Las geometrías de las estructuras abovedadas

Las geome ías de las es uc u as abo edadas Un eco ido po la His o ia de la A qui ec u a, anali- zando los elemen os cons uc i os en conexión con las cubie as, mues a una es echa co elación con los acon ecimien os que, de mane a pa adigmá ica, han ma cado la His o ia de los pueblos y cómo és a gua da in e encias en e los di e en es ámbi os, éo i- cos y p ác icos, de las di e en es disciplinas. Sin ex endemos en el desa ollo his ó ico de las es uc u as abo edadas, pe o eniendo en conside a- ción los elemen os que han inspi ado las cons uc- ciones, se á necesa io ene en cuen a, como da o ob io, que las es uc u as pueden en ende se como pe enecien es a las dos clases siguien es: es uc u- as esis en es po masa y es uc u as esis en es po o ma. Po mo i os e iden es, en es a exposición hab e- mos de exclui las e e encias ela i as a las es uc u- as esis en es po masa; las es uc u as esis en es po o ma, p ecisamen e po que su esis encia depen- de de la o ma que adquie en en la ealidad de la cons ucción his ó ica y en las hipó esis y concepcio- nes que las con ienen, emi en, necesa iamen e, a los signos que pe mi en ep esen a lo que oda ía no se da o se ha dado ya como pe enecien e a la His o ia de la A qui ec u a. La a iedad y complejidad de las es uc u as abo- edadas induce a cues iona sus posibilidades esis- en es, desde di e sos pun os de is a; es a in es iga- ción sólo se puede ealiza median e una in e p e ación a iculada de las ipologías más habi- uales y de sus a ian es. Sin emba go, el hecho de Ma cello D' Anselmo que el pa imonio edilicio his ó ico an sólo se haya dado a conoce en con adas ocasiones, pa a la pe se- cución de es e in se á condición p io i a ia y obliga- da ealiza un análisis que in eg e de las desc ipcio- nes que los a ados y los manuales ecogen de di e sas o mas de las es uc u as abo edadas con los di e en es ejemplos ealizaciones del pa imonio edilicio. Pa a ob ene las indispensables educciones a es- quemas y ipos, y compa a e in e p e a sus co es- pondien es ejemplos, es necesa io ealiza una conci- sa selección de ellos. Po lo an o, ales esquemas esul an menos abundan es que los nume osos ejem- plos que de i an de una in e p e ación analí ica de la ealidad de la cons ucción his ó ica. Cuando la geome ía de las es uc u as abo edadas es sencilla, po ejemplo, cuando se a a de a cos, es deci cuando son geome ías planas, con an solo unos pocos elemen os se pueden desc ibi sis emas abo edados que, si bien p esen an o mas y ma e ia- les di e en es, son a ibuibles a cu a u as y cen os de cu a u a ácilmen e econocibles. Sin emba go, en el caso de las es uc u as abo edades espaciales, la de e minación de sus ca ac e ís icas y su desc p- ción así como su desc ipción exigen de un mayo cuidado a la ho a de analiza las leyes cons i u i as que han egido su ma e ialización. Un código de in e p e ación que pe mi e es able- ce una clasi icación su icien emen e sencilla de las es uc u as abo edadas espaciales, in e p e adas como supe icies lamina es, es el que se basa en la Ac as del Te ce Cong eso Nacional de His o ia de la Cons ucción, Se illa, 26-28 oc ub e 2000, eds. A. G aciani, S. Hue a, E. Rabasa, M. Tabales, Mad id: I. Juan de He e a, SEdHC, U. Se illa, Jun a Andalucía, COAAT G anada, CEHOPU, 2000. 24 M. D'Anselmo Figu a 1 cu a u a de Gauss. Es a cu a u a incula el p o- duc o de las dos cu a u as p incipales medidas en co espondencia de un pun o gené ico pe enecien e a la supe icie media de la lámina. En el caso en que una supe icie lamina cu a p esen e, en co espondencia de uno de sus pun os, una cu a u a del mismo signo en cualquie a de las di ecciones conside adas, és a se de ine sinclás ica en aquél pun o y su cu a de Gauss se á de signo po- si i o. La lámina de e olución es un ípico ep esen- an e de las supe icies lamina es sinclás icas. Las supe icies sinclás icas no son supe icies desa olla- hles; po con a, se puede desa olla la supe icie la- mina po la cual la cu a, en co espondencia de un pun o, aunque admi a el mismo signo en odas las di- ecciones, esul e nula en una de e minada di ección. En es e caso la supe icie conside ada p esen a cu - a u a de Gauss nula; la supe icie cilínd ica, po ejemplo, es una supe icie desa ollab]e en odos sus pun os. En el caso en que la supe icie lamina cu a ad- mi a, en co espondencia de uno de sus pun os y con- empo áneamen e, dos cu a u as de signo opues o en e e encia a dos di ecciones dis in as, és a se de i- ne, en co espondencia de ese pun o, an iclás ica o de ensillado, con la consiguien e cu a u a de Gauss de signo nega i o. Al igual que las supe icies sin- clás icas, ampoco se pueden desa olla las supe i- cies an iclás icas. O o código de in e p e ación, apa en emen e un poco más sencillo, y que iene como inalidad una clasi icación di e en e de las supe icies lamina es cu as, la da el modo con el que és as se c ean. Los p ocesos undamen a]es que c ean las supe icies de lámina cu a se pueden clasi ica de es a mane a: a) po o ación o po e olución de una cu a di ec- iz al ededo de un eje ijo; b) po anslación de una di ec iz, an o ec ilínea como cu ilínea, a lo la go de una gene a iz, ec ilínea o cu ilínea, casi siemp e pe enecien e a un plano o ogonal al que pe enece la di ec iz; c) po anslación de una di ec iz, an o ec ilínea como cu ilínea, que se apoya en dos líneas, cu - as o ec as, planas u oblicuas y que en cualquie caso es án o ien adas en el espacio. Hay que sub aya que, si se quisie a cen a ]a a ención en las es uc u as abo edadas que han ma - cado la a qui ec u a ealizada con ma e iales y écni- cas adicionales, es deci , excluyendo los ma e iales mode nos como el ho migón a mado y el ace o, se ía bas an e e iden e que sólo las es uc u as abo edadas que ienen cu a de Gauss equi alen e a ce o o ma- yo de ce o se ían el obje o de dicha a ención. Ello po que, en unción a las leyes ela i as al compo a- mien o mecánico de las es uc u as, has a que no se descub ie on los nue os ma e iales, no e a posib]e ealiza es uc u as abo edadas cuya o ma e iden- cia a una esis encia po masa. Las es uc u as esis- en es po onna sólo pueden exis i en caso de habe sido ealizadas con ma e iales adicionales, po an- o, inculadas a los alo es posi i os o nulos de la cu a de Gauss. En esumen; se puede a i ma , sin ninguna duda, que las es uc u as abo edadas que se ea]iza on con an e io idad al siglo XIX son compa abJes a supe i- cies sinclás icas. Es a obse ación lle a a op a po la clasi icación de Gauss como a] e na i a a la e]a i a La geome ía de las es uc u as abo edadas 25 al modo en que és as se gene an, ya que esul a más e iden e la de e minación de los pe íodos his ó icos que, g acias al descub imien o de los nue os ma e- iales y de la pues a a pun o de nue as écnicas de p oducción y elabo ación, han pe mi ido el ánsi o de una época a o a. La segunda clasi icación desc i- be de mane a más analí ica los elemen os geomé i- cos que de e minan las es uc u as abo edadas; en al caso, se p oduce una especie de simbiosis en e los elemen os geomé icos, di ec iz-gene a iz, desc ip- ciones de la o ma es uc u al y los p ocedimien os de cons ucción que penni en ealizada. En cualquie caso, an es de plan ea o as considc- aciones sob e las es uc u as esis en es po o ma, se á ú il de ene los en las más scncillas de ellas. El a co es un elemen o de cons ucción que ha p o oca- do no ables desa ollos en la His o ia de la A qui ec- u a; dejando a un lado la cues ión de sus o ígenes, cabe señala que és e es la espues a a un p oblema que el homb e se ha plan eado desde siemp e, an o cuando que ía ma ca una pa ed, na u al o a i icial, con anos, como cuando que ía supe a un obs áculo na u al, un ío o un p ecipicio, median e es uc u as más sólidas de las que p obablemen e, y con azón, se pueden conside a las p ime as es uc u as suspen- didas; en el segundo caso en especial, pe o ambién en el p ime o, se mani ies a una ac i idad humana que iola la in angibilidad del cosmos pa a uni lo que es á di idido en la na u aleza. El a co ha sido, y 10 es aún, la p ime a g an in en- ción que, op imizando los eco idos de las ue zas que desde las co as más ele adas de una cons uc- ción alcanzan los cimien os, ha pe mi ido des ia los es ue zos a los mu os de mane a, sa is aciendo las exigencias de los pueblos de épocas muy di e sas; sob e odo, ha penni ido descodi ica las concepcio- nes espaciales de quienes lo han u ilizado. Ac ual- men e, es ácil a i ma la lo an e io men e indicado: el a co esis e po o ma, és o es, conside ándolo con un g oso no in ini ésimo, una po ción de supe icie de una lámina que iene una cu a nula en una di ec- ción y, po lo an o, una supe icie con cu a u a de Gauss igual a ce o. Po ello, se puede desa olla en el plano, pe o és o conlle a el hecho de que la longi- ud del ec ángulo ob enido, en el caso en que se a e de un a co de medio pun o y se conside e la supe i- cie de desa ollo de la supe icie de in adós, es igual a ap oximadamen e una ez y media la abe u a de un a qui abe co espondien e ealizado con un ma e- ial gené ico. Pe o el a qui abe de pied a o de made- a que ma ca la cons ucción adicional no puede so- po a ca gas exceden es que di icul an la capacidad de esis encia; los esul ados o males y, po lo an o, las geome ías de la a qui ec u a ealizada con ma e- iales adicionales, es a ían condicionados, como de hecho ha sucedido. Además, el a qui abe es á necesa iamen e ealiza- do con un elemen o monolí ico, pied a o made a, a di e encia del a co, que puede ealiza se con un ma- e ial disc e o como la a cilla o la pied a elabo ada en silla es de di e en es dimensiones y o mas. Po lo an o, lo que en un p incipio pa ecía una desecono- mía, es deci , la elación en e la longi ud de la su- pc icie de in adós del a co y su p oyección en el plano ho izon al, esul a, en ealidad, la condición que gene a la supe ación de los lími es impues os an o po la esis encia de los ma e iales como po la posibilidad de elabo ación de los mismos. La subdi isión de la ma e ia u ilizada en las cons- ucciones o o ga a los mu os, an o planos como cu os, una mayo maleabilidad espec o a las eali- zadas con silla es megalí icos, es ableciendo una p e- misa que conc e iza desa ollos condicionados, no an o po la esis encia de los ma e iales sino po como las ue zas ac uando en un silla se asladan al que se encuen a debajo de és e. Teó icamen e, si el mo e o no unie a las jun as, dado que se a a de si1la es cuyas supe icies de con- ac o son comple amen e lisas, pod íamos de ennina que la capacidad po an e de una sille ía de es e ipo pod ía pe mi i la ealización de es uc u as que se ele an cien os de me os; pe o no es así, an o po que los mu os nonnalmen e se ealizan u ilizando mo e- o, lo que educe la capacidad po an e, como po que en an en juego o os ac o es de na u aleza écnica y de cons ucción. Realmen e, la mampos e ía es un ma e ial com- pues o como el ho migón, aunque muy poco e- sis en e a acción; se pod ía de ini un no sólido pa- ecido a un hilo de lana, como a i ma S. di Pasquale, o un ma e ial no con olable mecánicamen e como a i ma A. Giu é. Lo más ascinan e de lo que has a aho a se ha a i - mado es la sín esis exis en e en e ciencia, écnica y cons ucción. Las obse aciones e ec uadas a añen al econocimien o de los di e en es ipos de es uc u as abo edadas, que ienen dados po las onnalizacio- nes eó icas que ue on codi icadas mucho más a de 26 M. D'Anselmo Figu a 2 de que se hicie a e ec i a la cons ucción de las es- uc u as abo edadas. Sin duda, en el pasado, la cons ucción de una es- uc u a abo edada puso en juego más conocimien os écnicos que cien í icos, más p ác ica que ciencia. En e ec o, si se quisie an analiza las es uc u as abo e- dadas con los ins umen os y los códigos de in e p e- ación que se disponen en la ac ualidad, se pod ía de- ci que muchas de esas es uc u as se pueden a ibui a o mas y po lo an o geome ías, que mal ep esen- an las leyes de la mecánica; A menudo, encon amos si uaciones en las que la es abilidad de una bó eda o de una cúpula se emi e a ac o es poco ponde able s pe o que copa icipando ma e ializan lo que la lec u- a uní oca de la ciencia pond ía en c isis. Todo lo an e io men e dicho, nos lle a necesa ia- men e a e ec ua análisis más exhaus i os del pa i- monio his ó ico cons uido, y, sob e odo, nos obliga a ac ua alo ando las peculia idades, an o las más mani ies as como las menos e iden es, pa a cap a las co elaciones in ínsecas. La iden i icación de una bó eda o de una cúpula se puede e ec ua inmedia amen e median e conside- aciones geomé icas, aunque esul a más complejo es ablece la elación que ha habido en las di e en es épocas en e la adición cons uc i a y los conoci- mien os écnicos. Sin duda, du an e muchos siglos, la adición, en endida como ansmisión de la expe- iencia cons uc i a acumulada po un pueblo, ha e- p esen ado odo el pa imonio écnico que, seleccio- nado y en iquecido p ecisamen e po las expe iencias conc e as en la cons ucción, ha pe mi ido en en a y esol e los p oblemas de la edi icación. Con el nacimien o del mundo mode no, la adi- ción, basada en la expe iencia ansmisible, cada ez pie de más consis encia y se es ablece un clima espe- cula i o undado sob e el expe imen o epe ible sos- enido po p oposiciones cien í icas que ienen un a- lo demos a i o. Dejando a un lado las conside aciones sob e el a co, nos e e i emos a la bó eda de cañón como el conjun o de muchos a cos unidos. El a amien o es- á ico de la bó eda de medio cañón, al menos has a el siglo XVII, se e ec uaba median e la u ilización de eglas geomé icas; el mismo Rondele con espec o a es e a gumen o a i ma: «se ha empezado a dísimo a sen i la necesidad de some e el p oblema del equilib io de las bó edas a las leyes de la Mecánica. Pa ece que los an iguos a qui ec os, como los de la época del enacimien o, no es u ie an guiados po p incipios cie os y geomé ico s a la búsqueda de los medios empleados pa a asegu a la solidez de a ias pa es de sus edi icios, y en especial de las bó edas. La expe iencia, la imi ación, y una mecánica na u al les se ían de guía.. .»; de es e modo, se c eía que es- uc u as geomé icamen e simila es enían las mis- mas p opiedades es á icas, debido a que la p ác ica cons uc i a es aba elacionada con un código o mal que se aplicaba independien emen e de las dimensio- nes, como a i ma el mismo L.B. Albe i a p opósi o del a co de medio pun o que hab ía enido que mos- a la máxima es abilidad. En sus ancia, Albe i y o os a adis as emi en a la geome ía la de inición de la o ma de las bó edas yde las p opo ciones de los elemen os cons uc i os de mane a que la es á ica y la es é ica se con igu an en un cue po único de p incipios. Ob iamen e, és o no es cie o. Una egla cons uc- i a con sólo p opo ciones no puede exis i ; además, desde el pun o de is a eó ico, no puede concilia se con cons ucciones cuyas dimensiones implosionan o se ex ienden desmedidamen e. Pe o es e dad que aún hoy en día es di ícil comp ende las no mas o e- gias seguidas po los cons uc o es de ca ed ales gó- icas pa a dimensiona sus ob as, aunque algunas in- dicaciones han sido dadas po Violle Le Duc y, úl imamen e, po A. Giu é; ambién esul an e i- den es las apo aciones de in es igado es como L. da Vinci, de La Hi e, de Belido , Couple , C. Bossu , L. Salimbeni, C. Coulomb, L. Masche oni y o os que han con ibuido a ans o ma lo que an es se eía como un p oblema de p oyec o en uno de e i ica- La geome ía de las es uc u as abo edadas 27 ción; el paso del p oyec o a la e i icación ocupa á, de mane a más consis en e, a los cien í icos a pa i del siglo XIX con los esul ados que ya conocemos. Pe o no podemos decan amos exclusi amen e po a a o un análisis desde el pun o de is a mecánico. Al con a io; la His o ia de la Cons ucción no se puede in e p e a sólo desde el pun o de is a de los esquemas es uc u ales y de los algo i mos ma emá i- cos; és a, más allá de las cons ucciones más impo - an es y signi ica i as de las que se conoce bien su impo ancia, mues a cons ucciones ealizadas con ma e iales adicionales que se p esen an de mane a muy a iada y que, desde el pun o de is a mecánico, son muy di íciles de des codi ica . Así, las geome ías que ca ac e izan las es uc u as abo edadas, desde la más sencilla bó eda de a is a a las más complejas bó edas sob e pechinas o claus a- les, ambién son complejas y, un análisis exhaus i o de los exis en es en di e sas zonas e idencia á la ex- emada iqueza y a iedad de ejempla es. Bas e con- side a las es uc u as abo edadas del su de I alia. Geome ías que con ienen elemen os a qui ec ónicos de indudable alo es imonial que, dadas las condi- ciones y la consis encia de las es uc u as abo e- dadas exis en es, no pueden se conside ados desde un único pun o de is a o educi se a esquemas sim- ples. És os no pueden analiza se con a]go i mos ma- emá icos que di ícilmen e esponden al compo a- mien o eal que ienen con espec o a las acciones a las que se some en. E] mismo V. Le Duc, cuando a i ma que no hay supe icie, po i egula que sea, que no se pueda cub i sin di icul ad..., co obo a que las o mas a - qui ec ónicas, con una geome ía cualquie a, se pue- den ealiza sin ninguna limi ación; dicha a i mación, de hecho, ep esen a ]a consis encia eal de la cons- ucción his ó ica, pe o ambién, y po de echo, la casi ilimi ada posibilidad p oyec ua] que hoy se o e- ce a los a qui ec os dependiendo de los adelan os que se han log ado en e] campo de la ciencia y de ]a éc- nica. También es cie o, como indica Musil, que en los malos iempos se pueden hace casas ho ibles y ho- ibles poesías siguiendo los mismos y bellísimos p incipios de los buenos iempos..., y és o pe mi e ol e a obse a los p incipios, las eglas de la geo- me ía y de las ciencias en gene al como un uni e so al que nos podemos e e i pe o sin ende a una elección que p e alezca ins umen almen e, edu- Figu a 3 ciendo la complejidad, la iqueza de la cons ucción his ó ica. En la a qui ec u a his ó ica, no hay es uc u as abo edadas de o mas inco ec as y, aunque las hu- bie a habido, el iempo anscu ido desde su cons- ucción hab ía e idenciado e] es ado p eca io y las debilidades in ínsecas; las ob as his ó icas que nos han llegado han supe ado la p ueba del iempo. Te- nemos el debe de conse a las, pe o pa a ello es ne- cesa io e ec ua una in e p e ación de las mismas que pueda saca a la luz las leyes cons i u i as que las ge- ne a on. En ealidad és o a ala al hecho de que, aun- que los es udios de la mecánica, nue a ciencia in o- ducida po G. Galilei con la inalidad de sus i ui la egla geomé ica pa a e] dimensionamien o de las es- uc u as, alcanza on una g an di usión, el p oceso de la His o ia de la Cons ucción u o luga con mayo len i ud, po lo menos en odas aquellas cons uccio- nes que ma can el e i o io de mane a casi sumisa, pe o que ambién con ibuyen a comp ende mejo la His o ia de los pueblos. Además, ecuen emen e, a pa i de las medicio- nes y análisis e ec uados en es as es uc u as, se des- cub e que hay una pe ec a conco dancia en e e i i- caciones es á icas de ipo g á ico y las ealizadas con p ocedimien os analí icos, lo que con i ma que los p incipios y las eglas de la cons ucción p emode na no son uní ocos y que, si exis ió el a e de cons ui , que ha sido sus i uido po la ciencia de las cons uc- ciones, és e necesa iamen e debía posee un epe o- io de leyes y eglas que pe mi ían ob a bien. Hay 28 M.D'Anselmo que hace se ca go, a ea no de poca impo ancia, de las leyes y eglas que aún hoy no se han descubie o comple amen e. BIRLlOGRAFÍA A colao, c.: Le iee e del es au o. Ed. Ma silio, Venezia, 1998. C o i, S.: di pon e a e o ica e logica», Casahella, num. 469, G uppo Edi o iale Elec a, Milano, 198], pp. 10-16. D'Anselmo, M.: «The building cha ac e is ics 01' wallings his o ical edi icies», A i del J/I Cong esso In e nacional de Rehahili acion del Pa imonio A qui ee onieo y Edij/- caeion, Pa do-Espinosa-Zezza Edi o i, G anada, 1996, pp. 217-220. Di Pasquale, S.: «Fondamen i di meccanica delle mu a u- e», in 11 p oge o di es au o e isuoi s umen i. Ed. Il Ca do. Venezia, 1995. Fancelli, P.: «Tccnica e ecno]ogia nell 'a chi e u a dell'o ocen o», A i del qUa/' O semina io di s o ia delle seienze e delle eeniehe, Is i u o ene o di scienze, le e e cd a i, Venezia, 1998, pp. 221-242. Giu e', A.: Meccanica delle mu a u e s o iehe. Ed. Kap- pa. Roma, 1998. 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