Categorías Derivadas y Localización

Trabajo de Fin de Grado Grado en Matem´ aticas Categorías Derivadas y Localización Javier Herrero Cañedo Tutorizado por Prof. Fernando Muro Jiménez Abstract Unlike the homotopy category of complexes over an abelian category A, the derived category encodes all the homological behaviour of the category A without losing information. Moreover, derived categories provide an adequate framework to develop the theory of derived functors and spectral sequences, fundamental tools of homological algebra. Derived categories are obtained as a particular case of a process of localisation in triangulated categories: Verdier localisation [17]. We will study the generalities of triangulated categories and Verdier quotients following [9], and we will show explicit computations of derived categories throughout the exposition. We will conclude with an application of Verdier localisation to geometry by introducing the singularity category, and considering the particular case of the singularity category of a quasi-Frobenius ring [14]. Introducci´on La categor´ıa homot´opica de complejos de cadena no es el contexto adecuado para desarrollar el ´algebra homol´ogica de una categor´ıa abeliana; en esta categor´ıa, nos encontramos con situaciones indeseables, como complejos ac´ıclicos que no son contr´actiles. En contraposici´on, dos complejos cuasi-isomorfos son isomorfos en la categor´ıa derivada, de manera que en esta nueva categor´ıa queda codificada toda la informaci´on homol´ogica de la categor´ıa abeliana base. En el breve art´ıculo [16], se da una motivaci´on de la categor´ıa derivada desde el punto de vista de la geometr´ıa y la topolog´ıa algebraica. El primer objetivo de este trabajo es el estudio de la categor´ıa derivada y, m´as generalmente, la localizaci´on de categor´ıas trianguladas mediante el cociente de Verdier. Para acompa˜nar el desarrollo te´orico, se han introducido algunos c´alculos expl´ıcitos de categor´ıas derivadas concretas. Se concluye el primer cap´ıtulo con una presentaci´on de la teor´ıa de funtores derivados usando el lenguaje de la categor´ıa derivada [4]. En el segundo cap´ıtulo, se introduce el concepto de categor´ıa de singularidades como un caso particular de localizaci´on de Verdier, y se estudia su interpretaci´on geom´etrica. Adem´as, se desarrolla el c´alculo de la categor´ıa de singularidades en el caso particular de una anillo cuasi-Frobenius. Para ello, se hace uso de la estructura de categor´ıa triangulada de la categor´ıa estable en el caso autoinyectivo. En la exposici´on, se presupone familiaridad con el lenguaje b´asico de la teor´ıa de categor´ıas [8, Ch. 2],[15] y la teor´ıa de funtores derivados cl´asicos [13], [19, Ch. 1-3]. Adem´as, para algunos ejemplos, se hace uso de herramientas de la teor´ıa de representaciones de ´algebras de dimensi´on finita [2], [3]. 1 ´ Indice general 1. La Categor´ıa Derivada 3 1.1. Localizaci´on de Categor´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. La Categor´ıa Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Caso Particular: Categor´ıas Hereditarias . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Categor´ıas Trianguladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Localizaci´on en Categor´ıas Trianguladas . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6. Localizaci´on de Verdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7. Funtores Derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2. La Categor´ıa de Singularidades 23 2.1. Dimensi´on Homol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. La Categor´ıa Estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Caso Particular: Categor´ıa de Singularidades de un Anillo Cuasi- Frobenius ............................... 27 Bibliograf´ıa 33 2 Cap´ıtulo 1 La Categor´ıa Derivada La categor´ıa derivada fue desarrollada por Verdier en su tesis doctoral [17], una herramienta del ´algebra homol´ogica que necesitaba Grothendieck para generalizar unos resultados de geometr´ıa algebraica. Para describir la estructura de la categor´ıa derivada, emple´o la noci´on de categor´ıa triangulada que, durante este mismo tiempo, tambi´en estaba estudiando Puppe en topolog´ıa para describir la estructura de la categor´ıa homot´opica estable. Un desarrollo hist´orico de la categor´ıa derivada (y del ´algebra homol´ogica) se puede encontrar en [18]. En este cap´ıtulo, se estudiar´a la categor´ıa derivada haciendo ´enfasis en su estructura de categor´ıa triangulada. Trabajaremos m´as generalmente la localizaci´on de categor´ıas trianguladas y el concepto de localizaci´on de Verdier. Usaremos como referencia [9],[19, Cap´ıtulo 10] y [4, Cap´ıtulos III,IV]. 1.1. Localizaci´on de Categor´ıas Definici´on 1.1. Sea Cuna categor´ıa y Suna clase de morfismos en C. Se define la localizaci´on de Crespecto de Sa una categor´ıa C[S−1], junto con un funtor Q:C → C[S−1]de manera que (L1) Qσ es un isomorfismo para todo σ∈S. (L2) Para todo funtor F:C → D de manera que Fσ es un isomorfismo para todo σ∈S, factoriza de forma ´unica a trav´es de C[S−1]como viene descrito en el siguiente diagrama: C D C[S−1] F Q∃! 3 Obs´ervese en primer lugar que la localizaci´on, si existe, es ´unica salvo isomorfismo de categor´ıas, al estar definida por medio de una propiedad universal. M´as a´un, salvo problemas derivados de la teor´ıa de conjuntos, existe C[S−1] para C, S arbitrarios (ver [4, III.2.2]). No obstante, se van a restringir las clases de morfismos sobre las que se realiza la localizaci´on para poder trabajar con el c´alculo de fracciones en C[S−1], como viene reflejado en el Teorema 1.3. Definici´on 1.2. Una clase S⊂Mor(C)se dice localizante si se satisfacen las siguientes condiciones: (CL1) Si σ, τ ∈Sverifican que la composici´on τ◦σtiene sentido, entonces τ◦σ∈S. Adem´as, 1X∈Spara todo objeto X∈ C. (CL2) Sea σ:X→Yen S. Entonces, todo par de morfismos Y′→Y, X →X′′ en Cse puede completar por el siguiente par de diagramas conmutativos: X′XXX′′ Y′YYY′′ σ′σ σ σ′′ de manera que σ′, σ′′ ∈S. (CL3) Sean α, β :X→Ymorfismos en C. Entonces, existe un σ:X′→X∈S tal que α◦σ=β◦σsi, y solo si, existe un τ:Y−→ Y′∈Stal que τ◦α=τ◦β. Teorema 1.3 ([4, III.2.8]).Sea Suna clase localizante de morfismo en C. Entonces, podemos describir la categor´ıa C[S−1]como sigue: Ob C[S−1] = Ob C y un morfismo X→Yen C[S−1]se puede representar como la clase de equivalencia de morfismos pares de morfismos (s, f)en Ccon s∈Sde la forma X′ X Y sf m´odulo la relaci´on de equivalencia (s, f)∼(t, g)si, y solo si, existe un diagrama conmutativo de la forma X′′′ X′X′′ X Y rh sf tg 4 con r∈S. Finalmente, la composici´on de dos morfismos (s, f) : X→Y, (t, g) : Y→Zviene dada por (st′, gf′) : X→Zdado por el diagrama conmutativo X′′ X′Y′ X Y Z t′f′ sftg con t′∈S, f′obtenidos a partir de la condici´on (CL2). Nota 1.4. Sea Cuna categor´ıa y Suna clase localizante. La descripci´on de morfismos como tejados en C[S−1]nos permite dar el funtor de localizaci´on Q:C → C[S−1]de manera que a cada morfismo f:X→Yen Cse le asocia el siguiente tejado: X X Y f 1.2. La Categor´ıa Derivada En lo que sigue, Ava a denotar una categor´ıa abeliana arbitraria, salvo si se indica lo contrario. Denotaremos por K(A) a la categor´ıa homot´opica de complejos de cadena en A. Definici´on 1.5. Se define la categor´ıa derivada de Acomo D(A) = K(A)[S−1] (1.1) donde Ses la clase de cuasi-isomorfismos en K(A). Como se ver´a m´as adelante, Ses una clase localizante por lo que los morfismos en D(A)se pueden representar por medio del c´alculo de fracciones. Ejemplo 1.6 ([10, Ejercicio 1.5.2]).Todo X∈ A se puede identificar con el complejo de cadena · · · 0X0· · · Dado un morfismo f:X→Yen A, se le asocia el morfismo de complejos de cadena natural: · · · 0X0· · · · · · 0Y0· · · f 5 Componiendo con la localizaci´on, se obtiene un funtor ι:A → D(A)que es fiel y lleno. Por consiguiente, Ase puede identificar con una subcategor´ıa llena de D(A). En concreto, Ala podemos identificar con la subcategor´ıa llena de complejos X∈D(A)tales que Hn(X)=0,∀n= 0. Lema 1.7 ([9, 1.5]).Sea Yun complejo acotado inferiormente en Ade manera que Ynes inyectivo para todo n∈Z. Entonces, 1. Todo cuasi-isomorfismo σ:Y→Y′tiene una inversa a izquierda σ′◦σ= 1Yen K(A). 2. Dado un complejo Xen A, la aplicaci´on entre conjuntos HomK(A)(X, Y )−→ HomD(A)(X, Y ) inducida por el funtor Qes una biyecci´on. Definici´on 1.8. Se define K+(A)⊂K(A)(resp. K−(A)) como la subcategor´ıa llena de complejos acotados inferiormente (resp. superiormente). Se define D+(A)⊂D(A)(resp. D(A)) como la subcategor´ıa llena de complejos acotados inferiormente. Finalmente, se define Db(A)⊂D(A)como la subcategor´ıa llena de complejos acotados. Teorema 1.9. Supongamos que Atiene suficientes inyectivos. Sea K+(I)⊂ K+(A)la subcategor´ıa llena de complejos de cadena con todas las componentes inyectivas. Entonces, el funtor K+(I)−→ K+(A)−→ D+(A) induce una equivalencia de categor´ıas. Demostraci´on. Que el funtor descrito anteriormente es fiel y lleno se deduce del Lema 1.7. La prueba de que el funtor es esencialmente sobreyectivo viene detallada en [4, III.5.25]. Ejemplo 1.10. Las condiciones de acotaci´on sobre los complejos es imprescindible. Para ver esto, consid´erese el siguiente complejo de Z/(4)-m´odulos: · · · Z/(4) Z/(4) Z/(4) · · · (·2) (·2) Obs´ervese que se trata de un complejo de proyectivos que es exacto pero no es contr´actil. 1.3. Caso Particular: Categor´ıas Hereditarias Se va a estudiar el caso m´as sencillo en el que podemos dar una descripci´on expl´ıcita de la categor´ıa derivada, siguiendo para ello la discusi´on en [9, 1.6]. Concluimos la secci´on con algunos c´alculos concretos. 6 Definici´on 1.11. Una categor´ıa abeliana Ase dice hereditaria si todo subobjeto de un objeto proyectivo es proyectivo. Esta condici´on es equivalente a que Extn A(−,−)sea id´enticamente nulo para n≥2. Ejemplo 1.12. La categor´ıa espacios vectoriales sobre un cuerpo es una categor´ıa hereditaria pues todo espacio vectorial es libre y, por tanto, proyectivo. La categor´ıa de m´odulos sobre un dominio de ideales principales es una categor´ıa hereditaria [8, 1.5.2]. En el caso concreto en el que Aes hereditaria, podemos obtener una descripci´on concreta de los objetos de la categor´ıa D(A). Para ello, partimos de un complejo arbitrario X∈D(A) y, fijado n∈Z, consideramos la siguiente sucesi´on exacta corta 0 Kerdn−1Xn−1Imdn−10 dn−1 Por la sucesi´on exacta larga que induce Ext∗ A(Hn(X),−), y utilizando que Ext2 A(−,−) es id´enticamente nulo, se concluye que el morfismo Ext1 A(Hn(X), Xn−1)−→ Ext1 A(Hn(X),Imdn−1) es sobreyectivo. En particular, interpretando Ext1como clases de equivalencia de extensiones, se deduce la existencia del siguiente diagrama conmutativo con filas exactas: 0Xn−1EnHn(X) 0 0 Imdn−1KerdnHn(X) 0 dn−1 De aqu´ı se concluye que los siguientes morfismos de complejos son cuasiisomorfismos en el grado n: · · · 0 0 Hn(X) 0 · · · · · · 0Xn−1En0· · · · · · Xn−2Xn−1XnXn+1 · · · En definitiva, aplicando este procedimiento para cada n∈Z, se concluye que todo complejo en X∈D(A) es cuasi-isomorfo al complejo H∗(X) dado por · · · Hn−1(X)Hn(X)Hn+1(X)· · · 0 0 0 Ejemplo 1.13. Vamos a denotar por AZla categor´ıa de objetos Z-graduados en A. Entonces, se tiene el funtor can´onico AZ→D(A)de manera que a cada {An}n∈Z∈ AZse le asocia el siguiente complejo de cadena: 7 An−1AnAn+1 · · · 0 0 y los morfismos se definen de la forma natural. En el caso de que Aes una categor´ıa hereditaria, se acaba de probar que el funtor es esencialmente sobreyectivo. En el Lema 1.14 a continuaci´on se refleja por qu´e, en general, AZ→D(A)no es una equivalencia de categor´ıas. Lema 1.14. Sea Auna categor´ıa abeliana arbitraria. Sean A, B ∈ A que identificaremos con complejos concentrados en el grado 0. Entonces, existe un isomorfismo can´onico Extn A(A, B)−→ HomD(A)(A, ΣnB) (1.2) Demostraci´on. Siguiendo [9, 1.5], probaremos el resultado en el caso en el que A tiene suficientes proyectivos. Entonces, consideremos pAϵ −−→ Auna resoluci´on proyectiva de A. Se sigue que HomD(A)(A, ΣnB)∼ =HomD(A)(pA, ΣnB)∼ =HomK(A)(pA, ΣnB) (1.3) donde el ´ultimo isomorfismo se sigue de dualizar convenientemente el Lema 1.7. Ahora bien, observando el diagrama · · · Pn+1 PnPn−1· · · · · · 0B0· · · dn+1 dn φρ Se deduce que HomK(A)(pA, ΣnB) est´a en biyecci´on con la clase de los φ∈HomA(Pn, B) tales que φ◦dn+1 = 0 m´odulo la relaci´on de que existe un ρ∈HomA(Pn−1, B) tal que φ=ρ◦dn. Por definici´on de Extn, se concluye que existe un isomorfismo can´onico HomK(A)(pA, ΣnB)∼ =Extn A(A, B), concluyendo con la prueba. Ejemplo 1.15 ([10, Ejercicio 1.6.1]).Denotemos por Ala categor´ıa abeliana de espacios vectoriales sobre un cuerpo k. Entonces, todo objeto en Aes proyectivo e inyectivo; esto es, Extn A(−,−)=0para todo n > 0. Como Aes hereditaria, sabemos que los indescomponibles en D(A)se corresponden con los complejos concentrados en un ´unico grado. Utilizando el Lema 1.14 y que Extn A(−,−)es id´enticamente nulo para n > 0, se concluye que los ´unicos morfismos entre indescomponibles de D(A)son los dados entre complejos concentrados en el mismo grado. Finalmente, podemos concluir que los morfismos entre indescomponibles se corresponden con morfismos de Ay que, por tanto, el funtor AZ→D(A)definido en el Ejemplo 1.13 es una equivalencia de categor´ıas. 8 (TR3) Dados dos tri´angulos exactos (α, β, γ)y(α′, β′, γ′). Supongamos que existen ϕ1, ϕ2tales que ϕ2◦α=α′◦ϕ1. Entonces, existe ϕ3tal que X Y Z ΣX X′Y′Z′ΣX′ α ϕ1 β ϕ2 γ ϕ3Σϕ1 α′β′γ′ (TR4) Dados tri´angulos exactos (α1, α2, α3),(β1, β2, β3),(γ1, γ2, γ3)tales que satisfacen que γ1=β1◦α1. Entonces, existe un tri´angulo exacto (δ1, δ2, δ3) de manera que el siguiente diagrama es conmutativo: X Y U ΣX X Z V ΣX W W ΣY ΣYΣU α1 β1 α2 δ1 α3 γ1 β2 γ2 δ2 γ3 Σα1 β3 β3 δ3 Σα2 A continuaci´on vamos a dotar a la categor´ıa K(A) de estructura de categor´ıa triangulada. Para ello, vamos a definir una autoequivalencia K(A)→K(A) y una clase de tri´angulos exactos. Recu´erdese que, dado un complejo X∈K(A), se define el complejo trasladado ΣX∈K(A) como sigue: (ΣX)n:= Xn+1, dn ΣX:= −dn+1 X(1.4) Dado entonces un morfismo de complejos f:X→Y, se define el morfismo Σf: ΣX→ΣYde manera que (Σf)n:= fn+1. Esto define un funtor Σ : K(A)→K(A) que es, de hecho, una equivalencia de categor´ıas. Por otro lado, vamos a construir el cono de un morfismo entre complejos de cadena. Dado f:X→Yun morfismo de complejos de cadena, se define el complejo de cadena cone(f) como sigue: cone(f)n:= Xn+1 ⊕Yn, dn cone(f):= −dn+1 X0 fn+1 dn Y(1.5) Obs´ervese adem´as que, dado f:X→Ymorfismo de complejos de cadena, se tiene la siguiente sucesi´on exacta corta de complejos de cadena: 0Ycone(f) ΣX0 (0 1)(−1 0 ) Utilizando esta sucesi´on exacta corta, podemos relacionar la noci´on de cuasiisomorfismo con la construcci´on del cono. 15 Lema 1.20. ([19, 1.5.4]) Sea σ:X→Yun morfismo de complejos de cadena. Entonces, σes un cuasi-isomorfismo si, y solo si, cone(σ)es un complejo ac´ıclico. Definici´on 1.21. Un tri´angulo en K(A)se dice exacto si se verifica que es isomorfo a un tri´angulo de la forma: X Y cone(f) ΣX f(0 1)(−1 0 ) Proposici´on 1.22. (K(A),Σ) con la clase de tri´angulos exactos previamente definida es una categor´ıa triangulada. Demostraci´on. Una prueba detallada de este resultado se puede encontrar en [4, IV.1.9-14]. Definici´on 1.23. Sea Tuna categor´ıa triangulada. Un funtor T → A se dice cohomol´ogico si env´ıa todo tri´angulo exacto en Ta una sucesi´on exacta en A. Lema 1.24. ([9, 2.5]) Consid´erese un tri´angulo exacto en K(A): X Y Z ΣX αβ γ Entonces, se induce una sucesi´on exacta larga · · · Hn−1(Z)Hn(X)Hn(Y)Hn(Z)· · · Hn−1(γ)Hn(α)Hn(β)Hn(γ) Es decir, H0:K(A)→ A es un funtor cohomol´ogico. Ejemplo 1.25 ([19, Ejercicio 10.1.2]).La estructura triangulada sobre K(A)no generaliza la noci´on de sucesi´on exacta. Para ilustrarlo, tomemos Ala categor´ıa de grupos abelianos y consid´erese la siguiente sucesi´on exacta en A: 0Z/(2) Z/(4) Z/(2) 0 (·2) π Si identificamos los m´odulos con sus correspondientes complejos v´ıa el funtor natural A → K(A), tenemos que cone(·2) se corresponde con el siguiente complejo: · · · 0Z/(2) Z/(4) 0 · · · (·2) Obs´ervese entonces que H−1(cone(·2) ⊗ZZ/(2)) ∼ =Z/(2). Por consiguiente, se tiene que cone(·2) no es isomorfo a Z/(4) en la categor´ıa homot´opica y, en definitiva, no podemos asociarle a la sucesi´on exacta anterior un tri´angulo exacto en K(A). Sin embargo, cone(·2) yZ/(4) s´ı son cuasi-isomorfos (comparar con el Ejemplo 1.33). 16 1.5. Localizaci´on en Categor´ıas Trianguladas Definici´on 1.26. Sea Tuna categor´ıa triangulada y sea Suna clase localizante. Se dice que Ses compatible con la triangulaci´on si se verifican las siguientes propiedades: (CL4) Dado σ∈S, se verifica que Σnσ∈S, ∀n∈Z. (CL5) Dado (ϕ1, ϕ2, ϕ3)morfismo entre tri´angulos exactos tal que ϕ1, ϕ2∈S. Entonces, ϕ3∈S. Lema 1.27 ([9, 3.1]).Sea H:T → A un funtor cohomol´ogico. Sea Sla clase de morfismos σen Ttales que H(Σnσ)es un isomorfismo para todo n∈Z. Entonces, Ses una clase localizante en Tcompatible con la triangulaci´on. Corolario 1.28. La clase de cuasi-isomorfismos en K(A)es una clase localizante compatible con la triangulaci´on. Definici´on 1.29. Un funtor exacto T → U entre categor´ıas trianguladas consiste de un par (F, η)de manera que F:T → U es un funtor y η:F◦ΣT⇒ΣU◦F un isomorfismo natural de manera que para cada tri´angulo exacto X Y Z ΣX αβ γ en la categor´ıa T, se tiene que FX FY FZ Σ(FX) F α F β ηX◦F γ es un tri´angulo exacto en U. Lema 1.30. Sea Tuna categor´ıa triangulada y Suna clase localizante en Tcompatible con la triangulaci´on. Entonces, existe una ´unica estructura para T[S−1]de manera que el funtor de localizaci´on Q:T → T [S−1]es exacto. Nota 1.31. Sea Tuna categor´ıa triangulada y Suna clase localizante en T compatible con la triangulaci´on. Los tri´angulos exactos en T[S−1]dados por la estructura de categor´ıa triangulada obtenida en el Lema 1.30 son exactamente todos aquellos tri´angulos en T[S−1]de manera que son isomorfos a la imagen por la localizaci´on Q:T → T [S−1]de un tri´angulo exacto en T. Corolario 1.32. D(A)admite una estructura natural de categor´ıa triangulada inducida por los tri´angulos exactos definidos en K(A). Ejemplo 1.33 ([19, 10.4.9]).Sea 0A B C 0 αβuna sucesi´on exacta corta en A. Entonces, identificando A ⊂ D(A), se tiene el siguiente isomorfismo de tri´angulos en D(A): 17 A B cone(α) Σ(A) A B C Σ(A) α i q σ αβ∂ donde σviene dado por la imagen por Q:K(A)→D(A)del siguiente cuasiisomorfismo: · · · 0A B 0· · · · · · 0 0 C0· · · α γ y∂viene dado por el siguiente tejado en D(A): cone(α) CΣA σq En particular, se tiene que el tri´angulo A B C Σ(A) αβ∂es exacto en D(A). M´as generalmente, una sucesi´on exacta corta de complejos de cadena da lugar a un tri´angulo exacto en D(A) [6, 1.6.1]. 1.6. Localizaci´on de Verdier Hasta ahora, la localizaci´on de una categor´ıa Crespecto de una clase localizante Sse ha interpretado como la construcci´on de una categor´ıa C[S−1] de manera que, formalmente, se han invertido los morfismos de S. En esta secci´on, se dar´a una visi´on alternativa usando la localizaci´on de Verdier [17, Cap´ıtulo II]. Desde esta nueva perspectiva, la localizaci´on describe qu´e objetos pasan a ser isomorfos al objeto 0 [4, IV.2]. Definici´on 1.34. Sea Tuna categor´ıa triangulada. Una subcategor´ıa llena no vac´ıa S ⊂ T se dice triangulada si verifica las siguientes condiciones: (ST1) Para todo X∈ S yn∈Z, se tiene que ΣX∈ S. (ST2) Sea X Y Z ΣX αβ γ un tri´angulo exacto. Si dos de los objetos en {X, Y, Z}est´an en S, entonces el tercero tambi´en est´a en S. Una subcategor´ıa triangulada Sse dice saturada si, adem´as, se verifica la siguiente condici´on: (ST3) Sea X=X′⊕X′′ con X∈ S. Entonces, X′∈ S. Nota 1.35. En primer lugar, obs´ervese que toda subcategor´ıa triangulada S ⊂ T 18 hereda una estructura de categor´ıa triangulada a partir de T. Por otro lado, dado cualquier clase de objetos S0⊂ObT, es posible construir de forma inductiva la menor subcategor´ıa triangulada y la menor subcategor´ıa saturada que contienen a S0[9, 3.3]. Definici´on 1.36. Sea Tuna categor´ıa triangulada y F:T → U un funtor aditivo. Se define KerFcomo la subcategor´ıa llena de Tformada por todos los objetos en Xtales que FX = 0. Si Fes un funtor exacto entre categor´ıas trianguladas, entonces KerFes una subcategor´ıa saturada de T. Antes de dar la definici´on de cociente de Verdier, es necesario recordar la definici´on de cono de un morfismo en el contexto general de una categor´ıa triangulada arbitraria: Consid´erese αun morfismo en una categor´ıa triangulada T. Entonces, por (TR1), existe un tri´angulo exacto de la forma X Y Z ΣX αβ γ . Se define entonces el cono de αcomo Z. Por la versi´on triangulada del lema de los cinco (ver ([9, 2.4]), el cono de un morfismo est´a definido salvo isomorfismo. Denotaremos al cono de αpor cone(α). Lema 1.37. Sea Tuna categor´ıa triangulada y S ⊂ T una subcategor´ıa triangulada. Se denotar´a S(S) = {αmorfismo en T: cone(α)∈ S} Entonces, S(S)es una clase localizante compatible con la triangulaci´on en T. Definici´on 1.38. La localizaci´on de Verdier de Tcon respecto de la subcategor´ıa triangulada Sse define como la localizaci´on T/S:= T[S(S)−1] Ejemplo 1.39. Sea S ⊂ K(A)la subcategor´ıa saturada de complejos ac´ıclicos. Entonces, obs´ervese que D(A) = K(A)/S. Teorema 1.40 (Propiedad Universal del Cociente de Verdier, [9, 3.5]).Sea T una categor´ıa triangulada y Suna subcategor´ıa triangulada. Entonces, denotando Q:T → T /Sel funtor de localizaci´on, se verifica lo siguiente: 1. La categor´ıa T/Shereda una ´unica estructura de categor´ıa triangulada de manera que Qes un funtor exacto. 2. KerQes la menor subcategor´ıa saturada conteniendo a S. 3. Todo funtor exacto F:T → U tal que F(S)=0factoriza de forma ´unica por Qa trav´es de un funtor exacto T/S → U. 4. Todo funtor cohomol´ogico H:T → A tal que H(S)=0factoriza de forma ´unica por Qa trav´es de un funtor cohomol´ogico T/S → A. 19 1.7. Funtores Derivados Concluimos el cap´ıtulo con una breve discusi´on sobre funtores derivados, siguiendo [4, III.6]. Revisaremos el caso particular de los funtores derivados cl´asicos y un primer ejemplo de la Teor´ıa de Tilting. Ejemplo 1.41 ([4, Proposici´on III.6.2]).Sea F:A → B un funtor exacto entre categor´ıas abelianas. Entonces, como Fes aditivo, se puede extender a un funtor F:K(A)→K(B). Ahora bien, consid´erese σ:X→Yen K(A)cuasi-isomorfismo. Como el funtor Fes aditivo, se tiene que F(cone(σ)) = cone(Fσ). Como Fes un funtor exacto, su extensi´on K(A)→K(B)env´ıa complejos ac´ıclicos en complejos ac´ıclicos. Como cone(σ)es ac´ıclico, se concluye que cone(Fσ)es ac´ıclico. En definitiva, Fσ es un isomorfismo en D(B). Por la propiedad universal de la localizaci´on, existe un ´unico F:D(A)→D(B)de manera que el siguiente diagrama conmuta: K(A)K(B) D(A)D(B) F Q Q ∃!F Antes de dar la siguiente definici´on, recu´erdese que un funtor aditivo F:A → B entre categor´ıas abelianas se puede extender a sus respectivas categor´ıas homot´opicas simplemente aplicando el funtor t´ermino a t´ermino a cada objeto y diferencial del complejo. A dicho funtor lo denotaremos por K(F), yK+(F) : D+(A)→D+(B) a su restricci´on. Definici´on 1.42. Sea F:A→Bun funtor aditivo exacto a izquierda entre categor´ıas abelianas. Un funtor derivado a derecha de Fconsiste de un par (RF, εF)de manera que RF : D+(A)→D+(B)es un funtor exacto y εF: QB◦K+(F)⇒RF◦QAuna transformaci´on natural que satisface la siguiente propiedad universal: Para todo funtor exacto G:D+(A)→D+(B)y para toda transformaci´on natural ε:QB◦K+(F)⇒RF◦QA, existe una ´unica transformaci´on natural η:RF⇒Gde manera que el siguiente diagrama (de transformacione naturales) conmuta: QB◦K+(F) RF◦QAG◦QA εFε ∃!η◦QA Consid´erese entonces ϕ:D+(A)→K+(I) la equivalencia de categor´ıas dada 20 por el Teorema 1.9. Se obtiene entonces el siguiente funtor exacto: RF : D+(A)K+(I)K+(B)D+(B) ϕK+(F)QB Para la construcci´on de εFde manera que (RF, εF) satisfacen la propiedad universal de los funtores derivados, cons´ultese [4, III.6.10-11]. Adem´as, el funtor RF est´a determinado un´ıvocamente salvo isomorfismo natural, ya que viene dado por una propiedad universal. Ejemplo 1.43 ([4, III.6.13]).Sea F:A→Bun funtor aditivo exacto a izquierda entre categor´ıas abelianas. Entonces, para i∈Z, podemos considerar los funtores RiF:A→Bdados por la siguiente composici´on: AD+(A)D+(B)B can RFHi Se verifica que RiF= 0,∀i < 0yR0F≃F. Adem´as, como RFes un funtor exacto y Hies un funtor cohomol´ogico, se obtiene la sucesi´on exacta larga · · · RiFX RiFY RiFZ Ri+1X· · · asociada a la sucesi´on exacta corta 0X Y Z 0. La colecci´on {RiF}i≥0 da lugar a los funtores derivados a derecha cl´asicos del funtor exacto a izquierda F. Ejemplo 1.44 ([10, Ejercicio 5.3.1]).Consideremos el Λ1-m´odulo C= k ↓ 0 ↓ 0!⊕ k ↓ k ↓ k!⊕ 0 ↓ k ↓ k! en A1, la categor´ıa dada en el Ejemplo 1.16. Entonces, se puede comprobar que EndΛ1(C)∼ =Λ2, donde Λ2es el anillo dado en el Ejemplo 1.17. Esto induce sobre todo Λ1-m´odulo, una estructura de (Λ2,Λ1)-bimodulo. Por consiguiente, se obtiene un funtor aditivo exacto a izquierda HomΛ1(C, −) : A1→ A2que induce un funtor derivado RHomΛ1(C, −) : Db(A1)→Db(A2) Los Λ1-m´odulos inyectivos indescomponibles se corresponden con las siguientes representaciones: k ↓ 0 ↓ 0!, k ↓ k ↓ 0!, 0 ↓ k ↓ k! Mediante la identificaci´on EndΛ1(C)∼ =Λ2, se puede probar que RHomΛ1(C, (k→0→0)) = k ↓ k ↓ 0! 21 RHomΛ1(C, (k→k→0)) = 0 ↓ k ↓ 0! RHomΛ1(C, (k→k→k)) = 0 ↓ k ↓ k! Vamos a hacer el c´alculo expl´ıcito de RHomΛ1(C, 0→k→k)usando los resultados anteriores. Para ello, consideremos una resoluci´on inyectiva 0 0 ↓ k ↓ k! k ↓ k ↓ k! k ↓ 0 ↓ 0!0· · · Entonces, aplicando el funtor HomΛ1(C, −)a la resoluci´on inyectiva y usando los c´alculos previamente detallados, se sigue que RHomΛ1(C, (0→k→k)) se corresponde con el siguiente complejo de cadena · · · 0 0 ↓ k ↓ k! k ↓ k ↓ 0!0· · · µ que es uno de los indescomponibles de la categor´ıa A2. De forma an´aloga, se tiene que RHomΛ1(C, (0→k→0)) = Σ−1 k ↓ 0 ↓ 0! RHomΛ1(C, (0→0→k)) = 0 ↓ 0 ↓ k! Esto es, RHomΛ1(C, −)establece una biyecci´on entre indescomponibles, de manera que RHomΛ1(C, −)es esencialmente sobreyectivo. Por la descripci´on que se ha dado de las categor´ıas A1,A2, se puede comprobar que el funtor es, de hecho, fiel y lleno. En definitiva, da lugar a una equivalencia de categor´ıas Db(A1)≃Db(A2). Este ejemplo es un caso particular de m´odulos de tilting, que describen una forma general de obtener equivalencias entre categor´ıas derivadas. 22 Cap´ıtulo 2 La Categor´ıa de Singularidades Consid´erese Auna categor´ıa abeliana cualquiera y den´otese por Db(Proj A) a la subcategor´ıa triangulada en Db(A) dada por los complejos cuasi-isomorfos a un complejo de cadenas de m´odulos proyectivos acotado. Definici´on 2.1. Dado un anillo R, se define su categor´ıa de singularidades como el siguiente cociente de Verdier: Dsg(R) := Db(A) Db(ProjA)(2.1) donde Adenota la categor´ıa de R-m´odulos a derecha finitamente generados. La categor´ıa de singularidades aparece por primera vez en [1], y posteriormente la redescubre D. Orlov [11], [12]. En este cap´ıtulo, daremos una breve interpretaci´on geom´etrica de la categor´ıa de singularidades y posteriormente daremos la descripci´on de una categor´ıa de singularidades concreta siguiendo un resultado de J. Rickard [14]. 2.1. Dimensi´on Homol´ogica Definici´on 2.2. Sea Run anillo y Aun R-m´odulo de derecha. Entonces, se define la dimensi´on proyectiva de A,pd(A), como el m´ınimo entero n≥0 (si existe), tal que existe una resoluci´on de Ade m´odulos proyectivos 0Pn· · · P1P0A0 En caso de que no existe tal n∈Z≥0, diremos que pd(A) = ∞. Se define la dimensi´on inyectiva de Acomo el concepto dual, y lo denotaremos por id(A). 23 Teorema 2.3 ([19, 4.1.2]).Los siguientes valores coinciden: sup{id(B) : Bes un R-m´odulo a derecha} sup{pd(A) : Aes un R-m´odulo a derecha} sup{pd(R/I) : Ies un ideal a izquierda de R} sup{d: Extd R(A, B)= 0 para ciertos R-m´odulos a derecha} A este valor com´un se le denomina dimensi´on global (a derecha) del anillo R y lo denotaremos por r.gl.dim(R). Ejemplo 2.4. Consid´erese el anillo R=Z. Como la categor´ıa de R-m´odulos es hereditaria, se sigue que r.gl.dim(Z) = ∞. Por otro lado, consid´erese R=Z/(4). Se puede probar que id(Z/(2)) = ∞ para este anillo y, por tanto, r.gl.dim(Z/(4)) = ∞. Sin embargo, obs´ervese que todo Z/(4)-m´odulo se puede ver como un Z-m´odulo con acci´on trivial por (4) y, por tanto, podemos ver la categor´ıa de Z/(4)-m´odulos como una subcategor´ıa llena de Z-m´odulos. Recu´erdese que la dimensi´on de Krull de un anillo R, que denotaremos por dim R, se define como sigue: dim R:= sup{d:p0⊂p1⊂ · · · ⊂ pd,donde los pison ideales primos de R} Si, adem´as, Res un anillo conmutativo y noetheriano local con ideal maximal m, se define emb.dim(R) := dimkm/m2 En general, se tiene que dim R≤emb.dim(R). Diremos que el anillo Res regular si se verifica que dim R= emb.dim(R). Teorema 2.5 ([19, 4.4.16]).Un anillo conmutativo y noetheriano local es regular si, y solo si, gl.dim(R)<∞. En ese caso, dim R= emb.dim(R) = gl.dim(R) = pd(k) Proposici´on 2.6. La categor´ıa Dsg(R)es equivalente a la categor´ıa nula si, y solo si, se verifica que r.gl.dim(R)<∞. Demostraci´on. Supongamos en primer lugar que r.gl.dim(R) = ∞y sea Aun R-m´odulo a derecha finitamente generado con pd(A) = ∞. Entonces, podemos ver Acomo un complejo de cadena por medio del funtor can´onico A → Db(A) es la categor´ıa de R-m´odulo de dimensi´on finita. Por reducci´on al absurdo, asumamos que A= 0 en Dsg(R). Entonces, A es cuasi-isomorfo a un complejo acotado de proyectivos. Esto es, Aadmite una resoluci´on proyectiva finita, que contradice que pd(A) = ∞y se llega al absurdo. 24 Dado f:X→Yen Db(A), lo podemos tomar como un morfismo en la categor´ıa homot´opica al representar los complejos X, Y por sus resoluciones proyectivas. Entonces, denotemos n=n(X), m =n(Y)∈Z≤0. Consid´erese r≤n, m cualquiera. Se define G′(f) := Ωr(c fr) donde c fr: Coker dr−1 X→Coker dr−1 Yes la factorizaci´on por los con´ucleos de fr:Xr→Yr. Obs´ervese que, para ello, se ha tenido que elegir un representante fdentro de la clase de homotop´ıas correspondiente. Sin embargo, se puede comprobar que c fres independiente de la elecci´on del representante al pasar a la categor´ıa S(A) y, por tanto, G′est´a bien definido. Consid´erese entonces s < r ≤n, m. Se llega al siguiente diagrama conmutativo: Coker ds−1 XXs+1 Ω−1(Coker ds−1 X) = Coker ds X Coker ds−1 YYs+1 Ω−1(Coker ds−1 Y) = Coker ds Y c fs ds X fs+1 Ω−1(c fs)= [ fs+1 ds Y De esta forma, se concluye, reiterando, que G′(f) = Ωs(c fs),∀s≤r≤n, m (2.4) Por definici´on, es claro que G′(1X)=1G′(X). Adem´as, de la igualdad 2.4 se deduce la compatiblidad de G′con la composici´on. Para ver esto, consideremos f:X→Y, g :Y→Z. Tomemos s≤n(X), n(Y), n(Z). Se tiene, por tanto, que G′(g◦f)=Ωs(\ gs◦fs) = Ωs(b gs◦c fs)=Ωs(b gs)◦Ωs(c fs) = G′(g)◦G′(f) A continuaci´on, veamos que G′factoriza por Dsg(R). Para ello, utilizaremos la propiedad universal del Cociente de Verdier vista en el Teorema 1.40. Por un lado, si X∈Db(ProjA), entonces, para slo suficiente peque˜no, se tiene que Xs= 0. Esto es, G′(X) = Ωs(Xs)=0 En definitiva, se tiene que Db(ProjA)⊂KerG′. Bastar´ıa ver que G′es, de hecho, un funtor exacto. Para ello, obs´ervese en primer lugar que, dado X∈ Db(A) resoluci´on proyectiva, n(ΣX) = n(X)−1 y, por tanto, G′(ΣX) = Ωn−1(Coker dn−1 X)=Ω−1(G′(X)), n =n(X) Esto es, el isomorfismo natural µ:G′◦Σ⇒Ω−1◦G′de manera que (G′, µ) es un funtor exacto viene dado precisamente por la identidad. Se puede comprobar que, en efecto, (G′, µ) env´ıa tri´angulos exactos de Db(A) en tri´angulos exactos de S(A). 31 Se concluye, por la propiedad universal del Cociente de Verdier, que existe un ´unico G:Db(A)/Db(ProjA)→S(A) de manera que el siguiente diagrama es conmutativo: Db(A)S(A) Db(A)/Db(ProjA) G′ Q∃!G El ´ultimo paso de la prueba es ver que Ges una inversa (en el sentido de una equivalencia de categorias) de F. Es inmediato que G◦F= 1S(A)por construcci´on. Bastar´ıa probar que F◦G≃1Db(A)/Db(Proj A). Para ello, se fija X∈Db(A)/Db(ProjA) dado por una resoluci´on proyectiva. Entonces, se define ρX:X→Ωn(X) como el siguiente morfismo: η−1 Ωn+1(Coker dn−1 X)◦Σ(η−1 Ωn+2(Coker dn−1 X))◦ · · · ◦ Σ−n+1(η−1 Coker dn−1 X )◦ϵX,n ◦τX,n donde τX,n :X→τ≤nXes el siguiente morfismo de complejos de cadena: · · · Xn−1XnXn+1 · · · · · · Xn−1Xn0· · · dn−1 Xdn X dn−1 X yϵX,n :τ≤nX→Σ−nCokerdn−1 Xes el cuasi-isomorfismo evidente. Como cone(τX,n)∈Db(ProjA) y ϵX,n es un cuasi-isomorfismo, es inmediato que ρXes un isomorfismo en Db(A)/Db(ProjA). Obs´ervese adem´as que, si tomamos r≤n=n(X), se tiene la siguiente igualdad: ρX=η−1 Ωr+1(Coker dr−1 X)◦ · · · ◦ Σ−r+1(η−1 Coker dr−1 X )◦ϵX,r ◦τX,r De esta expresi´on, junto con la naturalidad de η, se concluye que ρes natural. 32 Bibliograf´ıa [1] R. Buchweitz,Maximal cohen-macaulay modules and tate-cohomology over gorenstein rings, 1986. [2] W. Crawley-Boevey,Lectures on representations of quivers.https: //www.math.uni-bielefeld.de/~wcrawley/quivlecs.pdf, 1992. [3] H. Derksen and J. 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