El problema de los puntos para jugadores con desigual destreza: la solución de Montmort (1713)

13 CAPÍTULO 2 El problema de los puntos para jugadores con desigual destreza: la solución de Montmort (1713) JESÚS BASULTO SANTOS JOSÉ ANTONIO CAMÚÑEZ RUIZ FRANCISCO JAVIER ORTEGA IRIZO Mª DOLORES PÉREZ HIDALGO Universidad de Sevilla Introducción Pierre Rémond de Montmort nació en París en 1678 y falleció en esta misma ciudad, de viruela, en 1719. En su formación tuvo una fuerte influencia su guía y amigo Malebranche, con el que estudió religión, filosofía y matemáticas. Su aportación al campo del cálculo de probabilidades fue su libro Essay d’analyse sur les jeux de hazard, publicado en 1708. Se trata de un texto sobre juegos de azar propiamente dicho en el que se abordan diversos problemas, todos ellos inmersos en los juegos “reales” que se practicaban en su época. Así, nos encontramos con juegos como el Pharaon, la Bassete, el Lansquenet, el Treize, en los que, según él mismo escribe, “he determinado cuál es la ventaja o desventaja de los jugadores en todas las circunstancias posibles de estos juegos”, o juegos como el Hombre, el Piquet, el Imperial, el Brelan, el Quinquenove, el Juego de los tres dados, el Juego del hazard (dice que éste, no practicado 14 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III) en Francia, era muy conocido en Inglaterra), el Her, la Tontine, el que él mismo llama el Juego de la Esperanza, el Trictrac, o el que juegan los “Salvajes” del Canadá. En todos estos introduce y resuelve diversos problemas, mostrando claramente que el texto es de una diversidad inusual hasta el momento. Sólo el precedente libro de Cardano se le parece un poco, pero el que nos ocupa es mucho más extenso y, desde luego, nada personal, en el sentido de que Montmort no incluye reflexiones particulares sobre la moral del juego o sobre sus propias experiencias como jugador, como sí lo hiciera Cardano. La primera edición contiene 189 páginas además de un prefacio de 24 páginas. En 1713 aparece una segunda edición, revisada y aumentada, con 414 páginas y con un prefacio e introducción de 42 páginas. El incremento de páginas en ésta se debe, principalmente, a la introducción de un tratado sobre combinaciones y de una serie de cartas que intercambiaron el autor y Nicholas Bernoulli, además de una carta de Jean Bernoulli. Esta segunda edición destaca por su cuidada presentación, con grabados maravillosos en las cabeceras de los capítulos y, también, porque el nombre del autor no aparece en la página inicial que incluye el título, lugar, editor y fecha. Portada de la 2ª edición del libro de Montmort EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA: LA SOLUCIÓN... 15 Una de las secciones del texto está dedicada al ya clásico Problema de los Puntos. Lo hace en primer lugar para jugadores con igual destreza (la probabilidad de cada jugador de ganar cada partida es la misma) y luego (y esta es la importante novedad de Montmort) lo extiende al caso de jugadores con desigual probabilidad de ganar en cada partida (con desigual destreza). Nos proponemos como objetivo de este trabajo, analizar los párrafos que este autor dedica a este asunto en su completo libro sobre juegos de azar. Solución para jugadores con igual destreza En la edición de 1708, el autor aborda esta solución. En primer lugar, se dedica a comentar las soluciones de sus antecesores, Pascal y Fermat. Llama método analítico al empleado por Pascal, método que considera “el más natural y el más fácil”, aunque “tiene el defecto de ser excesivamente largo”, dado que para resolver un caso algo complejo hay que recorrer previamente todos los casos más simples. En cambio, el método de Fermat lo considera “más sabio” y “exige mayor destreza”. Afirma que este método resuelve el problema de una forma muy general. Para entender las dificultades de compresión de este último método, Montmort incorpora la carta completa que Pascal envió a Fermat el 24 de agosto de 1654, carta que él encontró en las obras póstumas de Fermat publicadas en Toulouse. En esta carta, Pascal reconoce la valía del método de Fermat para dos jugadores y, tras varias consideraciones o dudas, acaba aplicando el método de forma correcta para el caso de tres jugadores. Tras la carta, Montmort escribe: El respeto que tenemos por la reputación y por la memoria del Sr. Pascal, no nos permite hacer notar aquí con detalle todos los fallos de razonamiento que hay en esta carta; nos bastará advertir que la causa de su error está en no tener en consideración las diversas ordenaciones de las letras. Estas palabras de Montmort parecen insinuar que la carta de Pascal contenía una larga lista de errores cuando, realmente, la única inexactitud que hemos encontrado es la que él mismo cita en el párrafo de arriba, inexactitud que después fue corregida por el mismo Pascal tras la carta respuesta de Fermat. A continuación, Montmort comienza una sección bajo el epígrafe de Problemas, y en el punto 188 (como Nota I) resuelve a la manera de Fermat el Problema de los Puntos para tres jugadores en la situación (1, 2, 3), estableciendo la regla general del número máximo de partidas en las que el juego concluiría, (1 2 3) (3 1) 4, + +−−= e incorpora una tabla similar a la que proporciona Pascal, en la mencionada carta, de los posibles resultados en el caso de que se jugasen todas esas partidas. Esta tabla le sirve para contar los casos que son favorables a cada jugador y, así, resolver el problema. La misma nos recuerda una Distribución Multinomial en la que 4=n y hay tres categorías con igual probabilidad, aunque la identificación exacta con este modelo podría resultar un poco forzada. Es curioso el hecho de que Pascal, en la carta del 24 de agosto de 1654, hace uso de un hipotético dado de dos caras para justificar el método de Fermat para dos jugadores mientras que Montmort, en este texto, usa un dado de tres caras para justificar la solución de Fermat para tres jugadores. 16 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III) Este punto termina con un intento satisfactorio de reducción del método. En lugar de analizar los resultados de las 4 partidas, propone hacer lo mismo, pero sólo con las 3 primeras de esas 4, dado que la cuarta, o sea, la última partida, ha de ser para el jugador que gane el juego. La idea de la distribución Binomial Negativa subyace en esta forma de resolución. En una segunda Nota, Montmort comenta el problema para el caso de más de dos jugadores pero sin entrar en un análisis exhaustivo. De alguna forma, se contradice al criticar el método de Fermat en esta situación: Cuando hay varios jugadores a los que les faltan varios puntos, el método que procede por las combinaciones y los cambios de orden es bastante largo, y cae también en tanto detalle como aquél que procede por el análisis, pues al poder ser favorable a diferentes jugadores un mismo lanzamiento de dados, parece que no se puede dejar de considerar lo que proporciona cada lanzamiento diferente de dados en particular, y este examen no puede ser nada más que muy largo y muy molesto;…Ahora bien, esta nota termina reforzando su opinión inicial para el caso de dos jugadores: Pero el método del Sr. Fermat, además de las diversas ventajas que tiene sobre el del Sr. Pascal, tiene la de resolver de una manera rápida y simple el problema en cuestión, cuando sólo se trata de dos jugadores. Y, entonces, presenta una solución general del problema para jugadores con igual destreza: Sea p el número de puntos que le faltan a Pedro, q el número de puntos que le faltan a Pablo. Se pide una fórmula que exprese la suerte de los jugadores. Solución: Sea 1,+−= p qm la suerte de Pedro será expresada por una fracción donde el denominador será 2 elevado al exponente m, y cuyo numerador estará compuesto por tantos términos de esta serie 112123 112 123 1234 ⋅− ⋅−⋅− ⋅−⋅−⋅− ++ + + + ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ mm mm m mm m m m & así, como q exprese de unidades. La suerte de Pablo será el complemento de la unidad. En el Tratado del Triángulo Aritmético de Pascal encontramos dos métodos equivalentes aportados por este último para la resolución del problema. Pues bien, el segundo de ellos, explicado bajo el epígrafe Método para hacer el reparto entre dos jugadores que juegan a varias partidas por medio del Triangulo Aritmético, ofrece la solución que a continuación exponemos usando un lenguaje más actualizado que el que Pascal presentó en su tratado: Si el juego es ( , ), p q con 0>p y 0,>q es decir, al primer jugador le faltan p partidas y al otro q partidas, la solución es: 1. Se toma la base 1=+− rpq del Triángulo Aritmético. 2. Se suman los valores de las q primeras celdas situadas en la base r. Es decir, calculamos 1 0 (, 1), − = − + ∑ q i fir i siendo ( , ) ⋅ ⋅f el valor de la correspondiente celda del Triángulo Aritmético. EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA: LA SOLUCIÓN... 17 3. La probabilidad de que el juego lo gane el primer jugador es 1 0 (, 1) , 2 − = − + ∑ q i r fir i donde el denominador, 2, r es, como demuestra Pascal, el valor de la suma de todas las celdas situadas en esa base r. Comparando ambas soluciones, la de Montmort y Pascal, teniendo en cuenta lo que representa el valor de cada celda en el Triángulo Aritmético, observamos que son idénticas, razón por la cual Todhunter (1865) escribe: En la primera edición de Montmort, él se limita al caso de igual destreza y sólo da la primera fórmula1 por lo que, realmente, no ha avanzado más que Pascal, aunque la fórmula sea más adecuada que el uso del Triángulo Aritmético. Añadimos nosotros y lo detallaremos en el siguiente apartado que, en el proceso de resolución está latente una modelización de la situación mediante la distribución Binomial con parámetros: =r“número de partidas que se jugarían como máximo” y con probabilidad de éxito en cada partida igual a 1 2 ⋅ Con esto termina lo que Montmort incluyó en la primera edición de su tratado, sobre el asunto del Problema de los Puntos. Primera solución para jugadores con desigual destreza Una copia de esta primera edición fue enviada a Jean Bernoulli quien, en marzo de 1710, le remite una extensa carta donde, además de alabar las “diversas cosas bellísimas” que contenía el tratado, le aporta reflexiones propias y juicios críticos. En particular, Bernoulli le envía, sin demostración, la solución del Problema de los Puntos para jugadores con desigual destreza. Lo enuncia y da la solución de la siguiente forma: Pedro y Pablo juegan a varias partidas a un juego desigual donde el número de casos favorables a Pedro es al de casos favorables a Pablo::a.b; y después de haber jugado algún tiempo el número de partidas que aún le faltan a Pedro es p, y el número de partidas que le faltan a Pablo es q. Se pide la razón de sus suertes. Elevad el binomio +ab a la potencia 1. + −= p q r El número de términos será .+ p q Yo digo que la suma de los primeros términos cuyo número sea q, es a la suma del resto de términos cuyo número será p, como la suerte de Pedro es a la de Pablo; ahora bien, estas dos sumas son como sigue: 1 Para la solución general del problema, Montmort aporta dos fórmulas equivalentes y aquí, Todhunter, hace referencia a la primera de ellas. 18 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III) 11 2 2 33 112 & 112 123 −− − ⋅− ⋅−⋅− ++ + + ⋅⋅⋅ pp p p ppp ppp a a b a b a b así, continuando hasta el número de términos expresado por q. Y 11 2 2 33 112 & 112 123 −− − ⋅− ⋅−⋅− ++ + + ⋅⋅⋅ rr r r rrr rrr bba ba ba así, continuando hasta el número de términos expresado por p. Observamos que, si b fuese la probabilidad del segundo jugador de ganar una partida (en la notación de Bernoulli dicha probabilidad sería + b ab ), faltándole a dicho jugador q partidas para ganar el juego, y r es el número total de partidas que se jugarían, la variable aleatoria X: “número de partidas ganadas por ese jugador de un total de r”, sigue una distribución Binomial de parámetros r y b, cuya función de cuantía es . −    x rx rba x Este jugador ganará el juego si consigue ganar, como mínimo, las q partidas que le faltan. Por tanto, la probabilidad de conseguirlo será 11 [][][ 1] [] , 1 −+−− ≥= =+ =+++ ==     =+ ++     +     " " qrq q rq r PX q PX q PX q PX r rr r ba b a b qq r resultado equivalente al expuesto por Bernoulli en la segunda igualdad. Por tanto, este autor identifica la situación con lo que hoy conocemos como la distribución Binomial de parámetro cualquiera y ofrece como solución la función de distribución de la misma. Respecto a la primera expresión que escribe Bernoulli, sobre la chance del primer jugador, pensamos que hay una errata en los sucesivos exponentes de a que se escriben a partir de p y sus valores decrecientes, cuando lo correcto es a partir de r como ocurre con la segunda expresión para la suerte del segundo jugador. Probablemente, fue una errata del mismo Jean Bernoulli al transcribir sus propias notas a la carta que envió a Montmort. En la segunda edición del tratado, la de 1713, Montmort incorpora esta solución con una formulación similar y con su demostración. La demostración, con notación actualizada, sigue los siguientes pasos: 1. El juego ha de concluir necesariamente en 1 = +−rpq partidas. 2. Disponemos de r dados con dos caras cada uno: una cara blanca, que favorece al primer jugador y otra cara negra que favorece al segundo, y con probabilidades a y b de aparecer una y otra. En este punto, el autor nos remite a la primera parte del tratado donde, en el Art. 27, se demuestra que los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio coinciden con los números de la correspondiente columna del Triángulo Aritmético y con los que expresan “las diversas combinaciones de un número cualquiera de fichas o dados que tienen dos EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA: LA SOLUCIÓN... 19 caras diferentes”. Esto le lleva a escribir que los sucesivos sumandos que intervienen en el cálculo de la probabilidad de que el primer jugador gane el juego son: () 11 22 22 "que salgan caras blancas", :"que salgan r 1 caras blancas y 1 negra", 1 1:"que salgan 2 caras blancas y 2 negras", 2 12 −− −−  ==    ⋅= −  −  − =−  − ⋅ rr rr rr r aa r r r ra b a b r r rr ab ab r r y así hasta reunir q sumandos, por lo que el último de ellos será , −    prp rab p dado que 1 .−−=rq p 3. Son equivalentes los sucesos “conseguir p éxitos en r pruebas” y “conseguir p caras blancas al lanzar r dados de las características anteriores”. Por tanto, la probabilidad de que gane el juego el primer jugador (que le faltan p partidas) es: . − =    ∑ r iri ip rab i Podemos escribir: 11 [de que gane el primer jugador] +− + −− = +−  =  ∑ pq ipqii ip pq Pab i (1) Segunda solución para jugadores con desigual destreza Bajo el título de Otra Fórmula, Montmort añade una segunda solución a este problema. La justificación de la misma es como sigue: • En el Tratado del Triángulo Aritmético de Pascal hay un anexo titulado “Uso del Triángulo Aritmético para las combinaciones”. En dicho anexo encontramos, bajo el epígrafe de Lema IV, la siguiente igualdad: 1, 1 +  =+  −  kkk ii i que Pascal demuestra considerando que los 1 + k elementos son k elementos primeros más uno último y considerando que el número combinatorio del primer miembro es el resultado de sumar dos números: el número de combinaciones de k que no contienen al último y el número de aquellas que sí lo contienen. Montmort conocía perfectamente esta igualdad como lo demuestra la primera parte de su segunda edición del Tratado dedicada a las “combinaciones”. 20 HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y LA ESTADÍSTICA (III) • Multiplicando los dos miembros de la igualdad anterior por 1+−ik i ab y despejando el primer sumando del segundo miembro nos queda: 11 1, 1 +− − +− +    −=    −    ik i iki ik i kkk ab b ab ab iii donde los dos términos del primer miembro se pueden interpretar como {} {} {} pruebaúltimalaenéxitoconseguirnodeP pruebaskenéxitosiconseguirdeP pruebaskenéxitosiconseguirdeP = − + 1 Por tanto, esa diferencia de probabilidades nos lleva a la probabilidad de que el i-ésimo éxito (el último éxito) se produzca en la ( 1)-ésima + k prueba (en la última prueba). Si hacemos 1 , + −=kij la expresión del segundo miembro se transforma en 1, 1 −+   −  ij ij ab i que se interpreta como la “probabilidad de que el primer jugador consiga j fracasos antes de conseguir su i-ésimo éxito. Pues bien, esto es lo que usa Montmort para construir su segunda solución, pues la probabilidad de que el primer jugador gane el juego (al que le faltan p partidas), se puede escribir a partir de la variable aleatoria X: “número de fracasos del primer jugador antes de su -ésimopéxito”, variable que sigue una distribución Binomial Negativa de parámetros p y a, como: 1 1 0 [que gane el primer jugador] [ 0] [ 1] [ 1] 12 11 1 1. 1 − − = = =+ =+ + =−= −+−    =+ ++ =    −− −    −+  =⋅  −  ∑ " " pp pq q pi i PPXPXPXq pp pq aab ab pp p pi ab p Esta suma, bajo, su propia formulación, es la que este autor propone como solución en su Otra Fórmula. Podemos escribir, pues, que la segunda solución de Montmort es: 1 0 1 [de que gane el primer jugador] 1 − = −+  = −  ∑ q pi i p i Pab p (2) Le falta por demostrar la igualdad entre ambas soluciones, la igualdad entre (1) y (2). Lo hace sólo para el caso particular donde 5 = p y 3 = q mediante una simple reducción a común denominador de las fracciones que aparecen en los sumandos de la expresión (2), fracciones producidas por las probabilidades que intervienen con sus respectivas potencias. Esa reducción a común denominador le lleva a la expresión (1). EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA: LA SOLUCIÓN... 21 Este fragmento termina con dos notas. En la primera de ellas Montmort nos advierte que, aunque pueda imaginarse que las “suertes” de los dos jugadores son las mismas en el caso en el que necesiten conseguir p y q partidas, respectivamente, y en el caso en que necesiten np⋅ y ⋅ nq, esto no es cierto, ni incluso en el caso en que ambos jugadores tengan igual probabilidad de éxito en cada partida. Sabemos por el teorema de Bernoulli que si el número de pruebas independientes se hace suficientemente grande hay una alta probabilidad de que el número de éxitos conseguidos por uno y otro jugador esté en una razón similar a la de sus propias probabilidades. Por tanto, si la razón entre p y q fuese menor que la de sus correspondientes probabilidades, incrementando el valor de n podemos conseguir una probabilidad tan grande como queramos de que el primer jugador consiga ganar ⋅ np partidas antes de que el segundo consiga las ⋅nq que necesita. Esto es lo que parece insinuar Montmort cuando dice que “la suerte de Pedro será siempre tanto mejor, en cuanto que c & d designen a los números más grandes, en comparación con p & q; de manera que si un jugador puede dar ocho puntos de dieciséis al villar a otro jugador: no se puede concluir que él pueda, sin desventaja, darle cuatro de ocho”. En la segunda nota final el autor manifiesta su deseo de encontrar fórmulas similares para la resolución del problema de los puntos en el caso en el que el número de jugadores fuese tres, cuatro,… pero “hay razones para creer que esta investigación es extremadamente difícil, y hay la apariencia de que no se puede añadir nada a la que hemos dado antes”. Conclusión Nos encontramos con un autor, Pierre Rémond de Montmort que, sin ser de los más renombrados en la Historia de la Probabilidad, aporta la solución definitiva al Problema de los Puntos para dos jugadores en cualquier circunstancia (con igual y desigual destreza) mediante dos fórmulas alternativas y equivalentes (demostrando la equivalencia entre ambas en un ejemplo concreto) que hoy identificamos perfectamente con las modelizaciones Binomial y Binomial Negativa.