La funcion de Takagi

Facultad de Matem´ aticas Dpto. de An´ alisis Matem´ atico La funci´ on de Takagi Miguel ´ Angel Cejas Pel´ aez Trabajo Fin de Grado Curso acad´ emico 2019/2020 Tutor: Jos´ e A. Facenda Aguirre ´ Indice general Lista de figuras v Abstract vii Introducci´ on ix 1. Preliminares 1 1.1. Representaci´ on de un n´ umero en base p..................... 1 1.2. Desarrollosbinarios................................ 5 1.3. Funciones suma de d´ ıgitosbinarios........................ 6 1.4. La funci´ on distancia al entero m´ as pr´ oximo ................... 7 2. La funci´ on de Takagi 13 2.1. Construcci´ on de la funci´ on de Takagi a partir de funciones lineales a trozos . . 13 2.2. La funci´ on de Takagi a partir de la funci´ on distancia al entero m´ as cercano . . . 16 2.3. Definici´ onoriginaldeTakagi........................... 24 2.4. Valor m´ aximo................................... 26 2.5. Ecuacionesfuncionales.............................. 30 2.6. La funci´ on de Takagi sobre los racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3. Continuidad en el sentido de H¨ older y diferenciabilidad 39 3.1. Continuidad en el sentido de H¨ older ....................... 39 3.2. Diferenciabilidad de la funci´ ondeTakagi .................... 43 3.2.1. Prueba de Billingsley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.2. Segunda demostraci´ on .......................... 45 3.2.3. Tercera demostraci´ on........................... 56 3.3. Orden del cociente incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4. El teorema de Banach-Mazurkiewicz 61 4.1. ElteoremadeBaire................................ 61 4.2. El teorema de Banach-Mazurkiewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Bibliograf´ ıa 69 ´ Indice de figuras 2.1. Extensi´ on peri´ odica de h(x) = |x|,x∈[−1, 1]................... 13 2.2. Extensi´ on peri´ odica de h1. ............................ 14 2.3. Gr´ afica de la suma parcial g1(x).......................... 15 2.4. Gr´ afica de la suma parcial g2(x).......................... 15 2.5. Gr´ afica de la suma parcial g3(x).......................... 15 2.6. Gr´ afica de la suma parcial g4(x).......................... 15 2.7. Funci´ on de Takagi construida a partir de la extensi´ on peri´ odica de |x|en [−1, 1]. 16 2.8. Extensi´ on peri´ odica de ϕ(x)............................ 17 2.9. Funci´ on ϕ(8x)en [0, 1]............................... 17 2.10. Gr´ afica de las funciones ϕ(2kx)/2kpara k=0,1,2,3. ............. 18 2.11. Suma parcial τ4de la funci´ ondeTakagi...................... 20 2.12. Sumas parciales τ1,τ2yτ3de la funci´ on de Takagi. . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.13. Funciones gyτ................................... 21 2.14. Ilustraci´ on de la relaci´ on τ(x) = τm−1(x) + τ(2mx)/2mpara m=1 y m=2. . 22 2.15. Pastel t´ ıpico“blancmange”............................. 24 2.16. Gr´ afica de ϕ(x) + ϕ(2x)/2. ........................... 27 2.17. Gr´ aficas de ϕ2yϕ3................................. 28 2.18. Conjuntos A1,A2yA3. .............................. 28 3.1. Gr´ afica de ϕ(x) = dist(x,Z)en el intervalo [2ji/2k, 2j(i+1)/2k]. ...... 57 4.1. Funci´ on continua y poligonal inscrita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Abstract Takagi’s function is defined, using modern notation as τ(x) = ∞ X n=0 1 2nϕ(2nx), where ϕ(x) = dist(x,Z), the distance from xto the nearest integer. This function was introduced by Teiji Takagi (1875–1960) in 1903. Takagi is famous for his work in number theory. He proved the fundamental theorem of Class Field Theory (1920, 1922). He was sent to Germany 1897-1901. He visited Berlin and G´ ottingen, saw Hilbert. Takagi (1903) showed that the function τ(x)is continuous on [0, 1]and has no derivative at each point x∈[0, 1]on either side. Van der Waerden (1930) discovered the base 10 variant, proved nondifferentiability. De Rham (1956) also rediscovered the Takagi function. The Takagi function has been extensively studied in all sorts of ways, during its 100 year history, often in more general contexts. It has some surprising connections with number theory and (less surprising) with probability theory. We present below a brief summary of the content of this work. We start by studying the p-base development of a real number. In the case of binary expansions, we introduce the functions “digit sums” and “deficient digit function”, that Takagi handles them in the original definition of τ(x) In chapter 2 we present three definitions of Takagi function. For the first one, we consider the absolute value function, h(x) = |x|in the interval [−1, 1] and its periodical extension to all R. The Takagi function is g(x) = ∞ X n=0 hn(x) 2n, where hn(x) = h(2nx). More common is to define the Takagi function using the nearest integer distance function that we denote ϕ(x), and we get the definition given at the beginning. The relationship between this two functions is τ(x) = 1 2g(2x). Using the functions digit sum and deficient digit function we present the Takagi original definition. viii Abstract In this chapter we also study the maximum of the Takagi function, and we prove that the set where it reaches that maximum is perfect and of Lebesgue zero measure. We end this chapter by demonstrating some functional equations that verify the Takagi function (it is the only one that verifies certain equations) and proving that it takes rational into rational, and in particular, dyadics into dyadics. In the third chapter we study two properties of the Takagi function. On the one hand, continuity in H¨ older’s sense and on the other, its differentiability. We show that it is H¨ older continuous of class αpara todo α∈(0, 1)and we present three demonstrations that the Takagi function does not admit a derivative (neither finite nor infinite) at any point in the interval [0, 1]. Even that it does not have a finite lateral derivative at any point of the interval [0, 1] We finish this work studying the theorem of Banach-Mazurkiewicz. For this purpose, we need Baire’s theorem, of which we give a proof. In 1929, the problem on the massiveness of the set of non-differentiable functions in the space of continuous functions was formulated by Steinhaus. In 1931, this problem was solved independently and by different ways by Banach and Mazurkiewicz. They proved that the set of non-differentiable functions in the space C([0, 1]) of functions, that are continuous on [0, 1], with the uniform metric is a set of the second category. Introducci´ on Hasta el siglo XIX se cre´ ıa que cualquier funci´ on continua carec´ ıa de derivadas en no m´ as de un n´ umero finito de puntos, como le sucede a la funci´ on valor absoluto. Pero en 1872, Karl Weierstrass dio un contraejemplo con una funci´ on continua en todo su dominio pero no derivable, rechazando as´ ı esta conjetura. Unos treinta a˜ nos despu´ es, en 1903, el japon´ es Teiji Takagi encontr´ o otro ejemplo de funci´ on de este tipo, con continuidad en [0, 1], y para su definici´ on hizo uso de expansiones binarias. Dicha funci´ on, usando terminolog´ ıa actual, se define de la siguiente forma: τ(x) = ∞ X k=0 ϕ(2kx) 2k, donde ϕ(x) = dist(x,Z)es la funci´ on distancia al entero m´ as pr´ oximo. Como veremos en este trabajo, Takagi defini´ o su funci´ on de una manera diferente y esto, en combinaci´ on con el aislamiento que sufr´ ıa Jap´ on a comienzos del siglo XX, puede ser una raz´ on de porqu´ e se pas´ o por alto esta funci´ on en occidente. A diferencia de lo que sucede con el ejemplo de Weierstrass, es f´ acil probar que la funci´ on de Takagi no tiene en ning´ un punto derivada finita. La funci´ on de Takagi fue redescubierta independientemente por otros matem´ aticos, como por ejemplo Knopp en 1918, Van der Waerden en 1930, usando la base 10 y Hildebrandt en 1933, que us´ o desarrollos binarios llegando as´ ı a la definici´ on original de Takagi (v´ ease [10], [25] y[8], respectivamente). En el art´ ıculo citado de Hildebrandt, el editor de la revista a˜ nade una nota en la que pone de manifiesto la sencillez del ejemplo dado en ese art´ ıculo y propone la cuesti´ on (interesante y probablemente no muy dif´ ıcil) de saber en qu´ e puntos, si existen, la funci´ on definida por Hildebrandt tiene derivada infinitas. Sorprendentemente, se tard´ o 77 a˜ nos en contestar esta pregunta correctamente, quiz´ as porque la respuesta no es tan f´ acil de adivinar. Rham ([16]) tambi´ en la estudi´ o en 1957. En 1939, el matem´ atico noruego Ralph Tambs-Lyche ([22]) redescubri´ o tambi´ en la funci´ on de Takagi, motivado por el deseo de dar “un ejemplo f´ acil de entender para los principiantes en el estudio del An´ alisis” e inspirado por el art´ ıculo de Van der Waerden. Tambs-Lyche us´ o un f´ ormula distinta de la dada al principio de esta introducci´ on y de la original de Takagi para definir la funci´ on. Fue el primero en publicar un gr´ afico, dibujado a mano pero con una precisi´ on y un nivel de detalle asombrosos. En 1957, una vez m´ as, un matem´ atico volvi´ o a fijar su atenci´ on en la funci´ on de Takagi; esta vez, fue de Rham, aparentemente inconsciente de los trabajos de Hildebrandt y Tombs-Lysche, quien dio un gran paso para ayudar a conocer en m´ as profundidad esta funci´ on, contribuyendo a identificarla como miembro de una clase de funciones m´ as general, que son soluci´ on de ciertas ecuaciones funcionales, si hablamos con el lenguaje matem´ atico actual. 41. Preliminares A partir de ahora, solo consideraremos intervalos semiabiertos a la derecha. Para saber c´ omo es la representaci´ on en base pde cualquier t∈Z, estudiamos primero el caso de los enteros positivos. Teorema 1.2. Sea t ∈Z.Dado un p ≥1entero positivo, entonces existen un n ∈Ny enteros b1,b2,· · · ,bn∈ {0, 1, 2, ...,p−1}tales que t= n X i=0 bipi. (1.2) Demostraci´on. Si dividimos tentre p, teniendo en cuenta el algoritmo de Euclides, existen enteros q0,b0tales que t=q0p+b0,b0∈ {0, 1, ...,p−1}. A continuaci´ on, dividimos el cociente q0entre py del algoritmo de la divisi´ on de Euclides, obtenemos la igualdad q0=q1p+b1,b1∈ {0, 1, ...,p−1}. Repetimos el mismo procedimiento para cada cociente qiy obtenemos las siguientes igualdades q1=q2p+b2,b2∈ {0, 1, 2, ...,p−1} . . . qn−3=qn−2p+bn−2,bn−2∈ {0, 1, 2, ...,p−1} qn−2=qn−1p+bn−1,bn−1∈ {0, 1, 2, ...,p−1}. Como es l´ ogico, conforme vayamos dividiendo cada cociente qientre p, qi+1ser´ a estrictamente menor que su antecesor y cuando lleguemos a uno que sea menor que p, tendremos qn−1=bn. As´ ı, sustituyendo el valor de qn−1en la igualdad anterior, obtenemos qn−2=bnp+bn−1. Asimismo, sustituyendo el valor de qn−2en la igualdad anterior, obtenemos qn−3=bnp2+bn−1p+bn−2. Repitiendo el procedimiento sucesivamente, conseguiremos una representaci´ on de ten funci´ on de los coeficientes biy en potencias de p: . . . q1=bnpn−2+bn−1pn−3+· · · +b3p+b2, q0=bnpn−1+bn−1pn−2+· · · +b3p2+b2p+b1, t=bnpn+bn−1pn−1+· · · +b2p2+b1p+b0.  Desarrollos binarios 5 Si tes un entero negativo, tambi´ en admitir´ a una representaci´ on en la base p, siendo la demostraci´ on de este suceso an´ aloga a la del teorema 1.2, con la salvedad de que los bi∈ {−(p−1),· · · ,−2, −1, 0}. De esta forma, tenemos una representaci´ on en base ppara cualquier t∈Z. Adem´ as, hay que destacar que todo entero tendr´ a una representaci´ on finita en la base p. Si x∈R, lo podemos escribir como x=t+α,t∈Z,α∈[0, 1]. Gracias a lo visto con anterioridad, obtenemos el siguiente resultado. Teorema 1.3. Sean x ∈Ry p ∈N, se cumple que existen exactamente una sucesi´on (ai), n∈Ny enteros b0,b1,...,bn, tales que ai∈ {0, ...,p−1}para todo i ≥1y b0,b1,...,bn∈ {0, 1, ...,p−1}y se tiene que x= n X i=0 bipi+ ∞ X i=0 ai pi. 1.2. Desarrollos binarios A continuaci´ on nos centraremos en la representaci´ on en la base p=2, tambi´ en conocida como representaci´ on binaria. Esta secci´ on nos ayudar´ a en la construcci´ on de la funci´ on de Takagi, as´ ı como a demostrar algunas de sus particulares propiedades. Dado x∈[0, 1], existe una ´ unica sucesi´ on ai∈ {0, 1}tal que x= ∞ X i=1 ai 2i, (1.3) excepto para los puntos de la forma x=k 2k, donde k∈Zyl∈N, que poseen dos representaciones. Los puntos de la forma p 2l, llamados di´ adicos, son muy importantes, puesto que la funci´ on de Takagi, que estudiaremos en este trabajo, cumple ciertas propiedades exclusivas para estos n´ umeros. Nos centraremos en los intervalos semiabiertos por la derecha. Como ya vimos en la secci´ on anterior, los n´ umeros enteros poseen una representaci´ on en base p; por ende, esto es cierto para el caso en el que p=2, donde tenemos que si t∈Z, su representaci´ on binaria es t= n X i=0 bi2i, (1.4) donde bi∈ {0, 1}. Sabemos que cualquier n´ umero x∈Rse puede escribir de la forma x=t+α,t∈Z,α∈[0, 1]. Haciendo uso de las representaciones dadas en (1.3) y (1.4) , llegamos a que x= n X i=0 bi2i+ ∞ X i=1 ai 2i, 61. Preliminares donde ai,bi∈ {0, 1}. Adem´ as de la expresi´ on dada en (1.3), haremos uso de la expresi´ on que aparece a continuaci´ on para representar un n´ umero x∈[0, 1]en base 2: x= ∞ X i=1 ai 2i=0.a1a2a3. . . (1.5) con ai∈ {0, 1}, que nos servir´ a en el pr´ oximo cap´ ıtulo para simplificar algunos resultados. 1.3. Funciones suma de d´ ıgitos binarios Teiji Takagi construy´ o la funci´ on de Takagi a partir de una funci´ on que med´ ıa el n´ umero de unos o ceros que hay antes de un determinado d´ ıgito en la representaci´ on binaria de un n´ umero x∈[0, 1]. Esta funci´ on se conoce como la funci´ on suma de d´ ıgitos binarios y est´ a definida tanto para n´ umeros enteros como para n´ umeros que pertenecen al intervalo [0, 1]. Cabe destacar que, debido al hecho de que los n´ umeros que pertenecen al intervalo [0, 1] tienen infinitos t´ erminos en su representaci´ on binaria, la funci´ on solo contar´ a la cantidad de d´ ıgitos que hay en los primeros nt´ erminos de su representaci´ on. Como los racionales di´ adicos (puntos de la forma k/2l) tienen dos representaciones binarias, las funciones asociadas ser´ an dependientes del tipo de representaci´ on que se utilice. Con todo esto, nosotros utilizaremos la representaci´ on que termina en ceros. Definici´ on 1.4. Sea t ∈Z+, cuya representaci´on en base 2 viene dada en (1.4). Se define la funci´on suma de d´ıgitos binarios como sigue s(t) = n X i=0 bi. (1.6) Esta funci´ on simplemente cuenta el n´ umero de d´ ıgitos bi=1 que tiene el n´ umero ten su representaci´ on binaria. Y dependiendo de la paridad del n´ umero tpodemos caracterizar esta funci´ on, como vemos a continuaci´ on. Proposici´ on 1.5. La funci´on suma de d´ıgitos binarios verifica las siguientes propiedades s(2t) = s(t)(1.7) s(2t+1) = s(t) + 1 (1.8) Demostraci´on. Sea t∈N∪ {0}cuya representaci´ on binaria es t= n X i=0 2ibi. Entonces, 2ttendr´ a la siguiente representaci´ on en base 2: 2t=2 n X i=0 2ibi= n X i=0 2i+1bi= n+1 X i=1 2ibi−1, y, por tanto, s(2t) = n+1 X i=1 bi−1= n X i=0 bi=s(t). La funci´on distancia al entero m´as pr´oximo 7 Asimismo, la representaci´ on binaria de 2t+1 viene dada como 2t+1= n+1 X i=1 2ibi−1+1 y, por tanto, s(2t+1) = n+1 X i=1 bi−1+1=s(t) + 1.  Como los n´ umeros pertenecientes al intervalo [0, 1]tienen una representaci´ on binaria con una cantidad infinita de t´ erminos, la funci´ on suma de d´ ıgitos solo ofrecer´ a el n´ umero de ceros o unos que haya en los primeros nt´ erminos de la representaci´ on. Definici´ on 1.6. Dado x ∈[0, 1]tal que su desarrollo binario es el siguiente x= ∞ X i=1 ai 2i=0.a1a2a3..., con ai∈ {0, 1}, definimos para todo i ≥1las siguientes funciones con valores enteros: 1. La funci´on suma de d´ıgitos N1 n(x) = a1+a2+. . . +an, (1.9) la cual determina la cantidad de unos en los primeros n t´erminos de la expansi´on binaria de x. 2. La funci´on suma de ceros N0 n(x) = n−N1 n(x). (1.10) En este caso, la ecuaci´on determina el n´umero de ceros en los primeros n t´erminos de la expansi´on binaria de x. 3. La funci´on suma de d´ıgitos deficiente, que viene dada por la siguiente expresi´on: Dn(x) = N0 n(x)−N1 n(x) = n−2N1 n(x) = n−2(a1+a2+· · · +an)(1.11) En este caso, esta funci´on hace un balance entre el n´umero de ceros y unos que hay en los primeros n t´erminos, de forma que ser´a positiva si hay m´as ceros que unos. Ser´a negativa, si se da el caso opuesto. 1.4. La funci´ on distancia al entero m´ as pr´ oximo Con motivo de obtener de una manera m´ as simple ciertos resultados sobre la funci´ on de Takagi, veremos una funci´ on que mide la distancia de un n´ umero xal entero m´ as cercano. De esta forma, y a partir de ella, podremos dar una construcci´ on alternativa de la funci´ on del nip´ on. Definici´ on 1.7. Dado un x ∈R, se define la funci´on distancia al entero m´as cercano como ϕ(x) = ´ ınf m∈Z |x−m|. 81. Preliminares Proposici´ on 1.8. La funci´on ϕgoza de las siguientes propiedades: 1. Si x ∈[0, 1), entonces tenemos ϕ(x) =                  x,si x ∈"0, 1 2!, 1−x,si x ∈"1 2, 1!. (1.12) 2. Si x ∈R, entonces tenemos ϕ(2nx) =                  2nx−t,si x ∈"2t 2n+1,2t+1 2n+1!,t∈Z, t−2nx,si x ∈"2t−1 2n+1,2t 2n+1!,t∈Z. (1.13) Demostraci´on. 1. Podemos expresar el intervalo [0, 1]como una partici´ on: [0, 1] = "0, 1 2!∪"1 2, 1!. As´ ı, si x∈h0, 1 2, tenemos que ´ ınf m∈Z |x−m|=|x−0|=x. Asimismo, si x∈h1 2, 1, tenemos que ´ ınf m∈Z |x−m|=|x−1|=1−x, por lo que llegamos a (1.12). 2. Por otra parte, dado un entero n≥0 fijado, podemos particionar el conjunto de los n´ umeros reales de la manera siguiente: R=[ t∈Z "2t−1 2n+1,2t 2n+1!∪"2t 2n+1,2t+1 2n+1!!. Por tanto, existe un ´ unico t0tal que x∈"2t0−1 2n+1,2t0 2n+1!∪"2t0 2n+1,2t0+1 2n+1!. Ahora bien x∈"2t0−1 2n+1,2t0 2n+1!⇒2nx∈"2t0−1 2,t0!, por lo que ϕ(2nx) = ´ ınf m∈Z |2nx−m|=|2nx−t0|=t0−2nx. La funci´on distancia al entero m´as pr´oximo 9 Y en el otro caso, x∈"2t0 2n+1,2t0+1 2n+1!⇒2nx∈"t0,2t0+1 2!, por lo que ϕ(2nx) = ´ ınf m∈Z |2nx−m|=|2nx−t0|=2nx−t0. De aqu´ ı, deducimos (1.13).  En el siguiente resultado vemos c´ omo definir la funci´ on distancia al entero m´ as pr´ oximo usando los desarrollos binarios. Proposici´ on 1.9. Sea x ∈[0, 1]tal que x = ∞ X i=1 ai 2i=0.a1a2. . ., con ai∈ {0, 1}. Se tiene lo siguiente: 1. ϕ(x) =        0.a1a2a3...,si a1=0, 0.¯a1¯a2¯a3...,si a1=1. (1.14) 2. ϕ(2nx) =        0.an+1an+2an+3. . . ,si an+1=0, 0.¯an+1¯an+2¯an+3. . . ,si an+1=1. (1.15) Siendo ¯a=1−a para a =0o a =1el complemento del d´ıgito binario. Demostraci´on. 1. Al igual que en la demostraci´ on de la proposici´ on anterior, expresaremos el intervalo [0, 1]como una partici´ on: [0, 1] = "0, 1 2!∪"1 2, 1!. As´ ı, si x∈h0, 1 2, i.e. a1=0, se cumple ϕ(x) = ´ ınf m∈Z |x−m|=|x−0|=x= ∞ X i=1 ai 2i=0.a1a2. . . Asimismo, si x∈"1 2, 1!(i.e. a1=1), tenemos que ϕ(x) = ´ ınf m∈Z |x−m|=|x−1|=1−x= ∞ X i=1 1 2i− ∞ X i=1 ai 2i= ∞ X i=1 ¯a 2i=0.¯a1¯a2¯a3. . . Con lo que hemos probado (1.14). 10 1. Preliminares 2. Asimismo, dado un n≥0 fijado, podemos particionar el intervalo [0, 1]de la manera siguiente: [0, 1] = 2n−1 [ t=0 " 2t 2n+1,2t+1 2n+1!∪"2t+1 2n+1,2t+2 2n+1!!. Para un punto x∈[0, 1], el t´ ermino an+1de su representaci´ on binaria ser´ a                0, si x∈"2t 2n+1,2t+1 2n+1!, 1, si x∈"2t+1 2n+1,2t+2 2n+1!. Por tanto, si x∈[0, 1], existe un ´ unico t0∈ {0, 1, ..., 2n−1}tal que x∈"2t0 2n+1,2t0+1 2n+1!∪"2t0+1 2n+1,2t0+2 2n+1!. y, por tanto, 2nx∈"2t0 2,2t0+1 2!∪"2t0+1 2,2t0+2 2!. Si 2nx∈"2t0 2,2t0+1 2!, tenemos que ϕ(2nx) = ´ ınf m∈Z |2nx−m|=2nx−t0= ∞ X i=0 2nai 2i−t0 = n X i=0 2n−iai+ ∞ X i=n+1 2n−iai−t0 = ∞ X i=n+1 2n−iai−t0=0.an+1an+2. . . Pero si 2nx∈"2t0+1 2,2t0+2 2!, entonces ϕ(2nx) = ´ ınf m∈Z |2nx−m|=t0+1−2nx=t0+1− ∞ X i=0 2nai 2i =t0+1− n X i=0 2n−iai− ∞ X i=n+1 2n−iai =1− ∞ X i=n+1 2n−iai= ∞ X i=1 1−ai 2i = ∞ X i=1 ¯ai 2i=0.¯an+1¯an+2. . . Y hemos probado (1.15).  La funci´on distancia al entero m´as pr´oximo 11 Cabe destacar otra forma de expresi´ on de la funci´ on distancia que estamos viendo para un x∈[0, 1]: ϕ(x) = ∞ X i=1 ai(1−a1) + (1−ai)a1 2i(1.16) y ϕ(2nx) = ∞ X i=1 an+i(1−an+1) + (1−an+i)an+1 2i, (1.17) con ai∈ {0, 1}. Pues en el primer caso, si a1=0 la igualdad de (1.16) se reduce a ϕ(x) = ∞ X i=1 ai 2i mientras que si a1=1, es ϕ(x) = ∞ X i=1 ¯ai 2i, y esto no es m´ as que lo probado en (1.14). De igual modo, de (1.15) se deduce (1.17). CAP´ ITULO 2 La funci´ on de Takagi Vamos a ver en este cap´ ıtulo dos construcciones habituales de la funci´ on de Takagi, la primera usando funciones lineales a trozos y la segunda con la funci´ on distancia al entero m´ as pr´ oximo. Tambi´ en veremos la construcci´ on original del propio Takagi. 2.1. Construcci´ on de la funci´ on de Takagi a partir de funciones lineales a trozos Partamos de la funci´ on h(x) = |x|en [−1, 1]y tomemos su extensi´ on peri´ odica de periodo 2, poniendo h(x+2) = h(x), para todo x∈R. Dicha extensi´ on peri´ odica viene representada a continuaci´ on: -6-4-2 2 4 6 1 Figura 2.1: Extensi´ on peri´ odica de h(x) = |x|,x∈[−1, 1]. Es sencillo ver que h(x) =        x−2t, si x∈[2t, 2t+1],t∈Z, 2t−x, si x∈[2t−1, 2t],t∈Z.(2.1) Tenemos que hes una funci´ on par y adem´ as, h(2t) = 0 y h(2t−1) = 1, para todo t∈Z. Vamos a considerar las funciones hn(x) = 1 2nh(2nx),x∈R, (2.2) para cada n≥0 entero. Veamos c´ omo se comporta h1(x) = 1 2h(2x)en el intervalo [−2, 2]. Puesto que estamos duplicando el argumento de la funci´ on h, el dominio se contrae en 1 2y, por tanto, h1es otra funci´ on peri´ odica, aunque de periodo 1 en este caso. Como multiplicamos h(2x)por 1 2, las alturas tomadas por hse ver´ an contra´ ıdas en 1 2. En la siguiente figura vemos representada la funci´ on h1en [−2, 2]. 20 2. La funci´on de Takagi Las sumas parciales de la serie que define τson τn(x) = n X k=0 ϕ(2kx) 2k. Estas sumas parciales son similares a las gnque vimos en la secci´ on anterior. Son funciones lineales a trozos (poligonales) en las que cada sumando se asemeja a un diente de sierra, con v´ ertices en los n´ umeros di´ adicos k/2ncon 1 ≤k≤2n−1. Todos los segmentos que la componen tiene pendientes enteras, que oscilan entre −nyn. La pendiente m´ axima +nse alcanza en el intervalo "0, 1 2n# y la m´ ınima −nen "1−1 2n, 1#. En la figura 2.11 vemos la suma parcial τ4donde aparecen indicadas las pendientes de los segmentos. Estas sumas parciales τncoinciden con τen todos los di´ adicos racionales k/2n. Y los valores que alcanzan en los di´ adicos estas sumas parciales permanecen ya constantes, es decir, τn k 2n!=τn+j k 2n!. 01 16 3 16 5 16 7 16 9 16 11 16 13 16 15 16 1 1 2 2 3 4 2 22 0 0 0 0 −2−2 −2 −4 Figura 2.11: Suma parcial τ4de la funci´ on de Takagi. Como consecuencia, τ k 2n!=τn k 2n!. En la figura 2.12 se observa este comportamiento. La funci´on de Takagi a partir de la funci´on distancia al entero m´as cercano 21 01 8 1 4 3 8 1 2 5 8 3 4 7 8 1 1 2 2 3 Figura 2.12: Sumas parciales τ1,τ2yτ3de la funci´ on de Takagi. La sucesi´ on (τn)es no decreciente y va aproximando a la funci´ on de Takagi. Es decir, se cumple que τ1(x)≤τ2(x)≤τ3(x)≤ · · · . N´ otese que τy la funci´ on gdada en la definici´ on (2.1) no son exactamente iguales, sino que τpresenta una contracci´ on en 1/2 del dominio g(y, por ende, es de periodo 1) y una contracci´ on de 1/2 en las alturas. Vemos a continuaci´ on en la figura 2.13 las gr´ aficas de ambas funciones. 01 2 13 2 2 1 4 3 Figura 2.13: Funciones gyτ. Es habitual encontrar en la literatura actual el t´ ermino “blancmange function (curva del manjar blanco)” refiri´ endose a la funci´ on de Takagi. Tall ([20]) lo propone en su art´ ıculo de 1982, donde da la “receta” para construirla, aunque le atribuye el nombre a un colega suyo, John Mills que vio la gr´ afica de esta funci´ on de forma similar a un pud´ ın ingl´ es hecho de gelatina de leche, v´ ease la figura 2.15. El propio Tall cuenta la an´ ecdota (v´ ease [21]) de que la palabra 22 2. La funci´on de Takagi inglesa “blancmange” se compone de dos palabras francesas “blanc” (blanco) y “mange” (comer). Cuando esta funci´ on se present´ o por primera vez a los acad´ emicos y profesores franceses en un seminario en Par´ ıs, la audiencia qued´ o muy perpleja. ¿Qu´ e es esta comida blanca?, se preguntaron. Se explic´ o el origen del nombre y los franceses quedaron satisfechos. Es lo que los franceses llaman un “pud´ ın”. Como siempre, los franceses y los ingleses tienen algunas dificultades para entenderse entre s´ ı, en este caso porque los ingleses usan el t´ ermino franc´ es “blancmange” y los franceses usan el t´ ermino ingl´ es “pudding”. ⌧(2x)/2 <latexit sha1_base64="Dz4CYbzkt+uarzRAjTJfMJqjscw=">AAACGXicdVC7TgJBFJ3FF+ILtbSZCCbY4M6aCHREG0tM5JGwhMwOA0ycfWTmrpFs+A0bC/0VO2Nr5Z9YOouYiNFTnXvPubn3Hi+SQoNtv1uZpeWV1bXsem5jc2t7J7+719JhrBhvslCGquNRzaUIeBMESN6JFKe+J3nbu7lI9fYtV1qEwTVMIt7z6SgQQ8EomJZbdIHGJefu+MQp9vMFu2zbNiEEp4RUzmxDarWqQ6qYpJJBAc3R6Oc/3EHIYp8HwCTVukvsCHoJVSCY5NOcG2seUXZDR7xraEB9rnvJ7OYpPhqGCsOY41n905tQX+uJ7xmPT2Gsf2tp8y+tG8Ow2ktEEMXAA2YsRhvGEkOI09fxQCjOQE4MoUwJcyVmY6ooAxPQwpaRotFYML3wQ6JCMKkFo2nORPWdB/6ftJwyOS07V06hfj4PLYsO0CEqIYIqqI4uUQM1EUMRukeP6Ml6sJ6tF+v1y5qx5jP7aAHW2ycYUqC4</latexit> 1 2 1 2 1 2 1 2 ⌧(x)= <latexit sha1_base64="vuZX6tW1pS5jvSigePYQA3dw1A4=">AAACF3icbVA9TwJBEN3DL8Qv1NJmI5hgQ+6w0MaEaGOJiXxEuJC9Ze/YsLd32Z0zkgv/wsZC/4qdsbX0n1i64BUCvurNvDeZmefFgmuw7S8rt7K6tr6R3yxsbe/s7hX3D1o6ShRlTRqJSHU8opngkjWBg2CdWDESeoK1vdH1VG8/MKV5JO9gHDM3JIHkPqcETOu+3AOSVB5PL8v9Ysmu2jPgZeJkpIQyNPrF794goknIJFBBtO46dgxuShRwKtik0Es0iwkdkYB1DZUkZNpNZxdP8IkfKQxDhmf1X29KQq3HoWc8IYGhXtSmzf+0bgL+hZtyGSfAJDUWo/mJwBDh6eN4wBWjIMaGEKq4uRLTIVGEgolnbkugSDzkVM/9kKoITGYymBRMVM5iMMukVas6Z9Xaba1Uv8pCy6MjdIwqyEHnqI5uUAM1EUUSPaEX9Go9W2/Wu/Xxa81Z2cwhmoP1+QPkEqAY</latexit> '0(x) <latexit sha1_base64="Jr67cfZto3X8pNMzt5IepJVXr+Q=">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</latexit> + <latexit sha1_base64="GoQ83HQXrF4qSDfELZX31oY23Bw=">AAACEHicbVC7TgMxEPTxDOEVoKSxSJCQkKK7UEAZQUMZBHlIySnyOc6dFZ99sveQolM+gYYCfoUO0fIH/AklTriCJEw1uzOr3Z0gEdyA6345K6tr6xubha3i9s7u3n7p4LBlVKopa1IllO4ExDDBJWsCB8E6iWYkDgRrB6Obqd5+ZNpwJR9gnDA/JqHkQ04J2NZ95bzSL5XdqjsDXiZeTsooR6Nf+u4NFE1jJoEKYkzXcxPwM6KBU8EmxV5qWELoiISsa6kkMTN+Njt1gk+HSmOIGJ7Vf70ZiY0Zx4H1xAQis6hNm/9p3RSGV37GZZICk9RarDZMBQaFpx/jAdeMghhbQqjm9kpMI6IJBZvL3JZQkyTi1Mz9kGkFNiwZToo2Km8xmGXSqlW9i2rtrlauX+ehFdAxOkFnyEOXqI5uUQM1EUUhekIv6NV5dt6cd+fj17ri5DNHaA7O5w+njp1R</latexit> ⌧(2x)/2 <latexit sha1_base64="Dz4CYbzkt+uarzRAjTJfMJqjscw=">AAACGXicdVC7TgJBFJ3FF+ILtbSZCCbY4M6aCHREG0tM5JGwhMwOA0ycfWTmrpFs+A0bC/0VO2Nr5Z9YOouYiNFTnXvPubn3Hi+SQoNtv1uZpeWV1bXsem5jc2t7J7+719JhrBhvslCGquNRzaUIeBMESN6JFKe+J3nbu7lI9fYtV1qEwTVMIt7z6SgQQ8EomJZbdIHGJefu+MQp9vMFu2zbNiEEp4RUzmxDarWqQ6qYpJJBAc3R6Oc/3EHIYp8HwCTVukvsCHoJVSCY5NOcG2seUXZDR7xraEB9rnvJ7OYpPhqGCsOY41n905tQX+uJ7xmPT2Gsf2tp8y+tG8Ow2ktEEMXAA2YsRhvGEkOI09fxQCjOQE4MoUwJcyVmY6ooAxPQwpaRotFYML3wQ6JCMKkFo2nORPWdB/6ftJwyOS07V06hfj4PLYsO0CEqIYIqqI4uUQM1EUMRukeP6Ml6sJ6tF+v1y5qx5jP7aAHW2ycYUqC4</latexit> ⌧(x)=⌧0(x)+⌧(2x)/2 2 1 2 1 2 ⌧(4x)/4 <latexit sha1_base64="22aZQjK7qwr+2NGE9GFZ0Diez0c=">AAACGXicdVA9TwJBEN3DL8Qv1NJmI5hgg7cnEeiINpaYCJIAIXvLAhv2PrI7ZyQX/oaNhf4VO2Nr5T+xdA8xEaOvejPvTWbmuaEUGmz73UotLa+srqXXMxubW9s72d29pg4ixXiDBTJQLZdqLoXPGyBA8laoOPVcyW/c8UWi39xypUXgX8Mk5F2PDn0xEIyCaXXyHaBRoXR3fFLK97I5u2jbNiEEJ4SUz2xDqtWKQyqYJJJBDs1R72U/Ov2ARR73gUmqdZvYIXRjqkAwyaeZTqR5SNmYDnnbUJ96XHfj2c1TfDQIFIYRx7P6pzemntYTzzUej8JI/9aS5l9aO4JBpRsLP4yA+8xYjDaIJIYAJ6/jvlCcgZwYQpkS5krMRlRRBiaghS1DRcORYHrhh1gFYFLzh9OMieo7D/w/aTpFclp0rpxc7XweWhodoENUQASVUQ1dojpqIIZCdI8e0ZP1YD1bL9brlzVlzWf20QKst08fBqC8</latexit> ⌧1(x) <latexit sha1_base64="uAI4KhurRDRXzVxlgWaNxSw3qCQ=">AAACGHicdVC7TgJBFJ31ifhCLW0mggk2ZHchgB3RxhITeSRAyOwwwITZnc3MXSPZ8Bk2FvordsbWzj+xdBYxEaOnOnPOmdx7jxcKrsG2362V1bX1jc3UVnp7Z3dvP3Nw2NQyUpQ1qBRStT2imeABawAHwdqhYsT3BGt5k8vEb90ypbkMbmAasp5PRgEfckrASJ1cF0jUd/J3Z7l+JmsXzqtlt1TGdsG2K47rJMStlIol7BglQRYtUO9nProDSSOfBUAF0brj2CH0YqKAU8Fm6W6kWUjohIxYx9CA+Ez34vnKM3w6lArDmOH5+2c2Jr7WU98zGZ/AWP/2EvEvrxPBsNqLeRBGwAJqIsYbRgKDxMnleMAVoyCmhhCquNkS0zFRhILpZ2nKSJFwzKleuiFWEkxpwWiWNlV994H/J0234BQL7rWbrV0sSkuhY3SC8shBFVRDV6iOGogiie7RI3qyHqxn68V6/YquWIs/R2gJ1tsnAKigtw==</latexit> + <latexit sha1_base64="GoQ83HQXrF4qSDfELZX31oY23Bw=">AAACEHicbVC7TgMxEPTxDOEVoKSxSJCQkKK7UEAZQUMZBHlIySnyOc6dFZ99sveQolM+gYYCfoUO0fIH/AklTriCJEw1uzOr3Z0gEdyA6345K6tr6xubha3i9s7u3n7p4LBlVKopa1IllO4ExDDBJWsCB8E6iWYkDgRrB6Obqd5+ZNpwJR9gnDA/JqHkQ04J2NZ95bzSL5XdqjsDXiZeTsooR6Nf+u4NFE1jJoEKYkzXcxPwM6KBU8EmxV5qWELoiISsa6kkMTN+Njt1gk+HSmOIGJ7Vf70ZiY0Zx4H1xAQis6hNm/9p3RSGV37GZZICk9RarDZMBQaFpx/jAdeMghhbQqjm9kpMI6IJBZvL3JZQkyTi1Mz9kGkFNiwZToo2Km8xmGXSqlW9i2rtrlauX+ehFdAxOkFnyEOXqI5uUQM1EUUhekIv6NV5dt6cd+fj17ri5DNHaA7O5w+njp1R</latexit> ⌧(x)= <latexit sha1_base64="vuZX6tW1pS5jvSigePYQA3dw1A4=">AAACF3icbVA9TwJBEN3DL8Qv1NJmI5hgQ+6w0MaEaGOJiXxEuJC9Ze/YsLd32Z0zkgv/wsZC/4qdsbX0n1i64BUCvurNvDeZmefFgmuw7S8rt7K6tr6R3yxsbe/s7hX3D1o6ShRlTRqJSHU8opngkjWBg2CdWDESeoK1vdH1VG8/MKV5JO9gHDM3JIHkPqcETOu+3AOSVB5PL8v9Ysmu2jPgZeJkpIQyNPrF794goknIJFBBtO46dgxuShRwKtik0Es0iwkdkYB1DZUkZNpNZxdP8IkfKQxDhmf1X29KQq3HoWc8IYGhXtSmzf+0bgL+hZtyGSfAJDUWo/mJwBDh6eN4wBWjIMaGEKq4uRLTIVGEgolnbkugSDzkVM/9kKoITGYymBRMVM5iMMukVas6Z9Xaba1Uv8pCy6MjdIwqyEHnqI5uUAM1EUUSPaEX9Go9W2/Wu/Xxa81Z2cwhmoP1+QPkEqAY</latexit> funciones de Takagi reducidas 1/4 <latexit sha1_base64="bUkPtCRFwZU85w6j689ts1XCL7I=">AAACPXicdVDLThtBEJwlD4jzMnDkMoqJlANydhwE5obgwpFIGJC8ltU722uPmJ1dzfQirJX/gq/JhQP8BB/ADXENR2aJI8VRUqeaqhp1d8WFVo7C8DZYePHy1evFpTeNt+/ef/jYXF45dnlpJfZkrnN7GoNDrQz2SJHG08IiZLHGk/hsv/ZPztE6lZsjmhQ4yGBkVKokkJeGzfZ6RHhBVVoa6QV0PEF+BGcwUtxiUkqVgJtGG9EGF18314fNVtgOw1AIwWsitrdCT3Z2uh3R5aK2PFpshsNh8zFKcllmaEhqcK4vwoIGFVhSUuO0EZUOC5B+HvY9NZChG1TPd0355zS3nMbIn99/ZivInJtksc9kQGP3t1eL//L6JaXdQaVMURIa6SPeS0vNKed1PTxRFiXpiScgrfJbcjkGC5J8iXNTRhaKsZJu7obK5uSbNaNpw1f1uw/+f3LcaYtv7c73Tmt3b1baEltjn9gXJtg222UH7JD1mGSX7Ae7ZjfBVXAX3AcPv6ILwezPKptD8PMJVlSvEA==</latexit> Figura 2.14: Ilustraci´ on de la relaci´ on τ(x) = τm−1(x) + τ(2mx)/2mpara m=1 y m=2. En el art´ ıculo de divulgaci´ on [13], se explica la complejidad del gr´ afico de la funci´ on de Takagi de una manera muy sencilla que exponemos a continuaci´ on. Es f´ acil ver que si m≥1 es natural, se cumple τ(x) = τm−1(x) + τ(2mx) 2m. Pues basta observar que τ(x) = ∞ X n=0 ϕ(2nx) 2n=τm−1(x) + ∞ X n=m ϕ(2nx) 2n=τm−1(x) + 1 2m ∞ X n=m ϕ(2nx) 2n−m La funci´on de Takagi a partir de la funci´on distancia al entero m´as cercano 23 =τm−1(x) + 1 2m ∞ X k=0 ϕ(2m+kx) 2k=τm−1(x) + 1 2mτ(2mx). As´ ı que en cada intervalo "k 2m,k+1 2m# con kentero, la gr´ afica de τ(x)viene dada por una parte finita m´ as una copia similar a toda la gr´ afica de τ(x)en [0, 1]pero reducida por un factor 1/2m. Esta relaci´ on, que vemos en la figura 2.14 para m=1 y m=2, nos dice que la funci´ on de Takagi est´ a formada por una infinidad de minicopias a todas las escalas de s´ ı misma. As´ ı que al hacer una ampliaci´ on en un entorno de un punto no encontraremos que la gr´ afica no se parece a una recta, sino a copias de la gr´ afica zigzagueante inicial. La funci´ on τtiene las propiedades an´ alogas a gvistas en la proposici´ on 2.3. Proposici´ on 2.8. La funci´on τtiene las siguientes propiedades. 1. La funci´on τes peri´odica de periodo 2. 2. La funci´on τes par. 3. La funci´on τes continua. Demostraci´on. Las propiedades se˜ naladas son consecuencia de resultados anteriores, en concreto del teorema 2.7 y la proposici´ on 2.3. 1. Tenemos que τ(x+1) = 1 2g(2(x+1)) = 1 2g(2x+2) y, como ges peri´ odica de periodo 2, τ(x+1) = 1 2g(2x) = τ(x). 2. Ya vimos que ges una funci´ on par, luego τtambi´ en lo es, pues τ(−x) = 1 2g(2(−x)) = 1 2g(−2x) = 1 2g(2x) = τ(x). 3. Por ´ ultimo, τes continua, ya que las funciones ϕ(2nx) 2n!son continuas y la serie ∞ X n=0 ϕ(2nx) 2n converge uniformemente a τ.  Una generalizaci´ on inmediata de la funci´ on de Takagi es considerar, dado r∈N,r≥2, la funci´ on τr(x) = ∞ X n=0 ϕ(rnx) rn. La funci´ on que defini´ o Van der Waerden (v´ ease [25]) fue τ10. Prob´ o que no era diferenciable en ning´ un punto. 24 2. La funci´on de Takagi Figura 2.15: Pastel t´ ıpico “blancmange”. 2.3. Definici´ on original de Takagi Las representaciones m´ as comunes de la funci´ on de Takagi son las que ya hemos visto en (2.8) y en (2.10). Vamos a ver en esta secci´ on la definici´ on original de Takagi, publicada en su art´ ıculo de 1903, v´ ease [19]. Takagi defini´ o su funci´ on a partir de las funciones sumas de d´ ıgitos binarios que vimos en el primer cap´ ıtulo. El siguiente teorema se debe a Lagarias y Maddock (v´ ease [11]). En ´ el se prueba que la definici´ on original de Takagi ([19]) coincide con la funci´ on τque vimos en la secci´ on anterior. Teorema 2.9. Si x = ∞ X i=1 ai 2i=0.a1a2a3. . . la funci´on de Takagi viene dada por τ(x) = ∞ X m=1 `m 2m, (2.12) donde 0≤`m=`m(x)≤m es el n´umero de d´ıgitos que hay antes del t´ermino que se encuentra en la posici´on m y son diferentes a este, es decir, `m(x) = #{i:1≤i<m,ai,am}1. En t´erminos de la funci´on suma de d´ıgitos (v´ease la definici´on (1.6), p´agina 7), se tiene que `m(x) =        N1 m−1(x),si am=0, N0 m−1(x),si am=1. Equivalentemente, `m(x) = amN0 m−1(x) + (1−am)N1 m−1(x). 1Como es habitual, #Arepresenta el cardinal del conjunto A. Definici´on original de Takagi 25 Demostraci´on. Para ver que las funciones definidas en (2.10) y (2.12) son la misma vamos a usar la igualdad dada en (1.17) que vimos al finalizar el primer cap´ ıtulo. De ella deducimos que ϕ(2nx) 2n= ∞ X i=1 an+i(1−an+1) + (1−an+i)an+1 2n+1, (2.13) as´ ı que sustituyendo esta expresi´ on en (2.10), tenemos que τ(x) = ∞ X n=0 ϕ(2nx) 2n= ∞ X n=0 ∞ X i=1 an+i(1−an+1) + (1−an+i)an+1 2n+i, que poniendo m=n+inos da τ(x) = ∞ X n=0 ∞ X m=n+1 am(1−an+1) + (1−am)an+1 2m, e intercambiando las series, τ(x) = ∞ X m=1 m−1 X n=0 am(1−an+1) + (1−am)an+1 2m = ∞ X m=1        am 2m        m−1 X n=0 (1−an+1)       +(1−am) 2m        m−1 X n=0 an+1               = ∞ X m=1        am 2m        m X n=1 (1−an)       +(1−am) 2m        m X n=1 an              . (2.14) Observemos que en (2.14) tendremos una contribuci´ on de 1 2msiempre que an=0 y am=1; y por otra parte, la suma m X n=1 annos da una contribuci´ on de 1 2msiempre que an=1 y am=0. Es decir, cada una de estas sumas parciales cuenta el n´ umero de ancon 1 ≤n<mque tienen valor contrario a amy si am=0 la suma m X n=1 ancuenta la cantidad de unos que hay antes de am. En definitiva, en t´ erminos de las funciones suma de d´ ıgitos y sumas de ceros se tiene que τ(x) = ∞ X n=0 ϕ(2nx) 2n = ∞ X m=1        am 2m        m X n=1 (1−an)       +(1−am) 2m        m X n=1 an               = ∞ X m=1 amN0 m−1(x) + (1−am)N1 m−1(x) 2m = ∞ X m=1 `m 2m.  26 2. La funci´on de Takagi 2.4. Valor m´ aximo Vamos a ver que la funci´ on de Takagi es acotada. En concreto, vamos a estudiar el m´ aximo de la funci´ on de Takagi. Es claro que como el m´ aximo de ϕ(x) = dist(x,Z)es 1/2, se tiene que τ(x) = ∞ X k=0 1 2kϕ(2kx)≤1 2 ∞ X k=0 1 2k=1. Jean Pierre Kahane ([9]) prob´ o que el m´ aximo de la funci´ on de Takagi es 2/3. Vamos a probar este hecho siguiendo las ideas de [2] y [6]. Teorema 2.10. Se cumple que 0≤τ(x)≤2/3. Demostraci´on. Es claro que el m´ ınimo de la funci´ on de Takagi es 0, valores que alcanza en los puntos 0 y 1. Veamos en primer lugar que si x∈[0, 1]yk≥1 es ϕ(22k−2x) 22k−2+ϕ(22k−1x) 22k−1≤2 4k. (2.15) Equivalentemente, ϕ(22k−2x) + 1 2ϕ(22k−1x)≤1 2. (2.16) Como ϕes peri´ odica de periodo 1, la desigualdad anterior equivale a ϕ(x) + 1 2ϕ(2x)≤1 2,∀x∈[0, 1]. (2.17) Recordemos que ϕ(x) =                    x, 0 ≤x≤1/2 1−x, 1/2≤x≤1 x−1, 1 ≤x≤3/2 2−x, 3/2≤x≤2, lo que implica que ϕ(2x) =                    x, 0 ≤x≤1/4 1/2−x, 1/4≤x≤1/2 x−1/2, 1/2≤x≤3/4 1−x, 3/4≤x≤1, y, por tanto, ϕ(x) + 1 2ϕ(2x) =              2x, 0 ≤x≤1/4 1/2, 1/4≤x≤3/4 2−2x, 3/4≤x≤1. Es obvio que se cumple (2.17) (v´ ease la figura 2.16). De la periodicidad de ϕdeducimos (2.15). Valor m´aximo 27 1 4 3 41 1 2 Figura 2.16: Gr´ afica de ϕ(x) + ϕ(2x)/2. Usamos (2.15) para obtener τ(x) = ϕ(x) + 1 2ϕ(2x) + 1 22ϕ(22x) + 1 23ϕ(23x) + · · · = ϕ(x) + 1 2ϕ(2x)!+ 1 22ϕ(22x) + 1 23ϕ(23x)!+· · · = ∞ X k=1 1 22k−2ϕ(22k−2x) + 1 22k−1ϕ(22k−1x)! ≤ ∞ X k=1 2 4k=2 3. As´ ı pues, τ(x)≤2/3. Veamos que existen xtales que τ(x) = 2/3. Estos xdeben satisfacer la igualdad en (2.15) para todo k. Vamos a buscar los xde modo que (2.16) sea una igualdad. Para ello, escribimos ϕk(x) = ϕ(22k−2x) + 1 2ϕ(22k−1x) y observamos que ϕk 1 4k−1+x!=ϕ 22k−2 1 4k−1+x!!+1 2ϕ 22k−1 1 4k−1+x!! =ϕ(1+22k−2x) + 1 2ϕ(2+22k−1x) =ϕ(22k−2x) + 1 2ϕ(22k−1x) = ϕk(x). N´ otese que hemos usado la periodicidad de ϕ, es decir, ϕ(x+1) = ϕ(x). Por tanto, ϕkes peri´ odica con periodo 1/4k−1y la gr´ afica de ϕkes la uni´ on de 4k−1“copias” de ϕ1con la misma altura 1/2, pero con anchura 1/4k−1. 28 2. La funci´on de Takagi 1 4 1 2 3 41 1 2 1 4 1 2 3 41 1 2 Figura 2.17: Gr´ aficas de ϕ2yϕ3. En la figura 2.16 vemos la gr´ afica de ϕ1y en la figura 2.17 vemos las gr´ aficas de ϕ2yϕ3. Se aprecia la periodicidad que hemos probado anteriormente. Observemos que ϕkes igual a 1/2 en la uni´ on de 4k−1subintervalos de [0, 1]cada uno de longitud 2/4k. As´ ı que definimos A1="1 4,3 4# y, para cada k≥1 construimos Ak+1como la uni´ on de los 2ksubintervalos de longitud 2/4k+1 donde ϕk+1es igual a 1/2 y que est´ en contenidos en Ak. Por ejemplo, A2="5 16,7 16#∪"9 16,11 16# y A3="21 64,23 64#∪"25 64,27 64#∪"37 64,39 64#∪"41 64,43 64#. En la figura 2.18 vemos los tres primeros conjuntos construidos de esta manera. 0.5 1.0 1.5 2.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 01 1 43 4 5 16 7 16 9 16 11 16 A1 A2 A3 Figura 2.18: Conjuntos A1,A2yA3. Tenemos una sucesi´ on (Ak)de conjuntos compactos encajados que por el teorema de intersecci´ on de Cantor debe tener intersecci´ on no vac´ ıa, es decir, existe x∈ ∞ \ k=1 Ak. Tal xde la intersecci´ on cumple τ(x) = 2/3.  Valor m´aximo 29 Se pueden caracterizar los puntos del conjunto Ausando la expansi´ on cuaternaria (es decir, en base 4) de sus puntos, pues de la construcci´ on del conjunto Ase deduce que A=       ∞ X i=1 ai 4i:ai=1, 2       . Por ejemplo. 1 3= ∞ X i=1 1 4i, luego 1/3∈Ay es τ(1/3) = 2/3. El conjunto Aes perfecto de medida cero. En efecto, es perfecto porque todos los puntos de Ason de acumulaci´ on pues si x∈Ay x= ∞ X i=1 ai 4i;ai∈ {1, 2} entonces xn=x+3−2an 4n∈A porque la diferencia es que hemos intercambiado los d´ ıgitos 1 y 2 y se cumple que xn→x. Por ´ ultimo, tiene medida cero porque la representaci´ on de x∈Ano contiene al menos un d´ ıgito, en este caso el 0 y el 3. Se puede demostrar que Aes homeomorfo al conjunto de Cantor, aunque en la construcci´ on del conjunto Acada intervalo disjunto de la k-´ esima etapa es reescalado con factor 1/4 para despu´ es ser duplicado. Este conjunto Atambi´ en tiene otra propiedad. Y es que es autosimilar. Recordemos que un conjunto compacto Ken un espacio m´ etrico Xse dice autosimilar si existen contracciones f1,...,fN:X→Xde modo que K=f1(K)∪. . . ∪fN(K). Por ejemplo en Rsi I= [0, 1]tenemos que I=f1(I)∪f2(I), donde f1(x) = 1 2x,f2(x) = 1 2(x+1). Volviendo a nuestro conjunto A, podemos escribir A=       ∞ X i=1 ai 4i:i=1, 2       =       1 4+ ∞ X i=2 ai 4i:i=1, 2       ∪       2 4+ ∞ X i=2 ai 4i:i=1, 2       =       1 4+1 4 ∞ X i=1 ai 4i:i=1, 2       ∪       1 2+1 4 ∞ X i=1 ai 4i:i=1, 2       . 36 2. La funci´on de Takagi 2.6. La funci´ on de Takagi sobre los racionales Vamos a estudiar el comportamiento de la funci´ on de Takagi sobre los racionales. En concreto, que lleva racionales a racionales. El resultado es el siguiente (v´ ease [14]). Teorema 2.14. Si x ∈ Q entonces τ(x)∈ Q. Demostraci´on. Recordemos que τ(x) = ∞ X k=0 ϕ(2kx) 2k, siendo ϕ(x) = dist(x,Z)la funci´ on distancia al entero m´ as pr´ oximo. Es obvio que si x∈ Q entonces ϕ(x)∈ Q. Vamos a distinguir dos casos. Caso 1. Supongamos que xes un racional di´ adico. Entonces, para nsuficientemente grande, se tiene que 2nxes entero, por lo que ϕ(2nx) = 0, as´ ı que τ(x) = ∞ X k=0 ϕ(2kx) 2k= N X k=0 ϕ(2kx) 2k. Pero cualquiera que sea k, como xes racional, tambi´ en lo es ϕ(2kx)y la suma anterior es por tanto un n´ umero racional. Caso 2. Si xes racional no di´ adico, podemos escribir su desarrollo binario como x=0.b1bb. . . bnbn+1...bn+m...bn+1...bn+m. . . =0.b1bb...bnbn+1...bn+m. Esto implica que m>1, porque los di´ adicos son los ´ unicos n´ umeros racionales en los que se repite un d´ ıgito en el desarrollo binario. Entonces, τ(x) = ∞ X k=0 ϕ(2kx) 2k= n−1 X k=0 ϕ(2kx) 2k | {z } racional + ∞ X k=n ϕ(2kx) 2k, as´ ı que basta demostrar que el segundo sumando es racional. Ahora bien, ∞ X k=n ϕ(2kx) 2k=1 2n ∞ X k=0 ϕ(2kx0) 2k, donde x0=0.bn+1...bn+m. En definitiva, podemos suponer que que x=0.b1...bm. Cualesquiera que sean los enteros kyk0se tiene por la periodicidad de ϕque ϕ(2mk+k0x) = ϕ(2mk ·2k0x) = ϕ(2k0x), por lo que τ(x) = ∞ X k=0 ϕ(2kx) 2k= ∞ X j=0 m−1 X k=0 ϕ(2k+jmx) 2k+jm La funci´on de Takagi sobre los racionales 37 = ∞ X j=0        m−1 X k=0 ϕ(2kx) 2k+jm        = ∞ X j=0 Sm 2jm =Sm· ∞ X j=0 1 2jm , donde Sm= m−1 X k=0 ϕ(2kx) 2k. Ahora bien, ∞ X j=0 1 2jm =1 1−2−m es racional porque −m<−1<0 y Smes una suma finita de racionales y, por tanto, racional. En definitiva, τ(x)∈ Q.  Corolario 2.15. La funci´on de Takagi transforma di´adicos en di´adicos. Demostraci´on. Basta ver el primer caso del teorema anterior; si xes di´ adico, τ(x)es una suma finita de di´ adicos. Por tanto, τ(x)es di´ adico.  El rec´ ıproco de este corolario es falso, por ejemplo τ 1 6!=1 2. Si bien la funci´ on de Takagi lleva racionales a racionales, el rec´ ıproco es un problema abierto, es decir, no se sabe si dado un racional 0 ≤r≤2/3, existe otro racional r0de modo que τ(r0) = r. Tambi´ en est´ a abierto el siguiente problema. ¿Existe un di´ adico racional y=`/2kcon 0<y<2/3 de modo que no exista di´ adico racional xcon τ(x) = y? CAP´ ITULO 3 Continuidad en el sentido de H¨ older y diferenciabilidad En este cap´ ıtulo vamos a ver que la funci´ on de Takagi es continua en el sentido de H¨ older y que no es diferenciable en ning´ un punto del intervalo [0, 1]. De esta ´ ultima afirmaci´ on daremos dos pruebas. 3.1. Continuidad en el sentido de H¨ older Comenzamos recordando el concepto de funci´ on continua en el sentido de H¨ older. Definici´ on 3.1. Sea f :[a,b]→R. Decimos que f es continua en el sentido de H¨older de clase αen [a,b]si existen constantes C >0yα∈(0, 1)tales que |f(x1)−f(x2)| ≤ C|x1−x2|α para cualesquiera x1,x2∈[a,b]. La continuidad en el sentido de H¨ older implica la continuidad uniforme pues dado que α < 1, se cumple |f(x1)−f(x2)| ≤ C|x1−x2|α≤C|x1−x2|. Tambi´ en es f´ acil ver que si se satisface la condici´ on de H¨ older para un exponente α > 1 la funci´ on es constante. Pues dados x,yen el intervalo [a,b], dividimos el intervalo [x,y]en n subintervalos de longitud 1 n· |x−y|. La continuidad de H¨ older nos proporciona la cota C 1 n· |x−y|!α en cada subintervalo y la desigualdad triangular nos indica que |f(x)−f(y)| ≤ nC 1 n· |x−y|!α =C|x−y|α·1 nα−1. Basta hacer n→ ∞ para concluir que fes constante. Dado que para estudiar la continuidad de H¨ older de τnecesitaremos evaluar |τ(x)−τ(y)|, vamos a ver primero c´ omo manejar diferencias del tipo |ϕ(2nx)−ϕ(2ny)|, que es lo que vamos a hacer en el siguiente lema. 40 3. Continuidad en el sentido de H¨older y diferenciabilidad Lema 3.2. Para todo x,y∈[0, 1]y n ≥0se cumple que |ϕ(2nx)−ϕ(2ny)| ≤ 2n|x−y|. Demostraci´on. Sea n≥0 y x,y∈[0, 1]. Sea k∈Zel entero m´ as cercano a 2ny. Entonces, ϕ(2nx) = ´ ınf m∈Z |2nx−m|≤|2nx−k|≤|2nx−2ny|+|2ny−k| =2n|x−y|+ϕ(2ny). As´ ı que hemos probado ϕ(2nx)−ϕ(2ny)≤2n|x−y|. Pero de modo totalmente an´ alogo podemos probar tambi´ en que ϕ(2ny)−ϕ(2nx)≤2n|x−y|, as´ ı que en definitiva tenemos lo que queremos, |ϕ(2nx)−ϕ(2ny)| ≤ 2n|x−y|.  Pasamos entonces a enunciar y probar el resultado principal de esta secci´ on (v´ ease [18]). Teorema 3.3. La funci´on de Takagi es continua en el sentido de H¨older de clase αpara todo α∈(0, 1). Demostraci´on. Sea α < 1. Sean x,t∈Rcon t,0. Supongamos primero que 0 <|t| ≤ 1. Sea n∈Z,n≥0 tal que 1 2n+1<|t| ≤ 1 2n. En particular, |t|1−α≤ 1 2n!1−α , o lo que es igual, |t| ≤ 1 2n(1−α)|t|α. (3.1) Por el lema anterior y (3.1) n−1 X k=0 ϕ(2k(x+t)) 2k−ϕ(2kx) 2k ≤ n−1 X k=0 |t|=n|t| ≤ n1 2n(1−α)|t|α. (3.2) Dado que 0≤ϕ(2kx) 2k≤1 2k+1,∀k≥0, ∀x∈R, se sigue que cualquiera que sea k≥0 es  ϕ(2k(x+t)) 2k−ϕ(2kx) 2k ≤1 2k+1. Continuidad en el sentido de H¨older 41 Por tanto, ∞ X k=n ϕ(2k(x+t)) 2k−ϕ(2kx) 2k ≤ ∞ X k=n 1 2k+1=1 2n≤2|t| ≤ 2|t|α, (3.3) donde hemos usado que dada la elecci´ on de n, 1 2n+1<|t| ⇒ 1 2n<2|t|. De (3.1) y (3.3) podemos deducir que |τ(x+t)−τ(x)| ≤ ∞ X n=0 ϕ(2n(x+t)) 2n−ϕ(2nx) 2n ≤n1 2n(1−α)|t|α+2|t|α = 2+n 2n(1−α)!|t|α. Como l´ ım n→∞ 2+n 2n(1−α)!=2, esta sucesi´ on est´ a acotada. Si Mαes tal que 2+n 2n(1−α)≤Mα,∀n∈N, luego |τ(x+t)−τ(x)| ≤ Mα|t|α siempre que 0 <|t| ≤ 1. Veamos qu´ e sucede si |t|>1. Sabemos que 0≤τ(x) = ∞ X k=0 ϕ(2kx) 2k≤ ∞ X k=0 1 2k+1=1 y cualquiera que sea |t| ≥ 1 esto implica |τ(x+t)−τ(x)| ≤ 1≤ |t|α. Eligiendo la constante Mαcitada antes concluimos que |τ(x+t)−τ(x)| ≤ Mα|t|α para todo ty esto prueba la continuidad en el sentido de H¨ older de τen R.  De acuerdo con lo que vamos a demostrar en la siguiente secci´ on, que τno es derivable en ning´ un punto, este resultado que acabamos de demostrar es el mejor posible. No podemos tener α=1, pues si no, τser´ ıa absolutamente continua y, por tanto, derivable en casi todo punto. En [24] Luciano de Vito da una demostraci´ on de que la funci´ on de Takagi, que Georges de Rham prob´ o en [16] que no es derivable en ning´ un punto, es sin embargo de clase H¨ older de grado αpara cualquier α∈(0, 1). 42 3. Continuidad en el sentido de H¨older y diferenciabilidad Recordemos que esta funci´ on es ϕ(x) = dist(x,Z) =  x−"x+1 2# , donde [t]es la parte entera de t. Esta funci´ on tiene las dos siguientes propiedades. Dado que 0 ≤ϕ(x)≤1 2se sigue que |ϕ(x)−ϕ(y)| ≤ 1 2. (3.4) Por otra parte, tambi´ en cumple que |ϕ(x)−ϕ(y)|≤|x−y|. (3.5) La desigualdad es de hecho una igualdad si x,y∈"0, 1 2#o bien x,y∈"1 2, 1#. En el caso que queda, supongamos por ejemplo que x∈"0, 1 2#ey∈"1 2, 1#; tenemos que |ϕ(x)−ϕ(y)|=|x−(1−y)|=|x+y−1|. Si |x+y−1|=x+y−1 se cumple que x+y−1≤y−x=|y−x|porque esta desigualdad es equivalente a que 2x≤1. Mientras que si fuera |x+y−1|=1−x−y tambi´ en es 1 −x−y≤y−xporque esta desigualdad es equivalente a que 2y≥1. De aqu´ ı deducimos usando (3.4) y (3.5) que cualquiera que sea α∈(0, 1), |ϕ(x)−ϕ(y)|=|ϕ(x)−ϕ(y)|1−α|ϕ(x)−ϕ(y)|α≤2α−1|x−y|α. (3.6) Observemos que en (3.6) la igualdad se alcanza con x=0 e y=1 2, as´ ı que la constante 2α−1 no puede sustituirse por una menor. Por (3.6) tenemos entonces que |τ(x)−τ(y)| ≤ ∞ X k=0 ϕ(2kx) 2k−ϕ(2kx) 2k ≤ ∞ X k=0 1 2k2α−1|2kx−2ky|α =2α−1|x−y|α ∞ X k=0 (2α−1)k =2α−1 1−2α−1|x−y|α. Diferenciabilidad de la funci´on de Takagi 43 3.2. Diferenciabilidad de la funci´ on de Takagi En esta secci´ on vamos a dar tres demostraciones del siguiente teorema. Teorema 3.4. La funci´on de Takagi no es derivable en ning´un punto. Se han publicado varias demostraciones de este resultado. El propio Takagi lo prob´ o ([19]), as´ ı como por ejemplo Hildebrandt ([8]) y de Rham ([16]). La demostraci´ on de Van der Waerden ([25]) para la funci´ on que ´ el construy´ o no se adapta autom´ aticamente al caso de Takagi. La prueba que dio Billingsley ([3]) es quiz´ as la m´ as natural y es la primera que presentamos en esta secci´ on. Comenzamos con un lema que nos ser´ a de utilidad. Lema 3.5. Sea a <an<x<bn<b para todo n ∈Ny supongamos que an→x y bn→x. Sea f:[a,b]→Runa funci´on continua tal que f 0(x)existe. Entonces, l´ ım n→∞ f(bn)−f(an) bn−an =f0(x). Demostraci´on. Dado que  bn−x bn−an≤bn−an bn−an =1,  x−an bn−an≤bn−an bn−an =1, deducimos que  f(bn)−f(an) bn−an −f0(x) = bn−x bn−an f(bn)−f(x) bn−x−f0(x)!+x−an bn−an f(an)−f(x) an−x−f0(x)! ≤ f(bn)−f(x) bn−x−f0(x) + f(an)−f(x) an−x−f0(x) →0 cuando n→ ∞. As´ ı que l´ ım n→∞ f(bn)−f(an) bn−an =f0(x).  3.2.1. Prueba de Billingsley Vamos a ver ahora la demostraci´ on de la no derivabilidad de la funci´ on de Takagi debida a Billingsley ([3]). Primera demostraci´on del teorema 3.4. Sea x∈Rarbitrario. Supongamos que existe τ0(x)y es finito. De acuerdo con el lema anterior, si un≤x≤vn(con un<vn) y vn−un→0 entonces τ(vn)−τ(un) vn−un →τ0(x). Vamos a construir dos sucesiones (un)y(vn)y llegaremos a una contradicci´ on para ver que nuestra hip´ otesis inicial es falsa. 44 3. Continuidad en el sentido de H¨older y diferenciabilidad Recordemos que τ(x) = ∞ X k=0 1 2kϕ(2kx), donde ϕ(x) = dist(x,Z)es la funci´ on distancia al entero m´ as pr´ oximo. Sea D={i2−n:i,n∈Z}el conjunto de los di´ adicos racionales. Si u∈Des de orden n, entonces para todo entero k≥nse cumple que 2ku∈Z. Luego ya que ϕ(p) = 0 para p∈Z, tenemos que τ(u) = n−1 X k=0 1 2kϕ(2ku). Sean un,vn∈Dn´ umeros sucesivos de orden ntales que un≤x<vn. Entonces vn−un=i2−n−(i−1)2−n=2−n y adem´ as, τ(vn)−τ(un) vn−un = n−1 X k=0 1 2k ϕ(2kvn)−ϕ(2kun) vn−un . La funci´ on ϕ(x)es lineal si x∈[2kun, 2kvn]porque [2kun, 2kvn] = "i−1 2l,i 2l#, donde l=n−k∈N. Luego si 0 ≤k<n, 1 2k ϕ(2kvn)−ϕ(2kun) vn−un =±2−l 2−l=±1, lo que nos conduce a que τ(vn)−τ(un) vn−un = n−1 X k=0 ±1. cuando n→ ∞ la serie de la derecha no converge. Esto contradice la hip´ otesis de existencia de τ0(x). Dado que x∈Res arbitrario, hemos probado que la funci´ on de Takagi no tiene derivada en ning´ un punto.  Cater ([4]) prob´ o incluso que la funci´ on τno tiene derivada lateral finita en ning´ un punto. Teorema 3.6. La funci´on de Takagi no tiene derivada lateral finita en ning´un punto. Demostraci´on. Supongamos que por ejemplo existiera τ0 +(x) = `∈Rpara alg´ un x∈R. Para cada natural nsean un=i 2n,vn=i+1 rn, donde i−1 2n≤x<i 2n. Consideremos a continuaci´ on rnysntales que τ(un)−τ(x) = (`+rn)(un−x), Diferenciabilidad de la funci´on de Takagi 45 τ(vn)−τ(x) = (`+sn)(vn−x). Entonces, τ(vn)−τ(un) = (τ(vn)−τ(x))−(τ(un)−τ(x)) = (`+sn)(vn−x)−(`+rn)(un−x) =`(vn−un) + sn(vn−x)−rn(un−x) =2−n`+sn(vn−x)−rn(un−x) y tambi´ en (τ(vn)−τ(u))=`+2nsn(vn−x)−2nrn(un−x). Dado que tenemos 0<un−x<1 2n, 0 <vn−x<1 2n−1, concluimos que |2n(τ(vn)−τ(u))−`|≤|rn|+2|sn|. Se sigue que l´ ım n→∞ rn=l´ ım n→∞ sn=0, por lo que l´ ım n→∞ 2n(τ(vn)−τ(u))=`. Pero 2n(τ(vn)−τ(u))= ∞ X k=1 2n(ϕk(vn)−ϕk(un)). Dado que ϕkes lineal en el intervalo [un,vn]si 1 ≤k<nyϕk(un) = ϕk(vn) = 0 si k>n, concluimos 2n(τ(vn)−τ(u))= n−1 X k=1 (ϕk)0 +(un), donde (ϕk)0 +indica la derivada lateral a la derecha de ϕk. Pero (ϕk)0 +=±1, as´ ı que 2n(τ(vn)−τ(u)) es par o impar dependiendo de la paridad de n. Y esto es imposible. An´ alogamente sucede con la derivada lateral a la izquierda (o tambi´ en podemos usar la relaci´ on τ(x) = τ(1−x)).  3.2.2. Segunda demostraci´ on Como ya hemos comentado, existen varias demostraciones de la no diferenciablidad de la funci´ on de Takagi. En esta secci´ on vamos a presentar otra, siguiendo las ideas expuestas en [1] (p´ ag. 144 y siguientes). Hemos de mencionar tambi´ en que usaremos la representaci´ on de la funci´ on de Takagi que vimos en primer lugar, dada en la definici´ on (2.1), g(x) = ∞ X n=0 h(2nx) 2n=l´ ım N→∞ N X n=0 h(2nx) 2n=l´ ım N→∞ gN(x). Recordemos que su gr´ afica la podemos ver en la figura 2.7. 52 3. Continuidad en el sentido de H¨older y diferenciabilidad existe un ´ unico j∈ {1, · · · ,k−1}tal que p∈h2j, 2j+1y, por tanto, 2j+n−k≤2np 2k<2j+n−k+1. Por lo que si n≤k−j−1, entonces j+n−k+1≤0 y 0≤2np 2k<20=1. As´ ı, h 2np 2k!=2np 2k. Si n≥k, se dar´ a que 2 divide a 2np 2ky, por ende, h 2np 2k!=0. Ahora bien, si n≥k−j, o lo que es lo mismo, j+n−k≥0, entonces 1=20<2np 2k. Cuando ocurre esto, si k−j≤n<k, no podremos dar el valor expl´ ıcito de h(2np 2k), puesto que hdepende de la paridad de p. As´ ı, si pes impar, hdescribe una recta de pendiente negativa, mientras que si pes par, describir´ a una recta con pendiente positiva. M´ as adelante veremos que no hace falta calcularlo. Finalmente llegamos a que gNp 2k= k−j−1 X n=0 1 2nh 2np 2k!+ k X n=k−j 1 2nh 2np 2k!+ N X n=k 1 2nh 2np 2k! = k−j−1 X n=0 1 2n 2np 2k!+ k X n=k−j 1 2nh 2np 2k! = (k−j)p2−k+ k X n=k−j 1 2nh 2np 2k!. Ahora, haciendo N→ ∞, gp 2k=l´ ım N→∞ (k−j)p2−k+ k X n=k−j 1 2nh 2np 2k!= (k−j)p2−k+ k X n=k−j 1 2nh 2np 2k!. Veamos el valor de gp 2k+xm. Si N>m, se da que gNp 2k+xm= N X n=0 1 2nh2np 2k+2−m= N X n=0 1 2nh2n−kp+2n−m = k−j−1 X n=0 1 2nh2n−kp+2n−m+ k X n=k−j 1 2nh2n−kp+2n−m Diferenciabilidad de la funci´on de Takagi 53 + m X n=k+1 1 2nh2n−kp+2n−m+ N X n=m+1 1 2nh2n−kp+2n−m. (3.15) Si 0 ≤n≤k−j−1, entonces 2np 2k<1 y por la propiedad Arquimediana, existe un m∈Ntal que 2n 2m<1−2np 2k, por lo que 2np 2k+2n 2m<1. Luego, para msuficientemente grande, h 2np 2k+2n 2m!=2np 2k+2n 2m. Si k+1≤n≤m, entonces 2np 2kes m´ ultiplo de 2 y 2n 2m<1; como hes peri´ odica, tenemos que h 2np 2k+2n 2m!=h 2n 2m!=2n 2m. Si m+1≤n≤N, entonces 2np 2k+2n 2mes m´ ultiplo de 2 y por ello h 2np 2k+2n 2m!=0. Para el caso que nos queda (k−j≤n≤k) no podemos dar el valor expl´ ıcito de h 2np 2k+2n 2m!, debido a que depende de py tendremos una recta, bien de pendiente positiva, bien de pendiente negativa, seg´ un el valor escogido. Ahora, si sustituimos en la ecuaci´ on (3.15) y hacemos N→ ∞, se tiene que para un mlo suficientemente grande gp 2k+xm=l´ ım N→∞  k−j−1 X n=0 1 2n 2np 2k+2n 2m!+ k X n=k−j 1 2nh 2np 2k+2n 2m!+ m X n=k+1 1 2n 2n 2m =(k−j)p 2k+k−j 2m+ k X n=k−j 1 2nh 2np 2k+2n 2m!+m−k 2m. El cociente incremental para estudiar la derivada en este punto di´ adico ser´ a gp 2k+xm−gp 2k 2np 2k+xm−2np 2k = (k−j)p 2k+k−j 2m+ k X n=k−j 1 2nh 2np 2k+2n 2m!+m−k 2m−(k−j)p2−k+ k X n=k−j 1 2nh 2np 2k! 1 2m 54 3. Continuidad en el sentido de H¨older y diferenciabilidad = m−j 2m+ k X n=k−j 1 2n"h 2np 2k+2n 2k!−h 2np 2m!# 1 2m . (3.16) Para escribir esta suma de una forma m´ as sencilla, consideraremos la siguiente partici´ on [1, ∞)= ∞ [ l=1 [l,l+1). Para k−j≤n≤kse tiene que existe un ´ unico l0∈Ntal que 2np 2k∈[l0,l0+1), por lo que para un mlo suficientemente grande conseguimos que 2np 2k+2n 2m∈[l0,l0+1). Si l0es par, partiendo de la ecuaci´ on (2.1) tenemos que h 2np 2k!=2np 2k−l. Asimismo, h 2np 2k+2n 2m!=2np 2k+2n 2m−l y, por tanto, h 2np 2k+2n 2m!−h 2np 2k!=2n 2m. En cambio, si l0es impar, partiendo de nuevo de la ecuaci´ on (2.1) tenemos que h 2np 2k!=l+1−2np 2k. Asimismo, h 2np 2k+2n 2m!=l+1−2np 2k−2n 2m y, por tanto, h 2np 2k+2n 2m!−h 2np 2k!=−2n 2m. De esta forma, para cualquiera de los dos casos h 2np 2k+2n 2m!−h 2np 2k!=εn 2n 2m, Diferenciabilidad de la funci´on de Takagi 55 donde εn=±1. Sustituyendo la expresi´ on que acabamos de ver en la ecuaci´ on (3.16), llegamos a que gp 2k+xm−gp 2k 2np 2k+xm−2np 2k = m−j 2m+ k X n=k−j 1 2nεn 2n 2m 1 2m =m−j+ k X n=k−j εn(3.17) y tomando m→ ∞, tenemos que xm+p 2k→p 2k, de donde g0p 2k=l´ ım m→∞  m−j+ k X n=k−j εn y se deduce que g0(p 2k)no existe. Para finalizar la demostraci´ on, usaremos el lema 3.5 y probaremos que gno es diferenciable para n´ umeros no di´ adicos, tomando un x∈[0, 1]cualquiera. Si xno es di´ adico, fijado m≥0 el n´ umero xest´ a entre dos di´ adicos consecutivos, es decir, p 2m<x<p+1 2m. Definamos xm=p 2m,ym=p+1 2m. Repitiendo este proceso para cada mpodemos construir dos sucesiones (xm)e(ym)tales que l´ ım m→∞ xm=l´ ım m→∞ ym=x,xm<x<ym. Supongamos que g0(x)existe y consideremos las sucesiones (xm)e(ym)que acabamos de mencionar. Se tiene que estas sucesiones cumplen las hip´ otesis del lema 3.5, luego l´ ım m→∞ g(ym)−g(xm) ym−xm =g0(x). Antes hemos visto que para k>mse cumple que h2kym=h2kxm=0, as´ ı que nos quedaremos con el caso 0 ≤k≤m. Por la definici´ on de hn, esta funci´ on es lineal en los intervalos cuyos extremos son n´ umeros racionales di´ adicos. Adem´ as, si t≤l, se da que 1 2l≤1 2t⇒"p1 2l,p1+1 2l#⊆"p0 2t,p0+1 2t#. Luego para k<m [xm,ym] = "pm 2m,pm+1 2m#⊆"j 2k,j+1 2k# 56 3. Continuidad en el sentido de H¨older y diferenciabilidad para cierto j∈Z. De esto obtenemos que (xm)e(ym)est´ an sobre la misma recta, por lo que tienen la misma pendiente. De (2.1) se deduce que              h2kym−h(2nxm)=1 2r, si pes par h2kym−h(2nxm)=−1 2r, si pes impar, siendo r=m−k. Por ende, g(ym)−g(xm) ym−xm = n X k=0 1 2k h(2kyn)−h(2nxn) yn−xn = n X k=0 ±2−l 2−l= n X k=0 ±1. Si hacemos n→ ∞, la serie diverge y de aqu´ ı concluimos que g0(x)no existe. As´ ı, hemos probado que gno es diferenciable en ning´ un x∈R.  3.2.3. Tercera demostraci´ on Veamos por ´ ultimo la tercera demostraci´ on, siguiendo [6]. Tercera demostraci´on del teorema 3.4. Comenzamos estudiando el comportamiento de τen los n´ umeros di´ adicos de la forma i/2k, 0 ≤i≤2k−1, para kconsecutivos. La funci´ on ϕse anula en los enteros, as´ ı que ϕ2ji 2k=0, ∀j≥k. Por tanto, τi 2k= k−1 X j=0 1 2jϕ2ji 2k, (3.18) dado que el resto de sumandos es cero. Ahora bien,        k>j i<2k−j−1⇒               2ji 2k=i 2k−j∈"0, 1 2# 2ji+1 2k=i+1 2k−j∈"0, 1 2# Si i≥2k−j−1entonces 2ji 2k, 2ji+1 2k∈"1 2, 1#. Recordemos que ϕes lineal en cada uno de estos intervalos (v´ ease la figura 3.1, a la derecha se ve el caso i<2k−j−1y a la izquierda el caso i≥2k−j−1); el valor de ϕen el punto medio de 2ji 2ky 2ji+1 2k que es 2i+1 2k−j+1 Diferenciabilidad de la funci´on de Takagi 57 es la media de ϕen ambos, es decir, ϕ 2i+1 2k−j+1!=1 2 ϕ 2ji 2k!+ϕ 2j(i+1) 2k!!. 2ji 2k 2ji 2k 2ji 2k 2ji 2k 2j(i+1) 2k2j(i+1) 2k 2j(i+1) 2k 2j(i+1) 2k Figura 3.1: Gr´ afica de ϕ(x) = dist(x,Z)en el intervalo [2ji/2k, 2j(i+1)/2k]. Por tanto, si 0 ≤i≤2k−1, tenemos que usando 3.18, podemos escribir τ 2i+1 2k+1!= k X j=0 1 2jϕ 2j2i+1 2k+1! = k−1 X j=0 1 2j·1 2 ϕ 2ji 2k!+ϕ 2j(i+1) 2k!!+1 2k+1 =1 2         k−1 X j=0 1 2jϕ 2ji 2k!+ k−1 X j=0 1 2jϕ 2j(i+1) 2k!        +1 2k+1 =1 2 τi 2k+τ i+1 2k!!+1 2k+1. As´ ı que obtenemos las igualdades τ 2i+1 2k+1!−τi 2k=1 2 τ i+1 2k+1!−τi 2k!+1 2k+1(3.19) y τ i+1 2k!−τ 2i+1 2k+1!=1 2 τ i+1 2k!−τi 2k!−1 2k+1. (3.20) Dado cualquier x∈[0, 1]escribimos su desarrollo binario x= ∞ X j=1 aj 2j 58 3. Continuidad en el sentido de H¨older y diferenciabilidad simplemente como .a1a2..., donde cada aj∈ {0, 1}, y sus sumas parciales k X j=1 aj 2j como .a1a2...ak. Tambi´ en escribimos .a1a2. . . (ak+1)para denotar al n´ umero k X j=1 aj 2j+1 2k. Si escribimos x= k X j=1 aj 2j+ ∞ X j=k+1 aj 2j, observamos que k X j=1 aj 2j≤x≤ k X j=1 aj 2j+ ∞ X j=k+1 1 2j= k X j=1 aj 2j+1 2k, as´ ı que cualquiera que sea k, se cumple .a1a2...ak≤x≤.a1a2. . . (ak+1). Vamos a llegar a una contradicci´ on suponiendo que τes diferenciable en x. En ese caso, el l´ ımite l´ ım k→∞ τ(.a1a2. . . (ak+1)) −τ(.a1a2...ak) 2−k debe existir y ser τ0(x). Si definimos por tanto tk=τ(.a1a2. . . (ak+1)) −τ(.a1a2...ak) 2−k, tenemos que (tk)es una sucesi´ on convergente y, en particular, de Cauchy. La relaci´ on entre tkytk+1depende del valor de ak+1. ak+1=0⇒       .a1a2...akak+1=.a1a2...ak .a1a2...ak(ak+1+1) = .a1a2...ak1. Dado que .a1a2...ak1 es el punto medio entre .a1a2...aky .a1a2. . . (ak+1), de (3.19) deducimos que tk+1=tk+1. Por otra parte, ak+1=1⇒       .a1a2...akak+1=.a1a2...ak1 .a1a2...ak(ak+1+1) = .a1a2. . . (ak+1), as´ ı que de (3.20) deducimos que tk+1=tk−1. En conclusi´ on, |tk+1−tk|=1, lo que nos indica que (tk)no puede ser una sucesi´ on de Cauchy. Esto contradice la existencia de τ0(x)y, por tanto, τno es diferenciable en x.  Orden del cociente incremental 59 3.3. Orden del cociente incremental Que la funci´ on de Takagi no sea derivable significa que el cociente τ(x)−τ(y) x−y(3.21) carece de l´ ımite cuando x→y. De hecho, este cociente ni siquiera est´ a acotado. Por ejemplo, tomando x=0 e y=2−Ncon Nnatural tenemos que τ(0) = 0 y τ(2−N) = ∞ X k=0 ϕ(2k·2−N) 2k= N−1 X k=0 2k·2−N 2k=N2−N, pues ϕ(x) = xen [0, 1/2]yϕ(x) = 0 en los enteros. En conclusi´ on,  τ(2−N)−τ(0) 2−N−0 =N, lo que prueba que el cociente (3.21) no est´ a acotado cuando y→x. No obstante, podemos ver que la relaci´ on entre el denominador, 2−N, y el cociente, N, es logar´ ıtmica pues |log 2−N|=Nlog 2. Esto es de hecho “lo peor” que puede suceder para los cocientes, a la vista del siguiente resultado. Teorema 3.7. Existe una constante A >0tal que para todos x,y∈[0, 1]con x ,y es  τ(x)−τ(y) x−y ≤Alog 1 |x−y|!. Demostraci´on. Dados x,y∈[0, 1]con x,y, sea Nel n´ umero natural tal que 2−N≤ |x−y|<2−N+1. Entonces, |τ(x)−τ(y)|= ∞ X k=0 ϕ(2kx)−ϕ(2ky) 2k ≤ N X k=0 |ϕ(2kx)−ϕ(2ky)| 2k+ N X k=N+1 |ϕ(2kx)−ϕ(2ky)| 2k y de las estimaciones |ϕ(2kx)−ϕ(2ky)| ≤        2k|x−y|,k≤N, 1, k>N, deducimos que |τ(x)−τ(y)| ≤ N X k=0 2k|x−y| 2k+ ∞ X k=N+1 1 2k = (N+1)|x−y|+1 2N≤(N+2)|x−y|, 60 3. Continuidad en el sentido de H¨older y diferenciabilidad donde hemos usado que 2−N≤ |x−y|. Como tambi´ en es |x−y|<2−N+1, se tiene que 2N|x−y|< 2 y, en conclusi´ on, Nlog 2 +log |x−y|<log 2. Entonces, N+2<3+1 log 2 log 1 |x−y|!≤Alog 1 |x−y|!, para una constante apropiada A. As´ ı que |τ(x)−τ(y)| ≤ Alog 1 |x−y|!|x−y|.  CAP´ ITULO 4 El teorema de Banach-Mazurkiewicz Vamos a terminar este trabajo viendo en este cap´ ıtulo que la funci´ on de Takagi pertenece a un conjunto “grande” en el espacio de las funciones continuas en el intervalo [0, 1], que representamos por C([0, 1]). 4.1. El teorema de Baire El teorema de las categor´ ıas de Baire tuvo su origen en 1897, cuando Osgood prob´ o que la intersecci´ on de una sucesi´ on de subconjuntos abiertos densos de Res densa en R. Dos a˜ nos despu´ es, Baire se percat´ o de que el mismo resultado segu´ ıa cumpli´ endose para Rny se sirvi´ o de este hecho en su estudio de las funciones que se obtienen como l´ ımites puntuales de sucesiones de funciones continuas (llamadas funciones de la primera clase de Baire). En 1914, Hausdorff extendi´ o el resultado a los espacios completamente metrizables y un poco m´ as tarde, Banach advirti´ o que el mencionado resultado de Osgood y Baire no s´ olo era cierto en Rnsino tambi´ en, con la misma demostraci´ on de Baire, en cualquier espacio m´ etrico completo y en cualquier espacio topol´ ogico de Hausdorfflocalmente compacto, dando de este modo la forma definitiva a lo que conocemos hoy d´ ıa como el teorema de categor´ ıa de Baire para ambas clases de espacios. En an´ alisis, la validez de muchos teoremas importantes depende de la completitud de los sistemas que intervienen. Esto explica la insuficiencia del sistema de los n´ umeros racionales y de la integral de Riemann (por mencionar s´ olo dos de los ejemplos m´ as conocidos) y el ´ exito logrado por sus sustitutos, el sistema de los n´ umeros reales y la integral de Lebesgue. El teorema de las categor´ ıas de Baire en espacios m´ etricos completos es la herramienta b´ asica en este ´ area. Para probar el resultado fundamental de este cap´ ıtulo necesitamos el teorema de las categor´ ıas de Baire. Comenzamos con la siguiente definici´ on. Definici´ on 4.1. Sea X un espacio m´etrico y A ⊂X. Se dice que A es raro (o denso en ninguna parte) en X si su cierre, A, tiene interior vac´ıo. Se dice que A es de primera categor´ıa (o magro) en X si es uni´on numerable de conjuntos raros en X. Se dice que A es de segunda categor´ıa en X si no es de primera categor´ıa. Se dice que A es residual si su complemento es de segunda categor´ıa en X. El teorema de las categor´ ıas de Baire es el siguiente. Teorema 4.2 (Baire).Sea X un espacio m´etrico completo, X ,∅. Entonces X es de segunda categor´ıa. Por tanto, si X= ∞ [ k=1 Ak,Akconjuntos cerrados, Bibliograf´ ıa [1] Abbott, S. Understanding analysis. Springer, 2010. [2] Allaart, C.; Kawamura, K. The Takagi function: a survey. Real Anal. Exchange 37 no. 1, 1–54 (2011/12). [3] Billingsley, P. Van der Waerden’s continuous nowhere dfferentiable function. Amer. Math. Monthly 89, 691. (1982). [4] Cater, F. S. On van der Waerden’s nowhere differentiable function. Amer. Math. Monthly 91 no. 5, 307–308. (1984). [5] Delange, H. Sur la fonction sommatoire de la fonction “somme des chiffres”. Enseignement Math. 21, 31–47 (1975). [6] Gaitan, A.; S´ aenz, R. La funci´on de Takagi. Miscel´ anea Mat. 61, 43–55 (2015/16). [7] Hern´ andez, L. La funci´on de Takagi. Disponible en http://saber.ucv.ve/bitstream/ 123456789/14606/1/Trabajo%20Especial%20de%20Grado%20Luis%20Hern%C3% A1ndez.pdf [8] Hildebrandt, T.H. A simple continuous function with a finite derivative at no point. Amer. Math. Monthly 40, 547-548 (1933). [9] Kahane, J.P. Sur l’exemple, donn´e par m. de Rham, d’une foction continue sans d´eriv´ee. Enseignement Math., 5, 53–57 (1959). [10] Knopp, K. Ein einfaches Verfahren zur Bildung stetiger nirgends differenzierbarer Funktionen. Math. Z. 2, 1–26 (1918). [11] Lagarias, J.; Maddock, Z. Level Sets of the Takagi Function: Local Level Sets. Monatsh. Math. 166, 201-238 (2012). [12] Lipinski, J.S. On zeros of a continuous nowhere differentiable function. Amer. Math. Monthly 73 no. 2, 166–168 (1966). [13] Luque, B. Monstruos no derivables. La funci´on de Takagi y otros ejemplos poco habituales en nuestra educaci´on matem´atica. Investigaci´ on y Ciencia 508, 90-92, enero 2019. [14] Maddock, Z. Properties of the Takagi Function. Disponible en http://citeseerx.ist. psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.324.6728&rep=rep1&type=pdf [15] Oxtoby, J.C. Measure and Category, Springer-Verlag, New York 1971. 70 Bibliograf´ıa [16] de Rham, G. Sur un exemple de fonction continue sans d´eriv´ee. Enseign. Math. 3, 71–72 (1957). [17] Schubert, S. R. On A Function of Van Der Waerden. Amer. Math. Monthly 70, no. 4, 402 (1963). [18] Shidfar, A.; Sabetfakhri, K. On the Continuity of Van Der Waerden’s Function in the Holder Sense. Amer. Math. Monthly 93 no. 5, 375–376. (1986). [19] Takagi, T. A simple example of the continuous function without derivative. Phys.-Math. Soc. Japan 1, 176-177 (1903). [20] Tall, D.O. The Blancmange Function, Continuous Everywhere but Differentiable Nowhere. Math. Gaz. 66, 11-22 (1982). [21] Tall, D.O.; Di Giacomo, S. What do we “see” in geometric pictures? (the case of the blancmange function). Progetto Alice 1, 321-336, 2000. Disponible en https://www.semanticscholar.org/paper/What-do-we-% 22see%22-in-geometric-pictures-(the-case-of-Tall-Giacomo/ 4e459b8b9133606162d4200b2851e7b5007faa14 [22] Tambs-Lyche, R. Une fonction continue sans d´eriv´ee. Enseign. Math. 8, 208–211 (1939/40). [23] Trollope, J.R. An explicit expression for binary digital sums. Math. Mag. 41, 21–25 (1968). [24] de Vito, L. Su un esempio di funzione continua senza derivata. Enseign. Math. 4, 53–57 (1958). [25] van der Waerden, B.L. Ein einfaches Beispiel einer nichtdifferenzierbaren stetigen Funktion. Math. Z. 32, 474–475 (1930).