Periodos asociados a los isotopismos de un cuadrado latino

Periodos asociados a los isotopismos de un cuadrado latino M. J. Ch´ avez a, O. J. Falc´ on ay R. M. Falc´ on a aDpto. Matem´ atica Aplicada I. Escuela Universitaria de Arquitectura T´ ecnica. Universidad de Sevilla. Resumen En Criptograf´ ıa, la eficacia de un generador de secuencias pseudo-aleatorias viene determinada por el periodo de crecimiento en la secuencia generada. En el caso concreto de generadores basados en elementos l´ ıderes y cuadrados latinos, existen diversos an´ alisis estad´ ısticos que confirman la importancia que adquiere una ´ optima elecci´ on del cuadrado latino en el que se basa el generador, si bien limitan su estudio a un ´ unico l´ ıder, que determina a su vez la secuencia de partida. En el presente trabajo, se desarrolla una alternativa al an´ alisis del periodo de crecimiento, atendiendo a todo el conjunto de l´ ıderes y ampliando el de secuencias de partida, al mismo tiempo que se analiza la influencia que ejercen en dicho periodo las estructuras c´ ıclicas de las simetr´ ıas de un cuadrado latino. Atendiendo a dicho an´ alisis se obtiene expl´ ıcitamente una clasificaci´ on de los cuadrados latinos de orden n≤5. Key words: Scrambler, Cuadrado latino, Grupo de Autotopismos 1. Introducci´ on Se denomina scrambler a todo proceso que aumenta la aleatoriedad de una secuencia con probabilidad alta de contener cadenas de bits consecutivos repetidos. El m´ aximo n´ umero de elementos consecutivos distintos que contiene una cadena Ces su periodo P(C). Unas estructuras algebraicas que act´ uan [6][7] de forma efectiva como scramblers son los cuadrados latinos, matrices cuadradas cuyos elementos pertenecen a un conjunto de ns´ ımbolos distintos, apareciendo cada uno exactamente una vez en cada fila y en cada columna. En el presente trabajo, el conjunto de s´ ımbolos ser´ a[n] = {1,2, ..., n}yCLndenotar´ a el conjunto de cuadrados latinos de orden n. Dado L= (li,j)∈ CLn, la representaci´ on ortogonal de Les el conjunto de n2triples {(i, j, li,j)|i, j ∈[n]}. Fijado un elemento inicial de [n], denominado l´ ıder, se obtiene una implementaci´ on r´ apida de encriptaci´ on y generaci´ on de secuencias pseudo-aleatorias de igual longitud que las secuencias de entrada, que permiten ∗Corresponsal Email addresses: [email protected] (M. J. Ch´ avez), [email protected] (O. J. Falc´ on), [email protected] (R. M. Falc´ on). URL: http:www.personal.us.es/raufalgan (R. M. Falc´ on). aplicaciones pr´ acticas en criptograf´ ıa sim´ etrica como puede ser la comunicaci´ on online [8]. En particular, dado L= (li,j)∈ CLny fijados un l´ ıder a∈[n]y una cadena de melementos de [n],C=c1c2...cm, se genera la cadena cifrada Ea(C) = d1d2...dm, donde d1=la,c1ydi=ldi−1,ci,∀i∈[m]\ {1}. En caso de ser Cun texto plano constante de base c(c0= c1=... =cm−1=c), se cumple que P(Ea(C)) = m´ın{i∈[m]|di=a}. Siendo un m´ etodo robusto frente a errores, se tiene que, debido al ingente n´ umero de cuadrados latinos, este procedimiento es adem´ as resistente a ataques de fuerza bruta y estad´ ısticos, incluso cuando se conoce tanto el texto plano como el cifrado, resultando seguir las secuencias de este ´ ultimo una distribuci´ on uniforme [9][10]. Atendiendo a la estructura de todo cuadrado latino, si P(C) = p, entonces P(Ea(C)) = q·p, para alg´ un q∈[n], con lo que, en caso de querer aumentar la aleatoriedad del resultado, basta fijar una secuencia de l´ ıderes a1, a2, ..., aky repetir iterativamente el procedimiento, obteniendo la encriptaci´ on, Ea1Ea2...Eak. El aumento proporcional del periodo de una encriptaci´ on a la siguiente recibe el nombre de periodo de crecimiento y determina la eficacia del generador. Dicho periodo ha sido analizado estad´ ısticamente [1] [11], en aquellos casos en los que se toma un l´ ıder com´ un ay se considera como cadena de partida un texto plano constante de base ay longitud n. I WMDAA / VI EAMD Galaroza, Espa˜ na (15 y 16 de Octubre de 2009) 5959 I WMDAA – I Workshop de Matem´ atica Discreta Algarve - Andaluc´ ıa Para evitar que el texto cifrado vuelva a tener periodo 1, se analizan ´ unicamente cuadrados latinos L= (li,j), tales que la,a 6=a, con lo que no se tiene en cuenta la influencia que ejerce la elecci´ on de distintos l´ ıderes o de distintas bases en la cadena de partida, al mismo tiempo que se limitan los cuadrados latinos a usar como scramblers. En el presente art´ ıculo se comprobar´ a que estas limitaciones pueden solventarse obteniendo la media de los periodos de las cadenas resultantes al variar tanto los posibles l´ ıderes como los textos planos constantes. Se comprobar´ a adem´ as que la estructura c´ ıclica del conjunto de permutaciones de L, determina el conjunto de tales periodos. El grupo de permutaciones de [n]ser´ a denotado por Sn. Todo δ∈Snpuede ser un´ ıvocamente escrito como composici´ on de nδciclos disjuntos, δ=Cδ 1Cδ 2...Cδ nδ, donde, ∀i∈[nδ],Cδ i=³cδ i,1cδ i,2... cδ i, λδ i´, con cδ i,1= m´ınj{cδ i,j}. La estructura c´ ıclica de δes la secuencia lδ= (lδ 1,lδ 2, ..., lδ n), donde lδ ies el n´ umero de ciclos de longitud ien δ. La representaci´ on polin´ omica de lδes el polinomio xlδ 1 1xlδ 2 2·...·xlδ n n. Dados δ1, δ2∈ Sn, se cumple que lδ1δ2δ−1 1=lδ2. Si lδ1=lδ2, se define la permutaci´ on δ1∗δ2, tal que δ1∗δ2(cδ1 i,j) = cδ2 i,j,∀i∈[nδ1]yj∈[λδ1 i]. Se verifica entonces que δ2= (δ1∗δ2)δ1(δ1∗δ2)−1. Dado L= (li,j)∈ CLn, un isotopismo de Les una terna Θ = (α, β, γ)∈ In=S3 n, donde α, β yγson permutaciones de filas, columnas y s´ ımbolos de L, respectivamente. Se denomina estructura c´ ıclica de Θa la terna lΘ= (lα,lβ,lγ), cuya representaci´ on polin´ omica es xlα 1 1xlα 2 2·...·xlα n n+ylβ 1 1ylβ 2 2·...·ylβ n n+zlγ 1 1zlγ 2 2·...·zlγ n n. Al aplicar ΘaL, resulta su cuadrado latino isot´ opico,LΘ={(α(i), β(j), γ (li,j)) |i, j ∈[n]} ∈ CLn. El conjunto de cuadrados latinos isot´ opicos a Lconstituye su clase isot´ opica [L]. Si LΘ=L, entonces Θ se denomina autotopismo de L, siendo Anel conjun- to de todos los posibles autotopismos de CLn,ALel subgrupo estabilizador de Len AnyAlel subconjun- to de autotopismos de Anque tienen estructura c´ ıclica l. Las posibles estructuras c´ ıclicas de Anhan sido determinadas [2], para todo n≤11. Dado Θ∈ An, CLΘrepresenta el conjunto de todos los cuadrados latinos Ltales que Θ∈ AL, denot´ andose su cardinal como ∆Θ, el cual ha sido determinado para n≤ 7[3]. Finalmente, dados Θ1= (α1, β1, γ1),Θ2= (α2, β2, γ2)∈ Antales que lΘ1=lΘ2, sea Θ∗= (α1∗α2, β1∗β2, γ1∗γ2). Resulta entonces que ∆Θ1= ∆Θ2y que CLΘ2=CLΘ∗ Θ1={LΘ∗|L∈ CLΘ1}. 2. Periodos absoluto, relativo y de crecimiento de un cuadrado latino El periodo de una cadena cifrada depende del l´ ıder y de la cadena de partida: Ejemplo 1 Sea L=   1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 2 1 4 3 1 2   ∈ CL4. En la siguiente tabla se muestran las cadenas cifradas con sus respectivos periodos, obtenidas usando distintos l´ ıderes y textos planos constantes: PPPP P L´ ıder Texto 1111 2222 3333 4444 1P(1111) = 1 P(2121) = 2 P(3241) = 4 P(4231) = 4 2P(2222) = 1 P(1212) = 2 P(4132) = 4 P(3142) = 4 3P(3333) = 1 P(4343) = 2 P(2413) = 4 P(1423) = 4 4P(4444) = 1 P(3434) = 2 P(1324) = 4 P(2314) = 4 ✁ En la diagonal de la tabla anterior, los periodos asociados a las cadenas cifradas de textos planos constantes de base el l´ ıder, depende de la elecci´ on de este ´ ultimo. De esta forma, es razonable afirmar que los an´ alisis estad´ ısticos a los que se ha hecho referencia en el ep´ ıgrafe anterior y que se basan en la previa fijaci´ on de un l´ ıder, no reflejan fielmente la eficacia del generador de secuencias pseudo-aleatorias basado en un cuadrado latino. Con vistas a solventar esta circunstancia, presentamos la siguiente: Definici´ on 2 Dado L∈ CLn, definimos los periodos absoluto y relativo de L, respectivamente como: P(L) = X a,b∈[n] P(Ea(Cb,n)),Pr(L) = P(L) n2, donde Cb,n denota el texto plano constante de base b y longitud n. El periodo absoluto de Lpuede tomar como m´ aximo el valor n3, siendo su periodo relativo la media de los periodos de las cadenas cifradas por cualquier l´ ıder y de cualquier texto plano constante. Puede comprobarse que, en el Ejemplo 1, P(L) = 44 yPr(L) = 11 4. Sea δL cla permutaci´ on definida por la columna cde L, es decir, δL c(i) = li,c,∀i∈[n]. Se tiene que: Lema 3 Dados L= (li,j)∈ CLn,Θ=(α, β, γ)∈ Inyc∈[n], se cumple que δLΘ c=γδL β−1(c)α−1. Demostraci´ on: Dados LΘ= (l′ i,j)ei∈[n], resulta δLΘ c(i) = l′ i,c =γ(lα−1(i),β−1(c)) = γδL β−1(c)α−1(i).✷ 6060 VI EAMD - VI Encuentro Andaluz de Matem´ atica Discreta Dado que Cb,n es un texto plano constante, P(Ea(Cb,n)) = m´ın{m∈[n]|¡δL b¢m(a) = a}. Se obtienen entonces los siguientes resultados: Lema 4 Dados a, a′, t ∈[n]tales que ¡δL b¢t(a) = a′, se tiene que P(Ea(Cb,n)) = P(Ea′(Cb,n)). Demostraci´ on: Sea p=P(Ea(Cb,n)). Basta comprobar que p= m´ın{m∈[n]|¡δL b¢m(a′) = a′}. Ahora bien, ¡δL b¢p(a′) = ¡δL b¢p³¡δL b¢t(a)´= ¡δL b¢t¡¡δL b¢p(a)¢=¡δL b¢t(a) = a. Si existe p′< p tal que ¡δL b¢p′ (a′) = a′, entonces, ¡δL b¢p′ (a) = a, que no es posible, por ser pel m´ ınimo entero con dicha propiedad. Debe ser por tanto p=P(Ea(Cb,n)).✷ Proposici´ on 5 P(L) = Pb,j∈[n]j2·lδL b j. Demostraci´ on: Fijado a∈[n], el conjunto de elementos a′∈[n]que verifican las hip´ otesis del Lema 4 son justamente los que aparecen en el ciclo de δL b que contiene a a, una vez realizada la descomposici´ on en ciclos disjuntos de dicha permutaci´ on, coincidiendo por tanto la longitud de dicho ciclo con el periodo correspondiente a todos sus elementos. De esta forma, Pa∈[n]P(Ea(Cb,n)) = Pj∈[n]j2·lδL b j, obteni´ endose el resultado como consecuencia inmediata. ✷ Teorema 6 Sean L= (li,j)∈ CLnyα, β ∈Sn. Si Θ = (α, β, α), se verifica que P(LΘ) = P(L). Demostraci´ on: Atendiendo a la Proposici´ on 5 y al Lema 3, se tiene que P(LΘ) = Pb,j∈[n]j2·lδLΘ b j= Pb,j∈[n]j2·lαδL β−1(b)α−1 j=Pb,j∈[n]j2·lδL β−1(b) j= Pβ(b),j∈[n]j2·lδL b j=Pb,j∈[n]j2·lδL b j=P(L).✷ Teorema 7 Si L= (li,j)∈ CLnyL(13) = {(li,j, j, i)|i, j ∈[n]}, entonces P(L(13)) = P(L). Demostraci´ on: Si b∈[n], entonces δL(13) b= ¡δL b¢−1, con lo que, por la Proposici´ on 5, se tiene que P(L(13)) = Pb,j∈[n]j2·l(δL b)−1 j=Pb,j∈[n]j2·lδL b j= P(L).✷ Con vistas a determinar la eficacia como scrambler de un cuadrado latino, cabe plantearse la siguiente: Definici´ on 8 Dado L∈ CLn, definimos el m-periodo de crecimiento de Lcomo: PCm(L) = Pa,b∈[n]P(Em a(Cb,n)) Pa,b∈[n]P(Em−1 a(Cb,n)). En concreto, en el Ejemplo 1, PC2(L) = 87 44 , PC3(L) = 109 87 ,PC4(L) = 181 117 , etc. 3. Estructura peri´ odica de un autotopismo Estamos interesados ahora en comprobar si el grupo de autotopismos asociado a cada cuadrado latino tiene alguna influencia en el conjunto de periodos correspondientes al mismo. Para ello presentamos en primer lugar la siguiente: Definici´ on 9 Dado Θ∈ In, definimos los periodos absoluto y relativo de Θ, respectivamente como: P(Θ) = PL∈CLΘP(L) ∆Θ ,Pr(Θ) = P(Θ) n2. Sea ∆Θ,m =|{L∈ CLΘ| P(L) = m}|. Definimos la estructura peri´ odica de Θcomo el polinomio: pΘ=X m∈[n3] ∆Θ,m ·pm. Finalmente, dados Θ1,Θ2∈ Al, definimos la relaci´ on de equivalencia en An, dada por Θ1∼Θ2⇔lΘ1= lΘ2ypΘ1=pΘ2. La clase de equivalencia de Θ∈ Anser´ a denotada por [Θ]. Veamos un ejemplo: Ejemplo 10 Sea Θ = ((13)(2),(13)(2),(13)(2)) ∈ I3. El conjunto CLΘconsta de los siguientes cuatro cuadrados latinos: L1=Ã231 123 312!, L2=Ã1 3 2 3 2 1 2 1 3 !, L3=Ã213 321 132!, L4=Ã3 1 2 1 2 3 2 3 1 !. Puede comprobarse que P(L1) = P(L2) = 15, P(L3) = P(L4) = 21,Pr(L1) = Pr(L2) = 5 3y Pr(L3) = Pr(L4) = 7 3. Con lo cual, P(Θ) = 72 4= 18,Pr(Θ) = 2 ypΘ= 2 ·(p15 +p21). Con vistas a estudiar el conjunto An/∼, observamos los siguientes resultados: 6161 I WMDAA – I Workshop de Matem´ atica Discreta Algarve - Andaluc´ ıa Lema 11 Dados Θ,Θ′∈ An, tales que [Θ] = [Θ′], los periodos absolutos y relativos de ΘyΘ′coinciden. Demostraci´ on: El resultado es inmediato, pues, como lΘ1=lΘ2, debe ser ∆Θ= ∆Θ′.✷ Teorema 12 Dados Θ=(α, β, γ),Θ′= (α, β′, γ)∈ Intales que lβ=lβ′, se verifica que [Θ] = [Θ′]. Demostraci´ on: Es inmediato que lΘ=lΘ′. Sean ahora β∗=β∗β′yΘ∗= (Id, β∗, Id). Por el Teorema 6, se tiene en particular que P(LΘ∗) = P(L), para todo L∈ CLΘ. Dado que CLΘ′=CLΘ∗ Θ, debe ser pΘ=pΘ′.✷ Teorema 13 Dados α, β ∈ SnyΘ′= (α′, β′, γ′)∈ In, tales que lα′=lαylβ′=lβ, existe γ∈ Sn, tal que lγ=lγ′y[(α, β, γ)] = [Θ′]. Demostraci´ on: Por el Teorema 12, P(Θ′) = P((α′, β, γ′)). Sean α∗=α′∗αyγ=α∗γ′(α∗)−1, resultando que lγ=lγ′. Sean Θ = (α, β, γ)y Θ∗= (α∗, Id, α∗). Dado que CLΘ=CLΘ∗ (α′,β,γ′), basta aplicar el Teorema 6. ✷ Teorema 14 Dados Θ = (α, β, γ),Θ′= (γ, β, α)∈ In, se verifica que pΘ=pΘ′. Demostraci´ on: Dado que CLΘ′={L∈ CLn| L(13) ∈ CLΘ}, basta aplicar el Teorema 7. ✷ 4. Estructuras peri´ odicas para n≤5. Atendiendo a la clasificaci´ on de estructuras c´ ıclicas dada en [2] y al Teorema 13, cabe observar que, dada una estructura c´ ıclica l= (l1,l2,l3)de An, basta fijar α, β ∈Sntales que lα=l1ylβ=l2, para que, recorriendo todas las permutaciones γ∈Sntales que lγ=l3, se obtengan todas las posibles estructuras peri´ odicas correspondientes a los autotopismos de Al. Adem´ as, por el Teorema 14, basta analizar s´ olo aquellas estructuras c´ ıclicas tales que el n´ umero de ciclos de l1es menor o igual que el de l3. Para n≤5, fijada una estructura ly un autotopismo Θ∈ Al, se ha obtenido CLΘ, haciendo uso de la librer´ ıa [4], desarrollada [3] para su uso en SINGULAR. Posteriormente, se han calculado los periodos absolutos de dichos cuadrados latinos, permitiendo obtener las estructuras peri´ odicas de cada autotopismo y, como consecuencia, la correspondiente clasificaci´ on de las distintas clases de equivalencia de An/∼. Presentamos a continuaci´ on los resultados obtenidos, indicando, para cada clase de equivalencia su estructura c´ ıclica, su cardinal, su periodo absoluto y su estructura peri´ odica: l|[Θ]| P(Θ) pΘ x2+y2+z2 11 6 2p6 x2+y2 1+z21 6 2p6 Cuadro 1 Estructuras peri´ odicas de A2. l|[Θ]| P(Θ) pΘ x3+y3+z3 4 15 3p15 4 21 3p21 x3+y3+z3 14 18 3p15 + 3p21 x3+y3 1+z3 2 15 6p15 2 21 6p21 x1x2 2+y1y2 2+z1z2 227 18 2p15 + 2p21 Cuadro 2 Estructuras peri´ odicas de A3. l|[Θ]| P(Θ) pΘ x4+y4+z2 2 36 36 4p28 + 4p44 72 42 8p42 x4+y2 2+z4 18 28 8p28 72 42 8p42 18 44 8p44 x4+y4+z2 1z2 72 36 4p28 + 4p44 144 42 4p40 + 4p44 x4+y2 1y2+z4 72 36 4p28 + 4p44 144 42 4p40 + 4p44 x4+y4+z4 136 40 4p28 + 16p42 + 4p44 x4+y4 1+z4 6 28 24p28 24 42 24p42 6 44 24p44 x2 2+y2 2+z2 2 18 39 8p28 + 8p40 + 16p44 9 42 16p40 + 16p44 x2 2+y2 2+z2 1z2 36 39 8p28 + 16p42 + 8p44 18 42 32p42 x2 2+y2 1y2+z2 2 18 39 8p28 + 16p42 + 8p44 36 40.5 8p28 + 24p42 x2 2+y2 2+z4 19 40 16p28 + 16p40 + 32p42 + 32p44 x2 2+y4 1+z2 2 3 36 48p28 + 48p44 6 42 24p40 + 48p42 + 24p44 x1x3+y1y3+z1z3 256 36 3p28 + 6p40 256 44 9p44 x2 1x2+y2 1y2+z2 1z2 72 36 8p28 + 8p44 144 42 4p40 + 8p42 + 4p44 Cuadro 3 Estructuras peri´ odicas de A4. 6262 VI EAMD - VI Encuentro Andaluz de Matem´ atica Discreta l|[Θ]| P(Θ) pΘ x5+y5+z5 576 215 3 5p45 + 10p85 5760 10p67 + 5p81 5760 229 35p67 + 10p81 1152 235 35p45 + 5p85 + 5p105 576 275 310p85 + 5p105 x5+y5+z5 1576 75 5p45 + 50p67 + 50p81 + 10p85 + 5p105 x5+y5 1+z5 24 45 120p45 240 67 120p67 240 81 120p81 48 85 120p85 24 105 120p105 x1x4+y1y4+ +z1z4 7200 74 16p67 + 16p81 18900 77 4p45 + 8p67 + 8p81 + 8p85 + 4p105 900 80 8p45 + 16p85 + 8p105 x1x2 2+y1y2 2+ +z1z2 2 450 74 32p57 + 64p67 + 64p75 + 64p81 + 32p89 900 16p59 + 64p67 + 48p69 + 16p75+ +32p79 + 64p81 + 16p93 1800 75.5 8p45 + 8p51 + 16p59 + 48p67+ +24p71 + 16p75 + 32p79 + 48p81+ +16p85 + 24p89 + 8p93 + 8p105 225 77 16p45 + 16p57 + 32p67 + 32p75 + 48p77+ 32p81 + 32p85 + 32p89 + 16p105 x2 1x3+y2 1y3+ +z2 1z3 400 67 72p59 + 72p75 400 71 24p51 + 48p57 + 24p75 + 48p93 2400 73 12p51 + 24p59 + 24p69 + 12p71+ +48p79 + 12p89 + 12p93 2400 12p57 + 12p59 + 24p69 + 24p71+ +36p75 + 12p77 + 24p89 2400 81 12p71 + 36p75 + 48p79 + 36p89 + 12p93 Cuadro 4 Estructuras peri´ odicas de A5/∼. 5. Periodos de cuadrados latinos de orden n≤5. Para finalizar nuestro estudio, a partir de los resultados obtenidos en el ep´ ıgrafe anterior y de la estructura de dise˜ no de bloque formada por una clase isot´ opica [L]junto a sus autotopismos [5], hemos obtenido, para cada posible periodo absoluto p, el n´ umero ∆p [L] de cuadrados latinos de [L]con dicho periodo: n|CLn|∆6 [L]∆15 [L]∆21 [L] 2 2 2 0 0 3 12 0 6 6 Cuadro 5 Periodos absolutos de CL2yCL3. Ambos constan de una ´ unica clase isot´ opica. Referencias [1] V. Dimitrova, J. Markovski. “On Quasigroup Pseudo Random Sequence Generator”. Proc. of the 1-st Balkan Conference in Informatics, Y Manolopoulos and P. Spirakis eds., 21-23 Nov. 2004, Thessaloniki, 393-401. [L]|[L]|∆28 [L]∆40 [L]∆42 [L]∆44 [L] c4,1432 72 0 288 72 c4,2144 24 48 0 72 Total 576 96 48 288 144 Cuadro 6 Periodos absolutos de CL4, donde: c4,1=     1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 2 1 4 3 1 2      , c4,2=     1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1      . [L]|[L]|∆45 [L]∆67 [L]∆81 [L]∆85 [L]∆105 [L] c5,117280 720 7200 7200 1440 720 [L]|[L]|∆51 [L]∆57 [L]∆59 [L]∆69 [L]∆71 [L]∆75 [L]∆77 [L]∆79 [L]∆89 [L]∆93 [L] c5,2144000 4800 6000 14400 14400 14400 26400 3600 28800 21600 9600 Cuadro 7 Periodos absolutos de CL5, donde: c5,1=       12345 23451 34512 45123 51234        , c5,2=       1 2 3 4 5 2 1 4 5 3 3 4 5 1 2 4 5 2 3 1 5 3 1 2 4        . [2] R. M. Falc´ on, “Cycle structures of autotopisms of the Latin squares of order up to 11”. Ars Combinatoria (en imprenta). Disponible en http://arxiv.org/abs/0709.2973. [3] R. M. Falc´ on, J. Mart´ ın-Morales. “Gr¨ obner bases and the number of Latin squares related to autotopisms of order ≤7”. Journal of Symbolic Computation 42 (2007), 1142-1154. [4] R. M. Falc´ on, J. Mart´ ın-Morales. http://www.personal. us.es/raufalgan/LS/latinSquare.lib. [5] R. M. Falc´ on. “Designs based on the cycle structure of a Latin square autotopism”. Proc. of the 1-st Hispano-Moroccan Days on Applied Mathematics and Statistics. Tetouan, 2008. [6] C. Koscielny. “A method of constructing quasigroup-based stream-ciphers”. Appl. Math. And Comp. Sci., vol. 6, No. 1, 109-121 (1996). [7] C. Koscielny et al. “A quasigroup-based public-key cryptosystem”. Int. J. Appl. Math And Comp. Scit, vol. 9, No. 4, 955-963 (1999). [8] S. Markovski, D. Gligoroski, S. Andova. “Using quasigroups for one-one secure encoding”. Proc. of Eight Conference Logic and Computer Science (LIRA), Novi Sad, 157-162 (1997). [9] S. Markovski, D. Gligoroski, V. Bakeva. “Quasigroup string processing: Part 1”. Proc. of Maced. Acad. of Sci. and Arts for Math. and Tech. Sci., XX 1-2, 13-28 (1999). [10] S. Markovski, V. Kusakatov. “Quasigroup string processing: Part 2”. Proc. of Maced. Acad. of Sci. and Arts for Math. and Tech. Sci., XXI, 1-2, pp. 15-32 (2000). [11] S. Markovski, D. Gligoroski, J. Markovski, “Classification of Quasigroups by Random Walk on Torus”. J.Appl. Math. & Computing Vol. 19(2005), No. 1 2, pp. 57 75. 6363