Estimación de la función de distribución sobre poblaciones finitas mediante diseños muestrales bietápicos apropiados

Q¨ UESTII´ O, ol. 26, 1-2, p. 87-108, 2002 ESTIMACI ´ ON DE LA FUNCI ´ ON DE DISTRIBUCI ´ ON SOBRE POBLACIONES FINITAS MEDIANTE DISE˜ NOS MUESTRALES BIET´ APICOS APROPIADOS J. A. MAYOR GALLEGO M. MART´ INEZ BLANES Uni e sidad de Se illa  Con el obje o de es ima la unci´ on de dis ibuci´ on de una a iable de es- udio sob e una poblaci´ on ini a, se p opone en es e abajo emplea el es- imado de Ho i z-Thompson, lo que p opo ciona una es a egia mues al insesgada, siendo la a ianza de dicho es imado una unci ´ on eal de a- iable eal cuya minimizaci´ on pe mi e ob ene dise˜ nos mues ales ´ op imos bajo di e en es c i e ios. En es e abajo empleamos la no ma  1como c i e io de op imizaci´ on, minimizando la no ma de la a ianza, como unci´ on de la ma iz del di- se˜ no mues al. De es a o ma, suponiendomues eo po conglome adosen dos e apas y conside ando como dominio de b ´ usqueda el conjun o de los dise˜ nos mues ales de ipo uni o me, en el sen ido de se iguales las p oba- bilidades de inclusi´ on de p ime o den, se es udia la ob enci´ on de dise˜ nos mues ales adecuados pa a dicha es imaci´ on. Es ima ing dis ibu ions unc ions using app op ia e sampling designs in wo s age clus e sampling Palab as cla e: Mues eo, poblaciones ini as, dise˜no mues al, unci´on de dis ibuci´on, conglome ados Clasi icaci´ on AMS (MSC 2000): 62D05 *Dp o. de Es ad´ıs ica e In es igaci´on Ope a i a. Uni e sidad de Se illa. Facul ad de Ma em´a icas. c/ Ta ia s/n, 41012 Se illa, Espa˜na. E-mail:[email p o ec ed] –Recibido en ma zo de 2001. –Acep ado en diciemb e de 2001. 87 1. INTRODUCCI ´ ON Si bien la eo ´ıa del mues eo en poblaciones ini as se ha cen ado cl´asicamen e en la es imaci´on de pa ´ame os poblacionales de ipo pun ual como o ales, medias, p o- po ciones y a ianzas, exis en una se ie de pa ´ame os de ipo uncional que pueden p opo ciona nos in o maci´on ele an e ace ca del compo amien o global de la pobla- ci´on. En es e abajo conside amosel p oblema de la es imaci´on de un pa ´ame ode es e ipo, en conc e o, la unci´on de dis ibuci´on poblacional asociada a una a iable num´e ica de inida sob e la poblaci´on. Es e p oblema es impo an e po el in e ´es in ´ınseco del pa ´ame o uncionalmencionadoy ambi´enpo su elaci´oncon o os pa ´ame osde ipo no uncional como la mediana, los cuan iles o el ´ındice de Gini, habiendo sido a ado con di e en es en oques po a ios au o es. As´ı, en elaci´on a la es imaci´on de la mediana y los cuan iles, es obligadoci a el aba- jo inicial de Woodd u (1952), en el que se cons uye un in e alo de con ianza pa a la es imaci´on de la mediana poblacional y o as medidas de posici´on, empleando el mues- eo alea o io simple. Po o a pa e, Send ansk y Meye (1978)es udian es e p oblema bajo un en oquepu amen e p obabil´ıs ico de dis ibuci´on de es ad´ıs icos o denados, pa- a mues eo alea o io simple y es a i icado. Hill (1968) emplea un en oquebayesianoy Kuk y Mak (1989), ´ecnicas de in o maci´on auxilia p opo cionadapo o as a iables. Pa a el p oblema de la es imaci´on de la unci´on de dis ibuci´on poblacional p opia- men e dicha, ambi´en encon amos di e en es en oques en la bibliog a ´ıa. Po ejemplo Chambe s y Duns an (1986) emplean un modelo de supe poblaci´on pa a desa olla un p ocedimien o de es imaci´on. Kuk (1988) es udia y compa a a ios es imado es de la unci´onde dis ibuci´onpoblacionalempleandomues eo conp obabilidades a iablesy Rao, Ko a y Man el (1990)desa ollan es imado es queemplean in o maci´on auxilia . Ci emos ambi´en los abajos de Chambe s e al. (1992) y Rao (1994). A con inuaci´on amos a conside a es e p oblema con un en oque dis in o de los an- e io es, y que se basa en el es udio de la unci´on a ianza del es imado de Ho i z- Thompson con el in de busca dise˜nos mues ales ´op imos, en una clase especial de di- se˜nos mues ales. Pa a ello, amos a conside a una poblaci´on ini a, U   1  2  N  , y sea Yuna a iable de es udio num´e ica, cuyos alo es sob e U, son  Y1  Y2  YN  , que, sin p´e dida de gene alidad, supond emos o denados de meno a mayo , es o es, Y1  Y2    YN. Nues o obje i o es la es imaci´on de la unci´on de dis ibuci´on de la a iableY, F   1 NCARD   i  U  Yi    88 Si empleamos las unciones indicado as de los in e alos de la o ma  Yi   ∞  , de- no ´andolas I  Yi   ∞    , podemos exp esa F   como, F   1 N∑ i  UI  Yi   ∞    es deci , una exp esi´onlineal, que puedese es imada median eel es imado de Ho i z- Thompson. Sea pues muna mues a ob enida de la poblaci´on Umedian e un dise˜no mues al, d     P    , sin eemplazamien o y con ma iz de dise˜no que deno a emos como Π   πij  1  i  j  N, con πii  πi. El mencionado es imado de F   esul a se ,  F   1 N∑ i  m I  Yi   ∞    πi Comosabemos, es ees imado es insesgadoy su a ianzapuedese exp esadamedian e la cl´asica ´o mula, V   F    1 N2∑ i  j  U  πij  πiπj  I  Yi   ∞    πi I  Yj   ∞    πj yas´ı, pa a cada alo de  Ê , podemos emplea dicha exp esi´on como medida de la bondad de la es imaci´on. 2. MUESTREO POR CONGLOMERADOS EN DOS ETAPAS Al se la a ianza una unci´on, no iene sen ido habla de a ianza m´ınima en el sen ido usual, po ello, amos a de ini un c i e io ap opiado que nos pe mi a ob ene p opieda- des de los dise˜nos mues ales m´as adecuados pa a la es imaci´on que es amos ealizan- do. El c i e io que de inimos iene de e minado po la siguien e dis ancia, basada en la no ma uncional  1, d  V   F    0   V   F    1   YN Y1  V   F    d   YN Y1 V   F   d No emos que V   F   cumple los eque imien os anal´ı icos pa a que es a dis ancia es ´e bien de inida. En pa icula , se e i ica que  V   F    1  0 si y solamen e si V   F    89 0     Y1  YN  . No emos ambi´en que es posible emplea o o ipo de no mas. La elec- ci´on de la no ma  1en es e abajo iene jus i icada po azones de simplicidad en los desa ollos. Supond emos que se ealiza un mues eo po conglome ados en una e apa, as´ılapo- blaci´on sob e la que se ealiza el mues eo es una poblaci´on de conglome ados, Uc   C1  Ci  CM  , cada uno con ama˜nos espec i os N1  Ni  NM. Sob e es a poblaci´on se emplea un dise˜no mues al dc   c  Pc  , con ma iz de dise˜no  πc ij  , siendo mcla mues a de conglome ados ob enida. En una segunda e apa supond emos que en el conglome ado Ci  i  mcse emplea un dise˜no mues al di   i  Pi  , con ma iz de dise˜no  πi kl  , pa a ob ene una mues a micon niunidades inales. Las p obabilidades de inclusi´on de dichas unidades inales, se cons ui ´an pues a pa - i de las p obabilidades de inclusi´on de los dise˜nos mues ales in oluc ados. Dichas p obabilidades ienen dadas po , πk  πc iπi ksi k  Ci  k  U πkl  πc iπi kl si k  l  Ci  k   l  k  l  U πkl  πc ijπi kπj lsi k  Ci  l  Cj  i   j  k  l  U De es a o ma, deno ando po mla mues a de unidades inales p o enien es de dichos conglome ado, el es imado de Ho i z-Thompson se ´a,  F    ∑ k  m 1 N I  Yk   ∞    πk  ∑ i  mc∑ k  mi 1 N I  Yk   ∞    πc iπi k  ∑ i  mc 1 πc i∑ k  mi 1 N I  Yk   ∞    πi k  ∑ i  mc  Fi   πc i donde Fi   deno a el pa ´ame o uncional que se es ´a es imando, alo ado sob e el conglome adoCi, es deci , Fi   ∑ k  Ci 1 NI  Yk   ∞    y  Fi   deno a su es imaci´on de Ho i z-Thompson, es o es,  Fi   ∑ k  mi 1 N I  Yk   ∞    πi k 90 Obse emos que las unciones Fi   apa ecen como esul ado de la descomposici´on usual del es imado  F   , y no ep esen an las unciones de dis ibuci´on de los conglo- me ados. La a ianza de dicho es imado end ´a dada po la exp esi´on usual pa a un mues eo bie ´apico, ´ease Fe n´andez y Mayo (1995), y que adap ada a la es uc u a poblacional conside ada, esul a se , V   F    ∑∑ i  j  Uc  πc ij  πc iπc j  Fi   πc i Fj   πc j  ∑ i  Uc 1 πc iV   Fi    ∑∑ i  j  Uc  πc ij  πc iπc j  Fi   πc i Fj   πc j  1 N2∑ i  Uc 1 πc i∑∑ k  l  Ci  πi kl  πi kπi l  I  Yk   ∞    πi k I  Yl   ∞    πi l  V1   V2   Obse emos que la a ianza se descompone en dos sumandos, V1   yV2   , cada uno de los cuales ep esen a el e o de mues eo inhe en e a ambas e apas. Pa a aplica nues a me odolog´ıa, amos a es udia la no ma  1de es a a ianza, bajo cie as hip´o esis ealizadas sob e los dise˜nos mues ales. En p ime luga , no emos que al se V1    0yV2    0,   Ê , se e i ica,  V   F    1   V1    1   V2    1   Ê y en pa icula    Y1  YN  . Seguidamen e exponemos una se ie de de iniciones y e- sul ados elacionados con el desa ollo de las can idades an e io es. De inici´ on 1. Dado un dise˜ no mues al, d    P  , di emos que es uni o me si las p obabilidades de inclusi´ on de p ime o den son iguales, es deci , πi  α   i. Lema 1. Si un dise˜ no mues al, d    P  , de inido sob e una poblaci ´ on U con N unidades, es uni o me y sus mues as son de ama˜ no ijo, n, en onces se e i ica πi  n  N   i  U. Demos aci´ on Dado i  U, sea Hiuna a iable alea o ia con dis ibuci´on de Be noulli, de inida sob e  como Hi  m  1sii  myHi  m  0sii   m,  m   . La espe anza ma em´a ica de Hies E  Hi  πi. Se iene en onces, 91 ∑ i  UHi  n  ∑ i  U πi  ∑ i  UE  Hi  n de donde se deduce el esul ado.  Obse emos que el dise˜no mues al alea o io simple, es deci , el o mado po odas las posibles mues as de ama˜no ijo n, con p obabilidades iguales, es deci , P  m  1   N n  , es un dise˜no uni o me de ama˜no ijo. Deno a emos es e dise˜no mues al como MAS  N  n  . Lema 2. Si los dise˜ nos mues ales di  i  Ucson uni o mes con ama˜ nos ijos espec i- os ni, y si deno amos, V  i    ∑∑ k  l  Ci  πi kl  πi kπi l  I  Yk   ∞    πi k I  Yl   ∞    πi l i  Uc se e i ica,  V  i     1  1 2∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  N2 i 2n2 i∑∑ k  l  Ci πi kl  Yk  Yl  Si adem´ as, di  MAS  Ni  ni  ,  i  Uc, en onces,  V  i     1  Ni  ni 2  Ni  1  ni∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  Demos aci´ on Obse emos que dados k  l  Ci, se iene,  YN Y1 I  Yk   ∞    I  Yl   ∞    d   YN Y1 I  max  Yk  Yl    ∞    d  YN  max  Yk  Yl  po consiguien e,  V  i     1   YN Y1 V  i    d  ∑∑ k  l  Ci πi kl  πi kπi l πi kπi l  YN Y1 I  Yk   ∞    I  Yl   ∞    d 92  ∑∑ k  l  Ci πi kl  πi kπi l πi kπi l  YN  max  Yk  Yl    ∑∑ k  l  Ci πi kl πi kπi l  YN  max  Yk  Yl    ∑∑ k  l  Ci  YN  max  Yk  Yl   Po se diuni o me de ama˜no ijo, end emos po el Lema 1, que πc l  ni  Ni,  l  Ci, siendo pues, ∑∑ k  l  Ci πi kl πi kπi l  YN  max  Yk  Yl    N2 i n2 i∑∑ k  l  Ci πi kl  YN  1 2  Yk  Yl   Yk  Yl    N2 i n2 i  ∑∑ k  l  Ci πi klYN  1 2∑ k  Ci Yk∑ l  Ci πi kl  1 2∑ l  Ci Yl∑ k  Ci πi kl  1 2∑∑ k  l  Ci πi kl  Yk  Yl    N2 i n2 i  n2 iYN  n2 i NiTi  Y   1 2∑∑ k  l  Ci πi kl  Yk  Yl    N2 iYN  NiTi  Y   N2 i 2n2 i∑∑ k  l  Ci πi kl  Yk  Yl  dondehemos deno ado Ti  Y  ∑k  CiYk, y hemos enido en cuen a quepo se el dise˜no mues al uni o me y de ama˜no de mues a ijo, e i ica, ∑ k  Ci πi kl  niπi l  n2 i Niy∑∑ k  l  Ci πi kl  n2 i Po o a pa e, un c´alculo simila al an e io p opo ciona, ∑∑ k  l  Ci  YN  max  Yk  Yl   N2 iYN  NiTi  Y   1 2∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  Res ando ambas se ob iene inmedia amen e el p ime esul ado. En caso de se di  MAS  Ni  ni   i  Uc, se end ´a adem´as pa a las p obabilidades de inclusi´on de segundo 93 o den πi kl  ni  ni  1   Ni  Ni  1   k   l, y bas a sus i ui pa a ob ene , median e un c´alculo di ec o, el segundo esul ado.  Lema 3. Las unciones Fi   de inidas an e io men e, e i ican,  YN Y1 Fi   Fj   d  1 N2∑∑ k  Ci  l  Cj  YN  max  Yk  Yl    i  j  Uc Demos aci´ on En p ime luga , obse emos que, Fi   Fj   1 N2∑∑ k  Ci  l  Cj I  Yk   ∞    I  Yl   ∞    luego,  YN Y1 Fi   Fj   d  1 N2∑∑ k  Ci  l  Cj  YN Y1 I  Yk   ∞    I  Yl   ∞    d y bas a sus i ui la exp esi´on ob enida en la demos aci´on del Lema an e io pa a es a ´ul ima in eg al.  Aplicando los esul ados an e io es, ob enemos el siguien e esul ado ace ca de la a- ianza de la es imaci´on. Teo ema 4. Si los dise˜ nos mues ales di  i  Uc, son uni o mes con ama˜ nos ijos es- pec i os ni, se e i ica,  V   F    1  1 N2∑∑ i  j  Uc πc ij πc iπc j∑∑ k  Ci  l  Cj  YN  max  Yk  Yl    1 N2∑∑ i  j  Uc∑∑ k  Ci  l  Cj  YN  max  Yk  Yl    1 N2∑ i  Uc 1 2πc i  ∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  N2 i n2 i∑∑ k  l  Ci πi kl  Yk  Yl   94 Si adem´ as di  MAS  Ni  ni   i  Uc,el´ ul imo sumando se puede exp esa como, 1 N2∑ i  Uc Ni πc i  Ni ni  1  1 2Ni  Ni  1  ∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl   3. REDUCCI ´ ON DE LA VARIANZA Aunque la exp esi´on ob enida pe mi e conside a la b´usqueda de dise˜nos uni o mes en cada uno de los conglome ados, que eduzcan la a ianza, aqu´ı es ingi emos el plan eamien o suponiendo di  MAS  Ni  ni   i  Uc, es deci , mues eo alea o io en los conglome ados. Como puede e se en el Teo ema 4, bajo es a hip´o esis,  V   F    1se descompone en es ´e minos, de los cuales el p ime o y el e ce o dependen del dise˜no mues al empleado pa a ob ene la mues a de conglome ados. Po o a pa e, la can idad que apa ece en dicha exp esi´on, 1 2Ni  Ni  1  ∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  puede conside a se como una medida de la dispe si´on de la a iable de es udio en el conglome ado i  ´esimo. De es a o ma, si suponemos a ijaci´on p opo cional en los conglome ados, de mane a que el ama˜no de mues a en cada uno de ellos se ealiza de o ma p opo cional al a- ma˜no del mismo, y suponemos adem´as que los conglome adop esen an una dispe si´on simila con espec o a la a iable de es udio, las can idades,  Ni ni  1  1 2Ni  Ni  1  ∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  son muy homog´eneas, luego una o ma de disminui la apo aci´on del ´ul imo ´e mino es oma p obabilidades de inclusi´on de p ime o den p opo cionales a los ama˜nos de los conglome ados,es deci , πc i  nNi  N. Se ob iene en onces el siguien e esul ado. Teo ema 5. Si el mues eo en los conglome ados se ealiza median e dise˜ nos mues a- les alea o ios simples, y si las p obabilidadesde inclusi´ on de p ime o den asociadasal mues eo de conglome ados ienen dadas po πc i  nNi  N  i  Uc, el p ime sumando de la exp esi´ on de  V   F   1, ob enida en el Teo ema 4. puede se exp esado como, 95 Pa a la poblaci´on U2, hemos empleado los alo es Xi  i2  i  1  20, siendo los alo es poblacionales gene ados seg´un el modelo, Yk  20  2Xi  εk  k  Ci   i  Uc con εk  N  0  52  . Finalmen e, pa a la poblaci´on U3, hemos omado los alo es Xi  i  1  20, dados po ,  1  5  50  51  53  55  57  100  120  150  155  160  165  170  175  180  185  190  500  1000  con los alo es poblacionales gene ados seg´un el modelo, Yk  20  2Xi  εk  k  Ci   i  Uc siendo εk  N  0  102  . Como puede e se, la p ime a poblaci´on p esen a alo es de la a iable de es udio con cie a homogeneidad. La segunda es menos homog´eneay la e ce a iene una es uc u a muy dispa , con cie os alo es ex emos muy dis an es de la masa p incipal. En odos los caso, se supone mues eo alea o io simple, MAS  100  10  , pa a el mues eo den o de los conglome ados, es deci , en cada uno de los conglome ados mues eados en la p ime a e apa se ex aen mues as alea o ias simples de 10 unidades inales. Vamos a compa a la me odolog´ıa conside ada en es e abajo con el mues eo alea o io simple de conglome ados, pa a lo cual u iliza emos como medida de e iciencia ela i a la siguien e can idad, exp esada como po cen aje, C  100   V   F    MAS 1  V   F    MET 1  V   F    MAS 1 % siendo  V   F    MAS 1y  V   F    MET 1 espec i amen e las no mas  1de la a ianza expues aen el Teo ema 4, pa a el mues eo alea o io simple y pa a el m´e odoes udiado. Obse emos que en  V   F    MET 1apa ecen las p obabilidades de inclusi´on de segun- do o den ob enidas po minimizaci´on, mien as que en  V   F    MAS 1apa ecen las co espondien es al mues eo alea o io simple de conglome ados, cuyos alo es son πc ij  n  n  1   M  M  1  i   j. 102 Un coe icien e mayo que ce o indica ´a un aumen o de e iciencia con espec o al mues- eo alea o io simple, bajo el c i e io conside ado, y el co espondien e po cen aje indi- ca ´a la cuan ´ıa de dicho aumen o. Los esul ados compa a i os ob enidos se exponen a con inuaci´onpa acadauna delas es poblacionesy pa a ama˜nosmues alesn  3  4  5, siendo nel n´ume o de conglome ados mues eados en la p ime a e apa. Las can idades e lejadas en es a abla han sido ob enidas po compu aci´on di ec a a pa i de los a- lo es ´op imos de las unciones obje i os p opo cionados po la u ina AMPL expues a an e io men e. Coe icien e Cpa a U1,U2yU3y ama˜nos de mues a de conglome ados n  3  4  5. En odos los casos, en cada conglome ado se ex aen 10 unidades inales. n U1U2U3 3 78.21 % 66.68 % 34.32 % 4 87.08 % 75.39 % 38.59 % 5 91.64 % 80.10 % 42.78 % Podemos obse a como en odos los casos se ha ob enido una e iden e educci´on de la a ianza lo que mani ies a que la me odolog´ıa es udiada en es e abajo se p esen a como una al e na i a p ome edo a. REFERENCIAS Chambe s, R. L. y Duns an, R. (1986). «Es ima ing dis ibu ion unc ions om su ey da a».Biome ika, 73, 597-604. Chambe s, R. L., Do man, A. H. y Hall, P. (1992). «P ope ies o s ima o s o he ini- e popula ion dis ibu ion unc ion».Biome ika, 79, 577-582. Fe n´andez, F. R. y Mayo , J. A. (1995). Mues eo en poblaciones ini as: cu so b ´ asico. Ba celona: E.U.B. Fou e , R., Gay, D. M. y Ke nighan, B. W. (1993). AMPL. A Modeling Language o Ma hema ical P og amming. Dan e s, Massachuse s: Boyd & F ase Publishing Company. Hill, B. M. (1968). «Pos e io dis ibu ion o pe cen iles: Bayes’ heo em o sampling om a popula ion».Jou nal o he Ame ican S a is ical Associa ion, 63, 677-691. Kuk, A. Y. C. (1988). «Es ima ion o dis ibu ion unc ions and medians unde sam- pling wi h unequal p obabili ies».Biome ika, 75, 97-103. Kuk, A. Y. C. y Mak, T. K. (1989). «Median es ima ion in he p esence o auxilia y in- o ma ion».Jou nal o he Royal S a is ical Socie y, Se ies B, 51, 261-269. 103 Rao, J. N. K., Ko a , J. G. y Man el, H. J. (1990). «On es ima ing dis ibu ion unc- ions and quan iles om su ey da a using auxilia y in o ma ion».Biome ika, 77, 365-375. Rao, J. N. K. (1994). «Es ima ing o als and dis ibu ions unc ions using auxilia y in- o ma ion in he es ima ion s age».Jou nal o O icial S a is ics, 10, 153-166. Sed ansk, J. y Meye , J. (1978). «Con idencein e als o he quan iles o a ini e popu- la ion: simple andomand s a i ied simple andomsampling».Jou nal o he Royal S a is ical Socie y, Se ies B, 40, 239-252. Wood u , R. S. (1952). «Con idence in e als o medians and o he posi ion measu- es».Jou nal o he Ame ican S a is ical Associa ion, 47, 635-646. 104 ENGLISH SUMMARY ESTIMATING DISTRIBUTIONS FUNCTIONS USING APPROPRIATE SAMPLING DESIGNS IN TWO STAGE CLUSTER SAMPLING J. A. MAYOR GALLEGO M. MART´ INEZ BLANES Uni e sidad de Se illa  In o de o es ima e he dis ibu ion unc ion o a a iable de ined o e a ini e popula ion, we can use a sampling s a egy de ined by he Ho i z- Thompson es ima o and a sampling design. The a iance o his es ima- ion is a eal unc ion whose minimiza ion in a sui able c i e ion le us ind some desi able p ope ies o he app op ia e sampling designs. In his pape we use he  1no m o he a iance unc ion as a minimiza- ion c i e ia. This way, unde he hypo hesis o uni o m sampling design, ha is o say, wi h equal i s o de inclusion p obabili ies, we s udy a p o- cedu e o ob ain app op ia e designs unde wo s age clus e sampling. Keywo ds: Sample su ey,sampling design, dis ibu ion unc ion es ima- ion, clus e sampling AMS Classi ica ion (MSC 2000): 62D05 *Dp o. de Es ad´ıs ica e In es igaci´on Ope a i a. Uni e sidad de Se illa. Facul ad de Ma em´a icas. c/ Ta ia s/n, 41012 Se illa, Espa˜na. E-mail:[email p o ec ed] –Recei ed Ma ch 2001. –Accep ed Decembe 2001. 105 Usually, he heo y o sampling om ini e popula ions is cen e ed on he poin es i- ma ion o some pa ame e s as he ini e popula ion means, a iances and a ios. In his pape , we conside he es ima ion o a unc ional pa ame e , he dis ibu ion unc ion in ela ion o a nume ical a iable, de ined o e he popula ion. In li e a u e we can ind di e en app oaches o his es ima ion p oblem. Chambe s and Duns an (1986) assume a model-based app oach o de elop an es ima ing p ocedu e. Kuk (1988) s udies se e al es ima o s o he dis ibu ion unc ion unde sampling wi h unequal p obabili ies, p opo ional o an auxilia y a iable and Rao, Ko a and Man- el (1990) by means o he auxilia y in o ma ion. In he same lines, we also can ci e he pape s o Chambe s e al. (1992) and Rao (1994). We p opose an al e na i e app oach based on he applica ion o an a e age- ype c i e- ion o he mean squa e e o o he dis ibu ion unc ion es ima ion, in o de o ind he mo e app op ia e selec ion p obabili ies o he clus e s. Le us conside a ini e popula ion U   1  2  N  and le Ydeno e he nume ical su - ey a iable o in e es . Le Yibe he alue o Y o he i h popula ion elemen , wi h o de ed alues 0  Y  1   Y  2     Y  N  . The aim is o es ima e he dis ibu ion unc- ion o heY a iable, F   1 N∑ i  UI  Yi   ∞    whe e I  Yi   ∞     i  Ua e he indica o unc ions o he  Yi   ∞  in e als. I we assume ha sis a sample ob ained om Uwhi a sampling design  S  p    , and  F   is an es ima o o F   , he classical way o measu e he p ecision o his es ima o is o s udy o he a iance, V   F    ∑ s  S   F    F   2p  s  No e ha he a iance is a eal unc ion wi h di e en alues depending on , he e o e i is no possible o use his unc ion o a di ec compa ison. An al e na i e way o e alua e he disc epancy be ween F   and  F   is o apply an a e age ype c i e ion o e he a iance, conside ing he quan i y,  V   F    1   Y  N  Y  1  V   F   d as such, we can sea ch he mo e app op ia e sampling designs minimizing  V   F    1. 106 In sec ion 2 o his pape we apply his app oach o a sampling s a egy unde wo- s age clus e sampling, supposing uni o m sub-sampling in o he clus e s. Thus, i we assume ha sub-sampling is pe o med by means o sampling designs di  i  Uc,we ob ain he ollowing esul in ela ion o he a iance o he es ima ion. Theo em. I he sampling designs di  i  Uca e uni o m, wi h espec i ely ixed sizes ni, we ha e,  V   F    1  1 N2∑∑ i  j  Uc πc ij πc iπc j∑∑ k  Ci  l  Cj  YN  max  Yk  Yl    1 N2∑∑ i  j  Uc ∑∑ k  Ci  l  Cj  YN  max  Yk  Yl    1 N2∑ i  Uc 1 2πc i  ∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl  N2 i n2 i∑∑ k  l  Ci πi kl  Yk  Yl   Fu he mo e, i di  SRS  Ni  ni   i  Uc, ha is o say, simple andom sampling wi hou eplacemen , he las e m becomes, 1 N2∑ i  Uc Ni πc i  Ni ni  1  1 2Ni  Ni  1  ∑∑ k  l  Ci  Yk  Yl   In o de o educe he sampling e o , we de elop in sec ions 3 and 4 a p ac ical p oce- du e based on linea p og amming, o compu e he second o de inclusion p obabili ies o he mo e app op ia e sampling designs o e he clus e popula ion, unde he supe - popula ion model, Yk  α  βXi  εk  β  0  Es  εk  0  k  Ci   i  Uc whe e Xis an auxilia y a iable, en i ely con olled. Finally, we ha e applied his p ocedu e o h ee a i icial popula ions wi h di e en s uc u es. These popula ionsha e M  20 clus e s, and e e yclus e con ains Ni  100 elemen s. The sample sizes in he i s s age a e n  3  4  5 clus e . In he second s age, ni  10 elemen s a e d awn by means o simple andom sampling. Fo he popula ionU1, he auxilia y a iable is Xi  20  i  i  1  20, and he supe - popula ion model is, 107 Yk  10  2Xi  εk  k  Ci   i  Uc wi h εk  N  0  32  , ha is o say, no mal dis ibu ion wi h expec a ion µ  0 and a ian- ce σ2  32. Fo he popula ionU2, he auxilia y a iable is Xi  i2  i  1  20, and he model, Yk  20  2Xi  εk  k  Ci   i  Uc wi h εk  N  0  52  . Fo he popula ionU3, he auxilia y a iable is Xi  i  1  20, wi h alues,  1  5  50  51  53  55  57  100  120  150  155  160  165  170  175  180  185  190  500  1000  wi h he model, Yk  20  2Xi  εk  k  Ci   i  Uc wi h εk  N  0  102  . We compa e ou me hodology (MET) wi h he simple andom sampling (SRS) o clus- e s, using he ollowing ela i e e iciency measu e, C  100   V   F    SRS 1  V   F    MET 1  V   F    SRS 1 % whe e  V   F    SRS 1and  V   F    MET 1a e espec i ely he  1o he a iance o he compa ed me hods. This way, we ha e ob ained he ollowing alues o C, n U1U2U3 3 78.21 % 66.68 % 34.32 % 4 87.08 % 75.39 % 38.59 % 5 91.64 % 80.10 % 42.78 % These esul s show ha we can conside ou app oach as a p omising al e na i e, in o de o educe he sampling e o es ima ing he ini e popula ion dis ibu ion unc ion. 108