Estimación Bayesiana en modelos de producción con frontera determinista

ISSN 1697-5731 (online) – ISSN 1133-3197 (print) ESTUDIOS DE ECONOMÍA AP L I C A D A VOL. 27-2 2009 PÁGS. 1-22 Estimación Bayesiana en modelos de producción con frontera determinista* FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO y JESÚS BASULTO SANTOS Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales UNIVERSIDAD DE SEVILLA e-mail: [email protected]; [email protected] RESUMEN Como consecuencia de no ser válidos, en los modelos de producción con frontera determinista, las condiciones usuales de regularidad (que justifican la consistencia y normalidad asintótica de los estimadores máximo verosímiles), desconocemos las propiedades generales de estos estimadores. Una alternativa son los métodos de inferencia bayesiana que, gracias al algoritmo de Gibbs, son relativamente fáciles de aplicar. En nuestro trabajo proponemos una distribución a priori no informativa para este modelo y, por simulación, analizamos el comportamiento de los estimadores e intervalos bayesianos. Palabras clave: modelos de producción con frontera, modelo Half-Normal, estimación bayesiana, algoritmo de Gibbs. Bayesian Estimation in Deterministic Frontier Production Models ABSTRACT As a consequence of non valid regularity conditions, we unknown the general properties (consistency and asymptotic normality) of the maximun likelihood estimators in the deterministic frontier production models. An alternative to these estimators are the bayesian inference methods. Thanks to Gibbs’ algorithm, these methods are relativity easy to apply. In our work, we propose a prior noninformative distribution for the deterministic frontier models, and, by simulation, we study the Bayesian estimators and intervals behaviour. Keywords: Frontier Production Models, Half-Normal Model, Bayesian Estimation, Gibbs Sampling. Clasificación JEL: C11, C2. ———————— Artículo recibido en diciembre de 2008 y aceptado en abril de 2009. Artículo disponible en versión electrónica en la página www.revista-eea.net, ref. e -27205. * Agradecimientos: Los autores queremos expresar nuestro agradecimiento a los evaluadores, cuyas sugerencias han contribuido a mejorar la versión inicial del trabajo. FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO Y JESÚS BASULTO SANTOS Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 2 1. INTRODUCCIÓN La estimación de los modelos de producción con frontera es uno de los temas más interesantes del área de economía aplicada, pudiéndose situar su origen en el artículo de Aigner and Chu (1968). Posteriormente, el tema ha suscitado numerosos trabajos de investigación. En este tipo de modelos, se expresa un determinado output y en función de una serie de inputs ,..., 1k x x a través de un modelo de regresión. Por ejemplo, para un único input x, el modelo quedaría expresado como , 12 yx= β + β +ε donde 1 β y 2 β son parámetros desconocidos y ε es una perturbación aleatoria. La particularidad de estos modelos es que la parte determinista (en nuestro ejemplo 12 ) x β + β representa la frontera de producción o valor máximo alcanzable de output para unos inputs dados, mientras que la perturbación aleatoria (diferencia entre la producción real y la máxima posible) representaría el grado de ineficiencia en el proceso productivo. De esta forma, la perturbación aleatoria ha de ser necesariamente negativa y así la hipótesis habitual de normalidad de las perturbaciones no tiene cabida en los modelos de producción con frontera. Un ejemplo de aplicación de estos modelos puede verse en García et al. (2004) donde se analiza la eficiencia de la producción de la flota pesquera del golfo de Cádiz. Alternativamente, podemos utilizar la formulación dual de este problema, en la que la variable dependiente es el coste de producción y la perturbación aleatoria sería positiva, representando la parte determinista del modelo el coste mínimo de producción para unos inputs dados. Esta formulación, denominada habitualmente modelo de producción con frontera determinista, presenta una importante dificultad de estimación, debido al hecho de que la modelización de la perturbación unilateral rompe las hipótesis habituales de regularidad asumidas para la obtención de las propiedades asintóticas del estimador máximo-verosímil. Así, podremos obtener los estimadores máximoverosímiles resolviendo un problema de optimización con restricciones, pero la determinación de las propiedades estadísticas del estimador es un problema complicado. Otro inconveniente que se ha destacado acerca de este modelo es su gran sensibilidad a la presencia de outliers y/o valores extremos (Simar, 2007). Para evitar esta cuestión, se han propuesto métodos de estimación que permiten dejar un cierto porcentaje de observaciones “por encima” de la frontera estimada (Cazals et al., 2002 y Daouia and Simar, 2004). Alternativamente, se han planteado en la literatura los denominados modelos de producción con frontera estocástica. En ellos, se introducen dos perturbaciones, siendo el modelo para un único input de la forma 12 ,yxv= β + β + donde .vu=ε+ En este caso, 0ε< es una medida de la ineficiencia, mientras que u∈ refleja factores aleatorios, como por ejemplo errores de medida. Con esta formulación, se permite que algunas observaciones puedan quedar por encima de la frontera y ello sería debido a factores aleatorios. En estos modelos, se verifican las condiciones de regularidad habituales, por lo que podemos aplicar las propiedades asintóticas del ESTIMACIÓN BAYESIANA EN MODELOS DE PRODUCCIÓN CON FRONTERA DETERMINISTA Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 3 estimador máximo-verosímil para llevar a cabo nuestras inferencias. El problema principal de esta formulación es que, una vez estimado el modelo, no podemos identificar qué parte de cada residuo ˆ v se debe a ineficiencia y qué parte se debe a errores aleatorios, es decir, no podemos obtener medidas individuales de eficiencia; en este caso, sólo es posible estimar niveles medios para el grupo analizado. Una posible salida a este problema se ofrece en Jondrow et al. (1982). En Førsund et al. (1980) se analiza con mayor detalle las ventajas e inconvenientes de cada una de las formulaciones. Los modelos con frontera estocástica presentan otro inconveniente. Al ser el término de perturbación ν la suma de una variable negativa ε más otra variable u que toma valores en  (y que siempre se supone que sigue una distribución normal de media nula) resulta que la distribución de ν es asimétrica a la izquierda (en el caso de los modelos de coste de producción la asimetría es a la derecha). Para obtener los estimadores máximo verosímiles de los parámetros, se toma como punto de partida los estimadores mínimo cuadráticos (MCO). Puede ocurrir que los residuos MCO presenten asimetría “errónea” (es decir asimetría positiva en el caso de modelos de producción o asimetría negativa en el caso de modelos de coste) y en este caso aparecen dificultades para obtener los estimadores máximo verosímiles. Este hecho se ha considerado como una prueba inicial de diagnóstico del modelo, es decir, la presencia de asimetría “errónea” significaría que el modelo está mal especificado y no es adecuado a los datos observados (Green, 1993). Por ejemplo, el programa LIMDEP 7 muestra un mensaje de error puesto que no es posible continuar con el proceso de estimación a través del método de máxima verosimilitud. Sin embargo, recientes estudios simulados han puesto de manifiesto que en el modelo con frontera estocástica la asimetría “errónea” puede aparecer con probabilidades no despreciables, que pueden llegar a ser hasta del 30% y que en ciertos casos se necesita un tamaño muestral superior a 1000 para que esta probabilidad descienda al 5% (Simar, 2007). El objetivo principal de este trabajo es aportar una solución a las dificultades de estimación que se presentan en el modelo con frontera determinista a través de las técnicas de inferencia Bayesiana. Como sabemos, este enfoque de la inferencia se basa en la combinación de la información aportada por los datos y el modelo probabilístico supuesto para los mismos (a través de la función de verosimilitud) con la información subjetiva acerca del parámetro aportada por el investigador (a través de la distribución a priori). No obstante, si no queremos asumir ninguna información inicial acerca de los parámetros, podemos derivar una distribución a priori “no informativa” o “referencia a priori” a través de algún proceso matemático formal aplicado a la función de verosimilitud del modelo. Esta opción conduce a las técnicas bayesianas objetivas, en el preciso sentido de que los resultados obtenidos sólo dependen del modelo asumido y de los datos observados. Una excelente y moderna revisión de las técnicas bayesianas, y en particular de las técnicas bayesianas objetivas puede verse en Bernardo (2009). FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO Y JESÚS BASULTO SANTOS Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 4 La primera propuesta de obtención de una distribución a priori a partir de la verosimilitud es la conocida Regla de Jeffreys (Jeffreys, 1946, 1961), aplicable solo a modelos regulares. Posteriormente, han sido muchas las propuestas alternativas; una revisión bastante exhaustiva puede encontrarse en Kass and Wasserman (1996). Cabe destacar las referencias a priori de Berger&Bernardo (Bernardo, 1979, 2005, Berger and Bernardo, 1992) y las denominadas probability matching priors (Datta and Gosh, 1995, Datta and Sweeting, 2005). Nosotros vamos a trabajar dentro del marco de las técnicas bayesianas objetivas, pero vamos a usar una distribución a priori no informativa que se obtiene aplicando la generalización de la Regla de Jeffreys propuesta en Ortega y Basulto (2003), que es aplicable tanto a modelos regulares como no regulares. Veremos que, aunque debido a la naturaleza complicada del problema, no podemos obtener fórmulas explícitas para nuestras inferencias (estimadores, intervalos, etc), sí que podremos aplicar el algoritmo de Gibbs para obtener una muestra simulada de la distribución a posteriori, lo que nos permitirá estimar cualquier característica interesante de nuestro modelo. A partir de aquí, en la sección 2 presentamos el modelo de producción así como su función de verosimilitud bajo las hipótesis asumidas para el término de perturbación; en la sección 3 obtenemos la distribución a priori no informativa y, a partir de ella, el núcleo de la densidad a posteriori conjunta; en la sección 4 presentamos la formulación del algoritmo de Gibbs para nuestro problema, que se basa en la simulación de muestras de las distribuciones condicionadas unidimensionales; en la sección 5 aplicamos la metodología descrita a dos ejemplos con datos simulados para ayudar a comprender la naturaleza del problema y efectuamos un estudio tipo Monte Carlo para analizar las propiedades del método de estimación propuesto, mientras que en la sección 6 aplicamos nuestra propuesta al ejemplo estudiado en Coelli et al (1998), pág. 192. Por último, en la sección 7 recogemos las conclusiones principales obtenidas a partir de nuestro trabajo. 2. PLANTEAMIENTO DEL MODELO Consideremos el modelo de producción especificado como: , 1,..., ii yin=+ε = ' i xβ donde i y es la producción, k ∈β es un vector de parámetros, i x es el correspondiente vector de variables exógenas, n es el tamaño de la muestra y 0 i ε< es una perturbación aleatoria que mide la ineficiencia de la observación i-ésima. Asumiremos la hipótesis de que i −ε sigue una distribución half-normal (0, σ2) (Johnson et al. 1994, Pewsey 2002, 2004), y por tanto la función de densidad viene dada por: ESTIMACIÓN BAYESIANA EN MODELOS DE PRODUCCIÓN CON FRONTERA DETERMINISTA Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 5 2 2 2 21 () exp (), 0, 2 2 iii f⎧⎫ −ε = − −ε − ε > ⎨⎬ σ ⎩⎭ πσ con lo que la densidad inducida para i y sería: () 2 2 2 21 |, exp ( ), . 2 2 iii fy y y ⎧⎫ σ= − − ≤ ⎨⎬ σ ⎩⎭ πσ '' iii x,βxβxβ Por tanto, la función de verosimilitud para la muestra de tamaño n del modelo quedaría como: 2/2 2 2 1 (, | , ) ( ) exp ( ) , 1,..., 2 n ii i Lyyin −⎧⎫ σ∝σ − − ≤∀= ⎨⎬ σ ⎩⎭ ∑'' ii βyX xβxβ donde 1 ( ,..., ) n n yy ′ =∈y y 1 '[|...| ] , nkn Xx x × =∈Μ que expresaremos como () 2/2 2 2 1 ,|, ( ) exp ( ) , , 2 n i i Ly −⎧⎫ σ∝σ − − ∈Β ⎨⎬ σ ⎩⎭ ∑' i βyX xββ donde { } /1,...,, k i yinΒ= ∈ ≤ ∀ = ' i βxβ es decir, B es el espacio paramétrico o conjunto de valores de β compatibles con los datos observados según el modelo establecido. 3. DISTRIBUCIONES A PRIORI Y A POSTERIORI Como hemos visto en la sección anterior, el conjunto de parámetros desconocidos del modelo es (, ),σβ donde k ∈β y 0.σ> El proceso de inferencia bayesiana se basa en la determinación de la distribución a posteriori conjunta del vector paramétrico ( , )σβ dados los datos, que notaremos por ( , | , ).πσβyX Como es conocido, para obtener la distribución a posteriori es necesario previamente elegir una distribución a priori conjunta para el vector de parámetros (, ),σβ que notaremos por (, ).πσβ Para obtener esta distribución a priori conjunta, en primer lugar obtendremos las condicionadas unidimensionales. Considerando β fijo, el modelo es regular por lo que la distribución a priori para σ (condicionada a β) la obtendremos a partir de la Regla de Jeffreys: 21 2 (|) ,E− ⎡⎤ ∂ πσ ∝ − ∝σ ⎢⎥ ∂σ ⎣⎦ β FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO Y JESÚS BASULTO SANTOS Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 6 donde (, ) Ln( (, | )).L=σ= σββy,X Ahora, considerando fijos σ y 111 ( ,..., , ,..., ), j jk−+ = βββ β (j) β el modelo es no regular (obsérvese que el soporte depende de ) j β y por tanto, siguiendo la propuesta de Ortega y Basulto (2003), pág. 377, la distribución a priori se obtendrá en base a la derivada primera del logaritmo de la verosimilitud (en vez de utilizar la derivada segunda como se hace en la Regla de Jeffreys). Concretamente: 2' (| ) ([ ] ) , j iiij i j EEyxx − ∂ ⎡⎤ πβ ∝ =σ ∈− β ⎢⎥ ∂β ⎣⎦ ∑ (j) β,σ donde ij x es la componente j-ésima del vector i x y z representa el valor absoluto de z (observemos que el uso del valor absoluto garantiza la obtención de una distribución positiva). Puesto que i y sigue una distribución half-normal de parámetros ' i xβ y 2,σ se verifica ' [] 2 ii Ey x= β −πσ (Greene, 1998), por lo que 1 (| ) 2 1. jij i x − π β ∝σ π ∝ ∑ (j) β,σ Ahora, a partir de las distribuciones condicionadas unidimensionales, planteamos la obtención de una distribución a priori conjunta compatible, que no siempre tiene por qué existir (Arnold y otros (1999), págs. 8 y 133, Ortega y Basulto (2003), pág. 381). Para ello, usamos el siguiente resultado. Consideremos un modelo biparamétrico, cuyos parámteros unidimensionales llamaremos genéricamente 1 θ y 2.θ Si se verifica que los núcleos de las distribuciones a priori condicionadas son de la forma: 12 1 21 2 Núcleo ( ( | )) ( ) Núcleo ( ( | )) ( ) f g = = πθ θ θ πθ θ θ entonces, es fácil ver que existe una distribución a priori conjunta consistente con ambas condicionadas cuya expresión viene dada por 12 1 2 (, ) () ().fgπθθ ∝ θ × θ En nuestro modelo, se verifica esta condición en todas las distribuciones condicionadas. Así, aplicando el resultado para el caso bidimensional sucesivamente obtendríamos ( | ) 1πσ∝ β y como 1 (|) − πσ ∝σβ podemos concluir que la distribución a priori conjunta compatible con las condicionadas viene dada por 11 (, ) 1 . −− πσ∝×σ∝σβ ESTIMACIÓN BAYESIANA EN MODELOS DE PRODUCCIÓN CON FRONTERA DETERMINISTA Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 7 El núcleo de la distribución a posteriori conjunta, lo obtendremos multiplicando la verosimilitud por la distribución a priori, con lo que obtendremos: 2(1)/2 2 2 1 (, | , ) ( ) exp ( ) , , 2 n i i y −+ ⎧⎫ πσ ∝σ − − ∈Β ⎨⎬ σ ⎩⎭ ∑' i βyX xββ que, alternativamente, podemos expresar como: 2(1)/2 2 1 (, | , ) ( ) exp ( )'( ), . 2 n−+ ⎧⎫ πσ ∝σ − − − ∈Β ⎨⎬ σ ⎩⎭ βyX y XβyXββ La manipulación algebraica de esta distribución es complicada, debido a la restricción , B ∈β que hace que no sea fácil conocer los límites de integración y que lleva también a que las distribuciones marginales de cada componente j β estén definidas a trozos. Para evitar esta dificultad y dar respuesta al problema de la inferencia, utilizaremos el algoritmo de Gibbs (Gelfand and Smith,1990), ya que, como veremos en el epígrafe siguiente, no resulta excesivamente complicado simular muestras de las distribuciones unidimensionales de cada parámetro condicionadas al resto de parámetros. 4. FORMULACIÓN DEL ALGORITMO DE GIBBS Aplicaremos el algoritmo de Gibbs, obteniendo muestras simuladas de las distribuciones | ,σβy,X y |,, , j β σ (j) βy,X j = 1, …, k. Observando que la distribución a posteriori conjunta puede expresarse como 1 22 21 (, | , ) ( ) exp ( )'( ), , 2 n+ −− ⎧⎫ ∝−−−∈Β ⎨⎬ ⎩⎭ βyX y XβyXββ πσ σ σ obtenemos inmediatamente que 2| − σβ,y,X sigue una distribución Gamma, concretamente: 231 |,()'() 22 n Ga −+ ⎛⎞ σ−− ⎜⎟ ⎝⎠ β,y,X y XβyXβ∼ Para obtener las distribuciones | , , , j β σ (j) βy,X consideremos 1 ˆ() − =βX'X X'y y ˆ ˆ=−uyXβ (el estimador y los residuos mínimo cuadráticos del modelo de regresión sin restricciones). Teniendo en cuenta que: ˆˆ ˆˆ ()'() ()(), ′ −−=+ −yXβyXβu'u β-βX'X ββ FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO Y JESÚS BASULTO SANTOS Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 8 la distribución a posteriori conjunta puede expresarse como: 2(1)/2 22 ˆˆ 1ˆˆ (, | , ) ( ) exp exp ( ) ( ), 22 n−+ ⎧⎫⎧ ⎫ ′ πσ ∝σ − − − − ∈Β ⎨⎬⎨ ⎬ σσ ⎩⎭⎩ ⎭ u'u βyX ββX'X ββ β de donde obtenemos que 21 ˆ |, (, ( )), , k NB − σσ∈βX,y βX'X β∼ es decir, una distribución Normal k-dimensional truncada en el subconjunto . k B⊆ En principio, podrían generarse valores de esta distribución a través del procedimiento: 1. Generar un valor 21 ˆ (, ( ) ). k N− σ 0 ββX'X∼ 2. Si ,B∈ 0 β aceptar dicho valor; si no, rechazarlo y volver a 1. Sin embargo, en la práctica, es frecuente que la probabilidad de rechazo de este procedimiento sea tan elevada que el método no resulte viable. Una solución para este problema es analizar las distribuciones condicionadas unidimensionales. Para obtener muestras simuladas de | , , , j β σ (j) βy,X reordenando los parámetros, podemos considerar la siguiente partición: 2 () , jj jj y ⎛⎞ β ⎛⎞ σ =Σ= ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ Σ ⎝⎠ ⎝⎠ ' j(j) (j) j(j) σ ββσ donde hemos llamado 21 (').XX− Σ=σ Si en el modelo no hubiese restricciones, es conocido que se tendría 121 () () ˆˆ |,, ( ( ), ). jjjjjjj N−− βσ β+Σ −σ−Σ ' (j) (j) (j) j(j) j(j) βy,X ββ σ σ∼ Ahora, si suponemos que todas las variables explicativas toman valores positivos, las restricciones , 1,..., i y in≤= ' i xβ son equivalentes a , 1,..., max ( , , ), ii jjj i ij ij yy in bX xx ⎧⎫ −− ⎪⎪ β≥ = ⇔β≥ ⇔β≥ ⎨⎬ ⎪⎪ ⎩⎭ '' i(j) (j) i(j) (j) (j) xβxββy donde { } (,,)max( ) , iij i bX y x=− ' (j) i(j) (j) βyxβ y como consecuencia, obtenemos: 121 () () ˆˆ |,, ( ( ), ), (,,), jjjjjjjj NbX −− βσ β+Σ −σ−Σ β≥ ' (j) (j) (j) j(j) j(j) (j) βy,X ββ σ σ β y∼ ESTIMACIÓN BAYESIANA EN MODELOS DE PRODUCCIÓN CON FRONTERA DETERMINISTA Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 9 es decir, las distribuciones condicionadas unidimensionales serán normales truncadas; la generación de valores simulados de esta distribución puede llevarse a cabo fácilmente siguiendo el algoritmo propuesto en Devroye (1986), p. 380. En los modelos de producción, es habitual medir las variables en términos de logaritmos, por lo que aparecen con frecuencia valores negativos para las covariables; si no imponemos la hipótesis de que las variables explicativas sean positivas, la distribución condicionada sería la misma, cambiando el recorrido del parámetro, que sería de la forma 12 (,,) (,,), j bX bX≥ β ≥ (j) (j) βyβy donde { } 1/0 (,,)min( ) ij iij ix bX y x < =− ' (j) i(j) (j) βyxβ y { } 2/0 (,,)max( ) ij iij ix bX y x > =− ' (j) i(j) (j) βyxβ (obsérvese que si algún ij x es cero, entonces la observación i-ésima no interviene en el conjunto de restricciones que debe verificar el parámetro ). j β Este cambio sólo supone una ligera dificultad adicional en la programación del algoritmo de Gibbs. No obstante, siempre podremos efectuar cambios de escala en las variables explicativas, de forma que tomen valores superiores a 1, y así sus logaritmos siempre serán positivos. El algoritmo de Gibbs para nuestro modelo podría formularse por tanto como se especifica a continuación. Dados los valores m β y 2 (), m σ obtenidos en la etapa mésima, los valores generados en la etapa siguiente vendrían dados por: 1. Generar un valor 1m v+ de la distribución 2|. − σm β,y,X Tomar 21 1 () 1 . mm v ++ σ= 2. Generar un valor 1m j + β de la distribución 11 21 111 | ,..., , ,..., ,( ) , , 1,..., . mmmmm jj k jjk ++ + −+ ββ β β β σ =y,X 3. 11 1 ( ,..., ) . mm k ++ ′ =β β m+1 β Como valor inicial 0 β un buen candidato sería el estimador máximo-verosímil del modelo, aunque para obtenerlo es necesario resolver numéricamente un problema de optimización restringido, que en algunas ocasiones resulta complicado aún contando con software específico para tal tarea. Otra opción que hemos ensayado con éxito es modificar una de las componentes del estimador de mínimos cuadrados sin restricciones para que el punto así obtenido pertenezca a la frontera de la región factible. Para ello, basta sustituir, por ejemplo, la primera componente de ˆ β por { } * 1111 ˆˆ max ( ) . ii i y xβ= −' i( ) ( ) xβ FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO Y JESÚS BASULTO SANTOS Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 16 dos no restringido, al que hemos modificado la primera componente para obligarlo a pertenecer a la frontera de la región factible. Hemos generado una muestra de tamaño 10000 de la distribución a posteriori conjunta, a partir de la cual hemos obtenido las estimaciones ofrecidas en la tabla 3. Tabla 3. Resultados de la estimación del modelo en telecomunicaciones. Parámetro Estimación Desv. Típica Intervalo 0 β −5.841250 0.663918 (−6.78780, −4.31347) 1 β 0.932661 0.209273 (0.461015, 1.283140) 2 β −0.082434 0.194559 (−0.429136, 0.345061) 2 σ 0.377713 0.134278 (0.197077, 0.709509) Una vez estimados los parámetros, uno de los objetivos importantes de este tipo de modelos es la estimación de una medida de eficiencia-ineficiencia en cada una de las observaciones (en este caso, en cada uno de los países considerados). En nuestro modelo de producción de tipo Cobb-Douglas, es habitual medir la eficiencia de la observación i-ésima a través de la expresión {} { } 01122 ˆˆ ˆ ˆ exp exp , ii ii y xxε = −β −β −β que puede tomar valores en el intervalo (0,1], correspondiendo el valor 1 a la máxima eficiencia. Los resultados correspondientes se ofrecen en la tabla 4. Observemos que España se sitúa en penúltimo lugar, tan sólo por debajo de Turquía, con un coeficiente de eficiencia muy por debajo de países como Inglaterra, Suecia, Dinamarca, Noruega u Holanda. Tabla 4. Eficiencia estimada para cada uno de los países. País Eficiencia est. País Eficiencia est. Suiza 0.943287 Francia 0.653460 Reino Unido 0.908947 Irlanda 0.648132 Suecia 0.873255 Bélgica 0.608050 Dinamarca 0.857525 Italia 0.567722 Holanda 0.789518 Alemania 0.529563 Noruega 0.781926 Portugal 0.514585 Australia 0.740416 Japón 0.500081 Finlandia 0.697198 Austria 0.479902 Islandia 0.686110 España 0.372007 Canadá 0.681828 Turquía 0.156290 Nueva Zelanda 0.660958 ESTIMACIÓN BAYESIANA EN MODELOS DE PRODUCCIÓN CON FRONTERA DETERMINISTA Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 17 Para finalizar, destacamos que en Coelli et al (1998) se estiman los parámetros planteando un modelo de producción con frontera estocástica, siendo todos los resultados obtenidos bastante similares a los que hemos presentado en base al modelo de frontera determinista (téngase en cuenta que, puesto que hemos considerado unidades distintas para las covariables, las estimaciones de las ordenadas en el origen no son directamente comparables). De hecho, en la pág, 198 se indica que “These results indicate that the vast majority of residual variation is due to the inefficiency effect, , i u and that the random error, , i v is approximately zero.” 7. CONCLUSIONES La conclusión principal que podemos obtener a partir de este trabajo es que el uso de las técnicas Bayesianas permite resolver con cierta comodidad un problema bastante complicado, para el que aún no existe una respuesta satisfactoria desde el punto de vista de la estimación máximo-verosímil. En particular, hemos comprobado que, aunque el tratamiento de la distribución a posteriori conjunta es complicado, las condicionadas unidimensionales siguen distribuciones conocidas y que pueden ser simuladas con facilidad (distribuciones normales truncadas para el caso de los parámetros de localización y gamma para el caso del inverso de la varianza de las perturbaciones); este hecho nos permite formular de forma satisfactoria el algoritmo de Gibbs para este problema. A través de los ejemplos de las secciones 5 y 6, en una primera aproximación, podemos ver cómo los resultados en general son aceptables. El estudio de simulación efectuado, incide en esta misma apreciación inicial, con la salvedad de que en un futuro debemos plantear la posibilidad de introducir correcciones para tamaños muestrales pequeños. Otra generalización interesante a este artículo sería considerar que las perturbaciones (cambiadas de signo), sigan un modelo más flexible que incluya a la distribución half-normal como caso particular. Una posibilidad es considerar una distribución normal truncada a partir de un nuevo parámetro desconocido 0. γ ≥ Otra opción tal vez más interesante es considerar la familia triparamétrica skew-normal introducida en Azzalini (1985), que incluye a familia normal como caso particular. La distribución half-normal puede obtenerse también como una distribución límite especial de la familia skew-normal (Pewsey, 2002). FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO Y JESÚS BASULTO SANTOS Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 18 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS AIGNER, D.J. and CHU, S.F. (1968): “On Estimating the Industry Production Function”, American Economic Review, 58, pp. 826-839. ARNOLD, B.C.; CASTILLO, E. and SARABIA, J.M. (1999): Conditional Specification of Statistical Models, New York: Springer Series in Statistics, Springer-Verlag. AZZALINI, A. (1985): “A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones”, Scandinavian Journal of Statistics, 12, pp. 171-178. BERGER, J.O. and BERNARDO, J.M. (1992): “On the Development of reference priors”, Bayesian Statistics 4, Oxford: University Press, pp. 35-60. BERNARDO, J.M. (1979): “Reference Posterior Distribuctions for Bayesian Inference” (with discussion), Journal of the Royal Statistical Society Series B, 41, pp. 113-147. BERNARDO, J.M. (2005): “Reference Analysis”, Handbook of Statistics 25, Amsterdam: Elsevier, pp. 17-90. BERNARDO, J.M. 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FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO Y JESÚS BASULTO SANTOS Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 20 APÉNDICE: DATOS UTILIZADOS EN LOS EJEMPLOS Muestra de datos simulados (Ejemplo 1) Y 2.442977 11.695199 4.580773 3.400216 3.165631 X 0.636940 3.267755 0.915114 0.585950 1.523870 Muestra de datos simulados (Ejemplo 2) Y {4.62587, 5.9591, 3.64545, 4.53587, 7.06785, 5.65241, 1.79605, 6.35308,1.43932, 3.22241, 5.39405, 9.54582, 3.28809, 10.0456, 0.657027, −0.733859, −0.346423, −3.22865, 4.15841, 7.12289, 7.23358, 4.07836, 9.02886, 4.32932,1.42179, 2.12037, 6.38586, 4.89608, 6.49352, 4.5048,4.45847, 2.18042,0.363753, 8.76576, 2.47284, 1.52509, 8.58874, 6.01232, 3.79583, 9.16072,6.79729, 6.35966, 5.2574, -3.75637, 11.8284, 4.74722, 6.67094, 2.21107,7.35288, −1.47465} X2 {1.80846, 0.192743, 1.28582, 1.843, 1.46173, 1.88556, 1.79588, 1.01287,1.9491, 0.313742, 2.36173, 2.77974, 0.505303, 2.38196, 0.378946, 0.796419, 0.70683, 0.0737809, 1.33566, 1.68444, 2.28006, 1.26077, 1.80297, 0.112218 ,0.471599, 1.06803, 0.517146, 1.26922, 2.00987, 2.18247, 1.72126, 0.256345, 0.0607656, 1.86873, 2.35953, 0.476604, 2.55546, 2.48677, 1.98058, 2.68019, 1.84863, 2.41299, 0.644927, 0.995741, 2.56858, 1.15222, 1.84196, 0.883523, 2.09698, 0.0841912} X3 {0.883209, 1.74287, 0.0580738, 0.601147, 1.7357, 1.57197, 0.0175634, 1.35533, 0.16268, 1.25424, 0.313922, 1.69748, 0.84229, 1.46745, 1.0815, 0.0888206, 0.412339, 0.803619, 1.36912, 1.32067, 1.18437, 0.214603, 1.97113, 1.26455, 0.301158, 0.471734, 1.91306, 0.663401, 0.565458, 0.899761, 1.89549, 1.30807, 0.402779, 1.64552, 1.58157, 1.61059, 1.56049, 0.178079, 0.500071, 1.52177, 1.14815, 1.37446, 1.13096, 0.201098, 1.96378, 1.15986, 1.15983, 0.93655, 1.66262, 0.688123} ESTIMACIÓN BAYESIANA EN MODELOS DE PRODUCCIÓN CON FRONTERA DETERMINISTA Estudios de Economía Aplicada, 2009: 1-22 • Vol. 27-2 21 Datos de producción e inputs en telecomunicaciones (1990) País Índice Prod. Líneas (103 km) Empleados (103 personas) Alemania 1.73 2998.1 212 Australia 0.74 776.7 85 Austria 0.24 322.3 18 Bélgica 0.36 399.0 26 Canadá 1.26 1529.6 105 Dinamarca 0.39 291.1 18 España 0.59 1260.3 75 Finlandia 0.29 267.0 20 Francia 2.06 2808.5 156 Irlanda 0.11 98.3 13 Islandia 0.02 12.6 2 Italia 1.48 2235.0 118 Japón 2.73 5323.6 277 Holanda 0.77 694.0 32 Nueva Zelanda 0.16 147.3 17 Noruega 0.27 213.2 15 Portugal 0.19 237.9 23 Reino Unido 2.53 2540.4 227 Suecia 0.71 584.9 42 Suiza 0.56 394.3 22 Turquía 0.15 689.3 36