Structure and reactions of weakly-bound nuclei within a one-dimensional model

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✉,✐♥❣ ❢♦$%$❛♥✾✵ ✱ ❣♥✉ ✲❖❝$❛✈❡✱ ❛♥❞ ♣❡$❧ ❝♦❞❡, ✺ ✻ ✳ ✺ ❲❡ ❤❛✈❡ ❛❧&♦ ♠❛❞❡ ✉&❡ ♦❢ ♥❛❣ ✱ ❛#❧❛% ✱ ❧❛♣❛❝❦✾✺ ✱ ❛♥❞ ❧❛♣❛❝❦ ❧✐❜0❛0✐❡&✳ ✻ ■♥ 3❤❡&❡ ♣0♦❣0❛♠& 3❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✈❛❧✉❡& ♦❢ 3❤❡ 0❡❧❡✈❛♥3 ♣❤②&✐❝❛❧ ❝♦♥&3❛♥3& ❛0❡ ✉&❡❞✿ ~c= 197.32858 ▼❡❱ · ❢♠✱ amu = 938.92635 ▼❡❱✴❝ 2 ✱ ~2/amu = 41.4713768 ▼❡❱ 2 ❢♠ 2 ✳ ❈❤❛♣$❡& ✷ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ '(❛(❡' ♦❢ ❛ ♣❛,(✐❝❧❡ ✐♥ ❛ ♣♦(❡♥(✐❛❧ ✇❡❧❧ ■♥ "❤✐% ❝❤❛♣"❡* ✇❡ %"❛*" ❝♦♥%✐❞❡*✐♥❣ "❤❡ ♣*♦❜❧❡♠ ♦❢ ❛ ♣❛*"✐❝❧❡ ♠♦✈✐♥❣ ✐♥ ❛ ♣♦"❡♥"✐❛❧ ✇❡❧❧✳ ❚❤✐% ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥%✐❞❡*❡❞ ❛% ❛ "♦② ♠♦❞❡❧ ❢♦* "❤❡ ♠♦*❡ *❡❛❧✐%"✐❝ ♣*♦❜❧❡♠ ♦❢ ❛ "✇♦✲❜♦❞② ♥✉❝❧❡✉% ❝♦♥%✐%"✐♥❣ ♦❢ ❛ "✐❣❤❧② ❜♦✉♥❞ ❝♦*❡ ♣❧✉% ♦♥❡ ✇❡❛❦❧② ❜♦✉♥❞ ♥✉❝❧❡♦♥✱ %✉❝❤ ❛% ❛ ❤❛❧♦ ♥✉❝❧❡✉%✳ ❲❡ ❞✐%❝✉%% %❡✈❡*❛❧ ♥✉♠❡*✐❝❛❧ ❛♥❞ ❛♣♣*♦①✐♠❛"❡ ♠❡"❤♦❞% "♦ ♦❜"❛✐♥ "❤❡ %"❛"❡% ♦❢ "❤✐% %②%"❡♠ ❛♥❞ "❤❡ ❝♦**❡✲ %♣♦♥❞✐♥❣ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝"✐♦♥% ✐♥ %❡❝"✐♦♥% ✷✳✶ ❛♥❞ ✷✳✷❀ ✇❡ "❤❡♥ ❝♦♠♣❛*❡ "❤❡♠ ✐♥ %❡❝"✐♦♥ ✷✳✸✳ ▼♦*❡♦✈❡*✱ "❤❡ B✉❛❧✐"② ♦❢ "❤❡ ❞❡%❝*✐♣"✐♦♥ ♦❢ "❤❡ ❡①❝✐"❡❞ %"❛"❡% ✐% ✐♥✈❡%"✐❣❛"❡❞ ❜② ♠❡❛♥% ♦❢ "❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛"✐♦♥ ♦❢ %❡✈❡*❛❧ %✉♠ *✉❧❡%✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥"*♦❞✉❝❡❞ ✐♥ %❡❝"✐♦♥ ✷✳✹✳ ✶✼ ✶✾ ❚♦ $%✉❞② %❤❡ $%+✉❝%✉+❡ ♦❢ ♦♥❡ ♣❛+%✐❝❧❡ ✶ ❜♦✉♥❞ ✐♥ ❛ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ✇❡❧❧✱ ✇❡ ❤❛✈❡ %♦ ❝❛❧❝✉❧❛%❡ %❤❡ $✐♥❣❧❡✲♣❛+%✐❝❧❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡$ ❛♥❞ %❤❡ ❝♦++❡$♣♦♥❞✐♥❣ ✇❛✈❡✲ ❢✉♥❝%✐♦♥$✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ✇❡ ✉$❡ ✐$ %❤❡ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥$✐♦♥❛❧ ❲♦♦❞$✲❙❛①♦♥ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ✷ VWS(x) ✱ VWS(x) = V0 1 + e|x|−R α ✭✷✳✶✮ ✇✐%❤ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ♣❛+❛♠❡%❡+$ ❝❤♦$❡♥ ❢♦+ %❤❡ %❡$%$ ♣+❡$❡♥%❡❞ ✐♥ ♥❡①% $❡❝%✐♦♥$✿ V0=−50.00 ▼❡❱✱ R= 2.00 ❢♠✱ α= 0.40 ❢♠✱ ❛♥❞ µ= 0.975 ❛♠✉✳ ❚❤✐$ ♣❛+%✐❝✉❧❛+ $❡% ♦❢ ♣❛+❛♠❡%❡+$ ❤❛$ ❜❡❡♥ ❝❤♦$❡♥ %♦ $❡% ✉♣ ❛ ✶❉ %♦② ♠♦❞❡❧ +❡♣+❡$❡♥%❛%✐✈❡ ♦❢ ❛ ❧✐❣❤%✲♠❛$$ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ ♥✉❝❧❡✉$✳ ❲✐%❤ %❤✐$ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ♣❛+❛♠❡%❡+$ %❤❡ $②$%❡♠ ❤❛$ ✐♥ ❢❛❝% %❤+❡❡ $✐♥❣❧❡✲♣❛+%✐❝❧❡ ❜♦✉♥❞ $%❛%❡$ ✇❤♦$❡ ❡♥❡+❣✐❡$ ❛+❡ ♣+❡$❡♥%❡❞ ✐♥ ✜❣✉+❡ ✷✳✶✱ ✇✐%❤ ❛ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ %❤✐+❞ ❡♥❡+❣② ❧❡✈❡❧ ✭✲✵✳✺✶ ▼❡❱ ❜✐♥❞✐♥❣ ❡♥❡+❣②✮✳ ❆ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ❧✐❦❡ %❤❡ ❲♦♦❞$✲❙❛①♦♥ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞ ❡♥❡+❣②✳♣❞❢ -20 -10 010 20 x (fm) -50 -40 -30 -20 -10 0 Energy (MeV) - 0.51 MeV - 17.87 MeV - 39.57 MeV ❋✐❣✉+❡ ✷✳✶✿ ❚❤❡ ❲♦♦❞$✲❙❛①♦♥ ✶❉ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ✇✐%❤ %❤❡ ❜♦✉♥❞ $%❛%❡$✳ ❚❤❡② ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❝♦♠♣✉%❡❞ ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③✐♥❣ %❤❡ ❍❛♠✐❧%♦♥✐❛♥ ✐♥ ❛ ❍❖ ❜❛$✐$ ✇✐%❤ ◆❂✺✵ ❢✉♥❝%✐♦♥$✳ ♦❢ ❡P✉❛%✐♦♥ ✭✷✳✶✮✱ ✇✐❧❧ ❣✐✈❡ %✇♦ ❦✐♥❞$ ♦❢ +❡$✉❧%$✿ ❛ $❡% ♦❢ ❜♦✉♥❞ ❧❡✈❡❧$ ✇✐%❤ ♥❡❣❛%✐✈❡ ❡♥❡+❣② ❛♥❞ ❛ ❝♦♥%✐♥✉✉♠ ❛$$♦❝✐❡%❡❞ %♦ %❤❡ ♣♦$✐%✐✈❡ ♣❛+% ♦❢ %❤❡ $♣❡❝✲ %+✉♠✳ ❚❤❡ ❜♦✉♥❞ $%❛%❡$ ❛+❡ $P✉❛+❡✲✐♥%❡❣+❛❜❧❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝%✐♦♥$✱ ✇❤✐❝❤ ❞❡❝❛② ✶ ◆♦"❡ "❤❛"✱ '✐♥❝❡ ✇❡ ❞♦ ♥♦" '✐♠✉❧❛"❡ ❈♦✉❧♦♠❜ ❜❛22✐❡2'✱ ✇❡ ❛''✉♠❡ "❤❡ ✈❛❧❡♥❝❡ ♣❛2"✐❝❧❡ "♦ ❜❡ ❛ ♥❡✉"2♦♥✳ ✷ ■♥ "❤✐' "❤❡'✐' ♦♥❧② "❤❡ 2❡'✉❧"' ♦❜"❛✐♥❡❞ ✇✐"❤ ❛ ❲♦♦❞'✲❙❛①♦♥ ♣♦"❡♥"✐❛❧ ❛2❡ ♣2❡'❡♥"❡❞✱ ❜✉" ♦"❤❡2 ♣♦"❡♥"✐❛❧' ❤❛✈❡ ❛❧'♦ ❜❡❡♥ "❡'"❡❞ ✐♥ ♦2❞❡2 "♦ ❝❤❡❝❦ "❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ❝♦♠♣✉"❛"✐♦♥❛❧ "♦♦❧' ❢♦2 "❤❡ 2❡'♦♥❛♥" '"❛"❡'✿ ❲♦♦❞'✲❙❛①♦♥ ✇✐"❤ ❞✐✛❡2❡♥" ♣❛2❛♠❡"❡2' ❛♥❞ ✇✐"❤ ❜❛22✐❡2'✱ ❍❛③✐✲❚❛②❧♦2✱ ❛♥❞ ●✐♥♦❝❝❤✐♦ ♣♦"❡♥"✐❛❧'✳ ❙❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❇✳✶ ❢♦2 ❢✉2"❤❡2 ❞❡"❛✐❧'✳ ✷✵ ✷✳ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ )*❛*❡) ♦❢ ❛ ♣❛.*✐❝❧❡ ✐♥ ❛ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ✇❡❧❧ ❡①♣♦♥❡♥*✐❛❧❧② *♦ ③❡.♦✳ ■♥ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥)✐♦♥✱ *❤❡ ❣.♦✉♥❞ )*❛*❡ ❞♦❡) ♥♦* ♣.❡)❡♥* ♥♦❞❡) ❛♥❞ ✐) ❛ ❡✈❡♥ ❢✉♥❝*✐♦♥✱ ✇❤✐❧❡ *❤❡ ❡①❝✐*❡❞ )*❛*❡) ♣.❡)❡♥* ❛♥ ✐♥❝.❡❛)✐♥❣ ♥✉♠❜❡. ♦❢ ♥♦❞❡) ✭❡✳❣✳ *❤❡ ✜.)* ❡①❝✐*❡❞ )*❛*❡ ❤❛) ♦♥❡ ♥♦❞❡ ❛♥❞ ✐) ❛♥ ♦❞❞ ❢✉♥❝*✐♦♥✱ *❤❡ )❡❝♦♥❞ ❡①❝✐*❡❞ )*❛*❡ ❤❛) *✇♦ ♥♦❞❡) ❛♥❞ ✐) ❡✈❡♥ ❢✉♥❝*✐♦♥✱ ❡*❝✳✮✳ ❚❤❡ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ❢✉♥❝*✐♦♥) ❛.❡ ❛)②♠♣*❤♦*✐❝❛❧❧② ♦)❝✐❧❧❛*✐♥❣ *♦ ✐♥✜♥✐*②✱ ❛♥❞ ❢♦. ❡❛❝❤ ♣♦)✐*✐✈❡ ❡♥❡.❣②✱ ✐♥ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥)✐♦♥✱ *❤❡.❡ ❛.❡ *✇♦ ❛))♦❝✐❛*❡❞ ❢✉♥❝*✐♦♥)✿ ♦♥❡ ✐♥❝♦♠✐♥❣ ❢.♦♠ *❤❡ ❧❡❢* ❛♥❞ ♦♥❡ ❢.♦♠ *❤❡ .✐❣❤*✳ ❚♦ ♣.♦♣❡.❧② ❞❡)❝.✐❜❡ *❤❡ ❝❛)❡ ♦❢ ❛ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ )②)*❡♠ ❝❧♦)❡ *♦ ♥❡✉*.♦♥ ❞.✐♣✲❧✐♥❡✱ ✐* ✐) ♠❛♥❞❛*♦.② *♦ ✐♥❝❧✉❞❡ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ❡✛❡❝*) ✐♥ *❤❡ )②)*❡♠ ❞❡)❝.✐♣*✐♦♥✱ *❤❡.❡❢♦.❡ ♦✉. ♠♦❞❡❧ ♠✉)* ✐♥❝❧✉❞❡ *❤❡ ♣♦)✐*✐✈❡ ❡♥❡.❣② ♣❛.* ♦❢ *❤❡ )♣❡❝*.✉♠✳ ❚♦ *.❡❛* *❤❡ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ❝♦♥)✐)*❡♥*❧② ✇❡ )❤♦✉❧❞ ❞✐)❝.❡*✐③❡ ✐* ❜② ❝❤♦♦)✐♥❣ ♦♥❧② ❝❡.*❛✐♥ ❡♥❡.❣✐❡) ❛♥❞ ❝♦♥✈❡.* *❤✐) )❡* ✐♥*♦ )E✉❛.❡✲✐♥*❡❣.❛❜❧❡ ❢✉♥❝*✐♦♥)✳ ❚♦ )♦❧✈❡ *❤✐) ♣.♦❜❧❡♠ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛♣♣❧② ❞✐✛❡.❡♥* ♠❡*❤♦❞)✳ ❲❡ ❝❛♥ ❝❛❧❝✉❧❛*❡ ♥✉♠❡.✐❝❛❧❧② *❤❡ ❜♦✉♥❞ ❧❡✈❡❧) ❡♥❡.❣✐❡) ❛♥❞ ✇❛✈❡❢✉♥❝*✐♦♥) ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ ❛ ✜♥✐*❡✲ ❞✐✛❡.❡♥❝❡ ♠❡*❤♦❞ ✭✇❡ ❡♠♣❧♦② *❤❡ )♦✲❝❛❧❧❡❞ ◆✉♠❡.♦✈ ♠❡*❤♦❞ ❬✹✺❪ ✐♥ )❡❝*✐♦♥ ✷✳✶✳✶✮❀ ❛♥❞ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧)♦ ❝♦♥)*.✉❝* ❛ ❞✐)❝.❡*✐③❡❞ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ )♣❡❝*.✉♠ ✉)✐♥❣ ❛ ❧❛.❣❡ .✐❣✐❞ ✇❛❧❧ ❜♦① ✭❇❖❳✮✱ ❛) ✇❡ ❞♦ ✐♥ )❡❝*✐♦♥ ✷✳✶✳✷✳ ❖*❤❡.✇✐)❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣❧② ❛♥ ❛♣♣.♦①✐♠❛*❡ ♠❡*❤♦❞ ❛) ✇❡ )❤♦✇ ✐♥ )❡❝*✐♦♥ ✷✳✷✿ *❤❡ ♣)❡✉❞♦)*❛*❡ ♠❡*❤♦❞) ✐♥ ✇✐❝❤ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝*✐♦♥) ❛.❡ ♦❜*❛✐♥❡❞ ❛) ❡✐❣❡♥)*❛*❡) ♦❢ *❤❡ )②)*❡♠ ❍❛♠✐❧*♦♥✐❛♥ ♠❛*.✐① ✐♥ ❛ *.✉♥❝❛*❡❞ ❜❛)✐) ♦❢ )E✉❛.❡✲✐♥*❡❣.❛❜❧❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝*✐♦♥)✱ )✉❝❤ ❛) ❍❛.♠♦♥✐❝ ❖)❝✐❧❧❛*♦. ✭❍❖✱ )❡❝*✐♦♥ ✷✳✷✳✶✮ ❛♥❞ ❚.❛♥)❢♦.♠❡❞ ❍❛.♠♦♥✐❝ ❖)❝✐❧❧❛*♦. ✭❚❍❖✱ )❡❝*✐♦♥ ✷✳✷✳✷✮ ❜❛)❡)✳ ■♥ ❛❞❞✐*✐♦♥✱ )✐♥❝❡ ✇❡ ✉)❡ ❛ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥)✐♦♥❛❧ ♠♦❞❡❧ )♣❛❝❡✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧)♦ ❝❛❧❝✉❧❛*❡ ❛♥❞ *.❡❛* *❤❡ ✏❡①❛❝*✑ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ✇❛✈❡❢✉♥❝*✐♦♥) ❛♥❞ ✉)❡ *❤❡✐. ❝♦♠❜✐♥❛*✐♦♥ *♦ ❜✉✐❧❞ ❛ ❜❛)✐) ♦❢ ♥♦.✲ ♠❛❧✐③❡❞ ❜✐♥ ❢✉♥❝*✐♦♥)✱ ❛) ♣.❡)❡♥*❡❞ ✐♥ )❡❝*✐♦♥ ✷✳✶✳✸✳ ✷✳✶ ◆✉♠❡'✐❝❛❧ ❝❛❧❝✉❧❛,✐♦♥ ♦❢ 0,❛,✐♦♥❛'② 0,❛,❡0 ❚❤❡ ♣.♦❜❧❡♠ ♦❢ ❛ ♥❡✉*.♦♥ ♠♦✈✐♥❣ ✐♥ ❛ ✶❉ ❲♦♦❞)✲❙❛①♦♥ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞ ❝❛♥ ❜❡ )♦❧✈❡❞ ❡①❛❝*❧②✱ ❜② ❞✐.❡❝* ✐♥*❡❣.❛*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ ✶❉ *✐♠❡✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥* ❙❝❤.♦❡❞✐♥❣❡. ❡E✉❛*✐♦♥ ✭❚■❙❊✮ ˆ H1bψ(x) = Eψ(x)→−~2 2µ d2 dx2+VWS(x)ψ(x) = Eψ(x). ✭✷✳✷✮ ▲❡* ✉) )❤♦✇ ✐♥ *❤❡ ♥❡①* )❡❝*✐♦♥) ❞✐✛❡.❡♥* ✇❛②) *♦ ♦❜*❛✐♥ ♥✉♠❡.✐❝❛❧❧② ❜♦✉♥❞ ❛♥❞ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ )*❛*❡)✳ ✷✳✶✳ ◆✉♠❡'✐❝❛❧ ❝❛❧❝✉❧❛,✐♦♥ ♦❢ 0,❛,✐♦♥❛'② 0,❛,❡0 ✷✶ ✷✳✶✳✶ ❇♦✉♥❞ ()❛)❡(✿ )❤❡ ◆✉♠❡0♦✈ ♠❡)❤♦❞ ■♥ ,❤✐0 0❡❝,✐♦♥ ✇❡ ❢♦❧❧♦✇ ,❤❡ 0♦❧✉,✐♦♥ ♦❢ ,❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♣'♦❜❧❡♠ ♦❢ ❡9✉❛,✐♦♥ ✭✷✳✷✮ ❢♦' ,❤❡ ❜♦✉♥❞ ❧❡✈❡❧0 ♦❢ ❲♦♦❞0✲❙❛①♦♥ ♣♦,❡♥,✐❛❧✱ ❛❝❝♦'❞✐♥❣ ,♦ ,❤❡ ◆✉✲ ♠❡'♦✈ ♠❡,❤♦❞ ♣'❡0❡♥,❡❞ ✐♥ ❬✹✺❪✳ ❆♥ ❛❝❝❡♣,❛❜❧❡ 0♦❧✉,✐♦♥ ΨE(x) ♦❢ ,❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ♣'♦❜❧❡♠ ♠✉0, ❜❡ ❛ ❝♦♥,✐♥✉✲ ♦✉0 ❜♦✉♥❞❡❞ ❢✉♥❝,✐♦♥0 ♦❢ x ✱ ❝♦♥❞✐,✐♦♥0 ,❤❛, ❣❡♥❡'❛❧❧② ♦❝❝✉' ♦♥❧② ❢♦' 0♣❡❝✐❛❧ ✈❛❧✉❡0 ♦❢ ,❤❡ ♣❛',✐❝❧❡ ❡♥❡'❣② E ✳ ❚❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡0 ❛'❡ ,❤❡0❡ ❛❧❧♦✇❡❞ ❡♥❡'❣✐❡0 ❊✳ ❋♦' 0✐♠♣❧✐❝✐,②✱ ❜② ❞❡✜♥✐♥❣ y(x) = ΨE(x) ❛♥❞ g(x) = 2m[E−VW S(x)] /~2 ✱ ✇❡ ❝❛♥ '❡❝❛0, ,❤❡ ♣'♦❜❧❡♠ ❛0 d2y dx2+g(x)y(x) = 0. ✭✷✳✸✮ ❚❤❡ ❞✐0❝'❡,❡ ✈❡'0✐♦♥ ♦❢ ,❤✐0 ❡9✉❛,✐♦♥ ❢♦❧❧♦✇0 ❜② ✇'✐,✐♥❣ x→xn≡nh ❛♥❞ f(x)→f(xn)≡fn ❢♦' ❛♥② ❢✉♥❝,✐♦♥ f(x) ✱ ✇❤❡'❡ n ✐0 ❛♥ ✐♥,❡❣❡' ❛♥❞ h ✐0 ,❤❡ 0✐③❡ ♦❢ ,❤❡ 0♣❛,✐❛❧ ❣'✐❞✳ ❚❤❡ ♣'♦❝❡❞✉'❡ ✇♦✉❧❞ ❜❡ 0,'❛✐❣❤,❢♦'✇❛'❞ ❡①❝❡♣, ❢♦' ,❤❡ 0❡❝♦♥❞ ❞❡'✐✈❛,✐✈❡✱ ✇❤✐❝❤ '❡9✉✐'❡0 0♦♠❡ ❛♣♣'♦①✐♠❛,✐♦♥0✳ ■❢ ✇❡ 0,❛', ✇✐,❤ ,❤❡ 0✐♠♣❧❡ ❞❡✜♥✐,✐♦♥ ♦❢ 0❡❝♦♥❞ ❞❡'✐✈❛,✐✈❡ ∆2fn−1=f(xn+h) + f(xn−h)−2f(xn), ✭✷✳✹✮ ❛♥❞ ❡①♣❛♥❞ ,❤❡ ✜'0, ,✇♦ ,❡'♠0 ♦♥ ,❤❡ '✐❣❤, ✐♥ ❛ ❚❛②❧♦' 0❡'✐❡0✱ ✇❡ ♦❜,❛✐♥ ∆2fn−1=h2f′′(xn) + h4 12f(iv)(xn) + O(h6). ✭✷✳✺✮ ❚❤❡ 0✐♠♣❧❡0, ❛♣♣'♦①✐♠❛,✐♦♥ ∆2fn−1≈h2f′′(xn) ❣✐✈❡0 ,❤❡ ❝❡♥,'❛❧ ❞✐✛❡'✲ ❡♥❝❡ ❛♣♣'♦①✐♠❛,✐♦♥ ,♦ ,❤❡ 0❡❝♦♥❞ ❞❡'✐✈❛,✐✈❡ ❛♥❞ ②✐❡❧❞0 ❛ ❞✐0❝'❡,❡ ✈❡'0✐♦♥ ♦❢ ❡9✉❛,✐♦♥ ✭✷✳✸✮ ,❤❛, ✐0 ❛❝❝✉'❛,❡ ,♦ O(h3) ✿ ∆2yn−1+h2gnyn= 0. ✭✷✳✻✮ ❚❤❡ ◆✉♠❡'♦✈ ♠❡,❤♦❞ ✐♠♣'♦✈❡0 ♦♥ ,❤✐0 ❜② ✉0✐♥❣ ,❤❡ ♦'✐❣✐♥❛❧ ❞✐✛❡'❡♥,✐❛❧ ❡9✉❛,✐♦♥ ❢♦' y(x) ,♦ ✇'✐,❡ h2f(iv)(xn) = −h2(gy)′′ ≈ −∆2(gn−1yn−1) ✳ ❚❤✐0 ❣✐✈❡0 ,❤❡ ◆✉♠❡'♦✈ ❞✐0❝'❡,✐③❛,✐♦♥ ♦❢ ❡9✉❛,✐♦♥ ✭✷✳✸✮ ∆21 + h2 12gn−1yn−1+h2gnyn= 0, ✭✷✳✼✮ ✷✷ ✷✳ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ ()❛)❡( ♦❢ ❛ ♣❛-)✐❝❧❡ ✐♥ ❛ ♣♦)❡♥)✐❛❧ ✇❡❧❧ ✇❤✐❝❤ ✐( ❛❝❝✉-❛)❡ )♦ O(h5) ✳ ■♥)❡-❡()✐♥❣❧②✱ )❤❡ ◆✉♠❡-♦✈ ✈❡-(✐♦♥ ✐( ✐❞❡♥)✐❝❛❧ )♦ ❡;✉❛)✐♦♥ ✭✷✳✻✮✱ ✇✐)❤ )❤❡ -❡♣❧❛❝❡♠❡♥)( yn→1 + h2 12gnyn, gn→gn 1 + h2 12 gn , ✭✷✳✽✮ (♦ )❤❡ ◆✉♠❡-♦✈ ♠❡)❤♦❞ ✐♠♣-♦✈❡❞ ❛❝❝✉-❛❝② ❝♦♠❡( ❛) ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡ ❝♦♠♣✉)❛✲ )✐♦♥❛❧ ❝♦()✳ ■♥ )❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛❞♦♣) ❡;✉❛)✐♦♥ ✭✷✳✻✮ ❛( )❤❡ ❞✐(❝-❡)❡ ❡;✉❛)✐♦♥ ♦❢ ✐♥)❡-❡()✱ ✇✐)❤ )❤❡ ❛((✉-❛♥❝❡ )❤❛) )❤❡ -❡(✉❧)( ❛♣♣❧② ❡;✉❛❧❧② ✇❡❧❧ )♦ )❤❡ ◆✉♠❡-♦✈ ✈❡-(✐♦♥ ❛❢)❡- (✉✐)❛❜❧② -❡❞❡✜♥✐♥❣ )❤❡ )❡-♠(✳ ■❢ )❤❡ ❝♦♠♣✉)❛)✐♦♥❛❧ ❞♦♠❛✐♥ ❝♦--❡(♣♦♥❞( )♦ N1≤n≤N2 ✱ )❤❡♥ −∞ < n < N1 ❛♥❞ N2< n < ∞ ❞❡✜♥❡ )❤❡ ❡①)❡-✐♦- -❡❣✐♦♥(✳ ❖✉- )❛(❦ ✐( )♦ ✜♥❞ (✉✐)❛❜❧❡ ❛♥❛❧②)✐❝ (♦❧✉)✐♦♥( )♦ ❡;✉❛)✐♦♥ ✭✷✳✻✮ ✐♥ )❤❡(❡ ❡①)❡-✐♦- -❡❣✐♦♥(✱ ❢-♦♠ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ✇✐❧❧ ✐♥❢❡- )❤❡ ♣-♦♣❡- ❜♦✉♥❞❛-② ❝♦♥❞✐)✐♦♥( )♦ ❜❡ ✐♠♣♦(❡❞ ❛) )❤❡ ❧✐♠✐)( ♦❢ )❤❡ ❛❝)✉❛❧ ✭✜♥✐)❡✮ ❝♦♠♣✉)❛)✐♦♥❛❧ ✐♥)❡-✈❛❧✳ ❇❡❝❛✉(❡ )❤❡ ❡①)❡-✐♦- -❡❣✐♦♥( ✐♥❝❧✉❞❡ )❤❡ ❛(②♠♣)♦)✐❝ -❡❛❧♠ n→ ±∞ ✱ (♦❧✉)✐♦♥( ❤❡-❡ ❝❛♥ ♥♦) ❞✐✈❡-❣❡ ❢♦- ❧❛-❣❡ |n| ✐❢ )❤❡②✬-❡ )♦ ❜❡ ♣❤②(✐❝❛❧❧② ❛❝❝❡♣)❛❜❧❡✳ ■❢ ✇❡ ❞❡✜♥❡ µn≡∆yn/yn+1 )❤❡ ❧♦❣❛-✐)❤♠✐❝ ❞❡-✐✈❛)✐✈❡ ♦❢ y(x) ✱ ✇❤♦(❡ ❞❡-✐✈❛✲ )✐✈❡ ✐( ∆µn−1=µn−µn−1 ✱ ❡;✉❛)✐♦♥ ✭✷✳✻✮ ❜❡❝♦♠❡( µ2 n+!h2gn+ ∆µn−1(1 −µn) = 0. ✭✷✳✾✮ ❚❤-♦✉❣❤♦✉) ❡❛❝❤ ❡①)❡-✐♦- -❡❣✐♦♥✱ ❛❝❝♦-❞✐♥❣ )♦ ♦✉- ❞❡✜♥✐)✐♦♥✱ gn ✐( ✉♥❝❤❛♥❣❡❞ ❢-♦♠ ✐)( ✈❛❧✉❡ ❛) )❤❡ ✐♥♥❡- ❜♦✉♥❞❛-②✱ gN1 ♦- gN2 ✳ ❇✉) ✐❢ gn ❞♦❡( ♥♦) ❝❤❛♥❣❡✱ )❤❡♥ ♥❡✐)❤❡- ❞♦❡( µn ✱ (♦ ∆µn−1 ✈❛♥✐(❤❡( ✐❞❡♥)✐❝❛❧❧②✱ ❛♥❞ ❡;✉❛)✐♦♥ ✭✷✳✾✮ -❡❞✉❝❡( )♦ ❛ ;✉❛❞-❛)✐❝ ❢♦-♠ )❤❛) ✇❡ ❝❛♥ (♦❧✈❡ )♦ ❣✐✈❡ )❤❡ -♦♦) ♣❛✐- µ± n=1 2h2gn±ph4g2 n−4h2gn ✭✷✳✶✵✮ ✇✐)❤ )❤❡ ♣-♦♣❡-)② !1−µ+ n!1−µ− n= 1. ✭✷✳✶✶✮ ❋♦- gn<0 ✭♦- h2gn>4 ✮✱ ❜♦)❤ -♦♦)( ♦❢ ❡;✉❛)✐♦♥ ✭✷✳✶✵✮ ❛-❡ -❡❛❧✳ ❇❡❝❛✉(❡ (1 −µn)yn+1 =yn ✱ ✇❡ ♠✉() (❡❧❡❝) )❤❡ -♦♦) )❤❛) ♠❛❦❡( |yn+1|>|yn| ♦✈❡- )❤❡ ❧❡❢) ❡①)❡-✐♦- -❡❣✐♦♥ (−∞ < n < N1) ❛♥❞ |yn+1|<|yn| ♦♥ )❤❡ -✐❣❤) (N2< n < ∞) )♦ ❣❡♥❡-❛)❡ (♦❧✉)✐♦♥( )❤❛) ❛♣♣-♦❛❝❤ ③❡-♦ ❛( n→ ±∞ ✱ ✐✳❡✳ )❤❡ ❜♦✉♥❞ ()❛)❡( ♦❢ )❤❡ ♣♦)❡♥)✐❛❧✳ ■❢ 0< h2gn<4 ✱ )❤❡♥ µ± n ❛-❡ ❝♦♠♣❧❡① ❝♦♥❥✉❣❛)❡(✱ ❛♥❞ ❡;✉❛)✐♦♥ ✭✷✳✶✶✮ ✐♠♣❧✐❡( |1−µ± n|= 1 ✳ ■) ❢♦❧❧♦✇( )❤❛) )❤❡ ✷✳✶✳ ◆✉♠❡'✐❝❛❧ ❝❛❧❝✉❧❛,✐♦♥ ♦❢ 0,❛,✐♦♥❛'② 0,❛,❡0 ✷✸ ❡①,❡'✐♦' 0♦❧✉,✐♦♥0 ❤❛✈❡ ❝♦♥0,❛♥, ♠♦❞✉❧✉0✱ |yn+1|=|yn| ✱ ❛♥❞ ❛'❡ ♦0❝✐❧❧❛,♦'②❀ ,❤❡0❡ 0♦❧✉,✐♦♥0 ❝♦''❡0♣♦♥❞ ,♦ ,❤❡ ❝♦♥,✐♥✉✉♠✳ ◆♦✇✱ ✇❡ 0❡❧❡❝, ✸ ❞✐✛❡'❡♥, ✈❛❧✉❡0 ♦❢ ♥❡❣❛,✐✈❡ ❡♥❡'❣② E ❛♥❞ ❝♦♥0,'✉❝, ,❤❡ ❝♦''❡0♣♦♥❞✐♥❣ 0,❛,✐♦♥❛'② 0,❛,❡ y(x) = ΨE(x) ✱ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ,❤✐0 ❛❧❣♦'✐,❤♠✿ • ■❢ gN1<0 ✱ ,❛❦❡ yN1+1 = (1−µN1)−1yN1 ❛♥❞ ❝❛❧❝✉❧❛,❡ yN1+2 ✱ yN1+3 ✱ ✳✳✳ '❡❝✉'0✐✈❡❧② ❢'♦♠ ❡@✉❛,✐♦♥ ✭✷✳✻✮✳ ❈❛❧❝✉❧❛,❡ µN1 ❛0 ,❤❡ '♦♦, ♦❢ ❡@✉❛,✐♦♥ ✭✷✳✶✵✮ ❢♦' ✇❤✐❝❤ |1−µN1|<1 ✳ • ■❢ gN2<0 ✱ ,❛❦❡ yN2−1= (1 −µN2−1)yN2 ❛♥❞ ❝❛❧❝✉❧❛,❡ yN2−2 ✱ yN2−3 ✱ ✳✳✳ '❡❝✉'0✐✈❡❧② ❢'♦♠ ❡@✉❛,✐♦♥ ✭✷✳✻✮✳ ❲✐,❤ g ❛00✉♠❡❞ ❝♦♥0,❛♥, ✐♥ ,❤❡ '✐❣❤, ❡①,❡'✐♦' '❡❣✐♦♥✱ µN2−1 ✐0 ✐♥❞✐0,✐♥❣✉✐0❤❛❜❧❡ ❢'♦♠ µN2 ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ❢'♦♠ ❡@✉❛,✐♦♥ ✭✷✳✶✵✮ ❛0 ,❤❡ '♦♦, ❢♦' ✇❤✐❝❤ |1−µN2|>1 ✳ ■❢ gN2>0 ✱ ,❤❡ 0♦❧✉,✐♦♥ ❝♦''❡0♣♦♥❞0 ,♦ ❛ ❝♦♥,✐♥✉✉♠ ✇❛✈❡ ❛♥❞ ✇❡ 0❤♦✉❧❞ ❢♦❧❧♦✇ ❛ ❞✐✛❡'❡♥, ♣'❡0❝'✐♣,✐♦♥ ✭0❡❡ 0❡❝,✐♦♥ ✷✳✶✳✸✮✳ ■♥ ❛❧❧ ❝❛0❡0✱ ,❤❡ ✈❛❧✉❡0 ❢♦' yN1 ❛♥❞ yN2 ❛'❡ ❛'❜✐,'❛'②✱ '❡✢❡❝,✐♥❣ ❛♥ ♦✈❡'❛❧❧ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ♥♦'♠❛❧✐③❛,✐♦♥✱ ❛♥❞ ✇❡ ❝❛♥ 0❡, ,❤❡♠ ❡@✉❛❧ ,♦ ✉♥✐,②✳ ■❢ ,❤❡ ,✇♦ 0,❡♣0 ❜♦,❤ ❛♣♣❧②✱ ,❤❡ '❡❝✉'0✐✈❡ 0♦❧✉,✐♦♥0 ✇❡ ♦❜,❛✐♥ ♠✉0, ❜❡ ❥♦✐♥❡❞ ❛, 0♦♠❡ ✐♥,❡'♠❡❞✐❛,❡ ♣♦✐♥, ✹ ✱ 0❛②✱ n=M ✳ ❲❡ ✜'0, ♠❛,❝❤ ,❤❡ 0❧♦♣❡0 ❛, yM ❜② ❛❞❥✉0,✐♥❣ ,❤❡ 0,❛', ✈❛❧✉❡ yN2 ✳ ❚❤❡♥✱ ✇❤❡♥❡✈❡' ,❤❡ ❝♦''❡0♣♦♥❞✐♥❣ ❡♥❡'❣② E ♦❢ ,❤❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝,✐♦♥ ✉♥❞❡' 0,✉❞② ✐0 ❛♥ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡✱ ❜♦,❤ '❡❝✉'0✐♦♥0 ✇✐❧❧ ❛❧0♦ ❣✐✈❡ ✐❞❡♥,✐❝❛❧ ✈❛❧✉❡0 ❢♦' yM ✳ ❖,❤❡'✇✐0❡✱ ,❤❡ 0♦❧✉,✐♦♥ ✐0 ❞✐0❝♦♥,✐♥✉♦✉0 ❛, yM ❛♥❞ ♣❤②0✐❝❛❧❧② ✉♥❛❝❝❡♣,❛❜❧❡✳ ❲❡ ❝❛♥ ✜♥❞ 0❧♦♣❡0 ❛, yM ❛❝❝✉'❛,❡ ,♦ O(h3) ✉0✐♥❣ ,❤❡ ❝❡♥,❡'❡❞ ❞✐✛❡'❡♥❝❡ y(xM+h)−y(xM−h) = 2hy′(xM) + O(h3). ✭✷✳✶✷✮ ❍♦✇❡✈❡'✱ ,❤❡ ◆✉♠❡'♦✈ ✐♠♣❧❡♠❡♥,❛,✐♦♥ ✐0 ♠♦'❡ ❞❡♠❛♥❞✐♥❣ ❛♥❞ '❡@✉✐'❡0 ,✇♦ 0,❡♣0 ,♦ ❝❛❧❝✉❧❛,❡ ,❤❡ 0❧♦♣❡0 y′(xM) ,♦ ,❤❡ ❞❡0✐'❡❞ ❛❝❝✉'❛❝②✿ y(xM+h)−y(xM−h)−1 8y(xM+ 2h) + 1 8y(xM−2h) = 3 2hy′(xM) + O(h5). ✭✷✳✶✸✮ ❆, ,❤❡ ❡♥❞ ♦❢ ,❤✐0 ❝❛❧❝✉❧❛,✐♦♥ ✇❡ ♦❜,❛✐♥ ❛ 0❡, ♦❢ ❜♦✉♥❞ 0,❛,❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝,✐♦♥0 ΨE(x) ✇✐,❤ ,❤❡ ❝♦''❡0♣♦♥❞✐♥❣ ❡♥❡'❣✐❡0 E ✳ ✸ ❚♦ ❝❤♦♦$❡ &❤❡ ❡♥❡(❣② ✈❛❧✉❡$ ✇❡ $❤♦✉❧❞ ❝❛(❡ &♦ ✜① ❛ $♠❛❧❧ ❡♥❡(❣② ✐♥&❡(✈❛❧ ♥♦& &♦ ❧♦♦$❡ ♣(❡❝✐$✐♦♥✳ ❋♦( ♦✉( ❝❛❧❝✉❧❛&✐♦♥$ ✇❡ ✉$❡❞ ❛ ∆E= 0.4MeV ✳ ✹ ❚❤❡ ♠❛&❝❤✐♥❣ ♣♦✐♥& xM $❤♦✉❧❞ ♥♦& ❜❡ ❝❧♦$❡ &♦ &❤❡ ♣♦$$✐❜❧❡ ♥♦❞❡$ ♦❢ &❤❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝&✐♦♥$✱ ❜✉& ♦♥ &❤❡✐( &❛✐❧$✳ ✸✵ ✷✳ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ )*❛*❡) ♦❢ ❛ ♣❛.*✐❝❧❡ ✐♥ ❛ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ✇❡❧❧ ■♥)❡.*✐♥❣ *❤✐) ❡①♣.❡))✐♦♥ ✐♥ *❤❡ ✐♥*❡❣.❛❧ ❛♥❞ *❛❦✐♥❣ ✐♥*♦ ❛❝❝♦✉♥* *❤❡ ♦.*❤♦❣♦♥❛❧✐*② ♣.♦♣❡.*✐❡) ♦❢ *❤❡ ❍❡.♠✐*❡ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧)✱ ♦♥❡ ❣❡*)✿ hφHO i|ˆ T|φHO ji=−~2 2µa2p(j+ 1)(j+ 2) 2δi,j+2 −~2 2µa2pj(j−1) 2δi,j−2 +~2 2µa22j+ 1 2δi,j. ◆♦*❡ *❤❛* ❛♥ ✐❞❡♥*✐❝❛❧ .❡)✉❧* ✐) ♦❜*❛✐♥❡❞ *❛❦✐♥❣ ✐♥*♦ ❛❝❝♦✉♥* *❤❛* ˆ T= ˆ H−ˆ VHO ❛♥❞ *❤✉) hφHO i|ˆ T|φHO ji=!j+1 2~2a2 µδi,j −K 2hi|x2|ji ✳ ❚❤❡ )❡❝♦♥❞ )*❡♣ ✐) *❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ♠❛*.✐① ❡❧❡♠❡♥*) ✐♥ *❤❡ ❍❖ ❜❛)✐) hφHO i|ˆ V|φHO ji=Z+∞ −∞ dx φ(HO)∗ iVWS φ(HO) j. ✭✷✳✸✼✮ ❉✉❡ *♦ )②♠♠❡*.② .❡❛)♦♥) hφHO i|ˆ V|φHO ji= 0 ✐❢ *❤❡ ❜❛)✐) ✇❛✈❡ ❢✉♥❝*✐♦♥) ❤❛✈❡ ♦♣♣♦)✐*❡ ♣❛.✐*② ✭)②♠♠❡*.✐❝ ♦. ❛♥*✐)②♠♠❡*.✐❝✮✳ ❖♥❝❡ *❤❡ ♠❛*.✐① ✐) ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❡❞✱ ✇❡ ♦❜*❛✐♥ ❛ )❡* ♦❢ ♦♥❡✲❜♦❞② ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡)✱ EHO i ✱ ❛♥❞ ❡✐❣❡♥❢✉♥❝*✐♦♥)✱ ψHO i(x) ✳ ❚❤❡ ❡✐❣❡♥)*❛*❡) ❛.❡ ❧✐♥❡❛. ❝♦♠❜✐♥❛*✐♦♥) ♦❢ *❤❡ ❜❛)✐) ❡❧❡♠❡♥*) ψHO i(x) = N−1 X k=0 αHO ik φHO k(x); i= 0, . . . , N −1. ✭✷✳✸✽✮ ✷✳✷✳✷ ❚❤❡ ♣&❡✉❞♦&*❛*❡& ♠❡*❤♦❞ ✇✐*❤ ❛ ❚/❛♥&❢♦/♠❡❞ ❍❛/✲ ♠♦♥✐❝ ❖&❝✐❧❧❛*♦/ ❜❛&✐& ❆ ❞✐)❛❞✈❛♥*❛❣❡ ♦❢ *❤❡ ❍❖ ❜❛)✐) ✇❤❡♥ ✉)❡❞ ❛) ❛ ❜❛)✐) ✐♥ ✈❛.✐❛*✐♦♥❛❧ ♠❡*❤♦❞) *♦ ♠♦❞❡❧ ❜♦✉♥❞ )*❛*❡) ✐) *❤❡ ●❛✉))✐❛♥ ❛)②♠♣*♦*✐❝ ❜❡❤❛✈✐♦.✱ ❝♦♠♣❛.❡❞ *♦ *❤❡ ❡①♣♦♥❡♥*✐❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦. ♦❢ *❤❡ ❜♦✉♥❞ )*❛*❡) ♦❢ ❛ ✜♥✐*❡ ♣♦*❡♥*✐❛❧✳ ❚❤✐) ❝❛♥ ❜❡ ❛✈♦✐❞❡❞ ♦♥❧② ✉)✐♥❣ ❛ ❤✉❣❡ ♥✉♠❜❡. ♦❢ ❜❛)✐) )*❛*❡)✱ *❤✉) ✐♥❝.❡❛)✐♥❣ *❤❡ ❝♦♠♣✉*❛*✐♦♥❛❧ ♣♦✇❡. .❡M✉✐.❡❞✳ ❚❤✐) ❢❛❝* ❡①♣❧❛✐♥) *❤❡ )✉❝❝❡)) ♦❢ *❤❡ ❚❍❖ ❜❛)✐)✳ ❆ ❚.❛♥)❢♦.♠❡❞ ❍❖ ✭❚❍❖✮ ❜❛)✐) ❝♦♥)✐)*) ♦❢ ❛ ❍❖ ❜❛)✐) *♦ ✇❤✐❝❤ ❛ ❧♦❝❛❧ )❝❛❧❡ *.❛♥)❢♦.♠❛*✐♦♥ ✭▲❙❚✮ s(x) ❤❛) ❜❡❡♥ ❛♣♣❧✐❡❞✳ ❚❤❡ ❛✐♠ ♦❢ *❤✐) *.❛♥)❢♦.♠❛*✐♦♥ ✐) *♦ ❝♦..❡❝* *❤❡ ❍❖ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝*✐♦♥) ❛)②♠♣*♦*✐❝ ❜❡❤❛✈✐♦.✳ ❙❡❡✱ ❡✳ ❣✳✱ .❡❢❡.❡♥❝❡) ✷✳✷✳ ❆♣♣$♦①✐♠❛*❡ ❞❡-❝$✐♣*✐♦♥ ♦❢ -*❛*✐♦♥❛$② -*❛*❡- ✸✶ ❬✹✽✕✺✵❪✳ ❚♦ -♦❧✈❡ *❤❡ ♣$♦❜❧❡♠ ✐♥ ❛ ✶❉ ❚❍❖ ❜❛-✐- *❤❡ -*❛$*✐♥❣ ♣♦✐♥* ✐- ❛ *$✉♥❝❛*❡❞ N ❞✐♠❡♥-✐♦♥❛❧ ❜❛-✐- -❡* φHO i(x) ♦❢ ✶❉ ❍❖ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝*✐♦♥- ✭-❡❡ -❡❝*✐♦♥ ✷✳✷✳✶✮✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛- *♦ ❜❡ *$❛♥-❢♦$♠❡❞ ✐♥*♦ *❤❡ ♥❡✇ ❜❛-✐- ❛- ❢♦❧❧♦✇- φTHO i(x) = rds(x) dx φHO i(s(x)) i= 0, . . . , N −1, ✭✷✳✸✾✮ ❛❝❝♦$❞✐♥❣ *♦ *❤❡ ❛♥❛❧②*✐❝❛❧ ▲❙❚ ❢✉♥❝*✐♦♥ ✭-❡❡ ❬✺✵✱ ✺✶❪✮ s(x) = (x−m+ (γ√x)−m)−1 m ✭✷✳✹✵✮ *❤❛* ✐- ✈❛❧✐❞ ❢♦$ x > 0 ❀ ❢♦$ ♥❡❣❛*✐✈❡ x ✈❛❧✉❡- ✇❡ ✐♠♣♦-❡ *❤❛* s(x) ✐- ❛♥ ♦❞❞ ❢✉♥❝*✐♦♥✿ s(−x) = −s(x) ✳ ❚❤❡ N✉❛♥*✐*② γ ✐- ❛♥ ❛❞❥✉-*❛❜❧❡ ♣❛$❛♠❡*❡$ ♦❢ *❤❡ ▲❙❚✱ b ✐- *❤❡ ♦-❝✐❧❧❛*♦$ ❧❡♥❣*❤ ❞❡*❡$♠✐♥❡❞ ✉-✐♥❣ *❤❡ ❛❧❣♦$✐*❤♠ ♣$❡-❡♥*❡❞ ✐♥ ❛♣♣❡♥❞✐① ❉✳✶✱ ❛♥❞ *❤❡ ♣♦✇❡$ m ✱ ❛❝❝♦$❞✐♥❣ *♦ ❬✹✾❪✱ ✐- -❡* *♦ m= 4 ✱ ❛❧*❤♦✉❣❤ *❤❡ $❡-✉❧*- ❞❡♣❡♥❞ ✈❡$② ✇❡❛❦❧② ♦♥ *❤✐- ♣❛$❛♠❡*❡$✳ ❚❤❡ ♠❛*$✐① ❡❧❡♠❡♥*- ♦❢ *❤❡ ❦✐♥❡*✐❝ ❡♥❡$❣② ♦♣❡$❛*♦$ ✐♥ *❤✐- ❚❍❖ ❜❛-✐- ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉*❡❞ ❛- hφTHO i|ˆ T|φTHO ji=−ℏ2 2µZ+∞ −∞ dx ps′(x)φHO i[s(x)] d2 dx2ps′(x)φHO j[s(x)]. ✭✷✳✹✶✮ ▼❛❦✐♥❣ ✉-❡ ♦❢ *❤❡ $❡❧❛*✐♦♥- s′(x) = ds(x) dx =s(x) 2x1 + s(x) xm, ✭✷✳✹✷✮ ❛♥❞ s′′(x) = d2s(x) dx2=−s(x) 4x xm 2−1 γm+xm 21 + (m+ 1) s(x) xm, ✭✷✳✹✸✮ ✸✷ ✷✳ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ )*❛*❡) ♦❢ ❛ ♣❛.*✐❝❧❡ ✐♥ ❛ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ✇❡❧❧ ✐* ❝❛♥ ❜❡ ✜♥❛❧❧② ❡✈❛❧✉❛*❡❞ ❛) hφTHO i|ˆ T|φTHO ji= 1 4 ℏ2 2µZ+∞ −∞ dx s′′(x)2!s′(x)−1φHO i(s(x))φHO j(s(x)) +1 2 ℏ2 2µaZ+∞ −∞ dx s′′(x)s′(x)φHO i(s(x)) "rj 2φHO j−1(s(x)) −rj+ 1 2φHO j+1(s(x))# +1 2 ℏ2 2µaZ+∞ −∞ dx s′′(x)s′(x)φHO j(s(x)) "ri 2φHO i−1(s(x)) −ri+ 1 2φHO i+1(s(x))# +ℏ2 2µa2Z+∞ −∞ dx s′(x)3"ri 2φHO i−1(s(x)) −ri+ 1 2φHO i+1(s(x))# +ℏ2 2µa2Z+∞ −∞ dx s′(x)3"rj 2φHO j−1(s(x)) −rj+ 1 2φHO j+1(s(x))#, ✇❤❡.❡✱ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ *❤❡ ♥♦*❛*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ ♣.❡✈✐♦✉) )✉❜)❡❝*✐♦♥✱ a=b−1 ✐) *❤❡ ✐♥✈❡.)❡ ♦)❝✐❧❧❛*♦. ❧❡♥❣*❤✳ ❚❤❡ )❡❝♦♥❞ )*❡♣ ✐) *❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ♠❛*.✐① ❡❧❡♠❡♥*) hφTHO i|ˆ V|φTHO ji ✳ ❖♥❝❡ *❤❡ ❚■❙❊ ❢♦. *❤❡ ✶❉ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞ ❲♦♦❞)✕❙❛①♦♥ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ✭✷✳✶✮ ✐) )♦❧✈❡❞ ✉)✐♥❣ *❤❡ ❜❛)✐) ✭✷✳✸✾✮✱ ✇❡ ♦❜*❛✐♥ ❛ )❡* ♦❢ ❞✐)❝.❡*❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡) E(THO) i ❛♥❞ ❡✐❣❡♥❢✉♥❝*✐♦♥) ψ(THO) i(x) *❤❛* ❝❛♥ ❜❡ ✇.✐**❡♥ ❛) ❛ ❧✐♥❡❛. ❝♦♠❜✐♥❛*✐♦♥) ♦❢ *❤❡ ❚❍❖ ❜❛)✐) )*❛*❡) ψTHO i(x) = N−1 X k=0 αTHO ik φTHO k(x); i= 0, . . . , N −1. ✭✷✳✹✹✮ ✷✳✸ ❈♦♥✈❡(❣❡♥❝❡ ♦❢ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡0 ❛♥❞ ❡✐❣❡♥❢✉♥❝2✐♦♥0 ❲❡ ♥♦✇ )❤♦✇ *❤❡ .❡)✉❧*) ♦❜*❛✐♥❡❞ ❜② ❛♣♣❧②✐♥❣ *❤❡ ♠❡*❤♦❞) ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ✐♥ *❤❡ ♣.❡✈✐♦✉) )❡❝*✐♦♥)✳ ■♥ ♣❛.*✐❝✉❧❛. ✇❡ )*✉❞② *❤❡ ❝♦♥✈❡.❣❡♥❝❡ ♦❢ ❜♦✉♥❞ )*❛*❡) ❡♥❡.❣✐❡) ❛♥❞ *❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉. ♦❢ *❤❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝*✐♦♥)✳ ❚❤❡ ♦❜*❛✐♥❡❞ .❡)✉❧*) ♦❢ *❤❡ ❞✐✛❡.❡.♥* ♠❡*❤♦❞) ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ *❤❡ ❜❛)✐) ❞✐♠❡♥)✐♦♥ ❢♦. ❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖ ♠❡*❤♦❞)✱ ❛♥❞ ♦♥ *❤❡ ❜♦① .❛❞✐✉) xb ❢♦. *❤❡ ❇❖❳ ♠❡*❤♦❞✳ ❲❡ ♣.♦❝❡❡❞ *♦ )*✉❞② *❤❡ ❝♦♥✈❡.❣❡♥❝❡ ♦❢ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡) ❛♥❞ ❡✐❣❡♥❢✉♥❝*✐♦♥) ✇❤❡♥ *❤❡)❡ ♣❛.❛♠❡*❡.) ❛.❡ ✈❛.✐❡❞✳ ❲❡ ❢♦❝✉) ♥♦* ♦♥❧② ♦♥ *❤❡ ❡♥❡.❣✐❡)✱ ❜✉* ❛❧)♦ ♦♥ *❤❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝*✐♦♥)✱ ♣❛②✐♥❣ ♣❛.*✐❝✉❧❛. ❛**❡♥*✐♦♥ *♦ *❤❡✐. ❛)②♠♣*♦*✐❝ ❜❡❤❛✈✐♦.✳ ✷✳✸✳ ❈♦♥✈❡(❣❡♥❝❡ ♦❢ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡0 ❛♥❞ ❡✐❣❡♥❢✉♥❝2✐♦♥0 ✸✸ ❆ ♣(♦♣❡( ❞❡0❝(✐♣2✐♦♥ ♦❢ 2❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝2✐♦♥0 ❛2 ❧❛(❣❡ ❞✐02❛♥❝❡0✱ ✇❡❧❧ ❜❡②♦♥❞ 2❤❡ (❛♥❣❡ ♦❢ 2❤❡ ♣♦2❡♥2✐❛❧✱ ✐0✱ ✐♥ ❢❛❝2✱ ❝(✉❝✐❛❧ 2♦ (❡❛0♦♥❛❜❧② ❞❡0❝(✐❜❡ 2❤❡ (❡❛❝2✐♦♥ ♣(♦♣❡(2✐❡0 ♦❢ ♦✉( 0②02❡♠✳ ❚❤✐0 ✐0 ❡✈❡♥ ♠♦(❡ ✐♠♣♦(2❛♥2 ✇❤❡♥✱ ❛0 ✐♥ ♦✉( ❝❤♦0❡♥ 0♣❡❝✐✜❝ ❝❛0❡✱ 2❤❡ ❲♦♦❞0✲❙❛①♦♥ ♣♦2❡♥2✐❛❧ ❤❛0 ❛ ✈❡(② ✇❡❛❦❧②✲ ❜♦✉♥❞ 02❛2❡ ✭ E2=−0.51 ▼❡❱✮✱ ❛0 0❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉(❡ ✷✳✸✳ ■♥ 2❤❡ ❍❖ ❝❛0❡ 2❤❡ -40 -20 0 20 40 x (fm) -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 Energy (MeV) ❋✐❣✉(❡ ✷✳✸✿ ❚❤❡ ❲♦♦❞0✲❙❛①♦♥ ♠♦❞❡❧ ♣♦2❡♥2✐❛❧ ✭2❤✐♥ ❜❧✉❡✮✱ 2❤❡ 0K✉❛(❡ ♦❢ 2❤❡ ❧❡❛02 ❜♦✉♥❞ 02❛2❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝2✐♦♥ ✭2❤✐❝❦ (❡❞✮ ❛♥❞ 2❤❡ ✜(02 0K✉❛(❡❞ ❝♦♥2✐♥✲ ✉✉♠ L❙0 ✭❣(❡❡♥✮ ♦❜2❛✐♥❡❞ ✇✐2❤ 2❤❡ ❍❛♠✐❧2♦♥✐❛♥ ♠❛2(✐① ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❛2✐♦♥ ✭✐♥ ♣❛(2✐❝✉❧❛( ❇❖❳ ✇✐2❤ xb= 100 ❢♠✮✳ ❦❡② ♣❛(❛♠❡2❡( ✐0 2❤❡ ❜❛0✐0 ❞✐♠❡♥0✐♦♥ ◆❀ 0♦ ✇❡ ❝❤❡❝❦ 2❤❡ (❡0✉❧20 ❝♦♥✈❡(❣❡♥❝❡ ✇✐2❤ ❛ ✈❛(②✐♥❣ ❜❛0✐0 0✐③❡✳ ■♥ ❛❞❞✐2✐♦♥ 2♦ 2❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ◆✱ ❛ 0❡❝♦♥❞ ♠♦❞❡❧ ♣❛(❛♠❡2❡( ✐0 2❤❡ ✐♥✈❡(0❡ ♦0❝✐❧❧❛2♦( ❧❡♥❣2❤ a ✳ ❚❤❡ ✐♥✈❡(0❡ ♦0❝✐❧❧❛2♦( ❧❡♥❣2❤ ❞❡2❡(♠✐♥❡0 2❤❡ ❝✉(✈❛2✉(❡ ♦❢ 2❤❡ ❍❖ ♣♦2❡♥2✐❛❧ ❛2 2❤❡ ♦(✐❣✐♥ ❛♥❞ 2❤✉0 ❤♦✇ ✇✐❞❡ 2❤❡ ♣♦2❡♥2✐❛❧ ✐0 ✭0❡❡ ❛♣♣❡♥❞✐① ❉✳✶✮✳ ■♥ 2❤❡ ❚❍❖ ❝❛0❡ 2❤❡ (❡0✉❧20 ❞❡♣❡♥❞ ♠❛✐♥❧② ♦♥ 2❤❡ ❜❛0✐0 ❞✐♠❡♥0✐♦♥ ◆ ❛♥❞ 2❤❡ (❛2✐♦ γ/b ✱ ✇❤❡(❡ b= 1/a ✐0 2❤❡ ♦0❝✐❧❧❛2♦( ❧❡♥❣2❤✳ ❚❤❡ (❛2✐♦ γ/b =8µε ~21/4 ❣✐✈❡0 ❛♥ ❡①2(❛ ❞❡❣(❡❡ ♦❢ ❢(❡❡❞♦♠ ❝♦♠♣❛(❡❞ 2♦ 2❤❡ ❍❖ ❝❛0❡✳ ❆0 ❞✐0❝✉00❡❞ ✐♥ ❬✹✽✱ ✺✵❪✱ 2❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ γ2 2b2 ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥0✐❞❡(❡❞ ❛0 ❛♥ ❡✛❡❝2✐✈❡ ♠♦♠❡♥2✉♠ ✈❛❧✉❡✱ keff ✱ ❛♥❞ 2❤❡ ❛0②♠♣2♦2✐❝ ✈❛❧✉❡ ♦❢ 2❤❡ ❜❛0✐0 ❢✉♥❝2✐♦♥0 ✐0 e−γ2 2b2|x| ✳ ❆0 γ/b ✐♥❝(❡❛0❡0 ✭❞❡❝(❡❛0❡0✮ 2❤❡ ❜❛0✐0 0♣❛2✐❛❧ ❡①2❡♥0✐♦♥ ❞❡❝(❡❛0❡0 ✭✐♥❝(❡❛0❡0✮✳ ❆❧0♦✱ 2❤✐0 (❛2✐♦ ❞✐❝2❛2❡0 2❤❡ ❞❡♥0✐2② ♦❢ L❙✬0 ❛0 ❛ ❢✉♥❝2✐♦♥ ♦❢ 2❤❡ ❡①❝✐2❛2✐♦♥ ❡♥❡(❣②✳ ❋♦( 0♠❛❧❧ ✈❛❧✉❡0 ♦❢ γ/b ✱ 2❤❡ ♣♦0✐2✐✈❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡0 2❡♥❞ 2♦ ❝♦♥❝❡♥2(❛2❡ ❛2 ❧♦✇❡( ❡♥❡(❣✐❡0✳ ❚❤✐0 ✉0❡❢✉❧ ♣(♦♣❡(2② ♦❢ ❚❍❖ ❜❛0✐0 ♠❛❦❡0 2❤✐0 ❛♣♣(♦❛❝❤ ❛♥ ❛♣♣❡❛❧✐♥❣ ❛❧2❡(♥❛2✐✈❡ 2♦ ❍❖ ❬✺✵❪✳ ❋♦( ❧❛(❣❡ γ/b ✈❛❧✉❡0 2❤❡ ❚❍❖ (❡❛❝❤❡0 2❤❡ ❍❖ ❧✐♠✐2✳ ❚❤❡ ✐♠♣(♦✈❡❞ ❛0②♠♣2♦2✐❝ ✇❛✈❡❢✉♥❝2✐♦♥ ❜❡❤❛✈✐♦( ✐0 ❛0❝❡(2❛✐♥❡❞ ✸✹ ✷✳ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ )*❛*❡) ♦❢ ❛ ♣❛.*✐❝❧❡ ✐♥ ❛ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ✇❡❧❧ ❝♦♠♣✉*✐♥❣ *❤❡ ❜♦✉♥❞ )*❛*❡) ❡♥❡.❣② ❝♦♥✈❡.❣❡♥❝❡✳ ■❢ ✇❡ ✜① *❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ 5 ❦❡❱ ❛) *❤❡ ❡♥❡.❣② ❝♦♥✈❡.❣❡♥❝❡ ❣♦❛❧✱ ❛ ❜❛)✐) ✇✐*❤ N= 50 ❢✉♥❝*✐♦♥) ✐) ♥❡❡❞❡❞ ❢♦. γ/b = 2.4 ❢♠ −1/2 ✭❛) ✐♥ *❤❡ ❍❖ ❝❛)❡✮ ✇❤✐❧❡ ✐* ✐) ❡♥♦✉❣❤ ✇✐*❤ N= 20 ❢♦. γ/b = 1.2 ❢♠ −1/2 ✳ ❆❧❧ ❚❍❖ .❡)✉❧*) ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❝❛❧❝✉❧❛*❡❞ ❢♦. γ/b = 1.2 ❢♠ −1/2 ✳ ❚❤❡ *❤✐.❞ ♦♣*✐♦♥ ❝♦♥)✐❞❡.❡❞ ❢♦. ♦❜*❛✐♥✐♥❣ ♣)❡✉❞♦)*❛*❡) ✐) ❡♥❝❧♦)✐♥❣ *❤❡ )②)*❡♠ ✐♥ ❛ .✐❣✐❞ ✇❛❧❧ ❜♦① ✭)❡❡ )❡❝*✐♦♥ ✷✳✶✳✷✮✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ♣❛.❛♠❡*❡. ✐♥ *❤✐) ❝❛)❡ ✐) *❤❡ ❜♦① ✇✐❞*❤✱ xb ✳ ■♥ *❤❡ ❧❡❢* ♣❛♥❡❧) ♦❢ ✜❣✉.❡ ✷✳✹ ✇❡ ❞❡♣✐❝* *❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡) ♦❢ *❤❡ ❛❞♦♣*❡❞ ❲♦♦❞)✲❙❛①♦♥ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ❛) ❛ ❢✉♥❝*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ ❜❛)✐) ❞✐♠❡♥)✐♦♥ ◆ ♦. *❤❡ ❜♦① .❛❞✐✉) xb ✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ *❤❡ ♠❡*❤♦❞✳ ◆❡❣❛*✐✈❡ ❡♥❡.❣② ❧❡✈❡❧) ❝♦♥✈❡.❣❡ *♦ *❤❡ ❜♦✉♥❞ )*❛*❡ ❡♥❡.❣✐❡) K✉✐*❡ ❢❛)*✳ ❲❡ ❝♦♥)✐❞❡. *❤❛* ❛♥ ❡♥❡.❣② ❧❡✈❡❧ ✐) ❝♦♥✈❡.❣❡❞ ✇❤❡♥ ∆E≤5 ❦❡❱ ❢♦. ❛ ❞✐♠❡♥)✐♦♥ ✐♥❝.❡♠❡♥* ∆N= 10 ✳ ❆) ❡①♣❡❝*❡❞✱ *❤❡ ❝♦♥✈❡.❣❡♥❝❡ ✐) ♠✉❝❤ ❢❛)*❡. ❢♦. *❤❡ ❣.♦✉♥❞ ❛♥❞ ✜.)* ❡①❝✐*❡❞ )*❛*❡) *❤❛♥ ❢♦. *❤❡ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ )❡❝♦♥❞ ❡①❝✐*❡❞ )*❛*❡✳ ■♥ *❤❡ .✐❣❤* ♣❛♥❡❧) ♦❢ ✜❣✉.❡ ✷✳✹ ✇❡ )❤♦✇ ❢♦. ❞✐✛❡.❡♥* ♣❛.❛♠❡*❡. ✈❛❧✉❡) *❤❡ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ )*❛*❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝*✐♦♥ *❛✐❧)✱ ✇❤❡.❡ *❤❡ ♠❛❥♦. ❞✐✛❡.❡♥❝❡) ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞✳ ▲❛.❣❡ ◆ ✈❛❧✉❡) ✭✐♥ ❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖ ❝❛)❡)✮ ❛.❡ .❡K✉✐.❡❞ *♦ ❡①*❡♥❞ *♦✇❛.❞) ❧❛.❣❡ x ✈❛❧✉❡)✱ .❡♣.♦❞✉❝✐♥❣ *❤❡ ❡①♣♦♥❡♥*✐❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦✉.✳ ◆♦*❡ *❤❛* *❤❡ ❚❍❖ ❛♣♣.♦❛❝❤ ❧❡❛❞) *♦ ❛ ❢❛)*❡. ❝♦♥✈❡.❣❡♥❝❡ *❤❛♥ *❤❡ ♦.✐❣✐♥❛❧ ❍❖ ❛♣♣.♦❛❝❤✳ ❋♦. *❤❡ ❇❖❳ ❝❛)❡ ✇❡ )❤♦✇ *❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝*✐♦♥ *❛✐❧ ❢♦. ❞✐✛❡.❡♥* ❜♦① )✐③❡)✳ ❆) ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❡ )❤♦✇ *❤❡ ❝♦♥✈❡.❣❡♥❝❡ ♦❢ *❤❡ ❜♦✉♥❞ ❧❡✈❡❧ ❡♥❡.❣② ✇✐*❤ ❛ )♠❛❧❧ ♥✉♠❜❡. ♦❢ ❜❛)✐) )*❛*❡) ✐♥ ✜❣✉.❡ ✷✳✺✳ ■♥ *❤✐) ❡①❛♠♣❧❡ ✇❡ ✉)❡❞ *❤❡ ❍❖ ❝❛❧❝✉❧❛*✐♦♥ ❛♣♣❧✐❡❞ *♦ ❛ ❲♦♦❞)✲❙❛①♦♥ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ✷✳✶ ♦❢ ♣❛.❛♠❡*❡.) V0=−2.5 ▼❡❱✱ R= 3.0 ❢♠✱ α= 0.6 ❢♠✱ ❛♥❞ ❛ .❡❞✉❝❡❞ ♠❛)) ♦❢ µ= 0.975 ❛♠✉✳ ✷✳✸✳ ❈♦♥✈❡(❣❡♥❝❡ ♦❢ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡0 ❛♥❞ ❡✐❣❡♥❢✉♥❝2✐♦♥0 ✸✺ 50 100 150 Basis Dimension N -40 -30 -20 -10 0 10 20 Energy (MeV) 10 20 30 40 50 60 x (fm) 0,0001 0,001 0,01 0,1 Weakly-bound wavefunction N = 50 N = 150 N = 200 ✭❛✮ ❍❖ 10 20 30 40 50 60 Basis Dimension N -40 -30 -20 -10 0 10 20 Energy (MeV) 10 20 30 40 50 60 x (fm) 0,0001 0,001 0,01 0,1 Weakly-bound wavefunction N = 15 N = 35 N = 55 ✭❜✮ ❚❍❖ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ___ ___ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 25 30 35 40 45 50 55 xbox (fm) -40 -30 -20 -10 0 10 20 Energy (MeV) 10 20 30 40 50 60 x (fm) 0,0001 0,001 0,01 0,1 Weakly-bound wavefunction xb = 30 fm xb = 40 fm xb = 50 fm ✭❝✮ ❇❖❳ ❋✐❣✉$❡ ✷✳✹✿ ▲❡❢, ♣❛♥❡❧1✿ ❊✐❣❡♥✈❛❧✉❡1 ♦❢ ,❤❡ ❲♦♦❞1✲❙❛①♦♥ ♠♦❞❡❧ ♣♦,❡♥,✐❛❧ ❛1 ❛ ❢✉♥❝,✐♦♥ ♦❢ ,❤❡ ♥✉♠❜❡$ ♦❢ ❜❛1✐1 1,❛,❡1 ✭✐♥ ,❤❡ ❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖ ❝❛1❡✮ ❛♥❞ ❛1 ❛ ❢✉♥❝,✐♦♥ ♦❢ ,❤❡ ❜♦① $❛❞✐✉1 ✭✐♥ ,❤❡ ❇❖❳ ❝❛1❡✮✳ ❘✐❣❤, ♣❛♥❡❧1✿ ❛1②♠♣,♦,✐❝ 1♣❛,✐❛❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ ,❤❡ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ 1,❛,❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝,✐♦♥ ✭✐♥ ❧♦❣❛$✐,❤♠✐❝ 1❝❛❧❡✮ ❛1 ❛ ❢✉♥❝,✐♦♥ ♦❢ x ❢♦$ ❞✐✛❡$❡♥, ♣❛$❛♠❡,❡$1 ✈❛❧✉❡1✳ ✸✻ ✷✳ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ )*❛*❡) ♦❢ ❛ ♣❛.*✐❝❧❡ ✐♥ ❛ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ✇❡❧❧ ❋✐❣✉.❡ ✷✳✺✿ ❊①❛♠♣❧❡ ♦❢ *❤❡ ❝♦♥✈❡.❣❡♥❝❡ ♦❢ *❤❡ ❜♦✉♥❞ ❡♥❡.❣② ❢♦. ❛ ❍❖ ❝❛❧❝✉✲ ❧❛*✐♦♥ ✭.❡❞ )*❛..❡❞ ❧✐♥❡✮✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ❛ )♠❛❧❧ ♥✉♠❡❜. ♦❢ ❜❛)✐) )*❛*❡) NHO ✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ *❤❡ ❜♦✉♥❞ )*❛*❡ ❡♥❡.❣② ❢♦. *❤✐) ❝❛)❡ ✐) ✐♥❞✐❝❛*❡❞ ❜② *❤❡ ❣.❡❡♥ ❞♦**❡❞ ❧✐♥❡✳ ❚❤✐) ❝❛❧❝✉❧❛*✐♦♥ ❤❛) ❜❡❡♥ ♠❛❞❡ ✇✐*❤ ❛ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ✷✳✶ ♦❢ ♣❛.❛♠❡*❡.) V0=−2.5 ▼❡❱✱ R= 3.0 ❢♠✱ α= 0.6 ❢♠✱ ❛♥❞ ❛ .❡❞✉❝❡❞ ♠❛)) ♦❢ µ= 0.975 ❛♠✉✳ ✷✳✹ ▼❛%&✐① ❡❧❡♠❡♥%- ❜❡%✇❡❡♥ ❣&♦✉♥❞ -%❛%❡ ❛♥❞ ❝♦♥✲ %✐♥✉✉♠ -%❛%❡- ■♥ *❤✐) )❡❝*✐♦♥ ✇❡ ♣.❡)❡♥* .❡)✉❧*) ❢♦. *❤❡ *.❛♥)✐*✐♦♥ ♣.♦❜❛❜✐❧✐*✐❡) ❢♦. *❤❡ ① ❛♥❞ ① 2 ♦♣❡.❛*♦.) ❢.♦♠ ❛ ❜♦✉♥❞ )*❛*❡ *♦ ❡①❝✐*❡❞ )*❛*❡) ❛* ♣♦)✐*✐✈❡ ❡♥❡.❣✐❡)✳ ❚♦ ❡♥❤❛♥❝❡ *❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ *❤✐) ♠❛*.✐① ❡❧❡♠❡♥*✱ ✇❡ ❝❤♦♦)❡ *❤❡ ❧❡❛)* ❜♦✉♥❞ )*❛*❡ ♦❢ ♦✉. ❲♦♦❞)✲❙❛①♦♥ ✇❡❧❧✳ ❚❤❡)❡ ❛.❡ *❤❡ ✶❉ ❡M✉✐✈❛❧❡♥* ♦❢ *❤❡ ❞✐♣♦❧❡ ❛♥❞ M✉❛❞.✉♣♦❧❡ *.❛♥)✐*✐♦♥ )*.❡♥❣*❤) *♦ *❤❡ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ✐♥ ✸❉✳ ❆) ✐* ✐) ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥✱ *❤❡ ❧♦✇ ❜✐♥❞✐♥❣ ❡♥❡.❣② ♦❢ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ )②)*❡♠) )*.♦♥❣❧② ❛✛❡❝*) *❤❡ .❡)♣♦♥)❡ *♦ *❤❡ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ❛♥❞✱ *❤❡.❡❢♦.❡✱ *❤❡ ❝♦♥✈❡.❣❡♥❝❡ ♦❢ *❤❡)❡ ♠❛*.✐① ❡❧❡♠❡♥*) ✐) ❛ ❝.✉❝✐❛❧ *❡)* ❢♦. *❤❡ ❞✐)❝.❡*✐③❛*✐♦♥ ♣.♦❝❡❞✉.❡)✳ ❚❤❡ *.❛♥)✐*✐♦♥ ♣.♦❜❛❜✐❧✐*② ❜❡*✇❡❡♥ ❜♦✉♥❞ )*❛*❡) ♦. ❜❡*✇❡❡♥ ❛ ❜♦✉♥❞ )*❛*❡ ❛♥❞ ❛ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ♣)❡✉❞♦)*❛*❡ ✭)❡❡ *❤❡ ❞✐)❝✉))✐♦♥ ✐♥ ❬✺✷❪✮ ❝❛♥ ❜❡ ✇.✐**❡♥ ❛) Bn(b→i) = |hΨb|On(x)|Ψii|2. ✭✷✳✹✺✮ ✇✐*❤ On(x) = x ❛♥❞ x2 ❢♦. ♥❂ ✶ ❛♥❞ ✷✱ .❡)♣❡❝*✐✈❡❧②✳ ❚❤❡.❡❢♦.❡ ✇❡ ♥❡❡❞ *♦ ✷✳✹✳ ▼❛%&✐① ❡❧❡♠❡♥%- ❜❡%✇❡❡♥ ❣&♦✉♥❞ -%❛%❡ ❛♥❞ ❝♦♥%✐♥✉✉♠ -%❛%❡- ✸✼ ❝♦♠♣✉%❡ %❤❡ ✐♥%❡❣&❛❧- hΨb|On(x)|Ψii=Z+∞ −∞ dxΨ∗ b(x)On(x)Ψi(x). ✭✷✳✹✻✮ ❇② ❝❤❛♥❣✐♥❣ %❤❡ ♣❛&❛♠❡%❡&- ◆ ♦& xb ✇❡ ❡①♣❡❝% ❛ ❞✐✛❡&❡♥❝❡ ✐♥ %❤❡ ❞❡♥-✐%② ♦❢ ❝♦♥%✐♥✉✉♠ ❧❡✈❡❧- ✭❛- ♣&❡✈✐♦✉-❧② -❤♦✇♥ ✐♥ %❤❡ ❧❡❢% ♣❛♥❡❧- ♦❢ ✜❣✉&❡ ✷✳✹✮✳ ❋♦& ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐♥ ✜❣✉&❡ ✷✳✻ ✇❡ ♣&❡-❡♥% %❤❡ ❞✐✛❡&❡♥% ❞✐-%&✐❜✉%✐♦♥- ♦❢ ❇ 1 ✐♥%❡♥-✐%✐❡- ♦❜%❛✐♥❡❞ ✇✐%❤ %❤❡ ❚❍❖ ♣&♦❝❡❞✉&❡ ❢♦& ◆ ❂ ✸✺ ❛♥❞ ◆ ❂ ✽✺✱ ✇❤❡&❡ %❤✐- ❡✛❡❝% ❝❛♥ ❜❡ ❝❧❡❛&❧② ❛♣♣&❡❝✐❛%❡❞✳ 0 3 6 9 Energy (MeV) 0 3 6 9 12 B1 (fm2) N = 35 N = 85 ❋✐❣✉&❡ ✷✳✻✿ ❇ 1 %&❛♥-✐%✐♦♥ ✐♥%❡♥-✐%✐❡- ❝❛❧❝✉❧❛%❡❞ ❢♦& %❤❡ ✜&-% ❡①❝✐%❡❞ ✭ b= 2 ✮ ♦❢ %❤❡ ❲♦♦❞-✲❙❛①♦♥ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ♦❢ ❋✐❣✉&❡ ✷✳✶✱ ✉-✐♥❣ ❛ ❚❍❖ ❜❛-✐- ✇✐%❤ ◆❂✸✺ ✭❞❛&❦ ❜❛&-✮ ❛♥❞ ◆ ❂ ✽✺ ✭&❡❞ ❧✐❣❤% ❜❛&-✮✳ ❚❤❡ ❇ 1 ❛♥❞ ❇ 2 ❞✐-%&✐❜✉%✐♦♥- ❢♦& ❍❖✱ ❚❍❖✱ ❛♥❞ ❇❖❳ ❝❛-❡- ❛&❡ -❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉&❡ ✷✳✼ ❢♦& %❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛%✐♦♥- -%❛&%✐♥❣ ❢&♦♠ %❤❡ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ -❡❝♦♥❞ ❡①❝✐%❡❞ -%❛%❡ Ψ2(x) ✳ ❋♦& ❛ ❜❡%%❡& ❝♦♠♣❛&✐-♦♥ ♦❢ %❤❡ ❝♦♥✈❡&❣❡♥❝❡ ♣&♦♣❡&✲ %✐❡-✱ ✐♥ %❤❡ ❧❛-% &♦✇ ♦❢ ♣❛♥❡❧- ♦❢ ✜❣✉&❡ ✷✳✼ ✇❡ ❛❧-♦ ❞✐-♣❧❛② %❤❡ -✉♠♠❡❞ Tot(B1)2→i=PN i=1 | hΨ2|x|Ψii |2 ❛♥❞ Tot(B2)2→i=PN i=1 | hΨ2|x2|Ψii |2 %&❛♥-✐%✐♦♥ ✐♥%❡♥-✐%✐❡- ❛- ❛ ❢✉♥❝%✐♦♥ ♦❢ %❤❡ ❡①❝✐%❛%✐♦♥ ❡♥❡&❣②✳ ❚❤❡-❡ -❤♦✉❧❞ ❜❡ ❝❛❧❝✉❧❛%❡❞ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ✐♥ %❤❡ {Ψi} -❡% ♦♥❧② %❤♦-❡ -%❛%❡- ❛❜♦✈❡ %❤❡ ✐♥✐%✐❛❧ -%❛%❡ Ψ2 ✱ ✐✳❡✳ ♦♥❧② %❤❡ ❝♦♥%✐♥✉✉♠ -%❛%❡- ✐♥ ♦✉& ❝❛-❡✳ ❍♦✇❡✈❡&✱ ✐♥ %❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛%✐♦♥ ♦❢ %❤❡ -✉♠♠❡❞ -%&❡♥❣%❤ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ❛❧-♦ %❤❡ %&❛♥-✐%✐♦♥ %♦ ❧♦✇❡& ❡♥❡&❣② ❜♦✉♥❞ -%❛%❡-✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥ ♣&✐♥❝✐♣❧❡ ❛&❡ ♦❝❝✉♣✐❡❞ ❜② %❤❡ ❝♦&❡ ♣❛&%✐❝❧❡- ❛♥❞ %❤✉- R❛✉❧✐ ❢♦&❜✐❞❞❡♥✳ ■♥ %❤✐- ✇❛② ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♠♣❛&❡ %❤❡ &❡-✉❧%- ✇✐%❤ %❤❡ -✉♠ &✉❧❡-✱ %❤❛% ❡♥❝♦♠♣❛-- ❛❧❧ %❤❡ -%❛%❡-✳ ✸✽ ✷✳ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ )*❛*❡) ♦❢ ❛ ♣❛.*✐❝❧❡ ✐♥ ❛ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ✇❡❧❧ 0 3 6HO 0 3 6 B1 (fm2) THO 0 3 6 BOX 012 3 4 5 Energy (MeV) 0 15 30 Tot(B1) (fm2) Expected value ✭❛✮ ❇✶ 0 1000 HO 0 1000 B2 (fm4) THO 0 1000 BOX 012 3 4 Energy (MeV) 0 1500 3000 Tot(B2) (fm4) Expected value ✭❜✮ ❇✷ ❋✐❣✉.❡ ✷✳✼✿ ❇ 1 ✭✉♣♣❡. ❢♦✉. ♣❛♥❡❧)✮ ❛♥❞ ❇ 2 ✭❧♦✇❡. ❢♦✉. ♣❛♥❡❧)✮ ❡♥❡.❣② ❞✐)*.✐✲ ❜✉*✐♦♥) ❝❛❧❝✉❧❛*❡❞ )*❛.*✐♥❣ ❢.♦♠ *❤❡ *❤✐.❞ ❜♦✉♥❞ )*❛*❡ ✇✐*❤ *❤❡ ❍❖✱ ❚❍❖ ❛♥❞ ❇❖❳ ♠❡*❤♦❞) ✭✉)✐♥❣ ◆ HO = 250 ✱ ◆ THO = 85 ✱ ❛♥❞ xb= 100 ❢♠✮✳ ■♥ *❤❡ ❧❛)* .♦✇) *❤❡ ❝✉♠✉❧❛*✐✈❡ )*.❡♥❣*❤) ✭ Tot(B1) ❛♥❞ Tot(B2) ✮ ❢♦. ❡❛❝❤ ❝❛)❡ ❛.❡ )❤♦✇♥ ❛) ❛ ❢✉♥❝*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ ❡①❝✐*❛*✐♦♥ ❡♥❡.❣② ❛♥❞ ❝♦♠♣❛.❡❞ *♦ *❤❡ )✉♠ .✉❧❡ ❡①♣❡❝*❡❞ ✈❛❧✉❡ ✭❣.❡❡♥ ❞♦**❡❞ ❧✐♥❡)✮✳ ✷✳✹✳ ▼❛%&✐① ❡❧❡♠❡♥%- ❜❡%✇❡❡♥ ❣&♦✉♥❞ -%❛%❡ ❛♥❞ ❝♦♥%✐♥✉✉♠ -%❛%❡- ✸✾ ❋♦& ♦✉& ♦♥❡✲❜♦❞② ♣&♦❜❧❡♠✱ %❤❡ ❚♦%❛❧ ❙%&❡♥❣%❤ ❙✉♠ ❘✉❧❡ ✭❚❙❙❘✮ ❢♦& ❛ ♦♣❡&❛%♦& O ✐- S(b) T(O, N) = N−1 X i=0 | hΨb|O(x)|Ψii |2, ✭✷✳✹✼✮ ✇❤❡&❡ |Ψbi ✐- %❤❡ ❜♦✉♥❞ -%❛%❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝%✐♦♥ ✭ |Ψ2i ✐♥ ♦✉& ❝❛-❡✮ ❛♥❞ {|Ψii}N i=1 ✐- %❤❡ -❡% ♦❢ ❜♦✉♥❞ -%❛%❡- ♣❧✉- ♣-❡✉❞♦-%❛%❡-✳ ❚❤✐- E✉❛♥%✐%② ❝❛♥ ❜❡ ✇&✐%%❡♥ ✐♥ ❝❧♦-❡❞✲❢♦&♠✱ ♠❛❦✐♥❣ ✉-❡ ♦❢ %❤❡ ❝♦♠♣❧❡%❡♥❡-- ♦❢ %❤❡ ❜❛-✐-✳ ❚❤✐- ②✐❡❧❞- lim N→∞ S(b) T(O, N) = hΨb|O2(x)|Ψbi ✭✷✳✹✽✮ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ❡❛-✐❧② ❝❛❧❝✉❧❛%❡❞ ♥✉♠❡&✐❝❛❧❧② ❢&♦♠ %❤❡ ❜♦✉♥❞ -%❛%❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝✲ %✐♦♥-✳ ❚❤❡-❡ ✈❛❧✉❡- ❛&❡ ❞❡♣✐❝%❡❞ ✐♥ ✜❣✉&❡ ✷✳✼ ❛- ❣&❡❡♥ ❤♦&✐③♦♥%❛❧ ❞♦%%❡❞ ❧✐♥❡- ❛♥❞✱ ❛- ♦♥❡ ❝❛♥ -❡❡✱ ✇❡ ✜♥❞ ❛ ❣♦♦❞ ❛❣&❡❡♠❡♥% ❢♦& ❛❧❧ ❞✐-❝&❡%✐③❛%✐♦♥ ♣&♦❝❡❞✉&❡-✳ ❆♥♦%❤❡& ✉-❡❢✉❧ E✉❛♥%✐%② %♦ ❛--❡-- %❤❡ ❣♦♦❞♥❡-- ♦❢ ❛ ❝♦♥%✐♥✉✉♠ ❞✐-❝&❡%✐③❛✲ %✐♦♥ ✐- %❤❡ ❊♥❡&❣② ❲❡✐❣❤%❡❞ ❙✉♠ ❘✉❧❡ ✭❊❲❙❘✮ E(b) W(O, N) = N−1 X i=0 (Ei−Eb)| hΨb|O(x)|Ψii |2, ✭✷✳✹✾✮ ✇❤❡&❡✱ ❛❣❛✐♥✱ |Ψbi ✐- %❤❡ ❜♦✉♥❞ -%❛%❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝%✐♦♥ ❛♥❞ {|Ψii}N i=1 ✐- %❤❡ -❡% ♦❢ ❜♦✉♥❞ -%❛%❡- ♣❧✉- ♣-❡✉❞♦-%❛%❡-✳ ❚❤❡ ❊❲❙❘ ❝❛♥ ❜❡ ❛❧-♦ ✇&✐%%❡♥ ✐♥ ❝❧♦-❡❞✲ ❢♦&♠✱ ♠❛❦✐♥❣ ✉-❡ ❛❣❛✐♥ ♦❢ %❤❡ ❝♦♠♣❧❡%❡♥❡-- ♦❢ %❤❡ ✐♥%❡&♠❡❞✐❛%❡ -%❛%❡-✳ ❚❤✐- ❣✐✈❡- lim N→∞ E(b) W(On, N) = 1 2 ~2 µhΨb|dOn(x) dx 2 |Ψbi. ✭✷✳✺✵✮ ❚❤✉- ✐♥ %❤❡ ❝❛-❡ ♦❢ O1=x ✱ ❛- ❞❡♠♦♥-%&❛%❡❞ ✐♥ ❛♣♣❡♥❞✐① ❉✳✷✱ ✐% &❡-✉❧%- E(b) W(x, N → ∞) = 1 2 ~2 µ, ✭✷✳✺✶✮ ✇❤✐❧❡ ❢♦& O2=x2 E(b) W(x2, N → ∞) = 2~2 µhΨb|x2|Ψbi. ✭✷✳✺✷✮ ❚❤❡-❡ ✈❛❧✉❡- ❛&❡ ❝♦♠♣❛&❡❞ ✐♥ %❛❜❧❡ ✷✳✶ ✇✐%❤ %❤♦-❡ ❝❛❧❝✉❧❛%❡❞ ❢♦& ❞✐✛❡&❡♥% ✈❛❧✉❡- ♦❢ ◆ ❢♦& %❤❡ ❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖ ❞✐-❝&❡%✐③❛%✐♦♥ ♣&♦❝❡❞✉&❡- ❛♥❞ ✐♥ %❛❜❧❡ ✷✳✷ ❢♦& ❞✐✛❡&❡♥% ✈❛❧✉❡- ♦❢ xb ❢♦& %❤❡ ❇❖❳ ♣&♦❝❡❞✉&❡✱ -✉♠♠✐♥❣ %❤❡ ❝♦♥%&✐❜✉%✐♦♥- ✹✻ ✸✳ ❙❝❛%%❡'✐♥❣ ♦❢ ♦♥❡✲♣❛'%✐❝❧❡ ✐♥ %❤❡ ✜❡❧❞ ♦❢ %✇♦ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ✇❡❧❧4 t ✱ x0 ✐4 %❤❡ ♣'♦❥❡❝%✐❧❡ ♣♦4✐%✐♦♥ ❛% t= 0 ♣4 ✇❤✐❝❤ ❝♦''❡4♣♦♥❞4 %♦ %❤❡ ♠♦♠❡♥% ♦❢ ❞✐4%❛♥❝❡ ♦❢ ❝❧♦4❡4% ❛♣♣'♦❛❝❤✱ v ✐4 %❤❡ ❛4②♠♣%♦%✐❝ ✈❡❧♦❝✐%② ♦❢ %❤❡ ♣'♦❥❡❝%✐❧❡✱ ❛44✉♠❡❞ %♦ ❜❡ ❝♦♥4%❛♥% ✉♥%✐❧ t=tinitial ✐♥ ✇❤✐❝❤ ✐% 4%❛'%4 %♦ ❢❡❡❧ %❤❡ ✐♥%❡'✲ ❛❝%✐♦♥ ✇✐%❤ %❤❡ %❛'❣❡% ❛♥❞ ❛❝❝❡❧❡'❛%❡4 ✇✐%❤ ❝♦♥4%❛♥% ❛❝❝❡❧❡'❛%✐♦♥ a ✳ ■♥ %❤✐4 ❝❛4❡ ✇❡ ❝❤♦♦4❡ %❤❡ 4♣❛%✐❛❧ ❣'✐❞ ✐♥%❡'✈❛❧ dx = 0.2 ❢♠ ❛♥❞ %❤❡ %✐♠❡ ✐♥%❡'✈❛❧ dt ✱ ❆❧%❡'♥❛%✐✈❡❧②✱ ✇❡ ✉4❡ %❤❡ %'❛❥❡❝%♦'② ♣'♦♣♦4❡❞ ✐♥ ❬✸✺❪ xp(t) = x0+pρ2+ (vt)2−ρ, ✭✸✳✸✮ %❤❛% ❛❝❝♦✉♥%4 ❢♦' %❤❡ ♣'♦❥❡❝%✐❧❡ ♠♦%✐♦♥ ✇✐%❤ ✜①❡❞ ❛4②♠♣%♦%✐❝ ✈❡❧♦❝✐%② v ❛% ❧❛'❣❡ ❞✐4%❛♥❝❡✱ ❝♦''❡4♣♦♥❞✐♥❣ %♦ ❛♥ ❛4②♠♣%♦%✐❝ ❡♥❡'❣② EP= 1/2mv2 ✱ ✇❤✐❝❤ '❡❣✉❧❛%❡4 %❤❡ ❡✛❡❝%✐✈❡ ❞✉'❛%✐♦♥ ♦❢ %❤❡ '❡❛❝%✐♦♥ ✭%❤❡ ❤✐❣❤❡' %❤❡ ❛4②♠♣%♦%✐❝ ❡♥❡'❣②✱ %❤❡ ❢❛4%❡' ✐4 %❤❡ '❡❛❝%✐♦♥✮✱ ❛♥❞ ❛ ❞✐4%❛♥❝❡ ♦❢ ❝❧♦4❡4% ❛♣♣'♦❛❝❤ x0 ❜❡%✇❡❡♥ %❤❡ %✇♦ ❝❡♥%❡'4 ♦❢ %❤❡ ♣♦%❡♥%✐❛❧4✳ ❚❤✐4 %'❛❥❡❝%♦'② ❞✐✛❡'4 ❢'♦♠ %❤❡ ♣'❡✈✐♦✉4 ♦♥❡ ✐♥ %❤❡ ❢❛❝% %❤❛% %❤❡ ♣'♦❥❡❝%✐❧❡ ✐4 ❝❤❛♥❣✐♥❣ ✐%4 ❛❝❝❡❧❡'❛%✐♦♥ ♦✈❡' %❤❡ ❞✐4%❛♥❝❡ ρ ✱ %❤✉4 4✐♠✉❧❛%✐♥❣ %❤❡ ♥✉❝❧❡❛' ✐♥%❡'❛❝%✐♦♥ ✇✐%❤ %❤❡ %❛'❣❡%❀ ✐♥ ❢❛❝% ❛% t=±∞ %❤❡ %'❛❥❡❝%♦'② %❡♥❞4 %♦ ❛ ✉♥✐❢♦'♠ ♠♦%✐♦♥ ✇✐%❤ ③❡'♦ ❛❝❝❡❧❡'❛%✐♦♥✳ ■% ✐4 ❛❧4♦ ♠♦'❡ ✐♥%✉✐%✐✈❡✱ ❜❡❝❛✉4❡ ✐% ❛❧❧♦✇4 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'✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥' /♦❧✉'✐♦♥ ✹✼ ♣❛5'✐❝❧❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝'✐♦♥✳ ❋♦5 ❡①❛♠♣❧❡✱ '♦ ❞❡/❝5✐❜❡ ❛ ♣✐❝❦✲✉♣ 5❡❛❝'✐♦♥ ✇❡ ✇✐❧❧ ❝❤♦♦/❡ ❛/ ✐♥✐'✐❛❧ /'❛'❡ ❛ /✐♥❣❧❡✲♣❛5'✐❝❧❡ ❧❡✈❡❧ ✐♥ '❤❡ '❛5❣❡'✳ ■♥ '❤❡ /✐♠✉❧❛'✐♦♥/ ♣5❡/❡♥'❡❞ ❤❡5❡ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛❧✇❛②/ ❝❤♦♦/❡ ❛ '❛5❣❡' ✇❛✈❡❢✉♥❝'✐♦♥ ❛/ ✐♥✐'✐❛❧ ♦♥❡✳ ■♥ ✜❣✉5❡ ✸✳✶ ✇❡ ♣5❡/❡♥' '❤❡ ✐♥✐'✐❛❧ /✐'✉❛'✐♦♥ ✇✐'❤ '❤❡ '❛5❣❡' ❛♥❞ ♣5♦❥❡❝'✐❧❡ ♣♦'❡♥'✐❛❧/ ✐♥ '❤❡✐5 ✐♥✐'✐❛❧ ♣♦/✐'✐♦♥/ ♦♥ '❤❡ /♣❛'✐❛❧ ❣5✐❞✳ ❋✐❣✉5❡ ✸✳✶✿ ❚❛5❣❡' ❛♥❞ ♣5♦❥❡❝'✐❧❡ ♣♦'❡♥'✐❛❧/ ✐♥ '❤❡✐5 ✐♥✐'✐❛❧ ♣♦/✐'✐♦♥/ ♦♥ '❤❡ /♣❛'✐❛❧ ❣5✐❞✳ ❚❤❡ ❛55♦✇/ /❝❤❡♠❛'✐❝❛❧❧② ✐♥❞✐❝❛'❡ '❤❡ ♣♦'❡♥'✐❛❧ ♠♦'✐♦♥✳ ❚❤❡ ♣5♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ /♦❧✈❡❞ ✐♥ ♠❛♥② ❞✐✛❡5❡♥' ✇❛②/✳ ❖♥ ♦♥❡ ❤❛♥❞✱ ✇❡ ❝❛♥ ❣❡' '❤❡ ❡①❛❝' /♦❧✉'✐♦♥ ♦❢ '❤❡ ♣5♦❜❧❡♠ ❜② ♥✉♠❡5✐❝❛❧❧② /♦❧✈✐♥❣ '❤❡ ❝♦55❡/♣♦♥❞✲ ✐♥❣ '✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥' ❙❝❤5♦❡❞✐♥❣❡5 ❡H✉❛'✐♦♥ ✭/❡❝'✐♦♥ ✸✳✶✮✳ ❖♥ '❤❡ ♦'❤❡5 ❤❛♥❞✱ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜'❛✐♥ ❛♥ ❛♣♣5♦①✐♠❛'❡ /♦❧✉'✐♦♥ ✉/✐♥❣ '❤❡ ♠❡'❤♦❞/ ✉/✉❛❧❧② ❛♣♣❧✐❡❞ ✐♥ /♦❧✈✐♥❣ '❤5❡❡✲❞✐♠❡♥/✐♦♥❛❧ /❝❛''❡5✐♥❣ ♣5♦❜❧❡♠/ ✭/❡❝'✐♦♥/ ✸✳✸ ❛♥❞ ✸✳✷✮✳ ✸✳✶ ❊①❛❝' '✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥' /♦❧✉'✐♦♥ ■♥ '❤❡ ❝❛/❡ ♦❢ ✏❡①❛❝'✑ /♦❧✉'✐♦♥✱ ✇❡ ♣5♦❝❡❡❞ '♦ ❝♦♠♣✉'❡ 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4✉❝❤ ❛4 %❤❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉%%❛ ♠❡%❤♦❞✳ ❋♦' %❤❛%✱ ✐♥ %❤✐4 ✇♦'❦ ✇❡ ♠❛❦❡ ✉4❡ ♦❢ %❤❡ '♦✉%✐♥❡4 ❉✵✷#❱❋ ❛♥❞ ❉✵✷#❈❋ ♦❢ %❤❡ ♥❛❣ ❧✐❜'❛'② ✷ ✳ ❆❧%❤♦✉❣❤ %❤✐4 4♦❧✉%✐♦♥ ♣'❡✈❡♥%4 ✉4 ❢'♦♠ ❛ ❝♦♠♣❧❡%❡ ❝♦♥%'♦❧ ♦❢ %❤❡ ❝♦❞❡✱ ✐% ✇❛4 ❢♦✉♥❞ %♦ ❜❡ ❢❛4%❡' %❤❛♥ %❤❡ I❛❞J ♠❡%❤♦❞✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ❛❧4♦ ✈❡'✐✜❡❞ %❤❛% ❜♦%❤ ♠❡%❤♦❞4 ❧❡❛❞ %♦ ✐❞❡♥%✐❝❛❧ '❡4✉❧%4✳ ❆% %❤❡ ❡♥❞ ♦❢ %❤❡ %✐♠❡ ❡✈♦❧✉%✐♦♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♠♣✉%❡ %❤❡ ✜♥❛❧ ♣'♦❜❛❜✐❧✐%✐❡4 ❢♦' ❡❛❝❤ '❡❛❝%✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧ ❜② ♣'♦❥❡❝%✐♥❣ %❤❡ ✜♥❛❧ ✇❛✈❡❢✉♥❝%✐♦♥ |Ψ(x, tf)i ♦♥%♦ %❤❡ ❝♦''❡4♣♦♥❞✐♥❣ ❡✐❣❡♥4%❛%❡4 ♦❢ ❡❛❝❤ ✇❡❧❧ ♦❜%❛✐♥❡❞ ❜② 4♦❧✈✐♥❣ ❡L✉❛%✐♦♥ ✭✸✳✺✮ ❢♦' ❡❛❝❤ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ✭%❛'❣❡% ❜♦✉♥❞ 4%❛%❡4 ΦT i(x) ❢♦' ❡❧❛4%✐❝ ❛♥❞ ✐♥❡❧❛4%✐❝✱ ♣'♦❥❡❝%✐❧❡ ❜♦✉♥❞ 4%❛%❡4 ΦP i(x) ❢♦' %'❛♥4❢❡' ❝❤❛♥♥❡❧4✮ Pelastic =|hΦT g.s.(x)|Ψ(x, tf)i|2, ✭✸✳✾✮ Pinelastic =|hΦT i6=g.s.(x)|Ψ(x, tf)i|2, ✭✸✳✶✵✮ Ptransfer =|hΦP i(x)|Ψ(x, tf)i|2. ✭✸✳✶✶✮ ❲❡ ❝❛♥ ❛❧4♦ ❡✈❛❧✉❛%❡ %❤❡ ❜'❡❛❦✉♣ ♣'♦❜❛❜✐❧✐%② ❡✐%❤❡' ❜② ❞✐'❡❝% 4✉❜%'❛❝%✐♦♥ Pbreakup = 1 −Pelastic −Pinelastic −Ptransfer, ✭✸✳✶✷✮ ✷ ❲❡ ❛#❡ ❛❧%♦ ✐♠♣♦%✐♥❣ ✈❛♥✐%❤✐♥❣ ❜♦✉♥❞❛#② ❝♦♥❞✐3✐♦♥%✳ ✸✳✷✳ #❡%&✉%❜❛&✐✈❡ ,♦❧✉&✐♦♥✿ ✜%,& ♦%❞❡% ❛♣♣%♦①✐♠❛&✐♦♥ ✹✾ ♦% ❜② ♦✈❡%❧❛♣♣✐♥❣ ✇✐&❤ &❤❡ ❛♣%♦♣%✐❛&❡ ❝♦♥&✐♥✉✉♠ ,&❛&❡, Pbreakup =ZdǫhΦ(x, ǫ)|Ψ(x, tf)i 2 , ✭✸✳✶✸✮ ❛, ✇❡ ✇✐❧❧ ,❤♦✇ ❧❛&❡% ✐♥ ,❡❝&✐♦♥ ✸✳✸✳✶✳ ✸✳✷ #❡%&✉%❜❛&✐✈❡ ,♦❧✉&✐♦♥✿ ✜%,& ♦%❞❡% ❛♣♣%♦①✐♠❛✲ &✐♦♥ ❚❤❡ ♠❛❣♥✐&✉❞❡ ♦❢ &❤❡ &%❛♥,✐&✐♦♥ ♣%♦❜❛❜✐❧✐&② ❢%♦♠ |Φii &♦ |Φfi ❞❡♣❡♥❞, ♦♥ &❤❡ ,&%❡♥❣&❤ ♦❢ &❤❡ ✐♥&❡%❛❝&✐♦♥ V(x−xP(t)) ✳ ❆ ♠❡❛,✉%❡ ♦❢ &❤✐, ,&%❡❣&❤ ✐, ❣✐✈❡♥ ❜② &❤❡ ❢♦%♠ ❢❛❝&♦% ❬✺✹❪ Finelastic(xp(t)) = hΦT i(x)|VP(x−xP(t))|ΦT f(x)i, Ftransfer(xp(t)) = hΦT i(x)|VP(x−xP(t))|ΦP f(x−xP(t))i. ✭✸✳✶✹✮ ❆, ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❡ ,❤♦✇ ✐♥ ✜❣✉%❡ ✸✳✷ &❤❡ ❢♦%♠ ❢❛❝&♦% ❢♦% &%❛♥,❢❡% ❛♥❞ ✐♥❡❧❛,&✐❝ ♣%♦❝❡,,❡,✳ ❲❡ ,✐♠✉❧❛&❡ ❛ &%❛♥,✐&✐♦♥ ❢%♦♠ &❤❡ &❛%❣❡& ❣%♦✉♥❞ ,&❛&❡ &♦ &❤❡ ✜%,& ❛♥❞ ,❡❝♦♥❞ ❡①❝✐&❡❞ ,&❛&❡, ♦❢ &❤❡ ,❛♠❡ ♣♦&❡♥&✐❛❧ ✇❡❧❧ ✭❜❧✉❡ ❞♦&&❡❞ ■♥❡❧❛,&✐❝ ✶ ❛♥❞ ❞♦&&❡❞✴❞❛,❤❡❞ ✈✐♦❧❡& ■♥❡❧❛,&✐❝ ✷✮✱ ❛♥❞ &❤❡ &%❛,❢❡% &♦ &❤❡ ♣%♦❥❡❝&✐❧❡ ❣%♦✉♥❞ ❛♥❞ ✜%,& ❡①❝✐&❡❞ ,&❛&❡, ✭%❡❞ ❞❛❤❡❞ ❚%❛♥,❢❡% ❣✳,✳ ❛♥❞ ,♦❧✐❞ ♦%❛♥❣❡ ❚%❛♥,❢❡% ✶✮✳ ◆♦&❡ &❤❛& &❤❡ &%❛♥,❢❡% ❢♦%♠ ❢❛❝&♦% ❤❛, ❛ ❧♦♥❣❡% &❛✐❧ ❛, ❝♦♠♣❛%❡❞ &♦ &❤❡ ❢♦%♠ ❢❛❝&♦% ♦❢ ❛♥ ✐♥❡❧❛,&✐❝ ,❝❛&&❡%✐♥❣✳ ❚❤✐, ✐, ❞✉❡ &♦ &❤❡ ♦✈❡%❧❛♣ ❜❡&✇❡❡♥ &❤❡ ♣%♦❥❡❝&✐❧❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝&✐♦♥ ❛♥❞ &❤❡ ♣♦&❡♥&✐❛❧✳ ▼♦%❡♦✈❡%✱ &❤❡ &%❛♥,✐&✐♦♥ &♦ ,&❛&❡, ✇✐&❤ &❤❡ ,❛♠❡ ♣❛%✐&② ❛, &❤❡ ✐♥✐&✐❛❧ ,&❛&❡ ❛%❡ ❢❛✈♦✉%❡❞ ✭■♥❡❧❛,&✐❝ ✷ ✇✐&❤ %❡,♣❡❝& &♦ ■♥❡❧❛,&✐❝ ✶ ❛♥❞ ❚%❛♥,❢❡% ❣✳,✳ ✇✐&❤ %❡,♣❡❝& &♦ ❚%❛♥,❢❡% ✶✮✳ ❚❤❡ ❢♦%♠ ❢❛❝&♦% ♠❡❛,✉%❡, &❤❡ ♥✉♠❜❡% ♦❢ M✉❛♥&❛ ✇❤✐❝❤ ❛%❡ ❡①❝❤❛♥❣❡❞ ❞✉%✐♥❣ &❤❡ ❝♦❧❧✐,✐♦♥ ✐♥ &❤❡ &%❛♥,✐&✐♦♥ &♦ &❤❡ ,&❛&❡ |Φfi ✳ ■❢ ✐& ✐, ❛ ,♠❛❧❧ ♥✉♠❜❡% &❤❡%❡ ✐, ♦♥❧② ❛ ,♠❛❧❧ ❝❤❛♥❝❡ &❤❛& ❛ M✉❛♥&✉♠ ✐, ❡①❝❤❛♥❣❡❞✱ ❛♥❞ ♦♥❡ ♠❛② &%❡❛& &❤❡ ❡①❝✐&❛&✐♦♥ ♦❢ &❤❡ ,&❛&❡ ❜② ✜%,& ♦%❞❡% ♣❡%&✉%❜❛&✐♦♥ &❤❡♦%② ❬✸✺✱ ✺✺❪✳ ❚❤✐, ♠❡❛♥, ❛,,✉♠✐♥❣ &❤❛& &❤❡ ✈❛❧❡♥❝❡ ♣❛%&✐❝❧❡ ❡✈♦❧✈❡, ❢%♦♠ &❤❡ ✐♥✐&✐❛❧ &♦ ✜♥❛❧ ,&❛&❡ ✐♥ ❛ ,✐♥❣❧❡ ,&❡♣✳ ❚❤✐, ,♦❧✉&✐♦♥ ✐, %❡❧✐❛❜❧❡ ♦♥❧② ✇❤❡♥ &❤❡ ♠❛✐♥ ❝❤❛♥♥❡❧ ♦❢ &❤❡ %❡❛❝&✐♦♥ ✐, &❤❡ ❡❧❛,&✐❝ ,❝❛&&❡%✐♥❣ ✭✐❢ &❤✐, ✐, ♥♦& &❤❡ ❝❛,❡✱ ❛, ✇❡ ✇✐❧❧ ,❡❡ ❧❛&❡% ✐♥ ,❡❝&✐♦♥ ✸✳✺✱ &❤❡ %❡,✉❧&, ♠✐❣❤& ❛❧,♦ ❡①❝❡❡❞ 100% ✮✳ ■♥ ✜%,& ♦%❞❡%✱ &❤❡ ♣%♦❜❛❜✐❧✐&② PI j(tfinal) ❢♦% &❤❡ ♣♦♣✉❧❛&✐♦♥ ♦❢ &❤❡ ❥✲&❤ ,&❛&❡ ✺✵ ✸✳ ❙❝❛%%❡'✐♥❣ ♦❢ ♦♥❡✲♣❛'%✐❝❧❡ ✐♥ %❤❡ ✜❡❧❞ ♦❢ %✇♦ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ✇❡❧❧4 ✭✇✐%❤ ❡♥❡'❣② Ej ✮ ♦❢ %❤❡ ♣♦%❡♥%✐❛❧ I=T, P ✐4 ❣✐✈❡♥ ❜② PT j(tf) =  1 i~Ztf ti dthΦT i(x)|VP(x−xp(t))|ΦT j(x)ie i(Ej−Ei)t ~ 2 , PP j(tf) =  1 i~Ztf ti dthΦT i(x)|VP(x−xp(t))|ΦP j(x−xp(t))ie i(Ej−Ei)t ~ 2 . ✭✸✳✶✺✮ ❋✐❣✉'❡ ✸✳✷✿ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❢♦'♠ ❢❛❝%♦' ❢♦' %'❛♥4❢❡' ✭'❡❞ ❞❛❤❡❞ ❛♥❞ 4♦❧✐❞ ♦'❛♥❣❡ ❧✐♥❡4✮ ❛♥❞ ✐♥❡❧❛4%✐❝ ✭✭❜❧✉❡ ❞♦%%❡❞ ❛♥❞ ❞♦%%❡❞✴❞❛4❤❡❞ ✈✐♦❧❡% ❧✐♥❡4✮ ♣'♦❝❡44❡4 ❛4 ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❡E✉❛%✐♦♥4 ✭✸✳✶✹✮✱ ❛4 ❛ ❢✉♥❝%✐♦♥ ♦❢ %❤❡ '❡❧❛%✐✈❡ ❞✐4%❛♥❝❡ ❜❡%✇❡❡♥ %❛'❣❡% ❛♥❞ ♣'♦❥❡❝%✐❧❡ ❞✉'✐♥❣ %❤❡ ❝♦❧❧✐4✐♦♥✳ ✸✳✸ ❆♣♣$♦①✐♠❛*❡ ,♦❧✉*✐♦♥ ✇✐*❤✐♥ *❤❡ ❝♦✉♣❧❡❞✲❝❤❛♥♥❡❧, ♠❡*❤♦❞ ❚❤❡ 4❛♠❡ ♣'♦❜❧❡♠ ❝❛♥ ❜❡ 4♦❧✈❡❞ ✇✐%❤ %❤❡ 4♦✲❝❛❧❧❡❞ ❝♦✉♣❧❡❞✲❝❤❛♥♥❡❧4 ♠❡%❤♦❞✱ ✇❤✐❝❤ ✐4 ❛ ♣♦♣✉❧❛' ❢'❛♠❡✇♦'❦ ✉4❡❞ %♦ ❞❡4❝'✐❜❡ E✉❛♥%✉♠ ❝♦❧❧✐4✐♦♥ ♣'♦❜❧❡♠4 ✐♥ ❛%♦♠✐❝✱ ♠♦❧❡❝✉❧❛' ❛♥❞ ♥✉❝❧❡❛' ♣❤②4✐❝4✳ ❋♦' %❤✐4 ❝❛❧❝✉❧❛%✐♦♥ ✇❡ ❢♦❧❧♦✇ %❤❡ ❢♦'♠✉❧❛%✐♦♥ ♦❢ '❡❢❡'❡♥❝❡ ❬✸✺❪✱ ❛♥❞ ✇❡ %❛❦❡ ✐♥%♦ ❛❝❝♦✉♥% %✇♦ ✜♥✐%❡ 4❡%4 ♦❢ ✇❛✈❡❢✉♥❝%✐♦♥4✱ '❡❧❛%❡❞ %♦ %❤❡ %❛'❣❡% ❛♥❞ %❤❡ ♣'♦❥❡❝%✐❧❡ ♣♦%❡♥%✐❛❧4✿ ΦT j(x) ❛♥❞ ΦP j(x) ✱ ♦❢ NT ❛♥❞ NP 4%❛%❡4 '❡4♣❡❝%✐✈❡❧②✳ ❋♦' ❝♦❧❧✐4✐♦♥4 ❛♠♦♥❣ %✐❣❤❧②✲ ❜♦✉♥❞ 4②4%❡♠4✱ %❤❡ ❜❛4✐4 ❡①♣❛♥4✐♦♥ ✐4 ✉4✉❛❧❧② '❡4%'✐❝%❡❞ %♦ ❜♦✉♥❞ 4%❛%❡4 ♦❢ %❤❡ ♣'♦❥❡❝%✐❧❡ ❛♥❞ %❛'❣❡% 4②4%❡♠4✳ ❍♦✇❡✈❡'✱ ✇❤❡♥ ♦♥❡ ♦❢ %❤❡♠ ✐4 ✇❡❛❦❧②✲ ✸✳✸✳ ❆♣♣$♦①✐♠❛*❡ ,♦❧✉*✐♦♥ ✇✐*❤✐♥ *❤❡ ❝♦✉♣❧❡❞✲❝❤❛♥♥❡❧, ♠❡*❤♦❞ ✺✶ ❜♦✉♥❞✱ ✐* ✐, ✐♠♣♦$*❛♥* *♦ ✐♥❝❧✉❞❡ ❛❧,♦ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ,*❛*❡,✳ ❋♦$ *❤❛*✱ ✐* ✐, ❝♦♥✈❡♥✐❡♥* *♦ ✉,❡ ❛ ❞✐,❝$❡*❡ $❡♣$❡,❡♥*❛*✐♦♥ ♦❢ ,<✉❛$❡✲✐♥*❡❣$❛❜❧❡ ❢✉♥❝*✐♦♥,✱ ❛, *❤♦,❡ ❞✐,❝✉,,❡❞ ✐♥ ❝❤❛♣*❡$ ✷ ✭✇❡ ✇✐❧❧ ❞✐,❝✉,, ✐♥ ♠♦$❡ ❞❡*❛✐❧ *❤❡ ✐♥❝❧✉,✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ✐♥ ❝♦✉♣❧❡❞✲❝❤❛♥♥❡❧, ♠❡*❤♦❞ ✐♥ ,❡❝*✐♦♥ ✸✳✸✳✶✮✳ ▼♦$❡♦✈❡$✱ *❤❡② ❛$❡ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥,✐♦♥❛❧ ,♣❛*✐❛❧ ❣$✐❞✱ ✇❤♦,❡ ♦$✐❣✐♥ ❝♦$$❡,♣♦♥❞, *♦ *❤❡ ❝❡♥*❡$ ♦❢ *❤❡ *❛$❣❡* ♣♦*❡♥*✐❛❧✱ ✇❤✐❝❤ ❛❧,♦ ❝♦$$❡,♣♦♥❞, *♦ *❤❡ ❧❛❜♦$❛*♦$② ❢$❛♠❡✳ ❆ ❞✐✛❡$❡♥* ❝❤♦✐❝❡✱ ❧✐❦❡ *❤❡ ❝❡♥*❡$ ♦❢ ♠❛,, ❢$❛♠❡ ♦❢ $❡❢❡$❡♥❝❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ *❤❡ *✇♦ ♣♦*❡♥*✐❛❧, ❛$❡ ♠♦✈✐♥❣✱ ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ✐♠♣❧✐❡❞ ❛ ❝❛$❡❢✉❧ *$❡❛*♠❡♥* ♦❢ *❛$❣❡* ❛♥❞ ♣$♦❥❡❝*✐❧❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝*✐♦♥, ❞✉❡ *♦ *❤❡ ♥♦♥✲❝♦✈❛$✐❛♥❝❡ ♦❢ ❙❝❤♦❡❞✐♥❣❡$ ❡<✉❛*✐♦♥ ✭,❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❈✮✳ ■♥ ❛❞❞✐*✐♦♥✱ *❤❡,❡ *✇♦ ❜❛,❡, ❛$❡ ♥♦♥✲♦$*❤♦❣♦♥❛❧ ,♦ ✇❡ ✇✐❧❧ ,♦❧✈❡ *❤✐, ♣$♦❜❧❡♠ ✐♥*$♦❞✉❝✐♥❣ ❛ ❞✉❛❧ ❜❛,✐,✱ ❛, ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❜❡❧♦✇✳ ❚❤❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝*✐♦♥ ❞❡,❝$✐❜✐♥❣ *❤❡ ❡♥*✐$❡ ,②,*❡♠ ✐, ❡①♣$❡,,❡❞ ❛, ❛ ❝♦♠❜✐♥❛*✐♦♥ ♦❢ *❛$❣❡* ❛♥❞ ♣$♦❥❡❝*✐❧❡ ,*❛*❡, Ψ(x, t) = NT X j=1 cT j(t)ΦT j(x) + NP X j=1 cP j(t)ΦP j(x), ✭✸✳✶✻✮ ❛♥❞ *❤❡ ,♦❧✉*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ ♣$♦❜❧❡♠ ✐, $❡❞✉❝❡❞ *♦ *❤❡ ❞❡*❡$♠✐♥❛*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ *✐♠❡ ❡✈♦❧✉*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥*, c(T,P ) j(t) ❢$♦♠ *❤❡ ✜♥✐*❡ ,❡* ♦❢ ❝♦✉♣❧❡❞ ❞✐✛❡$❡♥*✐❛❧ ❡<✉❛*✐♦♥, i~∂cT j ∂t =XcT khωT j|VP|ΦT ki+XcP khωT j|VT|ΦP ki, i~∂cP j ∂t =XcT khωP j|VP|ΦT ki+XcP khωP j|VT|ΦP ki. ✭✸✳✶✼✮ ❚❤❡,❡ ❡<✉❛*✐♦♥, ❛$❡ ,♦❧✈❡❞ ✇✐*❤ *❤❡ ✐♥✐*✐❛❧ ❝♦♥❞✐*✐♦♥, cP j(t=−∞) = 0 ❛♥❞ cT j(t=−∞) = δi,j ✱ ✇❤❡$❡ i ✐♥❞✐❝❛*❡, ♦♥❡ ♦❢ *❤❡ ❜♦✉♥❞ ,*❛*❡, ✐♥ *❤❡ *❛$❣❡* ♣♦*❡♥*✐❛❧ ✇❡❧❧✳ ❚♦ ❞❡$✐✈❡ ❡<✉❛*✐♦♥, ✭✸✳✶✼✮✱ ✇❡ ✜$,* ✐♥,❡$* *❤❡ ❡<✉❛*✐♦♥ ✭✸✳✶✻✮ ♦❢ *❤❡ ,②,*❡♠ ✇❛✈❡❢✉♥❝*✐♦♥ Ψ(x, t) ✐♥*♦ *❤❡ *✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥* ❙❝❤$♦❡❞✐♥❣❡$ ❡<✉❛*✐♦♥ ✭✸✳✻✮✱ *❤✉, ♦❜*❛✐♥✐♥❣ X j i~∂cT j ∂t ΦT j+X j i~∂cP j ∂t ΦP j=X j cT j(H−HT)ΦT j+X j cP j(H−HP)ΦP j ✭✸✳✶✽✮ ✇❤❡$❡ HJ ✐, *❤❡ ❍❛♠✐❧*♦♥✐❛♥ ❝♦$$❡,♣♦♥❞✐♥❣ *♦ *❤❡ ♣♦*❡♥*✐❛❧ ✇❡❧❧ J=T, P ♦❢ ❡<✉❛*✐♦♥ ✭✸✳✺✮✱ ❛♥❞ H ✐, *❤❡ ❍❛♠✐❧*♦♥✐❛♥ ♦❢ *❤❡ ❢✉❧❧ ,②,*❡♠ ♣$❡,❡♥*❡❞ ✐♥ ✺✷ ✸✳ ❙❝❛%%❡'✐♥❣ ♦❢ ♦♥❡✲♣❛'%✐❝❧❡ ✐♥ %❤❡ ✜❡❧❞ ♦❢ %✇♦ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ✇❡❧❧4 ❡5✉❛%✐♦♥ ✭✸✳✶✮✳ ■♥ ♦'❞❡' %♦ ✐4♦❧❛%❡ %❤❡ %✐♠❡ ❞❡'✐✈❛%✐✈❡4 ❛♥❞ %♦ 4♦❧✈❡ %❤❡ ♥♦♥✲♦'%❤♦♥♦'♠❛❧ ♣'♦❜❧❡♠✱ ✇❡ ✐♥%'♦❞✉❝❡ ❛ ❞✉❛❧ ❜❛4✐4 ❛44♦❝✐❛%❡❞ %♦ ❡❛❝❤ ✇❡❧❧ ω(T,P ) j(x, t) ✱ ❝♦♥✲ ❥✉❣❛%❡ %♦ %❤❡ ❝❤❛♥♥❡❧ ✇❛✈❡❢✉♥❝%✐♦♥4 ♦❢ ❡❛❝❤ ♣♦%❡♥%✐❛❧✱ %❤'♦✉❣❤ %❤❡ ❞❡✜♥✐%✐♦♥ hΨI m|ωJ ni=δI,J δn,m, ✭✸✳✶✾✮ ✇❤❡'❡ I, J =T, P ❛♥❞ n, m = 1,2, ...N(T,P ) ✳ ❆ ♣'♦❥❡❝%✐♦♥ ♦❢ ❡5✉❛%✐♦♥ ✭✸✳✶✽✮ ♦♥ %❤❡ ❞✉❛❧ ✇❛✈❡❢✉♥❝%✐♦♥4 ②✐❡❧❞4 %❤❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ❡5✉❛%✐♦♥4 ✭✸✳✶✼✮✳ ❆❝❝♦'❞✐♥❣ %♦ ❬✺✻✕✺✽❪✱ %❤❡ ❞✉❛❧ ❜❛4✐4 ✐4 %✐♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥% ❛♥❞ ✐4 ❛ ❝♦♠❜✐♥❛%✐♦♥ ♦❢ %❤❡ ♦✈❡'❧❛♣4 ❜❡%✇❡❡♥ %❛'❣❡% ❛♥❞ ♣'♦❥❡❝%✐❧❡ ❜❛4❡4 4%❛%❡4✳ ❖♥❡ ❝❛♥ ❝♦♥4%'✉❝% %❤❡ ❞✉❛❧ ❜❛4✐4 ✇✐%❤✐♥ %❤❡ 4♣❛❝❡ ♦❢ ❝❤❛♥♥❡❧ ✇❛✈❡❢✉♥❝%✐♦♥4 ❛4 ❢♦❧❧♦✇4 |ωT ni= (1 −PP) NT X k=1 |ΦT kiβT kn, ✭✸✳✷✵✮ ✇❤❡'❡ PP ✐4 %❤❡ ♣'♦❥❡❝%✐♦♥ ♦♣❡'❛%♦' PP= NP X q=1 |ΦP qihΦP q|, ✭✸✳✷✶✮ ❛♥❞ 4✐♠✐❧❛'❧② ❢♦' ωP n ✳ ❋'♦♠ %❤❡ ❞❡✜♥✐%✐♦♥ ✭✸✳✷✵✮ ✇❡ 4❡❡ %❤❛% ❡5✉❛%✐♦♥ ✭✸✳✶✾✮ ✐4 ❛✉%♦♠❛%✐❝❛❧❧② ❢✉❧✜❧❧❡❞ ❢♦' I=T ❛♥❞ J=P ✳ ■♥4❡'%✐♥❣ ❡5✉❛%✐♦♥ ✭✸✳✷✵✮ ✐♥%♦ ✭✸✳✶✾✮ ❢♦' I=J=T ✇❡ ❣❡% βT mn − NP X q=1 NT X k=1hΦT m|ΦP qihΦP q|ΦT kiβT kn =δmn, ✭✸✳✷✷✮ %❤✉4✱ βT ✐4 %❤❡ ✐♥✈❡'4❡ ♦❢ %❤❡ ♠❛%'✐① MT mn =δmn − NP X q=1hΦT n|ΦP qihΦP q|ΦT mi. ✭✸✳✷✸✮ ❙✐♥❝❡ MT ✐4 ❛♥ ❍❡'♠✐%✐❛♥ ♠❛%'✐①✱ βT ✐4 ❛❧4♦ ❍❡'♠✐%✐❛♥✳ ❆♥ ❛❧%❡'♥❛%✐✈❡ ❞❡'✐✈❛%✐♦♥ ♦❢ %❤❡ ❞✉❛❧ ❜❛4✐4 ✐4 ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❬✸✺❪✳ ■♥ ♣'♦❜❧❡♠4 ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❞✐✛❡'❡♥% ♠❛44 ♣❛'%✐%✐♦♥4✱ ♦♥❡ ♠❛② ✉4❡ %❤❡ 4♦✲❝❛❧❧❡❞ ♣'✐♦' ❛♥❞ ♣♦4% '❡♣'❡4❡♥%❛%✐♦♥4 ♦❢ %❤❡ ❍❛♠✐❧%♦♥✐❛♥✱ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ✇❤❡%❤❡' ♦♥❡ ✸✳✸✳ ❆♣♣$♦①✐♠❛*❡ ,♦❧✉*✐♦♥ ✇✐*❤✐♥ *❤❡ ❝♦✉♣❧❡❞✲❝❤❛♥♥❡❧, ♠❡*❤♦❞ ✺✸ ❝♦♥,✐❞❡$, *❤❡ ♣$♦❥❡❝*✐❧❡✲*❛$❣❡* ❝♦♠❜✐♥❛*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ ✐♥✐*✐❛❧ ♦$ ✜♥❛❧ ,*❛*❡,❀ ❜② ❞❡✜♥✐*✐♦♥ *❤❡② ❤❛✈❡ *♦ ❣✐✈❡ *❤❡ ,❛♠❡ $❡,✉❧*,✳ ❊?✉❛*✐♦♥, ✭✸✳✶✻✮ ❛♥❞ ✭✸✳✶✼✮ ❛$❡ ❝♦♥,*$✉❝*❡❞ ✐♥ ♣$✐♦$ $❡♣$❡,❡♥*❛*✐♦♥✳ ■♥ ♣♦,* $❡♣$❡,❡♥*❛*✐♦♥ ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣❛♥❞ *❤❡ ,②,*❡♠ ✇❛✈❡❢✉♥❝*✐♦♥ ♦♥ *❤❡ ❞✉❛❧ ❜❛,✐, Ψ(x, t) = X n ˜cT nωT n+X n ˜cP nωP n, ✭✸✳✷✹✮ ❛♥❞✱ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛ ❞❡$✐✈❛*✐♦♥ ,✐♠✐❧❛$ *♦ *❤❡ ♦♥❡ ❣✐✈❡♥ ❢♦$ *❤❡ ♣$✐♦$ $❡♣$❡,❡♥*❛✲ *✐♦♥✱ ✇❡ ♦❜*❛✐♥ *❤❡ ,❡* ♦❢ ❝♦✉♣❧❡❞✲❡?✉❛*✐♦♥, i~∂˜cT n ∂t =X˜cT mhΦT n|VP|ωT mi+X˜cP mhΦT n|VP|ωP mi, i~∂˜cP n ∂t =X˜cT mhΦP n|VT|ωT mi+X˜cP mhΦP n|VT|ωP mi. ✭✸✳✷✺✮ ❋$♦♠ *❤❡ ,②,*❡♠ ✇❛✈❡❢✉♥❝*✐♦♥ Ψ(x, t) ✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧,♦ ❡①*$❛❝* ❛♠♣❧✐*✉❞❡, ❢♦$ ❡①❝✐*❛*✐♦♥ ❛♥❞ *$❛♥,❢❡$ ✐♥ ♣♦,* ❛♥❞ ♣$✐♦$ $❡♣$❡,❡♥*❛*✐♦♥, *❤$♦✉❣❤ *❤❡ ❡①♣$❡,✲ ,✐♦♥, ˜cI n=hωI n|Ψi, cI n=hΦI n|Ψi. ✭✸✳✷✻✮ ❉✉❡ *♦ ♣♦,*✲♣$✐♦$ ,②♠♠❡*$②✱ *❤❡ ❛♠♣❧✐*✉❞❡, ✐♥ *❤❡ *✇♦ $❡♣$❡,❡♥*❛*✐♦♥, ❛$❡ $❡❧❛*❡❞ ❜② ˜cT n=cT n+X mhΦT n|ΦP micP m, ˜cP n=cP n+X mhΦP n|ΦT micT m. ✭✸✳✷✼✮ ❚❤❡ ♣$♦❜❛❜✐❧✐*✐❡, *♦ ♣♦♣✉❧❛*❡ *❤❡ ❞✐✛❡$❡♥* ✜♥❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧, ❛$❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛, P(T,P ) j=|c(T,P ) j|2 ✭✸✳✷✽✮ ✐♥ *❤❡ ♣$✐♦$ $❡♣$❡,❡♥*❛*✐♦♥✱ ♦$ ❛, ˜ P(T,P ) j=|˜c(T,P ) j|2 ✭✸✳✷✾✮ ✐♥ *❤❡ ♣♦,* $❡♣$❡,❡♥*❛*✐♦♥✳ ❚❤❡ ❧❛❜❡❧ j ❞❡♥♦*❡, *❤❡ ?✉❛♥*✉♠ ♥✉♠❜❡$ ♦❢ *❤❡ ✜♥❛❧ ,*❛*❡ ✐♥ ♦♥❡ ♦❢ *❤❡ *✇♦ ✇❡❧❧,✳ ✺✹ ✸✳ ❙❝❛%%❡'✐♥❣ ♦❢ ♦♥❡✲♣❛'%✐❝❧❡ ✐♥ %❤❡ ✜❡❧❞ ♦❢ %✇♦ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ✇❡❧❧4 ❇❡❝❛✉4❡ ♦❢ %❤❡ ♥♦♥✲♦'%❤♦❣♦♥❛❧✐%② ♦❢ %❤❡ ❜❛4✐4 4%❛%❡4✱ %❤❡ 4✉♠ ♦❢ %❤❡4❡ ✏♣'♦❜✲ ❛❜✐❧✐%✐❡4✑ ✐4 ♥♦% ❝♦♥4❡'✈❡❞ ❞✉'✐♥❣ %❤❡ ❝♦❧❧✐4✐♦♥✳ ■❢ ✇❡ ✐♥4%❡❛❞ ❞❡✜♥❡ %❤❡ ✏♣'♦❜❛❜✐❧✐%✐❡4✑ ❜② P(T,P ) j=Re h(c(T,P ) j)∗˜c(T,P ) ji, ✭✸✳✸✵✮ ❝♦♥4❡'✈❛%✐♦♥ ♦❢ %♦%❛❧ ♣'♦❜❛❜✐❧✐%② ✐4 ❛❧✇❛②4 ❢✉❧✜❧❧❡❞ ✇✐%❤✐♥ %❤❡ ❝♦✉♣❧❡❞✲❝❤❛♥♥❡❧ ❢♦'♠❛❧✐4♠✳ ❚❤✐4 ❢♦❧❧♦✇4 ❢'♦♠ %❤❡ ❢❛❝% %❤❛% %❤❡ ♠❛%'✐① ❣♦✈❡'♥✐♥❣ %❤❡ %✐♠❡ ❡✈♦❧✉%✐♦♥ ♦❢ %❤❡ ❛♠♣❧✐%✉❞❡4 ✐♥ %❤❡ ♣♦4% '❡♣'❡4❡♥%❛%✐♦♥ ✐4 ♠✐♥✉4 %❤❡ ❤❡'♠✐%✐❛♥ ❝♦♥❥✉❣❛%❡ ♦❢ %❤❡ ♠❛%'✐① %❤❛% ❞❡%❡'♠✐♥❡4 %❤❡ %✐♠❡ ❡✈♦❧✉%✐♦♥ ♦❢ %❤❡ ❛♠♣❧✐%✉❞❡4 ✐♥ %❤❡ ♣'✐♦' '❡♣'❡4❡♥%❛%✐♦♥✳ ❲❡ 4❤❛❧❧ %❤❡'❡❢♦'❡ ❝❛❧❧ ❡H✉❛%✐♦♥ ✭✸✳✸✵✮ %❤❡ ✉♥✐#❛%② %❡♣%❡)❡♥#❛#✐♦♥ ♦❢ ♣'♦❜❛❜✐❧✐%✐❡4✳ ❍♦✇❡✈❡'✱ ✇❡ ❝❛♥ ♥♦% ❜❡ 4✉'❡ %❤❛% %❤❡4❡ H✉❛♥%✐%✐❡4 ❛'❡ ❛❧✇❛②4 ♥♦♥✲♥❡❣❛%✐✈❡ ❞✉'✐♥❣ %❤❡ ❝♦❧❧✐4✐♦♥✳ ❆❢%❡' %❤❡ ❝♦❧❧✐4✐♦♥✱ ✇❤❡♥ ❛❧❧ ♦✈❡'❧❛♣4 ❜❡%✇❡❡♥ %❤❡ ❜❛4✐4 4%❛%❡4 ✐♥ %❤❡ %✇♦ ✇❡❧❧4 ✈❛♥✐4❤✱ %❤❡ ❛♠♣❧✐%✉❞❡4 ❢♦' ❛ ❣✐✈❡♥ %'❛♥4✐%✐♦♥ ❛'❡ %❤❡ 4❛♠❡ ✐♥ %❤❡ ♣♦4% ❛♥❞ ♣'✐♦' '❡♣'❡4❡♥%❛%✐♦♥✱ ❛4 ❡✈✐❞❡♥% ❢'♦♠ ❡H✉❛%✐♦♥ ✭✸✳✷✼✮✳ ❚❤✐4 4♦✲❝❛❧❧❡❞ ♣♦4%✲♣'✐♦' 4②♠♠❡%'② ✐♠♣❧✐❡4 %❤❛% %❤❡ %♦%❛❧ ♣'♦❜❛❜✐❧✐%② ✐4 ❝♦♥4❡'✈❡❞ ♦♥❝❡ %❤❡ ❝♦❧❧✐4✐♦♥ ✐4 ♦✈❡'✱ ❛❧4♦ ✐♥ ❛ %'✉♥❝❛%❡❞ ❝♦✉♣❧❡❞✲❝❤❛♥♥❡❧ %'❡❛%♠❡♥%✳ 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❝♦♠♣♦♥❡♥* $❡❧❛*❡❞ *♦ *❤❡ ❡①❝✐*❛*✐♦♥ *♦ *❤❡ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ❡,❝❛♣❡, ❢❛$ ❛✇❛② ❢$♦♠ *❤❡ ♣♦*❡♥*✐❛❧,✱ ❛♥❞ ✐* ❜❡❝♦♠❡, ✐♠♣♦,,✐❜❧❡ *♦ ❛♣♣❧② *❤❡ ♠❡*❤♦❞ ❥✉,* ❞❡,❝$✐❜❡❞✳ ❲❤❛* ✇❡ ,✉❣❣❡,* ❛♥❞ ❛♣♣❧② ✐♥ *❤❡ ❝❛,❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛❧❧ *❤❡ $❡❛❝*✐♦♥ ❝❤❛♥♥❡❧, ❛$❡ $❡❧❡✈❛♥* ✐, *♦ ✐♥❝❧✉❞❡ ✐♥ *❤❡ ❜❛,❡, ❢❡✇ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ♣,❡✉❞♦,*❛*❡, ❞❡✜♥❡❞ ❛❧♦♥❣ *❤❡ ❡♥*✐$❡ ,♣❛*✐❛❧ ❣$✐❞✳ ■♥ *❤✐, ✇❛② *❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛*✐♦♥ ❞♦❡, ♥♦* ❞✐✈❡$❣❡ ❛♥❞ *❤❡ *♦*❛❧ ♣$♦❜❛❜✐❧✐*② ❡①❝❡❡❞❡, ❜② ♦♥❧② ❛ ❢❡✇ ♣❡$❝❡♥* *❤❡ ✉♥✐*② ❧✐♠✐*✱ ❜✉* ✇❡ ❛$❡ ❛❜❧❡ *♦ $❡♣$♦❞✉❝❡ B✉✐*❡ ✇❡❧❧ *❤❡ ❡①❛❝* $❡,✉❧*,✳ ■♥ *❤❡ ❝❛,❡ ♦❢ ♦♥❡✲♣❛$*✐❝❧❡ ,②,*❡♠,✱ ❛, ✇❡ ❤❛✈❡ ,❡❡♥ ✐♥ ,❡❝*✐♦♥ ✷✳✶✳✸✱ ✇❡ ❝❛♥ ❛❧,♦ ❝♦♥,*$✉❝* *❤❡ ✏❡①❛❝*✑ ♣♦,✐*✐✈❡ ❡♥❡$❣✐❡, ,*❛*❡,✳ ■♥ *❤✐, ❝❛,❡ ✇❡ ❝♦♠♣✉*❡ *❤❡ ❜$❡❛❦✉♣ ♣$♦❜❛❜✐❧✐*② ❛, ❛ ❢✉♥❝*✐♦♥ ♦❢ ♠♦♠❡♥*✉♠ k P(k) = |hϕ(k, x)|Ψ(x, tf)i|2, ✭✸✳✸✶✮ ✇❤❡$❡ Ψ(x, tf) $❡♣$❡,❡♥*, *❤❡ ✜♥❛❧ ✇❛✈❡❢✉♥❝*✐♦♥ ♦❜*❛✐♥❡❞ ❜② ,♦❧✈✐♥❣ *❤❡ ♣$♦❜❧❡♠ ✇✐*❤ ❡✐*❤❡$ *❤❡ ❡①❛❝* ♠❡*❤♦❞ ✭✸✳✻✮ ♦$ ❝♦♥,*$✉❝*❡❞ ❛❢*❡$ ❛♣♣❧②✐♥❣ *❤❡ ❝♦✉♣❧❡❞ ❝❤❛♥♥❡❧,✲♠❡*❤♦❞ ✭✸✳✶✻✮✳ ❈❤❛♥❣✐♥❣ ✈❛$✐❛❜❧❡, ❛♥❞ ✐♥*$♦❞✉❝✐♥❣ *❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❢❛❝*♦$✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣$❡,, *❤❡ ♣$♦❜❛❜✐❧✐*② ❛, ❛ ❢✉♥❝*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ ❡♥❡$❣② E=~2k2 2µ P(E) = dk dE P(k) = rµ 2E~2P(k). ✭✸✳✸✷✮ ❖❢ ❝♦✉$,❡✱ *❤❡ *♦*❛❧ ♣$♦❜❛❜✐❧✐*② ✐, ❝♦♥,❡$✈❡❞ Z+∞ 0P(E)dE = 1 − NT b X i=1 P(Ei)− NP b X j=1 P(Ej). ✭✸✳✸✸✮ ✻✷ ✸✳ ❙❝❛%%❡'✐♥❣ ♦❢ ♦♥❡✲♣❛'%✐❝❧❡ ✐♥ %❤❡ ✜❡❧❞ ♦❢ %✇♦ ♣♦%❡♥%✐❛❧ ✇❡❧❧4 ✭❛✮ ❇♦✉♥❞ (②(*❡♠✳ ✭❜✮ ❲❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ (②(*❡♠✳ ❋✐❣✉'❡ ✸✳✻✿ ❊❧❛4%✐❝✱ %'❛♥4❢❡'✱ ❛♥❞ ❜'❡❛❦✉♣ ♣'♦❜❛❜✐❧✐%✐❡4 ❛4 ❛ ❢✉♥❝%✐♦♥ ♦❢ %❤❡ ❞✐✛❡'❡♥❝❡ ❜❡%✇❡❡♥ %❤❡ ❡♥❡'❣✐❡4 ♦❢ %❤❡ 4✐♥❣❧❡✲♣❛'%✐❝❧❡ 4%❛%❡4 ✐♥ %❤❡ ✜①❡❞ ❛♥❞ ♠♦✈✐♥❣ ✇❡❧❧4 ✭◗✲✈❛❧✉❡✮✳ ❘❡4✉❧%4 ❛'❡ 4❤♦✇♥ ❢♦' ❛ ✇❡❧❧ ❜♦✉♥❞ ✭❛✮ ❛♥❞ ✇❡❛❦❧②✲ ❜♦✉♥❞ ✭❜✮ 4②4%❡♠4✳ ✸✳✺✳ ❈♦♠♣❛(✐*♦♥ ♦❢ ❡①❛❝0 ❛♥❞ ❛♣♣(♦①✐♠❛0❡ ♠❡0❤♦❞* ✻✸ ✸✳✺ ❈♦♠♣❛(✐*♦♥ ♦❢ ❡①❛❝0 ❛♥❞ ❛♣♣(♦①✐♠❛0❡ ♠❡0❤♦❞* ■♥ ❛❞❞✐0✐♦♥ 0♦ 0❤❡ ❝❛*❡* ❛❧(❡❛❞② ♣(❡*❡♥0❡❞✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ♣❡(❢♦(♠❡❞ ❢✉(0❤❡( ❝❛❧✲ ❝✉❧❛0✐♦♥*✱ ❛✐♠❡❞ ❛0 ❡①♣❧♦(✐♥❣ ❞✐✛❡(❡♥0 ❦✐♥❡♠❛0✐❝❛❧ *✐0✉❛0✐♦♥*✳ ■♥ ❡❛❝❤ ❝❛*❡✱ ✇❡ ♣(❡*❡♥0 0❤❡ ❡①❛❝0 0✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥0 *♦❧✉0✐♦♥ ✭*❡❝0✐♦♥ ✸✳✶✮ ❛♥❞✱ ✇❤❡♥❡✈❡( ♣♦**✐❜❧❡✱ ✇❡ ❝♦♠♣❛(❡ 0❤✐* (❡*✉❧0 ✇✐0❤ 0❤❡ ❛♣♣(♦①✐♠❛0❡ *♦❧✉0✐♦♥* ♦❜0❛✐♥❡❞ ✇✐0❤ 0❤❡ ❝♦✉♣❧❡❞✲❝❤❛♥♥❡❧* ❛♥❞ 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-20 -10 0 10 20 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 | Ψ |2 -20 -10 0 10 20 30 x (fm) -30 -20 -10 0 Energy (MeV) T = 1200 of 1790 ✭❞✮ -20 -10 0 10 20 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 | Ψ |2 -20 -10 0 10 20 30 x (fm) -30 -20 -10 0 Energy (MeV) T = 1500 of 1790 ✭❡✮ -20 -10 0 10 20 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 | Ψ |2 -20 -10 0 10 20 30 x (fm) -30 -20 -10 0 Energy (MeV) T = 1790 of 1790 ✭❢✮ ❋✐❣✉(❡ ✸✳✽✿ ❘❡*✉❧0* ❢♦( 0❤❡ 0❡*0 ❝❛*❡ ❆ ✭*❡❡ ❚❛❜❧❡ ✸✳✶✮✳ ❯♣♣❡( ♣❛♥❡❧✿ 0❤❡ *B✉❛(❡❞ 0♦0❛❧ ✇❛✈❡❢✉♥❝0✐♦♥ ❛0 ❞✐✛❡(❡♥0 0✐♠❡* ❝♦♠♣✉0❡❞ ✇✐0❤ 0❤❡ ❡①❛❝0 ♠❡0❤♦❞✳ ▲♦✇❡( ♣❛♥❡❧✿ 0❤❡ 0❛(❣❡0 ❛♥❞ ♣(♦❥❡❝0✐❧❡ ♣♦0❡♥0✐❛❧ ✇❡❧❧*✳ ■♥ 0❤❡ ❧❡❣❡♥❞* 0❤❡ ❡❧❛♣*❡❞ 0✐♠❡ ✐* ✐♥❞✐❝❛0❡❞ ❢♦( ❡❛❝❤ ❢(❛♠❡✳ ✻✻ ✸✳ ❙❝❛$$❡&✐♥❣ ♦❢ ♦♥❡✲♣❛&$✐❝❧❡ ✐♥ $❤❡ ✜❡❧❞ ♦❢ $✇♦ ♣♦$❡♥$✐❛❧ ✇❡❧❧3 ■♥ $❛❜❧❡ ✸✳✷ ✇❡ ♣&❡3❡♥$ $❤❡ &❡3✉❧$3 ♦❜$❛✐♥❡❞ ❜② 3♦❧✈✐♥❣ $❤❡ ♣&♦❜❧❡♠ ✉3✐♥❣ ❞✐✛❡&❡♥$ ❛♣♣&♦❛❝❤❡3 ❛♥❞ ❞✐✛❡&❡♥$ ❜❛3❡3✳ ❊①❛❝$ 1st ♦✳❛✳ ❈❈ (1) ❈❈ (2) ❈❈ (3) ❈❈ (4) ❈❈ (5)(6) ❊❧❛3$✐❝ ✾✶ % ✶✵✵ % ✾✸ % ✾✷✳✽ % ✾✶ % ✾✶ % ✾✶ % ■♥✳ ✶ ✼ % ✺✳✻ % ✼ % ✼✳✵ % ✽✳✼ % ✽✳✼ % ✼ % ❚&✳ ❣✳3✳ ✵✳✼ % ✸ % ✲ ✲ ✵✳✸ % ✵✳✸ % ✵✳✷ % ❚&✳ ✶ ✵✳✺ % 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❡①❛❝0 (❡*✉❧0*✱ ❞♦00❡❞ ❧✐♥❡* ❝♦((❡*♣♦♥❞ 0♦ 0❤❡ (❡*✉❧0* ♦❜0❛✐♥❡❞ ✇✐0❤ ❝♦✉♣❧❡❞✲❝❤❛♥♥❡❧* ❝❛❧❝✉❧❛0✐♦♥ ❈❈ (1) ✇❤✐❝❤ ❛(❡ (❡♣♦(0❡❞ ✐♥ 0❛❜❧❡ ✸✳✼✳ ✾✹ ✹✳ ❚✇♦✲♥❡✉)*♦♥ ❤❛❧♦ .②.)❡♠.✿ .)*✉❝)✉*❡ ❛♥❞ ❞②♥❛♠✐❝. ✇✐)❤ )❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❝❛.❡✱ )❤❡ )*❡❛)♠❡♥) ♦❢ )❤✐. ❝❛.❡ ✐. ❛ ♠♦*❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛)❡❞ )❛.❦✱ .✐♥❝❡ ✐) ✐♠♣❧✐❡. ♠✉❝❤ ❧❛*❣❡* ❜❛.❡.✳ ■♥ ♦*❞❡* )♦ ❣✐✈❡ ❛♥ ✐❞❡❛ ♦❢ )❤❡ ✐♥❝*❡❛.❡❞ ❝♦♠♣❧❡①✐)② ♦❢ )❤❡ ♣*♦❜❧❡♠ ✇❡ ♣❧♦) ✐♥ ✜❣✉*❡ ✹✳✶ )❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ )❤❡ )✇♦✲❜♦❞② .②♠♠❡)*✐③❡❞ ❜❛.✐. ❞✐♠❡♥.✐♦♥ ❛. ❛ ❢✉♥❝)✐♦♥ ♦❢ )❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❜❛.✐. ❞✐♠❡♥.✐♦♥✳ ❆. ❞✐.❝✉..❡❞ ✐♥ ❝❤❛♣)❡* ✷✱ )❤❡ γ/b = 2.4 ❢♠ −1/2 ❚❍❖ ❝❛.❡ ❜❡❤❛✈❡. ✐♥ ❛ .✐♠✐❧❛* ✇❛② )♦ )❤❡ ❍❖✱ ❛♥❞ ✈❛*✐❛)✐♦♥ ♦❢ γ/b ❣✐✈❡. ✉. ❛♥ ❡①)*❛ ❞❡❣*❡❡ ♦❢ ❢*❡❡❞♦♠ ✐♥ )❤❡ ✐♥✈❡.)✐❣❛)✐♦♥ ♦❢ )❤❡ .②.)❡♠✳ 20 30 40 50 60 One-Body HO basis dimension 50 100 150 200 250 300 350 Two-body HO basis dimension γ/b = 1.2 fm-1/2 γ/b = 2.4 fm-1/2 HO ❋✐❣✉*❡ ✹✳✶✿ ❚✇♦✲❜♦❞② ❜❛.✐. ❞✐♠❡♥.✐♦♥ ❛. ❛ ❢✉♥❝)✐♦♥ ♦❢ )❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❜❛.✐. ❞✐♠❡♥.✐♦♥ ❢♦* )❤❡ ❍❖ ✭❣*❡❡♥✮ ❛♥❞ ❚❍❖ ♠❡)❤♦❞. ✭✉.✐♥❣ γ/b = 2.4 ❢♠ −1/2 ✱ ❜❧✉❡✱ ❛♥❞ γ/b = 2.4 ❢♠ −1/2 ✱ *❡❞✮✳ ❉❡.♣✐)❡ )❤❛)✱ )❤❡ ❞❡.❝*✐♣)✐♦♥ ♦❢ )❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❜♦✉♥❞ .)❛)❡. ♦❜)❛✐♥❡❞ ✐♥ ❝❤❛♣)❡* ✷ ✐. J✉✐)❡ ❛❝❝✉*❛)❡ ❡✈❡♥ ❢♦* ❛ .♠❛❧❧ ❜❛.✐. ❞✐♠❡♥.✐♦♥✳ ❚❤❡*❡❢♦*❡ )❤❡ *❡.✐❞✉❛❧ ✐♥)❡*❛❝)✐♦♥ ✐. ♥♦) ❡①♣❡❝)❡❞ )♦ ✈❛*② ✇✐)❤ ◆✳ ❚❤✐. ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❡❝❦❡❞ ✐♥ ✜❣✉*❡ ✹✳✷ ✇❤❡*❡ )❤❡ *❡.✉❧)✐♥❣ *❡.✐❞✉❛❧ ✐♥)❡*❛❝)✐♦♥ −VRI[ρ(x)/ρ0]p ✐. ♣❧♦))❡❞ ❢♦* )❤❡ ❍❖✱ ❚❍❖ ❛♥❞ ❇❖❳ ❝❛.❡.✿ )❤❡*❡ ❛*❡ .♦♠❡ ❞✐✛❡*❡♥❝❡. ❜❡)✇❡❡♥ )❤❡ )❤*❡❡ ❝❛.❡.✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ .✐❣♥✐✜❝❛♥) ❢♦* ❧❛*❣❡ ✈❛❧✉❡. ♦❢ x ✱ ✐♥ )❤❡ )❛✐❧ *❡❣✐♦♥✳ ✹✳✶✳ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ *+❛+❡* ♦❢ +✇♦ ♣❛0+✐❝❧❡* ✐♥ ❛ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞ ✾✺ -20 -10 010 20 x (fm) -250 -200 -150 -100 -50 0 Residual Interaction (MeV) BOX THO HO ❋✐❣✉0❡ ✹✳✷✿ ❙♣❛+✐❛❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ +❤❡ 0❡*✐❞✉❛❧ ✐♥+❡0❛❝+✐♦♥ ❢♦0 ♣❛0❛♠❡+❡0* ✐♥ ❊?✳ ✹✳✹ ❢♦0 +❤❡ ❍❖ ✭ N= 70 ✮✱ ❚❍❖✭ γ/b = 1.2fm−1/2 ❛♥❞ N= 50 ✮✱ ❛♥❞ ❇❖❳ ✭ xb= 50fm ✮ ❝❛*❡*✳ ■♥ +❤❡ ✜0*+ ♣❧❛❝❡ ✇❡ ❝❤❡❝❦ +❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ +❤❡ 0❡*✉❧+✐♥❣ +✇♦✲❜♦❞② ❍❛♠✐❧+♦♥✐❛♥ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡* ✇✐+❤ +❤❡ ❞✐♠❡♥*✐♦♥ ♦❢ +❤❡ +0✉♥❝❛+❡❞ ✶❉ ❜❛*✐*✳ ❚❤✐* ✐* ❞❡♣✐❝+❡❞ ✐♥ ✜❣✉0❡* ✹✳✸❛ ❛♥❞ ✹✳✸❜ ❢♦0 +❤❡ ❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖ ♠❡+❤♦❞*✱ 0❡*♣❡❝✲ +✐✈❡❧②✱ ✇❤✐❧❡ ❢♦0 +❤❡ ❇❖❳ ♠❡+❤♦❞ +❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ +❤❡ ❜♦① 0❛❞✐✉* ✐* *❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉0❡ ✹✳✸❝✳ ❆* ❝❛♥ ❜❡ *❡❡♥ ❢0♦♠ +❤♦*❡ ✜❣✉0❡*✱ +❤❡ ❡♥❡0❣② ♦❢ +❤❡ ❜♦✉♥❞ *+❛+❡ ✭0❡❞ *♦❧✐❞ ❧✐♥❡✮ ✐* ❝♦♥✈❡0❣✐♥❣✱ ✇✐+❤ 0❡*✐❞✉❛❧ ♠✐♥♦0 ♦*❝✐❧❧❛+✐♦♥*✱ +♦ ❛ ❧✐♠✐+✐♥❣ ✈❛❧✉❡ Eb=−0.5 ▼❡❱✳ ◆♦+❡ +❤❛+ ✇✐+❤♦✉+ +❤❡ 0❡*✐❞✉❛❧ ✐♥+❡0❛❝+✐♦♥ +❤❡ +✇♦✲❜♦❞② *②*+❡♠ ✐* ✉♥❜♦✉♥❞✱ ❛♥❞ ✐+ ✐* +❤❡ ❛++0❛❝+✐✈❡ 0❡*✐❞✉❛❧ ✐♥+❡0❛❝+✐♦♥ ❜❡+✇❡❡♥ +❤❡ +✇♦ ✈❛❧❡♥❝❡ ♥❡✉+0♦♥* +❤❛+ ♠❛❦❡* +❤❡ *②*+❡♠ ❜♦✉♥❞✳ ❚♦ *❤♦✇ +❤❡ ?✉❛♥+✐+❛+✐✈❡ ❡✛❡❝+ ♦❢ +❤❡ 0❡*✐❞✉❛❧ ✐♥+❡0❛❝+✐♦♥✱ ✇❡ ❛❧*♦ ❞❡♣✐❝+ ✐♥ ✜❣✉0❡ ✹✳✸✱ ❛* ❛ ❞❛*❤❡❞ ❣0❡❡♥ ❧✐♥❡✱ +❤❡ ❡♥❡0❣② ♦❢ +❤❡ ❧♦✇❡*+ ✉♥♣❡0+✉0❜❡❞ +✇♦✲♣❛0+✐❝❧❡ *+❛+❡ ❢♦0 ❡❛❝❤ ✈❛❧✉❡ ♦❢ +❤❡ ♣❛0❛♠❡+❡0 ◆ ♦0 xb ✳ ❚❤❡ ❞♦++❡❞ ❜❧✉❡ ❧✐♥❡* ❛0❡ +❤❡ ❡♥❡0❣✐❡* ♦❢ +❤❡ ❧♦✇❡0 +✇♦✲♣❛0+✐❝❧❡ ♣*❡✉❞♦*+❛+❡* ✐♥ +❤❡ ❝♦♥+✐♥✉✉♠ ❛0✐*✐♥❣ ❢0♦♠ +❤❡ ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❛+✐♦♥✳ ❆* ✐♥ +❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❝❛*❡✱ +❤❡ ❝♦♥✈❡0❣❡♥❝❡ ✐* ❢❛*+❡0 ✇✐+❤ 0❡*♣❡❝+ +♦ ◆ ❢♦0 +❤❡ ❚❍❖ ❝❛*❡ ❛* ❝♦♠♣❛0❡❞ +♦ +❤❡ *✐♠♣❧❡0 ❍❖ ❝❛*❡✳ ❆* ✐♥ +❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❝❛*❡ ✐+ ✐* ✐♠♣♦0+❛♥+ +♦ ❝❤❡❝❦ ❛❧*♦ +❤❡ 0❛❞✐❛❧ ❜❡❤❛✈✐♦0 ♦❢ +❤❡ ❜♦✉♥❞ ❡✐❣❡♥*+❛+❡✳ ❚♦ +❤✐* ❡♥❞ +❤❡ 0❡*✉❧+✐♥❣ ❣0♦✉♥❞✲*+❛+❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝+✐♦♥ Ψ(x, x) ❢♦0 x1=x2=x ✐* ♣❧♦++❡❞ ✐♥ +❤❡ 0✐❣❤+ ♣❛♥❡❧* ♦❢ ✜❣✉0❡ ✹✳✸ ❢♦0 ❞✐✛❡0❡♥+ ◆ ✈❛❧✉❡* ✐♥ +❤❡ ❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖ ❝❛*❡* ♦0 xb ❢♦0 +❤❡ ❇❖❳✳ ■♥ ♦0❞❡0 +♦ ❞✐*♣❧❛② +❤❡ *❧♦✇ ❝♦♥✈❡0❣❡♥❝❡ ✐♥ +❤❡ +❛✐❧ 0❡❣✐♦♥✱ ✇❡ *❤♦✇ ✐♥ +❤❡ ✜❣✉0❡ ❥✉*+ +❤❡ ❛*②♠♣+♦+✐❝ ♣❛0+ ♦❢ +❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝+✐♦♥* ✐♥ ❛ ❧♦❣❛0✐+❤♠✐❝ *❝❛❧❡✳ ✾✻ ✹✳ ❚✇♦✲♥❡✉)*♦♥ ❤❛❧♦ .②.)❡♠.✿ .)*✉❝)✉*❡ ❛♥❞ ❞②♥❛♠✐❝. 0 50 100 150 200 250 One-body basis dimension -1 0 1 2 3 4 Energy (MeV) two-particle weakly-bound state two-particle continuum pseudostates zero residual interaction 10 20 30 x1 = x2 (fm) 0.001 0.01 0.1 Two-particle wavefunction N1body = 50 N1body = 100 N1body = 150 ✭❛✮ ❍❖ 20 40 60 80 One-body basis dimension -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 Energy (MeV) two-particle weakly-bound state two-particle continuum pseudostates zero residual interaction 10 20 30 x1 = x2 (fm) 0.001 0.01 0.1 Two-particle wavefunction N1body = 30 N1body = 50 N1body = 70 ✭❜✮ ❚❍❖ 0 20 40 60 80 100 xb (fm) -1 0 1 2 3 Energy (MeV) two-particle weakly-bound state two-particle continuum pseudostates zero residual interaction 10 20 30 x1 = x2 (fm) 0.001 0.01 0.1 Two-particle wavefunction xb = 30 fm xb = 50 fm xb = 70 fm ✭❝✮ ❇❖❳ ❋✐❣✉*❡ ✹✳✸✿ :❛♥❡❧ ✭❛✮✿ ✜*.) )✇♦✲❜♦❞② ❍❛♠✐❧)♦♥✐❛♥ ❡♥❡*❣✐❡. ✭.♦❧✐❞ *❡❞ ❛♥❞ ❞♦))❡❞ ❜❧✉❡ ❧✐♥❡.✮ ❛. ❛ ❢✉♥❝)✐♦♥ ♦❢ )❤❡ ❞✐♠❡♥.✐♦♥ ♦❢ )❤❡ )*✉♥❝❛)❡❞ ✶❉ ❍❖ ❜❛.✐. ✭❧❡❢)✮ ❛♥❞ ❣*♦✉♥❞ .)❛)❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝)✐♦♥ )❛✐❧ Ψ(x, x) ❢♦* ❞✐✛❡*❡♥) ✈❛❧✉❡. ♦❢ )❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❜❛.✐. ❞✐♠❡♥.✐♦♥ ✭*✐❣❤)✮✳ :❛♥❡❧ ✭❜✮✿ .❛♠❡ ❢♦* )❤❡ ❚❍❖ ❜❛.✐.✳ :❛♥❡❧ ✭❝✮✿ ✜*.) )✇♦✲❜♦❞② ❍❛♠✐❧)♦♥✐❛♥ ❡♥❡*❣✐❡. ❛. ❛ ❢✉♥❝)✐♦♥ ♦❢ )❤❡ *❛❞✐✉. xb ♦❢ )❤❡ ❇❖❳ ✭❧❡❢)✮ ❛♥❞ ❣*♦✉♥❞✲.)❛)❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝)✐♦♥ )❛✐❧ Ψ(x, x) ❢♦* ❞✐✛❡*❡♥) ✈❛❧✉❡. ♦❢ )❤❡ ❜♦① *❛❞✐✉. ✭*✐❣❤)✮✳ ❆❧.♦ .❤♦✇♥✱ ❛. ❞❛.❤❡❞ ❣*❡❡♥ ❧✐♥❡.✱ )❤❡ ❡♥❡*❣✐❡. ♦❢ )❤❡ ❧♦✇❡.) ✉♥♣❡*)✉*❜❡❞ )✇♦✲♣❛*)✐❝❧❡ .)❛)❡ ❢♦* ❡❛❝❤ ✈❛❧✉❡ ♦❢ )❤❡ ♣❛*❛♠❡)❡* ◆ ♦* xb ✳ ✹✳✶✳ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ *+❛+❡* ♦❢ +✇♦ ♣❛0+✐❝❧❡* ✐♥ ❛ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞ ✾✼ ❆ ❢✉0+❤❡0 ✐♥*✐❣❤+ ♦♥ +❤❡ ❡✛❡❝+ ♦❢ +❤❡ 0❡*✐❞✉❛❧ ♣❛✐0✐♥❣ ❝♦00❡❧❛+✐♦♥* ❝❛♥ ❜❡ ♦❜+❛✐♥❡❞ ❜② ❧♦♦❦✐♥❣ ❛+ +❤❡ ❢❡❛+✉0❡* ♦❢ +❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝+✐♦♥ ✭♦0 ✐+* ♠♦❞✉❧✉* *@✉❛0❡❞✮ ❛* ❛ ❢✉♥❝+✐♦♥ ♦❢ +❤❡ ❝♦♦0❞✐♥❛+❡* x1 ❛♥❞ x2 ✳ ❚❤❡ 0❡*✉❧+* ♦❜+❛✐♥❡❞ ❢♦0 +❤❡ ❝♦00❡❧❛+❡❞ +✇♦✲♣❛0+✐❝❧❡ ❣0♦✉♥❞ *+❛+❡ ❛0❡ ❞✐*♣❧❛②❡❞ ✐♥ ✜❣✉0❡ ✹✳✹ ❛♥❞ *❤♦✉❧❞ ❜❡ ❝♦♠♣❛0❡❞ ✇✐+❤ +❤❡ ✉♥❝♦00❡❧❛+❡❞ ❝❛*❡ ❞✐*♣❧❛②❡❞ ✐♥ ✜❣✉0❡ ✹✳✺✳ ■♥ ♦0❞❡0 +♦ ❜❡++❡0 ♣✐♥♣♦✐♥+ +❤❡ ❡✛❡❝+ ♦❢ ❝♦00❡❧❛+✐♦♥* ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ✉♥❝♦00❡❧❛+❡❞ ❝❛*❡ ✇✐+❤ ③❡0♦ 0❡*✐❞✉❛❧ ✐♥+❡0❛❝+✐♦♥✱ ❜✉+ ✇✐+❤ ❛ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞ ♣0♦✈✐❞✐♥❣ ❛ +✇♦✲♣❛0+✐❝❧❡ ✉♥❝♦00❡❧❛+❡❞ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝+✐♦♥ ✇✐+❤ +❤❡ *❛♠❡ +♦+❛❧ ❜✐♥❞✐♥❣ ❡♥❡0❣② ✭ −0.5 ▼❡❱✮ ❛* +❤❡ ✜♥❛❧ ❝♦00❡❧❛+❡❞ ♦♥❡✳ ■+ ✐* ❛♣♣❛0❡♥+ ❢0♦♠ +❤❡ ❝♦♠♣❛0✐*♦♥ ♦❢ +❤❡ +✇♦ ✜❣✉0❡* +❤❛+ +❤❡ 0❡*✐❞✉❛❧ ✐♥+❡0❛❝+✐♦♥ ❤❛* ❝0❡❛+❡❞ ❛ *♣❛+✐❛❧ ❝♦00❡❧❛+✐♦♥ ❜❡+✇❡❡♥ +❤❡ +✇♦ ♣❛0+✐❝❧❡*✱ ♣0♦✈❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥❝0❡❛*❡❞ ♣0♦❜❛❜✐❧✐+② ❛❧♦♥❣ +❤❡ ❜✐*❡❝+♦0 ❧✐♥❡ x1=x2 ✱ ✐✳ ❡✳ ❢♦0 *♠❛❧❧ 0❡❧❛+✐✈❡ ❞✐*+❛♥❝❡*✳ ❖♥ +❤❡ ❝♦♥+0❛0②✱ +❤❡ ✉♥❝♦00❡❧❛+❡❞ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝+✐♦♥* ❧♦♦❦* ❝♦♠♣❧❡+❡❧② *②♠♠❡+0✐❝ ✐♥ +❤❡ ❢♦✉0 @✉❛❞0❛♥+*✱ ✐♠♣❧②✐♥❣ +❤❛+ +❤❡ ♣0♦❜❛❜✐❧✐+② ✐* ♥♦+ ❢❛✈♦✉0❡❞ ❢♦0 *♠❛❧❧ 0❡❧❛+✐✈❡ ❞✐*+❛♥❝❡*✳ ❚❤❡ ❡♥❤❛♥❝❡❞ *♣❛+✐❛❧ ❝♦00❡❧❛+✐♦♥ ✐♥ +❤❡ ❝♦00❡❧❛+❡❞ ❝❛*❡ ❝❛♥ ❜❡ ❡✈❡♥ ❜❡+✲ +❡0 ❛♣♣0❡❝✐❛+❡❞ ❜② ❝✉++✐♥❣ +❤❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝+✐♦♥* ♣0❡*❡♥+❡❞ ✐♥ ✜❣✉0❡* ✹✳✹ ❛♥❞ ✹✳✺ ❛❧♦♥❣ +❤❡ x1=x2 ❜✐*❡❝+♦0✳ ❈♦00❡❧❛+❡❞ ❛♥❞ ✉♥❝♦00❡❧❛+❡❞ *❡❝+✐♦♥* ❛0❡ ❝♦♠♣❛0❡❞ ✐♥ ✜❣✉0❡ ✹✳✻✱ *❤♦✇✐♥❣ +❤❡ *+0♦♥❣ ❡♥❤❛♥❝❡♠❡♥+ ✐♥ +❤❡ ❝♦00❡❧❛+❡❞ ❝❛*❡✳ ❚❤✐* ❡♥❤❛♥❝❡♠❡♥+ ✇✐❧❧ ♠❛♥✐❢❡*+ ❛* ❛♥ ✐♥❝0❡❛*❡❞ ♣0♦❜❛❜✐❧✐+② ❢♦0 +✇♦✲ ♣❛0+✐❝❧❡ +0❛♥*❢❡0✱ +✇♦✲♣❛0+✐❝❧❡ ❜0❡❛❦✉♣ ♦0 ❦♥♦❝❦✲♦✉+ ♣0♦❝❡**❡*✱ ✇✐+❤ *+0♦♥❣ ❛♥❣✉❧❛0 ❝♦00❡❧❛+✐♦♥ ❜❡+✇❡❡♥ +❤❡ +✇♦ ❡♠✐++❡❞ ♣❛0+✐❝❧❡* ✐♥ +❤❡ +✇♦ ❧❛++❡0 ❝❛*❡* ❬✹✹❪✳ ❲❡ ❝❛♥ ♥♦+❡ +❤❛+ ❛❧❧ ❞✐*❝0❡+✐③❛+✐♦♥ ♠❡+❤♦❞* ♣0♦✈✐❞❡ *✐♠✐❧❛0 0❡*✉❧+*✱ ❛❧+❤♦✉❣❤ ❛❣❛✐♥ +❤❡ ♥✉♠❜❡0 ◆ ♦❢ *❤❡❧❧* 0❡@✉✐0❡❞ +♦ ❣❡+ ❝♦♥✈❡0❣❡♥❝❡ ✐♥ ❚❍❖ ✐* *♠❛❧❧❡0 +❤❛♥ ✐♥ ❍❖✳ ✾✽ ✹✳ ❚✇♦✲♥❡✉)*♦♥ ❤❛❧♦ .②.)❡♠.✿ .)*✉❝)✉*❡ ❛♥❞ ❞②♥❛♠✐❝. ✭❛✮ ❍❖ ✭❜✮ ❚❍❖ ✭❝✮ ❇❖❳ ❋✐❣✉*❡ ✹✳✹✿ ❈♦♥)♦✉* ♣❧♦). ♦❢ )❤❡ ♣*♦❜❛❜✐❧✐)② ❞❡♥.✐)② ❢♦* )❤❡ )✇♦✲❜♦❞② ❜♦✉♥❞ .)❛)❡ ✇✐)❤ ❜✐♥❞✐♥❣ ❡♥❡*❣② E=−0.5 ▼❡❱ ✉.✐♥❣ )❤❡ ❝♦**❡❧❛)❡❞ ❍❛♠✐❧)♦♥✐❛♥ ✭✹✳✹✮ ❝♦♥.)*✉❝)❡❞ ✇✐)❤ ❞✐✛❡*❡♥) ❜❛.❡.✿ ❍❖ ✇✐)❤ N= 200 ✐♥ ♣❛♥❡❧ ✭❛✮✱ ❚❍❖ ✇✐)❤ γ/b = 1.2 ❢♠ −1/2 ❛♥❞ N= 75 ✐♥ ♣❛♥❡❧ ✭❜✮✱ ❛♥❞ ❛ ❇❖❳ ✇✐)❤ xb= 100 ❢♠ ✐♥ ♣❛♥❡❧ ✭❝✮✳ ✹✳✶✳ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ *+❛+❡* ♦❢ +✇♦ ♣❛0+✐❝❧❡* ✐♥ ❛ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞ ✾✾ ❋✐❣✉0❡ ✹✳✺✿ ❙❛♠❡ +❤❛♥ ✜❣✉0❡ ✹✳✹✱ ❜✉+ ❢♦0 +❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝+✐♦♥ ♦❜+❛✐♥❡❞ ✇✐+❤ ❛♥ ✉♥❝♦00❡❧❛+❡❞ ❍❛♠✐❧+♦♥✐❛♥ ✭③❡0♦ 0❡*✐❞✉❛❧ ✐♥+❡0❛❝+✐♦♥✮✱ ✇✐+❤ ❛ *✐♥❣❧❡ ♣❛0+✐❝❧❡ ♣♦+❡♥+✐❛❧ ❞❡♣+❤ ♠♦❞✐✜❡❞ +♦ ♦❜+❛✐♥ ❢♦0 +❤❡ +✇♦✲♣❛0+✐❝❧❡ *②*+❡♠ +❤❡ *❛♠❡ ❜✐♥❞✐♥❣ ❡♥❡0❣② ❛* ✐♥ +❤❡ ❝♦00❡❧❛+❡❞ ❝❛*❡ ✭ E=−0.5 ▼❡❱✮✳ -10 -5 0 5 10 x1 = x2 (fm) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Two-particle wavefunction HO THO BOX uncorrelated ❋✐❣✉0❡ ✹✳✻✿ ❚✇♦✲❜♦❞② ❜♦✉♥❞ *+❛+❡ ❛❧♦♥❣ +❤❡ x1=x2 ❜✐*❡❝+♦0 ❢♦0 +❤❡ ❝♦00❡✲ ❧❛+❡❞ ❛♥❞ ✉♥❝♦00❡❧❛+❡❞ ❝❛*❡* ♣0❡*❡♥+❡❞ ✐♥ ✜❣✉0❡* ✹✳✹ ❛♥❞ ✹✳✺✳ ✶✵✵ ✹✳ ❚✇♦✲♥❡✉)*♦♥ ❤❛❧♦ .②.)❡♠.✿ .)*✉❝)✉*❡ ❛♥❞ ❞②♥❛♠✐❝. ✹✳✶✳✷ ❆♥♦♠❛❧♦✉+ ❉❡♥+✐/② ❚♦ )❡.) )❤❡ .)*✉❝)✉*❡ ♠♦❞❡❧✱ ❛. ✐♥ )❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❝❛.❡✱ .❡✈❡*❛❧ 8✉❛♥)✐)✐❡. ♦❢ ✐♥)❡*❡.) ❝❛♥ ❜❡ ✐♥✈❡.)✐❣❛)❡❞✳ ❲❡ ♦❜)❛✐♥ ❤❡*❡ )❤❡ ❆♥♦♠❛❧♦✉. ❉❡♥.✐)② ❢♦* )❤❡ ❣*♦✉♥❞ )✇♦✲❜♦❞② .)❛)❡ ❛♥❞ ✜*.) ❝♦♥)✐♥✉✉♠ .)❛)❡.✳ ❚❤❡ ❆♥♦♠❛❧♦✉. ❉❡♥.✐)② T0 ✐. ❞❡✜♥❡❞ ❛. ❢♦❧❧♦✇. ❬✻✶❪ T0=Z+∞ −∞ dx δρpair(x) 2 , ✭✹✳✶✸✮ ✇❤❡*❡✱ ✉.✐♥❣ )❤❡ ❝*❡❛)♦* ♦♣❡*❛)♦* ♥♦)❛)✐♦♥✱ Rdx δρpair(x) = hA+ 2|a†a†|Ai ✱ ❛♥❞ )❤✉. δρpair(x) = X i1,i2 Xi1,i2φi1(x)φi2(x). ✭✹✳✶✹✮ ❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥). Xi1,i2 ❛*❡ ♦❜)❛✐♥❡❞ ❜② ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❛)✐♦♥ ♦❢ )❤❡ ❍❛♠✐❧)♦♥✐❛♥ ✭✹✳✹✮✳ ▲❛*❣❡ ✈❛❧✉❡. ♦❢ )❤❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉. ❞❡♥.✐)② ✐♠♣❧② ❛ ❝♦❧❧❡❝)✐✈❡ ❝❤❛*❛❝)❡* ♦❢ )❤❡ .)❛)❡ ✉♥❞❡* .)✉❞②✱ ❛♥❞ ✐). ❡✈❛❧✉❛)✐♦♥ ✐♠♣❧✐❡. )❤❡ ✐♥)❡❣*❛)✐♦♥ ♦❢ )❤❡ )✇♦✲❜♦❞② ❡✐❣❡♥❢✉♥❝)✐♦♥ ✐♥ ♣♦✐♥). x1=x2=x ✱ ❞❡♣✐❝)❡❞ ✐♥ )❤❡ *✐❣❤) ♣❛♥❡❧. ♦❢ ✜❣✉*❡ ✹✳✸✳ ■) ✐. ✐♥)❡*❡.)✐♥❣ )♦ ♥♦)❡ )❤❛)✱ ❞✉❡ )♦ )❤❡ ♦*)❤♦♥♦*♠❛❧✐)② ♦❢ )❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❜❛.✐. ❢✉♥❝)✐♦♥. φi(x) ✱ )❤❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉. ❞❡♥.✐)② ❝❛♥ ❜❡ ✇*✐))❡♥ ❛. T0=X i Xi,i 2 , ✭✹✳✶✺✮ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡❞ )❤❛) ♦♥❧② )❤❡ ❡✐❣❡♥✈❡❝)♦* ❝♦♠♣♦♥❡♥). ❛..♦❝✐❛)❡❞ )♦ )❤❡ |(s)nni ❜❛.✐. .)❛)❡. .❤♦✉❧❞ ❜❡ )❛❦❡♥ ✐♥)♦ ❛❝❝♦✉♥)✳ ❆♥♦♠❛❧♦✉. ❞❡♥.✐)② ✈❛❧✉❡. ❝❛♥ ❛❧.♦ ❜❡ ❝♦♠♣✉)❡❞ ❢♦* )❤❡ ❡①❝✐)❡❞ )✇♦✲❜♦❞② ♣.❡✉❞♦.)❛)❡.✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ✉.❡ )❤❡ ♥♦)❛)✐♦♥ T(i) 0 ❢♦* )❤❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉. ❞❡♥.✐)② ❢♦* )❤❡ i ✲)❤ )✇♦✲❜♦❞② ❡①❝✐)❡❞ .)❛)❡ ✇❤❡*❡ ❡8✉❛)✐♦♥ ✭✹✳✶✹✮ ✐. *❡❞❡✜♥❡❞ ❛. δρ(i) pair(x) = X i1,i2 X(i) i1,i2φi1(x)φi2(x), ✭✹✳✶✻✮ ✇❤❡*❡ X(i) i1,i2 ❛*❡ )❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥). ❢♦* )❤❡ i ✲)❤ ❡①❝✐)❡❞ .)❛)❡ ♦❜)❛✐♥❡❞ ❜② ❞✐✲ ❛❣♦♥❛❧✐③❛)✐♦♥ ♦❢ )❤❡ ❍❛♠✐❧)♦♥✐❛♥✳ ❆. ✐♥ )❤❡ ❣*♦✉♥❞ .)❛)❡ ❝❛.❡✱ )❛❦✐♥❣ ✐♥)♦ ❛❝❝♦✉♥) )❤❡ ❜❛.✐. ♦*)❤♦♥♦*♠❛❧✐)② ✐♥ )❤❡ ✐♥)❡❣*❛❧ ❡✈❛❧✉❛)✐♦♥ )❤❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉. ✹✳✶✳ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ *+❛+❡* ♦❢ +✇♦ ♣❛0+✐❝❧❡* ✐♥ ❛ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞ ✶✵✶ ❞❡♥*✐+② ❝❛♥ ❜❡ 0❡✇0✐++❡♥ ❛* T(i) 0=X k X(i) k,k 2 . ✭✹✳✶✼✮ ❆♥♦♠❛❧♦✉* ❉❡♥*✐+② 0❡*✉❧+* ♣0❡*❡♥+❡❞ ✐♥ ✜❣✉0❡ ✹✳✼ ❢♦0 ❍❖✱ ❚❍❖✱ ❛♥❞ ❇❖❳ ❛❣0❡❡ *❛+✐*❢❛❝+♦0②✳ ▼♦0❡♦✈❡0✱ +❤❡ ❡♥❤❛♥❝❡❞ 0❡*✉❧+ ❛**♦❝✐❛+❡❞ +♦ +❤❡ +✇♦✲❜♦❞② *②*+❡♠ ❣0♦✉♥❞ *+❛+❡ ✐♥❞✐❝❛+❡*✱ ❛* ❡①♣❡❝+❡❞✱ +❤❡ ❝♦❧❧❡❝+✐✈❡ ❝❤❛0❛❝+❡0 ♦❢ +❤✐* *+❛+❡✳ 20 30 40 50 60 70 80 One-Body HO basis dimension 0 0.5 1 1.5 2 T0 (i) Ground State 1st Excited State 2nd Excited State 3rd Excited State 4th Excited State ✭❛✮ ❍❖ 20 30 40 50 One-Body THO basis dimension 0 0.5 1 1.5 2 T0 (i) Ground State 1st Excited State 2nd Excited State 3rd Excited State 4th Excited State ✭❜✮ ❚❍❖ 10 20 30 40 50 xb (fm) 0 0.5 1 1.5 2 T0 (i) Ground State 1st Excited State 2nd Excited State 3rd Excited State 4th Excited State ✭❝✮ ❇❖❳ ❋✐❣✉0❡ ✹✳✼✿ ❚❤❡ ❆♥♦♠❛❧♦✉* ❉❡♥*✐+② 0❡*✉❧+ ❢♦0 +❤❡ ❍❖ ✭❛✮ ❛♥❞ ❚❍❖ ✭❜✮ ❢♦0 γ/b = 1.2 ❢♠ −1/2 ❛* ❛ ❢✉♥❝+✐♦♥ ♦❢ +❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❜❛*✐* ❞✐♥❡♥*✐♦♥ ◆✳ ❚❤❡ ❇❖❳ ♠❡+❤♦❞ 0❡*✉❧+ ✭❝✮ ✐* ♣0❡*❡♥+❡❞ ❛* ❛ ❢✉♥❝+✐♦♥ ♦❢ +❤❡ ❜♦① 0❛❞✐✉* xb ✳ ✶✵✷ ✹✳ ❚✇♦✲♥❡✉*+♦♥ ❤❛❧♦ /②/*❡♠/✿ /*+✉❝*✉+❡ ❛♥❞ ❞②♥❛♠✐❝/ ✹✳✶✳✸ ❚%❛♥(✐*✐♦♥ ♠❛*%✐① ❡❧❡♠❡♥*( ❢♦% x ❛♥❞ x2 ♦♣❡%❛*♦%( ❚❤❡ ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ *❤❡ ❣+♦✉♥❞ ❛♥❞ ❡①❝✐*❡❞ *✇♦✲♣❛+*✐❝❧❡ /*❛*❡/ ❛❧❧♦✇/ ✉/ *♦ ❝❛❧❝✉❧❛*❡ ♠❛*+✐① ❡❧❡♠❡♥*/ ♦❢ ❞✐✛❡+❡♥* ♦♣❡+❛*♦+/✱ ❡✳❣✳ x ❛♥❞ x2 ✱ ❜❡*✇❡❡♥ *❤❡ ❣+♦✉♥❞ /*❛*❡ ❛♥❞ ❛❧❧ ✏❝♦♥*✐♥✉✉♠✑ ❡①❝✐*❡❞ /*❛*❡/✳ ❇❡/✐❞❡/ ❝❤❡❝❦✐♥❣ *❤❡ ❞✐✛❡+✲ ❡♥* ❞✐/❝+❡*✐③❛*✐♦♥ ♠❡*❤♦❞/✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❝♦♠♣❛+❡ *❤❡ ❡♥❡+❣② /*+❡♥❣*❤ ❞✐/*+✐❜✉*✐♦♥ ✇✐*❤ *❤♦/❡ ♦❜*❛✐♥❡❞ ✇✐*❤✐♥ *❤❡ ❞✐✲♥❡✉*+♦♥ ❝❧✉/*❡+ ♠♦❞❡❧✳ ❲❡ /*❛+* ❜② ❡①*❡♥❞✐♥❣ *❤❡ x ❛♥❞ x2 ♦♣❡+❛*♦+/ *♦ *❤❡ *✇♦✲♣❛+*✐❝❧❡ ❝❛/❡✳ ❉❡✜♥✐♥❣ D12 =x1+x2, ✭✹✳✶✽✮ Q12 =x2 1+x2 2, ✭✹✳✶✾✮ ✇❡ ❝♦♠♣✉*❡ *❤❡ *+❛♥/✐*✐♦♥ ✐♥*❡❣+❛❧/ hΨb|O(x1, x2)|Ψii=Z+∞ −∞ dx1dx2Ψ∗ b(x1, x2)O(x1, x2)Ψi(x1, x2), ✭✹✳✷✵✮ ✇❤❡+❡ O(x1, x2) = D12 ♦+ Q12 ✱ Ψb(x1, x2) ✐/ *❤❡ *✇♦✲❜♦❞② ❣+♦✉♥❞ /*❛*❡✱ ❛♥❞ *❤❡ /❡* {|Ψi(x1, x2)i} +❡♣+❡/❡♥*/ *❤❡ *✇♦✲❜♦❞② ❝♦♥*✐♥✉✉♠ ♣/❡✉❞♦/*❛*❡/✳ ❚❤❡ +❡/✉❧*❛♥* ❞✐/*+✐❜✉*✐♦♥ ♦❢ ♠♦❞✉❧✉/ /K✉❛+❡❞ ♠❛*+✐① ❡❧❡♠❡♥*/ ❢+♦♠ *❤❡ ❣+♦✉♥❞ /*❛*❡ *♦ ❝♦♥*✐♥✉✉♠ /*❛*❡/ ✐/ +❡♣♦+*❡❞ ✐♥ ✜❣✉+❡ ✹✳✽ ❢♦+ *❤❡ ❞✐✛❡+❡♥* ❞✐/❝+❡*✐③❛*✐♦♥ ♠❡*❤♦❞/ ❛♥❞ ❢♦+ ❞✐✛❡+❡♥* ✈❛❧✉❡/ ♦❢ ◆ ✭❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖✮ ♦+ xb ✭❇❖❳✮✳ ❯♣♣❡+ ❢+❛♠❡/ +❡❢❡+ *♦ B1=|hΨb|D12|Ψii|2 ✱ ❛♥❞ ❧♦✇❡+ ❢+❛♠❡/ *♦ B2= |hΨb|Q12|Ψii|2 ✳ ❙✐♥❝❡ *❤❡ ❞✐✛❡+❡♥* ❝❛❧❝✉❧❛*✐♦♥/ ❧❡❛❞ *♦ ❞✐✛❡+❡♥* ❞❡♥/✐*✐❡/ ♦❢ /*❛*❡/✱ ❢♦+ ❛ ❜❡**❡+ ❝♦♠♣❛+✐/♦♥ ♦❢ *❤❡ ❝♦♥✈❡+❣❡♥❝❡ ♣+♦♣❡+*✐❡/ ✇❡ ❛❧/♦ ❞✐/♣❧❛② ✐♥ *❤❡ ❧❡❣❡♥❞/ ♦❢ *❤❡ ✜❣✉+❡ *❤❡ ✐♥*❡❣+❛*❡❞ ✈❛❧✉❡/✳ ■* ✇♦✉❧❞ ❜❡ ♥❛*✉+❛❧ *+②✐♥❣ *♦ ✐♥*❡+♣+❡*❡ *❤❡ ❛❜♦✈❡ +❡/✉❧*/ ✐♥ *❡+♠/ ♦❢ /✉♠ +✉❧❡/✳ ❚❤✐/ ✐/ ♠♦+❡ ❝♦♠♣❧❡① ✐♥ *❤❡ ❝❛/❡ ♦❢ *❤❡ ❚❙❙❘✱ /❡❡ ✭✷✳✹✽✮✱ /✐♥❝❡ ✐* ✇♦✉❧❞ +❡K✉✐+❡ *❤❡ ❡✈❛❧✉❛*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ ❡①♣❡❝*❛*✐♦♥ ✈❛❧✉❡ ♦❢ x1x2 ♦♣❡+❛*♦+✳ ■* ✐/✱ ♦♥ *❤❡ ♦*❤❡+ ❤❛♥❞✱ ❡❛/✐❡+ *♦ ❡✈❛❧✉❛*❡ *❤❡ ❊❲❙❘✿ ✐♥ ❛♥ ❆✲❜♦❞② /②/*❡♠✱ ❢♦+ ♦♥❡✲❜♦❞② ♦♣❡+❛*♦+/✱ ✐* ❝❛♥ ❜❡ ❝❛❧❝✉❧❛*❡❞ ❛/ E(b) W(x1, ..., xA) = 1 2 ~2 µhΨb| A X i=1 ∂O(xi) ∂xi2 |Ψbi. ✭✹✳✷✶✮ ❚❤❡ ❢✉❧✜❧❧♠❡♥* ♦❢ *❤❡ ❊❲❙❘ ✐/ ❛♥ ✐♥❞✐❝❛*✐♦♥ ♦❢ *❤❡ ❣♦♦❞♥❡// ♦❢ *❤❡ ❞✐/✲ ✹✳✶✳ ❇♦✉♥❞ ❛♥❞ ✉♥❜♦✉♥❞ *+❛+❡* ♦❢ +✇♦ ♣❛0+✐❝❧❡* ✐♥ ❛ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞ ✶✵✸ 0 10 20 30 HO -> 238 fm2 0 3 6 9 B1 (fm2) THO -> 240 fm2 012 3 4 5 Energy (MeV) 0 5 10 15 20 BOX -> 234 fm2 ✭❛✮ ❇✶ 0 1000 2000 3000 HO -> 20.2 103 fm4 0 200 400 600 B2 (fm4) THO -> 20.2 103 fm4 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Energy (MeV) 0 500 1000 1500 BOX -> 21.0 103 fm4 ✭❜✮ ❇✷ ❋✐❣✉$❡ ✹✳✽✿ ❘❡+✉❧-+ ❢♦$ -❤❡ ❇ 1 ❛♥❞ ❇ 2 -$❛♥+✐-✐♦♥ ✐♥-❡♥+✐-✐❡+ ✐♥ -❤❡ ♠✐❝$♦+❝♦♣✐❝ -✇♦✲❜♦❞② ❛♣♣$♦❛❝❤ ❛+ ❛ ❢✉♥❝-✐♦♥ ♦❢ -❤❡ ❡①❝✐-❛-✐♦♥ ❡♥❡$❣②✱ ✉+✐♥❣ -❤❡ ❞✐✛❡$❡♥- ❞✐+❝$❡-✐③❛-✐♦♥ ♠❡-❤♦❞+✳ ◆✉♠❜❡$+ ✐♥ ❡❛❝❤ ♣❛♥❡❧ ❧❡❣❡♥❞ ❛$❡ -❤❡ ✐♥-❡❣$❛-❡❞ ✈❛❧✉❡+✳ ■♥ -❤❡ ❍❖ ❝❛+❡ -❤❡ ❜❛+✐+ ❞✐♠❡♥+✐♦♥ ✐+ ◆ = 200 ✱ ✐♥ -❤❡ ❚❍❖ ❝❛+❡ ◆ = 100 ✱ ❛♥❞ ❢♦$ -❤❡ ❇❖❳ ❝❛+❡ -❤❡ $❛❞✐✉+ ✐+ xb= 90 ❢♠✳ ✶✶✵ ✹✳ ❚✇♦✲♥❡✉)*♦♥ ❤❛❧♦ .②.)❡♠.✿ .)*✉❝)✉*❡ ❛♥❞ ❞②♥❛♠✐❝. )*❛♥.❢❡* ♦❢ .✐♥❣❧❡ ♣❛*)✐❝❧❡.✳ ■♥ .✉❝❤ ❛ .✐)✉❛)✐♦♥✱ ✐♥ ❛ ♣❡*)✉*❜❛)✐✈❡ ❛♣♣*♦❛❝❤✱ ✇❡ ❡①♣❡❝) ❛ ♣❛✐* )*❛♥.❢❡* ♣*♦❜❛❜✐❧✐)② P2∼(P1)2/4, ✭✹✳✷✺✮ ✇❤✐❝❤ ✐. ♣*❡❝✐.❡❧② )❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❜)❛✐♥❡❞ ✐♥ ♦✉* ❝❛❧❝✉❧❛)✐♦♥✳ ❲❡ ♠♦✈❡ ♥♦✇ )♦ )❤❡ ❝❛.❡ ✇✐)❤ ❝♦**❡❧❛)✐♦♥.✳ ❋♦* )❤✐. ❝❛❧❝✉❧❛)✐♦♥ ✇❡ ✜① )❤❡ )❛*❣❡) ♣❛*❛♠❡♥)❡*. VT 0=−5.80 ▼❡❱✱ RT= 2.50 ❢♠✱ ❛♥❞ αT= 0.67 ❢♠✱ ❛♥❞ ❢♦* )❤❡ ♣*♦❥❡❝)✐❧❡ ✇❡ ✉.❡ VP 0=−23.6 ▼❡❱✱ RP= 2.00 ❢♠✱ ❛♥❞ αP= 0.65 ❢♠✳ ❚❤❡ *❡❞✉❝❡❞ ♠❛.. ❢♦* )❤✐. ❝❛.❡ ✐. µ= 0.975 ❛♠✉✳ ❚❤❡ ♣*♦❥❡❝)✐❧❡ ❢♦❧❧♦✇. )❤❡ ✭✸✳✷✮ )*❛❥❡❝)♦*② ✇✐)❤ .❛♠❡ ❛❝❝❡❧❡*❛)✐♦♥ ❛. ✐♥ ♣*❡✈✐♦✉. ❡①❛♠♣❧❡✳ ❚❤❡ ✐♥✐)✐❛❧ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝)✐♦♥ ✐. ♦❜)❛✐♥❡❞ ❜② ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③✐♥❣ )❤❡ *❡.✐❞✉❛❧ ♣❛✐*✐♥❣ ✐♥)❡*❛❝)✐♦♥ ✐♥ )❤❡ )✇♦✲♣❛*)✐❝❧❡ ❜❛.✐.✳ ❲❡ ❝❤♦♦.❡ ❢♦* )❤❡ *❡.✐❞✉❛❧ ✐♥)❡*❛❝)✐♦♥ ✭✹✳✶✮ )❤❡ ♣❛*❛♠❡)❡*. VT RI =−58.50 ▼❡❱ ❛♥❞ VP RI =−58.95 ▼❡❱ ❢♦* )❛*❣❡) ❛♥❞ ♣*♦❥❡❝)✐❧❡ *❡.♣❡❝)✐✈❡❧② ✐♥ ♦*❞❡* )♦ ♦❜)❛✐♥ )❤❡ )✇♦✲♣❛*)✐❝❧❡ ❜♦✉♥❞ .)❛)❡ ❡♥❡*❣✐❡. ❛. .✐♠✐❧❛* ❛. ♣♦..✐❜❧❡✿ ET 2b=−5.94 ▼❡❱ ❛♥❞ EP 2b=−6.23 ▼❡❱✳ ❚❤❡ ♣❛*❛♠❡)❡*. ρ0= 0.15 ❢♠ −1 ❛♥❞ p= 1 ❛*❡ )❤❡ .❛♠❡ ❢♦* ❜♦)❤ ♣♦)❡♥)✐❛❧.✳ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❛..✉♠❡ )❤❛) )❤❡ ❝♦*❡ ♦❝❝✉♣✐❡. ❛❧❧ )❤❡ ❜♦✉♥❞ ❧❡✈❡❧.✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦) ✐♥❝❧✉❞❡ )❤♦.❡ .)❛)❡. ✐♥ )❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛)✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝♦♥)✐♥✉✉♠ ✐. ❞✐.❝*❡)✐③❡❞ ✐♥ )❤❡ .❛♠❡ ✇❛② ❛. ✐♥ )❤❡ ✉♥❝♦**❡❧❛)❡❞ ❝❛.❡✳ ❚❤❡ ❝♦**❡.♣♦♥❞✐♥❣ ✐♥✐)✐❛❧ ❛♥❞ ✜♥❛❧ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝)✐♦♥. ❛*❡ .❤♦✇♥ ✐♥ )❤❡ ❧♦✇❡* ❢*❛♠❡. ♦❢ ✜❣✉*❡ ✹✳✶✶✳ ■♥ )❤❡ ❝❛.❡ ✇✐)❤ ❝♦**❡❧❛)✐♦♥.✱ )❤❡ ♣*❡.❡♥❝❡ ♦❢ )❤❡ ♣❛✐*✐♥❣ ✐♥)❡*❛❝)✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐. ❛ )✇♦✲❜♦❞② ♦♣❡*❛)♦*✱ ♠❛❦❡. ♣♦..✐❜❧❡ )❤❡ .✐♠✉❧)❛♥❡♦✉. )*❛♥.❢❡* ♦❢ )❤❡ )✇♦ ♥❡✉)*♦♥. ✐♥ ❛❞❞✐)✐♦♥ )♦ )❤❡ )❤❡ .✉❝❝❡..✐✈❡ )*❛♥.❢❡* ♦❢ .✐♥❣❧❡ ♣❛*)✐❝❧❡.✳ ❚❤❡ ❡✛❡❝) ♦❢ )❤✐. ✐♥✐)✐❛❧ ❝♦**❡❧❛)✐♦♥ ✇✐❧❧ ♣*♦♣❛❣❛)❡ ❞✉*✐♥❣ )❤❡ .❝❛))❡*✐♥❣ ♣*♦❝❡.. ❛♥❞ ❛✛❡❝) )❤❡ ✜♥❛❧ ✇❛✈❡❢✉♥❝)✐♦♥ ✭❧♦✇❡*✲*✐❣❤) ❢*❛♠❡✮✳ ❆. ✐♥ )❤❡ ♣*❡✈✐♦✉. ✉♥❝♦**❡❧❛)❡❞ ❝❛.❡ ✇❡ ❝❛♥ .❡♣❛*❛)❡ )❤❡ ♣*♦❜❛❜✐❧✐)✐❡. ❢♦* )❤❡ ♣♦♣✉❧❛)✐♦♥ ♦❢ )❤❡ ❞✐✛❡*❡♥) ✜♥❛❧ ❝❤❛♥♥❡❧.✳ ❖♥❡ ❣❡). ❛ )♦)❛❧ ♦♥❡✲♣❛*)✐❝❧❡ )*❛♥.❢❡* ♣*♦❜❛❜✐❧✐)② P1 ❡P✉❛❧ )♦ ✺✷✪ ❛♥❞ ❛ ♣❛✐* )*❛♥.❢❡* ♣*♦❜❛❜✐❧✐)② P2 ❡P✉❛❧ )♦ ✶✸✪✳ ❚❤✐. ❧❛))❡* ✈❛❧✉❡ ✐. ❛ ❢❛❝)♦* 2 ❧❛*❣❡* )❤❛♥ )❤❡ ✉♥❝♦**❡❧❛)❡❞ ❡.)✐♠❛)❡ ♦❢ ❡P✉❛)✐♦♥ ✭✹✳✷✺✮✳ ❚❤✐. ❢❛❝)♦* *❡♣*❡.❡♥). )❤❡*❡❢♦*❡ )❤❡ ❡♥❤❛♥❝❡♠❡♥) ❢❛❝)♦* ❞✉❡ )♦ )❤❡ ♣❛✐*✐♥❣ ❝♦**❡❧❛)✐♦♥✿ )❤❡ ♣*♦❜❛❜✐❧✐)② ♦❢ ✜♥❞✐♥❣ ❜♦)❤ ♣❛*)✐❝❧❡. ♦♥ )❤❡ .❛♠❡ .✐❞❡ ✐. ♥♦✇ ❝❧❡❛*❧② ❢❛✈♦*❡❞✳ ✹✳✷✳ ❙❝❛&&❡(✐♥❣ ♦❢ &✇♦ ♣❛(&✐❝❧❡1 ✐♥ &❤❡ ✜❡❧❞ ♦❢ &✇♦ ♣♦&❡♥&✐❛❧ ✇❡❧❧1 ✶✶✶ ❋✐❣✉(❡ ✹✳✶✶✿ ❚✇♦✲❜♦❞② ✇❛✈❡❢✉♥❝&✐♦♥1 ❢♦( &❤❡ ✉♥❝♦((❡❧❛&❡❞ ✭✉♣♣❡(✮ ❛♥❞ ❝♦((❡✲ ❧❛&❡❞ ✭❜♦&&♦♠✮ ❝❛1❡1✳ ❚❤❡ ✐♥✐&✐❛❧ ✭❧❡❢&✮ ❛♥❞ ✜♥❛❧ ✭(✐❣❤&✮ (❡1✉❧&1 ❛(❡ ♣(❡1❡♥&❡❞✳ ✶✶✷ ✹✳ ❚✇♦✲♥❡✉)*♦♥ ❤❛❧♦ .②.)❡♠.✿ .)*✉❝)✉*❡ ❛♥❞ ❞②♥❛♠✐❝. ✹✳✷✳✷ ■♥✢✉❡♥❝❡ ♦❢ +❤❡ ❜✐♥❞✐♥❣ ❡♥❡1❣② ♦♥ +❤❡ 1❡❛❝+✐♦♥ ♣1♦❝❡55 ▲❡) ✉. )❡.) ♥♦✇ )❤❡ .②.)❡♠ ❜❡❤❛✈✐♦✉* ❜② ❝❤❛♥❣✐♥❣ )❤❡ )✇♦✲❜♦❞② ❜♦✉♥❞ .)❛)❡ ❡♥❡*❣② ♦❢ )❤❡ )✇♦ ♣♦)❡♥)✐❛❧ ✇❡❧❧.✳ ❋♦* )❤❡ ✉♥❝♦**❡❧❛)❡❞ .②.)❡♠ ✇❡ ❝❤♦♦.❡ ❛. ✐♥✐)✐❛❧ ♣❛*❛♠❡)❡*. )❤❡ .❛♠❡ ♦❢ )❤❡ ✉♥❝♦**❡❧❛)❡❞ ❝❛.❡ ♣*❡.❡♥)❡❞ ✐♥ )❤❡ ♣*❡✈✐♦✉. 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)*❛♥.❢❡* ✐. ❡♥❤❛♥❝❡❞ ✇✐)❤ *❡.♣❡❝) )♦ )❤❡ *❡.✉❧) ♦❢ ❡I✉❛)✐♦♥ ✭✹✳✷✺✮✱ ❡✈❡♥ ✐❢ ✐) ✐♥❝*❡❛.❡. ❧❡.. .)*♦♥❣❧② )❤❛♥ ♦♥❡✲❜♦❞② )*❛♥.❢❡*✳ ❆♥♦)❤❡* ✐♥)❡*❡.)✐♥❣ )❡.) ✐. )❤❡ ✈❛*✐❛)✐♦♥ ♦❢ )❤❡ )✇♦✲❜♦❞② .)❛)❡ ❡♥❡*❣② ❢♦* ✹✳✷✳ ❙❝❛&&❡(✐♥❣ ♦❢ &✇♦ ♣❛(&✐❝❧❡1 ✐♥ &❤❡ ✜❡❧❞ ♦❢ &✇♦ ♣♦&❡♥&✐❛❧ ✇❡❧❧1 ✶✶✸ ❜♦&❤ &❛(❣❡& ❛♥❞ ♣(♦❥❡❝&✐❧❡✱ ❦❡❡♣✐♥❣ &❤❡♠ ❡<✉❛❧✳ ❚♦ ❞♦ 1♦✱ ✇❡ ❝❤❛♥❣❡ &❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ &❤❡ (❡1✐❞✉❛❧ ✐♥&❡(❛❝&✐♦♥ ♦❢ &❤❡ &✇♦ ✇❡❧❧1 ✐♥ ❛ (❛♥❣❡ ♦❢ [−35.0; −60.0] ▼❡❱✳ ❚❤❡ (❡1✉❧&1 ❛(❡ 1❤♦✇♥ ✐♥ &❤❡ ❧❡❢& ♣❛♥❡❧1 ♦❢ ✜❣✉(❡ ✹✳✶✹✳ ■♥ &❤✐1 ❝❛1❡✱ ❛1 &❤❡ &❛(❣❡& ❛♥❞ ♣(♦❥❡❝&✐❧❡ ❜❡❝♦♠❡ ♠♦(❡ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ &❤❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝&✐♦♥1 (❡❧❛&❡❞ &♦ ❜♦&❤ ♣♦&❡♥&✐❛❧1 ❡①&❡♥❞ ♦✈❡( ❧❛(❣❡( (❡❣✐♦♥1✱ &❤✉1 ✐♥❝(❡❛1✐♥❣ ❝♦♥1✐❞❡(❛❜❧② &❤❡ ♦✈❡(❧❛♣ ❞✉(✐♥❣ &❤❡ ♣(♦❝❡11 (❡1♣❡❝& &❤❡ ♣(❡✈✐♦✉1 &❡1&✳ ❚❤✐1 (❡1✉❧&1 ✐♥ ❛ ❢❛1&❡( ✐♥❝(❡♠❡♥& ♦❢ &(❛♥1❢❡( ❛♥❞ ❜(❡❛❦✉♣ ♣(♦❜❛❜✐❧✐&✐❡1 ✇✐&❤ (❡1♣❡❝& &♦ &❤❡ ❝❛1❡ ♦❢ ✜❣✉(❡ ✹✳✶✸✳ ❆❣❛✐♥✱ &❤❡ &✇♦✲♥❡✉&(♦♥ ♣(♦❜❛❜✐❧✐&② ✐1 ❝❧❡❛(❧② ❡♥❤❛♥❝❡❞ ✇✐&❤ (❡1♣❡❝& &♦ &❤❡ ♣❡(&✉(❜❛&✐✈❡ ❡1&✐♠❛&❡ ♦❢ ❡<✉❛&✐♦♥ ✭✹✳✷✺✮ ✭1❡❡ &❤❡ ❝♦♠♣❛(✐1♦♥ ♦❢ &❤❡1❡ &✇♦ (❡1✉❧&1 ✐♥ &❤❡ ❧❡❢& 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❡♥❡*❣② .)❛)❡✱ ❦❡❡♣✐♥❣ )❤❡ )❛*❣❡) ❡♥❡*❣② ✜①❡❞ ❛) −0.34 ▼❡❱✳ ❘✐❣❤) ♣❛♥❡❧✿ ③♦♦♠ ♦♥ )❤❡ )✇♦✲♥❡✉)*♦♥ )*❛♥.❢❡* ✭❜❧✉❡ .♦❧✐❞ ❧✐♥❡✮ *❡.✉❧) ❛♥❞ ♣❡*)✉*❜❛)✐✈❡ ❝❛❧❝✉❧❛)✐♦♥ ✭✈✐♦❧❡) ❞❛❤❡❞ ❧✐♥❡✮ ♦❜)❛✐♥❡❞ ❛♣♣❧②✐♥❣ ❡I✉❛)✐♦♥ ✭✹✳✷✺✮✳ ✹✳✷✳ ❙❝❛&&❡(✐♥❣ ♦❢ &✇♦ ♣❛(&✐❝❧❡1 ✐♥ &❤❡ ✜❡❧❞ ♦❢ &✇♦ ♣♦&❡♥&✐❛❧ ✇❡❧❧1 ✶✶✺ ❋✐❣✉(❡ ✹✳✶✸✿ ▲❡❢& ♣❛♥❡❧1✿ ❡❧❛1&✐❝ ✭❣(❡❡♥ ❞♦&&❡❞ ❧✐♥❡✮✱ ♦♥❡✲♥❡✉&(♦♥ &(❛♥1❢❡( ✭(❡❞ ❞❛1❤❡❞✲❞♦&&❡❞ ❧✐♥❡✮✱ &✇♦✲♥❡✉&(♦♥ &(❛♥1❢❡( ✭❜❧✉❡ 1♦❧✐❞ ❧✐♥❡✮✱ ❛♥❞ ❜(❡❛❦✉♣ ✭❜❧❛❝❦ ❞❛❤❡❞ ❧✐♥❡✮ ♣(♦❜❛❜✐❧✐&✐❡1 ❢♦( &❤❡ ❝♦((❡❧❛&❡❞ ❝❛1❡ ❛1 ❛ ❢✉♥❝&✐♦♥ ♦❢ &❤❡ &✇♦✲❜♦❞② ❡♥❡(❣② 1&❛&❡ ♦❢ ♣(♦❥❡❝&✐❧❡✱ ❦❡❡♣✐♥❣ &❤❡ &❛(❣❡& ❡♥❡(❣② ✜①❡❞ ❛& −4.13 ▼❡❱✳ ❘✐❣❤& ♣❛♥❡❧✿ ③♦♦♠ ♦♥ &❤❡ &✇♦✲♥❡✉&(♦♥ &(❛♥1❢❡( ✭❜❧✉❡ 1♦❧✐❞ ❧✐♥❡✮ (❡1✉❧& ❛♥❞ ♣❡(&✉(❜❛&✐✈❡ ❝❛❧❝✉❧❛&✐♦♥ ✭✈✐♦❧❡& ❞❛❤❡❞ ❧✐♥❡✮ ♦❜&❛✐♥❡❞ ❛♣♣❧②✐♥❣ ❡K✉❛&✐♦♥ ✭✹✳✷✺✮✳ ❋✐❣✉(❡ ✹✳✶✹✿ ▲❡❢& ♣❛♥❡❧1✿ ❡❧❛1&✐❝ ✭❣(❡❡♥ ❞♦&&❡❞ ❧✐♥❡✮✱ ♦♥❡✲♥❡✉&(♦♥ &(❛♥1❢❡( ✭(❡❞ ❞❛1❤❡❞✲❞♦&&❡❞ ❧✐♥❡✮✱ &✇♦✲♥❡✉&(♦♥ &(❛♥1❢❡( ✭❜❧✉❡ 1♦❧✐❞ ❧✐♥❡✮✱ ❛♥❞ ❜(❡❛❦✉♣ ✭❜❧❛❝❦ ❞❛❤❡❞ ❧✐♥❡✮ ♣(♦❜❛❜✐❧✐&✐❡1 ❢♦( &❤❡ ❝♦((❡❧❛&❡❞ ❝❛1❡ ❛1 ❛ ❢✉♥❝&✐♦♥ ♦❢ &❤❡ &✇♦✲❜♦❞② 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✉♥❞❡/ '$✉❞② ✐' ❝♦♠♣♦'❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥❡/$ ❝♦/❡✱ /❡♣/❡'❡♥$❡❞ ❜② ❛ ❲♦♦❞'✲❙❛①♦♥ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞ ♣♦$❡♥$✐❛❧✱ ♣❧✉' ♦♥❡ ♦/ $✇♦ ✈❛❧❡♥❝❡ ♥❡✉$/♦♥' ❬✹✵❪✳ ■♥ $❤❡ ❝❛'❡ ♦❢ $✇♦ ✈❛❧❡♥❝❡ ♣❛/$✐❝❧❡'✱ ✇❡ '✐♠✉❧❛$❡ $❤❡ $❤/❡❡ ❜♦❞② ❇♦//♦♠❡❛♥ ❤❛❧♦ '②'$❡♠✱ ✐✳❡✳ $❤/❡❡✲❜♦❞② ❜♦✉♥❞ '②'$❡♠' ✇✐$❤ ♥♦ ❜♦✉♥❞ ❜✐♥❛/② '✉❜✲'②'$❡♠'✳ ❊①❛♠♣❧❡' ♦❢ $❤❡'❡ '②'$❡♠' ❛/❡ $❤❡ ♥✉❝❧❡✐ 6 ❍❡ ❛♥❞ 11 ▲✐✳ ■$ ✐' ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ $❤❛$ $❤❡ /❡'✐❞✉❛❧ ♣❛✐/✐♥❣ ✐♥$❡/❛❝$✐♦♥ ❜❡$✇❡❡♥ $❤❡ ✈❛❧❡♥❝❡ ♥❡✉$/♦♥' ♣❧❛②' ❛ ❦❡② /♦❧❡ ✐♥ ♠❛❦✐♥❣ $❤❡ ❢✉❧❧ '②'$❡♠ ❜♦✉♥❞✳ ■♥ ♦✉/ '✐♠♣❧✐✜❡❞ ♠♦❞❡❧✱ $❤✐' ✐' ❛❝❤✐❡✈❡❞ ✈✐❛ ❛ ❞❡♥'✐$②✲❞❡♣❡♥❞❡♥$ ❞❡❧$❛ /❡'✐❞✉❛❧ ✐♥$❡/❛❝$✐♦♥✳ ■$ ✐' ❛❧'♦ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ $❤❛$ $❤❡ ♣♦'✐$✐✈❡✲❡♥❡/❣② '♣❡❝$/✉♠ ♣❧❛②' ❛♥ ❡''❡♥$✐❛❧ /♦❧❡ ✐♥ $❤❡ '$/✉❝$✉/❡ ❛♥❞ ❝♦❧❧✐'✐♦♥' ♦❢ $❤❡'❡ '②'$❡♠'✳ ❙✐♥❝❡ $❤❡'❡ '$❛$❡' ❢♦/♠ ❛♥ ✐♥✜♥✐$❡ '❡$ ♦❢ ❝♦♥$✐♥✉✉♠ ❢✉♥❝$✐♦♥'✱ ✐♥ ♣/❛❝$✐❝❛❧ ❝❛❧❝✉❧❛$✐♦♥' ✐$ ✐' ❢♦/♠❛❧❧② ❛♥❞ ❝♦♠♣✉$❛$✐♦♥❛❧❧② ❝♦♥✈❡♥✐❡♥$ $♦ /❡♣❧❛❝❡ $❤❡ ❡①❛❝$ ❝♦♥$✐♥✉✉♠ '$❛$❡' ❜② ❛ ❞✐'❝/❡$❡ /❡♣/❡'❡♥$❛$✐♦♥ ✐♥ $❡/♠' ♦❢ ':✉❛/❡✲✐♥$❡❣/❛❜❧❡ ❢✉♥❝$✐♦♥' ✭✧♣'❡✉❞♦'$❛$❡'✧✮✳ ❚❤❡/❡❢♦/❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛❧'♦ ❡①♣❧♦/❡❞ '❡✈❡/❛❧ 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γ/b ♣❛%❛♠❡+❡% ✈❛❧✉❡ +❤❡ ❞✐1+%✐❜✉+✐♦♥ ♦❢ ♣1❡✉❞♦1+❛+❡1 ✐♥ +❤❡ ♣♦1✐+✐✈❡ ❡♥❡%❣② %❡❣✐♦♥✳ ❆1 ✐♥ +❤❡ ❍❖ ❝❛1❡✱ +❤❡ ♦♥❧② ♣❛%❛♠❡+❡% +❤❛+ ♥❡❡❞1 +♦ ❜❡ ✈❛%✐❡❞ ❧♦♦❦✐♥❣ ❢♦% ❝♦♥✈❡%❣❡♥❝❡ ✐1 ◆✱ +❤❡ ❜❛1✐1 1✐③❡✳ ❚❤❡ ❚❍❖ ♠❛❦❡1 ❝❛❧❝✉❧❛+✐♦♥1 ♠♦%❡ ✐♥✈♦❧✈❡❞✱ ❜✉+ +❤❡ ❞❡❣%❡❡ ♦❢ ❝♦♠♣❧❡①✐+② ✐1 ♥♦+ +♦♦ ❤✐❣❤ ❛♥❞ ❝♦♠♣✉+✐♥❣ +✐♠❡ ✐♥❝%❡♠❡♥+1 ❛%❡ ❛❧♠♦1+ ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡✳ ❚❤✐1 ✐1 ❝❡%+❛✐♥❧② 1♦ ✇✐+❤ +❤❡ ❛♥❛❧②+✐❝❛❧ ❧♦❝❛❧ 1❝❛❧❡ +%❛♥1❢♦%♠❛+✐♦♥ ✭▲❙❚✮ ❢%♦♠ ❬✺✶❪ ❝♦♠♣❛%❡❞ +♦ +❤❡ ♦%✐❣✐♥❛❧ ❢♦%♠✉❧❛+✐♦♥ ♦❢ +❤❡ ❚❍❖ ♠❡+❤♦❞ ❬✼✶❪✳ ❆1 ✇❡ ❤❛✈❡ 1+❛+❡❞✱ ❛♥♦+❤❡% ❞✐✛❡%❡♥❝❡ ✇✐+❤ +❤❡ ❍❖ ♠❡+❤♦❞ ✐1 +❤❛+ ✇❡ ♥❡❡❞ +♦ ❛11✐❣♥ ✈❛❧✉❡1 +♦ +❤❡ γ/b %❛+✐♦ ♣❛%❛♠❡+❡%✳ ❚❤❡ ❜❡1+ ♦♣+✐♦♥ ✐1 +♦ ✜① ✐+ ❝♦♥1✐❞❡%✐♥❣ +❤❡ ❝♦♥+✐♥✉✉♠ %❡❣✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐1 ♦❢ ♠❛❥♦% ✐♥+❡%❡1+ ✐♥ ❡❛❝❤ ♣❛%+✐❝✉❧❛% ❝❛1❡ ❛♥❞ ❣✐✈❡ γ/b ✈❛❧✉❡1 ❛❝❝♦%❞✐♥❣ +♦ +❤✐1 ❬✺✵❪✳ ▲❡+ ✉1 ✐❧❧✉1+%❛+❡ ✐♥ ❛ ♣❛%+✐❝✉❧❛% ❝❛1❡ +❤❡ ♣♦11✐❜❧❡ ❛❞✈❛♥+❛❣❡ ♦❢ ✉1✐♥❣ +❤❡ ▲❙❚ +%❛♥1❢♦%♠❛+✐♦♥✱ ❛1 ❝♦♠♣❛%❡❞ +♦ +❤❡ ♣✉%❡ ❍❖ ❜❛1✐1✳ ❆1 ❛ ❤❡❧♣ ❢♦% +❤❡ ❝♦♠♣❛%✐1♦♥ ♦❢ +❤❡ ❛♣♣%♦❛❝❤❡1 ❝♦♥1✐❞❡%❡❞ ✐♥ +❤❡ ♦♥❡✲ ❛♥❞ +✇♦✲❜♦❞② ❝❛1❡1✱ ✇❡ ♣%❡1❡♥+ ✐♥ +❛❜❧❡ ❆✳✶ +❤❡ ❜❛1✐1 ❞✐♠❡♥1✐♦♥ ✐♥ +❤❡ ❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖ ❝❛1❡1 1✉❝❤ +❤❛+ ❢♦% ❛ ∆N= 10 +❤❡ ✈❛%✐❛+✐♦♥ ✐♥ +❤❡ ❜♦✉♥❞ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡1 ♦❢ +❤❡ ❲♦♦❞1✲❙❛①♦♥ ♠♦❞❡❧ ♣♦+❡♥+✐❛❧ ✐1 ∆Eb<5 ❦❡❱✳ ◆ xmax(fm) ❍❖ (1) ✾✵ ✺✺✳✵ ❍❖ (2) ✺✵ ✻✵✳✵ ❚❍❖ (1) ✺✵ ✼✺✳✵ ❚❍❖ (2) ✷✵ ✼✺✳✵ ❚❛❜❧❡ ❆✳✶✿ ❖♥❡ ❜♦❞② ❞✐♠❡♥1✐♦♥ ◆ ❛♥❞ ✐♥+❡❣%❛+✐♦♥ ❧❡♥❣+❤ xmax %❡T✉✐%❡❞ +♦ ❛❝❤✐❡✈❡ ❝♦♥✈❡%❣❡❞ ❡♥❡%❣✐❡1 ❢♦% +❤❡ ❞✐✛❡%❡♥+ ♠❡+❤♦❞1✳ ■♥ +❤❡ ❍❖ (1) ❝❛1❡ +❤❡ ✐♥✈❡%1❡ ♦1❝✐❧❧❛+♦% ❧❡♥❣+❤ a ✐1 ❛11❡11❡❞ ✇✐+❤ N= 1 ❝❛❧❝✉❧❛+✐♦♥✱ +❤♦✉❣❤ ✐♥ +❤❡ ❍❖ (2) ❝❛1❡ +❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ a ✐1 ✜①❡❞ ✉1✐♥❣ ❛ %❡❝✐♣❡ ❞❡1❝%✐❜❡❞ ✐♥ ❛♣♣❡♥❞✐① ❉✳✶✳ ❚❤❡ ❚❍❖ (1) ❛♥❞ ❚❍❖ (2) ♥♦+❛+✐♦♥ 1+❛♥❞1 ❢♦% ❚❍❖ ✇✐+❤ γ/b = 2.4 ❢♠ −1/2 ❛♥❞ γ/b = 1.2 ❢♠ −1/2 ✱ %❡1♣❡❝+✐✈❡❧②✳ ❚❤❡ ❍❖ (1) ❛♥❞ ❍❖ (2) ♥♦+❛+✐♦♥ 1+❛♥❞1 ❢♦% +%✉♥❝❛+❡❞ ❍❛%♠♦♥✐❝ ❖1❝✐❧❧❛+♦% ❜❛1✐1 ✐♥ ✇❤✐❝❤✿ ✐♥ +❤❡ ❍❖ (1) ❝❛1❡ +❤❡ ✐♥✈❡%1❡ ♦1❝✐❧❧❛+♦% ❧❡♥❣+❤ a ✐1 ❞❡+❡%♠✐♥❡❞ ✇✐+❤ N= 1 ❝❛❧❝✉❧❛+✐♦♥✱ ✇❤❡%❡❛1 ✐♥ +❤❡ ❍❖ (2) ❝❛1❡ +❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ a ✐1 ✜①❡❞ ✉1✐♥❣ ❛ %❡❝✐♣❡ ❞❡1❝%✐❜❡❞ ✐♥ ❛♣♣❡♥❞✐① ❉✳✶✱ ❛✐♠✐♥❣ +♦ ✐♠♣%♦✈❡ +❤❡ ❞❡1❝%✐♣+✐♦♥ ✶✷✼ ♦❢ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ 01❛1❡0✳ ❚❤❡ ❚❍❖ (1) ❛♥❞ ❚❍❖ (2) ♥♦1❛1✐♦♥ 01❛♥❞0 ❢♦8 ❚❍❖ ✇✐1❤ γ/b = 2.4 ❢♠ −1/2 ❛♥❞ γ/b = 1.2 ❢♠ −1/2 ✱ 8❡0♣❡❝1✐✈❡❧②✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ xmax ✐0 1❤❡ ✐♥1❡❣8❛1✐♦♥ ✐♥1❡8✈❛❧ ✐♥ ❜♦1❤ ❝❛0❡0❀ ✐♥1❡❣8❛❧0 8❛♥❣❡ ❢8♦♠ −xmax 1♦ +xmax ❛♥❞ ✇❡ ❝❤❡❝❦ 1❤❛1 1❤✐0 ✈❛❧✉❡ ✐0 ❧❛8❣❡ ❡♥♦✉❣❤ ✐♥ ❡❛❝❤ ❝❛0❡ ❜② ❝♦♠♣✉1✐♥❣ 1❤❡ ❜❛0✐0 01❛1❡0 ♥♦8♠❛❧✐③❛1✐♦♥✳ ■♥ ✜❣✉8❡ ❆✳✶ 1❤❡ ❧❡❛01✲❜♦✉♥❞ 01❛1❡ ♦❢ 1❤❡ ♠♦❞❡❧ ❲♦♦❞0✲❙❛①♦♥ ♣♦1❡♥1✐❛❧ Ψ2(x) ✐0 ❞❡♣✐❝1❡❞ ❢♦8 ❍❖ (1,2) ❛♥❞ ❚❍❖ (1,2) ✳ G❛♥❡❧ ✭❛✮ 0❤♦✇0 1❤❡ ❢✉❧❧ 0♣❛1✐❛❧ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ Ψ2(x) ✱ ❛♥❞ ♣❛♥❡❧ ✭❜✮ 0❤♦✇0 ❛ ③♦♦♠ ✐♥ ❧♦❣❛8✐1♠✐❝ 0❝❛❧❡ ♦❢ 1❤❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝1✐♦♥ 1❛✐❧0✱ ✇❤❡8❡ ❞✐✛❡8❡♥❝❡0 ❛8❡ ♠♦8❡ ♥♦1✐❝❡❛❜❧❡✳ ■1 ❝❛♥ ❜❡ 0❡❡♥ 1❤❛1 1❤❡ ❚❍❖ ❛❝❤✐❡✈❡0 ❛ ❜❡11❡8 ❞❡0❝8✐♣1✐♦♥ ♦❢ 1❤❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝1✐♦♥ 1❛✐❧ ✇✐1❤ ❛ 0♠❛❧❧❡8 ♥✉♠❜❡8 ♦❢ ❜❛0✐0 01❛1❡0✳ -40 -30 -20 -10 010 20 30 40 x (fm) -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 weakly bound wavefunction HO N = 90 a HO N = 50 a algorithm THO N = 20 r = 1.2 fm^-1/2 THO N = 50 r = 2.4 fm^-1/2 ✭❛✮ 10 20 30 40 x (fm) 0.0001 0.001 0.01 0.1 weakly bound wavefunction HO N = 90 a HO N = 50 a algorithm THO N = 20 r = 1.2 fm^-1/2 THO N = 50 r = 2.4 fm^-1/2 ✭❜✮ ❋✐❣✉8❡ ❆✳✶✿ G❛♥❡❧ ❛✿ 1❤❡ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ ✇❛✈❡❢✉♥❝1✐♦♥0 ❢♦8 1❤❡ ✶❉ ♦♥❡✲❜♦❞② ♣8♦❜❧❡♠ ❝❛❧❝✉❧❛1❡❞ ✇✐1❤ ❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖ ❜❛0✐0 ✉0✐♥❣ ❞✐✛❡8❡♥1 ♣❛8❛♠❡1❡80✳ G❛♥❡❧ ❜✿ 1❤❡ ❧♦❣❛8✐1♠✐❝ ♣❧♦1 ♦❢ 1❤❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝1✐♦♥0 1❛✐❧0❀ 1❤❡ ♠❛✐♥ ❞✐✛❡8❡♥❝❡0 ❛8❡ ❧♦❝❛1❡❞ ♦♥ 1❤❡ 1❛✐❧0 8❡❣✐♦♥✱ ❛♥❞ ✐♥ ♣❛81✐❝✉❧❛8 ✐1 ❝❛♥ ❜❡ ♥♦1✐❝❡❞ 1❤❛1 ✇✐1❤ ❚❍❖ (2) ♦♥❡ ❝❛♥ 8❡♣8♦❞✉❝❡ 1❤❡ ♣8♦♣❡8 1❛✐❧ ✉0✐♥❣ ❛ 0♠❛❧❧❡8 ♥✉♠❜❡8 ♦❢ ❜❛0✐0 01❛1❡0✳ ■♥ ✜❣✉8❡ ❆✳✷ ✇❡ ✐♥❝❧✉❞❡✱ ❢♦8 1❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❝❛0❡✱ 1❤❡ 8❡0✉❧10 ♦❜1❛✐♥❡❞ ❢♦8 1❤❡ 1♦1❛❧ 018❡♥❣1❤ 0✉♠ 8✉❧❡ ♦❢ Ψ2(x) ✇✐1❤ 1❤❡ ❢♦✉8 ❛♣♣8♦❛❝❤❡0 ❝♦♥0✐❞❡8❡❞ ✐♥ 1❛❜❧❡ ❆✳✶✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❢♦8 1❤❡ 1✇♦✲❜♦❞② ❝❛0❡✱ ✇❡ 01✉❞② 1❤❡ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ ❣8♦✉♥❞ 01❛1❡ ❡♥❡8❣② ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ✇✐1❤ ◆ ✐♥ 1❛❜❧❡ ❆✳✷ ❛0 ✇❡❧❧ ❛0 ❛ ♣❧♦1 ♦❢ 1❤❡ ❣8♦✉♥❞ 01❛1❡ ❡♥❡8❣② ✭♣❛♥❡❧ ❛✮ ❛♥❞ ✭♣❛♥❡❧ ❜✮ ❣8♦✉♥❞ 01❛1❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉0 ❞❡♥0✐1② ✈❛❧✉❡ ✭❛0 ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ 0❡❝1✐♦♥ ✹✳✶✳✷✮ ✐♥ ✜❣✉8❡ ❆✳✸✳ ✶✷✽ ❆✳ ❆♣♣%♦①✐♠❛+❡ ❝♦♥+✐♥✉✉♠ ❞✐1❝%❡+✐③❛+✐♦♥ ♠❡+❤♦❞1 ❝♦♠♣❛%✐1♦♥ 0 40 80 120 160 200 N 0 10 20 30 40 Sum rules (fm^2) HO - a HO - a algorithm THO - gamma = 1.2 fm^-1/2 THO - gamma = 2.4 fm^-1/2 ❋✐❣✉%❡ ❆✳✷✿ ❚❤❡ +♦+❛❧ 1+%❡♥❣+❤ 1✉♠ %✉❧❡ ❝♦♥✈❡%❣❡♥❝❡ ❝❛❧❝✉❧❛+❡❞ ✇✐+❤ +❤❡ ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ 1+❛+❡ ❢♦% +❤❡ ✶❉ ♦♥❡✲❜♦❞② ♣%♦❜❧❡♠ ✐♥ ❛ ❲♦♦❞1✲❙❛①♦♥ ♣♦+❡♥✲ +✐❛❧✱ ❢♦% ❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖ ♠❡+❤♦❞1✳ N1bxmax(fm) ❍❖ (1) ✷✵✵ ✸✵✳✵ ❍❖ (2) ✹✺ ✼✺✳✵ ❚❍❖ (2) ✺✵ ✼✺✳✵ ❚❍❖ (1) ✽✺ ✼✺✳✵ ❚❛❜❧❡ ❆✳✷✿ ❖♥❡✲❜♦❞② ❞✐♠❡♥1✐♦♥ ◆ ❛♥❞ ✐♥+❡❣%❛+✐♦♥ ❧❡♥❣+❤ xmax %❡M✉✐%❡❞ +♦ ❛❝❤✐❡✈❡ ❝♦♥✈❡%❣❡❞ +✇♦✲❜♦❞② ❡♥❡%❣② ❢♦% +❤❡ ❞✐✛❡%❡♥+ ♠❡+❤♦❞1✳ ■♥ +❤❡ ❍❖ (1) ❝❛1❡ +❤❡ ✐♥✈❡%1❡ ♦1❝✐❧❧❛+♦% ❧❡♥❣+❤ a ✐1 ❞❡+❡%♠✐♥❡❞ ✇✐+❤ N= 1 ❝❛❧❝✉❧❛+✐♦♥✱ ✇❤❡%❡❛1 ✐♥ +❤❡ ❍❖ (2) ❝❛1❡ +❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ a ✐1 ✜①❡❞ ✉1✐♥❣ ❛ %❡❝✐♣❡ ❞❡1❝%✐❜❡❞ ✐♥ ❛♣♣❡♥❞✐① ❉✳✶✳ ❚❤❡ ❚❍❖ (1) ❛♥❞ ❚❍❖ (2) ♥♦+❛+✐♦♥ 1+❛♥❞1 ❢♦% ❚❍❖ ✇✐+❤ γ/b = 2.4 ❢♠ −1/2 ❛♥❞ γ/b = 1.2 ❢♠ −1/2 ✱ %❡1♣❡❝+✐✈❡❧②✳ ✶✷✾ 30 60 90 120 150 180 One body basis dimension -1 0 1 2 3 4 Energy (MeV) HO - a HO - a algorithm THO - ratio = 1.2 fm^-1/2 THO - ratio = 2.4 fm^-1/2 ✭❛✮ ❚✇♦✲❜♦❞② ❡♥❡,❣② 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 One body basis dimension 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Anomalous density Integral HO(1) HO(2) THO(2) THO(1) ✭❜✮ ❆♥♦♠❛❧♦✉2 ❞❡♥2✐4② ❋✐❣✉'❡ ❆✳✸✿ -❛♥❡❧ ❛✿ 1❤❡ ❡♥❡'❣② ❝♦♥✈❡'❣❡♥❝❡ ❢♦' 1❤❡ ✶❉ 1✇♦✲❜♦❞② ♣'♦❜❧❡♠ ✐♥ ❛ ❲♦♦❞@✲❙❛①♦♥ ♣♦1❡♥1✐❛❧ ❢♦' ❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖ ♠❡1❤♦❞@✳ -❛♥❡❧ ❜✿ 1❤❡ ❛♥♦♠❛❧♦✉@ ❞❡♥@✐1② ❢♦' 1❤❡ ❣'♦✉♥❞ @1❛1❡ ❝♦♥✈❡'❣❡♥❝❡ ❢♦' ❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖ ♠❡1❤♦❞@✳ ✶✸✵ ❆✳ ❆♣♣%♦①✐♠❛+❡ ❝♦♥+✐♥✉✉♠ ❞✐1❝%❡+✐③❛+✐♦♥ ♠❡+❤♦❞1 ❝♦♠♣❛%✐1♦♥ ❆1 ❝❛♥ ❜❡ 1❡❡♥ ✐♥ +❤❡ +❛❜❧❡1 ❆✳✶ ❛♥❞ ❆✳✷ ❛♥❞ ✐♥ +❤❡ ✜❣✉%❡1 ❆✳✶✱ ❆✳✷✱ ❆✳✸✱ %❡1✉❧+1 ❢%♦♠ +❤❡ +❤%❡❡ ❛♣♣%♦❛❝❤❡1 ❛%❡ ✐♥ ❣♦♦❞ ❛❣%❡❡♠❡♥+✱ ❛1 ❡①♣❡❝+❡❞✳ ❚❤❡ ❚❍❖ (2) 1❡❡♠1 +❤❡ ♠♦1+ ✢❡①✐❜❧❡ ♠❡+❤♦❞✱ ❛1 ✐+ ♠❛♥❛❣❡1 +♦ ♦❜+❛✐♥ ❝♦♥✈❡%❣❡❞ ❡♥❡%❣✐❡1 ❛♥❞ ❛ ❢❛✐%❧② ❣♦♦❞ ❞❡1❝%✐♣+✐♦♥ ♦❢ ❛1②♠♣+♦+✐❝ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝+✐♦♥1✳ ❆♠♦♥❣ +❤❡ ❝♦♥1✐❞❡%❡❞ ♠❡+❤♦❞ ❢♦% +❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❝❛1❡✱ +❤✐1 ✐1 +❤❡ ❝❛1❡ ✇✐+❤ +❤❡ ❢❛1+❡1+ ❝♦♥✈❡%❣❡♥❝❡ ❛♥❞ ❛ ❜❡1+ ❛1②♠♣+♦+✐❝ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝+✐♦♥ ❞❡1❝%✐♣+✐♦♥✳ ❚❤❡ ❞✐✛❡%❡♥❝❡ ✐♥ ❜❛1✐1 1✐③❡1 ✐♥ +❛❜❧❡1 ❆✳✶ ❛♥❞ ❆✳✷ 1❡❡♠1 ♥♦+ +♦♦ ❞%❛♠❛+✐❝ ✐♥ +❤✐1 ❝❛1❡✱ ❜✉+ ✇❡ 1❤♦✉❧❞ +❛❦❡ ✐♥+♦ ❛❝❝♦✉♥+ +❤❛+ +❤❡1❡ ❝♦♥+✐♥✉✉♠ ❞✐1❝%❡+✐③❛+✐♦♥ ♠❡+❤♦❞1 ❛%❡ ♦❢ ✐♥+❡%❡1+ ❢♦% +✇♦✲❜♦❞② 1+✉❞✐❡1 ❛♥❞ ❜❡②♦♥❞ ❬✼✷✕✼✺❪ ❛♥❞ ✐♥ +❤✐1 ❝❛1❡ ❤❛✈✐♥❣ ❛ 1♠❛❧❧ ♦♥❡✲❜♦❞② ❜❛1✐1 ❝♦♥❢❡%1 ❛ ✈❡%② ✐♠♣♦%+❛♥+ ❛❞✈❛♥+❛❣❡ ✐♥ +❤❡ ❢✉❧❧ ♣%♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡ ♦❢ ❚❍❖ (2) ✐1 ❢✉%+❤❡% ❝♦♥✜%♠❡❞ ✐♥ +❤❡ ♦♥❡✲❜♦❞② ❝❛1❡ ❜② +❤❡ ❢❛1+ ❝♦♥✈❡%❣❡♥❝❡ ♦❢ +❤❡ ❚♦+❛❧ 1+%❡♥❣+❤ 1✉♠ %✉❧❡ ❢♦% +❤❡ Ψ2(x) ✇❡❛❦❧②✲❜♦✉♥❞ 1+❛+❡✱ ❛♥❞ ✐♥ +❤❡ +✇♦✲❜♦❞② ❝❛1❡ ❢♦% +❤❡ ❢❛1+ ❡♥❡%❣② ❛♥❞ ❛♥♦♠❛❧♦✉1 ❞❡♥1✐+② ❝♦♥✈❡%❣❡♥❝❡✳ ■+ ✐1 ✐♠♣♦%+❛♥+ +♦ ❡♠♣❤❛1✐③❡ +❤❛+ ❛❧❧ ♠❡+❤♦❞1 ❛❣%❡❡ ♦♥ +❤❡ ❧❛%❣❡ ◆ ❧✐♠✐+ ❢♦% +❤❡ ❞✐✛❡%❡♥+ M✉❛♥+✐+✐❡1 ❝♦♠♣✉+❡❞✳ ❆♣♣❡♥❞✐① ❇ ❈♦♥#✐♥✉✉♠ '#(✉❝#✉(❡✿ (❡'♦♥❛♥❝❡' ❛♥❞ ✈✐(#✉❛❧ '#❛#❡' ❇② ♦❜$❡&✈✐♥❣ ✇❤❛. ❤❛♣♣❡♥$ .♦ .❤❡ ❜♦✉♥❞ $.❛.❡$ ♦❢ ❛ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥$✐♦♥❛❧ ♣♦✲ .❡♥.✐❛❧ ✇❡❧❧ ✭✇✐.❤ ❜❛&&✐❡&$✮ V(x) ❛$ ✐. ❜❡❝♦♠❡$ ❧❡$$ ❞❡❡♣✱ ♦♥❡ $❤♦✉❧❞ ♥♦.✐❝❡ .❤❛. .❤❡ ❜♦✉♥❞ $.❛.❡$ ♠♦✈❡ ✉♣ .♦ .❤❡ ③❡&♦ ❡♥❡&❣② .❤&❡❛$❤♦❧❞ ❛♥❞ ❡✈❡.✉❛❧❧② ❞✐$❛♣♣❡❛& ✐♥.♦ ❝♦♥.✐♥✉✉♠ ❬✼✻❪✳ ❙❤♦&.❧② ❛❢.❡& ❛ ❜♦✉♥❞ $.❛.❡ ❝❡❛$❡$ .♦ ❡①✐$.✱ ❛ ♥❡✇ &❡$♦♥❛♥❝❡ $.❛.❡ ❛♣♣❡❛&$ ❛❜♦✈❡ .❤❡ ✇❡❧❧✳ ■♥ .❤❡ ✐♥.❡&✐♠ ❛ ✈✐&.✉❛❧ $.❛.❡ ✐$ ❢♦&♠❡❞ ❛. .❤❡ .❤&❡$❤♦❧❞ ❡♥❡&❣②✳ ❉❡❝&❡❛$✐♥❣ .❤❡ ♣♦.❡♥.✐❛❧ ❞❡♣.❤✱ ✐. ♠❡❧.$ ✇✐.❤ ❛♥♦.❤❡& ✈✐&.✉❛❧ $.❛.❡ .❤❛. ✐$ ♠♦✈✐♥❣ ✉♣ .♦✇❛&❞$ ✐.✳ ❚❤✐$ ♠❡❧. ❣✐✈❡$ &✐$❡ .♦ ❛ ♣❛✐& ♦❢ ❝♦♠♣❧❡① ❡♥❡&❣② $.❛.❡$ ✐♥$✐❞❡ .❤❡ ✇❡❧❧ ✇❤✐❝❤ ❡✈❡♥.✉❛❧❧② ❜❡❝♦♠❡ ❛ &❡$♦♥❛♥❝❡ ❛❜♦✈❡ .❤❡ ✇❡❧❧ ❛♥❞ ✐.$ ❝♦♥❥✉❣❛.❡ ✈✐&.✉❛❧ $.❛.❡✳ ❚❤❡ $♦❧✉.✐♦♥$ ♦❢ .❤❡ .✐♠❡✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥. ❙❝&♦❡❞✐♥❣❡& ❡F✉❛.✐♦♥ ❢♦& ❛ $F✉❛&❡ ✇❡❧❧ −~2 2µ d2 dx2+V(x)−EΨ(x) = 0 ✭❇✳✶✮ ✐$ ❣✐✈❡♥ ❜② Ψ(x) =          ceik0x+c′e−ik0x, x < −L aeikx +be−ikx,−L < x < L deik0x+d′e−ik0x, x > L ✭❇✳✷✮ ✇❤❡&❡ [−L, L] ❞❡✜♥❡$ .❤❡ &❛♥❣❡ ✐♥ ✇❤✐❝❤ .❤❡ ♣♦.❡♥.✐❛❧ V(x) ✐$ ❞❡✜♥❡❞✱ k=p2µ(E+V)/~ ❛♥❞ k0=√2/~ ✳ ❚❤❡ ❝♦❡✣❝✐❡♥.$ a ✱ b ✱ c ✱ c′ ✱ d ✱ d′ ❛&❡ ❝♦♥$.❛♥.$ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ❜♦✉♥❞❛&② ❝♦♥❞✐.✐♦♥$✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝.✐♦♥$ e±ikx ❛&❡ ✶✸✶ ✶✸✷ ❇✳ ❈♦♥&✐♥✉✉♠ *&+✉❝&✉+❡✿ +❡*♦♥❛♥❝❡* ❛♥❞ ✈✐+&✉❛❧ *&❛&❡* ✇❛✈❡* ♠♦✈✐♥❣ &♦ +∞ ♦+ −∞ ❛❝❝♦+❞✐♥❣ &♦ &❤❡ *✐❣♥ + ♦+ − ✳ ❇② +❡9✉✐+✐♥❣ c=d′= 0 ✭♦+ c′=d= 0 ✮ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ♦✉&❣♦✐♥❣ ✭♦+ ✐♥❝♦♠✐♥❣✮ ✇❛✈❡✳ ❘❡❛❧ *♦❧✉&✐♦♥* ♦❢ &❤❡ ❡9✉❛&✐♦♥ ✭❇✳✶✮ ❛+❡ ♣♦**✐❜❧❡ ♦♥❧② ❢♦+ E < 0 ✱ ✇❤❡♥ k0 ✐* ♣✉+❡❧② ✐♠❛❣✐♥❛+② ✭ k0=i|k0| ✮✱ ❛♥❞ &❤❡ ♦✉&❣♦✐♥❣ ✇❛✈❡* ❜❡❝♦♠❡ ❞❡❝❛②✐♥❣ ❡①♣♦♥❡♥&✐❛❧* ❜❡❧♦♥❣✐♥❣ &♦ ❜♦✉♥❞ *&❛&❡*✿ Ψ→e−|k0|x ✇❤❡♥ x→ ∞ ✳ ❲❤❡♥ k0 ✐* ♣✉+❡❧② ✐♠❛❣✐♥❛+② ❜✉& ♥❡❣❛&✐✈❡ ✭ k0=−i|k0| ✮ ❛♥❞ E < 0 ✇❡ ❛+❡ ✐♥ &❤❡ ♣+❡*❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✈✐+&✉❛❧ *&❛&❡❀ ✐♥ &❤✐* ❝❛*❡ &❤❡ *♦❧✉&✐♦♥ ✐* ❛♥ ✐♥❝♦♠✐♥❣ ✇❛✈❡✳ ❆❧&❤♦✉❣❤ &❤❡*❡ ❛+❡ ♥♦♥✲♣❤②*✐❝❛❧ *♦❧✉&✐♦♥* ✇✐&❤ ♥❡❣❛&✐✈❡ ❡♥❡+❣✐❡*✱ &❤❡✐+ *✐❣♥❛&✉+❡ *❤♦✇* ✉♣ ❛& ♣♦*✐&✐✈❡ ❡♥❡+❣✐❡* ✭❢♦+ ❡①❛♠♣❧❡✱ ❛* ❛ ❜✉♠♣ ✐♥ &❤❡ ❜+❡❛❦✉♣ ♣+♦❜❛❜✐❧✐&② ❞✐*&+✐❜✉&✐♦♥*✮✳ ❈♦♠♣❧❡① ❡♥❡+❣② *♦❧✉&✐♦♥* ❛+❡ +❡❧❛&❡❞ &♦ +❡*♦♥❛♥❝❡* ✐❢ Im(E)<0 ✜①✐♥❣ ♦✉&❣♦✐♥❣ ❜♦✉♥❞❛+② ❝♦♥❞✐&✐♦♥*✱ ❛♥❞ &♦ ❝♦♥❥✉❣❛&❡ ✈✐+&✉❛❧ *&❛&❡* ✐❢ Im(E)>0 ❢♦+ &❤❡ ❝❛*❡ ♦❢ ✐♥❝♦♠✐♥❣ ✇❛✈❡*✳ ❚❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛&❡ ✈✐+&✉❛❧ *&❛&❡*✱ ❛❧*♦ ❝❛❧❧❡❞ ✏❝❛♣&✉+❡ +❡*♦♥❛♥❝❡ *&❛&❡*✑✱ ❛+❡ ❛**♦❝✐❛&❡❞ ✇✐&❤ ❡①♣♦♥❡♥&✐❛❧ ❞✐✈❡+❣❡♥& ❛*②♠♣&♦&❡*❀ ✇❤✐❧❡ +❡*♦♥❛♥& *&❛&❡* ❛+❡ +❡❝♦❣♥✐③❡❞ ❛♠♦♥❣ ❝♦♥&✐♥✉✉♠ ❧❡✈❡❧* ❜❡❝❛✉*❡ ♠♦*& ♦❢ &❤❡✐+ ♣+♦❜❛❜✐❧✐&② ❞❡♥*✐&② ✐* ❝♦♥❝❡♥✲ &+❛&❡❞ ✐♥ &❤❡ ♣♦&❡♥&✐❛❧ ❛+❡❛✳ ❇✳✶ ❙$✉❞② ♦❢ *❡,♦♥❛♥❝❡, ✐♥ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥,✐♦♥ ❙♦♠❡ ♦❢ &❤❡ ♠♦*& *&+✐❦✐♥❣ ❡✛❡❝&* ✐♥ *❝❛&&❡+✐♥❣ &❤❡♦+② ❛+❡ ❛**♦❝✐❛&❡❞ ✇✐&❤ +❡*♦♥❛♥❝❡*✳ ❚❤❡ ❛♣♣❡❛+❛♥❝❡ ♦❢ ❛ +❡*♦♥❛♥❝❡ ✐♥ &❤❡ ❝♦♥&✐♥✉✉♠ ♦❢ ❛ 9✉❛♥&✉♠ *②*&❡♠ ✐♠♣❧✐❡* *✉❞❞❡♥ ❝❤❛♥❣❡* ♦❢ ♣❤❛*❡ *❤✐❢&* ❛♥❞ +❡✢❡❝&✐♦♥✴&+❛♥*♠✐**✐♦♥ 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❍❛③✐✲❚❛②❧♦* ♣♦$❡♥$✐❛❧ *❡,♦♥❛♥❝❡, ❬✹✻❪✳ ❚❤❡ ❍❛③✐ ❛♥❞ ❚❛②❧♦* ♣♦$❡♥$✐❛❧ ✐, ❞❡✜♥❡❞ ❛, V(x) = 1 2x2x≤0 1 2x2e−λx2x≥0 ✭❇✳✸✮ ✇❤❡*❡ λ > 0 ✳ ■♥ ❋✐❣✉*❡ ❇✳✶ ✇❡ ♣❧♦$ $❤❡ ♣♦$❡♥$✐❛❧ ❛♥❞ ✐$, ✜*,$ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝$✐♦♥,✳ -4 -2 0 2 4 6 x (fm) -4 0 4 8 Energy (MeV) Hazi-Taylor pot. HO THO ISQW ❋✐❣✉*❡ ❇✳✶✿ ❚❤❡ ❍❛③✐✲❚❛②❧♦* ♣♦$❡♥$✐❛❧ ✇✐$❤ ✐$, ✜*,$ $❤*❡❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝$✐♦♥, ❝❛❧❝✉❧❛$❡❞ ✇✐$❤ ❡❛❝❤ ♠❡$❤♦❞❀ ✐♥ ,♦❧✐❞ ❧✐♥❡ $❤❡ *❡,♦♥❛♥$ ✇❛✈❡,✳ ✶✸✹ ❇✳ ❈♦♥&✐♥✉✉♠ *&+✉❝&✉+❡✿ +❡*♦♥❛♥❝❡* ❛♥❞ ✈✐+&✉❛❧ *&❛&❡* ❯*✐♥❣ &❤❡ ♣❛+❛♠❡&❡+* ❢+♦♠ +❡❢❡+❡♥❝❡ ❬✹✻❪ ❛♥❞ &❤❡ ❍❖ ♠❡&❤♦❞✱ &❤❡ ❡♥❡+❣✐❡* ❛♥❞ &❤❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝&✐♦♥* ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♣❡+❢❡❝&❧② +❡♣+♦❞✉❝❡❞✳ ❚❤❡ *&❛❜✐❧✐③❛&✐♦♥ ♣❧♦& ❢♦+ &❤❡ ❍❖ ❝❛*❡ ❛* ❛ ❢✉♥❝&✐♦♥ ♦❢ &❤❡ ❜❛*✐* *✐③❡ ✐* *❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉+❡ ❇✳✷ ✭❧❡❢& ♣❛♥❡❧✮✱ ✇❤✐❧❡ ✐♥ &❤❡ +✐❣❤& ♣❛♥❡❧ &❤❡ +❡*♦♥❛♥❝❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝&✐♦♥ ✐♥ *❤♦✇♥ ❢♦+ ❞✐✛❡+❡♥& ◆ ✈❛❧✉❡*✳ 20 30 40 50 60 70 Basis Dimension 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Energy (MeV) Resonant Energy ✭❛✮ 0 x (fm) -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Resonant Wavefunction N = 35 N = 50 N = 70 ✭❜✮ ❋✐❣✉+❡ ❇✳✷✿ ▲❡❢& ♣❛♥❡❧✿ *&❛❜✐❧✐③❛&✐♦♥ ♣❧♦& ✐♥ &❤❡ ❍❖ ❝❛*❡ ❛* ❛ ❢✉♥❝&✐♦♥ ♦❢ ◆ ❢♦+ &❤❡ ❍❛③✐✲❚❛②❧♦+ ♣♦&❡♥&✐❛❧✳ ❚❤❡ ❣+❡❡♥ ❞❛*❤❡❞ ❧✐♥❡ ❝♦++❡*♣♦♥❞* &♦ &❤❡ ♥♦♠✐♥❛❧ +❡*♦♥❛♥❝❡ ❡♥❡+❣②✳ ❘✐❣❤& ♣❛♥❡❧✿ &❤❡ +❡*♦♥❛♥❝❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝&✐♦♥ ❢♦+ ❞✐✛❡+❡♥& ❜❛*✐* ❞✐♠❡♥*✐♦♥ ✈❛❧✉❡*✳ ❚❤❡ *&❛❜✐❧✐③❛&✐♦♥ ♣❧♦& ✇✐&❤ &❤❡ ❜♦① +❛❞✐✉* xb ✐* *❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉+❡ ❇✳✸ ✐♥ &❤❡ ❇❖❳ ❝❛*❡✳ ❚❤❡ ❚❍❖ ❝❛*❡ +❡*✉❧&* ❛+❡ *❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉+❡ ❇✳✹ ✇✐&❤ *&❛❜✐❧✐③❛&✐♦♥ ♣❧♦&* ❛* ❛ ❢✉♥❝&✐♦♥ ♦❢ &❤❡ ❜❛*✐* ❞✐♠❡♥*✐♦♥ ✭❧❡❢& ♣❛♥❡❧✮ ❛♥❞ γ/b +❛&✐♦ ✭+✐❣❤& ♣❛♥❡❧✮✳ ❚❤❡ +❡*♦♥❛♥❝❡ ✇❛✈❡ ❢✉♥❝&✐♦♥ ♦❜&❛✐♥❡❞ ✇✐&❤ &❤❡ ❚❍❖ ❜❛*✐* ✐* *❤♦✇♥ ✐♥ ✜❣✉+❡ ❇✳✺ ✭✐♥ ❧❡❢& ♣❛♥❡❧ ✈❛+②✐♥❣ ◆✱ ✐♥ &❤❡ +✐❣❤& ♣❛♥❡❧ ✈❛+②✐♥❣ γ/b ✮✳ 10 15 20 25 xb (fm) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Energy (MeV) Resonant Energy ❋✐❣✉+❡ ❇✳✸✿ ❙&❛❜✐❧✐③❛&✐♦♥ ♣❧♦& ✐♥ &❤❡ ❇❖❳ ❝❛*❡ ❛* ❛ ❢✉♥❝&✐♦♥ ♦❢ &❤❡ ❜♦① +❛❞✐✉* xb ❢♦+ &❤❡ ❍❛③✐✲❚❛②❧♦+ ♣♦&❡♥&✐❛❧✳ ❚❤❡ ❣+❡❡♥ ❞❛*❤❡❞ ❧✐♥❡ ❝♦++❡*♣♦♥❞* &♦ &❤❡ +❡*♦♥❛♥❝❡ ❡♥❡+❣②✳ ❇✳✶✳ ❙$✉❞② ♦❢ *❡,♦♥❛♥❝❡, ✐♥ ♦♥❡ ❞✐♠❡♥,✐♦♥ ✶✸✺ 20 30 40 50 60 70 Basis Dimension 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Energy (MeV) Resonant Energy ✭❛✮ 1 1.5 2 2.5 3 3.5 γ/b (fm -1/2) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Energy (MeV) Resonant Energy ✭❜✮ ❋✐❣✉*❡ ❇✳✹✿ ❙$❛❜✐❧✐③❛$✐♦♥ ♣❧♦$, ✐♥ $❤❡ ❚❍❖ ❝❛,❡ ✭✐♥ ♣❛♥❡❧ a ❛, ❛ ❢✉♥❝$✐♦♥ ♦❢ ◆ ❛♥❞ ✐♥ ♣❛♥❡❧ b ❛, ❛ ❢✉♥❝$✐♦♥ ♦❢ γ/b ✮ ❢♦* $❤❡ ❍❛③✐✲❚❛②❧♦* ♣♦$❡♥$✐❛❧✳ ❚❤❡ ❣*❡❡♥ ❞❛,❤❡❞ ❧✐♥❡ ❝♦**❡,♣♦♥❞, $♦ $❤❡ *❡,♦♥❛♥❝❡ ❡♥❡*❣②✳ -3 0 3 6 9 12 15 x (fm) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 THO Resonant Wavefunction N = 15 N = 20 N = 25 ✭❛✮ -3 0 3 6 9 12 15 x (fm) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Resonant Wavefunction γ/b = 2.4 fm-1/2 γ/b = 1.8 fm-1/2 γ/b = 1.5 fm-1/2 ✭❜✮ ❋✐❣✉$❡ ❇✳✺✿ ▲❡❢, ♣❛♥❡❧✿ $❡1♦♥❛♥❝❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝,✐♦♥ ❢♦$ ,❤❡ ❍❛③✐✲❚❛②❧♦$ ♣♦,❡♥✲ ,✐❛❧ ✐♥ ,❤❡ ❚❍❖ ❝❛1❡ ✈❛$②✐♥❣ ,❤❡ ❜❛1✐1 ❞✐♠❡♥1✐♦♥ ◆ ❢♦$ ❛ ✜①❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ γ/b = 1.5 ❢♠ −1/2 ✳ ❘✐❣❤, ♣❛♥❡❧✿ $❡1♦♥❛♥❝❡ ✇❛✈❡❢✉♥❝,✐♦♥ ❢♦$ ,❤❡ ❍❛③✐✲❚❛②❧♦$ ♣♦,❡♥,✐❛❧ ✐♥ ,❤❡ ❚❍❖ ❝❛1❡ ❛♥❞ ✈❛$②✐♥❣ γ/b ❢♦$ ❛ ✜①❡❞ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ,❤❡ ❜❛1✐1 ❞✐♠❡♥❞✐♦♥ ◆ ❂ ✷✵✳ ●✐♥♦❝❝❤✐♦ ♣♦'❡♥'✐❛❧ ❘❡1♦♥❛♥❝❡1 ❢♦$ ,❤❡ ●✐♥♦❝❝❤✐♦ ♣♦,❡♥,✐❛❧ ❬✽✸❪ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ $❡♣$♦❞✉❝❡❞ ❛❝❝♦$❞✐♥❣ ,♦ ❬✽✷❪ ✉1✐♥❣ ❍❖ ❛♥❞ ❚❍❖ ♠❡,❤♦❞1✳ ❚❤❡ ●✐♥♦❝❝❤✐♦ ♣♦,❡♥,✐❛❧ ✐1 V(x) V0 =−λ2ν(ν+1)(1−y2)+1−λ2 4(1−y2)[2−(7−λ2)y2+5(1−λ2)y4] ✭❇✳✹✮