Una bifurcación global de órbitas periódicas en sistemas dinámicos a trozos

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Una Bifurcaci´on Global de ´ Orbitas Peri´odicas en Sistemas Din´amicos Lineales a Trozos V. Carmona1, E. Ponce1, J. Ros1 1Dpto. de Matem´atica Aplicada II, Univ. de Sevilla. e-mail [email protected], [email protected], [email protected]. Palabras clave: Sistemas lineales a trozos, ´orbitas peri´odicas, bifurcaci´on global Resumen Presentamos en esta comunicaci´on, en primer lugar, un mecanismo para explicar la aparici´on de un ciclo l´ımite bizonal en un circuito en puente de Wien polarizado de forma asim´etrica modelado mediante funciones lineales a trozos. Damos expresiones para la amplitud y el periodo de la oscilaci´on bizonal y las comparamos con las obtenidas experimentalmente. Seguidamente, mostramos, modificando el valor de una resistencia en el circuito, la continuaci´on del ciclo l´ımite bizonal cuando ocupa las tres zonas de linealidad. El ciclo l´ımite contin´ua existiendo hasta un determinado valor de la resistencia. En ese momento, desaparece con amplitud finita y periodo infinito debido a una bifurcaci´on de car´acter global que ocurre cuando el ´unico punto de equilibrio est´a sobre una de las l´ıneas de separaci´on. 1. Introducci´on Frente al uso habitual de aproximaciones lineales en el estudio de problemas en ingenier´ıa, es cada vez m´as patente la necesidad de recurrir a modelos no lineales para dar una explicaci´on rigurosa de la complejidad din´amica que presentan los sistemas f´ısicos en la pr´actica. En este sentido, el an´alisis de sistemas no lineales ha recibido un fuerte impulso en los ´ultimos decenios gracias, entre otras disciplinas, a la consolidaci´on de la moderna teor´ıa geom´etrica y de bifurcaciones de sistemas din´amicos. Uno de los osciladores electr´onicos m´as comunes, ´util para una gran gama de frecuencias, es el oscilador en puente de Wien. Debe su nombre al f´ısico alem´an M. Wien que lo invent´o en 1891. Se trata de un sistema que presenta simetr´ıa al cambio de signo de sus variables de estado. Aqu´ı estudiaremos una variante sin simetr´ıa, tal como se muestra en la Figura 1. Fue implementado con ´exito, desde el punto de vista oscilatorio, por Bill Hewlett 1 V. Carmona, E. Ponce, J. Ros C2Rs R1 R2 C1 Rf Vo + + - - + - + - EB Figura 1: Esquema del circuito electr´onico puente de Wien asim´etrico. y Dave Packard (fundadores de HP) en 1939, siendo el primer producto comercializado por la multinacional HP bajo el nombre HP200A. Aplicando las leyes de Kirchhoff al circuito de la Figura 1 obtenemos las ecuaciones R1C1˙ VC1=−VC1−VC2+V0, C1˙ VC1−C2˙ VC2=VC2−EB R2 (1) donde, las variables de estado VC1yVC2son las tensiones en los condensadores C1y C2, mientras que V0=f(VC2) es la tensi´on de salida del amplificador operacional y ˙ Vdenota la derivada con respecto a la variable temporal s. Se han formulado diversas propuestas para modelar la no linealidad del amplificador operacional. En [11] se considera la funci´on diferenciable V0=f(VC2) = 2E πarctan ³πα 2EVC2´, donde Ees el voltaje de saturaci´on del amplificador operacional y α= 1 + Rf Rses la ganancia del circuito equivalente al amplificador operacional. Otro modelo es el lineal a trozos propuesto por Kriegsmann en [9] basado en la formulaci´on V0=f(VC2) = ½Esgn (αVC2−E) , si |αVC2|> E, αVC2, si |αVC2| ≤ E. Esta formulaci´on es la que se considera en este trabajo por ser la que se ajusta m´as fielmente al comportamiento real del circuito. Realizando en (1) el reescalado x1=VC2/E, x2=VC1/E y teniendo en cuenta que 1 EfµE αx1¶= sat (x1) := ½sgn(x) si |x|>1, xsi |x|⩽1, llegamos al sistema no sim´etrico lineal a trozos con tres zonas ˙x=Ã−³1 R1C2+1 R2C2´−1 R1C2 −1 R1C1−1 R1C1!x+µα R1C2 α R1C1¶sat (x1) + µα R2C2 EB E 0¶.(2) En lo que sigue pretendemos analizar la existencia de ciclos l´ımite en el sistema (2). En primer lugar, nos centraremos en las oscilaciones bizonales, dando expresiones para la amplitud y periodo del ciclo l´ımite resultante. Para ello, la segunda secci´on de este 2 Bifurcaci´on Global de ´ Orbitas Peri´odicas en Sistemas Lineales a Trozos trabajo est´a dedicada al estudio de los sistemas lineales a trozos con dos zonas y al an´alisis de la bifurcaci´on foco-centro-ciclo l´ımite. Utilizando la teor´ıa desarrollada en la segunda secci´on justificaremos, en la tercera, el nacimiento de la oscilaci´on bizonal en el circuito, dando expresiones para la amplitud y el periodo de esta oscilaci´on. En la ´ultima secci´on, mostramos, modificando el valor de una resistencia en el circuito, la continuaci´on del ciclo l´ımite bizonal cuando ocupa las tres zonas de linealidad. Entonces, las expresiones de amplitud y periodo obtenidas dejan de tener validez, aunque el ciclo l´ımite contin´ua existiendo hasta un determinado valor de la resistencia. En ese momento, el ciclo l´ımite desaparece, debido a una bifurcaci´on de car´acter global que ocurre cuando el ´unico punto de equilibrio del sistema est´a sobre una de las l´ıneas de separaci´on entre las diferentes regiones lineales. Para este valor de la resistencia, el punto de equilibrio es globalmente atractivo, no estable, y el sistema posee un continuo de homoclinas, lo que explica la desaparici´on del ciclo l´ımite con amplitud finita y periodo infinito. 2. Sistemas lineales a trozos con dos zonas de linealidad Realizaremos en esta secci´on un breve repaso sobre las formas m´as simple de escribir (formas can´onicas) las ecuaciones de los sistemas continuos lineales bizonales. Tambi´en daremos a conocer aquellos resultados que predicen la existencia de un ´unico ciclo l´ımite asint´oticamente estable, proporcionando expresiones anal´ıticas para la amplitud y el periodo del ciclo l´ımite. Comenzamos recordando que, sin p´erdida de generalidad, cualquier sistema din´amico continuo lineal a trozos plano con dos zonas puede escribirse en la forma: ˙x =½B1x+csi x1≤0 B2x+csi x1>0(3) donde x= (x1, x2)T,c∈R2y las matrices B1,B2comparten sus dos ´ultimos columnas. Ahora presentamos una de las formas can´onicas m´as comunes para los sistemas bizonales. La prueba del siguiente resultado puede verse, por ejemplo, en [3]. Teorema 1 Si las primeras componentes de las segundas columnas de las matrices B1y B2son no nulas, entonces existe un cambio lineal de variables que transforma el sistema (3) en la forma can´onica de Li´enard ˙x =           µt−1 d0¶x+µ0 a¶si x1≤0 µT−1 D0¶x+µ0 a¶si x1>0 a∈ {−1,0,1}.(4) La hip´otesis requerida en el Teorema 1 garantiza, desde el punto de vista de la teor´ıa de control (ver [1] y [2]), la observabilidad del sistema (3). Observemos que, fijado el signo de aen la forma can´onica (4), el sistema lineal a trozos con dos zonas queda definido a partir de los cuatro par´ametros T,D,tyd(trazas y determinantes de las matrices que definen al sistema). No obstante, si el signo de alguno de ´estos est´a determinado, a´un podemos reducir el n´umero de par´ametros. En el siguiente 3 V. Carmona, E. Ponce, J. Ros resultado suponemos que el signo de Des conocido y con ayuda de un reescalado en el tiempo, y un cambio lineal de variable conseguimos eliminar dicho par´ametro. Adem´as, es directo ver que el sistema (4) posee un ´unico punto de equilibrio si y s´olo si D·d > 0. Proposici´on 2 Supongamos que D > 0. Entonces, realizando un adecuado reescalado en el tiempo y un cambio lineal de variables, el sistema (4) puede reescribirse en la forma: ˙x =           µt−1 d0¶x+µ0 a¶, si x1≤0 µT−1 1 0 ¶x+µ0 a¶, si x1>0 a∈ {−1,0,1}.(5) El sistema (5) siempre tiene un punto de equilibrio (¯x1,¯x2) = (1, T ). Tendr´a un segundo punto de equilibrio (¯x1,¯x2) = ¡1 d,t d¢si d < 0. A continuaci´on, presentamos un resultado que caracteriza la existencia de ciclos l´ımite en el sistema (5). Nos remitimos a los trabajos [2], [6] o [12] para lectura de su demostraci´on. S´olo presentamos el caso a < 0, pero obviamente un cambio natural permitir´ıa dar el resultado para a > 0. N´otese que si a= 0, entonces (5) no posee ciclos l´ımite. Teorema 3 Si d > 0,a=−1,t < 0,T > 0, entonces (5) posee ciclos l´ımite si y s´olo si t2/d > T yT < 2. Adem´as, el ciclo l´ımite es ´unico y asint´oticamente estable. El Teorema 3 proporciona las condiciones para la existencia de una oscilaci´on estable, pero no contempla la explicaci´on del por qu´e de la aparici´on del ciclo l´ımite estable (es decir, de la oscilaci´on). Nosotros intentaremos explicar en las siguientes p´aginas uno de los mecanismos que justifican la aparici´on del ciclo l´ımite estable. Puesto que los resultados que a continuaci´on se ir´an enunciado tendr´an su aplicaci´on directa sobre las ecuaciones que modelan nuestro circuito en puente de Wien, realizaremos algunos cambios adecuados en el sistema (5) para que la aplicaci´on de los resultados al circuito se realice de la forma m´as directa posible. Realizaremos el conveniente cambio de variables para trasladar la recta de separaci´on x1= 0 a la de ecuaci´on x1=−1 y el punto de equilibrio del sistema al origen. Proposici´on 4 Supongamos que a=−1para el sistema (5). Entonces, existe un cambio de variables que transforma al sistema (5) en la forma: ˙x =           µt−1 d0¶µ x1 x2¶+µt−T d−1¶si x1≤ −1 µT−1 1 0 ¶µ x1 x2¶si x1>−1 (6) As´ı, es directo observar que el punto de equilibrio es estable si T≤0(asint´oticamente estable si T < 0) e inestable si T > 0. Adem´as, el punto de equilibrio es un foco si y s´olo si T2−4<0 y T6= 0; y es un centro cuando T= 0. Si ahora suponemos que |T|<2, entonces T2−4<0 y el origen es un foco o un centro. Si adem´as T < 0, entonces nos encontramos con un foco asint´oticamente estable. 4 Bifurcaci´on Global de ´ Orbitas Peri´odicas en Sistemas Lineales a Trozos Cuando T= 0, el foco se convierte en un centro (estable, pero no asint´oticamente estable) y al pasar a T > 0 el origen es un foco inestable (el punto de equilibrio ha perdido la estabilidad). As´ı, nos encontramos con una bifurcaci´on en T= 0 y por tanto, con un cambio cualitativo en la din´amica del sistema. Si suponemos que |T|es suficientemente peque˜no, entonces, cuando T > 0, el Teorema 3 garantiza la existencia de una ´orbita peri´odica aislada asint´oticamente estable, pues T2−4<0yt/d > T 2. Este ciclo l´ımite nace de la ´ultima ´orbita peri´odica de centro lineal que es tangente a la recta de separaci´on x1=−1. Se conoce, por tanto, esta bifurcaci´on con el nombre de foco-centro-ciclo l´ımite y ha sido explotada con ´exito en sistema planos trizonales con simetr´ıa [7], tridimensionales trizonales con simetr´ıa (ver [8]) y en sistemas tridimensionales con dos zonas (ver [4]). La existencia del ciclo l´ımite est´a garantizada por el Teorema 3, pero su nacimiento desde la ´orbita peri´odica tangente a la recta x1=−1 cuando T= 0 requiere el uso y an´alisis de las denominadas ecuaciones de cierre. Supongamos que el ciclo l´ımite existente interseca a la recta de separaci´on en los puntos (−1, y0) y (−1, y1) con y1> y0. Entonces, la soluci´on del sistema lineal homog´eneo de la zona derecha con condici´on inicial (−1, y0)T alcanzar´a en un tiempo s1el punto (−1, y1). Es decir, exp ·µ T−1 1 0 ¶s1¸µ 1 y0¶=µ1 y1¶(7) De forma an´aloga, la soluci´on del sistema lineal en la zona derecha con condici´on inicial (−1, y1)Tdeber´a alcanzar el punto (−1, y0) en un tiempo s2. As´ı, exp ·µ t−1 d0¶s2¸µ −1 d y1−t d+T¶=µ−1 d y0−t d+T¶(8) Las ecuaciones (7)-(8) conforman las denominadas ecuaciones de cierre. Sus soluciones, cuando se imponen algunas condiciones naturales nos proporcionan las orbitas periodicas bizonales del sistema (6). Para la resoluci´on de las ecuaciones de cierre (7)-(8) se aplica, despu´es de una adecuada simplificaci´on, el Teorema de la Funci´on Impl´ıcita. Para ello, se toman como incognitas las variables (T, s1, y0, s0, y1) y se comprueba trivialmente que (0,2π, 0,0,0) es una soluci´on de las ecuaciones de cierre, que corresponde a la ´orbita peri´odica m´as externa del centro lineal tangente a la recta de separaci´on x1=−1. Se puede probar que al mover Thacia valores T > 0 aparece una rama de soluciones de las ecuaciones de cierre que parten del punto (0,2π, 0,0,0) y que se corresponden con ciclos l´ımites del sistema (6). Por este motivo, se dice que el ciclo l´ımite nace de la ´orbita peri´odica m´as externa del centro lineal. Enunciamos estas consecuencias en el siguiente resultado que resume algunas ya dadas. Teorema 5 Asumamos que t < 0,d > 0,|T|<2. Entonces: (a) El origen es el ´unico punto de equilibrio del sistema (6). (b) Si T < 0, el origen es un equilibrio globalmente asint´oticamente estable de (6). (c) Si T= 0, el sistema (6) posee una configuraci´on de centro lineal restringido a la zona x1≥ −1. De la ´orbita peri´odica m´as externa de este centro surge un ciclo l´ımite para 5 V. Carmona, E. Ponce, J. Ros T > 0suficientemente peque˜no que continua existiendo si 0< T < m´ın n2,−t √do. La amplitud A(medida como el m´aximo de x1) y el periodo Ptienen los siguientes desarrollos en serie de potencias de T1 3: A= 1 + (12π)2 3 8t2 3 T2/3+(12π4)1 3(75+24d+28t2) 480t4 3 T4/3+(12π)2 3 12t5 3 T5/3+··· P= 2π+π(d−1) tT−(122π5)1 3[(d−1)2+t2] 10t5 3 T5/3+··· 3. Oscilaci´on bizonal para el circuito: expresiones de la amplitud y el periodo. En esta secci´on analizaremos la oscilaci´on bizonal en el circuito de la Figura 1. Para ello, necesitamos realizar unos adecuados cambios de variables en el sistema de ecuaciones (2). La idea es considerar que el circuito es bizonal y escribirlo en la forma (6) para aplicar el Teorema 5. El cambio de variables u1=x1, u2=x2 R1C2−x1 R1C1−αEB R2C2Etransforma (2) en µ˙u1 ˙u2¶=µ−t−1 d0¶µ u1 u2¶+µα R1C2 0¶sat (u1) + µ0 −α R1R2C1C2 EB E¶(9) donde t=1 R1C1 +1 R1C2 +1 R2C2 yd=1 R1R2C1C2 . Para asegurar que el punto de equilibrio del sistema (9) se encuentra en la zona central y m´as cerca de la frontera izquierda debemos imponer −1< αEB/E < 0. Ahora bien, puesto que el fen´omeno que queremos analizar inicialmente s´olo involucra a las zonas central e izquierda, podemos suponer que el comportamiento del circuito es bizonal y la frontera de linealidad es la recta u1=−1. El siguiente cambio de variables τ=√ds, x1=Eu1−αEB E+αEB , x2=1 √d u2−t+α R1C1−αEB R2C2E 1 + αEB E−t+α R1C2 √d transforma el sistema (9), restringido a las zonas izquierda y central, en el sistema dx dτ =                Ã−t √d−1 1 0 !µx1 x2¶+Ã−α √dR1C2 0!si x1≤ −1 Ã−t+α R1C2 √d−1 1 0 !µx1 x2¶si x1>−1 (10) La condici´on de bifurcaci´on para el sistema (10) es Rf=Rs³C2 C1+R1 R2´. Si ahora elegimos el amplificador operacional LF412CN con una alimentaci´on de 9 voltios, de manera que el voltaje de saturaci´on es E= 8,2 voltios, y EB=−1V, R1=R2= 2,2 kΩ, C1=C2= 320 kpF, Rs= 9,78 kΩ, entonces el valor cr´ıtico de bifurcaci´on es Rf= 6 Bifurcaci´on Global de ´ Orbitas Peri´odicas en Sistemas Lineales a Trozos 19560 Ω. Por tanto, la aplicaci´on del Teorema 5 nos asegura la aparici´on en el circuito de una oscilaci´on peri´odica bizonal automantenida para valores de la resistencia Rfsuperiores al valor cr´ıtico y suficientemente cercanos a ´el. Adem´as, teniendo en cuenta los cambios anteriores es posible dar expresiones para la amplitud y periodo de esta oscilaci´on. En la Figura 2 se muestra la amplitud y el periodo de la oscilaci´on con dos y tres t´erminos no nulos de las series y su comparaci´on con los datos experimentales medidos en el laboratorio. De las dos gr´aficas expuestas queda patente la bondad del modelo lineal a trozos elegido y la aproximaci´on de las series obtenidas. Evidentemente, nuestros c´alculos y conclusiones son v´alidas porque la oscilaci´on no invade la tercera zona de linealidad. 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 x 104 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 Rf (Ohmios) Amplitud (Voltios) 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 x 104 0.0275 0.028 0.0285 0.029 0.0295 0.03 0.0305 0.031 0.0315 0.032 Rf (Ohmios) Periodo (Seg.) Figura 2: Amplitud y periodo de la oscilaci´on peri´odica al variar Rf. Se muestra la comparaci´on entre los resultados experimentales medidos en el laboratorio (x x x), y los resultados cuando se toman s´olo dos (- - -) o tres (· · ·) t´erminos no nulos de las series obtenidas. 4. Oscilaci´on en las tres zonas y bifurcaci´on global La bifurcaci´on foco-centro-ciclo l´ımite presentada en el Teorema 5 justifica el nacimiento de la oscilaci´on peri´odica en el circuito viviendo en las zonas izquierda y central. Hemos observado que al aumentar el par´ametro de bifurcaci´on Rfel ciclo l´ımite aumenta de tama˜no, llegando a invadir la zona derecha de linealidad. Esto sucede para Rf≃24,8 kΩ, por lo que a partir de este valor las expresiones de amplitud y periodo obtenidas dejan de tener validez. Si seguimos aumentando el par´ametro de bifurcaci´on, la oscilaci´on continua ocupando las tres zonas de linealidad y el punto de equilibrio del sistema pasa de foco a nodo para Rf= 39,12 kΩ, siguiendo en la zona central y movi´endose hacia la frontera izquierda. En la simulaci´on realizada se observa la desaparici´on de la oscilaci´on para Rf≃69,7 kΩ con amplitud finita y periodo infinito. Este comportamiento puede asociarse al cambio de estabilidad del equilibrio y, en este caso, dicho cambio sucede cuando el punto de equilibrio toca la frontera izquierda. En el modelo matem´atico este fen´omeno se produce cuando se satisface la condici´on E+αEB= 0, lo que nos lleva a predecir el valor Rf= 70,416 kΩ y esto confirma la precisi´on del modelo lineal a trozos adoptado. La desaparici´on de la ´orbita peri´odica est´a relacionada con una bifurcaci´on de caracter global asociada a una de las denominadas boundary equilibrium bifurcations (ver [5]). En este caso particular, el punto de equilibrio es globalmente atractivo, no estable, y el sistema posee un continuo de homoclinas asociadas al punto de equilibrio. Naturalmente, 7 V. Carmona, E. Ponce, J. Ros esto explica la desaparici´on del ciclo l´ımite con amplitud finita y periodo infinito. En la Figura 3 hemos representado algunas de las ´orbitas del sistema adimensional cuando el punto de equilibrio se encuentra en la frontera. Figura 3: Retrato de fases del sistema cuando el equilibrio est´a en una frontera. Agradecimientos Los autores est´an parcialmente financiados por el proyecto MTM2006-00847 del Ministerio de Educaci´on y Ciencia y por el proyecto EXC/2005/FQM-872 de la Junta de Andaluc´ıa. Referencias [1] S. Barnet y R.G. Cameron, Introduction to Mathematical Control Theory, Oxford University Press, New York, 1985. [2] Carmona, V. [2002] Bifurcaciones en Sistemas Din´amicos Lineales a Trozos. Tesis Doctoral. Universidad de Sevilla [3] Carmona, V., Freire, E., Ponce, E. & Torres, F. (2002) On Simplifying and Classifying Piecewise Linear Systems. IEEE Trans. Circuits Systems I Fund. Theory Appl., 49, 609–620. [4] Carmona, V., Freire, E., Ponce, E., Ros, J. and F. 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