Robustez en Multidimensional Scaling

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 45, Núm. 152, 2003, págs. 5 a 22 Robus ez en Mul idimensional Scaling po PEDRO ANTONIO GARCÍA LÓPEZ DIEGO TORRECILLA DE AMO ANDRÉS GONZÁLEZ CARMONA Depa amen o de Es adís ica e I.O. Uni e sidad de G anada ANTONIO PASCUAL ACOSTA Depa amen o de Es adís ica e I.O. Uni e sidad de Se illa RESUMEN En es e abajo se p esen a, median e un es udio de simulación, una solución del p oblema de Mul idimensional Scaling (MDS), cuan- do los da os apa ecen pe u bados po un e o alea o io. En el es u- dio de simulación se plan ea un diseño cuyos ac o es son los dis in- os es imado es obus os conside ados, el ipo de e o y la in ensidad del mismo. Asimismo se es udia la adecuación de la solución p o- pues a y su compa ación con algo i mos clásicos de esolución del p oblema de MDS a ado. Palab as Cla e: Mul idimensional Scaling (MDS), Es imado es obus- os, Simulación, R, S-Plus. Clasi icación AMS: 65U05. 6ESTADÍSTICA ESPAÑOLA INTRODUCCIÓN Los juicios de p oximidad que p oducen los da os básicos (simila idades o disi- mila idades) pa a la mayo pa e de las aplicaciones de los p ocedimien os MDS, son sensibles a la exis encia de obse aciones anómalas, no sólo po la di icul ad que p esen a el de ec a y elimina e o es de ansc ipción e in oducción de da os sino po que, a menudo, el p oblema del cansancio del suje o que esponde cuando ha de es ablece un g an núme o de juicios, le lle a a espues as e óneas en muchos casos. Además, algunos juicios de p oximidad son in ínsecamen e más di íciles de emi i que o os, con lo que es azonable supone que la dis ibución de los e o es asociados a ellos enga mayo a ianza, lo cual in oduce un p oblema añadido en el p oceso de econs ucción de la con igu ación. El p ime mé odo de esolución pa a MDS es á basado en los abajos de Young y Householde (1938) y To ge son (1958). Es p obablemen e el mé odo más am- pliamen e usado po que, aunque los p ocedimien os no mé icos han sus i uido en muchos casos a los mé odos mé icos, casi odos los p og amas usados en la ac ualidad emplean alguna a ian e del p ocedimien o Young-Householde - To ge son (Y-H-T) como con igu ación inicial. Ob iamen e si el en oque adicional es sensible a los da os anómalos, los p og amas que lo usan pa a ob ene la con igu ación inicial se en a ec ados ambién po ellos. En es e sen ido, Spence y Lewandowsky (1989) demues an cómo un único da o anómalo puede dis o siona d ás icamen e una solución MDS cuando se emplea el mé odo mé ico adicional. Debido a es a “ agilidad” esul a necesa io, e incluso di íamos imp escindible, encon a écnicas mucho más esis en es que amo igüen es os p oblemas. Es as azones jus i ican sob adamen e la de inición de p ocedimien os que p o ejan a es os mé odos de la p esencia de es as anomalías. En los abajos de Spence (1982), Null y Sa le (1982), y Heise (1988) se a gu- men a la necesidad, pa a MDS, de algo i mos que sean esis en es a los e ec os de los da os anómalos. Un p og ama obus o pa a MDS debe mos a se po an o, poco a ec ado po la p esencia de da os anómalos, incluso cuando exis an en núme o ela i amen e g ande y, además, debe á unciona de mane a adecuada cuando no haya ninguno de ellos p esen e. Con es a idea, Spence y Lewandowsky (1989) p oponen un p og ama, basado en la mediana como medida obus a, pa a esol e la p esencia de obse aciones anómalas. Es a es a egia supone, ob iamen e, una d ás ica eliminación de la in o mación mé ica con enida en los da os. ROBUSTEZ EN MULTIDIMENSIONAL SCALING 7 En es e abajo se abo da el p oblema desde un plan eamien o más gene al, conside ando a ios es imado es obus os que gozan de unas p opiedades eó icas idóneas, en el sen ido de in en a u iliza oda (o la mayo pa e de) la in o mación mé ica posible con enida en los da os. Es os es imado es son las α- imedias y los es imado es de Hube y de Tukey, es os úl imos basados en la de inición de una unción de peso asociada al ec o de da os conside ado. Sob e las p opiedades eó icas de los mismos nos emi imos a Hube (1981) y a Hampel e al. (1986). OBJETIVOS En es e abajo se han pe seguido es obje i os básicos: 1. Desa olla un mé odo de esolución del p oblema de MDS que sea e- sis en e a la p esencia de da os anómalos Pa a ello se ha elabo ado un diseño de simulación en el que se con aminan las dis ancias o iginales de una con igu ación dada median e es p ocedimien os: a. Una pequeña can idad de g andes e o es, b. Una mode ada can idad de pequeños e o es (a los que llama emos e o es de ondo) c. Ambas con aminaciones simul áneamen e. Se a a, po an o, de desa olla un p ocedimien o que se compo e bien en condiciones no males, y p esen e esis encia en e a los e o es con enidos en los da os has a, al menos, un po cen aje su icien emen e amplio de con aminación. El mé odo se á algo í mico con es imado es obus os y an gene al como pa a que pueda aplica se a un MDS de cualquie dimensión. 2. Con ola la adecuación de la me odología p opues a Pa a ello hab á que medi , po una pa e, el g ado de econs ucción de las con igu aciones inales conseguidas po medio de los p ocedimien os p opues os, y po o a comp oba si es e g ado de econs ucción depende de la con igu ación inicial elegida en el p oceso de simulación. 3. Con as a los esul ados ob enidos po los p ocedimien os que se p o- ponen con los que se ob ienen, en iguales condiciones, po medio de los p ocedimien os clásicos (mé icos y no mé icos) de MDS Pa a ello se han u ilizado los p og amas PC-MDS, que inco po a el mé odo clá- sico KYST, y SPSS (V. 10.0) que inco po a el muy di undido mé odo ALSCAL. 8ESTADÍSTICA ESPAÑOLA FORMULACIÓN DEL PROBLEMA En MDS se p e ende ob ene una con igu ación geomé ica median e un con- jun o de N pun os en un espacio euclídeo de dimensión p ede e minada, de al o ma que cada uno de ellos ep esen e a un es ímulo y que la di e encia, eij , en e la dis ancia de los pun os i y j, dij, y las dispa idades o disimila idades exis en es en e los co espondien es es ímulos, δij, (i y j:1,...,N; i≠j), sea mínima. Si designamos po k la dimensión del espacio euclídeo conside ado, es posible encon a la solución del p oblema de MDS esol iendo el siguien e conjun o de ecuaciones: ji con N ,, 1:j , i pa a 0de ijijij ≠=−δ=K cuyas incógni as son las coo denadas de los pun os que se p e enden encon- a . U ilizando la mé ica euclídea pa a los alo es de dij y designando po x s a la coo denada s-ésima (s:1,...,k) del pun o gené ico, P ( :1,...,N), de la con igu- ación inal, X, se ob ienen del sis ema an e io N-1 ecuaciones en donde apa ece án x s como incógni as. U ilizando el mé odo de New on en cada una de es as ecuaciones, se ob iene la solución i e a i a: ( ) js s j j j s 1 s xx dd xx − ⋅−δ += + Pa a ob ene la coo denada x s en el paso +1, a pa i del co espondien e alo en el paso , se ienen N-1 co ecciones, an as como alo es puede oma j. Si esc ibimos las N-1 ecuaciones como: j ,...,N, 1 j: ) c ( xx j s s 1 s ≠+= + podemos elegi una medida obus a, ob, y calcula su alo a pa i de las N-1 co ecciones j s ) c ( pa a pasa de s x a 1 s x +. Po an o, si j s j s ) c ( ob ) c (≠ = es una de e minación obus a(1) de la co ección, ob enemos: ) c ( xx s s 1 s += + (1)En es e abajo hemos usado cinco medidas obus as di e en es: es L-es imado es (Mediana, T imedia al 30% y T imedia al 40%) y dos M-es imado es (el es imado de Hube y el es imado de Tukey) ROBUSTEZ EN MULTIDIMENSIONAL SCALING 9 Pueden ealiza se modi icaciones del amaño del paso ( ) s c en la di ección del ec o de co ecciones pa a acele a la con e gencia del p ocedimien o i e a i o. Siguiendo a D.G. Luenbe ge (1984), el amaño del paso puede se modi icado mul iplicándolo po el ac o : c α =γ en donde c es la magni ud ela i a al ec o de co ecciones: ( ) ( ) 2/1 a, i 2 ia a,i 2 ia x c c             =∑ ∑ y α se ob iene del mé odo δ2 de Ai ken (Ramsay, 1977) ( ) ( ) 2/1 a, i 2 2 ia 1 ia ia a,i 2 2 ia 1 ia 1 xx2x xx             −− − α=α∑ ∑ −− −− + lo cual obliga a gene a dos soluciones p e ias, an es de abo da el p ocedi- mien o que aquí se expone. El algo i mo inal, queda pues de la o ma siguien- e: ( ) s s 1 s cxx ⋅γ+= + El algo i mo p opues o(2) ha sido p og amado en R y S-Plus. ESTUDIO DE SIMULACIÓN El es udio cons a de es ases: •• P ime a ase: Se es udia el compo amien o de los algo i mos p esen ados aplicándolos a una de e minada con igu ación o iginal en dimensión dos, pe u ba- da con enien emen e, y se obse a el g ado de econs ucción ob enido. (2)Puede solici a se en [email p o ec ed] 10 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA La con igu ación inicial seleccionada es á o mada po 21 pun os del plano, si- uados 16 de ellos sob e los lados de un cuad ado de lado unidad y equidis an es en e sí, o o en el o igen de coo denadas y los cua o es an es sob e los ejes de coo denadas, a dis ancia 1/2 del o igen, según se mues a en la igu a 1. Es os 21 pun os de e minan una ma iz iangula con 210 dis ancias y las disi- mila idades son el esul ado de some e a dichas dis ancias a un e ec o dis o sio- nado con un diseño expe imen al ac o ial de 5x4x2 con seis epe iciones po celda, del siguien e modo: •• Cinco ipos de medidas obus as: T imedia al 30%, T imedia al 40%, Mediana, Hube y Tukey. •• Cua o po cen ajes de dis ancias anómalas: 10%, 20%, 30% y 40%. El mé odo consis e en selecciona alea o iamen e el po cen aje de dis ancias co espondien e y con amina dichas dis ancias con e o es (Ramsay, 1977) logno males pseudoa- lea o ios de des iación ípica igual a 2. La con aminación se p oduce mul iplicando la dis ancia po la ans o mada exponencial del e o . •• Dos escena ios: Con e o de ondo y sin él. El mé odo consis e en con amina , con el mismo c i e io del pun o an e io , dis ancias has a comple a el 50% del o al de ellas, con e o es pseudoalea o ios p oceden es de una dis ibución logno mal con des iación ípica igual a 0.1. En esumen, se lle an a cabo un o al de 5x4x2x6=240 es udios sepa ados. Pues o que la solución que en es e caso p opo ciona el mé odo Y-H-T es bas- an e pob e, po cuan o se e ampliamen e a ec ada po la p esencia de alo es anómalos, se es ablece como p ime a con igu ación de los p ocedimien os i e a i- ROBUSTEZ EN MULTIDIMENSIONAL SCALING 11 os una de inida po los angos de las dis ancias pe u badas, es o es, los da os iniciales (disimila idades) se eemplazan po sus angos, lo que a enúa la con ami- nación anómala de los da os, y a con inuación se calcula sob e ellos una solución MDS po el p ocedimien o Y-H-T. El p oblema de la cons an e adi i a se esuel e u ilizando una e sión obus a del mé odo de To ge son. En es e caso: ( ) { } { } jh ih ijj, ihi j i0 ob ob obcδ−δ−δ=≠≠ con lo que la escala o iginal de dis ancias se econs uye obligando a que las medianas e i iquen la condición: ( ) ( ) 0 ijj i0 ijj id medcmed << =+δ Como medida del índice de econs ucción se ha u ilizado el coe icien e de co- elación lineal medio (de las 6 éplicas) en e las dis ancias de la con igu ación o iginal y las de la con igu ación econs uida po el p ocedimien o. Con es e diseño se han ob enido los esul ados de las ablas 1 y 2, en donde el alo supe io de cada ila es el índice medio de econs ucción ( -medio) y el alo in e io co esponde a la des iación ípica pa a cada -medio. 12 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Tabla 1 Po cen aje de da os anómalos (sin e o de ondo) Medida obus a 10% 20% 30% 40% T im-30% 99,65 0,0023 95,06 0,0881 86,63 0,0863 78,23 0,1201 T im-40% 99,82 0,0030 99,89 0,0018 95,31 0,0391 77,49 0,1204 Mediana 99,94 0,0006 99,99 0,0002 96,59 0,0307 82,09 0,0805 Hube 99,69 0,0025 95,01 0,0636 93,11 0,0416 69,21 0,0820 Tukey 98,23 0,0174 99,09 0,0124 87,81 0,1008 78,57 0,1443 Tabla 2 Po cen aje de da os anómalos (con e o de ondo) Medida obus a 10%-40% 20%-30% 30%-20% 40%-10% T im-30% 92,50 0,0848 96,44 0,0417 89,36 0,0993 51,31 0,1472 T im-40% 94,86 0,0758 99,38 0,0058 90,06 0,0899 52,86 0,2111 Mediana 99,79 0,0018 97,74 0,0370 96,48 0,0502 57,55 0,02470 Hube 96,18 0,0691 93,71 0,0772 90,71 0,0562 57,43 0,0646 Tukey 99,69 0,012 92,94 0,1005 95,11 0,0591 66,43 0,2126 ROBUSTEZ EN MULTIDIMENSIONAL SCALING 13 Los g á icos 1 y 2 mues an los alo es co espondien es a las ablas 1 y 2 G á ico 1 65 70 75 80 85 90 95 100 10% 20% 30% 40% Po cen aje de da os anómalos (sin e o de ondo) Índice medio de econs ucción ( -medio) T im-30% T im-40% Mediana Hube Tukey G á ico 2 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 10% 20% 30% 40% Po cen aje de da os anómalos (con e o de ondo) Índice medio de econs ucción ( -medio) T im-30% T im-40% Mediana Hube Tukey A la is a de es os esul ados es con enien e hace no a que es di ícil calcula un alo a pa i del cual pueda deci se que no se ob iene una econs ucción idónea. No obs an e, podemos a i ma que odos los es imado es obus os ob ienen la con igu ación o iginal de o ma muy buena cuando la p esencia de da os anó- malos llega has a un 30% del o al (63 dis ancias pe u badas de 210). La pé dida mayo se p oduce en la imedia al 30%, con un 13.37% cuando es án p esen es el 30% de anómalos. Cuando los da os o iginales se con aminan además con un e o de ondo, los esul ados empeo an lige amen e, pe o siguen siendo muy buenos, sob e odo 20 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA CONCLUSIONES 1. En el es udio ealizado, an o en la p ime a ase como en la segunda, los p o- cedimien os obus os o ecen esul ados sa is ac o ios has a pa a un 30% de da os anómalos, con y sin e o de ondo. 2. El es udio ealizado en la e ce a ase, deja cla o que cualquie a de los p o- cedimien os expues os supe a, y a eces conside ablemen e, a los p ocedimien os clásicos ALSCAL en su e sión no mé ica y a KYST en su e sión mé ica. REFERENCIAS ANDREWS, D. F.; BINCKEL, P. J.; HAMPEL, F. R.; HUBER, P. 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