Aplicación de los sistemas diferenciales al estudio de un modelo epidemiológico con reinfección

Universidad de Sevilla Facultad de Matem´aticas Trabajo Fin de Grado: Aplicaci´on de los sistemas diferenciales al estudio de un modelo epidemiol´ogico con reinfecci´on Grado en Matem´aticas Autor: Mercedes Lindes Col´on Tutor: Tom´as Caraballo Garrido ´ Indice general 1. Conceptos previos acerca de sistemas diferenciales ordinarios 9 1.1. Conceptos b´asicos de ecuaciones diferenciales ordinarias . . . . . 9 1.2. Estabilidad de los puntos de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Estabilidad de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Estabilidad para sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. M´etodo de estabilidad de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6. ´ Orbitas de sistemas aut´onomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7. Sistemas din´amicos aut´onomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.1. Sistemas din´amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7.2. Atractor global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2. Modelo SIRI 23 2.1. Tama˜no de poblaci´on constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Comportamiento asint´otico de las soluciones . . . . . . . . 26 2.1.2. Estudio de la estabilidad de los puntos de equilibrio . . . 30 2.2. Tasa de natalidad distinta de tasa de mortalidad. Muerte natural distinta de muerte por enfermedad . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Tama˜no de poblaci´on no constante . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3. Estudio conjunto de los modelos SIR y SIRI 45 3.1. ModeloSIR ............................. 45 3.1.1. Comportamiento asint´otico de las soluciones . . . . . . . 47 3.1.2. Estudio de la estabilidad de los puntos de equilibrio . . 48 3.2. Comparativa de los puntos de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . 50 3 Abstract Mathematical modeling, currently, is a very important element in health system, since it allows studying the incidence, spread and persistence of infectious diseases. This study is very useful to combat or control epidemiological diseases with reinfection. The objective of this paper is to study deterministic SIRI models, as well as to compare them with deterministic SIR models. The purpose of this comparison is to find relationships and differences between these models. Both models do not study the behavior of a single individual, but are based on the classification of them in groups. The SIRI models divide the individuals into four classes: Susceptible, Infectious, Recovered and Reinfected. These models are very useful for the description of infectious diseases in which individuals have relatively short periods of infection and have a temporary immune response. The dynamics between these groups is reflected in a system of three differential equations. In this paper we will study the case in which the SIRI model has a population size that remains constant (autonomous differential system), although we will mention other possible situations, among which the size of the population varies over time (non-autonomous differential system). We will also study the SIR model, which is used to analyze diseases without reinfection, in its simplest version, the case in which the population also remains constant (autonomous differential system). For both models we will study the local asymptotic behavior of the resulting system. For this analysis it will be necessary to make a study of the scientific literature about the autonomous dynamic systems, in order to apply them for the SIRI and SIR models. 5 Introducci´on Las enfermedades epidemiol´ogicas han sido y siguen siendo un gran problema para la salud p´ublica en todo el mundo. El modelado matem´atico de dichas enfermedades es un elemento muy importante para combatirlas. Gracias al modelado de las enfermedades podemos establecer una serie de propiedades esenciales de la transmisi´on de la enfermedad que nos facilita su propio an´alisis. Este an´alisis tiene como objetivo determinar la incidencia de la enfermedad, as´ı como ayudar a tomar las medidas sanitarias oportunas para su control o eliminaci´on. Al no ser posible experimentar con la realidad, estos modelos nos permiten predecir las consecuencias que puede tener introducir cambios espec´ıficos. Tambi´en nos permiten entender la forma de expansi´on de la enfermedad a trav´es de la poblaci´on bajo diferentes condiciones o escenarios. El primer art´ıculo que se conoce de una aplicaci´on matem´atica a una enfermedad infecciosa (viruela) es en 1760 por Daniel Bernouilli. En el mismo siglo, el trabajo de Bernouilli es continuado por Rond d’Alembert, que adem´as fue la primera persona en describir la propagaci´on de enfermedades infecciosas mediante un modelo. En este trabajo trataremos el modelo epidemiol´ogico con reinfecci´on, S→I→R→I. David Tudor public´o en 1990 uno de los primeros modelos capaz de explicar las enfermedades epidemiol´ogicas con reca´ıda, para una poblaci´on constante y con tasa de incidencia bilineal. [5] desarrolla y analiza cualitativamente un modelo para la propagaci´on de una infecci´on de tipo herp´etico en poblaciones humanas o animales. Esta extensi´on, de la modelizaci´on de enfermedades humanas a la epidemiolog´ıa veterinaria, nos proporciona gran informaci´on acerca de la Pseudorabia en el cerdo. [5] nos proporciona una completa informaci´on acerca de la existencia y estabilidad local de los equilibrios. Posteriormente Moreira y Wang incluyeron en [7] las funciones de incidencia no lineal. Blower desarroll´o un modelo para el herpes genital en [6], suponiendo la incidencia est´andar para la transmisi´on de la enfermedad y la tasa de reclutamiento constante. Van den Driessche y Zou, [8], desarrollaron un modelo SIRI en una poblaci´on constante con incidencia est´andar y una distribuci´on general de reca´ıdas. Este modelo tambi´en es apropiado para el estudio de la tuberculosis en humanos y bovinos, as´ı como para la din´amica del consumo de tabaco y alcohol. En este modelo se pueden clasificar los individuos de la poblaci´on en cuatro clases: Susceptible (Susceptibles), si los individuos no est´an expuestos al pat´ogeno infeccioso, Infected (Infecciosos), si est´an infectados por el pat´ogeno, yRecovered (Recuperados) si tras sufrir la infecci´on la han eliminado. Aunque 7 Introducci´on es posible tras recuperarse volver a sufrir una reca´ıda, convirti´endose as´ı en individuo Reinfected (Reinfectados). La din´amica de transmisi´on (o din´amica entre estos grupos) estar´a representada por un sistema de ecuaciones diferenciales, con 3 ecuaciones diferenciales. Los objetivos perseguidos en este trabajo, dentro del marco general de Ecuaciones Diferenciales, son: 1. Hacer una revisi´on de la literatura cient´ıfica especializada en sistemas din´amicos aut´onomos. 2. Estudiar el comportamiento asint´otico local del modelo aut´onomo SIRI. 3. Estudiar el comportamiento asint´otico local del modelo aut´onomo SIR. 4. Estudiar las relaciones entres los comportamientos asint´oticos de las soluciones de los modelos aut´onomos SIR y SIRI. Este trabajo lo componen 3 cap´ıtulos. En el Cap´ıtulo 1 se muestran conceptos y resultados ya conocidos de asignaturas como Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) y Ampliaci´on de Ecuaciones Diferenciales (AED), que nos ser´an de gran utilidad para analizar el comportamiento asint´otico de las soluciones en cap´ıtulos posteriores. En el Cap´ıtulo 2 formularemos el modelo SIRI aut´onomo, y estudiaremos en detalle el comportamiento asint´otico local de las soluciones del modelo haciendo uso de los resultados del Cap´ıtulo 1. En las Secciones 2 y 3, comentaremos variaciones en el modelo SIRI considerado en la Secci´on 1.Tambi´en mostraremos resultados acerca del comportamiento asint´otico global de las soluciones de dichos modelos. En el Cap´ıtulo 3 nuestro objetivo es estudiar las relaciones y diferencias entre los modelos SIR y SIRI aut´onomos. Para ello se vuelve necesario formular el modelo SIR aut´onomo, y estudiar el comportamiento asint´otico local de sus soluciones. Fij´andonos en el comportamiento asint´otico local de las soluciones de ambos modelos realizaremos la comparaci´on, viendo la relaci´on que guardan entre ambos. 8 Cap´ıtulo 1 Conceptos previos acerca de sistemas diferenciales ordinarios El objetivo principal es estudiar el comportamiento asint´otico local de las soluciones de un sistema diferencial que llevado a la pr´actica, nos permita modelar ciertos fen´omenos epidemiol´ogicos. Para ello se vuelve necesario realizar una revisi´on de la literatura cient´ıfica centrada en sistemas de ecuaciones diferenciales. En este cap´ıtulo vamos a recordar algunos conceptos ya estudiados en las asignaturas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias yAmpliaci´on de Ecuaciones Diferenciales. En ambas asignaturas se estudia el comportamiento asint´otico local para las soluciones del Problema de Valores Iniciales o Problema de Cauchy y0=f(t, y), y(t0) = y0, donde Ω ⊆RN+1 es un abierto conexo, f: Ω 7−→ RN es una funci´on que satisface f∈C0(Ω,RN)∩Liploc(y, Ω) y (t0, y0)∈Ω. Siendo Liploc(y, Ω) el espacio de funciones definidas de Ω en RNque son localmente Lipschitzianas respecto de la variable y en Ω. Enunciaremos algunos resultados como el Teorema de LaSalle, que nos ser´an de gran utilidad para el an´alisis del comportamiento de las soluciones. 1.1. Conceptos b´asicos de ecuaciones diferenciales ordinarias Sea Ω ⊆RN+1, N ≥1 entero, abierto conexo distinto de vac´ıo. Sea tambi´en f: Ω ⊆RN+1 →RNfunci´on continua en Ω, y (t0, y0)∈Ω un punto. Consideramos el problema de Cauchy y0=f(t, y) y(t0) = y0(1.1) 9 Cap´ıtulo 1. Conceptos previos acerca de sistemas diferenciales ordinarios 2. Se dice que V∈C1(Bρ)∩C0(Bρ)es una funci´on de Liapunov de Bρpara el sistema aut´onomo (1.10) si V es definida positiva en Bρy· V(y)≤0, para todo y∈Bρ. Teorema 1.8 (Condiciones suficientes de estabilidad de Liapunov).Sean ρ > 0, tal que Bρ⊂DyV∈C1(Bρ)una funci´on de Liapunov en Bρpara el sistema (1.10). Entonces: 1. La soluci´on ϕ0de (1.10) en Res uniformemente estable. 2. Si adem´as · Ves definida negativa en Bρ, entonces la soluci´on ϕ0de (1.10) en Res uniformemente asint´oticamente estable. 3. Si existen constantes c1, c2, c3>0tales que c1|y|2≤V(y)≤c2|y|2, y · V(y)≤ −c3|y|2,∀y∈Bρ,(1.11) entonces la soluci´on ϕ0de (1.10) en Res exponencialmente asint´oticamente estable. A continuaci´on daremos una condici´on suficiente para establecer la inestabilidad de la soluci´on nula del sistma diferencial ordinario aut´onomo. Teorema 1.9 (Teorema de Tchetaev).Supongamos que existen ρ > 0y V∈C1(Bρ)tales que Bρ⊂Dy se cumple: 1. V(0) = 0. 2. · Ves definida positiva en Bρ. 3. Para cualquier σ∈(0, ρ)existe yσ∈Bσtal que V(yσ)>0. Entonces, la soluci´on nula ϕ0de (1.10) es inestable. 1.6. ´ Orbitas de sistemas aut´onomos Para esta secci´on consideraremos el sistema diferencial ordinario aut´onomo y0=F(y) (1.12) con F:D→RN, D ⊆RNun abierto conexo no vac´ıo y F∈C0(D;RN)∩Liploc(D). En esta secci´on realizaremos un estudio cualitativo de la soluci´on maximal ϕ(·, t0, y0), con (t0, y0)∈R×D. Proposici´on 1.1. Consideramos el sistema aut´onomo (1.12) con F∈Liploc(D). Para t0∈Rey0∈D, sea ϕ(·;t0, y0)la soluci´on maximal del problema de Cauchy asociado a (1.12). Entonces: 1. I(t0, y0) = t0+I(0, y0)≡t0+I(y0). 2. ϕ(t;t0, y0) = ϕ(t−t0; 0, y0), para cualquier t∈I(t0, y0). 16 Cap´ıtulo 1. Conceptos previos acerca de sistemas diferenciales ordinarios Proposici´on 1.2. Consideremos el sistema aut´onomo (1.12) con F∈Liploc(D). Sean t∈Rey0∈D. Entonces, si t1∈I(t0, y0)ey1=ϕ(t;t1, y1), se tiene I(t0, y0) = I(t1, y1)yϕ(t;t0, y0) = ϕ(t;t1, y1),∀t∈I(t0, y0). Corolario 1.1. En las condiciones de la Proposici´on 1.1, sea t0∈R,y0∈D, t1∈I(y0)ey1=ϕ(t1; 0, y0). Entonces, I(y0) = t1+I(y1)y ϕ(t; 0, y1) = ϕ(t+t1; 0, y0),∀t∈I(y1). Nota 1.6.1. Equivalentemente a lo anterior, ϕ(t; 0, y0) = ϕ(t−t1; 0, y1)para cualquier t∈I(y0). Veamos ahora la deficinici´on de ´orbita del sistema (1.12) que pasa por un punto y0∈D. Definici´on 1.13. Sea y0∈Dy denotemos I(y0) = I(0, y0). Se llama ´orbita del sistema aut´onomo (1.12) asociada a y0al conjunto γ(y0)dado por γ(y0) = {ϕ(t; 0, y0) : t∈I(y0)} ⊂ D. A continuaci´on presentamos las definiciones de semi´orbita positiva y negativa del sistema (1.12) que pasa por y0. Definici´on 1.14. Sea y0∈D, 1. Definimos la semi´orbita positiva del sistema (1.12) asociada a y0como el conjunto: γ+(y0) = {ϕ(t; 0, y0) : t∈I(y0), t ≥0}. 2. Definimos la semi´orbita negativa del sistema (1.12) asociada a y0como el conjunto: γ−(y0) = {ϕ(t; 0, y0) : t∈I(y0), t ≥0}. Ahora se muestra la definici´on de conjunto invariante para nuestro sistema. Definici´on 1.15. Sea Γ⊆D. 1. Se dice que Γes un conjunto invariante para el sistema aut´onomo (1.12) si para cualquier y0∈Γse satisface γ(y0)⊆Γ. 2. Se dice que Γes un conjunto positivamente invariante (resp., negativamente invariante) para el sistema aut´onomo (1.12) si se tiene γ+(y0)⊆Γ (resp., γ−(y0)⊆Γ), para cualquier y0∈Γ. Definici´on 1.16. 1. Se dice que p∈RNes un punto l´ımite positivo (resp., punto l´ımite negativo) asociado al sistema (1.12) y al punto y0∈Dsi existe una sucesi´on {tn}n∈N⊂I(t0)tal que (a) limtn=supI(y0)ytn→ ∞ (resp., limtn=infI(y0)ytn→ −∞). (b) l´ım n→∞ ϕ(tn; 0; y0) = p. 2. Dado y0∈D, se denomina conjunto l´ımite positivo asociado al sistema (1.12) y al punto y0al conjunto Λ+(y0) = {p∈RN:pes un punto l´ımite positivo asociado a (1.12) y a y0}, y conjunto l´ımite negativo asociado al sistema (1.12) y al punto y0al conjunto Λ−(y0) = {p∈RN:pes un punto l´ımite negativo asociado a (1.12) y a y0}. 17 Cap´ıtulo 1. Conceptos previos acerca de sistemas diferenciales ordinarios El resultado que damos a continuaci´on nos asegura que, bajo unas condiciones espec´ıficas, existen conjuntos invariantes respecto del sistema aut´onomo que atraen las ´orbitas del sistema. Este resultado completa el Teorema de estabilidad de Liapunov dando una condici´on que asegura que la soluci´on nula del sistema es uniformemente asint´oticamente estable. Teorema 1.10 (Teorema de LaSalle).Consideremos el s.d.o. (1.12). Sea K⊂D un conjunto compacto no vac´ıo y sea V∈C1(D)tal que · V(y)≤0para cualquier y∈K. Sea y0∈Ktal que γ+(y0)⊆K. Denotemos por E={y∈K:· V(y)=0}, y sea Mel mayor subconjunto invariante para el sistema (1.12) de E. Entonces: 1. I(y0)⊃[0,∞). 2. Λ+(y0)⊆M(y por tanto, M6=∅). 3. l´ım t→∞ dist(ϕ(t; 0, y0), M)=0. Por ´ultimo en esta secci´on veremos el Teorema de Poincar´e-Bendixson que nos ayudar´a a determinar el comportamiento asint´otico de las ´orbitas de los sistemas aut´onomos planos. Este teorema s´olo es v´alido para dimensi´on 2, como mucho. Teorema 1.11 (Teorema de Poincar´e-Bendixson).Consideremos el sistema aut´onomo (1.12) con F∈C1(D)yD⊆R2un abierto conexo no vac´ıo. Sea y0∈K⊂Dcon Kun compacto tal que γ+(y0)⊂K(resp., γ−(y0)⊂K). Supongamos que Λ+(y0)(resp., Λ−(y0)) no contiene puntos cr´ıticos de (1.12). Entonces, 1. Λ+(y0)(resp., Λ−(y0)) es una ´orbita c´ıclica no degenerada. 2. O bien γ(y0)es una ´orbita c´ıclica (y en el caso γ(y0)=Λ+(y0)) (resp., γ(y0)=Λ−(y0)), o bien γ+(y0)(resp., γ−(y0)) se acerca en espiral hacia Γ+(y0)(resp., Γ−(y0)), en cuyo caso se dice que Γ+(y0)(resp., Γ−(y0)) es un ciclo-l´ımite. 1.7. Sistemas din´amicos aut´onomos Consideramos el s.d.o. aut´onomo siguiente y0=F(y),(1.13) donde F:D→RN∈Liploc(D) y D⊆RNes un abierto conexo no vac´ıo. Nota 1.7.1. En este caso los conceptos de estabilidad, estabilidad uniforme, atractividad, y atractividad uniforme son equivalentes. 18 Cap´ıtulo 1. Conceptos previos acerca de sistemas diferenciales ordinarios 1.7.1. Sistemas din´amicos En esta subsecci´on mostramos un resumen de propiedades y resultados sobre sistemas din´amicos aut´onomos. Definici´on 1.17. Sea X un espacio m´etrico. Un sistema din´amico continuo es una familia de aplicaciones {S(t) : t∈R}definidas como: S(t) : X−→ X x−→ S(t)x y que verifican: 1. S(0)x=IdX(x). 2. (Propiedad de grupo) S(t1+t2) = S(t1)◦S(t2), para cada t1, t2∈R. 3. S(t) : X→Xes una aplicaci´on continua para todo t∈R. 4. La aplicaci´on t∈R→S(t)xes una aplicaci´on continua para cada x∈X. Definici´on 1.18. Sea X un espacio m´etrico. Un sistema semi-din´amico continuo o semigrupo es una familia de aplicaciones {S(t) : t≥0}definidas como S(t) : X−→ X x−→ S(t)x y que verifican: 1. S(0)x=IdX(x). 2. (Propiedad de semigrupo) S(t1+t2) = S(t1)◦S(t2), para cada t1, t2≥0. 3. S(t) : X→Xes una aplicaci´on continua para todo t≥0. 4. La aplicaci´on t∈[0,∞)→S(t)xes una aplicaci´on continua para cada x∈X. Suponemos dado un sistema semi-din´amico de la forma {S(t) : t≥0}. Definici´on 1.19. Sean X un espacio m´etrico y D⊂X. 1. Se dice que Des positivamente invariante si S(t)D⊆D, para todo t≥0. 2. Se dice que Des negativamente invariante si S(t)D⊇D, para todo t≥0. 3. Se dice que Des invariante si S(t)D=D, para todo t≥0. Puesto que en este trabajo nos centraremos en los sistemas semi-din´amicos continuos, a partir de ahora omitiremos la palabra continuos. Ahora reescribiremos algunas definiciones de las secciones anteriores en t´erminos del siguiente sistema semi-din´amico. Vamos a considerar, para el prop´osito de este trabajo, X=RN(dimensi´on finita). De ahora en adelante, consideraremos tambi´en el sistema semi-din´amico {S(t) : t≥0}definido como S(t)y0=ϕ(t; 0, y0) donde ϕ(t; 0, y0) denota la soluci´on maximal del sistema (1.13) tal que ϕ(0; 0, y0) = y0. Se puede ver que el sistema definido as´ı (para aquellos valores de t del intervalo de definici´on de la soluci´on maximal) es un sistema semi-din´amico. 19 Cap´ıtulo 1. Conceptos previos acerca de sistemas diferenciales ordinarios Definici´on 1.20. Dados un espacio m´etrico Xyu∈X, llamamos semi´orbita positiva que pasa por u(o empieza en u) al conjunto: γ+(u) = {S(t)u:t≥0}. Definici´on 1.21. Dados un espacio m´etrico Xyu∈X, llamamos semi´orbita negativa que pasa por u(o termina en u) al conjunto: γ−(u) = {S(−t)u:t > 0}. Definici´on 1.22. Dados un espacio m´etrico Xyu∈X, se llama ´orbita que pasa por ual conjunto γ(u)dado por: γ(u) = γ+(u)∪γ−(u). Definici´on 1.23. Sea y0∈X. Se dice que y0es un punto cr´ıtico o punto estacionario para el sistema (1.13) si se verifica S(t)y0=y0, para todo t∈R. Nota 1.7.2. Tenemos que y0∈Xes un punto cr´ıtico para el sistema (1.13) si y solo si γ(y0) = {y0}. Definici´on 1.24. Sean X un espacio m´etrico, u0∈XyD⊂X. 1. Llamamos conjunto wl´ımite asociado a u0∈Xy denotado por w(u0)al conjunto: Λ(u0) = {u∈X:∃{tn}n∈N⊂R, tn→ ∞, S(tn)u0→u}. 2. Llamamos conjunto wl´ımite asociado a D⊂Xy denotado por w(D)al conjunto: Λ(D) = {u∈X:∃{tn}n∈N⊂R, tn→ ∞,∃{dn}n∈N⊆D, S(tn)dn→u}. Lema 1.1. Sean Xun espacio m´etrico, u0∈X, y D⊂X. Se verifica: 1. Λ(u0) = \ t≥0[ s≥t S(s)u0=\ T≥0 γ+ T(u0),donde γ+ T(u0) = {S(t)u0:t≥T}. 2. Λ(D) = \ t≥0[ s≥t S(s)D=\ T≥0 γ+ T(D),donde γ+ T(D) = [ u∈D γ+ T(u). Nota 1.7.3. Los conceptos de l´ımite positivo y w-l´ımite coinciden si {S(t) : t≥0} es un sistema semi-din´amico definido como sigue S(t)y0=ϕ(t; 0, y0), con ϕ(t; 0, y0)como soluci´on maximal del sistema (1.13). 20 Cap´ıtulo 1. Conceptos previos acerca de sistemas diferenciales ordinarios 1.7.2. Atractor global Definici´on 1.25. Sean Xun espacio m´etrico y A⊂X. Se dice que Aes absorbente respecto del sistema semi-din´amico {S(t) : t≥0}si para todo B⊂X acotado existe T(B)≥0tal que: S(t)B⊂A, ∀t≥T(B). Definici´on 1.26. Sean AyBsubconjuntos de X. Diremos que Aatrae a Bsi dist(S(t)B, A)→0,cuando t→ ∞, es decir, si para cada  > 0existe un tiempo T=T()tal que para todo t≥T y para todo u∈Bse tiene dist(S(t)u, A)< . Definici´on 1.27. Diremos que Aes atractor puntual si atrae a cada punto de X. Nota 1.7.4. La distancia a la que se refiere la definici´on anterior es en realidad la semi-distancia de Hausdorff, dist(A, B) = sup a∈A ´ınf b∈B|a−b|. Algunas propiedades de esta semi-distancia son: (a) dist(∅, Y )=0. (b) dist(X, ∅)no est´a definida. (c) dist(X, Y ) = dist(Y, X). (d) Esta distancia no define una m´etrica debido a que dist(X, Y )=0s´olo implica que X⊂¯ Y. (e) Si Y1⊂Y2=⇒dist(X, Y1)≥dist(X, Y2). (f) Si X1⊂X2=⇒dist(Y, X1)≤dist(Y, X2). Definici´on 1.28. Sea (X, d)un espacio m´etrico y {S(t) : t≥0}un sistema semi-din´amico. Se dice que A⊂Xes un atractor global para {S(t) : t≥0}si verifica: 1. Aes compacto. 2. Aes invariante. 3. Aatrae a todos los subconjuntos acotados de X. 21 Cap´ıtulo 1. Conceptos previos acerca de sistemas diferenciales ordinarios Existencia de atractor global Veremos ahora una condici´on suficiente de existencia de atractor global. Para ello vamos a hacer uso del siguiente lema. Lema 1.2. Sea B⊂X. Si para alg´un T > 0el conjunto γ+ T(B) = [ t≥T S(t)B es compacto, entonces Λ(B)es no vac´ıo, compacto e invariante. Teorema 1.12 (Condici´on suficiente de existencia de atractor global).Sea (X, d)un espacio m´etrico completo. Supongamos que {S(t) : t≥0}es un sistema semi-din´amico en dicho espacio y que existe B⊂Xabsorbente y compacto. Entonces existe un atractor global Adefinido por A= Λ(B). Adem´as, si Xes conexo, entonces Aes conexo. Lema 1.3. Si existe un atractor global, este es ´unico. 22 Cap´ıtulo 2 Modelo SIRI El modelo SIRI es un modelo capaz de describir la din´amica de poblaciones en la que se desarrolla una infecci´on. Para ello sabemos que existen cuatro tipos de poblaci´on: Susceptibles (Susceptible), son aquellos individuos que no entran en contacto con el pat´ogeno; Infecciosos (Infectious), aquellos que est´an infectados por el agente pat´ogeno; Recuperados (Recovered), si se han recuperado por completo de la infecci´on; y por ´ultimo Reinfectados (Reinfected), los cuales tras estar recuperados de la infecci´on vuelven a entrar en contacto con el agente pat´ogeno y pasan a ser infectados por ´el de nuevo, por lo que pasan a formar parte, otra vez, del grupo de los infectados . Denotaremos S(t), I(t) y R(t) al n´umero de individuos susceptibles, infecciosos y recuperados, respectivamente, a lo largo del tiempo t, para cada t≥0. Por la propia naturaleza de la poblaci´on s´olo tiene sentido considerar soluciones no negativas, S(t)≥0, I(t)≥0 y R(t)≥0, para cada t≥0. En este cap´ıtulo abarcaremos distintas situaciones. El caso en el que nos extenderemos se caracteriza por mantener el n´umero de individuos constante. Tambi´en veremos el caso en que la tasa de natalidad no coincide con la tasa de mortalidad as´ı como la muerte natural no coincide con la muerte por enfermedad, y por ´ultimo el caso en que la poblaci´on no se mantiene constante. 2.1. Tama˜no de poblaci´on constante Como el n´umero de individuos permanece constante en cualquier instante de tiempo t, podemos asumir que S(t)+I(t)+R(t)=1,∀t≥0. Es obvio que la tasa de natalidad es la misma que la tasa de mortalidad, µ > 0, ya que la poblaci´on se mantiene constante. A la tasa de contacto entre susceptibles e infectados y al coeficiente de individuos que pasan de infectados a recuperados los llamaremos, respectivamente, β > 0 y γ > 0. Tambi´en denotaremos por η > 0 al coeficiente de individuos reinfectados (aquellos que tras recuperarse pierden la inmunidad frente al pat´ogeno y vuelven a infectarse). Supondremos que la tasa de muerte por infecci´on ser´a la misma que la tasa de muerte natural. Consideramos las siguientes hip´otesis: Un individuo pasa a formar parte del grupo de los susceptibles, ´unicamente, por nacimiento. 23 Cap´ıtulo 2. Modelo SIRI Para que un individuo abandone el grupo de los susceptibles ha de hacerlo por muerte natural o por convertirse en individuo infeccioso. Asumimos que cada individuo infectado tiene un n´umero fijo βde contactos por d´ıa. Esos contactos pueden realizarse con individuos infectados o individuos susceptibles, lo cual ser´ıa suficiente para contagiarse de la enfermedad. Un individuo puede abandonar el grupo de los infectados o bien por muerte por infecci´on, o bien por recuperaci´on de la enfermedad. Asumimos que la proporci´on de individuos infectados que se recuperan en un d´ıa, γ, es fija. Hay dos formas de abandonar el grupo de los recuperados: por muerte natural, o por convertirse en individuo infeccioso de nuevo. Asumimos que la proporci´on de individuos recuperados que se reinfectan por d´ıa, η, es fija. Representaci´on esquem´atica de la din´amica de transmisi´on: El sistema resultante viene definido por el siguiente sistema diferencial:    S0=µ−µS −βSI I0=βSI −µI −γI +ηR R0=γI −µR −ηR (2.1) El siguiente teorema nos mostrar´a que el sistema anterior posee una ´unica soluci´on maximal. Teorema 2.1. Sea (S0, I0, R0)∈R3. Entonces existe una ´unica soluci´on maximal de (2.1). Adem´as si (S0, I0, R0)∈R3 +, entonces ϕ(t;t0, S0, I0, R0)∈R3 +. 24 Cap´ıtulo 2. Modelo SIRI Demostraci´on. Sea f:R3→R3, f(S, I, R) = "µ−µS −βSI βSI −µI −γI +ηR γI −µR −ηR #. Como se puede observar la funci´on es continua en R3por tratarse de polinomios. Veamos que tambi´en se trata de una funci´on localmente Lipschitziana. Tomamos f1, f2, f3como las respectivas filas de la matriz f. ∂f1 ∂S =−µ−βI ∂f1 ∂I =−βS ∂f1 ∂R = 0 ∂f2 ∂S =βI ∂f2 ∂I =βS −µ ∂f2 ∂R =η ∂f3 ∂S = 0 ∂f3 ∂I =γ ∂f3 ∂R =−µ−η Todas ellas son continuas en R3, por lo que fes localmente Lipschitziana. Luego aplicando el teorema de existencia y unicidad de soluci´on maximal (Teorema 1.4), tenemos que para cada (S0, I0, R0)∈R3existe una ´unica soluci´on maximal, ϕ(·;t0, S0, I0, R0), de (2.1). Tomamos ahora (S0, I0, R0)∈R3 +. Vemos que existe soluci´on positiva. dS dt S=0 =µ > 0 dI dt I=0 =γI0>0 dR dt R=0 =ηR0>0 Todas ellas son positivas, luego ϕ(t;t0, S0, I0, R0)∈R3 +. Nota 2.1.1. A partir de ahora tomaremos S0=S(0), I0=I(0), R0=R(0). Volviendo a nuestro sistema (2.1), como la poblaci´on la hemos supuesto que permanece constante (1 = S(t)+I(t)+R(t)), dicho sistema diferencial se puede reducir al siguiente: S0=µ−µS −βSI I0=βSI −µI −γI +η(1 −S−I)(2.2) 25 Cap´ıtulo 2. Modelo SIRI Tomamos ahora a=µ, b = (β σ)(σ−1), c = 4βη. Tenemos que ver el signo de los autovalores de −a+b±p(a+b)2+c. Sabemos que a, c > 0, ya que µ > 0 y βη > 0 por ser β > 0 y η > 0. Por lo tanto s´olo tenemos dos casos a considerar, uno que b > 0 y el otro que b≤0. 1. b > 0 (σ > 1). (a+b)2=a2+b2+ 2ab = (b−a)2+ 4ab −→ (a+b)2−4ac = (b−a)2 Es decir, p(a+b)2−4ac =| − a+b|. Adem´as, p(a+b)2−4ac < p(a+b)2+c. Luego llegamos a que 0 <| − a+b|<p(a+b)2+c. Como tenemos dos autovalores reales y de distinto signo, llegamos a la conclusi´on de que el punto de equilibrio se trata de un punto de silla (inestable). 2. b≤0 (σ≤1). Como partimos de −a+b±p(a+b)2+c, tenemos dos posibilidades: (a) −a+b−p(a+b)2+c < 0 tenemos un autovalor real negativo. (b) −a+b+p(a+b)2+c > 0 si y solo s´ı p(a+b)2+c > a−b > 0 dado que es la suma de dos cantidades positivas (−b > 0). Luego de p(a+b)2+c > p(a+b)2−4ab =a−bllegamos a que c > −4ab, es decir, −c 4a< b ≤0. Con la notaci´on inicial ser´ıa β σ(σ−1) >−ηβ µ. Como b≤0⇐⇒ σ≤1. Entonces β σ(σ−1) >−ηβ µ⇐⇒ σ−1 σ>−η µ⇐⇒ σ > µ µ+η. En resumen, para el primer punto de equilibrio tenemos: Si σ > 1, tenemos que el punto de equilibrio es inestable. En el contexto del modelo SIRI, tenemos que si el n´umero inicial de individuos susceptibles se acerque al total de la poblaci´on y el n´umero inicial de individuos infecciosos se acerque a cero, puede ocurrir, que tras un largo periodo de tiempo, la poblaci´on no vuelva a tener un n´umero de individuos susceptibles e infecciosos cercanos a los valores iniciales. Que el n´umero de individuos infecciosos este pr´oximo a cero no implica que la enfermedad se haya extinguido por completo en la poblaci´on. Si 0 <µ µ+η< σ ≤1, tenemos un autovalor real negativo y un autovalor real positivo, luego se tratar´a de un punto de silla (inestable). En el contexto del modelo SIRI, esto significa que en el caso de que el n´umero 32 Cap´ıtulo 2. Modelo SIRI inicial de individuos susceptibles se acerque al n´umero total poblacional y el n´umero inicial de individuos infecciosos se acerque a cero, puede suceder, que tras un largo periodo de tiempo, la poblaci´on no vuelva a tener un n´umero de individuos susceptibles e infecciosos cercanos a los valores iniciales. Hay que tener en cuenta que, que el n´umero de individuos infecciosos este pr´oximo a cero no implica que la enfermedad se haya extinguido en la poblaci´on. Si 0 < σ < µ µ+η≤1, tenemos dos autovalores reales negativos, luego se tratar´a de un punto de equilibrio asint´oticamente estable. En el contexto del modelo SIRI, esto significa que en el caso de que el n´umero inicial de individuos susceptibles se acerque al n´umero total poblacional y el n´umero inicial de individuos infecciosos se acerque a cero, entonces, tras un largo periodo de tiempo, el n´umero de individuos susceptibles en la poblaci´on tiende a estabilizarse en el tama˜no de la poblaci´on y el n´umero de individuos infecciosos tiende a cero, es decir, la enfermedad se extinguir´a por completo. Si 0 <µ µ+η=σ≤1, tenemos un autovalor igual a 0 y otro autovalor real negativo, luego se tratar´a de un punto de equilibrio estable. En el contexto del modelo SIRI, esto significa que en el caso de que el n´umero inicial de individuos susceptibles se acerque al n´umero total poblacional y el n´umero inicial de individuos infecciosos se acerque a cero, entonces tanto el n´umero de individuos susceptibles como el n´umero de individuos infecciosos permanecer´an lo suficientemente pr´oximos a sus valores iniciales, respectivamente, para siempre. Veamos ahora la estabilidad del punto (S∗ 2, I∗ 2) = µ (µ+η)σ,µ+η βσ−µ µ+η. La matriz jacobiana correspondiente a este punto ser´ıa J(S∗ 2,I∗ 2)=    −µ−(µ+η)(σ−µ µ+η)−βµ (µ+η)σ (µ+η)(σ−µ µ+η)−ηβµ (µ+η)σ−(µ+γ+η)     . Simplificando la matriz anterior nos quedar´ıa J(S∗ 2,I∗ 2)=    −(µ+η)σ−βµ (µ+η)σ (µ+η)σ−µ−ηβµ (µ+η)σ−(µ+γ+η)     . Calculamos el determinante y la traza de la matriz anterior. 33 Cap´ıtulo 2. Modelo SIRI tr(J(S∗ 2,I∗ 2)) = −(µ+η)σ+β σ(µ µ+η−1) det(J(S∗ 2,I∗ 2)) = β σ(µ+η)(σ−µ µ+η) La ecuaci´on caracter´ıstica correspondiente es r2+ [(µ+η)σ−β σ(µ µ+η−1)]r+β σ(µ+η)(σ−µ µ+η)=0. El discriminante, (µ+η)σ−β σ(µ µ+η−1)2 −4β σ(µ+η)(σ−µ µ+η), al reagrupar los t´erminos nos queda (µ+η)σ+β σµ µ+η−12 + 4µβ1−σ σ. Este discriminante ser´a positivo cuando σ≤1. Luego cuando σ≤1 la matriz tendr´a dos autovalores reales. Para ver el signo de estos autovalores vamos a tomar a= (µ+η)σ b=β σµ µ+η−1 c= 4µβ1−σ σ. Es claro que a > 0, b > 0 y c≤0. Los autovalores son de la forma −a+b±p(a+b)2+c. 1. σ≤1. En este caso siempre se tiene que −a+b−p(a+b)2+c < 0. Con respecto al otro autovalor −a+b+p(a+b)2+c > 0 si y solo s´ı −c 4a≤b, adem´as −c 4a≤bsi y solo s´ı σ≤µ µ+η. Por lo tanto, si σ≤µ µ+η, el punto de equilibrio es un punto de silla, y si µ µ+η< σ ≤1, el punto de equilibrio es estable. 2. σ > 1(c < 0). Tenemos dos casos: (a+b)2+c≥0. Entonces −a+b−p(a+b)2+c < 0, y el otro autovalor −a+b+p(a+b)2+c > 0 si y solo s´ı −c 4a≤b, adem´as −c 4a≤bsi y solo s´ı (β σ)µ (µ+η)−1≥βµ(σ−1)(σ) (µ+η)σ. Pero esto no es posible para η6= 0 ya que nos quedar´ıa β σµ (µ+η)−1<0, y a 34 Cap´ıtulo 2. Modelo SIRI su vez esto no es posible dado que el lado derecho de la inecuaci´on es positivo. Por lo tanto, el segundo autovalor es negativo, y entonces el punto de equilibrio es asint´oticamente estable. (a+b)2+c < 0. Como las ra´ıces son complejas conjugadas con parte real negativa, el punto de equilibrio es asint´oticamente estable, en realidad, estable espiralmente. En resumen, para el segundo punto de equilibrio nos queda que si: σ≤µ µ+η≤1, entonces se trata de un punto de silla. En el contexto del modelo SIRI, esto significa que en el caso de que el n´umero inicial de individuos susceptibles e infecciosos se acerquen al punto de equilibrio, puede suceder, que tras un largo periodo de tiempo, la poblaci´on no vuelva a tener un n´umero de individuos susceptibles e infecciosos cercanos a los valores iniciales. µ µ+η< σ ≤1, entonces se trata de un punto de equilibrio estable. En el contexto del modelo SIRI, esto significa que en el caso de que el n´umero inicial de individuos susceptibles e infecciosos se acerquen al punto de equilibrio, entonces tanto el n´umero de individuos susceptibles como el n´umero de individuos infecciosos permanecer´an lo suficientemente pr´oximos a sus valores iniciales, respectivamente, para siempre. σ > 1 y (a+b)2+c≥0, entonces se trata de un punto de equilibrio asint´oticamente estable. En el contexto del modelo SIRI, esto significa que en el caso de que el n´umero inicial de individuos susceptibles e infecciosos se acerquen al punto de equilibrio, entonces, tras un largo periodo de tiempo, el n´umero de individuos susceptibles e infecciosos tienden a estabilizarse en el punto de equilibrio. σ > 1 y (a+b)2+c < 0, entonces se trata de un punto de equilibrio asint´oticamente estable, en realidad, estable espiralmente. En el contexto del modelo SIRI, esto significa que en el caso de que el n´umero inicial de individuos susceptibles e infecciosos se acerquen al punto de equilibrio, entonces, tras un largo periodo de tiempo, el n´umero de individuos susceptibles e infecciosos tienden a estabilizarse en el punto de equilibrio. 35 Cap´ıtulo 2. Modelo SIRI 2.2. Tasa de natalidad distinta de tasa de mortalidad. Muerte natural distinta de muerte por enfermedad En este caso el n´umero de individuos permanece tambi´en constante en cualquier instante de tiempo t, luego tambi´en podremos aceptar que S(t) + I(t) + R(t) = 1,∀t≥0. Este caso tiene de particular con respecto al anterior que la tasa de natalidad, µ≥0, y la tasa de mortalidad no es la misma. En este caso tambi´en tendremos que diferenciar entre muerte natural, α, y muerte por enfermedad, κ, ambas mayores o iguales que 0. Como anteriormente tendremos tasa de contacto entre susceptibles e infectados, β≥0, coeficiente de individuos que pasan de infectados a recuperados, γ≥0, y coeficiente de individuos reinfectados, η≥0. Las hip´otesis en este caso ser´an las mismas que en el caso anterior, salvo por el hecho de que para que un individuo abandone el grupo de infectados ha de hacerlo por muerte natural, por muerte por enfermedad o por recuperaci´on de la enfermedad. Representaci´on esquem´atica de la din´amica de transmisi´on: Del paso del diagrama anterior a sistema, llegamos al siguiente sistema diferencial:    S0=µ−αS −βSI I0=βSI −(κ+γ+α)I+ηR R0=γI −(α+η)R (2.5) La ecuaci´on diferencial del total de la poblaci´on de (2.5) es: d dt(S+I+R) = µ−α(S+I+R)−κI. (2.6) Para nuestro caso el conjunto que tendr´ıamos que ver que se trata de un conjunto absorbente y positivamente invariante, utilizando el mismo procedimiento 36 Cap´ıtulo 2. Modelo SIRI que para el caso anterior, es: ∧={(S, I, R)∈R3 +:S≥0, I ≥0, R ≥0, S +I+R≤µ α}. Encontraremos estos dos posibles puntos de equilibrio en el octante no negativo R3 +, realizando c´alculos como anteriormente: E0= (µ α,0,0), E∗= ( µ αR0 ,α β(R0−1),γα β(η+α)(R0−1)). Con R0=(α+η)βµ α(γα + (α+η)(κ+α)). Nota 2.2.1. A partir de ahora denotaremos por (S0, I0, R0)a sus correspondientes coordenadas de E0y an´alogamente para (S∗, I∗, R∗)con sus correspondientes coordenadas de E∗. A continuaci´on, estudiaremos el comportamiento asint´otico global de los puntos de equilibrio. Para el primer punto, utilizando funciones de Liapunov lineales y cuadr´aticas, y el Teorema de LaSalle, tendremos que, si R0≤1, el punto es globalmente asint´oticamente estable en ∧. Teorema 2.3. Si R0≤1entonces el punto de equilibrio E0de (2.5) es globalmente asint´oticamente estable en ∧. Demostraci´on. Sea V:{(S, I, R)∈R3:S > 0} → Rcon V(S, I, R) = (α+η) 2S0(S−S0)2+ (α+η)I+ηR. (2.7) Es claro que en el punto de equilibrio la funci´on V(S, I, R) alcanza su m´ınimo global en R3. Por lo tanto, V(S, I, R) es una funci´on de Liapunov. La derivada de (2.7) respecto ta lo largo de las curvas de soluci´on de (2.5) es V0(S, I, R) = (α+η) S0(S−S0)dS dt + (α+η)dI dt +ηdR dt = =(α+η) S0(S−S0)(αS0−αS −βSI) + (α+η)βSI −(γα + (κ+α)(α+η))I. Usando la expresi´on βSI (S−S0) S0=βI (S−S0)2 S0+βI(S−S0), obtenemos V0(S, I, R) = −(α+η)(α+βI)(S−S0)2 S0−(γα + (α+η)(κ+α))I(1 −R0). Por lo tanto, si R0≤1 tenemos que V0(S, I, R)≤0 para todo S, I, R > 0, y que V0(S, I, R) = 0 si S=S0eI= 0, o si R0= 1 y S=S0. Es f´acil comprobar que el punto de equilibrio E0es el mayor invariante establecido en {(S, I, R)∈ ∧ :V0(S, I, R) = 0}, y aplicando el Teorema de LaSalle (Teorema 1.10) se llega a que E0es globalmente asint´oticamente estable. 37 Cap´ıtulo 2. Modelo SIRI Para el segundo punto, construyendo una funci´on global de Liapunov a partir de una combinaci´on adecuada entre funciones cuadr´aticas y de Volterra, tendremos que, si R0>1, el punto es asint´oticamente estable en el interior de ∧. Teorema 2.4. Si R0>1, el punto de equilibrio E∗de (2.5) es globalmente asint´oticamente estable en el interior de ∧. Demostraci´on. Sea L:{(S, I, R)∈ ∧ :S, I, R > 0} → Rcon L(S, I, R) = (S−S∗)2 2S∗+I−I∗−I∗ln I I∗+ηR∗ γI∗R−R∗−R∗ln R R∗. Esta funci´on es continua y definida positiva para todo S, I, R > 0. Se puede comprobar que la funci´on L(S, I, R) = 0 en E∗, y por lo tanto el m´ınimo global de L(S, I, R) se alcanza en E∗. Como E∗es un punto de equilibrio de (2.5) tenemos: Λ = βS∗I∗+αS∗, (κ+γ+α) = βS∗+ηR∗ I∗, (α+η) = γI∗ R∗. Haciendo la derivada de L(S, I, R) a lo largo de las soluciones del sistema (2.5), obtenemos L0(S, I, R) = (S−S∗) S∗(Λ −βSI −αS) + (I−I∗)βS −(κ+γ+α) + ηR I) +ηR∗ γI∗1−R∗ R(γI −(α+η)R). Utilizando (2.4) llegamos a L0(S, I, R) = −(S−S∗) S∗(α(S−S∗) + β(SI −S∗I∗)) + (I−I∗)β(S−S∗) + ηR I−R∗ I∗ +ηR∗ γI∗1−R∗ RγI −γI∗R R∗. Es claro que SI −S∗I∗=S∗(I−I∗) + I(S−S∗). Por lo que haciendo c´alculos llegamos a que L0(S, I, R) = −(α+βI)(S−S∗)2 S∗−ηR∗rI∗R IR∗−rIR∗ I∗R2 . 38 Cap´ıtulo 2. Modelo SIRI Luego, L0(S, I, R)≤0 para todo S, I > 0, y L0(S, I, R) = 0 cuando S=S∗ yIR∗=I∗R. Es f´acil comprobar que E∗es el mayor invariante establecido en {(S, I, R)∈ ∧ :L0(S, I, R)=0}. Aplicando el Teorema de LaSalle (Teorema 1.10) llegamos a que E∗es globalmente asint´oticamente estable en el interior de ∧. Nota 2.2.2. Como sabemos las funciones de Liapunov no son ´unicas. Se pueden probar los mismos resultados de estabilidad utilizando otras funciones de Liapunov para el sistema (2.5). 2.3. Tama˜no de poblaci´on no constante En esta secci´on veremos una combinaci´on de los casos de la Secci´on 2.1 y de la Secci´on 2.2. Se trata del caso en el que el n´umero de individuos no permanece constante a lo largo del tiempo, luego tomaremos que S(t) + I(t) + R(t) = N, ∀t≥0. En este caso conservaremos que la tasa de natalidad, µ≥0 y la tasa de mortalidad no es la misma, adem´as de que tambi´en tendremos que diferenciar entre muerte natural, α, y muerte por enfermedad, κ, ambas mayores o iguales que 0. Como en ambos casos, tendremos tasa de contacto entre susceptibles e infectados, β≥0, coeficiente de individuos que pasan de infectados a recuperados, γ≥0, y coeficiente de individuos reinfectados, η≥0. Las hip´otesis en este caso ser´an las mismas que el caso de la Secci´on 2.2. Representaci´on esquem´atica de la din´amica de transmisi´on: Pasando la informaci´on que nos aporta el diagrama a modo de sistema diferencial llegamos a:          S0=µ−αS −βSI N I0=βSI N−(κ+γ+α)I+ηR R0=γI −(α+η)R (2.8) 39 Cap´ıtulo 2. Modelo SIRI La ecuaci´on diferencial del total de la poblaci´on de (2.8) es: d dt(S+I+R) = µ−α(S+I+R)−κI. (2.9) El conjunto que tendr´ıamos que ver que se trata de un conjunto absorbente y positivamente invariante, utilizando procedimientos an´alogos a los dos casos anteriores, es: ∧={(S, I, R)∈R3 +:S≥0, I ≥0, R ≥0, S +I+R≤µ α}. Encontraremos estos dos posibles puntos de equilibrio realizando c´alculos similares a los realizados en las secciones anteriores: El primer punto ser´ıa E0= (µ α,0,0), y el segundo punto ser´ıa E∗= (S∗, I∗, R∗) con S∗=µ(κ+γ+α)R0 αR0(κ+γ+α) + β(κ+α)(R0−1) I∗=µ(κ+α)(R0−1)R0 αR0(κ+γ+α) + β(κ+α)(R0−1) R∗=µγ(R0−1)R0 αR0(κ+γ+α) + α(κ+α)(R0−1). Con R0=(α+η)β γα + (α+η)(κ+α). Nota 2.3.1. A partir de ahora de ahora denotaremos por (S0, I0, R0)a sus correspondientes coordenadas de E0. A continuaci´on, estudiaremos el comportamiento asint´otico global de los puntos de equilibrio. Para el primer punto, utilizando funciones de Liapunov lineales, tendremos que, si R0≤1, el punto es globalmente asint´oticamente estable en ∧. Teorema 2.5. Si R0≤1entonces el punto de equilibrio E0de (2.8) es globalmente asint´oticamente estable en ∧. Demostraci´on. Sea U:{(S, I, R)∈ ∧ :S > 0} → Rcon U(S, I, R)=(α+η)I+ηR. Luego, si R0≤1 U0(S, I, R) = −(γα + (α+η)(κ+α))I S+I+R((1 −R0)S+I+R)≤0. Si U0(S, I, R) = 0 entonces I= 0, o I=R= 0 y R0= 1. Por lo tanto, U(S, I, R) es una funci´on de Liapunov en ∧. En consecuencia, (I, R)→(0,0) cuando t→ ∞. Usando I=R= 0 en la primera y la ´ultima ecuaci´on de (2.8) llegamos a que S→µ αyR→0 cuando t→ ∞. Por tanto, utilizando el Teorema de LaSalle (Teorema 1.10) se obtiene que es un punto de equilibrio globalmente asint´oticamente estable en ∧. 40 Cap´ıtulo 2. Modelo SIRI Para el segundo punto, construyendo una funci´on global de Liapunov a partir de una combinaci´on adecuada entre funciones cuadr´aticas y de Volterra, tendremos que, si R0>1, el punto es globalmente asint´oticamente estable en el interior de ∧. Teorema 2.6. Supongamos que 2η+α≥κ. Si R0>1entonces el punto de equilibrio E∗de (2.8) es globalmente asint´oticamente estable en el interior de ∧. Demostraci´on. Definimos W:{(S, I, R)∈ ∧ :S, I, R > 0} → Rcon W(S, I, R) = (S−S∗)+(I−I∗)+(R−R∗)−(S∗+I∗+R∗)ln (S+I+R) (S∗+I∗+R∗) +(κ+ 2α)(S∗+I∗+R∗) β(I∗+r∗)I−I∗−I∗ln I I∗ +η(κ+ 2α)R∗(S∗+I∗+R∗) γβI∗(I∗+R∗)R−R∗−R∗ln R R∗ +(κ+ 2α) 2γ1 + S∗ I∗+R∗(R−R∗)2 S+I+R. Cuando W(S, I, R)∈C1en el interior de ∧,E∗es el m´ınimo global de W(S, I, R) en ∧, y W(S∗, I∗, R∗) = 0. Como E∗es un punto de equilibrio de (2.8) tenemos Λ = α(S∗+I∗+R∗) + κI∗, (κ+γ+α) = βS∗ S∗+I∗+R∗+ηR∗ I∗, (α+η) = γI∗ R∗, 0 = (α+η)R∗−γI∗. Derivando W(S, I, R) respecto ta lo largo de las soluciones de (2.8) tenemos W0(S, I, R) = [(S−S∗)+(I−I∗)+(R−R∗)] S+I+R(µ−α(S+I+R)−κI) +(κ+ 2α)(S∗+I∗+R∗) β(I∗+R∗)(I−I∗)βS S+I+R−(κ+γ+α) + ηR I +η(κ+ 2α)R∗(S∗+I∗+R∗) γβI∗(I∗+R∗)1−R∗ R(γI −(α+η)R) +(κ+ 2α) γ1 + S∗ I∗+R∗(R−R∗) S+I+R(γI −(α+η)R) −(κ+ 2α) 2γ1 + S∗ I∗+R∗(R−R∗)2 (S+I+R)2 d dt(S+I+R). 41 Cap´ıtulo 3. Estudio conjunto de los modelos SIR y SIRI 3.1.2. Estudio de la estabilidad de los puntos de equilibrio Para analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio utilizaremos los resultados de las Secciones 1.3. y 1.4., ya que el sistema aut´onomo considerado es no lineal. El sistema (3.2) puede reescribirse como S0 I0=−µ0 0−µ−γ S I+µ−βSI βSI  Sea g:R+×R2→R2, (t, S, I)→g(t, S, I), tal que g(t, S, I) = (µ−βSI, βSI), que cumple g(t, 0,0) = (µ, 0). No podemos aplicar el Teorema de estabilidad en primera aproximaci´on (Teorema 1.6) ya que no estamos en las condiciones iniciales. Estudiaremos la estabilidad de los puntos de equilibrio del sistema (3.2) bas´andonos en la linealizaci´on del mismo. La matriz jacobiana del sistema aut´onomo SIR queda J=  −µ−βI −βS βI βS −µ−γ . Como hemos dicho anteriormente tenemos dos casos a estudiar. El primer caso que estudiaremos es β≤µ+γ. En este caso el ´unico punto de equilibrio al que le podemos ver su estabilidad es (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0). Matriz jacobiana correspondiente: J(S∗ 1,I∗ 1)=  −µ−β 0β−µ−γ . Vamos ahora a calcular los autovalores.  −µ−λ−β 0β−µ−γ−λ = (−µ−λ)(β−µ−γ−λ) (−µ−λ)(β−µ−γ−λ) = 0 Luego los autovalores son λ1=−µ λ2=β−(µ+γ). Como µ > 0, tendremos que λ1<0, y como estamos en el caso β≤µ+γ tendremos que λ2<0. Por lo tanto el punto de equilibrio es uniformemente 48 Cap´ıtulo 3. Estudio conjunto de los modelos SIR y SIRI asint´oticamente estable. En el contexto del modelo SIR, esto significa que en el caso en que el n´umero inicial de individuos susceptibles se acerque al n´umero total poblacional y el n´umero inicial de individuos infecciosos se acerque a cero, entonces el n´umero de individuos susceptibles tiende a estabilizarse en el tama˜no de la poblaci´on, y el n´umero de indivuos infecciosos tiende a 0 tras un largo periodo de tiempo (la enfermedad se extinguir´a). Ahora estudiaremos el caso β > µ +γ. Tendremos que ver la estabilidad de (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0),y,(S∗ 2, I∗ 2) = µ+γ β, µ−1 β+1 µ+γ. Para (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0). Como los autovalores eran λ1=−µ λ2=β−(µ+γ) el punto de equilibrio es un punto de silla, ya que λ1>0, por ser µ < 0, yλ2<0, por estar en el caso β > µ +γ. En el contexto del modelo SIR, esto significa, que si el n´umero inicial de individuos susceptibles se acerca al total poblacional y el n´umero inicial de individuos infecciosos se aproxima a cero, entonces puede ocurrir que dicha poblaci´on no vuelva a tener valores, de individuos susceptibles e infectados, cercanos a los valores iniciales tras un largo periodo de tiempo. Que el n´umero de individuos infecciosos este cerca de cero no implica que la enfermedad se extinga. Para (S∗ 2, I∗ 2) = µ+γ β, µ−1 β+1 µ+γ. Su matriz jacobiana correspondiente es J(S∗ 2,I∗ 2)=    −βµ µ+γ−(µ+γ) −µ+βµ µ+γ0     . Calculamos sus autovalores.  −βµ µ+γ−λ−(µ+γ) −µ+βµ µ+γ−λ =λ2+βµ µ+γλ−µ(γ+µ) + βµ λ2+βµ µ+γλ−µ(γ+µ) + βµ = 0 49 Cap´ıtulo 3. Estudio conjunto de los modelos SIR y SIRI λ= −βµ µ+γ±sβµ µ+γ2 −4µ(β−γ−µ) 2 Como β≥γ+µ, entonces −4µ(β−γ−µ)<0. Luego sβµ µ+γ2 −4µ(β−γ−µ)<βµ µ+γ. Como tenemos dos autovalores con parte real negativa, se trata de un punto de equilibrio exponencialmente asint´oticamente estable. 3.2. Comparativa de los puntos de equilibrio Veamos primero un resumen acerca de la estabilidad por modelos. Estabilidad modelo SIR Si β≤µ+γs´olo encontramos un punto de equilibrio, en concreto el (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0), el cual es uniformemente asint´oticamente estable. Si β > µ +γencontramos como puntos de equilibrio a (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0) →Inestable (S∗ 2, I∗ 2) = µ+γ β, µ−1 β+1 µ+γ →Exponencialmente asint´oticamente estable . Estabilidad modelo SIRI Si σ≤µ µ+ηs´olo encontramos un punto de equilibrio, el (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0), el cual es asint´oticamente estable. Si σ > µ µ+ηencontramos como dos puntos de equilibrio a (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0) →Inestable (S∗ 2, I∗ 2) = µ (µ+η)σ,µ+η βσ−µ µ+η →Asint´oticamente estable . Si utilizamos la misma notaci´on en ambos modelos nos queda que para la estabilidad del modelo SIRI: Si β≤µ(µ+γ+η) µ+ηs´olo encontramos un punto de equilibrio, el (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0), el cual es A.E. Si β > µ(µ+γ+η) µ+ηencontramos como dos puntos de equilibrio a (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0) →Inestable (S∗ 2, I∗ 2) = µ(µ+γ+η) (µ+η)β,µ+η µ+γ+η−µ β →Asint´oticamente estable . 50 Cap´ıtulo 3. Estudio conjunto de los modelos SIR y SIRI Gr´aficamente, y de manera conjunta, las superficies β=µ(µ+γ+η) µ+ηy β=µ+γque obtenemos son las siguientes. FIG. 5: superficies generadas tomando η= 1. FIG. 6: Superficies generadas tomando η= 10. Ambos modelos comparten uno de los puntos de equilibrio, (S∗ 1, I∗ 1) = (1,0). Para ver que ocurre en ese punto tenemos dos casos a estudiar con dos condiciones cada uno. β≤µ(µ+γ+η) µ+ηyβ≤µ+γ(3.3) 51 Cap´ıtulo 3. Estudio conjunto de los modelos SIR y SIRI β > µ(µ+γ+η) µ+ηyβ > µ +γ(3.4) Para situarlos en la recta veamos que desigualdad es m´as peque˜na y cual es m´as grande, µ(µ+γ+η) µ+ηQµ+γ µ(µ+γ+η)Q(µ+γ)(µ+η) µ2+µγ +µη Qµ2+µη +µγ +ηγ 0Qηγ. Luego el lado izquierdo es menor que el lado derecho de la desigualdad, es decir, µ(µ+γ+η) µ+η≤µ+γ. La igualdad se da cuando η= 0. Esto tiene sentido ya que, que η= 0 significa que el porcentaje de individuos que pasan de estar recuperados a reinfectarse es cero, luego el modelo SIRI es en realidad el modelo SIR. Por lo tanto el punto de equilibrio se comportar´ıa como en el modelo SIR. Condici´on (3.3) Tenemos que βtoma un mayor rango de valores para el modelo SIR. Cuando η= 0 el rango de valores que toma βser´a el mismo. Si β≤µ(µ+γ+η) µ+η el punto de equilibrio ser´a estable para los modelos SIR y SIRI, y si β > µ(µ+γ+η) µ+ηel punto de equilibrio ser´a estable para el modelo SIR, pero inestable para el modelo SIRI. 52 Cap´ıtulo 3. Estudio conjunto de los modelos SIR y SIRI Condici´on (3.4) Tenemos que βtoma un mayor rango de valores para el modelo SIRI. Cuando η= 0 el rango de valores que toma βser´a el mismo. Si β < µ +γ el punto de equilibrio ser´a estable para el modelo SIR, pero inestable para el modelo SIRI, y si β > µ +γel punto de equilibrio ser´a inestable para ambos modelos. Veamos qu´e ocurre con los puntos de equilibrio µ+γ β, µ−1 β+1 µ+γ yµ(µ+γ+η) (µ+η)β,µ+η µ+γ+η−µ β. Cuando η→0 ambos puntos de equilibrio son iguales. Es l´ogico porque no existe porcentaje de individuos que pasan de estar recuperados a reinfectarse, luego el modelo SIRI se convertir´ıa en SIR. El punto de equilibrio en este caso, se comportar´ıa como en el modelo SIR, es decir, E.A.E. Para el caso en que η6= 0 tendr´ıamos una condici´on para cada punto de equilibrio. Para µ+γ β, µ−1 β+1 µ+γtenemos β > µ +γ. Para µ(µ+γ+η) (µ+η)β,µ+η µ+γ+η−µ βtenemos β > µ(µ+γ+η) µ+η. Ambas desigualdades situadas en la recta nos quedar´ıan 53 Cap´ıtulo 3. Estudio conjunto de los modelos SIR y SIRI Tenemos que βtoma un mayor rango de valores para el modelo SIRI. Cuando η= 0 el rango de valores que toma βser´a el mismo. Si β < µ +γel punto de equilibrio ser´a estable para el modelo SIRI, pero inestable para el modelo SIR, y si β > µ +γel punto de equilibrio ser´a estable para ambos modelos. Conclusi´on. En la actualidad ambos modelos son de gran utilidad, ya que nos permiten ver c´omo act´uan las enfermedades, as´ı como la propagaci´on y persistencia de ellas mismas. La principal diferencia entre ambos modelos es que el modelo SIR nos permite describir enfermedades infecciosas en las cuales tras un periodo relativamente corto de infecci´on, existe una respuesta inmune, a diferencia del modelo SIRI en el que existe una respuesta inmune temporal. Es decir, cuando el coeficiente de individuos reinfectados vale cero en el modelo SIRI, en realidad se trata del modelo SIR, puesto que los individuos no presentan una reca´ıda en la enfermedad. En cuanto a las diferencias y similitudes con respecto al comportamiento asint´otico de las soluciones de ambos modelos tenemos: Para el punto de equilibrio (1,0) (es el mismo en ambos modelos). Si estamos en la Condici´on (3.3): si β≤µ(µ+γ+η) µ+ηlos puntos de equilibrio de ambos modelos se comportan de la misma forma, y si β > µ(µ+γ+η) µ+ηdichos puntos se comportan de formas distintas. Si estamos en la Condici´on (3.4): si β < µ +γlos puntos de equilibrio de se comportan de forma distinta en ambos modelos, pero si β > µ +γse comportan de la misma forma. Para los otros puntos de equilibrio se tendr´a que si β < µ +γlos puntos de equilibrio de ambos modelos se comportan de forma distinta, pero si β > µ +γ entonces los puntos de equilibrio se comportan de la misma forma. 54 Bibliograf´ıa [1] S. Sastry,Nonlinear Systems: Analysis, Stability, and Control, Springer (2013). [2] T. Caraballo, X. Han,Applied Nonautonomous and Random Dynamical Systems, Springer (2016). [3] C. Mart´ ınez, M.A. Sanz,Introducci´on a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Revert´e (1991). [4] R.K. Miller, A.N. Michel,Ordinary Differential Equations, Academic Press (1982). [5] D. Tudor,A Deterministic Model for Herpes Infections in Human and Animal Populations, SIAM Rev., 32 (1990), pp. 136-139. [6] S. Blower,Modelling the genital herpes epidemic, Herpes 11 (Suppl. 3) (2004) 138 A. [7] H. N. Moreira, Y. Wang,Global stability in an S→I→R→Imodel , SIAM Rev., 39 (1997), pp. 496-502. [8] P. van den Driessche, X. Zou,Modelling relapse in infectious diseases, Math. Biosci., 207 (2007), pp. 89-103. [9] P. van den Driessche, L. Wang, X. Zou,Modelling diseases with latency and relapse, Math. Biosci. Eng., 4 (2007), pp. 205-219. [10] C. Vargas-De-Le´ on,On the global stability of infectious diseases models with relapse, Abstraction & Application, 9 (2013), pp.50-61. [11] O. Diekmann, J.A.P. Heesterbeek,Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases: Model Building, Analysis and Interpretation, Wiley Series in Mathematical & Computational Biology (2000). [12] M.J. Keeling, P. Rohani,Modeling infectious diseases in human and animals, Princeton University Press (2008). [13] D.J. Daley, J. Gani,Epidemic Modelling: An Introduction, Cambridge University Press (1999). 55