” que satisfaga las condiciones i)yii), pues Wtno podr´ıa tener tener trayectorias continuas. Si adem´as le pedimos que E[W2 t]=1, entonces la funci´on (t, w)→Wt(w)tampoco puede ser medible, con respecto a la σ-´algebra B × F, donde Bes la σ-´algebra de Borel en [0,∞]. Soluci´on: Representamos Wtcomo un proceso estoc´astico llamado proceso de ru´ıdo blanco. Definici´on 3.1.1 (Ruido blanco) Es una se˜nal aleatoria (proceso estoc´astico) que se caracteriza por la no correlaci´on estad´ıstica de sus valores de se˜nal en dos tiempos diferentes y consecuentemente, su densidad espectral de potencia es constante, es decir, su gr´afica es plana. Por tanto, sus valores son independientes e id´enticamente distribu´ıdos a lo largo del tiempo y, adem´as, tiene media nula. Nota 3.1.2 Desde un punto de vista matem´atico, este ruido es una idealizaci´on de una situaci´on real en la que, generalmente, la densidad espectral no es constante pues normalmente los valores de la se˜nal en un tiempo tdependen en cierta medida de los que toma en otro tiempo sdistinto de t. Por tanto, vamor a intentar reescribir la ecuaci´on (3.2) reemplazando Wtpor un proceso estoc´astico adecuado. Sea 0 = t0< t1<··· < tm=ty cogiendo la versi´on discreta de (3.2): Xk+1 −Xk =b(tk, Xk)∆tk+σ(tk, Xk)Wk∆tk,(3.3) donde Xj=X(tj), Wk=Wtk,∆tk=tk+1 −tk. Adem´as, vamos a reemplazar la notaci´on Wkpor Vt, donde {Vt}t≥0es un proceso estoc´astico adecuado y consecuentemente cambiamos Wk∆tkpor ∆Vk=Vtk+1 −Vtk. Las propiedades i), ii) y iii) que asumimos antes para Wtnos indican que ahora Vtdeberia tener incrementos independientes con media 0 y resulta que el ´unico proceso estoc´astico con incrementos estacionarios independientes con media cero y trayectorias continuas es el movimiento browniano Bt(ver [6]). Por tanto, asumiento en la ecuaci´on (3.3) que Vt=Btobtenemos: Xk=X0+ k−1 X j=0 b(tj, Xj)∆t+ k−1 X j=0 σ(tj, Xj)∆Bj. Se puede probar que el l´ımite del lado derecho de la ecuaci´on anterior existe cuando ∆tj→0 as´ı que, haciendo uso de la notaci´on habitual de integraci´on obtenemos, Xt=X0+Zt 0 b(s, Xs)ds + “ Zt 0 σ(s, Xs)dBs” (3.4) y asumimos entonces que en la ecuaci´on (3.1), Xt=Xt(ω) es un proceso estoc´astico el cual satisface la ecuaci´on (3.4). 10 3.2. Integral de Itˆo Nuestro objetivo ahora es probar la existencia de “Zt 0 f(s, w)dBs(w)00 , donde Bt(w) es un movimiento browniano 1-dimensional y funa clase de funciones muy amplia f: [0,∞]×Ω→R. Suponemos 0 ≤S < T y una funci´on f(t, w) dada, la cual tenemos que estudiar sus caracter´ısticas para definir correctamente la integral ZT S f(s, w)dBt(w).(3.5) Vamos a empezar definidiendo (3.5) para funciones simples y luego las extendemos por aproximaci´on. Por tanto, podemos empezar definiendo fde la forma φ(t, ω) = X j≥0 ej(ω)·χ[j2−n,(j+1)2−n)(t), donde χes la funcion car´acter´ıstica y nun n´umero natural. Por tanto, sustituyendo en (3.5) tendriamos ZT S φ(t, ω)dBt(ω) = X j≥0 ej(ω)Btj+1 −Btj(ω),(3.6) donde tk=t(n) k=   k·2−nsi S≤k·2−n≤T Ssi k·2−n<S Tsi k·2−n> T    Problema 2 La variaci´on de la trayectoria del movimiento browniano es demasiado grande para poder definir la ecuaci´on (3.5) en el sentido de Riemann-Stieljes. De hecho, el movimiento browniano no satisface los requisitos necesarios del c´alculo infinitesimal tradicional y necesitamos definir una nueva integral para poder integrar una funci´on no diferenciable en (casi) ning´un punto y de variaci´on infinita en cada intervalo de tiempo. Vamos a ver un ejemplo donde podemos comprobar este problema f´acilmente. Ejemplo 3.2.1 Consideramos dos funciones, φ1(t, ω) = Xj≥0Bj·2−n(ω)·χ[j·2−n,(j+1)2−n)(t) φ2(t, ω) = Xj≥0B(j+1)·2−n(ω)·χ[j·2−n,(j+1)2−n)(t) luego, EZT 0 φ1(t, ω)dBt(ω)=X j≥0 EBtj(Btj+1 −Btj)= 0 , 11 ya que {Bt}tiene incrementos independientes. Pero, EZT 0 φ2(t, ω)dBt(ω)=X j≥0 EBtj+1 ·(Btj+1 −Btj) =X j≥0 E(Btj+1 −Btj)2=T , ya que E(Bt−Bs)2= (t−s)si t≥s. Este ejemplo pone de manifiesto que, aunque φ1yφ2son aproximaciones de Bt(ω), la integral no est´a bien definida. El motivo principal es el dado en Problema 2. Para dar soluci´on a este problema vamos a definir una nueva forma de integraci´on, la Integral de Itˆo. 3.2.1. Construcci´on de la Integral de Itˆo Vamos a definir entonces la integral de Itˆo, primero para procesos simples y despu´es, por aproximaci´on, para procesos m´as generales. En general, parece natural aproximar una funci´on dada f(t, ω) por X j f(t∗ j, ω)·χ[tj, tj+1) (t) (3.7) donde los puntos t∗ jpertenecen al intervalo [tj, tj+1] y definimos RT Sf(t, ω)dBt(ω) como el l´ımite de Pjf(t∗ j, ω)Btj+1 −Btj(ω) cuando n→ ∞. Aunque los puntos t∗ jpueden ser escogidos de diversas formas dentro del intervalo [tj, tj+1], nos vamos a centrar en el m´as apropiado para definir la integral de Itˆo que es de la forma, t∗ j=tj(el punto izquierdo del intervalo). El proceso de aproximaci´on que vamos a llevar a cabo nos indica que ftiene la propiedad de que cada funci´on ω→f(tj, ω) solo depende del comportamiento de Bs(ω) hasta el tiempo tj. Siguiendo estos requisitos, vamos a definir unos conceptos previos antes de contruir la integral de Itˆo. Definici´on 3.2.2 Sea Bt(ω)un movimiento browniano n-dimensional, definimos Ft=F(n) tcomo la σ-´algebra generada por las variables aleatorias {Bi(s)}1≤i≤n,0≤s≤t. En otras palabras, Ftes la σ-´algebra m´as peque˜na que contiene a todos los conjuntos de la forma, {ω;Bt1(ω)∈F1,··· , Btk(ω)∈Fk}, donde tj≤tyFj⊂Rnson conjuntos de Borel, siendo j≤k= 1,2,··· (Asumiendo que todos los conjuntos de medida cero estan inclu´ıdos en Ft). Interpretamos convenientemente Ftcomo “la historia de Bshasta el timpo t”. Adem´as, como hemos visto anteriormente, una funci´on h(ω) se dice que es Ft-medible si y solo si, hpuede escribirse como el l´ımite de sumas punto por punto de funciones de la forma, g1(Bt1)g2(Bt2)···gk(Btk), 12 donde g1,··· , gkson funciones continuas acotadas y tj≤tpara j≤k,k= 1,2,···. Intuitivamente, que hsea Ft-medible significa que el valor de h(ω) puede ser determinado de los valores de Bs(ω) para s≤t. Por ejemplo, h1(ω) = Bt/2(ω) es Ft-medible, mientras que h2(ω) = B2t(ω) no lo es. Fij´emonos, adem´as, que Fs⊂ Ftpara todo s<t, es decir, Ftes creciente, y Ft⊂ F para todo t. Definici´on 3.2.3 Sea {Nt}t≥0una familia creciente de σ-´algebras de subconjuntos de Ω. Un proceso g(t, ω) : [0,∞)×Ω→Rnse dice que es Nt-adaptado si ∀t≥0la funci´on ω→g(t, ω) es Nt-medible. Por tanto, el proceso h1(t, ω) = Bt/2es Ft-adaptado mientras que h2(t, ω) = B2t(ω) no lo es. Ahora ya estamos en disposici´on de poder describir la clase de funciones para las cuales definiremos la integral de Itˆo. Definici´on 3.2.4 V=V(S, T)es la clase de funciones f(t, ω) : [0,∞)×Ω→R tal que 1. (t, ω)→f(t, ω)es B ×F, donde Bdenota la σ-´algebra de Borel en [0,∞). 2. f(t, ω)es Ft-adaptado. 3. EhRT Sf(t, ω)2dti<∞. Vamos a ver como definir la integral de Itˆo para funciones f∈ V, I[f](ω) = ZT S f(t, ω)dBt(ω), donde Btes el movimiento browniano 1-dimensional. Primero vamos a definir I[φ] para una clase de funciones simples φy despu´es, demostrando que cada f∈ V puede ser aproximada por esas funciones simples, definiremos RfdB como el l´ımite de RφdB cuando φ→f. Para ello vamos a introducir previamente la definici´on de funci´on elemental y la isometria de Itˆo para este tipo de funciones. Definici´on 3.2.5 Una funci´on φ∈ V se dice que es elemental si es de la forma φ(t, ω) = X j ej(ω)·χ[tj,tj+1)(t).(3.8) 13 Como φ∈ V, cada funci´on ejtiene que ser Ft-medible. Por tanto, usando el mismo ejemplo (3.2.1) anterior vemos f´acilmente que la funci´on φ1es elemental mientras que φ2no lo es, pues la esperanza de la integral respecto del movimiento browniano es distinta de cero. Por tanto, de acuerdo a la ecuaci´on (3.6) definida previamente, definimos la integral para funciones elementales φ(t, ω) de la forma ZT S φ(t, ω)dBt(ω) = X j≥0 ej(ω)[Btj+1 −Btj](ω). Lema 3.2.6 (Isometr´ıa de Itˆo) Si la funci´on φ(t, ω)es acotada y elemental entonces, E"ZT S φ(t, ω)dBt(ω)2#=EZT S φ(t, ω)2dt. Demostraci´on. Usando la siguiente notaci´on, ∆Bj=Btj+1 −Btj, tenemos que E[eiej∆Bi∆Bj] = 0 si i6=j E[ej]2·(tj+1 −tj) si i=j pues eiej∆Biy ∆Bjson independientes si i<j. Por tanto, E"ZT S φdB2#=X i,j E[eiej∆Bi∆Bj] = X j E[(ej)2(∆Bj)2] =X j E[e2 j]E[(Btj+1 −Btj)2] = X j E[e2 j](tj+1 −tj) =EZT S φ2dt. Lo que vamos a hacer es extender la definici´on de funciones elementales a funciones en Ven 3 pasos, usando la Isometr´ıa de Itˆo 3.2.6 que acabamos de demostrar: Paso 1. Sea g∈ V una funci´on acotada y g(·, ω)continua para cada ωentonces existen funciones elementales φn∈ V tal que EZT S (g−φn)2dt−→ 0cuando n→ ∞ . Demostraci´on. Se define φn(t, ω) = Pjg(tj, ω)·χ[tj,tj+1)(t). Por tanto, φnes elemental ya que g∈ V y ZT S (g−φn)2dt −→ 0 cuando n→ ∞ ∀ω , ya que g(·, ω) es continua ∀ω. Por consiguiente, EhRT S(g−φn)2dti−→ 0 cuando n→ ∞, por convergencia acotada. 14 Paso 2. Sea h∈ V una funci´on acotada entonces existen funciones acotadas gn∈ V tal que gn(·, ω)es continua para todo ωyn, y EZT S (h−gn)2dt−→ 0. Demostraci´on. Suponemos |h(t, ω)| ≤ Mpara todo (t, ω). Para cada n, sea ψn una funci´on continua no-negativa en Rtal que 1. ψn(x) = 0 para X≤ −1 nyx≥0 2. R∞ −∞ ψn(x)dx = 1 se define gn(t, ω) = Zt 0 ψn(s−t)h(s, ω)ds . Entonces gn(·, ω) es continua para cada ωy|gn(t, ω)| ≤ M. Ya que h∈ V, podemos ver que gn(t, ·) es Ft-medible para todo t. Adem´as, ZT S (gn(s, ω)−h(s, ω))2ds −→ 0 cuando n→ ∞,∀ω , ya que {ψn}nconstituye una aproximaci´on identidad. Asi que, por convergencia acotada EZT S (h(t, ω)−gn(t, ω))2dt−→ 0 cuando n→ ∞ . Paso 3. Sea f∈ V entonces existe una sucesi´on {hn} ⊂ V tal que cada funci´on hnes acotada para cada ny EZT S (f−hn)2dt−→ 0 cuando n→ ∞ . Demostraci´on. Cogiendo hn(t, ω) =    −nsi f(t, ω)<−n f(t, ω) si −n≤f(t, ω)≤n nsi f(t, ω)> n . Entonces, por convergencia dominada ya lo tendr´ıamos demostrado. Ya hemos completado el procedimiento de aproximaci´on, por lo que estamos en disposici´on de completar la definici´on de la integral de Itˆo ZT S f(t, ω)dBt(ω) para f∈ V . Si f∈ V, entonces escogemos, por los Pasos 1-3, funciones elementales φn∈ V tales que EZT S|f−φn|2dt−→ 0. 15 Por tanto, definimos I[f](ω) := ZT S f(t, ω)dBt(ω) := l´ım n→∞ ZT S φn(t, ω)dBt(ω). El l´ımite existe como un elemento de L2(P), ya que nRT Sφn(t, ω)dBt(ω)oes una serie de Cauchy en L2(P), por la Isometr´ıa de Itˆo 3.2.6. Ahora que ya vimos como se construye la Integral de Itˆo podemos dar una definici´on bien justificada. Definici´on 3.2.7 (Integral de Itˆo) Dada una funci´on f∈ V(S, T ), la integral de Itˆo de f(de SaT) est´a definida por ZT S f(t, ω)dBt(ω) = l´ım n→∞ ZT S φn(t, ω)dBt(ω)(l´ımite en L2(P))(3.9) donde {φn}es una sucesi´on de funciones elementales tales que l´ım n→∞ EZT S (f(t, ω)−φn(t, ω))2dt= 0 .(3.10) Sabemos que existe una sucesi´on {φn}que satisface (3.10) por los Pasos 1-3 anteriores. Adem´as, por la Isometr´ıa de Itˆo 3.2.6 el l´ımite en (3.9) existe y no depende de la sucesi´on {φn}escogida mientras se siga cumpliendo (3.10). Corolario 3.2.8 (Isometr´ıa de Itˆo para procesos generales) Para toda funci´on f∈ V(S, T)se cumple, E"ZT S f(t, ω)dBt2#=EZT S f2(t, ω)dt. Tenemos la Integral de Itˆo definida para un intervalo fijo [S, T]. Ahora vamos a verla, no como una variable aleatoria sino como un proceso estoc´astico, que es lo que queremos representar. Tal proceso no es necesariamente continuo, sin embargo existe una versi´on continua que resulta ser una martingala respecto a la filtraci´on natural del movimiento browniano. Teorema 3.2.9 Sea f∈ V(0, T ), para t∈[0, T]existe una version t-continua de Zt 0 f(s, ω)dBs(ω), es decir, existe un proceso estoc´astico t-continuo Jten (Ω,F, P)tal que PJt=Zt 0 fdB= 1 ∀t, 0≤t≤T . 16 Demostraci´on: (Ver [10], Teorema 3.2.5, p´ag 32)) Corolario 3.2.10 Sea f(t, ω)∈ V(0, T)para todo T, entonces Mt(ω) = Zt 0 f(s, ω)dBs es una martingala con respecto a Fty P"sup 0≤t≤T|Mt| ≥ λ#≤1 λ2EZT 0 f(s, ω)2dssiendo λ, T > 0. Demostraci´on: (Ver [10], Corolario 3.2.6, p´ag 33)) Corolario 3.2.11 Si f(t, ω)∈ V(S, T),fn(t, ω)∈ V(S, T)para n= 1,2,··· y EhRT S(fn(t, ω)−f(t, ω))2dti−→ 0cuando n→ ∞, entonces l´ım n→∞ ZT S fn(t, ω)dBt(ω) = ZT S f(t, ω)dBt(ω)en L2(P). Vamos a ver un ejemplo de como afrontar´ıamos la Integral de Itˆo Ejemplo 3.2.12 Asumiendo que B0= 0, entonces Zt 0 BsdBS=1 2B2 t−1 2t . Demostraci´on: Cogiendo φn(s, ω) = PBj(ω)·χ[tj,tj+1](s), donde Bj=Btj, entonces EZt 0 (φn−Bs)2ds=E X jZtj+1 tj (Bj−Bs)2ds  =X jZtj+1 tj (s−tj)ds =X j 1 2(tj+1 −tj)2−→ 0 cuando ∆tj→0. Por el Corolario 3.2.11, Zt 0 BsdBs= l´ım ∆tj→0Zt 0 φndBs= l´ım ∆tj→0X j Bj∆Bj. Ahora, ∆(B2 j) = B2 j+1 −B2 j= (Bj+1 −Bj)2+ 2Bj(Bj+1 −Bj) = (∆B2 j)+2Bj∆Bj. 17 Aplicando la f´ormula de Itˆo, dYt=∂g ∂t dt +∂g ∂xdBt+1 2 ∂2g ∂x2(dBt)2=BtdBt+1 2(dBt)2=BtdBt+1 2dt . Por tanto d(1 2B2 t) = BtdBt+1 2dt . En otras palabras, Zt 0 BsdBs=1 2B2 t−1 2t , lo que ya hab´ıamos visto en el Ejemplo 3.2.12. Ejemplo 3.3.8 Analizaremos ahora la integral Zt 0 sdBs. Del c´alculo cl´asico parece razonable que debe aparecer el t´ermino tBt, asi que cogemos g(t, x) = tx y Yt=g(t, Bt) = tBt. Aplicando la f´ormula de Itˆo, dYt=Btdt +tdBt+ 0 es decir, d(tBt) = Btdt +tdBt. Lo que tambien podemos expresar como, tBt=Zt 0 Bsds +Zt 0 sdBs o, Zt 0 sdBs=tBt−Zt 0 Bsds . Esta es la f´ormula cl´asica de la integraci´on por partes (t´engase en cuenta que B0= 0). 24 Cap´ıtulo 4 Ecuaciones Diferenciales Estoc´asticas En este cap´ıtulo vamos a analizar la existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales estoc´asticas del tipo dXt dt =b(t, Xt) + σ(t, Xt)Wt, b(t, x)∈R, σ(t, x)∈R(4.1) donde Wtrepresenta el ruido blanco 1-dimensional. Como hemos visto en el cap´ıtulo anterior, la interpretaci´on de Itˆo de la ecuaci´on (4.1) es que Xtverifique la ecuaci´on Xt=X0+Zt 0 b(s, Xt)ds +Zt 0 σ(s, Xs)dBs o en forma diferencial, dXt=b(t, Xt)dt +σ(t, Xt)dBt.(4.2) Por lo tanto, de (4.1) a (4.2) solo hemos reemplazado formalmente el ruido blanco Wtpor dBt dt en (4.1) y lo hemos multiplicado por dt. Es natural preguntarse c´omo resolver una ecuaci´on de este tipo y la F´ormula de Itˆo nos va a ayudar mucho en este menester, como vamos a ver en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.0.9 Consideramos el modelo de crecimiento poblacional dNt dt =atNt, N0dado donde at=rt+αWt,Wt=ruido blanco, α=constante. Asumimos que rt=r=contante. Por la interpretaci´on de Itˆo (4.2), esta ecuaci´on es equivalente a dNt=rNtdt +αNtdBt(4.3) odNt Nt =rdt +αdBt. 25 Por tanto, Zt 0 dNs Ns =rt +αBt(B0= 0) .(4.4) Para evaluar la integral de la parte izquierda de la igualdad anterior usamos convenientemente la f´ormula de Itˆo para la funci´on g(t, x) = ln x;x > 0 y obtenemos d(ln Nt) = 1 Nt dNt+1 2−1 N2 t(dNt)2 =dNt Nt−1 2N2 t α2N2 tdt =dNt Nt−1 2α2dt . Por tanto dNt Nt =d(ln Nt) + 1 2α2dt as´ı que de (4.4) conclu´ımos que ln Nt N0 = (r−1 2α2)t+αBt o Nt=N0·e((r−1 2α2)t+αBt) Por comparaci´on, la interpretaci´on de Stratonovich de (4.3), dNt=rNtdt +αNt◦dBt habr´ıa tenido la soluci´on Nt=N0·e(rt+αBt). Ambas soluciones NtyNtson procesos del tipo Xt=X0·e(µt+αBt)(µ, α constantes). Estos procesos son llamados movimientos brownianos geom´etricos y son muy importantes para modelar precios aleatorios en econom´ıa. 4.1. Existencia y Unicidad de soluciones Ahora que ya vimos como se resolver´ıan algunas Ecuaciones Diferenciales Estoc´asticas es natural preguntarse, ¿existe alg´un resultado que nos garantice la existencia y unicidad de tales soluciones? La respuesta en s´ı, mediente los teoremas de existencia y unicidad que vamos a ver. Teorema 4.1.1 Sea T > 0yb(·,·) : [0, T]×Rn→Rn,σ(·,·) : [0, T ]×Rn×m funciones continuas medibles tales que |b(t, x)−b(t, y)| ≤ L|x−y| |σ(t, x)−σ(t, y)| ≤ ˆ L|x−y| 0≤t≤T x, y ∈Rn 26 para algunas constantes apropiadas L, ˆ Ly |b(t, x)| ≤ C(1 + |x|) |σ(t, x)| ≤ ˆ C(1 + |x|) 0≤t≤T x ∈Rn para algunas contantes apropiadas C, ˆ C(donde |σ|2=P|σij|2y|·|denota la norma eucl´ıdea). Sea Zuna variable aleatoria independiente de la σ-´algebra F(m) ∞generada por Bs(·), s ≥0y tal que E[|Z|2]<∞, Z =Z(ω). Entonces la ecuaci´on diferencial estoc´astica dXt=b(t, Xt)dt +σ(t, Xt)dBt,0≤t≤T , X0=Z tiene una ´unica soluci´on t-continua, Xt(ω), siendo esta adaptada a la filtraci´on FZ t generada por ZyBs(·)con s≤t, y cumpliendo EZT 0|Xt|2dt<∞. Demostraci´on: Existencia: 1o) Como en el caso determinista, la existencia de una soluci´on ser´a probada utilizando una sucesi´on recurrente, X(0)(t) = Z X(k+1)(t) = Z+Rt 0b(s, X(k) s)ds +Rt 0σ(s, X(k) s)dBs. Veamos que X(k)est´a bien definida y que X(k)∈L2([0, T]×Ω). Usando inducci´on, para k= 0 es trivial pues Z∈L2([0, T]×Ω). Supongamos que se cumple para k, como X(k)∈L2([0, T]×Ω) y |σ(t, X(k) t)|2≤ˆ C2(1 + |X(k) t|)2entonces σ(t, X(k) t)∈ L2([0, T]×Ω). An´alogamente, como tambien X(k)∈L([0, T]×Ω) y |b(t, X(k) t)| ≤ C(1 + |X(k) t|) entonces b(t, X(k) t)∈L([0, T]×Ω). Por tanto, X(k+1) test´a bien definido. Para todo t∈[0, T], veamos que X(k+1) t∈L2(Ω). E|X(k) t|2≤3E|Z|2+ 3E|Zt 0 b(s, X(k) s)ds|2 + 3EZt 0 σ(s, X(k) x)dBs|2. Estimando las desigualdades, E|Zt 0 b(s, X(k) s)ds|2≤ETZT 0|b(s, X(k) s)|2ds ≤TC2EZT 0 (1 + |X(k) s|)2ds ≤2TC2(T+||X(k)||2 L2([0,T]×Ω)) 27 y, usando la Isometr´ıa de Itˆo, E|Zt 0 σ(s, X(k) x)dBs|2≤EZt 0|σ(s, X(k) s)|2ds ≤ˆ C2EZT 0 (1 + |X(k) x|2ds ≤2ˆ C2(T+||X(k)||2 L2([0,T]×Ω)). Por tanto, para todo t∈[0, T] E|X(k+1) t|2≤3E(|Z|2) + 3(2TC2+ 2 ˆ C2)(T+||X(k)||2 L2([0,T]×Ω)) | {z } D . Integrando con respecto a t, conlu´ımos que X(k+1) ∈L2([0, T]×Ω) como quer´ıamos ver, es decir, EZT 0|X(k+1) t|2dt ≤DT < ∞. 2o) Veamos que X(k)converge a la soluci´on de la ecuaci´on estoc´astica. Empecemos probando que, dk(t) := E|X(k) t−X(k−1) t|2≤(Mt)k k!∀k≥1 donde M=M(C, ˆ C, L, ˆ L, T, E|Z|2). Usamos nuevamente inducci´on. Para k= 1, d1(t) = E|x(1) t−Z|2 ≤2E|Zt 0 b(s, Z)ds|2+ 2E|Zt 0 σ(s, Z)dBs|2 ≤2TE Zt 0|b(s, Z)|2ds+ 2EZt 0|σ(s, Z)|2ds ≤(2TC2+ 2 ˆ C2)EZt 0 (1 + |Z|2)ds≤2(TC2+ˆ C2)(1 + E[|Z|2])t =Mt . 28 Suponiendo que se cumple para kentonces, dk+1(t) = E|X(k+1) t−X(k) t|2 ≤2E|Zt 0 b(s, X(k) s)−b(s, X(k−1) s)ds|2 + 2E|Zt 0 σ(s, X(k) s)−σ(s, X(k−1) s)dBs|2 ≤2TE Zt 0|b(s, X(k) s)−b(s, X(k−1) s)|2ds + 2EZt 0|σ(s, X(k) s)−σ(s, X(k−1) s)|2ds ≤(2TL2+ 2ˆ L2)EZt 0|X(k) s−X(k−1) s|2ds ≤2(TL2+ˆ L2)Zt 0 Mksk k!ds ≤Mk+1tk+1 (k+ 1)! . como quer´ıamos probar. 3o) Gracias a esta acotaci´on tenemos que, ∀0≤t≤T,nX(k) toes una sucesi´on de Cauchy en L2(Ω,Ft, P). Por tanto, {Xt,Ft}t∈[0,T ]es un proceso estoc´astico. Ahora vamos a ver que Xttiene una modificaci´on ˜ Xttal que X(k) t→˜ Xtuniformemente en [0, T] casi seguro. Para ello probaremos que X(k) tes uniformemente de Cauchy casi seguro de la siguiente forma: |X(k) t−X(k−1) t|2≤2TL2ZT 0|X(k−1) s−X(k−2) s|2ds + 2|Zt 0 σ(s, X(k−1) s)−σ(s, X(k−2) s)dBs|2. Por tanto, Em´ax 0≤t≤T|X(k) t−X(k−1) t|2≤2TL2EZT 0|X(k−1) s−X(k−2) s|2ds+ + 2Em´ax 0≤t≤T|Zt 0 σ(s, X(k−1) s)−σ(s, X(k−2) s)dBs|2. 29 Usando la desigualdad martingala tenemos que, Em´ax 0≤t≤T|Zt 0 σ(s, X(k−1) s)−σ(s, X(k−2) s)dBs|2 ≤ n X i=1 E     m´ax 0≤t≤T|Zt 0 σi(s, X(k−1) s)−σi(s, X(k−2) s)dBs | {z } martingala |2     ≤X i=1 n4E|ZT 0 σi(s, X(k−1) s)−σi(s, X(k−2) s)dBs|2 = 4EZT 0 σ(s, X(k−1) s)−σ(s, X(k−2) s)dBs|2 ≤4ˆ L2EZT 0|X(k−1) s−X(k−2) s|2ds. Luego, Em´ax 0≤t≤T|X(k) t−X(k−1) t|2≤(2TL2+ 8ˆ L2)EZT 0|X(k−1) s−X(k−2) s|2ds ≤(2TL2+ 8ˆ L2)ZT 0 Mk−1sk−1 (k−1)! ds ≤CMkTk k!, C =C(T, L, ˆ L). Por tanto, Pm´ax 0≤t≤T|X(k) t−X(k−1) t| ≥ 1 k2=P|m´ax 0≤t≤T|X(k) t−X(k−1) t|2≥1 k4 ≤k4Em´ax 0≤t≤T|X(k) t−X(k+1) t|2≤Ck4MkTk k!, y como Pk=1 ∞k4MkTk k!<∞conclu´ımos por el Lema de Borel Cantelli que para casi todo ω m´ax 0≤t≤T|X(k) t−X(k−1) t|<1 k2para k≥k0(ω). Luego, X(k) t→˜ Xtuniformemente en [0, T] casi seguro y por tanto ˜ Xttiene trayectorias continuas casi seguro. Como ∀0≤t≤T , X(k) t→˜ Xtcasi seguro tenemos que Xt=˜ Xtcasi seguro como quer´ıamos ver. Supongamos adecuadamente que Xt=˜ Xt. Entonces Xtverifica ser continuo y por tanto progresivamente medible. Como X(k) t→Xtcasi seguro ∀t∈[0, t] conclu´ımos que X(k)(t, ω)→X(t, ω) casi seguro en L2(λ×P), siendo λla medida de Lebesgue en [0, T]. 4o)Veamos ahora que X∈L2([0, T]×Ω). Para ello vamos a ver que X(k)→X en L2([0, T]×Ω): ||X(k)−X(k−1)||L2([0,T]×Ω) =EZT 0|X(k) s−X(k−1) s|2ds≤Zt 0 MkTk+1 (k+ 1)! . 30 Tenemos entonces que X(k)es una sucesi´on de Cauchy en L2([0, T]×Ω). Sea ˜ X su l´ımite en L2([0, T]×Ω), como X(k)(t, ω)→X(t, ω) casi seguro en L2(λ×P) conclu´ımos que X(t, ω) = ˜ X(t, ω) casi seguro en L2(λ×P). 5o) Veamos que Xtverifica la ecuaci´on diferencial estoc´astica. Sea Yt:= Z+Zt 0 b(s, Xs)ds +Zt 0 σ(s, Xs)dBs. Ytest´a bien definida pues X∈L2([0, T]×Ω), |σ(t, Xt)|2≤˜ C2(1 + |Xt|2) y X∈L([0, T]×Ω), |b(t, Xt)| ≤ C(1 + |Xt|). Veamos que X(k+1) t→Yten L2(Ω) ∀0≤t≤T: E|Yt−X(k+1) t|2≤2EZt 0 b(s, Xs)−b(s, X(k) s)|2 + 2E|Zt 0 σ(s, X)−σ(s, X(k) s)dBs|2 ≤(2TL2+ 2ˆ L2)EZt 0|Xs−X(k) s|2ds ≤2(TL2+ˆ L2)||X−X(k)||L2([0,T]×Ω) −→ 0. Como X(k+1) t−→ Xten L2(Ω) tenemos que Xt=Ytcasi seguro ∀0≤t≤T, o sea que, Xt=Z+Zt 0 b(s, Xs)ds +Zt 0 σ(s, Xs)dBscasi seguro ∀0≤t≤T como quer´ıamos demostrar. Unicidad: Supongamos X, ˜ X∈L2([0, T]×Ω) dos soluciones de una misma ecuaci´on diferencial estoc´astica. Entonces, Xt−˜ Xt=Zt 0 b(s, Xs)−b(s, ˜ Xs)ds +Zt 0 σ(s, Xs)−σ(s, ˜ Xs)dBs Entonces, E|Xt−˜ Xt|2≤2E|Zt 0 b(s, Xs)−b(s, ˜ Xs)ds|2 + 2E|Zt 0 σ(s, Xs)−σ(s, ˜ Xs)dBs|2 ≤(2TL2+ 2ˆ L2)Zt 0 E(|Xs−˜ Xs|2)ds . Tomando φ(t) := E|Xt−˜ Xt|2yC:= 2TL2+2ˆ L2tenemos que φ(t)≤CRt 0φ(s)ds. Por el Lema de Gronwall tenemos que φ≡0, entonces ˜ Xes una modificaci´on de Xpero como ambos procesos son continuos casi seguro, conclu´ımos que ˜ XyXson indistinguibles, como quer´ıamos demostrar. 31 32 Cap´ıtulo 5 Aplicaci´on a la Matem´atica Financiera 5.1. Introducci´on hist´orica Figura 5.1: A la izquierda Fischer Black (1938-1995). En el centro: Myron Scholes (1941). A la derecha: Robert Merton (1941). Desde que las civilizaciones han tenido intereses econ´omicos y sociol´ogicos se han preocupado por el conocimiento y desarrollo te´orico acerca de cuestiones financieras, apareciendo documentado en fuentes como el C´odigo de Hammurabi y el Antiguo Testamento. A partir de lo que conocemos como banca moderna, la cual tuvo sus inicios en Italia a finales del periodo medieval y principios del Renacimiento (s.XV), se desarrollan los aspectos b´asicos de las finanzas aunque los elementos matem´aticos involucrados eran todav´ıa muy rudimentarios. En 1973 Fischer Black y Myron Scholes publican un art´ıculo que se conoce popularmente como el acta de nacimiento de la teor´ıa moderna de las finanzas matematicas ([2]), donde incluyen una f´ormula expl´ıcita para la valuaci´on de opciones de compra europeas. Gracias a sus aportaciones, junto con Merton, al C´alculo Estoc´astico elemental, numerosos matem´aticos y economistas comienzan a realizar un notable desarrollo matem´atico en este ´ambito caracterizado por su rapidez, profundidad y sofisticaci´on de los conceptos matem´aticos empleados. En los a˜nos noventa la profundidad matem´atica en las finanzas te´oricas da otro salto cuantitativo ubic´andose al nivel de la investigaci´on matem´atica m´as demandante t´ecnicamente y fue cuando numeroso matem´aticos de 33 es esa funci´on u(t, x). Ya que el valor VTdel portafolio al tiempo de maduraci´on T ser´a φ1(XT), tenemos la condici´on final VT=u(0, XT) = φ1(XT) = m´ax {0, XT−K}.(5.5) Vamos a aplicar la formula de Itˆo al proceso de valores Vt=u(T−t, Xt). Escribimos f(t, x) = u(T−t, x) y por tanto, f1(t, x) = −u1(T−t, x), f2(t, x) = u2(T−t, x), f22(t, x) = u22(T−t, x). Adem´as, recordemos que Xsatisface la ecuaci´on integral de Itˆo Xt=X0+cZt 0 Xsds +σZt 0 XsdBs. As´ı que, aplicando la expresi´on equivalente de la f´ormula de Itˆo (3.17) tenemos Vt−V0=f(t, Xt)−f(0, X0) =Zt 0 [f1(s, Xs) + cXsf2(s, Xs) + 1 2σ2X2 sf22(s, Xs)]ds +Zt 0 [σXsf2(s, Xs)]dBs =Zt 0 [−u1(T−s, Xs) + cXsu2(T−s, Xs) +1 2σ2X2 su22(T−s, Xs)]ds +Zt 0 [σXsu2(T−s, Xs)]dBs. (5.6) Por otra parte, (at, bt) es autofinanciada, es decir, Vt−V0=Zt 0 asdXs+Zt 0 bsdβs.(5.7) Adem´as, βt=β0ert entonces dβt=rβ0ertdt =rβtdt , y como Vt=atXt+btβtse obtiene bt=Vt−atXt βt .(5.8) Combinando (5.7) y (5.8) junto con (5.4) obtenemos otra expresion para Vt−V0que es, Vt−V0=Zt 0 asdXs+Zt 0 Vs−asXs βs rβsds =Zt 0 asdXs+Zt 0 r(Vs−asXs)ds =Zt 0 casXsds +Zt 0 σasXsdBs+Zt 0 r(Vs−asXs)ds =Zt 0 [(c−r)asXs+rVs]ds +Zt 0 σasXsdBs. (5.9) 40 Comparando (5.6) y (5.9), como los coeficientes de las funciones de los procesos de Itˆo tienen que ser iguales, podemos identificar formalmente los integrandos de las integrales de Itˆo y Riemann de tal manera que at=u2(T−t, x) (c−r)atXt+ru(T−t, Xt) =(c−r)u2(T−t, Xt)Xt+ru(T−t, Xt) =−u1(T−t, Xt) + cXtu2(T−t, Xt) +1 2σ2X2 tu22(T−t, Xt). Como Xtpuede tomar cualquier valor positivo, podemos escribir la ´ultima igualdad como una ecuaci´on diferencial parcial de la forma u1(t, x) = 1 2σ2x2u22(t, x) + rxu2(t, x)−ru(t, x)x > 0t∈[0, T].(5.10) Por ´ultimo, recordando nuestra condici´on final (5.5) tenemos la condici´on final determinista u(0, x) = m´ax {x−K, 0}x > 0.(5.11) 5.4. F´ormula de Black-Scholes En general, aunque sabemos que existe una ´unica soluci´on para las ecuaciones diferenciales parciales, es d´ıficil resolverlas expl´ıcitamente. Por ello, resulta sorprendente poder dar una soluci´on a la ecuaci´on (5.10) y de ah´ı la popularidad del planteamiento ideado por Black, Scholes y Merton. La ecuaci´on (5.10) con la condicion final (5.11) ha sido estudiada en profundidad (ver [14], p´ag.174) y tiene la soluci´on expl´ıcita u(t, x) = xφ(g(t, x)) −Ke−rtφ(h(t, x)) ,(5.12) donde g(t, x) = ln(x/K)+(r+1 2σ2)t σt1/2, h(t, x) = g(t, x)−σt1/2, y φ(x) = 1 2π1/2Zx −∞ e−y2 2dy , x ∈R, es la funci´on de distribuci´on normal est´andar. Por tanto, resolviendo el problema planteado de encontrar un precio razonable a pagar por la opci´on donde se cubra el riesgo que asume el vendedor tendr´ıamos la famosa F´ormula de Black-Scholes V0=u(T, X0) = X0φ(g(T, X0)) −Ke−rtφ(h(T, X0)) (5.13) que es el precio racional para la opci´on de compra europea en el tiempo t= 0 con precio de ejercicio K. 41 El proceso estoc´astico Vt=u(T−t, Xt) es el valor del portafolio autofinanciado en el tiempo t∈[0, T] y la estrategia de autofinanciamiento (at, bt) viene dada por, at=u2(T−t, Xt) y bt=u(T−t, Xt)−atXt βt .(5.14) Vemos que al tiempo de maduraci´on T, la F´ormula de Black-Scholes (5.13) nos proporciona el valor neto del portafolio, φ1= m´ax {XT−K, 0}. Adem´as, podemos observar que at>0 para todo t∈[0, T] pero btpuede tomar valores negativos, por tanto no hay ventas cortas de acciones pero si puede ser necesario perder dinero a una tasa de inter´es constante de bonos r > 0. Es decir, la opci´on no depende del rendimiento del activo subyacente a la opci´on, c. Los par´ametros que aparecen en la f´ormula son rque se obtiene de los bonos, preferiblemente en la misma unidad monetaria, con vencimiento Ty la volatilidad σque no es observable y se calcula generalmente una estimaci´on del riesgo que los inversores est´an anticipando cuando cotizan precios para las opciones, lo que se denomina volatilidad impl´ıcita. Habitualmente la volatilidad impl´ıcita es suministrada por el mercado, aunque se puede estimar empleando la f´ormula de Black-Scholes al rev´es, determinando cu´al tendr´ıa que ser la volatilidad para que la prima pronosticada por la f´ormula sea igual a la cotizada. Si quisi´eramos considerar q=u(T, X0), suponiendo que la opci´on de precio inicial p6=q, como un valor racional en t´erminos de arbitraje, si p>qaplicar´ıamos la siguiente estrategia: En el tiempo t= 0 vendemos la opci´on al precio pe invertimos qen bonos y acciones siguiendo la estrategia de autofinanciamiento (5.14). Para acabar vamos a ver en un ejemplo de como se aplicar´ıa el modelo de Black y Scholes en el mercado (ver [12]). Ejemplo 5.4.1 : Queremos calcular el valor te´orico de una call europea con precio de ejercicio 1000edentro de nueve meses, sobre un cierto activo subyacente que actualmente cotiza a 800ey cuya volatilidad se estima en σ= 30 %.´ Unicamente a efectos de c´alculo emplearemos una tasa sin riesgo del 1 % anual. Para aplicar la f´ormula de Black-Scholes, calculamos primero g(t, x)yh(t, x): g(T, X0) =ln 800 1000+ (0,01 + 1 2·0,32)·0,75 0,3·√0,75 =−0,7003 h(T, X0) = −0,7003 −0,3·p0,75 = −0,9601 por tanto, la estimaci´on de la prima, aplicando la f´ormula (5.12) es V0=u(0,75,800) = 800φ(−0,7003) −1000 ·e−0,01·0,75φ(−0,9601) = 26,24e. 42 Observaci´on 5.4.2 En la modelizaci´on original la f´ormula de Black-Scholes no permite calcular opciones de venta. Sin embargo, podemos adaptar el modelo en funci´on de relaciones de equilibrio basadas en el arbitraje del mercado o podemos recurrir a la paridad put-call, esto es P=V0−X0+K·e−rt , siendo Pla estimaci´on de la prima de la opci´on de venta europea. Por tanto, en las condiciones del ejemplo que acabamos de ver, la prima te´orica de la opci´on de venta europa ser´ıa P=V0−X0+K·e−rt = 26,24 −800 + 1000 ·e−0,01·0,75 = 218,81e. 43 44 Bibliograf´ıa [1] BACHELIER L. Th´eorie de la sp´eculation [tesis doctoral]. 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