Estudio numérico sobre el efecto de surfactantes insolubles en el ascenso de burbujas en tanques infinitos

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Aerospacial Estudio numérico sobre el efecto de surfactantes insolubles en el ascenso de burbujas en tanques infinitos Autor: Carmen Herrada Pardo Tutor: Miguel Ángel Herrada Gutiérrez Dpto. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2024 Proyecto Fin de Carrera Ingeniería Aerospacial Estudio numérico sobre el efecto de surfactantes insolubles en el ascenso de burbujas en tanques infinitos Autor: Carmen Herrada Pardo Tutor: Miguel Ángel Herrada Gutiérrez Catedrático Dpto. Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2024 Proyecto Fin de Carrera: Estudio numérico sobre el efecto de surfactantes insolubles en el ascenso de burbujas en tanques infinitos Autor: Carmen Herrada Pardo Tutor: Miguel Ángel Herrada Gutiérrez El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: Índice Índice de figuras 3 Agradecimientos 5 Resumen 9 Abstract 11 Notación 13 1 Introducción 15 1.1 Motivación y Objetivos 15 1.2 Conceptos básicos 16 1.2.1 Surfactante 16 1.2.2 Efecto Marangoni 18 1.2.3 Soluto-capilaridad 20 1.3 Estudio de la literatura 20 1.3.1 Trabajos de modelos numéricos de flujos multifásicso con surfactantes. 21 1.3.2 Trabajos sobre burbujas. 21 1.3.3 Trabajos sobre el efecto de surfactantes en el ascenso de burbujas 21 1.3.4 Trabajos para la formulación y resolución del problema 22 2 Metodología 25 2.1 Formulación del problema 25 2.1.1 Surfactantes. Ecuación de Langmuir 26 2.1.2 Condiciones de contorno 26 2.1.3 Mallado 28 2.2 Parámetros de control utilizados 30 2.3 Valores numéricos de los parámetros utilizados 32 3 Exposición y discusión de los resultados obtenidos 33 3.1 Comparación de resultados con estudios previos del problema 33 3.2 Resultados obtenidos 37 3.2.1 Efecto de surfactantes en la velocidad 38 3.2.2 Efecto en el desprendimiento de la capa límite 39 3.2.3 Efecto en la vorticidad y líneas de corriente 41 3.3 Efecto de la Difusividad 42 4 Conclusiones y Líneas Futuras 45 4.1 Conclusiones 45 4.2 Líneas Futuras 46 5 Anexo A: Herramienta para resolución del problema. JAM 49 6 Anexo B: Códigos empleados. Matrices de colocación 53 1 6.1 Chevitanh.m 53 6.2 Chevitanh-Inverse.m 53 6.3 Finitas2.m 54 6.4 Plotting 55 Bibliografía 64 2 Índice de Figuras 1.1 Espuma causada por la presencia de surfactantes [1] 15 1.2 Representación gráfica de un tensioactivo 16 1.3 Representación de surfactante actuando en la limpieza de un tejido [2] 17 1.4 Efecto del uso de surfactantes en la limpieza de pinturas [3] 17 1.5 Presencia de surfactantes en alveolos de los pulmones [4] 18 1.6 Representación del efecto Marangoni 19 1.7 Lágrimas de vino [5] 19 1.8 Efecto de la solutocapilaridad [6] 20 2.1 Esquema del problema 27 2.2 Mallado del problema 30 3.1 Comparación de resultados de la componente tangencial de la velocidad para Ma=0 35 3.2 Comparación de resultados de la componente tangencial de la velocidad y de la concentración de surfactante normalizada para MaF=0.236 3.3 Comparación de resultados de la componente tangencial de la velocidad y de la concentración de surfactante normalizada para MaF=236 3.4 Efecto de la concentración de surfactante en la velocidad 38 3.5 Componente tangencial de la velocidad y concentración de surfactante normalizada para diferentes ˆ Γ39 3.6 Efecto de la concentración de surfactante en el desprendimiento de la capa límite, en función del ángulo de desprendimiento θbreak (º) 40 3.7 Definición de s y del ángulo de desprendimiento. 41 3.8 Líneas de velocidad del flujo y contornos de vorticidad azimutal para ˆ Γ=0.01 42 3.9 Líneas de velocidad del flujo y contornos de vorticidad azimutal para ˆ Γ=0.01 42 3.10 Líneas de velocidad del flujo y contornos de vorticidad azimutal para ˆ Γ=0.5 42 3.11 Líneas de velocidad del flujo y contornos de vorticidad azimutal para ˆ Γ=0.5 42 3.12 Efecto de la difusividad en la velocidad y desprendimiento de la capa límite para ˆ Γ=0.5 43 5.1 Implementación del problema con JAM 50 3 Abstract T he study of bubble behaviour in aqueous media is fundamental in various fields of engineering, from the petrochemical industry to oceanography. This work investigates the effect of insoluble surfactants on bubble upwelling in liquids, an important but still poorly understood phenomenon. Numerical simulations are used to analyse the interactions between bubbles and surfactants, including bubble rise speed, shape and stability, among others. The results obtained provide a deeper understanding of the underlying mechanisms and have important implications in areas such as chemical reactor design, pollutant dispersion and industrial process optimisation. This study contributes to the advancement of knowledge in the field of fluid dynamics and lays the foundation for future research in this fascinating interdisciplinary field. 11 Notación ΓConcentración de surfactante γTensión Superficial ρlDensidad del líquido ρgDensidad del gas µlViscosidad del líquido µgViscosidad del gas λRelación entre viscosidad del gas y del agua JAM Jacobian Analitycal Method Ma Número de Marangoni Pe Número de Peclet Ds Difusividad ∥x∥Norma del vector x RgConstante de los gases T Temperatura σ σ σTensor de tensiones |A|Determinante de la matriz cuadrada A det(A)Determinante de la matriz (cuadrada) A A⊤Transpuesto de A A−1Inversa de la matriz A c.q.d. Como queríamos demostrar IRe Parte real IIm Parte imaginaria πNúmero pi sen Función seno cos Función coseno tg Función tangente arctg Función arco tangente tanh Función tangente hiperbólica ∂y ∂xDerivada parcial de yrespecto a x x◦Notación de grado, xgrados. xi,i=1,2,...,nElementos i,de1an, del vector x dxDiferencial de x nVector normal a la superficie tVector tangencial a la superficie ⩽Menor o igual ⩾Mayor o igual 13 1 Introducción 1.1 Motivación y Objetivos En el amplio ámbito de la física de los fluidos, el estudio de las interacciones complejas entre sustancias y fases sigue siendo un área fascinante y fundamental. Entre los fenómenos que capturan la atención de la comunidad científica se encuentra el comportamiento de las burbujas ascendentes en fluidos, un fenómeno intrínsecamente ligado a una variedad de procesos industriales y naturales. En particular, la presencia de surfactantes insolubles ha emergido como un factor influyente en la dinámica de estas burbujas, añadiendo una dimensión adicional a la comprensión de los sistemas multifásicos. Los surfactantes presentan características únicas que pueden desencadenar efectos significativos en la entrefase entre las burbujas y el medio circundante, gracias a su capacidad única para reducir la tensión superficial y facilitar las interacciones entre distintas fases. Este fenómeno ha despertado un interés creciente en la comunidad científica y técnica, ya que su comprensión puede tener implicaciones importantes en campos que van desde la extracción de recursos naturales hasta la optimización de procesos industriales. Además, los surfactantes tienen una amplia gama de aplicaciones, de las cuales muchas se desconocen, y que serán detalladas en el siguiente apartado. Figura 1.1 Espuma causada por la presencia de surfactantes [1]. 15 16 Capítulo 1. Introducción En este contexto, el presente Trabajo de Fin de Grado se propone explorar y analizar el impacto de añadir surfactantes insolubles en el ascenso de burbujas de aire en agua en tanques de grandes dimensiones profundizando en los mecanismos subyacentes y evaluando sus implicaciones. Usando como herramienta códigos numéricos para el tratamiento de flujos multifásicos de última generación, se busca contribuir al conocimiento actual sobre este fenómeno, destacando sus aplicaciones potenciales y sus posibles ramificaciones en diversos campos de la ingeniería y la ciencia de materiales. Además,al avanzar en esta investigación, se espera que los resultados obtenidos contribuyan al crecimiento del conocimiento en esta área específica, proporcionando una base sólida para futuras investigaciones y aplicaciones tecnológicas. En primer lugar, se definirán una serie de conceptos que son clave para entender este trabajo, así como las distintas aplicaciones que presentan los surfactantes. Tras esto, se mencionará también la literatura utilizada para llevar a cabo este proyecto y, en los siguientes capítulos, se dará una explicación detallada de la metodología llevada a cabo, exponiéndose por último los resultados y conclusiones obtenidas. 1.2 Conceptos básicos Para facilitar la comprensión de este Trabajo de Fin de Grado, se proporcionan explicaciones y definiciones detalladas de conceptos y aspectos fundamentales que resultan cruciales para entender su contenido. 1.2.1 Surfactante Un surfactante (proveniente del inglés surfactant: ’surface-active agent’), también conocido como agente tensioactivo, es una sustancia química que tiene propiedades tanto hidrofílicas (afinidad por el agua) como lipofílicas (afinidad por los lípidos o grasas). Estas propiedades duales le permiten reducir la tensión superficial entre dos fases inmiscibles, como el agua y el aceite, facilitando la mezcla de sustancias que normalmente no se mezclarían. Los surfactantes son moléculas que suelen tener una cabeza polar (hidrofílica) y una cola no polar (hidŕofoba), lo que les permite interactuar con ambas fases. Figura 1.2 Representación gráfica de un tensioactivo. Si colocamos moléculas de surfactante en un líquido, estas tienden a moverse hacia la 1.2 Conceptos básicos 17 superficie libre, creando una monocapa superficial. De entre los efectos de los surfactantes, se pueden destacar dos: la llamada soluto-capilaridad y la convección de Marangoni, que se detallan en los siguientes apartados. En cuanto a sus aplicaciones, una de las que más destaca es en la formulación de productos de limpieza, desempeñando un papel fundamental en la emulsificación de grasas y suciedad, facilitando así su eliminación al entrar en contacto con el agua. Por lo tanto, se encuentran surfactantes en detergentes y productos de limpieza. Figura 1.3 Representación de surfactante actuando en la limpieza de un tejido [2]. Pero no solo es capaz de ayudar a limpiar tejidos, si no que también ha sido una herramienta clave para garantizar la transferencia del patrimonio cultural a las generaciones futuras, ya que se ha usado para la reconstrucción y conservación de pinturas. En las últimas décadas se han desarrollado materiales de limpieza seguros que han supuesto una auténtica revolución en este campo. En este contexto, el papel de los tensioactivos es crucial; permiten mejorar la eficacia y el control del proceso de limpieza, superando las limitaciones de la química tradicional de los disolventes. Por ejemplo, los fluidos complejos nanoestructurados, como las microemulsiones y las soluciones micelares, pueden formularse mediante el uso de tensioactivos y disolventes específicos para eliminar las capas no deseadas a través de diferentes procesos fisicoquímicos, que van desde la detergencia clásica hasta el hinchamiento selectivo y el desprendimiento de capas, causados por la interacción sinérgica entre el tensioactivo y el disolvente [3]. Figura 1.4 Efecto del uso de surfactantes en la limpieza de pinturas [3]. 18 Capítulo 1. Introducción Adicionalmente, los surfactantes desempeñan funciones cruciales en la agricultura con, por ejemplo, la formulación de pesticidas y como medio para aumentar la eficacia de los herbicidas [ 7 ], en la industria del petróleo y gas, son esenciales para mejorar la recuperación de petróleo. También encuentran aplicación en la elaboración de pinturas, recubrimientos, tejidos e incluso en espumas para la lucha contra incendios. Además de encontrar surfactantes en los contextos mencionados anteriormente, es importante destacar que también existen en la naturaleza, presentes de manera inherente en los pulmones. Estos surfactantes naturales juegan un papel fundamental en la regulación de la tensión superficial alveolar, lo que garantiza una adecuada función pulmonar y facilita el intercambio gaseoso durante la respiración. Su presencia y función son vitales para mantener la salud y el funcionamiento óptimo de nuestros sistemas respiratorios [8]. Figura 1.5 Presencia de surfactantes en alveolos de los pulmones [4]. Por último, decir también que son fundamentales para aplicaciones biomédicas, la remediación ambiental, la construcción, el procesamiento de metales y diversos procesos industriales, mostrando así su uso versátil e imprescindible en distintos sectores. 1.2.2 Efecto Marangoni El efecto Marangoni es un fenómeno físico que se manifiesta como el movimiento de un líquido causado por gradientes de tensión superficial. Este efecto se puede producir cuando hay una variación en la concentración de surfactantes Γ (agentes tensioactivos) a lo largo de la entrefase entre dos líquidos o entre un líquido y un gas. Estos gradientes en la concentración de surfactantes, inducen esfuerzos, denominados esfuerzos de Marangoni, siendo estos esfuerzos los responsables de la convección de Marangoni [ 6 ]. Esto provoca un flujo de líquido desde regiones de baja tensión superficial (donde la concentración de surfactantes es mayor) hacia regiones de alta tensión superficial (donde la concentración de surfactantes es menor) [Ver figura 1.6]. Además, este movimiento resulta en la redistribución de masa y puede generar patrones complejos de flujo. 1.2 Conceptos básicos 19 Figura 1.6 Representación del efecto Marangoni. El efecto Marangoni tiene diversas aplicaciones y se puede observar en situaciones cotidianas, como en el fenómeno de las lágrimas de vino en la copa, donde la evaporación del alcohol en la superficie del líquido crea diferencias de concentración de surfactantes, generando corrientes que arrastran consigo gotas de líquido. Figura 1.7 Lágrimas de vino [5]. Además, este efecto es fundamental en la industria, por ejemplo, en la mejora del proceso de recubrimiento de películas delgadas y en la soldadura por láser, donde puede afectar a la calidad de las soldaduras. 26 Capítulo 2. Metodología estática y los otros dos términos proceden, respectivamente, del potencial gravitatorio y del potencial asociado a la aceleración lineal del sistema de referencia. La densidades ρi(i=l,g) y viscosidades µi , son las de agua aire y g es la aceleración de la gravedad, apuntando a la dirección de z negativa (g=−gez); p es la presión y U es la velocidad de la burbuja respecto al sistenma de referencia inerical (Z,R). La superficie libre (circunferencia magenta en la figura 2.1) está parametrizada como rI=F(s,t) y zI=G(s,t) , en términos de la longitud de arco meridional s ( 0≤s≤1 ). [Ver figura 2.1 ] 2.1.1 Surfactantes. Ecuación de Langmuir La concentración superficial de surfactante Γ verifica la ecuación de advección-difusión [45] ∂Γ ∂t+∇ ∇ ∇s·(Γvs)+Γ(∇ ∇ ∇s·n)(v·en) = Ds∇2 s,(2.1d) donde vses la velocidad superficial. La dependencia de la tensión superficial γ con la concentración superficial de surfactante Γviene dada por la ecuación de estado de Langmuir [46] γ=γ0+Γ∞RgTln1−Γ Γ∞,(2.1e) donde γ0 es la tensión superficial en la entrefase limpia, Rg es la constante de los gases, T es la temperatura y Γ∞es la concentración superficial de saturación. En esta ecuación, se observa que a medida que la concentración superficial de surfactante aumenta, la tensión interfacial disminuye, siguiendo una relación no lineal. 2.1.2 Condiciones de contorno A través de la entrefase, se impone que el campo de velocidades sea continuo: wl=wg,ul=ug(2.1f) y se impone también un balance de los esfuerzos normales y tangenciales entre líquido y gas: n·(σ σ σl−σ σ σg)·n=γκ +(ρl−ρg)g+dU dt zI,(2.1g) t·(σ σ σl−σ σ σg)·n=∇ ∇ ∇sγ,(2.1h) donde n=Gser−Fsez (G2 s+F2 s)1/2,t=Gsez+Fser (F2 s+G2 s)1/2.(2.1i) son los vectores normal ( n ) y tangente ( t ) a la superficie, el subíndice s representa las derivadas respecto a s , κ=∇·n es dos veces la curvatura media, γ es la tensión superficial 2.1 Formulación del problema 27 entre aire y agua y ∇ ∇ ∇srepresenta el gradiente tangencial a lo largo de la superficie. Además, se establece la condición de contorno cinemática en la entrefase, ul−∂F ∂t∂G ∂s−wl−∂G ∂t∂F ∂s=0.(2.1j) Para asegurar una distribución de puntos uniforme a lo largo de la longitu de arco s , se aplica la siguiente ecuación ∂F ∂s ∂2F ∂s2+∂G ∂s ∂2G ∂s2=0.(2.1k) En el eje, r=0, se consideran condiciones de regularidad. ∂wl ∂r=0,ul=0.(2.1l) Figura 2.1 Esquema del problema. 28 Capítulo 2. Metodología En el domino exterior, r2+z2=R2 out, wl=−U(t),ul=0.(2.1m) y el líquido está en reposo en el sistema de referencia (z,r). Finalmente, para cerrar el problema necesitamos una condición adicional para la velocidad de la burbuja U(t) . Esto se consigue imponiendo que un punto concreto de la entrefase tenga una velocidad axial nula en el sistema de referencia no inercial. Por lo tanto, elegimos que el punto derecho de la entrefase que cruza el eje verifique wl=0,zI=G=0,rI=F=0,en s =1.(2.1n) Las ecuaciones principales son integradas con una variante del método numérico propuesto por Herrada [43]. 2.1.3 Mallado La idea clave del código numérico consiste en mapear el dominio espacial, de forma que la superficie libre se convierte en un rectángulo fijado [ 42 ], evitando así la necesidad de hacer un seguimiento de la entrefase. Por lo tanto, el dominio físico ocupado por el líquido y el gas se representa en dos dominios rectangulares [0≤sl≤1]×[0≤ηl≤1] y [0≤sg≤1]×[0≤ηg≤1] , tal y como se muestra en la figura 2.2. El dominio espacial ocupado por el gas se mapea en un dominio rectangular mediante un mapeado no singular r=fg(s,ηg,t),z=gg(s,ηg,t),[0≤sg≤1]×[0≤ηg≤1], donde las funciones de forma fgyggson obtenidas como parte de la solución. Para capturar grandes deformaciones anisotrópicas, se aplicó la siguiente transformación cuasi elíptica g22 ∂2fg ∂s2+g11 ∂2fg ∂η2 g−2g12 ∂2fg ∂s∂ηg =Q,(2.1ña) g22 ∂2gg ∂s2+g11 ∂2gg ∂η2 g−2g12 ∂2gg ∂s∂ηg =0,(2.1ñb) donde los coeficientes toman la forma g11 =∂gg ∂s2 +∂fg ∂s2 ,g22 =∂gg ∂ηg2 +∂fg ∂ηg2 ,g12 =∂gg ∂ηg ∂gg ∂s+∂fg ∂ηg ∂fg ∂s, con Q=−∂D1 ∂ηg ∂fg ∂s−∂D1 ∂s ∂fg ∂ηgJ D1 ,J=∂gg ∂ηg ∂fg ∂s−∂gg ∂s ∂fg ∂ηg , 2.1 Formulación del problema 29 y D1=εpv u u t"∂fg ∂s2 +∂gg ∂s2#/"∂fg ∂ηg2 +∂gg ∂ηg2#+ (1−εp). En las expresiones anteriores, εp es un parámetro libre entre 0 y 1 donde el caso εp=0 corresponde a la transformación eltica clásica. Todas las simulaciones en este trabajo fueron realizadas usando εp=0. Algunas condiciones de contorno adicionales para las funciones de forma son necesarias para cerrar el problema. En la superficie libre, localizada en ηg=1 fg(s,ηg,t) = f(s,t),gg(s,ηg,t) = g(s,t).(2.1o) En el eje, localizado en ηg=0 fg(s,ηg,t) = 0,∂gg ∂ηg =0.(2.1p) El dominio del líquido puede describirse de forma cerrada como lo siguiente: r=f(s,t)+(Routsin(πs)−f(s,t))η,(2.1q) z=g(s,t)+(Routcos(πs)−g(s,t))η(2.1r) Las variables incógnitas en el dominio del líquido son wl , ul , pl y U , mientras que las incógnitas en el dominio del gas fg , gg , wg , ug y pg , y todas las derivadas que aparecen en las ecuaciones gobernantes son expresadas en términos de s,ηg,ηlyt. Estos mapeados son aplicados a las ecuaciones principales del problemas (2.1) y las ecuaciones resultantes son discretizadas en la dirección η , con nηl y nηg como puntos de colocación espectral de Chebyshev en los dominios del líquido y del gas, respectivamente. En el dominio del líquido se utilizó una función de stretching adicional para concentrar los puntos cercanos a la superficie de la burbuja ( ηlstretch =tanh[1−ηl]/tanh(1) ) y así resolver las capas límite. Por el contrario, en la dirección s se utilizan diferencias finitas de segundo orden con nsl y nsg puntos igualmente espaciados en los dominios del líquido y del gas, respectivamente. Concretamente, los resultados presentados en este trabajo fueron obtenidos usando nsg =351,nsl =351,nηg=11, and nηl=71 . 30 Capítulo 2. Metodología Figura 2.2 Mallado del problema. El mapeo [2.1q, 2.1r ] hace que las expresiones analíticas para las derivadas se vuelvan bastante complicadas, por lo que son calculadas simbolicamente usando su correspondiente rutina de Matlab siguiendo el método de JAM [ 43 ], el cual es explicado con más detalle en el Anexo adjunto al final de este trabajo. En el código, el bloque A hace referencia al dominio del gas (interior de la burbuja), mientras que el bloque B es el relacionado con el dominio del líquido. 2.2 Parámetros de control utilizados Para llevar a cabo este estudio, se emplean varios parámetros de control adimensionales para caracterizar y analizar los fenómenos físicos involucrados en el comportamiento de los fluidos. Los números adimensionales son herramientas fundamentales que permiten comparar diferentes sistemas fluidos bajo condiciones similares y entender los efectos relativos de varias fuerzas en juego. En este caso, el problema está gobernado por cuatro parámetros adimensionales: los números de Marangoni, Reynolds, Peclet y Bond, definidos a partir del radio de la burbuja, la velocidad capilar (γ0/µl) y la densidad del líquido. •Número de Marangoni (Ma) El número de Marangoni describe la influencia de gradientes de tensión superficial en la convección de un fluido. Es un parámetro crucial en situaciones donde las variaciones de temperatura o concentración provocan cambios en la tensión superficial, generando movimientos en el fluido. Se ha definido en este caso como: Ma =RgTΓ∞ γo 2.2 Parámetros de control utilizados 31 donde, como se ha comentado ya anteriormente, Rg es la constante de los gases, T es la temperatura, Γ∞ es la concentración de surfactante de saturación y γ0 es la tensión superficial en la situación limpia. •Número de Reynolds (Re) El número de Reynolds es un parámetro que caracteriza el régimen de flujo, diferenciando entre flujo laminar y turbulento. Se define como la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas en un fluido. Un número de Reynolds bajo indica un flujo laminar, mientras que un número alto indica flujo turbulento. En este caso es definido como: Re =ρlγ0R µ2 l donde ρl es la densidad del líquido, γ es la tensión superficial, R es el radio de la burbuja (longiud característica) y µl es la viscosidad del líquido, siendo γ0 / µl la velocidad característica. •Número de Peclet (Pe) El número de Peclet es una medida de la importancia relativa de la advección y la difusión en el transporte de calor o masa en un fluido. Se define en el presente estudio como: Pe =γ0R µlDs donde Ds es la difusividad de masa. Un número de Peclet alto indica que la advección domina sobre la difusión. •Número de Bond (Bo) El número de Bond caracteriza la relación entre las fuerzas gravitacionales y las fuerzas de tensión superficial en un fluido. Se define como: Bo =ρlgR2 γ0 donde ρl es la densidad del agua, g es la aceleración debida a la gravedad, R es el radio de la burbuja, y γ0es la tensión superficial en el caso limpio. Un número de Bond bajo sugiere que las fuerzas de tensión superficial son dominantes, mientras que un número alto indica que las fuerzas gravitacionales son más significativas. 32 Capítulo 2. Metodología 2.3 Valores numéricos de los parámetros utilizados Para las simulaciones numéricas llevadas a cabo a través de Matlab (que serán analizadas en la siguiente sección), se proporcionaron los siguientes valores numéricos para la obtención de resultados (siendo estos los correspondientes al agua para el dominio líquido, y aire para el dominio gaseoso): •Constante de los gases: R= 8.314 J/(mol·K) •Temperatura: T=298 K •Constante gravitacional: g=9.8 m/s2 •Concentración de surfactante de saturación en la superficie: Γ∞= 2.4 ·10−6mol/m2 •Difusividad: Ds=10−6m2/s •Densidad del aire: ρg= 1.225 kg/m3 •Densidad del agua: ρl= 998.26 kg/m3 •Viscosidad del aire: µg= 1.81 ·10−5Pa ·s •Viscosidad del agua: µl= 0.001 Pa ·s •Razón entre la viscosidad del aire y la del agua: λ= 0.0178 Esto simula las propiedades típicas de un surfactante insoluble en el agua. Una vez determinados estos valores, se pueden introducir en el código correspondiente. 3 Exposición y discusión de los resultados obtenidos A continuación, se expondrán los resultados obtenidos en el presente Trabajo de Fin de Grado, los cuales proporcionan una visión detallada sobre los efectos derivados de la presencia de surfactantes en diversas propiedades de las burbujas estudiadas. Para una comprensión más clara y precisa, se presentarán una serie de gráficas que ilustrarán las tendencias y variaciones observadas en los diferentes parámetros evaluados. Cabe destacar que todos los resultados presentados en las siguientes gráficas han sido obtenidos mediante el procedimiento detallado en la sección anterior. Este proceso metodológico garantiza la fiabilidad y consistencia de los datos recabados, permitiendo una interpretación precisa de las relaciones entre la concentración de surfactantes y los efectos observados. A través de esta exposición detallada, se busca proporcionar una perspectiva completa sobre la influencia de los surfactantes, ofreciendo insights valiosos para aplicaciones industriales, entre otros. Sin más preámbulos, procedemos a analizar dichos resultados. 3.1 Comparación de resultados con estudios previos del problema Dado que no hay muchos resultados numéricos en la literatura a cerca de los surfactantes y sus efectos, se ha optado por comparar algunos de los hallazgos obtenidos por Farsoiya et al. [41] con los conseguidos a través de la metodología de este trabajo. En las siguientes figuras [ Fig. 3.1 , Fig. 3.2 , Fig. 3.3 ] se muestra la velocidad interfacial en el marco de referencia de la burbuja, en función del ángulo polar θ medido desde el eje vertical (como se define en la figura 1.6). Por tanto, para esta representación, se ha tenido que definir el ángulo θ=arctan(r/(z−z0), donde z0es el centro de la burbuja. Farsoiya et al. usa la siguiente versión linealizada de Langmuir: γ(x,t) = γ01−βΓ(x,t) Γ0,(3.1) siendo β un número adimensional que caracteriza la fuerza de la variación de la tensión superficial con un cambio en la concentración de tensioactivo. 33 34 Capítulo 3. Exposición y discusión de los resultados obtenidos Además, los parámetros adimensionales de control establecidos por Farsoiya et al. son los siguientes: •Número de Marangoni: MaF=βγ0 √gdbρl •Número de Galilei: GaF=ρldb√gdb µl •Número de Peclet: PeF=db√gdb Ds •Número de Bond: BoF=ρlgd2 b γ0 donde db es la longitud característica (siendo esta el diámetro de la burbuja: db = 2R), g es la aceleración gravitacional ( siendo √gdb la velocidad característica), y β es la elasticidad de Gibbs. Por lo tanto, se ha tenido que establecer la siguiente relación entre los parámetros adimensionales de control utilizados en este estudio (mencionados en el capítulo anterior) con los establecidos por Farsoiya et al.: •Número de Marangoni: MaF=Ma p2·Bo/Re •Número de Galilei: GaF=2·Re ·p2·Bo/Re •Número de Peclet: PeF=2·Pe ·p2·Bo/Re •Número de Bond: BoF=4·Bo 3.1 Comparación de resultados con estudios previos del problema 35 A continuación se van a comparar los resultados obtenidos para la componente tangencial de la velocidad: ut/ub , para distintos números de Marangoni: 0, 0.2 y 2 con JAM (azul), frente a los que aparecen en el artículo de Farsoiya et al. (rojo) [41]. Figura 3.1 Comparación de resultados de la componente tangencial de la velocidad para Ma=0 . Cabe mencionar que Farsoiya et al. mencionan en su artículo la compenente normal de la velocidad un/ub , pero esta no va a ser representada ya que es cero al no haber flujo a través de la burbuja. Para MaF=0.2 y MaF=2 , se va a comparar también la concentración de surfactante normalizada obtenidas Γ/Γ0(Fig. 3.2 y Fig. 3.3). 42 Capítulo 3. Exposición y discusión de los resultados obtenidos Sin embargo, para la de 1mm se observa como el ángulo de desprendimiento es mayor para una concentración de surfactante más apreciable. Figura 3.8 Líneas de velocidad del flujo y contornos de vorticidad azimutal para ˆ Γ=0.01. Figura 3.9 Líneas de velocidad del flujo y contornos de vorticidad azimutal para ˆ Γ=0.01. Figura 3.10 Líneas de velocidad del flujo y contornos de vorticidad azimutal para ˆ Γ=0.5. Figura 3.11 Líneas de velocidad del flujo y contornos de vorticidad azimutal para ˆ Γ=0.5. Se observa también como esta burbuja de radio de 1mm más contaminada, es decir, la que tiene una mayor concentración de surfactante ( ˆ Γ =0.5), se deforma menos que la que tiene solo una concentración de ˆ Γ =0.01. Esto se debe a que, como se ha comentado anteriormente, la burbuja con mayor concentración de surfactante se rigidiza, lo que hace que no cambie tanto de forma. Además, al ir más despacio, es más fácil mantener su forma. Sin embargo, para la burbuja de R=0.1mm, al ser tan pequeña, no se aprecia prácticamente ningún cambio en su forma. 3.3 Efecto de la Difusividad En este estudio, se analizó también el efecto de la difusividad en la velocidad de ascenso de la burbuja y en el desprendimiento de la capa límite. Se llevaron a cabo simulaciones para dos valores de difusividad diferentes, 10−6 y 10−7 m2/s, para una misma concentración de surfactante, de ˆ Γ =0.5. Hay que resaltar que para poder obtener los resultados con difusividad de 10−7m2/s hizo falta establecer una malla más potente. 3.3 Efecto de la Difusividad 43 Se obtuvieron los resultados que se muestran en la siguiente figura 3.12. Figura 3.12 Efecto de la difusividad en la velocidad y desprendimiento de la capa límite para ˆ Γ=0.5. Por lo tanto, observando dichos resultados, se concluye que el efecto de la difusividad en el rango de 10−6 a 10−7 m2/s es despreciable para los fenómenos de velocidad de ascenso de la burbuja y desprendimiento de la capa límite en las condiciones estudiadas. Este hallazgo sugiere que otros factores pueden tener una mayor influencia en estos procesos y que la difusividad, dentro del rango analizado, no juega un papel determinante. 4 Conclusiones y Líneas Futuras 4.1 Conclusiones Este trabajo ha explorado y analizado el impacto de añadir surfactantes insolubles en el ascenso de burbujas de aire en agua en tanques de grandes dimensiones, utilizando códigos numéricos avanzados para el tratamiento de flujos multifásicos. Las principales conclusiones obtenidas son las siguientes: • Mecanismos Subyacentes: El estudio ha permitido una mejor comprensión de los mecanismos subyacentes al efecto de los surfactantes en el ascenso de burbujas, destacando la importancia de la distribución de los surfactantes en la entrefase gaslíquido y su influencia en las propiedades de la interfase. • Validación: Los resultados obtenidos en este estudio han sido comparados con otros anásisis reportados en la literatura y han mostrado una buena concordancia, lo que valida la precisión y confiabilidad de los modelos numéricos utilizados. • Reducción de la Velocidad de Ascenso: La concentración de surfactantes insolubles tiene un efecto significativo en la velocidad de ascenso de las burbujas. A medida que aumenta la concentración de surfactantes, la velocidad de ascenso de las burbujas disminuye considerablemente. Esto se debe a la modificación de las propiedades que los surfactantes inducen, aumentando la resistencia al movimiento de la burbuja. El flujo hacia el punto de estancamiento en la parte posterior de la burbuja transporta las moléculas de tensioactivo, acumulándolas en esa región, formándose una capa de surfactantes. Esta acumulación genera un gradiente de tensión superficial, que produce tensiones de Marangoni. Las tensiones de Marangoni contrarrestan la tensión viscosa tangencial causada por el flujo exterior, inmovilizando parcialmente la superficie libre creándose una capa rigidizada. Como resultado, se incrementa el arrastre y se disminuye la velocidad de ascenso de la burbuja. • Impacto en el Desprendimiento de la Capa Límite: La presencia de surfactantes afecta notablemente el proceso de desprendimiento de la capa límite. A partir de burbujas con un radio mayor a 0.2 mm, incluso con pequeñas concentraciones de surfactantes, la capa límite se desprendará mucho antes. Como se ha comprobado en este estudio, cuanto mayor sea la concentración de surfactantes, más temprano ocurrirá este desprendimiento. 45 46 Capítulo 4. Conclusiones y Líneas Futuras • Aplicaciones Potenciales: Estos hallazgos podrían tener importantes implicaciones en diversos campos de la ingeniería y la ciencia de materiales, tales como el diseño de reactores químicos, procesos de flotación en la minería, y el desarrollo de sistemas de control de contaminación en cuerpos de agua. 4.2 Líneas Futuras Los resultados obtenidos en este estudio abren múltiples posibilidades para futuras investigaciones y aplicaciones prácticas. A continuación, se presentan algunas propuestas de líneas futuras que podrían contribuir a un mayor entendimiento y aprovechamiento del fenómeno estudiado: • Estudios Experimentales Complementarios: Realizar estudios experimentales para validar y complementar los resultados numéricos obtenidos. Esto permitirá una corroboración empírica de los efectos observados y mejorará la precisión de los modelos numéricos. • Estudios con surfactantes solubles: En este trabajo, se han investigado los efectos de los surfactantes insolubles en el ascenso de burbujas en tanques de grandes dimensiones. Sin embargo, queda pendiente la exploración de los surfactantes solubles y su posible influencia en este fenómeno. Por tanto, para futuras investigaciones se propone la modelación y estudio del impacto de los surfactantes solubles en el comportamiento del ascenso de burbujas. Se espera que este enfoque amplíe la comprensión de los procesos de transporte de masa y de la dinámica de fluidos involucrada, abriendo nuevas oportunidades para el diseño y optimización de sistemas relevantes en diversos campos de aplicación. • Estudio de la estabilidad de las soluciones básicas: Dentro del ámbito del estudio de la estabilidad de las soluciones, se plantea como una línea de investigación futura la exploración de este aspecto. Aunque en este trabajo se han abordado otros temas, se sugiere que en próximas investigaciones se realice un análisis más detallado de la estabilidad de las soluciones básicas. Este enfoque podría proporcionar una comprensión más profunda de los factores que influyen en la estabilidad de estos sistemas. • Estudio del efecto de otros fenómenos en el ascenso de burbujas: Además de los surfactantes insolubles, resultaría interesante también explorar cómo otros factores ambientales pueden influir en el comportamiento de las burbujas. Entre estos factores, se podrían encontrar la temperatura o la salinidad del agua. La temperatura puede afectar las propiedades físicas y químicas del agua, como la viscosidad y la densidad, lo cual podría tener un impacto significativo en la dinámica de las burbujas. Por otro lado, la salinidad del agua también puede jugar un papel importante, ya que puede alterar también la tensión superficial y la densidad del agua, modificando así la interacción entre las burbujas y el medio circundante. 4.2 Líneas Futuras 47 • Ampliación del Rango de Parámetros estudiados que se ven afectados por la concentración de surfactantes: En este estudio, se ha investigado como una pequeña variación en la concentración de surfactantes insolubles en el líquido en el se encuentran las burbujas es suficiente para variar la hidrodinámica de la burbuja, provocando importantes variaciones en parámetros como la velocidad de ascenso o en el desprendimiento de la capa límite. Sin embargo, para futuras investigaciones, sería importante considerar otros parámetros que también se ven afectados, como puede ser el arrastre (Drag), y las inestabilidades de la trayectoria de las burbujas que pueden desencadenar los tensioactivos. • Aplicaciones Industriales: Explorar aplicaciones específicas en la industria, tales como la optimización de procesos de separación en la industria petrolera y gasífera, y la mejora de la eficiencia en sistemas de aireación en tratamiento de aguas. •Estudio del Impacto Ambiental: Evaluar el impacto ambiental de la utilización de surfactantes en grandes cuerpos de agua y desarrollar estrategias para mitigar posibles efectos adversos. • Desarrollo de Nuevos Materiales: Investigar el uso de surfactantes en la creación de nuevos materiales con propiedades controladas, como espumas y emulsiones estables, y su aplicación en la ingeniería de materiales avanzados. En resumen, este trabajo ha contribuido a avanzar en la comprensión de cómo los surfactantes insolubles afectan el ascenso de burbujas en medios acuosos, utilizando herramientas numéricas avanzadas. Se espera que estos hallazgos sean útiles para mejorar el diseño y la operación de sistemas que involucran flujos de burbujas, y proporcionen una base sólida para futuras investigaciones en este campo. 5 Anexo A: Herramienta para resolución del problema. JAM Como se ha comentado a lo largo de ets trabajo, para la resolución del problema se ha utilizado el método de jacobianos analíticos creado por Herrada: JAM (Jacobian Analytical Method), en el entorno de programación de Matlab [43] . A la hora de resolver sistemas no lineales ( F(x) = 0 , siendo x un vector de N incógnitas) usando el método de Newton DF(x0)∆x=−F(x0)→xnew =xo+∆x aparecen problemas con la matriz jacobiana DF y la función F en algunos casos como, por ejemplo, en un dominio mapeado donde la obtención de las expresiones que son la base de la función F no es fácil. Por ello, se introduce el JAM, en el que entre algunos de sus elementos clave destacan: •Uso de una toolbox simbólica para computar Jacobianos analíticos. • Uso de matrices de colocación dispersas y Jacobianos analíticos para montar la matriz Jacobiana numérica. •Uso de mapeados analíticos o elípticos para un seguimiento preciso de interfases. • Presenta una gran flexibilidad para usar dicha matriz Jacobiana para construir un problema de autovalores generalizado que permita estudiar la estabilidad global del problema no lineal. Este método de cálculo de jacobianos analíticos ha sido ampliamente utilizado en diversas aplicaciones, incluyendo el estudio dinámico de burbujas [ 48 ], en problemas de viscoelasticidad [ 49 ], en el análisis de flujos de Marangoni [ 50 ], en estudios de interacción de sólidos con fluidos [51] y en estudios de electrosprays [52], entre otras muchas áreas. La implementación del problema usando JAM en MATLAB sigue el siguiente esquema: 49 50 Capítulo 5. Anexo A: Herramienta para resolución del problema. JAM Figura 5.1 Implementación del problema con JAM. Tal y como se ha comentado en el apartado anterior, el bloque A hace referencia al dominio del gas (interior de la burbuja), mientras que el bloque B es el relacionado con el dominio del líquido. Para la implementación del problema usando JAM hay que realizar los siguientes pasos: 1.Identificar ecuaciones y variables. 2. Identificar vector de derivadas simbólicas. 3. Computar los jacobianos analíticos. 4. Guardar ecuaciones y jacobianos. Para ello se utiliza la herramienta de matlabfunction, por ejemplo para guardar FAAb: matlabFunction(FAAb,dFAAb,’file’,[path_jacobian ’equationFAAb.m’],’vars’,{s,t,xo,pa}) Donde pa es un vector que contiene los parámetros del problema. En este estudio, pa está formado por: •Pa(1): Número de Bond (Bo) •Pa(2): Número de Reynolds (Re) •Pa(3): Radio externo (Rout) •Pa(4): Relación de densidad (ρ=ρg/ρl) •Pa(5): Relación de viscosudad (λ=µg/µl) •Pa(6): Volumen adimensional (VF =1) •Pa(7): Epsilonf •Pa(8): Número de Marangoni (Ma) •Pa(9): Número de Peclet (Pe) •Pa(10): Concentración inicial de surfactante (Γ0) 51 5. Discretización espacial. La variable s es discretizada en N puntos usando diferencias finitas centrales de segundo orden: si= (i−1)∆s,i=1,...,N 6. Discretización temporal. El tiempo es discretizado usando diferencias finitas hacia atrás de segundo orden. 7. Creación de la solución numérica. Se construye un único vector de incógnitas xo. 8. Evaluación de las funciones simbólicas. 9. Montaje de la matriz jacobiana numérica. Cada bloque se calcula usando FAA, dFAA y las matrices de colocación. 10. Resolución del sistema. Tal y como se comentó antes: DF(xo)∆x=−F(xo)(5.1) xnew =xo+∆xwhile |∆x|>ε(5.2) 11. Resolución del problema de autovalores. Aunque para este estudio no ha sido necesario, puede ser útil para futuras investigaciones y se adjunta aquí una breve explicación. Suponiendo una dependencia temporal de la forma: Φ(x,t) = Φb(x)+∆Φ1(x)e−iωt donde: ω=ωr+iωi Dividiendo el Jacobiano: DF =DFe(Φb)−iωDFt(Φb) Resolviendo el problema generalizado de valores propios: DF∆Φ1≈0 donde ∆Φ1≪1yΦb. La forma final del problema de valores propios es: DFe(Φb)∆Φ1=iωDFt(Φb)∆Φ1 58 Capítulo 6. Anexo B: Códigos empleados. Matrices de colocación startx=2.5*ones(size(starty)) options=[0.1,500000]; %contourf(Y,X,P) h=streamline(Y’,X’,U’,W’,starty,startx,options) Y0=Y(1:10:600,1:10:600); X0=X(1:10:600,1:10:600); U0=U(1:10:600,1:10:600); W0=W(1:10:600,1:10:600); scale_factor = 0.5; q=quiver(Y0’,X0’,U0’,W0’,’b-’,’AutoScale’,’on’,’AutoScaleFactor’,1.5) %q.ShowArrowHead = ’off’; %q.Marker = ’.’; starty=[-1:0.1:1] startx=0.5*ones(size(starty)) options=[0.1,5000000]; %contourf(Y,X,P) starty=[-0.045:0.04:0] startx=3*ones(size(starty)) h=streamline(Y’,X’,U’,W’,starty,startx,options) xlim([-2,2]) ylim([-1.5,1.5]) if (abs(Radius- 1.0000e-03)<1e-6) options=[0.001,200000]; %contourf(Y,X,P) starty=[-0.2:0.05:0] startx=-0.6*ones(size(starty)) end if (abs(Radius- 9.0000e-04)<1e-6) options=[0.001,200000]; %contourf(Y,X,P) starty=[-0.2:0.05:0] startx=-0.6*ones(size(starty)) end name1=’R= ’+string(Radiusf(js)*1000)+’ mm’; xlabel(’x/R’) ylabel(’z/R’) title(name1) end end if(lplot==3) [I,j0]=sort(Radiusf) x=Radiusf(j0)*1000; y=VTf(j0)*100; nameff="$\hat{\Gamma}="+Gamma0+"$" %nameff="$Ds="+Ds+"$" hold on subplot(3,1,1); hold on; plot(x,y,’square-’,’DisplayName’,nameff); xlabel(’R(mm)’) ylabel(’Velocity(cm/s)’) legend(’Interpreter’,’latex’); y=sbreak(j0); subplot(3,1,2); hold on; plot(x,y,’square-’,’DisplayName’,nameff);ylabel(’sbreak[]’) xlabel(’R(mm)’) legend(’Interpreter’,’latex’); 6.4 Plotting 59 thetabreak(j0)=180-thetabreak(j0); y=thetabreak(j0); subplot(3,1,3); hold on; plot(x,y,’o-’,’LineWidth’, 2, ’DisplayName’,nameff);ylabel(’thetabreak []’) xlabel(’R(mm)’) legend(’Interpreter’,’latex’); end Bibliografía [1] Ana Cabrera. 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