Comportamiento dinámico de sólidos transversalmente isótropos

XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mee, 3. CONCLUSIONES. En es e abajo se ha p esen ado la solución enso ial y de desplazamien os pa a una g ie a semiin ini a si uada en e un ma e ial elás ico anisó opo y un sólido ígido. Se ha desc i o y aplicado un mé odo -denominado modelo de zona de con ac o -pa a e i a la singula idad oscila o ia en la pun a de la g ie a. Se ha demos ado que inalmen e es e modelo p opo ciona esul ados cong uen es. 4. BIBLIOGRAFIA. ATKINSON, C. (1982) "Toe In e acial C ack wi h a Con ac Zone (an analy ical ea men )". In . J. F ac ., ol 18, pg.161-177. COMNINOU, M. (1977) "The In e acial C ack". J. Appl. Mech., pg.631-636. COMNINOU, M. (1977) "In e acial C ack wi h F ic ion in he Con ac Zone", J. Appl. Mech., pg. 780-781. STROH, A.N., (1958) "Disloca ions and c acks in aniso opic elas ici y". Philos. Mag., ol 3, pg.625-646. 52 1 XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica , , COMPORTAMIENTO DINAMICO DE SOLIDOS TRANSVERSALMENTEISÓTROPOS Sáez, A. y Domínguez, J. Escuela Supe io de Ingenie os. Uni e sidad de Se illa Resumen La o mulación del p oblema dinámico en medios homogéneos y elás icolineales se educe a un conjun o de Ecuaciones In eg ales de Con o no. & as ecuaciones se esuel en numé icamen e, en el dominio de la ecuencia, median e el Mé odo de los Elemen os de Con o no. Pa a ello esul a necesa io el conocimien o de una solución undamen al (i.e., espues a de un medio in ini o a la aplicación de una ca ga concen ada a mónica) que pueda se e icien emen e implemen ada en un p og ama de Elemen os de Con o no. En es e abajo se p esen an esul ados, co espondien es a la di acción de ondas po una ca idad i une sa en un sólido ans e salmen e isó opo, ob enidos empleando la solución undamen al de Wang y Achenb.lch (1995) y las exp esiones asin ó icas de Buchwald (1959) pa a campo lejano. In oducción El análisis de p oblemas dinámicos en sólidos elás ic.olineales es únicamen e abo dable en é minos ge- ne ales median e el empleo de écnicas numé icas. En e es as écnicas, la educción del p oblema a un conjun o de Ecuaciones In eg ales de Con o no (EJC) y su pos e io esolución median e el Mé odo de los Elemen os de Con o no (MEC) se ha mos ado como una al e na i a compe i i a (Domínguez, 1993) en e al más di undido Mé odo de los Elemen os Fini os. En es e sen ido, el MEC esul a especialmen e a ac i o pa a el es udio de p oblemas de di acción de ondas en medios in ini os, ya que an sólo los con o nos in e nos del p oblema ienen que se disc e izados y las condiciones de adiación se sa is acen au omá ic.amen e. Los p oblemas de di acción de ondas juegan un papel cla e en muchas amas de la ingenie ía, ales como el ensayo no des uc i o de componen es mecánicos. A su ez, el desa ollo de nue os ma e iales, undamen almen e los ma e iales compues os o "compos- i es", ha conlle ado la necesidad de conside a leyes de compo amien o no isó opas. La aplicación del MEC pasa po la disposición de una solución undamen al (i.e., campos de mo imien- os y ensiones en un sólido in ini o gene ados po la aplicación de una ca ga pun ual) en una o ma ela- i amen e sencilla, que acili e su implemen ación numé ica. Pe o si bien la solución undamen al isó opa cons i uye un esul ado clásico en elas odinámica ( éase, e.g., Achenbach, 1973), no sucede lo mismo con casos de aniso opía más gene ales, a pesa de la amplia a ención que ha ecibido es e ópico (bas e ci a los abajos de Buchwald (1959), Ligh hill (19GO), Musg a e (1970), Pay on (1983) o Zhu (1992) en e o os). En es e a ículo, se emplea la solución undamen al ;1-D en el dominio de la ecuencia p opues a po Wang y Achenbach (1995) pa a el caso de los ma e iales ans e salmen e isó opos, debidamen e ans o mada pa a pe mi i su e icien e e aluación numé ica (Sáez y Domínguez, 1996). Sin emba go, dicha solución se mues a inadecuada pa a la ob ención de esul ados de campo lejano, po lo que en al caso se p opone la u ilización de las exp esiones asin ó icas ob enidas aquí empleando écnicas desa olladas po Buchwald (1959) y Ligh hill (1960). 53 XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica 2 Ecuaciones básicas de la p opagación de ondas en sólidos ans e salmen e isó opos Sea un cue po n ( de con o no ) elás icolineal, homogéneo y ans e salmen e isó opo, lib e de ue zas de olumen y some ido a una exci ación a mónica de ecuencia w, si bien el é mino exp(-iw ) se sup imi á en el siguien e análisis. Las ecuaciones de Na ie del equilib io dinámico ienen dad as po (1) donde Ui son l as componen es de los desplazamien os, pes la densidad y Cijkl son las cons an es elás icas que elacionan ensiones y de o maciones en la ley de Hooke. Un ma e ial ans e salmen e isó opo se ca ac e iza po p esen a p opiedades simé icas en odos los planos no males a un di ección dada, que escoge emos coinciden e con el eje x3 del sis ema ca esiano global de e e encia. En al caso, la ley de Hooke se exp esa en unción de cinco cons an es elás icas independien es como ª11 Cu C12 C13 oo o cu a22 C12 C11 C13 oo o c22 CT33 C13 C¡3 C33 oo o é33 (2) = <123 oo o C44 oo 2c23 a31 oo oo C44 o 2c31 ª12 oo oo o ( Cu -c l 2) /2 2c12 donde Cij son las cons an es elás icas en no ación condensada: (11)=1; (22)=2; (33)=3; (23)=4. Conside emos a con inuación la exp esión de una onda a mónica plana u (x) = Ud exp {ik (x · n -e (n) )} (3) donde U es la ampli ud escala , des el ec o uni a io que de ine la di ección del mo imien o que el en e de onda deja as de sí, k = w/c es el núme o de onda, n de ine la di ección de p opagación del en e y e (n) es la elocidad de ase asociada a dicha di ección. Al e na i amen e, (3) puede exp esa se en unción de un ec o de e a do s como u (x) = Udexp {iw (x · s - )} Sus i uyendo (3) en las ecuaciones de Na ie (I) se ob iene donde Las soluciones no i iales de (5), i.e. d k =/ O, se ob ienen pa a (4) (5) (6) De es a ecuación, cúbica en pc 2 , se ob ienen es aíces eales posi i as (c;, n=l, 2, 3) dado que, al igual que el enso Cijkl, I'; k es eal, simé ico y de inido posi i o. Los es au o ec o es d asociados a c; son o ogonales en e sí, aunque an sólo uno de ellos esul a pe pendicula a la di ección de p opagación n, es ando as ociado po an o a un desplazamien o pu amen e ans e sal (Tl). En gene al, ninguno de los o os dos au o ec o es esul a á pa alelo o pe pendicula a n, po lo que es a án asociados a desplazamien os cuasi- ans e sales (T2) y cuasi-longi udinales (L) espec i amen e. En la i gu a l(a) se mues a la supe icie de elocidades de ase V, de inida po la ecuación (6), pa a un composi e g a i o- epoxy. 54 XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica ,o• 90' '°' -e -s 121)' -cTl _5T __ ¿, -·S L 150• 30' n 150' T2 -- "':-- ... , ...... I VQ' o· • 180' o• .. ·· ··· .. 210' •, 330" .- : 210· .- 240' 300• no· o· (a) (b) Figu a 1: Sección de la supe icie de (a) elocidades de ase y (b) e a do pa a un composi e g a i o- epoxy Análogamen e, sus i uyendo (4) en las ecuaciones de Na ie (1) ob end emos (7) ob eniéndose así la ecuación de sex o g ado que de ine la denominada supe icie de e a do S. Es a supe i- cie ha jugado adicionalmen e un papel cla e en la eo ía de p opagación de ondas en medios anisó opos. En gene al, S cons a de es hojas, cada una de ellas asociada a una de las aíces c,. de (6). En la igu a l(b) se mues a la supe icie de e a do S pa a un composi e g a i o- epoxy. Las ecuaciones de sex o g ado que de inen V y S es án o madas po la supe posición de las ecuaciones de un elipsoide sepa able as ociado a los mo imien os pu amen e ans e sales (Tl), y una cuá ica de dos hojas asociada a los mo imien os cuasi ans e sales (T2) y cuasilongi udinal es (L). Un es udio más de allado de la p opagación de ondas elás icas en ma e iales ans e salmen e isó opos puede encon a se en los lib os de Musg a e (1970) y Pay on (1983). 3 Fo mulación del p oblema en é minos de EIC. El MEC Sea n un sólido ans e salmen e isó opo de con o no , some ido a condiciones de ca ga a móni ca . La aplicación del eo ema de ecip ocidad en e el es ado elas odinámico bajo es udio y la solución undamen- al cuando la ca ga concen ada se aplica en un pun o"i", en di ección l, da como esul ado la Ecuación In eg al de Con o no (EIC) c k u i + l Tik uk dI' = l U1 k kd (8) que elaciona los desplazamien os en el pun o "i", ui, con los desplazamien os, uk, y l as acciones, k , en el con o no y con los desplazamien os, U k ( desplazamien o en di ección k o iginado po la aplicación de una ca ga pun ual en el pun o "i" en di ección Z), y las acciones, T k , de la solución undamen al en e! con o no . El é mino lib e c) k = 61k cuando "i" es un pun o in e no, c k = O pa a pun os ex e nos y c¡k = 1/261 k pa a pun os si uados sob e un con o no sua e. Las in eg ales en (8) deben en ende se en el sen ido de un Valo P incipal de Cauchy. En casos de geome ía y ca ga gene ales la ecuación (8) sólo pod á se esuel a numé icamen e, y es aquí donde su ge el MEC. A con inuación se esumen las ideas básic.as de es e mé odo. Pa a un a amien o de allado del mismo, puede consul a se el lib o de Domínguez (1993). El con o no se subdi ide en NE elemen os sob e los cuales se in e polan desplazamien os y acciones a pa i de sus -alo es nodales. Así, pa a un elemen o "j" 55 XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica Figu a 2: Geome ia de la es e a unidad y los ec o es x, n y d (9) donde los ec o es ui y i con ienen los alo es de desplazamien os y acciones, espec i amen e, en los nodos del elemen o "j" y es la ma iz de las unciones de o ma. De es a o ma se ob iene la e sión disc e izada de la ecuación (8) como c'u'+ {l, TM}ui = {!,, UM } i {10) en no ación ma icial. Plan eando (10) en odos los nodos del con o no se ob iene el sis ema de ecuaciones algeb aicas Hu=G que jun o con las condiciones de con o no p opo cionan la solución del p oblema. 4 Solución undamen al pa a ma e iales ans e salmen e isó opos (11) En es e a ículo se emplea la solución undamen al ob enida po Wang y Achenbach {1995) median e el uso de la ans o mada de Radon. Dicha solución puede exp esa se como Uu., (x,w) = U¡!(x) + U1 (x,w) {12) donde U11 --+ O cuando w --+ O es una unción egula y U¡l es singula y co esponde a la solución undamen al es á ica. Las acciones sob e una supe icie de no mal ¡ se ob ienen a pa i de las de i adas de los mo imien os median e la ley de Hooke DU1p (x,w) T¡k (x, w) = Cjkpq O 1/j Xq {13) La pa e singula (es á ica) de la solución de Wang y Achenbach {1995) iene exp esada en o ma de una in eg al sob e la ci cun e encia del cí culo unidad de inido en el plano no mal al ec o de posición 56 XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica U¡5k(x) = "1 {A k(d)dL(d) o7 T J l dJ = l donde d es la no mal ex e io al cí culo unidad en su plano. = lxl {14) La pa e egula de la solución iene exp esada en o ma de in eg ales sob e la supe icie de una es e a de adio unidad U{ ., (x ,w) = 1 Bik(n,w)e ik ,,,lnxldS(n) l61 lnl=l m=l (15) donde n es la no mal ex e io a la es e a unidad, k,,. = wc m es el núme o de onda y C.n (m = 1, 2, 3) son las elocidades de as e. L as exp esiones de los núcleosA1k(d) y B1í:(n,w) pueden consul a se en Wang y Achenbach {1995). En la igu a 2 se puede obse a la geome ía de x, n y d. La e aluación numé ica di ec a de las in eg ales en {14) y {15) se mues a cos osa en lo que a iempo de compu ación se e ie e (Wang, Sáez y Achenbach, 1995), po lo que se hace necesa ia la ans o mación de (14) y (1,5) de ca a a su óp ima implemen ación en un código de elemen os de con o no. En Sáez y Domínguez {1996) se p oponen una se ie de simpli icaciones que educen no ablemen e el p oceso de cálculo. Aho a bien, el ca ác e oscila o io del in eg ado en {15) hace que la solución de Wang y Achenbach (199,5) no sea ap opiada pa a la e aluación de la solución undamen al en el campo lejano, siendo és a una aplicación de ex ao dina ia impo ancia en p oblemas de di acción de ondas. Desde el pun o de is a numé ico, la ob ención de un desa ollo asin ó ico de {15) esul a ía cos osa, po lo que en es e abajo se p opone el empleo de las exp esiones asin ó icas de Buchwald (1959), quien aplicó a la el as odinámica el mé odo de es imación asin ó ica de in eg ales de Fou ie desa ollado po Ligh hill (1960). De es a mane a, se ob iene una solución undamen al de campo lejano en la o ma 4 2 N, U1k ,..., l:I ;Í k(s ,w)e;• x{16) donde el suma o io se ex iende a los N s pun os s de la supe icie de e a do S (ecuación (7)) en los que x Y la no mal a la supe icie S son pa alelos y s'· · x > O. Los coe icien es 1 k dependen de ca ac e ís icas geomé icas de la supe icie S ales como su cu a u a de Gauss o su con exidad. Dado que en el caso ans e salmen e isó opo la supe icie de e a do p esen a sime ía de e olución en o no al eje s3, la ob ención de los pun os s'· se simpli ic-11 educiéndose a un p oblema 2-D. Fal a ía po ca ac e iza el núme o de pun os s exis en e en cada caso. Como ya se ha mencionado, la supe icie S se de ine como QL T2 = Ü (17) donde En == O es la ecuación de un elipsoide, de iniendo así una hoja sepa able asociada a los mo imien os pu amen e ans e sales {Tl). Sob e es a hoja sólo pod á exis i un pun o s en el que la no mal al elipsoide sea pa alela a una di ección dada x y s · x > O. Q L , 2 = O es la ecuación de una cuá ica, asociada a los mo imien os cuasilongi udinales (L) y cuasi ans e sales (T2). Pues o que la hoja más in e io de dicha cuá ic.a { Q L) es con exa, sólo pod á exis i sob e ella un pun o del ipo s . En cuan o a la hoja Q 2, pod á o no se con exa dependiendo de las cons an es elás icas del ma e ial, pudiendo xis i en e uno y es pun os del ipo s , ya que una cuá ica no puede p esen a más de ocho pun o de in lexión y adicionalmen e Q L,T2 p esen a sime ías espec o del eje sa y del plano s1-s2. 5 Aplicaciones A con inuación se p esen an los esul ados numé icos co espondien es a la di acción de ondas elás icas po una ca idad es é ica, lib e de acciones supe iciales e inme sa en un sólido ans e salmen e isó opo 57 XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica Figu a 3: Disc e ización de la ca idad: 3 elemen os cuad á icos po oc an e in ini o. El campo de desplazamien os o al se exp esa como la supe posición de un campo inciden e conocido uin y un e.ampo di ac ado us e (18) En es e caso la ep esen ación in eg al del campo o al de desplazamien os adop a la o ma (19) donde e es el con o no de la ca idad. Pa a la solución del p nblema de con o no se ha empleado la solución undamen al de Wang y Achen- bach (1995), mien as que pa a la ob ención ele los e nl ados de campo lejano se ha u ilizado la de Buchwald (19.59). Pa a ca ac e iza las ecuencias en es udio se ha escogido el núme o de onda adimensional akL =aw/cL, donde a es el adio de la ca idad y CL la elocidad de ase de las ondas cuasilongi udinales. La ca idad se ha modelado median e 24 elemen os cuad á icos ( igu a 3). Pa a alida la o mulación an e io men e p opues a se conside a en p ime luga un ma e ial cuasi- isó opo, ele ca ac e ís icas simila es al ace o (en = 320, C33 = 280, c12 = 120, c13 = 150; c44 = 74.5 en GPa y densidad p = 7800 Kg/m3 ). Se conside a como mo imien o inciden e una onda plana longi udinal que iaja en la di ección del eje X3 ele sime ía del ma e ial (n = (0,0, 1)). La solución numé ica ob enida median e el MEC se compa a con la solución analí ica p opues a po Pao y Mow (1973), exis iendo en odos los casos buen acue do en e ambas. Así, en las igu as 4.(a) y 4.(b) se mues an los desplazamien os o ales en di ecciones adial y ci cun e encial, e;pec i amen e, sob e la supe icie de la e.a iciad pa a núme os de onda aKL = 0.4 y aKL = 1.0. Tales esul ados co esponden a una sección de la ca idad po un plano con eniendo al eje X3, ya que p esen an sime ía de e olución en o no a dicho eje. En la igu a 5 se mues a la e olución con el núme o de onda del campo (lejano) di ac ado en dos pun os si uados sob e la di ección X3 de p opagación del en e de onda, con coo denadas X3 = 300a y X3 = -300a. A con inuación se conside a un ma e ial ans e salmen e isó opo, cuyas cons an es elás icas ep e- sen an un composi e g a i o-epoxy (en = 13.92, c33 = 160.7, c1:2 = 6.92, c13 = 6.44; c44 = 7.07 en GPa y densidad p = 1700 Kg/m3 ). A e:,,- e ma e ial co esponden las supe icies de elocidades de ase y e a do de la igu a l. Se conside an dos mo imien os inciden es. El p ime o es de nue o una onda longi udinal en la di ección del eje X3. El segundo co esponde a una onda longi udinal que iaja según la di ección del eje X1 (n = (1,0,0)). En las igu as 6.(a) y 6.(b) se mues an los desplazamien os o ales en di ecciones adial y ci cun e en- cial sob e la supe icie de la ca idad, en una sección que con iene al eje x 3 según el cual incide el en e 58 U/U , lo uo· 121)' 90' 270' (a) XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica U,/U ia · .... uo· o· • X ·< ..... 3 330• 300• ,o• 120· -Pao & Mow (1973) 60' o Quad a ic ,··· 24-0• 300' (b) 30• 330• X 3 Figu a 4: Desplazamien os en di ección (a) adial y (b) ci cun e encial sob e la supe icie de la ca idad. Ma e ial cuasi-isó opo U/U. , "' 180' ,o• 240' no· (a) •.----------------, 3 - -Pao & Mow (1973) o Quad a ic (8 =i ) • Quad a ic (8=0) o.s 0.7 03 .aK L 1.1 l.J 1.5 Figu a 5: Campo di ac ado. Ma e ial cuasi-isó opo j<>Quad a ic 1 U,/U ia ,o• uo· 30' uo· o- •180' X 3 330' 210· 300• zio· (b) 60' l<>Quad alic j · o· • X ) 330• Figu a 6: Desplazamien os en di ección (a) adial y (b) ci cun e encial sob e la supe icie de la ca idad. Onda inciden e según X3. G a i o-epoxy 59 U/U • 111 XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica 16 -----------------, 12 4 ,o.Quad a ic (1 =1 ) -Quad a ic (I =O} =I200a o..__ _ __. __ ......_ __ ..._ ___ ------' 03 0.5 O. 7 0.9 1.1 1.3 1.5 aK Figu a 7: Campo di ac ado. Onda inciden e según X3. G a i o-epoxy !<>Quad a ici 90• 90• iO• 30• l<>Ouad a icj 30• JIIOº l--&-,4i:...4..:.:;;ii;;:;....i - - 0" • ·:-:.:.--. - 1so·l-..¡_ 4!,-..;.¡; +--:---'!--!º º ---• 2,40• 300• ' . •. •' ... ··.¿ •. 210· .• ···· { =- . o . . ··········· . : . - 300• 270• (a) (b) 330" X 1 Figu a 8: Desplazamien os en di ección (a) adial y (b) ci cun e encial sob e la supe icie de la ca idad. Onda inciden e según x1. G a i o-epoxy de onda. Es os esul ados siguen man eniendo la sime ía de e olución en o no al eje x3, ya que el mo imien o inciden e es pu amen e longi udinal. En la igu a 7 se mues a la e olución en ecuencia del campo di ac ado en dos pun os si uados sob e el eje X3 en co as x3 = ±1200a. Las i gu as 8 y 9 co esponden a la onda longi udinal según el eje X1. Así, en 1 igu as 8.(a) Y 8.( ) se pueden obse a los desplazamien os o ales en di ecciones adial y cu cun e enc1al sob e la supe icie de la ca idad pa a núme os de onda al{L = 0.4 y al{L = 1.0, en una sección po el plano x1-x2. Es os esul ados a sólo son simé ico.s espec o del eje x1 y, dado que el plano x1 -x2 es de íso opía, su aspec o esul a muy simila a los ob enidos pa a un ma e ial isó opo. Finalmen e, en la igu a 9 se mues a la e olución con el núme o de onda del campo di ac ado en dos pun os si uados sob e el eje x1 en co as X¡= ±1200a. 6 Conclusiones El p oblema elas odinámico en sólidos ans e salmen e isó opos se ha educido a un conjun o de EIC. Es as ecuaciones se han esuel o median e el MEC en el dominio ele la ecuencia. Pa a ello ha esul ado cla e e alua en la mane a más e icien e posible, la solución undamen al. Aquí se ha empleado la solución de Wang y A 1 chenbach (1995) -debidamen e ans o mada pa a op imiza el iempo de compu ación (Sáez y Domínguez, 1996)- pa a esol e el p oblema de con o no; y las exp esiones asin ó icas de Buchwald (1959) pa a la ob ención de esul ados de campo lejano. 60 XII Cong eso Nacional de Ingenie ía Mecánica ,...----------------- ,o.Quad a ic (,=•) -ouad a ic (;=O) o .._ _ __. __ _._ __ ...._ __ ..__ _ __. __ _. 0.3 0.7 0.9 aK 1.1 Figu a 9: Campo di ac ado. Onda inciden e según x 1 . G a i o-epoxy A modo de aplicación se han p esen ado esul ados pa a la di acción de ondas longi udinales po una ca idad es é ica inme sa en un composi e g a i o-epoxy. O as geome ías y condiciones de con o no pueden es udia se sinn p oblema alguno. Debe insis i se en el g an po encial del MEC en es e ipo de p oblemas: sólo los con o nos in e io es necesi an se modelados y las condiciones ele adiación se sa is acen au omá icamen e. El análisis de ma e iales anisó opos más gene ales ambién se ía posible empleando las soluciones de Wang y Achenbach (1995) y Buchwald (1959). Sin emba go, de nue o esul a ía necesa io ans o ma dichas exp esiones pa a que su implan ación en un código de elemen os de con o no esul ase e icien e. 7 Re e encias Achenbach, J.D. (1973), Wa e P opaga ion in Elas ic Solids, No -Holland, Ams e dam. Buchwald, V.T. (1959), Elas ic Wa es in Aniso opic Media, P oc. Roy. Soc. London, A253, 563-580. Domínguez, J. (1993), Bouncla y Elemen s in Dynamics, CMP and Else ie Appl. Sci., Sou hamp on and London. Ligh hill, M . .J. (1960), S udies on Magne o-Hyd odynamic Wa es and O he Aniso opic Wa e Mo- ions, Phil. T ans. Roy. Soc. London, A252, :397-430. Musg a e, M.J.P. (1970), C ys al Acous ics, Holden-Day Inc., San F ancisco. Pao, Y.-H., Mow, C.-C. (1973), Di ac ion o Elas ic ' Va es in Dynamic S ess Concen a ions, C ane- Russak, New Yo k. Pay on, R.G. 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