La noción de homotopía para espacios finitos y espacios de Alexandrov

Facultad de Matem´ aticas Departamento de Geometr´ ıa y Topolog´ ıa Grado en Matem´ aticas La noci´on de homotop´ıa para espacios finitos y espacios de Alexandrov Trabajo Fin de Grado Autora: Ana Mar´ıa Cumplido Caballero Tutor: Antonio Rafael Quintero Toscano Junio 2022 ´ Indice general Introducci´on ......................................... 3 Resumen ........................................... 7 Abstract ............................................ 8 Parte I 1. Topolog´ıa General: Conceptos b´asicos 9 1.1. Base de y para una topolog´ıa ............................. 9 1.2. Axiomas de Separaci´on ................................. 10 1.3. Construyendo nuevos espacios ............................. 11 1.3.1. Topolog´ıa uni´on ................................ 11 1.3.2. Topolog´ıa producto ............................... 11 1.3.3. Topolog´ıa cociente ............................... 12 1.4. Compactificaciones ................................... 12 1.5. Conexi´on y Contractibilidad .............................. 14 2. Espacios de Alexandrov y Espacios Finitos 17 2.1. Espacios de Alexandrov ................................ 17 2.2. Conexi´on y homotop´ıa en A-espacios ......................... 18 2.3. Conjuntos parcialmente ordenados (posets), A-topolog´ıas y pre´ordenes ...... 19 2.4. Diagramas de Hasse .................................. 21 3. Topolog´ıa Simplicial 23 3.1. Complejos simpliciales ................................. 23 3.2. La subdivisi´on baric´entrica .............................. 27 4. A-espacios y poliedros 29 1 4.1. Complejos abstractos .................................. 29 4.2. Poliedros asociados a espacios finitos ......................... 30 4.3. Espacios finitos asociados a complejos ........................ 33 Parte II 5. Homotop´ıa en A-espacios 35 5.1. Homotop´ıa en A-espacios y orden ........................... 35 5.1.1. Una demostraci´on directa del Corolario 5.1.2 ................ 36 5.2. Espacios finitos minimales ............................... 37 5.3. Arcos de Khalimsky y homotop´ıas en A-espacios .................. 40 6. Homotop´ıa en A-espacios y homotop´ıa fuerte en complejos simpliciales 47 6.1. Colapsos y colapsos fuertes en complejos simpliciales ................ 47 6.2. Equivalencias de homotop´ıa en A-espacios y equivalencias de homotop´ıa fuerte en complejos simpliciales ................................. 58 7. Colapsos fuertes infinitos y la noci´on de homotop´ıa para A-espacios localmente finitos 65 7.1. A-espacios localmente finitos ............................. 65 7.2. Los operadores KyXy la finitud local ....................... 67 7.3. Colapsos y colapsos fuertes infinitos ......................... 67 7.4. Aplicaciones propias entre A-espacios ......................... 68 7.5. Problemas abiertos sobre la noci´on de homotop´ıa (propia) entre A-espacios (localmente finitos) .................................... 70 Bibliograf´ıa .......................................... 71 2 Introducci´on El Trabajo de Fin de Grado que se presenta es una extensi´on de un Trabajo de Fin de Grado anterior realizado por ´ Alvaro Luque Amaro [7]. Para hacerlo autocontenido, el material de [7] que se ha necesitado aqu´ı ha sido incluido de manera resumida en la Parte I. Seguimos considerando los A-espacios y en especial los espacios finitos como un tema de iniciaci´on a la investigaci´on muy apropiado para aquellos alumnos del Grado en Matem´aticas interesados en topolog´ıa, pues siendo accesible a estudiantes de ´ultimo a˜no plantea problemas de importancia y est´a relacionado con investigaciones en otras ´areas. El Tutor Los llamados espacios de Alexandrov (A-espacios) proporcionan un lenguaje topol´ogico para el tratamiento de los conjuntos ordenados. Esto fue observado por primera vez en 1937 por P.S. Alexandrov ([1]) e independientemente por A.W. Tucker ([15]). Despu´es de treinta a˜nos en los que la sola referencia relevante sobre A-espacios segu´ıa siendo el art´ıculo de Alexandrov, el inter´es en la topolog´ıa de los A-espacios se ampli´o cuando, a mitad de la d´ecada 1960-70, M. McCord ([10]) y R. Stong ([14]) probaron que los invariantes de la topolog´ıa algebraica de los poliedros compactos (por ejemplo, la homolog´ıa o el grupo fundamental) pod´ıan ser representados por espacios finitos. A´un as´ı, la literatura sobre la topolog´ıa algebraica de los A-espacio al final del siglo XX se reduc´ıa a los trabajos de McCord y Stong, salvo algunas excepciones como el trabajo de K.A. Hardie y J.J.C. Vermeulen ([4]) de 1993, aunque por entonces los A-espacios ya eran utilizados habitualmente para dotar de un lenguaje topol´ogico al an´alisis de im´agenes digitales ([5]). En la d´ecada 2000-2010 adem´as del inter´es por sus aplicaciones, el estudio de la topolog´ıa de los A-espacios se reforz´o con la aparici´on en 2003 de unas notas de J.P. May ([9]), posteriormente extendidas en [8], que recog´ıan lo conocido de la topolog´ıa algebraica de los espacios finitos, mostrando sus aplicaciones en problemas relevantes y sus conexiones con otras clases de objetos habituales de la topolog´ıa algebraica. 3 Junto con May, J. Barmak y G. Minian ([3]) aumentaron el conocimiento de la topolog´ıa de los A-espacios con nuevos resultados sobre espacios finitos. En particular, en ([3]) se puede encontrar un detallado estudio de las equivalencias homot´opicas en la clase de los espacios finitos. La exposici´on de parte de ese estudio es el objetivo principal de la presente memoria. Con el fin de centrar y resumir el material aqu´ı recogido, recordemos que la construcci´on de McCord, X7−→ K(X), asocia a todo espacio finito un complejo simplicial finito de manera que una equivalencia d´ebil de homotop´ıa entre los espacios finitos XeYse traduce en una equivalencia de homotop´ıa entre los poliedros subyacentes a los correspondientes complejos |K(X)|e|K(Y)|. Como la relaci´on de homotop´ıa es m´as restrictiva que la de homotop´ıa d´ebil, el reflejo de una equivalencia de homotop´ıa entre espacios finitos en sus poliedros asociados debe ser algo m´as exigente que la equivalencia de homotop´ıa habitual en topolog´ıa. La soluci´on dada por Barmak y Minian, recogida en [3], est´a basada en la noci´on de colapso. Esta operaci´on act´ua sobre la estructura combinatoria de un complejo simplicial eliminando ordenadamente aquellos s´ımplices para los que “hundir” una cara sobre el resto de caras deja invariante al resto del complejo. Un ejemplo sencillo de esta operaci´on se ilustra en la siguiente figura: Figura 1: Colapsos. La noci´on de colapso (y su inverso, la expansi´on) da lugar a una teor´ıa de homotop´ıa para poliedros conocida como homotop´ıa simple, que es m´as restrictiva que la ordinaria, pero a´un no es suficiente para describir las equivalencias de homotop´ıa entre espacios finitos. Para ello se recurre a otra operaci´on combinatoria llamada colapso fuerte, que consiste en la eliminaci´on ordenada de aquellos s´ımplices que contienen un v´ertice vy cuyas caras opuestas a vcontienen todas ellas un cierto v´ertice v0. En otras palabras, todos los s´ımplices principales que contienen avcontienen tambi´en la arista vv0. Obs´ervese que todo colapso fuerte se descompone en una secuencia de colapsos ordinarios, como puede verse en la Figura 2 para un caso sencillo. Que sea necesario recurrir a estas operaciones combinatorias para caracterizar las equivalencias de homotop´ıa entre espacios finitos no es extra˜no si tenemos en cuenta que el cilindro de la definci´on de homotop´ıa no es por mucho un espacio finito. La falta de un cilindro can´onico en la clase de los A-espacios hace que el tratamiento de la teor´ıa de homotop´ıa de estos espacios sea t´ecnicamente complejo (ver [13]). 4 Figura 2: Colapso fuerte visto como colapsos ordinarios. Respecto a la noci´on de homotop´ıa en la clase de A-espacios arbitrarios, presentamos en el Cap´ıtulo 5 una noci´on de homotop´ıa que creemos debe estar entre la noci´on intr´ınseca dada por el orden (que requiere de secuencias de aplicaciones comparables de longitud finita pero variable) y la homoto´ıpa ordinaria definida con el intervalo unidad. Tambi´en, como aportaci´on, incluimos algunas variaciones sobre las demostraciones en [3]. Aquellas que son demostraciones alternativas a las originales est´an indicadas en el texto. Terminamos detallando el contenido de esta memoria, que hemos dividido en dos partes. Como ya el Trabajo Fin de Grado contiene una exhaustiva exposici´on de los tres primeros cap´ıtulos de [3], la Parte I presenta en los primeros cap´ıtulos un resumen de Topolog´ıa General y una introducci´on a la topolog´ıa de los A-espacios extra´ıda de [7]. El Cap´ıtulo 3 presenta los resultados y definiciones de la Topolog´ıa Poliedral usados en cap´ıtulos posteriores. Parte de ellos vienen ya en [7]. Aquellos que no aparecen en [7] se incluyen aqu´ı con demostraciones detalladas. El Cap´ıtulo 4 est´a dedicado a la relaci´on entre espacios finitos y poliedros determinada por los operadores KyXde McCord, siendo integramente un resumen de lo expuesto en [7]. Los dos primeros cap´ıtulos de la Parte II se concentran en el objetivo central de esta memoria: la exposici´on detallada de la interpretaci´on combinatoria de las equivalencias de homotop´ıa entre espacios finitos dada en [3]. El Cap´ıtulo 5 comienza con un resumen de los resultados b´asicos de la teor´ıa de homotop´ıa de los A-espacios, destacando las propiedades de los espacios finitos. En especial el hecho de que el tipo de homotop´ıa de un espacio finito Xest´a representado, salvo homeomorfismo, por un 5 subespacio minimal de X, llamado su n´ucleo. Aquellos resultados que ya aparecen en [7] han sido simplemente citados, mientras que los resultados de [3] que no aparecen en [7] han sido incluidos con demostraci´on. Tambi´en damos una demostraci´on alternativa y directa de la equivalencia de la homotop´ıa ordinaria definida por secuencias de aplicaciones entre espacios finitos comparables por el orden natural. Como aportaci´on, este cap´ıtulo tambi´en contiene, en la Secci´on 5.3, una nueva noci´on de homotop´ıa de aplicaciones entre A-espacios basada en la recta de Khalimsky, que permite disponer de infinitos “niveles”discretos. Es una noci´on que parece quedar entre la dada por el orden natural de las aplicaciones entre A-espacios y la dada por el rango continuo del intervalo, siendo las tres equivalentes en la clase de los espacios finitos. El Cap´ıtulo 6 est´a dedicado al objetivo principal de esta memoria: presentar y estudiar con detalle la noci´on de colapso fuerte, que es la herramienta combinatoria usada en [3] para describir las equivalencias de homotop´ıa entre espacios finitos. Este cap´ıtulo contiene algunas demostraciones alternativas a las dadas en [3] que pueden tener cierto inter´es. Un cap´ıtulo final abierto plantea el problema de encontrar una noci´on de homotop´ıa para la clase de los A-espacios localmente finitos que se corresponden con los colapsos fuertes tipo Siebenmann en complejos simpliciales localmente finitos. 6 Resumen El objetivo de este trabajo es detallar la interpretaci´on combinatoria de las equivalencias de homotop´ıa entre espacios finitos y plantear algunos problemas en el caso de A-espacios infinitos. Para ello hemos dividoido el trabajo en dos partes. La Parte I presenta un resumen de Topolog´ıa General y una exhaustiva introducci´on a la topolog´ıa de los A-espacios extra´ıda del trabajo de fin de grado de ´ Alvaro Luque ([7]), que a su vez es una exposici´on detallada de los primeros cap´ıtulos de [3]. Tambi´en incluimos los resultado de Topolog´ıa Simplicial necesarios para la comparaci´on de la clase de los espacios finitos y la clase de complejos simpliciales (finitos). La Parte II comienza con una introducci´on b´asica a la homotop´ıa de los A-espacios tomada tambi´en de [7]. Como aportaci´on, proponemos una nueva noci´on de homotop´ıa de aplicaciones entre A-espacios basada en la recta de Khalimsky. Seguimos con un estudio detallado de la noci´on de colapso fuerte en [3] y la descripci´on con ellos de las equivalencias de homotop´ıa entre espacios finitos. Terminamos el trabajo con un cap´ıtulo abierto que plantea el problema de encontrar una noci´on de homotop´ıa para la clase de los A-espacios localmente finitos que se corresponda con los colapsos fuertes tipo Siebenmann en complejos simpliciales localmente finitos. Adem´as de las nuevas definiciones de homotop´ıa y colapsos fuertes de Siebenmann, en este trabajo se aportan demostraciones alternativas a algunas de las dadas en [3]. 7 1.5. Conexi´on y Contractibilidad Definici´on 1.5.1. Dado Xun espacio topol´ogico, un camino entre dos elementos x, y ∈Xes una aplicaci´on continua α: [0,1] −→ Xtal que α(0) = xyα(1) = y. En tal caso, se dice que x eyse pueden unir por un camino. La relaci´on de estar unidos por un camino es de equivalencia. Definici´on 1.5.2. Un espacio topol´ogico Xse dice conexo por caminos si todo par de puntos x, y ∈X, se pueden unir por un camino. M´as generalmente, un subconjunto Z⊆Xse llamar´a conexo por caminos si lo es con respecto a su topolog´ıa relativa. Definici´on 1.5.3. Un espacio topol´ogico Xse dice localmente conexo por caminos si para todo x∈Xy todo entorno Nde xexiste otro entorno Mde xque es conexo por caminos y M⊆N. Definici´on 1.5.4. Un espacio Xse dice disconexo si se puede descomponer como la uni´on disjunta de dos conjuntos abiertos (equivalentemente cerrados) disjuntos y no vac´ıos. En caso contrario se dice que es conexo. Nota 1.5.5. Es f´acil probar que Xes conexo si y solo si los ´unicos conjuntos que son simult´aneamente abiertos y cerrados son Xy∅. Proposici´on 1.5.6. Todo espacio conexo por caminos es conexo. En particular, un espacio localmente conexo por caminos es conexo si y solo si es conexo por caminos. La conexi´on por caminos es una noci´on m´as fuerte que la conexi´on topol´ogica, y una noci´on mucho m´as fuerte es la contractibilidad, que definiremos m´as adelante. Definici´on 1.5.7. Dos aplicaciones continuas f, g :X−→ Yse dicen homot´opicas si existe una aplicaci´on continua H:X×[0,1] −→ Y, tal que H(x, 0) = f(x) y H(x, 1) = g(x), para todo x∈X. La aplicaci´on Hse conoce como homotop´ıa entre fyg, y la relaci´on de ser homot´opicas se denotar´a como f≃g. Esta relaci´on es de equivalencia. Definici´on 1.5.8. Una homotop´ıa se dice relativa a un conjunto A⊆Xsi H(a, t) = f(a) = g(a) para todo tya∈A. Definici´on 1.5.9. Una aplicaci´on se dice homot´opicamente trivial si es homot´opica a una constante. Definici´on 1.5.10. Una aplicaci´on continua f:X−→ Yse dice que es una equivalencia de homotop´ıa (o que XeYson homot´opicamente equivalentes) si existe g:Y−→ Xcontinua tal que f◦g≃idYyg◦f≃idX. Definici´on 1.5.11. Un espacio Xse dice contr´actil si es homot´opicamente equivalente a un espacio puntual. Esta condici´on equivale a afirmar que la identidad idXes homot´opica a una aplicaci´on constante c:X−→ X. 14 Definici´on 1.5.12. Un espacio Xse dice localmente contr´actil si para todo x∈Xy todo entorno Nde x, existe otro entorno Mde xque es contr´actil y M⊆N. Definici´on 1.5.13. Un subespacio A⊆Xde un espacio Xse dice que es un retracto de X si existe una aplicaci´on continua r:X−→ A, llamada retracci´on, tal que r(a) = apara todo a∈A. Esto es, si i:A−→ Xes la inclusi´on, r◦ies la identidad de A. Se dice que Aes un retracto de deformaci´on de Xsi adem´as la composici´on i◦res homot´opica a la identidad de X. Adem´as, si se puede encontrar una homotop´ıa i◦r≃idXrelativa a A, se dir´a que es un retracto de deformaci´on fuerte. Definici´on 1.5.14. Un espacio Xse dice localmente compacto si para todo punto x∈Xy para todo entorno Nde xexiste un entorno m´as peque˜no de x,K⊆N, que es compacto. Si YXdenota el conjunto de las aplicaciones continuas de Xen Y, toda homotop´ıa h: X×[0,1] −→ Yinduce una aplicaci´on bh: [0,1] −→ YXdefinida por bh(t)(x) = h(x, t). Si se dota aYXde una topolog´ıa apropiada para la que la aplicaci´on bhsea continua, se podr´an identificar las homotop´ıas entre fygcon caminos en YX. Esta topolog´ıa se conoce como topolog´ıa compacto-abierto, y est´a generada por todas las intersecciones finitas de la forma Tn i=1 hKi, Uiisiendo, para cada i,KiyUiconjuntos compactos y abiertos de XeYrespectivamente, y hK, Ui=f∈YX:f(K)⊆U. Para la topolog´ıa compacto-abierto se tiene un resultado conocido como ley exponencial, que se puede consultar en [12], teorema 46.11. En este teorema se exige la propiedad de Hausdorff aunque no es necesaria: ver teorema 1.5.10 en [7], donde se puede encontrar una demostraci´on del siguiente resultado. Teorema 1.5.15. Sean YyZespacios topol´ogicos y sea Xlocalmente compacto (no necesariamente Hausdorff). Entonces, si YXest´a dotado de la topolog´ıa compacto-abierto, la continuidad de h:X×Z−→ Yes equivalente a la continuidad de la aplicaci´on bh:Z−→ YXdada por bh(Z)(X) = h(X, Z). Es decir, la aplicaci´on h7−→ bhinduce una biyecci´on YX×Z≃(YX)Z. Como consecuencia inmediata del teorema anterior, si tomamos Z= [0,1], el intervalo unidad eucl´ıdeo, se tiene la siguiente identificaci´on de las homotop´ıas como caminos entre aplicaciones. Corolario 1.5.16. Sea Xun espacio localmente compacto. Entonces para todo espacio Y, dos aplicaciones continuas f, g :X−→ Yson homot´opicas si y solo si est´an conectadas por un camino en YXcon la topolog´ıa compacto-abierto. 15 16 CAP´ ITULO 2 Espacios de Alexandrov y Espacios Finitos Este cap´ıtulo es una breve introducci´on a la topolog´ıa de los espacios de Alexandrov, dedic´andole especial atenci´on a los espacios finitos. Se incluir´an algunos de los resultados m´as importantes, que servir´an para el fin de este trabajo. Para las demostraciones y m´as resultados, ver [3] y[7]. 2.1. Espacios de Alexandrov Un espacio topol´ogico (X, T) es un espacio de Alexandrov (A-espacio) si la topolog´ıa Tes cerrada tambi´en bajo intersecciones arbitrarias. Es decir, la intersecci´on arbitraria de abiertos es tambi´en un conjunto abierto. Es obvio que todo espacio finito es un A-espacio, ya que toda intersecci´on de abiertos se puede expresar como una intersecci´on finita. Por tanto, todo lo que se establezca para A-espacios, seguir´a siendo v´alido para espacios finitos. Al estudiar los A-espacios hay que tener en cuenta la existencia de abiertos m´ınimos: Definici´on 2.1.1. Si Xes un A-espacio, se define el abierto m´ınimo o minimal,Uxde x∈X, como la intersecci´on de todos los conjuntos abiertos que contienen a x. De hecho, se tiene que los A-espacios son exactamente aquellos espacios topol´ogicos con abiertos m´ınimos. Nota 2.1.2. No existe ambig¨uedad en usar “m´ınimo” o “minimal” para designar a Ux, pues todo abierto minimal conteniendo a xes inmediatamente m´ınimo. En efecto, si los abiertos Uy Vcontienen a xy son minimales, entonces U∩Ves abierto y x∈U∩V. Como U∩V⊆Uy U∩V⊆V, se sigue que U=V=U∩V. Proposici´on 2.1.3. Xes un A-espacio si y solo si para todo punto x∈X, existe un abierto m´ınimo Uxque lo contiene. Es inmediato comprobar que los abiertos m´ınimos constituyen una base minimal (de hecho 17 m´ınima) para la topolog´ıa de X. El hecho de que los abiertos minimales formen una base lleva a la siguiente caracterizaci´on de la continuidad para A-espacios. Proposici´on 2.1.4. Sea f:X−→ Yuna aplicaci´on entre A-espacios. Entonces fes continua si y solo si f(Ux)⊆Uf(x)para todo x∈X. Lema 2.1.5. Si Xes un A-espacio, entonces Ux=Uysi y solo si {x}={y}. En particular, X es T0si y solo si Ux=Uyes equivalente a x=y. Proposici´on 2.1.6. Si (X, T)es un A-espacio, entonces para todo conjunto Y⊆X, el subespacio (Y, TY)es tambi´en un A-espacio. Adem´as, la familia {Uy∩Y}y∈Yes la base m´ınima de Y. Es decir, los subespacios heredan la propiedad de ser A-espacios. Proposici´on 2.1.7. Sean XeYdos A-espacios. Entonces X×Yes un A-espacio. Adem´as, {Ux×Uy}(x,y)∈X×Yes base m´ınima de X×Y. Definici´on 2.1.8. Una aplicaci´on f:X−→ Yse dice abierta si para todo abierto Gde Xsu imagen f(G) es un abierto de Y. Proposici´on 2.1.9. Si p:X−→ Yes una aplicaci´on cociente y Xes un A-espacio, entonces Ytambi´en lo es. Adem´as, la familia de im´agenes {p(Ux)}x∈Xes base m´ınima de Ysi y solo si la aplicaci´on cociente es abierta. 2.2. Conexi´on y homotop´ıa en A-espacios Las propiedades relativas a la conexi´on de los A-espacios son similares a las de los espacios de inter´es en topolog´ıa algebraico-geom´etrica: poliedros y variedades. Esto es, los A-espacios son tambi´en localmente contr´actiles. Para un A-espacio esto equivale a decir que el abierto m´ınimo es contr´actil. Teorema 2.2.1. Sea Xun A-espacio. Las siguientes condiciones son equivalentes. 1. Xes conexo. 2. Dados x, y ∈X, existe una secuencia x=z1, . . . , zs=y, tal que zi∈Uzi+1 ´o zi+1 ∈Uzi para i<s. 3. Xes conexo por caminos. Lema 2.2.2. Sean f, g :X−→ Ydos aplicaciones continuas, donde Yes un A-espacio. Supongamos que Uf(x)⊆Ug(x)o, equivalentemente, f(x)∈Ug(x), para todo x∈X. Entonces fy gson homot´opicas por una homotop´ıa relativa al conjunto {x∈X:f(x) = g(x)}. 18 Corolario 2.2.3. Si Yes un A-espacio tal que para alg´un y0∈Yse tiene Uy0=Y, entonces Yes contr´actil. Teorema 2.2.4. El espacio cociente X0de un A-espacio Xpor la relaci´on x∼ysi Ux=Uyes un A-espacio T0. M´as a´un, la aplicaci´on cociente p:X−→ X0es una equivalencia de homotop´ıa con inversa homot´opica cualquier aplicaci´on f:X0−→ Xque elija para cada clase de X0un representante de la misma. Definici´on 2.2.5. Al espacio X0dado en el teorema anterior se le llama T0-modelo de X. 2.3. Conjuntos parcialmente ordenados (posets), A-topolog´ıas y pre´ordenes La teor´ıa de los conjuntos parcialmente ordenados se puede considerar parte de la Topolog´ıa, ya que los posets son exactamente los A-espacios T0. A continuaci´on se describe esta equivalencia con detalle. Definici´on 2.3.1. Un preorden Ren un conjunto Xes una relaci´on reflexiva y transitiva. Si un preorden Ren Xes adem´as antisim´etrico, se llamar´a orden parcial (o simplemente orden en X) y decimos que (X, R) es un conjunto parcialmente ordenado o un poset. Se nota x≤ysi (x, y)∈ R. Dos elementos xeydel conjunto preordenado (X, ≤) se dicen que est´an relacionados o que son comparables si x≤y´o x≥y. De lo contrario, se dicen incomparables. Si cada par de elementos son comparables, se dice que (X, ≤) es un conjunto totalmente ordenado. En general, cualquier subconjunto totalmente ordenado de un poset se llamar´a cadena. Un subconjunto A⊆Xse dice una anticadena si ning´un par de sus elementos son comparables. Un elemento xde un conjunto preordenado Xse dice maximal (minimal) si para cada zen Xcon x≤z(z≤x, respectivamente) implica x=z. Se denotar´a por Max(X) (Min(X), respectivamente) al conjunto de los elementos maximales (minimales, respectivamente) de X. Tanto Max(X) como Min(X) son anticadenas. Definici´on 2.3.2. Una aplicaci´on entre conjuntos preordenados f: (X, ≤)−→ (Y, ) se dice que preserva el orden (o que es una aplicaci´on ordenada) si para x≤x0se tiene f(x)f(x0). Se dice que invierte el orden (o es antiordenada) si para x≤x0se tiene f(x0)f(x). La aplicaci´on anterior se dice que es un isomorfismo entre conjunto preordenados si es una biyecci´on tal que fyf−1son aplicaciones ordenadas. Si son antiordenadas se llama antiisomorfismo. Definici´on 2.3.3. Un subconjunto S⊆Xse llama conjunto decreciente si y≤x∈Simplica y∈S, para x, y ∈X. Para x∈X,↓x={y∈X:y≤x}es un conjunto decreciente llamado ideal principal generado por x. De igual manera, un subconjunto S⊆Xse llama conjunto creciente si y≥x∈Simplica 19 y∈S, para x, y ∈X. Para x∈X,↑x={y∈X:y≥x}es un conjunto creciente llamado filtro principal generado por x. En lo que resta de secci´on, se describe la identificaci´on entre A-espacios y conjuntos preordenados, debida a Alexandrov ([1]) y a Tucker ([15]). Denotaremos por Alex a la clase de los A-espacios y aplicaciones continuas, y por PreOrd a la clase de los conjuntos preordenados y aplicaciones que preservan el orden. Lema 2.3.4. Si ≤es un preorden en X, entonces la familia de los ideales principales en X, ↓x={y∈X:y≤x}, x ∈X, es base m´ınima para una A-topolog´ıa sobre Xpara la cual los abiertos son exactamente los conjuntos decrecientes (equivalentemente, los cerrados son los conjuntos crecientes). M´as a´un, si ≤es un orden parcial, entonces esta topolog´ıa es T0. Definici´on 2.3.5. La topolog´ıa anterior se conoce como topolog´ıa del preorden ≤y se denota por T≤. Nota 2.3.6. Tambi´en es base m´ınima para una topolog´ıa sobre Xla familia de filtros principales ↑x, que ser´ıa la topolog´ıa del preorden opuesto definido por x≤op ysi y≤x. Rec´ıprocamente, se tiene el siguiente lema. Lema 2.3.7. En todo A-espacio (X, T)se puede definir un preorden ≤Tllamado preorden de especializaci´on en T, estableciendo x≤Tysi se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes: y∈ {x} ⇐⇒ x∈Uy⇐⇒ {y} ⊆ {x}. M´as a´un, si (X, T)es T0, entonces el preorden ≤Tes, de hecho, un orden parcial. El siguiente teorema da la equivalencia entre pre´ordenes y A-topolog´ıas. Teorema 2.3.8. Toda relaci´on de preorden ≤sobre un conjunto Xcoincide con el preorden de especializaci´on de su topolog´ıa. M´as a´un, toda A-topolog´ıa Tsobre Xes la topolog´ıa de su preorden de especializaci´on. Adem´as, f: (X, ≤)−→ (Y, )es ordenada si y solo si f: (X, T≤)−→ (Y, T)es continua. Nota 2.3.9. Obs´ervese que el abierto m´ınimo de un punto x,Ux, puede definirse, respecto al preorden de especializaci´on ≤T, como Ux=↓x, mientras que la clausura, {x}, puede definirse como {x}=↑x. El teorema anterior puede reescribirse de la siguiente forma: 20 Teorema 2.3.10. Existe una equivalencia entre la clase Alex y la clase PreOrd, que hace corresponder a un A-espacio (X, T)el conjunto preordenado (X, ≤T), y a una aplicaci´on continua f: (X, TX)−→ (Y, TY)ella misma, f: (X, ≤TX)−→ (Y, ≤TY)vista entre conjuntos preordenados. Esta equivalencia se restringe a una equivalencia entre los A-espacios T0y los conjuntos parcialmente ordenados. La equivalencia entre conjuntos preordenados y A-espacios permite traducir las propiedades topol´ogicas de los A-espacios en t´erminos de los pre´ordenes que definen. As´ı los elementos minimales de un conjunto preordenado (X, ≤) son abiertos unitarios de la A-topolog´ıa asociada al preorden. Igualmente, los elementos maximales de Xson conjuntos cerrados unitarios. En particular, Min(X) es un subespacio abierto discreto y Max(X) es un subespacio cerrado discreto. Como todo poset finito tiene alg´un elemento maximal y minimal, todo espacio finito T0posee al menos un punto que es subconjunto cerrado y otro punto que es abierto. Terminamos esta secci´on recordando c´omo quedan caracterizadas la conexi´on y la compacidad de los A-espacios por medio del orden asociado. Para la conexi´on se tiene como consecuencia inmediata del Teorema 2.2.1: Teorema 2.3.11. Un A-espacio Xes conexo (o, equivalentemente, conexo por caminos) si y solo si existe una secuencia de elementos comparables para el orden de especializaci´on entre dos puntos cualesquiera de X. Para la compacidad se tiene el siguiente resultado: Teorema 2.3.12. Un A-espacio es compacto si y solo si Max(X)es finito, y todo x∈Xes menor que alg´un elemento de Max(X). 2.4. Diagramas de Hasse Dado un poset (X, ≤), se llama diagrama de Hasse asociado a X al grafo orientado H(X), en el que sus v´ertices son los elementos de Xy sus aristas son los pares ordenados (a, b) tales que a<by no existe ctal que a<c<b. Como cada espacio topol´ogico finito (X, T) puede ser identificado con un poset, se llama diagrama de Hasse del espacio al diagrama del poset que determina. Usualmente, H(X) se dibuja en el plano de tal manera que, si a<b, entonces el v´ertice que representa a best´a arriba del v´ertice que represente a a, quedando la direcci´on de la arista de a abbien definida por el dibujo. Veamos los siguientes ejemplos: 21 Ejemplo 2.4.1. 1. Sea el poset ({1,2,3,4},≤), su diagrama de Hasse se representa en la Figura 3 (a). 2. Sea el poset ({1,2,3,4,6,8,12},|), donde a|bsi bes divisible por a. Su diagrama de Hasse asociado se representa en la Figura 3 (b). Figura 3: Ejemplos de diagramas de Hasse asociados a posets. 22 CAP´ ITULO 3 Topolog´ıa Simplicial El estudio de los poliedros constituye una rama de la Topolog´ıa conocida como Topolog´ıa Simplicial o Poliedral. En esta secci´on se exponen los resultados b´asicos de esta disciplina. Para m´as detalle se puede consultar [2] y[11]. 3.1. Complejos simpliciales Una colecci´on de puntos {a0, . . . , an} ⊆ Rmse dice af´ınmente independiente si los vectores {a1−a0, . . . , an−a0}son linealmente independientes. El n-s´ımplice generado por {a0, . . . , an}es el conjunto convexo σn=(x∈Rm:x= n X i=0 λiaicon n X i=0 λi= 1, λi≥0). Los coeficientes λison llamados coordenadas baric´entricas y los puntos aicon 0 ≤i≤nse llaman v´ertices de σy se escribir´a σ= (a0, . . . , an) para dar expl´ıcitamente los v´ertices de σ. As´ı, un 0-s´ımplice es un punto, un 1-s´ımplice es un segmento, un 2-s´ımplice es un tri´angulo y un 3-s´ımplice es un tetraedro. Dado un s´ımplice σ, el interior (af´ın) de σes el conjunto ◦ σ={x∈σ:λi>0 para todo 0 ≤i≤n}. Definici´on 3.1.1. Sean σyτdos s´ımplices en Rm. Se dice que τes cara de σy se denota por τ≤σ, si los v´ertices de τson v´ertices de σ. Si τ6=σyτ≤σse dice que τes una cara propia de σy se denota por τ < σ. Si τ≤σ, se dir´a que ◦ τes una cara abierta de σ. La uni´on de caras propias de un n-s´ımplice σ= (a0, . . . , an) se llama borde de σ, y se denota por • σ. N´otese que • σ={x∈σ:x=Pn i=0 λiaital que λj= 0 para alg´un j}, y por tanto ◦ σ=σ−• σ. Lema 3.1.2. Se tienen las dos propiedades siguientes: 1. Todo s´ımplice es uni´on disjunta de sus caras abiertas. 23 dice aplicaci´on simplicial si para todo s´ımplice sde A1,ϕ(s) es un s´ımplice de A2. De esta forma, ϕser´a un isomorfismo simplicial si adem´as es una biyecci´on entre V1yV2. Una aplicaci´on simplicial se denota ϕ:A1−→ A2. Definici´on 4.1.2. Una realizaci´on geom´etrica de un complejo abstracto Aes un complejo simplicial Kcuyo complejo abstracto A(K) es simplicialmente isomorfo a A. Teorema 4.1.3. Todo complejo abstracto finito y de dimensi´on ≤nadmite una realizaci´on geom´etrica en R2n+1. Notaci´on 4.1.4. A partir de ahora todo complejo abstracto se identificar´a con una realizaci´on geom´etrica suya. 4.2. Poliedros asociados a espacios finitos Sea Xun espacio finito T0, se llama complejo orden de Xal complejo abstracto K(X) tal que los v´ertices de K(X) son los puntos de Xy sus s´ımplices son las cadenas finitas del orden de especializaci´on de X(ver Secci´on 2.3). M´as a´un, toda aplicaci´on continua f:X−→ Yentre espacios finitos T0define una aplicaci´on simplicial K(f) : K(X)−→ K(Y) que env´ıa la cadena x0≤x1≤ · · · ≤ xnen la cadena f(x0)≤f(x1)≤ · ·· ≤ f(xn). Lema 4.2.1. Sea Xun espacio finito T0, entonces para todo x∈Xse tiene que lk(x, K(X)) = K(Ux−{x})∗K({x}−{x}). Adem´as, si xes un punto eliminable ascendentemente, K({x}−{x}) es un cono, y si xes un punto eliminable descentemente, lo es K(Ux− {x}). Demostraci´on. Sabemos que en K(X) los v´ertices son los puntos de Xy los s´ımplices se corresponden con las cadenas ordenadas x1≤x2≤ · · · ≤ xnde X. Por definici´on, st(x, K(X)) = {τ∈ K(X) : ∃ρ∈Kcon x≤ρyτ≤ρ}. Sea ρ= (y1. . . ys)∈ K(X) tal que x∈ρ. As´ı ρes una cadena en Xde la forma ρ= (y1≤ y2≤ · · · ≤ yi≤x≤yi+1 ≤ · ·· ≤ ys). Es decir, respecto al orden de X,st(x, K(X)) puede verse como: st(x, K(X)) = {cadenas de Xque contienen a xy sus subcadenas}. Por otro lado, lk(x, K(X)) = {σ∈st(x, K(X)) : x /∈σ}. As´ı que, especto al orden de Xtenemos: lk(x, K(X)) = {τ− {x}:τes una cadena de Xque contienen a x}. 30 Es decir, en lk(x, K(X)) estar´a formado por cadenas en las que todos sus elementos son o bien menores que x, o bien mayores que x. Esto es: lk(x, K(X)) = K(Ux− {x})∗ K({x}−{x}). Para la segunda parte de la demostraci´on, sea x∈Xun punto eliminable ascendentemente y sea y∈Xtal que y≥zpara todo z≥x(la Figura 5 (a) muestra el diagrama de Hasse alrededor de x). Esto se puede escribir respecto a la topolog´ıa mediante la igualdad: {x}={y}∪{x}. Por tanto, K({x}−{x}) = K({y}) = yK({y}−{y}), que es un cono. De manera an´aloga, si x∈Xes un punto eliminable descendentemente como se indica en la Figura 5 (b), Ux=Uy∪ {x}. Por tanto, K(Ux− {x}) = K(Uy) = yK(Uy− {y}), que es un cono. Figura 5 Para el poliedro |K(X)|siempre es posible definir una aplicaci´on ψX:|K(X)| −→ Xde la siguiente manera: dado z∈ |K(X)|, sea s={x0≤x1≤ · · · ≤ xn}el s´ımplice soporte de zen K(X). Entonces se toma ψX(z) = x0= m´ın s. (4.1) 31 La continuidad de ψXse sigue de que, para todo x∈X,ψ−1(Ux) = Sy≤x ◦ st(y, K(X)). M´as a´un, ψXhace que el siguiente diagrama sea conmutativo: (4.2) La conmutatividad sigue de la observaci´on de que si s= (x0≤x1≤ · · · ≤ xn) es el s´ımplice soporte de z, entonces, por definici´on, K(f)(z) tiene a K(f)(s) como s´ımplice soporte; adem´as, por preservar fel orden, f(m´ın s) = m´ın f(s). McCord demostr´o en [10] el siguiente teorema: Teorema 4.2.2. Para todo espacio finito XyT0, la aplicaci´on ψXes una equivalencia de homotop´ıa d´ebil. Recordemos la noci´on de equivalencia de homotop´ıa d´ebil: Definici´on 4.2.3. Si [X, Y ] denota el conjunto cociente YX/≃por la relaci´on de homotop´ıa, toda aplicaci´on f:Y−→ Zinduce una aplicaci´on f∗: [X, Y ]−→ [X, Z] dada por f∗([g]) = [f◦g]. Obs´ervese que si g≃g0yf≃f0, entonces se tiene que f◦g≃f0◦g0por la compatibilidad de la relaci´on de la homotop´ıa con la composici´on de aplicaciones. En particular, f∗est´a bien definida y f∗=f0 ∗. Una aplicaci´on continua se llama una equivalencia de homotop´ıa d´ebil si para todo complejo simplicial finito Kse tiene que f∗: [|K|, X]−→ [|K|, Y ] es una biyecci´on. Dos espacios X eYson del mismo tipo de homotop´ıa d´ebil (o d´ebilmente homot´opicamente equivalentes) si existe una secuencia de espacios X=X0, X1, . . . , Xn=Ytal que para cada 1 ≤i≤nhay equivalencias d´ebiles Xi→Xi+1 ´o Xi+1 →Xi. Es claro que toda equivalencia de homotop´ıa es una equivalencia de homotop´ıa d´ebil. M´as a´un, el rec´ıproco es cierto para los poliedros. Como consecuencia se obtiene que si XeYson espacios finitos T0del mismo tipo de homotop´ıa d´ebil, entonces sus complejos de orden definen poliedros del mismo tipo de homotop´ıa. Nota 4.2.4. Si bien ψXes siempre una equivalencia de homotop´ıa d´ebil, solo puede ser una equivalencia de homotop´ıa cuando |K(X)|es una uni´on disjunta de poliedros contr´actiles. En efecto, si Xno es conexo y X1, . . . , Xmson sus componentes conexas, se tiene por construcci´on que ψXes la uni´on de las aplicaciones ψXi:|K(Xi)| −→ Xi. As´ı pues, sea Xconexo y supongamos que existe g:X−→ |K(X)|tal que las composiciones ψX◦gyg◦ψXson homot´opicas a las correspondientes identidades. En particular, la imagen de g◦ψX:|K(X)| −→ |K(X)|debe ser un subconjunto conexo de un poliedro y contener solo una cantidad finita de puntos. Esto solo es posible si es un ´unico punto, luego la identidad de |K(X)|es homot´opica a una constante y por tanto este poliedro debe ser contr´actil. 32 Sin embargo, a´un siendo el poliedro |K(X)|contr´actil, ψXpuede no ser una equivalencia de homotop´ıa, como muestra el siguiente ejemplo (puede encontrarse en el Ejemplo 4.2.1 de [3]). Ejemplo 4.2.5. Sea Xel espacio finito cuyo diagrama de Hasse aparece en la Figura 6 (a). Es inmediato que no tiene puntos eliminables, por tanto es un espacio minimal y no puede ser contr´actil. Sin embargo, su complejo simplicial asociado, K(X), es la triangulaci´on del cuadrado que aparece en la Figura 6 (b). Entonces, usando el Teorema 4.2.2,Xes del tipo de homotop´ıa d´ebil de un punto, pero no es contr´actil. Este ejemplo muestra que la contractibilidad de un espacio finito Xno equivale a la contractibilidad de su complejo simplicial asociado K(X). A la caracterizaci´on de la contractibilidad de Xdedicaremos el Cap´ıtulo 6. Figura 6 4.3. Espacios finitos asociados a complejos La estructura combinatoria de un complejo simplicial Kda lugar de manera natural a un poset finito X(K) = (X(K),≤), al considerar como puntos de X(K) a los s´ımplices de Ky la relaci´on de orden ≤como la relaci´on de ser cara. De esta manera, en el espacio finito asociado a este orden, el abierto minimal Usde s∈ X(K) coincide con el subcomplejo de Kformado por s y todas sus caras. Dada una aplicaci´on simplicial f:K−→ L, se define X(f) : X(K)−→ X(L) por X(f)(s) = f(s). N´otese que X(f) preserva el orden y por tanto es continua entre los espacios finitos. A X(K) se le llama espacio finito asociado a K. Existe un isomorfismo simplicial tK:K(X(K)) −→ sd(K) que asocia a cada cadena σ0≤ · · · ≤ σnel s´ımplice (b(σ0), . . . , b(σn)). M´as a´un, si ϕ:K−→ Les una aplicaci´on simplicial, el siguiente diagrama es conmutativo, donde sd(ϕ) : sd(K)−→ sd(L) es la aplicaci´on simplicial inducida por ϕque lleva el baricentro b(σ) en el baricentro b(ϕ(σ)): 33 (4.3) De acuerdo con el Teorema 4.2.2 tenemos una equivalencia de homotop´ıa d´ebil ψX(K): |K(X(K))| −→ X(K). Teorema 4.3.1. Mediante el isomorfismo simplicial tKse obtiene una equivalencia de homotop´ıa d´ebil ΦK=ψ(K)◦t−1 K:|K|=|sdK| −→ |K(X(K))| −→ X(K). De hecho, la aplicaci´on es natural en el sentido de que el siguiente diagrama es conmutativo: donde ϕ:K−→ Les una aplicaci´on simplicial. Esto es consecuencia de la conmutatividad de los diagramas (4.2) y(4.3). Aunque |K|=|sdK|, el diagrama anterior no es conmutativo si se sustituye sd(ϕ) por ϕ, pues en general, sd(ϕ) y ϕno coinciden como aplicaciones entre poliedros. No obstante, ϕ:K−→ L es aproximaci´on simplicial de sd(ϕ) : |K|=|sdK| −→ |sdL|=|L|, ya que el s´ımplice soporte de sd(ϕ)(x) en Lcoincide con el de ϕ(x). As´ı, ambas aplicaciones son homot´opicas y se tiene, por tanto, que ΦL◦ϕ≃ X(ϕ)◦ΦK. Mediante los operadores XyKse definen y desarrollan, para espacios finitos T0, herramientas an´alogas a las de la topolog´ıa simplicial, basadas en las ideas de subdivisi´on baric´entrica y aproximaci´on simplicial. As´ı, se define la subdivisi´on baric´entrica del espacio finito T0Xcomo el espacio finito X0=X ◦ K(X). Esta consecuencia se puede iterar y se obtiene la n-´esima subdivisi´on baric´entrica de Xcomo sdm X= (X ◦ K)n(X). Adem´as, toda aplicaci´on h:X−→ Y entre espacios finitos T0define una aplicaci´on sdm Xh= (X ◦ K)n(h). Si el isomorfismo simplicial tKdel diagrama (4.2) se usa como identificaci´on, sdnysdn Xest´an ligados por la igualdad K ◦ sdn X(X) = sdn◦ K(X). 34 CAP´ ITULO 5 Homotop´ıa en A-espacios Como vimos en la Secci´on 1.5, las homotop´ıas entre aplicaciones de Xen Yse traducen en la conexi´on por caminos en el espacio YXde tales aplicaciones con la topolog´ıa compacto-abierto. A continuaci´on estudiamos las homotop´ıas en la clase de los A-espacios. 5.1. Homotop´ıa en A-espacios y orden Es natural buscar una formulaci´on de las homotop´ıas entre aplicaciones de A-espacios en t´erminos de una relaci´on de orden. Para ello se observa que si XeYson A-espacios (o, equivalentemente, conjuntos preordenados), se puede dotar a YXcon el orden: f≤gsi f(x)≤g(x) en el preorden de Ypara todo x∈X. (5.1) Para la topolog´ıa de Alexandrov asociada a este preorden, la conexi´on por caminos corresponde a la conexi´on por secuencias de aplicaciones comparables por ese orden (Teorema 2.3.11). En general, la topolog´ıa compacto-abierto no coincide con la topolog´ıa para este orden, por lo que a una homotop´ıa no siempre se le podr´a asociar una secuencia de aplicaciones comparables. Sin embargo, esto s´ı ocurre para los espacios finitos, m´as expl´ıcitamente: Proposici´on 5.1.1. Si Xes un espacio finito e Yes cualquier A-espacio, la topolog´ıa compactoabierto sobre YXcoincide con la A-topolog´ıa del orden en (5.1). Como una consecuencia inmediata de esta proposici´on se tiene Corolario 5.1.2. Dos aplicaciones fygson homot´opicas si y solo si existe una sucesi´on de aplicaciones f0, ..., fntales que f0=f, fn=gyfies comparable a fi+1 para todo 0≤i≤n−1. La secuencia en el corolario anterior se puede conseguir de manera que la diferencia entres dos aplicaciones consecutivas de la misma sea solo en un punto. Esto es, 35 Proposici´on 5.1.3. Sean f, g :X−→ Ydos aplicaciones homot´opicas entre espacios finitos T0. Entonces existe una sucesi´on f=f0, f1, . . . , fn=gtal que para todo 0≤i < n existe un punto xi∈Xcon las siguientes propiedades: 1. fiyfi+1 coinciden en X− {xi}. 2. fi(xi)≺fi+1(xi)´o fi+1(xi)≺fi(xi). Demostraci´on. Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que f=f0≤gpues el caso f0≥g es an´alogo y podemos razonar paso a paso en la secuencia dada entre fygpor el Corolario 5.1.2. Se define el conjunto A={x∈X:f(x)6=g(x)}. Si A=∅, entonces f=gy no hay nada que probar. Supongamos, por tanto, A6=∅y sea x0un punto maximal de A. Se define f1:X−→ Y como f1(x) = f(x) si x6=x0yf1(x0) = g(x0). Afirmamos que f1es continua. En efecto, si x≤x0con x, x06=x0,f1(x) = f(x)≤f(x0) = f1(x0) por ser fcontinua. Ahora, si x≤x0 entonces f1(x) = f(x)≤g(x)≤g(x0) = f1(x0), usando la continuidad de g. En caso de que x0≤x, la maximilidad de x0es Anos dice que f(x) = g(x) a menos que x=x0. Entonces si x0< x,f1(x0) = g(x0) = f(x0)≤f(x) = f1(x). Esto demuestra la continuidad de f1. M´as a´un, f1≤gyA1={x∈X;f1(x)6=g(x)}=A− {x0}. Ahora repetimos el razonamiento con A1. Reiter´andolo llegamos a agotar Ay obtenemos una secuencia f=f0≤f1≤ · · · ≤ fn=g. 5.1.1. Una demostraci´on directa del Corolario 5.1.2 En las referencias habituales de la literatura sobre la homotop´ıa de espacios finitos, como [3] o [8], la caracterizaci´on de las homotop´ıas como secuencias de aplicaciones comparables dada en el Corolario 5.1.2 se apoya en el uso de la topolog´ıa compacto-abierto tal y como hemos hecho aqu´ı. Parece interesante dar una demostraci´on directa que solo utilice resultados b´asicos dados en el Grado de Matem´aticas. Demostraci´on alternativa del Corolario 5.1.2.Sea H:X×I→Yuna homotop´ıa entre las aplicaciones f, g :X→Ydonde Xes un espacio finito e Yun A-espacio cualquiera. Por continuidad, para cada x∈Xyt∈Iexiste un =(x, t)>0 tal que H(Ux×(t−, t +)) ⊆ UH(x,t)(ver Proposici´on 2.1.4). Como Xes finito, para cada t∈Ise puede tomar (t) = m´ın{(x, t); x∈X}. Tenemos entonces que dado cualquier t∈I, H(Ux×(t−(t), t +(t)) ⊆UH(x,t)para todo x∈X. (5.2) Sea δ > 0 el n´umero de Lebesgue del recubrimiento de Ipor los intervalos (t−(t), t +(t)) (t∈I). Ahora sea 0 = s0< s1< . . . < sn= 1 una partici´on de Ital que si+1 −si< δ para todo 36 i. As´ı pues para cada subintervalo [si, si+1] existe un ti∈Icon [si, si+1]⊆(ti−(ti), ti+(ti)) y por (5.2) H(Ux×[si, si+1]) ⊆UH(x,ti)para todo x∈X. En particular, para las aplicaciones continuas fi=H|X×{si}ygi=H|X×{ti}tenemos fi(x)≤ gi(x)≥fi+1(x). Esto es, f=f0≤g0≥f1≤g1≥f2≤. . . fn−1≤gn−1≥fn=g. 5.2. Espacios finitos minimales Para los espacios finitos, la caracterizaci´on de aplicaciones homot´opicas dada en la Proposici´on 5.1.3 permiti´o a Stong ([14]) dar un m´etodo para reducir el estudio de los tipos de homotop´ıa de estos espacios al de tipos de homeomorf´ıa. A continuaci´on se exponen algunos de los resultados obtenidos por Stong y que puede verse tambi´en en [3] o[8]. Definici´on 5.2.1. Sea Xun A-espacio. Un punto x∈Xse dice que es eliminable ascendentemente o que es un punto e.a. si existe y∈Xcon y≥xtal que z≥xen Ximplica z≥y. Igualmente, un punto x∈Xse dice eliminable descendentemente o que es un punto e.d. si existe y∈Xcon y≤xtal que z≤ypara todo z≤x. Se dir´a que un punto x∈Xes eliminable si lo es ascendentemente o descendentemente. Si x∈Xes un punto eliminable, X− {x}se llamar´a una reducci´on de X. Diremos que Xse reduce a Ysi existe una secuencia de reducciones X=X0, X1, . . . , Xn=Y. Proposici´on 5.2.2. Si xes un punto eliminable en X, entonces la inclusi´on i:X− {x},−→ X es una equivalencia de homotop´ıa. Definici´on 5.2.3. Un A-espacio se dice minimal si no tiene puntos eliminables. A todo subespacio minimal de un A-espacio que sea retracto de deformaci´on de Xse le llama un n´ucleo de X. Teorema 5.2.4. Sea Xun espacio finito. Entonces Xadmite un n´ucleo. Adem´as, se tiene por el siguiente resultado que todos los n´ucleos de un mismo espacio finito son homeomorfos. Teorema 5.2.5. Sea Xun espacio minimal finito y sea f:X−→ Xhomot´opica a la identidad. Entonces fes la identidad. En particular, toda equivalencia de homotop´ıa entre espacios minimales finitos es un homeomorfismo. Este teorema tiene como consecuencia los siguientes corolarios: Corolario 5.2.6. Dos espacios finitos T0son homot´opicamente equivalentes si y solo si tienen n´ucleos homeomorfos. 37 Corolario 5.2.7. Todo espacio minimal finito con m´as de un punto no es contr´actil. Ahora veremos que el operador Ktransforma la clase de homotop´ıa de una aplicaci´on f: X−→ Yen la clase de contig¨uidad de la aplicaci´on simplicial K(f) : K(X)−→ K(Y). Recordemos la noci´on de contig¨uidad, bien conocida en Topolog´ıa Simplicial. Definici´on 5.2.8. Dos aplicaciones simpliciales ϕ, ψ :K−→ Lse dice que son contiguas si para todo s´ımplice σ∈Kse tiene que ϕ(σ)∪ψ(σ) es un s´ımplice de L. Adem´as, se dir´a que ϕyψest´an en la misma clase de contig¨uidad, denotado por ϕ∼ψ, si existe una sucesi´on ϕ=ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn=ψtal que ϕiyϕi+1 son contiguas para todo 0 ≤i<n. Nota 5.2.9. Si ϕ, ψ :K−→ Lest´an en la misma clase de contig¨uidad, las aplicaciones inducidad en los poliedros subyacentes, |ϕ|,|ψ|:|K| −→ |L|son homot´opicas. Sea x∈ |K|, para el s´ımplice soporte de x,σ= (v0. . . vn), tenemos x=Pn i=0 λivicon λ1>0. Entonces, ya que τ=ϕ(σ)∪ψ(σ) es un s´ımplice de L, tenemos ϕ(x)∈◦ ϕ(σ)⊆ϕ(σ)≤τ ψ(x)∈◦ ψ(σ)⊆ψ(σ)≤τ Por ser τconvexo podemos definir la homotop´ıa H:K×[0,1] −→ L H(x, t) = (1 −t)ϕ(x) + tφ(x) De modo que H(x, 0) = ϕ(x) H(x, 1) = ψ(x) y por tanto ϕ, ψ son homot´opicas. Lema 5.2.10. Si ϕ1, ϕ2:K−→ L,ψ1, ψ2:L−→ Mson aplicaciones simpliciales tales que ϕ1∼ϕ2yψ1∼ψ2, entonces ψ1ϕ1∼ψ2ϕ2. Demostraci´on. Como ϕ1∼ϕ2, se tiene que, para σ∈K, los v´ertices que aparecen en ϕ1(σ)∪ ϕ2(σ) forman un s´ımplice de L. Usando la contig¨uidad de ψ1con ψ2, tenemos que los v´ertices en ψ1(ϕ1(σ)∪ϕ2(σ))∪ψ2(ϕ1(σ)∪ϕ2(σ)) forman un s´ımplice τde M. En particular, los v´ertices en ψ1ϕ1(σ)∪ψ2ϕ2(σ) forman una cara de τy por ello un s´ımplice de M. Proposici´on 5.2.11. Sean f, q :X−→ Ydos aplicaciones homot´opicas entre espacios finitos T0. Entonces, las aplicaciones simpliciales K(f),K(g) : K(X)−→ K(Y)est´an en la misma clase de contig¨uidad. Demostraci´on. Como fygson homot´opicas, existe una sucesi´on de aplicaciones comparables entre fyg. Supongamos que tiene la forma f≤f1≥f2≤ · · · ≤ fn≥g. Por la Proposici´on 38 5.1.3 podemos suponer que existen pi∈Xpar i= 1, . . . , n cumpliendo que: f1=fsalvo en p1⇒f(p1)≤f1(p1) f2=f1salvo en p2⇒f2(p2)≤f1(p2) . . . fn=gsalvo en pn⇒g(pn)≤fn(pn) (5.3) Ahora, todo s´ımplice σ∈ K(X) corresponde a una cadena en X. Si σno contiene a p1entonces K(f)(σ) = f(σ) = f(σ1) = K(f1)(σ1). Si σ={x1≤x2≤ · · · ≤ xi≤p1≤xi+1 ≤ · · · ≤ xn}, entonces f(σ) = {f(x1)≤f(x2)≤ · · · ≤ f(xi)≤f(p1)≤f(xi+1)≤ · · · ≤ f(xn)}, f1(σ) = {f1(x1)≤f1(x2)≤ · · · ≤ f1(xi)≤f1(p1)≤f1(xi+1)≤ · · · ≤ f1(xn)}. Como f=f1en X− {p1}, y f(p1)≤f1(p1), tenemos que f(σ)∪f1(σ) es la cadena {f(x1)≤f(x2)≤f(x1)≤f(p1)≤f1(p1)≤f(xi+1)≤ · · · ≤ f(xn)} Esto es, K(f) y K(f1) son contiguas. Reiterando el proceso llegamos a que K(f) y K(g) est´an en la misma clase de contig¨uidad. La demostraci´on es an´aloga para cualquier otra secuencia de aplicaciones comparables entre f yg. Proposici´on 5.2.12. Sean ϕ, ψ :K−→ Ldos aplicaciones simpliciales que est´an en la misma clase de contig¨uidad. Entonces, X(ϕ)yX(ψ)son homot´opicas. Demostraci´on. Por la transitividad de la relaci´on de homotop´ıa basta demostrar el caso en el que ϕyψsean contiguas. Esto es, para todo s´ımplice σde K,σ= (v0. . . vn), los v´ertices de ϕ(σ)∪ψ(σ), {ϕ(v0), . . . , ϕ(vn), ψ(v0), . . . , ψ(vn)} lo son de un s´ımplice de L. Definimos la aplicaci´on f:X(K)−→ X (L) f(σ) = ϕ(σ)∪ψ(σ) Esta aplicaci´on es continua porque, si σ≤τ, entonces ϕ(σ)≤ϕ(τ), ψ(σ)≤ψ(τ) y f(σ)≤f(τ). Adem´as, como X(ϕ)(σ)=(ϕ(v0), . . . , ϕ(vn)), f(σ)=(ϕ(v0), . . . , ϕ(vn), ψ(v0), . . . , ψ(vn)), X(ψ)(σ)=(ψ(v0), . . . , ψ(vn)), se sigue que X(ϕ)(σ)≤f(σ) y X(ψ)(σ)≤f(σ). Entonces, se tiene que X(ϕ)≤f≥ X(ψ), y por ello X(ϕ) y X(ψ) son homot´opicas. 39 Finalmente, si ahora tenemos una K∗-homotop´ıa H:X×K∗→Y, consideramos las K+- homotop´ıas dadas por las restricciones de HaX×(K≥0∪ {+∞}) y X×(K≤0∪ {−∞}) entre H(−,0) y fyH(−,0) y g, respectivamente, y aplicamos la propiedad transitiva de la relaci´on de homotop´ıa cl´asica. Nota 5.3.12. La restricci´on ψ:R≥0→K≥0de la aplicaci´on ψusada en la demostraci´on anterior es la generalizaci´on de la equivalencia d´ebil ψdefinida para espacios finitos en (4.1) ya que el poliedro asociado K(K≥0) es justamente la semirrecta eucl´ıdea con la triangulaci´on dada por los intervalos [n, n + 1] (n≥0). An´alogamente K(X) es la recta Rtriangulada por [n, n + 1] con n∈Z. En resumen, podemos considerar tres relaciones de homotop´ıa en la clase de A-espacios: la ordinaria, la definida aqu´ı como K∗-homotop´ıa y la homotop´ıa definida por secuencias de aplicaciones relacionadas por el orden natural en YX. Las tres coinciden para los espacios finitos y se tiene que toda homotop´ıa dada por el orden es una K∗-homotop´ıa y que toda K∗-homotop´ıa da lugar una homotop´ıa ordinaria. Sabemos que hay K∗-homotop´ıas que no proceden del orden de YX(la identidad idK≥0y la constante c0son K∗-homot´opicas, pero no A-homot´opicas). Queda aqu´ı abierto el problema de encontrar dos aplicaciones entre A-espacios homot´opicas que no sean K∗-homot´opicas. 46 CAP´ ITULO 6 Homotop´ıa en A-espacios y homotop´ıa fuerte en complejos simpliciales Como ya se vio en la Secci´on 5.2, las equivalencias d´ebiles de homotop´ıa entre espacios finitos se corresponden, por el operador K, con equivalencias de homotop´ıa entre los poliedros asociados. Se plantea el problema de definir la operaci´on que sobre los poliedros describe las equivalencias de homotop´ıa ordinaria entre espacios finitos. Barmak y Minian probaron que tal operaci´on es el colapso fuerte. Este cap´ıtulo expone la parte del Cap´ıtulo 5 de [3] que contiene los resultados necesarios para demostrar c´omo los colapsos fuertes se corresponden, via el operador K, con las equivalencias de homotop´ıa de los espacios finitos. 6.1. Colapsos y colapsos fuertes en complejos simpliciales En esta secci´on se introduce la noci´on de colapso para complejos simpliciales, usando los conceptos previamente definidos en la Secci´on 3. Definici´on 6.1.1. Sea Lun subcomplejo de un complejo simplicial K. Se dice que hay un colapso simplicial elemental de KaLsi existe un s´ımplice σde Ky un v´ertice ade Ktal que aσ ∈K, y L=K− {aσ, σ}(en particular, L∩σ=a• σ). Equivalentemente, existen solo dos s´ımplices σ, τ de Kque no est´an en Ly tales que τes el ´unico s´ımplice que contiene a σ. En este caso, σse dice cara libre de τ. Los colapsos elementales se denotar´an por K&eL. Definici´on 6.1.2. Sea Lun subcomplejo de un complejo simplicial K. Se dice que Kcolapsa simplicialmente aL(o que Lexpande aK) si existe una secuencia de complejos simpliciales finitos K=K1, K2, . . . , Kn=Lde forma que Ki&eKi+1 para todo i. Se denotar´a por K&L (o L%K). 47 Figura 11: Complejo simplicial que colapsa al borde de un 2-s´ımplice. Definici´on 6.1.3. Dos complejos simpliciales KyLse dice que tienen el mismo tipo de homotop´ıa simple o que son simplemente homot´opicamente equivalentes si existe una secuencia K=K1, K2, . . . , Kn=Lde forma que o bien Ki&Ki+1 o bien Ki%Ki+1 para todo i. Nota 6.1.4. N´otese que si existe un colapso elemental K&eL, entonces |L|es un retracto de deformaci´on fuerte de |K|. En efecto, todo s´ımplice σ= (v0. . . vn) se retrae a su cara σ0= (v0. . . vn−1) mediante la aplicaci´on simplicial ϕ:σ−→ σ0tal que ϕ(vn) = v0, ϕ(vj) = vjpara todo j= 0, . . . , n −1. De forma que ϕ(λ0v0+· · · +λnvn) = (λn+λ0)v0+λ1v1+· · · +λn−1vn−1(6.1) donde (λ0, . . . , λn) son las coordenadas baric´entricas de un punto de σ. Adem´as, ϕes un retracto de deformaci´on fuerte pues la aplicaci´on H:σ×I−→ σtal que H(x, t) = (1 −t)x+tϕ(x). est´a bien definida por ser σconvexo, y adem´as:        H(x, 0) = id H(x, 1) = ϕ(x) H(x, t) = xsi x∈σ0 Se tiene as´ı que Hes una homotop´ıa entre idσyi◦ϕ, donde i:σ0⊆σes la inclusi´on. Supongamos ahora que τ= (v1, . . . , vn) es una cara libre de σ= (v0, . . . , vn)∈K. Si b(τ) es el baricentro de τ,σadmite la subdivisi´on dada por el cono reiterado b(τ)(v0 • τ). Sea σjel s´ımplice σj=b(τj)vjdonde τj= (v0. . . bvj. . . vn) es la j-´esima cara de τ. Definimos las aplicaciones simpliciales, para todo j,ϕj:σj−→ (v0τj) = σ0igual que en (6.1). Estudiamos la compatibilidad de estas aplicaciones. Sea x∈σi∩σk, es decir, x∈b(τ)(v0. . . bvi. . . bvk. . . vn) de forma que x=ξ0v0+λ0b(τ) + λ1v1+· · · +b λivi+· · · +c λkvk+· · · +λnvn. 48 As´ı, se tiene que (ϕi(x)=(ξ0+λ0)v0+λ1v1+· · · +b λivi+· · · +c λkvk+· · · +λnvn ϕk(x)=(ξ0+λ0)v0+λ1v1+· · · +b λivi+· · · +c λkvk+· · · +λnvn Y, por tanto, ϕi(x) = ϕk(x) para un xarbitrario. La uni´on de todas las aplicaciones ϕjdefine un retracto con deformaci´on fuerte de σsobre v0 • τ. Definici´on 6.1.5. Un complejo simplicial Kes colapsable si colapsa a uno de sus v´ertices. Se denotar´a por K& ∗. Un complejo puede colapsar a un punto por una secuencia de colapsos pero no necesariamente por otra, como muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.1.6. Consideremos un cubo dividido en dos “plantas” y dividimos cada planta en prismas que triangulamos sin a˜nadir muchos v´ertices. 1. Podemos colapsar aprovechando las caras libres situadas en la “tapa” del cubo y colapsamos prisma a prisma toda la segunda planta al techo de la primera. Repetimos los colapsos an´alogos a los de la segunda planta hasta colapsar la primera planta sobre su suelo, y despu´es ese cuadrado colapsa sobre un lado que terminar´a colapsando a punto. 2. Otra manera de colapsar ser´ıa la siguiente: Consideramos dos prismas P1yP2en la primera y segunda planta respectivamente, y una pared dada por otro prisma que vaya desde la pared del prisma hasta la pared del cubo, como puede verse en la Figura 13. La cara de P2que se encuentra en la tapa del cubo es una cara libre. Empezando por esta cara se “eliminar´a” el interior del prisma. Repetimos este colapso desde la cara de P1que se encuentra en la base del cubo. Ahora, tanto el suelo de P2como el techo de P1, son caras libres, y podemos colapsar desde ellas. La cara libre de P2ir´a “eliminando” el interior de la primera planta hasta chocar con la pared, al igual que la cara libre de P1“eliminar´a” el interior de la segunda planta. Al finalizar estos colapsos, no quedan caras libres. El poliedro bidimensional resultante se conoce como “Casa de dos habitaciones de Bing”, y no permite continuar la secuencia de colapsos. Figura 12: El cubo colapsa a punto. 49 Figura 13: El cubo colapsa a la “Casa de Bing”. Lema 6.1.7. Sea Kun complejo simplicial. Todo cono simplicial aK es colapsable. Demostraci´on. Se prueba el resultado por inducci´on en n, el n´umero de s´ımplices del complejo simplicial K. Para n= 1, Kse reduce a un v´ertice v. En este caso, el cono av es una arista que es claramente colapsable. Suponiendo cierto el resultado para n≥1, sea Kun complejo simplicial con n+ 1 s´ımplices, y sea aK el cono simplicial de asobre K. N´otese que para todo s´ımplice principal σen Kse tiene que σes una cara libre de aσ en aK. Por tanto, aK & aK − {aσ, σ}=a(K− {σ}). Pero a(K− {σ}) es un cono sobre K− {σ}que tiene ns´ımplices, y por hip´otesis de inducci´on, es colapsable. Es decir, aK &aK − {aσ, σ}=a(K− {σ})& ∗, y aK es colapsable. Lema 6.1.8. Sea aK un cono simplicial de un complejo K. Entonces, Kes colapsable si y solo si aK &K. Demostraci´on. ⇒Sea Kun complejo simplicial colapsable y sea nel n´umero de s´ımplices de K. Si n= 1, Kes un v´ertice y aK es una arista, y, en este caso, es obvio que aK &K. Supongamos que todo complejo simplicial colapsable Kcon ns´ımplices cumple que aK &K. Sea entonces K un complejo simplicial colapsable con n+ 1 s´ımplices. Sea σun s´ımplice principal en Kyτ una cara libre de σ. Entonces, aσ es principal en aK yaτ es cara libre de aσ. Por tanto, aK &eaK − {aσ, aτ}= (aK1)∪ {σ, τ}, donde K1=K− {σ, τ}. Por hip´otesis, aK1&K1, por lo que (aK1)∪ {σ, τ} & K1∪ {σ, τ}=K. Tenemos as´ı, aK &K. ⇐An´alogamente a lo hecho antes, supongamos inductivamente que el resultado es cierto para complejos con ns´ımplices y sea Kun complejo con n+ 1 s´ımplices tal que aK &K. Sea aK &eL1&eL2&e· · · &eKuna secuencia de colapsos elementales. En particular, L1=aK − {µ, µ0}, donde µes un s´ımplice principal de aK yµ0una cara libre de µ. Esto 50 implica que necesariamente µ=aρ con ρun s´ımplice principal en K. Adem´as, como K⊆L1y µ0/∈L1, se sigue que µ0/∈Ky por tanto aest´a entre los v´ertices de µ0; esto es, µ0=aρ0para alguna cara ρ0≤ρ. Es inmediato comprobar que ρ0es cara libre de ρya que µ0lo es de µ. As´ı pues K&eK− {ρ, ρ0}=K1yaK1=L1. Por tanto, por la hip´otesis de inducci´on, K1& ∗ y se sigue, reiterando el razonamiento, que K& ∗. Lema 6.1.9. Sean KyMdos complejos simpliciales finitos de forma que Kcolapsa a un subcomplejo L. Entonces K∗M&L∗M. Demostraci´on. Sea K&eL1&eL2&e· · · &eLuna secuencia de colapsos elementales. Si L1=K− {α, β}con αun s´ımplice principal de Kyβ≤αuna cara libre, tomamos un s´ımplice principal τ∈M. Es inmediato comprobar que ατ es un s´ımplice principal de K∗Myβτ es una cara libre de ατ. Entonces K∗M&eL1∗M. Reiterando el razonamiento anterior llegamos a una secuencia de colapsos elementales K∗M&eL1∗M&eL2∗M&e· · · &eL∗M. Corolario 6.1.10. Sean K, L dos complejos simpliciales tales que K&L, y sea vun v´ertice. Entonces se tiene que vK &vL. Corolario 6.1.11. Sea Kun complejo simplicial y vun v´ertice. Si K& ∗, entonces vK & ∗. Proposici´on 6.1.12. Si KyLson subcomplejos no vac´ıos de un complejo simplicial finito tales que K∩L6=∅, entonces K∪L&Ksi y solo si L&K∩L. Demostraci´on. ⇒Supongamos K∪L&KyL⊆K. En este caso es obvio, puesto que K∪L=Ky K∩L=L. Supongamos ahora L*KyK*L. Sea la secuencia de colapsos elementales K∪L&eM1=K∪L− {σ1, τ1} &eM2&e· · · &eMn&eK. donde σ1un s´ımplice principal en K∪Lyτ1cara libre de σ1. Esto implica que σ1, τ1∈K∪L, pero σ1, τ1/∈Kpues K⊆M1. Por lo tanto, σ1, τ1∈L, y σ1ser´a un s´ımplice principal en Ly τ1cara libre de σ1en L. Se tiene que L&eL1=L− {σ1, τ1}, M1=K∪L. Sea ahora σ2el s´ımplice principal de M1yτ2cara libre de σ2que desaparecen en el segundo colapso de la secuencia anterior: M1&eM2=M1− {σ2, τ2}=K∪L− {σ1, σ2, τ1, τ2}. Por tanto, σ2, τ2/∈K, pero σ2, τ2∈M1=K∪L1, luego σ2, τ2∈L1, y σ2ser´a un s´ımplice principal en L1yτ2cara libre de σ2en L1. Entonces L1&eL2=L1− {σ2, τ2}. 51 Aplicamos este proceso hasta que Mn&eK, entonces se obtendr´a que Ln&eLn+1 =L− {σ1, σ2, . . . , σn+1, τ1, τ2, . . . , τn+1}, donde σj, τj/∈Kcon j= 1, . . . , n + 1. Por tanto, mediante colapsos elementales L&Ln+1 =L− {σ1, σ2, . . . , σn+1, τ1, τ2, . . . , τn+1}. Ln+1 ser´a no vac´ıo puesto que K∩L6=∅y en cada colapso elemental L1&eLi+1 se eliminan s´ımplices de Lque no est´an en K. Por tanto, los s´ımplices de Ln+1 son aquellos que est´an tanto en Lcomo en K, es decir, est´an en L∩KyL&Ln+1 =L∩K. ⇐Supongamos L&L∩KyL⊆K. En este caso es obvio. Supongamos que L*KyK*L. Sea una secuencia de colapsos elementales L&eL1=L− {σ1, τ1} &e· · · &eLn− {σn, τn} &eK∩L. donde σiun s´ımplice principal en Liyτicara libre de σi. Esto implica que σi, τi/∈K∩Lipues K∩Li⊆Li, pero σi, τi∈Li, luego σi, τi/∈K. De esta forma, σiser´a un s´ımplice principal en K∪Licon τicara libre. Entonces K∪L&e· · · &eK∪Li&K∪Li+1 =K∪(K∩L) = K. Es decir, K∪L&K. Nota 6.1.13. Destacar que, en la demostraci´on anterior, debe cumplirse que K∩L6=∅, puesto que, si K∩L=∅, entonces L& ∅, lo que es una contradicci´on. A continuaci´on se introduce el concepto de colapso fuerte, que dar´a paso a la noci´on de homotop´ıa fuerte en complejos simpliciales, asociada a la contig¨uidad estudiada en la Secci´on 5.2. Lema 6.1.14. Sean KyLdos complejos simpliciales y vun v´ertice de K. Se tiene que (K\ v)∗L= (K∗L)\v. An´alogamente, si v∈L, se tiene que K∗(L\v)=(K∗L)\v. Demostraci´on. ⊆Sea σ∈(K\v)∗L. Entonces, σ=σ1σ2con σ1∈K\v⊂K,σ2∈L, con la posibilidad de σi=∅para i= 1,2. Por tanto, σ1∈Kyσ=σ1σ2∈K∗L. Como v /∈σ, se tiene que σ∈(K∗L)\v. ⊇Sea σ∈(K∗L)\v. Entonces, σ=σ1σ2con σ1∈K,σ2∈Lyv /∈σ1. Por tanto, σ1∈K\v, σ2∈Lyσ=σ1σ2∈(K\v)∗L. Definici´on 6.1.15. Un v´ertice vde un complejo simplicial Kse dice que est´a dominado por otro v´ertice v06=vsi todo s´ımplice principal que contiene a vtambi´en contiene a v0. 52 Lema 6.1.16. Sea Kun complejo simplicial. Un v´ertice v∈Kest´a dominado por v0en Ksi y solo si lk(v, K) = v0Zes un cono sobre alg´un subcomplejo Z⊆K. Demostraci´on. De estar vdominado por v0se sigue que la arista vv0aparece en cualquier s´ımplice principal que contenga a v, y por ello vv0∈Ky as´ı v0∈lk(v, K). Adem´as, lk(v, K) = v0Zcon Z=lk(v, K)\v0. En efecto, si τ∈lk(v, K), sea ρun s´ımplice principal de lk(v, K) con τ≤ρ. Entonces vρ es un s´ımplice principal de Kpues vρ ≤αimplica que v∈α, y la cara de αque no contiene a v,α0< α, est´a en lk(v, K) y contiene a ρ, as´ı que α0=ρyα=vρ. Por tanto v0∈vρ yv0∈ρ. Llegamos a τ≤ρ=v0ρ0, donde ρ0∈lk(v, K)\v0 es la cara de ρque no contiene a v0. Rec´ıprocamente, supongamos que lk(v, K) = v0Zes un cono, entonces v0∈lk(v, K) y Z= lk(v, K)\v0. Si ρes un s´ımplice principal de Kcon v∈ρ, tenemos que ρ0≤ρla cara que no contiene a ves principal en lk(v, K) = v0Z, y por ello debe contener a v0. As´ı pues v0∈ρyv est´a dominado por v0. Definici´on 6.1.17. Un complejo simplicial finito Kse dir´a que es un complejo minimal si no tiene v´ertices dominados. Ejemplo 6.1.18. Algunos ejemplos de complejos simpliciales minimales: 1. El borde de cualquier n-s´ımplice (Figura 14 (a)). 2. La triangulaci´on cl´asica de un toro (Figura 14 (b)). Figura 14: Borde de un 2-s´ımplice y triangulaci´on del toro. Definici´on 6.1.19. Sea Kun complejo simplicial y sea L⊆Kun subcomplejo. Se dice que Les lleno en Ksi para todo σ= (v0. . . vn)∈Ktales que vi∈V ert(L) para todo i= 1, . . . , n, entonces σ∈L. Equivalentemente, Lse dir´a lleno en Ksi para todo s´ımplice σ∈Kla intersecci´on σ∩ |L|es una cara de σ(posiblemente vac´ıa). 53 Nota 6.1.20. Obs´ervese que para todo v´ertice v∈Kel subcomplejo K\ves lleno en K. En efecto, si σ∈Ktiene todos sus v´ertices en K\v, ninguno de esos v´ertices es v, por lo que σ∈K\v, por definici´on. El siguiente lema es clave en la demostraci´on del Teorema 6.2.6, y forma parte de una demostraci´on del mismo alternativa a la dada en [3]. Lema 6.1.21. Sea Kun complejo simplicial. Sea L0⊆sdK =K0un subcomplejo lleno que contiene a todos los baricentros de los s´ımplices principales y v´ertices de K. Entonces si b(σ)∈L0 es un v´ertice dominado en L0,σno es un s´ımplice principal de K. Si σ=ves un v´ertice entonces tambi´en est´a dominado en K. Demostraci´on. Sea σ∈Kun s´ımplice principal. Por hip´otesis b(σ)∈L0. Supongamos que lk(b(σ), L0) = b(µ)Zes un cono con v´ertice b(µ)∈L0. Para todo v´ertice v∈σsabemos por hip´otesis que b(v) = v∈L0, as´ı que de ser L0lleno se deduce que la arista (b(v), b(µ)) ∈L0. Por tanto vdebe ser un v´ertice de µpara todo v´ertice de σ, y por ello σ≤µ. De ser σprincipal se sigue que σ=µy esto contradice que b(µ)∈lk(b(σ), L0). Si ahora σ=vfuese un v´ertice, sean P={σ1, . . . , σs}los s´ımplices principales de Kque contienen a v. Entonces b(σi)∈L0para todo i= 1, . . . , s por hip´otesis, y, tambi´en por hip´otesis, v=b(v)∈L0. Tenemos que, por ser L0lleno, b(v)b(σi) es un s´ımplice de L0y b(σi)∈lk(b(v), L0) = b(µ)Z. Si µ=σi0para alg´un i0, entonces no puede existir m´as que ese s´ımplice principal en la familia P, ya que en caso contrario tendr´ıamos una arista (b(σi0)b(σj)) ∈L0⊆K0, que nos dar´ıa que o bien σi0≤σj, o bien σj≤σi0, entre s´ımplices principales tales que σi06=σj. Por tanto, lk(v, K) = cσi0, la cara opuesta de ven σi0, y por ello vest´a dominado. Si µ6=σipara todo i, entonces (b(µ)b(σi)) ∈lk(b(v), L0), y por la definici´on de subdivisi´on baric´entrica (b(v)b(µ)b(σi)) es un s´ımplice de L0. Por ser σprincipal se tiene que v6=µ≤σi. Entonces para cualquier v0∈µcon v06=v, tenemos que todo s´ımplice principal que contiene a vcontiene tambi´en a v0, y por ello vest´a dominado por v0. Definici´on 6.1.22. Sea Kun complejo simplicial finito y sea v∈Kun v´ertice. Se dice que existe un colapso fuerte elemental de KaK\v, denotado por K&&eK\v, si lk(v;K) es un cono simplicial v0L, esto es, vest´a dominado por v0. Se dir´a que existe un colapso fuerte del complejo Kal subcomplejo Lsi hay una secuencia de colapsos fuertes elementales que empieza en Ky termina en L. El inverso de un colapso fuerte es una expansi´on fuerte, denotada por L%% K. Dos complejos simpliciales K, L tienen el mismo tipo de homotop´ıa (simple) fuerte si existe una sucesi´on de colapsos y expansiones fuertes empezando en Ky terminando en L. Se denotar´a por KyL. Nota 6.1.23. Si vest´a dominado por v0, el colapso fuerte elemental K&&eK\ves un colapso simple K&K\v. En efecto, como lk(v, K) es un cono entonces es colapsable, y como st(v, K) = vlk(v, K) por el Lema 3.1.18, usando el Lema 6.1.8 se obtiene que st(v, K)&lk(v, K). Entonces, 54 como K= (K\v)∪st(v, K) con (K\v)∩st(v, K) = lk(v, K), concluimos por la Proposici´on 6.1.12 que K&K\v. En particular, |K|y|K\v|tienen el mismo tipo de homotop´ıa por la Nota 6.1.4. Figura 15: Colapso fuerte elemental. Lema 6.1.24. Sea Kun complejo simplicial y vun v´ertice. Entonces vK && v. Demostraci´on. Por inducci´on en el n´umero de v´ertices de K. Supongamos K={w}, entonces est´a claro que vK =vw &&ev. Supongamos que es cierto cuando Ktiene n−1 v´ertices. Sea ahora Kun complejo simplicial con nv´ertices. Para todo w∈V ert(K) se tiene, por el Lema 3.1.19 que lk(w, vK) = vlk(w, K) es un cono, luego wes un v´ertice dominado en vK y podemos hacer un colapso fuerte elemental: vK &&e(vK)\w=v(K\w) donde la igualdad se tiene por el Lema 6.1.14. Por hip´otesis de inducci´on, v(K\w)&& v, y por tanto vK && v. Nota 6.1.25. Dos complejos simpliciales isomorfos tienen el mismo tipo de homotop´ıa fuerte. En efecto, dado un isomorfismo simplicial ψ:K−→ L,V ert(K) = {v1, . . . , vn}, entonces V ert(L) = {ψ(v1), . . . , ψ(vn)}. Ahora trabajamos considerando KyLcomo complejos abstractos, y consideramos nuevos v´ertices v0 1, . . . , v0 n. Tomamos el complejo K1=K∪v0 1st(v1, K) en el que lk(v0 1, K1) = st(v1, K) = v1lk(v1, K) es un cono. Por tanto, v0 1es un v´ertice dominado por v1en K1yK1&& K. Adem´as, se tiene que lk(v1, K1) = v0 1lk(v1, K) 55 Supongamos x<x0(el otro caso es an´alogo). Como xest´a dominado por x0, todo s´ımplice principal σ∈ K(X) que contenga a xtambi´en contiene a x0. Por definici´on, σ⊆Xes una cadena maximal x0< x1< . . . < xi< . . . < xs, donde xi=xpara alg´un iyx0=xjcon j > i. Afirmamos que para todo y∈Xcon y > xj−1se tiene y≥xj=x0y as´ı xj−1es un punto eliminable hacia arriba en Xy este espacio no ser´ıa minimal. Para demostrar la afirmaci´on obervamos que toda cadena maximal conteniendo a x0< x1< . . . xi=x<...<xj−1< y debe contener a x0=xj, lo que nos lleva a x0=xj≤ypues y < xjnos dice que x0< x1< . . . xi=x < . . . < xj−1< y < xj. . . < xsser´ıa una cadena m´as larga que σ, lo que contradice su maximalidad. Nota 6.2.5. El ser Kminimal no implica que X(K) lo sea. En efecto el complejo Kde la Figura 18 es colapsable pero no tiene ning´un v´ertice dominado. Esto es, es minimal, pero en X(K) las aristas v0v1,v0v2yv1v2son eliminables hacia arriba pues son las caras libres de los tri´angulos v0v1w1,v0v2w2yv1v2w0, respectivamente. Obs´ervese que, en general, si X(K) es minimal entonces ning´un s´ımplice principal de Kpuede tener caras libres pues estas ser´ıan puntos eliminables hacia arriba en X(K). En particular, si X(K) es minimal, entonces Kes minimal, pues si v∈Kes un v´ertice dominado por otro v´ertice v0, tenemos que lk(v, K) = v0Zes un cono y todo s´ımplice principal σen v0Zsolo es cara del s´ımplice vσ que es principal en K. Figura 18. La demostraci´on que sigue est´a basada en el Lema 6.1.21 y es una variaci´on con importantes cambios de la original en [3]. Teorema 6.2.6. Sea Kun complejo simplicial finito. Entonces, Kes fuertemente colapsable si y solo si sd(K)es fuertemente colapsable. Demostraci´on. Si K&& ∗, entonces X(K) es contr´actil y sdK =K(X(K)) && ∗ por el Teorema 6.2.2. Supongamos ahora que Kes un complejo simplicial tal que sdK && ∗, y sea Lun n´ucleo de K. 62 Entonces K&& Ly por el Teorema 6.2.2,sdK && sdL. Por tanto Les minimal por ser un n´ucleo y sdL es fuertemente colapsable por el Teorema 6.1.31. Sea L0=sdL, L1, L2, . . . , Ln=∗ una secuencia de subcomplejos de sdL tal que existe un colapso fuerte elemental de LiaLi+1 para todo 0 ≤i<n. Vamos a demostrar que en este caso Lse reduce a un punto. Primero destacamos que Lies lleno en Li−1para todo 0 < i ≤n. En efecto, si Li−1&&eLi, entonces Li=Li−1\wcon wun v´ertice dominado en Li−1. Ahora, aplicando el Lema 6.1.21 aL0&&eL1tenemos que todos los baricentros de los s´ımplices principales de Lest´an en L1, adem´as no se puede hacer el colapso fuerte elemental por un v´ertice vde L, pues entonces v estar´ıa dominado en L, pero Les minimal. As´ı pues L1contiene a todos los baricentros de los s´ımplices principales de L, as´ı como todos sus v´ertices. Aplicando este proceso recurrentemente llegamos a Ln=∗, por lo que Lse reduce a un v´ertice, y as´ı Kes fuertemente colapsable. Corolario 6.2.7. Sea Xun espacio finito T0. Entonces, Xes contr´actil si y solo si X0es contr´actil. Demostraci´on. Por el Corolario 6.2.3 tenemos la implicaci´on directa. Rec´ıprocamente, veamos que si X0es contr´actil, entonces tambi´en lo es X. Sea Y⊆Xun n´ucleo de X. Por Teorema 6.2.2 (1),K(X)&& K(Y), y por Teorema 6.2.2 (2),X0=X(K(X)) se reduce a Y0=X(K(Y)) mediante reducciones sucesivas. Si X0es contr´actil, tambi´en lo es Y0. De nuevo por el Teorema 6.2.2,K(Y0) = K(Y)0es fuertemente colapsable. Por el Teorema 6.2.6,K(Y) es fuertemente colapsable. Por la Proposici´on 6.2.4 y por ser Yun n´ucleo de X,K(Y) es un complejo simplicial minimal, y por tanto K(Y) = ∗. As´ı, Yes un ´unico punto y Xes contr´actil. Corolario 6.2.8. 1. Sea X un espacio finito T0. Entonces, Xes contr´actil si y solo si K(X)es fuertemente colapsable. 2. Sea Kun complejo simplicial finito. Entonces Kes fuertemente colapsable si y solo si X(K)es contr´actil. Demostraci´on. 1. Como Xes contr´actil, por Teorema 6.2.2 (1) se tiene que K(X) colapsa fuertemente a punto. Rec´ıprocamente, si K(X) es fuertemente colapsable, entonces X0=X(K(X)) es contr´actil por Teorema 6.2.2 (2). Usando ahora el Corolario 6.2.7,Xes contr´actil. 2. Como Kes fuertemente colapsable, por Teorema 6.2.2 (2) se tiene que X(K) se reduce a un punto. Rec´ıprocamente, si X(K) es contr´actil, por por Teorema 6.2.2 (1),K(X(K)) = sdK colapsa fuertemente a punto, y por el Teorema 6.2.6 se tiene que Kes fuertemente colapsable.  63 64 CAP´ ITULO 7 Colapsos fuertes infinitos y la noci´on de homotop´ıa para A-espacios localmente finitos Nuevas contribuciones en el estudio de la topolog´ıa de los A-espacios han extendido resultados ya conocidos para espacios finitos a A-espacios infinitos (ver [6] y[16]). Con este ´ultimo cap´ıtulo queremos plantear la posibilidad de extender los resultados de [3] expuestos detalladamente en el Cap´ıtulo 6 a cierta clase de A-espacios finitos. Esa clase es la de los llamados A-espacios localmente finitos y corresponde a la clase de posets infinitos m´as estudiada en la teor´ıa del orden. 7.1. A-espacios localmente finitos Definici´on 7.1.1. Un poset (X, ≤) se dice localmente finito si para todo x∈Xtanto el ideal principal generado ↓xcomo el filtro principal ↑xgenerado por ´el son finitos. Un A-espacio se dice localmente finito si su poset asociado lo es. El siguiente lema es f´acil de demostrar a partir de las propiedades b´asicas del orden de especializaci´on de una A-topolog´ıa. Lema 7.1.2. Sea Xun A-espacio X. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Xes localmente finito. 2. Uxy{x}son finitos para todo x∈X. 3. Uxes finito para todo x∈X. Sobre la compacidad y conexi´on de los A-espacios localmente finitos tenemos las dos propiedades siguientes. 65 Lema 7.1.3. Sea Xun A-espacio T0localmente finito. Entonces un conjunto Z⊆Xes compacto si y solo si es finito. Demostraci´on. Supongamos que Zes compacto. Entonces por el Teorema 2.3.12 el conjunto M=Max(Z) es finito y para todo z∈Zexiste m∈Mcon z≤m. Por ser Xlocalmente finito solo existe una cantidad finita de elementos menores que cada m∈Men Xy por ello Zes finito. El rec´ıproco es trivial. Lema 7.1.4. Todo A-espacio T0localmente finito conexo es numerable Demostraci´on. Recordemos que la conexi´on de Xes equivalente a su conexi´on por caminos. Dado x0∈X, sea Xn⊆Xel conjunto de los x∈Xque se pueden unir a x0por una secuencia de hasta nelementos comparables. Entonces, X0={x0}yXn={x;xes comprable a alg´un y∈Xn−1}. De acuerdo con la finitud local, los elementos comparables a cualquier x∈Xforman un conjunto finito y as´ı podemos deducir inductivamente que cada Xnes finito, y por tanto X=∪∞ n=0Xnes numerable. Otra propiedad tambi´en usada para posets infinitos es la siguiente. Lema 7.1.5. Un poset (X, ≤)se dice que cumple la condici´on de cadenas finitas (abreviado a c.c.f.) si para todo punto x∈Xtoda cadena que lo contenga es finita. Lema 7.1.6. Si (X, ≤)es localmente finito entonces cumple la c.c.f. Ejemplo 7.1.7. 1. La recta de Khalimsky es localmente finita. 2. Sea X=∨∞ n=1Xnla uni´on por el origen de copias disjuntas de intervalos de longitudes crecientes de n´umeros enteros positivos Xn={x∈Z; 0 ≤x≤n}. Si damos sobre Xel orden natural, el poset (X, ≤) cumple la c.c.f. pero no es localmente finito (ver Figura 19). Figura 19. 66 7.2. Los operadores KyXy la finitud local En Topolog´ıa Simplical los complejos infinitos m´as estudiados son tambi´en denominados localmente finitos y tienen la siguiente definici´on: Definici´on 7.2.1. Un complejo simplicial Kse dice localmente finito si el conjunto de s´ımplices que contienen a uno dado es finito. El siguiente lema nos da definiciones equivalentes a la anterior. Lema 7.2.2. Si Kes un complejo simplicial, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Kes localmente finito. 2. Para todo s´ımplice σ∈K,lk(σ, K)es finito. 3. Para todo v´ertice v∈K,lk(v, K)es finito. 4. Para todo punto x∈ |K|,lk(x, K)es finito. 5. El poliedro subyacente |K|es localmente compacto. A partir del lema anterior y del Lema 4.2.1 se sigue inmediatamente el siguiente resultado. Lema 7.2.3. El operador Klleva A-espacios localmente finitos en complejos localmente finitos. An´alogamente el operador Xlleva complejos localmente finitos en A-espacios localmente finitos. M´as a´un, la aplicaci´on can´onica ψX:|K(X)| → Xen (4.1) est´a definida para el caso de A-espacios localmente finitos y E. Wosfey ([16]) prob´o que el teorema de McCord se extiende a A-espacios localmente finitos. M´as precisamente, Teorema 7.2.4. Sea Xun A-espacio localmente finito. Entonces su aplicaci´on can´onica ψ= ψX:|K(X)| → Xes una equivalencia d´ebil de homotop´ıa. 7.3. Colapsos y colapsos fuertes infinitos Para complejos localmente finitos existe en la literatura de la Topolog´ıa Simplical una bien conocida noci´on de colapso infinito debida a L.C. Siebenmann que pasamos a detallar. Definici´on 7.3.1. Sea Kun complejo simplicial localmente finito y L⊆Kun subcomplejo. Se dice que hay un colapso propio elemental de KaL, denotado K&pe L, si K=L∪(∪i∈ICi), donde I⊆N(posiblemente infinito), para i, j ∈I,Ci∩Cj⊆LyCi&pe Ci∩L. para todo i, j ∈I. 67 Se dir´a que hay un colapso propio de KaL, denotado K&pL, si existe una secuencia finita K=K0, . . . , Kn=Ldonde Kies un colapso propio elemental de Ki−1para 1 ≤i≤n. Nota 7.3.2. N´otese que por medio de una secuencia infinita de colapsos podemos llegar al conjunto vac´ıo. As´ı para la semirrecta R≥0, triangulada por los intervalos [n, n + 1] (n≥0) tenemos la sucesi´on de colapsos R≥0&pe [1,∞)&pe · · · &pe [n, ∞)&pe [n+ 1,∞)&pe · · · &pe . . . ∅. Es natural modificar la definici´on anterior para para dar la versi´on de Siebenmann de los colapsos fuertes. Esto es, Definici´on 7.3.3. Sea Kun complejo simplicial localmente finito y L⊆Kun subcomplejo. Se dice que hay un colapso fuerte propio elemental de KaL,K&&pe Lsi K=L∪(∪i∈ICi), donde I⊆N(posiblemente infinito), para i, j ∈I,Ci∩Cj⊆LyCi&&pe Ci∩Lpara todo i, j ∈I. Se dir´a que hay un colapso fuerte propio de Kas L, denotado K&&pL, si existe una secuencia finita K=K0, . . . , Kn=Ldonde Kies un colapso fuerte propio elemental de Ki−1 para 1 ≤i≤n. Figura 20: Un colapso propio fuerte elemental de KaL. 7.4. Aplicaciones propias entre A-espacios Aunque la compacidad es una propiedad con muchas e importantes consecuencias, los espacios no compactos de inter´es no son escasos, comenzando por los espacios eucl´ıdeos. La ausencia de compacidad en los espacios lleva aparejada la necesidad de un an´alisis del “infinito”de estos. Para ello los espacios no compactos son dotados de un infinito topologizado y las aplicaciones a considerar son aquellas “continuas en el infinito”. El m´etodo habitual es topologizar el infinito es por medio de la llamada compactificaci´on de Alexandrov o por un punto que vimos en la Secci´on 1.4. Las diferencias X−C, con Ccerrado 68 y compacto, son llamadas entornos b´asicos del infinito en X. Con estos entornos la continuidad en el infinito queda garantizada las llamadas aplicaciones propias. Recordemos que una aplicaci´on continua f:X→Yse dice propia si para cada C⊆Y cerrado y compacto se tiene que f−1(C) es tambi´en cerrado y compacto en X. N´otese que f−1(C) ya es cerrado por continuidad. Habitualmente se trabaja con espacios de Hausdorff por lo que la definici´on de aplicaci´on propia m´as frecuente solo exige que f−1(C) sea compacto para todo compacto C⊆Y. La definici´on de aplicaci´on propia queda justificada por la siguiente caracterizaci´on. Lema 7.4.1. Una aplicaci´on f:X→Yes propia si y solo si su extensi´on f+:X+→Y+con f+(∞) = ∞es continua. Como consecuencia inmediata del Lema 7.1.3 tenemos la siguiente caracterizaci´on de las aplicaciones propias (una demostraci´on puede verse en [7]). Lema 7.4.2. Sea f:X→Yuna aplicaci´on continua entre A-espacios T0localmente finitos. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes. 1. fes propia 2. Para todo conjunto finito y cerrado Z⊆Y,f−1(Z)es finito. 3. Para todo conjunto finito Z⊆Y,f−1(Z)es finito. Nota 7.4.3. Como hab´ıamos observado en el Cap´ıtulo 5, la compactificaci´on de Alexandrov de un A-espacio no es un A-espacio. Es el mismo fen´omeno que ocurre en Topolog´ıa Simplicial donde una triangulaci´on de la semirrecta eucl´ıdea R≥0∼ =[0,1) no se puede extender a una triangulaci´on de su compactificaci´on R+ ≥0∼ =[0,1]. La demostraci´on de Wosfey del Teorema de McCord en [16] da en realidad el resultado m´as fuerte establecido el siguiente teorema (ver [7] para una demostraci´on). Teorema 7.4.4. Sea Xun A-espacio localmente finito. Entonces la aplicaci´on ψX:K(X)→X es una equivalencia de homotop´ıa propia d´ebil. Esto es, ψXes una aplicaci´on propia y para todo complejo localmente finito K,ψXinduce una biyecci´on entre conjuntos de clases de homotop´ıa propia [|K|,|K(X)|]p∼ =[|K|, X]p(equivalencia de homotop´ıa propia d´ebil). Por una homotop´ıa propia se entiende una homotop´ıa que es aplicaci´on propia. Una equivalencia de homotop´ıa propia es una aplicaci´on propia f:X→Ytal que existe otra aplicaci´on propia g:Y→Xde forma que f◦gyg◦fson propiamente homot´opicas a las correspondientes identidades. Es inmediato que toda equivalencia de homotop´ıa propia es una equivalencia de homotop´ıa propia d´ebil. 69 7.5. Problemas abiertos sobre la noci´on de homotop´ıa (propia) entre A-espacios (localmente finitos) Ya vimos en el Cap´ıtulo 5 que una homotop´ıa entre aplicaciones f, g :X→Ydonde Xes un espacio finito puede ser representada por una secuencia de aplicaciones comparables con el orden natural de YX. Tambi´en vimos que esto no ocurre si Xes un A-espacio infinito ya que la semirrecta de Khalimsky K≥0es contr´actil pero no se puede hacer la contracci´on en un n´umero finito de pasos. Si en Topolog´ıa Simplicial consideramos el poliedro asociado a K≥0es la semirrecta R≥0, que tambi´en es contr´actil pero no podemos hacer la contracci´on por medio de colapsos propios. Esto nos lleva a las siguientes preguntas: 1. ¿Qu´e noci´on de homotop´ıa (propia) en la clase de los A-espacios localmente finitos hace que el operador Klleve las equivalencias respecto a esas homotop´ıas en las equivalencias definidas por los colapsos fuertes propios? 2. ¿Esa misma noci´on hace que el operador Xlleve la noci´on de equivalencia por colapsos fuertes propios en A-espacios equivalentes para ella? 3. ¿Qu´e relaciones hay entre las homotop´ıas buscada en las preguntas anteriores y las K∗- homotop´ıas definidas en el Cap´ıtulo 5? La soluci´on a los problemas 1. y 2. dar´ıa una extensi´on del Teorema 6.2.1 a los A-espacios localmente finitos. 70 Bibliograf´ıa [1] P.S. Alexandrov.Math. Sbornik, Diskrete Raume, 1937. 501-519. [2] M.K. Agoston.Algebraic Topology: A first course. Marcel Dekker Inc, New York, 1976. [3] J.A. Barmak. Algebraic Topology of Finite Topological Spaces and Applications. Lecture Notes in Mathematics 2032, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2011. [4] K.A. Hardie and J.J.C. Vermeulen.Homotopy theory of finite and locally finite T0 spaces. Expo. Math., 1993. [5] E.D. Khalimsky, R. Kopperman, P. R. Meyer. Computer graphics and connected topologies on finite ordered sets. Topol. Its Appl. 36(1990), 1-17. [6] M.J. Kukiela.On homotopy types of Alexandroff spaces. Order, 27(2010), 9-21. [7] A. Luque.Espacios de Alexandrov: el puente entre poliedros y conjuntos ordenados. Trabajo Fin de Grado. Tutor: Antonio Quintero Toscano, 2014. [8] J.P. May.Finite spaces and larger contexts. 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