Agujeros negros de Schwarzschild y detección de agujeros negros en sistemas binarios

Universidad de Sevilla trabajo de fin de grado AGUJEROS NEGROS DE SCHWARZSCHILD Y DETECCI´ ON DE AGUJEROS NEGROS EN SISTEMAS BINARIOS Realizado por: Sara Mu˜ noz Torres Supervisado por: Diego G´ omez Garc ´ ıa Facultad de F´ısica US Departamento de F´ısica de la Materia Condensada Junio 2019 Resumen En este trabajo se abordar´a un tema muy popular pero del que hasta hace poco no se ten´ıa mucha informaci´on: los agujeros negros. Y es que, aunque la idea surgiera con anterioridad, hasta la Teor´ıa de la Relatividad de Einstein era solo eso, una mera idea sin base matem´atica ni sentido l´ogico. As´ı, se estudiar´a la soluci´on de Schwarzschild a las ecuaciones de Einstein en el vac´ıo, la cual predice matem´aticamente la existencia de una singularidad en el espacio-tiempo, que, como se ver´a, est´a fuertemente relacionada con este misterioso concepto. La comprensi´on de este tema se realizar´a de una manera m´as intuitiva mediante representaciones gr´aficas, con las que se podr´a entender la curvatura que generan los cuerpos masivos en el espacio-tiempo, as´ı como el comportamiento de la luz y la materia en las proximidades de los agujeros negros. Por otra parte, no todo es tan conceptual acerca de los agujeros negros, sino que estos realmente existen y se pueden detectar experimentalmente. De hecho, este tema est´a cogiendo cada vez m´as importancia debido a los recientes descubrimientos que se han logrado de agujeros negros en el Universo. En este documento se recopilar´an algunas de estas detecciones. Para ello se estudiar´an dos formas distintas de detectar agujeros negros: mediante la emisi´on de rayos X por su disco de acreci´on, y mediante la emisi´on de ondas gravitacionales generada en la fusi´on de estos. ´ Indice I Introducci´on 1 1. La formaci´on de los agujeros negros estelares 2 2. Sistema binario de estrellas y agujero negro 3 2.1. RayosX..................................... 4 2.2. ObservatorioChandra ............................. 6 3. Sistema binario de dos agujeros negros 7 3.1. Ondasgravitacionales.............................. 7 3.2. Interfer´ometros l´aser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3. ObservatorioLIGO............................... 11 II El agujero negro de Schwarzschild 14 4. M´etrica 14 4.1. Singularidades.................................. 16 5. Representaciones espacio-temporales 18 5.1. Curvatura.................................... 18 5.2. Diagrama espacio-temporal de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.3. Coordenadas de Eddington-Finkelstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.4. Colapsogravitatorio .............................. 26 5.5. Coordenadas de Kruskal-Szekeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5.6. Diagrama espacio-temporal para las coordenadas de Kruskal-Szekeres . . . 28 6. La luz en la m´etrica de Schwarzschild 31 6.1. Desv´ıo...................................... 31 6.2. Retraso ..................................... 34 6.3. Lentes gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7. Part´ıcula cayendo radialmente 37 III Detecci´on en sistemas binarios 41 8. Por rayos X 41 8.1. CynusX-1.................................... 41 8.2. GRS 1915+105 (V1487 Aquilae) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 9. Por ondas gravitaciones 45 9.1. GW 150914: la primera onda gravitacional detectada . . . . . . . . . . . . 45 9.2. Cat´alogo de ondas gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 IV Conclusiones 51 Parte I Introducci´on “Supongamos que las part´ıculas de luz son atra´ıdas de la misma manera que todos los dem´as cuerpos con los que estamos familiarizados, (. . . ) de lo que no puede haber duda razonable siendo la gravedad, hasta donde sabemos o tenemos razones para creer, una ley universal de la naturaleza. Bajo esta suposici´on, si hubiese cualquier estrella cuya densidad fuese lo bastante grande, (. . . ) toda luz emitida por ese cuerpo volver´ıa hacia ´el por causa de su propia gravedad. ” Carta de J. Michell a H. Cavendish, 27 de noviembre de 1783. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 74, pag. 35. Aunque hoy en d´ıa se conozca la existencia de los agujeros negros, hace 200 a˜nos era una mera idea imposible. Como podemos leer en [1], esta idea surge de imaginar un objeto con una fuerza de gravedad tan gigantesca que nada pueda escapar de ´el, lo cual conllevaba que la velocidad de escape del agujero negro deb´ıa ser infinita, y por tanto este tendr´ıa que tener una masa y, por consiguiente, densidad infinitas, cosa que carece de l´ogica. En ese momento no se ten´ıa a´un consciencia del l´ımite que supon´ıa la velocidad de la luz, concepto que fue introducido por la relatividad especial. Fue entonces cuando la idea de agujero negro comenz´o a tener m´as sentido, ya que ahora s´ı deb´ıa de tratarse de un cuerpo con una velocidad de escape finita. Aun as´ı, segu´ıan existiendo restricciones sobre esta teor´ıa debido al descubrimiento de la dualidad onda-part´ıcula de la luz, ya que no se puede aplicar el concepto de velocidad de escape a una onda. Es con la formulaci´on de la Teor´ıa de la Relatividad General de Einstein en 1916 cuando por fin se asienta el concepto de agujero negro como cuerpo que ha colapsado hasta un volumen ´ınfimo, capaz de curvar el espacio-tiempo 1de manera que nada pueda escapar de ´el, ni tan siquiera la luz. 1La gravedad que provoca un cuerpo en la relatividad general se interpreta como la deformaci´on del espacio-tiempo. En la secci´on 5.1 se describe este hecho. 1 1. La formaci´on de los agujeros negros estelares Seg´un el origen los agujeros negros se pueden clasificar como estelares, los provenientes de una estrella, y primordiales, aquellos cuya formaci´on es tan temprana que es imposible que provengan de una estrella ya que no habr´ıa dado tiempo a que esta naciera, creciera y muriera. As´ı, los primeros agujeros negros estelares se pudieron formar 1.000 millones de a˜nos despu´es del Big Bang. A continuaci´on, se va a describir el proceso de formaci´on de un agujero negro de origen estelar. Cuando una estrella muere, es decir, agota todo su combustible nuclear, comienza a colapsarse gravitatoriamente, de manera que su densidad aumenta en gran medida. Este colapso puede ser frenado por la repulsi´on entre las capas electr´onicas de los ´atomos que forman el cuerpo, tambi´en llamada presi´on de degeneraci´on de los electrones, y formarse as´ı una enana blanca, o seguir colapsando si el cuerpo tiene masa suficiente, que seg´un el l´ımite de Chandrasekhar (1930) se estima que sea de unas 1,44 masas solares. Esto es debido a que la fuerza gravitatoria vencer´ıa a la presi´on que ejercen los electrones, ya que estos no pueden tener una velocidad superior a la de la luz. La estrella seguir´ıa colapsando hasta convertirse en una estrella de neutrones, debido a la fusi´on de los protones con los electrones formando neutrones, o seguir colapsando si el cuerpo tiene masa suficiente. Durante este proceso, la energ´ıa gravitatoria se transforma en calor tan r´apidamente que surge una explosi´on llamada nova o supernova. Para una estrella de neutrones, el colapso ser´ıa frenado por la presi´on de degeneraci´on de los neutrones. Existe un nuevo l´ımite de masa para este caso, que es debido a que la velocidad de vibraci´on de los neutrones no puede ser mayor que la de la luz (an´alogamente a lo que suced´ıa con la estrella blanca). Este nuevo l´ımite es llamado l´ımite TOV (Tolman-Oppenheimer-Volkof), que se ha calculado que sea entre 2,10 y 2,25 masas solares. Si una estrella tiene una masa superior sigue colapsando gravitatoriamente cre´andose as´ı un agujero negro debido a que una gran cantidad de masa se concentrar´ıa en un volumen cada vez m´as peque˜no. En el esquema de la figura 1.1 se puede visualizar el remanente que queda de la muerte de una estrella seg´un la masa con la que empieza a colapsar. 2 Figura 3.1.2. Representaci´on art´ıstica de dos agujeros orbitando en un sistema binario con las respectivas ondas gravitacionales. Imagen tomada de K. Thorne (Caltech) y T. Carnahan (NASA GSFC). Si ahora resulta que las ´orbitas no son estables, sino que los dos cuerpos caen en forma de espiral uno respecto del otro, perdiendo as´ı energ´ıa gravitatoria, las ondas producidas no son continuas sino que aumentan su frecuencia hasta que ambos se han fusionado por completo, momento en el que se emite una ´ultima onda gravitacional [6]. En la figura 3.1.3 se puede observar la simulaci´on num´erica de la onda gravitacional que se generar´ıa en la fusi´on de dos agujeros negros, distinguiendo c´omo la frecuencia aumenta seg´un se aproximan uno a otro hasta la fusi´on, momento tras el cual surge un agujero negro estable. En la figura que sigue se representa la separaci´on entre ambos cuerpos en unidades del radio de Schwarzschild3(RS) y la velocidad relativa entre los agujeros negros dada por la ecuaci´on v/c = (GMπf/c3)1/3[8], siendo fla frecuencia de la onda y Mla masa total, en funci´on del tiempo. Se observa que a medida que la separaci´on disminuye, es decir, se encuentran m´as cerca el uno del otro, la velocidad relativa es mayor y las ondas gravitacionales producidas tienen una frecuencia m´as alta. 3Se corresponde con el horizonte de sucesos, frontera tras la cual es imposible salir de un agujero negro. En la parte II se describe este concepto. 9 Figura 3.1.3. Simulaci´on n´umerica de la fusi´on de dos agujeros negros. La fase Inspiral se corresponde al acercamiento mutuo, la fase Merger a la colisi´on y la fase final, Ring-down, a la fusi´on que da lugar a un agujero negro estable. Imagen tomada de [8]. 3.2. Interfer´ometros l´aser La finalidad de los observatorios de interfer´ometria laser es detectar estas peque˜nas variaciones, que son del orden de ∼10−18 m (esto es 1/1000 el di´ametro de un prot´on), por lo que se necesitan medidas muy precisas y evitar las fuentes de ruido, que ser´an muy significativas en comparaci´on con lo que se pretende captar. Para ello, seg´un se explica en [6], se emplean interfer´ometros de Michelson con cavidades de Fabry-P´erot, cuyo dise˜no (figura 3.2.1.) consta dos brazos de igual longitud perpendiculares entre s´ı por los que se hace pasar un l´aser previamente dividido en la intersecci´on. En cada brazo tenemos las cavidades ´opticas resonantes formadas por dos espejos en suspensi´on (uno en el extremo y otro cerca del divisor de luz) que multiplican el efecto de la onda gravitacional, ya que el rayo de luz se refleja en ambos espejos repetidamente. Tras su paso por los brazos, ambos rayos vuelven a la intersecci´on e interfieren, de manera que, si los brazos no han cambiado 10 su longitud la interferencia es destructiva 4. Si la longitud de los brazos si var´ıa, habr´a una diferencia de fase entre la luz de un brazo y del otro que producir´a un patr´on de interferencia en la luz que llega al detector. Entonces, al paso de una onda gravitacional, debido a la polarizaci´on de esta, un brazo del interfer´ometro se alarga mientras que el otro se acorta, estando esta diferencia de longitud relacionado con la onda de manera que ∆L(t) = δLx−δLy=h(t)L, donde Les la longitud de los brazos sin modificar mientras que δLxyδLyson las peque˜nas variaciones de cada brazo [8]. Figura 3.2.1. Dise˜no de un interfer´ometro l´aser b´asico. Imagen tomada de [6]. 3.3. Observatorio LIGO El observatorio LIGO (Laser Interferometer Gravitional-Wave Observatory) utiliza interferometr´ıa l´aser para detectar las ondas gravitacionales. Tal y como se describe en [8], consta de dos interfer´ometros separados, uno en Hanford, Washington, y el otro en Livingston, Louisiana, de manera que la luz tarda 10 ms en viajar de uno a otro. Cada uno de ellos tiene dos brazos de 4 km de longitud y una fuente l´aser de 20 W (los cuales son amplificados hasta 100 kW en las cavidades ´opticas). El hecho de que sean dos interfer´ometros y no uno solo sirve para distinguir las medidas reales del ruido, tanto instrumental (del propio detector) como ambiental (un simple ´arbol cayendo puede ser detectado, falseando as´ı la se˜nal). Tambi´en sirve para poder ubicarlas en el espacio y medir la polarizaci´on, ya que cada interfer´ometro tiene una orientaci´on distinta y por tanto los brazos de modificar´an de manera diferente. En la figura 3.3.1 se puede observar el dise˜no (similar al de un interfer´ometro b´asico) y la posici´on y orientaci´on, as´ı como el ruido experimental, de cada uno. 4Idealmente, porque en la pr´actica siempre se va a tener ruido en las medidas. 11 Seg´un [6], el desarrollo de LIGO comenz´o en 1984, siendo su primer periodo de funcionamiento entre 2002 y 2010, en el cual no fue detectada ninguna onda gravitacional. Tras este a˜no comenzaron una serie de mejoras instrumentales que llevaron al interfer´ometro actual llamado Advanced LIGO en 2015, el cual, como veremos en la secci´on 9, tuvo ´exito a los pocos d´ıas de comenzar a funcionar. Una de estas mejoras fue hacer vac´ıo, de manera que no puede haber aire que perturbe a los espejos, que se encuentran en suspen- si´on como p´endulos, pudiendo viajar as´ı la luz en l´ınea recta. De hecho, es el mayor vac´ıo que se ha logrado en la Tierra: mantiene 8500 m3a una presi´on ∼10−12 atm. Otra fuente de problemas es la temperatura, ya que si hubiera una m´ınima diferencia de temperatura entre un punto del brazo y otro la luz se curvar´ıa por la variaci´on del ´ındice de refracci´on (que depende de la temperatura). Una mejora del sistema de aislamiento s´ısmico fue colocar unos peque˜nos imanes en los espejos. As´ı, si cualquier movimiento perturba la suspensi´on de estos se crea un campo magn´etico en oposici´on a dicho movimiento, manteniendo los espejos en su posici´on. Este mecanismo tiene que ser muy exacto, ya que incluso las fuerzas de marea de la Luna y del Sol pueden perturbar los espejos afectando en gran medida a la precisi´on del detector. Este ser´ıa el sistema de aislamiento s´ısmico interno; el externo consta de un sistema hidr´aulico que contrarresta los movimientos terrestres, previamente pronosticados. 12 Figura 3.3.1. Diagrama simplificado del detector Advanced LIGO. (a) Localizaci´on y orientaci´on de los detectores LIGO en Hanford, WA (H1) y Livingston, LA (L1). (b) Ruido instrumental de cada detector. Imagen tomada de [8]. Otros observatorios de ondas gravitacionales que est´an operativos o en construcci´on en el mundo son Virgo, situado en Italia y del cual es miembro Espa˜na, KAGRA en Jap´on y GEO600 en Alemania. Por otra parte, el interfer´ometro LISA, que a´un est´a en proceso, estar´a situado en el espacio orbitando alrededor del Sol, lo cual lo convertir´a en el observatorio de ondas gravitacionales m´as preciso al no contar con el ruido provocado por el campo gravitatorio terrestre y los errores humanos [9]. 13 Parte II El agujero negro de Schwarzschild “Como ver´as, la guerra me ha tratado lo bastante bien como para, pese al intenso fuego, permitir que me aleje de todo ello y pueda emprender este paseo a trav´es del pa´ıs de tus ideas” Carta de K. Schwarzschild a A. Einstein, 22 de septiembre de 1915. The Collected Papers of Albert Einstein, vol. 8a, doc. 169 En esta parte del escrito se va a describir en mayor profundidad qu´e es un agujero negro de Schwarzschild y cuales son sus caracter´ısticas y curiosidades utilizando la relatividad general como base matem´atica. As´ı, se estudiar´a la curvatura del espacio-tiempo que genera y los efectos que tiene esta sobre la luz y la materia. 4. M´etrica La m´etrica es la manera en la que se miden distancias entre puntos infinitamente pr´oximos. Este concepto introducido por Riemann (1854) se basa en el llamado elemento de l´ınea: dl2=gijdxidxj=gxx(dx)2+gyy(dy)2+gzz(dz)2+gxydxdy +gxzdxdz +gyzdydz; (4) siendo gij los coeficientes de la m´etrica. Por ejemplo, en el espacio euclidiano5se tiene que gxx =gyy =gzz = 1 y el resto nulos, quedando de la forma dl2= (dx)2+ (dy)2+ (dz)2, expresi´on con la cual se puede determinar la distancia entre dos puntos en la mec´anica cl´asica. Sin embargo, en la relatividad las distancias dependen del observador, por tanto es necesario unificar el espacio y el tiempo a fin de poder medir algo que sea independiente de este. As´ı, para la relatividad especial, en la cual el espacio-tiempo es plano, Minkowski (1907) introduce una geometr´ıa distinta a la euclidiana teniendo en cuenta el tiempo, la llamada m´etrica de Minkowski, la cual se escribe como ds2=−c2(dt)2+ (dx)2+ (dy)2+ (dz)2, donde ds2se denomina intervalo entre sucesos y es esa magnitud cuyo 5El espacio euclidiano es el espacio plano, sin curvatura, por lo que la distancia entre un punto y otro es simplemente una l´ınea recta. 14 valor no depende del observador. Por otro lado, para el estudio de la relatividad general, Einstein (1915) emplea la m´etrica m´as general, la m´etrica de Riemann, como herramienta matem´atica. Esta se describe como: ds2=gαβdxαdxβ(5) eligiendo las coordenadas (t,r,θ, ϕ) tendremos: ds2=g00dt2+g11dr2+g22dθ2+g33dϕ2+ 2g01dtdr + 2g02dtdθ + 2g03dtdϕ + 2g12drdθ + 2g13drdϕ + 2g23dθdϕ (6) A partir de ahora se suprimir´an los par´entesis en estas expresiones por simplicidad. Einstein llega entonces a las ecuaciones relativistas del campo gravitatorio en el vac´ıo, o tambi´en llamadas ecuaciones de Einstein en el vac´ıo (en total 10 ecuaciones algebraicas) que describen c´omo la materia curva el espacio-tiempo, es decir, la interacci´on del campo gravitatorio. La primera soluci´on de estas ecuaciones fue dada por Schwarchild (1916), siendo esta una particularizaci´on para un campo gravitatorio est´atico y con simetr´ıa esf´erica. El hecho de que sea est´atico quiere decir que es un campo estacionario, por tanto la m´etrica es independiente del tiempo, y sim´etrico en el tiempo, por lo que tenemos que los coeficientes de la m´etrica g0βse anulan, mientras que g00 yg11 ser´an dependientes del tiempo. Por otra parte, al tener simetr´ıa esf´erica se tiene que g22 =r2y g33 =r2sin2θ. Entonces la m´etrica que se obtiene introduciendo estas dos condiciones es: ds2=g00(t)dt2+g11(t)dr2+r2(dθ2+ sin2θdϕ2) (7) Teniendo en cuenta tambi´en que en el infinito la soluci´on debe ser newtoniana [5], es decir, tiene que cumplir la condici´on de campo d´ebil y estacionario, el primer coeficiente es g00(t) = −1 + 2φ c2. El potencial gravitatorio, φ, se expresa como φ(r) = −GM/R, yg11 =−(g00)−1. Entonces, considerando G=c= 16, obtenemos la ecuaci´on de la m´etrica de Schwarzschild: ds2=−1−2M rdt2+1−2M r−1 dr2+r2(dθ2+ sin2θdϕ2); (8) donde r,θyϕson las coordenadas esf´ericas espaciales, tla coordenada temporal y Mla masa del cuerpo que genera la gravedad. Hay que puntualizar que la masa est´a expresada en unidades de longitud en dicha ecuaci´on, pudi´endose convertir a gramos multiplicando 6Unidades de Planck, o unidades naturales. Usadas en los sistemas relativistas. 15 por la velocidad de la luz al cuadrado, c2, y dividiendo entre la constante de gravitaci´on, G (esto es, pasando a unidades no relativistas). Esta m´etrica representada por la ecuaci´on (8) es la empleada para describir los agujeros negros esf´ericos sin rotaci´on ni carga, tambi´en llamados Agujeros negros de Schwarzschild. 4.1. Singularidades Se ha considerado que las coordenadas para la m´etrica de Schwarzschild son (t,r, θ, ϕ), pero existen ciertas singularidades respecto a ellas. Con singularidad nos referimos a que cuando las coordenadas tienden a ciertos valores la expresi´on falla, es decir, no resulta ning´un valor concreto. Una singularidad desde el enfoque matem´atico es un punto en el cual cierta funci´on no est´a determinada o simplemente tiende a infinito, pero es evitable. Por otro lado, una singularidad f´ısica es aquella que en principio no se puede evitar. Se expondr´an cuatro singularidades que presenta esta m´etrica [5]: Singularidad en los polos, θ= 0,0≤ϕ≤2π. Al usar coordenadas esf´ericas surge una singularidad cuando la coordenada θ→0. As´ı, estableciendo r y t constantes para obtener la longitud de una l´ınea a una coordenada θdada, obtenemos el siguiente resultado: ds2=r2(dθ2+ sin2θdϕ2)→l=Zθ=cte. √ds2=rZ2π 0 sin θdϕ = 2πr sin θ; donde se puede apreciar que si θ= 0 no se trata de una l´ınea sino de un punto. Esto implica que sea cual sea el valor de ϕpara ese valor de la coordenada θestaremos en el mismo punto geom´etrico. Este hecho se puede visualizar en la figura 4.1.1, donde confluyen todas las l´ıneas con ϕ=cte en un solo punto, llamado polo. Esta singularidad es matem´atica y con f´acil soluci´on si cambiamos a coordenadas polares. Figura 4.1.1. Superf´ıcie esf´erica con l´ıneas correspondientes a θ=cte y ϕ=cte. Imagen tomada de www.ugr.es/ jillana/relatividad.php, 19:35:18, 07/06/2019. 16 Singularidades en r= 2M. En esta coordenada ocurren varias cosas. Por un lado hay una singularidad similar a la anterior, y es que las coordenadas r= 2My−∞ ≤ t≤+∞, que deber´ıan corresponder a una l´ınea, corresponden a un suceso en el espacio-tiempo. Se puede comprobar de forma an´aloga integrando para θ=ϕ=r=cte: ds2=g00dt2→l=Zt1 t0|g00|1/2dt = 1−2M r 1/2 ∆t; de manera que si la coordenada radial es r= 2Mse tiene que l= 0, es decir, el suceso (r= 2M, −∞ ≤ t≤+∞) corresponde al mismo punto del espacio-tiempo sea cual sea el valor de la coordenada temporal. Por otro lado, la ecuaci´on de la m´etrica de Schwarzschild (8) no est´a bien definida en r= 2M[5]. Esta es otra singularidad matem´atica. La comprobaci´on de que se trata de un problema de las coordenadas y no de la f´ısica se puede hacer si se considera una part´ıcula libre en la que las coordenadas angulares son constantes (θ=ϕ=cte) y ocurren dos sucesos que est´an relacionados causalmente 7. De esta manera, sabiendo que el tiempo propio est´a relacionado con el intervalo de sucesos tal que ds2=−dτ2 8, y este es un invariante, ya que ds2es independiente del observador, se llega a la siguiente expresi´on: dτ2=1−2M rdt2−1−2M r−1 dr2(9) Si consideramos r > 2Mtenemos que en la parte derecha de la ecuaci´on el primer t´ermino es positivo mientras que el segundo es negativo, por lo que, como se tiene que cumplir que dτ2= (dτ)2>0, dt nunca puede anularse. Este hecho implica que los sucesos no pueden ser simult´aneos, como debe ser ya que se ha considerado que est´an relacionados causalmente. El segundo t´ermino puede anularse si se considera la part´ıcula moment´aneamente en reposo (dr = 0). Por otro lado, al considerar r < 2Mtenemos que ahora el primer t´ermino es negativo y el segundo positivo, por tanto es la parte espacial la que no puede anularse mientras que la temporal s´ı. Esto va en contra de la suposici´on de causalidad, ya que si dt = 0 significa que los sucesos son simult´aneos. 7Para que uno sea causa del otro no pueden suceder simult´aneamente, entonces, dt 6= 0. 8Esta relaci´on surge de considerar el sistema de referencia en el que la part´ıcula est´a en reposo, ya que en ´el dr = 0, por lo tanto ds2=−dt2+dr2=−dt2→ds2=−dτ2, siento el tiempo que se mide en dicho sistema el llamado tiempo propio, τ. 17 Esto se interpreta estableciendo t como una coordenada espacial y r como la coordenada temporal cuando r < 2M, cumpli´endose as´ı que los sucesos puedan ocurrir en el mismo lugar (dt = 0) pero no ser simult´aneos (dr 6= 0). De esta manera se observan dos regiones espacio-temporales que tienen las coordenadas radial y temporal intercambiadas: la regi´on I caracterizada por 2M < r < ∞y la regi´on II en la que 0 < r < 2M. Singularidad en r= 0. Para este valor de r se encuentra que la m´etrica no es regular; sin embargo en esta ocasi´on no existe ning´un cambio de variables que solucione el problema, entonces nos encontramos ante una singularidad f´ısica. Esta se puede interpretar como el instante final de una part´ıcula, pero no un final espacial sino temporal, ya que, como hemos visto antes, cuando r < 2Mla coordenada r es la temporal, por tanto un cuerpo encontrar´ıa su evento final en el instante r=0. Esta singularidad est´a en el interior del agujero negro y en las secciones 5.2 y 5.6 se interpretar´a gr´aficamente. 5. Representaciones espacio-temporales 5.1. Curvatura Como no es posible ilustrar el espacio-tiempo, ya que consta de cuatro dimensiones, se tienen que tomar coordenadas constantes para poder visualizarlo mejor. Para estudiar la interacci´on de la materia con el espacio se emplean representaciones en las cuales el tiempo es constante (t=cte) y se considera el plano ecuatorial (θ=π 2). De esta manera tenemos una superficie, llamada superficie de simultaneidad porque todos los sucesos ocurren al mismo tiempo para el observador considerado [2]. Las coordenadas en las que se definen los distintos sucesos son (r, ϕ), de manera que el elemento de l´ınea queda: ds2=1−2M r−1 dr2+r2dϕ2(10) Si tenemos una estrella con una determinada masa en el espacio, esta deforma la superficie de simultaneidad como se observa en la figura 5.1.1, estando la distancia entre dos puntos (r, ϕ) y (r+dr, ϕ +dϕ) definida por la ecuaci´on (10). 18 Figura 5.3.1. Espacio-tiempo de Schwarzschild en coordenadas de Eddington-Finkelstein avanzadas. Imagen tomada de [5]. Los conos de luz, al acercarse a la coordenada r= 2Mse van estrechando debido a que el borde derecho tiene una pendiente cada vez mayor, siendo de 90ocuando se encuentra justo en esta coordenada. Esto implica que los rayos de luz que se encuentran en ese borde (el de los rayos que se alejan) permanecen en la misma coordenada r= 2M para cualquiera ¯ t. Cuando r < 2M, la pendiente de este borde es negativa. En r→ ∞ volvemos a tener la soluci´on de espacio-tiempo asint´oticamente plano ya que los conos de luz tienen pendientes de ±45o. Como se puede observar en la figura 5.3 ahora s´ı es posible ver la trayectoria de una part´ıcula cayendo (l´ınea discontinua), por lo que no tardar´a un tiempo infinito en traspasar la coordenada r= 2M, lo cual de hecho se ha logrado gracias al cambio de coordenadas. 25 5.4. Colapso gravitatorio En situaciones normales, el colapso de una estrella se ve frenado por la presi´on que esta misma genera en oposici´on a la fuerza de la gravedad, llegando a una situaci´on de equilibrio mec´anico como se ha comentado en la secci´on 1, pero si la masa de la estrella es demasiado grande la p´erdida de presi´on es tal que no puede llegarse a ning´un equilibrio mec´anico y esta sigue colapsando hasta un punto, form´andose as´ı un agujero negro. Gr´aficamente se puede visualizar el colapso de una estrella sim´etrica, esf´erica y sin rotaci´on mediante el diagrama espacio-temporal de Schwarzshild en las coordenadas de Eddington-Finkelstein avanzadas [5] (figura 5.4.1). En esta representaci´on se observa la estrella (zona a rayas de la figura) comprimiendo su radio conforme la coordenada temporal avanza, hasta un punto, que se corresponde con la singularidad. Figura 5.4.1. Colapso gravitacional de una estrella en tres dimensiones. Imagen tomada de [5]. Para estudiar el caso lo veremos en dos dimensiones en lugar de tres con la siguiente figura, que supone un corte transversal de la anterior: 26 Figura 5.4.2. Colapso gravitacional de una estrella en dos dimensiones. Imagen tomada de [5]. En este proceso suceden cosas distintas si se considera un observador en la superficie de la estrella que colapsa o un observador lejano. Para un observador en la superficie de la estrella no sucede nada especial, y este ve la estrella colapsar en un tiempo finito. Sin embargo un observador lejano no medir´a el mismo tiempo; de hecho, si se consideran se˜nales enviadas desde la superficie de la estrella peri´odicamente, las se˜nales recibidas por el observador lejano estar´an separadas por intervalos de tiempo cada vez mayores (esto se puede ver gr´aficamente en la figura 5.4.2), y las se˜nales que se manden cuando la estrella ha pasado el radio de Schwarzschild (r= 2M) no llegar´an nunca, por lo que el observador lejano nunca ve que la estrella colapse. Realmente, este observador ve que la estrella tarda un tiempo infinito en colapsar m´as all´a del radio de Schwarzschild, como si se ralentizara cada vez m´as hasta incluso ver el colapso congelado. Es por ello que originalmente a los agujeros negros se los denomin´o estrellas congeladas [1]. En la secci´on 7 se estudiar´a matem´aticamente una part´ıcula cayendo a un agujero negro desde el punto de vista de la part´ıcula y de un observador lejano, lo cual es an´alogo a esta situaci´on. As´ı, se va a ver que realmente la estrella no se ve congelada debido al corrimiento gravitatorio al rojo que hace que esta “se apague”. 27 5.5. Coordenadas de Kruskal-Szekeres Otro cambio de variables que elimina la singularidad en r= 2Mes a las coordenadas de Kruskal-Szekeres. Ahora no solo es un cambio en la coordenada temporal, sino que tambi´en se cambia la radial. Estas nuevas coordenadas se relacionan con t y r tal que: r > 2M         x0=r 2M−11/2er/4Mcosh t 4M t0=r 2M−11/2er/4Msinh t 4M (20) r < 2M         x0=1−r 2M1/2er/4Msinh t 4M t0=1−r 2M1/2er/4Mcosh t 4M (21) y, al introducirlas, se obtiene el elemento de l´ınea: ds2=32M3 re(−r 2M)dt02−32M3 re(−r 2M)dx02−r2(dθ2+ sin θ2dϕ2) (22) Las coordenadas angulares siguen siendo las mismas. Esta nueva m´etrica es regular en r= 2M, ya que tiene el valor finito ds2= 16M2e−1(dt02−dx02)−4M2(dθ2+sin θ2dϕ2). Las coordenadas temporal (t’) y espacial (x’) no se intercambian al pasar de una regi´on a otra. Adem´as, es posible atravesar el radio de Schwarzschild en un tiempo finito, al contrario que suced´ıa con las coordenadas de Schwarzschild , y tambi´en se tiene que ahora el suceso (r= 2M, −∞ ≤ t≤+∞) es un punto geom´etrico en el diagrama espacio-temporal, como corresponde matem´aticamente. En la siguiente secci´on se comprender´a en mayor profundidad. 5.6. Diagrama espacio-temporal para las coordenadas de Kruskal- Szekeres En la figura 5.6 se han representado tanto las coordenadas de Kruskal-Szekeres (t0, x0) en el eje vertical y horizontal, como las de Schwarzschild (t, r) para distintos valores, 28 tom´andose constantes las coordenadas angulares. Respecto a las coordenadas de Schwarzschild tenemos para t=cte l´ıneas rectas y para r=cte hip´erbolas. Se puede demostrar que los conos de luz con estas coordenadas tienen una pendiente de 45o, siendo los rayos de luz l´ıneas rectas, siguiendo el mismo razonamiento que en la secci´on 5.2, empleando el hecho de que ds2= 0: 0 = 16M2e−1(dt02−dx02); dt0 dx0=±1 (23) El signo positivo corresponder´ıa a los rayos que van hacia fuera y el signo negativo a los que van hacia dentro. Por tanto ahora los conos no dependen de las coordenadas y no se cerrar´an como pasaba en la representaci´on de Schwarzschild, sino que mantendr´an la misma forma en todo el diagrama espacio-temporal. Figura 5.6.1. Representaci´on del espacio-tiempo para las coordenadas de Kruskal-Szekeres. Imagen tomada de [5]. El punto geom´etrico del centro corresponde al suceso (r= 2M, −∞ ≤ t≤+∞) ya que todas las l´ıneas temporales confluyen con la espacial r= 2M, como se vio que deb´ıa 29 suceder en la secci´on 4.1. Por otro lado, se observa que es posible para una part´ıcula (Radially infalling particle en la figura 5.6.1) cruzar r= 2Men un tiempo propio finito, ya que la l´ınea del universo permanecer´a dentro del cono de luz en todo momento. Pero, hay que tener en cuenta que, al igual que en la representaci´on de Schwarzschild, es imposible mantener la coordenada r=cte en la regi´on II ya que la pendiente del cono de luz es mayor que la de las hip´erbolas r=cte, y que, inevitablemente, cualquier part´ıcula que se encuentre en esta zona del espacio-tiempo acabar´a cayendo en la singularidad r= 0, representada por una l´ınea ondulada en la figura 5.6.1. Adem´as, si consideramos una part´ıcula cayendo radialmente que emite pulsos de luz hacia fuera (Escaping signals) de manera que un observador externo en reposo (r=cte en la regi´on I) los recibe, se observa que cuando esta part´ıcula cruce la superficie (r= 2M, t = +∞) ser´a imposible que el observador externo siga recibiendo se˜nales ya que los rayos de luz tienen la misma pendiente que dicha superficie. Adem´as, debido a la dilataci´on del tiempo y a que la part´ıcula se aleja cada vez m´as del observador, el intervalo de tiempo en el que se reciba la se˜nal ir´a aumentando aunque la part´ıcula siga envi´andolos peri´odicamente. Nuevamente se observa que esta superficie, dada por r= 2M, separa el espacio-tiempo. Se trata del denominado horizonte de sucesos, nombre que recibe debido a que para un observador inercial en el espacio-tiempo de la regi´on I este es el borde de todos los sucesos que es capaz de observar [5]. Como se puede ver entonces, el espacio-tiempo queda limitado por las singularidades r= 0, denominadas singularidad pasada y singularidad futura, y se divide en cuatro regiones con las superficies r= 2M. La regi´on I es el espacio-tiempo correspondiente a las soluciones de Schwarzschild para r > 2M. La regi´on II corresponde a lo que denominamos agujero negro, dentro de la cual todo termina en la singularidad. La regi´on I’ es similar a la I en el sentido de que es un espacio-tiempo asint´oticamente plano con r > 2M, pero la coordenada t se mueve en sentido opuesto al tiempo propio. Y la regi´on II’ es an´aloga a la II, con una singularidad en su interior, pero contraria, ya que ahora existe una imposibilidad de permanecer dentro de dicha regi´on, es decir, todo sale. Esta ´ultima regi´on se denomina an´alogamente agujero blanco. 30 6. La luz en la m´etrica de Schwarzschild 6.1. Desv´ıo La curvatura del espacio que se vio en la secci´on 5.1 provoca que una trayectoria rectil´ınea (l´ınea discontinua) se curve (l´ınea continua) tal y como se puede observar en la figura 6.1.1. Figura 6.1.1. Trayectoria curvada por la curvatura que genera una masa en el espacio. Imagen tomada de www.ugr.es/ jillana/relatividad.php, 19:35:18, 07/06/2019. Para estudiar la forma en la que la luz se curva por la presencia de campos gravitatorios se va a seguir el razonamiento expuesto en [5], partiendo de la ecuaci´on geod´esica de un rayo de luz en la m´etrica de Schwarzschild. Una ecuaci´on geod´esica es la l´ınea de m´ınima longitud que une dos puntos en una superficie, lo cual en el espacio cotidiano se sabe que es una l´ınea recta, pero teniendo en cuenta la curvatura del espacio-tiempo de Schwarzschild se puede ver que no ser´a necesariamente as´ı. La ecuaci´on de partida, suponiendo una trayectoria en el plano ecuatorial (θ=π/2), es: d2u dϕ2+u= 3Mu2; (24) donde u= 1/r. Cogiendo en primera aproximaci´on ´unicamente los t´erminos lineales se tiene que la soluci´on es: u=sin(ϕ+ϕ0) D(25) ϕ0yDson constates de integraci´on. Por la simetr´ıa del problema que se puede ver en la figura 6.1.2 la coordenada ϕva a toma valores entre ϕ0yϕ0+π. Esta constante angular se puede establecer como ϕ0= 0 para facilitar los c´alculos de manera que la ecuaci´on 31 resulta: u=sin ϕ D(26) Soluci´on que se corresponde con una l´ınea recta, como se ve en la figura 6.1.2. La distancia de m´aximo acercamiento es D, ya que u= 1/r, y en ese punto tenemos que u= 1/D. Figura 6.1.2. M´aximo acercamiento a un punto O de un rayo de luz en l´ınea recta. Imagen tomada de [5]. Si ahora consideramos t´erminos de orden superior estaremos introduciendo perturbaciones en la soluci´on, de manera que en el termino superior en u de la ecuaci´on (24) se sustituye la soluci´on de primer orden (26): d2u dϕ2+u≃3Msin ϕ D 2 ; (27) cuya soluci´on es: u=sin ϕ D+M(2 −sin2ϕ) D2=sin ϕ D+M(1 + cos2ϕ) D2(28) El primer sumando de la parte derecha de la ecuaci´on (28) se corresponde con la l´ınea recta que era soluci´on de la primera aproximaci´on, mientras que el segundo sumando es el que introduce las perturbaciones en la trayectoria de la luz. Se puede observar que la desviaci´on en la trayectoria es directamente proporcional a la masa M que est´a creando el campo, lo cual significa que mayores masas provocan mayores perturbaciones en la trayectoria de la luz. Por ejemplo, en el caso de una estrella situada detr´as del Sol tal y como se muestra en la figura 6.1.3, un rayo de luz que pase cerca del Sol se curvar´a de manera que el rayo que llega a un observador en la Tierra lleva una direcci´on aparente que se corresponde con una posici´on distinta a la real (posici´on aparente). 32 Figura 6.1.3. Desviaci´on de un rayo de luz proveniente de una estrella debido al campo gravitatorio del Sol. Imagen tomada de [5]. El ´angulo de deplexi´on δes el ´angulo entre la posici´on real de la estrella y la aparente, ya que los rayos de luz se desv´ıan por la presencia del campo gravitatorio. Es posible determinar la expresi´on de este ´angulo posicionandonos lejos de la fuente [5]. Esto es r→ ∞ y conlleva que u→0. Las as´ıntotas, tal y como se observan en la figura 6.1.3, se corresponden con ϕ=−1yϕ=π+2. Por la simetr´ıa del problema se observa que δ=1+2, con lo que, empleando la expresi´on (28), teniendo en cuenta que el t´ermino de la izquierda se anula y que los ´angulos son peque˜nos 10, se tiene: 0 = −1 D+2M D2→1=2M D 0 = −2 D+2M D2→2=2M D          δ=4M D(29) La expresi´on (29) indica que el ´angulo de deplexi´on depende de la distancia de m´aximo acercamiento que tendr´ıa el rayo si no se desviara (a menor distancia mayor desv´ıo) y de la masa que crea el campo (a mayor masa mayor desv´ıo, lo cual concuerda con que un cuerpo con m´as masa genera una curvatura mayor). Para el caso de los rayos desviados por el Sol cuando pasan por el limbo (que corresponde a la mayor desviaci´on que se puede producir y es D≃R) se obtiene un valor de δmax = 4M/R= 1,75000. La primera persona que midi´o este valor experimentalmente fue Eddington (1919), durante un eclipse solar (ya que es la ´unica manera de observar las estrellas que tienen una posici´on angular cercana a la del sol) comparando la posici´on de algunas estrellas durante ese momento y por la noche. As´ı, el valor que obtuvo para el ´angulo de deplexi´on fue δ= 1,98±0,16 [10]. Este valor es muy cercano al te´orico pero con cierto error debido tanto a la atm´osfera, 10Se aplican las aproximaciones sin ϕ≃ϕy cos ϕ≃0. 33 que hace fluctuar la posici´on de las estrellas, como a la corona solar, que tiene un ´ındice de refracci´on que depende de la distancia al sol. Con el tiempo se tomaron medidas m´as exactas. 6.2. Retraso Otro efecto que sufre la luz en la m´etrica de Schwarzschild es que se retrasa. Como se ha visto, el espacio se curva por la presencia de un campo gravitatorio, lo que hace que la luz tambi´en se curve, por tanto, esta necesita m´as tiempo para llegar de un punto a otro en el espacio curvo que en el espacio plano. Esta idea fue propuesta por Shapiro (1964) y constituye uno de los experimentos que confirman la teor´ıa de la relatividad como veremos al final de la secci´on. Nuevamente se seguir´a el razonamiento de [5]. Para explicar este hecho se considera un rayo de luz (ds2= 0) en la trayectoria ecuatorial θ=π/2, con lo que tenemos que la m´etrica de Schwarzschild, ec. (8), queda: 1−2M rdt2−1−2M r1 dr2−r2dϕ2= 0 (30) Una relaci´on entre el ´angulo ϕy la coordenada r, haciendo una aproximaci´on de primer orden, se saca diferenciando la ecuaci´on (26): rcos ϕdϕ +dr sin ϕ= 0 →rdϕ =−tan ϕdr; elevando al cuadrado y teniendo en cuenta la simetr´ıa del problema se obtiene la relaci´on: r2dϕ2=D2 r2−D2dr2; que sustituyendo en (30) y despejando dt2: dt2=(1 −2M/r)−2+ (1 −2M/r)−1D2 r2−D2dr2; esta expresi´on se expande hasta el primer orden en M/r quedando: dt2≃r2 r2−D21+4M/r −2MD2/r3dr2; y finalmente, hacemos la ra´ız de la expresi´on y volvemos a expandir al primer orden: dt ≃±r (r2−D2)1/2(1 + 2M/r −MD2/r3)dr (31) 34 Parte III Detecci´on en sistemas binarios “Con este descubrimiento (el de las ondas gravitacionales), los humanos se est´an embarcando en una maravillosa nueva misi´on: la misi´on de explorar la parte deformada del Universo.” K. Thorne. 8. Por rayos X En este escrito se describir´an dos de los sistemas binarios compuestos por una estrella y un agujero negro descubiertos mediante rayos X, ya que son muchos los agujeros negros detectados de esa manera. Actualmente, cualquier observaci´on de este tipo en la cual se determine que la masa del objeto invisible es mayor que 3Mse considera que es un agujero negro, mientras que antes eran solo candidatos a agujeros negros. 8.1. Cynus X-1 La fuente de rayos X Cynus X-1 fue descubierta en 1964 por Bowyer et al. [11], la cual ten´ıa la misma posici´on que la estrella clasificada como supergigante azul HDE 226868 [12]. Como ya se ha comentado, si esto ocurre cabe la posibilidad de que la fuente de rayos X sea un sistema binario formado por dicha estrella y un agujero negro. De hecho, es bien conocida la hist´orica apuesta entre Stephen Hawking y Kip Thorne acerca de si este sistema albergaba o no un agujero negro. Fue Hawking quien en 1990 perdi´o la apuesta ya que por fin se declar´o, tras las numerosas evidencias y estudios din´amicos del movimiento entre los dos cuerpos que formaban el sistema binario, que efectivamente hab´ıa un agujero negro. Y es que, aunque en aquella ´epoca era dif´ıcil determinar las masas por la falta de precisi´on en la distancia, todo apuntaba a que superaba el l´ımite de TOV [13]. Uno de estos estudios es el publicado en la revista Nature en el a˜no 1972 por Webster et al. [14]. En ´el se midi´o la velocidad radial de la estrella durante dos meses utilizando el Telescopio Isaac Newton. Se observ´o que esta variaba, y lo que es m´as, estos cambios 41 estaban correlacionados con el cambio en el flujo de emisi´on de la fuente. Aunque no calcularon la masa correctamente, estimaron que esta deb´ıa ser mayor de 2 M, concluyendo en que probablemente se tratara de un agujero negro. Adem´as, pudieron determinar que la estrella estaba en una ´orbita de 5,60 d´ıas. El estudio m´as reciente data del a˜no 2011 [13]. En ´el se determinan tanto las masas de las componentes del sistema, siendo la del cuerpo compacto m= 14,81 ±0,98My la de la estrella donadora M= 19,16 ±1,90M, como el ´angulo de inclinaci´on entre el plano de la ´orbita y nuestra l´ınea de visi´on, i= 27o,1±0o,8. Efectivamente se trata de un agujero negro ya que su masa excede el l´ımite de TOV. Figura 8.1.2. A la izquierda, la regi´on del espacio donde se encuentra el sistema Cygnus X-1 visto en el rango ´optico. A la derecha, la visualizaci´on art´ıstica del sistema binario Cygnus X-1 hecho por Melissa Weiss. Cr´edito: NASA/CXC/M.Weiss En la figura 8.1.2 se puede ver una interpretaci´on art´ıstica creada por la dise˜nadora gr´afica Melissa Weiss, que trabaja para la NASA ilustrando con datos obtenidos del Observatorio de rayos X Chandra. Pero, lo que realmente se observa cuando se apunta a este sistema, que est´a a 1,86 kpc [15], es la imagen de la figura 8.1.3, una mancha luminosa azulada. 42 Figura 8.1.3.Observaci´on en rayos X del sistema binario Cygnus X-1. Cr´edito: NASA/CXC/SAO 8.2. GRS 1915+105 (V1487 Aquilae) Esta fuente de rayos X fue descubierta en 1992 por Castro Tirado et al. [16] en nuestra propia galaxia, y es un caso muy curioso porque su flujo de rayos X var´ıa de forma ´unica [17]. Al principio hab´ıa contradicciones acerca de la masa de la estrella compa˜nera del sistema binario, ya que por una parte se dec´ıa que este sistema era LMXB 12 [18], y por otro lado, que la estrella donadora deb´ıa ser de masa alta [19, 20]. Tras una serie de observaciones espectrosc´opicas [21] se determin´o que la estrella donadora es de tipo espectral K-M y tiene una luminosidad de clase III, lo cual implica que efectivamente es una binaria de baja masa, siendo la masa de la estrella donadora M= 1,2±0,2M. Figura 8.2.1.Resultados de los an´alisis sobre la velocidad radial. Imagen tomada de [22] 12Siglas en ingl´es que significan “binaria de rayos X de baja masa” 43 Un estudio realizado sobre la velocidad radial [22] demostr´o que el periodo orbital de la estrella es Porb = 33,5±1,5 d´ıas y que la amplitud de la curva de la velocidad radial en funci´on de la fase orbital (figura 8.2.1) es K= 140 ±15 km/s. Adem´as, el ´angulo de inclinaci´on que hay entre el jet y nuestra l´ınea de visi´on se ha medido como i= 70o±2o [23]. Con estos datos se puede estimar la masa del objeto compacto mediante su funci´on de masa, fc, la cual establece una relaci´on entre distintos par´ametros de un sistema binario [24]. Esta resulta ser [22]: fc=m3sin3i (m+M)2=PorbK3 2πG = 9,5±3,0M(45) De esta manera se pudo determinar la masa del objeto compacto como m= 14±4M [22], convirti´endose as´ı en el agujero negro de un sistema binario con m´as masa de nuestra galaxia. Pero no es solo eso lo que hace especial a este sistema binario, sino, como se coment´o al principio, su forma de emitir rayos X. Las emisiones observadas provenientes de esta binaria var´ıan fuertemente, pasando de detectarse rayos “duros”, los cuales se emiten en forma de jet y se corresponden a periodos en los que la acreci´on de masa es baja y la luminosidad alta, a acretar mucha masa con una luminosidad variable, lo cual hace que se emitan a la vez rayos “duros” y “blandos”(radiados por todo el disco). En la figura 8.2.2 se muestra una de las observaciones realizadas por Neilsen et al. utilizando el Observatorio de Rayos X Chandra, correspondiente al d´ıa 23 de mayo de 2001, la cual tuvo una duraci´on total de 8 horas y 20 minutos. Se observ´o que los rayos X emiten de forma parecida a un coraz´on humano detect´andose un pulso luminoso cada 50 segundos aproximadamente. Este hecho cambi´o la concepci´on sobre la emisi´on de rayos X en sistemas binarios de este tipo, ya que debido a las observaciones realizadas hasta el momento, estas fuentes de rayos X se hab´ıan observado en un ´unico estado de emisi´on, sin variaciones entre jets y rayos blandos. Esto implica que los dem´as tambi´en deben de cambiar de estado, pero lo hacen mucho m´as lentamente y por ese motivo parece que siempre se encuentran en el mismo [25]. 44 Figura 8.2.2.Vista del cielo en el visible+infrarrojo junto con la imagen en rayos X del sistema binario GRS 1915+105. Abajo a la derecha en una gr´afica est´an los pulsos de rayos X detectados. Cr´edito: X-ray (NASA/CXC/Harvard/J.Neilsen et al); Optical (Palomar DSS2) 9. Por ondas gravitaciones Al principio de este documento, en la secci´on 3.3, se coment´o lo eficaces que fueron las mejoras realizadas al observatorio LIGO, y es que fue este el primero en detectar la existencia de ondas gravitacionales, despu´es de muchos a˜nos en busca de ellas. Adem´as, este descubrimiento no ha venido solo, sino que a ra´ız de ´el se han detectado hasta 10 ondas gravitacionales m´as, 9 de ellas formadas por la colisi´on de agujeros negros y una por la fusi´on de estrellas de neutrones, algunas en com´un con el detector de Virgo. 9.1. GW 150914: la primera onda gravitacional detectada Fue el d´ıa 14 de septiembre del a˜no 2015, a las 09:50:45 UTC cuando se capt´o por primera vez una onda gravitacional en los detectores de LIGO, a los pocos d´ıas de co- 45 menzar el funcionamiento del mejorado observatorio Advanced LIGO [8]. La se˜nal fue detectada primero por el observatorio situado en Livingstong LA, y 6,9+0,5 −0,4ms despu´es en el observatorio de Hanford, WA, con una frecuencia creciente desde 35 hasta 250 Hz en 8 ciclos de rotaci´on [8]. Gracias a esta diferencia de tiempo de llegada se pudo localizar el origen de la se˜nal (en el hemisferio sur, ya que lleg´o antes al observatorio de Livingtong), pero no de manera exacta sino haciendo uso de la probabilidad [26, 27]. As´ı, en la figura 9.1.1 se puede observar la funci´on de densidad de probabilidad de encontrar la fuente de la onda gravitacional proyectada sobre el cielo del hemisferio sur con distintas regiones de confianza: desde un 90 % de probabilidad (l´ınea morada) hasta un 10 % (l´ınea amarilla), siendo el ´area limitada por la corona circular m´axima de 610 deg2[28]. Figura 9.1.1. Localizaci´on aproximada del origen de GW150914 en el hemisferio sur. Cr´edito: LIGO/Axel Mellinger La forma de las ondas detectadas (figura 9.1.2) presenta un pico de amplitud de 1·10−21 al final del aumento de frecuencia, lo cual indica que el origen m´as probable de esta onda gravitacional es la fusi´on de dos cuerpos que se encontraban orbitando uno en torno al otro [8], ya que, como se coment´o en la secci´on 3.1, al irse aproximando la frecuencia es cada vez mayor hasta un m´aximo que se corresponde con la fusi´on final. 46 Figura 9.1.2. En la columna de la izquierda se presentan los resultados de la observaci´on en el observatorio de Hanford, y en la columana de la derecha la observaci´on en Livingston. Imagen tomada de [8] Cuando se analiza la onda en la fase de aproximaci´on, en la cual las frecuencias son menores, se emplea la chirp mass 13. Esta determina la evoluci´on de la frecuencia de la onda y viene dada por la ecuaci´on [8]: M=(m1m2)3/5 (m1+m2)1/5=c3 G5 96π−8/3f−11/3˙ f(46) donde m1ym2son las masas de los objetos que se fusionan y fes la frecuencia observada (siendo ˙ fla evoluci´on temporal de esta). La chirp mass de este evento resulta ser M ≃ 30+2 −2M, lo cual implica que la masa total es M=m1+m2&71+5 −4M14 [31]. Esto significa que la suma de los radios de Schwarzschild de los cuerpos que forman el sistema binario esta condicionada a ser 2GM/c2&210 km 15 [8]. As´ı, para poder alcanzar 13No se ha encontrado una traducci´on a este t´ermino. 14Medida en el detector. Para obtener la masa real de la fuente hay que tener en cuenta el corrimiento al rojo, z, dividiendo entre (1+z). 15Utilizando la expresi´on del radio de Schwarzschild en unidades no relativistas. 47 una frecuencia orbital de 75 Hz (la mitad de la frecuencia m´axima captada en este evento) la separaci´on entre estas dos masas debe ser ≃350 km [8]. El ´unico resultado posible es que ambos cuerpos sean agujeros negros, ya que ninguna otra combinaci´on puede permanecer orbitando estando tan cerca sin fusionar, ni siquiera estrellas de neutrones, que son tambi´en cuerpos de masa compacta [8]. Adem´as, tambi´en se determin´o la distancia luminosa, obteniendose que la colisi´on se produjo a DL= 410+160 −180 Mpc [28], siendo entonces el corrimiento al rojo z= 0,090,03 −0,04 [32]. Estas ondas que se detectan contienen informaci´on acerca de las propiedades tanto de los cuerpos que se fusionan como del objeto final [29]. La informaci´on se obtiene mediante an´alisis con m´etodos num´ericos de modelos te´oricos de las se˜nales de ondas gravitacionales que se generan al fusionarse dos agujeros negros [8]. As´ı, las masas (teniendo en cuenta el corrimiento al rojo) de los agujeros negros que colisionan es de 36+5 −4My 29+4 −4My la del agujero negro final 62+4 −4M[28], existiendo una diferencia de masa entre los agujeros negros que se fusionan y el agujero negro resultante. Esta diferencia es la energ´ıa que se radia en forma de ondas gravitacionales, y es de 3,0+0,5 −0,5M[28]. 9.2. Cat´alogo de ondas gravitacionales Tras el primer periodo de observaci´on del detector LIGO (O1), con duraci´on desde el 12 de septiembre de 2015 hasta el 19 de enero de 2016, se detectaron hasta tres se˜nales: GW150914, GW151226 y GW151012 [33]. Esta ´ultima en su momento se clasific´o como una posible se˜nal, llamada LTV151012, pero actualmente se considera que es una onda gravitacional [29]. Despu´es hubo otro periodo de observaci´on (O2), el cual tuvo lugar desde el 30 de noviembre de 2016 hasta el 25 de agosto de 2017, incorpor´andose tambi´en el detector del observatorio Advanced Virgo el 1 de agosto de 2017 [6]. En este segundo periodo se detectaron 8 se˜nales m´as: GW170104, GW170608, GW170729, GW170819, GW170814, GW170818 y GW 170823 provenientes de la fusi´on de dos agujeros negros [29] y GW170817 de la fusi´on de dos estrellas de neutrones [34], con unas masas y distancia luminosa claramente menores al resto de eventos, como se puede ver en la tabla 1. Toda la informaci´on recogida durante estos a˜nos ha sido puesta en com´un en el primer cat´alogo de ondas gravitacionales de la historia [29] que se puede encontrar de manera p´ublica en la p´agina web del LSC [6]. 48 Tabla 1. Propiedades determinadas de cada se˜nal de ondas gravitacionales detectada, siendo m1ym2las masas que se fusionan, Mfla resultante, Erad la energ´ıa radiada tras la colisi´on, dLla distancia luminosa y zel corrimiento al rojo. Datos tomados de [29] Cabe destacar que con la incorporaci´on del detector de Virgo en la investigaci´on se logr´o mejorar la localizaci´on de los eventos. Esto se puede observar en la figura 9.2, en la cual las regiones de confianza de GW170818-HLV 16, GW170817-HLV y GW170814-HLV son menores [29]. En un futuro se podr´a determinar mejor a´un la localizaci´on de estos eventos con la incorporaci´on de otros detectores. Figura 9.2.1. Localizaci´on en el cielo de las regiones de confianza de cada detecci´on . Cr´editos /UIB 16El sufijo HLV indica que la onda se detect´o en los tres observatorios de Hanford, Livington y Virgo 49 Parte IV Conclusiones Con este trabajo se han podido aclarar conceptos sobre los agujeros negro que pod´ıan parecer muy confusos. Y es que, al estudiar la m´etrica de esta manera m´as simplificada y mediante representaciones gr´aficas, ya puede uno comprender la esencia de un agujero negro de Schwarzschild al imaginar un viaje al interior. Si eres t´u mismo el que se adentra en esta aventura, viajar´as por el espacio hasta cruzar una frontera (el horizonte de sucesos) tras la cual todo cambia; lo que antes estaba delante, ahora est´a en el futuro; lo que antes estaba detr´as, ahora est´a en el pasado. Mientras que si te quedas a observar como una persona se introduce en un agujero negro morir´as esperando, ya que nunca la ver´as traspasar el horizonte de sucesos. La segunda parte del trabajo da un punto de vista m´as real, mostrando distintas observaciones de agujero negros. As´ı, se ha estudiado c´omo se detectan estos en sistemas binarios. Por una parte, gracias a la emisi´on de rayos X cuando un agujero negro atrapa materia de una estrella cercana, se ha visto el caso del sistema Cynus X-1, el primer agujero negro detectado de esta forma, y GRS 1915+105, un agujero negro que proporcion´o mucha informaci´on nueva sobre c´omo se emite la radiaci´on del disco de acreci´on. Por otra parte, en la fusi´on de los agujeros negros se produce una p´erdida de energ´ıa gravitatoria que se radia en forma de ondas gravitacionales, las cuales han sido detectadas gracias a los Observatorios de Interferometr´ıa L´aser. As´ı, se ha estudiado con mayor profundidad el primer evento detectado, el cual supuso un hito en la historia de la ciencia, GW150914. Comparando una y otra forma de detecci´on se puede observar c´omo los cient´ıficos se mostraban mucho m´as esc´epticos en el siglo pasado, realizando numerosos estudios durante a˜nos antes de aceptar la idea de que el origen de las mediciones fuera un agujero negro. Esto es algo l´ogico, ya que antes no exist´ıa tanta precisi´on como ahora en estas observaciones. De hecho, es con el descubrimiento de las ondas gravitacionales cuando se vuelve totalmente innegable que estos objetos realmente existen ah´ı fuera, abri´endose as´ı un nuevo e inescrutado camino para la ciencia. 50