Las raíces bohemias de Bolzano

Las aíces bohemias de Bolzano Raúl Manuel Falcón Gan o nina1 [email p o ec ed] Resumen Las dis in as he amien as que o ece GeoGeb a pueden se ap o echadas a la ho a de abo da de una o ma isual y dinámica p oblemas no necesa iamen e geomé icos, como pueden se po ejemplo los inculados al análisis de unciones. A a és de un iaje po la His o ia que comienza con los esul ados del bohemio Be na d Bolzano (1781-1848), se mos a án di e en es écnicas a la ho a de calcula las aíces de una unción con inua, así como el á ea ence ada po su g á ica. Di e sos mé odos numé icos y p obabilís icos se án pues isualizados de una o ma dinámica, con is as a acili a al alumnado la asimilación de concep os adicionalmen e inculados a una enseñanza eó ico-algo í mica. Abs ac The se o ools o GeoGeb a can be used o s udy, om a isual and dynamical poin o iew, non-geome ical p oblems as, o ins ance, hose ocused on calculus. A jou ney h ough His o y which s a s wi h he esul s o he bohemian Be na d Bolzano (1781- 1848) will show se e al echniques o be used in o de o ob ain he oo s o a con inuous unc ion and he a ea bounded by i s g aph. Se e al nume ical and p obabilis ic me hods will be s udied in o de o make s uden s easie o assimila e concep s which a e adi ionally ela ed wi h a heo e ical and algo i hmic lea ning. 1. In oducción. Be na d Placidus Johann Nepomuk Bolzano nació en 1781 en P aga, capi al de la egión de Bohemia. Filóso o, eólogo y ma emá ico, en 1817 esc ibe su a ado “Rein analy ische …” (Bolzano, 1817), donde plan ea el siguien e esul ado: “Dadas dos unciones con inuas y g en un in e alo ce ado [a,b] al que (a)< g(a) y (b) > g(b), exis e al menos un alo c en el in e alo abie o (a,b) al que (c) = g(c)”. Como consecuencia, se ob iene el conocido eo ema que lle a su nomb e: “Si es una unción con inua en un in e alo ce ado [a,b] al que (a) · (b) < 0, en onces exis e al menos un alo c en el in e alo abie o (a,b) al que (c) = 0”. El alo c es pues una posible aíz de la unción y el Teo ema de Bolzano se con ie e de o ma inmedia a en la base del es udio de las aíces de unciones con inuas. Visualmen e, ambos esul ados son áciles de ep esen a , pues la con inuidad suele ca ac e iza se como la g á ica de una unción que esul a al uni dos pun os de la !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1!ETS de Ingenie ía de Edi icación. Dp o. de Ma emá ica Aplicada I. Uni e sidad de Se illa.! misma, sin le an a el lápiz del papel. En el caso de GeoGeb a, bas a ía pues Ac i a el T azo de algún pun o (Fig. 1) pa a isualiza ambos eo emas. Figu a 1: Rep esen ación del Teo ema del Valo Medio y del Teo ema de Bolzano en GeoGeb a, mo iendo di ec amen e pun os que ienen ac i ados sus as os. No malmen e, cuando se plan ea el Teo ema de Bolzano al alumnado, és e suele uni ambos pun os dando luga a una única aíz. Cuando se p egun a si pueden exis i más aíces, suele dibuja una g á ica con un núme o impa de aíces (Fig. 2, izquie da). La consul a sob e la exis encia de un núme o pa de aíces suele cos a más abajo, pe o inalmen e se alcanza una ep esen ación del ipo mos ado a la de echa en la Figu a 2, donde una aíz se consigue sea un máximo o un mínimo de la unción. Figu a 2: Núme o impa y “pa ” de aíces. Realmen e exis e un núme o impa de aíces, pues o que la aíz que hace angen e a la g á ica con el eje OX es doble, ya que, al se un mínimo de la unción, ambién es aíz de su unción de i ada. Pa a analiza es e hecho, ijamos sob e el eje OX los dos pun os donde se encuen an el mínimo y el máximo de la g á ica. Dado que la de i ada de la unción debe anula se en dichos alo es, de inimos la unción (x) = - (x-x(P)) (x-x(Q)), donde el signo nega i o ajus a el c ecimien o de la aza. F = In eg al[ ] se ía en onces una p imi i a de , cuyo mínimo se ajus a de iniendo la unción g(x)=F(x)-F(x(P)). Un mejo ajus e se puede log a haciendo uso de un deslizado que sea ac o mul iplicado sob e g. La unción esul an e es un polinomio de g ado 3, que cons a pues de es aíces, a endiendo al Teo ema Fundamen al del Álgeb a, p obado po p ime a ez de o ma cons uc i a po Ka l Weie s ass (1815- 1897) en 1891, quien es ableció de hecho los concep os ac uales de lími e, con inuidad y de i abilidad. En conc e o, cabe obse a que ue Weie s ass el p ime o en p oba el eo ema de Bolzano y es po ello que ealmen e dicho esul ado se es ablece con el nomb e de Teo ema de Bolzano-Weie s ass. 2. Raíces bohemias. Cabe des aca el hecho de que GeoGeb a no abaja po aho a con un mo o de cálculo simbólico, sino que lo hace con algo i mos y mé odos numé icos. Es a ci cuns ancia queda pa en e a la ho a de ob ene las aíces de una unción con inua. Si bien GeoGeb a posibili a ob ene dichas aíces a pa i de la in e sección de su g á ica con el eje OX, esul a que, dependiendo de la unción, a eces es necesa io ealiza la in e sección en zonas ce canas a la aíz, como puede se el caso po ejemplo de (x) = sin(x), p ocedimien o a eces complejo, como puede comp oba se con la unción (x) = x/sin(x) – 10. Si bien es e hecho llama ya la a ención, la so p esa llega cuando modi icamos las opciones del p og ama pa a log a el máximo edondeo de 15 ci as decimales: la in e sección no es exac a (Fig. 3, izquie da). Más aún, si ol emos a in en a la in e sección, esul an nue os alo es cada ez, con la cu iosidad añadida de que algunas eces se ob iene el alo simbólico de π (Fig. 3, de echa). Figu a 3: Ap oximación numé ica de aices ealizada po GeoGeb a. ¿De qué depende es e hecho? ¿Po qué apa ece es e compo amien o bohemio en las aíces de la unción? E iden emen e, pa a log a esponde de o ma exac a a es as cues iones hab ía que analiza el código del p og ama, que, po o a pa e, es abie o y pe mi e po an o su es udio. Sin emba go, esul a in e esan e analiza el p oblema de o ma gené ica. Indudablemen e, a la ho a de ealiza las in e secciones, es muy complicado pincha dos eces consecu i as en el mismo píxel, po lo que pod íamos conje u a que los pun os que se seleccionan con el a ón son de e minan es en el p oceso de calcula la aíz. Es e hecho se co obo a cuando en luga de hace clic sob e la g á ica, se ealiza la in e sección de la unción (x) = sin(x) e y = 0 en la is a algeb aica de GeoGeb a. De o ma in a ian e se ob iene siemp e el mismo alo , sal o que se desplace la is a g á ica, momen o a pa i del cual uel e a epe i se un nue o alo . Es e ca ác e ap oxima i o y apa en emen e alea o io suele despe a el in e és al alumnado hacia los mé odos numé icos de ob ención de aíces. 3. Mé odos numé icos pa a ap oxima el alo de una aíz. El p ime paso es aisla la aíz a es udia , imponiendo la inexis encia de máximos o mínimos en el in e alo [a,b], al combina el Teo ema de Bolzano- Weie s ass con el Teo ema de Michel Rolle (1652 – 1719): “Si es una unción con inua en un in e alo [a,b] y di e enciable en (a,b), con de i ada con inua, al que (a) = (b), en onces exis e al menos un alo c en el in e alo abie o (a,b) al que ’(c) = 0”. Como co ola io esul a el siguien e esul ado: “Si es una unción con inua en [a,b], di e enciable en (a,b), con de i ada con inua, al que (a)· (b)<0 y ‘ (x) ≠ 0 pa a odo x en (a,b), exis e en onces exac amen e una única aíz de en (a,b)”. Una ez aislada una aíz de la unción, exis en di e sos mé odos i e a i os que pe mi en i ap oximándonos a dicha aíz y que, po su base geomé ica, pueden ep esen a se ácilmen e en GeoGeb a, conjun amen e a su pa e analí ica. En e dichos mé odos des acan los mé odos ce ados de la bisección, de la secan e y de Regula Falsi y los mé odos abie os de New on y del pun o ijo (Fig. 4). En es e úl imo, el p oceso i e a i o pe mi e isualiza la con e gencia o di e gencia del mismo, dependiendo del cumplimien o de las condiciones necesa ias pa a ello. En conc e o, el es udian e comp ueba isualmen e la ap oximación en o ma de espi al a la aíz de la unción a es udia . La comp ensión de los concep os u ilizados mejo a a a és de es e p oceso ac i o y isual que complemen a el desa ollo analí ico lle ado a cabo habi ualmen e. Figu a 4: Mé odo del pun o Fijo en GeoGeb a. 4. In eg ación numé ica y p obabilís ica. El mo o de cálculo de GeoGeb a ambién puede se u ilizado pa a in oduci la in eg ación numé ica. Se puede comp oba po ejemplo que el p og ama no calcula la in eg al inde inida de la unción (x) = exp(-x2), si bien sí mues a la in eg al de inida de dicha unción en e un pa de alo es dados. Es e hecho jus i ica la p esen ación de mé odos numé icos, como apecios, Simpson o Simpson compues o, cuya base geomé ica además posibili a una ep esen ación dinámica en GeoGeb a (Fig. 5). Figu a 5: In eg ación numé ica en GeoGeb a. GeoGeb a iene inco po ada la unción andom( ) que gene a un núme o alea o io en e 0 y 1. Una de las aplicaciones de es e comando es el cálculo ap oximado de á eas haciendo uso del Mé odo de Mon e Ca lo (Fig. 6). Figu a 6: Cálculo ap oximado de á ea usando el Mé odo de Mon e Ca lo. 5. Conclusiones. En el p esen e abajo se ha comp obado que las he amien as geomé icas de GeoGeb a posibili an isualiza de una o ma in ui i a mé odos numé icos que habi ualmen e son esuel os en el aula únicamen e a ni el analí ico. La p opia p og amación in e na de es e so wa e hace e al alumnado la necesidad e impo ancia de dichos mé odos. Re e encias Be na d Bolzano (1817): Rein analy ische Beweis des Leh sa zes, daß zwischen je zwey We hen, die einen gegengese z es Resul a gewäh en, wenigs ens eine eelle Wu zel de Gleichung liege.