Control no lineal robusto de una maqueta de helicóptero con rotores de velocidad variable

CONTROL NO LINEAL ROBUSTO DE UNA MAQUETA DE HELIC ´ OPTERO CON ROTORES DE VELOCIDAD VARIABLE Manuel L´opez-Mart´ınez ∗Manuel G. Ortega ∗ Carlos Vivas ∗Francisco R. Rubio ∗ ∗Dept. Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´atica. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Camino de los Descubrimientos s/n. 41092-Sevilla. Correos: {mlm,mortega,cvivas,rubio}@esi.us.es Resumen: En este art´ıculo se presenta el dise˜no de un controlador robusto no lineal para un helic´optero de laboratorio. El equipo se caracteriza por tener los ´angulos de ataque de las h´elices de los rotores fijos y se controla mediante el cambio de velocidad de los rotores a trav´es de dos motores de accionamiento directo. El sistema resultante es multivariable (de 2 entradas y 4 salidas) altamente no lineal y fuertemente acoplado. La aplicaci´on presentada en este art´ıculo considera el dise˜no de un sistema de control robusto con rechazo de perturbaciones persistentes, basado en linealizaci´on por realimentaci´on y dos controladores con estructura PID dise˜nados a partir de un controlador LQR con efecto integral a˜nadido. La metodolog´ıa ha sido satisfactoriamente verificada por medio de resultados experimentales. Copyright c 2007 CEA-IFAC Palabras clave: Control robusto, linealizaci´on por realimentaci´on, modelado y control no lineal de helic´opteros. 1. INTRODUCCI´ ON Este art´ıculo presenta la s´ıntesis y aplicaci´on de un controlador no lineal para el seguimiento de trayectorias con rechazo de perturbaciones a una maqueta de helic´optero. En helic´opteros convencionales el control de orientaci´on y posici´on se consigue por medio de cambios apropiados de inclinaci´on de las h´elices de los rotores, lo cual se lleva a cabo con los actuadores c´ıclico y colectivo, mientras que se mantienen constantes las velocidades de los rotores. Este hecho, junto con no-linealidades y acoplamientos intr´ınsecos, hace a estos sistemas especialmente dif´ıciles de controlar, puesto que los pares y fuerzas necesarios no son directamente aplicados, sino que son transmitidos a trav´es de los efectos aerodin´amicos de las h´elices de los rotores. Sin embargo, estos sistemas han sido extensivamente investigados dando lugar a un n´umero de aplicaciones de control que abarca desde t´ecnicas lineales de control robusto (Walker y Postlethwaite, 1996; Postlethwaite et al., 1999) a otras m´as recientes no lineales como en (Kung et al., 2002; Avila et al., 2003). Por el contrario en maquetas de helic´optero de laboratorio, es usual trabajar con ´angulos de ataque de pala fijo y motores de velocidad variable, ya que el dise˜no mec´anico del mismosesimplifica y se reducen considerablemente los costes de fabricaci´on. El uso de maquetas o simuladores hardware presentan ventajas cuando se investiga en el campo del control de helic´opteros ya que, al tratarse de sistemas no lineales altamente acoplahttp://riai.isa.upv.es ISSN: 1697-7912. Vol. 4, Núm. 3, Julio 2007, pp. 46-60 Documento descargado de http://www.elsevier.es el 21/12/2015. Copia para uso personal, se prohíbe la transmisión de este documento por cualquier medio o formato. Figura 1. Maqueta de helic´optero. dos, el control es una tarea ardua. Por este motivo, el uso de simuladores aumenta la productividad y reduce el tiempo de desarrollo. Esto, a la vez, permite investigar y aportar en nuevas t´ecnicas de control para helic´opteros, al margen de los bien conocidos PID. Los controladores PID desacoplados ya han sido empleados con ´exito en helic´opteros aut´onomos a escala en aplicaciones reales, como por ejemplo (Montgomery, 1999; Mej´ıas et al., 2006; Aguirre, 2001). En cuanto al control de rotores de velocidad variable, esta t´ecnica se ha usado preferentemente en micro helic´opteros de un solo rotor, de 4 rotores, de un rotor y doble pala, etc, habi´endose contribuido con importantes trabajos (Bouadballah et al., 2004; Castillo et al., 2007; Altug et al., 2002; Deng et al., 2003). Estas plataformas requieren poco espacio para experimentaci´on y permiten reproducir condiciones parecidas a las de un helic´optero a escala. ´ Este es el caso del equipo empleado en este art´ıculo (figura 1), donde el control se lleva a cabo exclusivamente por medio de la tensi´on el´ectrica de los motores con ´angulo de ataque de pala fijos. Hay que resaltar que esta simplificaci´on mec´anica no necesariamente se traslada a una simplificaci´on de la din´amica del sistema a controlar. Por el contrario, los pares y fuerzas necesarios para controlar el sistema son aplicados no s´olo a trav´es de efectos aerodin´amicos, sino tambi´en a trav´es del efecto de acoplamiento que aparece entre la din´amica de los rotores y la del cuerpo de la maqueta, como consecuencia del principio de acci´on-reacci´on originado en la aceleraci´on y deceleraci´on de los grupos motor-h´elice. Estos efectos de acoplamiento tienen implicaciones importantes en el control de la din´amica del sistema. Se puede demostrar que tomando como salidas los ´angulos de gui˜nada y cabeceo, una linealizaci´on por realimentaci´on de la din´amica completa da lugar a una din´amica cero inestable (L´opez-Mart´ınez, 2005), por lo que no se puede emplear esta t´ecnica directamente. Este hecho, unido con las incertidumbres de modelado, especialmente en el rango de alta frecuencia, hace que el sistema sea incluso m´as dif´ıcil de controlar que un helic´optero convencional, al menos empleando t´ecnicas b´asicas de control. Una forma cl´asica de hacer frente a esta dificultad es hacer uso de algunas hip´otesis simplificadoras basadas en la existencia de varias escalas de tiempo como consecuencia de la diferencia de valores de momentosdeinerciaentreelcuerpodelamaqueta y los grupos motor-h´elice. De esta formase justifica el desacoplo de las din´amicas del cuerpo del sistema y de los grupos motor-h´elice, de tal manera que una linealizaci´on parcial del sistema pueda ser aplicada sin dar lugar a una din´amica cero inestable. Con estas hip´otesis, el sistema linealizado por realimentaci´on est´acompuesto por sistemas en cascada realimentados y se le pueden aplicar diversas t´ecnicas de control especialmente dise˜nadas para estos sistemas. En este art´ıculo se presenta un controlador dise˜nado para el seguimiento de trayectorias. El dise˜no del controlador se ha realizado empleando separaci´on de escalas de tiempo, linealizaci´on por realimentaci´on de la din´amica reducida, con lo que la din´amica del cuerpo queda desacoplada y linealizada, siendo equivalente a dos sistemas independientes doble integrador. Estas din´amicas reducidas ser´an controladas por dos controladores PID cuyos polos ser´an obtenidos empleando un dise˜no para regulaci´on mediante controladores LQR con efecto integral. El art´ıculo est´aestructuradodelasiguiente manera: en el apartado 2 se describe el sistema. En las secciones 3 y 4 se presentan las ecuaciones de movimiento completas y las caracter´ısticas est´aticas de los rotores. Seguidamente, en la secci´on 5 se realizan ciertas consideraciones sobre la simplificaci´on del modelo atendiendo a la existencia de varias escalas de tiempo. A continuaci´on, en el apartado 6 se explica la linealizaci´on por realimentaci´on llevada a cabo, as´ıcomoeldise˜no del controlador externo LQR con efecto integral. En la secci´on 7 se presentan distintos resultados experimentales. Finalmente, en la secci´on 8 se muestran las conclusiones m´as relevantes. M. López-Martínez, M. G. Ortega, C. Vivas, F. Rodríguez 47 Documento descargado de http://www.elsevier.es el 21/12/2015. Copia para uso personal, se prohíbe la transmisión de este documento por cualquier medio o formato. 2. DESCRIPCI´ ON DEL SISTEMA La maqueta de helic´optero empleada en este art´ıculo, se denomina Twin Rotor MIMO System yhasidofabricadaporlaempresa Feedback Instruments Ltd. Toda la informaci´on referente al hardware empleado, sensores, actuadores, tarjeta de adquisici´on, as´ıcomodelaimplementaci´on de los controladores en tiempo real bajo interfaz externa de Windows (Real Time Kernel Dynamic Linked Library), puede encontrase en los manuales del equipo (Feedback Instruments Ltd., 1996). La maqueta est´acompuesta de un cuerpo que giraatrav´es de dos ejes de rotaci´on libre (figura 1).Elsistemaest´a propulsado por dos h´elices situadas en planos perpendiculares (Mullhaupt et al., 1997), aunque existen otras maquetas de helic´optero con configuraci´on de h´elices en paralelo como la utilizada en (Garc´ıa-Sanz, 2006). Este dispositivo es un sistemamultivariable, no lineal y fuertemente acoplado, con grados de libertad en los ´angulos de cabeceo y gui˜nada (denotados por ξyθrespectivamente) medidos mediante encoders, as´ıcomo en las posiciones angulares de los rotores principal y de cola (denotados por γand αrespectivamente), donde se emplean tac´ometros para medir sus velocidades de giro. La figura 2 muestra esquem´aticamente la notaci´on usada en el art´ıculo. Los dos rotores tienen sus ´angulos de ataque de pala fijos. De esta forma, el sistema se controla variando las velocidades angulares de los rotores. De acuerdo con el principio de acci´on-reacci´on, esto da lugar a la generaci´on de un par resultante aplicado al cuerpo de la maqueta que lo hace girar en sentido contrario del giro del rotor principal. Por lo tanto, el sistema se ve afectado por dos tipos de fuerzas, las fuerzas dependientes de velocidad ylasfuerzas dependientes de aceleraci´on o fuerzas inerciales. Las ecuaciones de movimiento pueden ser obtenidas resolviendo la formulaci´on din´amica de Lagrange (Mullhaupt et al., 1997). Para una descripci´on m´as detallada del modelado y del procedimiento de identificaci´on se pueden consultar los anexos. Se ha de tener en cuenta que el sistemacompleto tiene cuatro grados de libertad: los ´angulos de gui˜ nada θy cabeceo ξ; y las velocidades del rotor principal ˙γydecola ˙α. Por tanto, al aplicar el m´etodo de Lagrange se obtienen cuatro ecuaciones de movimiento: dos actuadas, correspondientes a las ecuaciones de los grupos motorh´elice de cola y principal ; y dos no actuadas, correspondientes a los movimiento de gui˜nada y cabeceo del sistema(v´ease secci´on 3). Por tanto, este sistema es subactuado (Fantoni y Lozano, 2002), ya que el n´umero de acciones de control (tensiones de los motores) es menor que el n´umero de grados de libertad del sistema(´angulos del cuerpo de la maqueta y velocidades de los rotores). 3. ECUACIONES DE MOVIMIENTO Partiendo de la Lagrangiana, se pueden obtener las cuatro ecuaciones de movimiento siguiendo los procedimientos de mec´anica anal´ıtica (Danta, 1982; Goldstein, 1987): L=T−U (1) d dt ∂L ∂˙qj−∂L ∂qj =τj(2) τj= n  i=1 Fp i·∂rp i ∂qj= n  i=1 Fp i·∂Vp i ∂˙qj(3) donde L: Lagrangiana total del sistema. T:Energ´ıa cin´etica total del sistema. U:Energ´ıa potencial total del sistema. qj: Cada uno de los cuatro grados de libertad. τj: Cada uno de los pares generalizados. Fp i: Cada una de las fuerzas aplicadas en un punto. rp i: Posici´on del punto de aplicaci´on de la fuerza. Vp i: Velocidad del punto de aplicaci´on de la fuerza. 3.1 Obtenci´on de la Lagrangiana del Sistema La obtenci´on de la Lagrangiana del sistemase ha llevado a cabo descomponiendo el sistemaen cuatro cuerpos (v´ease figura 2): el brazo de giro, que denominaremos cuerpo 0; el esqueleto principal, que denominaremos cuerpo 2; el grupo motorh´elice grande, que denominaremos cuerpo 3 y el grupo motor-h´elice peque˜na, que denominaremos cuerpo 4. Hay que aclarar que en la notaci´on empleada, los ejes 1 est´an reservados para el sistema de referencia inercial. En primer lugar se han determinado los par´ametros f´ısicos de cada uno de los cuerpos: dimensiones, masa y tensores de inercia respecto de sus ejes principales. En segundo lugar, se han obtenido los vectores de posici´on y velocidades de los centros de gravedad de cada uno de los cuerpos, as´ıcomode sus velocidades angulares. Por ´ultimo para cada uno de los cuerpos se ha calculado su energ´ıa cin´etica y potencial gravitatoria a partir de las expresiones Tx=1 2Mx(Vp x1)2+1 2ωT x1·¯ Ip x·ωx1+MxPG T x·(Vp x1∧ωx1) Uo x=Mxghx(4) 48 Control No Lineal Robusto de una Maqueta de Helicóptero con Rotores de Velocidad Variable Documento descargado de http://www.elsevier.es el 21/12/2015. Copia para uso personal, se prohíbe la transmisión de este documento por cualquier medio o formato. Z0 Z2 Z3 Z4 P A O Q Y4 X4X1 Y1 Y0 X0 X2 Y2 X3 Y3 αξ θ γ Figura 2. Notaci´on de ´angulos del sistema. Tabla 1. Valores de los par´ametros del sistema T´ermino valor unidades Iθ(ξ)−7,1·10−4sin(2ξ)+1,1·10−2+5,6·10−2cos2(ξ)kg·m2 Iθξ(ξ)=Iξθ(ξ)1,6·10−3cos(ξ)+2,7·10−5sin(ξ)kg·m2 Iξ6,7·10−2kg·m2 Im1,6·10−5kg·m2 It6,3·10−5kg·m2 Cθξ(ξ)−1,6·10−3sin(ξ)+2,6·10−5cos(ξ)kg·m2 Cξθ(ξ)−7,1·10−4+2,8·10−2sin(2ξ)+1,4·10−2cos2(ξ)kg·m2 A1(ξ)−2,8·10−3cos2(ξ)+1,4·10−3−5,6·10−2sin(2ξ)kg·m2 d11(ξ)2,3·10−5sin(2ξ)kg·m2 d22(ξ)2,6·10−4sin(ξ)kg·m2 d13(ξ)−6,9·10−5sin(ξ)kg·m2 G(ξ)1,9·10−1cos(ξ)+2,8·10−1sin(ξ)N·m Kθ=Kξ3·10−3kg·m2/s Dm(˙γ)2,5·10−4|˙γ|˙γN·m Lm(˙γ)2,5·10−1Fm(˙γ)N·m Fm(˙γ)av|˙γ|˙γ+v˙γ, av=2,9·10−4, vavN Bm(˙γ)6,8·10−4˙γN·m Dt(˙α)3,9·10−5|˙α|˙αN·m Lt(ξ, ˙α, ˙γ)−1·10−2sin(ξ)+2,7·10−1cos(ξ)Ft(˙α)−5,5·10−2sin(ξ)Fm(˙γ)N·m Ft(˙α)ah|˙α|˙α+h˙α, ah=3,3·10−5, hahN Bt(˙α)4,5·10−3˙αN·m donde x: Cuerpo a analizar, x=0,2,3,4. Mx: Masa del cuerpo x. Vp x1: Velocidad lineal del punto p del cuerpo x respecto de los ejes inerciales 1 (v´ease figura 2). ωx1: Velocidad angular del cuerpo xrespecto de los ejes inerciales 1. ¯ Ip x: Tensor de Inercia del cuerpo xrespecto del punto p. PG x: Vector de posici´on del centro de gravedad Gdel cuerpo xrespecto del punto p. g: Aceleraci´on de la gravedad (9,8m/s2). hx: Altura del centro de gravedad del cuerpo x. Finalmente, se ha obtenido la Lagrangiana total del sistemasumando las Lagrangianas de cada uno de los cuatro cuerpos (v´ease anexo B), calculandolaenerg´ıa cin´etica y potencial de cada cuerpo, teniendo en cuenta sus masas y dimensiones, y por tanto sus momentos de inercia respecto de los ejes de giro implicados en los movimientos de los distintos cuerpos. En los anexos se adjunta una descripci´on de cada uno de los cuerpos, as´ıcomo los valores de los par´ametros f´ısicos. 3.2 Ecuaciones de movimiento Aplicando las ecuaciones (1), (2) y (3) resulta: It¨α+¨ ξ=Ut−(Bt˙α+Dt(˙α)) (5) Im¨γ+¨ θcos(ξ)=Im˙ θ˙ ξsin(ξ)+Um−(Bm˙γ+Dm(˙γ)) (6) donde (5) y (6) son las ecuaciones de movimiento correspondientes a los grados de libertad de las h´elices de cola y principal respectivamente, siendo ´estas las variables actuadas. Del mismomodo, (7) y (8) son las ecuaciones de movimiento correspondientesalosgradosdelibertaddegui˜nada y cabeceo respectivamente, siendo ´estas las variables subactuadas. Iθ(ξ)¨ θ+Iθξ(ξ)¨ ξ+Imcos(ξ)¨γ+Cθξ(ξ)˙ ξ2+A1(ξ)˙ ξ˙ θ+ +d11(ξ)˙α˙ θ+d13(ξ)˙γ˙ ξ+Kθ˙ θ=−Dm(˙γ)cos(ξ)+Lt(ξ, ˙α, ˙γ) (7) Iξθ(ξ)¨ θ+Iξ¨ ξ+It¨α+Cξθ(ξ)˙ θ2+d22(ξ)˙γ˙ θ+G(ξ)+Kξ˙ ξ= =−Dt(˙α)+Lm(˙γ)(8) M. López-Martínez, M. G. Ortega, C. Vivas, F. Rodríguez 49 Documento descargado de http://www.elsevier.es el 21/12/2015. Copia para uso personal, se prohíbe la transmisión de este documento por cualquier medio o formato. La notaci´on empleada es la siguiente: θ:´ Angulo de gui˜nada (rad). ξ:´ Angulo de cabeceo (rad). ˙α: Velocidad angular del rotor de cola (rad/s). ˙γ: Velocidad angular del rotor principal (rad/s). Iξ,Iθξ(ξ)yIθ(ξ):Momentos de inercia del cuerpo de la maqueta. ImyIt:Momentos de inercia del rotor principal ydecola, respectivamente. Cθξ(ξ), Cξθ(ξ):T´erminos Centr´ıfugos. A1(ξ)ydij (ξ):T´erminos de Coriolis. KθyKξ:T´erminos de fricci´on viscosa del cuerpo. G(ξ): Par de gravedad. Dm(˙γ)yDt(˙α): Par de arrastre de la h´elice principal ydecola, respectivamente. Lm(˙γ)yLt(ξ, ˙α, ˙γ): Pares aerodin´amicos generados por las h´elices principal ydecola, respectivamente y que dependen de las fuerzas de propulsi´on del rotor principal Fm(˙γ)ydelrotorde cola Ft(˙α). BmyBt:T´erminos de fricci´on viscosa de los grupos motor-h´elice principal ydecola, respectivamente. UmyUt:Parmotor de los grupos motor-h´elice principal ydecola, respectivamente. De este modelo se puede observar, con s´olo analizar la ecuaci´on (5), que el par motor aplicado al motor de cola Utse invierte en la aceleraci´on de la h´elice de cola y la aceleraci´on de cabeceo. Esto dar´alugaraquecambios programados de la velocidad del rotor de cola mediante este par, afectar´an directamente al ´angulo de cabeceo. Del mismomodo, analizando la ecuaci´on (6), se puede observar que cambios programados de la velocidad del rotor principal mediante el par Um, afectar´an al ´angulo de gui˜nada. En la tabla 1 se presentan los valores de los diferentes par´ametros, los cuales han sido identificados mediante diversos experimentos y t´ecnicas de dise˜no asistido por computador (CAD) (v´eanse anexos para m´as informaci´on). 4. CARACTER´ ISTICAS EST´ ATICAS DE LOS ROTORES A continuaci´on se presentan las gr´aficas correspondientesalascaracter´ısticas est´aticas de los rotores. De estas gr´aficas se han obtenido Fm (Lm), Dm,Bm,Ft(Lt), DtyBtdel modelo. Caracter´ıstica velocidad-propulsi´on N´otese que las caracter´ısticas de propulsi´on pueden ser identificadas mediante modelos cuadr´aticos en velocidad obteni´endose un error cuadr´atico medio aceptable. Sin embargo, en la literatura es bastante frecuente encontrar modelos lineales de propulsi´on, los cuales representan ´unicamente una aproximaci´on local de las fuerzas de propulsi´on en torno a un punto de operaci´on. En este art´ıculo se han identificado modelos de propulsi´on cuadr´atico-lineales (a|ω|ω+εω), ya que capturan el comportamiento est´atico de los rotores tanto con altas velocidades como con velocidades muy pr´oximas a cero, siendo linealizables en el origen. Las figuras 3 y 4 representan las caracter´ısticas est´aticas de los rotores principal y de cola respectivamente. En ellas se muestra comocambian las fuerzas de propulsi´on conformelavelocidadde los rotores aumenta. Para obtener dichas caracter´ısticas se realizaron dos tipos de experimentos: el primero de ellos, midiendo las velocidades de los rotores con tac´ometros y estimando las fuerzas de propulsi´on con las ecuaciones de movimiento (7) y (8) en r´egimen permanente; y el segundo, midiendo las fuerzas de propulsi´on con dinam´ometros. Caracter´ıstica velocidad-par motor Las figuras 5 y 6 representan las caracter´ısticas de velocidad y se˜nal de entrada de los motores. De estas caracter´ısticas se obtendr´an tanto los modelos de fricci´on viscosa de los motores (bω), como los modelos de arrastre de las h´elices cuadr´aticos (a|ω|ω) y lineales (˜aω). Para obtener dichos par´ametros se han empleado las ecuaciones de movimiento de los rotores (5) y (6) en r´egimen permanente. 5. SIMPLIFICACI´ ON DEL MODELO En la clase de sistemas que nos ocupa, es usual considerar, comohip´otesis de simplificaci´on, que los momentos de inercia de los grupos motor-h´elice son despreciables con respecto a los momentos de inercia del cuerpo de la maqueta. Es decir, Im,I tIξ,I θ,I θξ Teniendo en cuenta esto, la din´amica del sistema puede ser separada en dos escalas de tiempo (Reinier et al., 1996; Khalil, 2002), diferenci´andose dos din´amicas: Din´amica r´apida, que hace referencia a la din´amica de los actuadores, es decir, de los grupos motor-h´elice. Din´amica lenta (Sistema reducido), que hace referencia a la din´amica del cuerpo de la maqueta, concretamente a las din´amicas de gui˜nada y cabeceo. Control No Lineal Robusto de una Maqueta de Helicóptero con Rotores de Velocidad Variable 50 Documento descargado de http://www.elsevier.es el 21/12/2015. Copia para uso personal, se prohíbe la transmisión de este documento por cualquier medio o formato. Figura 3. Caracter´ıstica velocidad rotor principal - fuerza de propulsi´on. 0 20 40 60 80 100 120 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Característica velocidad rotor de cola−Fuerza Velocidad del rotor(rad/s) Fuerza de la hélice(Newtons) experimental cuadratica cuadratica−linea l Fh = a·w p 2 a = 3.2985e−005 Fh = a·wp 2+ε·wp ε=1e−7 Figura 4. Caracter´ıstica velocidad rotor de cola - fuerza de propulsi´on. Adem´as, asumiendo que el controlador del grupo motor-h´elice, que se utiliza para regular las velocidades de los motores, es de alta ganancia, se puede entonces considerar que los motores aceleran suavemente, de tal manera que las fuerzas dominante en la din´amica son las debidas a efectos aerodin´amicos en vez de a fuerzas inerciales. Bajo estas hip´otesis, la aceleraci´on de los rotores puede despreciarse en la caracterizaci´on de la din´amica lenta, y consecuentemente las ecuaciones del movimiento del sistema reducido, obtenidas de las ecuaciones (7) y (8), pueden ser aproximadas por la siguiente expresi´on matricial: Iθ(ξ)Iθξ(ξ) Iθξ(ξ)Iξ¨ θ ¨ ξ+A1(ξ)˙ ξ˙ θ+Cθξ(ξ)˙ ξ2 Cξθ(ξ)˙ θ2+ 0 G(ξ)+Kθ˙ θ Kξ˙ ξ+d11(ξ)˙α˙ θ+d13(ξ)˙γ˙ ξ d22(ξ)˙γ˙ θ=ζθ ζξ (9) Figura 5. Caracter´ıstica velocidad rotor principal -parmotor. Figura 6. Caracter´ıstica velocidad rotor de cola - par motor. donde los t´erminos ζθyζξ, representan los pares de propulsi´on resultantes aplicados sobre los ejes de movimiento Z0yX2respectivamente (v´ease figura 2), y que se han definido como: ζθ. =−Dm(˙γ) cos(ξ)+Lt(ξ, ˙α, ˙γ) ζξ. =−Dt(˙α)+Lm(˙γ) De este modo el par de propulsi´on resultante de cabeceo ζξdepende tanto del par de propulsi´on de la h´elice principal, como del par de arrastre de la h´elice de cola. An´alogamente, el par de propulsi´on resultante de gui˜nada ζθdepende tanto del par de propulsi´on de la h´elice de cola, comodelparde arrastre de la h´elice principal. Por otro lado, puede observarse que el t´ermino d11 ˙α˙ θ+d13 ˙γ˙ ξd 22 ˙γ˙ θTpuede ser interpretado comounaumento de fricci´on viscosa debido al movimiento de los rotores Kθ˙ θK ξ˙ ξT. M. López-Martínez, M. G. Ortega, C. Vivas, F. Rodríguez 51 Documento descargado de http://www.elsevier.es el 21/12/2015. Copia para uso personal, se prohíbe la transmisión de este documento por cualquier medio o formato. LINEALIZACIÓN POR REALIMENTACIÓN ACONDICIONAMIENTO ------------------------------ PAR DESEADO EN EJES ------------------------------ VELOCIDADES DESEADAS EN ROTORES CONTROL DE VELOCIDAD DE ROTORES SISTEMA DE DOBLE ROTOR Velocidad de los rotores Posición y Velocidad de guiñada y cabeceo Velocidad de los rotores Posición y Velocidad de guiñada y cabeceo P I D (LQR-INT) + - Referencia Posición y Velocidad guiñada y cabeceo Referencia Aceleración guiñada y cabeceo + ++ - Figura 7. Esquema general de control. 6. LINEALIZACI´ ON POR REALIMENTACI´ ON En la figura 7 se muestra un esquema general de la estructura de control real implementada. En ella se observan tres realimentaciones principales: la primera de ellas, correspondiente a la realimentaci´on de las velocidades de los rotores, la cual se emplea para un control en cascada de los mismos; la segunda de ellas, incluyendo adem´as las posiciones y velocidades de gui˜nada y cabeceo, se usa para una linealizaci´on por realimentaci´on; y la tercera de ellas, para el controlador exterior. Para el dise˜no del controlador externo, se ha empleado el modelo no lineal del sistema reducido (9), se ha realizado una linealizaci´on por realimentaci´on entrada-salida (v´ease figura 8), obteni´endose que las sumas de los grados relativos del sistema es igual a la dimensi´on del mismo (din´amica cero trivial (Isidori, 1999)). De esta forma se consigue a la vez un desacoplamiento de las entradas y salidas, as´ıcomo una linealizaci´on del sistema convirti´endolo en dos dobles integradores desacoplados. Esto se puede ver si se reescriben las ecuaciones del sistema reducido (9) definiendo q=[q1,q 2]T=[θ, ξ]T∈R2,y M(q)=Iθ(ξ)Iθξ(ξ) Iθξ(ξ)Iξ, C(q, ˙q)˙q=A1˙ ξ˙ θ+Cθξ ˙ ξ2,C ξθ ˙ θ2T, F(˙q)=d11ωt˙ θ+d13ωm˙ ξ+Kθ˙ θ,d22ωm˙ θ+Kξ˙ ξT, G(q)=[0,G]T, N(q, ˙q)=C(q, ˙q)˙q+F(˙q)+G(q), siendo la expresi´on resultante M(q)¨q+N(q, ˙q)=τ(10) donde τ=[ζθ,ζ ξ]Tson los pares generalizados aplicados sobre las articulaciones (las se˜nales de entrada del sistema). Adem´as, se ha considerado para el desarrollo, que los estados qy˙qson accesibles. Usando qr,˙qry¨qrpara denotar la posici´on articular de referencia, la velocidad y la aceleraci´on, respectivamente, se puede definir el vector de error de seguimiento, x,como x(t)=˙e(t)e(t)$e(t)dt T donde e=qr−q. Aplicando el m´etodo de linealizaci´on por realimentaci´on al sistema (10), se obtiene la siguiente estructura de control τ=M(q)ν+N(q, ˙q) (11) De esta forma¨q=ν=M−1(τ−N), siendo τla ley de control linealizante (par calculado (Spong y Vidyasagar, 1989)), y νla ley de control externa, la cual ser´adise˜nada para hacer que la evoluci´on temporal del estado sea exponencial, es decir, la din´amica venga gobernada por la siguiente ecuaci´on diferencial ˙x+kx = 0, donde kes un vector constante de dise˜no. Para ello, se tomar´a ν=¨qr+¯ν ¯ν=kv˙e+kpe+ki%t 0 edt. As´ı, la ecuaci´on del error resultante viene dada por ¨e+kv˙e+kpe+ki%t 0 edt =0. En general, aparecer´a un par adicional de perturbaci´on ω(t, x) sobre el par calculado, debido a los efectos totales de errores de modelado y a las perturbaciones externas. Por ello la ecuaci´on del error se ve afectada, pudi´endose expresar este efecto como ¨e+kv˙e+kpe+ki%t 0 edt =ω(t, x).(12) Si la funci´on de perturbaci´on ω(t, x) se pudiera acotar comoω(t, x)≤γx, es decir, se desvaneciera conforme se fuera acercando al origen Control No Lineal Robusto de una Maqueta de Helicóptero con Rotores de Velocidad Variable 52 Documento descargado de http://www.elsevier.es el 21/12/2015. Copia para uso personal, se prohíbe la transmisión de este documento por cualquier medio o formato. Posición y Velocidad de guiñada y cabeceo P I D (LQR-INT) + - Referencia Posición y Velocidad guiñada y cabeceo LINEALIZACIÓN POR REALIMENTACIÓN ACONDICIONAMIENTO ------------------------------ PAR DESEADO EN EJES ------------------------------ VELOCIDADES DESEADAS EN ROTORES MODELO REDUCIDO DE DOBLE ROTOR Posición y Velocidad de guiñada y cabeceo Velocidades de los rotores DOBLE INTEGRADOR MULTIVARIABLE Referencia Aceleración guiñada y cabeceo + + υυ − Figura 8. Esquema de control con linealizaci´on por realimentaci´on. x=0, entonces, en virtud de que el equilibrio del sistema sin perturbar es globalmente exponencialmente estable, el equilibrio del sistema perturbado ser´ıa tambi´en globalmente exponencialmente estable (Khalil, 2002). En el caso de que la funci´on de perturbaci´on no se desvanezca en el origen, s´olo se puede asegurar que el sistema evoluciona de forma exponencial hastaciertoinstantedetiempo, a partir del cual las trayectorias de x(t)est´an acotadas en una bola pr´oxima al equilibrio (Khalil, 2002). Para el caso de una perturbaci´on mantenida y constante ω(t, x)=ω, se puede deducir de la ecuaci´on del error (12), que en r´egimen permanente ser´aelt´ermino integral el que absorba la perturbaci´on, por lo que el error en posici´on en r´egimen permanente ser´anulo. 6.1 C´alculo del controlador externo Posición de guiñada y cabeceo + - Referencia Posición de guiñada y cabeceo 2 1 s i pv k kks s ++ e _ υ Figura 9. Esquema del controlador externo. El dise˜no del controlador externo ¯ν=kv˙e+kpe+ki%t 0 edt, que tiene estructura de PID lineal (v´ease figura 9), se realizar´adise˜nando un controlador LQR para un sistema de segundo orden m´as un integrador adicional (v´ease figura 10). Es decir, el t´ermino integral del PID se ha considerado comoparte de un nuevo sistema a controlar. De esta forma, se dise˜nar´a un controlador LQR para un triple integrador, dando lugar a tres constantes ki,kp, kv,queser´an las que fijen los polos en bucle cerrado del sistema, los cuales se obtienen de resolver el polinomio caracter´ıstico s3+kvs2+ kps+ki=0. + - 01 s 1 s 1 s [, ,] vpi kkk Error en velocidad Error en posición Integral del error en posición Figura 10. Esquema de controlador con estado accesible. El sistema lineal de la figura 10 viene caracterizado en el espacio de estados por las matrices A=⎡ ⎣ 000 100 010 ⎤ ⎦,B=⎡ ⎣ 1 0 0⎤ ⎦.(13) Para la implementaci´on pr´actica del control por computador, se ha realizado el dise˜no del controlador LQR en tiempo discreto, empleando un tiempo de muestreo de Ts=0,01 segundos. Para el ajuste del controlador se han tomado como matrices de ponderaci´on, Qpara penalizar el estado x,yRpara penalizar la se˜nal de control ¯ν (Rubio y L´opez, 1996). De esta forma se han fijado Q=CC,conC=[0,1,1], R=0,1parael control de cabeceo, y R= 10 para el control de gui˜nada. 6.2 Control en cascada Una vez que se ha calculado el par a aplicar a cada uno de los ejes, se obtienen las velocidades M. López-Martínez, M. G. Ortega, C. Vivas, F. Rodríguez 53 Documento descargado de http://www.elsevier.es el 21/12/2015. Copia para uso personal, se prohíbe la transmisión de este documento por cualquier medio o formato. de referencia para cada uno de los grupos motorh´elice. Para mejorar el comportamiento del sistemacompleto se ha introducido un control en cascada en los motores, de tal manera que no exista error en r´egimen permanente entre las velocidades deseadas y las velocidades reales, y que el tiempo caracter´ıstico de los grupos motor-h´elice controlados, sean despreciables con respecto a los tiempos caracter´ısticos de evoluci´on del cuerpo de la maqueta del helic´optero. Para ganancias suficientemente grandes de estos controladores y teniendo en cuenta que, por a˜nadidura, los momentos de inercia de los grupos motor-h´elice son muy peque˜nos con respecto a los del cuerpo, se consigue el objetivo deseado. Un an´alisis de estabilidad realizado por medio de la teor´ıa de sistemas singularmente perturbados muestra que para valores suficientemente grandes de las ganancias del controlador, los distintos puntos de equilibrio del espacio de trabajo del sistemacompleto, considerando toda la din´amica, son localmente exponencialmente estables (L´opezMart´ınez, 2005). 7. RESULTADOS EXPERIMENTALES En este apartado se van a presentar dos experimentos en los que se va a poner a prueba la capacidad del controlador para el rechazo de perturbaciones. Se han programado referencias que cambian de formanosimult´anea en gui˜nada y cabeceo para comprobar el desacoplamiento conseguido. Las referencias empleadas son polinomios de quinto orden, las cuales tienen la ventaja de tener bien definidas sus dos primeras derivadas respecto al tiempo, es decir, las velocidades y aceleraciones de referencia, para poder ser empleadas en la estructura de control. Un sistemadeestetipoest´asometido constantemente a perturbaciones provocadas por las turbulencias del aire generadas por el efecto suelo. Para examinar desde un punto de vista m´as objetivo la capacidad de rechazo a perturbaciones del mismo, se ha propuesto el siguiente experimento: Se ha introducido un par de perturbaci´on en el eje de gui˜nada, el cual se puede modelar comounparde torsi´on, es decir, un par proporcional al ´angulo de gui˜nada girado, τd=−kTθ. Para introducir dicho par se ha empleado un cable plano para unir las partes m´oviles que giran en gui˜nada. Al producirse el giro en gui˜nada, el cable plano se comporta comounp´endulo de torsi´on, oponi´endose al giro. En la figura 11 se muestra la respuesta del sistema controlado mediante el controlador propuesto (LR-PID-LQRi: Linealizaci´on por Realimentaci´on, con PID externo calculado mediante un LQR con efecto Integral), bajo la influencia de dicho par de torsi´on. La influencia de este par se observa directamente en el ´angulo de gui˜nada, e indirectamente debido al acoplamiento en el ´angulo de cabeceo. Este efecto se aprecia tanto en los primeros instantes (segundos 10 al 20), comoen el cambio de trayectoria entre los segundos 30 al 35. Se puede observar como el controlador corrige el efecto de la perturbaci´on llevando el ´angulo de gui˜nada sobre la trayectoria. Otro de los comportamientos caracter´ısticos de este sistemaeselde fase no m´ınima, observable entre los segundos 5 al 10, y que se puede explicar a partir de las ecuaciones completas del sistema (5)-(6)-(7)-(8). Cuando las velocidades de los rotores son peque˜nas, las fuerzas de propulsi´on son tambi´en peque˜nas, siendo dominantes las fuerzas de inercia. De esta forma, cuando se aumenta el par motor del rotor principal, se produce un efecto m´as r´apido en el ´angulo de gui˜nada como consecuencia del acoplamiento inercial, que en el ´angulo de cabeceo como consecuencia de la fuerza de propulsi´on del propio rotor. El mismofen´omeno ocurre en el rotor de cola. Se ha llevado a cabo tambi´en un segundo experimento, en el que se ha introducido el modelado de la perturbaci´on dentro del modelo del sistema. Para medir el par´ametro kTse ha empleado un dinam´ometro, situado en el centro del rotor, registrando los valores de los pares de torsi´on resultantes para diversos ´angulos de gui˜nada, obteni´endose un valor medio aproximado de kT=0,008 Nm/rad. De esta formaycomomuestra la figura 12, la perturbaci´on ha sido compensada parcialmente tanto entre los segundos 10 al 20, comoentre los segundos 30 al 35. Sin embargo tambi´en hay que decir que la respuesta por el cambio de trayectoria en el ´angulo de cabeceo, ha tardado un poco m´as en ser compensada por el controlador externo ¯ν,comparada con la de la figura 11. En ambas figuras, se puede observar tambi´en comolas velocidades de los motores saturan en pendiente para los instantes 50 al 55. Ambos experimentos han sido dise˜nados para llevar al equipo al m´aximo de sus posibilidades, es decir, se ha recorrido pr´acticamente todo el espacio de trabajo y se han alcanzado los valores m´aximos de velocidad y aceleraci´on de motores, produci´endose la saturaci´on de los mismos. En estos l´ımites tanto las caracter´ısticas de los motores, como los diferentes pares que entran en juego (gravedad, Coriolis y centr´ıfugos), est´an muy lejos de ser lineales, por lo que el empleo de controladores lineales tipo PID, linealizando en torno a un punto de trabajo, s´olo est´a justificado para controlar el sistemaenunrangopeque˜no del espacio de trabajo, y no para todo el espacio de trabajo, teni´endose que optar por ajustes muy conservadores en los Control No Lineal Robusto de una Maqueta de Helicóptero con Rotores de Velocidad Variable 54 Documento descargado de http://www.elsevier.es el 21/12/2015. Copia para uso personal, se prohíbe la transmisión de este documento por cualquier medio o formato.