Modelado de sistemas dinámicos con MachineLearning: aplicaciones al mantenimiento basado en la condición.

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA COMPUTACI ´ ON EINTELIGENCIA ARTIFICIAL Modelado de Sistemas Din´amicos con Machine Learning Aplicaciones al Mantenimiento Basado en la Condici´on Memoria presentada por Diego Cabrera Mendieta para optar al grado de Doctor por la Universidad de Sevilla V. B. Director D. Fernando Sancho Caparrini Sevilla, Octubre de 2017. Dedicatoria A mi hija Sophie Romina y mi esposa Mar´ıa Teresa, por ser y estar. Las amo Agradecimientos Este trabajo fue posible gracias al apoyo y colaboraci´ on de familia, amigos y colegas a los que deseo presentar mis agradecimientos. Especialmente a Carmen y Milton, padres incansables que supieron motivar mi crecimiento personal. Tambi´ en a mi hermana Johanna, por darme la responsabilidad de dar el ejemplo inherente en un hermano mayor. A Fernando, por poner alma vida y coraz´ on en la direcci´ on de este trabajo y por compartir su conocimiento y tiempo de manera desinteresada para que este proyecto se mantenga a flote. La madurez lograda solo pudo ser alcanzada por experiencias vividas a lo largo de este proceso. Por eso quiero agradecer tambi´ en a los miembros del GIDTEC de la Universidad Polit´ ecnica Salesiana sede Cuenca, de manera especial a Mariela y Vinicio, colegas que me acompa˜ naron en las largas jornadas de b´ usqueda de conocimiento en tiempo de oficina y cuyas aportaciones dieron realce a este trabajo. A Chuan y Felipe por abrirme las puertas en sus grupos de trabajo en mis estancias doctorales. A todos los miembros del Departamento de Ciencias de la Computaci´ on e Inteligencia Artificial de la Universidad de Sevilla por hacerme sentir como en casa en mis periodos lejos de casa. Ya lo dec´ ıa Jean Monnet, “Los hombres pasan, las instituciones quedan”. Por eso quiero agradecer tambi´ en a la Universidad Polit´ ecnica Salesiana sede Cuenca por la beca concedida para mis estudios de doctorado. A la Universidad de Chile, Universidad de Tecnolog´ ıa y Negocios de Chongqing y Universidad de Sevilla por recibirme en las diferentes estancias de investigaci´ on realizadas. Resumen El estudio de los sistemas din´ amicos es un tema de gran inter´ es tanto en la ingenier´ ıa como en las ciencias por su gran aplicabilidad a la resoluci´ on de problemas que, con frecuencia, aparecen en un sin n´ umero de ´ areas. Sin embargo los m´ etodos formales hasta ahora utilizados para su an´ alisis, no han tenido la flexibilidad suficiente para adaptarse a sistemas de complejidad creciente, donde la interacci´ on de sus elementos no permite una inferencia directa del comportamiento del sistema, en una, o varias de sus variables. Por otro lado, los nuevos avances en las t´ ecnicas de Machine Learning han demostrado tener una gran capacidad de adaptaci´ on en dominios tan diversos resultando en la necesidad de cambios minoritarios para su aplicaci´ on entre uno u otro. A pesar de esto, su estudio en el modelado de sistemas din´ amicos, como tarea fundamental, ha sido pocas veces abordado. Por las razones anteriores, este trabajo se enfoca en el desarrollo de 3 metodolog´ ıas para modelado de sistemas din´ amicos desde la perspectiva del Machine Learning a partir de informaci´ on incompleta de sus variables representadas como series temporales de alta complejidad. Las propuestas son presentadas en funci´ on de los diferentes escenarios de informaci´ on disponible para el modelado, que pudieran llegar a aparecer en situaciones reales. Como primera metodolog´ ıa se propone el modelamiento del sistema din´ amico con un enfoque manual de caracterizaci´ on de estados usando el conocimiento a-priori del sistema mediante la descomposici´ on por Wavelet Packet y la posterior identificaci´ on de patrones mediante una t´ ecnica cl´ asica de clasificaci´ on llamada Random Forest. Como segunda propuesta se presenta el aprendizaje no-supervisado del proceso de caracterizaci´ on que se adapta de forma autom´ atica al sistema din´ amico en estudio mediante el modelo Stacked Convolucional Autoencoder, el cual inicializa una Red Neuronal Convolucional Profunda que luego es optimizada de forma supervisada, donde adem´ as el proceso de identificaci´ on de patrones se encuentra embebido, y es optimizado junto con el modelo de extracci´ on de caracter´ ısticas. La tercera propuesta en cambio cumple la tarea de caracterizaci´ on e identificaci´ on de patrones de forma no-supervisada, lo primero mediante el aprendizaje de una representaci´ on ´ optima de las series temporales codificada en los par´ ametros de un Echo State Network, y lo segundo por medio IX 2.22. Banco diagn´ ostico en engranajes rectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.23. Banco severidad engranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.24. Severidad en engranes helicoidales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.25. Banco severidad rodamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.26. Severidad en pista interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.27. Severidad en pista externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.28. Severidad en elemento rodante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.29. Ejemplo de holdout aplicado a un conjunto de datos con 4 clases para una partici´ on de 70 % para entrenamiento y 30 % para prueba. . . . . . 60 3.1. Estructura de un ´ arbol de decisi´ on...................... 73 3.2. Estructura del ´ arbol generado para determinar si una persona es sedentariaoactiva. ............................... 74 3.3. Estructura de nodo padre e hijos y su numeraci´ on correspondiente. . . 75 3.4. Entrop´ ıa 2-aria en funci´ on de p=p1..................... 77 3.5. Representaci´ on en el espacio cartesiano de divisores alineados con el eje......................................... 79 3.6. Problema de clasificaci´ on de cuatro clases. . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.7. Problema de cuatro clases con divisor horizontal. . . . . . . . . . . . . . 81 3.8. Problema de cuatro clases con divisor vertical. . . . . . . . . . . . . . . 83 3.9. Ruta seguida por una instancia en una nueva clasificaci´ on posterior a lafasedeentrenamiento............................ 84 3.10. Metodolog´ ıa propuesta (enfoque cl´ asico). ................. 90 3.11.Waveletsmadre................................. 91 3.12. Ranking de caracter´ ısticas para diagn´ ostico de multi-fallos en rodamientos. .................................... 98 3.13. Ranking de caracter´ ısticas para diagn´ ostico de fallos en engranajes rectos.......................................103 4.1. Procedimiento de la operaci´ on de convoluci´ on tanto en tiempo como en frecuencia y su relaci´ on por la transformada de Fourier directa e inversa......................................112 4.2. Modelo gr´ afico del perceptr´ on........................113 4.3. Funciones de activaci´ on para a) el perceptr´ on, y b) la neurona sigmoidal.114 4.4. Red neuronal feedforward con una capa de entrada, una capa oculta, yunacapadesalida. .............................115 XVI 4.5. Diagrama de bloques generalizado de una red neuronal multicapa. . . 116 4.6. CNN con una capa convolucional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.7. Capa de max-pooling aplicada a un mapa de caracter´ ısticas de 4×4. . 119 4.8. Ejemplo de aplanamiento de 3 mapas de caracter´ ısticas con tama˜ no 4×4. ......................................120 4.9. Un Autoencoder de tres capas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.10. Arquitectura de CAE aplicado a una capa convolucional l. .......126 4.11. Espectro de frecuencia de una se˜ nal de vibraci´ on adquirida desde una caja de engranes helicoidales a tres diferentes velocidades constantes. . 128 4.12. Espectro de frecuencia de la se˜ nal de vibraci´ on adquirida desde una caja de engranes helicoidales con velocidad variable y tres diferentes cargasconstantes................................129 4.13. Metodolog´ ıa cl´ asica para el diagn´ ostico de fallos mediante extracci´ on de caracter´ ısticas convencional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.14. Metodolog´ ıa cl´ asica para el diagn´ ostico de fallos mediante extracci´ on de caracter´ ısticas convencional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.15. ´ Arbol de descomposici´ on por Wavelet Packet de una se˜ nal de vibraci´ on en el dominio del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.16. Representaci´ on en tiempo-frecuencia de la se˜ nal de vibraci´ on usando waveletdaubechies5..............................134 5.1. Representaci´ ondeunaRNN.........................146 5.2. Primeros modelos de RNN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3. Modelo de Red Recurrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.4. Entrenamiento con BPTT. a) RNN normal. b) Despliegue de la RNN. . 153 5.5. Representaci´ on simplificada de una RNN con ampliaci´ on en un capa. . 153 5.6. ESN.......................................160 5.7. M´ etodo propuesto para la construcci´ on del modelo ESN-VAE. . . . . . 170 5.8. Resultados de ESN-VAE para engranajes helicoidales . . . . . . . . . . 177 5.9. Resultados de ESN-VAE para rodamientos . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.10. Resultados de ESN-VAE paraa engranajes rectos . . . . . . . . . . . . . 179 5.11. Distancia desde instancias con diferentes combinaciones de P-estados, F-velocidades y L-cargas hacia la frontera de decisi´ on para el modelo ESN-SVM. ...................................182 XVII 5.12. Distancia desde instancias con diferentes combinaciones de P-estados, F-velocidades y L-cargas hacia la frontera de decisi´ on para el modelo TS-SVM. ....................................184 XVIII CAP´ ITULO 1 INTRODUCCI ´ ON La curiosidad inherente del ser humano ha provocado un deseo de compren- si´ on de los procesos que le rodean. Entre ellos se encuentran algunos que nacen de fen´ omenos naturales, como el inter´ es por entender el comportamiento clim´ atico, y otros de fen´ omenos sociales, como los procesos de migraci´ on entre pa´ ıses. Junto a ellos tambi´ en est´ an los procesos que nacen del dominio que ha ejercido el ser humano sobre determinadas ´ areas, por ejemplo durante el desarrollo industrial, donde busca tener un conocimiento extenso de los componentes que intervienen en los procesos artificiales generados y sus posibles interacciones. En estos casos, el objetivo sobrepasa el mero conocimiento curioso y crece con la necesidad de controlar las diversas etapas de los procesos para optimizar resultados. De forma gen´ erica, e independientemente del proceso al que dan lugar, las diversas mediciones que se pueden realizar del sistema, y algunas veces controlar, se conocen como variables. Como parte de la exploraci´ on y comprensi´ on de un proceso se buscan formas de cuantificar los eventos asociados a sus variables. Dependiendo de su complejidad, estos eventos podr´ ıan estar asociados a una sola variable o a m´ ultiples de ellas, y a menudo siguen una evoluci´ on ordenada secuencial que podr´ ıa converger en uno o varios patrones que reflejan, y a veces determinan, su comportamiento. Entendemos por evoluci´on ordenada secuencial a sucesos que ocurren uno a continuaci´ on de otro, tomando como referencia una o varias dimensiones espaciales y/o la dimen- si´ on temporal. En este ´ ultimo caso, en el que la dimensi´ on que marca el orden de ocurrencia es el tiempo, estaremos hablando de eventos temporales. De acuerdo con ello, si un proceso genera eventos ordenados secuencialmente la forma natural de capturarlos es mediante mediciones que tambi´ en siguen el mismo orden, lo que da como resultado un conjunto ordenado que, en el caso de mediciones a lo largo del tiempo, es llamado serie de tiempo. En consecuencia, una serie de tiempo es una sucesi´ on finita o infinita de elementos que guardan un orden cronol´ ogico espec´ ıfico entre s´ ı. Estos elementos pueden ser el producto de un proceso de medici´ on como el mencionado anteriormente o pueden ser generados de forma totalmente sint´ etica. Adem´ as, dependiendo de las 1 2Cap´ ıtulo 1. Introducci´ on caracter´ ısticas de la variable medida, estos elementos podr´ ıan ser representados en un espacio de una dimensi´ on o de varias dimensiones. Por ejemplo, si se desea analizar el comportamiento motor de una persona com´ unmente se obtendr´ a una serie de tiempo de la medici´ on de la variable aceleraci´ on, que por defecto tiene tres componentes (una en cada uno de los ejes de movimiento), lo que da como resultado una serie de tiempo multi-dimensional. Si, por el contrario, se desea analizar el movimiento rectil´ ıneo de una part´ ıcula, lo m´ as habitual ser´ a obtener una serie de tiempo uni-dimensional. Desde el punto de vista del dato almacenado la diferencia en la representaci´ on de cada elemento radica en que el caso uni-dimensional vendr´ a dada por un escalar, mientras que el caso multi-dimensional vendr´ a dada por una tupla ordenada de elementos con estructura vectorial. La complejidad de una serie de tiempo est´ a directamente relacionada con el proceso que la produce[93], y se asocia usualmente con la variabilidad del proceso y la dificultad que se tiene para encontrar un patr´ on reconocible en su comportamiento que pueda servir para realizar inferencias sobre el proceso que la origina. En este trabajo nos enfocamos en el an´ alisis y modelado de series de tiempo con alta variabilidad. La perspectiva desde la cual se aborda el problema nace de la b´ usqueda de patrones mediante el an´ alisis y procesamiento de se˜ nales usando el conocimiento experto a priori del proceso, hasta evolucionar a una metodolog´ ıa de modelado totalmente no supervisada y ´ unicamente basada en los datos disponibles de las mediciones. Con este fin se proponen tres m´ etodos para abordar el problema del modelado de una serie de tiempo. La primera propuesta[14] utiliza t´ ecnicas conocidas de procesamiento de se˜ nales[12], que se seleccionan en base al conocimiento reportado en la literatura para la extracci´ on de caracter´ ısticas representativas (con patrones m´ as notorios) de la serie de tiempo, y que luego ser´ an usadas para la construcci´ on de un modelo de clasificaci´ on usando el modelo Random Forest[10] de Aprendizaje Autom´ atico. La segunda propuesta[13] da un paso adelante en relaci´ on a la b´ usqueda de independencia del conocimiento del proceso, dando como resultado un m´ etodo que eval´ ua la posibilidad de usar extracci´ on no supervisada de caracter´ ısticas con el uso de un modelo de aprendizaje basado en datos llamado Stacked Convolutional Autoencoder[68], que desde una representaci´ on de la serie de tiempo en 2 dimensiones, obtenida con t´ ecnicas de procesamiento de se˜ nales, es capaz de extraer caracter´ ısticas ´ utiles que posteriormente se usar´ an para construir un modelo de predicci´ on. Estos dos enfoques iniciales presentan el problema de necesitar series de tiempo que se encuentren etiquetadas para la construcci´ on del modelo de predicci´ on. En consecuencia, aunque el proceso de extracci´ on de caracter´ ısticas sea no supervisado, como en el segundo caso, bajo este enfoque no es posible conseguir independencia del conocimiento a priori en los datos. Como soluci´ on a este problema se presenta la tercera propuesta, donde se elimina totalmente la dependencia de las t´ ecnicas de procesamiento de se˜ nales y se plantea un enfoque basado en Echo State Networks[41] para proyectar de forma no supervisada la serie de tiempo a un nuevo espacio de representaci´ on, desde el cual se realiza un aprendizaje de la distribuci´ on de probabilidad asociada al proceso[25], eliminando, bajo ciertas suposiciones, la dependencia del conocimiento de la etiqueta en los datos. 1.1. Objetivos 3 Los procesos en los que nos enfocaremos para aplicar las propuestas anteriores pertenecen a un ´ area de la ingenier´ ıa mec´ anica y de procesos llamada Mantenimiento basado en la Condici´on (CBM)[42], que se centra en el estudio de t´ ecnicas que ayuden a determinar el estado general de una m´ aquina y/o sus componentes para lograr (con una buena planificaci´ on del mantenimiento) alargar su vida ´ util y disminuir los costos de funcionamiento. Dentro del CBM se abordan los procesos asociados al diagn´ ostico de fallos en engranajes y rodamientos de maquinaria rotativa, que han sido los seleccionados como objeto de estudio de este trabajo. El objetivo que buscamos para la tarea del diagn´ ostico de fallos es elaborar metodolog´ ıas que permitan identificar da˜ nos, y/o su severidad, en cajas de engranajes y rodamientos a partir ´ unicamente de s´ ıntomas que se puedan captar desde mediciones en variables del sistema mec´ anico completo. Sin duda, es deseable disponer de modelos de clasificaci´ on de fallos, y/o nivel de severidad, construidos a partir de las series de tiempo disponibles, que hagan uso de un conocimiento m´ ınimo del proceso, y que permitan determinar el estado del componente. Se han elegido estos componentes mec´ anicos porque son los m´ as comunes, importantes y propensos a fallos en las m´ aquinas rotativas, por lo que disponemos a la vez de suficientes datos para su an´ alisis y del conocimiento previo necesario para verificar la robustez de las soluciones obtenidas. La variable del proceso a partir de la cual se obtienen las series de tiempo que usaremos en nuestro trabajo es la vibraci´ on de la m´ aquina, que se obtiene por un proceso de discretizaci´ on de las se˜ nales captadas por sensores llamados aceler´ ometros. Aunque las series de tiempo con las que trabajaremos son una representaci´ on discreta de las se˜ nales reales, los dos t´ erminos tendr´ an el mismo significado a lo largo de este trabajo, a menos que expl´ ıcitamente se diga lo contrario. 1.1. Objetivos Los sistemas din´ amicos han sido principalmente estudiados desde el ´ area de la teor´ ıa de control usando m´ etodos de modelamiento cl´ asico, sin embargo, la presencia de incertidumbre con respecto a las variables del sistema, o un desconocimiento casi total de ellas, requiere de mecanismos basados en m´ ınimas mediciones de variables del proceso. Teniendo en cuentas estas consideraciones, el objetivo general del trabajo que aqu´ ı se presenta es desarrollar metodolog´ ıas para el modelado de sistemas din´ amicos a partir de informaci´ on incompleta de sus variables, representadas como series temporales de alta complejidad, y adicionalmente, mostrar su aplicaci´ on en tareas del mantenimiento basado en la condici´ on. Para cumplir con este objetivo general hemos visto necesario cumplir con los siguientes objetivos espec´ ıficos: Estudiar la viabilidad de la representaci´ on de un sistema din´ amico con carac- 4Cap´ ıtulo 1. Introducci´ on ter´ ısticas extra´ ıdas de una serie temporal muestreada desde una sola variable de estado mediante una descomposici´ on cl´ asica por la Transformada de Wavelet Packet. Desarrollar una metodolog´ ıa basada en el An´ alisis de Se˜ nales y Aprendizaje Autom´ atico cl´ asico para la creaci´ on de modelos predictivos de Sistemas Din´ amicos. Presentar una metodolog´ ıa para la generaci´ on de modelos de extracci´ on de caracter´ ısticas adaptables de forma autom´ atica que sean capaces de representar la din´ amica del sistema mediante t´ ecnicas de Deep Learning. Comparar de forma experimental la propuesta anterior con un conjunto de metodolog´ ıas de extracci´ on de caracter´ ısticas reportadas en la literatura. Desarrollar un m´ etodo de modelado de Sistemas Din´ amicos basado en la reconstrucci´ on de la se˜ nal extra´ ıda de una variable del sistema. Analizar la viabilidad de representar la din´ amica de un sistema mediante otro modelo din´ amico parametrizado. Presentar una metodolog´ ıa para la creaci´ on de modelos generativos de detecci´ on de anomal´ ıas en Sistemas Din´ amicos mediante Deep Learning e Inferencia Variacional. Evaluar el desempe˜ no de todas las propuestas en aplicaciones de diagn´ ostico de fallos, an´ alisis de severidad de da˜ no y/o detecci´ on de fallos en maquinaria rotativa. 1.2. Estructura de la memoria Pasemos a ver con uno poco m´ as de detalle las diversas propuestas metodol´ ogicas que se presentan en esta memoria para abordar este problema de modelado y an´ alisis de sistemas din´ amicos y su aplicaci´ on a tareas del mantenimiento basado en la condici´ on. 1.2.1. Cap´ıtulo 2: Fundamentos En el cap´ ıtulo de Fundamentos se tocan cinco puntos clave que sirven como base para el desarrollo de este trabajo: sistemas din´amicos,elementos mec´anicos ymaquinaria rotativa,sistemas de adquisici´on de se˜nales,an´alisis tiempo-frecuencia ymachine learning. En la secci´ on de sistemas din´ amicos se dan algunas definiciones formales relativas a estos sistemas, y adem´ as se presentan informalmente algunas ideas y resultados como el teorema de Takens[93], fundamental para la justificaci´ on de este trabajo. 1.2. Estructura de la memoria 5 A pesar de que el trabajo que aqu´ ı presentamos tiene una componente te´ orica importante, su car´ acter aplicado a tareas del mantenimiento basado en la condici´ on hace necesario abordar las caracter´ ısticas de los sistemas mec´ anicos (elementos, funcionamiento, posibles da˜ nos y configuraciones experimentales) con los que se van a trabajar. Es por ello que se han incluido las secciones de componentes mec´ anicos, fallos en elementos mec´ anicos y configuraci´ on experimental para tareas del mantenimiento basado en la condici´ on. Adem´ as, en la secci´ on de sistemas de adquisici´ on de datos se presenta una forma adecuada desde el punto de vista tecnol´ ogico para la obtenci´ on de datos en forma de series temporales de mediciones sobre variables concretas de los sistemas mec´ anicos, y que ser´ a la implementada aqu´ ı. El entorno en el que se desarrolla la teor´ ıa y la pr´ actica de este trabajo es la frontera entre el procesamiento de se˜ nales y el aprendizaje autom´ atico. En este sentido, inicialmente se usan t´ ecnicas de procesamiento de se˜ nales cl´ asicas para poder aplicar algoritmos de aprendizaje autom´ atico, pero posteriormente se har´ a uso de t´ ecnicas m´ as elaboradas de aprendizaje como herramienta para procesar las se˜ nales de forma directa, raz´ on por la que se ha considerado conveniente introducir en este cap´ ıtulo las secciones de an´ alisis tiempo-frecuencia de se˜ nales, y una breve introducci´ on al aprendizaje autom´ atico. 1.2.2. Cap´ıtulo 3: Extracci´on de caracter´ısticas y clasificaci´on con un enfoque cl´asico Para la creaci´ on de un modelo de clasificaci´ on basado en datos es necesario que los datos de entrada presenten de forma clara patrones reconocibles que permitan discriminar la pertenencia a una clase. En el contexto de la clasificaci´ on a estos datos de entrada se les conoce como caracter´ ısticas. Por ejemplo, en aplicaciones de diagn´ ostico de fallos en maquinaria rotativa se desea conocer el fallo espec´ ıfico que tiene un componente a partir de un conjunto de entradas. Sin embargo, para los procesos que son fuente de estudio de este trabajo, los elementos de una serie de tiempo no pueden ser vistos directamente como caracter´ ısticas por su gran complejidad y porque los patrones identificables no permanecen fijos a lo largo del tiempo a pesar de tratarse de mediciones del mismo proceso bajo las mismas condiciones. Por ello, en esta primera propuesta se detalla un m´ etodo que empieza con una etapa de extracci´ on de caracter´ ısticas a partir de series de tiempo utilizando la t´ ecnica de descomposici´ on por Wavelet Packet (WPD)[31]. Para esto, y como se detallar´ a m´ as adelante, se calcula de cada se˜ nal su WPD hasta el sexto nivel de descomposici´ on, obteniendo finalmente de cada se˜ nal una colecci´ on de sub-se˜ nales llamadas coeficientes de descomposici´on. A su vez, para cada coeficiente obtenido del proceso anterior se calcula su energ´ ıa. Todas estas energ´ ıas calculadas de la descomposici´ on de la WPD de la se˜ nal son agrupadas formando un vector de caracter´ ısticas representativas de dicha se˜ nal. Por otro lado, como la WPD depende de una wavelet madre espec´ ıfica, y cada una de ellas puede aportar informaci´ on distinta a las dem´ as, se han elegido cinco de ellas para su evaluaci´ on: Daubechies 7 (db7), Symlet 3 (sym3), 6Cap´ ıtulo 1. Introducci´ on Coiflet 4 (coif4), Biorthogonal 6.8 (bior) y Reverse Biorthogonal (rbior). As´ ı, se obtiene una representaci´ on compacta de 320 caracter´ ısticas (64 caracter´ ısticas de cada una de las 5 wavelets madre) de una serie de tiempo que inicialmente puede tener miles de elementos, dependiendo del tiempo de adquisici´ on y la tasa de muestreo. Con esta nueva representaci´ on de las se˜ nales se construye un modelo Random Forest[10] para la etapa de clasificaci´ on que es capaz de discriminar se˜ nales a partir de sus caracter´ ısticas representativas. Como veremos en el cap´ ıtulo, este modelo, por ejemplo, es capaz de decidir si una se˜ nal de vibraci´ on representada por un conjunto de caracter´ ısticas fue extra´ ıda de una m´ aquina que tiene un fallo en la pista interna de un rodamiento, o, por el contrario, que esa se˜ nal representa a una m´ aquina sin fallo en ning´ un componente. El m´ etodo propuesto es evaluado para tres aplicaciones de CBM. La primera es el diagn´ ostico de fallos en cajas de engranajes rectos en donde se tienen 7 clases representando 7 diferentes estados de un engranaje. La segunda es la determinaci´ on de la severidad de un da˜ no por ruptura de diente en una caja de engranajes helicoidales, donde se tienen 10 clases que representan los niveles de severidad de ruptura de diente en el pi˜ n´ on de una caja reductora. La tercera aplicaci´ on tambi´ en es de severidad de da˜ no, pero en este caso para los componentes de un rodamiento (pista externa, pista interna y elemento rodante) dispuesto en un sistema rotativo de transmisi´ on de movimiento. Para cada una de las aplicaciones se realiza una b´ usqueda exhaustiva sobre los diferentes hiperpar´ ametros propios del modelo de Random Forest con el fin de encontrar los valores m´ as adecuados para ellas, mostrando que el m´ etodo propuesto puede ser aplicado de forma satisfactoria. Sin embargo, esta primera aproximaci´ on tiene dos debilidades fundamentales: por una parte, requiere de un proceso manual de extracci´ on de caracter´ ısticas basado en conocimiento experto, y por otra, necesita la informaci´ on de las clases en las que se pueden clasificar las se˜ nales para generar el modelo de clasificaci´ on. 1.2.3. Cap´ıtulo 4: Aprendizaje de caracter´ısticas de series de tiempo Para mitigar las debilidades de la propuesta anterior presentamos una fusi´ on entre la extracci´ on de caracter´ ısticas y el modelo de predicci´ on. De esta forma, el m´ etodo propuesto ya no necesita t´ ecnicas de procesamiento de se˜ nales basadas en el conocimiento del proceso y se logra su automatizaci´ on. Con este fin se har´ a uso de Redes Convolucionales Profundas (DCNN)[32] como extractor de caracter´ ısticas. Este modelo tiene como base fundamental el aprendizaje de un conjunto de kernels de convoluci´on que se aplican a un grupo de funciones discretas en 2 dimensiones. El resultado de esta aplicaci´ on es otro grupo de funciones, llamados mapas de caracter´ısticas, a las que nuevamente se aplica el proceso de convoluci´ on en una capa posterior, obteniendo un modelo que crece en profundidad de acuerdo al n´ umero deseado de capas de convoluci´ on. En cada nivel de iteraci´ on, los mapas de caracter´ ısticas obtenidos proporcionan una representaci´ on 1.2. Estructura de la memoria 7 de la informaci´ on de entrada que es m´ as abstracta que la de la capa anterior, resultando en la extracci´ on de caracter´ ısticas representativas. El proceso de aprendizaje de los kernels de convoluci´ on est´ a basado en una modificaci´ on del algoritmo de retropropagaci´ on del error para el c´ alculo del gradiente habitual en las redes neuronales artificiales cl´ asicas. Sin embargo, se sabe que este algoritmo de optimizaci´ on tiene el problema de que el gradiente tiende r´ apidamente a anularse cuando la red es profunda (tiene muchas capas), por lo que el entrenamiento se hace inviable ya que no se produce un aprendizaje significativo. En este trabajo se propone solventar este problema mediante un pre-entrenamiento de cada capa convolucional con un modelo denominado Convolutional Autoencoder[68] (CAE, una modificaci´ on para una capa convolucional del conocido Autoencoder Cl´ asico). Sin embargo, una DCNN en su forma tradicional necesita que la entrada a la red sea una funci´ on binaria (habitualmente, una imagen), por lo que realizamos un preprocesamiento que consiste en transformar cada serie de tiempo, que se encuentra en una sola dimensi´ on, en una representaci´ on bidimensional. Para ello, haremos uso nuevamente del c´ alculo de la WPD de cada serie de tiempo hasta el sexto nivel de descomposici´ on de una wavelet madre daubechies 5 (db5), obteniendo los coeficientes de descomposici´ on, que al ser el resultado de un proceso recursivo de aplicaci´ on de filtros espejo en cuadratura representan rangos espec´ ıficos de componentes frecuenciales que pueden ser ordenados de menor a mayor para construir una representaci´ on tiempo-frecuencia bidimensional de la serie de tiempo. Las caracter´ ısticas que se extraen con la DCNN sirven de entradas para un modelo de clasificaci´ on. En nuestro caso el modelo elegido es una red feedforward. Su entrenamiento se realiza en conjunto con la DCNN por lo que no es posible separar los dos modelos, lo que provoca que las caracter´ ısticas se especialicen de acuerdo a la tarea espec´ ıfica de clasificaci´ on, en vez de ser ´ estas de prop´ osito general como en la primera propuesta. Sin embargo, sigue teniendo el inconveniente de que la extracci´ on de caracter´ ısticas es dependiente de la informaci´ on de la clase a la que pertenecen las instancias de entrenamiento. As´ ı pues, este m´ etodo elimina una de las debilidades de la propuesta anterior, pero sigue presentando la otra. El m´ etodo propuesto es evaluado para el diagn´ ostico de la severidad de un fallo por ruptura de diente en engranajes helicoidales bajo condiciones de funcionamien- to estacionarias y no-estacionarias, que tambi´ en fue analizado con el m´ etodo presentado en el cap´ ıtulo anterior. Adem´ as, se realiza una comparaci´ on entre la DCNN con y sin el proceso de pre-entrenamiento para diferentes niveles de profundidad de la red, mostrando que el proceso de pre-entrenamiento con SCAE tiene un efecto positivo en el desempe˜ no de la red para esta tarea. Tambi´ en se muestra una comparaci´ on exhaustiva con otros m´ etodos supervisados y no supervisados de extracci´ on de caracter´ ısticas reportados en la literatura, constatando que los resultados obtenidos en el m´ etodo aqu´ ı propuesto presenta mejor desempe˜ no que las dem´ as opciones encontradas. 14 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos adicionales, como son que el vector de estados sea una funci´ on continua y derivable en un espacio con suficientes propiedades. De esta forma, la funci´ on fdefine la tasa de cambio instant´ anea del vector de estados, y la din´ amica se puede expresar como: x(0) = x0(2.3) x0(t) = f(x(t)) (2.4) El vector de estados junto con su evoluci´ on temporal puede ser usado para describir la din´ amica completa del sistema din´ amico. Una forma com´ un de representar dicha din´ amica es mediante trayectorias representadas gr´ aficamente por los valores obtenidos en cada instante de tiempo de las variables de estado en el espacio cartesiano formado por dichas variables. Al diagrama resultante del proceso anterior se le conoce como diagrama de fase. Bajo ciertas condiciones, el an´ alisis de la topolog´ ıa de las trayectorias en el diagrama de fase permite conocer cu´ al es el estado del sistema e incluso su posible comportamiento futuro. De cualquier forma, en muchos casos, independientemente de si el sistema es continuo o discreto, la informaci´ on correspondiente a la evoluci´ on temporal de las variables de estado es muy limitada, y en ciertas ocasiones es totalmente inaccesible, por lo que no es posible realizar el an´ alisis en el diagrama de fase generado por las trayectorias de las variables de estado y, por lo tanto, el estado del sistema resulta desconocido. Sin embargo, Floris Takens en [93] propone un teorema que asegura que, bajo ciertas hip´ otesis sobre el sistema, resulta posible reconstruir la din´ amica del sistema original completo a partir de mediciones de algunas de las variables involucradas y, de esta forma, conocer la evoluci´ on del mismo (en realidad, no se obtiene la evoluci´ on exacta del sistema, pero se puede reconstruir una versi´ on simplificada del espacio de fase que, en general, tiene las mismas caracter´ ısticas topol´ ogicas que el diagrama de fase creado por las variables de estado que se conocen). El trabajo que aqu´ ı se presenta no se enfoca en el teorema de Takens ni en los m´ etodos subyacentes (por ejemplo, v´ ease [91] o [106]), sin embargo, su hallazgo justifica todo intento relacionado con la estimaci´ on del estado de un sistema din´ amico a partir de mediciones limitadas de series de tiempo de algunas de sus variables. En este sentido, los m´ etodos propuestos son muy diversos, partiendo desde t´ ecnicas de procesamiento de se˜ nales hasta an´ alisis puramente matem´ aticos. Aqu´ ı se exploran metodolog´ ıas h´ ıbridas entre el procesamiento de se˜ nales y el aprendizaje autom´ atico que logran, a partir de una serie temporal, estimar el estado del sistema. 2.2. Componentes mec´anicos 2.2.1. Engranes Los engranes (o engranajes) son elementos mec´ anicos que se pueden conectar y son capaces de transmitir movimiento de rotaci´ on y torque, que puede disminuir o 2.2. Componentes mec´ anicos 15 aumentar dependiendo de la relaci´ on de transmisi´ on, rt, entre ellos. Por esta raz´ on, los engranes son elementos indispensables en maquinarias rotativas que requieran de una velocidad espec´ ıfica. Si tenemos dos engranes tal y como muestra la Figura 2.1, donde el primero es el engrane de entrada y el segundo es el engrane de salida, la relaci´on de transmisi´on entre ellos se calcula como el ratio del n´ umero de dientes del primero de ellos, Z1, y el n´ umero de dientes del segundo, Z2: rt=Z1 Z2 (2.5) Figura 2.1: Relaci´ on de transmisi´ on en engranes. Cuando la relaci´ on de transmisi´ on es menor que 1, se obtiene una disminuci´ on de la velocidad y un aumento del torque, como es el caso de las cajas reductoras. Por el contrario, si la relaci´ on de transmisi´ on es mayor que 1, la velocidad aumentar´ a y el torque disminuir´ a. Para calcular la velocidad resultante en el engrane 2 basta multiplicar la relaci´ on de transmisi´ on entre Z1 y Z2 por la velocidad del engrane 1. V2=Z1 Z2 ·V1(2.6) Actualmente, en cajas reductoras se pueden utilizar engranes con diente recto o helicoidal, siendo estos ´ ultimos los m´ as usados por su bajo ruido y la capacidad de soportar mayores velocidades de funcionamiento. La Figura 2.2 muestra una caja reductora con engranes helicoidales que cuenta con una relaci´ on de transmisi´ on de 0,667 dada por los engranes con n´ umero de dientes Z1= 30 yZ2= 45. 2.2.2. Rodamientos Se conoce como rodamiento al elemento mec´ anico que se acopla en un eje con el objetivo de reducir la fricci´ on existente en el eje al transmitir cargas axiales, radiales 16 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos Eje de entrada Eje de salida Z2 Z1 Figura 2.2: Caja reductora con engranes helicoidales. o una combinaci´ on de ellas. Los principales componentes de un rodamiento son: pista interna, pista externa, y elemento rodante (ver Figura 2.3). La pista interna cumple la funci´ on de acople entre eje y rodamiento, por lo tanto cuenta con un movimiento giratorio. La pista externa cumple la funci´ on de mantener al rodamiento en una posici´ on establecida, por tanto no tiene movimiento giratorio. El elemento rodante es el encargado de soportar las cargas que act´ uan sobre el rodamiento y adem´ as posee un movimiento de traslaci´ on y rotaci´ on. Pista Externa Pista Interna Elemento Rodante Figura 2.3: Partes principales de un rodamiento. 2.3. Fallos en elementos mec´anicos Cada pieza que forma parte de un mecanismo cumple con una tarea espec´ ıfica, y dependiendo de cu´ al sea, los elementos pueden ser sometidos a cargas axiales 2.3. Fallos en elementos mec´ anicos 17 o radiales, lo que, sumado a las condiciones de trabajo como son temperatura, humedad, y part´ ıculas en el ambiente, hacen que los elementos tiendan a fallar con el transcurso del tiempo. A continuaci´ on damos un breve repaso a los fallos que podemos encontrar en los elementos (engranes y rodamientos) que forman nuestros sistemas de estudio. 2.3.1. Fallo en engranes Los engranes usados en maquinaria industrial son manufacturados en materiales altamente resistentes a la corrosi´ on, desgaste, fatiga y esfuerzos de deformaci´ on con el af´ an de soportar condiciones severas de funcionamiento. Sin embargo, defectos en el material, mala fabricaci´ on o una deficiente lubricaci´ on, pueden generar un fallo prematuro. Tal y como muestra la Figura 2.4, las principales causas de fallo en engranes se deben principalmente a circunstancias directamente relacionadas con el proceso de lubricaci´ on, por lo que la parte m´ as afectada en estos elementos ser´ an las superficies de contacto entre dientes. 51% 7% 6% 23% 13% Mala lubricación Lubricación y mantenimiento Contaminación de aceite Fallas de rodamiento Lubricante equivocado Figura 2.4: Principales causas de fallos en engranes [1]. Una clasificaci´ on detallada de los fallos que pueden ocurrir en engranes por diferentes causas es mostrada a continuaci´ on: Perturbaciones superficiales: Las perturbaciones superficiales son fallos que se presentan en la cara del diente en engranes que se encuentran sometidos a condiciones adversas de funcionamiento (como pueden ser una mala lubricaci´ on, presencia de sustancias extra˜ nas en el lubricante, descargas el´ ectricas, o excesiva carga). Estas perturbaciones se pueden clasificar en varias familias seg´ un su origen y tipolog´ ıa: 18 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos •Desgaste por deslizamiento: desgaste normal, desgaste moderado, desgaste excesivo, pulido, desgaste abrasivo, rascado moderado, rascado severo, desgaste de interferencia. •Corrosi´ on: corrosi´ on qu´ ımica, corrosi´ on por fricci´ on, decapado. •Sobrecalentamiento. •Erosi´ on: cavitaci´ on, hidr´ aulica, el´ ectrica. En general, la detecci´ on temprana de este tipo de fallos evitar´ a problemas futuros, pero un engrane con ellos podr´ a seguir en funcionamiento durante largos periodos de tiempo. Raspaduras: Las raspaduras son fallos generados por fatiga superficial entre dientes de engranes, y se presenta incluso con adecuada lubricaci´ on. Dependiendo del tiempo transcurrido desde su aparici´ on, este fallo puede presentarse bajo tres niveles de severidad: leve, moderada, y severa. Deformaciones permanentes: El fallo por deformaciones permanentes se presenta en engranes una vez superada la resistencia ´ ultima del material causado por una carga externa una vez que es retirada. Este tipo de fallo puede ser prevenido con el uso de grasas para presi´ on extrema. Una posible clasificaci´ on de este tipo de fallos es: •Abolladura. •Deformaci´ on pl´ astica: por laminado, por contacto. •Ondulaci´ on. •Deformaci´ on por arista viva. •Deformaci´ on por rebaba. Fen´omeno de fatiga superficial: El fen´ omeno de fatiga superficial se presenta en engranes con capa delgada de lubricaci´ on o por el uso de un aceite inadecuado, y que adem´ as se encuentran sometidos a tensiones elevadas de trabajo, lo que provoca p´ erdida de material en la cara de los dientes. Este tipo de fallo se subdivide en seis posibles categor´ ıas: •Picaduras: picaduras iniciales, picaduras progresivas, macro-picaduras. •Picaduras escamosas. •Astillamiento. •Trituraci´ on. Las picaduras iniciales se presentan en la mayor parte de engranes en etapas iniciales de uso, lo cual no representa problemas para su funcionamiento. Sin embargo, el panorama cambia cuando se trata de picaduras progresivas, que acaban con la superficie del diente y provocan ruido durante su funcionamiento. Las picaduras progresivas comienzan como peque˜ nos agujeros bajo el di´ ametro de paso del engrane y a medida que avanza cubre toda la superficie del diente. 2.3. Fallos en elementos mec´ anicos 19 Roturas y fisuras: Las fisuras son el resultado de altas tensiones mec´ anicas, temperaturas de trabajo elevadas, o un mal tratamiento t´ ermico empleado durante la manufactura del engrane. Este fallo, de ser detectado en etapas tempranas, no supondr´ a aver´ ıas del sistema, pero si no se trata de forma adecuada avanzar´ a llegando a generar roturas de diente que desgastar´ an r´ apidamente al sistema y provocar´ a una disminuci´ on abrupta en su vida ´ util. Este fallo puede clasificarse en: •Grietas de temple. •Grietas de rectificado. •Grietas por fatiga. Diente roto: El fallo por diente roto genera problemas de operaci´ on en la ca- ja de engranes debido a la exigencia que ocasionar´ a en los dientes que a´ un est´ an en buen estado, pudiendo provocar el fracaso de todo el sistema. El fallo depender´ a de factores externos como la lubricaci´ on, la carga a la cual est´ an sometidos, e incluso su proceso de manufactura. A continuaci´ on se presenta una posible clasificaci´ on de este tipo de fallos: •Rotura por sobrecarga: fractura fr´ agil, fractura d´ uctil, fractura semi-fr´ agil. •Cizallado de diente. •Rotura posterior a deformaci´ on pl´ astica. •Rotura por fatiga: fatiga de dientes, rotura de dientes. 2.3.2. Fallos en rodamientos Debido a las distintas condiciones bajo las que puede trabajar un rodamiento, cada uno de los elementos que lo componen puede fallar con el paso del tiempo de funcionamiento. Al igual que ocurr´ ıa en el caso anterior, la causa principal de fallos en rodamientos se presenta por un defecto en el lubricante, ya sea por envejecimiento (horas de funcionamiento) o por una mala elecci´ on del mismo (viscosidad, gradiente de temperatura, etc), lo que puede provocar que los elementos del rodamiento se deterioren y no funcionen de una manera adecuada, llegando incluso a generar graves da˜ nos al equipo y p´ erdidas econ´ omicas considerables a causa del tiempo requerido para realizar un cambio del mecanismo. A continuaci´ on se muestran los distintos tipos de fallos que pueden aparecen en los rodamientos: Fatiga por contacto: El movimiento continuo y giratorio al cual est´ an sometidos los rodamientos durante su funcionamiento hacen que la incidencia del fallo de fatiga por contacto sea elevada incluso en condiciones normales de carga y velocidad. Este fallo se subdivide en dos categor´ ıas: •Fatiga inicial bajo la superficie. •Fatiga superficial. 20 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos Desgaste: Durante el funcionamiento de un rodamiento existen situaciones que provocan una p´ erdida del material de alguno de sus elementos, que se denomina desgaste. Este fallo tambi´ en es causado principalmente por circunstancias asociadas al lubricante y requiere especial cuidado para evitar problemas futuros. Dependiendo de la causa externa que lo provoca el desgaste se puede clasificar en: •Desgaste abrasivo. •Desgaste adhesivo. •Desgaste por contacto: desgaste corrosivo, desgaste por part´ ıculas. Corrosi´on: El fallo por corrosi´ on tiene caracter´ ısticas similares al desgaste. Su ´ unica diferencia es la causa que origin´ o el problema. De acuerdo con esto, se clasifica en: •Corrosi´ on por humedad. •Corrosi´ on friccionante: corrosi´ on friccionante leve, corrosi´ on friccionante severa. Erosi´on el´ectrica: El fallo por erosi´ on el´ ectrica es un problema recurrente al utilizar variadores de frecuencia. Este fallo se debe a la corrosi´ on producida por fugas de corriente o voltajes elevados, y se produce al pasar corriente por los elementos del rodamiento generando calor y, con ello, corrugaciones en las pistas, de tal forma que el lubricante queda inservible y los elementos con da˜ nos permanentes. El incremento que se ha dado a partir del a˜ no de 1990 en el uso y desarrollo de variadores de velocidad para motores, hacen que este fallo se presente con alta frecuencia a nivel industrial. Deformaci´on pl´astica: Tras cumplir con su tiempo de vida ´ util, los rodamientos comienzan a experimentar fallos por deformaci´ on pl´ astica que se presentan como abolladuras en la superficie tanto de la pista externa como interna. Este proceso normal de fallo en rodamientos puede aparecer antes de cumplir con su vida ´ util cuando el elemento est´ a expuesto a cargas extremas que superen su dise˜ no, excesivas pre-cargas, o cargas axiales. Se puede clasificar como: •Deformaciones por sobrecarga. •Abolladura: abolladura por escombros, abolladura por manipulaci´ on. Grietas y fracturas: El fallo por grietas y fracturas se presenta en rodamientos montados de manera inadecuada, fuerzas externas, mala lubricaci´ on, o sometidos a cargas elevadas. En etapas iniciales de fallo se presenta en forma de grietas, las cuales generar´ an ruido durante su funcionamiento. Al pasar el tiempo la grieta terminar´ a en una fractura del elemento, lo que causar´ a una parada abrupta del mecanismo del cual forma parte y posibles da˜ nos adicionales. Su clasificaci´ on de acuerdo al origen del fallo es: •Fractura forzada. 2.4. An´ alisis Tiempo-Frecuencia 21 •Fractura por fatiga. •Grieta por temperatura. 2.4. An´alisis Tiempo-Frecuencia El an´ alisis de Fourier permite obtener informaci´ on clara sobre las componentes de frecuencia que tiene una se˜ nal. Este an´ alisis es ´ util, principalmente, cuando la se˜ nal es peri´ odica, siendo posible representar una serie de tiempo como una suma de m´ ultiples componentes senoidales y cosenoidales, lo que permite expresar la transformada de Fourier de forma m´ as compacta haciendo uso de la exponencial compleja. Sin embargo, no todas las se˜ nales cumplen una condici´ on de periodicidad, algunas presentan eventos que ocurren una sola vez durante todo el dominio de la se˜ nal capturada y otras responden a procesos subyacentes que evolucionan en el tiempo. En estos casos, el an´ alisis de Fourier m´ as cl´ asico no es capaz de extraer patrones de repetici´ on locales, por lo que proporciona una herramienta limitada para m´ ultiples aplicaciones que requieren del procesamiento de este tipo de series temporales. Por ejemplo, la Figura 2.5 muestra una se˜ nal de 3Hz (Figura 2.5a superior) en la que se han inyectado dos componentes de 300Hz y400Hz respectivamente (Figura 2.5a inferior). En la Figura 2.5b se muestra el espectro de la se˜ nal, en la que es apreciable la p´ erdida de informaci´ on. Si bien es cierto que existen picos de frecuencia cerca de los 300Hz y400Hz, indicando la presencia de los transitorios, estas bandas frecuenciales tienden a traslaparse y por tanto a confundirse. Es apreciable, adem´ as, que la informaci´ on concerniente a la baja frecuencia de 3Hz ha desaparecido por completo. Adem´ as, al ser eventos que ocurren en un tiempo espec´ ıfico y una sola vez, ser´ ıa interesante poder conocer en qu´ e instante de tiempo sucedieron, pero esta informaci´ on se encuentra completamente fuera del alcance de la transformada de Fourier, que es capaz de decirnos qu´ e frecuencias ocurren, pero no cu´ ando ocurren. 2.4.1. Transformada Corta de Fourier Debido a las limitaciones indicadas anteriormente ha sido necesario el desarrollo de otro tipo de herramientas para el an´ alisis de se˜ nales. ´ Estas deb´ ıan ser capaces de extraer patrones, tanto globales como locales, de las series temporales. Normalmente, los patrones globales se presentan en las se˜ nales como componentes de baja frecuencia con una tasa de ocurrencia baja, mientras que los patrones locales suelen aparecer como eventos de corta duraci´ on (alta frecuencia) y de forma espor´ adica, incluso ´ unica, como una parte transitoria de la se˜ nal capturada. Es as´ ı como nace el an´ alisis tiempo-frecuencia con una primera propuesta de Dennis Gabor en su art´ ıculo ”Theory of communication”[30], donde se bautiz´ o como an´alisis por ventaneo de se˜nales y que actualmente se conoce como Transformada Corta 22 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 150 100 50 0 50 100 150 0.454 0.456 0.458 0.460 0.462 0.464 100 50 0 50 100 amplitud 0.544 0.546 0.548 0.550 0.552 0.554 0.556 t 100 50 0 50 100 (a) Se˜ nal 0 500 1000 1500 2000 f 8000 6000 4000 2000 0 2000 4000 6000 8000 amplitud (b) Espectro Figura 2.5: Se˜ nal con distorsi´ on de transitorios de alta frecuencia y su espectro. 2.4. An´ alisis Tiempo-Frecuencia 23 de Fourier (STFT). Este proceso dio una primera soluci´ on para el descubrimiento de patrones locales en series temporales, permitiendo conocer un rango de tiempo en el cual puede haber ocurrido un evento de alta frecuencia. La STFT se realiza aplicando la transformada de Fourier a trozos sucesivos y ordenados de la se˜ nal. Estos trozos son determinados por el tama˜ no de una ventana previamente definida de acuerdo a la aplicaci´ on objetivo. Con la STFT se obtiene el espectro de cada tramo de tiempo, logrando conocer de esta forma las componentes de frecuencia para cada uno de ellos. As´ ı, es posible saber que un evento de alta frecuencia ha ocurrido en un tramo de tiempo si ´ este aparece en la transformada de Fourier espec´ ıfica para ese tramo de tiempo. La Figura 2.6 muestra la STFT para la se˜ nal de la Figura 2.5a, donde se pone de manifiesto su capacidad para encontrar las componentes de alta frecuencia que ocurren en rangos de tiempo espec´ ıficos. Adem´ as, es posible notar que la componente de baja frecuencia permanece inalterada y visible en todo instante de tiempo, evitando la p´ erdida de informaci´ on. Figura 2.6: Ejemplo de STFT. 2.4.2. Transformada Wavelet La Transformada Corta de Fourier ha sido una herramienta muy ´ util para el procesamiento de se˜ nales, sin embargo tiene dos deficiencias claves. La primera es que para cada posici´ on de la ventana se calcula la transformada de Fourier, lo que resulta en un procedimiento computacionalmente muy costoso y que adem´ as depende del tama˜ no de la ventana seleccionada, sobre todo para aplicaciones donde se requiere una buena resoluci´ on en tiempo (ventanas angostas) para poder detectar eventos de alta frecuencia. La segunda de las deficiencias es que el ancho de la ventana es fijo a lo largo de todo el procedimiento, lo que produce una resoluci´ on fija tanto en tiempo 30 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos Una de las funciones del proceso de acondicionamiento de la se˜ nal es la de eliminar el ruido el´ ectrico de la se˜ nal original o, al menos, de mitigar su efecto en caso de que la eliminaci´ on completa no sea posible. Para ello, se realiza un proceso de filtrado que elimina las componentes de frecuencia espec´ ıfica, que a priori se sepa que no son ´ utiles, mediante filtros elimina banda. Otra forma de resolver el problema es hacer uso de filtros pasa banda para eliminar todas las componentes de frecuencia que no se encuentren en el rango frecuencial en el cual la variable proporciona informaci´ on ´ util. Estos dos m´ etodos no son excluyentes, y pueden ser usados en una misma etapa de acondicionamiento de la se˜ nal incluso combinados con otro tipo de filtros como los pasa bajo ypasa alto. Todo depender´ a del tipo de ruido que se desee eliminar y de la importancia de disponer de una se˜ nal pura para la aplicaci´ on posterior a la adquisici´ on de la se˜ nal. Otra funci´ on de esta etapa es la amplificaci´ on de la se˜ nal original. En muchos casos la se˜ nal que se recibe tiene un nivel de amplitud muy peque˜ no, en el orden de los mili o microvoltios (por ejemplo, las se˜ nales que se adquieren a partir de mediciones en los m´ usculos del cuerpo humano). Para estos casos, se captura la se˜ nal original y se intenta amplificar de forma controlada conservando las propiedades de forma y fase que ten´ ıa originalmente y evitando la inclusi´ on de retardos en la se˜ nal resultante. Muchas veces, este proceso se realiza mediante amplificadores anal´ ogicos que en muchos casos podr´ ıan ser parte de los circuitos de filtrado detallados anteriormente, realizando a la vez la doble funci´ on de filtro y amplificador. Conversi´on anal´ogica a digital: En la actualidad, las t´ ecnicas y algoritmos de an´ alisis y almacenamiento de se˜ nales est´ an implementados en dispositivos de computaci´ on que, como vimos, forman parte fundamental de los sistemas de adquisici´ on de se˜ nales. Estos dispositivos est´ an formados por circuitos electr´ onicos que son capaces de trabajar con informaci´ on que se encuentra codificada en secuencias de bits. Por ello, para que puedan procesar o almacenar se˜ nales, ´ estas deben estar igualmente representadas como secuencias de bits. Sin embargo, las se˜ nales de salida de la etapa de acondicionamiento son anal´ ogicas y continuas, por lo que en un sistema de adquisici´ on de se˜ nales es necesario disponer de una etapa dedicada a la conversi´ on de se˜ nales anal´ ogicas a su codificaci´ on digital equivalente. Un diagrama del proceso de conver- si´ on anal´ ogico a digital se muestra en la Figura 2.10. El proceso de conversi´ on anal´ ogico a digital (ADC) empieza con una etapa de muestreo y retenci´ on. Como el proceso de conversi´ on tarda un periodo de tiempo, aqu´ ı se captura un nivel de voltaje de la se˜ nal con el circuito de muestreo y se mantiene fijo hasta que se termine la conversi´ on con el circuito de retenci´ on, algo necesario para evitar que cambie el nivel de voltaje del cual queremos conocer su codificaci´ on digital. Una vez que la se˜ nal se fija como un voltaje de referencia (muestreo y retenci´ on) empieza la etapa de conver- si´ on anal´ ogica a digital. Para ello se utiliza un circuito de conversi´ on digital a anal´ ogico (DAC) con un c´ odigo digital ascendente, que da un valor de voltaje a 2.5. Sistema de adquisici´ on de datos 31 Figura 2.10: Diagrama del conversor anal´ ogico digital. un comparador que dispara un impulso de parada cuando el voltaje del DAC es igual o mayor que la referencia dada por el circuito de muestreo y retenci´ on. Cuando el impulso de parada se activa, se detiene la cuenta ascendente del c´ odigo digital en el DAC y se toma este valor binario como el c´ odigo que representa el nivel de voltaje que se mantuvo retenido. Este valor es el resultado de la ADC para un periodo de tiempo. Posteriormente, se muestrea de nuevo y se retiene otro nivel de voltaje y el proceso se repite. Para la selecci´ on de los dispositivos electr´ onicos que realizan la conversi´ on anal´ ogica a digital se deben tener en cuenta al menos dos factores fundamentales: la tasa de muestreo y la resoluci´ on. La primera representa el n´ umero de ADCs que se pueden realizar en un tiempo determinado, y habitualmente de mide en samples/s. La segunda representa la variaci´ on m´ ınima de voltaje que puede ser detectada por el dispositivo de ADC y que por lo tanto cambia el valor binario resultante. Para entender las restricciones que imponen estos dos par´ ametros de forma pr´ actica se puede decir que la tasa de muestreo se encuentra limitada en un caso extremo por el tiempo que tarda al DAC en realizar el barrido desde el c´ odigo binario m´ ınimo al m´ aximo. Por otro lado la resoluci´ on se encuentra limitada por el n´ umero de bits que tiene el DAC. Ordenador: Todo el proceso realizado hasta este momento tiene la finalidad de transformar la se˜ nal, que inicialmente se encontraba como niveles de voltaje en el tiempo, en un conjunto de cadenas de bits que forman una representaci´ on discreta de la se˜ nal original. Esta versi´ on digital suele ser enviada a un ordenador usando un medio cableado, aunque hoy en d´ ıa tambi´ en se utilizan medios inal´ ambricos. En cualquier caso, independientemente del medio usado para la transferencia de los datos, se usan protocolos de comunicaci´ on avanzados, que se encargan de gestionar la transferencia de la informaci´ on y brindar robustez ante perturbaciones externas que pudiesen afectar al proceso de comunicaci´ on. En el lado del ordenador, un software de adquisici´ on de datos es el encargado de gestionar la recepci´ on de la se˜ nal digitalizada para 32 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos luego procesarla seg´ un las necesidades de la aplicaci´ on espec´ ıfica, donde se incluye su almacenamiento para su uso o an´ alisis posterior. Si la aplicaci´ on es com´ un en el medio industrial, se puede encontrar software comercial o incluso software libre para realizar esta tarea. Sin embargo, si se desea personalizar el software de adquisici´ on con los requerimientos de una aplicaci´ on espec´ ıfica, entonces ser´ a necesario el dise˜ no e implementaci´ on en alg´ un lenguaje de programaci´ on o framework. Ejemplos de esto son LabViewTM, de la compa˜ n´ ıa National Instrument R , y Matlab[69], de la compa˜ n´ ıa MathWorks R . 2.5.1. Sistema de adquisici´on de datos para una m´aquina rotativa Para este trabajo fue necesaria la implementaci´ on de un sistema de adquisici´ on de datos que complementa a los sistemas mec´ anicos de la Figura 2.22, Figura 2.23, y Figura 2.25; y por el que se obtiene una observaci´ on de lo que pasa en una caja de engranes industrial o sistema de transmisi´ on permitiendo adem´ as adquirir datos de manera que se puedan procesar y evaluar las se˜ nales obtenidas. Parte del sistema de adquisici´ on de datos est´ a conformado por un subsistema el´ ectrico y electr´ onico que provee de energ´ ıa a todos los componentes para su funcionamiento y adem´ as contiene toda la instrumentaci´ on para la medici´ on de las variables. El esquema general de este subsistema se muestra en la Figura 2.11, donde se representan las conexiones el´ ectricas y electr´ onicas del banco de vibraciones. A continuaci´ on pasamos a detallar cada uno de sus componentes. Sistema de alimentaci´on de energ´ıa En primer lugar describimos los elementos que proporcionan energ´ ıa a los componentes del banco de vibraciones, es decir, aquellos que intervienen en el proceso que va desde la toma de energ´ ıa de la red trif´ asica hasta el motor que produce el movimiento mec´ anico. El flujo energ´ etico se detalla en el diagrama de la Figura 2.12, donde se puede apreciar que la energ´ ıa que alimenta al sistema se toma de una red trif´ asica para, posteriormente en un tablero de conexiones, ser acoplada por medio de fuentes de alimentaci´ on y ser distribuida seg´ un la necesidad de cada componente. A continuaci´ on, esta energ´ ıa controlada ser´ a trasladada a los actuadores del sistema, que son el motor para dar el movimiento y el freno magn´ etico para simular la carga mec´ anica. La mayor´ ıa de componentes del sistema de alimentaci´ on de energ´ ıa se encuentran en el tablero de conexiones. Un tablero de conexiones es una caja met´ alica con un conjunto de paneles internos que permiten realizar conexiones el´ ectricas y electr´ onicas aislando los elementos del medio en el que intervienen. Este tablero alberga diferentes componentes encargados de dar la respectiva energ´ ıa a los sensores y de asegurarlos. Est´ a provisto de un mando de emergencia que al ser presionado inhibe inmediatamente la energ´ ıa y detiene cualquier proceso. Adem´ as, mantiene los componentes lejos del operario y es seguro para la distribuci´ on de energ´ ıa hacia el 2.5. Sistema de adquisici´ on de datos 33 Figura 2.11: Diagrama el´ ectrico y electr´ onico de un sistema de adquisici´ on de se˜ nales de vibraci´ on. 34 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos TABLERO DE CONEXIONES RED TRIFÁSICA -Fuentes -Variador de frecuencia -Motor -Freno Magnético Figura 2.12: Diagrama el´ ectrico del sistema de adquisici´ on de se˜ nales de vibraci´ on. 2.5. Sistema de adquisici´ on de datos 35 banco mec´ anico. Un tablero el´ ectrico y sus componentes para el banco de vibraci´ on se muestran en la Figura 2.13. Figura 2.13: Tablero el´ ectrico principal. Los elementos m´ as importantes del tablero de conexiones y del motor son: Medidor de corriente: El medidor de corriente consiste en una bobina de corriente de montaje m´ ultiple (Multi-mount current coil, en ingl´ es) dise˜ nada para obtener la medici´ on de la corriente que circula por el cable que la atraviesa por el orificio entre sus electrodos (v´ ease Figura 2.14). El medidor de corriente utilizado para el banco de vibraciones de las adquisiciones llevadas a cabo para este trabajo tiene las siguientes caracter´ ısticas: •Marca: Camsco. •Corriente: 60/ 5 A. •Frecuencia: 50 - 60Hz. El principio de funcionamiento de este sensor se basa en el efecto descubierto en 1879 por el f´ ısico Edwin Herbert Hall, y por el que fue llamado efecto Hall, que mostr´ o que si se emplea un campo magn´ etico elevado sobre una l´ amina conductora (normalmente, se usa una fina l´ amina de oro) por la que circula corriente, se produce un voltaje en una direcci´ on transversal a la misma, este voltaje se llama voltaje Hall, que permite medir el voltaje de la l´ amina. 36 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos Figura 2.14: Sensor de corriente. 2.5. Sistema de adquisici´ on de datos 37 Este efecto es usado para medir la cantidad de corriente que pasa por un elemento conductor, y es el principio de funcionamiento de los sensores de efecto Hall usados en el proceso de mediciones del banco de vibraciones. Se usan tres de estos sensores para captar la cantidad de corriente que atraviesa cada l´ ınea de la red trif´ asica que ingresa en el tablero de conexiones. Fuentes de alimentaci´on industriales: Las fuentes de alimentaci´ on industriales (Industrial Power Supplies) son las encargadas de suministrar los diferentes voltajes y corrientes a cada equipo. Est´ an conectadas a la red trif´ asica de entrada. Para dar lugar a los diferentes voltajes se tienen tres fuentes, de 24V/2.5A, 12V/2.2A y 5V/4.0A, tal y como se muestra en la Figura 2.15. Las caracter´ ısticas de las fuentes de alimentaci´ on son: •Marca: Traco Power. •Voltajes de salida: 24V / 12V / 5V. •Corrientes de salida: 2.5A /0.5 -0.4 A /4.0A. •Modelo: TCL Q30-112 /TCL 060-124 / TCV 60-124. •Frecuencia: 50Hz/60Hz. •Potencia de salida: 60W / - /20W. 24V 5V12V Figura 2.15: Fuentes de voltaje. Variador de frecuencia: Un variador de frecuencia es un dispositivo que se usa para controlar el motor con velocidades variables sin poner en riesgo la eficiencia del sistema. La eficiencia puede ser medida de manera r´ apida y global haciendo una relaci´ on entre los resultados obtenidos y la entrada total de energ´ ıa al sistema: EficienciaEnergetica =EnergiaEntregada EntradaT otalDeEnergia (2.13) 38 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos El funcionamiento de un variador de frecuencia consiste en tomar la energ´ ıa, en este caso trif´ asica alterna, que tiene una magnitud y frecuencia fija, transformarla en un voltaje continuo para, posteriormente, transformarla nuevamente en voltaje alterno que tiene magnitud y frecuencia variable. El variador de frecuencia utilizado para el motor del banco de vibraciones se muestra en la Figura 2.16 y sus especificaciones aparecen a continuaci´ on: •Marca: Danfoss. •Modelo: FC 302 VLT R AutomationDrive. •Corriente: 0.10 – 10000.0A. •Voltaje: 10-1000V. •Frecuencia: 0 – 1000Hz. Figura 2.16: Variador de frecuencia. Motor: El motor trif´ asico es un dispositivo que transforma la energ´ ıa el´ ectrica en energ´ ıa mec´ anica gracias a la acci´ on de campos magn´ eticos generados por bobinas. Estas m´ aquinas el´ ectricas se componen de dos partes principales: el rotor, que realiza el movimiento, y el estator, que es la parte fija de la m´ aquina. El motor utilizado es de marca Siemens, c´ odigo 1LA7 090-4YA60 de 2 Hp de potencia, v´ ease Figura 2.17. 2.5. Sistema de adquisici´ on de datos 39 Figura 2.17: Motor el´ ectrico. Sistema de instrumentaci´on, adaptaci´on y captura de se˜nales El sistema de instrumentaci´ on, adaptaci´ on y captura de se˜ nales est´ a encabezado por el ordenador, que permite la interacci´ on con el usuario, y es el encargado de enviar y recibir los datos necesarios para que se recolecten las diferentes se˜ nales de vibraci´ on del sistema. Un esquema de la interacci´ on del ordenador con el resto de componentes se muestra en la Figura 2.18. Un programa que se ejecuta en el ordenador es el encargado de controlar el variador de frecuencia que modifica la velocidad del motor conectado a la caja de engranes, y al mismo tiempo recibe los datos de las se˜ nales capturadas por los sensores. La comunicaci´ on entre el ordenador y el variador de frecuencia se lleva a cabo por medio de una tarjeta de adquisici´ on de datos (DAQ) NI DAQ 6212, y el env´ ıo al ordenador de los datos obtenidos de los sensores se realiza usando un chasis NI CompactDAQ 9188. Veamos algunos detalles de cada uno de estos componentes. NI DAQ 6212: Es un dispositivo de adquisici´ on de datos que tiene la capacidad de medir y generar se˜ nales en cualquier momento. Para ello, se necesita un computador con el software adecuado instalado. Adem´ as, cuenta con entradas y salidas anal´ ogicas, entradas y salidas digitales, fuente de voltaje regulable de -15V/15V, y una fuente de voltaje fija de 5V. Se conecta con el computador mediante un cable USB y con los perif´ ericos mediante cables apantallados para la supresi´ on de ruido el´ ectrico exterior (en 46 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos F M 3 2 4 5 6 1 Donde, M: Motor F: Freno 1: Acople 2: Engrane Z1 3: Engrane Z2 4,6: Poleas 5: Banda (a) Disposici´ on de elementos (b) Montaje de elementos Figura 2.22: Configuraci´ on de banco de vibraciones para el diagn´ ostico de fallas en engranajes rectos. 2.6. Configuraci´ on experimental para tareas CBM 47 Fallo Caracter´ıstica C´odigo Sin fallo - P1 Grieta Toda la ra´ ız de un diente P2Ancho 0.7mm Profundidad 0.4mm Diente roto Diente roto 10 % P3 Picaduras Picaduras en todos los dientes P4 Tres picaduras por diente Di´ ametro 1mm Profundidad 0.5 mm Desgaste L´ ınea en cara de diente P5 Profundidad 0.2mm Desalineamiento Entre ejes de 1◦P6 Desalineamiento Entre ejes de 2◦P7 Desalineamiento Entre ejes de 3◦P8 Diente roto Diente roto 50 % P9 Diente roto Diente roto 100 % P10 Cuadro 2.1: Caracter´ ısticas de fallos en engranes rectos. C´odigo P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 Porcentaje de rotura [ %] 0 10 20 30 40 50 60 70 85 100 Masa [g] 575.7 562.4 553.4 543.4 532.9 516.2 506.0 494.9 477.1 460.6 Longitud de diente [mm] 20.4 18.3 16.3 14.2 12.2 10.2 8.1 6.1 4 0 Cuadro 2.2: Caracter´ ısticas de severidad en engranes helicoidales. 48 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos F M 3 2 4 5 6 1 Donde, M: Motor F: Freno 1: Acople 2: Engrane Z1 3: Engrane Z2 4,6: Poleas 5: Banda (a) Disposici´ on de elementos (b) Montaje de elementos Figura 2.23: Configuraci´ on del banco de vibraciones para el estudio de la severidad de fallo en engranes helicoidales. 2.6. Configuraci´ on experimental para tareas CBM 49 P2 P3 P4 P7 P6 P5 P8 P9 P10 Figura 2.24: Severidad en engranes helicoidales. 50 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos 2.6.3. Configuraci´on del banco de vibraciones para severidad en rodamientos Para la simulaci´ on de severidad de fallos en rodamientos se ha utilizado un motor trif´ asico de corriente alterna como elemento motriz, que transmite su potencia a un eje que cuenta con dos rodamientos, donde en uno de ellos se eval´ ua la severidad del da˜ no en sus distintos componentes (ver Figura 2.25). A continuaci´ on se presentan los detalles de las modificaciones realizadas para simular los fallos en cada elemento del rodamiento. F M 1 Donde, M: Motor F: Freno 1: Acople 2,3: Rodamientos 4: Eje 5,6: Poleas 23 4 5 6 (a) Disposici´ on de elementos (b) Montaje de elementos Figura 2.25: Configuraci´ on del banco de vibraciones para severidad en rodamientos. 2.6. Configuraci´ on experimental para tareas CBM 51 Pista interna Para la simulaci´ on de fallos en la pista interna se consideran los tres niveles de severidad que se presentan en la Tabla 2.3. C´odigo Caracter´ısticas de fallo Di´ametro [mm] Profundidad [mm] P2 0.5 0.3 P3 0.9 0.3 P4 1.3 0.3 Cuadro 2.3: Caracter´ ısticas de severidad en pista interna de rodamientos. Cada uno de estos fallos se ha construido por medio de electro-erosi´ on, que consiste en usar corriente el´ ectrica para cortar a precisi´ on el material. La Figura 2.26 muestra los distintos niveles de severidad considerados. P2 P3 P4 Figura 2.26: Niveles de severidad en pista interna de rodamientos. Pista externa Para el estudio de la severidad de fallo en la pista externa se han considerado los tres niveles de da˜ no que se detallan en la Tabla 2.4, y que simulan un desgaste en la pista externa a causa de un elemento rodante defectuoso. En la Figura 2.27 se muestran im´ agenes con estos fallos. C´odigo Caracter´ısticas de fallo Di´ametro [mm] Profundidad [mm] P5 0.5 0.3 P6 0.9 0.3 P7 1.3 0.3 Cuadro 2.4: Caracter´ ısticas de severidad en pista externa de rodamientos. 52 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos P5 P6 P7 Figura 2.27: Niveles de severidad en pista externa de rodamientos. Elemento rodante Para el elemento rodante se han considerado 10 niveles de severidad, tal y como detalla la Tabla 2.5. La Figura 2.28 muestra el resultado del proceso de construcci´ on para cada uno de los niveles de severidad. C´odigo Caracter´ısticas de fallo Di´ametro [mm] Profundidad [mm] Masa [g] P8 1 0.5 2.70103 P9 0.9 0.5 2.70250 P10 0.8 0.5 2.70300 P11 1 0.3 2.70327 P12 0.9 0.3 2.70347 P13 0.8 0.3 2.70353 P14 0.7 0.3 2.70417 P15 0.6 0.3 2.70460 P16 0.6 0.1 2.70460 P17 0.5 0.1 2.70473 Cuadro 2.5: Caracter´ ısticas de severidad en elemento rodante. 2.6.4. Configuraci´on del banco de vibraciones para diagn´ostico multi-falla en rodamientos Para la tarea de diagn´ ostico multifalla en rodamientos se ha utilizado un motor trif´ asico de corriente alterna que transmite su movimiento rotacional a un eje por medio de un acoplamiento directo. A lo largo del eje se encuentran dos rodamientos en los que se configuran distintos tipos de da˜ nos en sus elementos, los cuales pueden presentarse de forma individual (en cada rodamiento) o de forma conjunta (dos rodamientos a la vez). La Tabla 2.6 muestra las diferentes configuraciones evaluadas. 2.7. Aprendizaje Autom´ atico (Machine Learning) 53 P8 P9 P10 P11 P12 P17 P16 P15 P14 P13 Figura 2.28: Niveles de severidad en elemento rodante de rodamientos. C´odigo Elementos evaluados Rodamiento 1 Rodamiento 2 P1 normal normal P2 fallo en pista interna normal P3 fallo en pista externa normal P4 fallo en elemento rodante normal P5 fallo en pista interna fallo en pista externa P6 fallo en pista interna fallo en elemento rodante P7 fallo en elemento rodante fallo en elemento rodante Cuadro 2.6: Caracter´ ısticas de experimentaci´ on multi-fallas en rodamientos. Adicionalmente, se simulan m´ ultiples condiciones de funcionamiento de carga y velocidad. Para generar distintas condiciones de carga se utilizan dos ruedas volantes que pueden colocarse en el espacio entre los dos rodamientos. De esta manera se simulan 3 condiciones de carga: sin rueda, 1 rueda y 2 ruedas. En el mismo sentido, se generan 3 velocidades de rotaci´ on para el motor: 8Hz, 10Hz y 15Hz. La configuraci´ on mec´ anica descrita anteriormente puede ser vista en la Figura 2.25. 2.7. Aprendizaje Autom´atico (Machine Learning) El Aprendizaje Autom´atico (Machine Learning, por su nombre en ingl´ es, que est´ a mucho m´ as extendido actualmente3) es una rama de la Inteligencia Artificial, de dif´ ıcil definici´ on (como la propia Inteligencia Artificial) y que, grosso modo, tiene como objetivo desarrollar t´ ecnicas que permitan a las computadoras aprender. 3A lo largo de este trabajo usaremos indistintamente la denominaci´ on espa˜ nola y la inglesa. 54 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos Para conseguir este objetivo, una de las tareas principales en el aprendizaje autom´ atico es crear algoritmos que sean capaces de generalizar comportamientos y reconocer patrones a partir de informaci´ on proporcionada por medio de ejemplos. En este sentido, este ´ area proporciona un conjunto de m´ etodos para el an´ alisis de datos, lo que hace que se solape con otras ´ areas provenientes de la estad´ ıstica, como son la miner´ ıa de datos y el aprendizaje estad´ ıstico. La diferencia natural entre estas ´ ultimas aproximaciones y la del aprendizaje autom´ atico es el componente central del algoritmo como herramienta computacional, y no como un mero traductor de m´ etodos de aproximaci´ on num´ erica. Es por ello que, en este sentido, el aprendizaje autom´ atico suele ofrecer mayor potencia y flexibilidad que los anteriores, pues no est´ a restringido a las teor´ ıas estad´ ısticas en las que se suelen basar las dem´ as. El aprendizaje estad´ ıstico crea sus modelos en base a teor´ ıas previas y suposiciones sobre la distribuci´ on de probabilidad del conjunto de datos, mientras que los modelos de aprendizaje autom´ atico no siempre pueden ser justificados de forma te´ orica ni asumen distribuciones funcionales sobre los datos. El an´ alisis estad´ ıstico prueba sus modelos por medio de tests de hip´ otesis mientras que el aprendizaje autom´ atico lo hace con el uso de m´ etricas de desempe˜ no sobre instancias conocidas del problema. En una primera aproximaci´ on, podr´ ıamos decir que una de las tareas del aprendizaje autom´ atico es intentar extraer conocimiento sobre algunas propiedades no observadas de un objeto (que viene dado en forma de dato) bas´ andose en las propiedades que s´ ı han sido observadas de ese mismo objeto (o incluso en propiedades observadas en otros objetos similares). En otras palabras, convierte el proceso de aprender en el de predecir comportamiento futuro (desconocido) a partir de lo que ha ocurrido en el pasado (conocido). Por ello, muchas de las soluciones aportadas por el aprendizaje autom´ atico tienen como finalidad automatizar el proceso de construcci´ on de modelos anal´ ıticos y algor´ ıtmicos a partir ´ unicamente de la disposici´ on de un conjunto de datos. El modelo obtenido en el proceso (que se conoce como aprendizaje) debe lograr la generalizaci´ on del patr´ on observado en los datos. Aunque el aprendizaje autom´ atico no es una campo de estudio nuevo, es en los ´ ultimos a˜ nos cuando, gracias a la potencia computacional de las nuevas tecnolog´ ıas en ordenadores, ha resurgido proporcionando innumerables aplicaciones y con un ritmo de generaci´ on y novedad pocas veces observado en otras ´ areas de investigaci´ on. Por ejemplo, al tiempo de la escritura de esta memoria, ha sido posible dise˜ nar coches de conducci´ on autom´ atica que tienen como n´ ucleo principal algoritmos de aprendizaje, se han implementado sistemas de reconocimiento de audio y traducci´ on autom´ atica en tiempo real, se ha aplicado al an´ alisis de datos astron´ omicos masivos para el descubrimiento de nuevas estrellas, ha aparecido el primer jugador de Go de nivel profesional (superando a los maestros del juego como en su d´ ıa hiciera Deep Blue con el ajedrez), y cada d´ ıa aparecen aplicaciones nuevas, en ´ areas completamente diversas, que van desde el ocio hasta aplicaciones m´ edicas, pasando por control de robots y predicci´ on de sistemas complejos. A continuaci´ on vamos a presentar algunos conceptos habituales del Aprendizaje Autom´ atico, entre los que veremos especificaciones acerca del conjunto de datos y sus componentes, los tipos de aprendizaje que podemos encontrar, y la evaluaci´ on 2.7. Aprendizaje Autom´ atico (Machine Learning) 55 Instancia C1C2... Cj... Cn D1V1 1V2 1... Vj 1... Vn 1 D2V1 2V2 2... Vj 2... Vn 2 ... ... ... ... ... ... ... DiV1 2V2 2... Vj i... Vn i ... ... ... ... ... ... ... DmV1 mV2 m... Vj m... Vn m Cuadro 2.7: Representaci´ on de un conjunto de datos D. del desempe˜ no en los algoritmos aplicados sobre problemas concretos. 2.7.1. Conjunto de datos El conjunto de datos (dataset, por su nombre en ingl´ es4) es un grupo de instancias o ejemplos de un problema equivalente a una muestra en el an´ alisis estad´ ıstico. Habitualmente, cada ejemplo del conjunto de datos est´ a a su vez compuesto por un grupo de caracter´ ısticas espec´ ıficas y comunes para todas las instancias. Las caracter´ ısticas cumplen con la funci´ on de distinguir a cada instancia como similar o diferente al res- to, y es a partir de estas caracter´ ısticas que se buscan relaciones entre los elementos del conjunto de datos. La forma m´ as com´ un de representar un conjunto de datos es en forma tabular, donde cada fila, i, representa una instancia, Di, y cada columna, j, representa una caracter´ ıstica, Cj. Se puede ver un ejemplo en la Tabla 2.7, donde se presenta un conjunto de datos Dcon minstancias, cada una de ellas haciendo uso de las mismas ncaracter´ ısticas. En este sentido, cada caracter´ ıstica es equivalente a una variable aleatoria en el an´ alisis estad´ ıstico. Los valores que estas caracter´ ısticas pueden tomar para cada una de las instancias pueden pertenecer a un conjunto finito, en cuyo caso decimos que la variable asociada es categ´orica, o infinito, pudiendo ser continua o no, de manera similar a las variables categ´ oricas, discretas y continuas del an´ alisis estad´ ıstico. En lo que sigue, los t´ erminos variable ycaracter´ıstica ser´ an utilizados de forma intercambiable. Concretamente, una caracter´ ıstica categ´ orica es aquella que puede tomar elementos de un conjunto finito (por ejemplo, el conjunto Colores ={amarillo, azul, rojo}), o infinito contable (por ejemplo, el conjunto de los n´ umeros naturales N). Las varia- 4Debido a que la mayor parte de la literatura sobre Aprendizaje Autom´ atico est´ a´ unicamente en ingl´ es, es com´ un no tener traducciones estandarizadas de los t´ erminos utilizados en el ´ area, por ello, y con el fin de facilitar la lectura de esta tesis a los que se acerquen a ella desde dentro del ´ area, cometeremos muchas veces la ligereza de utilizar la denominaci´ on inglesa que com´ unmente se encuentra en la literatura disponible. 62 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos Clase Predicci´ on Clase 1 Predicci´ on Clase 2 Predicci´ on Clase 3 Clase 1 575 6 3 Clase 2 6 572 1 Clase 3 2 3 557 Cuadro 2.8: Ejemplo de matriz de confusi´ on para una evaluaci´ on del conjunto de prueba de 3 clases. referimos al n´ umero de verdaderos positivos,verdaderos negativos,falsos positivos yfalsos negativos, que se detallan a continuaci´ on: Verdaderos positivos(tpos): es el n´ umero de instancias de la clase que fueron clasificadas de forma correcta en ella. Para una clase cconcreta es el n´ umero que aparece en la posici´ on (c, c)de la matriz de confusi´ on: tpos(c) = M(c, c)(2.16) Verdaderos negativos(tneg): es el n´ umero de instancias que acertadamente no fueron clasificadas en la clase. Es la suma los elementos de la diagonal principal, excepto el elemento que se encuentra en la fila y columna c: tneg(c) = n X i=1,i6=c M(i, i)(2.17) Falsos positivos(fpos): es el n´ umero de instancias que de forma err´ onea fueron clasificadas como pertenecientes a la clase. Para una clase ces la suma de los elementos de la columna c, excepto el de la fila c: fpos = n X i=1,i6=c M(i, c)(2.18) Falsos negativos(fneg): es el n´ umero de instancias de la clase que fueron clasificadas de forma incorrecta en el resto de clases. Es la suma de los elementos de la fila cde la matriz de confusi´ on a excepci´ on del elemento de la columna c: fpos = n X i=1,i6=c M(c, i)(2.19) Estos valores pueden ser obtenidos para cada una de las clases que definen al problema, y a partir de ellos es posible calcular un conjunto de m´ etricas de desempe˜ no del modelo para cada clase. Las principales son: 2.7. Aprendizaje Autom´ atico (Machine Learning) 63 Recall (Sensibilidad): indica la proporci´ on de instancias que fueron correctamente clasificadas por el modelo para una clase concreta en relaci´ on al n´ umero total de elementos en el conjunto de prueba que realmente pertenecen a dicha clase: Recall =tpos tpos +fneg (2.20) Precision (Precisi´on): indica la proporci´ on de instancias que fueron correctamente clasificadas por el modelo para una clase concreta en relaci´ on al n´ umero total de elementos en el conjunto de prueba que el modelo predijo como pertenecientes a esa clase: Precision =tpos tpos +fpos (2.21) F-value (Valor F): fusiona las dos m´ etricas anteriores en un solo valor para tener en cuenta la proporci´ on de aciertos comparados tanto con los falsos positivos como con los falsos negativos: V alorF = 2 ·Precision ·Recall Precision +Recall (2.22) Accuracy (Exactitud): indica la proporci´ on de instancias que fueron correctamente clasificadas por el modelo en relaci´ on al n´ umero total de elementos en el conjunto de prueba: Accuracy =tpos +tneg tpos +tneg +fpos +fneg (2.23) Como se aprecia en la ecuaci´ on, esta es una m´ etrica que tiene el mismo resultado para todas las clases y por lo tanto permite tener una visi´ on general del desempe˜ no global del modelo. M´etricas para regresi´on En las tareas en donde se requiere que la variable de salida sea continua o discreta ordinal y la distancia de la predicci´ on con el valor real representa un grado de error, las m´ etricas anteriores no muestran adecuadamente la viabilidad del modelo. Para estos casos es necesario definir otras m´ etricas que contemplen no solo si el valor de salida es o no igual al valor real sino la distancia5entre los dos. A continuaci´ on vamos a definir las m´ etricas m´ as usadas para la tarea de regre- si´ on evaluada con un conjunto de prueba de Nelementos, donde la predicci´ on del elemento ise representar´ a con ˆyi, e yies el valor real para dicho elemento: 5En este contexto, la distancia equivale a un valor que da informaci´ on de cercan´ ıa o similaridad. 64 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos Error medio absoluto (MAE): Proporciona un promedio del valor absoluto de los errores para todo el conjunto de prueba y viene dada por la siguiente ecuaci´ on: MAE =1 N· N X i=1 |yi−ˆyi|(2.24) Como se muestra en la ecuaci´ on, el aporte de cada error es lineal con respecto a la diferencia entre la predicci´ on y el valor real. Median Absolute Error (MedAE): En comparaci´ on con la anterior, esta m´ etrica brinda robustez ante la presencia de predicciones sobre instancias at´ ıpicas, lo cual puede resultar ´ util cuando se conoce a priori que las predicciones reales se encuentran cerca de un valor medio: MedAE =mediana(|y1−ˆy1|, ....., |yN−ˆyN|)(2.25) Error medio cuadr´atico (MSE): Proporciona un promedio de los errores cuadr´ aticos para todo el conjunto de prueba: MSE =1 N· N X i=1 (yi−ˆyi)2(2.26) El aporte de cada error es cuadr´ atico con respecto a la diferencia entre la predicci´ on y el valor real, lo que significa que las diferencias peque˜ nas aportan menos que las diferencias grandes debido a la acci´ on del exponente. 2.7.5. Modelos cl´asicos Aunque en la actualidad hay cientos de modelos disponibles para ser usados en entornos de Aprendizaje Autom´ atico, queremos explicitar aqu´ ı aquellos que sirven de base a muchos de los desarrollados con ´ exito en los ´ ultimos tiempos y que ser´ an utilizados de forma efectiva en los cap´ ıtulos posteriores de esta memoria. No daremos una presentaci´ on exhaustiva de los mismos, sino una primera aproximaci´ on que sirva para contextualizar y fijar las ideas principales que ser´ an desarrolladas en los cap´ ıtulos posteriores. Para el lector que lo desee, se proporcionan referencias bibliogr´ aficas que muestran con mayor detalle las caracter´ ısticas propias de cada uno de ellos. ´ Arboles de decisi´on Los or´ ıgenes de los ´ arboles de decisi´ on datan del a˜ no 1958 (por ejemplo [7]). Sin embargo, no es hasta la aparici´ on del trabajo de Leo Breiman et al.,“Classification and Regression Trees”[9], que se posicionaron como una herramienta importante dentro del Aprendizaje Autom´ atico. 2.7. Aprendizaje Autom´ atico (Machine Learning) 65 Este modelo se compone de un conjunto de evaluaciones que se aplican a una instancia representada por un vector de caracter´ ısticas. Las evaluaciones corresponden a preguntas simples sobre los valores que pueden tomar elementos espec´ ıficos del vector de caracter´ ısticas. Por ejemplo, si se tiene un conjunto de datos en donde sus instancias est´ an compuestas por dos caracter´ ısticas, {C1, C2}, que pueden tomar los valores categ´ oricos, {Bajo, Alto}, las posibles preguntas de evaluaci´ on del modelo pueden ser: ¿Es C1=Bajo? ¿Es C1=Alto? ¿Es C2=Bajo? ¿Es C2=Alto? La aplicaci´ on de las evaluaciones en un ´ arbol de decisi´ on debe verificar ciertas restricciones: Las evaluaciones siguen un orden jer´ arquico ordenado acorde a la importancia de la pregunta, por tanto se eval´ ua la instancia con una pregunta a la vez. Dependiendo de la respuesta obtenida en cada evaluaci´ on se realiza la pregunta siguiente. No se puede repetir la misma pregunta (por ejemplo, ¿Es C1=Bajo? seguida por ¿Es C1=Bajo?). En el modelo no pueden existir preguntas completamente antag´ onicas sobre la misma caracter´ ıstica (por ejemplo, ¿Es C1=Bajo? seguida por ¿Es C1= Alto?). Con respecto a la primera regla, la definici´ on del orden jer´ arquico de las preguntas se obtiene por la aplicaci´ on de un algoritmo que es capaz de crear de forma incremental la arquitectura del modelo6. N´ otese que precisamente por el orden jer´ arquico de preguntas que dependen de la evaluaci´ on anterior se forma un “´ arbol”de decisiones consecutivas, que es lo que da nombre al modelo. El algoritmo m´ as famoso para la construcci´ on autom´ atica de ´ arboles de decisi´ on a partir de conjuntos de datos es el algoritmo ID3 propuesto por John Ross Quinlan en su trabajo “Induction of Decision Trees”[82]. Esta propuesta encuentra cada pregunta del ´ arbol de forma incremental por medio de una evaluaci´ on completa de todas las preguntas posibles acorde a un criterio de ganancia de informaci´ on. En la Secci´ on 3.2 se dar´ an m´ as detalles acerca de este modelo. 6Aqu´ ı la arquitectura del modelo viene determinada por las preguntas y su jerarqu´ ıa. 66 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos Redes neuronales Otro de los modelos de aprendizaje autom´ atico tan popular como antiguo son las redes neuronales artificiales. El primer estudio acerca de un modelo matem´ atico que imite la forma en que cambian las se˜ nales en el cerebro humano a partir de la informaci´ on de su entorno fue propuesto por Warren McCulloch y Walter Pitts en “A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity”[70]. Sin embargo, no es hasta la aparici´ on del trabajo de Bernard Widrow y Marcian Hoff “Adaptive Switching Circuits”[103] en 1960, que se propuso un modelo funcional llamado ADALINE y su versi´ on extendida MADALINE y se implementan para aplicaciones reales de reconocimiento de patrones. Estos modelos en principio no pod´ ıan ser escalados por la ausencia de sistemas de c´ omputo potentes en la ´ epoca, pero tras la aparici´ on y generalizaci´ on de la arquitectura de von Neumann se presentaron m´ as avances en esta ´ area y las aplicaciones que pod´ ıan resolver. Las arquitecturas de redes neuronales artificiales propuestas hasta ese momen- to, y durante muchos a˜ nos m´ as, permit´ ıan el ingreso ponderado de los datos a ser procesados directamente a las unidades de c´ omputo que llamaron neuronas, desde donde posteriormente se obten´ ıan los resultados. La ponderaci´ on es “aprendida” a partir de un conjunto de datos con el objetivo de minimizar el error existente entre la salida deseada y la salida estimada de la red por medio del algoritmo de m´ınimos cuadrados7(LMS, Least Mean Square, por sus siglas en ingl´ es) propuesto por Widrow y Hoff. Cabe recalcar que en este tipo de redes los ´ unicos par´ ametros que se aprenden son los pesos de entrada a la red, sin embargo las arquitecturas pod´ ıan ser complementadas con operaciones de toma de decisi´ on8u otras, pero con la restricci´ on de tener par´ ametros fijos. Como detalla el libro de Minsky y Papert “Perceptrons: An Introduction to Computational Geometry”[72], ADALINE con una sola capa de conexi´ on (y las arquitecturas derivadas de este modelo) solamente pueden resolver problemas de aprendizaje de patrones linealmente separables con respecto a sus entradas. Sin embargo, para la fecha de publicaci´ on del libro, Rosenblatt ya hab´ ıa presentado un nuevo modelo multicapa denominado perceptr´ on multicapa en “Principles of Neurodynamics: Perceptrons and the Theory of Brain Mechanisms”[85] en 1962. En este nuevo modelo existen 3 capas predefinidas: de entrada, oculta y de salida. Las conexiones entre la capa de entrada y la capa oculta es la misma que una red ADALINE, es decir se ponderan las entradas con un peso asociado a cada una de ellas antes de entrar a las neuronas, en este caso, de la capa oculta. Adicionalmente, se conectan las salidas de las neuronas de la capa oculta con las entradas de la capa de salida usando otro grupo de pesos. En este caso, los dos grupos de pesos deben ser aprendidos siguiendo alg´ un criterio de minimizaci´ on del error entre la salida de 7Este algoritmo se encuentra en la literatura con diferentes nombres: m´ ınimos cuadrados, algoritmo Widrow-Hoff, regla delta de actualizaci´ on, gradiente descendente para neuronas lineales, etc. 8En el modelo original de ADALINE se incluye una funci´ on de umbral a la salida de las neuronas para la toma de decisiones binarias. 2.7. Aprendizaje Autom´ atico (Machine Learning) 67 la red y la salida deseada, pero hasta el momento no se conoc´ ıa ning´ un algoritmo de minimizaci´ on que diese ciertas garant´ ıas de ´ exito. Una propuesta eficiente para el entrenamiento supervisado de este tipo redes no aparece hasta el a˜ no 1974 con la tesis doctoral de Paul Werbos, “Beyond Regression: New Tools for Prediction and Analysis in the Behavioral Sciences”[101], aunque no es hasta el a˜ no 1986 que se reinventa el algoritmo de Werbos en el trabajo de Rumelhart et al. “Learning representations by back-propagating errors” y se populariza el nombre del algoritmo de retropropagaci´ on del error, o Backpropagation por su nombre en ingl´ es9. El algoritmo de Backpropagation marc´ o un antes y un despu´ es en el campo de las redes neuronales, convirti´ endose en la piedra angular para la resoluci´ on de un sinn´ umero de tareas. Su objetivo es, dada una arquitectura de red multicapa, calcular los gradientes del error con respecto a cada par´ ametro (peso de la red), algo que logra mediante la aplicaci´ on sucesiva de la regla de la cadena para encontrar los gradientes de capas anteriores. Una explicaci´ on m´ as detallada del modelo de red neuronal y su entrenamiento se presenta m´ as adelante en la Subsecci´ on 4.2.2. M´aquinas de soporte vectorial (SVM) Otro modelo de aprendizaje que para el d´ ıa de hoy se puede considerar cl´ asico son las m´aquinas de soporte vectorial (SVM, por sus siglas en ingl´ es). Su aparici´ on se di´ o en el trabajo de Boser, Guyon y Vapnik “A training algorithm for optimal margin classifiers”[8] en el a˜ no 1992, aunque las primeras ideas sobre el trabajo con vectores de soporte fueron presentadas antes en el art´ ıculo de Vapnik y Lerner, “Pattern Recognition using Generalized Portrait Method”[96], en 1963. Su funcionamiento tiene como base la representaci´ on geom´ etrica del conjunto de datos por la proyecci´ on de cada instancia del dataset como un punto en un espacio de igual dimensi´ on al n´ umero de caracter´ ısticas existentes. Cada punto en este espacio es identificado por la clase a la que pertenece, pudiendo fundamentalmente existir a lo sumo dos clases para el uso de SVM10. Entonces, el problema de clasificaci´ on binaria se consiste en encontrar el “mejor”hiperplano que separe las instancias de las dos clases. Como el n´ umero de hiperplanos que pueden separar el conjunto de puntos puede ser infinito, en SVM el t´ ermino “mejor”hace referencia a un hiperplano que cumpla las siguientes dos condiciones: Minimiza el n´ umero de instancias mal clasificadas. 9En esta memoria usaremos tanto el nombre en espa˜ nol como en ingl´ es al ser los dos de uso habitual en la comunidad cient´ ıfica. 10Un problema multiclase puede ser resuelto transform´ andolo a un conjunto de problemas de clasificaci´ on binaria. 68 Cap´ ıtulo 2. Fundamentos Maximiza el margen, o distancia existente, entre el hiperplano y las instancias m´ as cercanas a este, las cuales se denominan vectores de soporte. En consecuencia, SVM encuentra la mejor funci´ on lineal divisora para un conjunto de datos, que fue el aporte dado en [96]. Pero, ¿qu´ e sucede si los conjuntos de puntos no son linealmente separables? En este caso las SVM utilizan el truco del kernel propuesto para el algoritmo de funci´ on potencial en [61]. Este truco utiliza una funci´ on, o kernel, para crear nuevas dimensiones a partir de las caracter´ ısticas existentes. La idea es que al usar una dimensi´ on superior los datos sean linealmente separables. La separabilidad lineal en una dimensi´ on superior equivale a la creaci´ on de una hipersuperficie en el espacio original, algo que fue explorado en el art´ ıculo de Boser, Guyon y Vapnik[8]. K-Nearest Neighbor (KNN) Quiz´ as el algoritmo de aprendizaje m´ as simple y conocido es K-Vecinos Cercanos (KNN, por sus siglas en ingl´ es). El art´ ıculo que propone el algoritmo tal como se conoce en la actualidad es “Nearest neighbor pattern classification”[21] de Cover y Hart, pero la idea se puede encontrar anteriormente en libros como “Learning Machines: Foundations of Trainable Pattern-Classifying Systems”[73] de Nils Nilsson y “Decisionmaking processes in pattern recognition”[90] de George Sebestyen. Incluso, seg´ un la revisi´ on hist´ orica de Pelillo en [81], la idea en la que se basa el algoritmo fue propuesta por Alhazen, un cient´ ıfico que vivi´ o en los a˜ nos 965-1040, que enunci´ o que las caracter´ ısticas que determinan los individuos de un cierto tipo son id´ enticas. El algoritmo de KNN puede ser definido por los siguientes pasos: 1. Al igual que las SVM, primero se proyectan las instancias del conjunto de datos como puntos de un espacio de tantas dimensiones como caracter´ ısticas, donde las instancias de cada clase son identificadas por su etiqueta. 2. Tambi´ en se proyecta la nueva instancia que requiere ser clasificada. 3. Basado en alg´ un criterio de distancia predefinido, se eligen las Kinstancias m´ as cercanas al punto que se desea clasificar. 4. De las Kinstancias m´ as cercanas (vecinos) seleccionadas se cuenta el n´ umero que hay de cada clase. 5. Se clasifica la nueva instancia en la clase con mayor n´ umero de vecinos seleccionados. Este algoritmo explora todo el conocimiento almacenado en el conjunto de entrenamiento para determinar cu´ al ser´ a la clase a la que pertenece una nueva muestra, pero ´ unicamente tiene en cuenta los vecinos m´ as pr´ oximos a ella, por lo que es l´ ogico pensar que es posible que no se est´ e aprovechando de forma eficiente toda la informaci´ on que se podr´ ıa extraer del conjunto de entrenamiento. 2.7. Aprendizaje Autom´ atico (Machine Learning) 69 En problemas pr´ acticos donde se aplica este algoritmo de clasificaci´ on se acostumbra tomar un n´ umero Kde vecinos impar para evitar posibles empates (aunque esta decisi´ on solo resuelve el problema en clasificaciones binarias). En otras ocasiones, en caso de empate, se selecciona la clase que verifique que sus representantes tengan la menor distancia media al ejemplo que se est´ a clasificando. En ´ ultima instancia, si se produce un empate, siempre se puede decidir aleatoriamente entre las clases con mayor representaci´ on. Una posible variante de este algoritmo consiste en ponderar la contribuci´ on de cada vecino de acuerdo a la distancia entre ´ el y el ejemplar a ser clasificado, dando mayor peso a los vecinos m´ as cercanos. Esta mejora es muy efectiva en muchos problemas pr´ acticos, proporcionando un algoritmo robusto ante ruido en los datos y suficientemente efectivo en conjuntos de datos grandes. Adem´ as, se puede ver que al tomar promedios ponderados de los Kvecinos m´ as cercanos el algoritmo puede evitar el impacto de ejemplos con ruido aislados. CAP´ ITULO 3 EXTRACCI ´ ON DE CARACTER´ ISTICAS Y CLASIFICACI ´ ON CON UN ENFOQUE CL ´ ASICO 3.1. Introducci´on Hay un incremento constante de requerimientos para el trabajo continuo de cier- to sistemas din´ amicos como son las m´ aquinas de transmisi´ on de potencia. Esta es la raz´ on del por qu´ e son tan valorados los nuevos enfoques para la creaci´ on de sistemas de diagn´ ostico de fallo precisos y confiables. Actualmente existen estudios invaluables para detectar cambios en los estados de distintos componentes de un sistema din´ amico mediante el uso de t´ ecnicas est´ andar de diagn´ ostico, como son Cepstrum o an´ alisis de envolvente con la transformada de Hilbert [84]. Todos estos esfuerzos se han enfocado en aplicaciones concretas del reconocimiento de estados de sistemas din´ amicos, en algunos casos aplicados al diagn´ ostico de fallos en elementos de maquinaria rotativa. En los a˜ nos recientes varias t´ ecnicas de an´ alisis para el diagn´ ostico de fallas en maquinaria rotativa han usado la Transformada de Wavelet Packet (WPT) con el fin de resaltar la informaci´ on que com´ unmente proporcionan los par´ ametros estad´ ısticos cl´ asicos de la se˜ nal capturada del sistema din´ amico en los dominios de tiempo y frecuencia [104, 45, 64]. En el caso del diagn´ ostico basado en Machine Learning, los enfoques m´ as comunes se han desarrollado usando Redes Neuronales [66, 58], M´ aquinas de Soporte Vectorial [33], An´ alisis de Clusters y Algoritmos Gen´ eticos (GA) [40, 87]. Estos enfoques han sido muy ´ utiles en su aplicaci´ on al mantenimiento basado en la condici´ on, 71 78 Cap´ ıtulo 3. Extracci´ on de caracter´ ısticas y clasificaci´ on con un enfoque cl´ asico Mejor divisor Gini Tomando como base la ecuaci´ on (3.5) y la ecuaci´ on (3.6) se puede introducir otro criterio de ganancia de informaci´ on llamado ´ ındice Gini [83], que viene definido por: G(Sj) = 1 −X p∈P p2(3.10) Cuando todos los elementos de Sjpertenecen a la misma clase el ´ ındice Gini es igual a 0. Si la distribuci´ on de clases es equilibrada (existe igual n´ umero de instancias de todas las clases en Sj), el ´ ındice Gini es igual a 0,5. De forma equivalente al caso anterior, la ganancia de informaci´ on para una caracter´ ıstica Ausando este ´ ındica, que es la funci´ on objetivo, resulta: IGINI (Sj, A) = G(Sj)−X i∈{I,D} nSi j nSj G(Si j)(3.11) 3.2.4. Representaci´on gr´afica Cuando el problema que se aborda es definido por dos o tres caracter´ ısticas, se puede representar en el plano o espacio cartesiano respectivamente, y es posible mostrar gr´ aficamente la acci´ on que realiza una funci´ on de divisi´ on en un nodo. Normalmente, en los par´ ametros de divisi´ on solamente se encuentra una caracter´ ıstica divisora que permite discriminar los datos. Para dar un ejemplo, en la Figura 3.5 se presentan dos casos de divisor acorde a la caracter´ ıstica seleccionada para una nodo espec´ ıfico usando el criterio de ganancia de informaci´ on, donde se observa que el resultado de aplicar una sola caracter´ ıstica divisora en cada nodo obtendr´ a un hiperplano divisor alineado siempre con la caracter´ ıstica no considerada o, lo que es lo mismo, perpendicular a la caracter´ ıstica divisora. La orientaci´ on del hiperplano es elegida en la fase de entrenamiento de acuerdo a la ganancia de informaci´ on obtenida al seleccionar una u otra caracter´ ıstica para dividir los datos. El criterio de ganancia de informaci´ on puede ser tambi´ en representado de forma gr´ afica usando las masas de probabilidad iniciales (para Sj) y las masas de probabilidad posteriores (para los hijos SI jySD j). As´ ı se muestra en la Figura 3.6 un t´ ıpico problema de clasificaci´ on multi-clase en donde se pueden apreciar cuatro clases, y, por su masa de probabilidad (Figura 3.6b) se sabe que todas sus clases tienen igual n´ umero de elementos. Al aplicar la funci´ on de divisi´ on x2<100,5(ver Figura 3.7a) al nodo ra´ ız, no se logra dividir de manera correcta el conjunto inicial, obteniendo una probabilidad posterior en los nodos hijos que muestran instancias de clases que debieron ser discriminadas en el nodo padre (ver Figura 3.7b y Figura 3.7c). Este resultado se puede corroborar con un valor peque˜ no de la ganancia de informaci´ on igual a 0,3522. 3.2. ´ Arboles de decisi´ on 79 (a) Divisor horizontal (alineado con el eje x1), la funci´ on de divisi´ on correspondiente en el nodo sera ”x2<100,5”. (b) Divisor vertical (alineado con el eje x2). La funci´ on de divisi´ on asociada al nodo es ”x1<51”. Figura 3.5: Representaci´ on en el espacio cartesiano de divisores alineados con el eje. 80 Cap´ ıtulo 3. Extracci´ on de caracter´ ısticas y clasificaci´ on con un enfoque cl´ asico (a) Representaci´ on en el espacio cartesiano del problema. Cada color representa una clase diferente. (b) Probabilidades iniciales del conjunto de entrenamiento. Figura 3.6: Problema de clasificaci´ on de cuatro clases. 3.2. ´ Arboles de decisi´ on 81 (a) Representaci´ on de la aplicaci´ on del divisor horizontal alineado con x1. IGANANCIA = 0,3522. (b) Probabilidad posterior en el nodo hijo izquierdo. (c) Probabilidad posterior en el nodo hijo derecho. Figura 3.7: Problema de cuatro clases con divisor horizontal. 82 Cap´ ıtulo 3. Extracci´ on de caracter´ ısticas y clasificaci´ on con un enfoque cl´ asico Por otra parte, si se aplica una funci´ on de divisi´ on x1<51 (ver Figura 3.8a), la divisi´ on de las elementos en el conjunto es adecuada, lo que permite obtener subconjuntos de instancias en los nodos hijo con mayor pureza, como se muestra en la Figura 3.8b y Figura 3.8c. 3.2.5. Criterios de parada y podas Un ´ arbol de decisi´ on puede continuar su crecimiento en profundidad mientras tenga instancias en el conjunto de entrenamiento que puedan ser divididas en clases y, adicionalmente, tenga caracter´ ısticas para formar la funci´ on de divisi´ on. Tras ello, la generaci´ on de nuevos nodos internos no tendr´ ıa ning´ un efecto positivo en la clasificaci´ on de los datos. Sin embargo, existen tambi´ en criterios de parada temprana que, aunque todav´ ıa sea posible dividir el conjunto de datos, son capaces de detener la fase de entrenamiento. El m´ as utilizado es el criterio de profundidad, que detiene la creaci´ on de nodos al sobrepasar un determinado nivel de profundidad del ´ arbol (que ha sido prefijado). Independientemente de la utilizaci´ on de un criterio de parada espec´ ıfico, tras el aprendizaje de par´ ametros de todos los nodos es necesario definir la correspondencia de cada nodo hoja con una clase. Esto se realiza obteniendo la distribuci´ on de probabilidad en el nodo hoja y eligiendo como resultado para ese nodo la clase con mayor probabilidad. De esta forma, se puede tratar de manera separada el criterio de parada de las clases asignadas a los nodos hoja. Adem´ as, tambi´ en es posible la utilizaci´ on de t´ ecnicas de poda, que simplifican la estructura del ´ arbol eliminando divisiones intermedias y permiten evitar sobreentrenamiento e incrementar la generalidad del ´ arbol. 3.2.6. Fase de Prueba Tras la generaci´ on del ´ arbol de decisi´ on en la fase de entrenamiento, es posible clasificar una instancia nueva haci´ endola descender por el ´ arbol y someti´ endola a las pruebas en cada nodo (ver Figura 3.9), asignando como clasificaci´ on de la instancia la correspondiente al nodo hoja al que haya llegado. 3.2.7. Desventajas Si bien es cierto que el uso de ´ arboles de decisi´ on para resolver tareas de aprendizaje presenta grandes ventajas, sobre todo en la claridad de la presentaci´ on de los resultados, los ´ arboles tienen bajas tasas de clasificaci´ on en comparaci´ on con otras t´ ecnicas como LDA y Redes Neuronales [23]. Entre las principales desventajas de este modelo est´ an: Poca robustez ante la presencia de ruido en los ejemplos de entrenamiento. 3.2. ´ Arboles de decisi´ on 83 (a) Representaci´ on de la aplicaci´ on del divisor vertical alineado con x2. ”IGANANCIA = 0,5”. (b) Probabilidad posterior en el nodo hijo izquierdo. (c) Probabilidad posterior en el nodo hijo derecho. Figura 3.8: Problema de cuatro clases con divisor vertical. 84 Cap´ ıtulo 3. Extracci´ on de caracter´ ısticas y clasificaci´ on con un enfoque cl´ asico 1 3 2 Instancia – Clase 2 Clase 1 Clase 2 Clase 1 Clase 3 Instancia Instancia Instancia Figura 3.9: Ruta seguida por una instancia en una nueva clasificaci´ on posterior a la fase de entrenamiento. Poca eficiencia al lidiar con problemas de alta dimensi´ on de caracter´ ısticas. Poca eficiencia al trabajar con un conjunto de entrenamiento demasiado grande. Uso de fases posteriores de poda para atacar el problema del sobre-ajuste. 3.3. Random Forest Random Forest [10] es un modelo de aprendizaje autom´ atico que persigue tener las ventajas de los ´ arboles de decisi´ on agrupando una gran cantidad diversa de ellos. Cada ´ arbol de decisi´ on que es parte del modelo de Random Forest trabaja de forma independiente a los dem´ as para luego finalmente utilizar alguna t´ ecnica de agregaci´ on de resultados y obtener una conclusi´ on final. A continuaci´ on se presenta la teor´ ıa y formalizaci´ on de los conjuntos de modelos, que son la base en la que se fundamenta el modelo de Random Forest. 3.3.1. Conjuntos de modelos Los conjuntos de modelos son en s´ ı mismos modelos de aprendizaje autom´ atico capaces de realizar tareas de clasificaci´ on, regresi´ on, etc. Los submodelos que los componen, llamados aprendices d´ebiles, generalmente trabajan de forma independiente de los dem´ as, contrariamente a lo que suced´ ıa con los ´ arboles de decisi´ on 3.3. Random Forest 85 donde la salida de un nodo sirve de entrada de otro. De esta forma, un conjunto h de Kmodelos puede ser representado como: h={h1(x), h2(x), ..., hk(x), ..., hK(x)}(3.12) siendo x∈Rnuna variable aleatoria que sigue la misma distribuci´ on X(com´ unmente desconocida) que representa el conjunto de datos por muestreo (el conjunto de entrenamiento). Los aprendices d´ ebiles entregan una respuesta independiente ante una instancia espec´ ıfica que requiere ser clasificada. Esto significa que los par´ ametros asociados a cada aprendiz tambi´ en tiene independencia de los dem´ as. Por ejemplo, sin caer en una p´ erdida de generalidad, si los aprendices d´ ebiles pertenecen a una misma familia de modelos (´ arboles de decisi´ on, por ejemplo) se puede escribir cada uno de ellos como: hk(x) = h(x|θk)(3.13) siendo θklos par´ ametros asociados al aprendiz, por ejemplo: arquitectura, caracter´ ısticas de entrada, etc. Todo depende del modelo que define al aprendiz d´ ebil. Al final, cuando se ha obtenido el resultado para una clase espec´ ıfica (un vo- to) con cada aprendiz, se agregan los votos y se entrega como respuesta final del conjunto de modelos, por ejemplo, la clase m´ as votada o, de forma m´ as general, en funci´ on de la probabilidad emp´ ırica, la cual para una clase espec´ ıfica cise obtiene de la siguiente forma: ˆ P(ci|x) = 1 K K X k=1 I(h(x|θk) = ci)(3.14) donde la funci´ on I(·)devuelve 1 si su argumento es verdadero, y 0 en caso contrario. Finalmente, la clase elegida como resultado de hes aquella que tiene mayor probabilidad emp´ ırica. 3.3.2. Funci´on marginal emp´ırica y error de generalizaci´on Una medida de confianza del modelo de clasificaci´ on por conjunto de modelos es la funci´ on marginal emp´ ırica, que devuelve la diferencia entre el promedio de aprendices que clasificaron la instancia correctamente y el promedio de aprendices que clasificaron la instancia como la segunda opci´ on m´ as probable: ˆmg(x, y) = 1 K K X k=1 I(h(x|θk) = y)−maxj6=y 1 K K X k=1 I(h(x|θk) = j)(3.15) =ˆ Pk(hk(x) = y)−maxj6=yˆ Pk(hk(x) = j)(3.16) 86 Cap´ ıtulo 3. Extracci´ on de caracter´ ısticas y clasificaci´ on con un enfoque cl´ asico Si ˆmg(x, y)>0entonces el conjunto de modelos realiza una correcta clasificaci´ on de x. Si por el contrario ˆmg(x, y)<0, el conjunto de modelos realiza una clasificaci´ on incorrecta. En este sentido, el error de generalizaci´ on viene determinado por la probabilidad de que el conjunto de modelos realice una clasificaci´ on incorrecta de x, es decir: e=Px,y( ˆmg(x, y)<0) (3.17) 3.3.3. Convergencia en Random Forest Como se mencion´ o anteriormente, Random Forest es un modelo creado a partir de un conjunto de modelos donde cada hk(x)es un ´ arbol de decisi´ on. Por tanto, en este caso θkdefine la estructura del k-´ esimo ´ arbol, as´ ı como tambi´ en el conjunto de datos y las caracter´ ısticas a ser evaluadas en cada nodo para su creaci´ on. Estos dos ´ ultimos par´ ametros ser´ an discutidos en profundidad m´ as adelante. En [11], Leo Breiman demuestra que si los aprendices d´ ebiles son ´ arboles y el n´ umero de estos se incrementa, el error de generalizaci´ on converge a una cota inferior determinada, es decir: e→ K→∞ Px,yPθ(h(x|θ) = y)−maxj6=yPθ(h(x|θ) = j)<0(3.18) Este resultado demuestra dos cosas importantes: 1. A pesar del incremento del n´ umero de aprendices, el modelo final no se sobreajusta a los datos. 2. No importa cu´ anto se incremente el n´ umero de ´ arboles, no se puede disminuir el error m´ as all´ a de una cierta cota. Los detalles de la demostraci´ on de este resultado se muestran a continuaci´ on. N´ otese que para demostrarlo es necesario y suficiente mostrar que: 1 K K X k=1 I(h(x|θk) = j) = Pθ(h(x|θ) = j)(3.19) Para ello, para un conjunto de datos fijo y un aprendiz con par´ ametros θ, obs´ ervese que en el espacio de caracter´ ısticas el conjunto de xtal que h(x|θ) = jes la uni´ on de hiper-rect´ angulos en Rn, donde cada uno de ellos puede ser a su vez definido por una colecci´ on de intervalos {Ii}n i=1 de la siguiente manera: R={x|xi∈Ii}(3.20) As´ ı, el conjunto de uniones de hiper-rect´ angulos donde cada k-´ esima uni´ on representa el espacio que el aprendiz kcataloga como j, puede ser escrito como {Sk}K k=1. A partir de lo anterior se puede definir la funci´ on φ(θ) = ksi {x:h(x|θ) = j}=Sk 3.3. Random Forest 87 y el contador Nkcomo el n´ umero de veces que el espacio que define a un aprendiz en el espacio de caracter´ ısticas es igual a la k-´ esima uni´ on de hiper-rect´ angulos, es decir Nkes el n´ umero de veces que φ(θm) = Sk. As´ ı, Nkviene dado por: Nk= M X m=1 I(φ(θm) = Sk)(3.21) Entonces, usando las funciones definidas anteriormente, el lado izquierdo de la ecuaci´ on (3.19) se puede reescribir como: 1 M M X m=1 I(h(x|θm) = j) = 1 M K X k=1 NkI(x∈Sk)(3.22) Luego, por la ley de los grandes n´ umeros 1 MNkconverge a Pθ(φ(θ) = k)que, reemplazado en la ecuaci´ on (3.22), concluye: 1 M K X k=1 NkI(x∈Sk)→ K X k=1 Pθ(φ(θ) = k)I(x∈Sk)(3.23) →Pθ(h(x|θ) = j)(3.24) que es lo que se quer´ ıa demostrar. 3.3.4. Factores determinantes Otro resultado que Leo Breiman encontr´ o, tomando como base el trabajo de Amit y Geman[6], es una cota superior para el error de generalizaci´ on en conjuntos de modelos, la cual es dependiente de dos factores fundamentales: la fuerza del conjunto de modelos, y la correlaci´ on entre los aprendices d´ ebiles. Su hallazgo es como sigue: e≤ˆρ(1 −s2) s2(3.25) donde ˆρes el promedio de las correlaciones ρ(θ, θ0)para todos los posibles pares de aprendices (θ, θ0)en el conjunto de modelos, y el t´ ermino ses una medida de fuerza de los aprendices d´ ebiles, que viene dada por: s=Ex,y( ˆmg(x, y)) (3.26) En la ecuaci´ on (3.25) se puede apreciar que es deseable tener un correlaci´ on peque˜ na entre los aprendices d´ ebiles, es decir que exista diversidad entre ellos para que la cota de error disminuya. Al mismo tiempo, es deseable que la fuerza de los aprendices sea cercana a 1, lo cual se logra, seg´ un la ecuaci´ on (3.26), con aprendices que en general se equivoquen en muy pocas ocasiones. A partir de este resultado, Breiman propone el modelo Random Forest, donde el problema de la correlaci´ on entre ´ arboles es atacado inyectando aleatoriedad al sistema. En este modelo se han implementado dos t´ ecnicas para la inclusi´ on de componentes aleatorias, el bagging y la selecci´on aleatoria de caracter´ısticas, que detallamos a continuaci´ on. 94 Cap´ ıtulo 3. Extracci´ on de caracter´ ısticas y clasificaci´ on con un enfoque cl´ asico 3.4.5. Construcci´on de un clasificador de estados Para la construcci´ on de un clasificador de estados, del conjunto de entrenamiento se eligen solamente las caracter´ ısticas con mayor importancia siguiendo el criterio detallado anteriormente. Con este nuevo conjunto se genera un modelo de Random Forest para una tarea de clasificaci´ on. Por otro lado, y al igual que en el conjunto de entrenamiento, en el conjunto de prueba solamente se seleccionan las caracter´ ısticas con mayor importancia (acorde a lo obtenido con el conjunto de entrenamiento). Posteriormente, el modelo final es evaluado en el conjunto de prueba utilizando las m´ etricas cl´ asicas para clasificaci´ on que fueron presentadas en el Apartado 2.7.4. 3.5. Evaluaci´on en diagn´ostico de fallos Los sistemas de transmisi´ on de potencia mec´ anica son piezas importantes en diferentes tipos de m´ aquinas para aplicaciones industriales, siendo las cajas de engranes rectos las m´ as utilizados para aplicaciones de baja y media potencia. Los estudios realizados en el ´ area del mantenimiento basado en la condici´ on han permitido en varios casos determinar en cada instante el estado real de una m´ aquina proporcionando herramientas importantes para prevenir y/o detectar fallos tempranos en sistemas mec´ anicos. Para este proceso se utilizan t´ ecnicas no destructivas, siendo el an´ alisis de vibraciones la m´ as utilizada, con el fin de realizar acciones de mantenimiento preventivo que eviten costos futuros por da˜ nos graves o cortes inesperados del proceso. Las t´ ecnicas del mantenimiento basado en la condici´ on tuvieron sus inicios hace mucho tiempo atr´ as, por lo que existe una gran variedad de ellas. Un primer enfoque b´ asico son las t´ ecnicas para el an´ alisis de desechos de aceite. Tambi´ en existen t´ ecnicas avanzadas como: el an´ alisis de movimiento angular, an´ alisis de vibraciones, an´ alisis basado en modelos, y modelado matem´ atico. Una revisi´ on detallada se puede encontrar en [44]. Por otra parte, el modelo de Random Forest ha sido aplicado en m´ ultiples ´ areas de la ingenier´ ıa. Por ejemplo en [78] se utiliza para la clasificaci´ on de siete diferentes cubiertas terrestres, donde adem´ as se busca comparar su rendimiento con el de M´ aquinas de Soporte Vectorial en t´ erminos de exactitud de clasificaci´ on y tiempo de entrenamiento. Concretamente, el experimento busca clasificar las siguientes cubiertas: trigo, patata, remolacha azucarera, cebolla, guisantes, lechuga y frijoles a partir de im´ agenes por sat´ elite. Los datos fueron adquiridos del Mapeador Tem´ atico Mejorado Landsat-7, donde cada imagen pertenece a las bandas espectrales 1-5 y 7, en una ´ area agr´ ıcola de Littleport, Cambridgeshire, UK, en las temporadas de cultivos. El conjunto de datos consta de un total de 4737 im´ agenes para las siete clases, y cada imagen cuenta con un ´ area de 307 pixels (columnas) por 330 pixels (filas). Se implement´ o un muestreo aleatorio estratificado, con 2700 muestras que fueron destinadas al conjunto de entrenamiento y 2037 muestras al conjunto de prueba. Los par´ ametros para Random Forest fueron de 3 caracter´ ısticas en cada nodo y un total de 100 3.5. Evaluaci´ on en diagn´ ostico de fallos 95 ´ arboles, consiguiendo una exactitud del 88.37 % en 12.98 seg a diferencia del 87.9 % obtenido con SVM en 18 seg. En [65] se implementa un RF para la detecci´ on de fallas en turbinas de gas. El documento argumenta los altos costos y las consecuencias catastr´ oficas que pueden causar las fallas en las aspas de las turbinas, cuyo an´ alisis es complicado por el alto nivel de ruido que se presenta en todas las mediciones. Los resultados de RF fueron comparados con otros clasificadores como redes neuronales, arboles de decisi´ on, Naive Bayes y KNN. Se utilizaron 12 instrumentos de medici´ on diferentes cuyas mediciones fueron tomadas por cada posible combinaci´ on entre las 5 condiciones operacionales del motor: la primera con el motor en estado saludable, y las otras cuatro en condici´ on de fallas (suciedad del motor, contaminaci´ on individual de las aspas del rotor, aspa torcida del rotor individual y reposicionamiento del aspa del rotor). Tambi´ en se configuraron cuatro cargas diferentes del motor (carga completa, media carga, cuarto de carga y sin carga), y finalmente se realizaron mediciones para 2 frecuencias diferentes de muestreo, obteniendo 864 instancias. Para cada instrumento, todas y cada una de las mediciones anteriores consisten de 27 caracter´ ısticas formados por la diferencia espectral de los primeros 27 arm´ onicos de la frecuencia de rotaci´ on del eje del rotor. Debido el gran n´ umero de sensores y caracter´ ısticas se implementaron m´ etodos de selecci´ on de caracter´ ısticas e identificaci´ on de valores at´ ıpicos. Para el primero se utiliz´ o el indice Gini para hacer un ranking de las caracter´ ısticas de forma descendente, y, para eliminar el ruido en las caracter´ ısticas se implementaron t´ ecnicas estad´ ısticas. Finalmente, se implementaron dos versiones del clasificador RF: Bosques de Entrada Aleatoria (RE), y Bosques Combinados al Azar (RC). Las m´ etricas a evaluar fueron precision yrecall. Los mejores resultados se obtuvieron al implementar 500 ´ arboles y un total de 6 caracter´ ısticas aleatorias, teniendo como ganador a RC con una ligera diferencia. De forma general RC y RE son mas precisos que redes neuronales, ´ arboles de decisi´ on, Naive Bayes y KNN. En [79] se muestra el uso de RF para la selecci´ on de caracter´ ısticas y detecci´ on de fallas mec´ anicas en un motor de inducci´ on. En primer lugar, se capturan las se˜ nales de vibraci´ on producida por la m´ aquina (debido a que la vibraci´ on es uno de los par´ ametros vitales, adem´ as de ser muy usado en la detecci´ on de fallas, del motor de inducci´ on). La frecuencia de muestreo fue de 12KHz para 4 estados (clases) de la m´ aquina: normal, falla de la pista de rodadura, fallo de bola en el rodamiento, y fallo de la pista externa. Se tomaron 160 instancias para el estado normal y 480 para cada uno de los estados restantes. La longitud de cada se˜ nal capturada fue de 0.25seg. Posteriormente, se extrajeron 15 caracter´ ısticas estad´ ısticas de cada se˜ nal. Para la etapa de clasificaci´ on implementaron dos clasificadores: Redes Neuronales Artificiales (RNA), con pesos inicializados aleatoriamente desde una distribuci´ on normal est´ andar, y Random Forest, configurado con 1000 ´ arboles. Como resultado se obtuvo RF como mejor clasificador, con 2 falsos positivos, frente a los 14 de RNA, teniendo como referencia un total de 1600 instancias. Finalmente se utiliz´ o el diagrama de importancias entregado por RF para realizar una selecci´ on de atributos, siendo los m´ as importantes el Factor de forma, la media cuadr´ atica, el valor pico, la 96 Cap´ ıtulo 3. Extracci´ on de caracter´ ısticas y clasificaci´ on con un enfoque cl´ asico varianza, el rms y la entrop´ ıa. En este trabajo, para evaluar la metodolog´ ıa anterior, se propone su aplicaci´ on en dos tareas de mantenimiento basado en la condici´ on: el diagn´ ostico de fallos en rodamientos, y el diagn´ ostico de fallos en engranes rectos, que detallamos a continuaci´ on. 3.5.1. Diagn´ostico multi-fallos en rodamientos La aplicaci´ on de la metodolog´ ıa para el diagn´ ostico de fallos en rodamientos se realiza sobre las se˜ nales obtenidas en la configuraci´ on experimental detallada en la Subsecci´ on 2.6.4. Para esta aplicaci´ on, la variable de inter´ es representa el estado f´ ısico de los elementos del rodamiento (pista interna, pista externa y elemento rodante) teniendo de esta manera 7 estados que se desean clasificar (ver Tabla 2.6). Los resultados obtenidos en cada fase de la metodolog´ ıa para esta tarea concreta son: Extracci´on de caracter´ısticas En esta fase se descompuso cada se˜ nal de las disponibles mediante las 5 familias de wavelets para el posterior c´ omputo de la energ´ ıa en sus coeficientes. Como resultado se obtuvo un conjunto de datos de 315 instancias con 320 caracter´ ısticas. Selecci´on de familias de wavelet y par´ametros de Random Forest En la etapa de selecci´ on de par´ ametros y mejor subconjunto de familias de wavelet se configur´ onMinArboles = 15 ynMaxArboles = 1000. Los mejores resultados para cada combinaci´ on de familias de wavelet se muestran en la Tabla 3.1, donde se puede observar que los subconjuntos de familias de wavelet {db7, coif4, bior6.8}, {coif4, bior6.8, rbior6.8},{db7, sym3, coif4, bior6.8},{db7, sym3, bior6.8, rbior6.8}, {db7, coif4, bior6.8, rbior6.8}y{db7, sym3, coif4, bior6.8, rbior6.8}poseen el mismo valor inferior (3,64 ×10−2) de oob-error. Al elegir el de menor tama˜ no se obtienen dos subconjuntos en conflicto: {db7, coif4, bior6.8}y{coif4, bior6.8, rbior6.8}. Sin embargo, la suma de sus par´ ametros da 107 y72 respectivamente, lo que permite elegir al subconjunto {coif4, bior6.8, rbior6.8}con 16 caracter´ ısticas aleatorias y 56 ´ arboles como la mejor combinaci´ on de familias y par´ ametros con el menor coste computacional para la tarea. Tras este paso el n´ umero de caracter´ ısticas para la tarea queda reducido a 192. Selecci´on de caracter´ısticas Dado el conjunto de familias y par´ ametros obtenidos en el paso anterior se procede con la selecci´ on de las caracter´ ısticas m´ as relevantes para la tarea, determinando la importancia de cada caracter´ ıstica. 3.5. Evaluaci´ on en diagn´ ostico de fallos 97 Wavelets Caracter´ ısticas ´ Arboles oob-error×100 db7 14 58 4.55 sym3 8 561 5.00 coif4 39 69 4.09 bior6.8 40 20 4.09 rbior6.8 14 74 4.09 db7, sym3 64 41 4.55 db7, coif4 44 52 4.55 db7, bior6.8 24 43 4.09 db7, rbior6.8 13 403 5.00 sym3, coif4 21 35 4.09 sym3, bior6.8 67 9 4.09 sym3, rbior6.8 14 598 4.55 coif4, bior6.8 16 241 4.09 coif4, rbior6.8 16 255 4.09 bior6.8, rbior6.8 10 40 4.55 db7, sym3, coif4 48 22 4.09 db7, sym3, bior6.8 61 64 4.09 db7, sym3, rbior6.8 10 984 4.55 db7, coif4, bior6.8 25 82 3.64 db7, coif4, rbior6.8 12 405 4.55 db7, bior6.8, rbior6.8 16 62 4.09 sym3, coif4, bior6.8 25 53 4.09 sym3, coif4, rbior6.8 66 168 4.09 sym3, bior6.8, rbior6.8 16 25 4.09 coif4, bior6.8, rbior6.8 16 56 3.64 db7, sym3, coif4, bior6.8 125 62 3.64 db7, sym3, coif4, rbior6.8 63 173 4.09 db7, sym3, bior6.8, rbior6.8 56 34 3.64 db7, coif4, bior6.8, rbior6.8 93 33 3.64 sym3, coif4, bior6.8, rbior6.8 16 62 4.09 db7, sym3, coif4, bior6.8, rbior6.8 60 20 3.64 Cuadro 3.1: Mejores par´ ametros por cada subconjunto de familias de wavelet. 98 Cap´ ıtulo 3. Extracci´ on de caracter´ ısticas y clasificaci´ on con un enfoque cl´ asico El resultado de este proceso se muestra en la Figura 3.12, donde se aprecia que las caracter´ ısticas 2, 66 y 130 (que corresponden a la energ´ ıa de los coeficientes 2 de coif4, 2 de boir6.8 y 2 de rbior6.8) sobresalen con un valor de importancia por encima de 0.04. Adem´ as, las siguientes caracter´ ısticas sobresalientes son la 1, 65 y 129 (correspondientes a la energ´ ıa de los primeros coeficientes de las tres familias seleccionadas). Este resultado indica que para esta tarea, las componentes 1 y 2 de baja frecuencia de cada wavelet aportan la mayor cantidad de informaci´ on discriminante. 0 50 100 150 200 característica 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 importancia Figura 3.12: Ranking de caracter´ ısticas para diagn´ ostico de multi-fallos en rodamientos. Para la selecci´ on del umbral se realiza una b´ usqueda manual desde 0 a 0.0082 con incrementos de 0.001. Con cada valor de umbral se seleccionan aquellas caracter´ ısticas que lo sobrepasan, y posteriormente se generan modelos de clasificaci´ on por Random Forest con cada conjunto de caracter´ ısticas y se eval´ ua su oob-error, dando los resultados mostrados en la Tabla 3.2. El mejor valor de umbral obtenido es 0.003 con un total de 101 caracter´ ısticas seleccionadas. 2Este es el valor m´ aximo con el que se obtiene un n´ umero de caracter´ ısticas mayor o igual al par´ ametro de n´ umero de caracter´ ısticas aleatorias. 3.5. Evaluaci´ on en diagn´ ostico de fallos 99 Umbral N´ um. de carac. oob-error×100 0.000 192 7.27 0.001 177 6.36 0.002 145 6.36 0.003 101 5.46 0.004 76 6.82 0.005 52 6.82 0.006 40 5.91 0.007 31 5.91 0.008 26 6.36 Cuadro 3.2: Resultados de n´ umero de caracter´ ısticas seleccionadas y oob-error por cada valor de umbral. Construcci´on de un clasificador de estados Finalmente, con las familias (coif4, bior6.8, rbior6.8), par´ ametros (nArboles = 82, nCaracteristicasAleatorias = 25) y caracter´ ısticas seleccionadas (101 caracter´ ısticas) se construye el modelo de clasificaci´ on de estados. Este modelo se eval´ ua con el conjunto de prueba obteniendo, para cada estado, las m´ etricas mostradas en la Tabla 3.3, donde se puede observar una disminuci´ on de la precisi´ on en el estado P1, P3 y P5, lo que indica que el modelo clasific´ o instancias correspondientes de otros estados dentro de los mencionados. De igual forma, es apreciable la disminuci´ on de recall para los estados P6 y P7, lo cual indica que instancias perteneciente a estos estados fueron clasificados en otros. De lo anterior se puede deducir que esos otros estados son P1, P3 y P5. Sin embargo, con la informaci´ on suministrada en esa tabla no es posible determinar espec´ ıficamente con qu´ e estados se produce la confusi´ on. La m´ etrica F-score da una informaci´ on general por clase equilibrando la precisi´ on y el recall. Para un an´ alisis detallado de los errores cometidos por el modelo se presenta la matriz de confusi´ on en la Tabla 3.4, donde se observa que el mayor n´ umero de errores del clasificador se da para instancias del estado 7 (correspondiente a fallo en pista externa en el rodamiento 1 y elemento rodante en el rodamiento 2), que son confundidas con el estado 3 (correspondiente a fallo en pista externa en el rodamien- to 1 y condici´ on normal en el rodamiento 2), y con el estado 1 (que corresponde a condici´ on normal en los 2 rodamientos). Algo similar sucede con el error cometido por el clasificador para instancias del estado 6 (que corresponde a fallo en pista interna en el rodamiento 1 y fallo en elemento rodante en el rodamiento 2), que son confundidas con el estado 5 (correspondiente a fallo en pista interna del rodamiento 1 y fallo en pista externa del rodamiento 2). 100 Cap´ ıtulo 3. Extracci´ on de caracter´ ısticas y clasificaci´ on con un enfoque cl´ asico Estado Precisi´ on Recall F-score P1 0.88 1.00 0.93 P2 1.00 1.00 1.00 P3 0.78 1.00 0.88 P4 1.00 1.00 1.00 P5 0.87 1.00 0.93 P6 1.00 0.86 0.92 P7 1.00 0.57 0.73 Cuadro 3.3: M´ etricas para el modelo de clasificaci´ on de estados evaluado con el conjunto de prueba. Estado P1-P P2-P P3-P P4-P P5-P P6-P P7-P P1-R 14 0 0 0 0 0 0 P2-R 0 13 0 0 0 0 0 P3-R 0 0 14 0 0 0 0 P4-R 0 0 0 13 0 0 0 P5-R 0 0 0 0 13 0 0 P6-R 0 0 0 0 2 12 0 P7-R 2 0 4 0 0 0 8 Cuadro 3.4: Matriz de confusi´ on. Lo anterior indica que para el rodamiento 1, que es el lugar en donde se adquiri´ o la se˜ nal de vibraci´ on, en realidad solamente se cometieron 2 errores con el estado normal. El resto de errores se deben a la incapacidad del modelo para estimar los fallos existentes en el rodamiento 2. De donde podemos concluir que la se˜ nal de vibraci´ on capturada en el rodamiento 1 no contiene informaci´ on suficiente para estimar el estado del rodamiento 2. 3.5.2. Diagn´ostico de fallos en engranes rectos La metodolog´ ıa propuesta ha sido aplicada tambi´ en al diagn´ ostico de fallos en engranajes rectos con las se˜ nales obtenidas en la configuraci´ on experimental detallada en la Subsecci´ on 2.6.1. Para esta aplicaci´ on, la variable de inter´ es representa el estado f´ ısico de distintos elementos de la caja de engranes (pi˜ n´ on, engrane y eje) teniendo de esta manera 10 estados que se desean clasificar (ver Tabla 2.1). A continuaci´ on mostramos los 3.5. Evaluaci´ on en diagn´ ostico de fallos 101 resultados obtenidos en cada fase de la metodolog´ ıa propuesta: Extracci´on de caracter´ısticas En esta fase se obtiene el ´ arbol de descomposici´ on de cada se˜ nal de las 1500 disponibles mediante las 5 familias de wavelets para el posterior c´ omputo de la energ´ ıa en sus coeficientes. Como resultado se obtuvo un conjunto de datos de 1500 instancias con 320 caracter´ ısticas. Selecci´on de familias de wavelet y par´ametros de Random Forest En la etapa de selecci´ on de par´ ametros y mejor subconjunto de familias de wavelet se configur´ onMinArboles = 15 ynMaxArboles = 1000. Los mejores resultados para cada combinaci´ on de familias de wavelet se muestran en la Tabla 3.5, donde se observa que el subconjunto de wavelets compuesto por {db7, sym3, bior6.8}tiene el menor oob-error. Al contrario que lo sucedido en el ejemplo de rodamientos, aqu´ ı no es necesaria la aplicaci´ on de las reglas adicionales para la selecci´ on del mejor subconjunto de wavelets y par´ ametros del modelo, por lo que se elige el subconjunto mencionado con los par´ ametros de 13 caracter´ ısticas aleatorias y 968 ´ arboles como las mejores par´ ametros para la tarea. Tras este paso el n´ umero de caracter´ ısticas queda reducido a 192. Selecci´on de caracter´ısticas De forma similar al ejemplo anterior, dado el conjunto de familias y par´ ametros obtenidos en el paso anterior se procede con la selecci´ on de las caracter´ ısticas m´ as relevantes para la tarea, para lo que se determina la importancia de cada caracter´ ıstica. El resultado de este proceso se muestra en la Figura 3.13, donde se puede apreciar que la energ´ ıa de los coeficientes 4 y 7 de cada familia son los que mayor importancia tienen. Este resultado indica que, para esta tarea, las componentes frecuenciales 4 y 7 de cada wavelet aportan la mayor cantidad de informaci´ on discriminante. Para la selecci´ on del umbral se realiza una b´ usqueda manual desde 0 a 0.0113con incrementos de 0.001. Con cada valor de umbral se seleccionan aquellas caracter´ ısticas que lo sobrepasan, y luego se generan modelos de clasificaci´ on por Random Forest con cada conjunto de caracter´ ısticas y se eval´ ua su oob-error, dando los resultados mostrados en la Tabla 3.6. El mejor valor de umbral obtenido es 0.003 con un total de 126 caracter´ ısticas seleccionadas. 3Este es el valor m´ aximo con el que se obtiene un n´ umero de caracter´ ısticas mayor o igual al par´ ametro de n´ umero de caracter´ ısticas aleatorias. 102 Cap´ ıtulo 3. Extracci´ on de caracter´ ısticas y clasificaci´ on con un enfoque cl´ asico Wavelets Caracter´ ısticas ´ Arboles oob-error×100 db7 16 813 5.33 sym3 7 460 5.62 coif4 16 390 9.91 bior6.8 17 660 7.14 rbior6.8 11 737 7.33 db7, sym3 6 885 4.48 db7, coif4 13 557 5.33 db7, bior6.8 16 896 4.38 db7, rbior6.8 19 848 4.48 sym3, coif4 10 647 5.52 sym3, bior6.8 8 583 4.48 sym3, rbior6.8 8 313 4.57 coif4, bior6.8 30 635 6.29 coif4, rbior6.8 30 638 6.48 bior6.8, rbior6.8 15 960 7.05 db7, sym3, coif4 12 902 4.57 db7, sym3, bior6.8 13 968 3.71 db7, sym3, rbior6.8 11 933 3.91 db7, coif4, bior6.8 8 658 4.67 db7, coif4, rbior6.8 18 834 4.57 db7, bior6.8, rbior6.8 12 675 4.95 sym3, coif4, bior6.8 25 710 4.57 sym3, coif4, rbior6.8 24 973 4.67 sym3, bior6.8, rbior6.8 12 608 4.38 coif4, bior6.8, rbior6.8 15 958 6.57 db7, sym3, coif4, bior6.8 27 802 3.91 db7, sym3, coif4, rbior6.8 13 813 3.91 db7, sym3, bior6.8, rbior6.8 10 936 4.00 db7, coif4, bior6.8, rbior6.8 12 646 4.76 sym3, coif4, bior6.8, rbior6.8 21 737 4.67 db7, sym3, coif4, bior6.8, rbior6.8 12 977 4.1 Cuadro 3.5: Mejores par´ ametros por cada subconjunto de familias de wavelet. 3.5. Evaluaci´ on en diagn´ ostico de fallos 103 0 50 100 150 200 característica 0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 importancia Figura 3.13: Ranking de caracter´ ısticas para diagn´ ostico de fallos en engranajes rectos. Umbral N´ um. de carac. oob-error×100 0.000 192 4.19 0.001 192 4.19 0.002 155 4.48 0.003 126 3.62 0.004 105 4.19 0.005 83 3.81 0.006 65 4.38 0.007 50 5.91 0.008 39 8.00 0.009 26 11.24 0.010 18 13.33 0.008 13 18.67 Cuadro 3.6: Resultados de n´ umero de caracter´ ısticas seleccionadas y oob-error por cada valor de umbral. 110 Cap´ ıtulo 4. Aprendizaje de caracter´ ısticas de series de tiempo tipo de red neuronal creada para el aprendizaje no-supervisado, a partir de la cual se construye una versi´ on modificada del modelo convolucional, llamado Convolutional Autoencoder (CAE), y que consigue mejorar el desempe˜ no de la CNN en la tarea que nos ocupa. 4.2.1. Operador de convoluci´on En general, la convoluci´on es un operador que transforma dos funciones de entrada, fyg, en una funci´ on de salida que, de alguna forma, mide la superposici´ on existente entre fy una trasladada de g, generalizando el concepto de media integral (que se consigue cuando ges la funci´ on caracter´ ıstica de un intervalo). En el caso de usar se˜ nales temporales como funciones, el operador de convoluci´ on, que denotaremos a partir de ahora por ∗, combina una se˜ nal de entrada f(·) con una se˜ nal patr´ on g(·), com´ unmente llamada kernel. La se˜ nal resultante contiene la informaci´ on destacada en base a alg´ un criterio impuesto por las caracter´ ısticas del kernel. En una primera aproximaci´ on supondremos que la operaci´ on de convoluci´ on se hace respecto de una ´ unica variable, que desde el punto de vista de se˜ nales se interpreta como el tiempo. Para funciones definidas en tiempo continuo, la operaci´ on de convoluci´ on viene dada por medio del operador integral: (f∗g)(t) = Z∞ −∞ f(τ)g(t−τ)dτ (4.1) La misma operaci´ on, en tiempo discreto, puede ser expresada como: (f∗g)[n] = ∞ X k=−∞ f[k]g[n−k](4.2) Este concepto puede ser generalizado para funciones definidas en dimesiones superiores. Por ejemplo, para un dominio bidimensional continuo la operaci´ on de convoluci´ on tendr´ ıa la expresi´ on: (f∗g)(x, y) = Z∞ −∞ Z∞ −∞ f(τ1, τ2)g(x−τ1, y −τ2)dτ1dτ2(4.3) y si el dominio fuera discreto la operaci´ on se podr´ ıa expresar como: (f∗g)[x, y] = ∞ X k1=−∞ ∞ X k2=−∞ f[k1, k2]g[x−k1, y −k2](4.4) Las principales aplicaciones de esta operaci´ on se han dado en el campo del procesamiento de se˜ nales y hacen uso del Teorema de Convoluci´on, que establece que 4.2. Fundamentos te´ oricos 111 la transformada de Fourier de la convoluci´ on de dos funciones es igual al producto puntual de las transformadas de Fourier de cada funci´ on, o expresado formalmente: F{f∗g}=F{f}  F{g}(4.5) La ecuaci´ on anterior muestra que el resultado de la convoluci´ on entre dos se˜ nales puede interpretarse como una versi´ on filtrada de la se˜ nal frespecto a las componentes de frecuencia del kernel g. Lo que nos lleva a que, haciendo uso de un kernel adecuado, podemos resaltar los patrones deseados de cualquier se˜ nal. En este sentido, los kernel se convierten en el medio de destacar determinadas caracter´ ısticas de las se˜ nales, por lo que disponer de (o aprender) los kernel adecuados puede resolver nuestro objetivo de seleccionar las caracter´ ısticas adecuadas de las se˜ nales de vibraci´ on. Un ejemplo de convoluci´ on tanto en tiempo como en frecuencia se muestra en la Figura 4.1. 4.2.2. Red neuronal artificial Una red neuronal artificial es un modelo de computaci´ on inspirado en las redes de neuronas existentes en el cerebro animal y que se cree que es el mecanismo responsable de la actividad inteligente. Su origen parte del trabajo realizado por McCulloch y Pitts en el art´ ıculo “A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity”[70], que inspir´ o a Frank Rosenblatt para proponer el primer modelo de neurona artificial llamado perceptr´ on [85]. Perceptr´on El perceptr´ on [85] es el primer modelo computacional de neurona, y es el m´ as sencillo de los modelos que se han definido y que intenta cubrir el funcionamiento b´ asico de una neurona real: flujo entrante de se˜ nales, agregaci´ on, transformaci´ on, y flujo saliente de se˜ nales transformadas. Este modelo est´ a compuesto por un conjunto de entradas que reciben valores booleanos, {0,1}, y una salida que es capaz de devolver alg´ un valor booleano. De esta forma, intenta imitar de forma muy vaga un proceso binario de toma de decisiones basado en los estados e importancia de las entradas. Si las entradas son representadas mediante el vector x∈ {0,1}d, su peso asociado (o importancia) por w∈Rd, y su salida por ˆy, entonces el modelo queda totalmente definido por: ˆy=0si w·x≤b 1si w·x> b (4.6) donde b∈Res un umbral de decisi´ on. T´ ıpicamente, este modelo matem´ atico de neurona es tambi´ en representado por medio del modelo gr´ afico de la Figura 4.2. El perceptr´ on puede cambiar su comportamiento (salida) ante un conjunto de entradas determinado, modificando sus pesos y el umbral, por lo que un proceso de 112 Cap´ ıtulo 4. Aprendizaje de caracter´ ısticas de series de tiempo Se desplaza g[n] y suma las multiplicaciones entre f y g. El procedimiento se repite para cada n g[n] f[n] f * g DFT IDFT F G . G[f] F[f] Se multiplican las funciones F y G punto a punto. Convolución en tiempo. Convolución en frecuencia. Figura 4.1: Procedimiento de la operaci´ on de convoluci´ on tanto en tiempo como en frecuencia y su relaci´ on por la transformada de Fourier directa e inversa. 4.2. Fundamentos te´ oricos 113 umbral b P w2 x2 . . . . . . wd xd w1 x1 entradas pesos Figura 4.2: Modelo gr´ afico del perceptr´ on aprendizaje para este modelo se reduce a encontrar los valores de pesos y de umbral adecuados para la tarea que se quiere resolver. Normalmente, se busca la mayor consistencia con la evidencia presente en un conjunto de datos de entrenamiento (es decir, menor error cometido), por lo que desde el punto de vista del aprendizaje se tratar´ ıa de un modelo de aprendizaje supervisado. En su concepci´ on original, y con los valores de pesos y umbral adecuados, el modelo no es capaz de aproximar el funcionamiento de una puerta l´ ogica NAND1. Este resultado muestra que el perceptr´ on es un modelo de c´ omputo con capacidades limitadas cercanas a simples operaciones de negaci´ on con la operaci´ on l´ ogica “Y”. Neurona sigmoidal Debido a las limitaciones que presenta el perceptr´ on simple como m´ aquina de c´ omputo universal, se intent´ o abordar esta debilidad conectando m´ ultiples perceptrones entre s´ ı formando una red. Sin embargo, pese a que la capacidad computacional se incrementaba (aunque no lo suficiente), el proceso de aprendizaje tambi´ en se hac´ ıa m´ as complejo a medida que la red resultante crec´ ıa. Este fen´ omeno ocurre debido a la falta de control que existe ante una variaci´ on en un peso con respecto a la salida por la discontinuidad de la funci´ on escal´ on que se usa para el umbral, ya que, de acuerdo al modelo de computaci´ on de la ecuaci´ on (4.6) una m´ ınima variaci´ on en un peso puede causar un cambio brusco (entre los valores 0 y 1) en la salida. Una forma de eliminar esta falta de control es cambiando la funci´ on que act´ ua sobre el valor agregado de las se˜ nales de entrada por una funci´ on con propiedades anal´ ıticas m´ as adecuadas (al menos, continuidad), y tambi´ en permitiendo que los datos de entrada no sean binarios, sino n´ umeros reales cualesquiera: ˆy=σ(w·x+b)(4.7) 1La puerta NAND se considera la puerta universal debido que a partir de esta es posible construir cualquier otra compuerta y, por ende, cualquier circuito l´ ogico. 114 Cap´ ıtulo 4. Aprendizaje de caracter´ ısticas de series de tiempo donde x∈Rnyσes una funci´ on continua. En general, a esta funci´ on σque act´ ua sobre el valor agregado de las se˜ nales (y umbral) se le denomina funci´on de activaci´on y, con el fin de facilitar la manipulaci´ on de este tipo de unidades durante el proceso de aprendizaje, suele considerarse la funci´ on no-lineal sigmoide siguiente como una de las funciones de activaci´ on m´ as habituales: σ(z) = 1 1 + exp−z(4.8) La Figura 4.3 muestra la funci´ on de activaci´ on del perceptr´ on original (funci´ on escal´ on) y la funci´ on de activaci´ on para una neurona sigmoidal, donde se aprecia el cambio brusco que se produce en el estado de salida para el primer caso, frente el cambio progresivo y suavizado del segundo caso. 42024 z 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y (a) Funci´ on de activaci´ on escal´ on 42024 z 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 y (b) Funci´ on de activaci´ on sigmoide Figura 4.3: Funciones de activaci´ on para a) el perceptr´ on, y b) la neurona sigmoidal. Red neuronal multicapa (MLP) Una vez resuelto el problema de control sobre la neurona artificial individual, es posible agrupar neuronas sigmoidales e interconectarlas formando redes neuronales artificiales de mayor complejidad. Aunque como veremos no es la ´ unica configuraci´ on posible, la m´ as utilizada a lo largo de los a˜ nos anteriores ha sido la conocida como red feedforward, tambi´ en conocida como perceptr´on multicapa (MLP) [85], que est´ a formada por capas de neuronas, donde cada neurona de una capa espec´ ıfica se conecta con todas las neuronas de la siguiente capa, tal y como muestra la Figura 4.4. El apelativo de feedforward proviene del hecho de que en esta arquitectura el flujo de datos solo se permite hacia capas inmediatamente posteriores, y no admite conexiones entre neuronas de una misma capa. La red neuronal multicapa est´ a compuesta por una primera capa donde se ingresa el vector de datos de entrada, llamada capa de entrada, una capa de salida con el resultado entregado por la red, que se llama capa de salida, y un conjunto de capas intermedias ordenadas jer´ arquicamente entre ambas capas, que se denominan 4.2. Fundamentos te´ oricos 115 . . . . . .. . . x1 x2 x3 xd h1 hk o1 oc Capa de entrada Capa oculta Capa de salida Figura 4.4: Red neuronal feedforward con una capa de entrada, una capa oculta, y una capa de salida. globalmente capas ocultas, y que es donde se realizan proyecciones no lineales de la informaci´ on que fluye a trav´ es de la red. Aunque es evidente que una red que admita conexiones m´ as flexibles puede aportar una mayor capacidad computacional, la raz´ on por la que han sido las m´ as utilizadas desde un punto de vista hist´ orico se debe al hecho de que para ellas se dispone de m´ etodos de entrenamiento eficientes, en los que la ausencia de ciclos en el flujo de informaci´ on aseguran la convergencia de m´ etodos tradicionales de optimizaci´ on. A pesar de las limitaciones impuestas para que sean controlables desde el punto de vista del entrenamiento, este tipo de redes proporcionan un modelo de computaci´ on universal (v´ ease el teorema de aproximaci´ on universal para ANN en [39]). Aprendizaje Desde el punto de vista del aprendizaje supervisado, el aprendizaje de una red neuronal se obtiene por medio del ajuste de los pesos y bias para mejorar el desempe˜ no de la red, que se entiende de forma habitual como la disminuci´ on del error existente entre la predicci´ on de la red (oL, la salida proporcionada por la ´ ultima capa), y la salida deseada (y, disponible en el conjunto de datos sobre los que estamos haciendo aprendizaje). La funci´ on de error, tambi´ en llamada funci´ on de coste, t´ ıpicamente viene dada por el error medio cuadr´ atico (MSE) del que ya hablamos anteriormente: E=1 2N||y−oL||2 2(4.9) 116 Cap´ ıtulo 4. Aprendizaje de caracter´ ısticas de series de tiempo donde Nes el n´ umero de elementos que tiene el conjunto de datos. Aunque puede ser cualquier funci´ on derivable y decreciente con la disminuci´ on de la distancia entre yyoL. El algoritmo de aprendizaje por excelencia para redes multicapa es el de gradiente descendente que requiere el c´ alculo de los gradientes del error con respecto al peso y bias para la actualizaci´ on de los mismos. Para este c´ alculo de gradientes se utiliza el algoritmo de retropropagaci´on (o backpropagation, en ingl´ es). Para formalizar este algoritmo se propone el diagrama de bloques generalizado de la Figura 4.5 para una red neuronal multicapa. b1 bl+1 bL bl-1 bl σ cl-1 wl-1 σ cl wl σ cl+1 wl+1 σ c1 w1 σ cL wL o1 ol-1 olol+1 oL CAPA 1 CAPA l-1 CAPA l CAPA l+1 CAPA FINAL Entrada Ey CÁLCULO DEL ERROR Figura 4.5: Diagrama de bloques generalizado de una red neuronal multicapa. Para el diagrama presentado, la funci´ on de interacci´ on cde las entradas con los pesos y el bias, y la salida opara una capa lviene dada por: cl=wlol−1+bl(4.10) ol=σ(cl)(4.11) Para optimizar los pesos y bias es necesario primero conocer la variaci´ on del error con una variaci´ on en el peso o bias. Esto se formaliza calculando las derivadas parciales ∂E ∂w y∂E ∂b . Para encontrar esta variaci´ on del error con respecto a los pesos de 4.2. Fundamentos te´ oricos 117 una capa l, se plantea la siguiente resoluci´ on a partir de la regla de la cadena: ∂E ∂wl=∂E ∂cl ∂cl ∂wl(4.12) δl=∂E ∂cl(4.13) ∂cl ∂wl=ol−1(4.14) ∂E ∂wl=δlol−1(4.15) De igual manera, para encontrar la variaci´ on del error con respecto al bias se resuelve: ∂E ∂bl=∂E ∂cl ∂cl ∂bl(4.16) ∂cl ∂bl= 1 (4.17) ∂E ∂bl=δl(4.18) El t´ ermino δlque representa la variaci´ on del error con respecto a la funci´ on de las entradas de la capa actual, cl, puede ser representado como una funci´ on de las entradas de la capa siguiente, permitiendo retro-propagar el error como se muestra a continuaci´ on: δl=∂E ∂cl+1 ∂cl+1 ∂cl(4.19) ∂E ∂cl+1 =δl+1 (4.20) ∂cl+1 ∂cl=∂ ∂cl(wl+1ol+bl+1)(4.21) =∂ ∂cl[wl+1σ(cl) + bl+1](4.22) =wl+1σ0(cl)(4.23) δl= [wl+1]Tδl+1 σ0(cl)(4.24) Finalmente, el c´ alculo del t´ ermino δpara la capa Lde la red (la capa final), que es donde empieza la retro-propagaci´ on del error viene dado por: δL=∂E ∂oL ∂oL ∂cL(4.25) =∂E ∂oLσ0(cL)(4.26) De esta forma, el problema de aprendizaje de pesos (y bias) adecuados se ha traducido en un problema cl´ asico de optimizaci´ on de funciones derivables. 118 Cap´ ıtulo 4. Aprendizaje de caracter´ ısticas de series de tiempo 4.2.3. Red neuronal convolucional (CNN) Una red convolucional es un modelo de aprendizaje bio-inspirado en el cortex visual de los cerebros animales. A partir de un conjunto de datos, este modelo busca aprender una colecci´ on ´ optima de kernels con respecto a una tarea espec´ ıfica. Debido a las caracter´ ısticas que presentan, y que analizaremos a continuaci´ on, en su origen las CNNs fueron utilizadas principalmente en tareas de reconocimiento de im´ agenes. Por ejemplo, el modelo LeNet-5 propuesto en [47] representa uno de los primeros ejemplos de uso, y su objetivo era mejorar las capacidades de las redes neuronales en la tarea de reconocimiento de caracteres. Las redes convolucionales est´ an compuestas por un conjunto de capas apiladas de forma jer´ arquica que tienen la convoluci´ on como operaci´ on fundamental, donde la salida de una capa es la entrada de la siguiente. La convoluci´ on se aplica tomando como l´ ımites el tama˜ no M×Nde la se˜ nal bidimensional de entrada y alineando con ellos al kernel de tama˜ no m×n, y dando como resultado una nueva se˜ nal bidimensional de tama˜ no M−m+1×N−n+1, menor a la original. Sin embargo, se pueden aplicar otras t´ ecnicas como, por ejemplo, rellenar la se˜ nal de entrada con elementos adicionales o unir los extremos de la se˜ nal de entrada para formar un toroide, etc. Adicionalmente, al conjunto de capas de convoluci´ on se a˜ nade al final un MLP que conformar´ a la etapa de clasificaci´ on de la red. La arquitectura de una CNN con una capa convolucional se muestra en la Figura 4.6, en donde se puede apreciar el flujo de informaci´ on desde que la se˜ nal bidimensional ingresa a la red hasta que se realiza una clasificaci´ on. Junto a la operaci´ on de convoluci´ on explicada, en este tipo de redes podemos encontrar dos operaciones adicionales, denominadas sub-muestreo (parte de la capa convolucional) y aplanamiento de mapas de caracter´ısticas (previo a la etapa de clasificaci´ on) que explicaremos a continuaci´ on: Capa de Entrada 1@32x32 Mapas de características 20@28x28 Mapas de características 20@14x14 Convolución kernel 5x5 Sub-muestreo kernel 2x2 Capa oculta 280 unidades Capa oculta 500 unidades Capa de Salida 10 unidades MLP Completamente conectado Aplanamiento Figura 4.6: CNN con una capa convolucional. Sub-muestreo El proceso de sub-muestreo es parte de la capa convolucional y tiene sus or´ ıgenes en el procesamiento de se˜ nales, en donde se utiliza para disminuir 4.2. Fundamentos te´ oricos 119 la cantidad de informaci´ on de una se˜ nal con el fin de adaptarla a una nueva tasa de muestreo menor a la original. En las CNN el sub-muestreo tiene un objetivo similar, es decir, busca disminuir de forma progresiva la masiva cantidad de datos presente en los mapas de caracter´ ısticas resultantes del proceso de convoluci´ on. Mediante este procedimiento se logra disminuir la complejidad computacional de la red y reducir el n´ umero de caracter´ ısticas extra´ ıdas. El tipo de sub-muestreo m´ as utilizado es el max-pooling, que desplaza una ventana de selecci´ on de elementos por el espacio de cada mapa de caracter´ ısticas sin solapamiento hasta completar su ancho y largo. Para cada posici´ on de la ventana, se elige el valor mayor de los elementos seleccionados con los cuales se construye un nuevo mapa de caracter´ ısticas inversamente proporcional a la dimensi´ on preestablecida de la ventana. Un ejemplo de max-pooling es presentado en la Figura 4.7 para un mapa de caracter´ ısticas de 4×4y una ventana de 2×2. La capa de Figura 4.7: Capa de max-pooling aplicada a un mapa de caracter´ ısticas de 4×4. sub-muestreo, adem´ as de disminuir la complejidad computacional de la red, proporciona un mecanismo de invarianza a peque˜ nos desplazamientos (locales) de los patrones encontrados por la operaci´ on de convoluci´ on, lo cual brinda robustez adicional a la red. Sin embargo, el uso de la capa de sub-muestreo debe ser tratado con cautela porque se podr´ ıan perder caracter´ ısticas relevantes y afectar de este modo la sensibilidad de la red. Aplanamiento de mapas de caracter´ısticas Esta operaci´ on se aplica despu´ es del conjunto de capas convolucionales y sub-muestreo para dar inicio a la etapa de clasificaci´ on. Con la aplicaci´ on de cada capa convolucional (y opcionalmente submuestreo), se logran extraer patrones cada vez m´ as independientes de la posici´ on en la que aparecen en la se˜ nal de entrada. De esta forma, la capa convolucional m´ as profunda devuelve un grupo de mapas de caracter´ ısticas con una activaci´ on robusta en sus elementos ante la variabilidad de la entrada a la red, y solamente cambiante con la presencia o ausencia de los diferentes patrones detectados por los filtros. Este grupo de mapas de caracter´ ısticas es aplanado mediante conversiones sucesivas de matriz a vector para cada mapa y el posterior apilamiento de todos los vectores resultantes. Un ejemplo de esta operaci´ on se muestra en la Figura 4.8. 126 Cap´ ıtulo 4. Aprendizaje de caracter´ ısticas de series de tiempo realizar (clasificaci´ on, regresi´ on, clustering, etc). Este resultado puede ser utilizado para crear redes de m´ ultiples capas apiladas una despu´ es de otra. Cada capa ser´ a pre-inicializada de forma no-supervisada mediante un autoencoder. El objetivo es conseguir niveles de abstracci´ on superiores como lo ha demostrado Hinton en [35]. La idea del autoencoder puede ser extrapolada para la inicializaci´ on de otros tipos de capas en una red neuronal, como las convolucionales en una CNN. Sin embargo, el autoencoder en su forma original no puede ser utilizado para pre-inicializar capas de una red convolucional, ya que ambos modelos poseen una arquitectura distinta4. Una modificaci´ on de la idea original de la red autoencoder para que pueda ser aplicada a capas convolucionales es presentada por Masci en [68] con el nombre de Autoencoder Convolucional (CAE por sus siglas en ingl´ es), donde el modelo es usado concretamente para la extracci´ on no supervisada de caracter´ ısticas para la base de datos MNIST de d´ ıgitos escritos a mano (una tarea de reconocimiento desde un gran conjunto de datos de im´ agenes)[48]. El objetivo del CAE es inicializar una capa convolucional con una mejor estimaci´ on de los par´ ametros wl n,m ybl m. La arquitectura de este modelo para una capa convolucional lse muestra en la Figura 4.10. convolución sub-muestreo deconvolución sobre-muestreo Encoder Convolucional Decoder Convolucional RDP arg min E(x,y) W, b W ,b Representación aprendida Figura 4.10: Arquitectura de CAE aplicado a una capa convolucional l. De forma general, CAE imita el comportamiento de autocodificaci´ on de AE para datos bidimensionales. Las etapas de este modelo son descritas a continuaci´ on: 1. RDP (Random Degeneration Process): hace referencia al proceso de corrupci´ on de los datos de entrada que evita el aprendizaje de la funci´ on trivial. Esta operaci´ on es similar a la usada en dAE pero aplicada en este caso a los mapas de caracter´ ısticas de entrada. En este sentido, el tipo de degradaci´ on elegida depender´ a del tipo de dato de cada pixel, p, en los mapas de caracter´ ısticas. 4N´ otese la diferencia entre la arquitectura cl´ asica de red neuronal mostrada para el autoencoder en la Figura 4.9 con la estructura bidimensional requerida para la entrada a una CNN en la Figura 4.6. 4.2. Fundamentos te´ oricos 127 As´ ı, si p∈ {0,1}(imagen a blanco y negro) se elige una degradaci´ on rpor ruido impulsivo, o m´ as conocido como sal y pimienta. Por otro lado, si p∈R (imagen a escala de grises) se elige una degradaci´ on rpor ruido gaussiano. En cualquiera de los dos casos los mapas de caracter´ ısticas resultantes de este proceso se obtienen con: ˆxl i=xl ir∀i∈[0, Il−1] (4.51) donde Iles el n´ umero de mapas de caracter´ ısticas para la capa l. 2. Convoluci´on: La fase de convoluci´ on viene dada siguiendo la ecuaci´ on (4.29), la ecuaci´ on (4.28) y la ecuaci´ on (4.27), t´ ıpicas de una capa convolucional de una CNN. 3. Sub-muestreo: El sub-muestreo, como se vi´ o en las CNN, hace referencia a cualquier estrategia que permita reducir la cantidad de datos manteniendo la informaci´ on significativa. Hasta esta etapa, el procedimiento realizado ha sido similar al efectuado en una capa convolucional cl´ asica con la adici´ on de RDP. Como resultado se obtiene el conjunto de mapas de caracter´ ısticas de salida, xl+1 i∀i∈[0, Il+1 −1], con informaci´ on acorde a Wybque pueden ser vistos como componentes base de los mapas de entrada, los cuales adem´ as tienen un tama˜ no disminuido en un factor determinado por el max-pooling (reducci´ on de dimensi´ on). Este resultado puede interpretarse desde la teor´ ıa de AE como una codificaci´ on de la entrada. Posteriormente habr´ a de realizarse el proceso con el cual se recuperar´ a la entrada a partir de esta codificaci´ on. 4. Sobre-muestreo: El prop´ osito del sobre-muestreo es incrementar el tama˜ no de los datos. Habitualmente, para un conjunto de mapas de caracter´ ısticas esto se consigue replicando cada pixel en su vecindario un n´ umero determinado de veces igual al mismo factor del max-pooling (lo que se conoce como unpooling). Es necesario mencionar que max-pooling, y en general cualquier submuestreo, son operaciones destructivas, es decir, no se pueden recuperar los datos originales tras aplicar la operaci´ on. Esto indica que al aplicar el sobremuestreo no se garantiza de ninguna manera obtener los datos previos al submuestreo, solamente es una aproximaci´ on con igual dimensi´ on. 5. Deconvoluci´on: Esta operaci´ on intenta anular el efecto de la convoluci´ on aplicada anteriormente. Como es bien conocido en la teor´ ıa del procesamiento de se˜ nales, una forma de lograrlo es mediante una nueva operaci´ on de convoluci´ on que hace uso de las transpuestas, W0yb0, de los kernels y bias originales Wyb, obteniendo de esta forma el conjunto de caracter´ ısticas yl i,∀i∈[0, Il−1]. 6. Optimizaci´on: Todo el proceso descrito anteriormente tiene como elementos clave (y los ´ unicos que pueden ser aprendidos) Wyb. Estos dos conjuntos de par´ ametros, que describen a la capa l, son optimizados de tal forma que disminuyan el error de reconstrucci´ on entre los mapas xlyylcon la siguiente 128 Cap´ ıtulo 4. Aprendizaje de caracter´ ısticas de series de tiempo m´ etrica (MSE para 2D): E(W, b) = 1 2Il Il−1 X i=0 (xl i−yl i)2(4.52) El procedimiento anterior hace siempre referencia a los elementos de una capa convolucional l. Cuando los par´ ametros se han optimizado para esta capa, puede continuarse a la capa siguiente, l+ 1, con mapas de entrada yobteniendo una estructura de CAEs apilados denominada SCAE. Esta arquitectura permite la optimizaci´ on capa a capa de una red convolucional profunda. 4.3. Aprendizaje de caracter´ısticas El problema del descubrimiento de patrones que caractericen los estados en un sistema din´ amico puede ser tan complejo como el sistema en s´ ı mismo. Por ejemplo, en una maquinaria rotativa existen dificultades inherentes a la dependencia de las se˜ nales adquiridas con los par´ ametros de operaci´ on de la maquinaria, tal y como se ilustra en la Figura 4.11 con diferentes par´ ametros de operaci´ on estacionarios, donde el espectro de frecuencia de una se˜ nal de vibraci´ on muestra cambios en posici´ on y forma a velocidades diferentes. Seg´ un muestran las mediciones reflejadas en esa Figura, los arm´ onicos a Velocidad 1 se pueden confundir f´ acilmente con la frecuencia fundamental a Velocidad 3, algo com´ un que sucede cuando las velocidades de operaci´ on son m´ ultiplos entre s´ ı. Aunque es cierto que las posiciones del espectro a diferentes cargas son muy similares, se aprecia que su forma cambia, aunque las velocidades sean las mismas en todos los casos (v´ ease Figura 4.11a vs Figura 4.11b). Frequency (Hz) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 |Amplitude| 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Speed 1 Speed 2 Speed 3 (a) Prueba para carga 1 Frequency (Hz) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 |Amplitude| 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Speed 1 Speed 2 Speed 3 (b) Prueba para carga 2 Figura 4.11: Espectro de frecuencia de una se˜ nal de vibraci´ on adquirida desde una caja de engranes helicoidales a tres diferentes velocidades constantes. 4.3. Aprendizaje de caracter´ ısticas 129 Bajo par´ ametros de operaci´ on no estacionarios, la identificaci´ on de patrones es aun m´ as complicada. La Figura 4.12 ilustra el espectro a velocidad variable y diferentes cargas constantes. Para este caso, dependiendo de la carga, los patrones en el dominio de frecuencia no son identificables. Frequency (Hz) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 |Amplitude| 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Load 1 Load 2 Load 3 Figura 4.12: Espectro de frecuencia de la se˜ nal de vibraci´ on adquirida desde una caja de engranes helicoidales con velocidad variable y tres diferentes cargas constantes. Para orientar el problema de identificaci´ on de patrones en el diagn´ ostico de maquinaria compuesta por engranes se han usado dos enfoques principales. El primero se basa en el an´ alisis y metodolog´ ıas para el procesamiento de se˜ nales, y tiene como prop´ osito identificar bandas de frecuencias caracter´ ısticas en el espectro de las se˜ nales de vibraci´ on [27]. Es el enfoque m´ as utilizado para el caso estacionario donde la localizaci´ on de la banda suele indicar el tipo de fallo y su amplitud muestra la severidad. En el caso no estacionario, se han aplicado t´ ecnicas ad-hoc basadas en filtros para extraer una se˜ nal m´ as informativa y as´ ı poder luego continuar con su an´ alisis [53]. El segundo enfoque est´ a basado en la clasificaci´ on de patrones de caracter´ ısticas extra´ ıdas de forma cl´ asica desde las se˜ nales de vibraci´ on en el dominio del tiempo, frecuencia, y/o tiempo-frecuencia, como se muestra en la Figura 4.13. Cada caracter´ ıstica es cuidadosamente dise˜ nada dependiendo del caso de estudio para as´ ı lograr la extracci´ on de los indicadores de condici´ on m´ as robustos, invariantes a cambios del proceso, e informativos. Tras el proceso de extracci´ on de caracter´ ısticas se utilizan modelos cl´ asicos de aprendizaje para la clasificaci´ on de patrones, como se muestra en [14, 77]. Tambi´ en se han aplicado algunos modelos de Deep Learning (por ejemplo, [55]) pero, al igual que en el caso anterior, estos modelos se suelen centrar en la clasificaci´ on cl´ asica de patrones de caracter´ ısticas extra´ ıdas previamente. 130 Cap´ ıtulo 4. Aprendizaje de caracter´ ısticas de series de tiempo Figura 4.13: Metodolog´ ıa cl´ asica para el diagn´ ostico de fallos mediante extracci´ on de caracter´ ısticas convencional. Como se ha notado anteriormente, la extracci´ on y selecci´ on de caracter´ ısticas no son tareas triviales y son altamente dependientes de los par´ ametros operacionales. Debido a su complejidad, en este trabajo se propone un m´ etodo para la evaluaci´ on de la severidad de fallos mediante la extracci´ on autom´ atica de caracter´ ısticas desde series de tiempo medidas en una maquinaria bajo condiciones de operaci´ on estacionarias y no estacionarias. El m´ etodo propuesto, representado en la Figura 4.14, est´ a compuesto por los siguientes pasos: 1. Adquisici´on de la Se˜nal: Adquirir las se˜ nales de vibraci´ on bajo m´ ultiples valores de severidad de fallo con condiciones de operaci´ on estacionarias y no estacionarias. 2. Representaci´on en tiempo-frecuencia: Transformar las se˜ nales de vibraci´ on del dominio de tiempo a su representaci´ on equivalente en tiempo-frecuencia. 3. Extracci´on autom´atica de caracter´ısticas: Construir el modelo DCNN inicializado por SCAE para la extracci´ on de caracter´ ısticas, usando la representaci´ on en tiempo-frecuencia de las se˜ nales. 4. Clasificaci´on y regresi´on: Con las caracter´ ısticas extra´ ıdas, construir el modelo de clasificaci´ on para estimar el nivel discreto de severidad de fallo. De forma opcional, agregar un capa de regresi´ on de suma ponderada para obtener el valor continuo de severidad de fallo. 5. Evaluaci´on en l´ınea de la severidad de fallo: Evaluar la severidad del da˜ no en un elemento mec´ anico a partir de una nueva medici´ on de vibraci´ on usando los modelos obtenidos. La salida puede ser un nivel de severidad categ´ orico o un valor de severidad en porcentaje. Estas fases son detalladas en las siguientes subsecciones. 4.3. Aprendizaje de caracter´ ısticas 131 Figura 4.14: Metodolog´ ıa cl´ asica para el diagn´ ostico de fallos mediante extracci´ on de caracter´ ısticas convencional. 132 Cap´ ıtulo 4. Aprendizaje de caracter´ ısticas de series de tiempo 4.3.1. Adquisici´on de se˜nales Las se˜ nales de vibraci´ on se obtienen por medici´ on directa de esta variable desde la maquinaria y su discretizaci´ on se realiza por medio de un proceso de conversi´ on anal´ ogico a digital. Cada se˜ nal de vibraci´ on es normalizada en el intervalo [0,1] y agrupada con otras se˜ nales de vibraci´ on bajo par´ ametros de operaci´ on de velocidad y carga diferentes o, en su defecto, no estacionarios. 4.3.2. Representaci´on en tiempo-frecuencia La representaci´ on de una se˜ nal en el dominio del tiempo puede ser transformada al dominio de tiempo-frecuencia de m´ ultiples formas, entre las que destacan: Transformada corta de Fourier. Transformada fraccional de Fourier. Descomposici´ on por Wavelet Packet (WPD). Para el presente trabajo se usar´ a WPD[31] debido que es una t´ ecnica que ofrece un ajuste de resoluci´ on adaptativa (multi-resoluci´ on) en el dominio del tiempo y frecuencia (v´ ease Secci´ on 2.4), algo necesario al trabajar bajo condiciones de operaci´ on de velocidad variable. WPD se obtiene por la descomposici´ on recursiva de la se˜ nal de ingreso mediante dos procesos paralelos: A=s∗g(4.53) D=s∗h(4.54) donde ses la se˜ nal de entrada, gla respuesta al impulso de la funci´ on de wavelet padre φ(normalmente representada por un filtro pasa-bajo), hla respuesta al impulso de la funci´ on de wavelet madre, ψ(normalmente representada por un filtro pasaalto), y AyDson las se˜ nales resultantes del proceso de descomposici´ on (llamadas coeficientes de aproximaciones y detalles, respectivamente). Los dos filtros gyhse restringen a ser mutuamente complementarios. Las funciones de Wavelet pueden ser cualquier funci´ on con energ´ ıa finita. Las se˜ nales AyDse descomponen de forma recursiva con el fin de alcanzar un nivel deseable de descomposici´ on, obteniendo de esta manera un ´ arbol binario de descomposici´ on de se˜ nales como se muestra en la Figura 4.15. El ´ ultimo nivel de los nodos tiene toda la informaci´ on en los dominios de tiempo y frecuencia de la se˜ nal de entrada, y cada nodo en este nivel representa un rango espec´ ıfico en el espectro. Las se˜ nales dentro de estos nodos pueden ser normalizadas en la escala de tiempo y luego ser apiladas desde la frecuencia menor a la mayor. Mediante este procedimien- to se obtiene la representaci´ on de tiempo-frecuencia mostrada en la Figura 4.16a y 4.3. Aprendizaje de caracter´ ısticas 133 su equivalente 2D en la Figura 4.16b. Como ejemplo de posibles patrones para estimaci´ on de la severidad del da˜ no se han marcado los coeficientes con los valores m´ as elevados. En un caso real los patrones ser´ an m´ as complejos y m´ as dif´ ıciles de identificar. Figura 4.15: ´ Arbol de descomposici´ on por Wavelet Packet de una se˜ nal de vibraci´ on en el dominio del tiempo. 4.3.3. Proceso de extracci´on autom´atico de caracter´ısticas Las caracter´ ısticas en la representaci´ on tiempo-frecuencia de una se˜ nal de vibraci´ on exhiben patrones altamente m´ oviles debido a la carencia de una se˜ nal de sincronizaci´ on externa por vuelta del motor. Esta caracter´ ıstica requiere que el modelo reconozca caracter´ ısticas en cualquier localizaci´ on de la representaci´ on tiempofrecuencia. El modelo de red convolucional profunda es capaz de detectar patrones relacionados, de forma local, con otros en una entrada bidimensional, independiente de la zona donde ocurren estos eventos. Esto significa que DCNN es robusta al desplazamiento y podr´ ıa ser un buen candidato como modelo de extracci´ on de caracter´ ısticas desde patrones con ocurrencia local en la representaci´ on tiempo-frecuencia. Pero, como ´ este es entrenado por el algoritmo de retropropagaci´ on desde par´ ametros inicializados de forma aleatoria, podr´ ıa sufrir de convergencia prematura en los par´ ametros de las primeras capas por el problema de p´ erdida del gradiente. La debilidad del modelo DCNN puede ser direccionada con un mejor m´ etodo 134 Cap´ ıtulo 4. Aprendizaje de caracter´ ısticas de series de tiempo (a) Representaci´ on tiempo-frecuencia en 3D Time (s) 00.050.10.150.2 Frequency (Hz) 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 (b) Representaci´ on tiempo-frecuencia en 2D Figura 4.16: Representaci´ on en tiempo-frecuencia de la se˜ nal de vibraci´ on usando wavelet daubechies 5. La Figura 4.16a ilustra el apilamiento de las se˜ nales de los coeficientes de descomposici´ on, donde la amplitud de cada barra representa el valor de los coeficientes en un tiempo y frecuencia espec´ ıficos. La Figura 4.16b presenta la versi´ on en 2D. Los ´ ovalos marcan patrones equivalentes en la visualizaci´ on en 3D y 2D con los colores acorde a su posici´ on. para inicializar sus par´ ametros. En este trabajo se propone el uso de la arquitectura Stacked Convolutional Autoencoders, que como hemos indicado est´ a compuesta por CAE apilados, de forma similar a SdAE, con el fin de extraer un conocimien- to a priori usando como m´ etrica la capacidad del modelo para la reconstrucci´ on de la representaci´ on tiempo-frecuencia de la se˜ nal de ingreso. Posteriormente, los par´ ametros obtenidos con SCAE son usados como punto de partida para un proceso de ajuste fino de la DCNN. Cada elemento en el conjunto de mapas de caracter´ ısticas de la salida de la DCNN es pasado por una funci´ on de aplanamiento y apilado para construir un vector de caracter´ ısticas extra´ ıdas. El tama˜ no de este vector depende de la medida de los datos de entrada a la DCNN, donde la salida de cada capa es una colecci´ on de k mapas de caracter´ ısticas de tama˜ no (M−m+1 2×N−n+1 2)cuando recibe como entrada mapas de caracter´ ısticas con tama˜ no (M×N)y se usan kkernels de tama˜ no (m×n). 4.3.4. Clasificaci´on y Regresi´on El vector de caracter´ ısticas obtenido mediante el proceso de extracci´ on autom´ atico de caracter´ ısticas desde la representaci´ on en tiempo-frecuencia es usado como entrada para un perceptr´ on multi-capa (MLP), construido para evaluar la severidad del fallo. Tomando en cuenta que normalmente el espacio de decisi´ on creado por el vector de caracter´ ısticas es de dimensi´ on alta, el n´ umero de neuronas en la capa oculta del MLP deber´ ıa ser suficientemente grande. El n´ umero de salidas para esta arquitectura es igual al n´ umero de valores de severidad disponibles establecido en la fase de entrenamiento. El error de clasificaci´ on es calculado usando la clase correspondiente al nivel real 4.4. Experimentaci´ on 135 de severidad y la salida de la DCNN. Despu´ es, el error es retro-propagado desde la salida hacia las capas ocultas de la DCNN para completar el ciclo de ajuste fino en el proceso de extracci´ on autom´ atica de caracter´ ısticas, con lo cual se logra ajustar las caracter´ ısticas para obtener una mejor precisi´ on acorde a la estimaci´ on de la clase de severidad concreta. Adicionalmente, de puede agregar una capa de regresi´ on compuesta por una operaci´ on de suma ponderada (neurona lineal) de las entradas para obtener una salida de tipo continua. Para este prop´ osito se puede mantener la capa de discretizaci´ on tras el regresor log´ ıstico o eliminarla totalmente. En el primer caso, la clase estimada es directamente ponderada por su equivalente en porcentaje de da˜ no. En el segundo caso, cada probabilidad de pertenencia a una clase es ponderada por su valor correspondiente de severidad en porcentaje y sumada con el resto de probabilidades ponderadas. 4.3.5. Evaluaci´on en l´ınea de la severidad del fallo Tras el ajuste de los modelos siguiendo los pasos descritos anteriormente, se pueden realizar pruebas en l´ ınea. Para ello, se ingresa una nueva se˜ nal de vibraci´ on adquirida desde la maquinaria en la arquitectura de caja negra sin cambios en los par´ ametros internos. El proceso puede generar dos salidas: una primera con una estimaci´ on de tipo categ´ orica de la severidad de da˜ no, y una segunda con una estimaci´ on del porcentaje de da˜ no presente en el elemento de la maquinaria evaluado. 4.4. Experimentaci´on Se han realizado tres grupos de pruebas, cada uno con un prop´ osito espec´ ıfico. El primer grupo permite comparar entre la DCNN con kernels inicializados de forma aleatoria y la DCNN propuesta con kernels inicializados usando SCAE, evaluando la ventaja de iniciar el proceso de entrenamiento desde una soluci´ on pre-optimizada. Posteriormente, el mejor DCNN con SCAE fue evaluado en cada nivel de severidad para analizar si la mayor´ ıa de los errores se producen entre clases adyacentes. El segundo grupo fue realizado con el prop´ osito de evaluar la incidencia de usar el regresor lineal con la capa de discretizaci´ on en el modelo del MLP. El objetivo fue medir si el conjunto de probabilidades dan informaci´ on en concordancia con el nivel de severidad continuo y si cada probabilidad es cercana al resto. El tercer grupo proporciona una comparaci´ on con otros m´ etodos, supervisados y no-supervisados, que han sido aplicados previamente a casos de diagn´ ostico de fallos similares. Los m´ etodos seleccionados usan t´ ecnicas cl´ asicas de extracci´ on de caracter´ ısticas sin el dise˜ no convencional de caracter´ ısticas para, de esta manera, poder obtener una comparaci´ on entre m´ etodos que buscan el mismo objetivo: la automatizaci´ on en el proceso de extracci´ on de caracter´ ısticas desde series de tiempo.